concursul nałional de matematicĂ …... concursul nałional de matematicĂ aplicatĂ "adolf...

www.neutr

ino.ro

CONCURSUL NAłIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Filiera tehnologică: profilul servicii, resurse naturale şi protecŃia mediului

NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi punctată corespunzător.

BAREM DE CORECTARE CLASA a IX-a 1. a) Dacă , ,x y z reprezintă numărul de cutii de câte 6, 9, respectiv 20 bucăŃi

trebuie să avem: 6 9 20 33x y z+ + = .............................................................1p

Este necesar ca { }0,1z∈ ...............................................................................2p

Din ( ) ( ) ( ){ }0 2 3 11 , 1,3 ; 4,1z x y x y= ⇒ + = ⇒ ∈ .........................................1p

Din 1 6 9 13= ⇒ + =z x y (Fals).....................................................................1p

b) Dacă { }6 9 20 43 0,1,2x y z z+ + = ⇒ ∈ ................................................1p

Din

( )( )( )

0 6 9 43 fals

1 6 9 23 fals

2 2 3 1 fals

= ⇒ + =

= ⇒ + = = ⇒ + =

z x y

z x y

z x y

...................................................................1p

2. ( )1 2 3 10 1 10... 5S a a a a a a= + + + + = ⋅ + .....................................................1p

10

189a r

r= + ..................................................................................................1p

VARIANTA 1

36 45 9 45S r r

r r

= + = ⋅ +

.......................................................................2p

22

45 4S rr

= ⋅ − +

............................................................................1p

min 180,S = pentru 2r = ................................................................................1p

Rezultă: 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27................................................1p VARIANTA 2

4 445 45 2 180S r r

r r

= ⋅ + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =

(inegalitatea mediilor)........................1p

min 180S = pentru 2r = ................................................................................1p

Rezultă: 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27................................................1p 3. VARIANTA 1

Ridicăm la pătrat ecuaŃiile sistemului, apoi le adunăm membru cu membru şi

obŃinem: ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 1x y z xy yz zx x y z+ + − ⋅ + + + ⋅ + + = ..................3p

Avem ( ) ( ) ( )2 2 25 4 1x y z xy yz zx⋅ + + − ⋅ + + = ∗

Dar : ( )2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + ∗ ∗ ............................................................2p

www.neutr

ino.ro




Din ( )∗ şi ( )∗∗ ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 25 1 4 1 4x y z xy yz zx x y z⋅ + + = + ⋅ + + ≤ + + + ⇒

2 2 2 1x y z⇒ + + ≤ .........................................................................................2p

VARIANTA 2

2

2 / 2

2 / 4

x y a

y z b

z x c

− =

− = ⋅ − = ⋅

⇒ ( )12 4

7x a b c= − + + ..........................................................1p

( )2 / 4

12 4 2

72 / 2

x y a

y z b y a b c

z x c

− = ⋅

− = ⇒ = − ⋅ + + − = ⋅

..........................................................1p

( )2 / 2

12 / 4 2 4

72

− = ⋅

− = ⋅ ⇒ = − ⋅ + + − =

x y a

y z b z a b c

z x c

..........................................................1p

( )2 2 2 121 28

49x y z ab bc ca⇒ + + = ⋅ + ⋅ + + ............................................2p

Cum: 2 2 2 2 2 21 1ab bc ca a b c x y z+ + ≤ + + = ⇒ + + ≤ ................................2p

4.

a) ; AM b AB bc AN c AC bc= ⋅ = = ⋅ =��

......................2p

b)

= + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ =�� MD MA AD b AB b AB c AC c AC AN .......

.............................................................................................2p

( ) ( )MD AN MD AN= ⇒ ≡��

şi MD AN ,

de unde AMDN paralelogram..............................................1p

c) AMDN paralelogram şi ( ) ( )AM AN≡ ⇒ AMDN este romb..................1p

Rezultă (AD bisectoarea �BAC .......................................................................1p

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Profil real, specializarea ştiinŃele naturii

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

1. Avem că 23b a ab,= ⋅ prin urmare 10a2 + ab - 3b

2 = 0 ......................................... 3p

Rezultă că (5a + 3b)(2a - b) = 0; cum 5a + 3b ≠ 0, întrucât a, b sunt cifre şi a≠0,

obŃinem că b = 2a .................................................................................................

2p

Numere căutate sunt 12, 24, 36 şi 48 ................................................................... 2p

2. Cateta AB, opusă unghiului �C de măsură 300, este egală cu jumătate din

ipotenuză, deci AB 1

.BC 2

= Din teorema bisectoarei, obŃinem că AE BA 1

EC BC 2= =

...

4p

Astfel,

AE CD BP 1 3 21

EC DB PA 2 1 3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = şi concurenŃa dreptelor CP, AD şi BE

urmează conform reciprocei teoremei lui Ceva. ..................................................

3p

3. Notăm cu AB şi CD înălŃimile celor doi brazi şi cu I poziŃia iepurelui. Din triunghiurile

dreptunghice BAI şi CDI, obŃinem că AI = 21m, iar CI = 20 m. …………….................................. Dacă AS = x, IS = h, din triunghiurile dreptunghice SAI şi SCI găsim că x

2 + h

2 = 441,

respectiv (13 - x)2 + h

2 = 400. Scăzând membru

cu membru, deducem că 105

x m,13

= apoi 252

h 19,38m13

= ≃ ……………….....

3p

4p

4. Notăm cu x numărul numerelor 1,1 rămase şi cu y numărul numerelor 1,11

rămase; atunci 1,1 x 1,11 y 19,93,⋅ + ⋅ = adică 110x + 111y = 1993. Urmărind

ultima cifră, deducem că y se termină în 3 …………………………….......……

3p

Pe de altă parte y ≤ 20, prin urmare { }y 3,13∈ . Verificând, reŃinem doar

valoarea y = 13, când x = 5. Astfel Lucică cel obraznic a şters 15 de 1,1 şi 7 de 1,11, în total 22 de numere …...............................................................................

4p

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Filiera tehnologică : profil tehnic

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

1. a) Corespunzător raŃiei egale cu 1, 2, 3, 4 vom avea 8 + 6 + 4 + 2 = 20 progresii aritmetice ........................................................................................................ 4 p (Cate 1 punct pentru numărul de progresii corespunzător fiecărei raŃii)

b) Vom găsi progresiile (1,2,4), (2,4,8), (1,3,9) .............................................................3 p (Cate 1 punct pentru fiecare progresie găsita)

2.

a) Avem L l

Ll2

+≤ si maximul produsului se atinge când avem L = l ..................4 p

b) Utilizând inegalitatea 2 22lL l L≤ + = 24R avem atins maximul când L = l ..............3 p

3. a) Doua exemple sunt : (1, 0); (3, 2) .............................................................................4 p

b) Se verifica uşor că ( )22 2 2 2 2 2a 2b ) 2(2ab (a 2b ) 1+ − = − = ....................................... 3 p

4. Notează cu n numărul iniŃial de bârne ........................................................................... 1 p

Fie 1, 2 nt t ,..., t numărul de tăieturi ale bârnelor 1, 2, 3, ..., n .......................................... 1 p

După k tăieturi ale unei bârne se obŃin (k+1) bucăŃi .....................................................2 p

Avem 1 2 n

1 2 n

t t ... t 1510

(t 1) (t 1) ... (t 1) 2010

+ + + =

+ + + + + + = ................................................................2 p

Din 1510 n 2010 n 500+ = ⇒ = .....................................................................................1 p

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Filiera teoretică, profil umanist

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX-A

1. a) În relaŃia din enunŃ facem x 1 x 2 f (1 x) 3f (x) 2x 1→ − ⇒ − + = − + ..........................……….…..............………… 1p

Rezolvă sistemul 2 f (x) 3f (1 x) 2x 1

2 f (1 x) 3f (x) 2x 1

+ − = −

− + = − + şi obŃine f (x) 2x 1= − + …................ 2p

b) Reprezentarea grafică ……………………………………….................................... 1p

Aria triunghiului determinat de graficul funcŃiei si cele doua axe este 1

4 .…............... 1p

Valoarea tangentei este 2 ………………………………………………….................. 1p

DistanŃa de la originea axelor la reprezentarea grafică a funcŃiei f este 5

5 .............… 1p

2. a) Eliminând numitorii se obŃine α + αβ ≤ β +βα⇒α ≤β care este adevărată ........... 3p

b) Înlocuind aα = şi b cβ = + în relaŃia de la pct.a) obŃinem a b c

1 a 1 b c

+≤

+ + + .............. 1p

Demonstrează că b c b c

1 b c 1 b 1 c

+≤ +

+ + + + ...................................................................... 2p

Din cele două inegalităŃi obŃine a b c

1 a 1 b 1 c≤ +

+ + +..................................................... 1p

3. a) Discriminantul primei ecuaŃii este ( )2

1 4 m 9∆ = − ……………………….................... 1p

Discriminantul celei de-a doua ecuaŃii este ( )2

2 8 9 m∆ = − .……………..……….......... 1p

Observă că 1 20 0∆ = ⇔ ∆ = de unde m 3= ± { }A 3 ⇒ = − sau { }A 3= ± ....................... 1p

Dacă 1 2 1 20 0 sau 0 0∆ > ⇒∆ < ∆ < ⇒∆ > deci mulŃimea A are două elemente .................... 1p

b) ( )4 2009 402

S 4 9 14 ... 2009 S S 4046132

+ ⋅= + + + + ⇒ = ⇒ = ................................1p

Numerele căutate sunt 5, 15, 25, ..., 2005 adică ( )2005 - 5 :10 1 201+ = numere .......... 1p

Calculează probabilitatea 201

P2011

= ............................................................................... 1p

www.neutr

ino.ro



4.

a) Notăm x = preŃul de la primul magazin, deci la cel de-al doilea preŃul va fi 110

x100

⋅ ..1p

PreŃul la cel de-al treilea magazin va fi 90 110 99

x x100 100 100

⋅ ⋅ = ⋅ ………………………… 1p

Deci preŃul cel mai mic este la cel de-al treilea magazin ……………………………... 1p b)Volumul cubului iniŃial este 83cm3 iar a unui cub obŃinut după secŃionare este 83 : 23 = 64 ………………………………………………………………………... 1p Numărul de cuburi obŃinute după secŃionare este 83 : 23 = 64 ………………………….1p Sunt 64·6=384 feŃe din care 16·6=96 sunt vopsite, deci 288 de feŃe sunt nevopsite …. 1p

Cantitatea de vopsea necesară este de 288 160

480g96

⋅= ……………………………… 1p

www.neutr

ino.ro




BAREM DE CORECTARE CLASA a X-a

1. Fie , ,x y z numărul jetoanelor pe care sunt scrise numerele 5, 7, respectiv 11.

a) 5 7 11 13, , ,x y z x y z+ + ≠ ∀ ∈ ⇒ℕ numărul 13 nu este norocos .................2p

b) 14 2 7;15 3 5;16 1 5 1 11;17 2 5 1 7;18 1 7 1 11= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

⇒14, 15, 16, 17, 18 sunt numere norocoase .................................................2p

c)

( )( )

( )( )

14 - norocos 19 - norocos 19 1 5 2 7

15 - norocos 20 - norocos 20 4 5

16 - norocos 21 - norocos 21 2 5 1 11

17 - norocos 22 - norocos 22=3 5+1 7

18 - norocos 23 - norocos 23=1 5+1 7+1

⇒ = ⋅ + ⋅

⇒ = ⋅

⇒ = ⋅ + ⋅

⇒ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅( )11

⋅

……………………2p

Aşadar din n-norocos, deducem că şi ( )5n + este norocos şi apoi,

din aproape în aproape (inductiv), rezultă că orice număr natural 14n ≥ este norocos ……………………………………………………………..….1p

2. Primul membru al egalităŃii este ( )logA abc ..............................................1p

( ) ( ) ( )2 1 1log 2 log

2A A

ab A ab abα α

α= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ......................................1p

( ) ( ) ( )2 1 1log 2 log

2A Abc A bc bc

ββ

β= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ......................................1p

( ) ( ) ( )2 1 1log 2 log

2A Aac A ac ac

γγ

γ= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ .......................................1p

Adunând aceste egalităŃi membru cu membru, obŃinem:

( )1 1 1logA abcα β γ

+ + = .................................................................................2p

3. a) 7 2 0x x− − > . Cu 0x ≥ , notăm x t= ..........................................1p 2 2 7 0t t+ − < şi 0t ≥ implică )0,2 2 1∈ −t ..............................................1p

Din )0,2 2 1∈ −t )0,9 4 2x ⇒ ∈ − .........................................................1p

www.neutr

ino.ro




b) ) { }

0,9 4 20,1,2,3

xx

x

∈ − ⇒ ∈∈ ℤ

.............................................................2p

( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 1 3 10 log 7, 1 log 4, 2 log 5 2 2f f f

− − −= = = − ∉ℤ .....................1p

( ) ( ) ( )2

3 1 3 13 log 4 2 3 log 3 1 2f

− −= − = − = ∈ℤ ⇒

Punctul ( )3,2f

A G∈ ....................................................................................1p

4. a) Prin ridicare la pătrat inegalitatea de demonstrat este echivalentă cu:

2 2 cos 4 cos 1x x+ ≤ ⇔ ≤ (adevărat).........................................................3p

b) 2 2 2x x−+ ≤ ..............................................................................................1p

ObŃinem ( )2

2 1 0 0x x− ≤ ⇒ = ......................................................................3p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A X A

1. a) Impunem condiŃiile x 0,1 x 0, x 1 x 0≥ − ≥ − − ≠ şi x 1 x 0;+ − ≠

obŃinem că 1 1

x 0, ,12 2

∈ ∪ .....................................................................................

2 p

b) ( )

( ) ( )( )( )

x 1 x x 1 x 2 1 xE x

2x 1x 1 x x 1 x

+ − − − − −= =

−− − + − ...................................................

3p

c) Cum

1 12 1 x 0, x 0, ,1 ,

2 2 − ≥ ∀ ∈ ∪

se impune condiŃia 2x – 1 < 0.

ObŃinem soluŃia 1

x 0, .2

∈ ......………………………………………..…………….

2p

2. Observăm că lg(tg10) + lg(tg890) = lg(tg10 ⋅tg890) = lg(tg10 ⋅ctg10) = lg1 = 0 ............. 4p Grupând câte doi termenii egal depărtaŃi de capete şi procedând analog, obŃinem 44

de perechi cu suma 0. Rămâne în mijloc termenul lg(tg450) = lg1 = 0. În concluzie, S = 0 ........................................................................................................

3p

3. a) De exemplu 1 2 3

1 3 1 3z 1,z i ,z i

2 2 2 2= = + = − .....................................................

4p

b) ( )2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3w w w w w w 2w w 2w w 2w w+ + = + + + + + ⇒ ........................

1p

( )2

1 2 3 1 2 31 2 3

1 1 1w w w 2w w w

w w w

⇒ + + = + + ⇒

2

1 2 3 1 2 3 1 2 3w w w 2 w w w w w w⇒ + + = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⇒ 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3w w w 2 w w w 2 w w w w w w 2⇒ + + = + + = + + ⇒ + + =

(Am folosit 1 2 3w w w 0+ + ≠ ) ....................................................................................

2p

4. Colorăm alternativ cu alb şi negru cele şase sectoare de disc. IniŃial, trei dintre pioni sunt pe negru şi trei sunt pe alb. La o mutare, doi dintre pioni îşi schimbă culoarea sectorului pe care se află................................................................................................

3p

În urma unei mutări, rămân un număr impar de pioni pe negru şi un număr impar de pioni pe alb. Rezultă astfel că nu este posibil să adunăm toŃi cei şase pioni pe o aceeaşi culoare. ..............................................................................................................

4p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A X A 1. a) ObŃine 3a b log 81 4+ = = .......................................................................................... 4 p

b) Deoarece 3 3100 4; 19 3> < rezulta a 0> ............................................................... 1 p

Utilizam inegalitatea mediilor a b

ab 2 a b 42

+≤ = ⇔ ⋅ ≤ .......................................... 2 p

2. a) Pentru a = 1; b = 1 rezulta w∈H .............................................................................. 3 p

b) Pentru 1 1 1z a b= + ε ; 2 2 2z a b= + ε obŃinem

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2z z (a a b b ) (a b a b b b ) ℤ= − + + − ε∈ ............................................................. 2 p

c) ObŃine 2 2| a b | a ab b 1+ ε = − + = ............................................................................ 1 p

Apoi 2 2(2a b) 3b 4− + = care implica b { 1,0,1}∈ − ...................................................... 1 p.

3.

a) Aduce ecuaŃia la forma 2x 1 2 2x+ = + ................................................................. 2 p

Finalizare x = 1 ............................................................................................................. 1 p

b) Dacă 3

x [0, ) ,2 ]2 2

π π∈ ∪ π

ecuaŃia este

3sin x

2=

Daca 3

x ,2 2

π π ∈

ecuaŃia este 3

sin x2

= − ............................................................... 1 p

4 2 5x , , ,

3 3 3 3

π π π π ∈

..................................................................................................... 1 p

c) ObŃine n n 2

xf : ;f (x)

1 nxℝ ℝ→ =

+ ........................................................................ 1 p

Demonstrează prin inducŃie formula ............................................................................. 1 p

4. a) ObŃine d6 = 9 ............................................................................................................ 3 p b) Adăugând un vârf între doua vârfuri ale unui poligon convex cu n laturi vom putea avea in plus, faŃa de dn, 1 + (n - 2) diagonale ................................ 2 p

c) Prin inducŃie demonstrează formula ......................................................................... 2 p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A X-A

1.

a) Din inegalitatea mediilor 2 a b ab a b

1 1 2 a b 4a b

+ +≤ ⇒ ≤

++ ......................................... 1p

b) Din punctul a) avem ab a b

a b 4

+≤

+ şi analog

bc b c ca c a,

b c 4 c a 4

+ +≤ ≤

+ + …………. 1p

Adunând relaŃiile obtinem ab bc ca a b c

a b b c c a 2

+ ++ + ≤

+ + + ...……………………….. 1p

Egalitatea are loc dacă a = b = c ……………………………………………………… 1p c) Notează x x x2 a,3 b,5 c= = = ………………………………………………..….......... 1p

ObŃinem ab bc ca a b c

a b b c c a 2

+ ++ + =

+ + + …………….………………………………. 1p

Folosind a) obŃinem a = b = c, deci x x x2 3 5 x 0= = ⇒ = ……………………………….. 1p 2.

a) Notăm ( )22log m a f (x) ax 1 2a x 1 2a= ⇒ = − + + + .............................................. 1p

ObŃinem condiŃiile

2 1 1a ,- ,0 1 4a 0 1

a ,2 2a 0 2a 0

a 0

∈ −∞ ∪ +∞∆ ≤ − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ +∞ > > >

.............................. 2p

Din )2

1 1a , log m , m 2,

2 2 ∈ +∞ ⇒ ∈ +∞ ⇒ ∈ +∞

………...……………………… 1p

b) Punem condiŃiile x, y > 0 şi notează x y a, y x b= = ............................................ 1p

Sistemul devine 2

2 2 2

a - b 30 x y 50a 50 x y 2500 x 25

b 20 y 4a b 2900 y x 400y x 20

= == = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= =+ = = = ........................ 2p

www.neutr

ino.ro



3. a)Etapa verificării .......................................................................................................... 1p Etapa demonstraŃiei ( ) ( )P k P k 1⇒ + ........................................................................... 2p

b) 2 2 2 2 2 2S 1 2 4 5 7 ... 44= + + + + + + ............................................................................... 1p

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2S 1 2 3 4 5 6 7 ... 44 3 6 9 ... 42= + + + + + + + + − + + + + ......................... 1p

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2S 1 2 3 4 5 6 7 ... 44 3 1 2 3 ... 7 S 28110= + + + + + + + + − + + + + ⇒ = ... 2p

4. a) Se observă ca diametrele pieselor sunt dimensiunile unui triunghi dreptunghic .….. 1p Prin urmare, greutatea piesei mai mari este echivalentă cu suma greutăŃilor celorlalte două piese ....................................................................................................................... 1p Bijutierul taie fiecare piesă în jumătate, formează câte o jumatate din cercul mic cu o jumătate din cercul mijlociu, iar jumătăŃile cercului mare formează celelalte două părŃi ........................................................................................................................ 1p b) Începând cu al doilea pătrat se formează o progresie aritmetică cu raŃia 8 (plăci) .... 2p Pentru cel de-al 11-lea pătrat Remus are nevoie de ( )11 1 8 80− ⋅ = plăci ...................... 1p

Doru a pus 8 1 8 3 8 5 ... 8 19 800⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = plăci ......................................................... 1p

www.neutr

ino.ro




BAREM DE CORECTARE CLASA a XI-a

1. Fie ( )2

a bA M

c d

= ∈

ℝ

( ) ( )2det 3 3 9− = − − + +A I ad bc a d ...........................................................1p

( ) ( )2det 2 2 4A I ad bc a d+ = − + + + ...........................................................1p

ObŃinem ( )( )

3 5

2 5

− − + =−

− + + =

ad bc a d

ad bc a d

2

1

a d

ad bc

+ =⇒

− =..........................................2p

22

2

a bc ab bdA

ac cd bc d

+ +=

+ + ..............................................................................1p

( )( )( )

( )

2 2

2 2

1 1 2 1

2

2

1 1 2 1

a bc a ad a a d a

ab bd b a d b

ac cd c a d c

bc d ad d d a d d

+ = + − = + − = −

+ = + =

+ = + = + = + − = + − = −

..............................................1p

22

2 1 2 1 02 2

2 2 1 0 1

a b a bA A I

c d c d

− = = − = − −

...................................1p

2. Determinantul are 2n elemente, dintre care ( )2 2n n− + egale cu α şi cel

mult ( )2n − elemente diferite de α ..............................................................3p

Există două linii(coloane) pe care toate elementele sunt egale cu α ...........2p În caz contrar ar exista cel puŃin ( )1n − linii(coloane) cu măcar un element

diferit de α şi deci cel puŃin ( )1n − elemente diferite de α (fals) ..............2p

3.

a) ( ) 10

1 10 0 lim

22 2

xx

f − = = −−

ր......................................................................1p

( ) 10

10 0 lim 0

2 2x

x

f + = =−

ց............................................................................1p

www.neutr

ino.ro




( ) 11

11 0 lim

2 2x

x

f − = = ∞−

ր ...........................................................................1p

( ) 11

11 0 lim

2 2x

x

f + = = −∞−

ց...........................................................................1p

b) lim 0 0x x

xe e− −

→∞ = ⇒ = , pentru x suficient de mare 1 0l⇒ = .................1p

1x x xe e e − < ≤ ............................................................................................1p

Rezultă: 1 1x x xe e e− − < ≤ , de unde, trecând la limită şi Ńinând cont de

teorema “cleştelui”, obŃinem 2 1l⇒ = .........................................................1p 4. Reducere la absurd ...................................,,,.............................................1p Pentru x suficient de mare avem:

( )( )

2

2

1P x x

x Q x x

+=

⋅......................................................................................1p

2 1lim 1x

x

x→∞

+= ...............................................................................................1p

ObŃinem: ( )( )2

lim 1x

P x

x Q x→∞=

⋅...........................................................................1p

Deducem : grad 2 grad P Q= + şi 0 0a b= ....................................................1p

Rezultă : ( )( )2

lim 1x

P x

x Q x→−∞=

⋅..........................................................................1p

Cum 2 1

lim 1x

x

x→−∞

+= − , se obŃine contradicŃie..............................................1p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A XI A

1. a) Dacă detA≠0, atunci A este inversabilă în M2(ℚ). Presupunând că f(X1) =

f(X2), unde X1, X2 ∈ M2,1(ℤ), rezultă că AX1= AX2, de unde A-1

AX1= A-1

AX2,

deci X1 = X2, ceea ce justifică injectivitatea funcŃiei f ........................................

4p

b) Când det A ∈{-1, 1}, inversa A-1

a matricei A are tot elemente întregi.

Pentru orice Y∈M2,1(ℤ), ecuaŃia f(X) = Y are unica soluŃie X = A-1

Y ∈M2,1(ℤ),

prin urmare f este bijectivă. ...............................................................................

3p

2. a) ( ) ( )( ) ( )t t

t t t t t tB A A A A A A A A B− = − − = − − = − − = − = .......................

3p

b) Cum det B = det Bt , avem că det B = det (-B

t) = (-1)

3 det B

t = - det B.

Rezultă că 2detB = 0, deci det B = 0 ......................................................................................

4p

3. Observăm că n 1

n i n 1i 1

1 1 1S 1

4 3 4

+

+=

= = −

∑ , prin urmare n

n

1limS

3→∞= ..........................

4p

Apoi, ( ) ( )

n

n i ni 0

1 1P 1 2 1 2 2

2 2=

= + ⋅ = + −

∑ şi atunci n

nlim P 2 2 2→∞

= + ........

3p

4. a) Avem că

( ) ( )n 1 n

n n 1 n 11 n 1 na a

2 2n 1 2 n 1−

+ − −+− = − + =

+ +. Cum

n(n+1) > (n-1)2, *n ,∀ ∈ℕ rezultă că *

n 1 na a 0, n+ − > ∀ ∈ℕ , deci şirul

( ) *n na

∈ℕeste strict crescător ..................................................................................

3p

b) Observăm că n

1 n na n .

2 2n> ⋅ − = Considerând, de exemplu, n = 4020

2,

obŃinem că 24020

4020a 2010

2> = .........................................................................

2p

c) Cum n

na ,

2> rezultă că n

nlima→∞

= +∞ , prin urmare şirul dat este divergent.... 2p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A XI A 1. a) det(A) = 0 deci matricea A nu este inversabilă ........................................................ 2 p b) Răspunsul este afirmativ, transpusa obŃinându-se in urma operaŃiilor de adunare

de 4 ori asupra liniei 1 si de doua ori asupra liniei 2. urmate de operaŃiile de scădere de 4 ori asupra coloanei 1 si de 2 ori asupra coloanei 2 ............................................... 5 p (se pot acorda puncte intermediare pentru operaŃii corect efectuate)

2.

a)1

A | | 12

= ∆ = ............................................................................................................... 3 p

b) Calculează

2

2

2

n n 3 1

n 1 (n 1) 3 1 2

n 2 (n 2) 3 1

+

∆ = + + + =

+ + +

iar aria va fie gala cu 1

independenta de n ......................................................................................................... 4 p

3.

a) Calculează x 0 x 0

sin x sin x( 1 x 1)lim lim 2

x1 x 1→ →

+ += =

+ −

............................................. 3 p

b) Calculează x 0

sin x sin 2x ... sin 2010xlim ... 2 4 6 ... 4020

1 x 1→

+ + += = + + + +

+ −

=

= 2010 ⋅2011 ................................................................................................................. 4 p

4.

a) Aduce limita la forma

2

2

2

|m|2 cos x 1 x

21 x

|m|cos x 1 x2

2

x 0

| m |lim 1 cos x 1 x

2

− − ⋅

− − ⋅

→

+ − − ⋅

...... 2 p

Finalizare :1 |m|

1L(m) , m

eℝ

+= ∀ ∈ ................................................................................ 2 p

b) Utilizând 1 2 1 2| m | | m | | m m |+ ≥ + obŃinem

1 2 1 21 2 1 2 1 21 |m | |m | 1 |m m |

1 1 1 1 1L(m ) L(m ) L(m m ) m ,m

e e e e eℝ

+ + + +⋅ = ≤ ⋅ = ⋅ + ∀ ∈ ....................... 3 p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE A XI-A

1. Fie T=totalul elevilor, A=mulŃimea participanŃilor la cercul de matematică

şi B= mulŃimea participanŃilor la cercul de informatică.

7 9| A | 70%T T, | B | 45%T T

10 20= = = = .........................................................................2p

| A B | | A | | B | | A B |∪ = + − ∩ .........................................................................................1p

7 9 23 3T T T 42 T T 42 T 42

10 20 20 20= + − ⇔ = − ⇔ = .................................................3p

Finalizare T 280 elevi= .................................................................................................1p

2. a) Calculează media clasei a X-a A:

1

5 2 6 5 7 5 8 5 9 5 10 2m 7,50

2 5 5 5 5 2

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + + + ...................................................1,5p

Calculează media clasei a X-a B:

2

4 1 5 2 6 4 7 2 8 7 9 8 10 6m 8

1 2 4 2 7 8 6

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + + + +.....................................................1,5p

Deci clasa a X-a B este mai bună.

b) Calculăm dispersiile celor două serii.

Clasa a X-a A:

Nota 5 6 7 8 9 10

Abaterea i 1| x m |− 2,50 1,50 0,50 0,50 1,50 2,50

Dispersia:

( )n

2

i 1 i2 i 1

1 n

i

i 1

x m p

p

=

=

− ⋅

σ = =∑

∑

6,25 2 2,25 5 0,25 5 0,25 5 2,25 5 6,25 22,08

2 5 5 5 5 2

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + + + .................................2p.

Clasa a X-a B:

Nota 4 5 6 7 8 9 10

Abaterea 2| |ix m− 4 3 2 1 0 1 2

Dispersia:

www.neutr

ino.ro



( )n

2

i 1 i2 i 1

1 n

i

i 1

x m p

p

=

=

− ⋅

σ = =∑

∑

16 1 9 2 4 4 1 2 0 7 1 8 4 62,8

1 2 4 2 7 8 6

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ + + + + +.............................................................2p

Prin urmare clasa a X-a A este mai omogenă.

3. a) Nr. Noduri=10, Nr.circuite elementare=6, Nr. muchii=15 ...................................3p

b) Presupunem prin reducere la absurd contrariul. Atunci Nr. Noduri=5,

Nr. Muchii= 2

5C 10= , deci înlocuind în formula de mai sus obŃinem Nr. Circuite

elementare=6. ...............................................................................................................2p Fie A,B,C,D patru dintre cele cinci vârfuri ale grafului. Dacă al cincilea vârf E

se află în exteriorul tetraedrului ABCD obŃinem 10 circuite elementare.

La fel dacă E se află în exteriorul tetraedrului ABCD. Dacă E se află pe o faŃă

a tetraedrului obŃinem 9 circuite elementare.

Deci presupunerea făcută este falsă.............................................................................. 2p

4. Media s-a obŃinut împărŃind suma notelor la 50.

Deci suma notelor obŃinute este N 50 5,02 251= ⋅ = .....................................................4p

Adăugând câte un punct pentru fiecare lucrare suma notelor devine 251 + 50 = 301...2p

Deci media corectă este 301 : 50 = 6,02 .......................................................................1p

www.neutr

ino.ro




BAREM DE CORECTARE CLASA a XII-a

1. a) Dem. asociativitatea şi comutativitatea ....................................................1p Determină elementul neutru 0e G= ∈ ..........................................................1p

Determină elementul simetric elementului x G∈ este 1

xx G

x′ = − ∈

+........1p

b) ( )

... 1 1, n

n ori

x x x x x n∗∗ ∗ ∗ ∗ = + − ∈ℕ�� ........................................................1p

( )1 2 2 1+ = ⇒ = − ∈n nx x G .......................................................................1p

c) ( )( ) ( )2

2

2

11 1 1 1

1

x aH x y x y ab H

y b

= −∈ ⇒ ∗ = + + − = − ∈

= −......................1p

Dacă 22

22

1 11 1

1

x ax a H x H

x a a

− ′= − ∈ ⇒ = − = = − ∈ + ...........................1p

2. a) 2

1 1t dt duu u

= ⇒ = − şi verifică egalitatea ...........................................2p

b) Din a) 1

1

1arctg arctg x

xt t⇒ = ⇒

1arctg arctg , 0

2x x

x

π+ = > ..................2p

c) ( )1

1arctg

1

ta

a

tx I a dtt

= ⇒ = −∫ ................................................................1p

( ) 1

1arctg

2

a

a

I a t dtt

π = ⋅ − ∫ ..........................................................................1p

( ) ( ) ( )1ln ln2 2

a

a

I a t I a I a aπ π

= − ⇒ = ..........................................................1p

3. a) ( ) ( )3 2 24 6 8 3 : 1x x x x x− + − − + dă câtul ( )4 2x − şi restul ( )2 1x − .

Aşadar: ( )( ) ( )3 2 24 6 8 3 2 2 1 1 2 1x x x x x x x− + − = − − + + − .......................1p

( ) ( )2 2

2 30 02 2

2 1 2 12

1 1

x xI dx dx

x x x x

− −= ⋅ +

− + − +∫ ∫ .................................................1p

www.neutr

ino.ro




( )

22

1 2 20 20

2 1 1 2

1 31

xI dx

x xx x

−= = − =

− +− +∫ .....................................................1p

( ) ( )

2

2

2 3 20 2

0

2 1 1 4

92 11

xI dx

x xx x

−= = − =

− +− +∫

1 2

16

9I I I= + = ..............................................................................................1p

b) ( )1 11x xx xI x x e dx x e dx

x

+ + ′= ⋅ + − ⋅ ∫ ∫ ......................................................1p

( )1 1 1

2

1 11

+ + + = − ⋅ − + − ∫ ∫

x x xx x xI x xe dx x e dx x e dx

x x.................................1p

( )1

xxI x xe C

+= + ...........................................................................................1p

VARIANTĂ (pentru punctul b) 1 11 1

1 1x xx xx e x x e

x x

+ + ′ + − = + +

..........................................................1p

Expresia de mai sus este 1

xxx e

+′

⋅

..............................................................1p

Deci ( )1

xxI x xe C

+= + ..................................................................................1p.

4. Elevul poate colora toate punctele de coordonate întregi situate pe dreptele de ecuaŃii: 0, 1, 0, 1= = = =x x y y .................................................................3p

Considerând punctele ( ),0kM k şi ( ),1 , kN k k∈ℤ elevul poate colora toate

punctele de ordonată întreagă de pe dreptele de ecuaŃii , x k k= ∈ℤ ...........4p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A XII A 1.

a) ( ) 2 2

1 1 1 x 1F' x 1 ln 1 1

x x x x 1 x

= − − + + + − − = +

( ) ( )2 2 2

1 1 1 1ln 1 f x , x 0,

x x x x = − + + + = ∀ ∈ ∞

..................................................

4p

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

e e e

11 1

F x1f x F x dx 2F x F' x dx

2 2|= ⋅ = =∫ ∫

( ) ( )( ) ( )2

2 2

2

e 12 ln 1 e 2 1 ln 2

2e

+= − + − − .................................................................

3p

2. a) Verificarea axiomelor ....................................................................................... 4p b) Pentru orice element nenul x al lui 2 2×ℤ ℤ , avem că ( )x x 0,0+ = ɵ ɵ , în timp

ce doar unul dintre elementele nenule ale lui ℤ4 are această proprietate (anume ɵ2 ). Rezultă că cele două grupuri nu sunt izomorfe ..............................................

3p 3. ( ) ( )A,E,C : ,+ℝ ................................................................................................... 1p

( ) ( )nA,E,C : S ,⋅ .................................................................................................... 1p

( ) ( )A,E,C : ,* ,ℤ unde x*y = 5xy + 5x +5y + 4 .................................................... 1p

( )A,E,C :( M2 (ℝ),*), unde A * B = AB + BA .................................................... 1p

( ) ( )*A,E,C : ,* ,+ℝ unde x y

x * y2

+= ..................................................................

1p

( ) ( )A,E,C : M,* , unde M = {a, b, c, d}, iar tabla operaŃiei „*” este

* a b c d a a b c d b b d d d c c c c c d d b b b ...............

1p

( ) ( )A,E,C : M,* , unde M este mulŃimea cuvintelor cu opt litere alese dintr-un

alfabet cu n litere, iar pentru x = a1a2a3a4a5a6a7a8 şi y = b1b2b3b4b5b6b7b8, definim x * y = a1a2a3a4a5b6b7b8 ........................................................................................ Orice altă rezolvare se punctează corespunzător.

1p

www.neutr

ino.ro



4.

Cu schimbarea de variabilă x = t2 , obŃinem că

( ) ( )

9 3

21 1

ln x 2ln tdx 2tdt

t t 3x x 3=

⋅ ++∫ ∫3

21

ln t4 dt

t 3= ⋅

+∫ ............................................

3p

Făcând schimbările de variabilă

1t

s= şi apoi 3s = y, avem că

3

21

ln tI dt

t 3=

+∫1 3 3

1 2 2 21 13

ln s ln y ln3 1ds dy I ln3 dy

3s 1 y 3 y 3

−= − = − = − +

+ + +∫ ∫ ∫ ,

prin urmare 3

1

ln3 y ln3 1 ln32I arctg arctg 3 arctg .

3 3 3 3 6 3| π

= = − =

În concluzie, valoarea integralei din enunŃ este ln3

3 3

π .........................................

4p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A XII A

1. a) Verificare ................................................................................................................. 3 p

b) ObŃine 3 1

x ln(x 2) ln(x 2) C4 4

+ − + + + ................................................................... 4 p

2. a) Din condiŃia s df (1) l l= = obŃine a = 1 ...................................................................... 3 p

b) ObŃine primitivele de forma F(x) =

2

1

3 2

2

x3x C ,x 1

2

x x2x C ;x 1

3 2

+ + <

+ + + ≥

................................ 3 p

ObŃine 2 1

2C C

3= + .................................................................................................... 1 p

3. a)Exemplu (G, )⋅ unde 2 3 4G {e,a,a ,a ,a }= cu 5a e= .................................................. 2 p

Verificarea axiomelor ............................................................................................... 2 p

b) y G \{e}∈ implica 2 3 4 5y, y , y , y , y sunt distincte ................................................... 2 p

G-parte stabila implica 2 3 4 5y, y , y , y , y G∈ deci { }2 3 4 5G y, y , y , y , y= ........... 1 p

4.

a) ObŃine 2

0 1 0

A 0 0 1

1 0 0

=

................................................................................... 2 p

ObŃine 3

3A I= ........................................................................................................... 1 p 7 3 2A (A ) A A= = ........................................................................................................ 1 p

b) 2

3G {I ,A,A }= ......................................................................................................... 1 p

verifica axiomele grupului (cate 0.5 puncte pentru fiecare axioma) .......................... 2 p

www.neutr

ino.ro



BAREM DE CORECTARE CLASA A XII-A 1. a) Graful asociat matricei este

.............................................................................3p b) Calculăm puterile matricei A şi avem:

2

1 0 1 0

2 0 1 2A

1 0 1 1

1 0 0 2

=

, respectiv 3

1 0 0 2

3 0 2 3A

2 0 1 2

2 0 2 1

=

.....................................................3p

Aşadar avem 21 drumuri de lungime trei........................................................................1p

2. a)

1 1

t

2 2

3 3

a b

A a b

a b

=

şi

2 2 2

1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3

a a a a b a b a bB

a b a b a b b b b

+ + + +=

+ + + + .............................2p

14 28B

28 56

=

.................................................................................................................1p

b) ( ) ( )( ) ( )22 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3det B a a a b b b a b a b a b= + + + + − + + =

( ) ( ) ( )2 22

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2a b a b a b a b a b a b 0= − + − + − ≥ (Lagrange) ................................. 4p

3. a) ( ) 2a,15 ideala a 675 1 a 26⇒ − = ⇒ = ± ..................................................................3p

b) Pentru (a, b), (c, d) ideale avem ac + 3bd, ab + bc ∈ℤ ................................……….1p

şi ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2ac 3bd 3 ad bc a 3b c 3d 1+ − + = − − = , deci ( ) ( )a,b c,d∗ , ideală ........3p

4. Fie ( )( )a b ab 2a 2b 6 a 2 b 2 2∗ = − − + = − − + .......................................................... 2p

Legea " "∗ este asociativă şi comutativă ......................................................................... 2p a 2 2, a ℝ∗ = ∀ ∈ ............................................................................................................. 2p Dup 99 de paşi avem 1 2 ... 100 2∗ ∗ ∗ = .......................................................................... 1p

concursul nałional de matematicĂ …... concursul nałional de matematicĂ aplicatĂ "adolf...

Documents