cap09.doc

Capitolul 5 Regimurile câmpului electromagnetic

9.

ECUAŢIILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC CVASISTAŢIONAR

Regimul cvasistaţionar al câmpului electromagnetic în medii imobile caracterizat prin neglijarea curentului de deplasare în legea circuitului magnetic numit şi regim cvasistaţionar de tip magnetic sau anelectric, intervine în studiul curenţilor variabili în conductoare masive; prin neglijarea termenului dB/ dt în legea inducţiei electromagnetice, numit şi regim cvasistaţionar de tip electric sau amagnetic intervine în studiul dielectricilor conductivi sau cu pierderi.

Rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic în regim variabil în timp este mult mai dificilă decât în regim staţionar.

În primul rând, curentul continuu în conductoare imobile, izotrope şi omogene se stabileşte numai prin punere sub tensiune a unor părţi ale conductoarelor, fiind un curent de aducţie; în regim variabil în timp, în afara de curenţii de aducţie se pot stabili, fără a pune sub tensiune părţi ale conductoarelor, curenţi numiţi turbionari sau Foucault, induşi de fluxul magnetic variabil în timp.

În al doilea rând , într-un conductor drept, curentul continuu se repar-tizează cu densitate constantă, în schimb într-un conductor drept al cărui contur al secţiunii transversale este peste tot concav, curentul de aducţie variabil în timp (de exemplu sinusoidal) se repartizează cu o densitate de curent a cărei valoare efectivă e mai mare la periferie decât în interior, fenomen numit efect pelicular.

În al treilea rând, curentul continuu dintr-un conductor imobil nu influenţează repartiţia curenţilor din conductoarele imobile aflate în apropiere ; în regim variabil, repartiţia curentului într-un conductor este modificată de prezenţa în vecinătate a altor conductoare, fenomen numit efect de proximitate sau apropiere.

În al patrulea rând, într-un conductor situat într-o crestătură practicată într-un bloc de material feromagnetic, curentul continuu se repartizează cu densitate constantă; curentul variabil în timp se repartizează însă cu densitate variabilă, mai mică spre fundul crestăturii, fenomen numit efect Field.

În al cincilea rând câmpul electromagnetic variabil în timp impune restricţii în definirea unor mărimi, cum sunt rezistenţa electrică, tensiuneaDin motivele indicate mai sus problemele curenţilor variabili în conductoare masive au o importanţă teoretică şi practică foarte mare şi fac obiectul unor studii de specialitate.

185


9.1.ECUAŢIILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC CVASISTAŢIONAR ÎN MEDII IMOBILE

9.1.1. Ipotezele regimului cvasistaţionar în conductoare masive imobile.În mediile conductoare imobile, ecuaţiile câmpului electromagnetic se obţin scriind legile generale şi de material în următoarele ipoteze simplificatoare :

a. Ipoteza neglijării densităţii curentului de deplasare JD = dD /dt în raport cu densitatea curentului de conducţie J = E, în legea circuitului magnetic

. La o variaţie sinusoidală în timp a câmpului electric E(t) = E sin t, în care = 2f este pulsaţia şi f frecventa, amplitudinile densităţilor de curent fiind. Jmax=Ema3 respectiv JDmax=Emax iar condiţia JD <<J presupune, << respectiv 2f<</ în care / = este constanta de timp de relaxaţie a sarcinii electrice .Întrucât pentru metale este de ordinul 10 –17s, rezultă că la frecvenţe f<1017 Hz, densitatea curentului de deplasare în conductoare este neglijabilă în raport cu densitatea curentului de conducţie. Fiindcă în tehnică, frecvenţele utilizate nu depăşesc 10 10 ~ 10 12 Hz, aproximaţia regimului cvasistaţionar este în general satisfăcută ; b. Ipoteza relaxaţiei rapide a sarcinii electrice consistă din neglijarea în conductoare a densităţii de volum a sarcinii electrice consecinţă a teoremei de relaxaţie a sarcinii electrice.

În legea conservării sarcinii electrice , înlocuind densitatea

curentului de conducţie din legea conducţiei şi ţinând cont de

din legea fluxului electric rezultă relaţie

echivalentă cu Integrând rezultă:

În metale după un timp egal cu (3-4)r , densitatea de volum a sarcinii electrice poate fi considerată nulă ,v=0.

Sarcina electrică adusă într-un punct din interiorul unui conductor se repartizează practic instantaneu la suprafaţa acestuia. c. Ipoteza polarizării nule a metalelor Datorită polarizaţiei P extrem de mici a metalelor ,aceasta se poate neglija P=0, şi inducţia electrică în metale este D=0E .Din acest motiv în conductoare este suficient să se determine E , inducţia electrică D fiind neglijabilă.

9.1.2. Ecuaţiile de primul ordin ale câmpului electromagnetic cvasistaţionar în medii imobile. Pentru rezolvarea problemelor de curenţi variabili în conductoare masive, imobile şi fără polarizaţie electrică şi magnetică permanentă şi fără histerezis, se utilizează ecuaţiile legilor generale şi de material în ipotezele regimului cvasistaţionar. În tabelul 1, ecuaţiile sub formă locală au fost sistematizate astfel : în prima coloană, pentru medii neliniare, în a doua coloană pentru medii liniare, izotrope şi omogene şi în ultima coloană pe suprafeţe de

186


discontinuitate. Primele trei ecuaţii sunt de forma div G = 0, următoarele două de forma G = G(F) respectiv G = xF şi ultimele două au formele rot F = xdG/dt respectiv rot F = xG. Deoarece în aceste ecuaţii intervin numai derivate parţiale de ordinul l, se numesc ecuaţii de primul ordin ale câmpului electromagnetic cvasistaţionar în medii imobile. Ele alcătuiesc un sistem complet de ecuaţii şi unicitatea soluţiilor rezultă prin particularizarea pentru regimul cvasistaţionar a teoremei de unicitate în regim variabil. Medii neliniare Medii liniare Pe suprafeţe de discontinuitate divB=0 divB=0 ; divH=0 B1n=B2n

divD=0 divD=0 ; divE=0 D1n=D2n

divJ=0 divJ=0 J1n=J2n

B=B(H) B=HJ=J(E) J=E

E1t=E2t

9.1.3 Ecuaţiile de ordinul al -II-lea ale câmpului electromagnetic cvasistaţionar în medii imobile.

Din ecuaţiile de primul ordin , în care intensităţile şi inducţiile câmpurilor electric şi magnetic nu intervin separat , se deduc ecuaţii pe care le satisfac fiecare dintre aceste mărimi. De asemenea în aceste ecuaţii intervin şi derivate parţiale de ordinul II , ele se numesc ecuaţii de ordinul II ale câmpului electromagnetic cvasistaţionar în medii imobile.

În cazul mediilor liniare, izotrope şi omogene ecuaţiile de ordinul II ale mărimilor câmpului se obţin din aplicarea operatorului rotor astfel:

Pentru intensitatea câmpului electric sau

unde

. Deoarece rezultă ceea ce conduce la ecuaţia de ordinul II a

intensităţii câmpului electric (9.1)

Ecuaţia de ordinul II pe care o satisface densitatea curentului electric se deduce din ecuaţia intensităţii câmpului electric prin amplificarea ambilor

temenii cu conductivitatea mediului rezultând unde ,

conduce la:

(9.2)

Ecuaţia de ordinul II pe care o satisface intensitatea câmpului magnetic se determină din aplicarea operatorului rotor legii circuitului magnetic astfel

187


, relaţie ce poate fi scrisă si-n forma .

Deoarece iar rezultă :

. (9.3)

Ecuaţia de ordinul II pe care o satisface inducţia magnetică se obţine din ecuaţia intensităţii câmpului magnetic prin amplificarea ambilor temenii cu permeabilitatea magnetică a mediului rezultând:

(9.4)

Rezultă că E, J, B, H satisfac ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul II de tip parabolic :

numită ecuaţia difuziei (9.5)

factorul fiind difuzivitatea magnetică (9.6)

Datorită analogiei formale pe care o prezintă ecuaţiile cu ecuaţiile care

descriu fenomenele de difuzie, pătrunderea câmpului electromagnetic cvasistaţionar în conductoare se mai numeşte difuzia câmpului electromagnetic .Ecuaţiile difuziei câmpului electromagnetic nu se integrează independent una de alta, deoarece soluţiile lor sunt legate prin ecuaţiile de primul ordin. Pentru rezolvarea unei probleme de câmp electromagnetic se rezolvă una din ecuaţiile de ordinul II , iar celelalte mărimi se determină din ecuaţiile de prim ordin.

Dacă însă se efectuează o schimbare de variabilă, prin introducerea funcţiilor auxiliare A şi V , atunci ecuaţiile de câmp se reduc ca număr şi se pot integra mai simplu. Dacă se exprimă din divB=0 inducţia ca rotaţia potenţialului vector B=rotA prin aplicarea operatorului rotor acestei relaţii se deduce rotrotA=rotB=rot(H)=rotH=J .

Deoarece , impunând condiţia de etalonare coulomb se obţine ecuaţia de ordinul II a potenţialului magnetic vector .În conductoare masive potenţialul vector A satisface o ecuaţie de tip Poisson şi-n exteriorul acestora (J=0) o ecuaţie de tip LaplaceEcuaţia ce o satisface potenţialul vector este a difuziei dacă se înlocuieşte densitatea de curent prin relaţiile de dependenţă ale câmpului astfel:

Din legea inducţiei relaţie

echivalentă cu se determină vectorul irotaţional ca

gradientul unei funcţii V scalare , .

Din legea conducţiei se determină relaţie ce indică

existenţa în conductor a două densităţi de curent una de aducţie iar

densitatea curentului indus. Înlocuind în ecuaţia potenţialului vector se

188


deduce . In mediile cu proprietăţi constante

ale permeabilităţii şi conductivităţii operatorul gradient din membrul drept poate fi extins conducând la condiţia de etalonare Lorentz

În acest caz ecuaţia ce o satisface potenţialul vector este

(9.7)

9.1.4. Teorema energiei câmpului electromagnetic. Intensităţile câmpurilor electric E(r,t) şi magnetic H(r,t) într-un punct PV la

momentul t, soluţii ale ecuaţiilor câmpului electromagnetic în medii imobile , sunt unic determinate de valorile iniţiale E(r,0) şi H(r,0) şi de componentele tangenţiale fie ale câmpului electric Et(r,t), p , fie ale câmpului magnetic Ht(r,t), p pe frontiera .

Se consideră domeniul V mărginit de suprafaţa închisă în interiorul căruia se găsesc corpuri încărcate cu sarcini electrice şi polarizate electric, conductoare parcurse de curenţi electrici şi corpuri magnetizate. Legea inducţiei electromagnetice în medii imobile:

rot E = (9.8)

Legea circuitului magnetic:

(9.9).

Se multiplică scalar ambii membri ai ecuaţiei (9.8) cu H şi ai ecuaţiei (9.9). cu E :

(9.10).

(9.11).

Se scade (9.10) din (9.11) (9.12)

sau (9.13)

Multiplicând ambii membri cu dVdt şi integrând peV în raport cu timpul de la 0 la t , se obţine :

(9.14)

Dacă se aplică teorema lui Gauss ( a divergenţei ) primului membru şi se înlocuieşte versorul normalei exterioare n cu versorul luat cu semn schimbat al normalei interioare -nI , rezultă:

(9.15)

S0- stare de referinţă.În acord cu primul principiu al termodinamicii, energia elementară transferată

sistemului din exterior dW ,prin suprafaţa este egală cu suma dintre energia dQj

transformată în conductoarele situate in V , lucrul mecanic elementar dL şi creşterea energiei electromagnetice interioare dWem:

dW =dQj +dL +dWem (9.16)

189


Mediile fiind imobile , dL=0 şi identificând ecuaţia (5.151) cu (5.152) ,rezultă:

Termenul (9.17)

în expresia căruia intervine numai mărimi de stare locală şi instantanee a câmpului electromagnetică , reprezintă energia electromagnetică transferată sau transmisă sistemului din exterior prin suprafaţa :

Termenul: (9.18)

Reprezintă energia transformată în conductoare (în acord cu legea transformării energiei în conductoare ).

Termenul : Wem= + (9.19)

se numeşte energie electromagnetică interioară egală cu suma a doi termeniWem=We+Wm

unde: We= ; Wm= (9.20)

Energia transferată în unitatea de timp ,notată P

P (9.21)

Determină puterea electromagnetică prin suprafaţa .Vectorul (9.21) se numeşte vectorul lui Poynting. Înlocuind rezultă:

(9.22)

Cu relaţia pj=J2 rezultă:Cantitatea de căldură dezvoltată in conductor :

(9.23)

şi puterea transformată în conductoare:

(9.24)

În relaţiile de mai sus stările de referinţă S0 depind de proprietăţile de material.Dacă mediile sunt liniare izotrope şi fără polarizaţii permanente, D=E ,B=H şi expresiile energiei devin :

(9.25)

Densităţile lor sunt:

(9.26)

Relaţia (9.15) reprezintă teorema generală a energiei electromagnetice pentru medii imobile: fluxul de energie electromagnetică W transmis unui sistem fizic din exteriorul lui prin suprafaţa este egal cu suma dintre energia transformată Qj şi creşterea energiei electromagnetice interioare Wem.

Ca urmare a neglijării curentului de deplasare , densitatea de volum a energiei electrice we rezultă mult mai mică decât densitatea de volum a energiei de volum a energiei magnetice wm

190


(9.27)

în medii liniare , puterea electromagnetică este:

(9.28)

9.1.5. Căldura dezvoltată la parcurgerea ciclurilor de polarizare . Teorema lui Warburg.

Se consideră o suprafaţă în interiorul căruia se află corpuri feroelectrice şi feromagnetice imobile.

Integrala de energie (9.15) se scrie sub forma:

(9.29)

În acord cu primul principiu al termodinamicii, energia transmisă în unitatea de timp prin suprafaţa are expresia:

(9.30)

unde We şi Wm sunt energiile electrică şi magnetică localizate în v , iar Pe şi Pm sunt puterile dezvoltate în corpurile feroelectrice şi feromagnetice ca urmare a variaţiei polarizaţiei electrice şi magnetizaţiei. Identificând (9.29) şi (9.30) rezultă:

(9.31)

Dacă transformarea se efectuează numai cu corpuri feroelectrice se obţine:

(9.32)

Multiplicând ambii membri cu dt şi integrând pe durata unui ciclu Ce de histerezis, rezultă:

(9.33)

Dar D=0E+P şi deci relatia devine:

(9.34)

La parcurgerea unui ciclu complet

Rezultă:

În corpurile feroelectrice se dezvoltă pe durata unui ciclu de polarizare electrică cantitatea de căldură Qe proporţională cu aria ciclului AEP.

Procedând la fel pentru o transformare efectuată numai cu corpuri feromagnetice se obţine căldura Qm dezvoltată la parcurgerea unui ciclu de magnetizare, AHM fiind aria acestuia:

(9.35)

191


9.2.PĂTRUNDEREA CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTAŢIONAR ARMONIC PERMANENT ÎN CONDUCTOARE IMOBILE

Fenomenele de câmp care însoţesc difuzia câmpului electromagnetic cvasistaţionar armonic permanent se studiază cu ajutorul reprezentării prin mărimi complexe scalare şi vectoriale, la fel ca studiul circuitelor electrice.

9.2.1. Formele complexe ale ecuaţiilor câmpului electromagnetic cvasistaţionar armonic permanent în conductoare masive.Reprezentarea în complex simplificat a câmpurilor de vectori sinusoidali în timp.În regim armonic permanent , intensităţile şi inducţiile câmpului electric şi magnetic, densitatea curentului electric şi potenţialul vector sunt funcţii de punct şi sinusoidale în timp:

(9.36)

în care F este E, H, B sau A.Amplitudinile FKmax(r) şi defazajele iniţiale k(r) sunt numai funcţii de punct ,

iar ek sunt versorii sistemului de coordonate. Fiecare dintre componentele Fk ale vectorului F , funcţii sinusoidale de timp:

(9.37)pot fi reprezentate în complex nesimplificat sau simplificat , după regulile stabilite la teoria circuitelor electrice.

Conform regulii de reprezentare în complex simplificat a unei funcţii scalare sinusoidale

,

se obţine următoarea reprezentare în complex simplificat a componentei Fk, numită imagine în complex simplificat Fk.

(9.38)

Relaţia de determinare a funcţiei original este Cu această reprezentare , vectorul sinusoidal în timp F(p,t) îi corespunde imaginea

în complex simplificat,

Iar vectorul original se determină cu relaţia :

Produsul scalar a doi vectori sinusoidali în timp F(r,t) şi G(r,t) îi corespunde produsul scalar (mărime complexă) a imaginii în complex a vectorului F prin imaginea complex conjugată a vectorului G*. iar produsul vectorial îi corespunde În baza acestor reguli se scriu puterile în regim armonic permanent

Cu regula de reprezentare în complex a produsului vectorial, se defineşte vectorul complex Poyting iar cu regula de reprezentare a produsului

192


scalar , se defineşte densitatea de volum a puterii dezvoltate prin efect electrocaloric .

Puterea transmisă suprafeţei este (9.39)

unde Pap= puterea aparentă complexă transmisă suprafeţei P este puterea activă calculabilă cu relaţia

(9.40)

Q este puterea reactivă dezvoltată în conductoarele aflate în interiorul suprafeţei .

(9.41)

Formele în complex ale ecuaţiilor câmpului electromagnetic cvasistaţionar Medii liniare Pe suprafeţele de discontinuitate divB=0 ; divH=0 B1n=B2n

divE=0 divJ=0 J1n=J2n

B=H J=E

rotE=- jA-grad V E1t=E2t

Ecuaţiei de ordinul II a difuziei îi corespunde forma în complex : unde este un număr complex de forma

(9.42)

Ecuaţiile deduse sunt de tip Helmholtz. Ecuaţiile de tip Helmholtz pentru E ,H , B şi J nu se rezolvă independent una de alta ,soluţia uneia dinte ele fiind dependentă de celelalte mărimi prin ecuaţiile de primul ordin.

9.2.2. Difuzia câmpului electromagnetic cvasistaţionar armonic permanent în semispaţiul conductor.

Se consideră conductorul de permeabilitate şi conductivitate constante (fig 5.25), ocupând semispaţiul x0.

193


Fig.9.1În mediul care ocupă semispaţiul x0 se stabileşte din exterior în câmp magnetic uniform , tangenţial la suprafaţa conductoarelor şi sinusoidal în timp de pulsaţie

(9.43)

Integrarea ecuaţiei HelmholtzDatorită extensiei infinite a conductorului şi uniformităţii câmpului magnetic

inductoric E, H şi J sunt funcţii numai de x şi t:E=E(x,t) ; H=H(x,t) J=J(x,t) (9.44)

Datorită continuităţii componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului magnetic la suprafaţa conductorului, câmpul magnetic în interiorul acestuia este orientat după axa Oy şi are imaginea în complex H=Hey

Ecuaţia lui Helmholtz pentru H este in care Laplace-anul este

(9.45)Soluţia acestei ecuaţii este (9.46)

unde A şi B – constante complexe de integrare.Termenul Be(1+j)x creşte la infinit odată cu x şi deoarece câmpul magnetic

aplicat la suprafaţa conductorului este finit, rezultă B=0.Constanta A se determină din continuitatea componentelor tangenţiale ale

intensităţii câmpului magnetic la suprafaţa conductorului,: H (x=0) = H0 sau A=H0

Introducând constantele de integrare in relaţia (9.46) rezultă:

(9.47)

Intensitatea instantanee a câmpului magnetic în conductor se determină cu relaţia: (9.48)

Câmpul magnetic pătrunde atenuat în conductor cu viteza (9.50)

şi are lungimea de undă (9.51)

constanta de atenuare fiind egală cu .

194


Amplitudinea câmpului magnetic H=H0max e-x (9.52)scade exponenţial cu x si la distanta x0=1/α=δ are valoarea 0,37Homax

Densitatea curentului electric indus în conductor numit curent turbionar sau Foucault se calculează cu formula J=rot H şi se obţine

(9.53)

Vectorul J este orientat după semiaxa negativă O z şi are modulul (vectorial) iar densitatea instantanee de curent

(9.54)având aceeaşi viteză, lungime de undă şi constantă de atenuare ca şi câmpul magnetic, dar defazată cu /4 înaintea acestuia. Câmpul electric complex E în conductor are expresia

E=J/= (9.55)

Fig.9.2

Raportul dintre modulele vectorilor complecşi E/H este acelaşi în orice punct din conductor şi se numeşte impedanţă de undă

. (9.56)

Partea reală a impedanţei de undă este rezistenţa de undă

, (9.57)

iar partea imaginară este reactanţa de undă

(9.58)

195


Calculul puterilor activă şi reactivă. Vectorul complex Poynting pe suprafaţa conductorului se calculează cu formula S=ExH* în care se inlocuiesc expresiile câmpurilor magnetic şi electric , obţinând

, (9.59)

fiind orientat normal pe suprafaţa conductorului către mediul conductor . Partea reală Ps, respectiv partea imaginară Qs sunt puterile activă şi reactivă absorbite pe unitatea de suprafaţă,

: (9.60)

Adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic în semispaţiul conductor. Amplitudinile intensităţilor câmpurilor electric şi magnetic şi a densităţii de curent scad exponenţial în conductor, G=G0 e-x din care se deduce

x, , G fiind E,H,B, sau J. Distanţa x0= =-1 măsurată de la suprafaţa

conductorului în care lnGo/ G=1, egală cu distanţa în care amplitudinile sunt atenuate cu l neper se numeşte adâncime de pătrundere a câmpului electromagnetic în

semispaţiul conductor, . (9.61)

Adâncimea de pătrundere se mai poate defini prin distanţa măsurată de la suprafaţa conductorului, pe care curentului total repartizat uniform şi sinfazic, îi corespunde aceeaşi putere activă. Curentul complex Ia prin fâşia de lăţime a, măsurată după axa Oy şi infinită după axa Ox se calculează cu formula

şi are valoarea efectivă .

Repartiţiei uniforme şi sinfazice a curentului Ia pe fâşia de lăţime a şi adâncime îi corespunde densitatea de curent Ja=Ia/a = .

În stratul de adâncime puterea absorbită Pl pe unitatea de lungime după axa Oz ,

calculată cu densitatea j este Pl=aJ2= şi calculată cu formula

are expresia Identificând relaţiile Pl=aJ2= cu

, se obţine expresia adâncimii de pătrundere

Din relaţia rezistenţei de undă sau a reactanţei de undă mai rezultă că adâncimea de pătrundere este valoarea reciprocă a produsului rezistenţă de undă, sau reactanţă de

undă prin conductivitatea , Parametrul caracterizează pătrunderea

cu atenuarea exponenţială a câmpului electromagnetic şi scade cu creşterea frecvenţei

196


, permeabilităţii sau conductivităţii. Acest parametru permite o apreciere a refulării curenţilor în conductoare masive . Din compararea cu parametrul a dimensiunilor conductorului d ,rezultă următoarele regimuri de pătrundere a câmpului electromagnetic

Regimul de refulare slabă în care difuzia câmpului electromagnetic e totală şi cea mai mică dintre dimensiunile conductorului d este mult mai mică decât d<< . În acest regim , repartiţia intensităţilor câmpurilor electric şi magnetic şi a densităţii de curent nu diferă prea mult de repartiţia aceloraşi mărimi în regim staţionar. La fel ca-n regim staţionar câmpul magnetic are pe suprafaţa conductorului ambele componente, normală şi tangenţială nenule. Din relaţia d<< rezultă că acest regim se stabileşte la valori mici ale lui , sau f . La valori date pentru , este un regim de refulare la frecvenţe joase.

Regimul de refulare netă , în care cea mai mică dintre dimensiunile conductorului ,este mult mai mare decât parametrul , d>>. În acest regim , în fiecare punct de pe suprafaţa conductorului , câmpul electromagnetic pătrunde exponenţial , la fel ca în semispaţiul conductor, pe o adâncime de pătrundere calculată la frecvenţa corespunzătoare lui d. Intensităţile câmpurilor electric şi magnetic şi densitatea de curent sunt nule in interiorul conductorului , cu excepţia unei pelicule periferice de adâncime egală cu . Datorită valorii mici a lui , curentul electric în conductor poate fi aproximat cu o pânză de curent având densitatea lineică Jl , funcţie de coordonatele intrinseci ale suprafeţei conductorului . Deoarece rotsH=nxH=Jl vectorii H si Jl sunt tangenţiali la suprafaţa conductorului, aceasta fiind suprafaţa de câmp magnetic.

Regimul de refulare medie , în care cea mai mică dintre dimensiunile conductorului d este de acelaşi ordin de mărime cu parametrul . Pătrunderea câmpului electromagnetic este totală , forma liniilor de câmp magnetic variază în timp şi pe suprafaţa conductorului ambele componente ale lui H sunt nenule .Rezistenţa electrică şi inductivitatea interioară în curent alternativ .În teoria circuitelor electrice cu parametrii concentraţi se admite ipoteza repartiţiei uniforme a densităţii curentului electric în conductoare . În aceste condiţii , conductoarele se consideră filiforme. În regim cvasistaţionar armonic permanent , impedanţa unui conductor filiform se defineşte fie cu relaţia Ohm Z=U/I (definiţia liniară a impedanţei) fie energetic Z=Pap

2/I, Z=U2/Pap. În conductoarele masive în care la curentul de aductie refularea curentului nu este neglijabilă, impedanţa nu se mai poate defini cu relaţia Ohm decât in cazuri particulare (conductoare cilindrice circulare) . Pentru un conductor drept parcurs de curent sinusoidal in timp , câmpul electric având valori diferite pe conturul secţiunii transversale drepte , nu se poate defini o tensiune in lungul firului (pentru un conductor dreptunghic tensiunea in lungul muchiei este diferită de tensiunea in lungul axei unei feţe) În acest regim , impedanţa ,

197


rezistenţa şi inductivitatea interioară a conductorului se definesc numai energetic, din integrala vectorului Poynting pe suprafaţa conductorului .

Identificând expresia puterii active absorbite de un conductor parcurs de curent sinusoidal cu produsul RaI2,

(9.62) se deduc expresiile rezistenţei în curent alternativ Dacă se notează cu Po puterea dezvoltată în curent continuu a cărui intensitate este egală cu valoarea efectivă a curentului sinusoidal, şi cu Ro rezistenţa în curent continuu Po=RoI2, raportul kr dintre puterile Pa şi Po , egal cu raportul dintre rezistenţa în alternativ Ra şi rezistenţa în

curent continuu Ro , se numeşte factor în alternativ al rezistenţei . Prin

analogie cu formula rezistenţei în curent continuu a unui conductor drept de lungime l

si arie a secţiunii transversale Ao ( ) se defineşte o relaţie similară pentru Ra ,

, în care Aa<Ao este aria echivalentă a secţiunii conductorului in curent

alternativ. 9.2.3. Efectele difuziei câmpului electromagnetic

Curenţi turbionari

198

În conductoarele situate în câmp magnetic variabil în timp, se induc curenţi numiţi turbionari sau Foucault. Prin inducerea acestor curenţi şi prin câmpul magnetic suplimentar pe care-1 stabilesc, numit câmp magnetic de reacţie, se modifică câmpul magnetic inductoric. De exemplu, într-un conductor cilindric circular de rază a, situat axial în câmp mag-netic variabil în timp, stabilit de o bobină coaxială parcursă de curent sinusoidal, liniile densităţii curenţilor turbionari sunt cercuri concentrice situate în plane normale pe conductor. Din punctul de vedere al pătrunderii câmpului electromagnetic în conductoare, curenţii turbionari pot fi studiaţi în funcţie de raportul a/. în curent continuu, raportul a/ fiind nul densitatea curenţilor turbionari e nulă ( fig 9.3 a)

- la valori mici ale lui f,, sau a încât a/ <<1, densitatea de curent are o variaţie aproape liniară şi refularea e slabă (fig.9.3 b);

- la valori mari ale lui f,, sau a încât a/ >1, densitatea de curent scade si refularea este medie (fig 9.3 c);

-la valori foarte mari ale lui f,, sau a încât a/ >>1, densitatea de curent şi câmpul magnetic sunt practic nule în interiorul conductorului cu excepţia unui strat superficial de ordinul adâncimii de pătrundere (fig9.3 d).

Fig. 9.3


Curenţii turbionari intervin ,în studiul fenomenelor din miezurile feromagnetice ale maşinilor şi aparatelor electrice de curent alternativ, determinând pierderi de putere şi înrăutăţirea condiţiilor de funcţionare. Există însă şi aplicaţii utile cum sunt: încălzirea prin inducţie (cuptoare electrice cu şi fără miez de fier, instalaţii pentru tratamente termice, degazarea superficială, frâne şi ambreiaje electromagnetice etc. )

Efectul pelicular .In regim cvasistaţionar, densitatea de curent are o repartiţie diferită de repartiţia de curent continuu, fenomen numit efect pelicular sau efect de skin. Intr-un conductor drept având aria secţiunii Ao, curentul continuu I se repartizează cu densitate constantă Jo=I/Ao . În curent sinusoidal , densitatea de curent J(t) are atât valoarea efectivă J cât şi faza iniţială funcţii de punct. Efectul pelicular se caracterizează în primul rând prin posibilitatea ca densităţile instantanee de curent în două puncte şi în acelaşi moment să fie de sens opus, iar in al doilea rând prin valori diferite ale densităţii de curent J faţă de Jo. Densitatea de curent j are valori mai mari spre periferie şi mai mici in axa , valori dependente de parametrul pătrunderii .

199


Fig.9.4

Spre exemplificare apelăm la metoda iteraţiei pentru a demonstra repartiţia neuniformă a densităţii de curent in conductorul masiv din figura 5.28. In prima

iteraţie presupunem repartiţia uniformă a curentului cu densitatea , .Aplicând

teorema lui Ampere pe conturul 1 (fig 5.28) , se deduce

câmpul magnetic complex , Din legea inducţiei electromagnetice aplicată

conturului 2 ,dezvoltând in serie Taylor

termenul E1(r+dr)= E1(r)+(dE1(r)/dr)dr se deduce ecuaţia , cu

soluţia . Constanta C se determină din condiţia , adică

, din care rezultă C=-a2/4 . Cu această valoare se determină

J1=E1. Densitatea curentului total după prima iteraţie este

(9.63)

Efectul de proximitate Curentul de aducţie variabil în timp dintr-un conductor izolat se repartizează în acord cu efectul pelicular. Dacă în vecinătatea conductorului se găsesc alte conductoare parcurse de curenţi variabili în timp-fie de aducţie ,fie induşi de curentul din conductorul de referinţă ,câmpul lor magnetic influenţează repartiţia densităţii curentului in conductorul dat. Modificarea densităţii de curent dintr-un conductor de câmpul magnetic inductoric stabilit din exteriorul acestuia se numeşte efect de proximitate.

Efectul de proximitate intre două placi paralele parcurse de curenţi in acelaşi sens. Se consideră două plăci conductoare (fig.5.29) de extensie infinită in lungime si lăţime şi de grosime /2, dispuse paralel şi parcurse de curenţii de aducţie sinusoidali

in timp , având pe unitatea de lăţime a fiecărei plăci intensitatea .

Datorită extensiei infinite a plăcilor, mărimile câmpului electromagnetic depind numai de coordonata după grosimea plăcilor. În sistemul de coordonate cartezian cu planul yOz paralel cu feţele inferioare ale plăcilor la jumătatea distanţei dintre acestea şi cu axa Ox normală pe plăci(fig) , densitatea de curent are expresia J=J(x) ey. Din continuitatea componentelor tangenţiale rezultă că intensitatea câmpului electric în exterior este Ee=Eeey. .

Aplicând formula lui Ampere în lungul conturului e, se obţine He=Is. În exteriorul plăcilor câmpul magnetic este uniform şi orientat după axa Oz. Procedând la fel pentru conturul interior i, rezultă 2HiLi=0 , prin urmare în dielectricul dintre plăci câmpul e nul. Hi=0. Deoarece câmpul magnetic în dielectricul din afara plăcilor şi între plăci e independent de distanţă dintre acestea , soluţia problemei este aceeaşi dacă plăcile sunt cu feţele lor interioare în contact(fig5.29 b) . sistemul celor două plăci în contact , fiecare de grosime /2 parcurse de curenţii Is/2 în acelaşi sens , este

200


identic cu o placă de grosime , parcursă de curentul Is.. Problema efectului de proximitate se reduce la problema efectului pelicular in placa de grosime

Fig.9.5

Problema efectului de proximitate poate fi explicată şi-n baza curenţilor induşi in placa aflată in câmp magnetic variabil. Cele două fete ale unei placi ser află in câmpuri magnetice diferite. Daca se notează cu Ho câmpul la suprafaţa plăcii produs de repartiţia constanta a curentului I din propria placă atunci feţele interioare ale plăcilor sunt plasate in câmpul Ho-I/2d iar cele exterioare în câmpul Ho+ I/(2d+/2).Cele două câmpuri pătrund exponenţial in placă , generând curenţi proporţionali cu valoarea câmpului .Dacă plăcile sunt parcurse de curent in sensuri opuse (fig.5.30) atunci distribuţia densităţii de curent este mai ridicată pe feţele interioare si mai scăzută pe cele exterioare, deoarece câmpul magnetic este mai intens intre placi

Fig.9.6

Metode de rezolvare a problemelor de curenţi variabili în conductoare masive Problemele de câmp electromagnetic cvasistaţionar armonic permanent

201


se studiază cu metode analitice, numerice, grafo-analitice şi analogice. După modul de refulare a curentului în conductoare, principalele metode analitice sunt : metoda integrării ecuaţiilor lui Helnmoltz-Laplace- prin separarea variabilelor (pentru orice mod de refulare a curentului); metoda iteraţiei (la refulare slabă a curentului) necesitând rezolvarea numai a problemei interioare; metodele adâncimii de pătrundere, imaginilor, funcţiilor analitice şi transformărilor conforme (la refulare netă a curentului). Cu metodele prezentate în acest paragraf, se studiază efectele difuziei câmpului electromagnetic în conductoare masive

Metoda integrării ecuaţiei lui Helmholtz si Laplace prin separarea variabilelor. Această metodă se aplică în acelaşi mod ca în cazul câmpului magnetic staţionar prin care se alege mărimea potrivită E. H sau A şi se rezolvă prin separarea variabilelor ecuaţia lui Helmholtz în subdomenii ocupate de conductoare (problema interioară) şi ecuaţia lui Laplace în subdomeniile ocupate de dielectrici (problema exterioară). Constantele de integrare care intervin în soluţii se determină la fel ca în cazul câmpului magnetic, din condiţiile de continuitate pe suprafeţele sub domeniilor, de regularitate la infinit, de comportare în centre, axe şi plane de simetrie şi din date ale problemei privind sursele de câmp electromagnetic.

In problemele plan-paralele o parte din mărimile vectoriale au numai componente axiale şi celelalte mărimi au numai componente transversale. De exemplu, la curent de aducţie în conductoare drepte sau curenţi turbionari induşi axial prin efect de proximitate, problema de câmp este axial-electrică respectiv transversal- magnetică; dacă conductoarele drepte sunt situate în câmp magnetic inductoric uniform şi orientat axial, problema de câmp este axial-magnetică respectiv transversal-electrică. Problemele nu sunt duale, în sensul că la formă dată a conductoarelor din soluţiile uneia dintre probleme nu se pot deduce soluţiile celeilalte probleme prin înlocuirea mărimilor E cu H şi H cu E; în problema axial electrică, câmpul magnetic are pe suprafaţa conductorului ambele componente, normală şi tangenţială nenule; în problema axial magnetică, câmpul electric e tangenţial la suprafaţa conductorului (aceasta conţinând liniile densităţii curenţilor induşi). La fel ca în problemele de câmp magnetic staţionar, se preferă rezolvarea întâi a problemei mărimii axiale, ecuaţia lui Helmholtz fiind în acest caz o ecuaţie scalară.

Datorită în principal dificultăţilor de determinare a constantelor de integrare care intervin în soluţiile ecuaţiilor, numai un număr mic de probleme de curenţi variabili pot fi rezolvate analitic exact prin separarea variabilelor. Cu această metodă se examinează principalele efecte ale difuziei câmpului electromagnetic Spre exemplificare se prezintă in continuare efectul pelicular în conductorul cilindric circular. Se consideră, in acest sens ,un conductorul cilindric circular de rază a infinit lung şi izolat de alte conductoare parcurs de curentul

reprezentat în complex I , conductor de

permeabilitate şi conductivitatea constante. Datorită extensiuni infinite a conductorului si simetriei în raport cu axa Oz, mărimile de câmp depind

202


numai de coordonata radială r. Problema este axial-electrică respectiv transversal-magnetică, adică E = E(r) ez , H = H (r) e

Problema exterioară. Câmpul electric complex în exteriorul conductorului Ee

satisface ecuaţia lui Laplace Ee(r) =0, în care intervine numai laplace-anul

componentei axiale cu soluţia Ee=Aelnr+Ae1 în care Ae si Ae1 sunt

constante complexe de integrare. Din legea inducţiei electromagnetice rezultă rot Ee=/rerxEez=-E/r e=-jHe din care se deduce câmpul magnetic complex

. Din teorema lui Ampere aplicată cercului de rază r>a ,

se obţine . Identificând expresiile se deduce constanta Ae ,

iar expresia intensităţii câmpului devine Ee= lnr+Ae1

Fig.5.31

Fig.9.7Problema interioara. Câmpul electric complex în interiorul conductorului, Ei

satisface ecuaţia lui Helmholtz Ei(r) =2Ei, respectiv adică o

ecuaţie de tip Bessel cu soluţia în care In(r) şi Kn(r) sunt funcţiile modificate ale lui Bessel de prima şi a doua speţă şi de ordin n, iar Ai şi Ai1 sunt constante complexe de integrare. Din legea inducţiei electromagnetice rot Ei = — jHi

se obţine câmpul magnetic, complex , în care

s-a ţinut seama că I’0(x)=I1(x) şi K’

0(x)= -K1(x). Deoarece câmpul magnetic e nul în axa (r=0) şi termenul K1(0) este infinit , rezultă Ai1=0. Prin urmare

. Din continuitatea componentelor tangenţiale ale câmpului

magnetic la suprafaţa cilindrului He(a)=Hi(a) rezultă respectiv

soluţiile problemei interioare , Din

continuitatea câmpului electric complex pe suprafaţa cilindrului se deduce constanta Ae.

203

z

a


Metoda iteraţiei. În această metodă, intensităţile câmpurilor electric şi magnetic şi densitatea de curent în conductoare se determină prin iteraţii succesive.

Pentru rezolvarea problemelor de curent de aducţie, se procedează astfel: se consideră curentul complex I, repartizat uniform cu densitatea egală cu raportul dintre intensitatea curentului şi aria secţiunii transversale J0 = I/Ao- se determină într-un punct din conductor câmpul magnetic complex H0 stabilit de Jo cu oricare dintre metodele aplicate în regim staţionar (teoremele lui Ampere, Biot-Savart-Laplace etc.); se calculează cu legea inducţiei electromagnetice câmpul electric suplimentar Ei indus de H0 iar din forma locală a legii lui Ohm se deduce densitatea de curent suplimentară Ji=Ei Deoarece curentul total I esteegal cu fluxul lui J0, rezultă că fluxul lui Ji e nul, ( ) Soluţia problemei în prima iteraţie Jr1 se aproximează prin suma lui Jo şi Ji , Jr1 = Jo+ Ji,

iar puterea activă P± are expresia . În a doua iteraţie se

determină câmpul magnetic suplimentar H1 pe care-l stabileşte Jr1 , cu aceleaşi metode cu care s-a calculat Ho , câmpul magnetic rezultant având expresia Hr1=Ho+H1, se calculează câmpul electric suplimentar E2 indus de Hr1 şi se deduce densitatea suplimentară J2.=E2 . Densitatea de curent la a doua iteraţie este suma lui Jr1 şi J2. continuând în acest fel se determină iteraţiile de ordinul n pentru densitatea de curent Jrn şi câmpul magnetic Hrn

Metode numerice Rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic, prin metoda elementului finit procedeul Galerkin, necesită stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mărimii câmpului in domeniul de calcul şi a condiţiilor pe frontiera domeniului . Să considerăm drept aplicaţie câmpul magnetic indus într-o placă feromagnetică, de proprietăţi =106, r=2000, de un conductor circular de rază r0=0,002 m parcurs de un curent alternativ sinusoidal cu valoarea efectivă I=10A la frecvenţa industrială. Conductorul îl considerăm orientat după axa Oz iar planul de calcul este xOy , planul in care sunt liniile de câmp magnetic. Ecuaţia imaginii în complex a intensităţii câmpului electric se descompune după partea reală Ezr respectiv imaginară Ezi intr-un sistem de două ecuaţii

div( grad( Ezr)/)+ 2Ezr+ Ezi= 0div( grad(Ezi)/ )+ 2Ezi- Ezr-Jzr= 0 unde Jzr=I/r2 curentul de

aducţie in conductor.. Câmpul magnetic indus in placa feromagnetică are ca vector componente după axa Ox şi Oy , atât reale Br= vector( Bxr, Byr) de amplitudine B rm cât şi imaginare Bi= vector( Bxi, Byi) cu amplitudinea Bim. Dependenţa acestor componente de intensitatea câmpului exprimată din legea inducţiei este

Bxr= -d Ezi /dy Bxi= d Ezr /dy Byr= d Ezi /dx Byi= -d Ezr /dx

Modulul mărimilor fiind determinat cu relaţiile Bxp= Bxr

2+ Bxi2)

204


Byp=Byr2+ Byi

2)Domeniul de calcul se compune din trei regiuni aer , conductor şi placă(fig.5.32). Simularea numerică a pătrunderii câmpului in placa feromagnetică permite evidenţierea adâncimii de pătrundere pentru componenta reala a vectorului inducţie si pentru componenta imaginară a aceluiaşi câmp magnetic

Fig.9.8

Câmpul magnetic rezultant este suma in complex a celor două componente evidenţiate in graficul de mai jos .

Fig.9.9Densitatea curentului indus in placa este suma a două componente una reală iar a doua imaginară a căror evoluţie in placă este conform figurii 9.9b

205

cap09.doc

Documents