smmate.files.wordpress.comconcursul județean de matematică „ioan chindriș” ediția i –...

ȘCOALA GIMNAZIALĂ INSPECTORATUL

„GRIGORE MOISIL” ŞCOLAR

SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Concursul Județean de Matematică „Ioan Chindriș”

Ediția I – 2018, Satu Mare

Clasa a III-a

1. a) Calculează a + b +c, dacă :

152 - 9 x a = 8 x b = 40 x c = 80

b) Află cinci valori pentru a și b, știind că :

a : 3 = b : 6

2. Maria are 8 ani. Mama ei are vârsta de 4 ori mai mare. Tatăl are cu 4 ani mai puţin decât mama şi

fiica la un loc. Peste câţi ani vor avea împreună un secol (100 de ani)?

3. a) Un elev își propune să citească o carte în 10 zile. Citind însă, cu 4 pagini mai multe pe zi, el

termină cartea în 6 zile. Câte pagini are cartea ?

b) Pentru o sală de gimnastică s-au cumpărat corzi, panglici și mingi. Știind că 26 nu sunt panglici,

33 nu sunt corzi, iar 21 nu sunt mingi, află numărul obiectelor din fiecare fel.

4. Ionică, Ana şi Irina au confecţionat steguleţe tricolore. Ana are de 4 ori mai multe decât Ionică şi

încă 5 steguleţe. Irina a confecţionat de 6 ori mai multe decât Ionică şi încă 3 steguleţe. Dacă scad din

steguleţele Irinei pe cele ale Anei, obţin 14. Câte steguleţe a confecţionat fiecare copil?

NOTĂ:

Toate subiectele sunt obligatorii.

Fiecare problemă rezolvată corect este notată cu 7 puncte.

Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

http://www.satmar.ro/

http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a III-a - Barem de notare

Nr.crt. Soluţii Punctaje

1.

a) Calculează a + b +c, dacă :

152 - 9 x a = 8 x b = 40 x c = 80

152 – 9 X a = 80 8 X b = 80 40 X c = 80

9 x a = 152 – 80 b = 80 : 8 c = 80 : 40

9 X a = 72 b = 10 c = 2

a = 72 : 9

a = 8

a + b + c = 8 + 10 +2

= 20

R: 20

b) Află cinci valori pentru a și b, știind că :

a : 3 = b : 6

Din a : 3 = b : 6 , se observă că b este dublul lui a

Dacă a = 3, b = 6 ( 3 : 3 = 6 : 6 )

a = 6, b =12 ( 6 : 3 = 12 : 6 )

a = 9, b = 18 ( 9 : 3 = 18 : 6 )

a =12, b = 24 ( 12 : 3 = 24 : 6 )

a = 15, b= 30 (15 : 3 = 30 : 6 ) , ...............................

1,5p

0,75p

0,75p

1p

5 x 0,6p=3p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


2. Maria are 8 ani. Mama ei are vârsta de 4 ori mai mare. Tatăl are cu 4 ani

mai puţin decât mama şi fiica la un loc. Peste câţi ani vor avea împreună

un secol (100 de ani)?

Maria 8 ani

mama 8 x 4 = 32 ani

tata (8 + 32) – 4 = 40 – 4 = 36 ani

Câți ani au împreună ?

8 + 32 + 36 = 76

Peste câți ani vor avea împreună un secol ?

(100 – 76) : 3 = 24 : 3 = 8

R : 8 ani

1p

2p

2p

2p

3. a)Un elev își propune să citească o carte în 10 zile. Citind însă, cu 4

pagini mai multe pe zi, el termină cartea în 6 zile. Câte pagini are cartea ?

Notăm cu a nr de zile în care citește.

a X 10 = (a + 4 ) X 6

10a – 6a = 24

a = 24 : 4

a = 6

Aflăm nr de pagini al cărții : 6 X 10 = 60

b) Pentru o sală de gimnastică s-au cumpărat corzi, panglici și mingi.

Știind că 26 nu sunt panglici, 33 nu sunt corzi, iar 21 nu sunt mingi, află

numărul obiectelor din fiecare fel.

corzi + mingi = 26

panglici + mingi = 33

panglici + corzi = 21

Găsim suma celor trei relații : ( 26 + 33 + 21) : 2 = 80: 2= 40

Panglici: 40 – 26 = 14

Corzi: 40 – 33 = 7

Mingi: 40 – 21= 19

R: 14 panglici; 7 corzi; 19 mingi

3p

0,5p

2p

3x0,5p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


4. Ionică, Ana şi Irina au confecţionat steguleţe tricolore. Ana are de 4 ori

mai multe decât Ionică şi încă 5 steguleţe. Irina a confecţionat de 6 ori

mai multe decât Ionică şi încă 3 steguleţe. Dacă scad din steguleţele Irinei

pe cele ale Anei, obţin 14. Câte steguleţe a confecţionat fiecare copil?

A = 4 x Io + 5

Ir = 6 x Io + 3

Ir – A = 14

( 6 x Io + 3 ) – (4 x Io + 5) = 14

6 x Io + 3 – 4 x Io – 5 = 14

2 x Io = 14 + 2 = 16

Io = 8 stegulete

Ir = 6 x 8 + 3 = 48 + 3 = 51

A = 4 x 8 + 5 = 32 + 5= 37

Rezolvare aritmetică

Io

A 5

Ir 5 3

14

Cât reprezintă 2 părți egale ?

5 + 14 – 3 = 16

Câte stegulețe a confecționat Ionică?

16 : 2 = 8 (stegulețe)

Câte stegulețe a confecționat Ana?

4 x 8 + 5 = 37 (stegulețe)

Dar Irina?

6 x 8 + 3 = 48 + 3 = 51 (stegulețe)

R : Ionică: 8 stegulețe

Ana: 37 stegulețe

Irina: 51 stegulețe

2p

5p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a IV-a

1.a) Aflați „a” din egalitatea :

1918 + 50 x [ 30 – 2 x (2 x a + 5 x a)] = 2018

b) Scrieți a 2018-a literă din șirul:

NUMĂRNUMĂRNUMĂR .........

c) Ștefan inventează operația „ “ .

El calculează 3 2 = 9 , 4 5 = 24, 71 = 14 și 8 3 = 32.

Acum calculează tu: 10 10=?

2. Un număr natural de forma _____

abc se numește ,,sătmărean” dacă cifra unităților este egală cu suma

dintre cifra sutelor și cifra zecilor.

a) Scrie patru numere ,,sătmărene”.

b) Câte numere ,,sătmărene” au cifra unităților 5?

c) Câte numere ,,sătmărene” au cifra zecilor 6?

3. Pentru festivitățile organizate cu ocazie sărbătoririi Centenarului, clasele întâi, a doua , a treia și a

patra de la o școală, au confecționat 1918 stegulețe. Aflați câte stegulețe au confecționat elevii fiecărei

clase, știind că cei de clasa a II-a au confecționat jumătate din numărul stegulețelor confecționate de cei

de clasa a III-a, adică o treime din numărul stegulețelor confecționate de elevii claselor a patra, dar cu

182 mai multe decât cei de clasa I.

4. Suntem în anul 2018. Adunând anii de naștere a trei frați obținem 6034. Suma vârstelor celor doi

frați mai mici este egală cu vârsta celui mai mare. Aflați vârsta actuală a celui mai mare dintre frați.

NOTĂ:





http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a IV-a - Barem de notare

Nr.crt. Soluţii Punctaje

1.

a) Aflați „a” din egalitatea :

1918 + 50 x [ 30 – 2 x (2 x a + 5 x a)] = 2018

1 50 x [ 30 – 2 x (2 x a + 5 x a)] = 2018 – 1918 (= 100)

2 30 – 2 x (2 x a + 5 x a) = 100 : 50 (= 2)

3 2 x (2 x a + 5 x a) = 30 – 2 (= 28)

4 2 x a + 5 x a = 28 : 2 (= 14)

2 x a + 5 x a = 14

7 x a = 14

a = 2

R: a = 2

b) Scrieți a 2018-a literă din șirul

NUMĂRNUMĂRNUMĂR.........

cuvântul NUMĂR are 5 litere.

Calculăm de câte ori putem scrie cuvântul NUMĂR

2018 : 5 = 403 rest 3, așadar sunt 403 grupe complete de 5

litere, plus încă trei litere din cuvântul NUMĂR, adică literele

NUM. Deci a 2018-a literă este M

R: M

c) Ștefan inventează operația „ “ .

El calculează 3 2 = 9 , 4 5 = 24, 71 = 14 și 8 3 = 32.

Acum calculează tu: 10 10=?

Soluție:

Descoperă regula a b = a× b + a

Verifică 32= 3 x 2 + 3= 9

45= 4 x 5 + 4= 24

71= 7 x 1 + 7= 14

83= 8 x 3 + 8=32

Calculează: 10 10 = 10× 10 + 10 =100 + 10 =110

3p

2p

2p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


2. Un număr natural de forma

_____

abc se numește ,,sătmărean” dacă cifra

unităților este egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor.

a) Scrie patru numere ,,sătmărene”.

b) Câte numere ,,sătmărene” au cifra unităților 5?

c) Câte numere ,,sătmărene” au cifra zecilor 6?

a) De exemplu: 134, 257, 426 sau 189

b) a + b = 5, a≠ 0.

Cum cifra a poate lua 5 valori, vom avea 5 numere: 145, 415, 235,

325, 505

c) a + 6 = c, a≠ 0.

Cifra c poate lua valorile 7, 8 sau 9, deci vom avea 3 numere: 167,

268, 369

2p

3p

2p

3. Pentru festivitățile organizate cu ocazie sărbătoririi Centenarului,

clasele întâi, a doua , a treia și a patra de la o școală, au confecționat

1918 stegulețe.

Aflați câte stegulețe au confecționat elevii fiecărei clase, știind că cei

de clasa a II-a au confecționat jumătate din numărul stegulețelor

confecționate de cei de clasa a III-a, adică o treime din numărul

stegulețelor confecționate de elevii claselor a patra, dar cu 182 mai

multe decât cei de clasa I.

I + II + III + IV = 1918

II = III : 2 = IV : 3 ⇒ III = 2II; IV = 3II

II = I + 182, I = II - 182

II-182 +II + 2II + 3II = 1918

7II = 1918 + 182; 7 II = 2100

II = 2100 : 7

II = 300

III = 2 x 300 III = 600

IV = 3 x 300; IV = 900

I = 300 – 182; I = 118

sau

Rezolvare aritmetică

I ...182

II

III 1918

IV

2p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


1.Cât reprezintă 7 părți egale?

1918+ 182 = 2100

2.Câte STEGULEȚE a realizat clasa a II-a ?

2100: 7 = 300

3.Câte stegulețe a realizat clasa a III-a ?

300x2 = 600

4.Dar clasa a IV-a ?

300x 3 = 900

5.Dar clasa I ?

300- 182 = 118

R: I: 118

a II-a 300

a III-a 600

a IV-a 900

TOTAL:1918

5p

4. Suntem în anul 2018. Adunând anii de naștere a trei frați obținem

6034. Suma vârstelor celor doi frați mai mici este egală cu vârsta celui

mai mare. Aflați vârsta actuală a celui mai mare dintre frați.

2018 – a = anul nașterii fratelui mai mare

2018 – b = anul nașterii fratelui mijlociu

2018 – c = anul nasterii fratelui mai mic

2018 - a + 2018 – b + 2018 –c = 6034

a + b + c = 3 x 2018 - 6034

a + b + c = 20

Știm că suma vârstelor celor doi frați mai mici este egală cu vârsta

celui mai mare, așadar, a = b + c ; a + a = 20 ; a = 10

R : 10 ani are fratele mai mare

1p

1p

1p

1p

1p

1p

1p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1. Compară numerele BA și AB unde:

9 26 4

3 2 2 0 2018 201825 : 4 3 2018 0 1A și

2018

7 2 2 32 11 91 5 22 5 40 41 39 3 2B

.

prof. Iliescu Șarolta

2. Un pătrat cu n linii și n coloane se numește „pătrat magic” dacă suma elementelor de pe fiecare

linie, coloană și diagonală este aceeași.

De exemplu, este un „pătrat magic” cu 3 linii și 3 coloane.

a) Știind că pătratul: este „pătrat magic”, determină valorile lui a, b, c, d și e.

b) Un pătrat cu n linii și n coloane se numește „pătrat multimagic” dacă produsul elementelor de pe

fiecare linie, coloană și diagonală este același. Dați exemplu de un „pătrat multimagic” cu 3 linii și 3

coloane.

prof.dr. Braica Petru

3. Se știe că ! 1 2 3 ...n n , citim „n factorial”, n - număr natural nenul.

a) Fie numărul natural 2017! 2018!2017 2018N . Poate fi numărul N pătrat perfect? Justificați!

b) Calculați valoarea maximă a sumei x y z t u v , unde ! 2 3 5 7 11 13x y z t u vn .

prof. Mondici Claudiu

4. Dragoș numără pe degetele de la o mână astfel: 1 - degetul mare, 2 - arătătorul, 3 - mijlociul,

4 - inelarul, 5 - degetul mic, 6 - inelarul, 7 - mijlociul, 8 - arătătorul, 9 - degetul mare, 10 - arătătorul, și

așa mai departe.

a) Scrieți primele 10 numere corespunzătare degetului mare.

b) Poate fi numărul 42 numărat pe degetul mijlociu?

c) Cărui deget îi corespunde numărul 2018? Justificați răspunsul!


NOTĂ:




2 7 6

9 5 1

4 3 8

a 10 9

b 8 c

7 d e


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a V-a - Barem de notare

1. Compară numerele BA și AB unde:

9 26 4

3 2 2 0 2018 201825 : 4 3 2018 0 1A și

2018

7 2 2 32 11 91 5 22 5 40 41 39 3 2B

.

prof. Iliescu Șarolta

Soluție:

49

3 262 2 54 52 45 : 5 1 0 1 5 :5 2 25 16 9A

(2p)

2018128 11 91 5 22 5 1600 1599 1 128 11 (91 5 17) 1 128 66 1 63B (2p)

639BA 963AB (3p)

2. Un pătrat cu n linii și n coloane se numește „pătrat magic” dacă suma elementelor de pe fiecare

linie, coloană și diagonală este aceeași.

De exemplu, este un „pătrat magic” cu 3 linii și 3 coloane.

a) Știind că pătratul: este „pătrat magic”, determină valorile lui a, b, c, d și e.

b) Un pătrat cu n linii și n coloane se numește „pătrat multimagic” dacă produsul elementelor de pe

fiecare linie, coloană si diagonală este același. Dați exemplu de un „pătrat multimagic” cu 3 linii și 3

coloane.


Soluție:

a) (4p) b) (3p)

2 7 6

9 5 1

4 3 8

a 10 9

b 8 c

7 d e

4= 22 128= 72 64= 62

512= 92 32= 52 2

16= 42 8= 32 256 82

5 10 9

12 8 4

7 6 11


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


3. Se știe că ! 1 2 3 ...n n , citim „n factorial”, n-număr natural nenul.

a) Fie numărul natural 2017! 2018!2017 2018N . Poate fi numărul N pătrat perfect? Justificați!

b) Calculați valoarea maximă a sumei x y z t u v , unde ! 2 3 5 7 11 13x y z t u vn .

prof. Mondici Claudiu

Soluție:

a) 2017! 4 4(2017 ) (2017 ) (7 ) 1kU U U (1p)

2018! 4 4(2018 ) (2018 ) (8 ) 6kU U U (1p)

2017! 2018!( ) (2017 2018 ) 7U N U , (1p)

deci N nu poate fi pătrat perfect (1p)

b) Se observă că în produs nu apare 17, deci valoarea maximă a sumei se obține pentru n=16 (1p) 2 3 2 2 4 15 6 3 2! 16! 1 2 3 ...... 16 1 2 3 2 5 2 3 7 2 3 2 5 11 2 3 13 2 7 3 5 2 2 3 5 7 11 13n

(1p)

S=15+6+3+2+1+1=28 (1p)

4. Dragoș numără pe degetele de la o mână astfel: 1-degetul mare, 2- arătătorul, 3- mijlociul,

4- inelarul, 5 –degetul mic, 6 – inelarul, 7 – mijlociul, 8-arătătorul, 9- degetul mare, 10-arătătorul, și așa

mai departe.

a)Scrieți primele 10 numere corespunzătare degetului mare.

b)Poate fi numărul 42 numărat pe degetul mijlociu?

c)Cărui deget îi corespunde numărul 2018? Justificați răspunsul!

Prelucrare - prof.dr.Braica Petru

Soluție:

Deget

mare

Deget

arătător

Deget

mijlociu

Deget

inelar

Deget

mic

1 2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

17 16 15 14

18 19 20 21

25 24 23 22

a)1; 9; 17; 25; 33; 41; 49; 57; 65; 73 (3p)


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


b)Șirul corespunzător degetului mijlociu conține doar numere impare și este de forma 3+4k, iar 42 este

număr par, deci 42 nu poate fi numărat pe degetul mijlociu. (2p)

c)2018 este număr par, iar șiruri de numere pare corespund degetului arătător sau degetului inelar. (1p)

Șirul corespunzător degetului arătător este:

1 2x

2 2 6x

3 2 6 2x

4 2 6 2 6x

…………………………………………………………………………………………………………….

2 (2 6) (2 6) ...... (2 6) 8k

k ori

x k

2 1 (2 6) (2 6) ...... (2 6) 2 8 2k

k ori

x k

Cum 2018 8 252 2 deducem că 2018 corespunde degetului arătător (1p)

Notă: Orice rezolvare corectă diferită de barem se notează cu 7 puncte.


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a VI-a

1.a) Se consideră numerele 12 2481 9a și 15 4527 3b . Aflați câți divizori proprii are numărul care

reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor a și b .

(***)

b) Determinați numerele cuprinse între 1200 și 1300 care împărțite la 9, 6 și 3, dau resturile 8, 5 și 2.

(Culegere cls. a VI-a – Ed. Paralela 45)

2.a) Există cub perfect care se poate scrie ca sumă de 2016 numere consecutive? Justificați!

b) Determinați cel mai mic cub perfect care se poate scrie ca sumă de 2017 numere naturale

consecutive.


3. Se consideră punctele coliniare A, O și B, iar punctele C și D situate de aceeași parte a dreptei AB

astfel încât 0( ) 80m COD . Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor

AOC și BOD.

Prelucrare - prof.dr. Braica Petru

4. Fie 2009 cartonașe, pe o față roșii și pe o față albe, numerotate de la 1 la 2009. Ele sunt aranjate în

ordine crescătoare cu fața albă în sus.

Faza 1: Se întorc toate cartonașele cu fața roșie în sus.

Faza 2: Se întorc pe cealaltă față cartonașele din 2 în 2 începând de la numărul 2 până la sfârșit.

Faza 3: se întorc pe cealaltă față cartonașele din 3 în 3 începând de la numărul 3 până la sfârsit.

…………………………………………………………………………………………………………….

Faza n: Se întorc pe cealaltă față cartonașele din n în n începând de la numărul n până la sfârșit,

1,2,3,...,2009n .

După toate aceste operațiuni, câte cartonașe sunt cu fața roșie în sus? Justificați!

(Olimpiada de Matematică 2009, jud. Neamț)

NOTĂ:


Fiecare problemă corect rezolvată este notată cu 7 puncte.



http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a VI-a

Barem de notare

1.a) Se consideră numerele 12 2481 9a și 15 4527 3b . Aflați câți divizori proprii are numărul care

reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor a și b .

(***)

b) Determinați numerele cuprinse între 1200 și 1300 care împărțite la 9, 6 și 3, dau resturile 8, 5 și 2.

(Culegere cls. a VI-a – Ed. Paralela 45)

Soluție:

a) 482 3a (1p)

și 452 3b (1p)

c.m.m.d.c. 45( , ) 2 3a b (1p)

Numărul divizorilor proprii ai lui 452 3 este 1 1 (45 1) 2 90 (1p)

b)1200 1300n

19 8n c 11 9( 1)n c

26 5n c 21 6( 1)n c

33 2n c 31 3( 1)n c

1 3,6,9 18n k k (1p)

1200 18 1300k , 67,68,69,70,71,72k deci (1p)

1205,1223,1241,1259,1277,1295n (1p)

2.a) Există cub perfect care se poate scrie ca sumă de 2016 numere consecutive? Justificați!

b) Determinați cel mai mic cub perfect care se poate scrie ca sumă de 2017 numere naturale

consecutive.


Soluție:

a)3( 1) ( 2) ...... ( 2015)x x x x k

31008 (2 2015)x k (1p)

4 2 32 3 7 (2 2015)

impar

x k (1p)

3 42k și 3 62k , deci nu există cub perfect care să poată fi scris ca sumă de 2016 nr. consecutive (1p)


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


b) 3( 1) ( 2) ...... ( 2016)x x x x k (1p)

32017 ( 1008)x k , iar 2017 este număr prim (1p)

3 2017 2017k k (1p)

Dacă 22017 1008 2017k x , deci 22017 1008x (1p)

3. Se consideră punctele coliniare A, O și B, iar punctele C și D situate de aceeași parte a dreptei AB

astfel încât 0( ) 80m COD . Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC și

BOD.

Prelucrare – prof.dr.Braica Petru

Soluție:

Cazul I:

Desen corect (1p)

Notăm cu 2 ( )x m AOC și 2 ( )y m BOD

0 02 2 80 180x y 050x y (2p)

măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC și BOD va fi de 0130 (1p)

Cazul II

Desen corect (1p)

0 0

0 0 0 0 0

1 1( ) 180 ( ) ( ) 180 ( ) ( )

2 2

1180 (360 (180 80 )) 50

2

m MON m MOA m NOB m AOC m BOD

(1p)

(1p)


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


4. Fie 2009 cartonașe, pe o față roșii și pe o față albe, numerotate de la 1 la 2009. Ele sunt aranjate în

ordine crescătoare cu fața albă în sus.

Faza 1: Se întorc toate cartonașele cu fața roșie în sus

Faza 2: Se întorc pe cealaltă față cartonașele din 2 în 2 începând de la numărul 2 până la sfârșit.

Faza 3: se întorc pe cealaltă față cartonașele din 3 în 3 începând de la numărul 3 până la sfârsit.

…………………………………………………………………………………………………………….

Faza n: Se întorc pe cealaltă față cartonașele din n în n începând de la numărul n până la sfârșit,

1,2,3,...,2009n .

După toate aceste operațiuni, câte cartonașe sunt cu fața roșie în sus?

(Olimpiada de Matematică 2009, jud. Neamț)

Soluție:

Se observă că avem cartonașe cu fața roșie în sus acele cartonașe care s-au întors de un număr impar de

ori. Cartonașele se întorc de fiecare dată când numărul scris pe ele este divizibil cu numărul fazei.Deci

cartonașele cu fața roșie în sus au un număr impar de divizori. (3p)

Dacă un număr n se scrie ca produs de factori primi 1 2

1 2 ...... ,nkk k

nn p p p atunci numărul divizorilor

săi este 1 2( 1)( 1)......( 1)n nk k k . (1p)

Dacă numărul are un număr impar de divizori, atunci numerele înscrise pe cartonașe sunt pătrate

perfecte. Acestea sunt: 1, 4, 9, ……, 1936. În total 44 pătrate perfecte, deci 44 cartonașe cu fața roșie în

sus. (3p)



http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a VII-a

1. Fie n un număr natural nenul și numărul A, unde

1 1 12 1 2 3 ...... ......

1 2 2 3 1A n

n n

.

Arătați că numărul A este natural și are un număr impar de divizori.

prof. Ioan Chindriș

2.a) Demonstrați că pentru orice numere reale a și b, are loc egalitatea 2 2 ( )( )a b a b a b .

b) Arătați că numărul 2 2

10 10

55...56 44...45ori ori

N se divide cu 11.

prof.dr.Kiss Sandor

3. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel ABC , cu 090m BAC , B,C,D – puncte coliniare și

(DE BC , (E AC . Notăm cu M, N, P mijloacele segmentelor ,BC CE respectiv AD .

Demonstrați că triunghiul MNP este dreptunghic isoscel.


4. Fie ABCD un trapez cu ,AB CD având diagonalele perpendiculare, ,AC BD iar pe segementul

CO alegem un punct N, .O AC BD Construim ,CM DN M AB și .CM DB P

Demonstrați că NB AP .


NOTĂ:





http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a VII-a

Barem de notare

1. Fie n un număr natural nenul și numărul A, unde

1 1 12 1 2 3 ...... ......

1 2 2 3 1A n

n n

.

Arătați că numărul A este natural și are un număr impar de divizori.

prof. Ioan Chindriș

Soluție:

1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 12 1 2 3 ...... ...... 2 ......

1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 1

n nA n

n n n n

2A n 5p

1 2

1 2 ...... kxx x

kn p p p cu 1 2, ,......, kx x x - pare

1 2( ) ( 1) ( 1) ...... 1k

impar impar impar

n x x x - produs de numere impare, deci A are un număr impar de

divizori 2p

2.a) Demonstrați că pentru orice numere raționale pozitive a și b, are loc egalitatea 2 2 ( )( )a b a b a b .

b) Arătați că numărul 2 2

10 10

55...56 44...45ori ori

N se divide cu 11.

prof.dr.Kiss Sandor

Soluție:

a) 2 2 2 2( )( )a b a b a ab ba b a b 3p

b) 2 2

2 2 9 8 9 8

10 10

55...56 44...45 5 10 10 ...... 10 6 4 10 10 ...... 10 5ori ori

N

2p

9 8 9 8(10 10 ...... 10) 1 9 10 10 ...... 10 11

9 8

11

10

111...1 9 10 10 ...... 10 11 11ori

M

2p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


3. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel ABC , cu 090m BAC , B,C,D – puncte coliniare și

(DE BC , (E AC . Notăm cu M, N, P mijloacele segmentelor ,BC CE respectiv AD .

Demonstrați că triunghiul MNP este dreptunghic isoscel.

Soluție:

Desen corect 2p

În 0, ( ) 90 ,AMD m M MP – mediană, 1

2MP AD AP

În 0, ( ) 90 ,AND m N NP – mediană, 1

2NP AD PD 1p

Așadar, MNP este isoscel (1)

ECD este unghi exterior ACD 045 ( ) ( )m CAD m CDA

Notăm 0( ) , ( ) , , 45m CAD x m CDA y deci x y 1p

0 0( ) 180 2 ( ) 90 2m NPD m PDN y 1p

0 0( ) 180 2 ( ) 90 2m APM m PAM x 1p

0 0( ) 180 (2 2 ) 90m MPN x y (2)

Din (1) și (2) rezultă concluzia. 1p


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


4. Fie ABCD un trapez cu ,AB CD având diagonalele perpendiculare, ,AC BD iar pe segementul

CO alegem un punct N, .O AC BD Construim ,CM DN M AB și .CM DB P

Demonstrați că NB AP .


Soluție:

Desen corect, AB CD (2p)

În ,DPC N-ortocentru PN DC AM PN AM (2p)

În , ,APN PN AB PB AN B ortocentru NB AP (1p)

Cazul AB CD se tratează analog (2p)



http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a VIII-a

1.a) Arătați că pentru orice *k are loc egalitatea: 1 1

21 1

k k k

k k

.

b) Calculați partea întreagă a numărului: 2 3 2024

...1 2 3 1 3 4 1 2024 2025

A

.

prof.dr.Braica Petru

2.a) Arătați că pentru orice numere *,x y are loc inegalitatea: 2 2

2 2 2x y

x y zz

.

b) Demonstrați că pentru orice numere *,x y are loc inegalitatea:

2 2 2 2 2 2

2( )x y y z z x

x y zz x y

.

prof.dr.D.M.Bătinețu Giurgiu

3. Se consideră triunghiul ABC având 0( ) 45m ABC iar D, E picioarele înălțimilor duse din A,

respectiv B, concurente în H. Notăm mijloacele segmentelor AH și BC cu M și N.

Demonstrați că: a) ( ) ( )ND ME

b) 2MD BC .


4.a) Demonstrați că în ,ABC 0( ) 90m BAC cu AD BC are loc egalitatea: 2

2

BD BA

DC AC .

b) Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic având 6AB cm , 4BC cm , 9CC cm .

Construim AX AB în AAB și bisectoarea ( )CY în .BCC Demonstrați că dreptele A Y și C X

se întâlnesc pe BO unde .O AC BD


NOTĂ:





http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05



Satu Mare

Ediția I – 2018

Clasa a VIII-a

Barem de notare

1.a) Arătați că pentru orice *k are loc egalitatea: 1 1

21 1

k k k

k k

.

b) Calculați partea întreagă a numărului: 2 3 2024

...1 2 3 1 3 4 1 2024 2025

A

.


Soluție:

a)Relația 1 1

21 1

k k k

k k

este echivalentă cu

2 1 1 1 1k k k k k

2 2

2 1 1k k k

2 1 2 ( 1)k k k k

2 2 ( )k k Adevărat (2p)

b) Aplicând egalitatea de la punctul a), obținem:

2 3 2024...

1 2 3 1 3 4 1 2024 2025A

=

1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 2024 2025......

2 2 2 2

(2p)

1 1 22023 2 45 1978 2 989

2 2 2

989A . (3p)

2.a) Arătați că pentru orice numere *,x y are loc inegalitatea: 2 2

2 2 2x y

x y zz

.

b) Demonstrați că pentru orice numere *,x y are loc inegalitatea

2 2 2 2 2 2

2( )x y y z z x

x y zz x y

prof.dr.D.M.Bătinețu Giurgiu

Soluție:

Inegalitatea se scrie echivalent:

a) 2 2 22 2 2x y vz yz z sau (1p)


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


2 2 22 2 2 0x y xz yz z sau (1p)

2 2 2 22 2 0x xz z y yz z

2 2( ) ( ) 0x z y z , adevărată cu egalitate pentru .x y z (1p)

b)Aplicând inegalitatea demonstrată la punctual a), putem scrie: 2 2

2 2 2x y

x y zz

; (1p)

2 2

2 2 2y z

y z xx

; (1p)

2 2

2 2 2z x

z x yy

; (1p)

Adunând cele 3 relații se obține inegalitatea cerută. Egalitatea are loc pentru .x y z (1p)

3. Se consideră triunghiul ABC având 0( ) 45m ABC iar D, E picioarele înălțimilor duse din A,

respectiv B, concurente în H. Notăm mijloacele segmentelor AH și BC cu M și N.

Demonstrați că: a) ( ) ( )ND ME

b) 2MD BC


Soluție:

Desen corect (2p)

a)Se arată că MN DE .


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


Din 0( ) 45m B AC BH , întrucât BHD ACD (cazul C.U.)

Pentru ,BEC BH CA conform Teoremei bisectoarei glisante că NM este paralelă cu bisectoarea

unghiului BEC.

Din CED CBA ( secED bi toarea BEC , deci MN DE . (1p)

Punctele E, D, M, N sunt pe cercul lui Euler asociat triunghiului ABC, MN DE ME ND . (1p)

b)Din a) obținem că MDEN este trapez inscriptibil, deci isoscel, (2p)

1

2MD NE BC (1p)

4.a) Demonstrați că în ,ABC 0( ) 90m BAC cu AD BC are loc egalitatea: 2

2

BD BA

DC AC .

b) Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic având 6AB cm , 4BC cm , 9CC cm .

Construim AX AB în AAB și bisectoarea ( )CY în .BCC Demonstrați că dreptele A Y și C X

se întâlnesc pe BO unde .O AC BD


Soluție:

a)Aplicând Teorema catetei pentru catetele AB și AC ale unui triunghi dreptunghic ABC, cu 0( ) 90m BAC și cu AD BC , obținem:

2AB BD BC (1) 2AC CD BC (2)

Din (1) și (2) rezultă 2

2

BD BA

DC AC (2p)


http://www.edu.ro/



SATU MARE JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


b)

Din a) obținem 2

2

9

6

A X

XB

(1p)

Din Teorema bisectoarei BCC avem 4

9

BY BC

YC CC

(2p)

În ABC fie S A Y C X și *O BS AC

Aplicând Teorema lui Ceva *

*1

A X BY C O

XB YC O A

(1p)

Înlocuind valorile obținem *

*1

C O

O A

, deci * *CO O A adică *O O (1p)



http://www.edu.ro/

smmate.files.wordpress.comconcursul județean de matematică „ioan chindriș” ediția i –...

Documents