cav

Partea V. Cavit`\i rezonante 137

PARTEA V

CAVIT~|I REZONANTE

1. Ecua\iile c@mpului electromagnetic [n cavit`\i rezonante

Studiul rezonan\ei c@mpului electromagnetic din interiorul unor incinte este util pentru realizarea unor filtre pentru c@mp sau a unor aplicatoare [n care c@mpul electromagnetic produce [nc`lzirea unor dielectrici (cuptoare de microunde). Evident, rezonan\a este asociat` regimului sinusoidal. Imaginile [n complex ale ecua\iilor c@mpului electromagnetic sunt (Cap.II.5):

BE ωjrot −= (5.1) JH =rot + Dωj (5.2)

ED ε= (5.3) HB µ= (5.4) EJ σ= (5.5)

n rela\ia constitutiv` ED − apare permitivitatea complex`, dac` dorim s` lu`m [n considerare pierderile [n dielectric. Din ecua\iile (5.1)÷(5.5) se ob\ine ecua\ia de ordinul 2:

( )EE εωωσµ

21−+

jrotrot =0 (5.6)

Din ecua\ia (5.6) rezult` condi\ia de etalonare:

( ) 02 =− Eεωωσjdiv . (5.7)


n ecua\ia (5.6) , termenul ωσj este luat [n considerare doar dac` mediul este foarte slab conductor (valori foarte mici ale lui σ ). n general, pentru frecven\ele ridicate, la care dimensiunile cavit`\ii se compar` cu lungimea de und` a undei electromagnetice

0

1εµf

L = , termenul ωσj este neglijat. n acest caz, ecua\iile

(5.6) ]i(5.7) devin:

EE εωµ

21−

rotrot =0 (5.8)

0=Eεdiv . (5.9)

Evident, aplic@nd in (5.8) operatorul div, rezulta (5.9). Condi\ii de frontier`. Pentru intensitatea c@mpului electric putem avea urm`toarele condi\ii de frontier`. a) Pere\i electrici. Dac` pere\ii cavit`\ii sunt perfect conductori, componenta tangen\ial` a intensit`\ii c@mpului electric E este nul`. b) Poarta de intrare [n cavitate. Componenta tangen\ial` a lui E are o valoare nenul` cunoscut`. Este, de exemplu, cazul [n care intrarea [n cavitate se face printr-un ghid de und`, unde tE este dat` de modul sau de modurile admise de ghid la frecven\a de lucru. c) Pere\i cu pierderi. Daca pere\ii cuptorului au pierderi, atunci putem admite modelul semispa\iului conductor pentru acesti pere\i:

zeE)z(E γ−= 0 (5.10)

unde 0E este componenta tangen\ial`. n [ntreg semispa\iul, intensitatea c@mpului electric este orientat` de-a lungul unui versor u, tangent suprafe\ei semispa\iului ([n Cap.I.7.1 am luat u=i) :

Eu =E . Din rela\ia (5.1) rezult` valoarea lui H :


Hωµj− = Eu×∇ = E∇×− u = zeE γγ −× 0ku

unde, [n Cap.I.7.1, k este versorul ortogonal suprafe\ei semispa\iului. Rezult`:

H= Ek ×ωµγ

j (5.11)

Folosind rela\iile (1.27) ]i(1.28) , avem :

ωµγ

j=( )

21

1ωµρj+

=Z1 (5.12)

unde ρ=σ1 este rezistivitatea materialului peretelui, iar

Z =( )2

1 ωµρj+ se numeste impedan\` de und`. Din (5.11) ]i(5.12)

'S dz lS Γ n k S

Fig.5.1. Puterea transferat` pe suprafa\a S


rezult` c`, la frontiera semispa\iului, deci la peretele cavit`\ii, avem condi\ia de frontier` mixt`:

tH = tZEk ×1 (5.13)

|in@nd cont de (5.13), pierderile specifice pe unitatea de suprafa\` a peretelui sunt:

( )( )kHE ⋅×= *tta Rep =

ωµρ2

2E (5.14)

Men\ion`m faptul c` putera complex` ce se transfer` pe o suprafa\` [nchis` este o m`rime global`, dat` de fluxul vectorului Poynting complex S= *HE× (2.54). n general, nu se poate evalua valoarea local` a transferului de putere. n cazul semispa\iului [ns`, aleg@nd o suprafa\` cilindric` foarte lung`, cu baza S pe perete ]iorientat` pe direc\ia k, fluxul vectorului Poynting complex pe aceast` suprafa\` este (Fig.5.1):

cp = ( )∫ ⋅×S

* dSkHE + ( )∫ ⋅×lS

* dSnHE ( )∫ ⋅×−'S

* dSkHE

Ultima integral` este nul`, suprafa\a 'S fiind trimis` spre infinit, unde valorile lui E ]iH tind exponen\ial c`tre 0. Deoarece E ]iH depind doar de coordonata z, pe suprafa\a lateral` lS avem:

( )∫ ⋅×

lS

* dSnHE = ( )∫ ∫∞

Γ

×

0dzdl* nHE =0.

Determinarea c@mpului electromagnetic din interiorul incintei se face prin solu\ionarea ecua\iei (5.8), [n condi\iile de frontier` mai sus men\ionate. Dac` mediul sau peretele au pierderi,


atunci ecua\ia (5.8) are solutie unic`. De aici rezult` c`, pentru componenta nul` a componentei tangen\iale a intensit`\ii c@mpului electric E pe [ntrega frontier` a incintei (deci ]i[n dreptul cavit`\ii), singura solu\ie este cea banal`. Dac` mediul din incint` ]i peretele nu au pierderi, atunci ecuatia (5.8) poate avea ]isolu\ii nenule. Not`m:

kΨ = εkΦ (5.15) si ecua\ia de vectori ]ivalori proprii asociata ecua\iei (5.8) este:

εµεkrotrot

Ψ11 = kkΨλ (5.16)

Se poate ar`ta c` operatorul ( )εµε•rotrot 11 este pozitiv ]isimetric,

de unde rezult` c` vectorii proprii kΨ sunt func\ii (vectoriale) reale, iar valorile proprii kλ sunt pozitive. n plus, subspa\iile generate de vectori proprii corespunz`tori valorilor proprii distincte sunt ortogonale, produsul scalar fiind: ik ,ΨΨ = ∫

Ω⋅ dvik ΨΨ . Dac`

intensitatea c@mpului electric era valoarea E=εkΨ

, spunem c`

avem rezonan\a c@mpului electromagnetic. Mai spunem c` incinta este o cavitate rezonant`. Din (5.8) ]i(5.16) rezult` c` pulsa\ia de rezonan\` este kω = kλ . Valorile corespunz`toare ale lui E se numesc moduri. Fenomenul este asem`n`tor cu cel de la un circuit LC (f`r` pierderi). La fel ca [n cazul circuitului LC, dac` excita\ia cavit`\ii rezonante (de la ghid, de ex.) se face pe pulsa\ia de rezonant`, atunci marimil c@mpului electromagneticdevin nem`rginite. n practic`, pierderile din pere\i sau dielectric, chiar dac` sunt mici, limiteaz` m`rimile c@mpului electromagnetic. n cazul pierderilor suficient de mici, putem admite c` se pastreaz` frecven\ele de rezonant` (mai ales cele mici), ]ispunem c` dac` alimentarea cavit`\ii se face adaptat. |in@nd cont de modurile de


propagare a undelor electromagnetice prin ghidurile de und`, acestea trebuie s` admit` frecventele de rezonan\` ale cavit`\ii, ca ghidul s` fie adaptat la cavitate. Mai multe detalii privind transferul puterilor de la ghid la cavitate se pot g`si [n manualele de microunde. De cele mai multe ori, incintele sunt omogene ]iatunci, ecua\iile (5.8) ]i(5.9) devin:

( ) EE2

2

crotrot ω

− =0 (5.17)

0=Ediv . (5.18)

unde εµ1

=c este viteza undei electromagnetice [n mediul incintei

(vezi Partea III-a). Solu\iile nenule ale ecua\iei (5.17) sunt valorile proprii ale operatorului pozitiv ]isimetric ( )( )•rotrot ]icorespund valorilor proprii pozitive kλ . Ele se ob\in prin rezolvarea ecua\iei:

( )krotrot Φ = kkΦλ (5.19) Pentru a ob\ine expresii analitice ale func\iilor proprii, este mai comod sa [nlocuim ( )krotrot Φ cu:

( )kΦ×∇×∇ = ( )kΦ⋅∇∇ ( ) kΦ∇⋅∇− Impun@nd ]icondi\ia (5.18), rezult` ecua\ia de vectori ]ivalori proprii:

kΦ∆− = kkΦλ (5.20) cu condi\ia:

0=kdivΦ (5.21) Deci ecua\ia (5.19) este echivalent` cu (5.20) ]icondi\ia (5.21).


2. Aplica\ie: cavitate paralelipipedic`

Domeniul de calcul este cel din Fig.5.2.

Presupunem ca mediul este omogen. Atunci ecuatia de vectori ]ivalori proprii (5.20) cu condi\ia (5.21). Pentru simplitatea scrierii omitem, pentru [nceput, indicele k. Not`m

Φ= zyx CBA ϕϕϕ kji ++ , (5.22)

si ecua\ia (5.20) pe componente este:

xx λϕϕ =∆− (5.23)

z c y b a x

Fig.5.2 Cavitate paralelipipedic`


yy λϕϕ =∆− (5.24)

zz λϕϕ =∆− (5.25)

Utiliz@nd separarea variabilelor (vezi ]iPartea IV, Cap.8.

Ghidul de und` dreptunghiular)

)z(Z)y(Y)x(X)z,y,x( xxxx =ϕ ,

ecua\ia (5.23) devine:

λ=−−−x

..x

x

..x

x

..x

ZZ

YY

XX

(5.26)

unde am pus dou` puncte pentru a doua derivat`. Cei trei termeni din membrul stang al rela\iei (5.26) sunt constante pentru ca suma lor s` fie tot o constant` :

α=−x

..x

XX

(5.27)

β=−x

..x

YY

(5.28)

γ=−x

..x

ZZ

(5.29)

Conditia de frontiera ( )txϕi = 0 (componenta tangen\ial` nul` pe peretele cavit`\ii) este indeplinita pe planurile 0=x ]i ax = . Pentru a fi indeplinita ]ipe planurile 0=y ]i by = , trebuie ca )(Yx 0 =0 ]i )b(Yx =0. Pentru 0≤β se ob\ine solu\ia nul` 0=)y(Yx , deci

0=xϕ . Pentru 0>β , Ecua\ia (5.28) are solu\iile:


)y(Yx = ysinA xY β + ycosB xY β (5.30) Pun@nd condi\iile de frontier` )(Yx 0 =0 ]i )b(Yx =0, rezult` xYB =0

]ib

lxπβ = , *x Nl ∈ . Deci ob\inem :

= y

bl

sinY xx

π (5.31).

La fel, impun@nd condi\ia de frontier` )(Z x 0 =0 ]i )c(Z x =0, din

ecua\ia (5.29) rezult` c

mxπγ = , *x Nm ∈ si:

= z

cm

sinZ xx

π. (5.32)

Deci

= y

bl

sinX xxx

πϕ

z

cm

sin xπ , (5.33)

constantele xYA ]i xZA fiind incluse [n xX . Asem`n`tor ob\inem :

yy

y Yxa

ksin

=

πϕ

z

cm

sin yπ , *yy Nm,k ∈ (5.34)

= y

blsinx

aksin zz

zππ

ϕ zZ , *zz Nl,k ∈ (5.35)


Condi\ia de etalonare pentru Φ este:

Φdiv =x

A x∂∂ϕ

+y

B y∂

∂ϕ+

zC z

∂∂ϕ =

y

bl

sindx

dXA xx π

z

cm

sin xπ +

dydY

xa

kBsin yy

π

z

cm

sin yπ +

y

blsinx

akCsin zz ππ

dzdZ z

(5.36) Pentru a indeplini conditia de etalonare pe frontierele 0=x ]i

ax = este necesar ca xX.

= 0 pentru x=0 ]ix=a. Rezult` 0≥β [n ecua\ia (5.27) pentru a avea solu\ii nenule. Pentru 0=β , avem

.ctX x = , iar pentru 0>β , avem:

xa

kcosX x

xπ

=

si:

= y

bl

sina

kcos xx

xππ

ϕ

z

cm

sin xπ , Nkx ∈ , *xx Nm,l ∈

(5.37) La fel:

=

bl

cosxa

ksin yy

yππ

ϕ

z

cm

sin yπ , Nl y ∈ , *yy Nm,k ∈

(5.38)

= y

blsinx

aksin zz

zππ

ϕ

cmcos zπ , Nmz ∈ , *

zz Nl,k ∈

(5.39)


Valoarea proprie este aceeasi pentru xϕ , yϕ ]i zϕ , condi\ie care este [ndeplinit` pentru zyx kkk == =k , zyx lll == =l ,

zyx mmm == =m . Solu\iile (5.37), (5.38) ]i(5.39) se scriu:

= y

blsin

akcosx

ππϕ

z

cmsin π (5.40)

=

blcosx

aksiny

ππϕ

z

cmsin π (5.41)

= y

blsinx

aksinz

ππϕ

cmcos π (5.42)

Nm,l,k xxx ∈ , dar nu toate nule simultan, deoarece se ob\ine

Φ=0. Valoarea proprie este:

λ=

+

+

222

2cm

bl

akπ (5.43)

Ramane de impus conditia de etalonare pe [ntreg domeniul. Din expresia (5.36) rezulta :

0=++cCm

bBl

aAk (5.44)

Pun@nd C=0 obtinem functia proprie:

[ ]yx bkal'A' ϕϕ jiΦ −= =

− z

cmsiny

blcosx

aksinbkz

cmsiny

blsinx

akcosal'A ππππππ ji

(5.45)


A doua functie proprie se obtine pun@nd, de exemplu B=0. Ea corespunde aceleiasi valori proprii. Dac` dorim s` ob\inem a doua func\ie proprie ortogonal` pe prima, atunci impunem conditia de etalonare, dar ]iconditia de ortogonalitate fata de functie proprie

'Φ : ∫Ω

⋅ dv"' ΦΦ =0. Cu cateva calcule simple, rezulta :

+

++= zyx b

lakc

blm

akm"A" ϕϕϕ

22kjiΦ (5.46)

cav

Documents