MODELE ANALITICE PENTRU DIMENSIONAREA SISTEMULUI DE EMITERE A LEGITIMAŢIILOR DE CĂLĂTORIE

Obiective:

Determinarea prin metode analitice a capacităţii necesare a sistemului de emitere a legitimaţiilor de călătorie în condiţiile fluxurilor de sosire şi servire stabilite anterior şi cu respectarea standardului de servire impus prin tema proiectului.Determinarea prin metode analitice a capacităţii de servire necesare în urma introducerii unui sistem electronic de emitere a legitimaţiilor de călătorie pentru care duratele de servire devin cvasi-constante.Evaluarea parametrilor de servire în cele două situaţii.

Consideraţii teoretice:

3.1 Determinarea capacităţii de servire a sistemului de emitere a legitimaţiilor de călătorie – sistemul M/M/n:(/FIFO)

În figura 3.1 este prezentată schema unui sistem de servire în masă (sistem cu aşteptare) cu şir unic de aşteptare şi n staţii de servire dispuse în paralel, model adoptat pentru organizarea servirii călătorilor în agenţia de voiaj.

Fig. 3.1 Sistem de servire în masă cu şir unic de aşteptare şi staţii dispuse în paralel(G – generator de cereri, Q – şir de aşteptare, Si – staţie de servire,

- intensitatea sosirilor, i – intensitatea servirilor)

1/5

3

G

S3

S2

S1

Q

flux de intrareflux de ieşire

1

2

3

Conform formalizării Kendall-Lee, un sistem de servire în masă se reprezintă sub forma:

1/2/n:(m/D),unde:1 este repartiţia fluxului de intrare;2 - repatiţia fluxului de servire;n - numărul staţiilor de servire;m - numărul locurilor disponibile în şirul de aşteptare;D - disciplina de servire.

Asupra fluxului sosirilor se fac următoarele ipoteze: fluxul de sosire este staţionar în timp (probabilitatea sosirii cererilor de servire

într-un interval de timp depinde de mărimea intervalului şi nu de poziţia sa pe axa timpului);

probabilitatea sosirii simultane a două sau mai multe cereri este neglijabilă; apariţia cererilor de servire într-un interval de timp nu depinde de apariţiile

anterioare.

În cazul agenţiei de voiaj, fluxul sosirilor este de tip Poisson cu intensitatea medie . Duratele de servire au o repartiţie exponenţial-negativă cu valoarea medie , prin urmare numărul călătorilor serviţi în unitatea de timp are o repatiţie de tip Poisson cu intensitatea medie .Din considerente etice, disciplina de servire este FIFO (First In First Out).Numărul locurilor în şirul de aşteptare se consideră nelimitat ( ).Prin urmare, conform clasificării Kendal-Lee, modelul sistemului de servire în masă corespunzător agenţiei de voiaj este de forma:

M/M/n:(/FIFO)1.

Coeficientul de solicitare a sistemului este .

Probabilitatea ca în agenţie să nu existe nici un călător, P(0) se calculează cu relaţia:

. (3.1)

Probabilitatea ca în agenţie să se găsească mai mult de n călători, P(kn) se determină cu relaţia:

, (3.2)

1 Notaţia M provine de la numele matematicianului A. Markov care a studiat procesele care îi poartă numele

2/5

Probabilitatea ca durata de aşteptare a unui călător () să depăşească o valoare este:

, (3.3)

Standardul de servire impus prin tema proiectului prevede ca durata de aşteptare a unui călător să depăşească [min] cu o probabilitate de maxim 0,05, adică

. (3.4)

Pentru a determina capacitatea de servire a sistemului de emitere a legitimaţiilor de călătorie (numărul de staţii de servire), se utilizează următorul algoritm:

Pas 1. Se calculează valoarea iniţială a numărului de echipamente .

Pas 2. Cu valoarea lui n se verifică inegalitatea 3.4. Dacă inegalitatea este satisfăcută, standardul de servire este îndeplinit şi algoritmul se opreşte (salt la pasul 4). Dacă inegalitatea nu este satisfăcută, standardul de servire nu este îndeplinit şi se incrementează numărul de staţii de servire (salt la pasul 3).

Pas 3. n=n+1.Pas 4. Salt la pasul 2.Pas 5. Stop

Valoarea n obţinută în urma algoritmului de mai sus reprezintă numărul minim de staţii de servire necesare în agenţia de voiaj pentru care standardul de servire este îndeplinit.

Activităţi practice pentru studenţi:Determinarea capacităţii de servire (numărul echipamentelor necesare eliberării legitimaţiilor de călătorie) pentru sistemul de tipul M/M/n:(/FIFO), în vederea respectării standardului de servire.

3.2 Determinarea capacităţii de servire a sistemului de emitere a legitimaţiilor de călătorie – sistemul M/C/n:(/FIFO)

În urma introducerii unui sistem electronic de emitere a legitimaţiilor de călătorie, duratele de servire devin cvasiconstante şi se reduc cu [%] faţă de durata medie de servire corespunzătoare servirilor cu repartiţie exponenţial-negativă. Conform clasificării Kendall-Lee, noul model al sistemului cu aşteptare asociat servirii călătorilor în agenţie este de forma

M/C/n:(/FIFO).

3/5

Intensitatea medie a servirilor devine .

Coeficientul de solicitare a sistemului este .

Durata medie de aşteptare a unui călător se determină cu relaţia:

, (3.5)

unde P(>0) este probabilitatea ca în agenţie să existe călători şi se determină cu relaţia:

.

(3.6)

În condiţiile unor durate de servire constante, capacitatea de servire a sistemului trebuie aleasă astfel încât durata medie de aşteptare a unui călător să nu depăşească durata medie de aşteptare corespunzătoare sistemului cu durate de servire repartizate exponenţial-negativ, adică:

, (3.7)

unde .

Pentru a determina capacitatea de servire a sistemului de emitere a legitimaţiilor de călătorie (numărul de staţii de servire) în cazul sistemului cu serviri cvasi-constante, se utilizează următorul algoritm:

Pas 1. Se calculează valoarea iniţială a numărului de echipamente .

Pas 2. Cu valoarea lui n se calculează durata medie de aşteptare şi se verifică inegalitatea 3.7. Dacă inegalitatea este satisfăcută, capacitatea sistemului este corect aleasă şi algoritmul se opreşte (salt la pasul 4). Dacă inegalitatea nu este satisfăcută, se incrementează numărul de staţii de servire (salt la pasul 3).

Pas 3. n=n+1.Pas 4. Salt la pasul 2.Pas 5. Stop

4/5

Activităţi practice pentru studenţi:Determinarea capacităţii de servire (numărul echipamentelor necesare eliberării legitimaţiilor de călătorie) pentru sistemul de tipul M/C/n:(/FIFO).

3.3 Evaluarea parametrilor de servire a călătorilor

Parametrii de servire a călătorilor care trebuie determinaţi sunt durata medie de aşteptare , durata medie petrecută în sistem (agenţie - ), numărul mediu de călători aflaţi în aşteptare şi numărul total de călători aflaţi în agenţie .Legăturile dintre parametrii de servire sunt date de relaţiile lui Little:

. (3.8)

De asemenea,

. (3.9)

Pentru sistemul de servire de forma M/M/n:(/FIFO), durata medie de aşteptare se calculează cu relaţia:

. (3.10)

Pentru sistemul de servire de forma M/C/n:(/FIFO), durata medie de aşteptare este dată de relaţia 3.5.În determinarea parametrilor de servire a călătorilor se va ţine cont de caracteristicile repartiţiilor duratelor de servire corespunzătoare fiecărui sistem în parte (intensitatea medie a servirilor).

Activităţi practice pentru studenţi:Determinarea parametrilor de servire a călătorilor (durata medie de aşteptare, de staţionare în agenţie, numărul mediu de călători aflaţi în aşteptare, numărul mediu de călători din agenţie) corespunzători fiecărui sistem de servire.

5/5