Probleme si grilerezolvate cu tehnica backtracking

in Pascal

Realizator: L.P.

1)Utilizând metoda backtracking se generează înordine lexicografică cuvintele de câte patru literedin mulţimea A={a,b,c,d,e}, cuvinte care nu conţindouă vocale alăturate. Primele opt cuvintegenerate sunt, în ordine: abab, abac, abad, abba, abbb, abbc, abbd, abbe.

Câte dintre cuvintele generate încep cu litera b şi se termină cu litera e?

a. 9 b. 15 c. 12 d. 20 Rezolvare: babe, bace, bade, bbce, bbde, bbbe,

bcce, bcbe, bcde, bdbe, bdce, bdde, bebe, bece, bede

2) Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică cuvintele de câte patru litere din mulţimea A={a,b,c,d,e}, cuvinte care nu conţin două vocale alăturate. Primele opt cuvinte generate sunt, în ordine: abab, abac, abad, abba, abbb, abbc, abbd, abbe.

Care este ultimul cuvânt generat? a. edcb b. eeee c. edde d. eded Rezolvare: c) eded

3) Folosind modelul combinărilor se generează numerele naturale cu câte trei cifre distincte din mulţimea {1,2,3,7}, numere cu cifrele în ordine strict crescătoare, obţinându-se, în ordine: 123, 127, 137, 237. Dacă se utilizează exact aceeaşi metodă pentru a genera numerele naturale cu patru cifre distincte din mulţimea {1,2,3,4,5,6,7,8}, câte dintre numerele generate au prima cifră 2 şi ultima cifră 7?

a. 8 b. 3 c. 4 d. 6Rezolvare: 2347, 2357, 2367, 2457, 2467, 2567

=> d.6

4) Utilizând metoda backtracking sunt generate numerele de 3 cifre care au cifrele în ordine crescătoare, iar cifrele aflate pe poziţii consecutive sunt de paritate diferită. Ştiind că primele cinci soluţii generate sunt, în această ordine: 123, 125, 127, 129, 145, care este cel de al 8-lea număr generat? a. 169 b. 149 c. 167 d. 147Rezolvare: 123, 125, 127, 129, 145, 147, 149 => c. 167

5) Utilizând metoda backtracking sunt generate în ordine crescătoare toate numerele de 3 cifre, astfel încât cifrele sunt în ordine crescătoare, iar cifrele aflate pe poziţii consecutive sunt de paritate diferită. Ştiind că primele trei soluţii generate sunt, în această ordine, 123, 125, 127, scrieţi toate numerele generate care au suma cifrelor egală cu 12.Rezolvare: 129, 147, 345

6) Un algoritm de tip backtracking generează, în ordine lexicografică, toate şirurile de 5 cifre 0 şi 1 cu proprietatea că nu există mai mult de două cifre 0 pe poziţii consecutive. Primele 7 soluţii generate sunt: 00100, 00101, 00110, 00111, 01001, 01010, 01011. Care este a 8-a soluţie generată de acest algoritm? a. 01110 b. 01100 c. 01011 d. 01101Rezolvare: 00100, 00101, 00110, 00111, 01001, 01010, 01011 => b. 01100

7) Pentru a scrie valoarea 10 ca sumă de numere prime se foloseşte metoda backtracking şi se generează, în această ordine, sumele distincte: 2+2+2+2+2, 2+2+3+3, 2+3+5, 3+7, 5+5. Folosind exact aceeaşi metodă, se scrie valoarea 9 ca sumă de numere prime. Care sunt primele trei soluţii, în ordinea generării lor?Rezolvare: 2+2+2+3, 2+2+5, 2+7, 3+3+3

8) Utilizând metoda backtracking se generează permutările cuvântului info. Dacă primele trei soluţii generate sunt: fino, fion, fnio care este cea de-a cincea soluţie? a. foin b. fnoi c. foni d. ifonRezolvare: info-1234, fino-3124, fion-3142, fnio-3214, fnoi-3241

9) Un algoritm generează în ordine crescătoaretoate numerele de n cifre, folosind doar cifrele 3, 5 şi 7. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţiigenerate sunt 33333, 33335, 33337, 33353, 33355, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţiigenerate, în ordinea generării.Rezolvare: 77773, 77775, 77777

10) Un algoritm generează în ordine descrescătoare toate numerele de 5 cifre, fiecare dintre ele având cifrele în ordine strict crescătoare. Ştiind că primele 5 soluţii generate sunt 56789,46789, 45789, 45689, 45679, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea generării.Rezolvare: 56789, 46789, 45789, 45689, 45679, …, 12347, 12346, 12345

11) Un algoritm generează, în ordine lexicografică, toate şirurile alcătuite din câte n cifre binare (0 şi 1). Ştiind că pentru n=5, primele 4 soluţii generate sunt 00000, 00001, 00010, 00011, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea obţinerii lor.Rezolvare: 11101, 11110, 11111

12) Un algoritm generează în ordine crescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifre distincte, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 10325, 10327, 10329, 10345, 10347, precizaţi care sunt următoarele 3 soluţii generate, în ordinea obţinerii lor.Rezolvare: 10349, 10365, 10367, 10369

13) Un algoritm generează în ordine descrescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifrele în ordine strict crescătoare, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 56789, 45789, 45679, 45678, 36789, precizaţi care sunt următoarele 3 soluţii generate, în ordinea obţinerii lor.Rezolvare: 35679, 34678, 34789

14) Generând şirurile de maximum 3 caractere distincte din mulţimea {A,B,C,D,E}, ordonatelexicografic, obţinem succesiv: A, AB, ABC, ABD,…. Ce şir va fi generat imediat după BAE? a. BCA b. CABc. BC d. BEA

• Rezolvare: A B C D E • 1 2 3 4 5 • 1 • 12 • 123• 124 • 214• 23=> BC

15) Un program citeşte o valoare naturală nenulă impară pentru n şi apoi generează şi afişează în ordine crescătoare lexicografic toate combinaţiile formate din n cifre care îndeplinesc următoarele proprietăţi:

• - încep şi se termină cu 0;• - modulul diferenţei între oricare două cifre alăturate

dintr-o combinaţie este 1.• Astfel, pentru n=5, combinaţiile afişate sunt, în ordine,

următoarele: 01010, 01210. Dacă se rulează acest program şi se citeşte pentru n valoarea 7, imediat după combinaţia 0101210 va fi afişată combinaţia:

• 0121210 b. 0123210 c. 0111210 d. 0121010• Rezolvare: 0101210 => d

16) Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,9} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele

• 20,22,29,90,92,99.• Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care

este numărul generat imediat după numărul 2009?

• a. 2002 b. 2020 c. 2090 d. 2010• Rezolvare: 2000-2002-2009-2020

17) Pentru generarea în ordine crescătoare a numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 20,22,28,80,82,88.

• Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, precizaţi câte numere generate sunt divizibile cu 100?

• 8 b. 90 c. 6 d. 10• Rezolvare: 2000-2200-2800-8000-8200-8800

18) Generarea tuturor cuvintelor de trei litere mici, nu neapărat distincte, ale alfabetului englez, se poate realiza cu ajutorul unui algoritm echivalent cu cel de generare a: (4p.)

• a. produsului cartezian b. combinărilor• c. aranjamentelor d. permutărilor• Rezolvare: a.produs cartezian

19) În câte dintre permutările elementelor mulţimii {‘I’,’N’,’F’,’O’} vocalele apar pepoziţii consecutive?

• a. 24 b. 6 c. 12 d. 4• Rezolvare: IONF-IOFN-NIOF-NOIF-OINF-

OIFN-FION-FOIN-NFIO-FNIO-NFOI-FNOI

20) Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,4,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele

• 40,44,48,80,84,88. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care este numărul generat imediat după numărul 4008 ?

• a. 4040 b. 4004 c. 4080 d. 8004• Rezolvare: a) 4040

Problema reginelorType vector= array[1..30] of integer;Var x:vector;

n:integer;Procedure solutie;Var I,j : integer;Begin writeln;

for i:= 1 to n doBegin

for j:= 1 to n doif x[i]= j then write (‘*’)

else write (‘_’);writeln

End;Function continuare ( k:integer) : booleanVar i: integer; ok: boolean;Begin ok:=true;for i:= 1 to k-1 doif (x[k]-x[i]=(k-i))then ok:=false;

Continuare:= ok;End.

Saritura caluluiType vector=array[1..400] of integer;

matrice=array[1..20, 1..20] of integer;Const dx:array [1..8] of integer;

dy:array[1..8] of integer;A: matrice {tabla de sah}

x,y: vector;n:integer;

Procedure solutie;Var I,j:integer;Begin writeln;

for i:=1 to n doBegin

for j:=1 to n doWrite (A[I,j] , ‘ ‘);Writeln;End;End;Function continuare (k:integer):boolean;BeginIf( x[k]<1) or (x[k]>n)Or (y[k]<1) or (y[k]>n)Or ( A[x[k], y[k]]>0)Then ok:= false;Continuare:=ok;End;

Procedure back (k:integer);Var i:integer;BeginIf ( k=n*n+1) then solutieElse BeginFot i:=1 to 8 doBeginX[k]=x[k-1]+ dx[i];Y[k]=y[k-1]+ dy[i];If continuare (k) then

back (k+1);End;End;End;BeginWrite (‘n=‘); readln (n)’X[1]:=1; y[1]:=1; A[1,1]:=1;Back(2);Readln;End.

Partitiile unui numar natural

Type vector= array [1..20] of integer;Var x:vector

n,s:integer;Procedure solutie (k:integer);var i:integer;

Beginfor i:= 1 to k do

write (x[i], ‘ ‘);writeln;

end;Function contiunare (k:integer) boolean;BeginContinuare:= (x[k]+ s)<n;End;Procedure back (k:integer);BeginIf (s=n) then

solutie (k-1)else

BeginX[k]:=s;While continuare (k) doBeginX[k]=x[k]+1S:=s+ x[k];Back (k+1);S:=s-x[k];

End;End;End;Begin

write (‘n=‘); readln(n);back(1);

Readln ;End.

Generarea combinarilorFiind date doua numere naturale n si k , sa se genereze

toate combinarile de n elemente luate cate k.program RIV_6; {combinari de n cate k ne-

recursiv}type vector=array [1..25] of integer;var st:vector; n,k:integer; {st=vectorul stiva}procedure initializari ; {initializeaza stiva si citeste

n si k }var i:integer;beginrepeatwrite('n='); readln (n);write('k='); readln (k);

until n>=k;for i:=1 to 25 do st[i]:=0;end;

procedure tipar (p:integer); {tipareste o solutie memorata in vectorul st}

var i:integer;begin

for i:=1 to p dowrite(st[i]:4,' ');

writeln;end;function valid (p:integer): boolean ;{testeaza daca valoarea st[p] a generat o solutie

valida, returnand true sau false}var i:integer; ok:boolean;begin{valoarea de pe nivelul p nu trebuie sa se mai

gaseasca pe niciunul dintre niveleleanterioare 1,2,...,p-1}

ok:=true;for i:=1 to p-1 do

if st[p]<=st[i] thenok:=false;

valid:=ok;end;

procedure back; {implementeaza algoritmul ne-recursiv de backtracking}

var p:integer; {varful stivei}beginp:=1; st[p]:=0; {initializam primul nivel}while p>0 do {cat timp stiva nu devine din nou

vida}beginif st[p]<n then {daca mai exista vreo valoare

neicercata oe nivelul p}begin

{punem pe nivelul p urmatoarea valoare din multimea solutiilor posibile}st[p]:=st[p]+1;if valid(p) then {daca solutia (st[1], st[2],...,st[p]) este valida}

if p=k then {daca solutia esti si finala}tipar(p) {tiparim solutia}

else begin

p:=p+1; st[p]:=0; {trecem la nivelulurmator, pe care il re-initializam}

end;end

else {adica pe nivelul p nu se maipoate incerca nici o valoare}p:=p-1; {pasul inapoi la nivelul

anterior}end;

end;begin

initializari;back;

end.

Generarea aranjamentelorSe citesc n si p. Sa se genereze toate aranjamentele

de n luate cate p.program aranjamente;type stiva-array [1..100] of integer;var st:stiva ;

n,k,p:integer;as,ev:boolean;

procedure init(k:integer; var st:stiva);begin

st[k]:=0;end;procedure succesor(var as:boolean; var st:stiva;

k:integer);beginif st[k]<nthen begin

st[k]:=st[k]+1; as:=trueend

else as:=falseend;procedure valid (var ev:boolean; st:stiva; k:integer);var i:integer;beginev:=true;for i:=1 to k-1 do if st[k]=st[i] then ev:false

end;function solutie(k:integer):boolean;beginsolutie:=(k=p)

end;

procedure tipar;var i:integer;beginfor i:=1 to p do write (st[i]);writelnend;beginwrite('N='); readln(n);write ('P='); readln(p);k:=1; init (k,st);while (k>0) dobegin

repeat succesor(as,st,k);if as then valid(ev,st,k);

until (not as) or (as and ev);if as then

if solutie(k)then tiparelse begin

k:=k+1;init(k,st)

endelse k:=k-1

endend.

Plata unei sume cu bacnote de valori de date.Se dau suma s si n tipuri de monede avand

valori de a1,a2, ... , an lei. Se cer toate modalitatile de plata a sumei s utilizand aceste monede.

program bacnote;uses crt;type vector=array[1..9] of integer;var sol,a,b:vector;

n,i,s:integer;procedure tipar(k:integer);beginwriteln('Solutie');

for i:=1 to k doif sol[i]<>0 then writeln(sol[i],' becnote de

',a[i]);readln;

end;procedure plata (k,s0:integer);beginwhile (sol[k]<b[k]) and (s0+a[k] <=s) do

beginsol[k]:=sol[k]+1;if sol[k]>0 then s0:=s0 + a[k];if s0=s then tipar(k)

elseif k<n then plata(k+1,s0)

end;sol[k]:=-1;

end;

beginclrscr;write('cate tipuri de bacnote avem? ');

readln(n);write('suma='); readln(s);for i:=1 to n dobegin

write('valoarea monedei de tipul', i,' ');readln (a[i]);b[i]:=s div a[i];sol[i]:=-1;

end;plata(1,0);

end.

Programul principal :program backtracking;

type vector=array[1..25] of integer;var st:vector; n:integer; {sv=vectorul stiva}procedure initializari; {initializeaza stiva si

citeste n}var i:integer;beginwrite ('n='); readln (n);

for i:=1 to 25 do st[i]:=0;end;procedure tipar (p:integer); {tipareste o solutie

memorata in vectorul st}var j:integer;begin

for j:=1 to p do write (st[j]:4,' ');writeln;

end;function valid (p:integer): boolean;{testeaza daca valoarea st[p] a generat o solutie

valida , returnand true sau false}var i:integer; ok:boolean;begin{valoarea st[p], de pe nivelul p, nu trebuie sa se

mai gaseasca pe nici unul din niveleleanterioare 1,2,...,p-1}

ok:=true;for :=1 to p-1 do

if st[p]=st[i] then ok:=false;valid:=ok;

end;

procedure bktr (p:integer); {implementeazaalgoritmul de backtracking}

var pval:integer;begin{in variabila pval trec pe rand toate valorile care

pot fi incercate pe nivelul p al stivei}for pval:=1 to n do

beginst[p]:= pval; {pune o noua valoare penivelul p}if valid(p) then {daca solutia obtinuta e valida}

if p=n then {daca este si finala}tipar (p) {tipareste solutia}

elsebktr (p+1) ; {trece la nivelul urmator in stiva, pentru a completa solutia}

end;end;begininitializari;bktr (1); {plecam de la nivelul 1 pe stiva}

end.