MODEL DE CALCUL PRIVIND COMPORTAREA ELASTO-PLASTICA

A STRUCTURII SASIURILOR PENTRU MACARALE CU

BRAT TELESCOPIC IN TIMPUL EXPLOATARII (I +II)

Prof.univ.dr.ing. Sarbu Laurentiu

Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti – Facultatea de Utilaj Tehnologic

laurentiusarbu_utcb@yahoo.com

SUMARRY

A physical model was built for the cranes with telescopic arm to analyze the elastic behavior of the construction when

the load on the support is lifted by the loose lifting cable.

It was calculated the movement equation of the arm under load of the rotating platform as well as of the elastic structure

of the chassis made of two bounded masses.

The chassis construction is static undefined system with a yielding joint in the middle and helicoidally springs at the

joint ends that mould the elastic fixing.

Two differential equation resulted from the system solving, each one being shortened at an end of the chassis; the

solutions took into account the effort of the lifting cable during the lifting stages of the load on the support.

From the construction stability condition, i.e. the system determinant equal to zero, there were determined the values of

the elasticity and bending cylindrical rigidity coefficients.

These values differ from the value initially calculated (being bigger/smaller or having a changed sign) from the main

parameters of the crane construction.

Using the obtain values the moving differential equations were written on the vertical of the two masses.

There were drawn the graphs of the joints linked at the chassis ends with springs as well as the vertical movement of the

two masses.

The established dynamic model, proposed by the author has a general character and may be applied to any type of

cranes with telescopic arm, knowing the necessary data to calculate it.

By interpreting the obtained data many improvements may be done to eliminate the possible cracks in the most sensible

zones of the construction, such as: welding girders with pressing pasts boxes or at the bottom boom of the caisson

section on the chassis back.

These results shows the yielding mechanism of the chassis construction into an elastic-plastic duty.

PARTEA I

Descrierea modelului (fig.1)

Construcţia metalică a macaralelor cu braţ telescopic conţine trei componente principale: braţul

telescopic, platforma rotitoare şi saşiul elastic cu picioarele de calare.

Braţul telescopic este o construcţie chesonată, alcătuită din mai multe tronsoane, elastică cu reazem

la tija cilindrului de basculare şi fixată la capăt printr-o articulaţie la platforma rotitoare. Pe masa

concentrată a braţului acţionează forţa de inerţie 1 1

m y şi momentul de inerţie 1 1

J . Sarcina redusă

la vârful braţului este Q = Qn şi greutatea braţului este m1g ~G1n.

Din echilibrul braţului rezultă reacţiunile din articulaţia de fixare X1Y1 şi forţa de basculare din

cilindru F1.

Rotirea braţului în plan vertical sub sarcină este notată cu φ1.

Fig.1,a

Fig.1,b

Platforma rotitoare. In plan vertical asupra structurii platformei rotitoare acţionează forţele din

articulaţia de fixare a braţului X1Y1 , forţa din cilindrul de basculare F1, contra-greutatea Gcg şi

greutatea platformei Gp. In centrul de greutate al ansamblului platformei acţionează forţa de inerţie

2zm y şi momentul de inerţie

2zJ ca urmare a deformării construcţiei sub acţiunea sarcinii maxime

de ridicat şi a greutăţii braţului, dată de rotirea φ2.

Modul de rezemare al structurii platformei, se face prin intermediul reazemului considerat elastic în

care acţionează forţa F2 şi articulaţia A2, cu reacţiunile Xz, Y2 şi rigiditatea cilindrică la încovoiere

K2.

Sasiul macaralei. Incărcările suprastructurii sunt transmise prin cuplajul de rotire al platformei

alcătuit din acţiunile F2,X2, Y2 şi K2.

Se consideră şasiul o structură elastică alcătuită din două mase m3 şi m4, legate la mijloc printr-o

articulaţie cu reazem elastic de cedare unde acţionează forţa F3 şi două momente concentrate

reprezentate de rigiditatea cilindrică la încovoiere K2.

Suplimentar pe masa m4 acţionează şi forţa elastică F2.

Capetele celor 2 mase ale şasiului elastic sunt cuplate cu sistemul de calare prin articulaţiile A3,A4

şi rigidităţile cilindrice la încovoiere K3, K4.

Incărcările sunt date de forţele de greutate şi de legătură ale componentelor structurii G3, G4, F2, X2,

Y2 şi K2.

La rotirea structurii elastice cu φ3, φ4 în centrele de greutate ale maselor legate ale şasiului m3 şi m4

acţionează forţele de inerţie 3 3

m y , 4 4

m y şi momentele de inerţie 3 3

J , 4 4

J calculate în raport cu

punctele A3 şi A4.

Schema construcţiei elastice folosită pentru şasiu are drept scop punerea în evidenţă a deformaţiilor

excesive care pot apare în exploatare şi care au condus la apariţia unor fisuri în structura şasiului.

Acestea au apărut la tronsonul din spate, după coroana de rotire, la cuplarea lui cu caseta picioarelor

de calare. Sunt caracterizate de fisuri apărute în sudurile de fixare a guseelor de capăt ale

tronsoanelor cu peretele casetei din spate, respectiv la sudurile de prindere a guseelor din faţă.

Fisuri similare apar şi la partea superioară a inimilor cu tălpile chesoanelor din faţă ale şasiului, dar

într-o măsură mai mică [4].

Se consideră că acţiunile F2 , X2 , Y2 , K2 se transmit la şasiu şi acţionează împreună cu elasticitatea

şasiului, care favorizează apariţia articulaţiei în structura şasiului.

Modelul propus consideră solicitarea structurii din acţiunea sarcinii maxime de lucru majorată cu

25%.

Dacă se consideră procesul de ridicare al sarcinii de pe reazem, cu cablul de ridicare slăbit, atunci se

va ţine seama de efortul F’2,3 maxim care apare în cablu în procesul de ridicare [2].

Sistemul de ecuaţii exprimat în rotiri pentru construcţia metalică a macaralei cu braţ telescopic este:

1

2

3

4

2 21 1 1 1 1 11 1

2 22 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 22 1 2

2 23 3 3 3 3 2 2 2 43 3

24 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 44

4cos 0

3

4cos 0

3

40

3

40

3

n n

c u

m a b Q l G a

m a b e f X l y c G d G a

m a l K K Y l

m a f l f K K Y l

(1)

unde: 3 3 4 4l l

Rezolvând sistemul de ecuaţii {1} în raport cu rotirea φ3 rezultă o ecuaţie diferenţială neomogenă

de forma:

2 2 2 4 14 3 3 3 3 4 3 2 24 3 2

2 1

42 2 31

2 22 2 1 1 4 1 1 42 2 1 12 2

1 1 2 21 1

21 11 1 12

1 1

34 41 1

3 3 4

3 13 3

1 1 cos4 4 4

3cos 0

4n n

l bm a m a l l m a

f a

lb

b e b ef l lf

a a f fm a

b eQ l G a

m a

(2)

Soluţia ecuaţiei omogene se ia de forma 3kte , rezultă:

2 2 4 24 3 3 3 44 3

40

3m a m a k l l k

notăm cu 2k u , rezultă o ecuaţie incompletă de forma:

2 2 24 3 3 3 44 3

40

3m a m a u l l u (3)

cu radacinile u1 =0;

3 3 4

2 2 24 34 3

3

4

l lU

m a m a

Pentru membrul drept se iau soluţii generale de forma 2kte şi 1

kte .

Rezultă pentru ecuaţia diferenţială în φ2 :

2

1 22 4 21 22 2

1 1

3341 0

3 4 4

b fbm a k K

a a

unde 2k u , deci:

2 2 21 12 22 2

1 1

34 31 0

3 4 4

b bm a u f u

a a

,

cu rădăcinile u1(2) =0 ;

22 1(2) 2

22 1

2 1 21

9

316 1

4

f bu

bm a a

a

(4)

Pentru ecuaţia diferenţială din membrul drept în φ1 rezultă ecuaţia caracteristică:

2 2 3 2

1 2 21 1 12

1 1 1

33 cos 0

4 4

b e b ek

a m a

Aceasta este o ecuaţie incompletă de forma ax2 + c = 0 , cu rădăcinile:

(1) 1 11,2

1 1

cosbk

m a

(5)

Soluţia particulară dată de rotirea braţului sub sarcină este:

1 1 1

2 41 1

2

1

n no

Q l G aC

lb

f

(6)

Rezultă soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene în φ3 de forma:

3 1 3 2 2 3 1 3 2cos cos cos sin oA U t A u t A k t B k t C (7)

cu condiţiile iniţiale:

3 1 3 3 3 3(0) (0) ; 0; ; 0; 0;oCI

CA

(8)

unde:

1 1 2 1 1 1

2 2 21 4 31 4 3

9 cosn nI b e Q l G aC

A m a m a m a

(9)

In funcţie de unghiul α de înclinare, a cilindrului de basculare se pot calcula Qn, G1n şi se modifică

lungimile l1, a1 dacă braţul se telescopează. Sarcina Qn se modifică conform diagramei de sarcină.

Sistemul de ecuaţii algebrice pentru calculul constantelor de integrare A1, A2, A3 este:

1 2 3

2 2 21 2 33 2 1

4 4 41 2 33 2 1

0

0

oA A A C

CIU A U A K A

A

U A U A K A

(10)

Din calcul rezultă:

2 2 2 2 4 4 4 42 2 2

3 3 2 3 2 3 2 32 3 1

1 4 4 2 2 2 2 2 2 2 22 3 3 1 2 3 3 1 2 3

24;

oCI

C U U U U U U U U U U KA

U U U K U U U K U U

2 2 2 2 2 4 4 4 43 3 3 2 3 2 3 2 3

2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 22 3 2 3 2 3 3 1 2 3

;o o

CI CIU C C U U U U U U U U

A AA

U U U U U U U K U U

(11)

2 2 2 2 4 4 4 43 3 2 3 2 3 2 3

32 2 4 4 2 2 2 23 1 2 3 3 1 2 3

oCI

C U U U U U U U UA

A

U K U U U K U U

Coeficienţii (11) au fost calculaţi din condiţia rotirii statice φ1(0) = Co a braţului cu sarcina şi

valoarea acceleraţiei 3(0)CI

A .

Se face acum rezolvarea sistemului de ecuaţii (1) în raport cu rotirea φ4, rezultă:

2 2 22 2 34 3 4 23 4 2 2 2 4 23 4 34 1 1

4 4 3 4 3 4 12 2 2 24 3 4 443 3 1 21 2

22 23 4 2 3 4 22 2 4 2 2 2 4

223 4 4 3 42 2

cos4 4

43 3

3

4

3

a l K l K la b el l K f l fm m l

l l l ll l l m a f

m al l K l l Kf l f f l f

l l l l lf

2 1 1 11 1 22 24 2 2 1 1

04

3

n nQ l G ab e

l f m a

(12)

Soluţia generală a ecuaţiei omogene (12) in φ4 se ia de forma 4tk

e

Avem: 2 2 22

4 3 44 23 4 344 3 3 42 2

4 43 3

40

3

a l K l K lam m K l K

e l l l

Notăm 2K U , rezultă:

2 2 22

4 3 423 4 344 3 3 42 2

4 43 3

40

3

m l K l K lam m U l U

l l l l

cu radacinile: U1(4) =0 ;

22434

4 3 24(4) 3

2 2 23 44 3

4 4243

4

3

a lam m

l lU

K l K ll

l l

(13)

Pentru membrul drept al ecuaţiei (12), se aleg soluţii de forma:

2 2

2 1(2) (2)2 11,2 3,4

2 22 12 1

cos(14); ;

4 4

3 3

f bK K

m a m a

(15)

Rezultă forma soluţiei generale a rotirii φ4 :

(2) (2) (1) (1) '

4 1 4 1 2 2 2 3 31 2 3 4cos cos sin cos sin oA U t C A K t B K t C A K t B K t C

(16)

unde:

2

24 3 2 2 2 4 2 21

23 4 42 2

;4

3

fl l K f l fC

l l lm a

(17)

2 3

23 4 2 2 2 4 2 1 12

2 23 4 41 21 2

cos;

4

3

b el l K f l fC

l l lm a f

(18)

3 4 2 2 2 4 2 1 1 11 1 22 23 4 4 2 2 1 13

2234

4 34 3

4

3

4

3

n nl l K f l f Q e G ab e

l l l f m aC

A aam m

l l

(19)

' 1 1 12

1 1cos

n no

Q l G aC

b

(20)

Se pun condiţiile iniţiale:

' 34 1 4 4 4 4(0) (0) ; (0) 0; (0) ; (0) 0; (0) 0.o

CC

A (21)

unde pentru calculul lui C’0 şi 3C

A se folosesc relaţiile (19) şi (20).

Sistemul de ecuaţii algebrice pentru calculul constantelor de integrare A1 , A2 , A3 este:

' ' '1 1 2 2 3 0

' 2 2 ' 2 ' 31 1 2 2 32 1 3

' 4 ' 4 ' 41 1 2 2 32 1 3

0

;

0

A C A C A C

CA U C K A C K A

A

A U C A K C A K

(22)

Rezultă:

4 2 ' 43 3 302 2 2

2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 22 1 2 3 1 21 1 2 1 1 2

2 2 2 2 4' 2 1 3 3 21

1

2 2 4 2 23 3 2 2 3

2 4 2 21 2 2 1

11

11

1

C C CU U C U

A A AC

U K U K K UK K U K K U

U K K K UAC

K K U U K

K U U K

(23)

2 ' 43 302 2

2 2 2 2 2 443 2 1 1 1 22'

2 2 2 4 2 2 2 41 1 1 2 2 3 1 2

2 2 2 2 22 1 3 3 2

1

1

C CU C U

A AC

C U K K K UU

AA

C K K U U K K U

U K K K U

2 ' 43 302 2

2 2 2 2 42 1 1 1 2'

32 2 4 2 23 3 2 2 3

2 2 4 2 21 2 2 1

C CU C U

A A

U K K K UA

K K U U KC

K U U K

Si aici coeficientii A’1 , A

’2 , A

’3 au fost calculati din conditia rotirii statice '

01(0) C a braţului cu

sarcina şi valoarea acceleraţiei rotirii construcţiei 34 (0)

C

A .Soluţiile particulare ale celor două

ecuaţii diferenţiale ale rotirilor în φ3 , φ4 date de relaţiile (6, 20); căt şi expresiile acceleraţiilor IC

A

şi 3C

A date de relaţiile (9) şi (18) conţin sarcina de ridicat Q.

Pentru a reprezenta corect rotirile φ3 , φ4 a structurii şasiului în procesul de ridicare al sarcinii se va

ţine seama de procesul de ridicare al sarcinii rezemate pe sol cănd cablurile palanului de ridicare

sunt slăbite.

PARTEA a-II-a

Schema de ridicare a sarcinii de la sol din fig.2, ataşată schemei de calcul a construcţiei macaralei

cu braţ telescopic din fig.1, arată cum se modifică schema de calcul a regimului tranzitoriu la

mecanismul de ridicare reprezentat printr-un sistem cu două mase [2].

In fig.2,a legătura dintre cele 2 mase (m1 masa mecanismului de ridicare redusă la troliu şi m2 -

masa sarcinii de ridicat), se caracterizează prin jocul Δ.

In figura 2,a masa m11 se deplasează cu acceleraţie constantă sub acţiunea forţei constante de

tracţiune a troliului P.

Fig.2

Durata primei etape:

'1

12m

tP

(24)

iar viteza la sfârşitul ei (începutul etapei a 2-a) va fi:

11 22 '1

20

PX f X

m

(25)

In a doua etapă în cablul elastic apare tensiunea F’2 (fig.2,b,a) care este deocamdată mai mică decât

sarcina Q corespunzătoare masei m2 , deoarece aceasta din urmă este încă în stare de repaus.

Ecuaţia diferenţială de mişcare este:

' '1 12 2m x P F (26)

unde F’2 = k ∙ x12 (27)

k este constanta elastică a cablului.

Din relaţia (26) obţinem legea efortului din cablu de ridicare:

'2 2 2' '

1 1

cos sink k

F A B t Pm m

(28)

unde constantele de integrare sunt:

2 2, 2A P B Pk (29)

Durata celei de a doua etape se obţine din timpul necesar ca tensiunea din cablul F’2 să crească de la

valoarea 0 la Q. Expresia lui t2 este:

1

'

2 arcsin22

m Q P Pt arctg

k kP P k

(30)

In a treia etapa se pune în mişcare şi masa m2 (fig.2,c). Ecuaţiile diferenţiale de mişcare sunt de

forma [2]:

' '1 13 3;m x P F ' '

2 23 2m x F Q (31)

Unde: '2 13 23F Q k x x (32)

Sau:

' ' ' '

1 2 1 2'3 3 3 3' ' ' '

1 2 1 2

cosk m m k m m

F A t B t Dm m m m

(33)

Expresiile constantelor de integrare si soluţia particulara din (11) sunt:

2

31 2

;P Q m

Am m

'2

3 ' '1 2

2 2m

B Pk Q P Qm m

22 1

31 2 1 2

P Q mPm QmD Q

m m m m

(34)

Valoarea maximă a efortului din cablu F’3 este data de relatia [2]:

' ' ' 2 2' ' 1 1 2 2 120' 2 1

3max ' ' ' '1 2 2 1

11

m m m km x QPm QmF

m m Pm Qm

(35)

unde:

2120

'1

Bx

km

(36)

In cazul Δ=0 efortul maxim in cablu este:

2 ' ' '' ' 1 2 1' 2 1

max ' ' 2' '1 22 1

1 1Q m m mPm Qm

Fm m Pm Qm

(37)

In legile generale de rotire φ3 şi φ4 date de relaţiile (2) şi (12) se va ţine seama de etapele de

ridicare a sarcinii prin eforturile care se dezvoltă in cablu calculate cu relaţiile (28), (33), (36) şi

(37).

Pentru calculul soluţiilor generale de rotire a reazemelor legate ale şasiului φ3 şi φ4 , funcţie de

ridicarea sarcinii se impun 3 seturi de valori calculate pentru: C0 (C’0); 3I CC

A A

, şi constantele

de integrare A1 , A2 , A3 (A’1 , A

’2 , A

’3 ), pentru 3 etape şi anume:

Etapa I: pentru calculul eforturilor la întinderea cablurilor F’2 cu relaţia (28) până când se ajunge la

valoarea sarcinii Q(t=7s);

Etapa II: la t=7s (pentru exemplul dat) se încheie această etapă, urmează o creştere a efortului în

cablu F’3 calculat cu relaţia (33) la timpii: t = 8,9,10 s, când se atinge valoarea maximă, relaţiile (36)

şi (37).

Etapa III: După care, la t = 17 s, efortul in cablu ajunge din nou la valoarea sarcinii de ridicat.

Cele 3 etape parcurse corespund cu rezolvarea a trei soluţii particulare (7) şi (16) pentru care se

calculează câte 3 valori: C0 (C’0); 3I CC

A A

şi A1 , A2 , A3 (A’1 , A

’2 , A

’3 ).

Exemplu de calcul

Se consideră o macara de teren cu braţ telescopic (4 x 4 x 4) cu: sarcina mac. Q = 30 – 35 t, raza

minimă R = 2,7 m, momentul nominal Mn = 35 x 2,7 = 94,5 tm, masă totală rulantă M = 24 t, masă

maximă contragreutate mcg = 5,2 t, lungime braţ telescopic 8,56 – 21,6 m.

Pentru ridicarea sarcinii se utilizează notaţiile:

m’1 – masa redusă la troliu, m’

1 = 1800 – 3600 kg.

m’2 – masa sarcinii de ridicat, m’

2 = 30000 kg;

P - forţa de tracţiune a troliului pe 11 ramuri de cablu P = 32000 daN;

Δ - jocul din legătura cablului, Δ = 6 10-4 - 0,1 m;

K - constanta elastică a cablului, k = 1890 – 5440 kN/m

Pentru construcţia macaralei:

m1 - masa braţului telescopic, m1 = 3600 kg;

m2 - masa platformei de rotire, contragreutate, cilindru basculare, rulment, cabină, m2

=10400 kg;

m3 + m4 – masă şasiu, picioare de calare, osii, cabină şasiu, rezervoare, transmisii, instalaţii

de comandă:

m3 = 5163 kg ; m4 = 6737 kg

Iz – moment de inerţie tronson 2 braţ, Iz = 23020 cm4;

V1 – săgeata la vârful braţului: 3

13 z

PlV

EI ;

β1 - coeficient de elasticitate braţ, 11

144111P

V daN/m;

V2 - săgeata platformei de rotire, 2

248 z

PlV

EI

β2 - coeficient de elasticitate platformă 22

242862P

V daN/m

Iz3, Iz4 – momente de inerţie mase şasiu: Iz3 = 78500 cm4 ; Iz4 < Iz3

V3 – săgeata grinzii şasiului în regim elasto-plastic;

2

max; 1,25 ; 1,2848

ee e e

z

P lV P P V V

I

P – încărcare verticală maximă pe şasiu:

β 3 , β4 – coeficienţi de elasticitate şasiu spate (faţă); β 3 = P/Ve ;

β 3 = 1653150 daN/m; β 4 = 1211850 daN/m

K2 , K3 , K4 – rigiditaţi cilindrice la încovoiere K2 = 243546,7 daNm, K3 = 10332187 daNm;

K4 – 17041640,6 daNm

Dimensiuni: l1 = 8,56 – 21,6 m; l2 = 2,14 m; l3 =2,5 m; l4 = 3,75 m; a1 = (4,28 – 8,67) m; b1 =

4m; e2 =1,2 m; a2 = 1,2 m; a2 = 0,9 m; a3 = 1,25 m; a4 = 1,87 m; f2 = 1,3 m.

unghiuri: basculare braţ θ = 0 – 750 ; basculare cilindru braţ α = 42 – 1170.

Pentru exemplul dat rezultă 3 soluţii generale pentru rotirile φ3 , φ4 , indicate mai jos:

A) Rotirile pentru încastrarea elastică φ 3 :

I) φ 3(7) = 1,29825cos0,121 ∙ t + 0,27958cos4,664 t – 0,2082cos(-2,32)t – 0,0585;

II) φ 3(8-10) = = 1,14077cos0,121 ∙ t + 0,39376cos4,664t – 0,32246cos(-2,32)t -

-0,01355 (38)

III) φ 3(17) = 0,24757cos0,121∙ t – 0,02244cos4,664 ∙ t – 0,09574 cos(-2,32)t – 0,04475

B) Rotirile pentru încastrarea elastică φ4 :

la t = 7s

I) φ 4(7) = - 0,37248cos0,0578 t + 0,172889cos6,05 t – 0,19959

la t = 8, 9, 10 s (39)

II) φ 4(8-10) = - 0,5546cos0,0578 t + 0,00147cos6,05 t – 0,60428

III) φ 4(17) = -0,3421cos0,0578∙ t + 0,001473cos6,05∙ t – 0,260835

Graficele soluţiilor generale pentru rotirile φ 3(t) şi φ 4(t) sunt reprezentate în figura 3.

Fig.3

– curba I - s-a ţinut seama de poziţia verticală a efortului F’2,3 din cablul de ridicare în structura

termenilor liberi din relaţiile de tipul (38) şi (39) ;

- curba II – termenii liberi, în expresiile din relaţiile (38) şi (39), reprezintă F’2,3 din cablu fără

direcţionarea sa pe verticală.

Coeficienţii de elasticitate calculaţi pentru exemplul dat sunt: β1 = 144111 daN/m; β2 =245862

daN/m; β3 = 1653150 daN/m; β4 = 1211850 daN/m.

Este posibil ca valorile mari determinate pentru rotirile φ 3, φ 4 să arate faptul că, sistemul de bare

legate static nedeterminat al şasiului să se transforme într-un mecanism cu articulaţii de cedare care

conţin rigiditaţile cilindrice la încovoiere: 2 2 2

4 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 3 4 3 42 3 4;K F f l K F l l K F l l (40)

Pentru sistemul de bare static nedeterminat cu articulaţiile şi rigidităţile cilindrice menţionate, care

depind la rândul lor de constantele de elasticitate β2 , β2 , β3 s-a trecut la analiza determinantului D =

0, alcătuit pe baza a trei ecuaţii de mişcare şi anume: una pentru braţ în φ1 , una pentru platforma

rotitoare în φ2 şi ecuaţia în φ4 pentru şasiul macaralei. Pe baza analizei ecuaţiei caracteristice

obţinute din dezvoltarea determinantului se pot obţine anumite criterii de stabilitate a construcţiei

sau valori pentru β2 , β3 şi K2 , K3 , K4 .

Determinantul este de forma:

2

1 2 3

22 1 2

2 4 2 4 21 2 3 4 5 6

0

0 0

p p k p

k q k q

z k z z k z k z k z k

(41)

din dezvoltarea lui rezultă o ecuaţie bipătrată de gradul 6, în care s-a făcut notaţia 2k =u, adică: 3 2 2 0U a U b U c d (42)

unde:

1 3 1 11 2

1 2 5 1 1 2 3 2 11 1 2

1 2 6 2 4 3 2 1 2 2 2 3 1 21

3 2 2

;

;

a p q z p q z

b p k z p q z p q z p q z

c p k z p q z p q z p q z p q z

d p q z

(43)

In (43) s-au facut următoarele notaţii:

2 2 21 1 1 2 2 3 2 2 22

2 2 2 21 2 3 2 3 33 3

2 42 31 21

222 2 1 1 41 2 2

1 21 1

41

24 2 2 44 13 4 2 2

2 1

4cos ; ;

3

4; ;

3

3 13

1 cos ;4 4

3 134

1 13 4

p b e p k p m a k f

q k q m a k l k k

lb e

b ef lz k z k

a fm a

lb

fl bz k z k m a k

f a

2

1

41

24 2 2 2 4 215 6 4 34 3

1 1

;4

3 134

13 4 4

ka

lb

fbz k z k m a m a k k

a a

(44)

Ecuaţia de gradul trei dată de relaţia (42) poate fi adusă la o formă redusă de forma [6].

3 0y py q (45)

împărţind prin a şi făcând substituţia 1

3

bx y

a .

Pentru ca radăcinile ecuaţiei (45) să fie toate reale negative şi distincte este necesar şi insuficient ca:

2 2 0;

0;

0

p q

b

c

(46)

ultimile 2 condiţii rezultă din relaţiile lui Viette.

Pentru exemplul dat limitele impuse pentru K3, β2, β3 sunt:

Pentru K3: K3 = 2,69 ∙ 106 daNm ; K3 = - 2,14 ∙ 105 daNm;

Pentru β2 : β2 = 1,62 ∙ 106 daN/m ; 2,3 ∙ 104 daN/m ; - 6,4∙ 104 daN/m ; 4,55 ∙ 105 daN/m ;

Pentru β3 : β3 =56 ∙ 106 daN/m ; - 64 ∙ 106 daN/m ;

Se remarcă raportul dintre coeficienţii de elasticitate de la platforma rotitoare şi şasiu:

2

3

16244970,9827

1653150

, (47)

ceea ce arată că porţiunea cuprinsă între cele 2 forţe elastice F2 , F3 reprezentată de o placă este

supusă pe laturile opuse verticale la un cuplu de forţe F2 ≈ F3 .

In aceste condiţii, pentru reazemul corespunzător φ3 s-a apreciat un coeficient de elasticitate

β3 = 56 ∙ 106 daN/m .

Considerăm că, efortul cuplului de forţe din zona centrală a inimii, în dreptul coroanei de rotire , F2

, F3 care schimbă semnul între ele, se transmite mai departe asupra reacţiunilor verticale ale

reazemelor φ3 , φ4 .

Rezultă oscilaţia maselor m3 , m4 pe verticală (aici decuplate de efectul rotirilor φ3 , φ4) care poate fi

apreciată funcţie de timp.

Ecuaţiile diferenţiale de mişcare independentă a maselor m3 şi m4 sunt de forma:

.

2max3 3 3 3

2

0,0366calcF

m y y m

(48)

cu soluţia:

3 0,0366cos104,146 0,0366;y t (49)

şi .

2max4 4 4 3

3

0,03199calcF

m y y m

(50)

cu soluţia:

4 0,0319cos97,466 0,03199y t (51)

Efortul max2 2 2 2F f este calculată folosind diferitele valori obţinute din condiţia de stabilitate

impusă construcţiei, adică analiza determinantului D=0.

Se cunosc m3 , m4 ,β3 , F2max. Avem în ecuaţia (48): 63 64 10 /daN m , valabilă pentru articulaţia

cu reazem elastic, cu froţa elastică F3 şi momentul K2, respectiv 63 56 10 /daN m .

Graficele soluţiilor generale de deplasare pe verticală a maselor m3 , m4 sunt prezentate în figura 4.,

din care se observă valorile negative pentru y4(t) şi cele pozitive pentru y3(t).

Fig.4

Concluzii

Relaţia (47) arată posibilitatea formării celei de a 4-a articulaţii de cedare posibilă, situaţie care,

permite să fie scrise ecuaţiile diferenţiale de mişcare independente pentru cele 2 mase m3, m4.

Valorile determinate pentru coeficienţii de elasticitate β şi rigidităţile cilindrice la încovoiere K,

folosind D=0, conduce problema studiată în domeniu elasto-plastic.

Calculul în domeniul de deformare elasto-plastic se bazează pe faptul că, uneori pot apare deformări

permanente în secţiunea cea mai solicitată, fără ca aceasta să fie complet distrusă, sau inutilizabilă.

Dacă deformările plastice cresc mult, se poate atinge o stare limită, căreia îi corespunde o sarcină

limită, a carei valoare poate duce la distrugerea construcţiei respective. Sarcina admisibilă [1]:

lima

PP

C (52)

unde: Plim – sarcina limită; lim limlim

6 8M MP sau

l l (53)

în funcţie de schema de calcul adoptată pentru mecanismul de cedare al şasiului în ansamblul său

(grindă încărcată cu sarcina P încastrată şi articulată la un capăt sau dublu articulată);

C – coeficient de siguranţă (C = φmax / φstat ; ymax / ystatic );

Numărul de articulaţii plastice pentru transformarea unei grinzi static nedeterminate, este în general

egal cu un grad de nedeterminare majorat cu o unitate [1].

Articulatiile plastice apar în secţiunile cele mai solicitate ale construcţiei.

Dacă forţa limită Plim > Pc (54)

Unde: Pc – este sarcina care produce atingerea limitei de curgere în fibrele cele mai solicitate, atunci

deformaţiile plastice cuprind o arie a secţiunii (de exemplu în A3 fig.1, a) se produce o articulaţie

plastică, în timp ce, în punctul A2, o parte a secţiunii se află încă în domeniu elastic, deoarece aici

momentul încovoietor este mic. In această stare, grinda încă nu-şi pierde capacitatea portantă, dar

pot apare fisuri [3].

In mare parte, în practică, fisurile menţionate se datoresc şi cedărilor de reazeme în condiţiile calării

necorespunzătoare a macaralei pe o suprafaţă care nu este perfect plană şi rezistentă.

Modelul fizic propus are un domeniu de aplicabilitate generală, se poate folosi pentru toate tipurile

de macarale mobile cu braţ telescopic a cărei construcţie metalică este similară cu cea prezentată în

lucrarea de faţă.

Exemplul de calcul foloseşte modelul dinamic prezentat, în figura 1,a. Graficele trasate în figurile 3

şi 4, corespund pentru parametrii principali ai macaralei ATF 30-26 analizată în lucrarea [4].

Exemple de calcul pentru coeficientul de siguranţă C al construcţiei

Se consideră cel mai mic moment pentru formarea articulaţiei elasto-plastice pe constructia – static

nedeterminată calculat din condiţia de stabilitate a construcţiei (D=0), K2 = 243547,6 daNm.

lim 3maxlim

8 8 243547,6 1,340526,2

6,25

MP

l

daN

unde:

φ3 – rotirea articulaţiei cu legătură elastică;

l – lungimea grinzii static nedeterminate a şasiului

Incărcarea admisibilă care acţionează asupra construcţiei macaralei, ţinând seama de normele în

vigoare:

1,3 1,25 35000 800 1,1 2800 10400 11900 85525aP daN

Coeficientul de siguranţă:

lim 405263,24,7385

85525a

PC

P

Coeficientul de siguranţă C poate fi determinat şi prin raportul dintre momentul limită calculat cu

schema grinzii static nedeterminată transformată în mecanism de cedare pentru şasiu cu coeficientul

elastic β3 =1653150 daN/m, şi valoarea momentului determinat din condiţia de stabilitate (D=0),

K3 =2,69 ∙ 106 daNm adica:

2

lim 3max6

0

1653150 2,5 1,34,993

2,69 10D

MC

M

Bibliografie

[1] Buzdugan, Gh , s.a – Manualul inginerului mecanic, materiale, rezistenţa materialelor, stabilitate elastică, vibraţii,

Editura Tehnică Bucureşti.

[2] Darabont, Al. – Socuri şi vibraţii. Aplicaţii în tehnică, Editura Tehnica, Bucureşti, 1988.

[3] Boleţeanu, L, Dobre , I. – Aplicaţii ale mecanicii solidului deformabil în

construcţia de maşini, Editura Facla, 1978.

[4] Sarbu, L. – Starea de tensiune a fisurilor apărute în structura şasiului de

macara mobilă pentru orice categorie de teren folosită în construcţii. A 5-a Conferinţă Internaţională Integritatea

Structurală a Construcţiilor sudate. Incercarea şi evaluarea riscului la realizarea materialelor avansate şi a sudurilor,

20-21.11.2007, Timişoara pag.239-248.

[5] * * * - Indrumător matematic şi tehnic, Editura tehnică, Bucureşti.