cap-07 (forme biliniare si forme ice

8/8/2019 Cap-07 (Forme Biliniare Si Forme ice

1/10

Capitolul 7

FORME BILINIARE SI FORME PATRATICE

1. Forme biliniare

FieV un spaiu vectorial peste cmpul K .

1.1 Definiie Se numeteform biliniar pe spaiul vectorial V oaplicaie g :V V K , care satisface condiiile:1) g(x + y,z) = g(x,z) + g(y,z)2) g(x,y + z) = g(x,y) + g(x,z)

V z y x ,, i K , .

Cu alte cuvinte, o form biliniar este o aplicaie g : V V K,liniar n ambele argumente.

Exemplu 1. Produsul scalar canonic pe spaiu vectorial Rn< , > : R n Rn R n, avnd n baza canonicB = { e1 ,e2 ,,en} , expresiaanalitic< x,y > = x1 y1 + x2 y2 + xn yn, este o form biliniar.

Mulimea formelor biliniare definite pe spatiul vectorialV formeazun spaiu vectorial peste K, n raport cu operatiile de adunare i nmulire afunciilor .

1.2 Definiie Oform bilibiar g:V V K se numetea) simetric dac g(x,y) = g(y,x), x ,yV b) antisimetric dac g(x,y) = - g(y,x). x ,yV.

FieV n un spaiu vectorial n-dimensional ,B ={e1 ,e2 ,,en}o baz

n spaiul vectorialV n i doi vectori oarecare x =i

n

ii e x

=1 i y j =

=

n

j j j e y

1.

Expresia formei biliniare g , pentru vectorii x i y,va fi dat de

139


2/10

g(x,y)=g (i

n

ii e x

=1 ,=n

j j j e y

1 ) =( ) ji j

n

i

n

ji ee g y x ,

= =1 1 .

(1.1)Din expresia (1.1) rezult c o form biliniar g este perfec

determinat dac se cunosc valorile acesteia pe vectorii bazeiB . Notnd cuaij= g(ei ,e j ), i,j = 1,2,,n ,(1.1) se scrie sub forma

g(x,y) = jin

jiij y xa

= 1,,

(1.2)numitexpresia analitic a formei biliniare g ,iar matricea A = (aij) senumetematricea formei biliniare g , n raport cu bazaB .Dac notm cu X = ( )nt x x x ,...,, 21 i cuY = ( )nt y y y ,...,, 21atunciexpresia (1.2) se scrie matriceal sub forma

g(x,y) =t XAY (1.2)

Corespondena prin care fiecrei forme biliniare g i se asociaz

matrice ptratic A, este un izomorfism de spaii vectoriale.In plus ,uneiforme biliniare simetrice (antisimetrice),ntro baz dat n spaiul vectoV n , i se asociaz o matrice simetric (antisimetric).

1.3 Teorem Dac Mn ( K ) este matricea de trecere de la bazaBla bazaB' , in spaiul vectorial V n , iar A i A' sunt matricele associate formei biliniare g n raport cu celedou baze ,atunci

A' =t

A (1.3)Demonstraie. Expresia formei biliniare g n bazaB' este dat de g(x,y) =t X A Y . Folosind relaiile transformrilor de coordonate :X= t X, Y= t Y , n trecerea de la bazaB la bazaB' , obtinem

g(x,y) =t XAY =t (X)A(Y) =t X( t A)Y , de unde ,prin identificare, se obine relaia (1.3) .

Din (1.3) rezult c rangA' = rangA ,ntruct matricea estenedegenerat .

Rangul matricei A defineterangul formei biliniare g . Acesta este uninvariant la schimbarea de baz . In aceste conditii, se justific notiunea

140


3/10

form biliniar nedegenerat (degenerat),ca fiind acea form biliniar g :V V K a crei matrice A, n raport cu o bazB a spaiului vectorialV, este nedegenerat (degenerat) .

1.4 Definiie . Fie g : V V K o form bilinniar simetric .Mulimea

Ker g = { xV | g(x,y) = 0 , yV } (1.4)se numetenucleul formei biliniare g .

1.5 Propoziie. Submulimea Ker g este un subspaiu vectorial al luiV .

Demonstraie. Pentru x,y Ker g avem g(x,z) = 0, g(y,z) = 0 , zV i pentru , K obinem g(x + y,z) = g(x,z) + g(y,z) =0 , z V , de unde rezult cx + y Ker g ,adic submulimea Ker g este subspaiu vectorial.

1.6 Teorema. Dac g :V V K este o form biliniar simetric ,atunci

rang g + dim Ker g = n (1.5)

Demonstraie . Fie B = {e1 ,e2 ,,en} o baz a spaiului vectorialV n i A= (aij) matricea formei biliniare n raport cu aceast baz.

Dac x ==

n

i

x1

i ei , y ==

n

j

y1

je j sunt doi vectori oarecare dinV n ,

atunci

g(x,y) == =n

i

n

ja

1 1ij xi y j = = =

n

j

n

i

iij xa1 1

y j .

Relaia x Ker g are loc dac i numai dac x V n este soluie asistemului de ecuaii liniare i omogene :

=

n

i 1

aij xi = 0 , j = 1,2,,n , (1.6)

adic, nucleul Ker g coincide cu mulimea soluiilor sistemului (1.6) care141


4/10

este un subspau vectorial de dimensiune egal cu numrul necunoscutesecundare ale sistemului. Cumrang g = rang A,obinem (1.5).

1.6 Consecin Forma biliniar simetric g este nedegenerat dac inumai dac Ker g ={0} .

2. Forme ptratice

2.1 Definiie Se numete form ptratic pe K - spaiul vectorial V

o aplicaie h:V K cu proprietatea c exist o form biliniar simetric g :V V K aa nct

h(x) = g(x,x) , x V . (2,1)

Forma biliniar simetric g ce definete n mod unic forma ptratic

h se numete forma polar sau forma dedublat asociat luih .Dac se cunoate forma ptratich atunci forma polar asociat estedat de expresia

g(x,y) =21 [ h(x + y) h(x) h(y)] (2.2)

Exemplu . Produsul scalar canonic definit pe spaiul aritmetic Rndefinete n mod unic forma ptratic

h(x) =< x,x >=x2 , x Rn ,

care reprezint ptratul normei euclidiene .S considerm acum un spaiu vectorial finit dimensionalV n ,

B ={e1 ,e2 ,,en} o baz a sa i x ==

n

i

x1

i ei un vector oarecare dinV n .

Expresia analitic a formei ptraticeh este dat deh(x) = g(x,x) =

= =

n

i

n

j

a1 1

ij xi x j = t XAX, (2.3)

unde A = (aij) , i,j = 1,2, ,n este matricea asociat formei biliniaresimetrice g .

142


5/10

Matricea i rangul formei biliniare simetrice g definescmatricea,respectivrangul formei ptraticeh .

2.2 Definiie Vectorii x,y V se numescortogonali n raport cu

forma biliniar simetric g (sau cu forma ptratic h )dac g(x,y) = 0 .

Dac U V n este un subspaiu vectorial nV n , atunci mulimeaU = { y V n g(x,y) = 0 , x U } este un subspaiu vectorial nV,numitcomplementul ortogonal al lui U . In plus , dac g este nedegenerat pesubspaiulU al spaiului finit dimensionalV n atunci ,U U = V n .

O mulimeU V se zice ortogonal n raport cu forma biliniarsimetric g dac orice doi vectori ai si sunt ortogonali, adic g(x,y)

x,y U , x y .Dac submulimeaB ={e1 ,e2 ,,en}V n este o baz ortogonal a

spaiului vectorialV n , n raport cu g , atunci matricea formei biliniare geste o matrice diagonal .In adevr,aij = g(ei ,e j ) = 0 , i j .

In acest caz, expresia analitic a formei biliniare simetrice g este g(x,y) =

=

n

i 1

aii xi yi (1.10)

iar expresia analitic a formei ptraticeh este dat deh(x) =

=

n

i 1

aii xi2 (1.11)

Expresiile (1.10) i (1.110 sunt numite forme canonice.

3. Reducere expresiei unei forme ptratice

la forma canonic

Fie V n un K -spaiu vectorial ,h : V n K o form ptratic peV ni A matricea simetric ce reprezint forma ptratich n raport cu bazaB V n . Expresia analitic a formei ptraticeh n aceast baz este :

h(x)= ji

n

ji

ij x xa= 1, sau matriceal h(x) =

t

XAX (3.1)

143


6/10

La o schimbare de baz n spaiul vectorialV n ,forma ptratich este caracterizat de matricea A' = t A , unde este matricea detrecere de la bazaB la bazaB ' . Se pune n mod natural problema gsiriiunei baze n raport cu care forma ptratich are expresia cea mai simpl.Dac corpul K este de caracteristic diferit de doi atunci matricea simetricA admite form diagonal,adich admite form canonic.

3.1 Teorem(Gauss)

Expresia oricrei forme ptratice pe un spaiu vectorial V n poate fi redus ,printr-o schimbare de baz ,la formacanonic .

Demonstraie . Fie h(x) = = =

n

i

n

j

a

1 1

ij xi x j , expresia analitic a formei

ptratice nenuleh . Pentru nceput considerm cazulaii = 0 , i = n,1 .Cum h nu este identic nul, exist mcar un elementaij 0 , i j.Efectund transformarea de coordonate :

==

=

+

jik k k

ji j

jii

x x

x x x

x x x

,,

'

'

''

'

(3.1)

Expresia formei ptratice devineh(x) =

=

n

ji 1,a ij x i x j

n care cel puin unul din elementelea ii este nenul.Deci orice form ptratic printr-o transformare de coordonate, adic o schimbare de bazspaiul vectorialV n ,dac este cazul , poate fi exprimat analitic printr-oexpresie , n care cel puin un element de pe diagonala principal a matr A,s fie nenul .

In cele ce urmeaz vom demonstra prin inducie dup n c o form ptratic , cu cel puin un element nenul de pe diagonala principal, poaredus la form canonic, prin schimbri succesive de baz n spavectorialV n .

Fr a restrnge generalitatea,presupunem ca 11 0 , caz n careexpresia analitic a luih o scriem sub forma

h(x) =a 11 x 12 + 2=

n

k 2

a 1k x 1 x k + =

n

ji 2,a ij x i x j

Adugm n expresia analitic precedent termenii necesari pentru form ptratului expresieia 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n i obinem

144


7/10

h(x) =11'

1

a( a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n )2 +

jiij x xa

n

ij

''"2= . (3.2)

Efectund schimbarea de coordonate x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n x j = x j , j= n,2 ,

echivalent cu o schimbare de baz n spaiul vectorialV n ,expresia formei p tratice n aceast baz se scrie sub forma

h(x ) =11'

1

a x 12 +

=

n

ji 2,a ij xi x j

(3.3)

Expresia h (x) = =

n

ji 2,a ij xi x j din (3.3) este o form

ptratic n n 1 variabile. Repetnd procedeul de mai sus ,dup cel mn-1 pai vom obine o bazB* ,n raport cu care forma ptratich se scrieca o sum de r = rangh n ptrate . Aceast expresie reprezint formacanonic a formei ptraticeh . c.c.t.d.

3.2 Teorem(Jacobi)

Fie h este o form ptratic peV n i A=( aij)matricea asociat ntr-o baz B V n .

Dac toi determinanii principali

1 = a11 , 2 =2221

1211

aa

aa ,, n=det.A

sunt nenuli, atunci exist o baz B n V n n raport cucare forma ptratic h admite expresia canonic

h( x) = )(11

i

n

i n

n

x=

2 ,(3.4)n care 0=1 iar i x , i= n,1 , sunt coordonatelevectorului x n bazaB .

3.3 Teorem(metodavalorilorproprii )

Fie V n un spaiu vectorial euclidian i h :V n Rn o form ptratic. In spaiul vectorial V n exist o baz ortonormat B = {e 1 , e 2 ,, e n}n raport cu care hare expresia canonic

145


8/10

h(x) ==

n

i 1

i ( x i)2 , (3.5)

unde 1 , 2 ,, n , sunt valorile proprii ale

matricei formei ptratice h ntr-o baz dat , iar x

i sunt coordonatele vectorului x n bazaB .

Demonstraie. Intr-o baz datB , forma ptrarich este caracterizat de omatrice real i simetric A. Dac notm cu 1 , 2 ,, n cele n valori proprii reale (unele pot fi egale) ale matricei A, atunci coordonatelevectorilor proprii ortonormai, aezate pe coloane , reprezint matricdiagonalizatoare H pentru matricea A .In baza format din vectorii proprii,forma ptratich admite forma canonic dat de (3.5), c.c.t.d.

Fie o form ptratich : V n Rn i forma ei canonic

h( x) = a1 X 12 + a2 X 22 + . . . +ar X r 2 , r = rang h, (3.6)

obinut prin una din metodele prezentate mai sus.

Dac notm cu p

, numrul coeficienilor strict pozitivi din expresiacanonic (3.6), numitindice pozitiv de inerie al lui h,cu q = r - p numrul

coeficienilor strict negativi din (3.6), numitindice negativ de inerie ,atunci numrul ntreg s = p q va fi numit signatura formei ptraticeh .

3.3 Teorem(Sylvester)

(legea de inerie )Signatura unei forme ptratice h esteaceeai n orice expresie canonic a sa (signatura nudepinde de metoda prin care se obine expresiacanonic).

3.4 Definiii O form ptratic h se numete :a) pozitiv definit dac h(x)> 0 , xV b)negativ definit dac h(x)< 0 , xV c) semidefinit pozitiv dac h(x) 0, xV negativ dac h(x) 0, xV

i y V aa nct h(y) = 0d)nedefinit dac x, yV aa nct h(x ) > 0 ih(y)< 0 .

146


9/10

Observaie: Din definiia precedent, obinem c o form ptratic este pozit

(negativ) definit dac i numai dac p = n ( q = n ) .

3.3 Teorem(Criteriul

lui Sylvester )

Dac sunt ndeplinite condiiile teoremei lui Jacobi,atunci o form ptratic h este: pozitiv definit i > 0 , i = n,1 negativ definit (-1)k k > 0 , k = n,1 .

Probleme

1.S se studieze care din urmtoarele aplicaii sunt forme biliniarea) f : R 2 R 2 R , f (x,y ) = 2x1y1 3x2y2 b) f : R 3 R 3 R , f (x,y ) = x1y3 +x2y2 3x3y1

c) f : R3

R3

R , f (x,y ) =x12

y2 + x3y12.Fie forma biliniar g : R 3 R 3 R definit prin

g (x,y) = x1y2 +x1y3 2x2y2 + 2x3y1S se determine :

a) Maricea lui g n baza canonic din R 3 b) Matricea lui g n baza {e1=(1,1,0),e2=(1,0,1),e3 =(0,1,1)} .c) Rangul lui g .

3. Fie aplicaia g: R 3 R 3 R , g(x,y) = 2x1y2 + 2x2y1 3x3y3 .a) S se arate c g este o form biliniar simetric b) S se gseasc forma ptratic asociat lui gc) S se determine matricea lui g n bazaB = {e1 ,e2 ,e3} cu

e1=(1,1,0),e2=(1,0,1),e3 =(0,1,1) .

4. S se determine forma biliniar simetric ataat formei ptraticeh : R 3 R , h(x) = x12 2x22 + 4x1x3 6x2x3 i s se gseasc expresiaanalitic a acesteia n bazaB = {(1,-1,0) , (1,0,0) , (1,0,1)}.

147


10/10

5. S se determine complementul ortogonal al subspaiului generde vectorii e1 =(2,-1,0) , e2 = (0,2,-1) n raport cu forma ptratich : R 3 R, h(x) = x12 + x22 2x1x3 .

6. Folosind metoda lui Gauss, s se reduc la forma canonic i s determine baza corespunztoare formei canonice pentru formele ptraticea) h : R 3 R , h(x) = 2x12 + x22 - 4x1x2 2x1x3b) h : R 3 R , h(x) = x1x2 x1x3 + 2x2x3

S se precizeze signatura acestor forme ptratice .

7. Utiliznd metoda lui Jacobi s se determine forma canonicsignatura i baza n care avem forma canonic pentru

a)h : R 3 R , h

(x) = x12

+3 x22

+x32

+ 4x1x2+ 6x1x3 + 8x2x3 b)h : R 3 R , h(x) = x12 + x22 + x32 x42 + 4x2x3+ 2x2x4 + 6x3x4 .8. S se determine baza ortonrmat n raport cu care urmtoarel

forme ptratice admit forma canonic :a) h : R 2 R , h(x) = 5x12 +5x22 + 4x1x2 b)h : R 3 R , h(x) = 2x1x2 +2x1x3 + 2x2x3c)h : R 4 R , h(x) = x12 + x22 + x32 + x42 + 2x1x2 + 2x1x4

- 2x2x3 2x2x4 2x3x4S se determine signatura acestor forme ptratice.

9. S se verifice teorema de inerie pentru forma ptratich : R 3 R , h(x) = -x12 +2x1x2 + 2x22 + 6x2x3 .

10. S se determine valorile parametrului real pentru careurmtoarele forme ptratice sunt pozitiv ,respectiv negativ definite

a)h : R 2 R , h(x) = x12 +( + 3)x22 2( + 1)x1x2 b) h : R 3 R , h(x) = x12 + x22 + x32 2x1x2 4x1x3.

148

cap-07 (forme biliniare si forme ice

Documents