Con

curs

ul In

tern

aţio

nal d

e M

atem

atic

ă A

plic

ată

Can

guru

l – C

LASE

LE IX

-X

54

Clasele IX-X Cangurul – concursul la care voi lucra singur!

Testul conþine 30 de probleme dintre care 5 probleme de informaticã (marcate cu roºu). Problemele de la 1 la 10 valoreazã câte 3 puncte, cele de la 11 la 20 câte 4 puncte, iar cele de la 21 la

30 câte 5 puncte. Se acordã 30 de puncte din oficiu. Se puncteazã, în ordine descrescãtoare, maximum 5 probleme de 5 puncte ºi maximum 20 de proble-

me în total. Se vor lua în calcul numai problemele la care se indicã un rãspuns valabil (nu ºi cele la care nu ai bifat niciun rãspuns, sau cele la care ai bifat 2, 3 sau 5 rãspunsuri).

Dacã ai bifat alt rãspuns decât cel dorit, poþi bifa cerculeþele corespunzãtoare tuturor rãspunsurilor în afarã de cerculeþul corespunzãtor rãspunsului ales.

Foaia de rãspuns conþine o coloanã numitã „Sigur”. Dacã ai bifat cerculeþul „Sigur” din dreptul unei întrebãri ºi rãspunsul este corect, vei obþine 1 punct în plus faþã de punctajul problemei. Dacã însã ai bifat cerculeþul „Sigur” ºi rãspunsul este greºit, pierzi încã 2 puncte.

Pentru ca sã primeºti în mod personal, pe Internet, analiza în detaliu a lucrãrii tale, te rugãm sã com-pletezi parola pe foaia de rãspuns. Dupã afiºarea rezultatelor, vei putea intra pe site-ul www.cangurul.ro ºi, cu ajutorul parolei, vei putea sã vezi foaia de rãspuns ºi sã accesezi aceastã analizã.

Problemele notate cu sunt de educaţie financiară.

1. Ultima cifră a lui 1! + 21 + ... + 100! este:A) 0 B) 3 C) 5 D) 2 E) 1

2. Restul împărţirii 999 : n, unde n este un număr natural de două cifre, este 3. Restul împărţirii 2001 : n este ...A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

4. Ann, Beth și Cindy au cumpărat împreună 30 de mărţişoare, toate având acelaşi preţ. Iniţial fiecare fată a primit câte 10 mărţişoare. Ele au plătit însă sume diferite (Ann ─ 80 de cenți, Beth ─ 50 de cenți, Cindy ─ 20 de cenți), ca urmare au hotărât să redistribuie mărţişoarele proporţional cu sumele plătite. Câte mărţişoare mai trebuie să primească Ann?A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

6. Piratul Jack a îngropat cândva o comoară. El își mai amintește doar că acest loc se afla la cel puţin 5 m de gard şi la cel mult 5 m de trunchiul unui arţar bătrân. În care dintre următoarele scheme partea haşurată reprezintă corect zona în care se poate afla comoara?

A) B) C) D) E)

3. Latura pătratului din figura alăturată are lungimea a. Zona colorată este mărginită de un semicerc şi de două sferturi de cerc. Cât este aria părţii colorate? A) B) C) D) E)

5. Se defineşte un număr frumos ca fiind acela a cărui descompunere în factori primi este de forma 2n3m5p, unde n + m > 0, iar p U 0 . Astfel, primele 7 numere naturale frumoase sunt: 2, 3, 4, 6, 8, 9 şi 10. Care este al 15-lea număr natural frumos?A) 27 B) 30 C) 32 D) 24 E) 25

Con

curs

ul In

tern

aţio

nal d

e M

atem

atic

ă A

plic

ată

Can

guru

l – C

LASE

LE IX

-X

54

8. Pentru ce valori reale ale lui x, numărul x x

x−

este un întreg pozitiv?

A) numai pentru x < 0 B) numai pentru x > 0 C) numai pentru x întreg şi parD) pentru orice număr real E) pentru niciun număr real

15. Câte numere cuprinse între 1 şi 102015 au suma cifrelor egală cu 2?A) 2031120 B) 2029105 C) 2003001 D) 2005002 E) 2015

10. Numărul unghiurilor drepte dintr-un pentagon convex este n. Câte valori posibile poate avea n?A) 1, 2, 3 B) 0, 1, 2, 3, 4 C) 0, 1, 2, 3 D) 0, 1, 2 E) 1, 2

14. Fie triunghiul ABC și punctele X şi Y situate pe latura AB. Prin cele două puncte sunt trasate, pe rând, drepte paralele cu AC (vezi figurile alăturate). Ariile zonelor gri astfel obținute sunt egale. Știind că BX : XA = 4 : 1, cât este raportul BY : YA?A) 1 : 1 B) 2 : 1 C) 3 : 1 D) 3 : 2 E) 4 : 3 A A

B B

C C

XY

7. O bancă acordă unei persoane un credit de 200 000 lei pentru 1 an de zile, cu o dobândă de 5% pe an. Care este valoarea dobânzii încasate de bancă?A) 210000 lei B) 200000 lei C) 120000 lei D) 10000 lei E) 1000 lei

11. La începutul lunii octombrie, Andrei avea: 240 lei cash, în contul curent 890 lei, iar în contul de eco-nomii 2250 lei. Pe data de 22 octombrie, plăteşte din contul său curent factura aferentă telefonului mobil în valoare de 132 lei. Pe data de 5 octombrie Andrei merge la cumpărături şi achită cu bani cash suma de 113 lei. Andrei vrea să economisească regulat suma de 50 lei făcând transfer lunar din contul curent în contul de economii. Pe 12 ale lunii bonul fiscal de la alimentară este de 96 lei şi Andrei îl achită cu bani cash. Situaţia financiară a lui Andrei la jumătatea lunii octombrie este:A) 3171 lei B) 3135 lei C) 3380 lei D) 3039 lei E) 3049 lei

13. Cheltuielile efectuate de o familie din România se distribuie astfel: 73% cheltuieli de consum, 16% impozite, contribuţii şi taxe, 3% alte cheltuieli. Restul reprezintă economiile efectuate de membrii familiei. Dacă venitul unei familii este de 2150 lei pe lună, atunci suma economisită de-a lungul unui an este de:A) 172 lei B) 2064 lei C) 25800 lei D) 23736 lei E) 774 lei

16. Este joi, 20 noiembrie. Contul tău bancar la începutul lunii indica suma de 2050 lei. Ieri ai cumpărat o pereche de pantofi pe care ai plătit 150 de lei. Acum o săptămână ai primit din partea bunicilor suma de 550 de lei, pe care ai depus-o în contul tău bancar. Bonul fiscal de astăzi de la magazin arată un total de 34 lei. Duminica trecută ai cumpărat fructe în valoare de 37 lei. Factura de telefon mobil, luna aceasta, este de 24 lei şi o plăteşti mâine. Acum trei zile ţi-ai cumpărat un tricou în valoare de 55 de lei. La sfârşitul lunii primeşti alocaţia în valoare de 42 de lei. La sfârşitul zilei de 20 noiembrie, suma din contul tău este de:A) 2300 lei B) 2366 lei C) 2324 lei D) 2342 lei E) 2300 lei

9. Se consideră secvența următoare scrisă în pseudocod. Câte dintre numerele afișate sunt divizibile cu 3 și au prima și ultima cifră identice?A) 3 B) 51 C) 25 D) 19 E) 6

x © 234Cât timp x < 999 execută Scrie x x © x+5Sf. cât timp

12. Se consideră următorul algoritm pseudocod, în care s-a notat cu x%y restul împărțirii numărului în-treg x la numărul întreg nenul y. Câte valori distincte din intervalul [30, 51] pot fi alese pentru x astfel încât de fiecare dată să se afișeze valoarea 1? Citește x

Scrie x%6%2

A) 12 B) 11 C) 10 D) 4 E) 0

Con

curs

ul In

tern

aţio

nal d

e M

atem

atic

ă A

plic

ată

Can

guru

l – C

LASE

LE IX

-X

76

19. Câte numere naturale de trei cifre au proprietatea că diferenţa pozitivă dintre oricare două cifre ve-cine este egală cu 3?A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 27

24. Petra are pe etajeră 5 cărți diferite: trei dicţionare şi două romane. În câte moduri diferite poate aşeza cărţile doar vertical, astfel încât dicţionarele să stea împreună şi romanele de asemenea să stea împreună?A) 12 B) 24 C) 30 D) 60 E) 120

23. Cele trei cercuri din figură formează 7 regiuni care nu se suprapun. Două regiuni sunt considerate vecine dacă au mai mult de un punct comun. În fiecare regiune se scrie câte un număr întreg astfel încât acesta să fie egal cu suma numerelor din toate regiunile vecine. Două numere sunt deja scrise. Ce număr trebuie scris în regiunea din centru?A) 0 B) –3 C) 3 D) – 6 E) 6

1 2?

26. Considerăm primele 6 puteri ale lui 2. Câte numere de două cifre diferite pot fi obţinute ca o putere sau ca o sumă de puteri diferite ale numărului 2, dintre cele date?A) 8 B) 64 C) 49 D) 54 E) 81

18. Un elev doreşte ca secvenţa următoare să afişeze cuvântul CANGUR de 45 de ori. Cu ce valori trebuie să înlocuiască a şi b?A) a = 8 b = 10 B) a = 10 b = 8 C) a = 9 b = 9D) a = 9 b = 10 E) a = 10 b = 9

pentru i © 1,a execută pentru j © i+1,b execută scrie ‘CANGUR’

25. Se consideră următorul algoritm pseu-docod, unde x, y, z sunt variabile care memo-rează numere întregi. Care dintre cele trei vari-abile nu își modifică valoarea după executarea algoritmului indiferent de valorile iniţiale?A) doar x B) doar y C) doar z D) toate cele trei variabile E) nici una dintre cele trei variabile

Citește x, y, zx © x+yy © y-xz © z+yx © x+zy © y+xz © z-yx © x-yScrie x, y, z

20. Ionel a împlinit luna aceasta 16 ani. El a primit de la părinţii lui suma de 1000 lei, cu condiţia de a-şi deschide un cont de economii. Băiatul alege să-şi deschidă un cont de economii cu dobânda la vedere deoarece la acest tip de depozit dobânzile nu se impozitează. Anul următor, de ziua lui, primeşte aceeaşi sumă, pe care o depune în contul deja deschis. Ştiind că dobânda este de 2% pe an, la împlinirea vârstei de 18 ani Ionel va avea în cont suma de:A) 2060,40 lei B) 1060,40 lei C) 2020 lei D) 1020 lei E) 2000 lei

22. Aria pătratului ABCD este egală cu 80 cm2. Pe laturile pătratului se iau punctele E, F, G şi H, astfel încât AE = BF = CG = DH şi AE = 3EB. Cât este aria totală a zonelor gri?A) 20 cm2 B) 25 cm2 C) 30 cm2 D) 35 cm2 E) 40 cm2

A B

D C

E

F

G

H

17. Un vas de forma unei prisme patrulatere are baza sub formă de pătrat cu latura de 10 cm. Vasul este umplut cu apă până la înălţimea de h cm. Un cub metalic cu latura de 2 cm este introdus în vas. Care este valoarea minimă a lui h pentru ca acest cub să fie scufundat complet în apă? A) 1,92 cm B) 1,93 cm C) 1,90 cm D) 1,91 cm E) 1,94 cm

21. a, b, c sunt 3 numere diferite din mulţimea {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}. Câte sume diferite a + b + c există ?A) 13 B) 22 C) 21 D) 120 E) 30

Con

curs

ul In

tern

aţio

nal d

e M

atem

atic

ă A

plic

ată

Can

guru

l – C

LASE

LE IX

-X

76

27. Într-un triunghi dreptunghic bisectoarea unui unghi ascuţit împarte latura opusă în segmente de lun-gimi 1 cm şi respectiv 2 cm. Care este lungimea acestei bisectoare?A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm

29. În câte moduri pot fi alese cifrele distincte nenule a, b şi c, astfel încât numerele de două cifre formate din acestea să verifice relaţiile ab bc ca< < ?A) 84 B) 96 C) 125 D) 201 E) 502

30. O furnică pleacă din vârful unui cub de latură 1, deplasându-se doar de-a lungul muchiilor. După ce parcurge toate muchiile, ea se întoarce în punctul de pornire. Care este lungimea celui mai scurt drum?A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 20

Urmãtoarele trei întrebãri nu se puncteazã. Alege variantele pe care le doreºti (poþi alege una sau mai multe variante).

I. Cum vi s-au pãrut întrebãrile?A) Foarte grele. B) Uºoare, dar prea multe. C) Interesante. D) Nu au fost grele.E) Nu am putut sã rãspund la toate întrebãrile. II. Ce anume aþi schimba la Concursul Internaþional

de Matematicã Aplicatã Cangurul?A) Numãrul de întrebãri. B) Tipul de itemi. C) Numãrul de variante de rãspuns.D) Data desfãºurãrii concursului. E) Nimic.

III. Ce pãrere aveþi despre Concursul Internaþio-nal de Matematicã Aplicatã Cangurul?

A) Este util, deoarece aflu lucruri noi ºi intere-sante.

B) Este greu, deoarece timpul este scurt.C) Particip cu plãcere în fiecare an, deoarece este

diferit de ceea ce studiem la ºcoalã.D) Îmi place sã particip, deoarece conþine apli-

caþii ale matematicii în diverse domenii. E) Nu îmi place, deoarece întrebãrile depãºesc

nivelul de cunoºtinþe.

28. Melania hotărăşte să-şi deschidă un cont de economii în care să depună lunar suma de 50 de lei. Ea optează pentru un depozit cu dobândă la termen pe lună, dobânda fixă fiind de 4,8% pe an. Cât va economisi Melania în 3 luni?A) 157,20 lei B) 150,60 lei C) 157,32 lei D) 180 lei E) 151,20 lei