cap 21

GEOMETRIE DESCCRIPTIVĂ 107

17.INTERSECŢII DE CORPURI GEOMETRICE

17.1.GENERALITĂŢI

În funcţie de forma corpurilor geometrice care participă la intersectare, pot rezulta unul, sau două poligoane spaţiale, în cazul po-liedrelor, iar, în cazul corpurilor de revoluţie, una sau două linii curbe spaţiale.

Dacă se intersectează un poliedru cu o suprafaţă curbă se obţine o succesiune de curbe plane care formează laturile poligonului deintersecţie. În general, intersecţia corpurilor geometrice poate fi:• totală - atunci când suprafaţa unui corp geometric intersectează total suprafaţa celuilalt corp, obţinându-se, astfel, două

poligoane, sau linii curbe spaţiale; intersecţia se numeşte pătrundere;• parţială - atunci când suprafaţa unui corp geometric nu intersectează total suprafaţa celuilalt corp, obţinându-se, astfel, un

singur poligon, sau o linie curbă spaţială; intersecţia poartă numele de rupere.

Punctele care definesc construcţia poligoanelor, sau curbelor de intersecţie spaţiale, se obţin prin intersectarea muchiilor, sau generatoarelorunuia din corpuri, cu suprafeţele laterale, sau ale bazelor celuilalt corp. Rezultă că, pentru determinarea intersecţiei corpurilor geometrice,problema se reduce, în fond, la intersecţia dintre o dreaptă şi o suprafaţă.

Pentru determinarea intersecţiei corpurilor geometrice este necesar să se urmărească riguros următoarele etape:• stabilirea planelor auxiliare pentru determinarea punctelor poligoanelor, sau curbelor de intersecţie;• determinarea numărului de puncte necesare construcţiei suprafeţei rezultate din intersectare;• unirea punctelor ce definesc suprafaţa rezultată în urma intersecţiei;• stabilirea vizibilităţii în epură a liniei ce conturează suprafaţa obţinută prin intersectarea celor două corpuri geometrice.

Planele auxiliare se aleg, în funcţie de forma corpurilor care participă la intersecţie, astfel:• în cazul intersecţiei dintre două piramide, sau a două conuri, ori combinaţii ale acestora, planele auxiliare trebuie să con-

ţină vîrfurile corpurilor geometrice,• în cazul intersecţiei a două prisme, sau a doi cilindri, ori a unei prisme cu un cilindru, planele auxiliare trebuie să fie para-

lele cu muchiile corpurilor geometrice,• în cazul intersecţiei dintre o piramidă şi o prismă, sau dintre un con şi un cilindru, ori combinţii ale acestora, planele aux-

iliare trebuie să conţină vîrful piramidei, sau al conului şi să fie paralele cu muchiile prismei, respectiv cu generatoarelecilindrului.

Punctele determinate cu ajutorul planelor auxiliare se unesc utilizând metoda punctului mobil, sau folosind metoda desfăşuratelorschematice. Vizibilitatea în epură se stabileşte odată cu unirea punctelor de intersecţie. Un punct este vizibil, dacă este rezultatul in-tersecţiei a două muchii, sau generatoare vizibile.

17.2.INTERSECŢIA PRISMELOR

17.2.1.ETAPELE CONSTRUCŢIEI GRAFICE A INTERSECŢIEI A DOUĂ PRISME OBLICEPentru exemplificare, se consideră cazul intersecţiei dintre două prisme oblice cu bazele triunghiulare conţinute în planul orizontalde proiecţie (fig.17.1).

Urmărind etapele enunţate anterior şi modul în care se aleg planele auxiliare, se determină direcţia urmelor acestor plane, con-siderând două drepte concurente paralele cu muchiile corpurilor.

Această direcţie reprezintă urma unui plan determinat de cele două drepte concurente. Dacă bazele prismelor sunt situate în planul[H], este necesară doar aflarea urmei planului determinat de cele două drepte concurente în acest plan. In general se utilizează urmaplanului definit în acest mod, care corespunde planului în care se află bazele corpurilor, participante la intersectare. Această urmăconstituie direcţia cu care sunt paralele planele auxiliare ce se trasează în acelaşi plan de proiecţie, în cazul nostru, în planul [H]. Încontinuare se procedează în următoarea succesiune a construcţiei grafice:

a. se duc, prin muchiile fiecărei prisme plane paralele la direcţia determinată, ale căror urme vor trece prin vîrfurile bazelorcelor două prisme şi vor intersecta reciproc aceste baze;

b. se notează cu cifre arabe punctele de intersecţie ale acestor plane auxiliare cu feţele celor două prisme. Planele auxiliareutilizate la determinarea punctelor de intersecţie se numesc plane utile, dintre care, cele extreme, se mai numesc şi planelimită;

c. din punctele notate cu cifre se duc paralele la muchiile prismelor şi la intersecţia acestora cu muchiile omoloage, ce conţinplanul care a generat punctul respectiv, rezultă punctul de intersecţie dintre muchia unei prisme, cu faţa laterală a celei-lalte;

108 GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

d. se ridică proiectantele din planul [H] şi pe muchiile omoloage ale celei de-a doua proiecţii, rezultă punctele din acest plan.

17.2.2.DETERMINAREA LINIILOR POLIGONALE ALE INTERSECŢIEI ŞI STABILIREA VIZIBILITĂŢII ACESTEIA.METODA "MOBILULUI". METODA DESFĂŞURATELOR SCHEMATICE

Pentru unirea corectă a punctelor de intersecţie şi stabilirea vizibilităţii în cele două proiecţii (fig.17.1), se utilizează două metode:metoda mobilului şi metoda desfăşuratelor schematice.

METODA "MOBILULUI"

Se consideră un punct mobil care parcurge linia poligonală de intersecţie şi, în acelaşi timp, se proiectează, simultan, pecele două baze ale prismelor aflate în planul [H] (sau [V]), proiecţii paralele cu muchiile prismelor. Deoarece acest drum almobilului nu este cunoscut, se deplasează proiecţiile acestuia pe baze notând corespondenţa acestora într-un tabel, obţinândîn acest mod ordinea firească a drumului parcurs de punctul mobil.

Pentru completarea tabelului se procedează astfel:♦ ambele proiecţii ale mobilului pornesc de pe urma aceluiaşi plan auxiliar (de obicei un plan limită) şi în acelaşi sens

ales (orar sau trigonometric);♦ fiecare punct prin care trec aceste proiecţii, în sensul ales, se trec în tabel, iar acolo unde nu există notaţie a punctului

se trasează o linie;

Figura 17.1

♦ proiecţiile mobilului pe bazele poliedrelor îşi schimbă sensul de parcurgere dacă întîlnesc pe baza pe care circulă ozonă interzisă (care nu participă la intersecţie şi este evidenţiată prin haşurare), situată în interiorul planelor limită.


Pentru determinarea vizibilităţii se are în vedere trasarea, în acelaşi tabel, cu linie continuă , porţiunile vizibile pe care se deplaseazăproiecţiile mobilului, precum şi cele invizibile şi rezultă, astfel, atât porţiunea vizibilă cât şi cea invizibilă a intersecţiei, ţinândseama de faptul că un punct este vizibil dacă este vizibil pe ambele baze.

METODA DESFĂŞURATELOR SCHEMATICE

Metoda permite determinarea simultană a traseului de intersectare, precum şi a vizibilităţii acestuia. Pentru aceasta:• se trasează muchiile laterale ale prismelor fără a se ţine seama de lungimea lor, sau de distanţa dintre acestea, suprapuse şi

perpendiculare între ele (muchiile unui poliedru perpendiculare pe ale celuilalt);• muchiile care nu participă la intersecţie se trasează la periferie;• se notează planul la care se referă vizibilitatea ([H] sau [V]);• se notează cu " + " feţele care sunt vizibile, cu " - " feţele care nu sunt vizibile, în planul la care se referă vizibilitatea;• se înscriu punctele de intersecţie determinate cu ajutorul planelor auxiliare, ţinând seama de muchia şi faţa laterală pe care

se află;• se unesc, apoi, punctele situate pe aceeaşi faţă laterală;• vizibile vor fi laturile care corespund ambelor feţe vizibile ( "+" cu "+" ) (atenţie, nu se vor uni între ele două puncte situ-

ate pe aceeaşi muchie!).

17.3.DESFĂŞURAREA INTERSECŢIEI CORPURILOR GEOMETRICE

Utilizând axiomele geometriei descriptive care afirmă că orice corp geometric complex poate fi descompus în corpuri geometricesimple, s-a trecut la determinarea desfăşuratei intersecţiei corpurilor geometrice.

Pentru aceasta, în figura 17.2 este prezentată intersecţia a două prisme oblice, cu bazele [ABC], respectiv [EFD], conţinute în pla-nul orizontal de proiecţie [H] şi care se intersectează după poligoanele spaţiale[F1D3E7] şi [F2C6E8C5D4].

Utilizând metoda schimbării planelor de proiecţie şi intersecţia corpurilor geometice cu un plan perpendicular pe planul vertical deproiecţie, atât în figura 17.2, cât şi în figura 17.3, vom afla adevărata mărime a muchiilor prismelor, precum şi adevărata mărime asecţiunii normale la aceste corpuri geometrice.

Construcţia desfăşuratei, prezentată în figura 17.4.a pentru prisma oblică, cu baza [ABC], se face pornind de la o dreaptă oarecarepe care se vor măsura segmentele b0a0, a0g0, g0b0. In punctele a0, b0, g0, se construiesc drepte perpendiculare pe care se vordetermina punctele A0, B0, C0, folosind adevărata mărime a dreptelor obţinută în figura 17.2, precum şi punctele poligoanelor deintersecţie [F10E70D30] şi [F20C60E80C50D40]. În acelaşi mod se obţine şi desfăşurata prismei oblice, cu baza [EFD], prezentată înfigura 17.4.b.

Prin unirea punctelor din figura 17.4.b, în succesiunea în care sunt notate în definirea suprafeţei, rezultă suprafaţa notată[F10E70D30F10F20D40C50E80C60F20F10], care, unită cu suprafeţelor, în acelaşi fel obţinute, [F10D30E70], [F20C60E80C50D40F20], dinfigura 17.4.a, se obţine desfăşurata corpului rezultat din intersectarea celor două prisme.

17.4.APLICAŢII1. Să se construiască intersecţia dintre două conuri circulare drepte, unul având baza în planul orizontal, iar celălalt în planul

lateral (cazul intersecţiei totale).

2. Să se determine intersecţia dintre un cilindru circular drept şi o piramidă oblică (cazul intersecţiei parţiale).

3. Să se construiască intersecţia dintre doi cilindri circulari drepţi, cu axele concurente.

4. Fie o prismă dreaptă ABCAIBICI şi o piramidă PMNS, cu bazele în planul [H]. Să se determine conturul intersecţieidintre cele două poliedre.

MOD DE LUCRU

Se vor respecta etape0le de mai jos:• se reprezintă cele trei plane de proiecţie;• se construiesc cele două poliedre;• se aleg planele auxiliare utile astfel încât acestea să conţină vârful S al piramidei şi să fie paralele cu muchiile prismei;

deoarece prisma este dreaptă, rezultă că planele auxiliare utile sunt plane verticale;• planele limită [Q1] şi [Q4] indică faptul că intersecţia este o rupere; va rezulta, deci, un poligon spaţial, în urma intersec-

tării celor două corpuri geometrice;


Figura 17.2


Figura 17.3


Figura 17.4

• muchia AAI ∈ [Q1lim], planul limită [Q1lim] secţionează piramida după dreptele S1 şi S2: AAI ∩ S1 = A1(a1,a1') AAI ∩ S2 = A2(a2,a2')

• muchia SM ∈ [Q4lim], iar planul limită [Q4lim] secţionează prisma după dreptele verticale ce pornesc din punctele 7 şi 8; laintersecţia acestor drepte cu muchia SM rezultă punctele M7 şi M8;

• în mod analog, se determină şi celelalte puncte care, apoi, se unesc, apelând la metoda "mobilului";

EXEMPLU NUMERIC

Se consideră punctele A(25,55,0), B(75,65,0), C(70,32,0), M(60,75,0), N(32,105,0), P(6,60,0), S(92,13,95), care definesc prismacu baza ∆[ABC] şi piramida SMNP, precum şi înălţimea prismei h = 105 mm.(fig.17.5, fig.17.6). Să se determine intersecţiacelor două corpuri geometrice.

5. Fie un cilindru circular drept, având baza paralelă cu planul lateral de proiecţie, având raza R, centrele bazelor fiind Ω1 şiΩ2, intersectat cu conul circular drept cu baza situată într-un plan paralel cu planul [H], de rază r şi vârful notat cu S, cen-trul bazei fiind Ω (fig.17.7, fig.17.8).

MOD DE LUCRU

Construcţia grafică se realizează în succesiunea următoarelor etape:• se reprezintă cele trei plane de proiecţie;• se reprezintă cele două corpuri;• se determină curba rezultată din intersecţia conului cu cilindrul;


• se va folosi un număr suficient de generatoare ale conului astfel încât să se poată trasa cu fidelitate curba de intersecţie.Punctele de intersecţie dintre generatoarele conului, cu suprafaţa cilindrului sunt puncte ale curbei de intersecţie dintre celedouă suprafeţe:

SA(sa, s'a', s"a") ∩ Ω1Ω2 = I(1,1',1") SD(sd, s'd', s"d") ∩ Ω1Ω2 =IV(4,4',4") SG(sg, s'g', s"g") ∩ Ω1Ω2 = VII(7,7',7") SJ(sj, s'j', s"j") ∩ Ω1Ω2 = X(10,10',10")

• pentru determinarea cât mai corectă a curbei se aleg 8 generatoare SB, SC, SE, SF, SH, SI, SK, SL, care intersecteazăsuprafaţa cilindrului în punctele II, III, V, VI, VIII, IX, XI, XII (fig.17.8);

• pentru construirea desfăşuratei intersecţiei, se obţine, mai întâi, desfăşurata cilindrului (un dreptunghi cu laturile PN şiΩ1Ω2).

Figura 17.5


Figura 17.6


Figura 17.7


Figura 17.8

• plasarea pe figura obţinută a generatoarelor corespunzătoare punctelor T10, R10, Q10, se face măsurând, în proiecţia later-ală, coardele: q"1r"1 = Q10R10, r"1t"1 = R10T10, t"1n"1 = T10N10, etc. (se observă faptul că metoda de determinare esteaproximativă, deoarece arcele au fost aproximate cu coarde acestora). Distanţele ce localizează pe aceste generatoarepunctele I0, II0,...,XII0, se măsoară în proiecţie verticală, sau orizontală (fig.17.9);

• pentru determinarea desfăşuratei conului se trasează sectorul de cerc de rază S0A0 = s'a' (generatoarea conului) şi lungi-mea arcului egală cu lungimea de bază a conului. Unghiul de vârf este:

α = 360o R/SA.• pe arcul de cerc se vor trasa A0B0 = ab, B0C0 = bc, etc.De menţionat faptul că, referitor la precizia de execuţie a desfăşuratei, putem spune acelaşi lucru ca şi la desfăşurarea cilindrului(fig.17.10).Pe generatoarele rotite se măsoară lungimile segmentelor de generatoare până la curba de intersecţie S0I0 = s'11', etc.Punctele 11',21'..., fiind proiecţiile verticale ale rotitelor punctelor 1, 2,...

EXEMPLU NUMERICSe cunosc următoarele elemente:

♦ coordonatele centrelor cercurilor de bază ale unui cilindru:♦ Ω1(87,45,60), Ω2(20,45,60)♦ raza cercurilor de bază ale cilindrului: R = 23 mm♦ coordonatele centrului bazei conului: Ω(52,45,113)♦ coordonatele vârfului conului: S(52,45,37)♦ raza cercului de bază al conului: r = 30 mm.

Să se determine intersecţia dintre con şi cilindru, după care să se construiască desfăşuratele intersecţiilor (figurile 17.7-17.10).

În vederea extinderii aplicaţiilor numerice, în tabelul 17.2 sunt prezentate alte coordonate, respectiv raze, pentru con şi cilindru.

Tabelul 17.2 Nr. variantei

numerice 1 2 3 4 5 6

ω1x 75 70 65 80 75 70


Ω1 ω1y 45 45 45 40 45 45 ω1z 25 20 20 20 25 30 ω2x 15 15 10 10 15 15

Ω2 ω2y 45 45 45 40 45 45 ω2z 25 20 20 20 25 30

R 20 20 20 20 15 15 ωx 40 40 40 40 45 45

Ω ωy 45 45 45 40 45 45 ωz 70 70 70 70 80 80 sx 40 40 40 40 45 45 S sy 45 45 45 40 45 45 sz 10 10 10 10 0 0

R 25 25 25 25 0 20

Figura 17.9

Figura 17.10

cap 21

Documents