bonus- matematica distractiva

BONUS – Matematică Distractivă 1

MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ

http://www.pentru-copii.com

"O camera fara carti este un trup fara suflet"

Pythagoras


CONTINUT 1. AJUTA-TI COPILUL SA INVETE MATEMATICA ....................................3 2. Matematica Distractiva – exercitii ..........................................................5

3. MATEMATICA PENTRU ACASA ..........................................................25 4. Pagini de istorie .....................................................................................36


AJUTA-TI COPILUL SA INVETE MATEMATICA Cum pot ajuta copilul meu sa invete mai usor matematica?

- Este bine cand copiii pun intrebari pentru ca intrebarile sunt cea mai buna modalitate de a invata.

- Copiii au doua resurse minunate care ii ajuta sa invete:

imaginatia si curiozitatea.

- Ca parinti, noi trebuie sa stimulam permanent curiozitatea si imaginatia copilului.

- Lucrand impreuna vei arata copilului, ca invatatul este amuzant

si il vei incuraja sa studieze singur.

- Folosim matematica la cumparaturi, tinand scorul unui eveniment sportiv, la impachetarea unui cadou, la programarea unui cuptor cu microunde... etc.

- Este foarte important sa ajungem la un rezultat corect, dar nu

rezultatul gresit poate fi de asemenea de folos, pentru ca ne arata ce anume nu a inteles copilul.

- De multe ori un rezultat gresit provine din faptul ca, copilul nu a

inteles intrebarea care i-a fost adresata.

- Dacă a greşit. întreaba-l pe copil cum a rezolvat problema. Raspunsul lui te poate ajuta sa descoperi unde a gresit. Poate ca vei afla ceva ce l-ar putea ajuta si pe profesor si il poti anunta cum iti poate ajuta copilul.

- Ajuta-l sa efectueze calculele mental, folosind numere mici la

inceput pana cand copilul isi dezvolta abilitatile de a efectua rapid calcule. Folositi intrebari de genul: „Daca am 4 pahare si am nevoie de 7, cate trebuie sa mai iau?”.


- Incurajeaza-ti copilul sa estimeze raspunsul

- De exemplu la o adunare de genul 18+29 putem obtine un raspuns apropiat daca aproximam pe 18 cu 20 si pe 29 cu 30. astfel vom avea un rezultat: aproximativ 50.

- Lasa-l pe copil sa foloseasca strategiile proprii. Nu toata lumea

foloseste aceleasi metode de rezolvare, de aceea nu trebuie sa-i impui copilului sa gandeasca cum gandesti tu. Cel mai important lucru este ca el sa ajunga la un rezultat corect.


Matematica Distractiva

Nespecialistii afirma ca matematica este o stiinta "uscata", iar matematicienii sunt, de regula, oameni ursuzi, seriosi si fara simtul umorului. Prin prezenta pagina va aducem o serie de contraexemple si va amintim ca fiecare gluma contine o doza de adevar. Distrati-va si zambiti cu pofta si gandind...

Probleme glume Problema 1 Vom considera, convenŃional,că dacă omul nu mănâncă 7 zile (o zi – 24 de ore) sau nu doarme 7 zile, atunci el va muri. Fie că un om o săptămână n-a mâncat şi n-a dormit. Ce el trebuie să facă în primul rând către sfârşitul a 7-ei zile: să mănânce sau să doarme, ca să rămână viu? (Deşi problema poartă un caracter glumeŃ, ea are o soluŃie strictă şi unică). SoluŃia Problemei 1 Omul nu poate simultan şi dormi şi mânca. De aceea termen de 7 zile după somn şi după mâncare vine în timp diferit. Deci, omul trebuie să facă fix aceea, ce el făcea o săptămână în urmă: a dormit sau a mâncat. Problema 2


Au fost adunate împreună 7 stoguleŃe de fân şi încă 11 stoguleŃe. Câte stoguleŃe de fân s-au obŃinut? SoluŃia Problemei 2 S-a obŃinut un stog mare. Problema 3 Fiecare din cele 5 bile trebuie de mişcat numai cu un pătrăŃel, ca în rezultat în fiecare rând, coloană şi pe diagonale să se afle numai o bilă.

SoluŃia Problemei 3

Problema 4 GândiŃi-vă la un număr şi îl scrieŃi. ÎnmulŃiŃi acest număr cu 2 şi adunaŃi 1. Apoi înmulŃiŃi cu 5 şi scădeti 5. Numărul obŃinut împărŃiŃi prin 10. Rezultatul scrieŃi-l lângă primul număr gândit. Ce aŃi obŃinut?


SoluŃia Problemei 4 Numărul gândit. Problema 5 ÎnscrieŃi în cerculeŃe pe desen numerele de la 1 până la 7 astfel, încât pe fiecare dreaptă suma numerelor să fie egală cu 15. (SoluŃie problemei nu-i unică.)


Problema 6 Pe o casă sunt patru coşuri de fum, pe casa vecină – trei, iar pe casa următoare – două. Ce obŃinem în rezultat? SoluŃia Problemei 6 În rezultat vom primi fum. Problema 7


Cum se zice corect: "9 şi 7 va fi 15" sau "9 plus 7 este egal cu 15" ? SoluŃia Problemei 7 9+7=16. Problema 8 DesenaŃi acest plic fără a ridica creionul de pe hârtie (fără întrerupere).


Problema 9 CompletaŃi pătrăŃelele pe desen cu numerele 2, 4, 8, 12, 16, 18 astfel, încât suma numerelor unite de drepte să fie egală cu 30 în toate direcŃiile. (SoluŃie problemei nu-i unică.)



Problema 10 GândiŃi-vă la un număr şi îl scrieŃi, înmulŃiŃi cu 5, adăugaŃi 2, înmulŃiŃi cu 4 şi adăugaŃi 3. Acum înmulŃiŃi rezultatul primit cu 5 şi adăugaŃi încă 7. ScrieŃi numărul primit. TăiaŃi ultimele două cifre. Ce număr aŃi obŃinut? SoluŃia Problemei 10 Numărul gândit. Problema 11 Un băiat a avut tot atâtea surori cât şi fraŃi. Dar fiecare soră a avut fraŃi de două ori mai mulŃi, decât surori. CâŃi copii în total au fost în familie? CâŃi din ei au fost băieŃi şi câte fete? SoluŃia Problemei 11 7 copii: 4 băieŃi şi 3 fete. Problema 12 Trebuie de aranjat numerele 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 în pătratul magic, ca suma numerelor pe fiecare verticală, orizontală şi diagonală să fie aceeaşi.



Problema 13 Cum din 45 (suma, care se compune prin adăugarea numerelor de la 1 la 9) de scăzut 45, ca în rezultat se obŃină ... 45? SoluŃia Problemei 13

Problema 14 Trenul electric merge de la est spre vest. Accelerând mersul, trenul face 60 km pe oră. În aceeaşi direcŃie, de la est spre vest, suflă vântul, dar cu viteza 50 km pe oră. În ce direcŃie va fi dus fumul trenului? SoluŃia Problemei 14 În nici o direcŃie. Trenul electric nu face fum.


Problema 15 Din 12 beŃişoare sunt compuse 5 pătrate. ÎnlăturaŃi 2 beŃişoare astfel, încât să rămână numai două pătrate de dimensiuni diferite.


Problema 16 Presupunem, că globul pământesc este cuprins pe ecuator de un cerc, care după lungime întrece ecuatorul cu 10 m. Admitem că tot cercul este egal îndepărtat de suprafaŃa pământului. Cât de mare va fi distanŃa între suprafaŃă şi cerc? S-ar putea, spre exemplu, să pătrundă o muscă sub cerc? SoluŃia Problemei 16 DistanŃa între suprafaŃa pământului şi cerc va fi aproximativ 1.6 m. Această distanŃă este suficientă, ca sub cerc să treacă chiar un om de statură mică. Problema 17


Un om spune prietenului: "Eu am prins mulŃi peşti mari, dar cei mici de două ori mai puŃin. În total am avut 16 peşti". Este oare just? SoluŃia Problemei 17 Cuvintele spuse nu sunt juste, deoarece 16 nu se împarte fără rest prin 3. Problema 18 CompuneŃi exemple cu răspuns 100. Se poate de folosit semnele matematice +, –, ×, / : a) de cinci ori cu cifra 1 ; b) de patru ori cu cifra 9 ; c) de cinci ori cu cifra 5 . Spre exemplu, "de cinci ori cu cifra 3" : 33×3+3/3 = 100. SoluŃia Problemei 18 a) 111–11 = 100; b) 99+9/9 = 100; c) 5×5×5–5×5 = 100. Problema 19 Într-o zi toridă de vară, când văzduhul zângăneşte de gâze, pe o pagişte mică şi verde cu aria 3.5 hectare pasc doi cai de aceleaşi culoare şi prăsilă, care diferă între ei numai prin faptul că coada unuia e legată. Pagiştea are formă de paralelogram şi un cal mănâncă iarbă, mişcându-se pe diagonala acestuia, iar celălalt – pe laturi. Care din aceşti cai va mânca mai multă iarbă într-o oră, dacă au


poftă de mâncare egală şi pătura vegetală a pagiştei este la fel pe toată suprafaŃa? SoluŃia Problemei 19 Mai multă iarbă va mânca acel cal, coada căruia e legată: el nu va fi sustras de la mâncare pentru ca să alunge musculiŃele. Problema 20 Opt numere 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 trebuie de aranjat în pătrăŃele astfel, încât fiecare din patru sume (în pătratul exterior, cel interior şi pe diagonale) să fie egală cu 20.


Problema 21 Un morar a venit la moară. În fiecare din cele patru colŃuri ale încăperii el a văzut trei saci de făină. Pe fiecare sac s-au aşezat trei mâŃe, iar fiecare mâŃă a avut pe lângă dânsa trei motănaşi. Se întreabă, câte picioare au fost la moară?


SoluŃia Problemei 21 Două picioare ale morarului, deoarece mâŃele şi motănaşii au labe. Problema 22 Cum se poate cu un sac de grâu, măcinându-l să umpli doi saci, care au aceeaşi mărime ca şi sacul în care se află grâul? SoluŃia Problemei 22 Trebuie unul din cei doi saci goi de-l pus înăuntrul celuilalt şi apoi de-l umplut cu grâu măcinat. Problema 23 MutaŃi unul din beŃişoare astfel, încât egalitatea să fie adevărată: a)

b)

SoluŃia Problemei 23 a)


b)

sau Problema 24 Doi pe drum s-au întâlnit şi trei cuie au găsit, Patru se vor întâlni – câte cuie vor găsi? SoluŃia Problemei 24 Cel mai probabil, că nimic nu vor găsi. Problema 25 Zburau nişte raŃe: una înainte şi două în urmă, una în urmă şi două înainte, una-i printre două şi trei în rând. Câte raŃe au zburat în total? SoluŃia Problemei 25 Au zburat trei raŃe, una după alta. Problema 26 Doi săpători dezgroapă 2 m de groapă în 2 ore. CâŃi săpători în 5 ore vor dezgropa 5 m de groapă?


SoluŃia Problemei 26 Doi săpători. Problema 27 Doi taŃi şi doi feciori au prins trei iepuri, dar fiecărui ia revenit câte un iepure. Se întreabă, cum aşa s-a întâmplat? SoluŃia Problemei 27 Au fost bunelul, feciorul lui şi nepotul. Problema 28 AranjaŃi numerele 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 în pătrăŃelele pătratului magic astfel, încât suma în fiecare rând şi coloană să fie egală cu 18.



Problema 29 De scris cu cifre numărul, compus din unsprezece mii, unsprezece sute şi unsprezece unităŃi. SoluŃia Problemei 29 MulŃi consideră că acest număr va fi 111111. În realitate numărul cerut va fi 12111 = 11000 + 1100 + 11. Problema 30 Ce este aceasta: două picioare s-au aşezat pe trei, dar când au venit patru şi au şterpelit un picior, atunci cele două au luat pe trei şi le-au aruncat în cele patru, pentru ca patru să lasă unu? SoluŃia Problemei 30 Un bucătar s-a aşezat pe un scaun , care avea 3 picioare, a venit un câine şi a furat un picior de găină. Bucătarul a aruncat scaunul în câine, ca el să lasă piciorul de găină. Problema 31 Ce este aceasta: două capuri, două mâini şi şase picioare, iar în mers numai patru? SoluŃia Problemei 31 Un călăreŃ pe un cal.


Problema 32 Cum de aflat numărul par gândit? PropuneŃi cuiva să se gândească la un număr par, apoi să înmulŃească acest număr cu 3, rezultatul să împartă prin 2 şi din nou să înmulŃească cu 3. După declararea rezultatului operaŃiilor aritmetice dumneavoastră puteŃi indica numărul gândit. Cum de făcut acest lucru? SoluŃia Problemei 32 Pentru aflarea numărului gândit trebuie să împărŃiŃi numărul declarat prin 9 şi apoi să înmulŃiŃi rezultatul cu 2.

Argumentare.

Fie că cineva s-a gândit la un număr par, pe care îl vom nota 2k. Atunci în rezultatul operaŃiilor aritmetice vom primi numărul

(((2k × 3) : 2) × 3) = 9k.

ÎmpărŃind rezultatul prin 9 şi înmulŃind cel primit cu 2, vom afla numărul gândit 2k. Problema 33 Cum de ghicit două numere? PropuneŃi cuiva să se gândească la două numere, unul dintre care să depăşească altul cu 1 şi fiecare să fie mai mic decât 9. Apoi rugaŃi să înmulŃească aceste numere între ele, din produs de scăzut numărul mai mic (din cele două) şi rezultatul de înmulŃit cu acest număr mai


mic. După ultima cifră declarată a rezultatului obŃinut dumneavoastră puteŃi ghici numerele gândite. Cum trebuie de SoluŃia Problemei 33 Pentru determinarea numerelor gandite trebuie de memorizat tabelul:

ultima cifră 1 2 3 4 5 6 7 8

numere gândite

1; 2

8; 9

7; 8

4; 5

5; 6

6; 7

3; 4

2; 3

Se poate de memorizat numai numărul mai mic din cele două în rândul al doilea a tabelului. Dacă cifra e egală cu 1, 4, 5 sau 6 (cu aceste cifre se termină pătratele numerelor întregi), atunci ea coincide cu număr mai mic din cele gândite. În restul cazurilor număr mai mic, egal cu adaosul cifrei declarate până la 10.

Argumentare.

Fie că au fost gândite numerele k şi k+1, unde 1 ≤ k ≤ 8. Atunci produsul acestor numere este egal cu:

k (k+1) = k2 + k. Dacă din rezultat scădem numărul k (mai mic din cele gândite), atunci primim k2. Ridicând consecutiv numerele de la 1 până la 8 la cub, obŃinem:

13 = 1 23 = 8

33 = 27 43 = 64

53 = 125 63 = 216 73 = 343 83 = 512.

Fiecare din cuburi se termină cu o cifră de la 1 până la 8, şi nu există două, care se termină cu aceeaşi cifră. De aceea, dacă de memorizat


tabelul cuburilor ale numerelor de la 1 până la 8, atunci după ultima cifră a cubului se poate de determinat care număr a fost ridicat la cub. Problema 34 Cum de aflat numărul gândit? PropuneŃi cuiva să se gândească la un număr nu prea mare (pentru simplitatea calculelor) şi să înmulŃească acest număr cu el însăşi. La rezultat cereŃi să adaoge numărul gândit dublat, iar apoi – încă 1. După rezultatul declarat a operaŃiilor aritmetice dumneavoastră puteŃi să indicaŃi numărul gândit. Cum se face aceasta? SoluŃia Problemei 34 Pentru a afla numărul gândit trebuie din cel declarat de extras rădăcina pătratică, şi apoi de scăzut o unitate.

Argumentare.

Fie că cineva s-a gândit la un număr k. După operaŃiile propuse vom primi:

k·k + 2·k + 1 = (k+1)2.

Numărul (k+1)2 şi va fi declarat. Problema 35 Cum de găsit cifra? ScrieŃi pe foaie un număr, suma cifrelor căruia se împarte prin 9, şi întorcându-vă cu spatele, propuneŃi cuiva să înmulŃească acesta cu


orice număr. În rezultat propuneŃi să se excludă orice cifră, în afară de 0, şi cifrele rămase să fie permutate în orice ordine. După declararea rezultatului operaŃiilor indicate mai sus dumneavoastră puteŃi spune ce cifră a fost exclusă. Cum de găsit cifra? SoluŃia Problemei 35 Cifra exclusă este cel mai mic număr natural, care trebuie de adăugat la suma cifrelor rămase, pentru a obŃine număr ce se împarte prin 9. Dacă suma cifrelor numărului declarat deja se împarte prin 9, atunci a fost exclusă cifra 9.

Argumentare.

Metoda de ghicire a cifrei excluse se bazează pe faptul că diferenŃa între orice număr şi suma cifrelor lui întotdeauna se împarte prin 9.

Fie A = = 10n·an+10n-1·an-1+ ... +10·a1+a0 – numărul natural, scris cu ajutorul a (n+1) cifre. DiferenŃa dintre acest număr şi suma cifrelor lui este:

A – (an+an-1+ ... +a1+a0) = an(10n–1)+an-1(10n-1–1)+ ... +a1(10–1) =

deci, se imparte prin 9.

Baza metodei de ghicire.

Fie B – numărul scris de dumneavoastră, suma cifrelor căruia se împarte prin 9. Din cele expuse rezultă, că şi numărul B se împarte prin 9. Apoi acest număr a fost înmulŃit cu orice număr întreg şi s-a obŃinut numărul C, care la fel se împarte prin 9. Deci, suma cifrelor lui C se împarte prin 9. Dacă excludem o cifră m a numărului C, atunci numărul D, obŃinut în rezultat, va avea suma cifrelor cu m mai mică, decât suma cifrelor ale numărului C.


Deoarece în rezultatul permutării cifrelor suma lor nu se schimbă, atunci cifra tăiată (0 nu se taie) va fi întotdeauna egală cu cel mai mic număr natural, care trebuia de adăugat la suma cifrelor rezultatului declarat, pentru obŃinerea numărului ce se împarte prin 9. Problema 36 A ghici cifra exclusă. RugaŃi pe cineva să scrie un oarecare număr cu multe cifre, numai să nu fie toate la fel. Apoi propuneŃi să facă o permutare a cifrelor acestui număr astfel, încât să obŃină un număr diferit de primul şi să-l scrie. RugaŃi să scadă numărul mai mic (din cele două scrise) din cel mai mare, iar în diferenŃa obŃinută de exclus orice cifră diferită de 0. Apoi de aflat suma cifrelor rămase şi să spună rezultatul. După rezultat dumneavoastră puteŃi să spuneŃi, ce cifră a fost tăiată. SoluŃia Problemei 36 Cifra tăiată este aceea, care trebuie să fie adăugată la numărul declarat pentru a obŃine numărul cel mai apropiat ce se împarte prin 9. Dacă numărul declarat deja se împarte prin 9, atunci a fost tăiată cifra 9.

Argumentare.

Fie numerele A şi B au aceiaşi sumă a cifrelor S. Deoarece diferenŃele A–S şi B–S se împart prin 9 (rezolvarea problemei precedente), rezultă că şi C=A–B=(A–S)–(B–S) se împarte prin 9. Deci, suma cifrelor lui C se împarte prin 9. DemonstraŃia de mai departe este echivalentă cu cea din problema precedentă. Problema 37 Sumare rapidă.


PropuneŃi cuiva să scrie nişte numere, care au acelaşi număr de cifre. La aceste numere dumneavoastră mai scrieŃi nişte numere. Spunând răspunsul deodată, dumneavoastră propuneŃi de sumat toate numerele scrise. Care numere trebuie să scrieŃi şi cum de aflat suma tuturor numerelor rapid? SoluŃia Problemei 37 Pentru fiecare număr deja scris A dumneavoastră mai scrieŃi un număr, cifrele căruia se obŃin ca adăugare până la 9 a cifrelor respective ale numărului A. Dacă au fost scrise m numere, compuse din n cifre, atunci suma acestor m numere si a numerelor scrise de dumneavoastră după regula de mai sus va fi: 10n·m – m. Dacă printre primele numere a fost scris numărul de formă 99...9, atunci pentru acesta nu trebuie de scris nici un număr adaugător.

Argumentare.

1. Dacă este scris un număr compus din (n+1) cifre an≠0, şi dumneavoastră scrieŃi numărul

, unde bi=9–ai i=0, 1, ..., n,

este clar, că suma numerelor şi va fi egală cu

.

Astfel, dacă au fost scrise m numere, atunci suma lor cu cele m numere, scrise de dumneavoastră, este egală (10n+1–1)·m = 10n+1·m – m.


2. Dacă an=9 şi an-1≠9, atunci dumneavoastră trebuie să scrieŃi

, unde bi=9–ai i=0, 1, ..., n-1,

vom obŃine în rezultat că

.


MATEMATICA PENTRU ACASA "Invatat este omul care nu termina niciodata de invatat" N.Iorga Aceasta sectiune, ofera posibilitatea folosirii unor jocuri si activitati pentru a explora matematica impreuna cu copilul tau, chiar si acasa.

• Activitatile pentru gradinita si clasa 1 sunt notate cu * • Activitatile pentru clasele 2-3 sunt notate cu # • Activitatile pentru clasele 4-8 sunt notate cu %

De retinut! Aceasta este o oportunitate pentru tine si copilul tau de a vorbi matematic – aceasta inseamna de a comunica despre matematica in timp ce investigam si relatia copil-parinte. Daca ceva este prea dificil, alegeti o activitate mai usoara sau asteptati pana mai creste copilul.


Rezolva puzzle * Utilizati simboluri in locul unor numere pentru a face matematica mai amuzanta si usoara pentru cei mici. De ce aveti nevoie: - foaie de hartie; - creion.

Ce trebuie sa faceti: Alegeti niste simboluri pe care copilul le poate desena usor si asociati-le cu numere de la 1 la 10 (de exemplu: 1 – un patrat; 2 – un cerc; 3 – un copac; 4 – un cap de clovn, etc.). In acest fel copilul poate invata mai rapid numerele facand asocieri cu imaginile. Daca copilul este mai mare se pot folosi numere pana la 100 sau 1000. Rezolvarea de probleme # Acest joc presupune rezolvarea problemelor si intelegerea valorii numerelor. De ce aveti nevoie: - carti de joc; - goaie de hartie; - creion.

• Supersume – Fiecare jucator va scrie

numerele de la 1 la 12 pe o foaie de hartie. Obiectivul acestui joc este sa fi primul care taie aceste numere de pe lista. Folositi doar cartile de la 1 la 6 (indiferent de culoare). Fiecare jucator alege 2 carti si le aduna valorile. Jucatorul poate alege: fie sa taie de pe lista suma numerelor, fie alte 2, 3 numere a caror suma este obtinuta.


De exemplu: avem cartile 5 si 6 care adunate dau 11, fie taie de pe lista numarul 11; fie numerele 5 si 6; sau 10 si 1; sau 2 si 9l sau 8 si 3; sau 1, 2 si 8, etc.

• Faceti 100 – Se scot toate cartile in afara de as si cartile de la 1

la 6. fiecare jucator extrage 8 carti de joc din pachet si poate decide daca foloseste cartea ca multiplu de zece sau asa cum este.

De exemplu: daca se extrage numarul 6 poate fi folosit ca 6 sau ca 60. se aduna apoi valorile celor 8 carti incercandu-se sa se ajunga la o suma cat mai apropiata de 100. de exemplu: se extrag 1 1 2 5 3 3 4 6. Se pot folosi astfel: 30+40+10+5+6+1+3+2=97 Acest joc ajuta copilul sa vada diferite modalitati de a utiliza numerele in diferite combinatii pentru a castiga.

Umple golurile * Copiii adora sa se joace cu masurari si estimari. Cutii sau pahare goale pot oferi cea mai buna ocazie de a face comparari, estimari. De ce aveti nevoie: - cutii goale de diferite forme (de la iaurt, margarina, sucuri,

inghetata); - orez, porumb, popcorn, apa; - hartie, marker, banda de lipit;

Ce trebuie sa faceti:

• Umpleti diferitele cutii cu (apa, orez, porumb....) si incercati sa stabiliti care este cea mai mare. Turnati apoi continutul in alt recipient si discutati cu copilul daca este plin, daca este aproape plin, pe jumatate plin.

• Pune-i copilului intrebari de genul: „Care este mai mare?”,

„Care este mai mic?”


• Puneti etichete pe fiecare si scrieti: „cel mai mare”, „cel mai mic”, „mai mic”, „la fel”.

Intreaba-l pe copil cate recipiente sunt la fel, cate sunt mai mici, cate sunt mari. Jumatate plin / jumatate gol # De ce aveti nevoie: - cutii goale si ambalaje ca in exemplul de mai sus; - banda de lipit; - marker; - cesti de masurat cu gradatii.


• Turnati apa in cutii si faceti semne cu marker-ul dupa ce a-ti turnat o ceasca, dupa 2, dupa 3, dupa 4.

• In timp ce umpleti recipientul puneti intrebari copilului: „Cate cesti crezi ca intra?” „Daca intra 4 cesti si noi am pus doar o ceasca, care este fractia carespunzatoare?” Raspunsul ar fi: 1/4

La cumparaturi # Acest joc poate ajuta copiii sa verifice daca au primit bine restul si sa numere banii, mai ales daca merg singuri la magazin. Cu cat se fac mai multe repetitii cu atat va fi mai eficient jocul. De ce aveti nevoie: - diferite monede si bancnote (daca copilul este mai mic nu se

folosesc prea multi bani diferiti);


Ce trebuie sa faceti: • Alegeti rolurile: cumparator sau vanzator • Fiecare are o suma de bani pe care o stabiliti la alegere • Cumparatorul, cumpara ceva si vanzatorul trebuie sa-i dea

restul corect (daca copilul este vanzator) • In cazul in care tu esti vanzatorul il poti pune la incercare (dupa

ce a invatat) ii dai mai putin sau mai mult rest si vezi daca observa.

Valoarea banilor % De ce aveti nevoie: - bani; - cupoane valorice.


• Il inveti ce valoare au cupoanele • Jocul este identic cu cel de sus, cu diferenta ca se vor folosi

cupoane. Priveste cu atentie # Aceasta activitate ajuta copilul sa inteleaga cum sunt grupate obiectele in mod logic. De ce aveti nevoie: - ziar; - foaie de hartie; - foarfeca; - lipici;



• Selectie. Arata-i copilului ca zizrul este impartit pe diferite sectiuni si explica-i care este tema acestei sectiuni. Arata-i si ca paginile sunt numerotate. De exemplu: pagini de informatii generale, politica, administrativ, invatamant, sport...

• Publicitate. Adu-i copilului mai multe oferte de la diferite magazine. Uitati-va la produse si la preturi si pune-l sa le compare si sa afle de exemplu care magazin are cele mai ieftine sucuri.

Cauta in ziar % Copilul terbuie sa caute in zair informatii matematice. De ce aveti nevoie: - mai multe ziare.


• Sa gaseasca in ziar urmatoarele lucruri: o un grafic o un numar mai mare ca 10 o numerele ordinale: al 2-lea,.... o un numar intre 50 si 100 o un numar intre 100 si 999 o un triunghi o un simbol pentru vreme o un simbol % o statistici sportive.

Sa faca o lista. Ii dati o oferta de la un magazin si il puneti sa faca o lista cu tot ce ar terbui cumparat pentru o saptamana ii spuneti si suma in care trebuie sa se incadreze. Daca costul depaseste bugetul, discutati cu el ce trebuie sa mai eliminati de pe lista. Vanatoarea de comori * Casa oricui ascunde comori si copiii adora sa gaseasca lucruri ascunse.


De ce aveti nevoie: - nasturi - chei mai vechi; - scoici; - pietre; - capace de sticle; - suruburi; - orice altceva care poate fi numarat.


• Gasiti un recipient in care sa puneti comorile • Sortati comorile • Folositi comorile pentru a efectua operatii aritmetice. De

exemplu daca participa 3 copii si avem 17 nasturi, aflati cati primeste fiecare.

Cantareste # La cantar poate merge intreaga familie, poate fi chiar amuzant. Fiecare poate incerca sa ghiceasca gramajul si copiii pot fi entuziasmati daca sunt lasati sa cantareasca. De ce aveti nevoie: - cantar


• Explica-le copiiilor cum functioneaza cantarul • Incercati sa estimati greutatea produselor inainte de a le cantari • Pune copilului intrebari de genul:

„Cat crezi ca vor cantari cele 6 mere?” „Un kilogram? Mai mult sau mai putin?” „Ce crezi, cartofii vor cantari mai mult decat merele?”

Ghiceste forma *


La magazin avem ocazia sa vedem tot felul de forme si acest lucru poate fi folositor copilului pentru ca ii putem oferi o lectie de geometrie. De ce aveti nevoie: - produse de la magazin


• Inainte de a merge la magazin arata-i copilului cateva forme geometrice

• Cand ajungeti la magazin arata-i produsele si intreaba-l ce forma crede ca au: rotund, patrat, dreptunghi...; ce fel de margine au: drepte, curbe,...

• Incercati sa gasiti forme mai deosebite ca: piramida, conuri. Cutiile, conservele, sulurile de servetele de bucatarie, conurile de inghetata, portocalele, rosiile, toate acestea sunt forme geometrice. Recunoscand aceste forme copiii fac legatura dintre aceste si viata reala. Verifica # Casieria este locul unde se foloseste intr-adevar matematica intr-un magazin. Aici sunt adunate toate preturile si se plateste, iar uneori primim si rest. De ce aveti nevoie: - produsele pe care doriti sa le cumparati


• Puneti-l pe copil sa estimeze: care ar fi totalul de plata? • Intrebati-l cam cat ar fi restul daca ati da o suma de bani. • Numarati restul in fata copilului sa vedeti daca este corect.


Pune deoparte * De ce aveti nevoie: - plasa cu cumparaturi; - masa pe care sa efectuati sortarea


• Gasiti produsele care au aceleasi caracteristici. De exemplu: unele sunt cutii altele sunt conserve.

• Grupati produsele cu aceleasi caracteristici • Lasa-l pe copil sa faca aceste lucruri dupa ce-i explici care este

regula. • Pune-l sa numere cate produse sunt intr-o grupa.

MATEMATICA LA DRUM Se intampla uneori sa calatorim: fie ca este vorba de calatorie in interes de serviciu, vacanta, sau chiar o vizita. In timp ce efectuati calatoria, incurajati-va copilul sa observe: - cladirile si numerele de pe acestea - numerele de telefon de pe taxiuri - datele de pe monumente - etc

ACTIVITATI Gradinita si clasa 1: - Cautarea numerelor

Clasele 2 si 3: - Placute de inmatriculare - Total

Clasele 4 pana la 8: - Cat de lung/cat de departe - Ghiceste daca poti


Cautarea numerelor* Scopul acestui joc este de a cauta numere: pe cladiri, masini, autobuze... De ce aveti nevoie: - un loc de unde se poate observa - foaia de hartie - creion


• Scrieti toate numerele pe care le puteti observa • Scrieti si locul unde a fost vezut numarul

Cat de lung/cat de departe? % Uneori cand pleci la drum trebuie sa sti ce distanta vei parcurge pentru a pune suficienta benzina sau trebuie sa sti ora la cre vei ajunge. De ce aveti nevoie: - informatii despre cat de departe este destinatia.


• Intreaba-ti copilul cat de departe crede ca este. Cativa kilometri, zeci de kilometri?

• Vorbiti despre cat timp va dura sa ajungeti acolo. Ghiceste daca poti % De ce ai nevoie: - intrebari despre numere



• Lasa-l pe copil sa se gandeasca la un numar, iar tu incearca sa ghicesti

• Pune intrebari: De exemplu: copilul spune: „ma gandesc la un numar intre 1 si 100” parintele: Este cumva „50”? copilul spune: „Nu, e mai mult” parintele: „60” copilul spune: „mai putin” parintele: „55” ...etc Pana se ghiceste numarul si pe urma se pot inversa rolurile.


Pagini de istorie

Pythagoras

"Fii drept in cuvant si in fapta" Pythagoras

(ap. 580 – ap. 500 î.e.n.)

Pythagoras a avut mai mare noroc decât alŃi savanŃi ai lumii antice. Despre el s-a păstrat o mulŃime de legende şi mituri, adevărate sau ba. De numele lui se leagă mari descoperiri din domeniul matematicii, şi în primul rând – teorema care poartă numele lui. Însă această teoremă n-a fost descoperită de Pythagoras. Ea a fost cunoscută pentru cazuri particulare în China Antică, Babilonia, Egipt. Unii consideră, că Pythagoras a fost primul care a dat o demonstraŃie riguroasă a acestei teoreme, alŃii nu recunosc nici meritul acesta.

Probabil însă, nu există o altă teoremă care ar avea atâtea comparaŃii. În FranŃa şi unele regiuni ale Germaniei în evul mediu


teorema lui Pythagoras se numea "puntea măgarilor". La matematicienii Orientului ea era cunoscută sub denumirea de "teorema miresei". Istoria este următoare: în unele texte – "Elemente" lui Euclides – această teoremă se numea "teorema nimfei" pentru asemănarea desenului cu albină sau fluture, ceea ce în limba greacă se numea "nimfa". Dar unele zeiŃe şi în general femeile tinere şi miresele ersu nutite de greci cu acelaşi cuvânt. La traducerea din limba greacă în cea arabă însă nu s-a atras atenŃie la desen, şi "nimfa" s-a transformat din "fluture" în "mireasă".

Se spune, desigur, fiind numai legendă, că Pythagoras, după ce a demonstrat celebra teoremă, a mulŃumit zeii, sacrificând 100 de boi. Dar această povestire nu seamănă adevărului, deoarece Pythagoras a fost un vegetarian şi adversar neîmpăcat al tăierii animalelor şi vărsării de sânge.

Pentru noi Pythagoras este un matematician, iar în antichitate n-a fost la fel. Herodot îl numeşte pe Pythagoras "învăŃătorul înŃelepciunii", dar indică că adepŃii lui nu înmormântau morŃii în îmbrăcămintele de lână. Această seamănă mai mult cu religia, decât cu matematica.

Pentru contemporanii săi Pythagoras a fost în primul rând un profet religios despre care spuneau, că are o coastă de aur sau apare simultan în două localităŃi diferite. Unele texte îl prezintă ca semizeu, aşa cum el însuşi s-ar fi imaginat: fiul lui Hermes. Pythagoras a considerat că există trei feluri de fiinŃe – divinităŃi, oameni obişnuiŃi şi "fiinŃe în felul lui Pythagoras". În literatură pythagorienii se reprezentau mai mult ca vegetarieni pretenŃioşi şi superstiŃioşi, decât ca matematicienii.

Despre viaŃa lui Pythagoras multă vreme informaŃiile au fost contradictorii, fiind considerat când ca un personaj legendar, când ca omul istoric.

Se ştie că s-a născut în prima perioadă a secolului al VI-lea (ap.580) şi că ar fi trăit până la anul 500. Se zice că ar fi fost de "neam berber", etrusc din Italia, născut pe insula Samos. Pythagoras a cunoscut îndeaproape cultura grecească a timpului său, 22 de ani a călătorit în Egipt (unde ar fi aflat că sufletul este nemuritor), 12 ani se


ocupa cu ştiinŃe în Mesopotamia. Probabil că, anume de la preoŃii şi magii Babilonului a preluat misticismul numărului, care a fost transformat de către Pythagoras în filosofie proprie. L-ar fi cunoscut pe Zarathustra, concepŃia acestuia influenŃându-l mai ales în expunerea viziunii despre contrarii şi rolul lor. Reîntorcându-se la Samos, Pythagoras a înfiinŃat o şcoală, mai exact a strâns în jurul lui oameni care îi împărtăşeau ideile, i-a organizat, practicând un învăŃământ specific închis, cu reguli draconice, asemănător mai degrabă unei secte.

Şcoala lui Pythagoras a devenit un "ordin" cu cicluri de iniŃiere, reguli şi norme de comportare, în care intrarea era tot atât de dificilă ca şi ieşirea. Erau trei reguli forte ale acestui "ordin" – ascultarea, tăcerea şi supunerea. Să observăm, că nici un text nu vorbeşte despre suprimarea gândirii novicelui, ci doar de supunere, tăcere şi ascultare, iar aceasta pentru o perioadă de 2-5 ani. Abia după ce învăŃau "lucrurile cele mai grele – tăcerea şi ascultarea" – abia atunci unii puteau să vorbească, să întrebe şi să-şi spună părerile lor. O altă regulă a şcolii era păstrarea secretului. Această regulă era cu mult mai aspră decât cele dinainte. Nerespectarea ei putându-se penaliza, în anumite cazuri, chiar cu pierderea vieŃii. Regula a avut efect negativ, pentru că obligativitatea secretului n-a făcut din doctrină o parte componentă a culturii în circulaŃie.

Pythagorienii se trezeau împreună cu răsăritul de soare, cântau poeziile, acompaniind la liră, apoi făceau gimnastică, se ocupau de teoria muzicii, filosofie, matematică, astronomie şi alte ştiinŃe. Deseori studiile se petreceau la natură sub formă de discuŃie. Între primii ucenici ai şcolii au fost şi femei, inclusiv şi Teano – soŃia lui Pythagoras.

Dar ideologia aristocratică şi net antidemocratică a şcolii pythagoriene intra în contradicŃii cu democraŃia antică, care domina în acest timp la Samos. Părăsind insula, Pythagoras şi adepŃii săi şi-au găsit refugiul la Crotona, unde pentru un timp au trăit în admiraŃia oamenilor, fiind apreciaŃi pentru comportarea lor.

În pythagorism s-au format de timpuriu două orientări care nu aveau să fie unitare, dar cu timpul, ele vor fi chiar profund divergente "asumaticii" şi "matematicii". În prima orientare vor prevede aspectele


de ordin etic şi politic, pedagogic-educativ, iar în cea de-a doua – cercetările din domeniul mai ales al geometriei. Filosofia lui Pythagoras cuprinde principiile, valori ştiinŃifice propriu zise, o viziune despre om şi educaŃia omului, ideile social-politice. Pythagorismul a asumat numărul ca principiu, a dat unei valori ştiinŃifice semnificaŃia universală (performanŃa repetată de atunci şi de alte sisteme filosofice). Omagiul de număr se datorează observaŃiilor asupra fenomenelor lumii înconjurătoare, care au fost însoŃite de speculaŃii mistice.

Ocupându-se de armonie, pythagorienii au observat că deosebirile calitative ale sunetelor sunt cauzate de deosebiri cantitative ale coardelor sau flautelor. Astfel un acord armonic în sunetul a 3 coarde se obŃine în cazul, când lungimile lor se raportă ca 3:4:6. Acelaşi raport a fost observat şi în multe alte cazuri, de exemplu, raportul între feŃe, vârfuri şi muchii ai unui cub este 6:8:12.

Ocupându-se de întrebarea despre acoperirea suprafeŃei plane cu poligoane regulate de acelaşi fel, pythagorienii au aflat, că sunt posibile numai trei cazuri de aşa acoperiri: în jurul unui punct al planului pot fi aranjate sau 6 triunghiuri regulate, sau 4 pătrate, sau 3 hexagoane regulate.

Numerele de poligoane în aceste trei cazuri se află în raport de 6:4:3, iar raportul numerelor de muchii ale poligoanelor este 3:4:6.

Pe baza unor observaŃii de aşa natură în şcoala lui Pythagoras a apărut credinŃa, că toate fenomenele universului sunt supuse numerelor întregi şi relaŃiilor între acestea. De fapt, nu atât matematicul capătă transfigurare filosofică în pythagorism, ci geometricul. Punctul, fiind scos din situaŃia lui de construcŃie geometrică se transformă în număr, iar numai apoi în marea realitate a lumii.


Pentru Pythagoras principiul lumii este număr, având punctul ca expresia corporală a lui. Tot ceea ce este, este număr. Indiferent este vorba de un corp oarecare, de un lucru, de o structură a universului ori de o melodie, de suflet, de iubire, de minte, toate vin din număr şi toate sunt numere. Număr este, deci, esenŃa lumii şi realitatea ei actuală, originea şi cauza ei, dar nu este o "idee" sau o "abstracŃie". Universul e rezultatul "devenirii" numărului.

Deogene Laërtios nota că, pentru pythagorieni "principiul tuturor lucrurilor este unitatea, dar în această unitate provine doimea nedefinită, servind ca suport material al unităŃii, care este cauza". Din unitate şi doime, continuă Deogene Laërtios, se extrag numerele, din numere – punctele, din puncte – liniile, din linii – figurile plane, din figurile plane – figurile solide.

Astfel educaŃia în matematică şi prin matematică avea destinaŃia precisă a adepŃilor pythagorismului. Cercetând numerele, şcoala lui Pythagoras a pus începuturile teoriei numerelor. Aici însă, ca şi în toată Grecia Antică, practica calculelor nu se considera un lucru demn pentru şcolile filosofice, ci o chestiune zilnică a oamenilor de rând. De aceea pythagorienii studiau numai proprietăŃile numerelor, dar nu calculul practic.

Numărul pentru pythagorieni reprezenta o colecŃie de unităŃi, deci pot fi numai numere întregi pozitive. UnităŃile care alcătuiesc numărul au fost considerate indivizibile şi au fost reprezentate prin puncte, situate în felul unor figuri geometrice regulate. În aşa fel pythagorienii au obŃinut şiruri de numere "triunghiulare", "pătratice", "pentagonice". Fiecare şir reprezenta în sine sumele consecutive ale unei progresii aritmetice.

Pe desen sunt arătate numerele "triunghiulare" 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10; reprezentare generală a lor fiind:


.

Pe desenul precedent sunt arătate numerele "pătratice" 1, 1+3=4, 1+3+5=9; formă generală a lor:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2.

Numerele "pentagonice" 1, 1+4=5, 1+4+7=12, arătate pe desenul de mai sus, au următoare reprezentare generală:

.

La fel, pythagorienii au evidenŃiat numerele "cubice" 1, 8, 27, ... ; numerele "piramidale" – sumele celor "triunghiulare":

.

Studiind proprietăŃile numerelor, pythagorienii primii au atras atenŃie la legile de divizibilitate. Ei le-au împărŃit pe toate în pare şi impare, în simple şi compuse. Numerele compuse, ce se descompun în produs de doi factori, pythagorienii le numeau "numerele plane" şi le


reprezentau sub formă de dreptunghiuri. Iar numerele compuse, ce se descompun în produs de trei factori, – "numerele corporale", şi le reprezentau sub formă de paralelipipede. Numerele simple, ce nu se descompun în produs de factori, au fost numite "numere liniare". Pythagorienii au creat învăŃătură despre numerele pare şi impare, care din poziŃiile contemporane poate fi considerată ca teoria devizibilităŃii prin 2.

Sunt cunoscute unele probleme teoretice cu care se ocupau pythagorienii. Ei au studiat ecuaŃia

x2 + y2 = z2, soluŃiile întregi ale careia încă de atunci se numesc "triplete pythagorice", şi au aflat o infinitate de aşa triplete de forma

.

Pythagorienii se ocupau de problema găsirii numerelor perfecte, care sunt egale cu suma tuturor divizorilor sale (cu excepŃia a însăşi numărului) ca, de exemplu, 6=1+2+3 sau 28=1+2+4+7+14. Numerele perfecte nu-s prea multe. Între numerele uniforme – numai 6, între numere compuse din două, trei şi patru cifre numai 28, 496 şi 8128 respectiv. Toate aceste sunt pare şi au formula 2 p-1(2 p-1), unde p, 2

p-1 sunt numere prime. Până în prezent nu se ştie nici un număr perfect impar şi, în genere, dacă aceste există.

Două numere, care posedă proprietatea că suma divizorilor unuia să fie egală cu suma divizorilor altuia, se numesc prietene. Se afirmă, că Pythagoras la întrebarea cine este prietenul a răspuns: "Acela care este alt eu, ca numerele 220 şi 284". Alte numere prietene pythagorienii n-au ştiut.

Cu ajutorul calculatorului electronic într-o universitate din S.U.A. au fost cercetate toate numerele până la milion. În rezultat s-a obŃinut colecŃia din 42 de perechi de numere prietene:

220 284


1184 1210

2620 2924

5020 5564

6232 6368

ş.a.m.d.

Există şi perechi de numere prietene impare:

12285 14595

67095 87633

ş.a.

Însă formula generală pentru acestea nu este cunoscută şi până azi, se ştie foarte puŃin şi despre proprietăŃile lor.

Magia numerelor cu fascinaŃia ei a generat speculaŃii frumoase. Corpul este numărul 210, focul numărul 11, aierul numărul 13, apa numărul 9. Calitatea şi culoarea ar fi exprimate cu cifra 5; 6 este potenŃa creatoare de viaŃă; 7 semnifică inteligenŃa, lumina primordială, principiul vieŃii, sănătatea, ciclurile sau bioritmurile; 8 (octava) semnifică dragostea, prietenia, chibzuinŃa, gândirea. Universul este analogat cu numărul 10, iar 10 reprezintă perfecŃiunea, echivalenŃă cu tetraktys-ul (1+2+3+4). Tetraktys-ul a fost gândit ca "număr ce cuprinde izvorul şi rădăcina veşnic curgătoarei naturii". Pentru a demonstra că 10 este perfecŃiunea şi că exprimă universul, Pythagoras avea să adauge celor nouă cercuri (cer, Soarele, Luna, Pământ, Mercuriu, Venus, Martie, Jupiter şi Saturn) cel al zecelea – al Anti-Pământului (o invenŃie arbitrară).

O semnificaŃie aparte a avut numărul 36. El i-a impresionat pe pythagorieni foarte mult datorită proprietăŃilor sale. Pe de o parte, el reprezintă suma cuburilor primelor trei numere (13+23+33), pe de altă – este suma primelor patru numere pare şi impare:

(2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.


Conform părerii pythagorienilor toată lumea, a fost construită pe primele patru numere pare şi impare, de aceea cel mai groaznic jurământ se considera jurământul cu numărul 36.

Descoperirea faptului incomensurabilităŃii laturii şi diagonalei pătratului a adus la prima criză. Doctrina lui Pythagoras, bazată pe numere întregi pozitive, nu putea să accepte existenŃa altor numere. De aceea pythagorienii au jurat cu numărul 36, că vor păstra această descoperire în secret. S-a creat o legendă conform căreia Gippas de la Metapont (adeptul lui Pythagoras), care a încălcat jurământul, a fost "pedepsit de către zei" şi s-a pierdut în urma naufragiului.

Rezolvarea unei aşa probleme dificile ca construirea poligoanelor şi poliedrelor regulate i-a impresionat foarte mult pe cei, care au găsit soluŃia, fiind că aceste figuri se considerau "cosmice". Fiecăreia i se atribuia denumirea unei stihii, incluse după părerea grecilor, în bazele existenŃei: tetraedrul se chema foc, octaedrul – aer, icosaedrul – apă, hexaedrul – pământ, dodecaedrul – univers. Din toate corpurile geometrice cea mai perfectă a fost sfera. Pythagoras primul a ajuns la concluzie că Pământul are formă sferică, a stabilit un foc, însă nu Soarele, se află în centrul Universului, iar Pământul se roteşte în jurul lui pe o circumferinŃă.

Pythagorismul admite existenŃa a zece "principii" ca unele care germinează cosmosul: finitul şi infinitul, unul – pluritatea, repaus – mişcare, lumină – întuneric, bun – rău ş.a. Primele fiind pozitive, celelalte negative. Cosmosul (noŃiunea se datorează lor) este armonie, tetraktys, perfecŃiune, ordine, măsură. Un univers generat de număr (geometric, aritmetic), de principii polare (de limitat – nelimitat), comportă logic şi cu necesitatea, măsura. Măsura a fost corelată cu timpul oportun – "momentul potrivit" sau "potrivirea favorabilă".

Un loc important în doctrina pythagorismului a fost acordat sufletului şi, fireşte, comportării omului. "Pythagoras, – informează Diogene Laërtios, – mai spune că sufletul omului se împarte în trei: raŃiune (nous), minte (phrenes) şi pasiune (thymos)". Sufletul este o existenŃă în trei, o armonie a funcŃiilor sale, o triadă, cum se vede, complexă. Sufletul este nemuritor prin minte, elelalte două (raŃiune şi


pasiune) fiind comune omului şi animalului. A fost adept frecvent al metempsihozei: sufletul călătoreşte după moartea omului, trece prin alte fiinŃe, plante, etc, până să revină în om, aceasta Ńinând, cumva, de practicile sale pământeşti. Conservând tradiŃia şi chiar amplificându-i dimensiunea religioasă, pythagorienii au văzut sufletul peste tot, părându-li-se chiar, că tot văzduhul este plin de suflete, care trimit oamenilor visele, semnele de boală şi sănătate.

În "regulile" educaŃiei fundamentate pe ideea despre suflet, intrau ca obligatorii: respectul zeului, respectul părinŃilor, cultivarea prieteniei, a curajului, supunerea faŃă de vârstnic şi superior. Au conceput un sistem diferenŃial al educaŃiei, luând în consideraŃie vârsta: copiii să înveŃe literele şi alte discipline; tinerii să deprindă rânduiala şi legile cetăŃii, datine, bărbaŃii să se consacre treburilor practice şi slujbelor cetăŃeneşti; bătrânii să cugete cum ar fi mai bine, să Ńină sfat şi să judece. Au dispreŃuit disproporŃia, dezordinea, anarhia.

Pythagorismul, astfel, este un aliaj intre ştiinŃific şi magic, raŃional şi mistic.

Însă ideologia, pusă în baza activităŃii pythagorienilor, îi atrage după sine în pierire. Majoritatea adepŃilor doctrinei au fost reprezentanŃi ai aristocraŃiei, în mâinile căreia era concentrată guvernarea în Crotona. Astfel ordinul a avut o influenŃă mare în viaŃa politică, servind intereselor aristocraŃiei, pe când în Atena şi alte colonii greceşti s-a instaurat guvernare democratică. Cu timpul tendinŃele democratice au început să predomine şi în Crotona. Pythagorienii au stârnit într-atât furia crotonaŃilor, încât aceştea au dat foc cluburilor pythagorice şi "au ars de vii" cei adunaŃi într-o locuinŃă. Rămas viu, Pythagoras de la Crotona s-a retras în Metapont, unde fiind bătrân de optzeci de ani, a decăzut într-o ciocnire cu adversarii săi. Nu i-a ajutat lui nici experienŃa bogată a luptei de pumn, primul campion olimpic în care el a fost cândva.

S-a sfârşit viaŃa lui Pythagoras. Nu însă şi pythagorismul. Metafizica, ştiinŃa şi viziunea despre educaŃie au constituit motivele reale ale durabilităŃii lui şi influenŃei exercitate atât în ştiinŃă, cât şi în metafizică.


Cu numele lui Pythagoras a fost numit un crater de pe partea vizibilă a Lunii.


Joseph Louis Lagrange

(25.01.1736 – 10.04.1813)

"Lagrange – piramida grandioasă a ştiinŃelor matematice". Astfel Napoléon Bonaparte l-a apreciat pe cel mai mare şi cel mai modest, după părerea lui, matematician al sec. XVIII Joseph Louis Lagrange, pe care el l-a făcut senator, conte al imperiului şi cavaler al ordinului Legiunii de Onoare.

Tatăl lui Lagrange, fiind un timp vistiernic militar al Sardiniei, a fost căsătorit cu unica fiică a unui medic bogat din Cambiano, localtate situată nu departe de Torino (Italia), şi a avut cu ea 11 copii. Dar numai Joseph Louis, cel mai mic dintre toŃi, n-a murit fiind prunc. Tatăl lui a fost un om avut şi de afaceri. De aceea, când Lagrange a fost gata să intre în dreptul de moştenitor unic, el n-a avut ce să moştenească. Mai târziu Lagrange îşi amintea despre aceasta, ca despre una din întâmplările cele mai fericite: "Dacă eu aş fi moştenit o avere, atunci, probabil, n-aş fi legat soarta mea cu matematica".

Primele interese şcolare ale lui Lagrange au fost concentrate asupra limbilor vechi. Studiindu-le, el devreme a făcut cunoştinŃă cu operele lui Euclides şi Arhimede. Însă acestea nu l-au impresionat foarte mult. Mai târziu în mîinile tânărului Lagrange a nimerit lucrarea lui E.


Halley (prietenul lui Newton) despre avantajele metodelor analitice asupra metodelor geometrice ale grecilor antici. Inima lui a fost cucerită. Într-un timp foarte scurt el de sinestătător a studiat totul, ce a fost făcut la acel moment în analiză şi, având 16 ani, a început predarea matematicii la Şcoala de Artilerie din Torino. Astfel s-a început activitatea lui, una din cele mai strălucite în istoria matematicii.

Lagrange a fost analitic, şi nu geometru. Prelucrarea lui analitică a mecanicii se caracterizează prin ruperea totală cu tradiŃia grecilor antici. Newton, contemporanii şi succesorii lui, permanent utilizau desene tehnice, ca un ajutor în studierea problemelor mecanicii. Această trăsătură a gândirii lui s-a evidenŃiat clar în "Mécanique Analytique", concepută de Lagrange încă în vârsta de 19 ani la Torino, dar editată la Paris numai în 1788, când el a avut 52 de ani. "Nu veŃi găsi desene tehnice în cartea aceasta", – scria el în prefaŃă. Lagrange, preferând metoda analitică, a arătat că rezultatele mult mai puternice pot fi obŃinute dacă metode analitice generale se aplică de la bun început.

La Torino tânărul profesor citeşte lecŃii la studenŃi, majoritatea cărora erau mai în vârstă decât el. În curând, cu cei mai capabili dintre aceştea el a organizat o societate ştiinŃifică, care cu timpul s-a transformat în Academia de ŞtiinŃe din Torino. Primul volum de lucrări al Academiei "Actes de la société privée de Turin" a apărut în 1759 când Lagrange a avut 23 de ani. El însuşi a prezentat aici articolul despre valorile maxime şi minime la calculul variaŃional. Anume cu ajutorul acestui calcul Lagrange a unificat mecanica şi, cum a spus Hamilton, a creat "o poemă ştiinŃifică în felul său".

În acelaşi volum Lagrange face un mare pas înainte: el aplică analiza în teoria probabilităŃilor, esenŃial se avansează mai departe de Newton în teoria matematică a sunetului. La vârsta de 23 de ani Lagrange a fost recunoscut ca egal marilor matematicieni ai secolului – Euler şi Bernoulli.

Euler întotdeauna preŃuia mărinimos lucrările altor savanŃi. Când Lagrange avea 19 ani i-a expediat lui Euler unele din lucrările sale, vestitul matematician îndată le-a recunoscut valoarea lor şi l-a încurajat pe tânărul savant. Peste 4 ani Lagrange i-a comunicat lui


Euler metoda adevărată de rezolvare a problemelor izoperimetrice de calcul variaŃional, care în decurs de mulŃi ani nu se rezolvau prin metodele semigeometrice ale lui Euler. Euler i-a dat lui Lagrange posibilitate să le publice primul – "ca să nu vă lipsesc pe dumneavoastră de nici o particulă a gloriei, pe care o meritaŃi".

În pofida vârstei neobişnuit de tinere a lui Lagrange – 23 de ani, Euler a reuşit alegerea lui ca membru străin al Academiei de ŞtiinŃe din Berlin (2 octombrie 1759). Această recunoaştere peste hotare a fost un mare ajutor pentru Lagrange în Patrie. Euler şi d'Alembert doreau să-l vadă pe tânărul lor prieten ca matematician la curtea din Berlin. După tratative îndelungate aceasta s-a reuşit.

Fiind un prieten credincios şi admirator generos al lui Lagrange, d'Alembert l-a convins să se ocupe de problemele cele mai importante şi dificile, l-a impus chibzuit să aibă grijă de sănătate, deşi sănătatea proprie a lui d'Alembert n-a fost viguroasă. În scrisorile sale către d'Alembert, Lagrange răspunde scurt, că se simte minunat şi lucrează ca un nebun. În această privinŃă activitatea lui era asemănătoare cu cea a lui Newton. Cu vârsta, concentrarea îndelungată asupra problemelor de primă importanŃă a atenuat entuziasmul lui, şi deşi creierul rămânea puternic, Lagrange manifesta o atitudine indiferentă faŃă de matematică.

Printre problemele, cu care Lagrange se ocupa până la sosirea sa la Berlin a fost problema despre libraŃia Lunii, problema a trei corpuri. De ce Luna e permanent întoarsă spre Pământ numai cu o parte, şi în acelaşi timp există unele mici iregularităŃi în mişcarea ei? Pentru rezolvarea acestei probleme în 1764 lui Lagrange la vârsta de numai 28 ani i-a fost decernat un premiu al Academiei de ŞtiinŃe din Paris. Încurajată de acest succes strălucitor, Academia i-a propus o problemă încă mai complicată, şi Lagrange din nou a primit premiu în anul 1766. Aceasta a fost problema a şase corpuri, materialul pentru care a servit sistemul lui Jupiter (Soarele, Jupiter şi 4 satelite cunoscute către timpul acela). O rezolvare matematică completă se află în afara posibilităŃilor noastre, dar aplicând metodele aproximative, Lagrange s-a avansat esenŃial în explicarea iregularităŃilor constatate.


Astfel de aplicaŃii ale teoriei lui Newton au prezentat pentru Lagrange un interes mare de-a lungul activităŃii sale. În anul 1772 lui Lagrange din nou i-a fost decernat premiul pentru problema a trei corpuri, iar în 1774 şi 1778 a obŃinut succese analogice pentru lucrările sale despre mişcarea Lunii şi perturbaŃiile cometelor.

La 6 noiembrie 1766 Friedrich II, "cel mai mare rege al Europei", cum el "modest" spunea despre sine, l-a salutat pe Lagrange în Berlin, declarând că consideră drept o cinste să aibă la curtea sa pe "cel mai mare matematician". Ultimele cuvinte în orice caz au fost adevărate. În 1766 Lagrange a devenit directorul secŃiei fizico-matematice a Academiei de ŞtiinŃe din Berlin (postul ocupat până atunci de Euler) şi timp de 20 de ani completa memuarele acesteia cu lucrările sale remarcabile, care urmau una după alta.

Ostilitatea înnăscută a lui Lagrange către discuŃii îl deosebea de Euler, care se implică în toate disputele filozofice şi religioase. Înăbuşit de argumente şi îndemnat către răspuns, Lagrange întotdeauna spunea sincer: "Nu ştiu". Dar când erau abordate convingerile lui, el putea să le apere, găsind entuziasm şi logică.

Curând după stabilirea în Berlin, Lagrange a invitat din Torino una dintre rudele sale şi s-a căsătorit cu ea. Căsătoria s-a dovedit a fi fericită. Când soŃia s-a îmbolnăvit, Lagrange, uitând de somn, a avut grijă de ea. Când ea a murit, inima lui Lagrange a fost distrusă. Alinarea a găsit-o în lucru: "OcupaŃiile mele s-au redus la aceea, că eu încet şi liniştit studiez matematica".

O cercetare din această perioadă a lui Lagrange a avut valoare importantă pentru dezvoltarea algebrei contemporane – memuar din anul 1767 "Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés" şi adăugări posterioare la aceasta. Aici au fost abordate întrebările generale despre soluŃionarea ecuaŃiilor algebrice.

După moartea lui Friedrich II (17 august 1786), indignarea contra străinilor şi indiferenŃa, care se anunŃă faŃă de ştiinŃă, au făcut Berlinul un loc de trai nepotrivit pentru Lagrange, şi el a demisionat. Demisia a fost dată cu condiŃia, că el va expedia articolele sale la Academia de ŞtiinŃe din Berlin în decurs de câŃiva ani. Lagrange a fost de acord. El a primit cu bucurie invitaŃia lui Louis XVI de a continua cercetările


matematice la Paris în calitate de membru al Academiei Franceze. Venind la Paris, Lagrange a fost primit cu onoare de către familia regală şi Academie. În Louvre a fost destinat pentru dânsul un apartament confortabil, în care Lagrange a trăit până la revoluŃie.

La vârsta de 50 de ani Lagrange a simŃit că s-a epuizat. Locuitorii Parisului au găsit în el un interlocutor amabil şi binevoitor, ci nu un stăpân al gândurilor. El a pierdut gustul de matematică, iar un exemplar de "Mécanique Analytique" a stat nedeschis pe biroul lui timp de 2 ani. Obosind de tot, ce a fost legat de matematică, Lagrange s-a adresat spre filozofie, evoluŃia gândirii, istoria religiei, teoria generală a limbilor, medicină şi botanică. Fiind pasionat de acest amestec straniu, el i-a uimit pe prietenii săi cu cunoştinŃe vaste în domeniile, îndepărtate de matematică. El considera că în viitor minŃile luminate ale omenirii vor manifesta cel mai mare interes spre fizică, chimie şi ştiinŃe naturale, iar matematica o considera intrată în perioada de descendenŃă. Spre fericirea lui, Lagrange a trăit destul de lung, ca să vadă începutul activităŃii lui Gauss, primului în pleada marilor matematicieni – Abel, Galois, Cauchy ş.a.

RevoluŃia a răsturnat apatia lui Lagrange. Planele grandioase ale revoluŃionarilor de a preface omenirea şi natura omului n-au produs impresie mare asupra lui. Iar când prietenul lui, chimistul Lavoisier, a căzut sub ghilotină, Lagrange a exprimat indignarea sa prin cuvintele: "A fost necesară numai o singură clipă pentru ca să cadă capul lui, dar nu va ajunge, probabil, şi o sută de ani, ca să apară un alt cap, asemănător acestuia". Deşi practic toată viaŃa creativă a lui Lagrange s-a petrecut sub suspiciile persoanelor regale, simpatiile lui n-au fost de partea adepŃilor monarhiei, dar nu aparŃineau nici revoluŃionarilor. Însă atitudinea faŃă de Lagrange a fost îngăduitoare. Cu decretul special lui i-a fost conferită o pensie.

În 1795, când a fost întemeiată École Normale, Lagrange a devenit profesor de matematică a acesteia. După închiderea ei, când a fost fondată vestita École Polytechnique (1797) Lagrange a elaborat planul cursului matematic şi a devenit aici primul profesor. La început el a citit lecŃii pentru studenŃii slab pregătiŃi. Dar fiind un învăŃător bun, el a plecat departe de predarea matematicii la nivelul elementar, şi în curând studenŃii lui însuşi au participat la dezvoltarea acesteia. Lagrange a expus analiza fără a folosi "infiniŃi mici" ai lui Leibniz sau


definiŃia specifică a limitei lui Newton. Propria lui teorie a fost publicată în două lucrări: "Théorie des fonctions analytiques" (1797) şi "Leçons sur le calcul des fonctions" (1801). ImportanŃa acestor lucrări constă în aceea, că ele au dat impuls lui Cauchy şi altor savanŃi pentru argumentarea strictă a analizei.

Cea mai importantă activitate a lui Lagrange în perioada revoluŃiei a fost participarea împreună cu Laplace şi Monge la perfecŃionarea sistemului metric de măsuri. Numai datorită ironiei şi bunului simŃ al lui Lagrange numărul 12 n-a fost ales în calitate de bază în loc de 10 al sistemului de numeraŃie.

În pofida acestei activităŃi interesante, Lagrange a fost singur şi predispus la pierderea spiritului, dar a fost salvat de această stare între viaŃă şi moarte la vârsta de 56 de ani de către fiica prietenului său, astronomului Lemonnier. Ea s-a căsătorit cu dânsul şi căsnicia lor a fost ideală. Din toate succesele, el cel mai mult preŃuia aceea, că a găsit în viaŃă o însoŃitoare atentă şi credincioasă ca soŃia lui tânără.

Francezii dădeau onorurile lui Lagrange. Savantul, fiind cândva favoritul Mariei-Antoinettei, acum a devenit idolul publicului, care a condamnat-o la moarte. Când în timpul revoluŃiei, prin decretul Conventului a fost hotărât de a izgoni din FranŃa pe toŃi nenăscuŃi în Ńară, pentru Lagrange în special s-a făcut o excepŃie din această regulă. Slava lui a fost atât de mare încât ocupând Torino, Directoria a exprimat oficial respectul faŃă de tatăl matematicianului vestit. Când Napoléon între campaniile militare se ocupa de treburile civile, el deseori conversa cu Lagrange pe întrebări ce Ńinea de filozofie, rolul matematicii în stat şi exprima stima faŃă de acest interlocutor calm, care nicicând nu dădea dovadă de dogmatism.

Sub calmitatea lui Lagrange a fost ascunsă ingeniozitatea, care apărea pe neaşteptate. Odată el a spus: "Astronomii aceştea sunt oameni foarte ciudaŃi, ei nu cred teoriilor până când aceste nu se acordă cu observaŃiile lor". Nici admiraŃia sinceră a talentului lui Newton n-a fost lipsită de adaosul ironiei: "Ce noroc a avut Newton, că în timpul lui sistemul lumii încă rămânea nedescoperit".


Ultimul efort ştiinŃific al lui Lagrange a fost legat de modificare şi lărgirea "Mécanique Analytique" pentru ediŃia a doua. Puterile s-au întors către Lagrange definitiv, deşi el avea mai mult de 70 de ani. Amintind obişnuinŃele sale, el lucra fără încetare, dar corpul lui n-a vrut să se supună creierului. Boala lui, despre care ştia că va aduce la moarte, nu strica liniştea netulburată a lui. Toată viaŃa Lagrange a trăit aşa, cum le place filozofilor, cu nepăsare faŃă de soarta sa.

Lucrările lui Lagrange în matematică, astronomie şi mecanică alcătuiesc 14 volume. În analiza matematică el a dat formula convenabilă restului pentru serie Taylor, formula creşterilor finite şi formula de interpolare, a introdus metoda multiplicatorilor pentru rezolvarea problemei aflării extremelor condiŃionate.

În algebră a elaborat teoria ecuaŃiilor, a cărei generalizare este teoria Galois, a găsit metoda de calcul aproximativ al rădăcinilor ecuaŃiei algebrice cu ajutorul fracŃiilor continue, metoda de separare a rădăcinilor ecuaŃiei algebrice, metoda de eliminare a variabilelor din sistemul de ecuaŃii, dezvoltarea rădăcinilor ale ecuaŃiei în aşa numită serie lui Lagrange. În teoria numerelor cu ajutorul fracŃiilor neregulate el a rezolvat ecuaŃiile de ordinul doi cu două necunoscute.

În domeniul ecuaŃiilor diferenŃiale Lagrange a elaborat teoria soluŃiilor singulare şi metoda variaŃiei constantelor. Reieşind din legile de bază ale dinamicii, el a indicat două forme de bază ale ecuaŃiilor diferenŃiale de mişcare a unui sistem dependent, care acum se numesc ecuaŃiile lui Lagrange de genul întâi, şi a dedus ecuaŃiile în coordonate generalizate – ecuaŃiile lui Lagrange de genul al doilea.

Deosebit de caracteristică pentru Lagrange, în comparaŃie cu predecesorii şi contemporanii săi, a fost crearea unor concepŃii teoretice largi, care legau împreună un set întreg de probleme, afirmaŃii şi metode aparte. A fost adunat şi sistematizat un colosal material nou, ce necesita o generalizare ulterioară. Lagrange sa evidenŃiat printr-o "perfecŃiune a metodei analitice" (cuvintele marelui matematician J. Fourier), o eleganŃă deosebită, un laconism şi, simultan, o generalizare a expunerii, care au devenit distinctive pentru şcoala matematică franceză.


Cu numele lui Lagrange a fost numit un crater de pe partea vizibilă a Lunii.


Augustin Louis Cauchy

(21.08.1789 – 23.05.1857)

Media aritmetică a numerelor pozitive nu este mai mică decât media geometrică a lor:

.

Această vestită inegalitate, care aparŃine matematicianului francez Augustin Cauchy, a fost publicată în anul 1821. Din acele timpuri ea se consideră tradiŃional una dintre cele mai dificile inegalităŃi numerice. Într-un secol şi jumătate au apărut mai multe demonstraŃii mai simple sau mai complicate ale ei. TradiŃia a fost începută însuşi de Cauchy.

Cauchy s-a născut la Paris, din copilărie manifestând capacităŃi mari faŃă de matematică. Primul educator şi învăŃător al lui a fost tatăl – un latinist şi catolic înverşunat. Având 13 ani, Cauchy a intrat la Şcoala


Centrală. Apoi, absolvind cursul de ştiinŃe matematice la École Polytechnique şi obŃinând o pregătire specială în Şcoala Podurilor şi Drumurilor, în 1807 a fost trimis la lucrări inginereşti. Un timp el a lucrat în calitate de inginer al căilor de comunicaŃie la Cherbourg.

Începând cu anul 1813 Cauchy se ocupă exclusiv cu ştiinŃa şi predarea şi în 1816 devine membru al Academiei de ŞtiinŃe din Paris. În acelaşi timp el citeşte lecŃii la École Polytechnique şi Collège de France. În "Traité de calcul differentiel et integral" Cauchy introduce metode mai exacte de predare a analizei. Din anul 1826 el începe publicaŃia "Exercices mathématiques", care reprezintă revista proprie şi conŃine lucrări ale autorului în diferite domenii ale matematicii.

În timpul revoluŃiei din iulie, fiind adept al monarhiei, el a refuzat să depună jurământul noului guvern, n-a dorit să rămână în FranŃa, de unde a fost izgonit regele, şi a plecat la Torino. Aici regele Sardiniei a creat pentru Cauchy o catedră aparte de physique sublime. În anii 1830-1838 el a călătorit prin Europa. Revenind la Paris, din cauza ostilităŃii regimului nou, Cauchy a refuzat mai multe posturi şi n-a jurat până când lui nu i s-a fost propusă catedra "fără condiŃii". Numai în 1848 el a devenit profesor la Sorbonne.

CredinŃa religioasă şi convingerile politice ale lui au cauzat o atitudine părtinitoare a oamenilor din partidele contrare, care l-au învinuit pe Cauchy, printre altele, şi pentru nedesăvârşire lucrărilor sale. Dar într-o unumită măsură anume repeziciunea, cu care el trecea de la un obiect la altul, a dat posibilitatea pentru deschiderea căilor noi în ştiinŃă.

Lucrările lui Cauchy se referă la diferite domenii ale matematicii. Au fost perioade, când în fiecare săptămână el trimitea la Academia de ŞtiinŃe din Paris câte un memuar nou. În total el a publicat mai mult de 800 de lucrări în aşa domenii ca: aritmetica şi teoria numerelor, algebră, analiză matematică, ecuaŃii diferenŃiale, mecanica teoretică şi cerească, fizica matematică.

Cursurile "Cours d'analyse de l'École polytechnique" (1821), "Résumé des leçons a l'École polytechnique donnéés sur le calcul infinitésimal" (1823), "Leçons sur l'application du calcul infinitésimal ŕ la géometrie" (1826-1828) au servit ca modele pentru cursurile de


mai târziu. Prima din lucrările menŃionate dă o fundamentare nouă a analizei matematice. Aici se conŃine definiŃia riguroasă a infinitului mic bazată pe trecerea la limită. Această definiŃie a dat posibilitatea argumentării tuturor operaŃiilor, care se efectuează asupra infiniŃilor mici în cursurile de calculul diferenŃial şi integral. Cauchy a dat definiŃia continuităŃii funcŃiei, construcŃia bine organizată a teoriei seriilor convergente, a introdus noŃiune de rază de convergenŃă.

Cercetările hidrodinamice l-au condus pe Cauchy la calculul integralelor definite. El a dat definiŃia integralei ca limita sumelor integrale şi demonstraŃia existenŃei integralelor de la funcŃie continuă.

Meritul mare a lui Cauchy constă în dezvoltarea bazelor teoriei funcŃiilor de variabilă complexă, care au fost puse încă în secolul XVIII de către Euler şi d'Alembert. El a propus reprezentarea geometrică a variabilei complexe ca punctului, care se deplasează în plan pe drumul de integrare; a arătat că seria de puteri

a0 + a1x + a2x2 + ... + anx

n + ...

în domeniu complex are cerc de convergenŃă; a dat noŃiunea de integrala cu limitele complexe.

În primile lucrările sale Cauchy încă nu pleacă departe de predecesorii lui, utilizând variabila complexă în analiză ca un mijloc ajutător, ce dă posibilitatea rezolvării unor probleme dificile a calcului integral. În curând însă, cercetările lui şi ale altor savanŃi aduc la o mulŃime extrem de bogată de fapte şi rezultate noi. Devine clar, că este vorba despre existenŃa unei discipline aparte – teoriei funcŃiilor de variabilă complexă. Pe parcursul anilor 1826-1829 Cauchy a elaborat teoria reziduurilor şi aplicaŃiile acestei în analiză.

Argumentarea teoretică a analizei matematice, dată de către Cauchy, a fost atât de trainică, că a păstrat valoarea sa până la ultimii ani ai secolului XIX. Numai la sfârşitul secolului XIX a apărut necesitatea revizuirii acestor baze şi introducerii fundamentării încă mai riguroase a noŃiunilor, care intră în analiza matematică clasică. Aceasta a fost făcută de către adepŃii explicării dependenŃei funcŃionale pe baza teoriei mulŃimilor.


În teoria ecuaŃiilor diferenŃiale lui Cauchy îi aparŃin: formularea unei din problemele de bază ale acestei teorii (problema lui Cauchy); demonstrările teoremelor de bază de existenŃă a soluŃiilor în cazul variabilei reale şi complexe (în ultimul caz a fost dezvoltată metoda majoranŃilor); metoda de integrare a ecuaŃiilor cu derivate parŃiale de ordinul întâi.

În geometrie el a generalizat teoria poliedrelor, a elaborat o nouă metodă de cercetare a suprafeŃelor de ordinul doi, a cercetat tangenta, a determinat regulile de aplicaŃie a analizei în geometrie, a dedus ecuaŃia planului şi reprezentarea parametrică a dreptei în spaŃiu.

În algebră Cauchy a dezvoltat teoria determinanŃilor, a aflat proprietăŃile lor principale, (în particular, a demonstrat teorema de înmulŃire), a introdus noŃiunea de "modulul" numărului complex, numerele complexe "conjugate" ş.a., a generalizat teorema lui Sturm pentru numere complexe.

În domeniul teoriei elasticităŃii el a dat noŃiunea de tensiune, a determinat ecuaŃiile diferenŃiale de echilibru pentru paralelipipedul elementar dreptunghiular, a dezvoltat noŃiunea de deformare. În optică în mod matematic el a dezvoltat teoria lui Fresnel şi teoria dispersiei.

CreaŃia ştiinŃifică a lui Cauchy este caracterizată de metoda "globală" de rezolvare a problemelor puse: cunoscând rezultate pentru un număr infinit de valori al obiectului cercetat (reprezentare grafică fiind o curbă), el deducea proprietăŃile generale ale funcŃiei pentru orice valoare a obiectului.

Fiind reacŃionar şi idealist, Cauchy "a demonstrat" finitudenea numerelor şirului natural. DemonstraŃia aceasta a fost greşită, dar terminând-o, Cauchy arată analogia între mulŃimea numerelor naturale şi mulŃimea tuturor stelelor, care există şi au existat. De aici rezultă, după Cauchy, finitudenea lumii. El declară: "Ceea ce putem să spunem despre numărul stelelor, putem să spunem şi despre numărul oamenilor, care au trăit pe Pământ, şi despre numărul rotaŃiilor Pământului pe orbita lui, şi despre numărul stărilor, prin care lumea a trecut în existenŃa sa. Deci, a fost primul om, a fost prima


clipă, când a apărut Pământul în spaŃiu şi s-a început lumea. Astfel ştiinŃa ne aduce la aceiaşi, ce ne învaŃă credinŃa".

Cauchy a fost membru al AsociaŃiei Regale din Londra şi aproape a tuturor academiilor de ştiinŃe ale lumii; a fost cavaler al ordinului Legiunii de Onoare.


David Hilbert

(23.01.1862 – 14.02.1943)

David Hilbert a fost cu adevărat unul dintre cei mai mari matematicieni ai timpului. Lucrările sale şi însăşi personalitatea lui entuziasmată până în prezent au influenŃat adânc dezvoltarea ştiinŃelor matematice. IntuiŃia sa pătrunzătoare, puterea creatoare şi originalitatea irepetabilă a gîndirii matematice, interesele multilaterale l-au făcut explorator în multe domenii ale matematicii. Acesta a fost unicul într-un sens, personalitate adânc cufundată în lucrul său, complet devotat ştiinŃei, neobosit profesor şi conducător de cel mai înalt rang.

Autobiografia şi cronica familiară porneşte din faptul, că datorită reuşitei combinări de gene ale lui Otto Hilbert şi soŃiei sale Maria la 23 ianuarie 1862 s-a născut un copil deosebit de talentat, pe care l-au numit David.


Copilăria lui David Hilbert, ca şi majorităŃii copiilor din Königsberg, s-a petrecut într-o atmosferă de admiraŃie a ideilor lui Kant, fecior remarcabil al acestui oraş. În fiecare an la 22 aprilie, la aniversarea naşterii marelui filozof, cavoul lui aflat lângă catedrală se deschidea pentru public. În acele zile David o însoŃea pe mamă-sa, care era înzestrată cu idei filozofice, pentru a omagia memoria lui Kant. Tot mamă-sa avea să-i atragă atenŃie feciorului la constelaŃiile cereşti şi să-l conducă în lumea numerelor interesante. Datorită tatălui instruirea prematură a lui David avea amprenta calităŃilor prusiene a punctualităŃii, prudenŃei, devotamentului, stăruinŃei, disciplinei şi respectării legii.

În şcoala pegătitoare a Friedrich Collegiului Regal David a studiat primele lecŃii necesare pentru Gimnaziul Umanitar. Aici el trebuia să fie admis, dacă solicita de a primi specialitate, rang duhovnicesc sau să devină profesor universitar. Aceste lecŃii includeau în sine citirea şi scrisul în alfabetul latin şi gotic, caligrafia, părŃile vorbirii, analiza propoziŃiilor, istorii biblice, aritmetica elementară. Gimnaziul, care a fost ales de părinŃi pentru David se considera cel mai bun în Königsberg – şcoala particulară cu tradiŃii vechi, înfiinŃată la începutul secolului şaptesprezece, care l-a avut absolvent însuşi pe Kant. Alegerea gimnaziului însă n-a fost reuşită. În Königsberg în acel timp se acumulase un viitor de talente. Gimnaziul Alitstadt paralel îl frecventau Max şi Willi Wien, Arnold Sommerfeld şi Hermann Minkowski. Însă David, care frecventa Friedrich College, n-a avut ocazia în anii de şcoală să facă cunoştinŃă nici cu unul din aceşti băieŃi.

David din copilărie avea slabe capacităŃi de a învăŃa pe derost, dar în Friedrich College studierea şi învăŃatul pe de rost erau lucruri echivalente. Unul din prietenii săi spunea, că "clasele umanitare îi provocau mai multă mâhnire decât bucurie". Nu prea repede David asimila şi materialul nou. Dar necătând la toate greutăŃile, el niciodată n-a rămas în urmă de colegii săi, fiindcă era foarte sârguincios şi clar îşi dădea seama desrpe sistema prusiacă de învăŃământ. Spre deosebire de Einstein, el a învăŃat la gimnaziu pînă la urmă, susŃinând Abiturul (examen, după susŃinerea căruia se permitea admiterea la universitate).


În Gimnaziul Wilhelm David se simŃea mult mai fericit. În sfârşit învăŃătorii l-au apreciat şi-i stimulau personalitatea lui originală. După susŃinerea exclusiv de reuşită a examenelor în scris, el fusese eliberat de la examenele orale de absolvire. Pe partea verso a diplomei de absolvire a gimnaziului era remarcată atitudinea şi "interesul serios faŃă de ştiinŃă": "Ce priveşte matematica, el întotdeauna a manifestat un interes viu şi o înŃelegere profundă: la cel mai înalt nivel a însuşit materialul, şi-l aplică cu succes". Astfel pentru prima dată se pomeneşte despre Hilbert ca matematician.

O fericire pentru Hilbert a fost faptul, că universitatea din oraşul său natal, deşi îndepărtată de centrul evenimentelor din Berlin, după tradiŃiile ştiinŃifice se considera cea mai renumită din Germania. Aici a citit lecŃiile sale Iacobi, care pe timpurile lui Gauss era considerat matematicianul numărul doi în Europa. Adeptului său Richelot îi aparŃine meritul descoperirii geniului Karl Weierstrass, pe când ultimul lucra simplu profesor în şcoală.

Când în toamna anului 1880 Hilbert a fost admis la Universitatea din Königsberg, Weierstrass era cel mai remarcabil matematician în Germania; Iacobi şi Richelot decedase de-acum, iar Frantz Neumann, care a trăit pînă la o sută de ani, putea fi întânit la şedinŃele universitare şi chiar citea şi lecŃii. În pofida dorinŃei tatălui David s-a înscris nu la facultatea de juridică, dar la specialitatea de matematică, ce era în cadrul facultăŃii de filozofie.

Pe parcursul primului semestru al universităŃii Hilbert a ascultat lecŃii referitor la calculul integral, teoria determinanŃilor şi curbura suprafeŃelor. În semestrul al doilea, urmând obiceiul de a călători prin universităŃi, el a plecat la Universitatea din Gheideliberg, cea mai simpatică şi romantică din universităŃile germane. Aici Hilbert a frecventat lecŃiile lui Lazarus Fuchs, numele căruia era sinonim cu teoria ecuaŃiilor diferenŃiale liniare. În semestrul următor Hilbert putea să plece la Berlin, unde se afla o constelaŃie de învăŃaŃi aşa ca Weierstrass, Kummer, Kronecker şi Helmholtz. Dar semănând tatălui său, care era strâns legat de oraşul natal, el se întoarce la Universitatea din Königsberg. În acel timp în Königsberg se afla un singur profesor universitar în matematică. Acesta era Heinrich Weber, un om foarte erudit şi talentat, adept demn al lui Iacobi şi Richelot. La el Hilbert a ascultat cursul de teorie a numerelor, teoria


funcŃiilor şi teoria invarianŃilor, cea mai actuală teorie matematică a timpului.

În primăvara anului 1882 Hilbert a făcut cunoştinŃă cu un tânăr de acum recunoscut ca matematician Hermann Minkowski. În afară de o dragoste înflăcărată faŃă de matematică, ei împărtăşeau un optimism profund şi sigur.

Absolvind cursul universitar de opt semestre necesar pentru obŃinerea titlului de doctor, Hibert a început să chibzuiască asupra temelor pentru disertaŃie. Problema, propusă de Lindemann pentru disertaŃie, consta în stabilirea proprietăŃilor invariante ale unor forme algebrice. Problema era destul de complicată, dar nu într-atât că nu se putea aştepta soluŃia ei. Dând dovadă de originalitate, Hilbert a rezolvat-o printr-o metodă absolut diferită de ceea ce se aştepta. Aceasta a fost o lucrare foarte bună. Lindemann a rămas satisfăcut.

Devenind docent, Hilbert a hotărât să citească lecŃii pe diferite teme fără a se repeta, în aşa mod învăŃându-i nu numai pe studenŃi, dar şi pentru perfecŃionarea sa. Numai lecŃiile de teorie a invarianŃilor au adunat numărul de studenŃi necesar pentru obŃinerea dreptului de a avea clasă în universitate. "Unsprezece docenŃi, care depind de cam tot atâŃia studenŃi", – îi spunea el nemulŃumit lui Minkowski.

Deoarece în Königsberg erau puŃini studenŃi-matematicieni, Hilbert, în afară de şedinŃele matematice, frecventa şi şedinŃele naturaliştilor. Königsbergul era foarte bogat cu tineri apropiaŃi sufletului lui Hilbert. Atmosfera de salon aici era foarte activă. Hilbert era un tânăr vesel cu reputaŃia de "dansator energic" şi "atrăgător". Paralel el flirta cu mai multe domnişoare, dar cea mai îndrăgită parteneră era Kathe Jerosch, fiica unui comersant din Königsberg. La 12 octombrie 1892 Hilbert şi Kathe Jerosch s-au căsătorit.

La începutul anului 1893 Hilbert a dat o demonstraŃie nouă a transcendenŃei numerelor e (prima dată demonstrată de Hermite) şi (demonstrată de Lindemann). DemonstraŃia lui reprezenta un progres enorm în comparaŃie cu cele iniŃiale, fiind totodată foarte simplă şi clară. La momentul când Hilbert a început să se deprindă cu situaŃia sa de om căsătorit şi profesor-asistent cu salariu permanent, au venit noutăŃi plăcute. El a fost numit în funcŃie de profesor.


La 11 august 1893 la staŃiunea balneară Crantz în familia Hilbert s-a născut primul copil pe care l-au numit Frantz. După câteva săptămâni după naşterea feciorului Hilbert a plecat în München la adunarea anuală a SocietăŃii Germane a Matematicienilor, care avea ca scop stabilirea unor contacte mai strânse între diferite domenii ale matematicii. Aici Hilbert a prezentat două demonstraŃii noi ale descompunerii numerelor algebrice în ideale simple. Necătând la faptul că aceştia erau doar primii paşi în teoria numerelor algebrice, competenŃa lui în aceste întrebări i-a impresionat pe ceilalŃi membri ai SocietăŃii.

În martie 1895 Hilbert a plecat la Göttingen. Aici lui i-a fost suficient de simplu de a alege temele lecŃiilor sale, coordonate cu părerea lui Felix Klein. În primul semestru el a citit cursul de teotie a determinanŃilor şi a funcŃiilor eliptice, precum şi în fiecare miercuri împeună cu Felix Klein el conducea seminarul pe funcŃiile reale.

Hilbert citea lecŃiile sale într-un temp rar, "fără decoraŃii în plus", cu multe repetări, "pentru a fi convins, că toŃi l-au înŃeles". De regulă, el repeta materialul citit la lecŃia precedentă, ceea ce era specific pentru profesorii din gimnazii. Totuşi majoritatea studenŃilor erau impesionaŃi de lecŃiile lui, fiindcă erau înzestrate "de plăcute sincerităŃi".

Terminând lucrările asupra Zahlbericht, Hilbert se ocupă cu cercetările personale demult gândite. Principalul scop era generalizarea legii reciproce pe câmpul numerelor algebrice. În teoria clasică a numerelor legea reciprocă a cuadraturilor, cunoscută încă de Legendre, a fost iarăşi descoperită şi demonstrată strict de Gauss, când el avea 18 ani. Pe parcursul întregii vieŃi Gauss a considerat această teoremă drept "mărgăritar" al teoriei numerelor, revenind de mai multe ori la ea, dându-i încă cinci demonstraŃii diferite. Hilbert a reuşit să reformuleze legea cuadraturilor într-o formă simplă şi frumoasă, care avea sens şi pentru câmpurile numerelor algebrice. Lucrarea de vârf în acest domeniu a fost articolul "Despre teoria câmpurilor relativ abeliene". Aici a fost schiŃată o teorie largă, numită mai târziu ca "teoria câmpurilor claselor", şi a dezvăluit metodele şi noŃiunile necesare pentru cercetările următoare. Viitorii matematicieni spuneau, că ea este "o revelaŃie divină" – nici în una din lucrările lui Hilbert nu era aşa demonstrată intuiŃia lui matematică.


În perioada anilor 1898–1899 Hilbert a început să citească cursul de geometrie. Peste câteva luni a ieşit de sub tipar cartea lui Hilbert despre bazele geometriei, care a devenit o capodoperă a literaturii matematice. În Grundlagen der Geomertie ("Bazele geometriei") Hilbert a prezentat o sistemă completă de axiome a geometriei euclidiene, le-a clasificat în grupuri şi a cutezat să determine limitele fiecărei grupe de axiome, studiind nu numai consecinŃele fiecărei axiome aparte, dar şi a construit diferite "geometrii" modificând sau excluzând unele axiome.

În vara anului 1899 Hilbert s-a preocupat cu o problemă veche cunoscută ca principiul lui Dirichlet. EsenŃa problemei consta într-o dificultate logică, pe care au observat-o doar pe timpurile lui Weierstrass. Gauss, Dirichlet, Riemann ş.a. presupuneau, că întotdeauna există soluŃia aşa numitei probleme la capete a ecuaŃiei lui Laplace. În septembrie 1899, peste cincizeci de ani după disertaŃia lui Riemann, Hilbert a prezentat SocietăŃii Matematice din Germania o demonstraŃie, care a fost numită ca "reînvierea principiului Dirichlet".

La 6 august anului 1900 la Paris s-a deschis al Doilea Congres InternaŃional al Matematicienilor. Pe fonul numerosului Congres al Medicilor şi celui al StudenŃilor ce aveau loc adată cu ExpoziŃia InternaŃianală, el arăta foarte modest, aproape rămânând fără atenŃia presei. Însă rolul lui în istoria dezvoltării matematicii a rămas foarte însemnat. Congresul a adunat 226 delegaŃi, însă printre rândurile lor se afls întreaga elită matematică a timpului: aşa ca francezul Henri Poincaré, suadezul Magnus Mittag-Leffler, Jacques Hadamard, Gaston Darboux, Tullio Levi-Civita, Moritz Cantor, Maurice d'Ocagne, Hermann Minkowski, Georg Zeuthen, fiecare fiind personalitate, ce-a adus aport enorm în dezvoltarea matematicii.

În a treia zi a Congresului în una din aulele Sorbonnei, în care lucra secŃia de aritmetică şi algebră, la tribună s-a ridicat un om de statură mijlacie. El a prezentat un referat pe tema "Probleme matematice", care în continuare a devenit istoric. Hilbert a propus în calitate de obiect de studiu 23 de probleme importante – o estafetă originală secolului nou venit – rezolverea cărora influenŃa considerabil dezvoltării în continuare a matematicii. Unele din aceste 23 probleme, numite apoi în numele lui Hilbert sunt rezolvate deja, altele încă nu.


Demult trecuse acele zile, când David Hilbert citea lecŃiile sale pe tema funcŃiilor analitice în asistenŃa numai profesorului Franklin. Acum, pentru a asculta lecŃiile lui, în auditoriu se adunau mai multe sute de oameni, mulŃi dintre care şedeau pe pervazuri. Nici componenŃa, nici numărul ascultătorilor nu-l sfia pe Hilbert, "chiar dacă însăşi împăratul intra în sală, Hilbert nu avea să reacŃioneze deloc".

În anul 1909 Hilbert s-a împrietenit cu Richard Courant. Încă atunci era clar, că acest om va avea mari succese nu numai în matematică. El se ocupa adăugător cu Frantz Hilbert, care era deja adolescent, dar succesele căruia la învăŃătură lăsau de dorit. (Vorbind despre feciorul său, David Hilbert spunea: "Aptitudinile matematice el le-a moştenit de la mamă-sa, iar restul de la mine".) Pe parcursul anului Courant a fost asistentul lui Hilbert. În anul 1910 Hilbert a trimis la Societatea ŞtiinŃifică din Göttingen ultimul abstract pe tema ecuaŃiilor integrale.

"Se poate fără exagerare de spus, că anume datorită cercetărilor lui Hilbert s-a dezvăluit semnificaŃia reală a teoriei ecuaŃiilor integrale, – scria Courant. – În lucrarea lui Hilbert pentru prima dată s-a manifestat legătura strânsă între domenii absolut diferite ale matematicii, aplicaŃiile largi, armonia interioară şi simplitatea structurii". Începând cu Fredholm, matematicienii din toată lumea, dar mai ales în Germania şi S.U.A. se ocupau cu cercetarea ecuaŃiilor integrale. Însă prezentul indiscutabil îi aparŃinea lui Hilbert.

În toamna anului 1910 Academia de ŞtiinŃe a Ungariei a anunŃat despre conferirea Premiului doi Bolyai "lui David Hilbert, care cu profunzimea gândului, originalitatea metodelor şi logica strictă a demonstraŃiilor a acordat o influenŃă considerabilă în progresul ştiinŃelor matematice". Însăşi Poincaré, ca membru al comitetului de premiere, a pregătit o sinteză generală a lucrărilor lui Hilbert pentru prezentarea acestora Academiei şi publicării în continuare. Printre calităŃile, care a considerat el că trebuie special menŃionate au fost: spectrul larg de interese, importanŃa problemelor rezolvate, eleganŃa şi simplitatea metodelor, claritatea expunerii şi respectarea stricteŃei absolute. În detalii descriind rezultatele lui Hilbert (în special lucrarea despre bazele geometriei), el a izbutit să găsească un loc aparte între realizările altor matematicieni. Despre teorema lui Gordan: "Este


imposibil de a aprecia mai bine progresul obŃinut de Hilbert, decât de a compara numărul de pagini cheltuite de Gordan în demonstraŃia sa cu rândurile, pe care s-a întins demonstrŃaia domnului Hilbert".

Referatul lui Poincaré despre premiul Bolyai a apărut în anul 1911 în revista Acta Matematica. În următorul an David Hilbert, care a împlinit cincizeci de ani, a apărut în faŃa colegilor ca fizician.

Din cuvintele lui Paul Ewald, "profesorului de fizică al lui Hilbert", se poate caracteriza activitatea lui în timpul cela astfel: "Noi am transformat matematica, acum este rândul pentru fizică, iar apoi vom trece şi la chimie". Chimia pe timpurile cele se prezenta "ceva în genul culinariei, citită în şcoala pentru fete". Astfel Hilbert şi-a exprimat părerea despre nivelul chimiei.

Necătând la stima şi admiraŃia sa faŃă de Hilbert, Ewald îl găsea "asemănător cu un adolescent puŃin stagnat în dezvoltare". În zilele calde Hilbert venea la lecŃii în cămaşă cu mîinicile scurte şi cu gulerul deschis – formă absolut nepotrivită unui profesor din acel timp. El alerga pe străzi ca un vânzător de mărunŃuuri cu buchete de flori pentru "pasiile" lui. Coşul cu îngrăşăminte el îl ducea pe bicicletă aşa, de parcă acesta era un cadou extraordinar. Când era la concert sau la restaurant, cât de elegant nu era el îmbrăcat, simŃind puŃin răcoare, Hilbert putea liber să împrumute de la vreo doamnă boaul de piene purtat în jurul gâtului sau pelerina din blană. Unii considerau, că el proceda aşa, pentru ca să şocheze lumea depirinsă cu formalităŃile stricte. AlŃii erau de părerea, că Hilbert considera aceasta raŃional, fără a se deranja că ceva poate ieşi din comun. În orice caz, el întotdeauna se comporta demn, ceea ce la nimeni nu provoca râsul.

La 23 ianuarie 1922 Hilbert a împlinit şaizeci de ani. Datorită acestui jubileu ultimul număr din ianuarie al revistei germane "Naturwissenschaften" a fost în întregime închinat lui. Pe fotografia publicată el arăta puŃin schimbat, dar timpul şi mai mult a evidenŃiat în ochii lui atenŃia şi interesul irepetabil.

Principalul eveniment al săptămânii matematice în Göttingen în anii douăzeci rămânea să fie şedinŃa Clubului Matematic. Referatele lui Hilbert prezentate aici rămâneau un exemplu deosebit al simplităŃii şi clarităŃii. Una din principalele cerinŃe ale lui Hilbert faŃă de referent era


"selectarea stafidelor din chec". Dacă calculele erau migăloase, el putea să întrerupă referentul, spunându-i: "Noi ne-am adunat aici nu pentru a verifica corectitudinea semnelor alese". Dacă lămurirea părea a fi suficient de trivială, el putea să facă observaŃia: "Noi nu ne aflăm la tertia" ("tertia" – nivel în gimnaziu pentru vârsta de 12–14 ani). Brutalitatea, care putea fi răsfrântă pe cei care nu corespundeau standardelor lui Hilbert era deja cunoscută. MulŃi matematicieni de vază din Europa şi America se temeau să prezinte lucrările sale la Clubul Matematic din Göttingen.

Începând cu anul 1922 David Hilbert a încetat de a se ocupa cu fizică. Rezultatele lui în fizică au rămas incomparabile cu cele în matematică. Scopul lui de a axiomatiza fizica, cu părere de rău, n-a fost atins. Aportul lui real aici a fost introducerea unor metode, obŃinute în lucrările sale despre ecuaŃiile integrale.

Necătând la natura sa consevatoare, Hilbert rămânea întotdeauna liberal în faptul, că el niciodată n-a împărtăşit ideile anumitei doctrine politice. Muzica era deseori factorul ce aducea pacea în discuŃiile cu prietenii pe problemele politice şi logice. Uneori părea că din toate domeniile artei Hilbert era pasionat numai de muzică. Paralel el se perocupa cu literatura şi cum zicea Courant "dorea să fie la curent". Hilbert foarte înalt îi aprecea pe Goethe şi Homer, dar romanele le considera că conŃin puŃină acŃiune. Există un banc, care într-o măsură demonstra atitudinea lui faŃă de literatură şi matematică, şi anume:

Un matematician a devenit romanist.

– De ce a procedat el aşa? – se mirau în Göttingen. – Cum poate un om ce a făcut matematică, să scrie romane?

– Foarte simplu, – a spus Hilbert. – Pentru matematică nu i-a ajuns imaginaŃie, pe când aceasta întocmai îi ajunge pentru a scrie romane.

Cu timpul starea sănătăŃii a lui Hilbert permanent se înrăutăŃea. În toamna anului 1925 lui i s-a pus diagnoza de anemie malignă. Vârsta oficială de plecare din post,a fost vârsta de 68 de ani, pe care Hilbert


a atins-o la 23 ianuarie 1930. Cu această ocazie în numele lui a fost numită una din străzile Göttingenului. Dar din toate onorurile acordate cea mai mare bucurie a adus anume aceea venită din oraşul natal. Consiliul Îrăşenesc din Königsberg a hotărât să confere renumitului fecior al oraşului titlul de "cetăŃean de onoare".

La 14 februarie 1943 Hilbert a decedat în urma complicaŃiilor produse de neactivitatea fizică. Ceva mai mult de douăzeci de oameni au venit să-l petreacă în ultimul drum. Marele profesor a plecat, dar în toată lumea – în Ńările mici ale Europei, Marea Britanie, Japonia, Rusia, S.U.A. – au rămas elevii lui Hilbert şi elevii elevilor lui.

După moartea lui în revista "Nature" se spunea, că "rar se găseşte vreun matematician, al cărui lucrare nu este legată mai mult sau mai puŃin de lucrările lui Hilbert. Ca un Alexandru Macedon el a lăsat numele său pe harta matematică: spaŃiul Hilbert, inegalitatea lui Hilbert, transformarea lui Hilbert, integrala invariantă a lui Hilbert, teorema lui Hilbert despre bază, axioma Hilbert, subgrupul Hilbert, câmpul claselor Hilbert".


Henri Poincare

(21.08.1789 – 23.05.1857)

Aproape un secol ne desparte de timpurile de când geniul Poincaré uimea cu spectrul său larg al gândului ştiinŃific întreaga elită a contemporanilor săi. Numele lui Poincaré se află alături de Newton şi Arhimede, fiind un pisc enorm în lantul raŃiunii şi gândirii umane. Istoricul american E. Bell l-a numit ca "ultimul universalist". Ultimul, deoarece Poincaré împreună cu Hilbert au încheiat lanŃul marilor matematicieni cu titlul de universalişti. În timp de 30 ani de lucru continuu Poincaré a lăsat lucrări fundamentale practic în toate ramurile matematicii, ceea ce l-a facut lider recunoscut de contemporanii săi.

"Autoritatea Nr.1 a timpului" – aşa îl numeau colegii, s-a născut la 29 aprilie 1854 în oraşul Nancy (Lorraine, FranŃa). Tatăl său Leon Poincaré la vârsta de 26 ani îmbina cu succes profesia de medic, farmacist şi lector la facultatea de medicină. Madam Poincaré se ocupa cu casa şi educaŃia fiului Henri şi fiicei Alina. PărinŃii şi rudele apropiate au observat în micul Henri o distracŃie neobişnuită, ceea ce


îi îngrijora foarte mult. Această calitate l-a însoŃit pe parcursul vieŃii, datorită cărui fapt au fost povestite multe legende. Însă nimeni nu presupunea, că distracŃia lui Henri este nu altceva decât o dovada a calitaŃii înnăscute de a se izola de realitatea înconjurătoare.

Îmbolnăvindu-se de difterite Henri a stat la pat câteva luni, dar drept urmare a acesteia a fost paralizarea picoarelor şi a muşchilor laringiali. Henri a fost Ńintit la pat cu amprenta tăcerii pe buze. Puterile foarte greu se întorceau la organismul slăbit. Paralizia picioarelor s-a tratat mai repede, dar treceau lunile, iar micul Henri nu spunea nici un cuvânt. Aceasta l-a făcut să devină foarte atent la sunetele lumii înconjurătoare. Auzul a devenit unica sursa de legătura cu lumea exterioară. Deja peste mai multi ani, psihologii au determinat la renumitul învăŃat o proprietate foarte rară, şi anume asimilarea colorată a sunetelor, în rezultatul careia fiecare vocală se asocia cu o culoare. Această calitate l-a însoŃit pe Henri Poincaré pe parcursul întregii vieŃi.

Spre fericire, cu timpul Henri a început sa vorbească, însă s-a schimbat atât fizic cât şi moral, devenind foarte timid. PărinŃii au luat decizia de a-i face studiile în condiŃii casnice cu profesorul Alphonse Guyntzelin – om foarte învăŃat şi erudit, pedagog înnăscut. LecŃie după lecŃie procesul de învăŃământ trecea într-un mod foarte interesant. Biologia, geografia, istoria, gramatica se asimilau de către Henri atât de uşor încât nici nu apărea necesitatea de a nota în caiet. Profesorul s-a mirat foarte mult de capacitatea elevului de a face calcule în minte. Astfel Henri foarte rar avea necesitatea de a scrie. Unui observator străin i s-ar părea că învăŃătorul pur şi simplu stă de vorbă cu elevul despre multe şi mărunte. Memoria auditivă a lui Henri, excelentă de la natură a devenit şi mai fină după aceste lecŃii, însă au servit dezvoltării neglijării scrisului. Această calitate n-au mai putut s-o corecteze anii de studii.

Pregatirea bună de acasă i-a permis lui Henri la vârsta de opt ani şi jumate să între în clasa a noua de liceu (numărarea claselor se efectua invers: a zecea – cea mai mică, întâia – cea mai mare). Făcând studiile, profesorii ramâneau foarte încântaŃi de intelectul băiatului. Compunerea scrisă la sfârşitul anului de învăŃământ profesorul a numit-o drept "mică capodoperă" pentru stilul neordinar şi emoŃional de expunere a gândurilor. Matematica sau mai corect


aritmetica însă n-au atins acele strune ale sufletului, deşi Henri fără greutăŃi se isprăvea cu materialul. Însă, în clasa a patra în casa parinŃillor Poincaré a venit ontr-o zi un profesor de la liceu foarte emoŃionat, exclamând gospodinei casei: "Madam, feciorul D-voastră va fi matematician!" Dar întrucât pe faŃa madam Poincaré nu s-a observat nici un semn de bucurie sau mirare, prorocul numai ce venit a adăugat: "Vreau să spun, că el va fi mare matematician!"

Necătând la succesele obŃinute în matematică, după clasa a patra Henri decide de a continua studiile cu înclinaŃie umanitară. Probabil, asupra acestui pas au influenŃat părinŃii, care considerau că fiul lor trebuie să obŃină studii umanitare complete. Henri intensiv studiază latina, clasica antică şi contemporană.

La 19 iunie 1870 guverul FranŃei declară război Prusiei. În capitală şi în departamente pedomina avântul si entuziasmul. Toată lumea era convinsă de victoria FranŃei civilizate asupra Prusiei barbare. Ca o revelaŃie neaşteptată apare în faŃa poporului francez realitatea, că Ńara nu este gata pentru a duce război. Presa franceză continuă încă bravadele armatei franceze, dar prin Nancy începeau să treacă rămăşiŃele distruse ale formaŃiunilor franceze istovite în luptele inegale.

În aceste zile de grea încercare Leon Poincaré ca membru al municipalităŃii orăşăneşti conduce formaŃiunea medicală pentru deservirea răniŃilor. Henri, fiind în vârsta de 16 ani, nu este recrutat în serviciul militar, dar se află alături de taică-său în calitate de asistent medical şi secretar. La 14 august oraşul a fost ocupat de inamic, iar la 18 martie în Paris a avut loc Comuna. Toate aceste evenimente au lăsat amprentele sale în conştiinŃa lui Henri.

În primăvara anului 1871 Henri meditează aupra lucrării de disertaŃie, ce urmează după terminarea clasei întâi. Tema aleasă sună astfel: "Cum se poate înălŃa naŃia?", în care s-au reflectat gânduri nobile, durere pentru Patria înjosită.

La 5 august 1871 liceistul Poincaré susŃine cu succes examenele de bacalaureat în ştiinŃe umaniste cu nota "bine". Compunerea scisă în latină a fost mai reuşită decât cea în franceză, care a fost apreciată cu cea mai înaltă notă. Astfel rândurile criticilor literari au fi putut să


crească încă cu un gânditor talentat, desigur, dacă Henri avea să aleagă facultatea de filologie a universităŃii.

La 7 noiembrie 1871 el susŃine examenele de bacalaureat în ştiinŃe exacte doar cu nota "satisfăcător". Lucrarea în scris la matematică a dat eşec. Cazul a fost în felul următor: Henri a întârziat la examen şi, fiind grăbit şi distrat, n-a înŃeles corect problema. Astfel în loc de a deduce formula sumei progresiei geometrice, a tratat complet altă întrebare. Conform formalităŃilor Henri putea fi expulzat din lista examinaŃilor, însă despre capacităŃile extraordinare ale lui s-a auzit şi în universitate, ceea ce a făcut ca profesorii să închidă ochii la ceea ce s-a întâmplat. Profesorii n-au regretat despre acest fapt, deoarece la examenul oral Henri a demonstrat o cunoaştere profundă a cursului de matematică. Astfel el a obŃinut titlul de bacalaureat în ştiinŃe exacte.

Îndată după examenele de bacalaureat Henri a fost admis în clasa de matematică elementară. Abia acum el cu adevărat începe să se cufunde în viitoarea profesie. Adăugător la cursul obligatoriu el studiază literatura matematică mult mai serioasă: "Geometria" lui Roshe, "Algebra" lui Josef Bertran, "Analiza" de Duanele, "Geometria superioară" lui Chale.

Anii 1872 şi 1873 au fost însemnaŃi prin faptul, că Poincaré s-a plasat pe primele locuri la concursurile de matematică elementară şi matematică specială. Pentru FranŃa distrusă şi jefiută de operaŃiile militare aceste rezultate au servit ca un balzam pe rană.

În octombrie 1873 Henri devine student la Şcoala Politehnică, absolvenŃii căreia se pregăteau pentru funcŃii tehnice superioare în aparatul de Stat şi armată. Îndată după admitere, Henri se plasa pe primul loc în lista elevilor cei mai buni, dar cu timpul îl pierde din cauza disciplinilor aşa ca desenul, desenul liniar, pregătirea militară. Ca şi în liceu Henri nu dă nici un semn de dar artistic. Mai mult, la lecŃiile de matematică dacă se apuca să desene două drepte concurente, atunci în rezultat ele se primeau nici drepte, nici concurente. Pe primul loc s-a plasat prietenul lui Bonfois.

Acesta, la rândul său, a primit în calitate de cadou culegerea de lucrări ale lui Laplace, înmânate conform tradiŃiei celui mai bun


absolvent al Şcolii Politehnice de la Academia de ŞtiinŃe. Poincaré s-a plasat pe locul al doilea, dar ceea ce Ńinea de disciplinile fizico-matematice şi chimie Henri a rămas cel mai puternic. Primii trei cei mai buni absolvenŃi ai Şcolii Politehnice au fost admişi la Şcoala de Mine, una dintre cele mai elitare instituŃii superioare de învăŃământ.

Deja în anul doi de studii la această şcoală Poincaré a început serios să facă cercetări ştiinŃifice, iar cursurile speciale ce nu aveau legătură cu matematica rămâneau ignorate de imaginaŃia lui. ExcepŃie făcea doar disciplina mineralogia, deoarece conŃinea în sine cursul de cristalografie, care alături de cinematică servea drept aplicaŃie a teoriei grupurilor (una dintre cele mai abstracte ramuri ale matematicii de atunci). În calitate de recenzenŃi la lucrarea de disertaŃie au fost numiŃi matematicienii Darboux, Laguerre şi Bonnet. În clipele chinuitoare de aşteptare ale rezultatelor au fost scrise de Henri multe versuri comice adresate acestor învăŃaŃi.

Gaston Darboux, fiind un matematician de treizeci de ani, profesor la Sorbonne, a apreciat disertaŃia lui Poincaré astfel: "De la prima vedere mi-a fost clar, că lucrarea iese din limitele unei lucrări obişnuite şi mai mult ca oricare altă lucrare merită de a fi primită. Ea conŃine destule rezultate pentru a aproviziona cu materiale multe alte bune desertaŃii."

La absolvirea Şcolii de Mine, Poincaré însă a fost repartizat în localitatea Vesoul în calitate de simplu inginer la o mină de clasa a treia. În obligaŃiunile lui intra inspectarea întrărilor în minele de cărbuni şi controlul exploatării liniilor de cale ferată.

În dimineaŃa zilei de 1 septembrie 1879 a avut loc o explozie provocată de gazele de mină şi circa 20 de mineri au rămas pierduŃi în mină. Ca specialist Henri Poincaré a coborât în mină pentru a determina situaŃia şi a salva muncitorii, dar, cu părere de rău, şaisprezece din ei au decedat. În învălmăşala produsă administraŃia a anunŃat, cum că şi Poincaré a decedat în rezultatul îndeplinirii funcŃiilor. Spre fericire, a fost o greşală.

DisertaŃia susŃinută de Henri Poincaré îi permitea de a citi lecŃii în instituŃiile superioare de învăŃământ. Astfel la 1 decembrie 1879 el pleacă la Caen, unde a fost numit lector de analiză matematică la


Facultatea de ŞtiinŃe. Părăsind Vesoul, el niciodată nu se va mai întoarce la activitatea de inginer, dar în continuare se numără în departamentul respectiv.

În februarie 1881 în "Comptes rendus" apare prima publicaŃie a lui Poincaré despre funcŃiile lui Fuchs. Pe parcursul a doi ani Poincaré a publicat circa 25 de publicaŃii şi câteva memuare ştiinŃifice. Primele lucrări ale lui Poincaré îndată au atras atenŃia multor matematicieni europeni, care i-au făcut să urmărească orice pas al lui. Astfel matematicianul german Karl Weierstass îi scria elevei sale Sofia Kovalevski: "Ai observat ultimele lucrări ale lui Poincaré? El este un mare talent în matematică...".

Până în anul 1884 Poincaré a publicat încă cinci lucrări mari despre funcŃii noi numite de el în numele lui Fuchs.

Aproape doi ani Poincaré s-a aflat în Caen. Această perioadă a fost foarte importantă în viaŃa lui. Anume aici au avut loc acele realizări, care pe mulŃi ani înainte au decis viaŃa şi activitatea ştiinŃifică a lui Poincaré. Tot în Caen la 20 aprilie 1881 Henri Poincaré s-a căsătorit cu madmoazelă Paulain D'Endessy, nepoata unui biolog francez, membru al Academiei de ŞtiinŃe.

Datorită strălucitei descoperiri a funcŃiilor Fuchs (automorfe) Poincaré la vârsta de 27 ani a obŃinut o recunoştinŃă mare în cercurile ştiinŃifice, astfel încât lui i s-a propus funcŃia de lector la Facultatea de ŞtiiŃe la Universitatea din Paris. Astfel în octombrie 1881 el pleacă cu familia la Paris unde şi-a continuat activitatea. Aici s-a format un trio matematic alcătuit din Henri Poincaré, Émile Picard şi Paul Appell. ToŃi trei în 1881 s-au întors la Paris după câŃiva ani petrecuŃi în provincie, cu merite deosebite în ştiinŃă, care s-au inclus activ în lucrul de pregătire a revistei specializate "Buletinul ştiinŃelor matematice şi astronomice". Acest cuplu era protejat de Charles Hermite, profesor la Universiatatea din Paris, membru al Academiei de ŞtiinŃe, devenind după moartea lui Cauchy liderul recunoscut al matematicienilor francezi.

La Paris Poincaré a studiat profund problema punctelor singulare ale ecuaŃiilor diferenŃiale. El a clasificat şi a evidenŃiat punctele singulare ale familiei curbelor integrale, a studiat caracterul de comportament al


curbelor integrale în vecinătatea lor. Patru memuare mari (1882-1886) cu denumirea "Despre curbele determinate de ecuaŃii diferenŃiale" au alcătuit conŃinutul unui compartiment nou al matematicii. Denumirea acestui curs i-a dat-o însăşi Poincaré: "Metode calitative ale teoriei ecuaŃiilor diferenŃiale". Una din probleme ce se rezolvă folosind aceste metode, este problema curbelor integrale definite pe un tor.

În toamna anului 1886 Poincaré este ales şef al catedrei de fizică matematică şi teoria probabilităŃilor la Universitatea din Paris, iar în ianuarie 1887 – membru al Academiei de ŞtiinŃe din FranŃa.

În ianuarie 1889 la concursul internaŃional, organizat la iniŃiativa regelui suedez Oscar II, au fost prezentate unsprezece lucrări. Juriul concursului a evidenŃiat două din ele: una îi aparŃinea lui Paul Appell, cu denumirea "Despre integrala funcŃiilor factoriale şi aplicarea lor la descompunerea funcŃiilor abeliene în serii trigonometrice", a doua lucrare avea drept deviz un vers în latină: "Nunquam praescriptos transibunt sidera fines" ("Niciodată stelele nu vor depăşi limitele prescrise"). Acesta a fost memuarul lui Henri Poincaré despre problema celor trei corpuri. Ambele lucrări au fost apreciate egal. Prietenii au împărŃit între ei gloria şi onoarea.

Încă de mic copil Henri a fost adânc impresionat de strălucirea magică a cerului înstelat. Mai târziu el a scris în una din lucrările sale: "Stelele ne trimit nouă nu numai lumina sesizată de ochi, dar de la ele vine o lumină mai fină, ce ne limpezeşte mintea". Această lumină, probabil, i-a insuflat dorinŃa de a studia şi a reînnoi aparatul mecanicii cereşti format pe parcursul a două sute de ani, folosind ultimele rezultate ale matematicii. În tratatul voluminos "Metode noi ale mecanicii cereşti" (1892-1899) el a studiat soluŃiile periodice şi asimptotice ale ecuaŃiilor diferenŃiale, a demonstrat comportarea asimptotică ale unor serii, ce serveau soluŃii ale ecuaŃiilor diferenŃiale cu derivate parŃiale, a elaborat metodele parametrului mic, metoda punctelor fixe. Metoda "ivarianŃilor integrali" aplicată de Poincaré a devenit un procedeu clasic al cercetărilor nu numai în mecanică şi astronomie, dar şi în fizica statică şi mecanica cuantică. Aporul lui Poincaré în mecanica cerească a fost într-atât de însemnat, încât el a fost ales unanim şef la catedra de mecanică cerească din Sorbonne.


Astfel din toamna anului 1896 profesorul Poincaré citeşte cursul de lecŃii normative în mecanica cerească.

Lucrând asupra problemelor mecanicii cereşti el paralel a pus fundamentul unei ştiinŃe noi – topologia, numită de el "Analysis situs", în traducere – "analiza poziŃiilor". Până în anul 1904 au fost publicate încă cinci suplimente la lucrarea de bază "Analysis situs".

SecŃia matematică a Academiei de ŞtiinŃe era compusă din 5 sectoare: geometrie, mecanică, astronomie, fizică, geografie şi navigaŃie. Până acum Poincaré putea fi considerat în oricare din primele patru sectoare, dar ultimele lucrări în geodezie şi teoria fluxurilor marine i-a permis să fie admis în al cincilea sector. Necesitatea permanentă de a vedea noul era calitatea caracteristică a lui.

Poincaré a influenŃat direct în dezvoltarea gândirii teoretice în perioada critică a fizicii clasice. Încă în anul 1904 la Congresul InternaŃional din St. Louis (S.U.A.) el a formulat legea, numită mai apoi ca postulatul relativităŃii. În vara anului 1905 în articolul "Despre dinamica electronului" au fost expuse ideile, care au devenit o parte componentă a teoriei relativităŃii a lui Einstein. Încă o formulă matematică ce Ńinea de viitor a fost obŃinută în studiul difracŃiei undelor de radio. În memuarul scris în 1909 Poincaré deduce formula fundamentală a teoriei difuziei undelor. Abia în mijlocul secolului XX această formulă a fost demonstrată complet.

Începând cu anul 1902, paralel cu Sorbonne şi Şcoala Politehnică, Poincaré citeşte lecŃii de teorie a electricităŃii la Şcoala Superioară de Poştă şi Telegrafie. Aici el era foarte preocupat de problema telegrafului fără fire.

În lucrările lui Poincaré a fost cuprinsă "toată orbita ştiinŃei matematice". Astfel s-au exprimat membrii comisiei, înmânându-i una din cele mai autoritare premii – J. Boyai, organizată de Academia de ŞtiiŃe a Ungariei. Până la aceasta Poincaré obŃinuse premiul regelui Oscar II, medalia de aur a SocietăŃii Regale de Astronomie din Londra şi medalia de aur a lui Lobacevski a SocietăŃii Fizico-matematice din Kazan. În numele lui Henri Poincaré a fost numit Institutul de Matematică din Paris şi un crater de pe Lună.


La 17 iulie 1912 la vârsta de 58 ani a încetat să bată inima marelui matematician francez Henri Poincaré.

A plecat în larg o "corabie a ştiiŃei", căreia i-a fost menit să ducă în viitor tot ce este mai preŃios omenirii – gândirea. Gândirea este unelta şi produsul întregii activităŃi umane, scopul final al existeŃei omului. Gândirii omeneşti Henri Poincaré i-a consacrat cuvintele: "Istoria ne arată, că viaŃa este doar un epizod între două veşnicii ale morŃii şi în acest epizod gândirea conştientă durează doar o clipă. Gândirea este doar o explozie de lumină în mijlocul unei nopŃi lungi.

Dar această explozie este totul."


Bibliografie

Ori de cate ori, profesorii (si preparatorii) de matematica se conving de faptul ca elevii poseda cunostinte superfeciale la unele compartimente ale cursului scolar, asa cum sunt modulul (ecuatii si inecuatii), ecuatii si inecuatii exponentiale, logaritmice, trigonometrice, ecuatii cu parametru, etc. Cu parere de rau, de regula, aceste compartimente sunt abordate insuficient in cadrul cursului scolar, si astfel apare necesitatea de a consulta unele materiale didactice diferite de manualele scolare.

Desigur, exista o multime de carti, brosuri, reviste destinate matematicii elementare. Firesc apare intrebarea: Care din ele merita a fi studiata si procurata? Aceasta intrebare este dificila mai ales pentru cei, care numai pornesc pe drumul larg al matematicii. Vom incerca sa raspundem la aceasta intrebare prezentand un ghid pe marginile materialelor didactice, indicand autorul, denumirea, comentarii asupra continutului etc.

Lista care urmeaza va fi permanent completata.

1. A.Albu, V.Dinescu, Probleme de concurenta si coliniaritate in geometria plana, Editura Porto-Franco, Galati, 1994, 179p. Aceasta carte reprezinta o culegere de probleme de geometrie si incununeaza aplicatii din cele mai diverse, privitoare la concurenta si coliniaritate in geometria plana si se adreseaza elevilor din clasele VII-X.

2. P.Alexandrescu, I.Maftei, Analiza Matematica. Culegere de exercitii si probleme pentru elevii claselor XI-XII de liceu, pregatirea examenelor de bacalaureat, admiterea la facultate si a olimpiadelor scolare. Editura ALCOMI, 190p. Fiecare capitol incepe cu probleme mai usoare, de rutina, destinate "intrarii in atmosfera". Foarte curand apar probleme mai grele, a caror rezolvare necesita cunostinte, antrenament si mult talent. Toate problemele sunt rezolvate complet.

3. L.Arama, T.Morozan, Culegere de probleme de analiza matematica pentru bacalaureat si admiterea in invatamantul superior. Editura Universal Pan, Bucuresti, 1997, 376p.


4. D.M.Batinetu, Probleme de matematica pentru treapta a II-a de liceu. Siruri, Editura Albatros, Bucuresti, 1979, 533p. Aceasta lucrare constituie o culegere de probleme in ce priveste capitolul siruri, si completeaza cu succes materialul liceal. Prin diversitatea problemelor, precum si prin modul variat de rezolvare, lucrare ar fi interesanta tineretului scolar, cadrelor didactice care predau in liceu, precum si celor care vor sa-si completeze cunostintele introductive in analiza matematica.

5. D.Duca, E.Duca, Culegere de probleme de analiza matematica II. Editura Gil, Zalau, 1997, 224p. Recomandata in vederea utilizarii in scoli si pentru pregatirea suplimentara a elevilor. Fiecare capitol incepe cu o parte teoretica, fara demonstratii.

6. T.Cohal, Va place Matematica? Probleme pentru ciclul gimnazial, Editura Moldova, 1991, 418p.

7. P.Cojuhari, Ecuatii si inecuatii.Teorie si practica, Chisinau, Universitas, 1993, 379p. In aceasta carte se trateaza intr-un mod sistematic metodele funadamentale de rezolvare a ecuatiilor si inecuatiilor algebrice, irationale, exponentiale, logaritmice, precum si a acelora ce contin semnul valorii absolute. Fiecare compartiment contine expuneri teoretice, care au fost puse la baza elaborarii metodelor principale de rezolvare a ecuatiilor si inecuatiilor. Pentru ca acestea sa fie cat mai acesibile, sunt analizate diferite ecuatii si inecuatii concrete, iar la sfarsitul fiecarui compartiment sunt propuse probleme si exercitii de recapitulare. Astfel, lucrarea contine peste 1000 de exercitii si probleme. Suntem siguri ca cartea va prezenta un real folos la predarea matematicii, la studierea matematicii elementare, precum si cadrelor didactice din invatamantul mediu de specialitate si superior.

8. P.Cojuhari, Exercitii si probleme de matematica pentru examenele de admitere in invatamantul superior, Chisinau, 1996, 156pag. Lucrarea contine exercitii si probleme din cadrul examenelor de admitere in anul 1995 la facultatile USM. In prima parte se expun enunturile exercitiilor si problemelor, iar in partea a doua, solutii, indicatii si raspunsuri. Lucrarea se adreseaza, in primul rand, elevilor care se pregatesc pentru examenele de admitere in invatamantul superior (la facultatile de matematica cat si de alt profil: fizica, chimie, economie, etc.). De asemenea, aceasta carte poate fi folosita de cadrele didacttice ca material suplimentar pentru meditatii cu elevii.

9. P.Cojuhari, A.Corlat, Ecuatii si inecuatii algebrice, Chisinau, 1995, 90pag. 10. P.Cojuhari, A.Corlat, Ecuatii exponentiale si logaritmice, sisteme si inecuatii, Chisinau, 1995, 85p. 11. P.Cojuhari, A.Corlat, Progresii aritmetice si geometrice, Chisinau, 1995, 32pag. Lucrarile 9)-11) contin un minim al tipurilor de probleme ce se refera la compartimentele respective, care trebuie cunoscute de candidatul ce urmeaza sa sustina examenul de maturitate, bacalaureat, admitere in invatamantul superior. Pe parcursul lucrarilor sunt prezentate probleme cu solutii, atragand atentia la gresele frecvente comise de catre


candidati. La fel, la sfarsitul fiecarui capitol sunt date si exercitii pentru lucru de sinestatator.

10. P.Cojuhari, Teme si probleme de matematica, Chisinau, 1995, 173pag. Sunt prezentate subiectele cat si solutiile corespunzatoare, date la admitere in anul 1994 la diferite facultati ale Universitatii de Stat din Moldova. Elementul de noutate consta in modul gradat de prezentare, de la simplu la complex, pecum si prezentarea unor probleme si solutii originale. La fel sunt prezentate si unele elemente teoretice de sinteza, cum ar fi notiunele de: numar prim, cel mai mic multiplu comun (cel mare divizor comun), graficul unei functii, studiul unor ecuatii, definirea unor elemente geometrice s.a.m.d., care vor completa tabloul cunostintelor necesare, in vederea sustinerii cu succes a examenului de admitere.

11. I.Cuculescu, Olimpiade internationale de matematica ale elevilor, Editura Tehnica, Bucuresti, 1984, 352p. In prima parte a lucrarii este descrisa Olimpiada Internationala de Matematica in ceea ce priveste modul de propunere a problemelor, solutiile ce li s-au dat, modul de atribuire a punctajului si a premiilor. Partea a doua cuprinde subiectele (cu solutii) propuse la OIM intre anii 1973-1982.

12. P.Flondor, O.Stanasila, Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate, Editura All, Bucuresti, 1996, 336p. Aceasta carte cuprinde lectii asupra subiectelor standart ale cursului analizei matematice adresat studentilor din anul I ai facultatilor tehnice si economice.

13. M.Ganga, Teste de algebra si analiza matematica pentru clasele XI-XII, bacalaureat si admitere in invatamantul superior, Editura Iriana, Bucuresti, 1993, 224p.

14. M.Ganga, Teste de geometrie, Editura Tehnica, Bucuresti, 1992, 134p. Lucrarea contine 50 teste de geometrie si trigonometrie, este adresata atat elevilor de gimnaziu si liceu, celor ce se pregatesc pentru admiterea in invatamantul superior, cat si profesorilor de matematica. Dupa enuntarile testelor urmeaza rezolvarea completa a acestora.

15. G.Gheba, Exercitii si probleme de matematica, clasele VII-VIII, Editura Didactica si Pedagocica, Bucuresti, 1979, 293p. Cartea reprezinta o culegere vasta de probleme selectate dupa tematica respectiva. Fiecare problema este insotita si de raspuns. La problemele dificile sunt date unele indicatii spre rezolvare.

16. L.Gherman, A.Corlat, Exercitii si probleme de matematica pentru examenele de admitere in invatamantul superior, Chisinau, Evrica, 1997, 122p. In aceasta lucrare se prezinta probele la matematica de la admiterea la USM in anul 1996.


17. N.Ghicu, I.Chesca, Culegere de probleme de matematica pentru admitere in liceu si scoli profesionale, Editura Coresi, Bucuresti, 1993, 67p. Se propune, intr-o forma unitara, un model de recapitulare rapida si eficienta.

18. E.Guran, Matematica recreativa, Editura Junimea, 1985, 213p. Cartea cuprinde o categorie de exercitii si probleme care, in mare parte, prezinta aceste fel de particularitati legate in primul rand, metoda de rezolvare si, in al doilea rand, de rezultatele - fie spectaculoase, fie neasteptate - la care se ajunge. In unele cazuri, nici modul in care este formulat enuntul nu scuteste cititorul de inedit.

Culegerea se adreseaza elevilor din scoala generala, precum si marelui public, amator de unele incursiuni in domeniul matematiicii, oamenilor cu profesiuni si preocupari diferite care, recreindu-se, se supun, in acelasi timp, unui examen, examenatorii fiind ei insisi.

19. A.M.Iaglom, I.M.Iaglom, Probleme neelementare tratate elementar, Editura Tehnica, Bucuresti, 1981, 411p. (tradusa din rusa) Cartea contine o serie de probleme din diferite domenii ale matematicii superioare: teoria probabilitatilor, teoria numerelor, geometria proiectiva, calculul integral, topoligie, probleme rezolvate prin metode care nu ies din cadrul cunostintelor dobandite in liceu. Lucrarea este adresata elevilor, studentilor si cadrelor didactice din invatamantul mediu.

20. V.Mangu, Matematica. Subiecte date la concursurile de admitere in invatamantul superior din Romania intre anii 1980-1990 (cu rezolvare integrala), Editura Garamond, Bucuresti, 1993, 461p.

21. C.Militaru, Algebra. Exercitii si probleme pentru liceu si admitere la facultate, Editura "ALUX", Bucuresti, 1992, 284p. Structura fiecarui capitol cuprinde elemente de teorie, cu referire la principalele teoreme si formule de calcul, respectiv exercitii propuse, prezentate gradat dupa dificultatile de rezolvare.

22. I.Mihalache, Probleme de matematica pentru clasele V-VI, Editura didactica si pedagocica, Bucuresti, 1997, 287p.

23. C.Moanta, Probleme de analiza matematica pentru bacalaureat si admitere in invatamantul superior, Editura Rapsodia Romani, Craiova, 1997, 403p. Culegerea de probleme se adreseaza elevilor din ultimele doua clase ale ciclului liceal. Fiecare capitol al lucrarii este structurat in patru parti: o prima parte prezinta succint notiunile si proprietatile teoretice de baza ale capitolului. A doua parte cuprinde probleme rezolvate, pentru unele autorul propunand mai multe metode de rezolvare. In partea a treia sunt propuse probleme pentru rezovare de sinestatator. In ultima parte sunt date raspunsuri, indicatii si uneori rezolvari complete pentru problemele propuse.

24. E.A.Morozova, I.S.Petracov, V.A. Skvortov, Olimpiade internationale de matematica. (probleme, rezolvari, punctaj). Editura Tehnica, Bucuresti, 1978, 367p. (Tradusa din


rusa) Lucrarea contine materialele primelor 20 olimpiade internationale de matematica.

25. I.Muntean, D.Popa, Metoda sirurilor recurente, Editura Gil, Zalau, 1995, 62p. In aceasta lucrare sunt abordate unele metode de solutionare ale ecuatiilor date in mod recurent. Se adreseaza elevilor si profesorilor din liceu.

26. Ivanca Olivotto, Culegere de exercitii si probleme de aritmetica pentru clasele V-VII, Editura Didactica si Pedagocica, Bucuresti, 1976, 279p. Cartea este divizata in XV capitole: I. Multimi; II. Numeratia; III. Sistemul metric; IV. Cele patru operatii cu numere naturale si zecimale; V. Divizibilitatea numerelor; VI. Fractii ordinare; VII. Rapoarte si proportii; VIII. Probleme de amestec si aliaj; XI. Reprezentari grafice; XII. Probleme de amestec si aliaj; XIII. Probleme cu continut geometric; XIV. Exercitii si probleme racapitulative pentru clasele V-VI; XV. Exercitii si probleme recapitulative pentru clasa VII-a.

27. I.Petrica, E.Constantinescu, D.Petre, Probleme de Analiza Matematica, vol I (clasa XI) vol II (clasa XII), Editura Petriou, Bucuresti, 1993, 282p., 157p. Prin numarul relativ mare de exercitii rezolvate s-au urmarit atat aspectul instructiv cat si modul de redactare a solutiilor punandu-se accent pe prezentarea logica si ordonata a acestora, precum si pe justificarea rationamentului.

38. L.Pirsan, Teste de matematica. Analiza si Algebra. Pentru concursuri de matematica si admiterea in invatamantul superior, Editura de Vest, Tisoara, 1995, 274p.

29. C.Popa, V.Hiris, M.Megan, Introducere in analiza matematica prin exercitii si probleme, Editura Faclia, 1976, 365pag. Culegerea acopera teoria functiilor reale de argument real, care este parte fundamentala a analizei matematice. Fiecare capitol incepe cu o insusire a rezultatelor teoretice ce intervin in elaborarea raspusurilor din capitolul respectiv, ceea ce disperseaza pe cititor de necesitatea de a recurge la alte carti. Cartea se adreseaza nu matematicianului format, ci celui care vrea sa-si faureasca o cultura matematica riguriosa.


30. Probleme de matematica traduse din revista sovietica KVANT, v.1, (problemele 1-200), Editura Didactica si Pedagocica, Bucuresti, 1993, 272p. Sunt prezentate toate textele problemelor publicate in primii 8 ani de la aparitia revistei "KVANT" (1970-1977), impreuna cu rezolvarile lor.

31. N.Prodan, Matematica. Absolvire si admitere, Lyceum, 1999, 119pag. Prezenta lucrare contine temele, notiunele si conceptele principale ale cursului scolar si liceal de algebra si analiza matematica. Se pune accentul pe argumentarea aparitiei fiecarei notiuni, pe legatura stransa dintre ea si alte probleme si notiuni.

32. N.I.Prodan, Matematica. Partea a II-a. Absolvire si admitere, Editura Lyceum, Chisinau, 1999, 148p.

33. S.Sburlan, Principiile fundamentale ale matematicii moderne, Editura Academiei Romane, Bucuresti, 1991, 534p. In aceasta carte sunt prezentate principiile si rezultatele de baza din analiza matematica intr-o forma usor accesibila si cateva directii de intrepatrundere a analizei matematice cu alte ramuri ale matematicii, mai interesante in aplicatii si in cercetarea interdisciplinara.

34. S.Stossel, Algebra. Culegere de probbleme pentru aditerea in invatamantul superior, Editura Cuvantul Romanesc, Bucuresti, 1991, 102p. In lucrare sunt prezentate 132 probleme cu solutii clare si riguroase.

35. N.Teodorescu s.a. Probleme din Gazeta Matematica. Editia Selectiva si Metodologica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1984, 543p.

36. Ion Tudor, Probleme de geometrie pentru gimnaziu, Editura Paco, 1993, 171p. In primele noua capitole ale lucrarii sunt incluse 200 de probleme complet rezolvate. Ultimul capitol se adreseaza elevilor din clasa a VIII-a si include enunturile si solutiile subiectelor date la proba de verificare pentru admiterea in liceu in anii 1986-1992.

37. F.Turtoiu, Trigonometrie. Exercitii si probleme, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1995, 429p. Cartea contine circa 1200 exercitii si probleme. Problemele sunt grupate pe categorii prezentate in 7 capitole. Lucrarea poate constitui un ajutor apreciabil elevilor de liceu din clasele IX-XII, candidatilor in invatamantul superior si nu in ultimul rand cadrelor didactice - in activitatea acestora cu elevii, la cercurile de matematica.

38. I.Virtopeanu, A.Leonte, Geometrie in spatiu pentru gimnaziu si liceu, Editura Sibilia, Craiova, 1994, 245p. In aceasta carte sunt prezentate tipuri de probleme, metode si tehnici de rezolvare. Lucrarea este adresata acelora care, beneficiind de inzestrarea nativa, urmaresc o adancire rapida a cunoasterii bazelor geometriei "elmentate" ca premisa pentru abordarea ulterioara a studiului matematicii "superioare" si totodata, ofera un material util celor in a caror instruire studiul matematicii se justifica numai prin caracterul instrumental, de calcul.


"Cine nu cade, nu se poate inalta" M.Predea

bonus- matematica distractiva

Documents