conice

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro


Conice - Cateva proprietati elementare

lect.dr. Mihai ChisFacultatea de Matematica si Informatica

Universitatea de Vest din Timisoara

Viitori Olimpici editia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a

1 Definitii si ecuatii canonice

1.1 Elipsa

Definitie 1.1. Fie F1, F2 ∈ Π doua puncte oarecare fixate ın plan, iar d ∈ (0,∞) un numarpozitiv cu proprietatea ca d > F1F2. Elipsa de focare F1 si F2 si axa mare d este locul geometrical punctelor din plan pentru care suma distantelor pana la focarele F1 si F2 este egala cu d:

E = E(F1, F2, d) = {M ∈ Π|MF1 +MF2 = d}.

Observatie 1.2. Cercul C = C(O, r) de centru O si raza r este un caz particular de elipsapentru care F1 = F2 = O si d = 2r.

Observatie 1.3. Considerand un reper ortogonal cu originea O ın mijlocul segmentului [F1F2],cu axa Ox = F1F2, notand |F1F2| = 2c si d = 2a, coordonatele focarelor vor fi F1(c, 0) siF2(−c, 0). Atunci

M(x, y) ∈ E ⇐⇒MF1 +MF2 = 2a⇐⇒√

(x− c)2 + y2 +√

(x+ c)2 + y2 = 2a⇐⇒

⇐⇒ x2 + y2 + c2 +√

(x2 + y2 + c2)2 − 4c2x2 = 2a2 =⇒ (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)⇐⇒

⇐⇒ b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇐⇒ x2

a2+y2

b2= 1, (1)

unde b =√a2 − c2.

Reciproc, daca coordonatele punctului M verifica ecuatia (1), atunci

MF1 =√

(x− c)2 + y2 =

√x2 − 2cx+ c2 + b2 − b2

a2x2 =

√c2

a2x2 − 2cx+ a2 =

∣∣∣a− c

ax∣∣∣ ,

si analog

MF2 =∣∣∣a+

c

ax∣∣∣ .

1



Daca (x, y) verifica (1), atunci x2 ≤ a2, astfel ca∣∣ cax∣∣ ≤ a si

MF1 = a− c

ax , MF2 = a+

c

ax .

Rezulta ca MF1 +MF2 = 2a = d, si M ∈ E .Prin urmare,

M(x, y) ∈ E ⇐⇒ x2

a2+y2

b2= 1 .

Ecuatia (1) se numeste ecuatia canonica a elipsei.

1.2 Hiperbola

Definitie 1.4. Fie F1, F2 ∈ Π doua puncte oarecare fixate ın plan, iar d ∈ (0,∞) un numarpozitiv cu proprietatea ca d < F1F2. Hiperbola de focare F1 si F2 si axa mare d este loculgeometric al punctelor din plan pentru care valoarea absoluta a diferentei distantelor pana lafocarele F1 si F2 este egala cu d:

H = H(F1, F2, d) = {M ∈ Π| |MF1 −MF2| = d}.

Observatie 1.5. Considerand un reper ortogonal cu originea O ın mijlocul segmentului [F1F2],cu axa Ox = F1F2, notand |F1F2| = 2c si d = 2a, avem ca

M(x, y) ∈ H ⇐⇒MF1 −MF2| = 2a⇐⇒ |√

(x− c)2 + y2 −√

(x+ c)2 + y2| = 2a⇐⇒

⇐⇒ x2 + y2 + c2 −√

(x2 + y2 + c2)2 − 4c2x2 = 2a2 =⇒ (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)⇐⇒

⇐⇒ b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇐⇒ x2

a2− y2

b2= 1, (2)

unde b =√c2 − a2.

Reciproc, daca coordonatele punctului M verifica ecuatia (2), atunci

MF1 =∣∣∣a− c

ax∣∣∣ si MF2 =

∣∣∣a+c

ax∣∣∣ .

Daca (x, y) verifica (2), atunci x2 ≥ a2, si∣∣ cax∣∣ ≥ a. Daca x ≥ a, atunci

MF1 =c

ax− a , MF2 =

c

ax+ a , si MF1 −MF2 = −2a =⇒M ∈ H.

Daca x ≤ −a, atunci

MF1 = − cax+ a , MF2 = − c

ax− a , si MF1 −MF2 = 2a =⇒M ∈ H.

Prin urmare,

M(x, y) ∈ H ⇐⇒ x2

a2− y2

b2= 1 .

Ecuatia (2) se numeste ecuatia canonica a hiperbolei.

2



1.3 Parabola

Definitie 1.6. Fie F ∈ Π un punct, iar δ ⊆ Π o dreapta ın plan. Parabola de focar F sidreapta directoare δ este locul geometric al punctelor egal departate de focarul F si dreaptadirecoare δ:

P = P(F, δ) = {M ∈ Π|MF = dist(M, δ)}.

Observatie 1.7. Consideram un reper ortogonal cu originea O ın mijlocul segmentului [FP ],unde P = prδ(F ) este proiectia focarului F pe directoarea δ, cu axa Ox = FP (si deci Oy ‖ δ).Daca p = dist(F, δ), atunci focarul F are coordonatele F (p

2, 0), iar directoarea δ are ecuatia

x = −p2. Avem atunci:

M(x, y) ∈ P ⇐⇒MF = dist(M, δ)⇐⇒√(

x− p

2

)2+ y2 =

∣∣∣x+p

2

∣∣∣⇐⇒⇐⇒

(x− p

2

)2+ y2 =

(x+

p

2

)2⇐⇒ y2 = 2px . (3)

1.4 Excentricitate

Propozitie 1.8. Fie F ∈ Π un punct, δ ⊆ Π o dreapta ın plan, iar e ∈ (0, 1). Atunci loculgeometric L al punctelor M din plan cu proprietatea ca MF = e ·dist(M, δ) este o elipsa avandun focar ın F si pentru care raportul dintre distanta focala si axa mare este egal cu e.

Demonstratie. Consideram un reper ortogonal xOy ın care δ coincide cu axa Oy si are ecuatiax = 0, iar F are coordonatele (p, 0), unde p = dist(F, δ). Atunci

M ∈ L ⇐⇒MF = e · dist(M, δ)⇐⇒√

(x− p)2 + y2 = e · |x| ⇐⇒

⇐⇒ (1− e2)x2 − 2px+ p2 + y2 = 0⇐⇒(x− p

1− e2

)2

+y2

1− e2=

p2e2

(1− e2)2(∗).

Considerand un nou reper ortogonal x′O′y′ cu O′(

p1−e2 , 0

), ın raport cu care coordonatele sunt

x′ = x− p1−e2 , y′ = y, notand a = pe

1−e2 si b = pe√1−e2 , atunci

(∗)⇐⇒ x′2

a2+y′2

b2= 1 .

Prin urmare, L este o elipsa cu centrul ın O′, semiaxa mare a = pe1−e2 , semiaxa mica b = pe√

1−e2

si semidistanta focala c =√a2 − b2 = pe2

1−e2 . Deoarece FO′ = |p− p1−e2 | =

pe2

1−e2 = c, punctul F

este unul dintre focare, al doilea fiind simetricul lui F fata de centrul elipsei O′. In plus, avemca

c

a=

pe2

1− e2· 1− e2

pe= e.

Observatie 1.9. Numarul e = ca

se numeste excentricitatea elipsei. Deoarece cercul este uncaz particular de elipsa, de semidistanta focala c = 0, cercul poate fi considerat o elipsa deexcentrictate nula.

3



Propozitie 1.10. Fie F ∈ Π un punct, δ ⊆ Π o dreapta ın plan, iar e ∈ (1,∞). Atunci loculgeometric L al punctelor M din plan cu proprietatea ca MF = e · dist(M, δ) este o hiperbolaavand un focar ın F si pentru care raportul dintre distanta focala si axa mare este egal cu e.

Demonstratie. La fel ca ın cazul elipsei, consideram un reper ortogonal xOy ın care δ coincidecu axa Oy si are ecuatia x = 0, iar F are coordonatele (p, 0), unde p = dist(F, δ). Atunci

M ∈ L ⇐⇒MF = e · dist(M, δ)⇐⇒√

(x− p)2 + y2 = e · |x| ⇐⇒

⇐⇒ (1− e2)x2 − 2px+ p2 + y2 = 0⇐⇒(x− p

1− e2

)2

+y2

1− e2=

p2e2

(1− e2)2(∗∗).

Procedam ın continuare ca ın cazul elipsei si consideram reperul ortogonal x′O′y′ cu O′(

p1−e2 , 0

),

ın raport cu care coordonatele sunt x′ = x − p1−e2 , y′ = y. Notam a = pe

e2−1 , b = pe√e2−1 si

c =√a2 + b2 = pe2

e2−1 . Atunci

(∗∗)⇐⇒ x′2

a2− y′2

b2= 1 ,

astfel ca L este o hiperbola cu centrul ın O′, semiaxa mare a = pee2−1 si semidistanta focala

c = pe2

e2−1 . Deoarece FO′ = c, rezulta ca unul dintre focarele hiperbolei este punctul F . Deasemenea, are loc egalitatea c

a= e. La fel ca ın cazul elipsei, e se numeste excentricitatea

conicei.

2 Ecuatia generala a unei conice. Polara unui punct ın

raport cu o conica. Pol al unei drepte ın raport cu o

conica

Fara demonstratie dam urmatoarea propozitie:

Propozitie 2.1. Fie xOy un reper ortogonal fixat, iar a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R, astfel ıncat

matricea A =

(a11 a12a12 a22

)este nenula, iar matricea D =

a11 a12 b1a12 a22 b2b1 b2 c

este inversabila.

Locul geometric C al punctelor din plan ale caror coordonate verifica ecuatia

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0

este atunci o conica :- o elipsa daca δ = det(A) > 0,- o hiperbola daca δ < 0,- o parabola daca δ = 0.

In continuare vom considera ca o conica C este data de ecuatia

(C) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0 (C)

4



Observatie 2.2. O dreapta oarecare din plan poate avea cel mult doua puncte de intersectiecu conica C. Daca dreapta d are ecuatia αx + βy + γ = 0, acestea se determina rezolvandsistemul de ecuatii

d ∩ C :

{a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0

αx+ βy + γ = 0

Cand solutiile sistemului de mai sus nu sunt perechi de numere reale vom spune ca dreapta siconica au puncte de intersectie imaginare. Astfel, orice dreapta intersecteaza o conica ın douapuncte(reale sau imaginare, care eventual pot coincide).

Definitie 2.3. Fie M(x0, y0) ∈ Π un punct oarecare din plan. Dreapta pM de ecuatie

(pM) : (a11x0 + a12y0 + b1)x+ (a12x0 + a22y0 + b2)y + b1x0 + b2y0 + c = 0

se numeste polara punctului M ın raport cu conica C.

Observatie 2.4. Deoarece det(D) 6= 0, pentru orice α, β, γ ∈ R(cu (α, β) 6= (0, 0)) exista ununic punct M(x0, y0) ∈ Π cu proprietatea ca

a11x0 + a12y0 + b1α

=a12x0 + a22y0 + b2

β=b1x0 + b2y0 + c

γ.

Atunci dreapta d de ecuatie αx + βy + γ = 0 este exact polara pM a punctului M , iar M senumeste polul dreptei d ın raport cu conica C.

Propozitie 2.5. Daca d este o dreapta oarecare care trece printr-un punct M , N ∈ d ∩ pM ,iar d ∩ C = {P,Q}, atunci M si N sunt conjugate armonic fata de P si Q.

Demonstratie. Daca Mx, Nx, Px, Qx sunt proiectiile punctelor M,N,P,Q pe axa Ox, atunci

(M,N |P,Q) = −1⇐⇒ (Mx, Nx|Px, Qx) = −1⇐⇒

⇐⇒ (xM−xP )(xN−xQ)+(xM−xQ)(xN−xP ) = 0⇐⇒ 2(xMxN+xPxQ) = (xM+xN)(xP+xQ) . (∇)

Pentru o dreapta oarecare d care trece prin punctul M vom determina ın functie de panta sam abscisa punctului N , precum si valorile sumei xP + xQ si produsului xPxQ. Notand

α = a11x0 + a12y0 + b1 , β = a12x0 + a22y0 + b2 , γ = b1x0 + b2y0 + c ,

ecuatia polarei pM devine αx+ βy + γ = 0, iar abscisa punctului N este

xN =mβx0 − βy0 − γ

α +mβ.

Coordonatele punctelor P si Q sunt date de sistemul de ecuatii

d ∩ C :

{a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0

y = m(x− x0) + y0

5



Facand substitutia y = m(x−x0)+y0 ın ecuatia conicei, abscisele xP si xQ sunt atunci solutiileecuatiei

a11x2 + 2a12x(m(x− x0) + y0) + a22(m(x− x0) + y0)

2 + 2b1x+ 2b2(m(x− x0) + y0) + c = 0⇐⇒

⇐⇒ (a11 + 2ma12 +m2a22)x2 + 2(−ma12x0 +ma22(y0 −mx0) + b1 +mb2)x+

+a22(y0 −mx0)2 + 2mb2(y0 −mx0) + c = 0.

Din relatiile lui Viete rezulta atunci ca

xP + xQ = −2 · −ma12x0 +ma22(y0 −mx0) + b1 +mb2a11 + 2ma12 +m2a22

,

respectiv

xPxQ =a22(y0 −mx0)2 + 2mb2(y0 −mx0) + c

a11 + 2ma12 +m2a22.

Egalitatea (∇) se verifica atunci usor.

Rezultatul din propozitia de mai sus justifica urmatoarea definitie:

Definitie 2.6. Fie M,N ∈ Π doua puncte ın plan. Spunem ca N este conjugat cu M ın raportcu conica C daca N ∈ pM .

Observatie 2.7. Relatia de conjugare definita mai sus este simetrica:

N ∈ pM ⇐⇒ (a11xM + a12yM + b1)xN + (a12xM + a22yM + b2)yN + b1xM + b2yM + c = 0

⇐⇒ a11xMxN + a12(xMyN + yMxN) + a22yMyN + b1(xM + xN) + b2(yM + yN) + c = 0

⇐⇒M ∈ pN .

Observatie 2.8. Cu notatiile din propozitia de mai sus, daca P = Q(i.e., d este tangenta laconica C), atunci N = P = Q, astfel ca d∩ pM = d∩ C. Acest lucru este ramane atunci valabilpentru orice punct M ∈ d. Cum M ∈ pN ⇐⇒ N ∈ pM , deducem ca pentru un punct N ∈ Cpolara pN este exact tangenta ın N la conica C.

Observatie 2.9. Din simetria relatiei de conjugare ın raport cu conica C deducem si ca pentrutrei puncte M,N,P ∈ Π are loc echivalenta

P ∈ pM ∩ pN ⇐⇒M,N ∈ pP ⇐⇒MN = pP .

Observatie 2.10. Pentru M,N,P ∈ Π sunt atunci echivalente afirmatiile

M,N,P − coliniare⇐⇒ pM , pN , pP − concurente.

Observatie 2.11. Daca pentru o dreapta d ⊆ Π notam cu Pd polul dreptei d ın raport cuconica C, atunci pentru trei drepte a, b, c ⊆ Π avem echivalenta

a, b, c − concurente⇐⇒ Pa, Pb, Pc − coliniare.

6

conice

Documents