concursul de matematicĂ aplicatĂ adolf haimovici · filiera teoretică: profilul real - Științe...

Filiera Teoretică : profilul Real - Științe ale Naturii

Clasa a IX -a

Problema 1.

a) Determinaţi numerele întregi x pentru care fracţia 3 2

2 1

x

x

este număr întreg.

b) Determinaţi numerele raţionale x pentru care fracţia 3 2

2 1

x

x


Problema 2.

Demonstraţi că, oricare ar fi numărul natural nenul n, are loc inegalitatea

1 1 1 1 5

2 1 2 2 1 6n n n

.

Problema 3.

a) Demonstraţi că suma inverselor lungimilor a două înălţimi ale unui triunghi este mai mare decât inversul

lungimii celei de-a treia înălţimi a triunghiului.

b) Un triunghi neisoscel are două înălţimi de lungimi 2 respectiv 5. Determinaţi lungimea celei de-a treia

înălţimi, ştiind că este tot un număr natural.

Problema 4.

La ora 14:30 , din Iaşi plecă un tren care ajunge la Bucureşti la ora 22:00 . În aceeaşi zi şi pe acelaşi

traseu, la ora 16:00 , din Bucureşti pleacă un tren care ajunge la Iaşi la ora 23:00 . Presupunem că fiecare

dintre cele două trenuri parcurge traseul cu viteză constantă.

Stabiliţi, cu eroare de cel mult un minut, care este ora întâlnirii celor două trenuri.

Notă: Timp de lucru 4 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7.

CONCURSUL

DE MATEMATICĂ APLICATĂ

"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017

Filiera Teoretică : profilul Real -Științe ale Naturii

CLASA A X-A

Problema 1.

Se dau numerele reale , , 0,x y z . Demonstrați că au loc inegalitățile:

a) 3 2 2 2 .x y y z z x x y z

b) 2

3 2 2 2 2 2 2 .x y x y y z y z z x z x x y z

Problema 2.

Fie , ,a b c , cu .a b c Demonstrați că ecuația 2 0az bz c are cel puțin o rădăcină de modul 1

dacă și numai dacă 2 .b ac

Problema 3.

Rezolvați ecuația 1

lg .2 2

x xx

Problema 4.

Avem la dispoziție un număr 2000n de saci goi. Alegem 10 dintre aceștia.

În unii dintre cei 10 saci aleși s-au pus câte 9 saci goi, apoi în unii dintre toți sacii goi s-au pus câte 9 saci goi,

etc. După câteva operații de acest fel numărul sacilor care nu sunt goi este 223. Care este numărul total de saci

pe care îi avem la dispoziție?


CONCURSUL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017


Clasa a XI -a

Problema 1.

Fie , ,a b

A a bb a

a) Calculați 2det A .

b) Demonstrați că

*2 2

,

2 2

n n n n

n

n n n n

a b a b a b a b

A na b a b a b a b

c) Rezolvați în 2017

2,2

2 1 ecuatia

1 2X

. ( Eventual folosiți faptul că 2017 2017X X X X )

Problema 2.

Considerăm mulțimea formată din toate matricele cu trei linii și trei coloane și care au elemente din mulțimea

1,1 .

a) Aflați cardinalul mulțimii .

b) Dacă A , demonstrați că 4 / det A .

c) Dacă A , argumentați că det 4,0,4A .

d) Demonstrați că A , matricea 2017A are toate elementele nenule.

Problema 3

Pe o insulă trăiesc 12 cameleoni. La un moment dat trei dintre ei au culoarea roșie, patru au culoarea galbenă, iar

ceilalți cinci au culoarea verde. Se știe că, dacă se întâlnesc doi cameleoni de culori diferite atunci ambii își

schimbă culoarea în cea de-a treia culoare, în rest ei nu își schimbă culoarea.

Demonstrați că:

a) Este posibil ca la un moment dat, nici un cameleon să nu aibă culoarea verde.

b) Nu este posibil ca, la un moment dat, toți cameleonii să aibă culoarea verde.

Problema 4.

Fie :f o funcție astfel încât 2 2 ; f x x x x

a) Arătați că 0 0f .

b) Dați un exemplu de funcție care să îndeplinească inegalitatea din enunț.

c) Justificați continuitatea funcției f în origine.


CONCURSUL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017


Clasa a XII -a

Problema 1.

Două lentile având distanţele focale 1,f respectiv 2f sunt situate la distanţa 0d una faţă de cealaltă;

în această situaţie distanţa focală f a sistemului este dată de legea de compoziţie 1 21 2

1 2

f ff f f

f f d

Considerând legea de compoziţie definită pe 0; ,G se cere:

a) Să se demonstreze că legea este asociativă.

b) Să se studieze dacă legea admite element neutru.

c) Să se calculeze ... 2 3 4 ... 2017 .2017 2016

d dd d d d d

Problema 2.

Se consideră funcţiile , :f g , f x 21

x

x şi g x

2

1

( 1)x x

a) Să se calculeze

1

0

( )f x dx .

b) Să se calculeze lim ( )x

G x

, unde G este primitiva lui g care se anulează în 1.x

c) Să se demonstreze : 1 1

( ) ( ) 0, 0,2

tgx ctgx

f t dt g t dt x

.

Problema 3.

Se consideră funcţia :f , 2xf x e .

a) Să se calculeze 1

0

xf x dx .

b) Să se demonstreze că funcţia 3

0

: ,

x

F F x f t dt este strict crescătoare pe 0,1 .

c) Să se demonstreze că 1

0

1,2f x dx .

CONCURSUL NAȚIONAL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017

Problema 4.

2 2

,2 2

k k

k kG A k k

şi pentru fiecare t notăm 1 /tH A kt k . Se admite faptul că

,G este un grup, unde “ ∙” este înmulţirea matricelor.

a) Să se demonstreze că pentru orice , , 1 .n p A n A p A n p

b) Să se demonstreze că, pentru ,t tH este un subgrup al grupului ,G

c) Să se demonstreze că grupurile ,G şi , sunt izomorfe.



BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

Clasa a IX -a

Problema 1.

a) Determinaţi numerele întregi x pentru care fracţia 3 2

2 1

x

x


b) Determinaţi numerele raţionale x pentru care fracţia 3 2

2 1

x

x


SOLUŢIE:

a) Impunem condiţia 2 1 | 3 2x x ; atunci 2 1 | 2 3 2 3 2 1x x x , deci 2 1 | 7x . Obţinem că

3,0,1,4x şi toate aceste patru valori sunt convenabile. ................................................................................. 4p

b) Din 3 2

2 1

xm

x

obţinem că

2,

2 3

mx

m

m . Cum

2 1,

2 3 2

mm

m

, rezultă că numerele raţionale x

căutate sunt toate numerele de forma 2

,2 3

mx

m

unde m . ............................................................................ 3p

Problema 2. Demonstraţi că, oricare ar fi numărul natural nenul n, are loc inegalitatea

1 1 1 1 5

2 1 2 2 1 6n n n

.

SOLUŢIE:

Avem că *1 1 1 1 11 ,

1 2 2 1 2 1 2na n n

n n n n

, prin urmare este adevărată inegalitatea din

stânga. ………………………..…………………………………………….……………………………………... 3p

Notăm 1 1 1

1 2 2 1na

n n n

. Cum

*

1

10,

2 2 2 3n na a n

n n

, deducem că

1

5,

6na a n , deci este adevărată inegalitatea din dreapta. ……………….....…………………….…...... 4p

Obs. Se poate folosi inducția matematică.

Problema 3.

a) Demonstraţi că suma inverselor lungimilor a două înălţimi ale unui triunghi este mai mare decât inversul

lungimii celei de-a treia înălţimi a triunghiului.

b) Un triunghi neisoscel are două înălţimi de lungimi 2 respectiv 5. Determinaţi lungimea celei de-a treia

înălţimi, ştiind că este tot un număr natural.

Gazeta Matematică 9/2016 (Supliment)

CONCURSUL NAȚIONAL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017

SOLUŢIE:

a) Folosind notaţiile uzuale în triunghi, avem că 2 2

,a b

S Sa b

h h şi

2

c

Sc

h . ….…………………...………….... 2p

Din inegalitatea triunghiului, a b c rezultă 2 2 2

a b c

S S S

h h h , prin urmare

1 1 1

a b ch h h ……………………. 2p

b) Fie 2, 5a bh h ; atunci 1 1 1

2 5 ch şi

1 1 1

5 2ch . Deducem că

10 10

7 3ch . Cum ch este număr natural

diferit de 2 şi 5 (triunghiul fiind neisoscel), rezultă că 3ch . …………………………………………….…… 3p

Problema 4. La ora 14:30 , din Iaşi plecă un tren care ajunge la Bucureşti la ora 22:00 . În aceeaşi zi şi pe

acelaşi traseu, la ora 16:00 , din Bucureşti pleacă un tren care ajunge la Iaşi la ora 23:00 . Presupunem că fiecare

dintre cele două trenuri parcurge traseul cu viteză constantă.

Stabiliţi, cu eroare de cel mult un minut, care este ora întâlnirii celor două trenuri.

SOLUŢIE:

Notăm cu d distanţa Iaşi-Bucureşti, în kilometri. Viteza primului tren este 1

2

1 157

2

d dv km/h iar viteza celui

de-al doilea tren este 27

dv km/h. ……..………………………………………...….………………………… 2p

Fie x ora întâlnirii celor două trenuri. Cum suma distanţelor parcurse de cele două trenuri până în momentul x este

egală cu distanţa Iaşi-Bucureşti, obţinem că 1 2

14 162 15 7

d dx x d

. ………………………………… 3p

Ecuaţia obţinută are soluţia 548

18,89729

x . Ora aproximativă a întâlnirii este 18:54 . ………………........... 2p



CLASA a X-a

Problema 1.

Se dau numerele reale , , 0,x y z . Demonstrați că au loc inegalitățile:

a) 3 2 2 2 .x y y z z x x y z

b) 2

3 2 2 2 2 2 2 .x y x y y z y z z x z x x y z

(G. M. nr 11/2016)

Soluţie:

a) Folosim inegalitatea mediilor: 3 , , , 0,3

a b cabc a b c

........................................................... 1p

Cu 2 , 2a x y b y z și 2c z x obținem inegalitatea de la a)…………………………..……..…………2p

b) Scriem membrul stâng al inegalității de demonstrat ca produsul a doi radicali de ordin 3

3 32 2 2 2 2 2x y y z z x x y y z z x ............................................................................. 1p

Din inegalitatea mediilor avem:

31 2 2 2x y y z z x x y z ............................................................................................................. 1p

Înmulțind membru cu membru inegalitatea de la a) cu inegalitatea 1 obținem inegalitatea de demonstrat (ambii

radicali sunt pozitivi) ............................................................................................................................................... 2p

Problema 2.

Fie , ,a b c , cu .a b c Demostrați că ecuația 2 0az bz c are cel puțin o rădăcină de modul 1 dacă și

numai dacă 2 .b ac

Soluţie:

Necesitate: Notăm rădăcinile ecuației cu , ; , , 1 și scriem relațiile lui Viète .............................…1p

1,cc c

a a a iar 1 , obținem 1 , deci

1 1,

............................................... 1p

Avem

22

1,b

a deci

1 11,

ce conduce la

2, așadar

2

2 .b c

b aca a

............................................................................................................................................ 2p

CONCURSUL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017

Suficiență: Din 2b ac , cum ,a se obține

2b c

a a

, așadar

2 . ………............................... 1p

2 2 0, iar 0

este rădăcină complexă nereală de ordin 3 a unității, deci

1

...................................................................................................................................................1p

Cum 1c c

a a , obținem 1. ....................................................................................... 1p

Problema 3.

Rezolvați ecuația 1

lg .2 2

x xx

Soluţie:

a) Condiția de existență a logaritmului: 0x ..................................................................................................... 1p

notăm , 12 2

x xk k k k

.................................................................................................................. 1p

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x x x xk k k

.................................................................... 2p

Obținem că 1

1,0 lg 1,02 2

x xx

..............................................................................................2p

Dacă lg 1x , 1

10x , iar dacă lg 0,x 1x . ………….…………………………………..……………...... 1p

Problema 4.

Avem la dispoziție un număr 2000n de saci goi. Alegem 10 dintre aceștia.

În unii dintre cei 10 saci aleși s-au pus câte 9 saci goi, apoi în unii dintre toți sacii goi s-au pus câte 9 saci goi, etc.

După câteva operații de acest fel numărul sacilor care nu sunt goi este 223. Care este numărul total de saci pe care

îi avem la dispoziție?

Soluție:

Fie 1x numărul sacilor în care s-au pus câte nouă saci goi în prima operație, 2x numărul sacilor în care s-au

pus câte 9 saci goi în a doua operație, etc. …………………………………………….…………………………2p

Astfel la prima operație s-au adăugat 19x saci goi, la a doua 29x saci goi, etc. ..……………….….…...……….1p

În final, după n operații de acest fel numărul sacilor care nu sunt goi este:

1 2 ... 223nx x x …………………………………………………………………….………………..…..….2p

Numărul total de saci este: : 1 210 9 9 ... 9 10 9 223 2017nx x x ………………………………………2p



Clasa a XI -a

Problema 1.

Fie , ,a b

A a bb a

a) Calculați 2det A .

b) Demonstrați că

*2 2

,

2 2

n n n n

n

n n n n

a b a b a b a b

A na b a b a b a b

c) Rezolvați în 2017

2,2

2 1 ecuatia

1 2X

. ( Eventual folosiți faptul că 2017 2017X X X X )

Soluție:

a) 222 2 2det detA A a b ……………………..……………………..…………………….…….2 puncte

b) Inducție matematică ……………………………………………………………….…………………2 puncte

c) Fie 2,2

a bX

c d

Din 2 1 2 1

si 1 2 1 2

a bX X a d b c X

b a

……………………………………..…...1 punct

Ecuația 20172 1

1 2X

devine

2017 2017 2017 2017

2017 2017 2017 2017

2 12 2

1 2

2 2

a b a b a b a b

a b a b a b a b

2017

2017

3

1

a b

a b

……………………………………………………………………………………….…..1 punct

Finalizare: 20171 3

2a

,

2017 3 1

2b

………………………………………………………………………………………………..1 punct

Problema 2.

Considerăm mulțimea formată din toate matricele cu trei linii și trei coloane și care au elemente din mulțimea

1,1 .

a) Aflați cardinalul mulțimii .

b) Dacă A , demonstrați că 4 / det A .

CONCURSUL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017

c) Dacă A , argumentați că det 4,0,4A .

d) Demonstrați că A , matricea 2017A are toate elementele nenule.

Soluție:

a) Fie 1,2,...,m și 1,2,...,N n mulțimile primelor m respectiv n numere naturale. O matrice cu

m linii și n coloane, având elemente reale, este o aplicație : .A M N Dacă notăm

, ; 1, , 1, ,ijA i j a i m j n dăm matricea A printr-un tablou dreptunghiular cu m linii și n coloane.

Există lk aplicații care pot fi definite pe o mulțime cu l elemente cu valori într-o mulțime cu k

elemente. 92 512card …………………………………………………………………………….…..2 puncte

b) Fie A . Adunăm a treia coloană la primele două coloane ( 1 3c c respectiv 2 3c c ) Astfel pe primele

două coloane ale matricei astfel obținute vom avea elementele 0,2 sau 2 .

Deducem că 4 / det A………………………………………………………………..………...…...2 puncte

c) 6 det 6A și din punctul b) det A este multiplu de 4, obținem că det 4,0,4A ….…....…2 puncte

d) În nA ; 1n avem doar elemente întregi impare, de unde rezultă cerința problemei……………..1 punct

Problema 3

Pe o insulă trăiesc 12 cameleoni. La un moment dat trei dintre ei au culoarea roșie, patru au culoarea

galbenă, iar ceilalți cinci au culoarea verde. Se știe că, dacă se întâlnesc doi cameleoni de culori diferite atunci

ambii își schimbă culoarea în cea de-a treia culoare, în rest ei nu își schimbă culoarea.

Demonstrați că:

a) Este posibil ca la un moment dat, nici un cameleon să nu aibă culoarea verde.

b) Nu este posibil ca, la un moment dat, toți cameleonii să aibă culoarea verde.

Soluție:

a) Notăm cu R numărul cameleonilor roșii, cu V numărul cameleonilor verzi și cu G numărul cameleonilor

galbeni. …………………………………………………………………………………………………..….1 punct

În tabelul de mai jos, exemplificăm în cinci pași posibilitatea de la punctul a)

R 3 5 7 9 11 10

G 4 3 2 1 0 2

V 5 4 3 2 1 0

………………………………………………………………………………………...................... 2 puncte

b) Analizând posibilitățile apărute în urma întâlnirii a doi cameleoni, căutăm un invariant.

Inițial 3, 4, 5R G V

Dacă se întâlnește unul roșu cu unul verde, vom avea: 2, 6, 4R G V ……………………………….1 punct

Dacă se întâlnește unul galben cu unul verde vom avea: 5, 3, 4R G V ……………………………...1 punct

Dacă se întâlnește unul roșu cu unul galben vom avea: 2, 3, 7R G V …………………..........……...1 punct

Comparând configurația inițială , , 3,4,5R G V cu oricare dintre configurațiile rezultate în urma întâlnirii a

doi cameleoni, observăm că doar un număr din configurație este multiplu de trei. Dacă ar fi posibil ca toți să fie

verzi, am obține configurația 0,0,12 în care toate numerele sunt divizibile cu 3. (FALS)

Așadar nu este posibil în nici un moment ca toți cameleonii să fie verzi ……………...……………1 punct

Problema 4.

Fie :f o funcție astfel încât 2 2 ; f x x x x

a) Arătați că 0 0f .

b) Dați un exemplu de funcție care să îndeplinească inegalitatea din enunț.

c) Justificași continuitatea funcției f în origine.

Soluție:

a) În inegalitatea din enunț înlocuim pe x cu 0 și avem:

20 0 2 0 0 0 0 0f f f …………………………………………………………..……3 puncte

b) Exemplu :f , 2f x x ………………………………………………….………….….…2 puncte

c) Din inegalitatea din enunț obținem:

22 2 , x f x x x x 2 22 2 , x x f x x x x ……………………..….1 punct

Din criteriul cleștelui avem 0

lim 0x

f x

. Cum 0 0f rezultă continuitatea funcției în origine………...1 punct



Clasa a XII -a

Problema 1.

Două lentile având distanţele focale 1,f respectiv 2f sunt situate la distanţa 0d una faţă de cealaltă; în

această situaţie distanţa focală f a sistemului este dată de legea de compoziţie 1 21 2

1 2

f ff f f

f f d

Considerând legea de compoziţie definită pe 0; ,G se cere:

a) Să se demonstreze că legea este asociativă.

b) Să se studieze dacă legea admite element neutru.

c) Să se calculeze ... 2 3 4 ... 2017 .2017 2016

d dd d d d d

Soluție:

a) Verifică asociativitatea……………………………………………………………………..……….….2p

b) Demonstrează că nu există element neutru………………………………………………………….…2p

c) Demonstrează că d este elementul absorbant al legii de compoziţie ( ). ……..2p

Finalizare......................................................................................................................................................1p

Problema 2.

Se consideră funcţiile , :f g , f x 21

x

x şi g x

2

1

( 1)x x

a) Să se calculeze

1

0

( )f x dx .

b) Să se calculeze lim ( )x

G x

, unde G este primitiva lui g care se anulează ȋn 1.x

c) Să se demonstreze : 1 1

( ) ( ) 0, 0,2

tgx ctgx

f t dt g t dt x

.

Soluție:

a)

1

0

( )f x dx = ln 2

2...........................................................................................................................................2p

b) Descompune 22

1 1

11

x

x xx x

..............................................................................................................1p

21 ln 2ln ln 1

2 2G x x x ......................................................................................................................1p

CONCURSUL NAȚIONAL


"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEȚEANĂ

18 martie 2017

Limita este ln 2

2 ............................................................................................... .............. .................................1p

c) Demonstrează relaţia .......................................................................... .............. ................................2p

Problema 3.

Se consideră funcţia :f , 2xf x e .

a) Să se calculeze 1

0

xf x dx .

b) Să se demonstreze că funcţia 3

0

: ,

x

F F x f t dt este strict crescătoare pe 0,1

c) Să se demonstreze 1

0

1,2f x dx .

Soluție:

a) 1

0

xf x dx1

2

e ………………………………………………………………………………2p

b) 623 xF x x e ……………...........................................………………………..…...…………2p

0, 0,1F x x , deci F este strict crescătoare pe 0,1 …………………………..……….…………….1p

c) 2 2

1

2

0

, 0,1 , 0,1 1 2x x xx x x e e x e dx e ……………………………….1p

2 2

1 1

2 2

0 0

41 1 1

3

x xe x e dx x dx ………………………………………………….…………1p

Problema 4.

2 2

,2 2

k k

k kG A k k

şi pentru fiecare t notăm 1 /tH A kt k . Se admite faptul că

,G este un grup, unde “ ∙” este înmulţirea matricelor.

a) Să se demonstreze că pentru orice , , 1 .n p A n A p A n p

b) Să se demonstreze că, pentru ,t tH este un subgrup al grupului ,G

c) Să se demonstreze că grupurile ,G şi , sunt izomorfe.

Soluție:

a) Demonstrează relaţia..........................................................................................................................2p

b) Demonstrează că elementul neutru este 1A .................................................................................1p

Demonstrează că ,tH este subgrup...................................................................................................2p

c) Demonstrează ca funcţia :f este izomorfism.........................................2p

concursul de matematicĂ aplicatĂ adolf haimovici · filiera teoretică: profilul real - Științe...

Documents