carte prof. marius botis

MARIUS FLORIN BOTI

APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR

VOLUMUL 1

NAPOCASTAR 2012

Editura NAPOCASTAR

Strada:Mihai Viteazul nr. 34/35 ap.19

Tel/fax: 0264/432.547

mobil: 0761/711.484, 0740/167.461

Editura NAPOCA STARR este acreditata CNCSIS

Referent tiinific: Prof.dr.ing. Ciofoaia Vasile-Universitatea Transilvania Braov- Departamentul de Inginerie Civil

Tehnoredactare:Autorul

Grafica: Autorul

Copert: Autorul

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR ,/ MARIUS FLORIN BOTI Editura NAPOCA STAR Cluj-Napoca, 2012 ISBN 978-973-647-943-4

Autorul, 2012


1

Cap.1 Aspecte generale privind calculul structurilor din bare Structurile din domeniul construciilor pot fi modelate ca structuri cu un singur

grad de libertate dinamic (1GLD) sau structuri cu n grade de libertate dinamic (n GLD). Sistemele dinamice cu un grad de libertate dinamic au masa concentrat ntr-o seciune, iar poziia ei este determinat de un singur parametru. n acest caz, structura devine suportul elastic al masei. Pentru a determina forele elastice ce se dezvolt n suportul elastic pe directia gradului de libertate dinamic trebuie determinat rigiditatea sau flexibilitatea pe direcia gradului de libertate. Pentru a determina caracteristicile elastice ale unui sistem dinamic se poate folosi metoda forelor sau metoda deplasrilor.

Metoda forelor Gradul de nedeterminare al unei structuri reprezint diferena dintre numrul

necunoscutelor - reaciuni interioare sau exterioare i numrul ecuaiilor de echilibru static. Nedeterminarea poate fi interioar, exterioar sau mixt.

n metoda forelor, necunoscutele sunt eforturile dintr-o seciune a structurii sau reaciunile exterioare ale structurii. Pentru a ridica nedeterminarea, legturile suplimentare se nlocuiesc prin echivalentul mecanic (for, moment, perechi de fore sau perechi de momente). Sistemul care se obine prin nlocuirea legturilor suplimentare cu forele Xi , se numeste sistem de baz i trebuie s se comporte identic cu structura real.

Fig.1.1

Conform condiiei de compatibilitate a deformatei cu legturile, necunoscutele Xi se determin astfel nct sistemul de baz i sistemul real s se deformeze identic.

Din condiia ca deplasarea pe direcia necunoscutei Xi s fie egal cu zero, rezult:


2

unde, - este deplasarea pe direcia necunoscutei Xi cnd sistemul de baz

este ncrcat cu forele exterioare; este deplasarea pe direcia i cnd sistemul de baz este ncrcat cu

fora ; Deplasrile sunt zero din condiia de compatibilitate a

deformatei pe direcia Xi :

n cazul structurilor cu n grade de libertate elastic, sistemul ecuaiilor de echilibru

este:

Pentru calculul coeficienilor sistemului de ecuaii se utilizeaz relaiile:

unde, si , sunt diagramele de eforturi secionale cnd structura este

ncrcat succesiv cu Xi=1 si Xj=1. este diagrama de eforturi secionale cnd structura este ncrcat cu

forele exterioare. Dup determinarea necunoscutelor X1 Xn, se determin diagramele de eforturi

secionale din barele structurii - folosind superpoziia efectelor.


3

Dup trasarea diagramelor de eforturi secionale trebuie verificate rezultatele

obinute, folosind: -condiia de echilibru static - prin care se verific echilibrul nodurilor; -condiia de continuitate - prin care se calculeaz deplasrile pe direcia

legturilor - deplasri care trebuie sa fie nule. Metoda deplasrilor Principalele ipoteze care stau la baza metodei deplasrilor sunt: -solicitarea dominant n structura de bare este ncovoierea, exceptnd

structurile tip grind cu zabrele, unde solicitarea dominant este ntinderea/ compresiunea;

-eforturile secionale, n fiecare seciune a unei bare, se pot determina dac se cunsosc ncrcrile i deplasrile de la capetele barei.

Fig.2.1

n metoda deplasrilor, structurile se pot clasifica n structuri cu noduri fixe i

structuri cu noduri deplasabile. Structurile cu noduri fixe se deformeaz prin rotirea nodurilor sub aciunea

ncrcrilor exterioare. Structurile cu noduri deplasabile se deformeaz prin rotiri i translaii de noduri

sub aciunea ncrcrilor exterioare. Pentru analiza structurilor prin metoda deplasrilor se introduc legturi fictive

care s mpiedice deplasrile nodurilor (rotiri i transalaii). Sub aciunea ncrcrilor exterioare, precum i a deplasrilor pe direcia gradelor de libertate elastic, n legturile fictive vor aprea reaciuni. De exemplu, reaciunea din legtura i se determin prin superpoziia efectelor.


4

unde, - este reaciunea din legtur i cnd sistemul de baz este ncrcat cu

forele exterioare; este reaciunea din legtura i cnd sistemul de baz este ncrcat cu

deplasarea ; Reaciunile neexistnd n cazul structurii reale, rezult

condiia de echilibru static:

n cazul structurilor cu n grade de libertate elastic, sistemul ecuaiilor de echilibru

este:

Deoarece necunoscutele sunt deplasri,metoda se numete metoda deplasrilor. Dup determinarea necunoscutelor (translaii i rotiri), eforturile secionale n

fiecare bar a structurii se pot determina prin superpoziia efectelor produse de ncrcarea exterioar i ncrcarea datorit deplasrilor pe gradele de libertate elastic:

Se poate observa c n metoda deplasrilor nu exist sisteme static

determinate i sisteme static nedeterminate, ca n metoda forelor. Dup determinarea eforturilor secionale, n fiecare bar a structurii trebuie

efectuate urmtoarele verificri: -verificarea echilibrului de ansamblu; -verificarea echilibrului unei pri; -verificarea echilibrului de nivel; -verificarea echilibrului de nod.


5

Cap.2 Vibraii libere. Sisteme dinamice cu 1 GLD.

Aspecte teoretice:

Vibraiile libere definesc caracteristicile dinamice proprii ale sistemului dinamic.

Vibraiile libere se datoreaz condiiilor iniiale: deplasare initial, x0 i vitez iniial, v0. Dac un sitstem dinamic este scos din poziia de echilibru prin deplasri / viteze

iniiale sau rmne cu deplasri i viteze iniiale n urma ncetrii aciunii unor fore perturbatoare, sistemul efectueaz vibraii libere.

n cazul vibraiilor libere neamortizate, ecuaia de micare este:

Soluia vibraiilor libere pentru deplasare i vitez n cazul condiiilor iniiale n deplasare i vitez la t=0 ( )

Din condiiile iniiale, rezult valorile pentru constantele i :

Rspunsul n deplasare, vitez i acceleraie n cazul vibraiilor libere, in

cazul condiiilor iniiale n vitez i deplasare la t=0:

Ecuaia de micare se poate scrie i sub forma unei vibraii armonice,

astfel:


6

unde,

Rspunsul dinamic n deplasare, vitez i acceleraie, pentru un sistem cu

1GLD, se poate scrie astfel:

unde,

, amplitudinea oscilaiei;

faza iniial.

Rspunsul liber al unui sistemului dinamic cu 1GLD este armonic i are

urmtoarele caracteristici dinamice: -

[s] perioada, care reprezint timpul n secunde, n care se

efectueaz o vibraie complet; -

[rad/s] pulsaia sau frecventa circular, care reprezinta

numrul de vibraii efectuate n secunde; -

[Hz] frecvena, reprezint numrul de vibraii efectuate ntr-o secund.

Fora de inerie generat, n timpul oscilaiei armonice, este:


7

Problema 1

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.1.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. Sa se calculeze fortele de inertie si diagramele de eforturi sectionale de incovoiere aferente celor doua sensuri de actiune ale fortei de inertie daca conditiile initiale la t=0, x0=0,3cm. Se va considera : m=10.000Kg; l=8m; E=31010N/m2. Sectiunea transversala este dreptunghiulara cu h=400mm si b=800mm.

Fig.1.2

Momentul de inertie al sectiunii transversale este:


8

Pentru a determina caracteristile dinamice proprii ale structuri de tip consol cu 1GLD, este necesar determinarea deplasrii sistemului pe direcia gradului de libertate dinamic pentru o sarcin unitara aplicat pe aceast direcie:

Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:

Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt: Pulsaia proprie de vibraie este:

Perioada proprie de vibraie, este:

Frecvena proprie de vibraie, este:

Fora de inerie, este :

Eforturile secionale de ncovoiere pentru cele dou sensuri de aciune ale

forei de inerie :

.


9

Problema 2

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.2.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine forele de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,3cm. Se va considera: m=10.000Kg; l=8m; E=31010N/m2.

Fig.2.2

Momentul de inerie al seciunii transversale, este:


10


Pulsaia proprie de vibraie, este:




Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii, este:

Eforturile secionale de ncovoiere pentru cele dou sensuri de aciune ale

forei de inerie, sunt:


11

Problema 3

Pentru sistemele dinamice cu 1GLD din fig.3.2.a s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine fora de inerie i diagramele de eforturi secionale dac condiiile iniiale la t=0, x0=0,2cm i v0=0,5m/s. Se va considera: m=3.000Kg; l=4m; EI=2,11011N/m2. Seciunea transversal este inelar cu de=50mm i di=42mm.

Fig.3.2 a


12

Fig.3.2 b

Cazul a), n care structura din bare articulate are articulaie n nodul 3 i

este rezemat n nodul 2: Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 1

Aria seciunii transversale:

Modulul de rigiditate la ntindere-compresiune:

Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic:


13




Fora de inerie, este:

Fora de greutate, este:


Eforturile secionale n bare, sunt: (pentru Fi+G)

(pentru Fi-G)

Cazul b), n care structura din bare articulate are articulaie n nodul 3 i n

nodul 2:


14








Eforturile secionale n bare, sunt: (pentru Fi+G)

(pentru Fi-G)


15

Problema 4

Pentru sistemele dinamice cu 1GLD din fig.4.2,a i b, se cere s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. Se va considera: 4m=15.000Kg; l=6m; EI=25106Nm2.

Rezolvare: Cazul a): Rigla este infinit rigid la ncovoiere (EI=) i stlpul este

ncastrat n rigl (nod rigid), eforturile secionale de ncovoiere de la capetele stlpilor pentru o deplasare unitar pe orizonatal a riglei, sunt.

Fig.4.2a


16

Din ecuaia de echilibru pe fiecare stlp rezult fora tietoare de la capetele stlpilor:

Din condiia de echilibru, pe orizontal, rezult:





17

Fig.4.2b

Cazul b): Rigla este infinit rigid la ncovoiere (EI=) i stlpul este articulat n rigl (articulatie), eforturile secionale de ncovoiere de la capetele stlpilor pentru o deplasare unitar pe orizonatal a riglei, sunt.

Din ecuaia de echilibru, pe fiecare stlp, rezult fora tietoare de la

capetele stlpilor:


18

Din condiia de echilibru pe orizontal, rezult:




Observaie: Din analiza celor dou sisteme dinamice, se poate observa, c

dac gradul de constrngere al unui sistem dinamic scade, atunci flexibilitatea crete.


19

Problema 5

Pentru structura din fig.5.2 s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1cm. Se cunosc: m=30.000Kg; l=4m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu h=800mm, b=400mm.

Fig.5.2

Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:


20


Modulul de rigiditate la ncovoiere:







21

Problema 6

Pentru bara cotit din fig.6.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1cm. Se cunosc: m=3.000Kg; l=3m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu dimensiunile h=600mm, b=300mm.

Fig.6.2 Momentul de inerie al seciunii transversale, este:


22

Modulul de rigiditate la ncovoiere, este:


Caracteristicile dinamice ale cadrului, sunt:






23

Problema 7

Pentru cadrul din fig.7.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,3cm. Se cunosc: m=8.000Kg; l=3m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu dimensiunile h=600mm, b=300mm.

Fig.7.2



24


Modulul de rigiditate la ncovoiere:







25

Problema 8

Pentru cadrul din fig.8.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,5cm. Se cunosc: m=8.000Kg; l=4m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu dimensiunile h=300mm, b=900mm.

Fig.8.2

Momentul de inertie al seciunii transversale, este:


26

Modulul de rigiditate la ncovoiere, este:








27

Problema 9

Pentru grinda cu zbrele din fig.9.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere - compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,2cm. S se calculeze eforturile secionale de ntindere compresiune datorit greutii masei m. Se cunosc: m=10.000Kg; l1=4m, l2=3m, E=2,1 105N/mm2. Seciunea transversal este eava ptrat cu grosimea de 12,5mm, iar latura ptratului 200mm.

Fig.9.2 a


28

Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 1

Nodul 2

Aria seciunii transverale:

Modulul de rigiditate la ntindere - compresiune:



29







30

Fora rezultant care acioneaz asupra masei, n timpul micrii, este:

Eforturile secionale de ntindere-compresiune, care se dezvolt n barele structurii, sunt reprezentate n fig.9.2 b pentru cazul n care pe structur acioneaz greutatea masei ineriale m, ct i pentru cazul n care pe structur acioneaz forele dinamice.

Fig.9.2 b


31

Problema 10

Pentru grinda cu zabrele din fig.10.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere-compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,2cm. S se determine eforturile secionale de ntindere-compresiune datorit greutii masei m. Se cunosc: m=20.000Kg; l=3m, E=2,1 105N/mm2. Seciunea transversal este eav ptrat cu grosimea de 12mm, iar latura ptratului 250mm.

Fig.10.2 a


32


Nodul 2

Nodul 5



33









34

Fora rezultant care acioneaz asupra masei, n timpul micrii, este:

Eforturile secionale de ntindere-compresiune, care se dezvolt n barele

structurii, sunt reprezentate n fig.10.2 b pentru cazul n care pe structur acioneaz greutatea masei ineriale m, ct i pentru cazul n care pe structur acioneaz forele dinamice.

Fig.10.2 b


35

Problema 11

Pentru stlpul cu zbrele din fig.11.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere-compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,3cm. Se cunosc: m=10.000Kg; l1=3m,l2=4m E=2,1 105 N/mm2. Seciunea transversal este eav circular cu grosimea de perete 10mm, iar diametrul exterior de=200mm.

Fig.11.2 a


36

Fig.11.2 b



37

Nodul 1

Nodul 3

Nodul 6

Nodul 5


38

Nodul 4

Aria seciunii transverale:


Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic :

Caracteristicile dinamice proprii ale structurii, sunt: Pulsaia proprie de vibraie, este:


39



Forta de inerie, este:

Fig.11.2 c


40

Problema 12

Pentru grinda cu zbrele din fig.12.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere-compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt: la t=0, x0=1cm. S se determine eforturile secionale de ntindere-compresiune datorit greutii masei m. Se cunosc: m=15.000Kg; l=2m, E=2,1105N/mm2. Seciunea transversal este eav circular cu grosimea de 5mm iar diametrul exterior de=100mm.

Fig.12.2 a


41

Fig.12.2 b



42

Nodul 2

Nodul 4

Nodul 6

Nodul 3


43



Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic :

Caracteristicile dinamice proprii ale structurii sunt: Pulsaia proprie de vibraie, este:



Fora de inerie este:


44

Fora de greutate este:

Fora rezultant care acioneaz asupra masei, n timpul micrii este:

Fig.12.2 c


45

Problema 13

Pentru grinda din fig.13.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere, aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1,5cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=6.000Kg; l=8m, EI=25 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor i metoda forelor.

Aplicnd metoda deplasarilor, Rigiditile practice, sunt:

Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:

Reaciunile datorit deplasri z1=1:


46

Fig.13.2 a

Eforturile secionale generate de rotirea z2=1:


47

Fig.13.2 b


48

Sistemul ecuaiilor de echilibru, pentru nodul 1 este:

Momentele de la capetele barelor din suprapunerea efectelor:

Aplicnd metoda forelor, Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:


49

Se poate observa c eforturile secionale din grind, determinate cu

metoda deplasrilor sunt aceleai cu eforturile secionale determinate cu metoda forelor. n acest caz, metoda deplasrilor implic un volum mai mare de calcule faa de metoda forelor.

Fig.13.2 c

Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:


50

Caracteristicile dinamice ale grinzi, sunt:







51

Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii este:

Fig.13.2 d


52

Problema 14

Pentru grinda din fig.14.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, daca condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,8cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=6.000Kg; l=8m, EI=25 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor i metoda forelor.

Fig.14.2 a


53

Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditatile practice sunt:


Ecuaia de echilibru pentru nodul 1 este:

Momentele de la capetele barelor se obin prin suprapunerea efectelor:

Aplicnd metoda forelor,


54

Fig.14.2 b



55








56


Fig.14.2 c



57

Problema 15

Pentru grinda din fig.15.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,4cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=8.000Kg; l=2m, EI=20 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.

Fig.15.2 a


58

Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:

Calculul momentelor de ncastrare perfect:

Fig.15.2 b

Din ecuatia de condiie:

Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:



59

Aplicand metoda transmiterii i distribuiei momentelor se obine:

Calculul coeficienilor de distribuie:

Fig.15.2 c


60


Caracteristicile dinamice ale grinzi sunt:




Forta de inerie, este :

Fora de greutate este:


61

Fora rezultant care acioneaza asupra masei n timpul micrii este:

Fig.15.2 d


62

Problema 16

Pentru grinda din fig.16.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,4cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=12.000Kg; l=1m, EI=20 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.

Fig.16.2 a


63

Aplicand metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:


Fig.16.1 b

Din ecuaia de condiie:




64

Fig.16.2 c

Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor rezult:



65

Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamica, este:







66


Forta rezultant care acioneaz asupra masei in timpul micrii este:

Fig.16.2 d


67

Problema 17

Pentru cadrul din fig.17.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1,2 cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=3000Kg; l=3m, EI=28 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.

Fig.17.2 a


68


Calculul momentului exterior de la consol:

Fig.17.2 b

Din ecuaiile de condiie:




69

Fig.17.2 c




70








71



Fig.17.2 d


72

Problema 18

Pentru cadrul din fig.18.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,8 cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=10.000Kg; l=6m, EI=30 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.

Fig.18.2 a


73



Fig.18.2 b





74

Fig.18.2 c

Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor, rezult:



75


Caracteristicile dinamice ale cadrului sunt:







76


Fig.18.2 d


77

Problema 19

Pentru cadrul din fig.19.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,6 cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=10.000Kg; l1=4m, l2=6m EI=25 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.

Fig.19.2 a


78



Fig.19.1 b



79






80

Fig.19.2 c



81

Caracteristicile dinamice ale cadrului sunt:








82

Fig.19.2 d

APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR

83

Cap.3 Vibraii forate sub aciunea forelor perturbatoare armonice . Sisteme cu 1GLD.

Aspecte teoretice:

Vibraiile forate armonice ale unui sistem dinamic cu 1GLD sunt vibraiile care se produc cnd asupra sistemului dinamic acioneaza o for perturbatoare armonic , cu amplitudinea i pulsaia . La momentul t=0 pot exista condiii iniiale: deplasarea initiala x0 i viteza iniial v0 , pe direcia gradului de libertate dinamic.

Ecuaia de echilibru dinamic instantaneu, al sistemului dinamic, este:

unde,

este pulsaia sistemului dinamic cu 1GLD.

Soluia general a ecuaiei difereniale este:

este solutia vibraiilor libere; este soluia vibraiilor forate produse de fora

perturbatoare armonic . Soluia vibraiilor forate, , se alege astfel nct s verifice ecuaia de

micare a sistemului dinamic:

Dup identificarea termenilor, rezult constantele M i N:


84

Soluia ecuaiei difereniale de miscare devine:

Viteza sistemului dinamic se determin cu relaia:

Constantele de integrare, i, , se determin aplicnd condiiile iniiale n deplasare i vitez, la :

Dup nlocuire n expresia deplasrii si expresia vitezei rezulta constantele de integrare, i, :

Soluia general a ecuaiei de micare dup nlocuirea constantelor de integrare, devine:

Dac se separ termenii corespunztori vibraiei libere de termenii corespunztori vibraiei forate, expresia deplasrii dinamice instantanee totale devine:

Pentru a evidenia factorul de amplificare dinamic, ecuaia de micare se poate scrie sub forma:


85

unde,

- este deplasarea static produs de fora pe direcia gradului de libertate dinamic;

- este factorul de amplificare dinamic.

Expresia factorului de amplificare dynamic, variabil n timp, este:


86

Deoarece, n realitate, rspunsul liber se amortizeaz n timp, n cazul n care exist amortizare, rezult c dup dispariia vibraiilor libere rmne doar rspunsul forat care are expresia:

unde,

- este deplasarea dinamic.

Fora de inerie generat, datorit aplicrii forei perturbatoare, este:

Fora dinamic total care se aplic masei se calculeaz cu relaia:

Din analiza rezultatelor prezentate, se poate observa c att deplasarea dinamic ct i fora dinamic pe direcia gradului de libertate dinamic se pot obine folosind factorul de amplificare dinamic, cu relaiile:


87

Problema 20

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.20.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic, dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o fora perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera : m=10.000Kg; l=1m; EI=3108Nm2; .

Fig.20.3 a


88

Pentru a determina factorul de amplificare dinamic in cazul unui sistem dinamic cu 1GLD acionat de o for perturbatoare armonic trebuie determinate mai nti caracteristicile dinamice proprii ale structurii analizate.


Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:




Factorul de amplificare dinamic, este:


89

Se poate observa, ca datorit faptului c pulsaia forei perturbatoare armonice, este apropiat de pulsaia proprie a structurii, amplitudinea forei perturbatoare, este amplificat dinamic de 3,56 ori.

Fora dinamic, este :

Fig.20.3 b


90

Problema 21

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.21.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera : m=3.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .

Fig.21.3 a


91









92

Greutatea masei, este:


Fig.21.3 b


93

Problema 22

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.22.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o fort perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=10.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .

Fig.22.3 a


94









95


Fora dinamic este :

Fig.22.3 b


96

Problema 23

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.23.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=8.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .

Fig.23.3 a


97

Momentul de inerie al seciunii transversale este:


Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dinamic, sunt:






98



Fig.23.3 b


99

Problema 24

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.24.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale fortei dinamice. Se va considera: m=15.000Kg; l=8m; E=31010N/m2; .

Fig.24.3 a


100


Fig.24.3 b



101








102



Fig.24.3 c


103

Problema 25

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.25.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonica .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=8.000Kg; l=4m; E=31010N/m2; .

Fig.25.3 a


104


Fig.25.3 b



105








106



Fig.25.3 c


107

Problema 26

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.26.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic . S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=12.000Kg; l=4m; E=31010N/m2; .

Fig.26.3 a


108

Fig.26.3 b





109







110

Fig.26.3 c


111


Fig.26.3 d


112

Problema 27

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.27.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=10.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .

Fig.27.3 a


113









114



Fig.27.3 b


115

Problema 28

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.28.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic . S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=7.000Kg; l1=6m; l2=4m; EI=28106Nm2; .

Fig.28.3 a


116



Fig.28.3 b



117


Eforturile secionale generate de deplasarile z1=1 i z2=1:

Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor, se obine:



118

Fig.28.3 c


Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dinamic, sunt:




119


Factorul de amplificare dinamic este:



Fig.28.3 d


120

Problema 29

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.29.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=4.000Kg; l1=6m; l2=9m; l3=2m; EI=35106Nm2; .

Fig.29.3 a


121



Fig.29.3 b



122


Eforturile secionale generate de deplasrile z1=1 si z2=1:

Fig.29.3 c

Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor se obine:


123









124



Fig.29.3 d


125

Problema 30

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.30.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=15.000Kg; l1=3m; l2=4m; EI=28106Nm2; .

Fig.30.3 a Aplicnd metoda deplasrilor,


126

Rigiditile practice sunt:


Fig.30.3 b



127



Fig.30.3 c Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor, se obine:


128




Pulsaia proprie de vibraie este:




129




Fig.30.3 d


130

Problema 31

Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.31.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=9.000Kg; l1=6m; l2=4m; l3=2m; EI=30106Nm2; .

Fig.31.3 a


131



Fig.31.3 b





132

Fig.31.3 c Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor se obine:



133








134



Fig.31.3 d

Cuprins:

1. Aspecte generale privind calculul structurilor din bare

1-4

2.Vibraii libere. Sisteme dinamice cu 1 GLD.

5-82

3. Vibraii forate sub aciunea forelor perturbatoare armonice. Sisteme dinamice cu 1 GLD.

83-134

Bibliografie:

1. Popovici A. Ilinca C. Dinamica structurilor i inginerie seismic volumul 1: Aplicaii n dinamica structurilor. Editura Conspress Bucureti, 2011.

2. Popovici A. Analiza dinamica prin metode numerice. Institutul de Construcii Bucureti, 1978.

3. Banu V., Teodorescu M.E. Dinamica Construciilor. Aplicaii rezolvate. Editura MatrixRom, Bucureti, 2007.

carte prof. marius botis

Documents