10. Grinzi cu zbrele

10.1. Generaliti Grinda cu zbrele este un sistem rigid de bare, fixate ntre ele la extremiti prin nituire sau sudare. Grinzile cu zbrele pot fi: plane, spaiale, static determinate, static nedeterminate. n cursul de fa se vor studia numai grinzile cu zbrele plane, static determinate. Exemple de grinzii cu zbrele:

Figura 10.2 Figura 10.1

Grinzile cu zbrele se folosesc n construciile industriale, ca elemente de rezisten la poduri, macarale, poduri rulante, acoperiurile halelor etc.

Problema care se pune este aceea de a determina mrimea i sensul eforturilor din bare n vederea unui calcul ulterior de dimensionare sau verificare.

n studiul grinzilor cu zbrele se fac urmtoarele ipoteze simplificatoare: Barele sunt rectilinii; Barele se consider articulate n extremiti. Extremitile barelor se monteaz n noduri,

nodul fiind locul de ntlnire a mai multor bare; Articulaiile din noduri sunt fr frecare; Seciunea barelor este neglijabil n comparaie cu lungimea lor; Grinda cu zbrele este legat cu exteriorul numai n noduri; Greutatea barelor este neglijabil n comparaie cu forele exterioare.

Dac, n anumite cazuri, se cere s se in seama i de greutatea proprie a barelor, atunci acestea se repartizeaz n pri egale n nodurile de la extremiti.

n aceste condiii fora care acioneaz ntr-o bar este axial. Pentru a demonstra aceast afirmaie, considerm o bar 12 (Figura 10.3) ncrcat n articulaiile 1 i 2 cu forele

n21 F,.......,F,F i respectiv .F,.......,F,F'n

'2

'1

Fiind fore concurente, le nlocuim cu rezultantele lor:

Figura 10.3

=

=n

1ii12 FS ,

=

=n

1i

'i21 FS .

Scriind ecuaia de echilibru (de momente)

n raport cu nodul 1 obinem: ( ) = 0M1 : 0S12 21 = ,

deci 21S este coliniar cu bara 12 . Analog se demonstreaz c 12S este coliniar cu bara. Din ecuaia de proiecii pe orizontal rezult = . 12S 21S

Efortul din bar poate fi efort de ntindere, atunci cnd iese din nod, sau efort de compresiune, atunci cnd acesta intr n nod. Dac se izoleaz nodul, adic se secioneaz bara n apropierea nodului, fora introdus este de asemenea n lungul barei. Dac fora ce solicit bara ieea din nod, n cazul izolrii nodului ea va aciona n seciunea fcut (conform principiului aciunii i reaciunii) tot ca efort de ntindere.

n problemele de grinzi cu zbrele se ntlnesc dou categorii de necunoscute:

forele de legtur exterioare (reaciunile); eforturile din bare.

Pentru calculul forelor de legtur exterioare se aplic metoda solidificrii i se consider grinda cu zbrele ca un singur corp rigid (asemntor cu o plac), ncrcat cu forele exterioare date i supus legturile exterioare date. Se nltur legturile, se introduc forele de legtur i se scriu cele trei ecuaii scalare de echilibru.

Spre exemplificare, s considerm grinda din figura 10.1 avnd dimensiunile (12) = (13) =

(35) = l. S determinm reaciunile exterioare ale acestei grinzi.

Ecuaii de echilibru ale grinzii, considerat ca rigid, sunt:

Figura 10.4

( ) 0HN:0F 12x == ( ) 02ppV:0F 1y == ( ) 02p2lpllN:0M 21 == , din care rezult:

5pHN 12 == ; 3pV1 = . 10.2 Calculul eforturilor din bare

Acest calcul poate fi fcut prin metode analitice cum ar fi: - metoda izolrii nodurilor; - metoda seciunilor (Ritter)

sau prin metode grafice. Metodele analitice prezentate n continuare sunt aplicaii ale metodelor de studiu ale

echilibrului sistemelor de rigide.

a) Metoda izolrii nodurilor Aceasta este de fapt aplicarea metodei separrii corpurilor la studiul grinzilor cu zbrele. Grinda cu zbrele fiind n repaus, elementele ei constitutive (barele i nodurile) sunt n

repaus, deci forele care le acioneaz sunt n echilibru. Metoda const n izolarea pe rnd a fiecrui nod i studierea echilibrului acestuia ca un

punct material supus la legturi fr frecare n plan. Forele care acioneaz ntr-un nod sunt: - fore cunoscute: forele exterioare direct aplicate i reciunile din legturile exterioare; - fore necunoscute :eforturile din bare.

S considerm c grinda are "b" bare i "n" noduri. Pentru fiecare nod se pot scrie dou ecuaii scalare de echilibru, deci pentru grinda cu zbrele se vor scrie 2n ecuaii de echilibru. Folosind teorema solidificrii se scriu trei ecuaii de echilibru, dar care nu sunt independente de cele 2n ecuaii. n final rmn deci (2n-3) ecuaii scalare de echilibru independente. Cum fiecare bar introduce cte o necunoscut - efortul din bar rezult condiia ca grinda cu zbrele s fie static determinat:

b = 2n 3 . Aceasta este o condiie numai necesar dar nu i suficient ca grinda s fie static determinat

i nemobil. Condiia necesar i suficient este ca barele s fie articulate ntre ele astfel nct s formeze triunghiuri.

n metoda izolrii nodurilor, practic, se izoleaz un nod i se introduc forele exterioare i reciunile exterioare (care sunt cunoscute) precum i eforturile din bare, ca fore care ies din nod i care au direcia barelor respective. Prin aceasta se face ipoteza c eforturile din bare sunt de ntindere. n consecin, eforturile care se obin pozitive din calcule sunt eforturi de ntindere iar cele care rezult negative sunt eforturi de compresiune.

Metoda izolrii se aplic pornind din nodul n care sunt necunoscute cel mult dou eforturi n bare. n continuare se studiaz echilibrul pentru fiecare nod, aplicndu-se principiul aciuni i reaciuni pentru eforturile din bare i urmrind s se treac la nodul urmtor care introduce numai dou necunoscute. n acest fel se scriu 2n ecuaii din care numai (2n-3) sunt independente. Cele trei ecuaii care nu sunt independente se folosesc pentru verificare. Astfel la penultimul nod studiat exist o ecuaie de verificare, iar la ultimul nod ambele ecuaii sunt de verificare.

Aplicaie. Utiliznd metoda izolrii nodurilor s se determine eforturile din barele grinzii cu

zbrele din Figura 10.1. Soluie. S-au determinat mai sus reaciunile exterioare 5pHN 12 == , . n aplicarea

metodei izolrii nodurilor se ncepe cu nodul cinci, dup care urmeaz apoi nodurile trei, patru, unu i doi. Ecuaiile de echilibru scrise sunt urmtoarele:

3pV1 =

Nodul 5

( ) 02/2SS:0F 5453x == ( ) 02/2S2p:0F 54y == , din care rezult: 2/p4S54 = (compresiune); (ntindere). 2pS53 =

Nodul 3 ( ) 0SS:0F 3135X == ( ) 0S:0F 34y == , din care rezult: 2pSS 3531 == (ntindere).

Nodul 4 ( ) 0S2/2S2/2S:0F 424145x == ( ) 0p2/2S2/2SS:0F 454143y =++= , din care rezult:

2/p6S41 = (ntindere); 5pS45 = (compresiune).

Nodul 1 ( ) 0H2/2SS:0F 11413x =+= (ec. de verificare) ( ) 0SSV:0F 14121y == din care rezult: 0S12 = .

Nodul 2 ( ) 0SN:0F 242x =+= (ec. de verificare) ( ) 0S:0F 21y == (ec. de verificare).

Dezavantajele metodei izolrii nodurilor constau n: - erorile se constat n nodurile de verificare; - nu se poate preciza n general n care nod s-a greit i deci calculul trebuie reluat de la capt.

b) Metoda seciunilor Aceast metod este aplicarea teoremei echilibrului prilor la studiul grinzilor cu zbrele. Prin aceasta metod se secioneaz grinda n dou pari i se studiaz echilibrul unuia dintre

ele ca un rigid n plan. n locul barelor secionate se introduc eforturile din bare, presupuse de ntindere, care sunt necunoscute.

Se pot scrie numai trei ecuaii de echilibru. Deci se va urmri s se secioneze cel mult trei bare n care nu se cunosc eforturile. Se recomand s nu se izoleze un singur nod iar barele secionate s nu fie toate paralele ntre ele.

Pentru uurarea calculelor, n vederea obinerii unor ecuaii cu o singur necunoscut, se scrie ecuaia de momente n raport cu punctul unde sunt concurente dou din barele secionate. Dac aceste bare sunt ns paralele, atunci se scrie o ecuaie de proiecie pe o ax perpendicular pe cele dou bare paralele.

Metoda seciunilor, la fel ca i metoda izolrii nodurilor, se aplic dup ce s-au calculat reaciunile exterioare.

Aplicaie. Utiliznd metoda seciunilor s se determine eforturile din barele 1-3, 1-4 i 2-4

ale grinzi cu zbrele din Figura 10.1.

Soluie. Se consider seciunea MM care taie

barele indicate. Rezult situaia din figura alturat. Ecuaiile de echilibrul ale corpului 1 sunt:

( ) 0lSlN:0M 2421 =+= ( ) 02/2SV:0F 141y == ( ) 02/2SHSSN:0F 14113242x =+++= din care rezult: S24 = -5p; S14 = 6p/ 2 ; S13 = 2p.

Se vede c rezultatele obinute prin cele dou metode sunt aceleai.

c) Metoda grafic (Cremona) Metoda reprezint corespondenta grafic a metodei izolrii nodurilor i const n studierea

pe cale grafic pe rnd a echilibrului fiecrui nod. La nceput se calculeaz reaciunile. Se determin mai nti rezultanta forelor direct

aplicate, cu ajutorul poligonului forelor i a poligonului funicular. Se pune apoi condiia ca suporturile rezultantei i ale reaciunilor exterioare s fie concurente. De aici se determin direciile reaciunilor. Se construiete cu ajutorul lor un nou poligon al forelor i se determin reaciunile ca mrime i sens.

Se trece la determinarea eforturilor din bare. Se ncepe cu nodul n care nu se cunosc cel mult dou eforturi. Se construiete poligonul forelor pentru un asemenea nod, figurnd la scar forele exterioare cunoscute, desenate parcurgnd nodul ntr-un anumit sens. n acest caz este necesar ca irul de fore cunoscute s nu fie ntrerupt de cele necunoscute. Deci parcurgnd nodul n sensul ales, ultimele dou laturi ale poligonului forelor corespund tocmai celor dou eforturi necunoscute. Pentru determinarea lor, respectnd aceleai sens de parcurgere, se duc paralele la cele dou bare prin primul i ultimul punct al poligonului forelor cunoscute. Din intersecia acestor drepte rezult, la scar, eforturile cutate.