1 Calcul integral (completare)

2 Aplicatii ale integralei definite

2.1 Calcul arii

O x

y

y=f(x)

y=g(x)

ba

Aria cuprinsa ntre x = a, x = b si graficele functiilor f, g ( f (x) > g (x) , x [a, b] . : Z b

a(f (x) g (x)) dx

Example 1 Sa se calculeze aria marginita de curbele y = x2, x+ y + 2 = 0.

2 1 1 2

4

3

2

1

Primul pas: se calculeaza intersectiile celor 2 grafice:

y = x2

x+ y + 2 = 0

1

Solutii:

x = 1, y = 1x = 2, y = 4

Aria: Z 21

x2 (x 2)

dx =

9

2.

2.2 Calcul centre de greutate

Centrul de greutate al multimii plane marginite de x = a, x = b si graficul uneifunctii f are coordonatele xg, yg date de:

xg =

R ba xf (x) dxR ba f (x) dx

yg =12

R ba f

2 (x) dxR ba f (x) dx

Example 2 Sa se calculeze centrul de greutate al unui semidisc de raza R cucentrul n O, cu diametrul pe Ox.

Solutie: Ecuatia semicercului este:

y =pR2 x2 = f (x)

xg =

R RR x

R2 x2dxR R

RR2 x2dx

= 0

yg =12

R RRR2 x2

dxR R

RR2 x2dx

=

Z RR

pR2 x2dx x=R sin t=

Z /2/2

pR2 R2 sin2 tR cos tdt

= R2Z /2/2

cos2 tdt = R2Z /2/2

1 + cos (2t)2

dt

= R2Z /2/2

1

2dt+

Z /2/2

cos (2t)2

dt

!= R2

2+sin (2t)4

|/2/2

=R2

2+ 0.

2

12

Z RR

R2 x2

dx =

1

2

2R3 x

3

3|RR

=2R3

3

deci

yg =2R33

R22

=4R3

2.3 Calcul arii si volume de rotatie

Fie o functie f : [a, b] R . f (x) > 0, x [a, b] . Aria supafetei generate derotirea graficului functiei f n jurul axie Ox se calculeaza cu formula:

A = 2Z baf (x)

p1 + f 02 (x)dx.

Volumul obtinut prin rotatia suprafetei plane marginita de Gf , axa Ox sidreptele x = a, x = b se calculeaza cu formula:

V = Z baf2 (x) dx.

Example 3 Sa se afle aria si volumul sferei de raza R. Se obtin din rotatia njurul axei Ox a graficului:

y =pR2 x2 = f (x) , x [R,R] .

Cf. formulelorf 0 (x) = x

R2x2

:

A = 2Z RR

pR2 x2

r1 +

x2

R2 x2 dx

= 2Z RR

R2dx = 2R (2R) = 4R2.

V = Z RR

R2 x2

dx

= R2x x

3

3

|RR =

4R3

3.

3 Integrale improriiFie f : [a, b) R , f integrabila pe [a, c] [a, b) ( b poate fi ).Definim functia F : [a, b) R :

F (t) =Z taf (x) dx.

3

Definition 4 Daca exista limita:

limtbt

Theorem 9 Daca exista limita :

limx

f (x)x

= l(finita)

atunciRa f (x) dx este convergenta daca > 1 si divergenta daca 1.

DE asemenea este utila urmatoarea teorema:

Theorem 10 Daca f are primitiva marginita pe [a,) si functia g este monotonacu limita 0 la infinit atunci: Z

af (x) g (x) dx

este convergenta.

Example 11R0

ex2

dx

x2 = tx =

t

=R0

et

2tdt si f (t) = et, g (t) = 1

2tveri-

fica conditiile din teorema, deci integrala e convergenta.

Example 12R0cosx2dx. Cu aceeasi schimbare de variabila:Z 0

cosx2dx =

Z 0

cos t2tdt

f (t) = cos t, g (t) = 12t(Fresnel).

4 Integrale depinznd de un parametruFie f : [a, b] [c, d] . Se defineste integrala:

F (y) =Z baf (x, y) dx (1)

depinznd de parametrul y. (pentru acele valori ale lui y pentru care existaintegrala.)

Theorem 13 Daca f este continua pe [a, b] [c, d] atunci functia F definita de(1) este definita si continua pe [c, d] .

Theorem 14 Daca f are derivata partiala continua n raport cu a doua vari-abila , f este continua pe [a, b] [c, d] atunci F este derivabila n raport cu ysi:

F 0 (y) =Z ba

fy(x, y) dx.

5

Theorem 15 Daca f este continua pe [a, b] [c, d] atunci F este inegrabila pe[c, d] si: Z d

cF (y) dy =

Z ba

Z dcf (x, y) dy

!dx

Z dc

Z baf (x, y) dx

!dy =

Z ba

Z dcf (x, y) dy

!dx.

Example 16 Fie f : [0, 1] [c, d] R , f (x, y) = xy, 0 < c < d.

F (y) =Z 10

xydx =1

y + 1Z dc

1

y + 1dy =

Z 10

Z dcxydy

!dx

lnd+ 1c+ 1

=

Z 10

xy

lnx|y=dy=cdx

lnd+ 1c+ 1

=

Z 10

xd xclnx

dx

4.1 Integrale Euleriene

Sunt integrale care depind de parametri, si, eventual, improprii:

4.1.1 Functia a lui Euler

(t) =Z 0

xt1exdx

Principalele proprietati:

1. (t) este convergenta pentru orice t > 0.

2. Este adevarata formula de recurenta:

(t+ 1) = t (t)

Dem.: integrare prin parti:

(t+ 1) =Z 0

xtexdx

f (x) = xt

g0 (x) = ex= exxt|x=x=0 + t

Z 0

xt1exdx

= t (t) .

3. Deoarece (1) = 1 din rel. de recurenta rezulta:

(n+ 1) = n!, n N

6

4.1.2 Functia B a lui Euler

ESte integrala care depinde de 2 parametri:

B (p, q) =Z 10

xp1 (1 x)q1 dx

Principalele proprietati:

1. B este convergenta pentru p, q > 0.

2. B (p, q) = B (q, p) .

3. B (p, q) = (p)(q)(p+q) .

O consecinta la a treia proprietate: calcul (1/2) :

p = q = 1/2

B (1/2, 1/2) =2 (1/2) (1)

dar

B (1/2, 1/2) =Z 10

dxpx (1 x)

=

Z 10

dxpx (1 x)

=

Z 10

dxq14

x 12

2U

dxa2x2

=arcsin xa=

= arcsinx 1/21/2

|x=1x=0 = arcsin 1 + arcsin 1 = 22

de unde:

(1/2) = =

Z 0

exxdx

Tema: nR0

exx dx sa se faca schimbarea de variabila x = t

2.

5 Integrala dubleFie D R2 marginita, f : D R . Ce nseamna:ZZ

D

f (x, y) dxdy

si cum se calculeaza.

7

Ox

Oy

Figure 1:

DacaD = [a, b][c, d] si f este continua atunci (vezi integrale cu parametru):ZZD

f (x, y) dxdydef=

Z ba

Z dcf (x, y) dy

!dx

=

Z dc

Z baf (x, y) dx

!dy.

Daca D este marginit de x = a, x = b, y = 1 (x) , y = 2 (x) 1 (x) 2 (x) , x [a, b] ( D se numeste simplu n raport cu Oy ):atunci ( 1, 2 deriv-abile): ZZ

D

f (x, y) dxdydef=

Z ba

Z 2(x)1(x)

f (x, y) dy

!dx

Analog se defineste integrala dubla daca n def. D se schimba x cu y.n general D se descompune ca reuniune de domenii simple n raport cu una

din axe, domenii care sa aiba n comun curbe, si integrala va fi suma de integralecorespunzatoare domeniilor simple.

8

Example 17ZZD

(x ln y) dxdy,D margimit de x = 0, x = 4, y = 1, y = e. :

ZZD

(x ln y) dxdy =Z 40

Z e1

x ln ydydx

=

Z 40

xZ e

1

ln ydydx

f = ln y, g0 = 1f 0 = 1/y, g = y

=

=

Z 40

x (y ln y|e1 y|e1) dx

=

Z 40

xdx (e e+ 1) = x2

2||40 = 8.

Example 18ZZD

(x y) dxdy, D margimit de y = 2 x2, y = 2x 1. Se

determina x de intersectie:2 x2 = 2x 1

x = 1,3. Atunci:ZZD

(x y) dxdy =Z 13

Z 2x22x1

(x y) dy!dx

=

Z 13

x2 x2

2 x2

2/2 x

2 x2

(2x 1)2 /2

dx

= 2125

Z 2x22x1

(x y) dy =xy y2/2

|y=2x2y=2x1= x

2 x2

2 x2

2/2 x

2 x2

(2x 1)2 /2

5.1 Interpretare geometrica a integralei duble

Daca f : D R+ atunci : ZZD

f (x, y) dxdy

reprezinta volumul corpului marginit de D si graficul functiei f :

9

Oy

Ox

Oz

Figure 2:

Ox

Oy

Oz

5.2 Schimbarea de variabila la integrala dubla

Fie f : D R , si : x = x (u, v)y = y (u, v) , (u, v) (2)

cu x, y avnd derivate partiale continue, corespodenta ntre siD este bijectiva,iar la puncte de pe curba care margineste D corespund puncte pe curba care

10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 3:

margineste . Notam

J = x

uxv

yu

yv

numit Jacobianul tranformarii definite de (2) . n aceste conditii:ZZ

D

f (x, y) dxdy =ZZ

f (x (u, v) , y (u, v)) |J |dudv

Formula de sch. de variabila laZZ

se foloseste ca sa fie mai simplu ca D.

Example 19ZZD

(x y)2 (x+ y)3 dxdy,D margimit de x + y = 1, x y =

1, x+y = 3, xy = 1. Domeniul:Ideea: fac sch. de variabile x+y = u, xy = vatunci u [1, 3] , v [1, 1] . x = u+v2 , y =

uv2

J =12

12

12

12

= 1

2

11

Deci ZZD

(x y)2 (x+ y)3 dxdy =ZZ

v2u31

2dudv

=

Z 31

u3Z 11

v21

2dvdu

=

Z 31

u3du Z 11

v21

2dv

=u4

4|31

v3

6|11 = ...

Un caz particular este trecerea la coordonate polare:x = cos y = sin

n acest caz J = formula devine:ZZD

f (x, y) dxdy =ZZD

f ( cos , sin ) dd.

Example 20 Sa se calculezeZZD

dxdyx2+y2+1 unde D este marginit de axa Ox

si semicercul superior al cercului x2 + y2 = 1.1.0 0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Trecnd n coordonate polare:x = cos y = sin , J =

ZZD

dxdyx2 + y2 + 1

=

ZZD

dd2 + 1

=

Z 10

Z 0

d2 + 1

d

=

Z 10

d2 + 1

Z 0

d

=1

2ln2 + 1

|10 =

ln 22

12

Direct:

ZZD

dxdyx2 + y2 + 1

=

Z 11

Z 1x20

dyx2 + y2 + 1

!dx = ...

5.3 Aplicatii ale integralei duble n mecanica

1. Daca f reprezinta densitatea unei placi plane D atunci masa placii este:ZZD

f (x, y) dxdy.

2. Centrul de greutate al unei placi plane D cu densitatea ::

xg =

ZZD

x (x, y) dxdy

ZZD

(x, y) dxdy

yg =

ZZD

y (x, y) dxdy

ZZD

(x, y) dxdy

3. Aria unui domeniu plan:

A =ZZD

dxdy.

6 Integrale curbilinii6.0.1 Integrale curbilinii de speta nti

Fie o curba data parametric:

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

, t [a, b] .

cu functiile x, y, z derivabile.Integrala curbilinie de speta nti a functiei f : D R , D este numarul

notat cuR f (x, y, z) ds definit de:Z

f (x, y, z) ds =

Z baf (x (t) , y (t) , z (t))

px02 (t) + y02 (t) + z02 (t)dt.

13

Daca f reprezinta densitatea liniara a curbei atunciR f (x, y, z) ds reprez-

inta masa curbei.

6.0.2 Integrala curbilinie de speta a doua

Fie curba de mai sus, P,Q,R functii definite pe D, D. Integrala curbiliniede speta a doua din

V = (P,Q,R) pe curba este numarul notat cu

RV dr =R

Pdx+Qdy +Rdz definit:ZPdx+Qdy+Rdz =

Z baP (x (t) , y (t) , z (t))x0 (t)+Q (x (t) , y (t) , z (t)) y0 (t)+R (x (t) , y (t) , z (t)) z0 (t) dt

Interpretare mecanica: dacaV este o forta atunciZ

V dr

este lucrul mecanic efectuat de fortaV dea lungul curbei .

IntegralaRV dr depinde de sensul de parcurgere al curbei , adica daca

se schimba sensul integrala si schimba semnul.Daca este curba nchisa se foloseste notatia:I

+

V dr

6.0.3 Integrala curbilinie de speta a doua n plan

Fie o curba plana: x = x (t)y = y (t) t [a, b]

si P,Q doua functii definite pe D R2, D.Z

Pdx+Qdy =Z ba(P (x (t) , y (t))x0 (t) +Q (x (t) , y (t)) y0 (t)) dt

Formula lui Green: Fie o curba nchisa,simpla (nu trece de doua ori prinacelasi punct) si D interiorul curbei, cf. figurii:

int( )

14

Atunci: I+

P (x, y) dx+Q (x, y) dy =ZZD

Qx

Py

dxdy (3)

Consecinte:

1. Daca Qx =Py pe D atunci

I+

P (x, y) dx+Q (x, y) dy = 0.

2. Daca Qx =Py pe D atunci

RC P (x, y) dx+Q (x, y) dy nu depinde de C,

doar de extremitati. ( C D ).

3. Daca Qx =Py pe D atunci exista o functie U : D R astfel nct

Ux

= P,Uy

= Q

si functia U este definita:

U (x, y) U (x0, y0) =Z xx0P (t, y0) dt+

Z yy0Q (x, t) dt,

unde (x0, y0) estre un punct fixat din D.

Example 21 Fie P (x, y) = x2 + y2, Q (x, y) = 2xy. D = R2. Qx =Py = 2y

Atunci:

U (x, y) U (x0, y0) =Z xx0

t2 + y20

dt+

Z yy02xtdt

=

t3

3+ ty20

|t=xt=x0 + xt2|t=yt=y0

=x3

3+ xy20

x303 x0y20 + xy2 xy20

=x3

3+ xy2

x303+ x0y20

.

15