clasa a v-a - · pdf fileclasa a v-a january 19, 2013 probleme selectate de prof. gizela...
If you can't read please download the document
TRANSCRIPT
Clasa a V-a January 19, 2013
probleme selectate de prof. Gizela Fuioag, Colegiul Naional C.D. Loga, Timioara 1
Puteri
Breviar teoretic
Definiie:
, se numete puterea a n-a a lui a.
a = baz, numr natural ;
n = exponent, numr natural.
a0 = 1; a
a1 = a;
1n = 1;
0n = 0;
00 = nu se definete !
Proprieti:
a
am a
n = a
m+n
am : a
n = a
m - n , m
an b
n =
Exemple :
21 = 2 3
1 = 3 4
1 = 4 5
1 = 5 6
1 = 6 7
1 = 7 8
1 = 8 9
1 = 9 10
1 = 10
22 = 4 3
2 = 9 4
2 =16 5
2 =25 6
2 =36 7
2 =49 8
2 =64 9
2 =81 10
2 =100
23 = 8 3
3 =27 4
3 =64 5
3 =125 6
3 =216 7
3 =343 8
3 =512 9
3 =729 10
3 =1000
24 =16 3
4 =81 4
4 =256 5
4=625 6
4=1296 7
4 =2401 8
4 =4096 9
4 = 6561 10
4 =10000
25 =32 3
5 =243 4
5 =1024 5
5=3125 6
5=7776 7
5=16807
26 =64 3
6 =729 4
6 =4096 5
6=15625 6
6=46656
27 =128 3
7 =2187 4
7=16384 5
7=78125
28 =256 3
8 =6561 4
8=65536
29 =512 3
9=19683
210
=1024
Ultima cifr:
u = ; u = ; u = ; u = ;
u = ; u = ; u = ; u = ;
u = ; u = ; u = ; u = ;
u = ; u = ; u = ; u = ;
u = ; u = ;
u = ; u = ;
u = ; u = ;
u = ; u = .
Ptrat perfect: a2k = (ak)2; u(a
2) {0, 1, 4, 5, 6, 9}; u(a4) {0,1,5,6}
ntre dou ptrate perfecte a dou numere consecutive nu se afl un alt ptrat perfect.
Produsul a dou numere naturale consecutive nu este ptrat perfect: n(n+1) k2
Cub perfect: a3k
= (ak)3 .
Clasa a V-a January 19, 2013
probleme selectate de prof. Gizela Fuioag, Colegiul Naional C.D. Loga, Timioara 2
Exerciii
I. Calcule cu puteri, folosind proprietile puterilor
Calculai :
1. =
2. =
3.
=
4. =
5. =
6. (10000 12)(10000 22)(10000 32) ... (10000 1982)=
II. Calcule cu puteri, folosind factorul comun
Calculai :
1. 20032002 - 200220032001 =
2. 109 - 1089 - 1079 - 9106 - 9105 - 9 104 - 9103 =
3. 235 + 35 + 36 + 36 + 37 +37 + 38 + 38 + ... +32009 +32009+32010+ 32010 32011 =
III. Rezolvri de ecuaii, folosind calcule cu puteri
Rezolvai ecuaiile:
1. 237 810 x2 = 812
2. ( 1 + 22 + 24 + ... + 21980 ) x = 2 +22 + 23 + ... +21982
3. x : 29 210 = 211
4. 4x + 3 2x = 88
5. (923 x 923 -3): 2 = 3 + 32 + 33 + ... + 346
IV. Sume
Calculai urmtoarele sume :
1. 2n + 2n =
2. 1 + 20 + 21 + 22 + 23 + ..... + 2100 =
3. 3100 - 2399 - 2398 - ... -232 - 23 3 =
4. 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +...+32010 =
5. S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an-1 + an. Artai c S = (an+1 1) : (a 1)
V. Ultima cifr
1. Determinai ultima cifr:
a. 5552003 + 6662002 + 72000 + 81999 + 32n 5n , nN*
b. 111111 + 222222 + 333333 + ... + 888888 + 999999
c. 1994x 1995 , xN
2. Determinai ultimele dou cifre ale numrului : a = 19912 19922 19932 ... 19992
3. Determinai ultimele trei cifre ale numrului: N = 22000 21998 + 21995
VI. Comparri de puteri
1. Comparai numerele :
a. A = 333 332 330 i B = 254 +250
b. 1714 i 3111
c. A = 299 5101 i = 2101 599 . S se precizeze cte cifre de zero are AB.
Clasa a V-a January 19, 2013
probleme selectate de prof. Gizela Fuioag, Colegiul Naional C.D. Loga, Timioara 3
d. a = 2n+2 + 32n+1 - 92n i b = 2n+1 5n 10n , nN
2. Ordonai cresctor: x = 21653 21652 21651 ; y = 3993 2 3992 2 3991 3990 ; z =
7662
+ 9 7660
8 7661
VII. Ptrate perfecte i cuburi
1. S se arate c N = 10 26n+2 + 3 26n+3 , nN se poate scrie att sub form de ptrat
perfect , ct i sub form de cub perfect.
2. Artai c ntre numerele 22n+3 i 124n exist cel puin un ptrat perfect, oricare ar fi
n natural. Scriei un ptrat cuprins ntre aceste numere.
3. Artai c urmtoarele numere sunt ptrate perfecte :
a. 4n 48 + 22n+4
b. 32n+1 + 9n 18 - 532n
c. 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)
4. Artai c urmtoarele numere sunt cuburi perfecte :
a. 23n+2 - 3 8n
b. 27n 25 + 32n 3n+1 33n
c. 111000n 3 103n
5. Demonstrai c 53 + 67 + 112009 nu este ptrat perfect.
VIII. Exerciii de sintez
1. Se d numrul A = 41004 52012 +2009. Precizai primele cinci cifre i ultimele ase
cifre ale lui A i artai c A este divizibil cu 3.
G.M nr. 4/2009
2. Se dau numerele a = 2n+2 -32n i b = 22 3m+2 3m+3. Determinai numele naturale m
i n astfel nct numerele a i b s ocupe locurile 65, respectiv 730 n irul numerelor
naturale.
G.M nr. 5/2009
3. S se arate c numrul x care verific egalitatea :
x + 3 (31996
3 + 31997
+ 31998
) = 32000
este ptrat perfect.
4. Artai c numrul
a = 24n+3
32n+1
+ 122n+1
- 1742n
32n
se divide cu 19, pentru orice nN.
Olimp. et jud. BN/1998
5. Stabilii care propoziii sunt adevrate i care sunt false.
P1: a=b, unde a = 1995(1+2+3++15) i b=1239.
P2: 2100
-1625
+9352
69.
P3: numrul a = 342
105
67
8 se termin n 10 zerouri.
6. Scriei 29n ca o sum de 3 ptrate perfecte, n fiind impar.
a. Scriei pe 56 ca sum de 3 ptrate perfecte.
b. Scriei pe 31 ca sum de puteri cu baza 2.
c. Scriei pe 150 ca sum de puteri cu baza 5.
7. S se afle numerele naturale a, b, c care satisfac relaiile:
ab = {(25
86): [( 16
4)5
: (322)4]} 9
ca = [(123
362) : 24
3] : 3
bc = {(3 96) : [( 27
3)4
: (812)3]} 4
2
Clasa a V-a January 19, 2013
probleme selectate de prof. Gizela Fuioag, Colegiul Naional C.D. Loga, Timioara 4
8. Fie numarul A=32+34+....+32006. Aratati ca 8A + 9 este ptrat perfect.
IX. Exerciii pentru Munca Individual
1. Efectuai:
a. 3100 : [340 358 +( 358 358)5 :327 + (457 : 456 14) 90 38
b. (10.000 - 12 )(10.000 -22 )( 10.000 - 32)( 10.000 - 1982)
c. {{{[(1+2+3++100) : 1010]1000 5987 : 51986 }2 - 1}: 23- 3} (123 456 789)100
+ (1985-1944)0
10
2. S se arate c N=1026n+2 + 326n+3, n N este att ptrat perfect ct si cub perfect.
3. Artai c b=1+3+5++1999 este ptrat perfect.
4. Artai c 179n+3+314n+5 nu este p.p. pentru nici un numr natural n.
5. S se afle cel mai mic numar natural de 2 cifre cu proprietatea c suma dintre ptratul
i cubul su este ptrat perfect.
6. Se dau numerele: A = 299 5101, B = 2101 599. S se precizeze cifrele numerelor A+B;
AB i A2 i cte cifre de 0 au fiecare.
7. Se dau numerele: x = 21653 - 21652 - 21651; y = 3993 - 23992 - 23991 - 3990 ; z = 7662 +
97660
- 87661
. Scriei n ordine cresctoare x, y, z.
8. Determinai ultima cifr a numerelor:
a = 340
240
b = 12004
+ 92003
+82002
+72001
c = 19831983
777777
d = 1421
+ 1422
+1423 ++142
20
9. Aflai cifra unitilor numrului: a = 1 2 3 4 999 1000 1 3 5 997 999
10. Fie a = 6 + 62 +63 + +61996 , b = 9 + 92 +93 + +91997 . Aflai ultima cifr a
numerelor a + b i a b.
Succes!