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CATEDRA 09

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

Capitulo XIII

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

II. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES2.1. Aspectos básicos.2.2. Teorema de Schur y Gershgorin2.3. Problemas propios de una matriz.2.4. Factorizaciones Ortogonales y problemas de mínimoscuadrados2.5. Método de QR de Francis para problemas de valorespropios2.6. Método mixtos evaluación de la determinante Iteraciónen un subespacio

3

C0NTENIDO

Competencias:. Explica los conceptos de valores y vectores propios deuna matriz cuadrada.

. Explica los conceptos de polinomio característico y ecuación característica de una matriz.

. Explica el concepto de base propia.

. Explica el concepto de matriz diagonalizable.

. Determina cuando una matriz es diagonalizable y hallarla matriz de transición necesaria para diagonalizarla.

5

Un poco de historia

Los valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del álgebralineal. Se usan en varias áreas de las matemáticas, física, mecánica, ingenieríaeléctrica y nuclear, hidrodinámica, aerodinámica,etc. De hecho, es raro encontrar unárea de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.

Puede parecer muy extraño, pero los valores propios de las matrices aparecieronpublicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho insólito de que,parafraseando a Cailey, la teoría de las matrices estaba bien desarrollada (a través dela teoría de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. SegúnMorris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadráticas yen la mecánica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raícescaracterísticas de la ecuación escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba demanera implícita los valores propios para describir geométricamente las formascuadráticas en tres variables.

En la década de 1760, Lagrange estudió un sistema de seis ecuaciones diferencialesdel movimiento de los planetas (sólo se conocían seis) y de ahí dedujo una ecuaciónpolinomial de sexto grado, cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 66.En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios paradeterminar los “ejes principales” de una forma cuadrática con n variables. Tambiénaplicó sus descubrimientos a la teoría del movimiento planetario. Fue Cauchy quien,en 1840, usó por primera vez los términos valores característicos y ecuacióncaracterística para indicar los valores propios y la ecuación polinomial básica quesatisfacen.

6

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nació en París. Fue educado en casa por su padre y noingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos.A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuelade ingeniería civil, donde se graduó tres años después. Su primer trabajo fue como ingenieromilitar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatroaños volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado aEuler y Gauss. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezóa trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esainvestigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidady sobre la convergencia de las series infinitas.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Matemático y físico francés. En un libro de 1797 élenfatizó la importancia de la serie de Taylor y el concepto de función. Trabajó en el sistemamétrico y defendió la base decimal.

Leonhard Euler (1707-1783) Matemático suizo. Los trabajos científicos de Euler abarcanprácticamente todas las matemáticas contemporáneas a él. En todas las ramas de lasmatemáticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo.Euler fue capaz de comprender las matemáticas como un todo único, aunque enorme en elconfluían un montón de ramas importantes y ante todo el Análisis. Laplace indicó que Eulerfue el maestro común de todos los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVIII. Euler fueen gran medida responsable de los símbolos e, i y.

Un poco de historia

7

Diagonalización de matrices

Condiciones de diagonalizabilidad

Diagonalización de matrices

Diagonalizaciónortogonal

VALOR PROPIO

VECTOR PROPIO

Polinomio característico

Subespacio propio

Resultados interesantes

Metodología para la obtención de valores y vectores propios

Interpretación

Espectro

Propiedades

VALORES Y VECTORES PROPIOS

Definición:

VECTOR Y VALOR PROPIO

Dada la Matriz A nxn se llama valor propiode A al escalar y vector propio de Aal vector no nulo v tal que: nx1

AV= V

valor propio

vector propio

POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

SEA A y SEA V NO NULO,

AV = V entonces :

P( ) = det ( A- I)

det ( A - I ) = 0

nxn nx1

polinomio característico

ecuacióncaracterística

Tal que

SEA UN VALOR PROPIO DE A EL CONJUNTO:

nxn

CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO

CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

E = { V (A- I)V = 0 }nx1

observe que los v son las soluciones del sistemahomogéneo (A - I)V=0

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

1. Se halla los valores propios que son las raíces 1, 2 ,..., n de p( ) = det(A- I )= 0

2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A- I)v= 0, correspondiente a cada valor propio i

( son los vi )

EJEMPLO:

Hallar los valores y vectores propios de

A=

110421001

13


Los conceptos básicos estudiados en este tema son útiles en todas lasáreas de las matemáticas puras y aplicadas, y aparecen en contextosmucho más generales que los que consideramos aquí.

Una de las principales aplicaciones de la teoría espectral son los sistemasdinámicos discretos (ejemplo introductorio), pero también puedenutilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferenciales ysistemas dinámicos continuos, además proporcionan información críticaen el diseño de ingeniería y se presentan naturalmente en campos comola física y la química.

Un escalar se llama valor propio de A si existe unasolución no trivial de ; una de esassoluciones no triviales se denomina vector propio de Aasociado al valor propio . El conjunto de todos los valores propios de una matrizcuadrada A se denomina espectro de A y se denota (A).

14

Cierta información útil de los valores propios de una matrizcuadrada A se encuentra codificada en una ecuación escalarllamada ecuación característica de A. Este hecho nos va apermitir enunciar un resultado de gran importancia prácticapara el cálculo de los valores propios de una matriz cuadrada.

Para que sea valor propio de la matriz cuadrada A, el sistemahomogéneo () ha de tener soluciones no triviales, luego eldeterminante de la matriz cuadrada A · I ha de ser cero.

Polinomio característico de A

Ecuación característica de A

Los valores propios deuna matriz cuadradason las raíces de supolinomio característico

Los valores propios deuna matriz cuadradason las raíces de supolinomio característico


15

SUBESPACIOS PROPIOS

Subespacios propios. Propiedades.-

Todo vector propio de A está asociado a un únicovalor propio de A.

1.-

2.- es un subespaciovectorial de y se denomina subespacio propioasociado a .

3.-

4.- Si son valores propios distintosde A y , entonces:

es un sistema libre

16

¿Cómo calcular los valores propios de una matriz cuadrada?

Los valores propios de una matriz cuadradaA son las raíces de su polinomiocaracterístico.

Los valores propios de una matriz cuadradaA son las raíces de su polinomiocaracterístico.

El orden del valor propio es la multiplicidad k de como raíz del polinomio característico.

Si k = 1, es un valor propio simple.

La suma de los valores propios de una matriz, teniendo encuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matrizLa suma de los valores propios de una matriz, teniendo encuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matriz

Observación

17

-EJEMPLO.- Calcular los valores propios de A, indicando suorden o multiplicidad:

Solución

Espectro de AEspectro de A

AtenciónAtención

18

¿Cómo calcular los subespaciospropios de una matriz cuadrada?

Para calcular los subespacios propios de unamatriz cuadrada A debemos resolver unsistema homogéneo compatible indeterminado.

Para calcular los subespacios propios de unamatriz cuadrada A debemos resolver unsistema homogéneo compatible indeterminado.

Si es un valor propio de orden k de una matriz A y d = dim V(), entonces:

1 d = dim V() k

Si es un valor propio de orden k de una matriz A y d = dim V(), entonces:

1 d = dim V() k

19

-EJEMPLO.- Calcular los subespacios propios de A, indicandosu dimensión:

Solución

21

OBSERVACIONES.-

1.- Sea tal que:

valores propios distintos de A: 1 , 2 , , r

órdenes respectivos: k1 , k2 , , kr

dimensión de los subespacios propios asociados:di = V(i) d1 , d2 , , dr

se cumple que:

nro. valores propios distintos

orden de la matriz

22

2.- Si cumple que:

el polinomio característico de la matriz A es:

ATENCIÓNATENCIÓN

3.- Conocido el polinomio característico de unamatriz cuadrada se puede calcular fácilmente sudeterminante:

23

Dos matrices son semejantessi:

Dos matrices semejantes tienen el mismopolinomio característico, luego tienen los mismosvalores propios con los mismos órdenes demultiplicidad.

Sin embargo, el recíproco no es necesariamentecierto. Es decir, existen matrices coon el mismopolinomio carácterístico pero que no sonsemejantes.

24

MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES

En muchos casos la información de vector propio-valor propio contenidadentro de una matriz A se puede mostrar con una útil factorización de laforma:

Las ideas y métodos aquí explicados nos permiten calcular rápidamenteAk para valores grandes de k, una idea fundamental en variasaplicaciones del Álgebra Lineal. Además la teoría aquí expuesta se aplicatambién en las ecuaciones diferenciales. En sistemas dinámicos, enprocesos de Markov, en el estudio de curvas y superficies, en la teoría degráficas y en muchos otros campos.

Una matriz cuadrada A se dice diagonalizable si existeuna matriz regular P que cumple que:

Es decir, A es semejante a una matriz diagonal.

25

La definición anterior de matriz diagonalizable no resultademasiado útil en la práctica. Una caracterización muyinteresante de matrices diagonalizables es la siguiente:

Una matriz es diagonalizable siy sólo si existe una base de formada porvectores propios de la matriz A.

Existe un resultado muy cómodo que nos permite justificarde manera muy simple si una matriz cuadrada A esdiagonalizable o no:

A es diagonalizable si y sólo si se cumplen lasdos condiciones siguientes:

k1 + k2 + … + kr = n

di = ki ; i = 1, 2 , … , r

A es diagonalizable si y sólo si se cumplen lasdos condiciones siguientes:

k1 + k2 + … + kr = n

di = ki ; i = 1, 2 , … , r

26

Las dos condiciones del resultado anterior se puedenresumir en una única condición, obteniendo el siguienteresultado:

A es diagonalizable si y sólo si :

d1 + d2 + … + dr = n

A es diagonalizable si y sólo si :

d1 + d2 + … + dr = n

Del resultado anterior se obtiene fácilmente elsiguiente corolario:

Una matriz cuadrada A de orden n con nvalores propios reales distintos, esdiagonalizable.

Una matriz cuadrada A de orden n con nvalores propios reales distintos, esdiagonalizable.

27

columnas de P: vectores de la base B de formada por v.p. de Aencontrada en 2.-

1.- Calcular los valores propios de A indicando sus órdenes.

2.- Calcular los subespacios propios V(i) y bases Bi de cadasubespacio.

3.- Escribir las matrices D y P tales que:

base de formada por v.p. de A.

elementos de la diagonal principal de D: valores propios de AEn orden

En orden

¿Cómo se diagonaliza una matriz cuadrada A diagonalizable?

28

-EJEMPLO.- Diagonalizar la matriz cuadrada A

SoluciónSabemos que:

29

-EJEMPLO.- Hallar una matriz regular P tal que:

Solución

30

Como ya sabemos, el cálculo de las potencias Ak puede serbastante tedioso. Sin embargo, si A es diagonalizable yhemos calculado P y D, entonces sabemos que

así que:

Con lo cual, iterando el proceso llegamos a:

Como el cálculo de Dk equivale a elevar sólo los elementosdiagonales de D a la k-ésima potencia, vemos que Ak esfácil de obtener.Si sucede que A es invertible, entonces 0 no es valorpropio de A. Por consiguiente D-1 existe y

31

DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL DE MATRICES SIMÉTRICAS

Las matrices simétricas surgen en las aplicaciones, deuna u otra manera, con mayor frecuencia quecualquier otra clase de matrices. La teoría es hermosay rica, y depende de manera esencial tanto de latécnica de diagonalización expuesta en este capítulo,como de la ortogonalidad del capítulo anterior.

La diagonalización de una matriz simétrica es elfundamento para el estudio de las formas cuadráticasy se utiliza también en el procesamiento de imágenes.

32

Teorema espectral.-

Sea matriz simétrica:

1.- Todos los valores propios de A son reales.

2.-

3.- A es diagonalizable, es decir:

4.- A es diagonalizable ortogonalmente, es decir:

33

columnas de P: vectores de la base BON de formada por v.p. deA encontrada en 3.-

1.- Calcular los valores propios de A indicando sus órdenes.

2.- Calcular los subespacios propios V(i) y bases Bi de cadasubespacio. Recordar que al ser A simétrica es diagonalizable ypor tanto: di = ki.

4.- Escribir las matrices D y P tales que:

base de formada por v.p. de A.

elementos de la diagonal principal de D: valores propios de AEn orden

En orden

3.- Ortonormalizamos las bases Bi de 2.-base ortonormal de formada por v.p. de A.

¿Cómo se diagonaliza ortogonalmente una matriz simétrica?

34

Teorema de la matriz invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonceslos enunciados que siguen son equivalentes.

1.- A es una matriz invertible.2.- A es una matriz regular.3.- A es equivalente por filas a la matriz In , es decir: .4.- Los vectores columna de A son linealmente independientes.5.- Los vectores columna de A generan .6.- Los vectores columna de A forman una base de .7.- Los vectores fila de A son linealmente independientes.8.- Los vectores fila de A generan .9.- Los vectores fila de A forman una base de .

10.- AT es una matriz invertible.11.- Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A · B = In.12.- Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C · A = In.13.- r ( A ) = n.14.- .15.- El sistema homógeneo A · x = 0 tiene solamente la solución trivial.16.- El sistema A · x = b es siempre compatible determinado y la solución vienedada por: x = A-1 · b.17.- 0 no es valor propio de A.

ASPECTOS BÁSICOSPara ingresar a los estudios de los valores propios deuna matriz debemos tener cierta familiaridad conmatrices y determinantes de los números complejos.

MATRICES, DEFINICIÓN, INTERPRETACIÓNDEFINICIÓN: Llamaremos matriz a un arreglorectangular de entes (números, funciones, etc)ordenados en filas y columnas.

35

Aspectos básicos.

ORDEN DE UNA MATRIZ:Se llama así al producto de las filas y columnas

36

Aspectos básicos.

nmmnmimm

ni

ni

ni

aaaa

aaaaaaaaaaaa

21

333231

222221

111211............

225243

525078990143

columnasfilasijnmij aa

MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNAMATRIZ FILA: Llamaremos matriz fila o vector fila aaquella matriz que posee sólo una fila y n columnas.La representamos del siguiente modo:

MATRIZ COLUMNA: Llamaremos matriz columna ovector columna a aquella matriz que posee sólo unacolumna y m filas.La representamos del siguiente modo:

37

Aspectos básicos.

nnaaaaA 11131211 ...,,,,

11

2111

mxma

aa

A

IGUALDAD DE MATRICES:Las matrices son iguales si tienen el mismo orden; esdecir el número de filas y columnas de cada una debende ser iguales y además cada elemento de una de ellastiene que ser igual al correspondiente de la otra.Su representación matricial es:

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

38

Aspectos básicos.

njmiijij baBA ,...,3,2,1,...,2,1;

mnm

n

aa

aaA

1

111

SUMA DE MATRICES:Dadas las matricesla suma de ambas es otra matriz en la que cada

elemento de es igual a la suma de los elementoscorrespondientes de .Su representación matricial es:

39

Aspectos básicos.

nmijnmij bByaA

nmijnmijij babaBAC

)(

PRODUCTO DE MATRICESEl producto de DOS es una matriz . El producto de lasmatrices estará definido correctamente si ; es decir si elnúmero de columnas de la matriz es igual al número defilas de la matriz .Su representación matricial es:

40

Aspectos básicos.

nmijnpijpmij cBACbBaA

;

njmibacp

kkjikij ,...,1;,...,1;.

1

TIPOS ESPECIALES DE MATRICES:1.MATRIZ CUADRADA: Cuando m=n ; se llama matrizcuadrada de orden y se denota por .

41

Aspectos básicos.

nnijAA

7

0 9 8 7 6 5 43 2 78 5 8 6 95 7 0 0 0 78 02 1 1 1 1 1 10 0 0 5 6 74 98 0 2 5 5 6 01 1 2 2 2 0 1

A

2. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Llamaremos matriztriangular superior a aquella matriz cuyos elementosson ceros para ; y se representa como:

42

Aspectos básicos.

nn

nnn

a

aaaaaaaaa

A

0000

...00

...0

...

333223221131211

3.MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Llamaremos matriz triangularinferior a aquella matriz cuyos elementos son ceros para ; y serepresenta como:

4.MATRIZ DIAGONAL: Llamaremos matriz diagonal a aquellamatriz donde todos sus elementos son ceros para , y serepresenta de la siguiente forma:

43

Aspectos básicos.

nnmmm aaaa

aaaaa

a

A

321

3332312221

11

0...0...00...00

nna

aa

a

A

0000

0...000...000...00

3322

11

5. MATRIZ ESCALAR: Es aquella matriz diagonal donde todos loselementos son igual a una constante ; y se representa de lasiguiente manera:6. MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz escalar con ; y se representade la siguiente manera7. MATRIZ TRANSPUESTA: Dada una matriz ; llamaremostranspuesta de A denotada por a la matriz

(5) (6) (7)

21/06/2015 44

2.1. Aspectos básicos.

nmijaA

tA mnjia

mnnnn

mmm

t

mnmmm

nnn

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

...

...

...

...

...

...

...

...

321

333231323222121312111

321

333323122322211131211

K

KK

K

A

0000

0...000...000...00

10000

0...1000...0100...001

A

8. MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz cuadrada essimétrica si se cumple que los elementos ; es decir .

9. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si

10.MATRIZ HERMITIANASLas matrices cuadradas cuyos elementos tienen simetríaconjugada se le llama matriz Hermitianas es decir: , endonde * indica la conjugada compleja

(9) (10) 45

Aspectos básicos.

jiaa jiij ;

tAA

tAA

064602420

064602420

664602420

tt AAA

11. MATRIZ BANDAEs una matriz cuadrada en donde la mayor parte de loselementos son ceros y los elementos con valor significativo estánagrupados alrededor de su diagonal principal en este caso sellama matriz banda.

46

Aspectos básicos.

1100012100

012100012100011

A

Obs.•Las líneas paralelas a la diagonal principal se le llamacodiagonales.•El número total de diagonal y codiagonales con elementossignificativos es el ancho de banda (3 en este ejemplo).•Para matrices simétricas puede también hablarse de un ancho desemi – banda; que incluye a la diagonal principal (2 en el ejemploprecedente).•Una matriz banda tiene baja densidad. Considerando densidadcomo la razón entre el número de elementos con valorsignificativo y el número total de elementos.

47

Aspectos básicos.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZDefinición: Determinante de una matriz A denotada por .

MENOR COMPLEMENTARIODefinición: Llamaremos menor complemento de un elementode una matriz A de tercer orden al determinante de una matrizcuadrada de segundo orden que se obtiene después de eliminar lafila i y la columna j; .El menor complementario de se denota por .

48

Aspectos básicos.

AA )det(

22211211

aaaa

A 12212211 ..)det( aaaaA

"" ijM

)( ijMija ijM

Ejemplo

el menor complementario de:

es de es

COFACTOR DE UN ELEMENTOSea un elemento de una matriz A denotaremos cofactor yse define como:

49

Aspectos básicos.

333231232221131211

33aaaaaaaaa

aA ij

33322322

11 aaaa

M11a

33321312

21 aaaa

M21a

ija ijA

ijji

ij MA 1

333231232221131211

aaaaaaaaa

A

1313

3113

121221

12

111111

11

1

1

1

MMA

MMA

MMA

131312121111 MaMaMaA

Propiedades:1. Si se intercambian una fila por una columna en su determinantesu valor no se altera.

2. Si todos sus elementos de una fila o columna son ceros eldeterminante es cero.3. Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas eldeterminante cambia de signo.

50

Aspectos básicos.

333222111

321321321

cbacbacba

cccbbbaaa

321

321

321

321

321

321

cccaaabbb

cccbbbaaa

Propiedades:4. Si un determinante tiene dos filas ó dos columnas iguales oproporcionales su valor es cero.

5. Todos los elementos de una fila o columna de un determinantese multiplica por un número el valor del determinante quedamultiplicado por el número.

51

Aspectos básicos.

0

321321321

ccckakakaaaa

321321321

321321321

321321321

cccbbbaaa

kccckbkbkbaaa

cckcbbkbaaka

Propiedades:6. Si todos los elementos de una fila o columna son expresadoscomo la suma de dos o más números, el determinante puedeexpresarse como la suma de dos o más determinantes

7. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se lemultiplica por m y a este resultado se le suma otra fila o columnael valor del determinante no se altera

52

Aspectos básicos.

323232

321321321

321321321

cczbbyaax

cccbbbaaa

cczcbbybaaxa

322132213221

321321321

ccmccbbmbbaamaa

cccbbbaaa

ObservacionesLa determinante de una matriz triangular es igual al producto delos elementos de su diagonal principal.MATRIZ DE COFACTORESSea la matriz

entonces llamamos matriz de cofactores de la matriz A a la matriz; donde

53

Aspectos básicos.

333231232221131211

aaaaaaaaa

A

333231232221131211

AAAAAAAAA

CA ijji

ij MA 1

414221422422414

315153531

CAA

MATRIZ ADJUNTASe llama así a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores y sedenota por

MATRIZ INVERSA.Supongamos la matriz cuadrada tiene , entonces la inversa de lamatriz A denotada por es

54

Aspectos básicos.

332313322212312111

)(AAAAAAAAA

CAAadj t

3636126363

)(363

6126363

987654321

AadjCAA

ACAAadj

AA

t )(11

RANGO DE UNA MATRIZ:Se llama rango de una matriz A de orden nxn, al orden de lamatriz cuadrada mas grande contenida en A cuyo determinantees diferente de cero y se denota r(A) = rango de A.Debemos resaltar que el r(A) ≤ min:{m,n} donde la matriz A en deorden de mxn.LONGITUD DE UN VECTORSupongamos x un vector en R2, su longitud denotado por |x| esdefinido como un número positivo o cero1,2.

55

Aspectos básicos.

En términos de producto punto

,

ANGULO ENTRE VECTORESEl coseno entre dos vectores es dado porEjemploSean los vectores

PERPENDICULARIDAD DE VECTORESDos vectores son ortogonales si el coseno entre ellos es cero esdecir si solo siEjemplo:Sean los vectores x=(2,3,3,4), y =(4,-3,7,-5) sonortogonales pues X*y=2*4+3(-3)+3*7+4(-5)=0

21/06/2015 56

2.1. Aspectos básicos.,

ESPACIO VECTORIAL Cn

El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos los vectores X endonde , Si al vectorcomplejo x es multiplicado por también complejo el resultado esotro vector complejo así:NORMA DE VECTORESLa norma Euclidiana se define:

,

57

Aspectos básicos.,

,,

VALOR PROPIO DE UN MATRIZ AAhora consideremos A una matriz de orden nxn cuyos elementospueden ser complejos y sea un escalar (numero complejo). Si laecuación

(1)Tiene una solución no trivial es decir entonces , es unvalor propio de A . Un vector x distinto de cero que satisface laecuación (1) es un vector propio de A correspondiente al valorpropioEjemplo: Consideremos la Ecuación siguiente

.

58

Aspectos básicos.

Esta ecuación nos afirma que -2 es un valor propio de matriz 3x3y que (1,3,-4)T, es un vector propio correspondiente.La condición de que la ecuación (1) tenga una solución no triviales equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones.

mapea algún vector distinto de cero en 0 (2)es singular (3)

(4)

59

Aspectos básicos.

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LA MATRIZ ADebemos decir que podemos resolver la relación (4) para lasincógnitas , y de esta manera determinamos los valores propiosde A. Resaltando que a esta relación se le conoce como ecuacióncaracterística de la matriz A . Nosotros podemos escribir estaecuación mas detalladamente así:

60

Aspectos básicos.,,,

00000

......

......

......

......

det

321

321

22232221

11131211

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE A,Podemos observar que la ecuación (4) tiene la forma de unpolinomio de grado n en la variable , a esto se le llama polinomiocaracterístico de A, de lo cual podemos decir que una matriz denxn tiene exactamente n valores propios, siempre y cuando secuenten con las multiplicidades que tienen como raíces de laecuación característica.

61

Aspectos básicos.

Ax

Axx

x

, ,

Ax

xx

Ax

,,

EjemploSea la matriz , calcular los autovalores de A

Los autovalores de A sonUn auto vector de A asociado con una solución de

así queEjemploDada la matriz A determinar

62

Aspectos básicos.,

RADIO ESPECTRAL DE UNA MATRIZRadio espectral de una matriz A se define así:en donde es un autovalor de AEjemplo: Consideremos la matriz sus autovaloresson:

El radio espectral se encuentra estrechamente vinculada con lanorma de una matriz.Para la norma matricial

63

Aspectos básicos.,

INDEPENDENCIA LINEALDiremos que los vectores no nulos sonlinealmente independientes si el único conjunto denúmeros reales tal que , es:

en caso contrario se dirá que losvectores son dependientes.EjemploDados los vectores del vector

64

Aspectos básicos.,

INDEPENDENCIA LINEALSi es un conjunto LinealmenteIndependiente de n vectores en Rn, entonces para cadavector x en Rn, existe un único conjunto de númeroreales , tal queen este caso se dice que es una base de Rn.

Ejemplo:Sean los vectores .Si los

números son tales que como

65

Aspectos básicos.

Pues la única solución al sistema es entonces elconjunto , es Linealmente independiente en R3, y por lotanto es una base de R3. Entonces cualquier vector en R3, puedeescribirse de la siguiente manera:

66

Aspectos básicos.,

INDEPENDENCIA LINEAL DE AUTOVECTORES

Si A es una matriz y son autovalores distintosde A con autovectores correspondientes ,entonces , es linealmente independiente.Un conjunto de vectores es ortogonal , si,

y demás entonces el conjuntoes ortogonal.

67

Independencia Lineal,

INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES ORTOGONALESUn conjunto ortogonal de vectores que no contenga elvector cero es linealmente independiente.Ejemplo: El conjunto de vectores,

forman un conjunto ortogonal, pues para estos vectorestenemos que:

68

,

Independencia Lineal

Este conjunto forman un conjunto ortogonal por heredar laortogonalidad de

Diremos que una matriz Q de dimensiones nxn es una matrizortogonal si , debemos aclarar que esta terminologíaprovienen del hecho de que las columnas de una matriz ortogonalforman un conjunto ortogonal.

69


Ejemplo. Considerando el ejemplo anterior la matrizortogonal será:

Observemos que: Q*Qt=I

Además se tiene que,

70

,


AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICESSEMEJANTESSe dice que dos matrices A y B de dimensiones nxn sonsemejantes si existe una matriz P tal que A=P-1BP. Dosmatrices semejantes tienen los mismos autovectores.Supongamos que las matrices A y B son semejantes de

orden nxn, y que es un autovalor de A con un autovectorasociado x. En estas condiciones diremos que es unautovalor de B y además si A=P-1BP., entonces Px es unautovector de B asociado a

71

,


Obsérvese que la determinación de los autovaloresde una matriz triangular de orden nxn esrelativamente sencilla, pues en este caso es lasolución de la ecuación

, si solo si paraalgún i .

72

,


TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN

Teorema 1. Todas las matrices semejantes tienen losmismos valores propios .

Pues supongamos que A y B son dos matrices semejantesesto es

Veamos que A y B tienen el mismo polinomiocaracterístico

73

,

Teorema de Schur y Gershgorin

Obsérvese:Que se a considerado que el determinante delproducto de dos matrices es el producto de susdeterminantes, y el determinante de la inversa deuna matriz es el reciproco de su determinante.

74

,*


TEOREMA DE SCHUR.Sea A una matriz de orden nxn cualquiera, entoncesexiste una matriz U ortogonal tal que T=U-1AU, donde T estriangular superior cuyos elementos diagonales son losautovalores de la matriz A.Debemos manifestar que el teorema de Schur garantizaque la matriz triangular existe, pero su prueba noproporciona la construcción de T.En otras palabras SCHUR afirmo que toda matriz cuadrada

es unitariamente semejante a una matriz triangular.

75

,


Corolario 1: toda matriz cuadrada es semejante unamatriz triangular.Corolario 2. Toda matriz Hermitiana es semejanteunitariamente a una matriz diagonal.Pues si A es Hermitiana, entonces A=A*, y sea U unamatriz untaría tal que UAU*, es triangular superior. Eneste caso (UAU*)*, es triangular inferior, pero, (UAU*)*=U** A* U*= UAU*, De esta manera la matriz UAU* estriangular superior e inferior en consecuencia se trata deuna matriz diagonal

76

,


Ejemplo

LOCALIZACIÓN DE LOS VALORES PROPIOSTEOREMA DE GERSHGORINSea A una matriz nxn y denotemos por Ri, el círculo delplano complejo con centro en aii y radio , es decir

77


,

En donde C denota el conjunto de los números complejos.Entonces los autovalores de la matriz A están contenidosen , es más, si la unión de estos k círculos no secortan con los demás n-k círculos entonces dicha unióncontiene precisamente k autovalores contando lasmultiplicidadesEjemploLos círculos del teorema de Gershgorin son:

78

,


,

Como los R1 y R2 son disjuntos de R3, existen dosautovalores en y uno con R3

79

,


,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Eje Imaginario

Eje Real

En ítems anteriores ya se ha se conceptualizo un espaciocomplejo Cn, En este espacio el producto nos permitedefinir el concepto de ortogonalidad, es decir dos vectoresx, y son ortogonales si , lo que podemosgeneralizarlo considerando un conjunto en Cn,diremos que los vectores vi y vj, son ortogonales si.

Si en este caso se dice que el conjunto de losvectores es ortonormal

80

Factorizaciones Ortogonales y Problemas de Mínimos Cuadrados

,

,

Ejemplo.Determinar si los vectores son ortogonales x1 =[10,10] y .x2 =[-2,2]

Pues ,

Sin embargo si tenemos x1 =[10,10] y . x2 =[2,-2.0003],son casi ortogonales lo que induce al estudio de criteriosde Ortagonalizacion

81

,


,

MÉTODO DE ORTAGONALIZACION DE GRAM SCHMIDTConsideremos dos vectores x1 , y x2 en el plano XYlinealmente Independientes, a partir de estos vectoresconstruyamos los vectores e1 y e2, ortogonales.Supongamos x1= e1, y e1 como componente de e2perpendicular a x1, en consecuencia ,gráficamente es

82

,

e2X2

X1=e1

X2

E1


,

En donde debemos de encontrar de tal manera quees decir:

Consecuentemente se tiene que

De esta manera e2 se encuentra en función de x1 y x2, y seha ortogonalizado dichos vectores.

83

,


,

Ejemplo.Ortogonalizar x1 =[4,6]t y . x2 =[8,0]t

HacemosPrimero: consideramos el primer vector

Segundo: determinamos

84

,


,

Tercero: determinamos el segundo vector ortogonal.

85

,

–

-1 –

-2 --

-3 -

-4 -

1 2 3 4 5 6

4 –

3 –

2 --

1 -

Gráficamente


,

Para un conjunto de n vectores LinealmenteIndependientes de n componentes. A partir de ellos sepuede construir un conjunto de ortogonalde la siguiente manera.Primero: consideramos el primer vector

Segundo:

Tercero:

86

,


,

Afirmación1.Una sucesión de vectoresortogonales genera una base ortogonal del espaciogenerado por para .

Cuando el proceso de Ortagonalizacion de Gram-Schmidt,se aplica a las columnas de una matriz, se puedeinterpretar el resultado como una factorización matricial.

87


,

Pues los productos internos que aparecen en el calculo seguarda en una matriz que será uno de los factores.

Aplicamos el proceso a las columnas A1, A2, ...,An de unamatriz A de mxn y finalmente se llega después de n pasosa una matriz B de mxn cuyas columnas forman unconjunto de ortogonal

88


,

PROBLEMA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOSEl problema de los mínimos cuadrados para sistemas deecuaciones lineales es justamente una aplicación de lasfactorizaciones ortogonales. Consideremos un sistema dem ecuaciones con n incógnitas, es decir

Ax=b

En este sistema de ecuaciones A es una matriz de mxn, xes de nx1, y b es de mx1

89


,

Vamos a considerar que el rango de A es n de donde .Por lo general el sistema no tiene solución, comoconsecuencia de que b no pertenece al espacio Cm, dedimensión n. generado por las columnas de A .En consecuencia generalmente se quiere encontrar una xque minimice la norma del vector residual b-Ax. Lasolución en mínimos cuadrados del sistema planteado esel vector x que hace de , un mínimo el cual xserá único según el supuesto del rango de A.

90


,

LEMA: Si x es tal que A*(Ax-b)=0 entonces x es unasolución del problema de mínimos cuadrados.Si suponemos que A se a factorizado de la forma A= BT, lasolución en mínimos cuadrados del sistema Ax=b será lasolución exacta del sistema nxn Tx=(B*B )-1 B*b. el cual severifica usando el lema anteriorA*Ax=(BT)*BTx=T* B*BTx = T* B*B(B*B )-1 B*b=T*B*b=A*bVeer demostracion en Analisis numerico de David Kincaid;Ward Cheney

91

,


,

La matriz (B*B )-1es un matriz diagonal , estadiagonal es calculado por el algoritmo modificado deGram-Schmidt cuyo algoritmo evita el calculo de raícescuadradas.

Otra manera de abordar el problema de mínimoscuadrados asociado al sistema Ax=b es utilizardirectamente el lema citado de esta manera , seráun mínimo si A* (Ax-b)=0.

92

,


,

FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDEREs uno de los métodos mas útiles para factorizarortogonalmente. La idea es factorizar una matriz A deorden mxn como un productoA=QREn donde Q es una matriz unitaria de mxm y R una matriztriangular superior de mxn, vale destacar que el algoritmode factorización produce Q*A=RConstruyéndose Q* paso a paso como un producto de

matrices unitarias que tiene la forma de,

93

Factorización QR de Householder,

,

FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDEREsto se le conoce con el nombre de transformaciones deHouseholderPrimero, determinamos el vector con la característicaque l-vv*, sea untaría de tal manera que (I-vv* )A iniciecon tener la forma de R es decir una matriz triangularsuperior de orden mxm es decir su primera columna debede tener la forma , y denotamos la primeracolumna de A con A1,Queremos que , esto se realiza como sigue:

94

,


FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDERPrimero, elegimos un número complejo ,sea real.Segundo, hacer ,En donde ,Obsérvese que aquí se admite dos valores para , en estecaso nosotros elegimos la que permita realizar menoscancelaciones al calcular el valor de v es decir,

95

,


FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDERLos siguientes pasos son similares al primero, puesdespués de k pasos se habría conseguido multiplicar porla izquierda por k matrices untarías, obteniendo de estamanera lo siguiente,

,En dondeJ : es una matriz triangular superior de KxK0: es la matriz nula de (m-k)xkH: es una matriz de kx(n-k) W: es una matriz (m-k)x(n-k), 96

,


Se afirma que existe un vector tal que I-W*, es unamatriz unitaria de orden m-k con la característica de que(I-W*) tiene ceros por debajo del elemento en su primeracolumna, esto es, .En esta relación , es una matriz unitaria y lodenotamos por Uk+1, y el proceso termina cuando lacolumna (n-1) - ésima de R queda en la forma apropiada yconsecuentemente tenemos, Q* A = R, en donde Q*

denota el producto de todas las matrices unitarias que sehan usado como factores dado que Q es una matrizunitaria, A=QR .

97

,


Observemos que Q*= Qn-1Qn-2....Q1

en este caso , siendose puede observar que Uk es Hermitiana

consecuentemente tenemos,

98


Ejemplo.Sea la matriz

Paso IPrimero: Calculamos como , pues A1es real

Segundo, hacer

99


En este caso el primero factor unitario

Tercero. Calculamos U1A

100


Paso IIPrimero: Calculamos

Segundo, hacer

101



102

Tercero. Calculamos U2 U1A


Paso IIIPrimero: Calculamos

Segundo


103



En este caso la matriz triangular superior es

104


Tercero. Calculamos Q* U3 U2 U1A

Luego A=QR

105


La descomposición en valores singulares es otra manera defactorizar matrices que tiene una diversidad de aplicaciones en elmundo real.Se afirma que toda matriz compleja A de orden mxn se puedefactorizar en la formaA=PDQEn donde

P= es una matriz de orden mxmD= es una matriz de orden mxnQ= es una matriz de orden nxn

106

,

Descomposición de los Valores Singulares y Seudoinversas

Ejemplo

Se tiene que:

107

,

,


Entonces A=PDQ

108


Muchas Gracias 127

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