criteriul modulului
DESCRIPTION
Criteriul modululuiTRANSCRIPT
-
1/8 In knowledge we trust. Part eta.
Procese rapide. Criteriul modulului. Criteriul simetriei
Acordarea unui regulator convenional PID presupune determinarea
valorilor optime ale parametrilor si (factor de amplificare, constante de timp de integrare i derivare) care asigur pentru un proces dat comportarea dorit a SRA n raport cu referina i perturbaiile ce acioneaz asupra procesului.
Procesele fr timp mort sunt de obicei caracterizate modele
aproximative de tipul funcii de transfer cu una sau mai multe constante de timp. Cele mai ntlnite procese fr timp mort sunt procesele rapide, ale cror modele matematice prezint constante de timp cu valori mai mici dect 10 secunde (constante dominante) i constante parazite (n general cu cel puin un ordin de mrime mai mic decat constantele dominante):
)1()1()(
1
sTsT
KsH N
kk
PP (1)
unde KP este factorul de amplificare al procesului, Tk reprezinta un
numr de N constante de timp dominante, iar T este constanta parazita. HP(s) este rapid daca:
}{min1.0..1,10
kk
k
TTNksT
(2)
In cazul in care exista mai multe constante parazite intr-un proces,
acestea se insumeaza, rezultand o singura constanta parazita globala. Constanta parazita reprezinta suma constantelor parazite ale unui proces.
Procesele rapide pot fi, in general, descrise de modele matematice
obtinute cu o buna precizie, astfel facand posibila utilizarea unor metode analitice de acordare a regulatoarelor pentru aceasta clasa de procese, cu rezultate bune. In acest capitol vor fi discutate doua metode de alegere si acordare a regulatoarelor pentru procese fara timp mort: criteriul modulului (in varianta Kessler) si criteriul simetriei.
-
2/8 In knowledge we trust. Part eta.
Criteriul modulului
Criteriul modulului asigura o durata minima a regimului tranzitoriu.
Conform acestei metode, parametrii de acord ai regulatoarelor se obtin pe baza parametrilor modelului procesului.
Criteriul modulului: Daca se considera un proces rapid cu constanta parazita descris de
(1) si (2), atunci se poate alege regulatorul:
sTK
sTsH
P
N
kk
R
2
)1()( 1 (3)
care asigura performantele:
T
Tt
v
st
t
20
8%3.4
(4)
Demonstratie: Pentru procesul descris de (1) si regulatorul descris de (3), functia
de transfer pe calea directa a SRA este:
sTsTsHsHsH PRd
)1(21)()()( (5)
De aici rezulta functia de transfer in bucla inchisa:
121
1)1(21
1)( 220
sTsTsTsTH
HsHd
d (6)
Adica (forma standard de ordinul doi):
121
21
2)(
2
2
22
2
0
sT
s
Tss
sHnn
n
(7)
-
3/8 In knowledge we trust. Part eta.
In relatia (7) se pot identifica factorul de amortizare si pulsatia naturala a sistemului de ordinul doi:
7.022
21
212
21
22
T
T
T n
n
n
(8)
Valoarea factorului de amortizare de 0.7 corespunde unei valori a
suprareglajului de aproximativ 4.3%. In cazul in care factorul de amortizare este cuprins intre 0.6 si 0.8,
valoarea timpului tranzitoriu poate fi aproximata cu:
ntt
4 (9)
Atunci, pentru functia in bucla de transfer in inchisa descrisa de (7),
se poate aproxima valoarea timpului tranzitoriu tinand cont de (8):
TT
tn
t 8)2/(144
(10)
Pentru sistemele de ordinul doi in forma standard, eroarea stationara
este mereu egala cu zero (rezultat din teorema valorii finale): 01)0(0 stH (11)
In cazul erorii la intrare rampa, tinand cont de (8):
Tnv 22
(12)
Implementabilitate Regulatoarele proiectate prin criteriul modulului sunt implementabile
numai daca procesul are o singura constanta dominanta. In cazul in care numarul constantelor dominante este cel putin doi, atunci este necesara adaugarea de elemente cu rol de filtrare in regulator, adica adaugarea de elemente de tip intarziere cu constante de timp mici, de ordinul constantelor parazite. De exemplu, pentru un proces cu doua constante dominante T1 si T2:
-
4/8 In knowledge we trust. Part eta.
)1(2)1)(1()( 21
sTsTKsTsTsH
FPR (13)
In acest caz, in numitorul functiei de transfer pe care directa apare
un termen suplimentar de forma: 1)()1)(1( 2 sTTsTTsTsT FFF (14)
Deoarece atat T, cat si TF sunt foarte mici, produsul lor poate fi
considerat neglijabil. Astfel, relatia (4.14) devine: 11)(1)( '2 sTsTTsTTsTT FFF (15)
Adica sistemul prezinta o constanta parazita:
FTTT ' (16)
In acest caz, este necesara verificarea performantelor de regim
tranzitoriu care depind de valoarea constantei parazite. Criteriul simetriei
Criteriul simetriei asigura urmarirea referintelor de tip rampa in regim permanent. Conform acestei metode, parametrii de acord ai regulatoarelor se obtin pe baza parametrilor modelului procesului.
Criteriul simetriei se aplica de obicei in cazul proceselor care prezinta
constanta parazita si un numar de poli in origine, de forma:
N
kk
PP
sTsT
KsH
1)()1(
)( (17)
unde KP este factorul de amplificare al procesului, Tk reprezinta un
numr de N constante de timp dominante, iar T este constanta parazita. Criteriul simetriei: Daca se considera un proces rapid cu constanta parazita si poli in
origine descris de (17), atunci se poate alege regulatorul:
-
5/8 In knowledge we trust. Part eta.
NsTK
TsNTsH
P
N
kk
N
R 21
8
14)(
(18)
care asigura performante bune la intrare rampa (eroare la rampa
egala cu zero) si performante satisfacatoare la intrare treapta. Analiza: Fie N = 1. Pentru procesul descris de (17) si regulatorul descris de
(18), functia de transfer pe calea directa a SRA este:
)1(814)( 22
sTsTsTsH d (19)
De aici rezulta functia de transfer in bucla inchisa:
148814)( 22330
sTsTsTsTsH (20)
Functia de transfer in bucla inchisa contine trei poli si un zero,
putand fi pusa sub forma:
))(2(
)()( 220 psss
zsz
p
sHnn
n
(21)
unde
T
z41
, 5.0 ,
Tn 21
i
T
p21
.
La intrare treapta, acest regulator introduce un suprereglaj de
aproximativ 43%, mult mai mare decat in cazul criteriului modulului. EXERCITIUL 1. Se considera un proces caracterizat prin modelul:
)18)(12)(11.0(100)(
ssssH P
Se cere: a) Structura sistemului de reglare automata b) Legea de reglare astfel incat sa se obtina un raspuns in bucla
inchisa caracterizat prin %5 , sec2.1tt , 0st si sec3.0v .
-
6/8 In knowledge we trust. Part eta.
Rezolvare: a) Se alege o structura de reglare standard cu un grad de libertate: Se aduce procesul la forma poli-zerouri-amplificare si se analizeaza
constantele de timp. Se observa ca procesul prezinta doua constante de timp dominante T1 = 2sec si T2 = 8sec, precum si o constanta parazita T = 0.1sec (de un ordin de marime mai mica decat cea mai mica constanta dominanta). Cele doua constante de timp dominante sunt mai mici decat 10s, asadar procesul este rapid.
b) Conform analizei de proces efectuata la pasul anteior, se poate
aplica criteriul modulului, in urma caruia s-ar obtine urmatoarele perfomante:
sec3.0sec2.01.020
sec2.1sec8.01.08%5%3.4
v
st
tt
Aceste performante corespund cerintelor de proiectare. In acest caz,
regulatorul va avea forma:
ssssH R 20
)12)(18()(
Acest regulator este de tip PID, in varianta ideala. Se pot alege cei
trei parametri de acord, incepand cu constantele de timp (8 si 2 vor reprezenta Ti si Td; in practica, se alege Ti mai mare decat Td):
Ti = 8sec Td =2sec de unde rezulta valoarea factorului de amplificare: KR = 0.05
)(sH R )(sH P r u y
-
-
7/8 In knowledge we trust. Part eta.
Conform alegerii facute, regulatorul PID este considerat in forma sa serie. Se observa ca acesta este neimplementabil, componenta derivativa necesitand filtrare. Asadar, forma legii de reglare, in varianta cu filtrare este:
1
111)(
sTsT
sTKsH
d
d
iRR
cu 1 pozitiv.
Alegerea coeficientului de filtrare La alegerea coeficientului de filtrare se va tine cont de faptul ca
produsul Td este de cel putin un ordin de marime mai mic decat restul constantelor de timp din sistem. Asadat, acest produs este asemanator unei constante parazite. In aceste conditii, noua constanta parazita a sistemului devine:
21.0' dTTT
Din conditiile de timp tranzitoriu si eroare la intrare rampa rezulta:
sec1.04sec4.016
sec3.02sec2.18
'
'
TTt
v
t
de unde se poate alege care satisface ambele conditii. Se alege = 0.025. Atunci, legea de reglare cautata devine:
105.012
81105.0)(
s
ss
sH R
EXERCITIUL 2. Se considera un proces caracterizat prin modelul:
)12.0(42)(
sssH P
Se cere: a) Structura sistemului de reglare automata b) Legea de reglare astfel incat sa se obtina un raspuns in bucla
inchisa ce prezinta eroare zero la intrare rampa 0v .
-
8/8 In knowledge we trust. Part eta.
Rezolvare: a) Se alege o structura de reglare standard cu un grad de libertate: Se aduce procesul la forma poli-zerouri-amplificare si se analizeaza
constantele de timp. Se observa ca procesul prezinta o constanta de timp dominanta T1 = 4sec, precum si o constanta parazita T = 0.2sec. Constanta de timp dominanta este mai mica decat 10s, asadar procesul este rapid.
Putem aplica criteriul simetriei, in urma caruia se obtine eroare zero
la intrare rampa 0v , ceea ce corespunde cerintelor de proiectare. In acest caz, regulatorul va avea forma:
ss
sTKTsTsH
PR 64.0
418.08
14)( 21
Acest regulator este de tip PI. Se pot calcula cei doi parametri de
acord astfel: Ti = 0.8sec KR =5
)(sH R )(sH P r u y
-