Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 110.Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 10.1Introducere Comportareaductilestecaracterizatprindeformaiiimportantendomeniul postelastic,froreduceresemnificativarezistenei(Figura10-1aib). Comportarea este caracterizat prin existena unui domeniu de comportare elastic (0-1),urmatdeundomeniudecomportareplastic(1-2),carepoateincludeecruisaj (pantaestepozitiv)saunu(comportareperfectplastic,pantaestezero).Dup atingereapunctuluiderezistenmaxim(2)poateurmaundomeniudedegradarea rezistenei(2-3)ncarerezistenaestemultmaimicdectceamaxim,dartotui semnificativ(Figura10-1a),sauscderarapidicompletarezistenei(Figura 10-1b).Dacdeformaiilepostelasticesuntmicisaudacrezistenascaderapidcu creterea deformaiei postelastice, comportarea se numete fragil (Figura 10-1c). Deformaiile postelastice sunt necesare din mai multe motive. n primul rnd, pentru redistribuia solicitrilor n structurile static nedeterminate, ceeacepermitereducereavrfurilorde moment, i n consecin o dimensionare mai economic:dupceseatingelimitadecurgere(careesteegalsauapropiatde valoarea maxim a rezistenei) n seciunile cele mai solicitate, acestea se deformeaz ncontinuare,isarcinilesuplimentarepotfisuportatencontinuaredeseciunilemai puinsolicitate,pncndnumruliconfiguraiaseciunilorplasticefaccastrucrura s devin instabil (mecanism plastic). Unaltavantajalcomportriiductileesteavertizareaimineneicedrii.Dac structuraaredeformaiiimportanteatuncicndsolicitareaesteapropiatde capacitatea portant, se pot lua msuri de urgen pentru a salva vieile ocupanilor i bunurile materiale. nsfrit,ncazulstructurilorsupuselasolicitriseismice,structuraare posibilitateadeadisipaopartedinenergiaindusdecutremurprindeformaii postelastice,ceeacepermitedimensionareastructuriilaforemultmaimicidectn cazul comportrii elastice. Ductilitateasemanifestlamaimulteniveluriierarhice:lanivelulmaterialelor (relaii),lanivelul seciunilor (relaii moment-curbur), la nivelul elementelor (relaii momentrotire)saualstructuriinansamblu(relaiifor-deplasare).Existena a)b)c) Figura 10-1. Relaii for-deplasare n cazul comportrilor ductile (a i b) i fragile (c) Ductilitatea elementelor de beton armat 2ductilitiilanivelulierarhicinferiorestentotdeaunaocondiienecesardarnu ntotdeauna o condiie suficient pentru asigurarea ductilitii la nivelul ierarhic superior. Obiectivulacestuicapitolestestudiulductilitiilanivelulseciunilor (ductilitatea de curbur) i al redistribuiei momentelor n structurile ductile de beton armat. 10.2Determinarea ductilitii de curbur 10.2.1 Determinarea curburii n stadiul II Dacseconsiderporiunedelungimedzdintr-unelementdebetonarmat supus la o for axial i un moment constante pe aceast lungime elementar, rotirea ntre cele dou fee ale poriunii considerate este: x ddzxdzRdzs c= = max ,(10.1) de unde rezult: d x d x Rs c s c +== = =max , max ,1(10.2) ncareR / 1 = estecurbura(rotireapeunitatedelungimeaelementului).Curbura este panta diagramei de deformaii (vezi i relaia (3.2) de la capitolul 3). Figura 10-2. Deformaia unui element ncovoiat Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 310.2.2Curbura de curgere Curburadecurgerecorespunde,ncazulbetonuluiarmat,intrriincurgerea armturilor ntinse: ysyyx d = (10.3) Darnlimearelativazoneicomprimatevariazpuinpentrudiverseseciuni (eacorespundnlimiizoneicomprimatenexploatare-stadiulII),iardeformaiade curgereaarmturiiesteconstantpentruuntipdeoeldat.nconsecincurburade curgerevariaznprincipalcunlimeautilaseciunii,iesteconvenabilsse defineasc o curbur relativ: 310 5 21 = ,) (s yyyEfd(10.4) Not:Pentruunraporttipice=7,procentedearmareobinuite=0,5%...1,5%i oeluri cu limite de curgere cuprinse ntre 300 MPa i 435 MPa, curbura relativ decurgerevariazntre1,5x10-3i3,5x10-3.Eascadeculimitadecurgerea armturii i cu procentul de armare i este mai mare la seciuni dreptunghiulare dect la seciuni n form de T (n cel de-al doilea caz, y este mai mic pentru c zona comprimat are lime mare). Exemplu1:SsedeterminecurburadecurgerepentruoplacdinbetonC25/30,cu grosime h = 150 mm, armat cu 10/15 din oel S500. Acoperirea de beton este c = 15 mm. Pentru C25/30,Ecm = 31 GPa Pentru S500, fy = 500/1,15 = 435 MPa d = h c /2 = 150 15 10/2 = 130 mm = 78,5/(150x130) = 0,004 = 0,4 % e = Es/Ecm = 200/31 = 6,45 e = 0,004x6,45 = 0,026 = e(((

+ 121 e = 0,026((

+ 1026 021, = 0,20 3310 7 210 200 2 0 14351 = == ,) , ( ) (s yyyEfd 10.2.3Curbura ultim Curburaultimcorespundedeformaieiultimenbetonulcomprimat(dac ruperea nu se produce prin armtura ntins, pivot A): ucuux = (10.5) Ductilitatea elementelor de beton armat 4i curbura relativ este: ucuud = (10.6) Ecuaiadeechilibruaforelornlungulaxeielementuluieste,dacarmturile ntinse i comprimate ajung la curgere: N = 0,8x b fcd + As2fyd Asfyd(10.7) Aceast ecuaie, exprimat cu valorile adimensionalizate n, et este: 0,8u = n +- 2(10.8) n final, expresia curburii ultime este: ) ( ,28 0 +=ndcuu(10.9) Nota1:Relaia(10.9)afostdeduspebazarelaiei(10.7),adicncazulncareatt armturilentinsecticelecomprimateajunglacurgere.ncazulncare armturilentinsenuajunglacurgere(x>xb),intrareandomeniulplastica seciuniinuarelocidiscutareaductilitiiesteinutil.Cazulncarearmturile comprimate nu ajung la curgere este cel n care nlimea zonei comprimate este foartemic,decideformaiilenarmturantinssuntmariiseciunease comport ductil, dar relaia (10.9) nu mai este strict valabil. Nota2:nrelaia(10.9)nuaparenmodexplicitinfluenaductilitiiarmturii.Se consider ns n mod implicit c deformaia ultim a armturii este suficient de mareastfelnctcedareasaiblocprinpivotulB(betonulcomprimat)inu prinpivotulA(armturantins).Influenaductilitiiarmturiipoatefipusin eviden folosind expresia (10.2). Curbura ultim este: dud cuu += icumcuesteconstantpentrubetoaneobinuiteneconfinate,ueste proporional cu deformaia ultim a armturii ud. Situaia limit este cea n care cedarea are loc simultan prin betonul comprimat i armtura ntins (). nlimea relativa zonei comprimate estenacest caz: ud cucuu += xu d ud cu Figura 10-3. Diagrama de deformaii cnd cedarea are loc simultan prin pivoii A i B Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 5Pentrubetoaneobinuite(fck50MPa),deformaiaultimabetonului este cu = 0,0035. Pentru oel de clas A:ud = 0,9uk = 0,92,510-2 = 2,2510-2 uA = 3,5/(3,5 + 22,5) = 0,135 Pentru oel de clas B:ud = 0,9uk = 0,9510-2 = 4,510-2 uA = 3,5/(3,5 + 45) = 0,072 Pentru oel de clas C:ud = 0,9uk = 0,97,510-2 = 6,7510-2 uA = 3,5/(3,5 + 67,5) = 0,049 Condiia ca ruperea s nu se produc prin pivotul A este : u uA sau uA Seobservcncazulelementelorcuprocentemicidearmare(de exemplu plci), ruperea se va produce prin pivotul A dac se utilizeaz armturi de clas A. Exemplu 2: S se determine curbura de curgere pentru placa din exemplul precedent. n = 0; 2 = 0; = fy/fcd = 0,004x435/(25/1,5) = 0,104 310 5 33 0335 00 104 0 00035 0 = = += , ,,,du 10.2.4Ductilitatea de curbur Ductilitatea este msurat prin indicele de ductilitate: yu= (10.10) nlocuind curburile de curgere i ultim prin expresiile lor (10.3) i (10.9), rezult: ) (2 += = =n ddycuyuyu(10.11) Exemplu 3: S se determine indicele de ductilitate pentru placa din exemplul precedent. 4 1210 7 210 5 3333,,,== = =ddyuyu Ductilitatea elementelor de beton armat 6 Dac se neglijeaz influena curburii de curgere (care variaz in limite destul de restrnse),relaia(10.14)punenevidenprincipaliifactoricareinflueneaz ductilitatea: Fora axial relativ n: o cretere a forei de compresiune relative diminueaz proporional ductilitatea; de unde necesitatea de a limita fora de compresiune pentruaasiguraocomportareductilaseciunii(deexempluprinmrirea seciunii de beton). Diferenantreceficieniigeometricidearmarecuarmturntinsi comprimat -2 (echivalent cu diferena ntre coeficienii mecanici de armare 2):dac aceast diferen este mic, ductilitatea est mare. Trebuie deci limitatcantitateadearmturntinssauasiguratoanumitcantitatede armturcomprimat.nliteraturserecomandcavaloareprocentuluide armturntinssnudepeasc1,5%pentruaasiguraoductilitate suficient,sauselimiteaznlimeazoneicomprimate(x/d0,25)lao valoare mult mai mic dect cea corespunztoare valorii de balans. n zonele seismiceserecomandca,lareazemulgrinzilordecadru,armturadela parteainferioar(comprimat)sfieegalcucelpuindinarmtrura superioar (ntins). Deformaiaultimabetonuluicomprimatcu:aceastapoatefimritprin confinarea betonului (vezi 3.3.2.5). a)b) Figura 10-4. a) Influena coeficientului de armare asupra ductilitii; b) Influena forei axiale relative asupra ductilitii (adaptat dup Park&Paulay, 1975) Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 710.3Articulaia plastic 10.3.1Definiie Figura 10-5. Distribuia curburilor de-a lungul unei grinzi de beton armat la momentul ultim:a) Grinda, b)Diagarama de momente, c) Diagrama de curburi. (dup Park & Paulay, 1975) nFigura10-5esteprezentatogrinddebetonarmatcareaatinscurburai momentulultimnseciuneacritic.DistribuiademomenteestedatnFigura10-5b este dat distribuia de momente, iar n Figura 10-5c distribuia de curburi. Se observ existenauneizonepecaresentinddeformaiileinelastice(zonahauratnFigura 10-5c). Aceast zon se numete articulaie plastic.Pentrusimplificareacalculelor,sedefineteolungimeconvenionallp,numit lungimeaarticulaieiplastice,pecarecurburaplasticseconsiderconstanti egal cu u y, astfel nct aria paralelogramului de nlime lp i latur u y s fie echivalent cu aria haurat din Figura 10-5c. Cercetriprivindlungimeaarticulaieiplasticeifactoriicareoinflueneazau fostefectuateincdinanii60.Cercetriledinanii60s-auaxatnspecialpecazul grinzilorsupuselancrcrimonotone,nvedereastabiliriicapacitiideredistribuire plasticamomentelor(Baker&Amarakone,1964,Corley,1966,Mattock,1964i 1967,Dilger,1966,Bachman,1970).Altestudiis-auaxatpestudiereastlpilori grinzilorsupuselasolicitriciclicedetipseismic(Aoyama,1964,Agrawale.a,1965, Brown & Jirsa, 1971, Park e.a., 1972, Lgeron & Paultre, 2000, Bae & Bayrak, 2008). Ductilitatea elementelor de beton armat 810.3.2Factori care influeneaz lungimea articulaiei plastice Studiileteoreticeiexperimentaleaupusnevidenoseriedefactoricare influeneaz lungimea articulaie plastice: -nlimeautilaseciuniid:majoritateaformulelorempiriceconsidercalp crete proporional cu d; -Distana pn la punctul de inflexiune z: lp crete proporional cu z; -Prezenafisurilordinfortietoare:producecretereaefortuluinarmtura longitudinal (vezi capitolul referitor la fora tietoare), i implicit alungirea zonei inelastice; -Diametrul armturii longitudinale: dincolo de punctul de ncastrare, deformaiile marialearmturiiaflatndomeniulinelasticse transmit pe o anumit lungime (tensile strain penetration); -Marimeaforeiaxialedecompresiune:ngeneralseconsidercducela mrirea lp, dar unele rezultate experimentale sunt contradictorii. 10.3.3Estimarea lungimii articulaie plastice Exist numeroase formule propuse de diveri cercettori. Faptul c nu s-a ajuns nc la un consens este demonstrat de faptul c se mai public nc studii i discuii pe acestsubiect(Bae&Bayrak,2008,idiscuiileasupraacestuiarticol,alelui SubramanianirespectivElmenshawi,dinACIStructuralJournaldinmartie-aprilie 2009). Deaceeaconsidermc,deocamdat,oalternativrezonabilesteadoptarea uneiformulesimpledecalcul,caceapropusdePaulayiPriestley(Paulay&i Priestley, 1992): lp = 0,08z + 0,022dbfy 0,5h(10.12) n care db este diametrul barelor longitudinale i fy limita de curgere a acestora. EN1992-1-1recomandpentrugrinzicontinuesauplciarmatepeodirecie considerarea unei zone plastice pe reazeme de 1,2d. Aceasta revine la o lungime: lp = 0,6d(10.13) 10.4Calculul rotirii plastice necesare Calcululrotiriiplasticevafiilustratpentruogrindcontinucudoudeschideri egale,adaptatdup(Park&Paulay,1975).Elementeledecaculstatic(diagramede momente, calcul de curburi) nu vor fi detaliate aici. Relaiile de calcul necesare au fost preluate din (Caracostea e.a., 1977). Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 9 Pentru o grind continu cu fore concentrate la mijlocul deschiderilor (a), rezult din calculul elastic diagrama de momente (b). Momentele ultime sunt Mr,u pe reazem i Mc,uncmp.Presupunemcdiagramamoment-curburestedetipelastic-perfect plastic (g), deci momentele de curgere sunt egale cu momentele ultime. Cnd se atinge momentuldecurgerepereazem(c),aiciseformeazoarticulaieplastic.n continuare, momentele cresc numai n cmp, pn se atinge i aici momentul ultim (h), i se formeaz un mecanism ce cedare cu 3 articulaii plastice (e). Condiiadeechilibrutrebuierespectatattndomeniulelastic,ctin domeniul plastic, adic: Mr/2 + Mc = M0 n care M0 = Pl/4 este momentul corespunztor grinzii simplu rezemate. ncrcarea la care se produce cedarea este: Pu = |||

\|+u cu rMMl,,24 Figura 10-6. Redistribuirea momentelor i formarea mecanismului de cedare pentru o grind continu l/2 l/2 l l PP Mr = 0,188Pl Mc = 0,156Pl Mr,u

Mr,u Mc,u a) b) c) d) e) f) M Mu = My y u M Mr,u PPu Mc,u Mr = 0,188Pl Mc = 0,156Pl faza elastic faza de redistribuie a momentelor g) h) Ductilitatea elementelor de beton armat 10Not: Pentru ca articulaia plastic s se formeze mai nti pe reazem i apoi in cmp, trebuiecaraportulntremomenteleultimesfiemaimicdectceldintre momentele rezultate din calcul elastic: Mr,u / Mc,u O Mr / Mc = 0,188/0,156 = 1,2 Dupintrareancurgereaarmturii ntinsedepereazem,seformeazo articulaieplastic.Dinacestmomenti pnlaatingereancrcriiultime (formareamecanismuluidecedare),grinda se rotete cu unghiul B n jurul reazemului. Rotireaaceastasepoate descompunenrotireapozitivB(c)dat demomentuldesimplrezemare(d)i rotireanegativ B(e)datdemomentul de pe reazem (f): B = B - B RotirileBiBpotficalculatecu relaiile din (Caracostea e.a., 1977), Tabelul IV6. Relaiile de calcul sunt: B = EIl M MEIl Pu r u c u45 0162) , (, ,+=B = EIMu r3, Rezult: B = EIl M Mu r u c465) (, , Rotirea plastic este: s = 2B = EIl M Mu r u c265) (, , Trebuie ca rotirea plastic calculat pentru formarea mecanismului de cedare s fie mai mic sau egal cu rotirea plastic capabil a reazemului: s O pl, d = (u y)H2lp Figura 10-7. Calculul rotirii plastice pe reazem a) b) c) d) e) f) l/2 l/2 ll Pu Pu B B ABC lp Mr,u /(EI) Mc,u /(EI) Pu B A B Pu l/4 Mr,u Mr,u B AB Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 11Exemplul4:Sseverificecapacitateaderotireplasticpentruofiedeplacde betonarmatavndseciuneaiarmareaplciidinexemplele1-3ischemastatici de ncrcare din Figura 10-6. Considerm lungimea articulaiei plastice lp = 0,6d Rezult rotirea plastic capabil: pl, d = (u y) 2lp = (ud yd) 1,2d/d = = (33,510-3 - 2,710-3) 1,2= 36,910-3 rad Armarea este identic n cmp i pe reazem, deciMr,u = Mc,u = Mu Momentul ultim este, dac considerm braul de prghie z 0,9d: Mu = zAsfy = (0,90,13)(78,510-6/0,15)435 = 26,6 kNm Rigiditatea este: EI = Mu/y = Mud/yd = 26,610-30,13/(2,710-3) = 1,281 MNm2 Rotirea plastic este: p = 281 1 1210 6 2612 2365,,) (, , ,= =EIl MEIl M Mu c u r u c = 1,7310-3 rad n concluzie: p= 1,7310-3 rad < p, cap = 36,910-3 rad 10.5Prevederile Eurocodului 2 EN1992-1-1prevededoumetodedecalcullaSLUncareadmite redistribuireamomentelorlaelementelencovoiateinndseamadedeformaiiile postelastice ale acestora: calculul liniar elastic cu redistribuie limitat i calculul plastic. 10.5.1Calculul liniar elastic cu redistribuie limitat Acest tip de calcul este admis pentru grinzile sau plcile continue la care forele tietoaresuntrelativreduseisolicitareapredominantestencovoierea,iarraportul ntre deschiderile adiacente este cuprins ntre 0,5 i 2. Momentele ncovoietoare pot fi redistribuite fr a se verifica explicit capacitatea de rotire n limitele urmtoare: 0,44 + 1,25(0,6+0,0014/cu2)xu/d pentru fck 50 MPa(10.14a) 0,54 + 1,25(0,6+0,0014/cu2)xu/d pentru fck > 50 MPa(10.14b) Ductilitatea elementelor de beton armat 12 0,7 pentru armturi din clasa B sau C (10.15a) 0,8 pentru armturi din clasa A (10.15b) n care : raportul dintre momentul dup redistribuire i momentul elastic xu nlimea axei neutre la starea limit ultim dup redistribuire dnlimea util a seciunii Exemplu: Pentru o plac din beton C25/30, cu xu/d = 0,1 i cu2 = 0,0035: 0,44 + 1,25(0,6+0,0014/0,0035)0,1 = 0,565 Dacsefolosescarmturicuductilitatenaltsaunormal(deexemplubare laminate la cald), atunci =0,7, deci momentul se poate reduce cu 30%. Dacsefolosescarmturicuductilitatesczut(deexempluplasesudatedin srmeobinuteprintragerelarece),atunci =0,8,decisepoatereducecu20% momentul. Pentru o grind din beton C25/30, cu xu/d = 0,35 i cu2 = 0,0035: 0,44 + 1,25(0,6+0,0014/0,0035)0,35 = 0,877 Indiferent de tipul armturilor folosite se poate face o reducere de 12%. Not: Pentru proiectarea stlpilor se vor folosi momentel din calculul elastic, fr nici o redistribuie. 10.5.2Calculul plastic Metodeledecalculndomeniulplasticnufacobiectulacestuicapitol.Vorfi prezentatenumaicondiiilencaresepoatefaceuncalculplasticiverificrile necesare. Calcululplasticesteadmisnumaidacseciunilecritice au suficient ductilitate astfelnctssepoatformamecanismulplasticdecedarepresupus.Pentru verificareaacesteicondiiiestenecesarsseverificecapacitateaderotirea articulaiilor plastice pl,d i s se arate c aceasta este mai mare dect rotirea plastic calculat s. Ductilitateapoateficonsideratsuficient,frasefaceoverificareexplicit dac sunt verificate toate condiiile de mai jos : i)ariaseciuniiarmturilorntinseestelimitatnaafelnctoricarearfi seciunea considerat : xu/d 0,25 pentru betoane de clas C50/60 xu/d 0,15 pentru betoane de clas C55/67 Ductilitatea elementelor de beton armat la ncovoiere 13ii)armturile pentru beton armat sunt de clas B sau C (nu se admit armturi de clas A) iii)raportuldintremomentelepereazemeleintermediareimomenteledin cmp este cuprins ntre 0,5 i 2. n cazul n care se verific capacitatea de rotire, o condiie preliminar este ca n zonele de articulaie plastic nlimea relativ a zonei comprimate s nu depeasc: xu/d 0,45 pentru betoane de clas C50/60 xu/d 0,35 pentru betoane de clas C55/67 Rotirilecapabilesepotdetermina,nmodsimplificat,cuajutorulgraficuluidin Figura10-7.Valorileobinutetrebuiecorectatecufactorulkpentruaineseamade efectul forei tietoare: k =3 / (10.16) nrelaiademaisusesteraportuldintredistanantrepunctuldemomentzeroi punctul de moment maxim, dup redistribuie, i nlimea util a seciunii d. Se admite calcularea coeficientului cu relaia: = MSd / (VSd d) (10.17) Figura 10-8. Valori de baz ale rotirii plastice admisibile, pl,d Ductilitatea elementelor de beton armat 1410.6Referine la capitolul 10 Caracostea, A.D. (coord.), 1977, Manual pentru calculul construciilor, Ed. Tehnic, Bucureti, 1391 p. Park, R., Paulay, T., 1975, Reinforced concrete structures, John Wiley & Sons, New York, 769 p. Paulay,T.,Priestley,M.J.N.,1992,Seismicdesignofreinforcedconcreteandmasonrystructures,John Wiley & Sons, New York, 744 p. Alvarez, M., Kppel, S., Marti, P., 2000, Rotation Capacity of Reinforced Concrete Slabs, ACI Struct. Jou., V. 97, no. 2, pp. 235-244. Bae, S., Bayrak, O., 2008, Plastic Hinge Length of Rinforced Concrete Columns, ACI Struct. Jou., V. 105, no. 3, pp. 290-300. Subramanian, N., 2009, Discussion of Plastic Hinge Length of Reinforced Concrete Columns by S. Bae and O. Bayrak, ACI Struct. Jou., V. 106, no. 2, pp. 233. Dilger,W.(1966),VernderlichkeitderBiege-undSchubsteifigkeitbeiStahlbetontragwerkenundihr Einflu auf Schnittkraftverteilung und Traglast bei statisch unbestimmter Lagerung. DafStb-Heft 179, Ed. Ernst & Sohn, Berlin. Baker,A.L.L.,Amarakone,A.M.N.(1964),InelasticHyperstaticFrameAnalysis,FlexuralMechanicsof Reinforced Concrete, SP 12, Amercan Conctere Institute, Farmington Hils, pp. 85-142. Corley,W.G.(1966),RotationalCapacityofReinforcedConcreteBeams,JournaloftheStructural Division, ASCE, V. 92, No. ST5, oct. 1966, pp. 143-181. Mattock,A.H.(1967),discussionofRotationalCapacityofReinforcedConcreteBeams,Journalofthe Structural Division, ASCE, V. 93, No. ST2, apr. 1967, pp. 519-5223-181. Mattock,A.H.(1964),RotationalCapacityofHingingRegionsinReinforcedConcreteBeams,Inelastic HyperstaticFrameAnalysis,FlexuralMechanicsofReinforcedConcrete,SP12,AmercanConctere Institute, Farmington Hils, pp.143-181.