cap 1 procese de comutatie

Capitolul 1

PROCESE FUNDAMENTALE DE COMUTAŢIE

1.1 Introducere Procesele de conectare şi deconectare ale aparatelor de comutaţie implantate în sistemul electroenergetic apar fie ca urmare a unor avarii (suprasarcini şi scurtcircuite) fie ca urmare a unor manevre cu scopul de a dirija energia electrică sau în cazul unor revizii. Producerea unui scurtcircuit precum şi comutaţia efectuată de un aparat sunt fenomene ce sunt însoţite de regimuri tranzitorii, caracterizate fie prin curenţi anormali, fie prin tensiuni anormale. Aceste mărimi anormale produc solicitări electrodinamice, termice şi dielectrice pentru echipamentele de comutaţie şi instalaţiile electrice în general. Aceste solicitări sunt în general de scurtă durată şi unilaterale (curenţi foarte mari sunt însoţiţi de tensiuni mici şi invers, tensiuni foarte mari sunt însoţite de curenţi mici). Aceste solicitări trebuie cunoscute pentru a se ţine cont de ele la dimensionarea aparatelor şi echipamentelor electrice dar şi la exploatarea acestora. Teoremele comutaţiei Teorema a I-a a comutaţiei – Fluxul magnetic printr-o bobina, cu inductanţa L , variază în mod continuu (nu prezintă salturi), deci este o funcţie continuă. Matematic se exprimă astfel: (1.1) )0()0( +− Ψ=Ψ unde este momentul comutaţiei. 0=tEnergia magnetică înmagazinată în câmpul magnetic al bobinei este dată de relaţia:

2

21 LiWm = (1.2)

Ţinând cont de relaţia Li=Ψ relaţia (1.2) se mai poate scrie astfel :

L

Wm 2

2Ψ= (1.3)

Întrucât energia magnetică este o funcţie continuă, rezultă că şi fluxul magnetic este o funcţie continuă. În ipoteza parametrilor constanţi ai circuitelor ( const.=L ) şi ţinând cont de relaţia de proporţionalitate dintre flux şi curent relaţia (1.1) poate fi particularizată astfel : (1.4) )0()0( +− = ii ceea ce înseamnă că un curent nu prezintă salturi printr-o inductanţă ( ). ∞≠ti d/d Teorema a II-a a comutaţiei – Sarcina electrică la bornele unui condensator, cu capacitaea variază în mod continuu (nu prezintă salturi), deci este o funcţie continuă. Matematic se exprimă astfel:

C

Ioan C. POPA: ECHIPAMENTE ELECTRICE - vol. 1

2

(1.5) )0()0( +− = qq Energia electrică înmagazinată în câmpul electric dintre armăturile condensatorului este dată de relaţia:

2

21 CuWe = (1.6)

Ţinând cont de relaţia relaţia (1.6) se mai poate scrie astfel : Cuq =

C

qWe 2

2= (1.7)

Întrucât energia electrică este de asemenea o funcţie continuă în timp, rezultă că şi sarcina electrică este o funcţie continuă. În ipoteza parametrilor constanţi ai circuitelor ( ) şi ţinând cont de relaţia de proporţionalitate dintre sarcina electrică şi tensiune relaţia (1.5) poate fi particularizată astfel :

const.=C

(1.8) )0()0( +− = uu ceea ce înseamnă că tensiunea la bornele unui condensator variază continuu şi nu în salturi ( ). ∞≠tu d/d Exemple de aplicare a teoremelor comutaţiei.

1. Conectarea circuitului RL la tensiune continuă. Se consideră un circuit format dintr-o bobină de inductivitate L conectată în serie cu un rezistor de rezistenţă R şi alimentate la o sursă de t.e.m constantă prin intermediul întreruptorului la momentul

Utu =)(k 0=t (fig. 1.1). Expresia curentului prin circuit

se determină din ecuaţia diferenţială a circuitului (ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi, neomogenă, de ordinul I) :

Udt

tdiLtiR =+)()( (1.9)

Fig. 1.1 Conectarea unui circuit RL la o sursă de tensiune continuă

Soluţia generală a ecuaţiei (1.9) este formată din suprapunerea a două componente : (1.10) )()()( tititi lf +=

unde este componenta forţată şi reprezintă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene )(ti f

Capitolul 1: PROCESE FUNDAMENTALE DE COMUTAŢIE

(ecuaţia 1.9) şi este de forma termenului liber al ecuaţiei, adică un termen constant în acest caz. Se caută deci o soluţie ai carei parametri se determină complet prin substituţie în ecuaţie şi identificare. Termenul liber U în cazul nostru fiind constant, se caută o soluţie constantă

care înlocuită în relaţia (1.9) conduce la relaţia Iti f =)( RIU = , de unde rezultă :

RUti f =)( (1.11)

Soluţia de regim liber sau componenta liberă este soluţia generală a ecuaţiei omogene (ecuaţia (1.9) fără termenul liber) de forma :

τ=-t

e)( Ktil (1.12) unde este constanta de timp a circuitului (reprezintă timpul în care curentul ar atinge valoarea de regim permanent dacă şi-ar păstra viteza iniţială de creştere).

RL /=τ

Înlocuind cele două componente ale curentului în relaţia (1.10) se obţine expresia curentului prin circuit :

τ+=-t

e)( KRUti (1.13)

Constanta K se determină cu ajutorul teoremei a I-a a comutaţiei (condiţia iniţială la ) 0=t (1.14) 0)0()0( == +− ii pentru că înainte de închiderea întreruptorului k curentul este nul şi el trebuie să fie nul şi imediat după închidere. Aplicând condiţia (1.14) în ecuaţia (1.13) se obţine constanta K :

0=)0()0( +== +− RUKii ⇒

RUK −= (1.15)

Înlocuind pe K din (1.15) în relaţia (1.13) se obţine expresia curentului prin circuit în regim tranzitoriu (fig. 1.2) :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−= τ

-t

e1)(RUti (1.16)

Tensiunea la bornele bobinei este (fig. 1.3):

τ==-t

edd)( UtiLtuL (1.17)

Se constată că tensiunea la bornele bobinei prezintă un salt la momentul şi apoi tinde la zero cu variaţie exponenţială cu constanta de timp

0=tτ .

3


4

Fig. 1.2 Curentul şi componentele sale la conectarea unui circuit RL la tensiune continuă (U = 220 V, R = 50 Ω , L = 0.5 H)

Fig. 1.3 Tensiunea la bornele bobinei la conectarea unui circuit RL la tensiune continuă (U = 220 V, R = 50 Ω , L = 0.5 H)

2. Conectarea circuitului RC la tensiune continuă. Se consideră un circuit format dintr-un condensator de capacitate C conectat în serie cu un rezistor de rezistenţă R şi alimentate la o sursă de t.e.m constantă prin intermediul întreruptorului la momentul

Utu =)(k 0=t (fig. 1.4). Expresia curentului prin circuit

se poate determina din ecuaţia integro-diferenţială a circuitului:

UttiC

tiR =+ ∫ d)(1)( (1.18)

care prin derivare se transformă într-o ecuaţie diferenţială pentru curent :


0)(1d

)(d=+ ti

CttiR (1.19)

care se poate rezolva ţinând cont de condiţia iniţială pe condensator. Pentru a aplica însă teorema a doua a comutaţiei transformăm ecuaţia (1.18) într-o ecuaţiei diferenţială având ca necunoscută tensiunea pe condensator, ţinând cont de relaţiile următoare :

)()( tCutq C=t

tuC

ttqti C )(d

dd)(d)( == (1.20)

Astfel, ecuaţia (1.18) devine :

Utut

uRC C

C =+ )(d

d (1.21)

Fig. 1.4 Conectarea unui circuit RC la o sursă de tensiune continuă

Soluţia generală a ecuaţiei (1.21) este :

τ+=+=-t

e)()()( KUtututu lCfCC (1.22) unde este constanta de timp a circuitului. RC=τSe constată că în acest caz tensiunea pe condensator nu poate prezenta salturi pentru că derivata trebuie să rămână finită pentru a fi compatibilă cu ecuaţia (1.21) aşa încât din teorema a doua a comutaţiei rezultă (considerăm condensatorul descărcat înainte de închiderea întreruptorului k ) : 0)0()0( =+== +− KUuu CC ⇒ UK −= (1.23) şi soluţia (1.22) devine (fig. 1.5) :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−= τ

-t

e1)( UtuC

Din relaţia (1.20) rezultă expresia curentului (fig. 1.6) :

τ==-t

ed

)(d)(

RU

ttu

Cti C (1.24)

5


6

Fig. 1.5 Tensiunea la bornele condensatorului şi componentele sale la conectarea

circuitului RC la tensiune continuă (U = 220 V, R = 50 Ω , C = 200 μF)

Fig. 1.6 Curentul prin circuit la conectarea circuitului RC la tensiune continuă (U = 220 V, R = 50 Ω , C = 200 μF)

1.2 Scurtcircuitul în reţele electrice Valorile curenţilor de scurtcircuit ce pot apare în diferite puncte ale sistemului electroenergetic trebuie cunoscute, acestea fiind necesare pentru a defini parametrii aparatelor de comutaţie dar şi pentru alegerea acestora pentru a fi instalate într-un anumit punct al reţelei electrice. Neglijând curentul de regim permanent în raport cu curentul de scurtcircuit, scurtcircuitul poate fi asimilat cu o conectare a unui circuit RL la o sursă de tensiune alternativă (curenţii prin capacităţile parazite au valori foarte mici pentru că datorită valorilor


mici ale acestor capacităţi reactanţa capacitivă este foarte mare). Determinarea curentului de scurtcircuit se face în baza unor ipoteze simplificatoare :

- în schemele echivalente, parametrii circuitelor electrice se presupun concentraţi şi constanţi iar inductanţele se presupun liniare, fără miez de fier, deşi în majoritatea cazurilor acestea sunt cu miez de fier (transformatoare, maşini electrice, etc.). La scurtcircuit miezul magnetic se saturează şi liniile fluxului magnetic se închid în principal prin aer ;

- închiderea circuitelor are loc fără arc electric. Să presupunem un generator care alimentează o linie electrică de lungime . In acest caz putem avea două situaţii de scurtcircuit (fig. 1.7):

G l

- în punctul 1k , când curentul de scurtcircuit este limitat în principal de reactanţa generatorului gX (reactanţa liniei fiind neglijabilă, gl XX << ) şi se spune că avem un scurtcircuit “apropiat” de generator;

- în punctul 2k , când curentul de scurtcircuit este limitat în principal de reactanţa liniei (reactanţa generatorului fiind neglijabilă, lg XX << ) şi se spune că avem un scurtcircuit “depărtat ” de generator.

Fig. 1.7 Relativ la scurtcircuitul apropiat şi depărtat de generator

1.2.1 Scurtcircuitul depărtat de generator

Scurtcircuitul depărtat de generator poate fi modelat cu conecarea unui circuit RL la tensiune alternativă, (fig. 1.8), )sin(ˆ)( Ψ−ω= tUtu Ψ fiind faza iniţială a tensiunii (fig. 1.9) iar U este valoarea maximă a tensiunii (ˆ UU 2ˆ = )

Fig. 1.8 Conectarea unui circuit RL la o sursă de tensiune alternativă

Ecuaţia diferenţială a circuitului este :

)sin(ˆdd

Ψ−ω=+ tUtiLRi (1.25)

Soluţia acestei ecuaţii este de forma :

7


8

(1.26) )()()( tititi lf += unde este componenta forţată (periodică) a curentului de scurtcircuit (o soluţie particulară a ecuaţiei (1.25) şi este o funcţie de forma termenului liber al acestei ecuaţii) iar

este componenta liberă (aperiodică) a curentului de scurtcircuit şi reprezintă soluţia generală a ecuţiei diferenţiale omogene (cu termenul liber nul).

)(ti f

)(til

Fig. 1.9 Relativ la faza iniţială a tensiunii

Componenta forţată a curentului de scurtcircuit se poate determina folosind metoda simbolică (calculul în complex) :

)(ti f

α−ϕ+ψ−ϕ

ψ−

==== jjj

j

f IZUU

ZUI ee

Zee )( (1.27)

Revenind în domeniul timp se obţine variaţia în timp a componentei forţate a curentului de scurtcircuit : (1.28) )sin(ˆ)( α−ω= tIti f

unde ψ+ϕ=α este unghiul de conectare (faza iniţială a componentei forţate a curentului de

scurtcircuit) iar (impedanţa circuitului fiind ZUI /ˆˆ = 22 )( LRZ ω+= ).

Fig. 1.10 Relativ la defazajul ϕ şi unghiul de conectareα .

Ţinând cont de teorema a I-a a comutaţiei:


0)0()0()0()0()0( =+=== +− lf iiiii de unde rezultă valoarea iniţială a componentei libere este: (1.29) α=−= sinˆ)0()0( Iii fl

Variaţia în timp a componentei libere este :

τα=-t

esinˆ)( Itil (1.30) Astfel, expresia curentului de scurtcircuit este :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+α−ω= τ

−t

sc tIti e)sin(ˆ)( (1.31)

Fig. 1.11 Curentul de scurtcircuit depărtat de generator.

1.3 Conectarea bateriei de condensatoare la o sursă de tensiune alternativă În cazul conectării unei baterii de condensatoare la o sursă de curent alternativ, din cauza unei distanţe mai mari între sursă şi bateria de condensatoare, inductanţa conductoarelor de legătură determină, imprună cu capacitatea, un circuit oscilant. În ipoteza neglijării inductanţei, se poate modela fenomenul de conectare prin conectarea unui circuit R, C la tensiune alternativă (fig. 1.xx).

9


10

Fig. 1.1 Conectarea unui condensator la o sursă de tensiune alternativă

Dacă închiderea circuitului are loc la momentul 0=t , cu faza iniţială a tensiunii Ψ

)sin()( Ψ+ω= tUtu)

π≤Ψ≤0 UU 2=)

(1.1)

Valoarea iniţială instantanee a tensiunii va fi Ψ= sin)0( Uu)

. Presupunem că sarcina condensatorului este nenulă la momentul 0=t , adică tensiunea iniţială pe condensator este . Ecuaţia diferenţială a circuitului din figura 1.1 este : 0)0( uuC =

∫ Ψ+ω==+ )sin()(d1 tUtutiC

iR)

(1.2)

Ţinând cont că

t

uC

tqti C

dd

dd)( == (1.3)

Ecuaţia (1.2) se transformă astfel

)sin(d

dΨ+ω=+ tUu

tu

RC CC )

(1.4)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (1.4) se scrie sub forma )()()( tututu lCfCC += (1.5) unde : - componenta forţată a soluţiei ecuaţiei diferenţiale; )(tu fC

- componenta liberă a soluţiei ecuaţiei diferenţiale, reprezentând soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene (cu termenul liber nul);

)(tu lC

În conformitate cu teorema a II-a a comutaţiei se poate scrie relaţia 0)0()0()0( uuuu lCfCC =+= (1.6) de unde rezultă componenta liberă la momentul iniţial (1.7) 0)0()0( uuu fClC +−= Pentru determinarea componentei forţate a tensiunii pe condensator se foloseşte metoda simbolică în complex


)

2-j(-)

2--j(-

2j-

j

jeee1

ee11 π

απ

ϕΨπ

ϕ

Ψ

==ω

=ω

=ω

= CCfC UUCZ

UCjZ

UCj

IU (1.8)

unde : - unghiul de conectare ; ϕ−Ψ=α

CZ

UU C ω= - modulul tensiunii complexe la bornele condensatorului.

Ecuaţia în complex a componentei forţate (1.8) se scrie în domeniul timp astfel

)cos()2

sin()( α+ω−=π

−α+ω= tUtUtu CCfC

)) (1.9)

Valoarea iniţială a componentei libere (relaţia (1.7)), ţinând cont de relaţia (1.9) este 0cos)0( uUu ClC +α=

) (1.10)

Ţinând cont de variaţia în timp exponenţială a componentei libere se obţine expresia următoare

τ+α=-t

0 e)cos()( uUtu ClC)

(1.11) Astfel, expresia tensiunii la bornele condensatorului este (fig. 1.2 şi fig. 1.3)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α++α+ω−= τ

t-0 ecos)cos()(C

CC Uu

tUtu ))

(1.12)

Valoarea maximă a tensiunii la bornele condensatorului se obţine la şi 0=α π=ωt ( ) s 01.0=t

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= τ

0.01-0max e11

CCC U

uUu ))

(1.13)

11


12

Fig. 1.2 Tensiunea şi componentele sale la bornele condensatorului la conectarea la o sursă de curent alternativ (U = 380 V, R = 50 Ω , C = 30 Fμ , 2/= πΨ , V 950u )=

Fig. 1.3 Tensiunea sursei şi tensiunea la bornele condensatorului la conectarea la o sursă de curent alternativ (U = 380 V, R = 50 Ω , C = 30 Fμ , 2/= πΨ , V 950 =u )

Expresia curentului prin circuit se calculează astfel (fig. 1.4 şi fig. 1.xx) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+ϕ+α+ω== τ

t-0 e)cos(tan)sin(d

d)(

C

C

Uu

tIt

uCti )

)

unde :

CUCI))

ω= RCω

−=ϕ1tan


Fig. 1.4 Curentul şi componentele sale la conectarea unui condensator la o sursă de curent alternativ( )00 =u

Aplicaţia 1. Să se determine rezistenţa ce trebuie montată în serie la conectarea unei baterii monofazate de condensatoare, astfel încât curentul în momentul iniţial al conectării ( ) să nu fie mai mare de

0=tI)

8.1 , în trei ipoteze : a) conecarea are loc la 2/π=Ψ ; b) conectarea are loc la 0=Ψ ; c) conectarea are loc la ϕ=Ψ

Se cunoaşte puterea bateriei , iar tensiunea nominală V . Bateria de condensatoare are tensiunea iniţială nulă (

kVar 15=Q 380=nU00 =u ).

Rezolvare

a) Expresia generală a curentului, considerând tensiunea iniţială nulă este :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛αϕ+α+ω= τ

t-e)cos(tan)sin()( tIti

)

Dacă , curentul în momentul iniţial (2/π=Ψ )0=t este :

IIi))

8.1)2

cos(tan)2

sin()0( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−

πϕ+ϕ−

π=

)sin(ˆ)( Ψ−ω= tUtu

13

cap 1 procese de comutatie

Documents