x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 1

Conf.dr.ing. Marian Poboroniuc

Controlul robotilor

Roboti industriali

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 2

Controlul RI

• Miscari impuse in spatiul de operare:

– Traiectorii cu punct initial si final fixate;

traiectoria nu este restrictionata (exp. operatii

de paletizare);

– Traiectorii cu restrictii asupra punctului initial

si a unei zone finale de operare (operatii de

asamblare si paletizare);

– Miscari cu restrictii pe intreaga traiectorie

(operatii de sudare).

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 3

Dinamica Manipulatoarelor

)(),()( qGqqVqqM

• Modelul dinamic al unui robot cu ‘n’ elemente

M - Matricea maselor; matrice simetrica

V - Matricea termenilor Coriolis si centrifugali

G -Termenii gravitatiei

n

1 Cupluri sau forte

aplicate in articulatii

! Model neliniar, cuplaj intre variabile articulatie, ecuatii

diferentiale de ordin II.

Cupluri Articulatie Miscare Robot

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 4

Controlul Robotilor Manipulatori

• Regulator nivel articulatie

)(

)(),()(

qhY

qGqqVqqM

• Regulator la nivelul sarcinii

Idee – prescriere control τ, tpentruqq d

; tcindYY d 0 YYe dIdee – prescriere control τ:

• Sistem tip robot :

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 5

Controlul Robotilor Manipulatori

• Metode de Control

– Control PID conventional in articulatii

• Cel mai utilizat in industrie

– Tehnici avansate de control

• Metoda cuplului calculat

• Liniarizare prin reactie neliniara

• Control adaptiv

• Control cu structura variabila

• ….

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 6

Teoria controlului automat - Control PID

ya actualyd dorit uMotor

ya actual

-calcul u utilizind

regulator PID

yd ya

Semnal Eroare e

Regulator PID - Proportional / Integrator/ Derivativ

e= yd ya

u = (Kp • e + Ki ∫ e dt + Kd )d edt

Control cu reactie negativa

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 7

Evaluare raspuns

Eroare de stare

Timp de

stabilizare

Timp de crestere

suprareglare

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 8

Teoria controlului automat• Sistem de control liniar

– Ecuatii in spatiul starilor

– Exemplu: un sistem:

– Valorile proprii ale matricei A sunt radacinile ec. caracteristice:

– Asimptotic stabil toate valorile proprii ale matricei A au partea reala ≤ 0

BuAxx

ux

xx

2

21

u

x

x

x

x

1

0

00

10

2

1

2

1

0 AI 00

12

AI

(Ec. 1)

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 9

Teoria controlului automat– Idee: control cu reactie de tip astfel incit

sistemul in bucla inchisa sa fie asimptotic stabil

– Sistemul in bucla inchisa devine

– Alegem K, astfel incit toate valorile proprii ale noii

matrice A’=(A-BK) sa aiba partea reala negativa

A

B

-K

x xu

xKu

2

1

21x

xkku

xBKAx )(

(Ec. 2)

01

' 12

2

21

kk

kkAI

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 10

Teoria controlului automat

• Liniarizare prin reactie neliniara

– Sistem neliniar

– Exemplu:

UxGxfX )()(

])()()([ 11 VxGxfxGU

VX

Uxx cos

VxU cos Vx

Sistem:

Reactie neliniara:

Sistem liniar :

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 11

Controlul Robotilor Manipulatori• Control PID la nivelul articulatiei

– fiecare articulatie este un servo-mecanism

– cel mai utilizat in mediul industrial

– se neglijeaza comportarea dinamica a

intregului brat de robot

– performantele controlului se degradeaza in

special la viteze mari

– performanta depinde de configuratie

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 12

Controlul Robotilor Manipulatori

• Metoda cuplului calculat

– Sistem ‘Robot’ :

– Regulator:

)(

)(),()(

qhY

qGqqVqqM

)(),()]()()[( qGqqVqqkqqkqqM d

p

d

v

d

0)()()( qqkqqkqq d

p

d

v

d

0 ekeke pvDinamica erorilor

Cum alegem

Kp, Kv ?

Avantaje: compensare a efectelor dinamicii robotului

Conditie: modelul dinamic al robotului sa fie cunoscut

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 13

Controlul Robotilor Manipulatori

0 ekeke pv

ex

ex

2

1

122

21

xkxkx

xx

pv

Cum alegem Kp, Kv

a.i. sistemul sa fie

stabil?Dinamica erorilor

Definim starile:

AXx

x

kkx

x

vp

2

1

2

110

01

2

pv

vp

kkkk

AI

2

42

2,1

pvv kkk

Forma

matriceala :

Ecuatia caracteristica :

Valori proprii ale matricei A:

Conditie: sa aiba partea reala <0 0vk 0pkAlegem si

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 14

Controlul Robotilor Manipulatori

• Legea de control a cuplului calculat

)(),()]()()[( qGqqVqqkqqkqqM d

p

d

v

d

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 15

Controlul Robotilor Manipulatori

• Legea de control a cuplului calculat

consta in doua componente:

= i + r

)(),()]()()[( qGqqVqqkqqkqqM d

p

d

v

d

)(),..

()2(..

)( qGqjqiqFqVdqqMi

).

)(( ep

kev

kqMr

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 16

Controlul Robotilor Manipulatori

• Legea de control a cuplului calculat

– termenul i , este componenta calculata inainte a

cuplului reprezentand necesarul de cuplu pentru

conducerea sistemului pe calea dorita

– r este componenta de reactie furnizand corectiile

cuplurilor in scopul reducerii erorilor

Avantaj - conduce la conversia sistemului dinamic

neliniar intr-unul liniar, permitand utilizarea oricaror

modalitati specifice de sinteza a controlului liniar.

Tehnica mai poarta numele de liniarizare prin reactie.

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 17

Controlul Robotilor Manipulatori

)(

)(),()(

qhY

qGqqVqqM

qJqqhdq

dY )]([

• Control cu reactie neliniara

qJqJY )(1 qJYJq

)(),()()( 1 qGqqVqJYJqM

Jacobian:

Sistem Robot :

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 18

Controlul Robotilor Manipulatori

)(),()()( 1 qGqqVqJUJqM

UJqMYJqM 11 )()(

Proiectam regulatorul neliniar sub forma:

• Control cu reactie neliniara

Modelul dinamic liniarizat devine:

UY

Proiectam regulatorul liniar: )()( YYkYYkYU dpdvd

Rezulta ecuatia dinamicii erorilor: 0 ekeke pv

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 19

Controlul Robotilor Manipulatori

Se modeleaza robotii, sub forma intrare-stare-iesire :

• Problema – cuplajul intre axe -> tehnica decuplarii neliniare

uxDxCy

uxBxAx

)()(

)()(

Se considera o lege de conducere de forma:

u = F(x)+G(x)* w

F,G - matrici de reactie;

w - noua intrare a sistemului in circuit deschis.

Matricile F si G se aleg astfel incat

F(x) = - D-1(x)*C(x)

G(x) = D-1(x)*

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 20

Controlul Robotilor ManipulatoriAlegerea matricilor F si G de forma

F(x) = - D-1(x)*C(x)G(x) = D-1(x)*

unde:

= diag ( 1 ,2 , ... n )conduce la

y = * wformula care stabileste o relatie intrare-iesire liniara si decuplata pentru

sistemul global.

O asemenea procedura nu poate fi aplicata decat foarte rar, iesirea

y fiind, cel mai adesea data in forma de mai jos, deci independenta de

intrarea u.

y = C(x)

Se poate totusi utiliza metoda in conditiile unei prelucrari

suplimentare a iesirii y.

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 21

Controlul Robotilor Manipulatori

Un regulator hibrid pozitie-forta va trebui sa rezolve trei probleme:

1. Controlul pozitiei robotului pe directiile catre care exista

constrangeri naturale legate de forta;

2. Controlul fortei robotului pe directiile in care exista constrangeri

naturale legate de pozitie;

3. O schema care sa implementeze un mixaj arbitrar a modurilor 1

si 2 pentru gradele de libertate considerate intr-un sistem

arbitrar.

• Controlul hibrid pozitie-forta

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 22

Controlul Robotilor Manipulatori• Controlul hibrid pozitie-forta

J-jacobian,

-indicele x al

matricilor M,

V, F, G indica

transformarea

acestora in

coordonate carteziene

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10 23

Controlul Robotilor Manipulatori

• Alte tehnici de control:

• Control robust utilizind metoda structurii variabile;

• Sistem adaptiv cu model de referinta

• Sistem de control cu retele neuronale;

• Sistem de control fuzzy;

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 10

ELEMENTE TEORETICE SUPLIMENTARE

24

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1025

Proiectarea controlului sistemelor descrise in

spatiul starilor – metoda Lyapunov

• In general structura unui sistem liniar descris

in spatiul starilor este data de relatiile:

• Pentru un sistem autonom (exp. robotii

mobili) relatiile sunt:

)t(uD)t(xc)t(y

)t(uB)t(xA)t(xT

nnn A, x,xAx

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1026

Proiectarea controlului sistemelor descrise

in spatiul starilor – metoda Lyapunov

• Presupun ca doresc a impune o comanda u=-K*x care sa stabilizeze sistemul in jurul unui punct de echilibru

• Atunci sistemul devine:

• Se parametrizeaza matricea K, si se cauta determinarea valorilor ei astfel incat sistemul sa fie stabil.

xAxKBAuBxAx bucla

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1027

Proiectarea controlului sistemelor descrise

in spatiul starilor – metoda Lyapunov

• Solutia este oferita de metoda Lyapunov. Va trebui

sa gasim o functie candidat Lyapunov V(x) pozitiv

definita, pentru care dV(x)/dt sa fie negativ definita

pentru sistemul dat.

• Functia candidat Lyapunov se alege de forma:

• unde P este o matrice simetrica pozitiv definita.

Atunci:

Pxx)x(V T

xPAxPxAxxPxPxx)x(V bucla

TT

bucla

TTT

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1028

Proiectarea controlului sistemelor descrise

in spatiul starilor – metoda Lyapunov

• dV(x)/dt devine:

si ar trebui sa fie negativ definita de forma:

Concluzia este ca matricea Abucla fiind cu parametri ai lui K va trebui gasita dintr-o relatie de genul:

(1)

daca se impune Q, pozitiv definita. Elementele matricii P vor trebui determinate astfel incat P sa fie pozitiv definita. Din jocul intre parametrii Abucla si cei ai P se vor determina elementele matricii K.

xPAPAx)x(V bucla

T

bucla

T

Qxx)x(V T

QPAPA bucla

T

bucla

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1029

Exemplu

Fie matricea Abucla de forma:

unde parametrii k1 si k2 presupunem ca au rezultat din parametrizarea matricii K. Fie Q=I

(matricea unitate). Relatia (1) devine:

2k1k

10Abucla

10

01

2k1k

10

pp

pp

pp

pp

2k1k

10

2221

1211

2221

1211

Care are solutia:21

122

1

2112

21

1

2

2

2

111

kk2

k1p;

k2

1pp;

kk2

kkkp

Matricea P este simetrica si va fi pozitiv definita daca p11>0 si det(P)>0.

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1030

Performantele in reglare sunt

legate de stabilitate

• Daca in cadrul sistemelor liniare metodele de

apreciere ale comportarii sistemelor (analiza

stabilitatii) sunt destul de clare, in cazul

sistemelor neliniare uneori este foarte dificil a

aprecia aceasta.

• Metoda Lyapunov permite aprecierea

stabilitatii unui sistem neliniar, utilizand

sistemul liniarizat.

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1031

Exemplu – apreciere stabilitate

pentru un sistem neliniar

Fie sistemul dx/dt = f(x), f(0)=0.

Pentru sisteme liniare

Cu fi(x) fiind combinatii liniare de x1,x2,…,xn.

nnn21n

n211

)x,...,x,x(f

...

)x,...,x,x(f

)x(f

Daca o singura functie fi(x) este neliniara atunci sistemul este neliniar. Liniarizam sistemul in vecinatatea starii de echilibru xe.

neglijati termeni...xx

f)x(f)xx(f

exxee

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1032

Exemplu – apreciere stabilitate pentru

un sistem neliniar

Dar f(xe)=0 deoarece xe este solutie a f(x)=0, fiind un punct de echilibru.

)xx(f)t(x)t(x)t(x

unde de )t(xx)t(xe

e

Atunci

xx

fx

exx

)x(J

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

fe

xxn

n

1

n

n

1

2

1

1

1

xx

e

e

J(xe) – matrice Jacobian a functiei f(x)

Amintiti-va dx/dt=A*x de la sisteme liniare

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1033

Exemplu – apreciere stabilitate

pentru un sistem neliniar

• Conditia ca sistemul sa fie stabil in jurul punctului de echilibru este ca ecuatia caracteristica

• sa aiba radacini strict in semiplanul stang (radacini cu partea reala negativa)

0)x(JIsdet e

Exp. Pentru sistem neliniar

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1034

Metoda directa Lyapunov

Este bazata pe determinarea unei functii scalare V(x)=V(x1,x2,…,xn) numita functie candidat Lyapunov, care se asociaza unui sistem dx/dt=f(x).

Proprietatile suficiente ale lui V(x) pentru ca sistemul caruia i se asociaza sa fie stabil intr-un punct de echilibru xe=0 sunt:

1. V(x) si derivatele sale partiale sunt functii continue intr-o vecinatate ||x||<K a originii.

2. V(x) sa fie pozitiv “definita”: V(0)=0 si V(x)>0 ptr. x diferit de 0.

x

yz

x

yz

x

yz

x

z

y

MRI - Curs 1035

Metoda directa Lyapunov

3. Derivata:

sa fie “negativ semidefinita” deci

4. sau chiar V(x) “negativ definita”

xVx)V(gradxx

V)x(V

T

i

n

1i i

0x,kx 0)x(V,0)0(V

0x,kx 0)x(V,0)0(V T

n21 x

V

x

V

x

VV))x(V(grad

Exp. sistemProblema: cum determin V(x) ?