Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”Iaşi Structuri static nedeterminate Catedra de Mecanica construcţiilor Titular curs: ş.l. dr. ing. Cezar Aanicăi

- 1 -

CALCULUL GRINZILOR CONTINUE (metoda deplasărilor - forma iterativă de distribuire şi transmitere a momentelor)

Să se rezolve grinda continuă din figura de mai jos, prin metoda deplasărilor forma iterativă, procedeul distribuirii şi transmiterii momentelor (metoda Cross) Date numerice: 3,4 , 2700 / , 5000 l m p daN m F daN= = =

2I0 3I0 4I0 I0

2l 3l 3l l

Fp

Grinda continuă este o structură cu noduri fixe, considerându-se noduri rigide secţiunile de rezemare intermediare.

1. Stabilirea sistemului de bază se obţine prin introducere de blocaje perfecte de nod:

2l 3l 3l

Mp

1 2 3 4

m34

F

2. Determinarea rigidităţilor la rotire ale capetelor de bară ce concură în noduri - kik

şi a rigidităţilor absolute la rotire ale nodurilor - ki: 0

21 03 2 0.882

2E Ik EI

l⋅

= =

023 32 0

4 3 1.1763

E Ik k EIl⋅

= = = 0 02 21 23 0

3 12 2.0593.4 10.2EI EIk k k EI= + = + =

034 0

3 4 1.1763

E Ik EIl⋅

= = 0 03 32 34 0

12 12 2.35310.2 10.2

EI EIk k k EI= + = + =

3. Calculul coeficienţilor de distribuţie dik (rik): Coeficientii de distributie au semnificatia unor rigidităţi relative şi reprezintă procentul din

momentul total de dezechilibru pe nod preluat de capatul de bară respectiv.

Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”Iaşi Structuri static nedeterminate Catedra de Mecanica construcţiilor Titular curs: ş.l. dr. ing. Cezar Aanicăi

- 2 -

nodul 2:

2121 21

2

2323 23

2

0, 429

0,571

kr dkkr dk

⎧ = = =⎪⎪⎨⎪ = = =⎪⎩

verificare: 0.429 0.571 1ijj

d = + =∑

nodul 3:

3232

3

3434

3

0,500

0,500

krkkrk

⎧ = =⎪⎪⎨⎪ = =⎪⎩

verificare: 0.5 0.5 1ijj

d = + =∑

4. Determinarea momentelor de încastrare perfectă din acţiuni exterioare (se lucrează cu momentele spre bară) se face prin suprapunere de efecte. Se înlocuieşte consola cu un cuplu de forte echivalente (forţă şi moment concentrat). Momentul determinat de forţa concentrată aplicată pe consolă se transmite la jumătate din valoare către extremitatea din stânga a barei 2-3 (considerată încastrată în noldul 3 şi pentru că are moment de inerţie constant pe întreaga lungime coeficientul de transmitere este t23 =0.50).

2 2

34(3 ) 2700 (3 3.4) 1 5000 3.4 26614 8 2 8 2

p l M daNm⋅ ⋅ ⋅= − + = − + ⋅ = −M

5. Echilibrarea iterativă se face în modul următor: se determină prin sumare algebrică valoarea maximă a momentelor totale de dezechilibru din noduri, se înmulţeşte cu fiecare din coeficienţii de distribuţie corespunzători nodului respectiv şi se trec pe capetele de bară aferente cu semn schimbat. Valorile astfel distribuite se transmit cu acelaşi semn barelor dublu încastrate reduse cu valoarea coeficientului de transmitere respectiv (în cazul barelor cu moment de inerţie constant coeficientul de transmitere tij=0.50).

1 2 3 4

0.429 0.571 0.500 0.500-2661413307133076654

-3799-2855 -1900950 950475

-271-204 -1356834 68

-19-15 -105 5

-3074 3074 12295 -12284

12290 -12290

t =0.523t =012 t =034

Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”Iaşi Structuri static nedeterminate Catedra de Mecanica construcţiilor Titular curs: ş.l. dr. ing. Cezar Aanicăi

- 3 -

6. Diagramele de eforturi finale (forţă tăietoare şi momente încovoietoare) se trasează prin suprapunere de efecte, considerând structura ca fiind alcătuită dintr-un ansamblu de grinzi simplu rezemate şi încărcate cu valorile momentelor astfel echilibrate şi cu acţiunile exterioare corespunzătoare, în final aceste diagrame cumulându-se în diagrame unice, pentru întreaga grindă continuă iniţială.

6.8 m 10.2 m 10.2 m

2700 daN/m

1 2 3 4

5000 daN

12290 daNm3074 daNm

Q

M

3.4 m

452

1506

5000

14232

14814 19232

13308

1958452

1700012290

3074

x=5.4867 m

20087