capitolul 4: proiectarea ﬁltrelor · inﬁnit) cu un semnal de tip "fereastra", care...

Prelucrarea semnalelor

Capitolul 4: Proiectarea filtrelor

Bogdan Dumitrescu

Facultatea de Automatica si Calculatoare

Universitatea Politehnica Bucuresti

PS cap. 4: Proiectarea filtrelor – p. 1/71

Cuprins

• Descrierea problemei de proiectare• Metoda ferestrei• Proiectarea filtrelor FIR în sens CMMP• Proiectarea filtrelor FIR în sens Chebyshev (minimax)• Proiectarea filtrelor IIR, metode de transformare


Obiective generale ale proiectarii

• Scopul tipic al unui filtru digital este transformarea înfrecventa a semnalului de intrare

• Un interval de frecvente [ω1, ω2] se numeste banda detrecere daca semnalele sinusoidale cu aceste frecventesunt aproape nealterate de filtru (|H(ejω)| ≈ 1, ∀ω ∈ [ω1, ω2])

• Banda de oprire (de taiere, de stop): semnalele cufrecventele respective sunt taiate sau mult atenuate de filtru(|H(ejω)| ≈ 0, ∀ω ∈ [ω1, ω2])

• Faza filtrului poate fi sau nu considerata în proiectare; deobicei, se prefera filtrele cu faza liniara


Filtre ideale

• Filtrele ideale sunt necauzale si au suport infinit• Tipuri: trece-jos, trece-sus, trece-banda, opreste-banda

ω

ωt

π

1

ω

ωt

π

1

ω

ω1

ω2

π

1

ω

ω1

ω2

π

1


Raspuns cu tolerante fixate (1)

• Se impun erori maxime în benzile de trecere si oprire

ω

ωb

ωs

π

1

1+∆b

1−∆b

∆s


Raspuns cu tolerante fixate (2)

• Datele de proiectare sunt (pentru filtru trece-jos): Frecventele ωb, ωs care definesc benzile de trecere si de

oprire; exista si o banda de tranzitie (ωb, ωs), în carevaloarea raspunsului este indiferenta

Tolerantele ∆b în banda de trecere [0, ωb] si ∆s în bandade oprire [ωs, π]

• Ordinul filtrului poate fi precizat de la început sau se poateîncerca gasirea unei solutii de ordin cât mai mic

• Daca ordinul e fixat, este posibil sa nu existe solutie• Dispunând de o metoda de proiectare pentru ordin fixat

(cazul tipic), ordinul minim se gaseste prin încercarisuccesive (bisectie !)


Proiectare prin optimizare

• Se fixeaza ca obiectiv o caracteristica de frecventa, numitaraspuns dorit

• Pentru un filtru trece-jos raspunsul dorit poate fi

D(ω) =

1, pentru ω ∈ [0, ωb]

0, pentru ω ∈ [ωs, π]

• Cautam solutia într-o clasa de filtre de ordin M , notataC(M) (de exemplu, filtre FIR cu faza liniara, cu coeficientisimetrici, deci de tip I sau II)

• Scop: gasirea filtrului al carui raspuns în frecventa H(ω)este cel mai apropiat de D(ω), pe multimea de frecventeF = [0, ωb] ∪ [ωs, π]


Problema de optimizare ın sens minimax (Chebyshev)

• F OPTINF. Dându-se un raspuns dorit D(ω) pe o multime defrecvente F ⊂ [0, π] si o clasa de filtre C(M), sa segaseasca filtrul H(z) din clasa C(M) al carui raspuns înfrecventa H(ω) este cel mai aproape în amplitudine deD(ω), în norma infinit, i.e.

minH∈C(M)

maxω∈F|D(ω)− |H(ω)||

• Se minimizeaza eroarea maxima fata de raspunsul dorit


Raspuns specific al unei solutii minimax

• Eroarea |D(ω)− |H(ω)|| maxima este atinsa pentru maimulte frecvente

• Ondulatiile raspunsului au înaltimi egale în benzile detrecere si de oprire (filtru "equiripple")

ω

ωb

ωs

π

1 ωωb

ωs π

0 dB


Problema de optimizare ın sens CMMP

• F OPT2. Dându-se un raspuns dorit D(ω) pe o multime defrecvente F ⊂ [0, π] si o clasa de filtre C(M), sa segaseasca filtrul H(z) din clasa C(M) al carui raspuns înfrecventa H(ω) este cel mai aproape în amplitudine deD(ω), în norma 2, i.e.

minH∈C(M)

∫

ω∈F[D(ω)− |H(ω)|]2dω

• Se minimizeaza energia erorii fata de raspunsul dorit


Raspuns specific al unei solutii CMMP

• Ondulatiile sunt mai mari în apropierea benzii de tranzitie

ω

ωb

ωs

π

1 ωωb

ωs π

0 dB


Alte moduri de formulare a optimizarii

• Pentru a avea erori mai mici în anumite zone (de exemplu înbanda de oprire), se poate introduce o pondere p(ω) > 0,astfel încât problema de optimizare sa fie

minH∈C(M)

∫

ω∈Fp(ω)[D(ω)− |H(ω)|]2dω

• În problemele F OPT2 si F OPTINF se optimizeaza doaramplitudinea raspunsului în frecventa al filtrului H(z).Pentru a optimiza întregul raspuns, se alege un raspunsdorit Dc(ω) complex:

minH∈C(M)

∫

ω∈F|Dc(ω)−H(ω)|2dω

• Utilizare tipica: filtre IIR cu faza cvasi-liniara


Optimizare pe o multime discreta de frecvente

• Pentru simplificarea calculelor, problemele F OPT2 siF OPTINF pot fi tratate aproximativ

• Multimea continua de frecvente F se înlocuieste cu o griladiscreta de frecvente GL ⊂ F având L puncte (în practica,de ordinul sutelor). De obicei frecventele ωk ∈ GL se alegechidistante.

• F OPT2D. Dându-se un raspuns dorit D(ω), multimea defrecvente discrete GL = ω1, . . . , ωL si o clasa de filtreC(M), sa se rezolve

minH∈C(M)

1

L

L∑

k=1

[D(ωk)− |H(ωk)|]2


Proiectarea filtrelor FIR cu metoda ferestrei

• Metoda foarte simpla, fara optimizare• Idee: modularea în timp a unui raspuns ideal (cu suport

infinit) cu un semnal de tip "fereastra", care are suport finit• Se proiecteaza un filtru FIR

H(z) =M∑

n=0

h[n]z−n

• Date de proiectare: ordinul M al filtrului amplitudinea raspunsului ideal în frecventa care trebuie

aproximat; de exemplu, pentru un filtru trece-jos, seprecizeaza frecventa ωt care delimiteaza benzile detrecere si de oprire


Metoda ferestrei

1. Se ia întârzierea de grup n0 = M/2 si se calculeazaraspunsul la impuls al filtrului ideal. De exemplu, pentru unfiltru trece-jos, raspunsul ideal în frecventa este

Hid(ejω) =

e−jωn0 , daca |ω| ≤ ωt

0, daca ωt < |ω| ≤ π

iar raspunsul la impuls este hid[n] =sin ωt(n− n0)

π(n− n0)

2. Se alege o fereastra f [n] cu suport 0 : M

3. Se calculeaza coeficientii filtrului FIR modulând în timpraspunsul ideal hid[n] cu fereastra f [n], i.e. prin relatia

h[n] = hid[n] · f [n], n = 0 : M


Exemplu

−5 0 5 10 15 20

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

n

hid

[n]

... ...

−5 0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

f[n]

... ...

−5 0 5 10 15 20

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

n

h[n]

... ...


Rezultate

• Dupa aplicarea algoritmului se traseaza raspunsul înfrecventa al filtrului FIR obtinut si se verifica daca esteconvenabil

• Daca nu este convenabil, se poate mari ordinul M sau sepoate alege o alta fereastra f [n]

• Raspunsul în frecventa al filtrelor ideale (cu benzi de treceresi de oprire) are faza liniara

• Daca coeficientii ferestrei f [n] sunt simetrici în raport cumijlocul M/2 al suportului 0 : M , atunci H(z) rezulta un filtrucu faza liniara de tip I sau II

• Un filtru cu faza neliniara ar rezulta daca s-ar alege oîntârziere n0 6= M/2


Alegerea ferestrei

• Raspunsul în frecventa al filtrului H(z) poate fi scris înfunctie de raspunsurile în frecventa ale filtrului ideal siferestrei

H(ejω) =1

2π

∫ π

−πHid(e

jθ)F (ej(ω−θ))dθ

• H(ejω) = Hid(ejω) doar daca F (ejω) = 2πδ(ω), adica

(evident!) f [n] = 1

• Raspunsul în frecventa al ferestrei trebuie sa fie oaproximatie cât mai buna a impulsului unitate

• Aceasta cerinta este contradictorie cu suportul finit !!!


Ferestre uzuale (1)

• Fereastra dreptunghiulara

fd[n] =

1, daca 0 ≤ n ≤M

0, altfel

• Trunchierea raspunsului ideal hid[n] da nastere fenomenuluiGibbs, deci |H(ejω)| are oscilatii mari în apropiereafrecventelor de tranzitie

• Ferestrele mai eficiente au valori mai mici la margineasuportului, pentru a preveni fenomenul Gibbs

• Fereastra triunghiulara (Bartlett)

ft[n] =

2n/M, daca 0 ≤ n ≤M/2

2− 2n/M, daca M/2 ≤ n ≤M

0, altfelPS cap. 4: Proiectarea filtrelor – p. 19/71

Ferestre uzuale (2)

•• Fereastra Hanning:

fHann[n] =

0.5− 0.5 cos(2π n+1M+2), daca 0 ≤ n ≤M

0, altfel

• Fereastra Hamming:

fHamm[n] =

0.54− 0.46 cos(2πn/M), daca 0 ≤ n ≤M

0, altfel

• Fereastra Blackman:

fB[n] =

0.42− 0.5 cos(2πnM ) + 0.08 cos(4πn

M ), daca 0 ≤ n ≤M

0, altfel


Ferestre uzuale (3)

• Fereastra Kaiser:

fB [n] =

I0(β√

1− [(n− n0)/n0]2)

I0(β), daca 0 ≤ n ≤M

0, altfel

• I0(·) este functia Bessel de ordinul zero modificata• Parametrul β permite varierea proprietatilor ferestrei• Pentru β = 0 se obtine fereastra dreptunghiulara• Cu cât β este mai mare, cu atât raspunsul în frecventa al

ferestrei are atenuare mai mare, dar tranzitie mai larga


Raspunsuri la impuls ale ferestrelor (1)

• Ferestre dreptunghiulara (stânga), triunghiulara (dreapta)

−5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



• Ferestre Hanning (stânga), Hamming (dreapta)

−5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



• Ferestre Blackman (stânga), Kaiser cu β = 3 (dreapta)

−5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Caracteristici de frecventa ale ferestrelor (1)

• Ferestre dreptunghiulara (linie întrerupta), Hamming (liniecontinua) si Blackman (linie-punct), pentru M = 16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Frecventa normalizata

Am

plitu

dine

(dB

)


Caracteristici de frecventa ale ferestrelor (2)

• Ferestre Kaiser cu β = 1 (linie întrerupta), β = 3 (liniecontinua) si β = 5 (linie-punct), pentru M = 16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10


Am

plitu

dine

(dB

)


Filtre FIR proiectate cu metoda ferestrei (1)

• Ferestre dreptunghiulara (linie întrerupta), Hamming (liniecontinua) si Blackman (linie-punct)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plitu

dine

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10


Am

plitu

dine

(dB

)


Filtre FIR proiectate cu metoda ferestrei (2)

• Ferestre Kaiser cu β = 1 (linie întrerupta), β = 2.1 (liniecontinua) si β = 3 (linie-punct)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plitu

dine

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10


Am

plitu

dine

(dB

)


Exemplu de proiectare

• Dorim un filtru trece-jos, cu ωb = 0.3π si ωs = 0.5π

• Cu metoda ferestrei, vrem sa proiectam un filtru de ordinM = 16, cu erori cât mai mici în benzile de trecere si oprire

• Luam ωt = 0.4π (empiric !) si încercam mai multe ferestre

drept. Hann. Hamm. Black. Kaiser Kaiser Kaiserβ = 1 β = 2.1 β = 3

∆b 0.057 0.116 0.130 0.194 0.047 0.0336 0.068

∆s 0.103 0.119 0.131 0.197 0.078 0.0336 0.060

• Metoda ferestrei este utila atunci când specificatiile suntvagi iar optimalitatea nu este necesara


Proiectare ın sens CMMP: filtre FIR cu faza neliniara

• Raspunsul dorit Dc(ω) este complex• Criteriul de optimizare este

minH∈C(M)

∫

ω∈F|Dc(ω)−H(ω)|2

• Nu exista nici o restrictie asupra coeficientilor filtrului (e.g.de tip faza liniara): C(M) e multimea filtrelor FIR de ordin M


Transformarea problemei (1)

• Raspunsul în frecventa al filtrului poate fi scris

H(ejω) =

M∑

n=0

h[n]e−jωn = hT e(ω)

• Vectorul coeficientilor filtrului

h = [ h[0] h[1] . . . h[M ] ]T ∈ RM+1

contine variabilele problemei de optimizare• Vectorul

e(ω) = [1 e−jω . . . e−jωM ]T ∈ CM+1

este cunoscut pentru orice frecventa ω



• Patratul erorii poate fi scris în forma

|H(ejω)−Dc(ω)|2 = [hT e(ω)−Dc(ω)][eH(ω)h−D∗c (ω)]

= hT e(ω)eH(ω)h− 2Re[eH(ω)Dc(ω)]h + |Dc(ω)|2

• Matricea

e(ω)eH(ω) =

1 ejω . . . ejωM

e−jω 1. . . ejω(M−1)

. . . . . . . . . . . .

e−jωM . . . . . . 1

= C(ω)+jS(ω)

are structura Toeplitz hermitica



• Partea reala este o matrice Toeplitz simetrica

C(ω) =

1 cos(ω) . . . cos(ωM)

cos(ω) 1. . . cos(ω(M − 1))

. . . . . . . . . . . .

cos(ωM) . . . . . . 1

• Partea imaginara este o matrice Toeplitz antisimetrica

S(ω) =

0 sin(ω) . . . sin(ωM)

− sin(ω) 0. . . sin(ω(M − 1))

. . . . . . . . . . . .

− sin(ωM) . . . . . . 0



• Deoarece S(ω)T = −S(ω), rezulta hT S(ω)h = 0

• Notând gT (ω) = Re[eH(ω)Dc(ω)] putem scrie

|H(ejω)−Dc(ω)|2 = hT C(ω)h− 2gT (ω)h + |Dc(ω)|2

• Notam

P =

∫

ω∈FC(ω)dω, q =

∫

ω∈Fg(ω)dω

• Matricea P este pozitiv definita


Problema de optimizare CMMP

• Criteriul de optimizare în sens CMMP capata forma

minh∈RM+1

hT Ph− 2qT h

• Vectorul coeficientilor filtrului optim este

h = P−1q

• Demonstratie: pentru a minimiza criteriul

V (h) = hT Ph− 2qT h anulam gradientul ∂V (h)∂h = 2Ph− 2q,

de unde rezulta h = P−1q. Acest h corespunde într-adevar

unui punct de minim deoarece Hessianul ∂2V (h)∂h2 = 2P este

pozitiv definit.


Algoritmul de proiectare

0. Date de proiectare: ordinul M al filtrului, raspunsul ideal înfrecventa Dc(ω) (cu valori complexe) care trebuie aproximatsi multimea de frecvente F pe care se face aproximatia

1. Se calculeaza matricea P si vectorul q

P =

∫

ω∈FC(ω)dω, q =

∫

ω∈Fg(ω)dω

2. Se calculeaza h = P−1q


Exemplu de proiectare: filtru FIR trece-jos (1)

• Datele de proiectare sunt ordinul filtrului M , frecventele ωb

si ωs, întârzierea de grup n0 si raspunsul dorit

Dc(ω) =

e−jωn0 , daca |ω| ≤ ωb

0, daca ωs < |ω| ≤ π

• Pentru a construi matricea P , tinem seama ca

∫ ω2

ω1

cos(nω)dω =sin(nω2)

n−sin(nω1)

n= ω2sinc(nω2)−ω1sinc(nω1)

• Deoarece F = [0, ωb] ∪ [ωs, π], elementul de pe diagonala na matricei Toeplitz P este

pn = ωbsinc(nωb)− ωssinc(nωs) + πδ[n]



• Elementele vectorului q sunt

qn =

∫

ω∈FRe[ejnωDc(ω)]dω =

∫ ωb

0Re[ej(n−n0)ω]dω

=

∫ ωb

0cos(n− n0)ωdω = ωbsinc(n− n0)ωb

• Programul Matlab:

T = (0:M)’;p = wb*sinc(T*wb) - ws*sinc(T*ws) + eye(size(T));P = toeplitz(p);q = wb*sinc((T-n0)*wb);h = P \ q;



• M = 16, ωb = 0.3π, ωs = 0.46π, n0 = 8

• Pentru n0 = M/2 filtrul optim are faza liniara !

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10


Am

plitu

dine

(dB

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−200

−100

0

100

200


Faz

a (v

al.p

rinc.

)



• M = 16, ωb = 0.3π, ωs = 0.46π, n0 = 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10


Am

plitu

dine

(dB

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−200

−100

0

100

200


Faz

a (v

al.p

rinc.

)


Alte probleme de proiectare CMMP

• Pentru filtre FIR cu faza liniara de ordin M :

H(ejω) = hT c(ω)e−jωM/2

• De exemplu, pentru filtrele de tip I:

h = [ h[M2 ] h[M2 − 1] . . . h[1] h[0] ]T ∈ RM

2+1,

c(ω) = [1 2 cos ω . . . 2 cos(ω(M2 − 1)) 2 cos(ωM

2 ) ]T ∈ RM

2+1

• Problema de optimizare CMMP se formuleaza si se rezolvaasemanator, utilizând doar coeficientii distincti ai filtrului

• Problema F OPT2D: matricea P si vectorul q nu suntcalculate prin integrare, ci printr-o suma finita

• De exemplu P = 1L

∑Lk=1 C(ωk)


Proiectarea filtrelor FIR ın sens Chebyshev

• Ne ocupam doar de filtre FIR cu faza liniara (pentru careproiectarea este mai simpla)

• Problema: F OPTINF

• Algoritm: Parks-McClellan• Discutam doar elementele esentiale ale metodei• Consideram doar filtre de tip I, al caror raspuns în frecventa

are partea reala (K = M/2)

Hr(ω) =K

∑

n=0

gn cos(nω) =K

∑

n=0

fn(cos ω)n

• Algoritmul foloseste notiuni de aproximare polinomiala


Proprietatile filtrului optim

• Eroarea cu care raspunsul filtrului aproximeaza raspunsuldorit este E(ω) = D(ω)−Hr(ω)

• Pentru un filtru optim, functia E(ω) are un numar deextreme locale, toate cu aceeasi amplitudine ∆

• Teorema de alternanta: pentru solutia unei problemeF OPTINF, functia eroare E(ω) are L ≥ K + 2 extreme localeîn frecventele ω1, . . . , ωL, cu aceeasi amplitudine si cusemne alternante, i.e.

E(ωk) = (−1)k∆, k = 1 : L,

unde ∆ este valoarea maxima a erorii (egala cu normainfinit, sau Chebyshev, a functiei E(ω))


Exemplu de filtru optim

• Pentru M = 16, K = 8 un exemplu de Hr(ω) optim este

ω

ωb

ωs

π

1

• Valoarea maxima a erorii este atinsa în K + 2 = 10 puncte


Algoritmul Parks-McClellan (Remez)

1. Se aleg K + 2 frecvente ωk ∈ [0, π], k = 1 : K + 2. Se alegeo toleranta ε.

2. Se rezolva sistemul E(ωk) = (−1)k∆, k = 1 : K + 2,necunoscutele fiind coeficientii f0, . . . , fK si valoarea ∆.

3. Se calculeaza punctele de extrem ω′k ∈ [0, π], k = 1 : L, ale

raspunsului Hr(ω) obtinut, si se retin K + 2 dintre ele, celepentru care eroarea |D(ω′

k)−Hr(ω′k)| are valorile cele mai

mari.

4. Daca |ωk − ω′k| ≤ ε, k = 1 : K + 2, atunci solutia a fost

obtinuta. Altfel, se pune ωk ← ω′k, k = 1 : K + 2, si se reia

de la pasul 2.


Explicatii

• Algoritmul se bazeaza pe "fortari" succesive ale relatieiE(ωk) = (−1)k∆ care caracterizeaza filtrul optim

• Dupa ce la pasul 1 se alege un set arbitrar de frecvente ωk,nu se obtine eroarea ∆ minima

• De aceea, punctele de extrem ω′k, calculate la pasul 3, sunt

diferite de punctele initiale ωk

• Algoritmul converge !• Numeroase detalii de implementare: de exemplu, la

proiectarea unui filtru trece-jos, frecventele ωb si ωs fac parteîntotdeauna din setul de frecvente ωk


Rezolvarea problemei F OPTINFD

• Date fiind o multime discreta de frecvente GL = ω1, . . . , ωLsi un raspuns dorit Dr(ω) real, problema de proiectare aunui filtru FIR cu faza liniara

minh

maxk=1:L

|D(ωk)− cT (ωk)h|

• Vectorul h contine coeficientii distincti ai filtrului, vezi pag. 41• Problema de optimizare se poate transforma într-o

problema de programare liniara• Aceasta se rezolva cu algoritmi standard (de exemplu

functia lp din Matlab)



• Introducem variabila suplimentara

∆ = maxk=1:L

|D(ωk)− cT (ωk)h|

care are semnificatie de eroare maxima de aproximare pemultimea de frecvente GL

• Putem asadar scrie

−∆ ≤ cT (ωk)h−D(ωk) ≤ ∆, k = 1 : L,

sau

D(ωk)−∆ ≤ cT (ωk)h ≤ D(ωk) + ∆, k = 1 : L



• Problema de optimizare capata forma

minh,∆

∆

cu restrictiile cT (ωk)h−∆ ≤ D(ωk), k = 1 : L

−cT (ωk)h−∆ ≤ −D(ωk), k = 1 : L

• Vectorul variabilelor problemei de optimizare este

ξ =

[

h

∆

]

∈ RM ′+1

unde M ′ este numarul de coeficienti distincti ai filtrului



• Notam

Ψ =

cT (ω1) −1...

...cT (ωL) −1

−cT (ω1) −1...

...−cT (ωL) −1

∈ R2L×(M ′+1), β =

D(ω1)...

D(ωL)

−D(ω1)...

−D(ωL)

∈ R2L

γ = [0 . . . 0 1]T ∈ RM ′+1


Programul liniar pentru rezolvarea F OPTINFD

• Problema de optimizare este echivalenta cu programul liniar

minξ∈RM′+1

γT ξ

cu restrictiile Ψξ ≤ β

• Numele de program liniar provine din faptul ca atât criteriulcât si restrictiile sunt liniare în variabila vectoriala ξ

• Notatia Ψξ ≤ β are semnificatia ca fiecare element alvectorului Ψξ este mai mic sau egal cu elementulcorespunzator al vectorului β

• Cu cât L este mai mare (discretizare mai fina), cu atâtsolutia programului este mai aproape de solutia problemeiF OPTINF


Exemplu de proiectare: filtru FIR trece-jos

• M = 16, ωb = 0.3π, ωs = 0.46π, L = 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−200

−100

0

100

200


Faz

a (v

al.p

rinc.

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10


Am

plitu

dine

(dB

)


Proiectarea filtrelor IIR prin metode de transformare

• Filtrele analogice au fost primele utilizate în aplicatiipractice, cu decenii bune înaintea celor digitale

• Metodele de proiectare a filtrelor analogice erau deja binedezvoltate atunci când a aparut necesitatea proiectariifiltrelor digitale

• Metoda simpla de proiectare: transformarea (printr-o functieadecvata a) filtrelor analogice în filtre digitale

• Filtrele analogice sunt IIR, deci în mod natural se obtin filtredigitale IIR

• Daca H(s) si G(z) sunt functii de transfer în continuu,respectiv discret, raspunsurile în frecventa sunt H(jΩ),respectiv G(ejω)

• Transformarea continuu-discret este z = f(s). Cu ea setransforma H(s) în H(z)


Schema de proiectare

Specificareperformante

H(z)

H(s)Performantetimp continuu

?

-

Transformare

discret-continuu

discret(digital)

continuu(analogic)

6Transformare

continuu-discret

Proiectare

în continuu


Filtrul Butterworth (analogic)

• Este definit de ordinul sau N si de o frecventa de taiere Ωt

• Raspunsul în frecventa al filtrului este

|H(jΩ)|2 = H(jΩ)H(−jΩ) =1

1 + (Ω/Ωt)2N

• Amplitudinea raspunsului în frecventa al filtrului Butterwortheste descrescatoare

• |H(jΩt)| = 1/√

2, H(0) = 1

• Avantaj pentru proiectare: raspunsul în frecventa are oforma analitica simpla


Caracteristica de frecventa a filtrului Butterworth

Ω

Ωt

|H(jΩ)|

0.707

1


Functia de transfer a filtrului Butterworth

• Functia de transfer se determina punând s = jΩ

H(s)H(−s) =1

1 + (s/jΩt)2N

• Cei 2N poli ai functiei H(s)H(−s) sunt definiti de(−1)1/2N jΩt, deci au forma

sk = Ωtexp(

−jπ

2N(2k − 1 + N)

)

, k = 0 : 2N − 1

• Polii sunt plasati echidistant pe un cerc de raza Ωt centrat înorigine, simetric fata de axa imaginara

• Pentru H(s) se iau polii cu parte reala negativa, astfel încâtH(s) sa fie o functie de transfer stabila


Exemple de poli

• N = 4 (stânga), N = 5 (dreapta)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parte reala

Par

te im

agin

ara

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parte reala

Par

te im

agin

ara


Filtre Chebyshev

• Filtrele Chebyshev de tip I (ordin N )

|H(jΩ)|2 = H(jΩ)H(−jΩ) =1

1 + ǫ2T 2N (Ω/Ωb)

• TN (x) este polinomul Chebyshev de ordinul N

TN (x) =

cos(N cos−1(x)), pentru |x| ≤ 1

cosh(N cosh−1(x)), pentru |x| > 1

• Raspunsul are ondulatii egale în banda de trecere si estedescrescator în banda de oprire

• Parametrul ǫ dicteaza înaltimea ondulatiilor• Filtrul Chebyshev de tipul II se obtine printr-o transformare a

celui de tip I si are ondulatii egale în banda de oprire


Raspunsuri ın frecventa

• Stânga: tip I, N = 4. Dreapta: tip II, N = 6

Ω

Ωb

|H(jΩ)|1Mb

Ω

Ωs

|H(jΩ)|


Filtrul eliptic

• |H(jΩ)|2 = H(jΩ)H(−jΩ) =1

1 + ǫ2U2N (Ω/Ωb)

• UN (·) este functia Jacobi eliptica de ordinul II

• Ondulatii egale în banda de trecere si în cea de oprire• Caracteristica de frecventa pentru N = 4

Ω

Ωb

Ωs

|H(jΩ)|1Mb


Proprietatile unei transformari continuu-discret

• O transformare continuu-discret z = f(s) trebuie sa aibaurmatoarele proprietati: sa fie biunivoca sa transforme semiplanul complex stâng în discul

unitate, astfel încât un filtru analogic stabil sa fietransformat într-un filtru digital stabil si reciproc;

sa transforme axa imaginara în cercul unitate, astfelîncât raspunsul în frecventa H(jΩ) al unui filtru analogicsa-si pastreze alura în transformatul sau digital H(ejω)(notam H(s) filtrul analogic si, cu aceeasi litera,H(z) = H(f(s)) filtrul digital)


Transformarea biliniara (1)

• Transformarea biliniara este definita prin z =1 + s

1− s

• Transformarea inversa este s =z − 1

z + 1=

1− z−1

1 + z−1

• Înlocuind s = jΩ si z = ejω rezulta

ejω =1 + jΩ

1− jΩ

• Transformarea continuu-discret a frecventelor este

ω = 2arctgΩ, Ω = tgω

2

• Transformarea este neliniara


Transformarea biliniara (2)

Ω

ωπ

−π

• Transformarea biliniara transforma semiplanul complexstâng în discul unitate

• Notam s = u + jv. Daca Re(s) = u < 0, atunci(1 + u)2 < (1− u)2 si deci

|z|2 =

∣

∣

∣

∣

1 + s

1− s

∣

∣

∣

∣

2

=(1 + u)2 + v2

(1− u)2 + v2< 1


Filtrul Butterworth discret

• Fiind o functie crescatoare, transformarea în frecventaω = 2arctgΩ pastreaza forma raspunsului în frecventa alunui filtru analogic

• Filtrul Butterworth analogic se transforma în

|H(ejω)|2 =1

1 +(

tg(ω/2)tg(ωt/2)

)2N, ωt = 2arctgΩt


Filtrul Butterworth discret: proiectare

• Date de proiectare: ωb, ωs, ∆b, ∆s

• Etapa 1: transpunem cerintele de proiectare în domeniulcontinuu

Ωb = tgωb

2, Ωs = tg

ωs

2

• Etapa 2: gasim un filtru Butterworth H(s) pentru care

|H(Ωb)| ≥ 1−∆b, |H(Ωs)| ≤ ∆s

• (Detalii în Lab. 6 sau în carte)• Etapa 3: filtrul discret H(z) se obtine aplicând

transformarea biliniara filtrului analogic H(s)


Caracteristici de frecventa

• Filtru Butterworth discret (stânga), analogic (dreapta)(Mb = 1−∆b)

ω

πωb

ωs

1

Mb

∆s Ω

Ωb

Ωs

1

Mb

∆s


Transformari discret-discret ın frecventa

• Filtrele IIR analogice discutate sunt de tip trece-jos, iar printransformarea biliniara se obtin filtre digitale trece-jos

• Pentru a proiecta altfel de filtre digitale (trece-sus,trece-banda etc.), se pot utiliza transformari în frecventa,care obtin filtrul dorit dintr-unul trece-jos

• O astfel de transformare Z = G(z) trebuie sa fie inversabila sa transforme discul unitate în el însusi (sa se conserve

stabilitatea) sa transforme cercul unitate în el însusi

• Toate transformarile de acest tip sunt functii trece-tot !


Transformare trece-jos−→ trece-sus

• Transformarea este trece-tot de ordinul 1

Z−1 = − z−1 − c

1− cz−1, c ∈ R, |c| < 1

• Pe cercul unitate (z = ejω, Z = ejθ):

e−jθ = − e−jω − c

1− ce−jω=

2c− (1 + c2) cos ω + j(c2 − 1) sin ω

1 + c2 − 2c cos ω

• Transformarea în frecventa este

θ = arctg

[

(1− c2) sin ω

2c− (1 + c2) cos ω

]


Graficul transformarii ın frecventa

• c = 0 (linie continua), c = −0.5 (linie-punct), c = 0.5 (linieîntrerupta)

ω

π

πθ


Exemplu de filtre trece-sus

ω

π

1

ω

π

1

• Pentru c = 0, rezulta Z = −z, θ = π − ω

• Raspunsul în frecventa al filtrului trece-sus este obtinut prinoglindire fata de verticala care trece prin π/2


capitolul 4: proiectarea ﬁltrelor · inﬁnit) cu un semnal de tip "fereastra", care...

Documents