calcul diferential si integral

43
Cerasela Petrescu Victoria Stanciu CAIET DE SEMINAR-ANALIZA MATEMATICĂ I 1

Upload: radu-alexandru

Post on 28-Jan-2016

259 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Calcul Diferential Si Integral

TRANSCRIPT

Page 1: Calcul Diferential Si Integral

Cerasela Petrescu Victoria Stanciu

CAIET DE SEMINAR-ANALIZA MATEMATICĂ I

1

Page 2: Calcul Diferential Si Integral

Capitolul II. Calcul diferenţial multidimensional

Limite, derivate parţiale şi diferenţiale

Fie . Vom subînţelege că a este de forma , cu

Definim distanţa pe astfel:

Dacă , cu , iar , cu atunci

Atunci (R, d) este spaţiu metric.

Definim norma elementului x în :

.Fie A o mulţime oarecare. Atunci:A este deschisă dacă şi numai dacă există r > 0 astfel încât B(a,r) A, unde B(a,r) este bila de centru a şi rază r.A este închisă dacă şi numai dacă complementara ei este deschisă.A este compactă dacă şi numai dacă este închisă şi mărginită.

A este conexă dacă nu există şi separate (adică şi )

nevide, astfel încât .

Fie D o submulţime deschisă a lui , a un punct al lui D şi .

Definiţii. i) Funcţia f are limita în a dacă pentru ε > 0 există δ = δ (ε) > 0 aşa

încât cu să avem .

ii) Fie funcţia , definită pe un deschis D din . Dacă pentru un anumit

punct a al lui D şi un anumit versor , funcţia f(a+th) este derivabilă în t = 0,

derivata respectivă se numeşte derivata lui f în a după

direcţia h şi se notează .

iii) Derivatele lui f după direcţiile vectorilor ai bazei canonice a lui , se

numesc derivatele parţiale ale lui f în a şi se notează .

iv) Fie , , fiecare componentă fiind derivabilă parţial pe un

deschis D din . Atunci matricea de funcţii:

2

Page 3: Calcul Diferential Si Integral

se numeşte matricea jacobiană a lui f.

În cazul în care m = n, determinantul matricei jacobiene se numeşte jacobianul

lui f şi se notează .

Se numeşte gradientul lui f şi se notează gradf sau .

v) O funcţie , definită pe un deschis D din , se numeşte diferenţiabilă

în punctul dacă există o funcţie liniară aşa încât:

.Propoziţie. Orice funcţie diferenţiabilă în a este continuă în acest punct.

Propoziţie. Dacă este diferenţiabilă în , atunci f este derivabilă

după orice direcţie , iar .Teoremă. ( Criteriu de diferenţiabilitate) Dacă derivatele parţiale ale funcţiei

există pe o vecinătate V a punctului şi sunt continue în acest punct, atunci f este diferenţiabilă în a.

Funcţii de clasă şi formula lui Taylor; extreme locale

Considerăm un deschis D şi o funcţie ale cărei derivate parţiale

există în fiecare punct D. Dacă este la rândul ei derivabilă parţial în raport cu

variabila , derivata respectivă se numeşte derivata parţială de ordinul doi a lui f

în raport cu variabilele , şi se notează

Atunci când toate derivatele parţiale de ordinal 2 ale lui f sunt definite în a, ele formează elementele unei matrice de tipul n

numită matrice hessiană.

Teoremă. ( Criteriul lui Schwarz). Dacă sunt definite pe o vecinătate

a punctului a şi continue în a, atunci .

Corolar. Dacă f este de clasă , atunci pentru orice permutare a indicilor

avem .

3

Page 4: Calcul Diferential Si Integral

Fie o funcţie de clasă şi . Pentru orice întreg j cu , definim diferenţiala de ordinul j a lui f în punctul a ca fiind polinomul omogen de grad j în

variabilele cu coeficienţii daţi de derivatele parţiale de ordin j ale lui f în acest punct:

.

Ţinând seama de corolarul precedent, dacă f este de clasă putem scrie

,unde membrul drept se calculează ridicând formal la puterea j expresia

Pentru orice două puncte diferite , notăm

şi se numeşte segmentul de capete a şi b. Definim polinomul Taylor de grad k asociat lui f in punctul a:

.

Teoremă. (Formula lui Taylor). Dacă este o funcţie de clasă pe o

mulţime deschisă, convexă D , atunci pentru orice două puncte există

un punct aşa încât:

. Extreme locale

Definiţie. Un punct se numeşte punct de maxim (respectiv minim) local

pentru f dacă există o vecinătate V a punctului astfel încât pentru orice să

avem f(x) ≤ ( respectiv f(x) ≥ ). În ambele cazuri spunem că este un punct de extrem local.

Propoziţie. (Condiţia necesară de extrem local). Dacă f este diferenţiabilă pe D şi

are un punct de extrem local , atunci toate derivatele ei parţiale se anulează în acest

punct ( este punct critic al lui f).

Teoremă (Condiţia suficientă de extrem local). Fie f o funcţie de clasă pe o

mulţime deschisă D şi ∈D un punct critic al lui f.

i) Dacă este pozitiv definită, f are în un punct de minim local strict.

4

Page 5: Calcul Diferential Si Integral

ii) Dacă este negativ definită, f are în un punct de maxim local strict.

iii) Dacă forma pătratică este nedefinită atunci nu este punct de extreme pentru f.

Teorema funcţiile implicite, teorema de inversare locală, dependenţă funcţională şi extreme cu legături

Teoremă. (Teorema funcţiilor implicite). Fie D un deschis din o

funcţie de clasă şi (a,b) ∈ D o soluţie a ecuaţiei f(x,y)=0, pentru care:

.Definiţie. i) Fie o funcţie între doi deschişi din .Dacă f este bijectivă

iar f şi sunt funcţii de clasă , atunci f se numeşte difeomorfism.

ii) O funcţie , definită pe un deschis D din se numeşte undifeomorfism local în punctul dacă punctele a şi f(a) admit către o vecinătate

deschisă U şi V astfel încât să fie un difeomorfism între U şi V.

Teorema de inversare locală. Fie D un deschis din şi o funcţie

de clasă cu jacobianul nenul într-un anumit punct . Atunci f este un difeomorfism local.

Definiţie. Un sistem de r funcţii de clasă se numesc funcţional

independente în punctul dacă matricea lor jacobiană

are rangul r în acest punct.

Teorema dependenţei funcţionale. Considerăm r+1 funcţii de clasă ,

, definite pe un deschis D din . Dacă sunt funcţional

independente într-un punct ∈D, iar sunt funcţional dependente în orice

punct ∈D, atunci există o vecinătate deschisă U D a lui şi o funcţie

, de clasă pe un deschis , astfel încât pentru ∈U să avem:

.

5

Page 6: Calcul Diferential Si Integral

Definiţie. Fie o funcţie de clasă pe un deschis D din şi

alte r funcţii de clasă a căror anulare defineşte r restricţii sau

“legături” între variabilele . Un punct aparţinând mulţimii:

se numeşte punct de extrem local al lui f cu legăturile dacă există o bilă

deschisă aşa încât f(x) - f( ) sa păstreze un semn pentru .

Teoremă. (Condiţia necesară de extrem cu legături). Fie un punct de extrem

local al lui f cu legăturile . Dacă funcţiile sunt

funcţional independente în , atunci există constantele reale ( numite

multiplicatori ai lui Lagrange) aşa încât să fie un punct critic al funcţiei:

. Probleme rezolvate

1. Să se studieze existenţa următoarelor limite şi în caz că există, să se calculeze:

Soluţie. a)

b)

c)

Luăm y = mx, m∈ . Avem . Prin urmare această limită nu există deoarece depinde de alegerea lui m.

d)

6

Page 7: Calcul Diferential Si Integral

Cum şi , rămâne să calculăm limita

Avem şi deci:

. Cum , rezultă că

şi obţinem astfel

2. Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii:

b)

Soluţie. a) f este pe . Să studiem continuitatea funcţiei în origine.

Fie şirul din . Evident .

Avem: , deci f nu e continuă în (0,0).

b) f este pe . Vom studia continuitatea funcţiei în origine.

Funcţia este continuă în (0,0) . Avem:

Avem:

7

Page 8: Calcul Diferential Si Integral

Prin urmare f este continuă în (0,0).

3.Calculaţi derivatele parţiale ale funcţiei f = xy+yz-2zx .

Solutie. Avem ; ;

.

4. Fie f :R2→

R, f (x , y ) = 2x3y – ex2

. Să se calculeze cu ajutorul definiţiei, derivatele

parţiale de ordinul întâi ale lui f în punctele (0,0) şi (-1,1).

Soluţie: Observăm că f este continuă în cele două puncte.

∂ f∂ x

(0,0 )=limx→0

f ( x ,0 )−f (0,0 )x

=limx→0

−ex2

+1x

=0

∂ f∂ y

(0,0 )=limy→0

f (0 , y )−f (0,0 )y

=0

∂ f∂ x

(−1,1 )= limx→−1

f ( x ,1 )−f (−1,1)x+1

= limx→−1

2 x3−ex2

+2+ex+1

=6+2e

∂ f∂ y

(−1,1 )=limy→1

f (−1 , y )−f (−1,1)y−1

=−2

5. Fie funcţia . Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi ale lui f.

Soluţie. Pentru (x,y) ≠ (0,0), avem:

Derivatele parţiale în origine le calculăm folosind definiţia. Astfel:

8

Page 9: Calcul Diferential Si Integral

6. Să se calculeze diferenţiala de ordinul I a funcţiei .

Soluţie.

7. Calculaţi diferenţialele indicate pentru următoarele funcţii:

a) ;

b) ;

c) .

Soluţie. a) Avem că:

9

Page 10: Calcul Diferential Si Integral

Obţinem astfel că:

b)

c)

Avem:

Aşadar,

10

Page 11: Calcul Diferential Si Integral

8. Să se studieze diferenţiabilitatea de ordinul întâi în punctele indicate pentru

următoarele funcţii:

a) în punctul (0,0);b)

Soluţie. a) Să calculăm derivatele parţiale ale funcţiei în origine.

Pentru , limita nu există.

Deci o condiţie necesară ca funcţia să fie diferenţiabilă este ca .

În mod asemănător se obţine:

Pentru , derivata parţială nu există.

a) Cazul .Pentru ca f să fie diferenţiabilă în punctul (0,0) este suficient să existe o funcţie

şi astfel încât:

Rezultă , deci şi . De aici deducem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul (0,0).

b) Din rezultă că funcţia f este continuă în (0,0). Avem:

11

Page 12: Calcul Diferential Si Integral

Ca şi la punctul precedent pentru ca f să fie diferenţiabilă în punctul (0,0) este

suficient să existe o funcţie şi astfel încât:

Atunci rezultă că şi deci

Însă şi deci .De aici deducem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul (0,0).

9. Să se demonstreze că funcţia f(x,y) = 0 , daca ( x , y )=(0,0 ); ¿ ¿¿¿

este diferenţiabilă în origine, dar nu este de clasă C1.

Soluţie: Avem:

∂ f∂ x

(x , y )=¿ 0 , daca( x , y )=(0,0 ) ; ¿¿¿¿

∂ f∂ y

( x , y )=¿ 0 , daca( x , y )=(0,0); ¿ ¿¿¿

Derivatele parţiale sunt continue în orice punct (x,y) ≠ (0,0), dar în origine nu sunt

continue, deoarece

∂ f∂ x

(x , y ) nu există, deci f nu este de clasă C1(R2).

= √ x2+ y2sin

1

x2+ y2=0 => f este diferenţiabilă în origine.

10. Să se studieze diferenţiabilitatea de ordinul întâi şi continuitatea derivatelor parţiale în punctul (0,0) pentru funcţia:

12

Page 13: Calcul Diferential Si Integral

Soluţie. Având în vedere că , obţinem că f este funcţie

continuă pe . Avem:

Ţinând cont de inegalităţile de mai jos :

şi ,

rezultă continuitatea derivatei parţiale în punctul (0,0).

Analog se demonstrează continuitatea derivatei parţiale în punctul (0,0).Rezultă astfel diferenţiabilitatea funcţiei f.

11. Fie funcţia Să se arate că:

a) deşi funcţia nu îndeplineşte condiţiile din criteriul lui Schwarz în (0,0).b) f îndeplineşte condiţiile din criteriul lui Young în (0,0).

Soluţie. Se arată că funcţia f este continuă pe şi că avem relaţiile:

Cum

13

Page 14: Calcul Diferential Si Integral

şi , obţinem şi sunt continue pe .

Ţinând cont de faptul că funcţia f este diferenţiabilă de ordinul 2 în punctele (x,y), cu şi calculând direct în (0,0), se obţine:

Se observă că nu este continuă în (0,0), deoarece dacă luăm şi

, atunci . Prin urmare funcţia nu îndeplineşte condiţiile din criteriul lui Schwarz.

12. Să se arate că funcţia ,

este continuă, există toate derivatele parţiale de ordinul 2 pe , dar

.

Soluţie. Deoarece rezultă că f este continuă. Calculăm derivatele parţiale ale funcţiei f. Se obţine:

14

Page 15: Calcul Diferential Si Integral

şi Avem

prin urmare sunt continue pe .

Este clar că f este diferenţiabilă de ordinul doi pe .Calculăm acum derivatele parţiale de ordinul 2 ale funcţiei f în (0,0).

13. Fie z=z(x,y). Calculaţi şi în fiecare din cazurile:

a) ;

b)

Soluţie. a) Fie . Vom deriva în funcţie de x ambii membrii ai expresiei şi obţinem:

15

Page 16: Calcul Diferential Si Integral

Pentru a calcula derivăm aceeaşi expresie în funcţie de y şi avem:

b) Vom proceda ca mai sus pentru a determina cele două derivate parţiale. Astfel, derivând expresia din enunţ în funcţie de x, se obţine:

Derivând acum aceeaşi expresie în funcţie de y, avem:

14. Să se arate că următoarele funcţii verifică ecuaţiile indicate:

a) z = f(x-at) + g(x+at) verifică ecuaţia: (ecuaţia corzii vibrante).

b) verifică ecuaţia: .

Soluţie. a) Notăm x – at = u, x + at = v. Avem :

16

Page 17: Calcul Diferential Si Integral

b) Notăm . Avem că:

Astfel, obţinem că: .

15. Se dau funcţiile: cu f, g, h în

Să se arate că sunt în dependenţă funcţională.

Rezolvare : Trebuie să arătăm că:

este nul în D. Notăm:

17

Page 18: Calcul Diferential Si Integral

=> ’( )g’( )h’( )

unde =0 => funcţiile sunt în dependenţă funcţională.

16. Să se scrie polinomul lui Taylor de gradul trei ataşat funcţiei f (x,y)= xy , x>0 , y>0 în punctul (1,1). Să se deducă apoi valoarea aproximativă a numărului (1,1) 1,2.

Soluţie. T3(x,y) = f(1,1) + 11!

¿2 δ ² f (1,1 )δx ²

+ +2 (x-1)(y-1) δ ² f (1,1 )δx δy

+ (y-1)² δ ² f (1,1 )δy ²

]

+ 13!

[(x-1)3 δ ³ f (1,1 )δx ³

+ 3(x-1)² (y-1) δ ³ f (1,1 )δx ² y

+ +3(x-1)(y-1)² δ ³ fδx δy ²

+ (y-1)³

δ ³ f (1,1 )δy ³

] = 1+ (x-1) + (x-1)(y-1) + 12(x−1)2(y-1).

Pentru x=1,1 si y=1,2, deducem:

(1,1)1,2≃1+0,1+0,1+1,2+ 12( 0,1)2⋅0,2=0 ,1021

.

17. Să se calculeze punctele de extrem ale funcţiilor:

a)

b)

c)

Soluţie. a) Rezolvăm sistemul:

Scăzând cele două ecuaţii se obţine:

18

Page 19: Calcul Diferential Si Integral

sau

Integrale multiple

Teorema de medie. Dacă A este o mulţime măsurabilă şi conexă din

atunci pentru orice funcţie continuă există un punct pentru care

,

unde vol(A) reprezintă volumul mulţimii A, .

Teorema lui Fubini. Fie o funcţie integrabilă, unde , m=p+q.

Fie şi , unde ,

( proiecţia lui A pe ), iar pentru secţiunea q-dimensională a lui A, avem:

Cazuri particulare: 1) p=1, q=m-1.

A’=[a,b], . Obţinem formula lui Cavalieri

2) m=2.

3) m=3.

Formula schimbării de variabilă în integrale multiple.

Fie un difeomorfism între doi deschişi din . Dacă f este o funcţie continuă pe o mulţime numărabilă , atunci:

Cazuri particulare: 1) m=2.

19

Page 20: Calcul Diferential Si Integral

2) Coordonate polare în plan

,

.

3) Coordonate sferice în spaţiu

, .

Probleme rezolvate

1. Să se calculeze integralele duble:

a) , unde D este mărginit de parabola şi dreapta , p>0;

b) , a>0, D este mărginit de cercul cu centrul în (a,a) şi rază a intersectat cu axele de coordonate;

c) , ;

d) , D este paralelogramul cu laturile y=x, y=x+a, y=a şi y=3a, a>0;

e) , ;

f) , ;

g) ;

20

Page 21: Calcul Diferential Si Integral

h) .

Soluţie. a)

b)

Facem schimbarea de variabilă:Se obţine astfel:

c) Vom folosi faptul că dacă f este o funcţie pară, adică f(x) = f(-x), atunci

.

21

Page 22: Calcul Diferential Si Integral

d)

e)

.Fie schimbarea de coordonate:

, .Utilizând schimbarea de variabilă de mai sus, obţinem:

f) Facem schimbarea de variabilă:

, .

g) Facem schimbarea de variabilă:

Calculând jacobianul transformării se obţine:

22

Page 23: Calcul Diferential Si Integral

.

Astfel, integrala din enunţ devine:

Să calculăm fiecare integrală pe rând.

Am

folosit formula următoare:

obţinută cu substituţia şi formula complementelor .

.Astfel, integrala iniţială este egală cu:

23

Page 24: Calcul Diferential Si Integral

h) Facem schimbarea de variabilă:

Calculând jacobianul transformării se obţine:

.

2. Să se calculeze următoarele integrale duble:

a) , dacă D este domeniul limitat de parabola şi de dreapta de ecuaţie y=2x+3;

b) , dacă D este domeniul mărginit de dreptele x=0, y=1, şi y=x;

c) , ;

d) , unde D este domeniul mărginit de dreptele x+y=0, x+y=1, y=-1 şi y=1;

e) , ;

f) , ;

g) ;

h) ;

i) ;

24

Page 25: Calcul Diferential Si Integral

j) ;

k) , ;

l),

Soluţie.

a) Calculăm mai întâi punctele de intersecţie dintre parabola de ecuaţie şi

dreapta de ecuaţie y=2x+3. Astfel, cum ecuaţia are două rădăcini -1 şi 3, obţinem doua puncte de intersecţie: (-1,1), (3,9).

b) Integrala din enunţ este egală cu:

Să calculăm mai întâi integrala:

de unde: .

25

Page 26: Calcul Diferential Si Integral

c) Rezolvând sistemul de mai jos, obţinem că domeniul de integrare este cel haşurat în figură.

sau x=0.

d)

Avem că:

Pentru a calcula integrala

facem substituţia .

De aici obţinem şi .Prin urmare avem că:

Facem substituţia

26

Page 27: Calcul Diferential Si Integral

Se obţine astfel că:

e) Integrala din enunţ este egală cu:

f) Pentru a calcula integrala trebuie să determinăm mai întâi domeniul de integrare. Pentru aceasta rezolvăm sistemul:

sau

g) Trecem la coordonate polare:

Obţinem astfel:

27

Page 28: Calcul Diferential Si Integral

Avem:

Am notat şi , de unde

.h) Trecem la coordinate polare:

i)

28

Page 29: Calcul Diferential Si Integral

Trecem la coordinate polare şi ţinând cont de domeniul de integrare avem:

Am notat .j) Utilizăm coordonatele polare.

29

Page 30: Calcul Diferential Si Integral

k) Trecem la coordinate polare.

Astfel avem inegalităţile:

În noile coordinate domeniul D devine:

Vom avea:

Facem schimbarea de variabilă şi pentru a termina calculul integralei de mai sus, calculăm următoarele integrale:

30

Page 31: Calcul Diferential Si Integral

Revenind la calculul integralei din enunţ avem:

l) Trecem la coordinate polare generalizate.

Astfel fie:

Domeniul de integrare D devine:

Avem Pentru a definitiva calculul integralei de mai sus vom calcula mai întâi primitiva următoare:

Revenind în integrala

de mai sus se obţine

3. Folosind schimbări de variabilă adecvate să se calculeze următoarele integrale duble:

a) , unde D este domeniul mărginit de hiperbolele xy=1, xy=2 şi de

parabolele şi

b) ,

31

Page 32: Calcul Diferential Si Integral

Soluţie. a) Facem schimbarea de coordinate:

Calculând jacobianul transformării se obţine:

.Astfel, se obţine:

b) Se face schimbarea de coordinate:

Jacobianul transformării este egal cu: Integrala din enunţ devine:

4. Calculaţi următoarele integrale triple:

a) , unde Ω este domeniul mărginit de suprafeţele , z=1;

b) , unde Ω este domeniul mărginit de paraboloidul hiperbolic z=xy şi de planele z=0, x=1, y=0, x=y;

c) , unde Ω este domeniul mărginit de paraboloidul şi de planul z=2;

d) ;

e) , unde Ω este domeniul mărginit de ,

32

Page 33: Calcul Diferential Si Integral

Soluţie.a) Avem:

Trecem la coordonate polare în integrala de mai sus Se obţine:

b)

c)

Trecem la coordonate polare în integrala dublă obţinută mai sus şi avem:

Altă metodă. Se trece la coordonate cilindrice:

Atunci avem:

d) Trecem la coordonate sferice:

33

Page 34: Calcul Diferential Si Integral

e)

5. Aflaţi volumul mulţimii:

Soluţie.

34

Page 35: Calcul Diferential Si Integral

Facem următoarele substituţii:

Se obţine:

6. Să se calculeze integrala:

Soluţie. Se trece la coordonate cilindrice:

7. Să se determine volumul mărginit de suprafaţa

Soluţie. Avem Utilizăm o schimbare de coordonate:

35

Page 36: Calcul Diferential Si Integral

8.

Să se determine volumul corpului mărginit de suprafeţele:

Soluţie. Avem Trecem la coordonate cilindrice:

Avem Obţinem:

36

Page 37: Calcul Diferential Si Integral

9. Să se determine volumul corpului mărginit de suprafaţa:

Soluţie. Facem următoarea schimbare de coordonate:

10.

Calculaţi:

11. Calculaţi integrala:

Soluţie. Facem o schimbare de coordonate:

12. Calculaţi integrala:

Soluţie.

37

Page 38: Calcul Diferential Si Integral

Calculăm mai întâi integrala:

Revenind în integrala de mai sus avem:

13. Să se calculeze integrala:

Soluţie. Definim Aplicând teorema lui Fubini se obţine:

Calculând fiecare din cele două integrale avem:

Obţinem astfel:

Probleme propuse

1.

38