carte mecanica
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 Carte Mecanica
1/131
CUPRINS
1. NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL................................................. 3
1.1. Mrimi scalare i mrimi vectoriale.................................... ........ 31.2. Compunerea a doi vectori concureni.............................................. 31.3. Compunerea a n vectori concureni............................................. 41.4. Descompunerea unui vector dupdoudirecii concurente............................................ 51.5. Descompunerea unui vector duptrei direcii concurente n spaiu............................................... 51.6. Produsul scalar a doi vectori........................................ ....... 61.7. Produsul vectorial a doi vectori............................ ................... 61.8. Produsul mixt a trei vectori...................................... ....... 71.9. Dublul produs vectorial a trei vectori.............................................. 8
STATICA
2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE APLICATE RIGIDULUI.................................................. 9
2.1. Momentul unei fore n raport cu un punct............................................. 92.2. Cuplul de fore............................................. 122.3. Reducerea unei fore aplicatntr-un punct al rigidului. Torsorul.............................................. 13
2.4. Reducerea sistemelor de fore aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variaiatorsorului cu punctul de reducere. Invariani............................................ 142.5. Reducerea sistemelor particulare de fore............................................... 18
2.5.1. Reducerea sistemelor de fore concurente........................................... 182.5.2. Reducerea sistemelor de fore coplanere............................................. 182.5.3. Reducerea sistemelor de fore paralele............................................ 19
Test de evaluare.. ........24
3. CENTRE DE GREUTATE (DE MAS) 26
3.1`. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale............................................. 263.2. Momente statice.. 263.3. Proprietile centrului de greutate.......................................... ..... 273.4. Centrul de greutate al corpurilor omogene.. 28Test de evaluare.. ........33
4. STATICA RIGIDULUI 35
4.1. Echilibrul rigidului liber....... ....................................... 354.2. Echilibrul rigidului supus la legturi frfrecare................................................ 36
4.2.1. Generaliti.......................................... 364.2.2. Legturile rigidului.......................................... 37
4.2.2.1. Reazemul simplu...................................... 374.2.2.2. Articulaia......................................... 39
4.2.2.2.1. Articulaia sferic..................................... 394.2.2.2.2. Articulaia cilindric..................................... 40
4.2.2.3. ncastrarea.................. ...................... 424.2.2.4. Prinderea cu fir......................................... 43
4.3. Echilibrul rigidului supus la legturi cu frecare.............................................. 464.3.2. Frecarea de alunecare.......................................... 464.3.3. Frecarea de rostogolire............................................ 484.3.4. Frecarea n lagrul radial (articulaia cilindric)......................................... 504.3.5. Frecarea firelor. ........52
Test de evaluare.. ........56
5. STATICA SISTEMELOR MATERIALE.. 57
5.1. Torsorul forelor interioare................. ............................. 575.2. Teoreme i metode pentru studiul echilibrului sistemelor materiale.............................................. 58
5.2.1. Metoda izolrii elementelor............................................. 585.2.2. Teorema solidificrii............................................ 585.2.3. Teorema echilibrului prilor........................................... 59
5.3. Sisteme static determinate i sisteme static nedeterminate............................................. 60Test de evaluare.............................................. ........66
CINEMATICA
6. CINEMATICA PUNCTULUI................................................. 67
6.1. Noiuni fundamentale............... ............................... 676.1.1. Legea de micare......................................... 67
1
-
8/12/2019 Carte Mecanica
2/131
6.1.2. Traiectoria........................ .................... 676.1.3. Viteza........................................... 686.1.4. Acceleraia........................................... 696.1.5. Viteza i acceleraia unghiular........................................... 70
6.2. Studiul micrii punctului......... ...................................... 716.2.1. Studiul micrii n coordonate carteziene......................................... ... 716.2.2. Studiul micrii n coordonate naturale........................................... 72
6.3. Micri particulare ale punctului.............................. ............... 77
6.3.1. Micarea rectilinie..................................... ...... 776.3.1.1. Micarea rectilinie uniform........................................ 776.3.1.2. Micarea rectilinie uniform variat...................................... 78
6.3.2. Micarea circular............................................ 796.3.2.1. Studiul micrii n coordonate carteziene........................................ 796.3.2.3. Studiul micrii n coordonate naturale....................................... 80
Test de evaluare.............................................. ........84
7. CINEMATICA RIGIDULUI............................................... 86
7.1. Micarea generala rigidului.............................. ................ 867.1.1. Mobilitatea rigidului............................................ 867.1.2. Distribuia de viteze....... .................................. 877.1.3. Distribuia de acceleraii.......................................... 88
7.2. Micri particulare ale rigidului......................................... ..... 897.2.1. Micarea de translaie.......................................... 89
7.2.1.1. Distribuia de viteze.......................... ............... 907.2.1.2. Distribuia de acceleraii...................................... 90
7.2.2. Micarea de rotaie (micarea rigidului cu axfix)........................................... 917.2.3.1. Distribuia de viteze............... .......................... 927.2.3.2. Distribuia de acceleraii...................................... 927.2.3.3. Transmiterea micrii de rotaie...................................... 93
7.2.3. Micarea plan paralel......................................... 977.2.3.1. Distribuia de viteze.................................... ..... 987.2.3.2. Centrul instantaneu de rotaie...................................... 997.2.3.3. Distribuia de acceleraii...................................... 101
7.3. Micarea relativa punctului.............................. ................ 1047.3.1. Derivata absoluti derivata relativa unui vector............................................. 1047.3.2. Definirea micrilor............................................. 1057.3.3. Compunerea vitezelor.............................. ................ 106
7.3.4. Compunerea acceleraiilor........................................... 106Test de evaluare.......................................... ......108
DINAMICA
8. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL................................................... 110
8.1. Dinamica punctului material n micare absolut............................................... 1108.1.1. Noiuni fundamentale............... ............................... 110
8.1.1.1. Lucrul mecanic..... .................................... 1108.1.1.2. Funcia de for........................................ 1118.1.1.3. Puterea.......................................... 1128.1.1.4. Randamentul............................ ............ 1128.1.1.5. Impulsul................................ ....... 1138.1.1.6. Momentul cinetic............... .......................... 1138.1.1.7. Energia mecanic......................................... 114
8.1.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material.............................................. 1158.1.2.1. Generaliti........................................... 1158.1.2.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material liber...................................... 1158.1.2.3. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material supus la
legturi....................................... 1178.1.3. Teoreme generale n dinamica punctului material........................................... 118
8.1.3.1. Teorema impulsului.................................. ... 1188.1.3.2. Teorema momentului cinetic....................................... 1198.1.3.3. Teorema energiei cinetice........................ ................ 119
8.2. Dinamica punctului material n micare relativ............................................. 1248.2.1. Legea fundamentaln micarea relativ............................................ 1248.2.2. Sisteme ineriale........................................... 1258.2.3. Repausul relativ........................................... 125
Test de evaluare.............................................. ......128
BIBLIOGRAFIE... 130
2
-
8/12/2019 Carte Mecanica
3/131
1. NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL
1.1. MRIMI SCALARE I MRIMI VECTORIALE
Mrimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric(pozitivsau negativ) se numesc mrimi scalare sauscalari.
Mrimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric, prindirecie i sens se numesc mrimi vectorialesauvectori.
Vectorul reprezentat prin segmentul de dreaptorientat se numete vectorliber. n cazul cnd pentru definirea vectorului este necesar precizareasuportului, acesta se numete vector alunector; daceste necesari precizarea
punctul de aplicaie , acesta se numete vector legat.
1.2. COMPUNEREA A DOI VECTORI CONCURENI
Considernd doi vectori ai b cu originea n punctul Oi unghiul dintresuporturile celor doi vectori, , suma sau rezultanta celor doi vectori estevectorul c , definit ca mrimedirecie i sens de diagonala
paralelogramului construit cu
vectorii ai b , ca laturi(fig.1.1.a).
bac += (1.1)
Mrimea vectoruluirezultant este:
cosab2bac 22 ++= (1.2)
Considernd ca referin,
suportul vectorului a , direcia vectorului rezultant este definitde unghiul :
Fig. 1.1
cosab2ba
sinbsin
22 ++= (1.3)
Expresia analitic. Considernd cvectorii a i b definesc planul Oxy,vectorul rezultant c va fi situat n acelai plan, cei trei vectori putnd fiexprimai prin proiecii pe axele sistemului menionat, (fig.1.1.b):
jcicc;jbibb;jaiaa yxyxyx +=+=+= (1.4)
Conform relaiei (1.1) putem scrie:
)jbib()jaia(jcic yxyxyx +++=+ (1.5)
3
-
8/12/2019 Carte Mecanica
4/131
Rezultcomponentele pe axe ale vectorului rezultant c :
yyyxxx bac;bac +=+= (1.6)
Mrimea vectorului rezultant este:
2yy
2xx
2y
2x )ba()ba(ccc +++=+= (1.7)
iar direcia este datde unghiul dintre suportul vectorului rezultant i axa Ox:
xx
yy
x
y
ba
ba
c
ctg
+
+== (1.8)
1.3. COMPUNEREA A nVECTORI CONCURENI
Regula paralelogramului poate fi extins la compunerea unui numroarecare de vectori concureni 1V , 2V ,. nV , ajungndu-se la o construcie
graficnumitregula poligonului vectorilor, laturile acestuia fiind vectorii dinsistem. O latur Vi a poligonului se obine prin construirea unui vectorechipolent cu vectorul iV avnd ca origine,
extremitatea vectorului 1iV i ca extremitate,
originea vectorului 1iV .+Rezultanta sistemului de vectori este
definitca suma vectoriala vectorilor iV :
=
=+++=n
1i
in21 VV...VVV (1.9)
Construcia grafic reprezint segmentulde dreapt care unete originea primului vector
1V , cu extremitatea ultimului vector nV dinacest poligon (fig.1.2.a).
Regula poligonului, pentru cazulparticular de compunere a doi vectori concurenise numete regula triunghiului(fig.1.2.b).
Expresia analitic. Suporturile vectorilordin sistem fiind orientate n spaiu se vaconsidera un sistem de axe carteziantriortogonal Oxyz fa de care vor fi exprimatecomponentele pe axe ale acestor vectori(fig.1.2.c). Notnd proieciile pe axe ale
vectorului iV cu Vix, Viy, Viz i ale vectoruluirezultant V , cu Vx, Vy, Vz, conform relaiei (1.9)se scrie: Fig.1.2
4
-
8/12/2019 Carte Mecanica
5/131
=
++=++n
1i
iziyixzyx )kVjViV(kVjViV (1.10)
Analog raionamentului anterior,
rezult valorile componentelor pe axeale vectorului rezultant:
(1.11)
=
=
=
=
=
=
n
1i
izz
n
1i
iyy
n
1i
ixx
VV
VV
VV
Mrimea vectorului rezultant este:
2z
2y
2x VVVV ++= (1.12) Fig. 1.2
iar direcia datprin cosinusurile directoare:
V
Vcos x= ,
V
Vcos
y= ,
V
Vcos z= (1.13)
1.4. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUPDOUDIRECIICONCURENTE
Descompunera unui vector V dupdoudirecii concurente d1 i d2 nseamndeterminarea sistemului de vectori concureni
1V i 2V a cror rezultant este vectorul V sau
determinarea componentelor 1V i 2V ale
acestuia, pe cele doudirecii d1i d2. Folosindregula paralelogramului, prin extremitateavectorului V se construiesc paralele la direciiled1i d2, punctele de intersecie cu aceste direciidefinind extremitile vectorilor 1V i 2V , ca nfigura 1.3. Fig. 1.3
1.5. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUPTREI DIRECIICONCURENTE N SPAIU
Se aplic regula paraleogramului n dou etape. n prima etap sedescompune vectorul V dup una din cele trei direcii, spre exemplu d3 i o
5
-
8/12/2019 Carte Mecanica
6/131
direcie d1,2, obinutca intersecie dintreplanul format de celelalte dou direcii,d1 i d2 cu planul format de cea de-atreia direcie d3i vectorul V , rezultnd
componentele 3V i 2,1V .n etapa a doua se descompune
componenta 2,1V dupdireciile d1i d2
rezultnd componentele 1V i 2V .
Vectorul V reprezint diagonalaparalelipipedului avnd ca muchii,componentele 1V , 2V i 3V (fig.1.4). Fig. 1.4
1.6. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI
Numim produs scalar al vectorilor a i b , notat ba , scalarul c:
cosbabac == (1.14)
unde este unghiul format de suporturile celor doi vectori.Produsul scalar al vectorilor a i bpoate fi exprimat ca produsul dintre
mrimea unui vector i proiecia celuilalt pe acesta, i invers (fig.1.5).
==
==
aprbcosabbabpracosbaba
b
a
(1.15)
Expresia analitic. Cnd vectorii a ib sunt exprimai prin proieciile pe axelesistemului triortogonal Oxyz:
++=
++=
kajbibb
kajaiaa
zyx
zyx (1.16)
expresia analitica produsului scalar devine:
zzyyxx babababa ++= (1.17)Fig. 1.5
1.7. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI
Produsul vectorial al vectorilor a i b este un vector c , definit astfel:
bac = (1.18)
Vectorul produs vectorial are urmtoarele caracteristici:a. mrimea(modulul) vectorului:
sinbac = (1.19)
6
-
8/12/2019 Carte Mecanica
7/131
reprezentnd aria paralelogramului avnd ca laturi cei doi vectori, a crorsuporturi formeazunghiul .b. direciaeste datde o dreaptperpendicularpe planul definit de cei doivectori
c. sensuleste dat de regula urubului drept: sensul de naintare al urubuluisituat pe suportul vectorului c , prin rotirea vectorului a ctre vectorul b , nsensul parcurgerii unghiului minim dintre cei doi vectori (fig.1.6).
Expresia analitic. Cei trei vectori putnd fi exprimai prin proiecii peaxele sistemului triortogonal Oxyz:
++=
++=
++=
kcjcicc
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx
zyx
(1.20)
produsul vectorial este scris subforma determinantului,
Fig. 1.6zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac == (1.21)
prin dezvoltarea acestuia, rezultnd componentele pe cele trei axe ale vectoruluiprodus vectorial, c :
(1.22)
=
=
=
xyyxz
zxxzy
yzzyx
babac
babac
babac
1.8. PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI
Produsul mixt a trei vectori , a , b i c este prin definiie, produsul scalar
dintre vectorul a i vectorul produs vectorial, cb adicun scalar d:)cb(a)c,b,a(d == (1.23)
Produsul mixt este un scalar ireprezint volumul paralelipipeduluiavnd ca muchii mrimile celor treivectori (fig.1.7).
VhAaprcb)c,b,a(cb
=== (1.24)
ntruct Acb = reprezintaria
bazei paralelipipedului avnd ca muchiicei trei vectori iar hapr
cb = reprezintnlimea paralelipipedului.
Fig. 1.7
7
-
8/12/2019 Carte Mecanica
8/131
Expresia analitic. Dac vectorii sunt cunoscui prin proieciile lor peaxele sistemului triortogonal Oxyzatunci produsul mixt (1.23) poate fi exprimatanalitic:
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
)cb(a)c,b,a( == (1.24)
1.9. DUBLUL PRODUS VECTORIAL A TREI VECTORI
Dublul produs vectorial al vectorilor a , b i c este un vector degal cuprodusul vectorial dintre vectorii a i cb fiind situat n planul vectorilor b i
c , conform relaiei: c)ba(b)ca()cb(a = (1.25)
Daccei trei vectori sunt cunoscui prin proieciile lor pe axele sistemuluitriortogonal Oxyzconform (1.20), atunci dublul produs vectorial se scrie:
c)ba(b)ca(
)kcjcic()bababa(
)kbjbib)(cacaca(
ccc
bbbjaiaiakakaja
ccc
bbb
kji
)kajaia()cb(ad
zyxzzyyxx
zyxzzyyxx
zyx
zyx
xyzxyz
zyx
zyxzyx
=
=++++
++++=
=
=
=++==
8
-
8/12/2019 Carte Mecanica
9/131
STATICA
2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE APLICATE RIGIDULUI
2.1. MOMENTUL UNEI FORE N RAPORT CU UN PUNCT
Momentul unei fore n raport cu un punct exprimcapacitatea forei de aroti corpul asupra cruia acioneazn jurul unei axe care trece prin acest puncti este perpendicularpe planul determinat de suportul forei i punctul respectiv(fig.2.1.a).
Momentul unei fore F n raport cu un punct O este produsul vectorialdintre vectorul de poziie r, al punctului de aplicaieA, al forei i fora F.
Fr)F(M0 = (2.1)
Conform proprietilor produsului vectorial, momentul )F(M0 este un
vector aplicat n punctul O,perpendicular pe planuldefinit de vectorii r i F(fig.2.1.b), al crui sens estedat de regula urubului drept(sensul de naintare alurubului aezat n punctul O
pe suportul momentului 0M ,
acionat de o cheie cu foraFavnd ca bra, vectorul de
poziie r), iar modulul datde relaia:
Fig. 2.1
)F,rsin(Fr)F(M0 = (2.2)
sau punnd n evidendistana b, de la punctul O, la suportul forei F, numitbraul forei:
FbbF)F(M0 == (2.3)
Proprieti:1. Momentul unei fore n raport cu un punct este nul cnd suportul foreitrece prin acel punct.
9
-
8/12/2019 Carte Mecanica
10/131
2. Momentul unei fore n raport cu un punct nu se modific dac fora sedeplaseazpe propriul suport.
Considernd fora F n dou poziii, A i B (fig.2.2.a) i notnd cu r,respectiv r , vectorii de poziie ai punctelor A i B, momentul n raport cu
punctul Oal forei Fn cele dousituaii devine:
FrF)ABr(Fr)F(M
Fr)F(M
B0
A0
=+==
=
ntruct 0FAB = ,
vectorii AB i Ffiind coliniari.3. Momentul uneifore n raport cu un
punct este un vectorlegat, motiv pentrucare se modific laschimbarea polului.
Fie O i O,punctele n raport cu carese calculeazmomentul forei F.
Fig. 2.2
FOO)F(MFOOFrF)rOO(Fr)F(M 0'0 =+=+== (2.4)
ntruct punctul Oreprezintoriginea sistemului, poziia tuturor celorlaltepuncte se raporteaz la acest pol, motiv pentru care vectorul OOOO = .Relaia (2.4) exprimlegea de variaie a momentului la schimbare polului.
Expresia analitic. Avnd expresiile analitice ale vectorului de poziieri ale forei F:
kFjFiFF;kzjyixr zyx ++=++= (2.5)
rezultexpresia analitica momentului forei Fn raport cu punctul O.
zyx
0
FFF
zyxkji
Fr)F(M == (2.6)
Proieciile momentului 0M pe axele sistemului triortogonal Oxyz (care
reprezintmomentul forei Fn raport cu axele: Ox, Oy, Oz) sunt:
(2.7)
=
=
=
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
10
-
8/12/2019 Carte Mecanica
11/131
Aplicaii. 1. Asupra unui rigid acioneaz o for P , orientat dup muchia FG acubului din figura 1.3. Muchia cubului avnd lungimea asse determine momentele acesteifore n raport cu toate vrfurile cubului i sse reprezinte vectorii moment.
Rezolvare. Se vor calcula mrimile vectorilor moment ca produs dintre fori braulforei (metoda braului), direciile i sensurile fiind indicate n figura 2.3.
aP2P=OGPOFMO ==
aP2P=AFPAFMA ==
aPP=BFPBFMB ==
aPP=CGPCFMC ==
aPP=DGPDFMD ==
aPP=EFPEFME ==
Fig. 2.30MM GF ==
Conform proprietii 1, momentul forei P n raport cu punctele F i G este nul,ntruct suportul acesteia trece prin aceste puncte.
Pentru verificarea calculului momentelor se utilizeazmetoda analitic:
aP2)aP()aP(M
kaPjaP
00P
aaa
kji
POFM
220
0
=+=
+=
==
aP2)aP()aP(M
kaPjaP
00P
aa0
kji
PAFM
22A
A
=+=
+=
==
aPM
jaP
00P
a00
kji
PBFM
B
B
=
=
==
aPM
kaP
00P
0aa
kji
PDFM
D
D
=
=
==
aPM
kaP
00P
0a0
kji
PEFM
E
E
=
=
==
2.O for Fde mrime kN9F = acioneazpe dreapta definitde segmentulABi
este orientat de la A ctre B (fig.2.4). S se calculeze momentele forei F n raport cupunctele O, Ci D, dacpunctele respective au urmtoarele coordonate exprimate n metri:A(7,4,2); B(0,0,6); C(1,2,0); D(0,4,8).
11
-
8/12/2019 Carte Mecanica
12/131
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei esteutilizatmetoda analitic. Fora F fiind un vectoralunector, punctul de aplicaie al acesteia, situat pesegmentulAB se ia A. Cum expresiile momentuluiforei Fn raport cu cele trei puncte sunt:
Fig. 2.4
=
=
=
FDA)F(M
FCA)F(M
FOA)F(M
D
C
0
=
=
=
Fr
Fr
Fr
D
C
0
vectorii DA,CA,OA i F se vor exprima prinproiecii pe axe.
=++==++=++==
++=++==
k6i7k)zz(j)yy(i)xx(rDAk2j2i6k)zz(j)yy(i)xx(rCA
k2j4i7kzjyixrOA
DADADAD
CACACAC
AAA0
Versorul forei Feste versorul segmentuluiAB, ABu i are expresia:
)k4j4i7(9
1
447
k4j4i7
)zz()yy()xx(
k)zz(j)yy(i)xx(
AB
ABu
2222AB
2AB
2AB
ABABABAB +=
++
+=
++
++==
Fora Fpoate fi scrissub forma:
)kN(k4j4i7)k4j4i7(9
19uFF AB +=+==
Vectorii moment i mrimile acestora devin:
mkN4,484224)F(M;j42i24
447
247
kji
Fr)F(M 22000 =+==
==
mkN4,42103816)F(M;k10j38i16
447
226
kji
Fr)F(M 222
CCC =++==
==
mkN4,39281424)F(M;k28j14i24
447
607
kji
Fr)F(M 222CDD =++=+=
==
2.2. CUPLUL DE FORE
Cuplul de forereprezintun sistem de doufore egale i de sens contrarcare acioneaz pe dou suporturi paralele asupra aceluiai rigid (fig.2.5).
Cuplul de fore tinde s roteasc rigidul n jurul unei axe perpendiculare peplanul definit de suporturile celor doufore.
12
-
8/12/2019 Carte Mecanica
13/131
-
8/12/2019 Carte Mecanica
14/131
= FrM
F
0
0 (2.10)
Schimbnd punctul de reducere n O, torsorul i modific numaimomentul a crei variaie la schimbarea polului este datde relaia (1.4).
= FOOMM
F
0'0
'0 (2.11)
2.4. REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORE APLICATE RIGIDULUI.TORSORUL DE REDUCERE. VARIAIA TORSORULUI CU
PUNCTUL DE REDUCERE. INVARIANI
Se considerun rigid acionat n punctele A1, A2,, An, de forele 1F ,2F ,.., nF , (fig.2.7.a). Un punct oarecareAi, raportat la polul Oeste definit de
vectorul de poziie ir. A calcula efectul mecanic produs n O de aciuneasimultan a forelor din sistemul dat nseamn a reduce pe rnd toate forelesistemului, obinnd n O, dousisteme de vectori concureni:
-sistemul de fore 1F , 2F ,.., nF , a crui rezultanteste:
=+++=i
in21 FF.....FFR (2.12)
-sistemul de cupluri 1M , 2M ,.., nM , al crui moment rezultant este: ==+++=i
ii
i
in210 FrMM.....MMM (2.13)
Fora rezultant R i momentul rezultant 0M formeaz un sistemechivalent cu sistemul de fore dat, numit torsorul de reducere n punctul O.
=
=
i
ii0
i
i
0FrM
FR
(2.14)
Reducnd sistemul defore ntr-un alt punct O, seobine:
Fig. 2.7
=
=
i
ii'0
i
i
'0FrM
FR
(2.15)
Expresia momentului '0M , innd seama de relaia (2.4), devine:
14
-
8/12/2019 Carte Mecanica
15/131
ROOMFOOFr
FrFOOF)rOO(FrM
0
i
i
i
ii
i
ii
i
i
i
ii
i
ii'0
=+=
=+=+==
(2.16)
Torsorul n punctul Oal sistemului de fore este:
= ROOMM
R
0'0
'0 (2.17)
Comparnd relaiile (2.14) i (2.15) se deduce c n raport cu punctediferite de reducere, rezultanta este aceai, n timp ce momentul rezultantvariaz, legea de variaie a acestuia fiind datde relaia (2.16).
Rezultanta R este primul invariant al operaiei de reducere.Efectund produsul scalar
'0
MR , numit trinom invariant i avnd n
vedere c produsul mixt 0)ROO(R = , fiind produs mixt cu vectoricoplanari, obinem:
00'0 MR)ROOM(RMR == (2.18)
Trinomul invariant 0MR este al doilea invariant al operaiei de
reducere.Forma analitica trinomului invariant 0MR este:
zzyyxx0 MRMRMRMR ++= (2.19)Proiecia momentului rezultant 0M pe direcia rezultantei R este:
2z
2y
2x
zzyyxx
0R0R
RRR
MRMRMR
R
RMuMM
++
++=== (2.20)
Vectorul RM , coliniar cu rezultanta R se va scrie:
R
R
R
MRuMM 0RRR
== (2.21)
Proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei fiind raportul a
doumrimi invarianteRM
0MR i R este n consecin, tot o mrime invariant
a operaiei de reducere (fig.2.7.b). Adic:
cosMcosMM '00R == (2.22)
Trinomul invariant i proiecia momentului rezultant pe direciarezultantei nu sunt dou mrimi invariante independente. La reducerea ntr-un
punct a unui sistem de fore existdoi invariani, R i 0MR .
15
-
8/12/2019 Carte Mecanica
16/131
Aplicaie. Asupra unui corp solid acioneaz sistemul de fore avnd ca suporturi,
muchiile i diagonalele cubului ca n figura 2.8. tiind c )61i(;PPi == ,
)8,7j(;P2Pj == i muchia cubului a, se
cere:1. Sse reducsistemul de fore n puntul O2. Sse determine sistemul echivalent, constituit
din forele:a. 4321 P,P,P,P ;
b. 6521 P,P,P,P ;c. 8731 P,P,P,P ;d. 652 P,P,P ;e. 875 P,P,P .
Rezolvare. 1. Sistemul de fore redus npunctul Oeste definit de torsorul sistemului de fore,calculat n acest punct.
Fig.2.8
=
=
=
=
8
1i
i00
8
1i
i
0
)P(MM
PR
Exprimnd sub formanalitic, forele, ct i momentele acestora n raport cu polul O,
obinem:kPP1= ; kPP2 = ; kPP3 = ; kPP4 = ; iPP5 = ; iPP6= ;
jPiP)j2
2i
2
2(P2P7 == ; jPiP)j
2
2i
2
2(P2P8 +==
0)P(M 10 = ; jaPk)P(iaPOA)P(M 220 === ;
jaPiaPkP)jaia(POB)P(M 330 =+== ; iaPk)P(jaPOC)P(M 440 === ;
0)P(M50
= ; jaPiPkaPOD)P(M660
=== ; 0)P(M70
= ;
jaPiaP)jPiP(kaPOD)P(M 880 +=+== .
Prin nsumarea celor doucategorii de vectori obinem:
0)jPiP()jPiP(iPiPkPkPkPkP
PPPPPPPPR 87654321
=+++++=
=+++++++=
jaP2iaP)jaPiaP(0jaP0iaP)jaPiaP(jaP0
)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(MM 80706050403020100
+=+++++++=
=+++++++=
Torsorul sistemului de fore n punctul Oeste:
16
-
8/12/2019 Carte Mecanica
17/131
+=
=
jaP2iaPM
0R
0
0
2. Pentru determinarea sistemului echivalent se calculeaz torsorul n punctul O alsistemului de fore dat i n funcie de valorile celor douelemente ale acestuia poate fi definit
acest sistem.
2.a.Torsorul n punctul O, al sistemului de fore 4321 P,P,P,P este:
=++=+++=
=+=+++=
0iaP)jaPiaP(jaP0)P(M)P(M)P(M)P(MM
0kPkPkPkPPPPPR
403020100
43210
Sistemul dat este echivalent cu un sistem de fore n echilibru
2.b.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 6521 P,P,P,P este:
=+++=+++=
=+=+++=
0jaP2jaP0jaP0)P(M)P(M)P(M)P(MM
0iPiPkPkPPPPPR
6O5O2O1OO
6521O
Sistemul dat este echivalent cu un cuplu de fore, al crui moment este jaP2MO = .
Acest cuplu este creat de forele 1P i 2P situate pe muchiile paralele OD i EA,
respectiv 5P i 6P , situate pe muchiile paraleleAOiDE.
2.c.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 8731 P,P,P,P este:
=++++=+++=
=++++=+++=
0)jaPiaP(0)jaPiaP(0)P(M)P(M)P(M)P(MM
0kP2)jPiP()jPiP(kPkPPPPPR
807030100
87310
Sistemul dat este echivalent cu o forunic kP2R = , aplicatn O.
2.d.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 652 P,P,P este:
=++=++=
=+=++=
0jaP2jaP0jaP)P(M)P(M)P(MM
0kPiPiPkPPPPR
6050200
6520
Trinomul invariant devine:0jaP2kPMR 0 ==
Sistemul de fore dat este schivalent cu o forunic kPR = , pe axa central.
2.e.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 875 P,P,P este:
+=+++=
=++=
=++
++=++=
0jaPiaP)jaPiaP(00
)P(M)P(M)P(MM
0iP)jPiP(
)jPiP(iPPPPR
8070500
875
0
Trinomul invariant este:
0aP)jaPiaP(iPMR 2
0 =+=
Sistemul de fore dat este echivalent cu un torsor minim pe axa central.Torsorul minim are expresia:
17
-
8/12/2019 Carte Mecanica
18/131
=
=
=
=
iaPP
iP
P
aP
R
R
R
MRM
iPR
20
minmin
2.5. REDUCEREA SISTEMELOR PARTICULARE DE FORE
2.5.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE CONCURENTE
Un sistem de fore care acioneazasupra unui rigid constituie un sistemde fore concurente, dacsuporturile lor sunt concurente ntr-un punct.
Fie un sistem de fore iF, aplicate unui rigid n puncteleAi, (i = 1, 2, ,n), avnd suporturile concurente n punctul O
(fig.2.9). Forele iF fiind vectori alunectori sepot deplasa pe propriile suporturi, astfel capuncteleAiscoincidcu punctul O.
Torsorul n punctul O al acestui sistem defore este:
=
=
0M
FR
0
i
i
0 (2.23)
Torsorul minim este constituit dinrezultantiar axa central, suportul rezultantei. Fig. 2.9
2.5.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE COPLANARE
Se numesc fore coplanare, forele ale cror suporturi sunt situate nacelai plan [P]. Reducnd sistemul de forentr-un punct O, situat n planul [P] se obinetorsorul sistemului n acest punct, compus din
fora rezultant R i momentul rezultant0M , perpendicular pe planul forelor
(momentul rezultant reprezint sumavectorial a momentelor forelor din sistem,calculate n raport cu punctul O i care sunt
prin definiie, perpendiculare pe planulforelor). Fig. 2.10
Trinomul invariant este 0MR 0 = .Pentru studiul analitic al sistemului de fore coplanar (fig.2.10) se
considerca plan al forelor, planul Oxyde ecuaie 0z= . Forele iFi vectoriide poziie irai punctelor de aplicaieAiale forelor au expresiile:
18
-
8/12/2019 Carte Mecanica
19/131
jyixr;jFiFF iiiiyixi +=+= (2.24)
=====
+=+==
kMkMkFyFx
FF
yx
kji
FrM
jRiRjFiFFR
z
i
ixiiyi
i
iyix
ii
i
ii
yx
i
iy
i
ix
i
i
00
0)(
0
0 (2.25)
2.5.3. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE PARALELE
Sistemul de fore iF, (i = 1, 2, ,n)ale cror suporturi sunt paralele cu odirecie comun, de versor u , formeazun sistem de fore paralele (fig.2.11).
O for iFdin sistem poate fi scrisn funcie de versorul u , astfel:uFF ii = (2.26)
unde Fi este o mrime algebric, pozitiv sau negativ, dup cum fora esteorientatn acelai sens sau n sens contrar, versorului u .
Rezultanta sistemului este:
u)F(uFFRi
i
i
i
i
i === (2.27)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrica scalarilor forelor.
Momentul rezultant n punctul Oeste:u)rF()uF(rFrM
i
ii
i
ii
i
ii0 === (2.28)
Trinomul invariant este nul
0u)rF(u)F(MRi
ii
i
i0 =
= (2.29)
datoritcoliniaritii a doi termeni din produsul mixt.
Axa central. Centrul forelor paralele.
Axa centralreprezintlocul geometric alpunctelor unde momentul este nul, ntruct
0MR 0 = . Pentru determinarea axei centrale se
utilizeaz relaia (2.4) care exprim momentulntr-un punct curent P, situat pe aceast ax i
unde rOP= este vectorul de poziie alpunctului P.
0ROPMM 0P == (2.30)
Fig. 2.11nlocuind pe R i 0M cu expresiile datede (2.27) i (2.28), obinem:
19
-
8/12/2019 Carte Mecanica
20/131
0u)F(ru)rF(i
i
i
ii = (2.31)
sau schimbnd poziia factorului scalar n al doilea produs vectorial rezult:
0ur)F(u)rF(
i
i
i
ii =
0u)rFrF(i
i
i
ii = (2.32)
Produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coliniari.
u'rFrFi
i
i
ii = (2.33)
Vectorul de poziie al punctului curent P, de pe axa centraleste:
uF
'
F
rF
r
i
i
i
i
i
ii
=
(2.34)
notnd cu
=
i
iF
', rezult:
uF
rF
r
i
i
i
ii
=
(2.35)
Relaia (2.35) reprezintecuaia vectoriala axei centrale (fig.1.11) careeste o dreaptparalelcu direcia comuna sistemului de fore, datde versorulu i care trece printr-un punct fix C, numit centrul forelor paralele.
Vectorul de poziie al centrului forelor paralele Ceste:
=
i
i
i
ii
CF
rF
r (2.36)
Coordonatele centrului forelor paralele Csunt:
===
i
i
i
ii
C
i
i
i
ii
C
i
i
i
ii
CF
zF
z;F
yF
y;F
xF
x (2.37)
Proprietile centrului forelor paralele.
1. Dactoate forele sunt rotite n acelai sens, cu acelai unghi, axa centralseva roti n acelai sens i cu acelai unghi, trecnd n permanenprin punctul
C, ntruct vectorul Cr nu depinde de versorul direciei comune.2. Centrul forelor paralele nu depinde de sistemul de referin, fiind ocaracteristicintrinseca sistemului de fore.
20
-
8/12/2019 Carte Mecanica
21/131
Considernd noua origine a sistemului, Oi 0rO'O = , vectorii de poziie ai
punctelor de aplicaie ale forelor n raport cu noua origine pot fi scrii subforma: i0i rr'r += . Vectorul de poziie al centrului forelor paralele raportat lanoul sistem va fi:
C0
i
i
i
ii
i
i
i
i0
i
i
i
i0i
i
i
i
ii
C rrF
rF
F
Fr
F
)rr(F
F
'rF
'r +=+=+
==
vectorul de poziie al centrului forelor paralele s-a modificat la fel ca pentruoricare punctAi, deci poziia centrului Cfade puncteleAinu s-a schimbat.
3. Vectorii for sunt vectori legai, caz n care centrul forelor paralele are oexisten intrinsec, poziia acestuia fiind funcie de poziia punctelor deaplicaie i scalarii forelor. Dacforele sunt considerate vectori alunectori,
punctul Cnu mai are semnificaie.
2.5.3.1. REDUCEREA FORELOR PARALELE, DISTRIBUITE
Forele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptAB, situat pe axaAx, de lungime lsunt distribuite dupo lege de variaie,p = p(x)(fig.2.12). Seurmrete determinarea rezultantei,Ri poziia centrului forelor paralele,xC.
Notm prinp(x), fora pe unitatea de lungime la distanax, de captulA,msuratnN/m. Mrimea rezultanteiRse obine prin integrarea pe lungimea l,
a forei elementare, dR, creatde fora distribuitp(x)consideratconstantpeelementul infinitezimal dx.
==l
0AB
dx)x(pdRR (2.38)
Poziia centrului forelor paraleledistribuite Ceste definitde abscisaxC:
== l
0
l
0
AB
ABC
dx)x(p
xdx)x(p
dR
xdRx (2.39)
Fig. 2.12
Mrimea rezultantei R este aria cmpului de distribuie a forei iar
suportul acesteia trece prin centrul de greutate C al suprafeei.
a. Fordistribuituniform. Fora se distribuie constant pe lungimeabarei (fig.2.13), legea de variaie fiind:
.ctp)x(p == (2.40)
plpxpdxR l
0
l
0
=== (2.41)
21
-
8/12/2019 Carte Mecanica
22/131
2
l
x
2
x
pdx
pxdx
xl
0
l
0
2
l
0
l
0C ===
(2.42)
Fig. 2.13
O sarcin distribuit uniform esteechivalent cu o sarcin concentrat
plR= , aplicat la mijlocul poriunii
ncrcate, .2/lxC =
b. Fordistribuittriunghiular. Valoarea maxima forei distribuiteestep(fig.2.14) iar legea de variaie pe lungimea barei, datde funcia:
l
x
p)x(p = (2.43)
Fig. 2.14
2
pl
l2
pxdx
l
xpR
l
0
2l
0
=== (2.44)
3
l2
2
x
3
x
dxl
x
p
xdxl
xp
xl
0
2
l
0
3
l
0
l
0C ===
(2.45)
O sarcin distribuit triunghiular este echivalent cu o for de mrime2/plR= , aplicatla distana 3/l2xC = , de captulA.
c. For distribuit parabolic. Valoarea maxim a forei distribuiteestep(fig.2.15) iar legea de variaie pe lungimea barei, datde funcia:
2
2
l
xp)x(p = (2.46)
Fig. 2.15
3
pl
l3
pxdx
l
xpR
l
0
2
3l
02
2
=== (2.47)
4
l3
3
x
4
x
dxl
xp
xdxl
xp
xl
0
3
l
0
4
l
02
2
l
02
2
C ===
(2.48)
O sarcin distribuit parabolic este echivalent cu o for de mrime3/plR= , aplicatla distana 4/l3xC = , de captulA.
22
-
8/12/2019 Carte Mecanica
23/131
Aplicaii. 1. O for distribuit uniform acioneaz pe semicercul de raz r.Intensitatea forei pe unitatea de lungime estep. Sse reducsistemul de fore n punctul O.
Rezolvare. Fora distribuit pe semicerc constituie un sistem de fore concurente.Torsorul n centrul semicercului Oeste constituit numai din fora rezultant.
Datoritsimetriei, suportul rezultantei este dat de axa de simetrie Oxa semicercului,componenta pe direcia axei Oyfiind nul.
Pentru o poziie curenta arcului elementar dl, definitde unghiul la centru , foraelementarcare acioneazpe acesta este:
rdpdlpRd == Cum:
jsinpicospjpipp yx =+=
ijsinprdicosprdjRdidRRd yx =+=
rezultanta care se obine prin integrare:
Fig.2.16
==)D()D(
pRdR rd
poate fi scrisprin componentele pe cele douaxe
jRiRR yx +=
i ale cror valori sunt:
pr2sinprdcos 2
2
2
2
==
prdRR
)D(
xx ==
0sprcodsin 2
2
2
2
==
prdRR
)D(
yy ==
Rezultanta este un vector de mrime pr2R = situat pe axa Oxi care acioneazn
sens contrar acesteia.
2.Asupra unei plci (fig.2.17) acioneazsistemul de fore coplanar, de mrimi, F1=F2= P, P2F3 = i un cuplu de moment aP2M= , ale crui fore sunt situate n planul
celorlalte. Dacsuportul forei 3F trece prin punctulA(a, 0)i formeazcu axa Ox, unghiul
4/= , sse determine sistemul echivalent.
Fig.2.17
Rezolvare. Reducnd sistemul n originea O,elementele torsorului n acest punct sunt:
0jP2
P2
2jPiP
FFFR 321
=
++=
=++=
)j2
2i
2
2( =
0kaP)j2
2i
2
2
kaP2
=
+=
(P2ia
FOAMM30
+
+=
23
-
8/12/2019 Carte Mecanica
24/131
Cum 0MR 0 = , sistemul este echivalent cu o forunicpe axa central, a crei ecuaie
este:
xy0 yRxRM =
2
a
yPy2aP == adico dreaptparalelcu axa Ox la distana a/2sub aceasta.
3. Asupra unui corp acioneaz sistemul de fore paralele din figura 2.18. Dac, s se reduc sistemul de fore n O i s se determine coordonatele
centrului forelor paralele.
PFFF 321 ===
Rezolvare. Torsorul n punctul Oal sistemului de fore este:
==
==
=
= =
i
3
1i
i0
3
1i
3
1i
ii
0
FOAM
F(FR
=
3
1i
ii k)OAF(
k)
Fig. 2.18
Rezultanta are direcia axei Oz.
kP=k)FFF(R 321 +=
Momentul rezultant este:
jaPiaPk)kPa
k)OAF 332
+=
=+
jPaiPa(
OAFOAF(M 2110
+=
+=
Torsorul n punctul Oare expresia:
+=
=
jaPiaPM
0kPR
0
00
Sistemul de fore este echivalent cu o rezultantR , al crei suport este axa central, odreaptparalelcu axa Ozcare trece prin C, centrul forelor paralele de coordonate:
aP
Pa
F
zF
z;aP
Pa
F
yF
y;aP
Pa
F
xF
x
i
i
i
ii
C
i
i
i
ii
C
i
i
i
ii
C =
===
===
==
TEST DE EVALUARE
1. Momentul forei n raport cu un punct reprezint:a. capacitatea forei de a roti corpul in jurul unei axe care trece prin acel punct
b. capacitatea forei de a roti corpul in jurul punctului respectivc. capacitatea forei de a roti corpul in jurul unei axe care trece prin acel punct,perpendicularpe planul definit de fori punct
24
-
8/12/2019 Carte Mecanica
25/131
2. Expresia momentului forei n raport cu un punct este:a. Fr)F(M0 =
b. rF)F(M0 = c. Fr)F(M0 = 3. Braul forei reprezint:a. lungimea (modulul) vectorului de poziie al punctului de aplicaie al forei
b. lungimea perpendicularei dus din punctul fa de care se calculeazmomentul, pesuportul foreic. nici una din variantele ai b4. Legea de variaie a momentului la schimbarea polului este datde relaia:a. ROOMM '0'0 =
b. '0'0 OORMM += c. ROOMM '0'0 += 5. Cuplul de fore este caracterizat de:a. rezultanta cuplului de fore
b. momentul cuplului de forec. braul cuplului de fore6. Rezultatul operaiei de reducere al unui sistem de fore care acioneaz asuprarigidului este:a. determinarea unui sistem de fore echivalent n punctul respectiv
b. determinarea torsorului sitemului de fore n acel punctc. determinarea rezultantei sistemului de fore n acel punct7. Invarianii operaiei de reducere ntr-un punct ai unui sistem de fore sunt:a. rezultanta sistemului de fore
b. trinomul invariant al sistemului de forec. variantele ai bmpreun8. Torsorul minim al unui sistem de fore care acioneazasupra rigidului reprezint:a. torsorul sistemului de fore, calculat ntr-un punct situat pe axa central
b. rezultanta R i momentul minimmin
M
c. proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei9.
Poziia centrului forelor paralele este definitde:a. vectorul de poziie al centrului forelor paralele
Cr
b. coordonatele centrului forelor paralele:
===
i
i
i
ii
C
i
i
i
ii
C
i
i
i
ii
CF
zF
z;F
yF
y;F
xF
x
c. depinde de sistemul de referinales10.Mrimile care caracterizeazforele distribuite sunt:a. rezultanta forelor distribuite
b. poziia rezultantei forelor distribuite pe zona pe care se distribuiec. variantele ai bmpreun
25
-
8/12/2019 Carte Mecanica
26/131
3. CENTRE DE GREUTATE (DE MAS)
3.1. CENTRUL DE GREUTATE AL UNUI SISTEM DE PUNCTE
MATERIALE
Fie un sistem de puncte materiale Ai de mase mi i vectori de poziie)n,...,2,1i(,ri = n raport cu originea Oa sistemului de axe.
Greutatea sistemului este:
MgmggmGGi
i
i
i
i
i ==== (3.1)
i este aplicat ntr-un punct definit cacentrul de greutate al sistemului, care este
centrul forelor paralele de greutateiG (fig.3.1).
Vectorul de poziie al centrului degreutate C, conform relaiei (2.43) este:
=
i
i
i
ii
CG
rG
r (3.2)Fig. 3.1
nlocuind relaia (3.1) n (3.2) obinem:
===
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Cm
rm
gm
rgm
G
rG
r (3.3)
ceea ce demonstreazfaptul ccentrul de greutate Ceste un element geometric,depinznd de modul de distribuie a maselor din punctele Ai, fapt care justificdenumirea de centrul de mas.
Proieciile pe axe ale vectorului Cr sunt coordonatele centrului de mas:
===
i
i
iii
C
i
i
iii
C
i
i
iii
Cm
zmz;
m
ymy;
m
xmx (3.4)
3.2. MOMENTELE STATICE
Momentul static al unui sistem de puncte materiale, n raport cu un planeste suma produselor dintre masele punctelor i distanele acestora la plan (care
pot fi pozitive sau negative, dupcum aceste puncte sunt situate de o parte saude alta a planului respectiv). Relaia (3.4) poate fi scrisi sub forma de mai jos,care constituie i teorema momentelor statice.
26
-
8/12/2019 Carte Mecanica
27/131
Ci
iiC
i
iiC
i
ii Mzzm;Myym;Mxxm === (3.6)
Momentul static al unui sistem de puncte materiale n raport cu un plan
este egal cu produsul dintre masa sistemului i distana de la centrul maselor la
acel plan.
3.3. PROPRIETILE CENTRULUI DE GREUTATE
1.Dac sistemul de puncte materiale are un plan, o ax sau un centru desimetrie, centrul de masse afln acel plan, pe acea axsau n acel centru.
Presupunnd csistemul admite planul Oxzca plan de simetrie, oricruipunct Pi(xi, yi, zi) de masmii corespunde un punct Pj(xi, -yi, zi) de aceai masmi. Cum , rezulty0ym
i
ii = C= 0, deci centrul de masse afln planul Oxz.
Dac presupunem c sistemul admite axa Oz, ca axde simetrie, atunciunui punct Pi(xi, yi, zi) de masmii corespunde totdeauna un punct Pj(-xi, -yi, zi)de aceai masmi. Cum 0ym;0xm
i
ii
i
ii == , rezultxC= 0, yC= 0, deci
centrul de masse aflpe axa Oz.Considernd c sistemul admite originea sistemului de referin O, ca
centru de simetrie, din condiiile de simetrie rezultcoricrui punct Pi(xi, yi, zi)de masmii corespunde ntotdeauna un punct Pj(-xi, -yi, -zi) de aceai masmi.Cum momentele statice, 0zm;0ym;0xm
i iii iii ii
===
, rezult 0x
C
= ,
, ,deci centrul de masse afln polul O.0yC= 0zC =
2 Dac un sistem de puncte materiale (S) se compune dintr-un numr de psubsisteme (S1), (S2), , (Sp), de mase M1, M2,, Mpi vectori de poziie ai
centrelor de masp21 CCC
r...,,r,r , centrul de masal sistemului (S) se obine
considernd masele sistemelor componente Mi, concentrate n centrele de
mas, Ci(i = 1, 2, , p).
=
i
i
i
Ci
CM
rM
r
i
(3.7)
Pentru demonstraie se ine seama c, n baza relaiei (3.4), vectorii depoziie ai centrelor maselor
iCr au expresiile:
===
)S(
i
)S(
ii
C
)S(
i
)S(
ii
C
)S(
i
)S(
ii
C
p
p
p
2
2
2
1
1
1 m
rm
r......;m
rm
r;m
rm
r (3.8)
ntruct
27
-
8/12/2019 Carte Mecanica
28/131
p)S(
i2
)S(
i1
)S(
i Mm......;Mm;Mm
p21
=== (3.9)
relaiile (3.8) pot fi scrise astfel:
===)S(
Cpii
)S(
C2ii
)S(
C1ii
pp
22
11
rMrm......;rMrm;rMrm (3.10)
Vectorul de poziie Cr al centrului maselor sistemului (S) este:
=+++
+++
=
=+++
+++
==
i
i
i
Ci
p21
CpC2C1
)S(
i
)S(
i
)S(
i
)S(
ii
)S(
ii
)S(
ii
)S(
i
)S(
ii
C
M
rM
M......MM
rM......rMrM
m......mm
rm......rmrm
m
rm
r
ip21
p21
p21
3.Dac un sistem de puncte materiale (S) poate fi considerat ca proveninddintr-un sistem (S1) din care s-a extras un sistem (S2) i dac se cunosc
masele M1, M2i centrele de mas definite de vectorii de poziie21 CC
r,r ,
atunci centrul de mas al sistemului (S) se poate obine considernd c
masele M1i M2s-ar concentra n centrele de masC1i C2.Vectorul de poziie al centrului de masC, al sistemului (S) are expresia:
21
C2C1
21
C2C1
CMM
rMrM
)M(M
r)M(rMr 2121
=++
= (3.11)
Referitor la sistemele (S1) i (S2) putem scrie conform (3.9) i (3.10):
==)S(
C2
)S(
iiC1ii
1
2
2
1rMrm;rMrm ; 2
)S(
i1
)S(
i Mm;Mm
21
==
Pentru ntreg sistemul se obine:
21
C2C1
)S( )S(
ii
)S(
ii
)S(
ii
)S( )S(
ii
)S(
i
)S(
ii
)S(
ii
)S(
ii
)S(
i
)S(
ii
CMM
rMrMmm
rmrm
m)mm(
rm)rmrm(
m
rm
r 21
1 2
21
2 2
22
=
=+
+
==
Observaie. Proprietile centrului de mas prezentate pentru sisteme depuncte materiale sunt valabile i n cazul sistemelor de corpuri omogene.
3.4. CENTRUL DE GREUTATE AL CORPURILOR OMOGENE
n mecanic, corpul rigid se admite ca fiind un continuu materialnedeformabil, adicorice element de volum are masiar distanele dintre punctermn nemodificate, indiferent de solicitrile la care este supus corpul. Pentru a
28
-
8/12/2019 Carte Mecanica
29/131
stabili o legturcu rezultatele obinute n cazul sistemelor de npuncte materialese considercorpul divizat n volume elementare Vi, de mase mi.
Vectorul de poziie al centrului de maseste definit, conform relaiei (3.4)cu condiia discretizrii la limita maselor elementare. Cnd 0mi , sumele
definite de (3.4) devin integrale, definite pe domeniul (D), ocupat de corp.
==
)D(
)D(
i
i
i
ii
0mC
dm
dmr
m
rm
limri
(3.12)
Domeniul (D) se va nota cu: (V), n cazul blocurilor - corpuri cu treidimensiuni, (A), n cazul plcilor - corpuri cu dou dimensiuni, a treia fiindneglijabil n raport cu celelalte dou i (l), n cazul barelor - corpuri cu osingurdimensiune, celelalte doufiind neglijabile n raport cu prima.
Corpul omogen este corpul a crui densitate este aceai n toate punctelesale. Cum densitateasau masa specifica corpului (blocului) este definitprinraportul dintre masa corespunztoare i volumul elementar,
dV
dmV == (3.13)
vectorul de poziie al centrului de masal blocului omogen este:
===
)V(
)V(
)V( V
)V( V
)D(
)D(
C dV
dVr
dV
dVr
dm
dmr
r
(3.14)
ale crui coordonate sunt:
===
)V(
)V(C
)V(
)V(C
)V(
)V(C
dV
zdVz;
dV
ydVy;
dV
xdVx (3.15)
n cazul plcilor se poate defini, n mod analog, densitatea superficial.
dA
dmA = (3.16)
Vectorul de poziie al centrului de masal plcii omogene este:
===
)A(
)A(
)A( A
)A( A
)D(
)D(C
dA
dAr
dA
dAr
dm
dmrr
(3.17)
ale crui coordonate sunt:
===
)A(
)A(
C)A(
)A(
C)A(
)A(
C dA
zdA
z;dA
ydA
y;dA
xdA
x (3.18)
29
-
8/12/2019 Carte Mecanica
30/131
n cazul barelor se definete densitatea liniar:
dl
dml = (3.19)
Vectorul de poziie al centrului de masal barei omogene are expresia:
===
)l(
)l(
)l( l
)l( l
)D(
)D(C
dl
dlr
dl
dlr
dm
dmrr
(3.20)
ale crui coordonate sunt:
===
)l(
)l(C
)l(
)l(C
)l(
)l(C
dl
zdlz;
dl
ydly;
dl
xdlx (3.21)
Aplicaii. 1. S se determine centrul de greutate al unei bare omogene (fig.3.2) deforma arcului de cerc cu razaRi unghiul la centru, 2(exprimat n radiani).
Rezolvare.Admind axa Ox, axde simetrie, centrul de greutate al arcului de cercABse aflpe aceastax, poziia fiind definitde abscisaxC.
Fig. 3.2
Elementul de bar, Rddl'MM == , are abscisa,cosRx= .
sinR
sinR
Rd
RdcosR
==
dl
xdlx
)l(
)l(
C ==
n cazul particular al barei semicirculare, n care2/= , abscisa centrului de greutate devine:
R2
2
2sin
RxC ==
2. S se determine centrul de greutate al unei plci omogene (fig.3.3) avnd formaunui sector circular, de razRi unghi la centru, 2(exprimat n radiani).
Rezolvare.Se alege axa Ox, ca bisectoare a unghiului la centru, care este deci i axdesimetrie. Poziia centrului de greutate va fi definitde abscisaxC.Elementul de arie este sectorul infinitezimal, OMM, asimilat unui triunghi isoscel.
dR2
1RdR
2
1'MM'OM
2
1dA
2===
30
-
8/12/2019 Carte Mecanica
31/131
Centrul de greutate al acestui element de arie va fi situat pe mediana din O, la distana2R/3. Rezultabscisa centrului de greutate al elementului dearie OMM: cosR3/2x=
Fig. 3.3
sinR32
sinR
32
dR2
1
dR2
1cosR
3
2
2
2
==
dA
xdA
x
)A(
)A(C ==
n cazul particular al sectorului semicircular, n care2/= , abscisa centrului de masdevine:
R
3
4=
2
2sin
R3
2xC =
dzrdV 2=
222z
3.Sse determine centrul de greutate al unui corp omogen, de forma unei emisfere curazaR(fig.3.4).
Rezolvare.Corpul admite axa Oz, ca axdesimetrie, deci centrul de greutate situndu-se peaceastaxva fi definit de cota zC. Pentru calcululcoordonatei centrului de greutate, C, corpul sediscretizeaz n volume elementare dV, de formaunor cilindri infinitezimali, obtinui prin secionareaemisferei cu planele de cot,zi (z + dz). Volumulelementar, de forma unui cilindru, avnd raza r i
nlimea dzeste:
Rr =
Fig. 3.4dz)zr(dV 22 = Volumul emisferei este:
3
R2)
3
RR()
3
zzR(dz)zR(dVV
333
R
0
3R
0
2R
0
22
)V(
=====
iar cota centrului de greutatezCdevine:
R8
3
3
R2
4
R
3
zzR
4
z
2
zR
dz)zR(
dz)zR(z
dV
zdV
z3
4
R
0
3R
0
2
R
0
4R
0
22
R
0
22
R
0
22
)V(
)V(
C ==
=
==
4.Dintr-un cerc de razR se decupeazun cerc tangent interior de razR/2. S sedetermine poziia centrului de greutate a poriunii rmase (fig.3.5).
Rezolvare.Sistemul admind axa Oyca axde simetrie, conform primei proprieti seva calcula doar ordonata centrului de greutateyC.
21
2211C
AA
yAyAy
=
31
-
8/12/2019 Carte Mecanica
32/131
unde A1, A2sunt ariile celor doucercuri iar y1, y2sunt ordonatele centrelor de greutate aleacestora, raportate la sistemul de axe Oxycu originea n centrul cercului de razR( ).1CO
Fig. 3.5
==
==
2
R
y,4
R
A
0y,RA
2
2
2
12
1
6
R
4
R3
8
R
2
R
2
3
=
=
4
RR
4
R0R
y2
2
2
C
=
Centrul de greutate se afl pe dreapta ceunete centrele celor dou cercuri sub axa Ox ladistana de originea sistemului.6/RyC =
5. S se determine centrul de greutate al plcii omogene, de form i dimensiuni,indicate n figura 3.6.
Rezolvare. ntruct corpul admite axa Oy ca ax de simetrie, poziia centrului degreutate va fi definitde ordonata acestuia,yC. Placa omogendin figura 3.6 s-a obinut prinadiionarea corpurilor 1 i 4, din care se extrag corpurile 2 i 3, ficare avnd ariile iordonatele centrelor de greutate, dupcum urmeaz:
Fig. 3.6
Corpul 1 placa circularde raz cm20R=
=
==
0y
20RA
1
21 = cm64,1256
22
Corpul 2 placa semicircularde raz r cm10=
==
==
10
3
4r
3
4y
2
10
2
rA
2
2
2
=
=
cm24,4
cm08,1572
2
Corpul 3 placa sectorial OADB, de razi unghi la centru 2cm20R= 3/2=
cm19,11
3
3sin203
2sinr
3
2y,cm66,41820
3rA 3
2223 ======
Corpul 4 placa triunghiularOAB, avnd unghiul n O, 3/22 = , nlimea
i lungimea bazeicm10h= cm64,342/3202sinR2AB === .
cm66,6103
2h
3
2y,cm2,1731064,34
2
1A 4
24 =====
Ordonata centrului de mas,yC, a plcii din figureste:
32
-
8/12/2019 Carte Mecanica
33/131
cm35,320,17366,41808,15764,1256
)66,6(20,173)19,11(66,41824,408,157064,1256
AAAA
yAyAyAyAy
4321
44332211C
=+
+=
=+
+=
6.Capul unui nit are forma unei emisfere de razR, iar corpul nitului este de formaunui cilindru de razR/2 i nlime kRh= . S se determine coeficientul k, astfel nctcentrul de masal nitului sfie situat la distana 2/Rl= , fade planul de separare dintrecele douelemente (fig.3.7).
Rezolvare.ntruct nitul admite axa Oyca axde simetrie, centrul de masse va aflape aceastax. Constanta kse va determina din condiia ca valoarea ordonatei centrului demassfie .2/Rl=
Nitul este compus din dou corpuriavnd volumele i ordonatele centrelor demas, dupcum urmeaz:
Corpul 1 capul nitului
Fig. 3.7
R8
3y,R
3
2V 1
31 ==
Corpul 2 corpul nitului
==
==
2
kR
2
hy
4
Rkh)
2
R(V
2
32
2
Ordonata centrului de masa nitului este:
Rk38
2k
2
3
4
RkR
3
2
2
kR
4
Rk)R
8
3(R
3
2
VV
yVyVy
2
33
33
21
2211C
+
=
+
+=
+
+=
Din condiia , obinem:2/RyC =
R2
1R
8k3
2k
2
32
=+
sau , respectiv,014k3k2 = 72,2k=
TEST DE EVALUARE
1. Centrul de greutate al unui sistem material reprezint:a. punctul unde acioneazgreutatea sistemului
b. centrul forelor paralele de greutate ale sistemuluic. punctul al crui vector de poziie este dat de relaia:
=
i
i
i
ii
Cm
rm
r
2. Centrul de maseste echivalent cu centrul de greutate:a. nu
b. da
33
-
8/12/2019 Carte Mecanica
34/131
c. n condiiile n care centrul de greutate depinde de modul de distribuie al maselorsistemului
3. Momentul static al unui sistem material n raport cu un reper (planul Oxy) este:a. =
i
iixy0 zmS
b. Cxy0 zMS =c. =
i
iixy0 zGS
4. Dacmomentul static =i
iixy0 zmS este nul, centrul de greutate se afl:
a. n planul Oxyb. n planul Oxzc. n nici unul din planele menionate5. Dac momentele statice =
i
iixy0 zmS i =i
iixz0 ymS sunt nule, centrul de
greutate se afl:a. pe axa Ox
b. pe axa Oyc. pe axa Oz6. Poziia centrului de greutate al unui sistem de plci omogene (corpuri cu doudimensiuni) este definitde relaia:
a.
=
i
i
iiCi
CM
rM
r
b.
=
i
i
iiCi
CA
rA
r
c. nici una din variantele asau b7. Poziia centrului de greutate al unui bloc omogen (corp cu trei dimensiuni) estedefinitde vectorul de poziie dat de relaia:
a.
=
)D(
)D(
Cdm
dmr
r
b.
=
)V(
)V(
CdV
dVr
r
c. oricare din variantele ai b8. Dacun sistem material sau corp admite un plan de simetrie, centrul de greutate seafl:a. n dreapta planului de simetrie
b. n stnga planului de simtriec.
n planul de simetrie
34
-
8/12/2019 Carte Mecanica
35/131
4. STATICA RIGIDULUI
4.1. ECHILIBRUL RIGIDULUI LIBER
Rigidul liber este un corp care poate ocupa orice poziie n spaiu, poziiaacestuia depinznd exclusiv, de sistemul de fore care acioneazasupra lui.
Condiia necesari suficientpentru ca un rigid liber sfie n echilibrueste ca torsorul sistemului de fore care acioneazasupra acestuia sfie nul norice punct. De regul, punctul fade care se calculeaztorsorul sistemului defore este originea Oa sistemului de axe considerat.
=
=
0M
0R
00 (4.1)
innd seama c:
==
=
ii
iii0
i
i
MFrM
FR
(4.2)
condiiile (4.1) devin:
=
=
0M
0F
ii
ii
(4.3)
n cazul rigidului acionat de un sistem de fore spaial (rigid n spaiu),
ecuaiile scalare de echilibru sunt:
(4.4)
=
=
=
0F
0F
0F
iiz
iiy
iix
=
=
=
0M
0M
0M
iiz
iiy
iix
n cazul rigidului acionat de un sistem de fore coplanar (rigid n plan),
ecuaiile scalare de echilibru devin:0M;0F;0F
iiz
iiy
iix === (4.5)
Problemele echilibrului rigidului liber pot fi rezolvate n general, dacelecomport determinarea a cel mult ase necunoscute scalare, n cazul rigiduluiacionat de un sistem de fore spaiale sau cel mult trei necunoscute scalare, ncazul rigidului acionat de un sistem de fore coplanare.
Poziia de echilibru a rigidului este definit de ase parametri scalariindependeni, pentru rigidul n spaiu i de trei parametri scalari independeni,
pentru rigidul n plan care se numesc grade de libertate.Pentru stabilirea poziiei unui rigid n spaiu este necesar s se cunoasccoordonatele a trei puncte necoliniare: , i)z,y,x(A 1111 )z,y,x(A 2222
35
-
8/12/2019 Carte Mecanica
36/131
)z,y,x(A 3333 . Aceste coordonate nu sunt independente deoarece distanele d1,d2, d3, dintre puncte rmn constante, corpul fiind nedeformabil.
=++=
=++=
=++=
32
312
312
3113
22
232
232
2332
12
122
122
1221
d)zz()yy()xx(AA
d)zz()yy()xx(AA
d)zz()yy()xx(AA
(4.6)
ntruct ntre cei nouprametri scalari,x1, y1, z1,x2, y2, z2, x3, y3, z3,pot fiscrise trei relaiide forma (4.6), rezultcdoarase sunt independeni. n concluzie, poziiaunui rigid liber n spaiu este definit de ase
parametri independeni. Rigidul liber n spaiu
are ase grade de librtate.Practic, numrul gradelor de libertateeste dat de numrul deplasrilor (translaii irotaii) independente n raport cu axele decoordonate (fig.4.1).
n cazul rigidului n plan (considerndrigidul n planul Oxy) este necesar s secunoasc poziia a dou puncte i
. Scriind distana d, dintre cele dou puncte care este constant,
obinem:
)y,x(A 111)y,x(A 222
Fig. 4.1
d)yy()xx(AA 2122
1221 =+= (4.7)
Rezult c din cei patru parametri scalari, x1, y1, x2, y2, care definescpoziia rigidului n plan, doar trei sunt independeni. Rigidul liber n plan aretrei grade de libertate.
4.2. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGTURI FRFRECARE
4.2.1. GENERALITI
Rigidul supus la legturi este corpul cruia i se impune o restriciegeometric. Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legturi se aplicaxioma legturilor, n baza creia, legtura este nlturat i nlocuit cuefectul mecanic al acesteia, forele i momentele corespunztoare.
Prin aceastoperaie, problema este redusla cea a rigidului liber. Rigidulsupus la legturi este acionat de: fore i momente exterioare, direct aplicate fore i momente de legtur.
36
-
8/12/2019 Carte Mecanica
37/131
Se consider corpul (C), cruia i se studiazechilibru, care are ca legturi, corpul (C1) (fig.4.3).Torsorul de reducere n punctul teoretic de contact, O, alfortelor exterioare OT este constituit din R i OM iar al
forelor de legtur 0 este format din R i 0M .
OO M
RT
00
M
R (4.8)
Condiia de echilibru se exprim cu ecuaiilevectoriale (4.9), care n cazul general conduc la aseecuaii scalare de echilibru.
=+
=+
0M
0R
0OM
R (4.9)
Fig. 4.2
4.2.2. LEGTURILE RIGIDULUI
Legturile rigidului sunt: reazemul simplu, articulaia, ncastrarea iprinderea cu fir.
n studiul legturilor rigidului se urmresc douaspecte: unul geometric,referitor la numrul gradelor de libertate i altul mecanic legat de elementelemecanice cu care se nlocuiesc legturile; pentru fiecare legtur se vor studia
cele douaspectele legate de: numrul gradelor de libertate rmase rigidului dup aplicarea legturii,
indicnd posibilitile de micare independent; forele i momentele pe care le introduce legtura.
ntruct se neglijeazforele de frecare care se dezvoltn legturi, acestelegturi se numesc ideale saulegturi frfrecare.
4.2.2.1. REAZEMUL SIMPLU
Reazemul simplu este legtura prin care un punct al rigidului este obligatsrmnpermanent pe o suprafadat.
Datoritrigiditii, corpurile rezemate nu se pot ntreptrunde i deci dincele ase micri simple pe care le poate efectua un rigid liber, rezemareasuprim translaia dup direcia normal la planul tangent comun celor doucorpuri n contact, numit plan de rezemare.
Un rigid rezemat are cinci grade de libertate. Considernd suprafaa derezemare ca fiind planul Oxy, cele cinci grade de libertate ale rigidului sunt: treirotaii n jurul axelor Ox, Oy, Oz i dou translaii n lungul axelor Ox, Oy,
translaia dup axa Oz fiind suprimat de legtur (fig.4.3.a). Din punct devedere geometric, reazemul reduce numrul gradelor de libertate cu o unitate.
37
-
8/12/2019 Carte Mecanica
38/131
Efectul mecanic al sistemului de fore aplicat corpului (C) este reprezentatprin torsorul acestora, n punctul teoretic de contact O, )( OO M,RT . Cele douelemente ale torsorului se descompun dupdoudirecii: normala comuncelor doucorpuri n punctul de rezemare On; dreptele Ot1 i Ot2, obinute ca intersecie dintre planul [P], tangent n
punctul teoretic de contact cu planele definite de normala Oni vectorul R ,respectiv Oni vectorul OM (fig.4.3.b).
Rezult:
+=
+=
tnO
tnO
MMM
RRRT (4.10)
Componenta nR produce deplasarea corpului(C), pe direcia normalei la
legtur.Componenta tR
produce deplasareacorpului (C) pe corpullegtur (C1), dupdirecia Ot1, situat n
planul tangent [P],numitalunecare.
Componenta nM produce rotirea corpului(C) pe corpul legtur(C1), n jurul normaleicomune celor doucorpuri, On, numitpivotare.
Fig. 4.3
Componenta tM produce rotirea corpului (C) pe corpul legtur(C1), njurul axei Ot2, situatn planul tangent [P], numitrostogolire.
Dintre deplasrile posibile ale rigidului (C), legtura (C1) nu poate limitadect deplasarea pe direcia normal la legtur,datorit rigiditii celor doucorpuri, n sensul ptrunderii corpului (C), n corpul (C1), dac legtura esteunilateral i n ambele sensuri (de a ptrunde i de a prsi legtura) daclegtura este bilateral. Lipsa frecrii dintre cele dou corpuri creaz
posibilitatea efecturii celorlalte micri.Reazemul simplu acioneaz asupra corpului (C), cu o for de legtur
normal pe suprafaa de rezemare, N, numit reaciune normal. Privitor lasensul reaciunii normale N, acesta poate fi stabilit numai n cazul legturiiunilaterale, cnd sensul lui Neste acela n care corpul poate prsi legtura.
Torsorul n O, al forelor de legtureste format din reaciunea normal,)N(0 .
Condiia de echilibru este exprimatprin ecuaiile vectoriale:
38
-
8/12/2019 Carte Mecanica
39/131
===
=+
0
0N
tnt
n
MMR
R (4.11)
Reazemul simplu se noteaz simbolic printr-un triunghi, avnd unul din
vrfuri n punctul de rezemare iar latura opus, perpendicular pe reaciuneanormal(fig.4.3.c).
4.2.2.2. ARTICULAIA
Articulaia este legtura prin care rigidului i se fixeaz un punct, i senumete articulaie sferic, sau o ax, caz n care se numete articulaiecilindric.
4.2.2.2.1. ARTICULAIA SFERIC
Un rigid (C) este articulat sferic, cnd o extremitate acestuia esteprevzut cu o sfera careptrunde ntr-o cavitateasemntore, practicat ncorpul legtur(C1).
Poziia unui rigid cu unpunct fix (fig.4.4.a) estedeterminat de trei parametri
scalari, corpul avnd trei gradede libertate: rotaiile corpului(C), n raport cu cele trei axeale sistemului de coordonate.
Din punct de vederegeometric, articulaia sfericreduce numrul gradelor de libertate ale unui rigid,cu trei uniti (translaiile corpului (C), n raport cu cele trei axe de coordonate).
Fig. 4.4
Pentru studiul echilibrului rigidului se consider torsorul forelor directaplicate n puntul O, )( OO M,RT . Rezultanta forelor exterioare, R are
tendina de a imprima corpului (C), o deplasare, n raport cu corpul legtur(C1). Momentul rezultant OM tinde sroteasccorpul (C), n raport cu legtura(C1). Datorit lipsei frecrilor n articulaia sfericnu exista cupluri care s seopunacestei micri.
Conform principiului aciunii i al reaciunii, efectul mecanic alarticulaiei sferice asupra rigidului (C) este o for R , de mrime i direcienecunoscut (fig.4.4.b). Se prefer s se lucreze cu proieciile forei R pedireciile axelor sistemului de coordonate Oxyz: zyx R,R,R .
Torsorul forelor de legtur n punctul O este constituit din rezultantaforelor de legtur, )RRRR( zyx0 ++= . Condiia de echilibru este
exprimatprin ecuaiile vectoriale:
39
-
8/12/2019 Carte Mecanica
40/131
=
=+
0
0R
OM
R (4.12)
sau prin cele ase ecuaii scalare de echilibru:
(4.13)
====+=+=+
00R;0R;0R zyx
zyx
zyx
MMMRRR
4.2.2.2.2. ARTICULAIA CILINDRIC
n cazul articulaiei cilindrice spaiale, extremitatea O, a corpului (C) esteprevzut cu un cilindru (fus), montat coaxial n interiorul unei caviti, deasemenea cindric(lagr), practicatn corpul legtur(C1), n raport cu care se
poate roti i deplasa (fig.4.5.a).Cele dou micri
posibile, rotaia i translaia nraport cu axa articulaiei Oz,ale ale corpului (C) n raportcu legtura (C1) constituie celedou grade de libertate alerigidului.
Din punct de vedere
geometric, articulaiacilindric spaial reducenumrul gradelor de libertateale rigidului, cu patru uniti.
Din punct de vederemecanic, o articulaie cilindricpoate fi nlocuit cu o forR i un cuplu demoment 0M , ambele de mrimi necunoscute, situate ntr-un plan normal la axaarticulaiei Oz. Se lucreazcu componentele pe axe ale celor douelemente aletorsorului forelor de legtur(fig.4.5.b.)
Fig. 4.5
+=
+=
yx0
yx0
MMM
RRR (4.14)
Cum torsorul n punctul O al forelor direct aplicate rigidului (C),exprimat prin componente pe axele sistemului triortogonal Oxyzeste:
++=
++=
zyxO
zyxO
MMMM
RRRRT (4.15)
condiiile vectoriale de echilibru pot fi exprimate cu ajutorul relaiilor (4.9).
40
-
8/12/2019 Carte Mecanica
41/131
Proiectate pe axele sistemului Oxyz, ecuaiile vectorile (4.9) conduc laase ecuaii scalare de echilibru:
(4.16)
=
=+
=+
00R
0R
y
x
z
y
x
RR
R
=
=+
=+
00M
0M
y
x
z
y
x
MM
M
Pentru evitarea blocrii fusului n lagr sunt luate msuri att din punct devedere constructiv, ct i al solicitrii rigidului, astfel nct momentul dinlegtur, 0M s fie nul. n aceste condiii, torsorul forelor de legtur este
constituit doar din rezultanta forelor de legtur, )RRR( yx0 += . iar ecuaiile
scalare de echilibru (4.16) devin:
(4.17)
====
=+=+
00R;0R yx
zyxz
yxMMMR
RR
n aplicaiile practice se ntlnete cazul cnd rigidul, articulat cilindriceste acionat de un sistem de fore, situate ntr-un plan normal la axa de rotaiesau corpul este o placplan, normal la axa articulaiei (fig.4.6.a). Este cazulrigidului n plan, cnd traslaia n lungul axei nefiind posibil, singura micarermne rotaia n raport cu axa articulaiei, corpul avnd un singur grad delibertate.
Articulaia cilindric plan limiteaz deplasarea pe direcia normal laaxa articulaiei, introducnd ntr-o problem de statica rigidului, dounecunoscute: mrimea reaciunii R i direcia acesteia, dat de unghiul ,
format cu o direcie de referin. Se prefer s se lucreze cu componentelereaciunii R pe dou direcii perpendiculare (orizontal i vertical), H i V (fig.4.6.b). n acest caz, elementele torsorului forelor direct aplicate i alforelor de legtursunt:
)VHR(
k
0 +=
==
+=
OzO
yx
O MMM
RRR
T (4.18)
Condiiile vectoriale deechilibru ale rigidului n plansunt:
=
=+
0
0R
OM
R (4.19)
Fig. 4.6
Proiectate pe axele sistemului Oxy, n care se afl rigidul, ecuaiilevectoriale de echilibru (4.19) devin:
41
-
8/12/2019 Carte Mecanica
42/131
(4.20)
=
=+=+
0
0V;0H
O
yx
M
RR
Reprezentarea simbolicse realizeazca i la reazem, printr-un triunghi,
cu un cerc n vrf, n care converg cele doureaciuni Hi V (fig.4.6.c).
4.2.2.3. NCASTRAREA
ncastrarea este legtura prin care un corp este fixat n alt corp (corpullegtur), astfel nct nu este permisnici o deplasare. Din definiia ncastrriirezultcsunt suprimate toate gradele de libertate ale rigidului (C).
Pentru studiul forelor i momentelor dintr-o ncastrare este necesar sseia n considerare, forele de legtur locale iR , pe care legtura (C1) le exercit
asupra rigidului (C), n regiunea n care acestea vin n contact (fig.4.7.a).Torsorul n punctul O (de obicei, centrul de greutate al seciunii
transversale a corpului n dreptul ncastrrii) al forelor direct aplicate, OT i celal forelor de legtur, 0 auexpresiile:
=
=
=
=
iii0
ii
0
iii
ii
R'rM
RR
Fr
F
O
OM
RT
(4.21)
Vectorii R i 0M aumrimile, suporturile i sensurile, necunoscute i n consecin vor fi nlocuii
prin componente dupdirecii cunoscute.
Fig. 4.7
Cnd forele direct aplicate rigidului ncastrat constituie un sistem de forespaial, ncastrarea se numete spaial, iar cnd sistemul de fore careacioneazasupra rigidului constituie un sistem de fore coplanar sau corpul esteo placplan, ncastrarea se numeteplan.
Din punct de vedere geometric, ncastrarea spaial reduce numrulgradelor de libertate cu ase uniti.
n cazul ncastrrii spaiale, elementele torsorului n O, al forelor delegturR i 0M se exprimprin componentele pe cele trei axe ale sistemuluiOxyz, care se opun celor ase posibiliti de micare, fiind introduse ase
necunoscute scalare: (fig.4.7.b). Elementeletorsorului n punctul O, ale forelor direct aplicate i de legturau expresiile:zyxzyx M,M,M,R,R,R
42
-
8/12/2019 Carte Mecanica
43/131
++=
++=
zyxO
zyxO
MMMM
RRRRT
++=
++=
zyxO
zyxO
MMMM
RRRR (4.22)
Ecuaiile scalare de echilibru ale rigidului ncastrat spaial devin:
(4.23)
=+
=+
=+
0R
0R
0R
z
y
x
z
y
x
R
RR
=+
=+
=+
0M
0M
0M
z
y
x
z
y
x
M
MM
Din punct de vedere geometric, ncastrarea plan reduce numrulgradelor de libertate cu trei uniti.
n cazul ncastrrii plane, considernd ca plan al forelor, planul Oxy,elementele torsorului n O, ale forelor de legtur, R i 0M se exprim prin
componentele pe axele sistemului Oxy, care se opun celor trei posibiliti demicare, fiind introduse trei necunoscute scalare: H, V i M0 (fig.4.8).Elementele torsorului n O, ale forelor direct aplicate i de legtursunt:
==
+=
==
+=
kMMM
VHR
k
0z0
0
OzO
yxO
MMM
RRRT
(4.24)
Ecuaiile scalare de echilibru ale rigiduluincastrat plan sunt:
=+
=+
=+
0M
0V
0H
0O
y
x
M
RR
(4.25)
Fig. 4.8
4.2.2.4. PRINDEREA CU FIR
Legtura prin fir este o legturspecial, fiind echivalent cu o rezemareunilaterala unui punct material, pe o sferde razegalcu lungimea firului. Prindereacu fir se nlocuiete cu o for care are casuport, firul, sensul fiind ndreptat spre
punctul de suspendare al firului (ntinde
poriunea de fir, legatde rigid (fig.4.9). Fig. 4.9
43
-
8/12/2019 Carte Mecanica
44/131
Aplicaii. 1. O bar AB de greutateneglijabil este suspendat de un cablu CD isuport o ncrcturG = 400 daN, n punctul E.ExtremitileAiBale barei sunt n contact cu doi
perei verticali netezi. Dimensiunile fiind indicate
n figura 4.10, sse determine reaciunile pereilordinAiB, precum i tensiunea din cablul CD.
Fig. 4.10
Rezolvare.Conform axiomei legturilor, senlocuiesc reazemele din A i B, cu reaciunilenormale AN i BN , perpendiculare pe pereii
verticali iar cablul CD, cu tesiunea CT , avnd ca
suport, cablul. Ecuaiile scalare de echilibru sunt:
=+=
==
==
0N24G16T10:0M
0GT:0F
0NN:0F
BCi
iA
Ci
iy
BAi
ix
Valorile reaciunilor sunt: TC= G = =400 daN; NA= NB= (16G-10T)/24 = 100 daN
Observaie: Condiia de echilibru este ca torsorul forelor direct aplicate i din legturi,calculat ntr-un punct oarecare A s fie nul i avnd n vedere c sistemul de fore careacioneazasupra bareiABeste n plan (Oxy), rezultcele trei ecuaii scalare de mai sus.
2.O placomogende greutate P avnd forma i dimensiunile indicate n figura 4.11este rezematn puncteleA,Di F. Sse calculeze reaciunile din reazeme.
Rezolvare.Conform axiomei legturilor se nlturlegturile, introducndu-se forelede legtur, respectiv reaciunile reazemelor care au direcie normalla suprafaa plcii.
Pentru calculul reaciunilor se utilizeazrelaiile (4.29):Pentru scrierea ecuaiilor de
momente n raport cu axele Oxi Oyeste necesar determinarea poziieicentrului de greutate C a plcii,definitde coordonatelexCiyC.
Placa reprezentat poate fi
considerat ca fiind constituit dindou plci ptrate cu centrele degreutate C1 i C2, i laturile a,respectiv 2a, avnd urmtoarelecaracteristici:
Fig.4.11.
===
===
ay;a2x;a4A:2Corpul
a5,1y;a5,0x;aA:1Corpul
122
2
112
1
a7,1
a5
a5,8
a4a
a2a4a5,0a
AA
xAxAx
2
3
22
22
21
2211C ==
+
+=
+
+=
a1,1a5
a5,5
a4a
aa4a5,1a
AA
yAyAy
2
3
22
22
21
2211C ==
+
+=
+
+=
44
-
8/12/2019 Carte Mecanica
45/131
Ecuaiile de echilibru ale plcii sunt:
=+=
=+=
=++=
0xPa3NaN:0M
0yPaNa2N:0M
0PNNN:0F
CDAi
iy
CFD
i
ix
FDAi
iz
respectiv
=+
=+
=++
0aP7,1aN3aN
0aP1,1aNaN2
0PNNN
DA
FD
FDA
Valorile reaciunilor devin:
P2,0N;P45.0N;P35,0N FDA ===
3.ScaraAB, de lungime li greutate G, fixatn captulA, printr-o articulaie, situatla nlimea hdeasupra solului poate fi ridicatcu ajutorul unui cablu, fixat n captul Bitrecut peste un scripete mic C, situat la aceai nlime (fig.4.12). Distana dintre puncteleAiC, fiind AC = l, s se determine mrimea forei Fdin cablu, necesar ridicrii scrii ireaciunile articulaieiA. Se dau: G = 40 daN, l = 4 m, h = 3,5 m.
Rezolvare. Introducnd forele de legtur din A i B, reaciunile orizontal ivertical, AA V,H , respectiv tensiunea din cablul, T i avnd n vedere c forele careacioneazasupra scrii sunt coplanare, ecuaiile scalare de echilibru devin:
=+=
=+=
=+=
02
cosl2Tcos2
lG:0M
02
cosTGV:0F
0
2
sinTH:0F
iiA
Ai
ix
A
i
ix
n sistemul ecuaiilor de echilibru seadaug relaia, FT= , din considerentul ctensiunea din cablu este constant i egalcu fora care acioneaz n captul liber alacestuia. Rezolvnd sistemul rezultvalorile reaciunilor:
Fig. 4.12
daN352
cosFGV;daN87,22
sinFH
;daN77,5
2cos
cos
4
GF;
34
5,3arcsin
AA ====
====
4. O macara de cale ferat are ecartamentul AB = 1,5 m. Greutatea platformei,corpului i braului macaralei precum i poziiile acestora fa de planul median alecartamentului sunt indicate n figura 4.13. Sarcina maximla crligul macaralei este de 50
kN, raza maxim de aciune fiind de 5 m. S se determine mrimea contragreutii Q idistanax, fade planul median, astfel ca macaraua snu se rstoarne n situaiile de lucru,cele mai defavorabile.
45
-
8/12/2019 Carte Mecanica
46/131
Rezolvare. Mrimea contragreutii Q ct i poziia acesteia fa de planul medianrezult din condiia defuncionare a macaralei ncele mai defavorabile situaii.
Fig. 4.13
1. Macaraua frsarcin la crlig, cutendina de rsturnare
pe roataA( 0NA = ).2. Macaraua cu sarcin
maxim la crlig iraz de aciunemaxim, cu tendinade rsturnare pe roata
B( 0NB = ).Ecuaiile de echilibru
limit pentru cele dousituaii sunt:
=++++=
=+=
0)2
5,15(50)
2
5,15,2(5
2
5,130)1,0
2
5,1(10)
2
5,1x(Q:0M
0)5,25,1(52
5,130)1,0
2
5,1(10)
2
5,1x(Q:0M
iiB
iiA
Rezult: m22,1x,kN66,96Q ==
4.3. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGTURI CU FRECARE
4.3.1. FRECAREA DE ALUNECARE
Se considercazul cnd torsorul forelor direct aplicate i cel al forelor delegturcare acioneazasupra corpului (C), n punctul teoretic de contact Oauca elemente numai fora rezultant.
)RRR(T tnO += )FNR( f0 += (4.26)
n cazul echilibrului cu frecare (fig.4.14), reaciunea R este nclinatfade normala On, deoarece, pe lngcomponenta normalNare i o componentn planul tangent, fF , egali de sens contrar, componentei pe aceastdirecie,
a rezultantei forelor direct aplicate, tR . Aceastfor fF se numetefordefrecare de alunecare, are ca punct de aplicaie, punctul teoretic de contact O,direcia corespunztoare tendinei de micare, iar sensul, opus acestei tendine.Fora de frecare de alunecare nu este o forpreexistent, ea se produce numaicnd corpul are tendina de alunecare.
Din cercetrile experimentale fcute asupra frecrii de alunecare,Coulomb i-a formulat concluziile, cunoscute sub numele de legile frecrii.
46
-
8/12/2019 Carte Mecanica
47/131
1.Mrimea forei de frecare maxim, corespunztoare strii de echilibrulimit, este proportional cu mrimea reaciunii normale, coeficientul de
proporionalitate 1< se numete coeficient de frecare de alunecare.
2.n prim aproximaie, coeficientul de frecare de alunecare nu depinde deviteza de alunecare i de mrimea reaciunii normale; depinde de natura igradul de prelucrare al suprafeelor n contact.
Prin stare de echilibru limitse definete starea mecaniccaracterizatdefaptul cforele i fac echilibru iar micarea este iminent.
n baza acestor legi, fora de frecare de alunecare are expresia:
=
=
NF
0FNF
maxf
minff
(4.27)
Fora minim de frecare se realizeaz atunci cnd nu exist tendin de
alunecare, iar cea maxim, n momentul nceperii micrii.Din figura 4.14 putem scrie:
tgNF maxf = (4.28)
Din relaiile (4.27) i (4.28) rezult:
tg= (4.29)
unde se numete unghi de frecare.Prin rotirea complet a suportului
reaciunii limR n jurul normalei On se obine
conul de frecare avnd ca ax, normala comunOni unghiul la vrf. 2.
Corpul (C) este n echilibru cndreaciunea R este situatn interiorul conului de
frecare, sau la limit, pe pnza acestuia.Fig. 4.14
DupCoulomb, forele de frecare i au originea n existena la suprafaacorpurilor a unor asperiti, care n cazul a dou corpuri n contact sentreptrund. Cnd unul dintre corpuri se pune n micare, aceste asperiti suntstrivite, fora de frecare fiind tocmai fora care se opune acestor striviri.
Observaii Conform teoriei lui Coulomb, dac se reduc nlimile asperitior, fora de
frecare de alunecare ar urma s scad, fapt contrazis de realitate, ntructfora de frecare de alunecare la un moment dat crete datorita intervenieialtor fenomene, cum ar fi forele de adeziune intermoleculare.
Extinznd domeniul experienelor fcute de Coulomb se constat variaiacoeficientului de frecare , cu viteza, acesta scznd cu creterea vitezei.Valoarea coeficientului de frecare pentru corpurile n repaus 0, numitcoeficient de aderen este mai mare dect coeficientul de frecare pentrucorpurile n micare , numit coeficient de frecare dinamic. n acest sens se
47
-
8/12/2019 Carte Mecanica
48/131
prezintdoucazuri: oel pe oel - 0= 0,25, = 0,1; stejar pe stejar - 0=0,55, = 0,35.
4.3.2. FRECAREA DE ROSTOGOLIRE
Se considercazul cnd torsorul forelor direct aplicate i cel al forelor delegtur care acioneaz asupra corpului (C), n punctul teoretic de contact O(fig.4.15) au expresiile:
=
+=
tO
tnO
MM
RRRT
=
+=
r0
f0
MM
FNR (4.30)
Pentru echilibru este necesar ca:
=+rM0R
tMR (4.31)
Momentul tM tinde s producrostogolirea corpului (C) pe corpul (C1) ilui i se opune momentul de frecare derostogolire rM .
Aceast situaie este ntlnit npractic n cazul roilor de autovehicule, al
bilelor de rulmeni, etc.
Fig. 4.15
Pentru studiul fenomenului frecrii derostogolire (n cazul roilor de autovehicule)se considero roatde razR, acionatdefora de traciune Fi de grutatea G pe ax(fig.4.16).
n figura 4.16.a se presupune contactul dintre roat i planul orizontal,realizat ntr-un singur punct. n acest punct nu se pot introduce dect reaciuneaNi fora de fr