chap1 slides rom

Introducere în modelareasistemelor

Paula Raica

[email protected]

Departamentul de Automatica

Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca

Dorobantilor, sala C21

Baritiu, sala C14

Tel: 0264 - 401267 (Dorobantilor)

Tel: 0264 - 202368 (Baritiu)

http://moodle.utcluj.ro (key: ts2012)

Teoria sistemelor – p. 1/31

IntroducereUn model matematic este o ecuatie sau un set de ecuatiicare descrie comportamentul unui sistem.Doua abordari pentru determinarea unui model:

Modele cu parametri concentrati: pentru fiecareelement al unui sistem se determina un model din legilefizicii.

Identificarea sistemelor: se poate realiza un experimentsi modelul se determina din rezultate..

Relatia importanta este între intrarea si iesirea sistemului.

Dynamic System input

u(t)

output

y(t)


Modele cu parametri concentratiSistemele studiate în acest curs sunt:

Liniare - respecta principiul superpozitiei

Stationare (sau invariabile în timp) - parametrii nu variaza întimp

Deterministe - Iesirea sistemului se poate determina dinintrarea sistemului la orice moment de timp

Exemple.

Rezistenta: i(t) = 1Rv(t)

Bobina: i(t) = 1L

∫

v(t)dt or v(t) = Ldi(t)dt

Condensatorul: i(t) = C dv(t)dt


ExempleSpring-mass-damper

k

disp

lace

men

t

Friction f

Force

y(t)

r(t)

Mass M

Md2y(t)

dt2+ f

dy(t)

dt+ ky(t) = r(t)

unde: f -coeficientul de frecare, M - masa, k - constantaelastica a resortului.


Sisteme liniareUn sistem se defineste ca fiind liniar în termenii intrarii siiesirii.Principiul superpozitiei

x1(t) → y1(t)

x2(t) → y2(t)

x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)

Omogen

x(t) → y(t)

mx(t) → my(t)


LiniarizareSistem neliniar:

y = x2

Sistem neliniar !y = mx+ b

Liniarizare în jurul unui punct de functionare x0, y0 pentruvariatii mici∆x si ∆y. Daca x = x0 +∆x si y = y0 +∆y:

y0 +∆y = mx0 +m∆x+ b

rezulta:∆y = m∆x


LiniarizareIntrare x(t) si raspuns y(t): y(t) = g(x(t))Seria Taylor în jurul punctului de functionare x0:

y = g(x) = g(x0) +dg

dx|x=x0

x− x01!

+d2g

dx2|x=x0

(x− x0)2

2!+ ...

Panta la punctul de functionare:

m =dg

dx|x=x0

,

y = g(x0) +dg

dx|x=x0

(x− x0) = y0 +m(x− x0),

Ecuatia poate fi rescrisa ca una liniara:

(y − y0) = m(x− x0) sau ∆y = m∆x


LiniarizareDaca variabila y depinde de mai multe intrari: x1, x2, ..., xn:

y = g(x1, x2, ..., xn).

seria Taylor în jurul punctului de functionare x10, x20, ..., xn0(dupa neglijarea termenilor de ordin mai mare ca 1):

y = g(x10, x20, ..., xn0) +dg

dx1|x=x0

(x1 − x10) +

+dg

dx2|x=x0

(x2 − x20) + ...+dg

dxn|x=x0

(xn − xn0)


Exemplu - Pendulul

Mass M

Length L

angle x

Cuplul:T = MgLsin(x)Conditia de echilibru pentrumasa este: x0 = 0o.

T−T0 ∼= MgL∂sinx

∂x|x=x0

(x−x0),

unde T0 = 0.

T = MgL(cos0o)(x−0o) = MgLx

Aproximarea este suficient de precisa pentru−π/4 ≤ x ≤ π/4.


Transformata Laplace

F (s) = £[f(t)] =

∫

∞

0

f(t)e−stdt

Table 1: Proprietatile transformatei Laplace1 Liniara f1(t) ± f2(t) F1(s) ± F2(s)2 Înmultirea cu o constanta af(t) aF(s)3 Deplasare complexa e±atf(t) F(s±a)4 Deplasare reala f(t-T) e−TsF (s), T≥05 Scalare f( ta) aF(as)6 Prima derivata d

dt f(t) sF(s) - f(0)7 Integrala

∫ t0 f(t)dt

1sF (s)


Transformata Laplace

Table 2: Transformata Laplace a unor functiif(t) F(s)

1 Impuls Dirac δ (t) 12 Treapta unitara u(t)=1 1

s

3 Rampa unitara v(t)=t 1s2

4 eat 1s−a

5 cosωt ss2+ω2

6 sinωt ωs2+ω2


Semnale1. Treapta unitar a:

u(t) =

{

0, t < 0

1, t ≥ 0

Transformata Laplace a functiei treapta:

£[u(t)] =1

s


Semnale2. Rampa unitar a

v(t) =

{

0, t < 0

t, t ≥ 0

Transformata Laplace a functiei rampa:

£[v(t)] =1

s2


Semnale3. Impulsul ideal (Dirac)

δ(t) =

{

0, t < τ and t > τ +∆τ

A, τ ≤ t ≤ τ +∆τ, lim∆τ→0

∫ τ+∆τ

τ

δ(t)dt = 1

Transformata Laplace a impulsului:

£[δ(t)] = 1


Functia de transfer= Raportul dintre transformata Laplace a semnalului deiesire si transformata Laplace a semnalului de intrare înconditii initiale nule.

a0r(t)+a1dr(t)

dt+...+am

dmr(t)

dtm= b0y(t)+b1

dy(t)

dt+...+bn

dny(t)

dtn

unde r(t) si y(t) sunt semnalele de intrare si iesire.Se aplica transformata Laplace în conditii initiale nule:

(a0 + a1s+ ...+ amsm)R(s) = (b0 + b1s+ ...+ bnsn)Y (s)

si functia de transfer este:

H(s) =Y (s)

R(s)=

a0 + a1s+ ...+ amsm

b0 + b1s+ ...+ bnsn


Exemplu

k

disp

lace

men

t

Friction f

Force

y(t)

r(t)

Mass M

Md2y(t)

dt2+ f

dy(t)

dt+ ky(t) = r(t)

Ms2Y (s)+fsY (s)+kY (s) = R(s)

H(s) =Y (s)

R(s)=

1

Ms2 + fs+ k

"iesire = continut x intrare"

O functie de transfer H(s) arata cum intrarea estetransferata la iesire.


Exemplu. Sistem electric

L

C R v in v out

i L

i C

i R N

Bobina:diLdt

=1

LvL

Condensatorul:dvCdt

=1

CiC

Rezistenta: vR = RiR

Legile lui Kirchhoff:

iL = iC + iR

vin = vL + vC

vC = vR = vout

Se presupun conditii initialezero, se aplica transformataLaplace, se elimina toate vari-abilele în afara de intrare siiesire.

H(s) =Vout(s)

Vin(s)=

1

LCs2 + LRs+ 1

=R

RLCs2 + Ls+R(1)


Functia de transferPentru un sistem fizic realizabil functia de transfer H(s) esteun raport de doua polinoame în s:

H(s) =N(s)

D(s)

ordinul lui D(s) ≥ ordinul lui N(s).

Ecuatia caracteristic a

D(s) = 0

Radacinile lui D(s) : poli

Radacinile lui N(s) : zerourile

Ordinul sistemului : gradul polinomului de la numitor, D(s)Polii si zerourile lui H(s) pot fi variabile complexe, s = σ+ jω.


Functia de transfer

H(s) =k(s− z1)(s− z2)...(s− zm)

sr(s− p1)(s− p2)...(s− pn)

unde m ≤ n, pi si zi sunt polii si zerourile functiei de transfer,r - numarul polilor la origine, n+ r - ordinul sistemului.

H(s) =k

sr

∏m1

j=1(Tjs+ 1)∏m2

j=1(1

ω2

nj

s2 + 2ζjωnj

s+ 1)∏n1

j=1(Tjs+ 1)∏n2

j=1(1

ω2

nj

s2 + 2ζjωnj

s+ 1)

unde k - factorul de proportionalitate (sau de câstig), ωnj -frecvente naturale, Tj - constante de timp, ζj - factori deamortizare.


Raspunsul sistemelor

H(s) R(s) Y(s)

Figure 1: Schema bloc a unui sistem

Din definitia funtiei de transfer:

Y (s) = H(s) ·R(s)

Aplicând transformata Laplace inversa:

y(t) = £−1[H(s) ·R(s)].


Exemplu

H(s) =Y (s)

R(s)=

1

Ms2 + fs+ k, R(s) = £[δ(t)], y(t) = £

−1[H(s)·1]

M = 1, f = 3, k = 2

Y (s) =1

(s+ 1)(s+ 2)

y(t) = e−t − e−2t

M = 1, f = 1, k = 3

H(s) =K

1ω2ns2 + 2ζ

ωns+ 1

y(t) =2√11

e−t/2sin(

√11

2t)


Exemplu

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12

Figure 2: Raspunsul sistemului. (Stânga) Raspuns

supra-amortizat. (Dreapta) Raspuns subamortizat


Scheme blocSchemele bloc sunt formate din blocuri unidirectionaleconectate care reprezinta functii de transfer.Conexiuni de baza: serie, paralel, cu reactie.

Y 2 (s)

Y (s)

Y 1 (s)

R 2 (s)

R 1 (s)

R (s) H 1 (s) H 2 (s)

Y 1 (s)

Y (s)

Y 2 (s)

R (s)

H 1 (s)

H 2 (s)

`

Y (s) H d (s)

H r (s)

R (s) E (s)


Functii de transfer echivalenteConexiunea serie

H(s) =Y (s)

R(s)=

Y2(s)

R1(s)=

Y2(s) · Y1(s)R1(s) ·R2(s)

= H1(s) ·H2(s)

Conexiunea paralel

Y (s) = ±Y1(s)± Y2(s), H(s) =Y (s)

R(s)= ±H1(s)±H2(s)

Conexiunea cu reactie

H(s) =Y (s)

R(s)=

Hd(s)

1∓Hd(s) ·Hr(s)


Transformarea schemelor bloc

X 2

X 1 X 3

G X 1

G

X 2

X 3

G

Figure 3: Sumator în fata unui bloc

X 2

X 1 X 2

G

X 2

X 1 X 2 G

G

Figure 4: Mutarea unui punct în fata unui bloc


Transformarea schemelor bloc

X 1

X 1 X 2

G

X 1

X 1 X 2 G

1/G

Figure 5: Mutarea unui punct în spatele unui bloc

X 1 G

X 2

X 3

X 2

X 1 X 3

G

1/G

Figure 6: Mutarea unui sumator în fata unui bloc


Suprapunerea semnalelor

R 1 Y R 2

H 1 H 2

H 3

H 01

H 02

Y

R 2

R 1

Y (s) = R1(s) ·H01(s)|R2(s)=0 +R2(s) ·H02(s)|R1(s)=0

Y (s) =H1H2

1 +H1H2H3·R1(s) +

H2

1 +H1H2H3·R2(s)


Matricea de transfer...

linear multiple input multiple

output (MIMO) system

...

r 1 (t)

r 2 (t)

r m (t)

y 1 (t)

y 2 (t)

y n (t)

...

...

R 1 (s)

R 2 (s)

R m (s)

Y 1 (s)

Y 2 (s)

Y n (s)

...

H 11

H 22

H nm

H n1 H n2

H 12

Figure 7: Sistem MIMO


Matricea de transfer

Y1 = H11R1 +H12R2 + . . . H1mRm

Y2 = H21R1 +H22R2 + . . . H2mRm

...

Yn = Hn1R1 +Hn2R2 + . . . HnmRm

unde functia de transfer de la intrarea k la iesirea j:

Hjk =YjRk


Matricea de transferForma matriciala:

Y = H · R

Vectorii de intrare si iesire:

R = [R1(s) R2(s) ... Rm(s)]T , Y = [Y1(s) Y2(s) ... Yn(s)]T

Matricea de transfer :

H =

H11 H12 . . . H1m

H21 H22 . . . H2m

. . . . . . . . . . . .

Hn1 Hn2 . . . Hnm


Conexiunile sistemelor MIMOConexiunea serie

H = H2 · H1, for n systems H =

1∏

j=n

Hj

Conexiunea paralela

H = ±H1 ± H2

Conexiunea cu reatie

H = (1 ∓ Hd · Hr)−1 · Hd


chap1 slides rom

Documents