bac 1998

BACALAUREAT 1998SESIUNEA IUNIE

Varianta 1

Profilul matematica - fizica, informatica, metrologie

SUBIECTUL I

Se considera funct, ia f : D R, f(x) =x(x 1) +

x(x+ 1).

1. Sa se determina domeniul maxim de definit, ie D, domeniul de continuitate s, i domeniul de derivabilitate pentrufunct, ia f .

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f (fara derivata de ordinul al doilea).

3. Sa se afle aria subgraficului funct, iei f pe intervalul [2, 3].

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve sistemul

{4x

y 4 yx = 32log3(x y) = 1 log3(x+ y)

.

2. Se considera G = (1,). Pentru x, y G se defines,te legea x ? y = xy + ax + by, unde a, b R. Sa sedetermine a, b R astfel ncat ? safie lege de compozit, ie pe G s, i (G, ?) sa fie grup abelian.

3. Sa se rezolve ecuat, ia 6x4 + 35x3 + 62x2 + 35x+ 6 = 0.

SUBIECTUL III

Se considera punctele A(1, 1), B(2, 3) s, i dreapta d : x 4y+7 = 0. Sa se determine coordonatele punctului C d,astfel ncat triunghiul 4ABC sa fie isoscel cu baza (AB). Sa se scrie ecuat, ia nalt,imii din C.

1

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Se considera x1, x2, x3 radacinile ecuat, iei x3 + 3x2 9x+m = 0, m R, s, i determinantul =

x1 x2 x3x2 x3 x1x3 x1 x2

.Sa se calculeze determinantul n funct, ie de parametrul realm. Sa se determinem astfel ncatm+1+

m+ 1 =

1

18.

2. Se considera mult, imea M =

Ax =1 x 0 x0 0 0

x 0 1 x

x R\{1

2

}.Sa se demonstreze ca nmult, irea matricelor este lege de compozit, ie interna pe M s, i ca (M, ) este grup abelian.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f definita prin f(x) = 2 arctanx arcsin 2x1 + x2

Sa se determine domeniul maxim de definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate pentru funct, ia f . Sa se precizezedaca exista intervale pe care f este constanta (precizat, i constanta).

2. Se considera funct, ia f :

(, 3

2

) R, f(x) = x3 2x.

Sa se determine numerele a, b, c astfel ncat funct, ia F :

(, 3

2

) R, F (x) = (ax2 + bx+ c)3 2x sa fie o

primitiva a funct, iei f .

SUBIECTUL III

Se considera cercul de ecuat, ie x2 + y2 6x + 3y 5 = 0. Sa se determine coordonatele centrului s, i raza acestuicerc. Sa se scrie ecuat, ia tangentei la cerc n punctul A(1,2). Sa se precizeze pozit, ia punctului B(0,4) fat, a decerc.

2

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Diferent,a dintre coeficientul binomial al celui de al treilea termen s, i coeficientul binomial al celui de al doilea

termen al dezvoltarii

(18x+ xlg x

)neste 27. Pentru ce valori ale lui x, al doilea termen este 900?

2. Se considera funct, ia f : R R, f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Sa se precizeze daca exista s, i sunt unicicoeficient, ii a, b, c, d, e astfel ncat sa fie ndeplinite condit, iile:

graficul sa treaca prin punctele O(0, 0), A(1, 0), B(1,6), C(2, 12); tangenta la grafic n punctul A sa aiba panta egala cu 5.

In caz afirmativ, sa se determine aces,ti coeficint, i.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D R, f(x) = 2x+3(x2 1).

a) Sa se determine domeniul maxim de definit, ie D s, i sa se studieze monotonia funct, iei f .

b) Sa se afle asimptotele la graficul funct, iei.

2. Pentru a > 0 se noteaza I(a) =

a0

x

(x+ 1)(x2 + 4)dx. Sa se calculeze I(a) s, i lim

aI(a).

SUBIECTUL III

Se considera triunghiul 4ABC determinat de urmatoarele drepte:

(AB) : x+ 2y 4 = 0(BC) : 3x+ y 2 = 0(AC) : x 3y 4 = 0.

a) Sa se determine coordonatele punctului A.

b) Sa se scrie ecuat, ia nalt,imii din A.

c) Sa se afle aria triunghiului ABC.

3

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R\{1} R, f(x) = x2 + ax+ b

x 1

a) Sa se determine a s, i b astfel ncat funct, ia sa admita un extrem egal cu 1 n punctul de abscisa 0.

b) Pentru a = 1 s, i b = 1, reprezentat,i graficul funct, iei g = f .2. a) Sa se demonstreze ca ex x+ 1, pentru orice x R.

b) Aratat,i ca1

e 10

ex2

dx pi4

SUBIECTUL II


{3lgx = 4lg y

(4x)lg 4 = (3y)lg 3.

2. Se considera matricea A M3(C), A = 0 m 1m 2 0

1 1 m

.a) Pentru ce valori complexe ale lui m matricea A este inversabila?

b) Pentru m = 2 sa se determine inversa matricei A.

c) Sa se demonstreze ca, daca m = 0, atunci Ak 6= O3, pentru orice k N.3. Pe R se defines,te legea x ? y = ax+ ay + bxy + c, a, b, c R. Sa se determine a, b s, i c pentru care e = 4 este

element neutru s, i orice x 6= 5 este simetrizabil.

SUBIECTUL III

Sa se determine simetricul punctului A(1, 2) fat, a de dreapta de ecuat, ie 2x = y + 4.

4

Varianta 5


SUBIECTUL I

Se considera matricele A, B M3(R), A = 2 1 11 2 11 1 2

, B =1 1 11 1 11 1 1

.1. Sa se demonstreze ca A2 = 3A s, i AB = BA.

2. Sa se determine An s, i Bn pentru orice n N.3. Daca C = 3A 3B, sa se calculeze C3.

SUBIECTUL II

Se considera familia de funct, ii fm : R\{m} R, fm(x) = (2m 1)x+mxm , unde m este un parametru real nenul.

Se noteaza cu Hm graficul funct, iei fm.

1. Sa se reprezinte graficul funct, iei f1.

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice m, graficele Hm trec printr-un punct fix.

3. Sa se arate ca, pentru orice m, exista un punct situat pe Hm a carui tangenta este paralela cu tangenta la graficn A(0,1).

SUBIECTUL III

Se considera polinomul f R[X ], f = X3 + X2 + aX + b. Sa se determine a s, i b, s,tiind ca restul mpart,iriipolinomului f(X 3) la X 1 este 4 s, i radacinile ecuat, iei f(x) = 0 satisfac relat,ia x31 + x32 + x33 = 9.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, iile f : R R, f(x) = x2 + 5 s, i g : R R, g(x) = 4x2

1. Sa se determine punctele de intersect,ie ale graficelor celor doua funct, ii s, i sa se rezolve inecuat, ia g(x) f(x).2. Sa se calculeze aria suprafet,ei cuprinse ntre graficele celor doua funct, ii s, i dreptele x = 1, x = 2.

5

Varianta 6


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 4x + 2x+1 3x = 3 9x.

2. Se considera mult, imea G = (2,) pe care se defines,te legea x ? y = xy 2x 2y + 6, pentru orice x, y G.Sa se demonstreze ca ? este lege de compozit, ie pe G s, i ca (G, ?) este grup abelian. Sa se arate ca funct, iaf : R (2,+), f(x) = ex + 2, este un izomorfism ntre grupurile (R,+) s, i (G, ?).

3. Sa se discute dupa parametrul real m s, i sa se rezolve sistemul de ecuat, ii:x+ y +mz = 1

x+my + z = 1

mx+ y + z = 1

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia definita prin f(x) =3x2 + (m 2)xm+ 2, unde m este un parametru real.

a) Se cere sa se determine mult, imea valorilor lui m pentru care domeniul de definit, ie al funct, iei coincide cudomeniul de derivabilitate.

b) Pentru m = 3 sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

2. Se considera s, irul an =

pi2

0

cos2n x dx, n N.

a) Fara a calcula integrala, sa se arate ca s, irul (an)n1 este monoton s, i marginit.

b) Sa se arate, folosind integrarea prin part,i, ca an =2n 12n

an1, pentru orice n N, n 2.c) Sa se calculeze I3.

SUBIECTUL III

Sa se determine ecuat,ia cercului ce trece prin punctele A(1, 5), B(2,2) s, i C(5, 5), precizand coordonatelecentrului s, i lungimea razei acestui cerc.

6

Varianta 7


SUBIECTUL I

1. Se considera sistemul

x +mz = 0

2x+ y + 3z = 0

2x y + 2z = 0n necunoscutele x, y, z, unde m este un parametru real. Sa se

determine m astfel ncat sistemul sa admita numai solut, ia banala.

2. Se considera matricele A, B, C M2(R), A =(1 22 0

), B =

(0 1

1 0), C =

(m 32 0

), unde m 6= 5

4. Sa se

demonstreze ca, pentru x1, x2, x3 R, avem x1A+ x2B + x3C = O2 daca s, i numai daca x1 = x2 = x3 = 0.

SUBIECTUL II

In mult, imea numerelor complexe se considera urmatoarele ecuat,ii:

z3 3iz2 3z + 8 + i = 0 (1)

s, iz3 + 8 = 0 (2)

1. Aratat,i ca z0 este solut, ia ecuat, iei (1) daca s, i numai daca z0 i este solut,ia ecuat,iei (2).2. Sa se rezolve ecuat, iile date.

SUBIECTUL III

Se considera sistemul cartezian de coordonate xOy s, i punctele A(3, 0), B(0, 2), M(3,3), respectiv N(2, 2). Sase demonstreze ca dreptele AN , BM s, i perpendiculara din O pe AB sunt concurente.

SUBIECTUL IV

Sa se calculeze integrala

10

ln(1 + x2) dx s, i limita s, irului

an =1

n

(n1k=1

ln(k2 + n2) 2(n 1) lnn), n N.

SUBIECTUL V

Se considera funct, ia f : [0, 1] R, f(x) = ex

x+ 2

1. Sa se determine funct, iile f s, i f .

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice x [0, 1], f (x) > 0 s, i f (x) 29e.

3. Sa se arate ca ecuat, ia f(x) = x are solut, ie unica pe intervalul [0, 1].

7

Varianta 8


SUBIECTUL I

Se considera sistemul (S) cu a, b, c parametri reali:

(S)

x+ y + z = 0

(b+ c)x+ (a+ c)y + (a+ b)z = 0

bcx+ acy + abz = 0

.

1. Sa se determine condit, ia ca (S) sa admita numai solut,ia banala.

2. Fie polinoamele f , g, h R[X ], f = (X b)(X c), g = (X c)(X a) s, i h = (X a)(X b), unde a, b, csunt constante reale distincte ntre ele. Aratat, i ca, pentru x1, x2, x3 R, polinomul x1f + x2g + x3h este egalcu polinomul nul daca s, i numai daca x1 = x2 = x3 = 0.

SUBIECTUL II

Sa se rezolve n mult, imea numerelor complexe ecuat, ia

z3 (23 + 3i)z2 + (1 + 4

3i)z 3i 6

3 = 0,

s,tiind ca admite solut, ii de forma bi, unde b R.SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat,ia cercului tangent axei Ox, avand centrul pe prima bisectoare s, i care trece prin punctul A(2, 1).SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : (, 0]\{1} R, f(x) = ln |x+ 1|+ xx+ 1

1. Sa se calculeze limitele funct, iei n capetele domeniului.

2. Sa se stabileasca monotonia funct, iei.

3. Sa se demonstreze ca ecuat, ia f(x) = 0 are solut, ie unica pe (,1).

SUBIECTUL V

Se considera funct, ia f : [0, 2] R, f(x) = 2xx2. Sa se determine m R, astfel ncat dreapta de ecuat,ie y = mxsa mparta subgraficul funct, iei n doua mult, imi de arii egale.

8

BACALAUREAT 1998SESIUNEA IUNIE

Varianta 1

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R R, f(x) = (m 2)x2 2mx+ 2m 3, m R\{2}. Sa se determine m, astfel ncatinegalitatea f(x) 0 sa fie adevarata pentru orice x R.

2. Sa se determine x R, s,tiind ca al patrulea termen al dezvoltarii(x

12(1+lg x) + x

112

)6este egal cu 200.

3. Se considera polinomul P (X) =

2X 2X 1

1X2 X2 12X a+ 2 X + a X 2

. Sa se determine parametrul real a pentru carepolinomul admite radacina dubla ntreaga.

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : D R, f(x) = ax2 + bx+ c

x+ d, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

1. Sa se determine a, b, c, d R, astfel ncat graficul funct, iei sa admita asimptotele x = 3 s, i y = x+2, iar punctulA(1, 1) sa se afle pe grafic.

2. Pentru a = 1, b = 1, c = 2, d = 3 sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta. Sa se discute numarulradacinilor ecuat, iei f(x) = m.

SUBIECTUL III

Sa se afle coordonatele punctelor de intersect,ie ale cercului de ecuat, ie x2+ y2 = 16 cu parabola de ecuat,ie y2 = 6x.Sa se afle aria fiecarei regiuni determinata de parabola n interiorul cercului.

9

Varianta 2

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine valorile parametrului real a s, i sa se rezolve ecuat, ia 3x3 12x2 + ax 6 = 0, s,tiind ca radacinile

x1, x2, x3 satisfac relat,ia x1 + x2 = x3.


ax+ y + 2z = 0

x+ ay + z = 0

2x+ 2y + az = 0

, unde a este un parametru real.

a) Pentru ce valori ale lui a sistemul are doar solut, ia banala?

b) Sa se rezolve sistemul pentru a = 1.

3. Se considera polinomul f Z3[X ], f = (a2 + a+ 1)X3 + (a+ 2)X + a.a) Discutat, i, n raport cu a Z3, gradul polinomului f .b) Pentru a = 2, descompunet, i f n factori ireductibili peste Z3.

SUBIECTUL II

1. Sa se arate ca funct, ia f : R R, f(x) =

xex, x 0

x2

x+ 1, x > 0

admite primitive s, i sa se determine o astfel de

primitiva.

2. Se considera funct, ia f : D R, f(x) = x ax2 + bx+ 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie, iar a,

b R, a > 0.

a) Sa se determine a, b, astfel ncat limx

f(x) = 12

b) Pentru a = b = 1 sa se determine asimptotele la graficul funct, iei obt, inute.

c) Sa se calculeze

(x f(x)) dx pe intervalul I = R.

SUBIECTUL III

Sa se calculeze aria triunghiului ABC, s,tiind ca A(0, 1), B(4, 2), C(2, 3).

10

Varianta 3

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Se considera dezvoltarea

(y +

1

2 4y

)n, unde y R, y > 0 s, i n N.

a) Sa se determine n pentru care coeficient, ii primului, celui de al doilea s, i respectiv celui de al treilea termenal dezvoltarii formeaza o progresie aritmetica.

b) Pentru n = 8 sa se gaseasca termenii dezvoltarii astfel ncat puterea lui y sa fie numar natural.

2. Se considera mult, imea de matrice G =

{A =

(a b

5b a

) a, b Z}. Sa se demonstreze ca G este parte stabila alui M2(Z) n raport cu adunarea, respectiv nmult, irea matricelor.

Sa se arate ca G, mpreuna cu operat, iile induse, formeaza o structura de inel comutativ fara divizori ai lui zero.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{1} R, f(x) = ax2 + bx+ 2

x 1 , unde a, b R.

a) Sa se determine a s, i b astfel ncat graficul funct, iei sa admita asimptota oblica dreapta y = x+ 2.

b) Pentru a = b = 1 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

c) Pentru a = b = 1 sa se calculeze aria marginita de graficul funct, iei, asimptota oblica s, i dreptele x = 2,x = 3.

2. Sa se calculeze limxx(pi 2 arctanx)

SUBIECTUL III

Sa se determine centrul s, i raza cercului de ecuat, ie x2 + y2 4x + 6y 12 = 0. Sa se scrie ecuat,ia tangentei npunctele cercului care au ordonata nula.

11

Varianta 4

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R R, f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d. Sa se precizeze daca exista s, i sunt unici coeficient, iia, b, c, d, astfel ncat graficul sa treaca prin punctele O(0, 0), A(1, 0), B(1,6), iar la tangenta la grafic npunctul A sa aiba panta egala cu 5.In caz afirmativ, sa se afle coeficient, ii a, b, c, d.

2. Se considera mult, imea G a matricelor de forma M(a) =

1 0 aa 1 a22

0 0 1

, a R.Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M3(R) n raport cu nmult, irea matricelor s, i ca legea indusadetermina pe G o structura de grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Sa se determine x R astfel ncat x0

et(2et 3) dt = 0.

Sa se determine x > 0 astfel ncat

xe2

1

t(2 ln t 3) dt = 0.

2. Se considera funct, iile f : R R, f(x) = x2 4x s, i g : R\{1} R, g(x) = 4xx 1

a) Studiat, i variat,ia s, i reprezentat,i graficul fiecarei funct, ii (n acelas,i reper cartezian).

b) Aflat, i coordonatele punctelor de intersect, ie ale celor doua grafice s, i scriet,i ecuat, iile tangentelor la graficulfunct, iei f , respectiv g, n punctele de intersect,ie.

SUBIECTUL III

Intr-un reper cartezian se considera punctele A(2, 3), B(5, 1), C(1,3). Sa se scrie ecuat, ia perpendicularei dduse din C pe AB. Sa se afle coordonatele punctului de intersect, ie a dreptei d cu AB.

12

Varianta 5

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia2 lg x

lg(5x 4) = 1.

2. Se considera mult, imea matricelor M =

{A =

(x y

y x) x, y Z}.

a) Sa se demonstreze ca M este parte stabila a lui M2(Z) n raport cu adunarea s, i cu nmult, irea matricelor.

b) Sa se demonstreze ca M mpreuna cu legile induse formeaza o structura de inel comutativ.

c) Are inelul M divizori ai lui zero?

3. Sa se rezolve ecuat, ia

4 x 1 41 2 x 22 4 1 x

= 0.SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D R, f(x) = 1x2 + ax+ b

, a, b R.

a) Sa se determine a s, i b pentru care graficul funct, iei admite ca asimptota verticala dreapta x = 2 s, i funct, iaare un maxim n punctul x = 2.

b) Pentru a = 4 s, i b = 12 sa se studieze variat, ia s, i sa se construiasca graficul funct, iei obt, inute.c) Pentru a = 4 s, i b = 12 sa se calculeze aria suprafet,ei plane marginita de graficul funct, iei, axa Ox s, i

dreptele x = 4, x = 5.

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice x 1, are loc inegalitatea 2(x 1)x+ 1

lnx.

SUBIECTUL III

Sa se determine coordonatele ortocentrului triunghiului format de punctele A(1, 4), B(3,1), C(8,2).

13

Varianta 6

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia32x 1 + 3x 1 = 1.

2. Sa se rezolve inecuat, ia log2(9 2x) > 3 x.

3. Se considera matricea A =

1 a+ 1 00 1 a+ 1a+ 1 0 1

M3(R).a) Sa se determine parametrul real a astfel ncat matricea A sa fie inversabila.

b) Pentru a = 1 sa se determine inversa matricei A.

c) Sa se rezolve ecuat, ia matriceala

X 1 2 00 1 22 0 1

= ( 2 1 01 3 2),

precizand n prealabil tipul matricei X .

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{0} R, f(x) = x3 3x2 +m

x2, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine m astfel ncat funct, ia sa aiba un extrem local n x = 2.

b) Pentru m = 4, sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

c) Sa se discute numarul radacinilor reale ale ecuat, iei x3x2 3x+4 = 0 dupa valorile parametrului real .

2. Sa se calculeze primitivele funct, iei f : (1,) R, f(x) = 1x(1 + lnx)

Sa se determine primitiva F cu prorpietatea F (ee1) = 2.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat,ia cercului care trece prin punctele A(1, 2), B(2, 0) s, i are centrul pe dreapta de ecuat, ie y = x 3.

14

Varianta 7

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat,ia

mx2 2(m 2)xm 10 = 0

are doua radacini de semne contrare.

2. Se considera matricea A =

1 1 11 1 11 1 1

.a) Sa se demonstreze ca matricea A este inversabila s, i sa se calculeze inversa ei.

b) Sa se rezolve ecuat, ia matriceala A X = B, unde B =120

s, i X =xyz

.3. Se considera mult, imea M = (2, 2). Pentru x, y M se defines,te legea x ? y =

x+ y

1 +xy

4

Sa se demonstreze ca ? este lege de compozit, ie interna pe M s, i ca (M, ?) este grup abelian.

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : D R, f(x) = x2 + ax

bx 2 , a, b N.

1. Sa se stabileasca domeniul maxim de definit, ie D al funct, iei.

2. Sa se determine a s, i b astfel ncat funct, ia sa aiba puncte de extrem n x = 2 s, i x = 6.3. Fie a = 6 s, i b = 1.

a) Sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

b) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la grafic n punctul de abscisa 2.c) Sa se afle aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei, axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 6, x = 0.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat, ia nalt,imii din A n triunghiul ABC, determinat de dreptele:

AB : x y + 2 = 0,BC : 3x y + 1 = 0,AC : x+ 2y + 2 = 0.

15

Varianta 8

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ialn(2x2 3x+ 1)

x2 3x 0.

2. Sa se rezolve ecuat, ia x3 ax2 + bx c = 0, s,tiind ca a, b, c sunt radacinile sale.


2x y + z t = 1x+ y + az + t = 1x y + z + bt = c

.

Sa se determine a, b, c astfel ncat matricea sistemului sa aiba rangul 2 s, i sistemul sa fie compatibil. Pentruvalorile aflate sa se rezolve sistemul.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D R, f(x) = lnxx

+1

x+ ax+ b, unde a, b R.

a) Sa se determine a s, i b, astfel ncat dreapta de ecuat,ie y = x sa fie asimptota a graficului funct, iei f .

b) Fie a = 1 s, i b = 0. Sa se determine coordonatele punctului de intersect,ie a graficului cu asimptota oblica afunct, iei obt, inute.

Sa se calculeze In =

en+12en

2

(f(x) x) dx, n N.Sa se demonstreze ca s, irul (In)n1 este o progresie aritmetica.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f : [0, 3] R, f(x) =x(x 3)x 4

SUBIECTUL III

Sa se determine coordonatele punctului de intersect,ie a mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [AC], unde A(2, 5),B(5, 1), C(2, 2).

16

BACALAUREAT 1998SESIUNEA IUNIE, ORAL

Biletul nr. 1

Profilul fizica-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizica-real

1. Sa se arate ca

{x R

x = a2 + a+ 1a+ 1 , a R}= (,3] [1,).

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : D R, f(x) =x2 + 4

3x 5 (D fiind domeniul maxim de definit, ie) s, i sa seprecizeze intervalele sale de monotonie.

Biletul nr. 2


1. Sa se rezolve inecuat, ia |x 2|+ |x 1| > 1.

2. Sa se afle a, b, c R astfel ncat limn

n(an2 + bn+ cn2) = 1.

Biletul nr. 3


1. Sa se determine funct, ia de gradul al doilea f : R R, f(x) = ax2 + bx+ c, s,tiind ca admite un minim egal cu9 s, i ca graficul funct, iei trece prin punctele A(1; 13) s, i B(2; 10).

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : R R, f(x) = 2x+ 1x2 + 1

Biletul nr. 4


1. Pentru ce valori reale ale lui m inecuat, ia

(m 1)x2 (m+ 1)x+m+ 1 > 0

este verificata pentru orice x R?

2. Calculat,i: limx0

(1

x2 cot2 x

).

Biletul nr. 5


1. Sa se rezolve: 1 < x2 + 3x+ 2

x2 4x+ 3 2.

2. Sa se studieze convergent,a s, irului:

an =

(1 1

22

)(1 1

32

) . . .

(1 1

n2

), n N, n 2.

17

Biletul nr. 6



x2 + y2 = 81

x+

1

y= 1

.

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : R R, f(x) = |x|x2 + 1

Biletul nr. 7



{5x2 6xy + 5y2 = 297x2 8xy + 7y2 = 43 .

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : D R, f(x) = x+x2 + 2x, D fiind domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 8


1. Sa se rezolve ecuat, ia:3x+ 45 3x 16 = 1.

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : D R, f(x) = x2 + 8x, D fiind domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 9


1. Sa se rezolve ecuat, ia:4 x+5 + x = 3.

2. Sa se demonstreze ca daca a+ b + c = 0, atunci

limn0

(an+ 1 + b

n+ 2 + c

n+ 3) = 0

s, ilimn0

(a ln(3 + n) + b ln(2 + n) + c ln(1 + n)) = 0.

Biletul nr. 10


1. Sa se determine toate numerele complexe z cu proprietatea z2 = i.

2. Calculat,i

xex sinx dx pe intervalul I = R.

18

Biletul nr. 11


1. Sa se rezolve sistemul:

{x2 xy = 28y2 xy = 12 .

2. Se considera funct, ia definita prin expresia f(x) =x2 + 1

x2 + ax+ a, a fiind un parametru real strict pozitiv. Sa se

determine a astfel ncat graficul lui f sa aiba o singura asimptota verticala s, i sa se reprezinte graficul funct, iei fpentru a astfel gasit.

Biletul nr. 12


1. Sa se determine x, y R astfel ncat x 21 i

y 31 + i

= 1 3i.

2. Se considera f : (0,) R, f(x) = x+ kk

, unde k R este un parametru real. Sa se determine parametrul kastfel ncat f(1) = 1 s, i apoi sa se reprezinte grafic funct, ia f .

Biletul nr. 13


1. Sa se rezolve ecuat, ia: 16(0, 25)5

x

4 = 2x+1.

2. Calculat,i:

40

xx2 + 9 dx.

Biletul nr. 14


1. Sa se rezolve ecuat, ia: 5lgx 3lgx1 = 3lgx+1 5lgx1.

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : R\{0} R, f(x) = xe 1x2 .

Biletul nr. 15


1. Sa se rezolve ecuat, ia: logx 2 logx 3 = 2.2. Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuat, iei 1 + x = arctanx.

Biletul nr. 16


1. Sa se rezolve ecuat, ia: 2 lg2 x3 3 lg x 1 = 0.

2. Sa se afle a, b R astfel ncat f(x) = ax2 + 6x+ 2

x2 + 2x+ bsa aiba o unica asimptota verticala, iar graficul lui f sa nu

intersecteze asimptota orizontala.

19

Biletul nr. 17


1. Sa se rezolve inecuat, ia: lg2 x 2 lg x 8 0.

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f : D R, f(x) = ln1 + x2 arctanx, unde D este domeniul maxim de

definit, ie.

Biletul nr. 18


1. Sa se rezolve inecuat, ia: log2(9 2x) > 3 x.2. Sa se afle numerele reale a s, i b daca dreapta y = 2x + 3 este asimptota spre + pentru funct, ia f : D R,

f(x) =4x2 + ax+ 1

bx+ 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie. Pentru a, b aflat, i, sa se construiasca graficul

funct, iei.

Biletul nr. 19


1. Sa se discute s, i sa se rezolve ecuat, ia:

loga x loga2 x+ loga4 x 3

4

2. Calculat,i: limxpi4

(cotx)tan 2x.

Biletul nr. 20


1. Sa se rezolve ecuat, ia: lg 2 + lg(4x2 + 9) 1 + lg(2x2 + 1).2. Sa se studieze monotonia s, i marginirea s, irului (an)n1 definit prin a1 =

2, an+1 =

2 + an, n N. In caz

de convergent,a, sa se calculeze limita.

Biletul nr. 21


1. Sa se demonstreze ca, pentru n N, avem:

1 2 3 + 2 3 4 + + n (n+ 1) (n+ 2) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)4

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f : D R, f(x) = (2 + x)1 x, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

20

Biletul nr. 22


1. Sa se demonstreze ca pentru orice n N, avem:1

1 5 +1

5 9 +1

9 13 + +1

(4n 3)(4n+ 1) =n

4n+ 1

2. Sa se reprezinte grafic f : D R, f(x) = ln 1 + x1 x , unde D este domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 23



{Ayx = 7A

y1x

6Cyx = 5Cy+1x

.

2. Sa se reprezinte grafic f : R R, f(x) = 1|x2 1|.

Biletul nr. 24


1. In dezvoltarea

(a 4a+

1a

)n, suma coeficient, ilor binomiali de rang par este egala cu 128. Sa se gaseasca

termenul care cont, ine pe a3.

2. Calculat,i:

10

x2 arctanx dx.

Biletul nr. 25


1. Sa se demonstreze egalitatea: C1n + 2C2n + + nCnn = n 2n1, n N.

2. Determinat, i primitivele funct, iei f : (1, 2) R, f(x) =x2 + 3x 2.

Biletul nr. 26


1. Sa se gaseasca rangul celui mai mare termen din dezvoltarea

(3

4+

1

4

)100.

2. Sa se calculeze: limx0

cos 2x cos 4xx2

Biletul nr. 27


1. Sa se determine polinomul f = X4 + aX3 + bX2 + cX + d, astfel ncat mpart,it la X2 3X + 1 sa dea restul2X + 1 s, i mpart,it la X2 1 sa dea restul 2X + 2.

2. Se considera funct, ia f : R R, f(x) = (ax+1 + a2x2)

1a , unde a 6= 0 este o constanta reala. Sa se arate ca:

(1 + a2x2)f (x) + a2xf (x) f(x) = 0, x R.

21

Biletul nr. 28


1. Sa se gaseasca primul termen s, i rat,ia unei progresii geometrice daca:a4 + a1 =

7

16

a3 a2 + a1 = 78

.

2. Sa se arate ca pentru orice x 0 au loc inegalitat, ile:x

x+ 1 ln(1 + x) x.

Biletul nr. 29


1. Sa se gaseasca suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice (an)n1, daca a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : D R, f(x) = x

x

x+ 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 30


1. Sa se determine a s, i b astfel ncat polinomul aX4 + bX3 3 sa fie divizibil cu (X 1)2.

2. Sa se studieze continuitatea funct, iei f : R R, f(x) = limn

1 + xenx

1 + enx

Biletul nr. 31


1. Sa se determine A s, i B astfel ncat polinomul AXn+2 +BXn + 2 sa fie divizibil cu (X 1)2.2. Sa se discute dupa parametrul real m numarul de solut, ii reale ale ecuat, iei 2 lnx+ x2 4x+m = 0.

Biletul nr. 32


1. Sa se arate ca polinomul (X + 1)6n+1 +X6n+2 se divide cu X2 +X + 1.

2. Sa se determine intervalele de monotonie ale funct, iei f : (0,) R, f(x) = lnxx

s, i, folosind rezultatul obt, inut,

sa se decida care din numerele a = 35 s, i b = 5

3 este mai mare.

22

Biletul nr. 33


1. Fie ecuat,ia x3 + ax2 + bx + c = 0 avand radacinile x1, x2, x3. Sa se determine ecuat, ia care are radaciniley1 = x1 + x2 + x3, y2 = x1 x2 + x3, y3 = x1 + x2 x3.

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : D R, f(x) = x2

|x 1| , unde D este domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 34


1. Sa se rezolve ecuat, ia x4 4x3 + 5x2 2x 6 = 0, s,tiind ca suma a doua radacini este egala cu suma celorlaltedoua.

2. Sa se demonstreze ca: ln(x+ 1) 2xx+ 2

, daca x 0.

Biletul nr. 35


1. Sa se determine matricele A M2(R) cu proprietatea A2 = I2, unde I2 este matricea unitate.

2. Calculat,i:

e2x cos 3x dx pe intervalul I = R.

Biletul nr. 36


1. Sa se determine parametrul m astfel ncat o radacina a ecuat, iei x3 28x+m = 0 sa fie dublul altei radacini s, iapoi sa se rezolve.

2. Sa se determine constantele a, b R astfel ncat funct, ia f : R R, f(x) ={2x2 + b, daca x 22ax3 + 11a, daca x > 2

sa fie

derivabila pe R.

Biletul nr. 37


1. Daca x1, x2, x3 sunt radacinile polinomului X3 2X2 + 3X + 4, sa se calculeze x21 + x22 + x23 s, i x31 + x32 + x33.

2. Sa se demonstreze ca x ex 1 xex, pentru orice x R.

Biletul nr. 38


1. Sa se rezolve n mult, imea C ecuat,ia: 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x+ 2 = 0.

2. Sa se determine constantele a, b R astfel ncat funct, ia f : R R, f(x) ={xex, daca x 1ax+ b, daca x > 1

sa fie

derivabila pe R.

23

Biletul nr. 39


1. Sa se determine natura radacinilor ecuat,iei x2(2x2 + 5)m(x2 + 3) = 3, unde m este un parametru real.

2. Calculat,i:

10

4 x2 dx.

Biletul nr. 40


1. Sa se determine a, b R s, i apoi sa se rezolve ecuat, ia x4 7x3 +21x2+ ax+ b = 0, s,tiind ca 1+ 2i este radacinaa ecuat, iei.

2. Sa se determine parametrul real m astfel ncat funct, ia f : R R, f(x) = mx ln(x2 + 1) sa fie monotondescrescatoare pe R.

Biletul nr. 41


1. Sa se determine m, n R s, i apoi sa se rezolve ecuat, ia x4 x3 +mx2 + 2x + n = 0, s,tiind ca ecuat, ia admiteradacina 1 + i.

2. Calculat,i:

pi2

0

sin3 x cos2 x dx.

Biletul nr. 42


1. Sa se determine matricele X M2(R), astfel ncat X2 =(

1 124 1

).

2. Interiorul cercului de ecuat, ie x2 + y2 = 16 este mpart,it de parabola de ecuat, ie y2 = 6x n doua regiuni. Sa secalculeze aria fiecareia dintre ele.

Biletul nr. 43


1. Sa se calculeze determinantul: =

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2

.2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f : [0, pi] R, f(x) = sinx.

24

Biletul nr. 44


1. Sa se calculeze determinantul: =

1 2 4 51 4 1 20 2 1 24 3 2 1

.2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f :

[0,

1

2

] R, f(x) = arcsinx.

Biletul nr. 45


1. Sa se verifice egalitatea: a3 3a2 3a 1a2 a2 + 2a 2a+ 1 1a 2a+ 1 a+ 2 11 3 3 1

= (a 1)6.

2. Sa se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ntre parabolele de ecuat, ii y2 = 3x, respectiv x2 = 3y.

Biletul nr. 46


1. Sa se calculeze rangul matricei A =

2 a 2 24 1 2a 52 10 12 1

pentru diferite valori alu lui a C.2. Calculat,i:

pi2

0

sin2 x cos3 x dx.

Biletul nr. 47


1. Sa se precizeze daca matricea A =

1 1 11 2 31 3 6

este inversabila s, i, n caz afirmativ, sa se gaseasca inversa ei.2. Calculat,i:

pi2

0

ex sin 2x dx.

Biletul nr. 48


1. Sa se precizeze tipul matricei X s, i apoi sa se determine matricea X s,tiind ca:

X 1 2 30 1 21 2 1

=1 5 32 1 13 4 5

.2. Sa se determine primitivele funct, iei f : (0, 1) R, f(x) = arcsinx

x2

25

Biletul nr. 49


1. Sa se precizeze daca matricea A =

1 1 11 1 11 1 1

este inversabila s, i, n caz afirmativ, sa se calculeze inversa ei.2. Sa se calculeze

x4 + 1

x3 + 1dx pe intervalul I (1,).

Biletul nr. 50


1. Folosind regula lui Cramer, sa se rezolve sistemul:6x+ 4y + z + 2t = 3

6x+ 5y + 3z + 5t = 6

12x+ 8y + z + 5t = 8

6x+ 5y + 3z + 7t = 8

.

2. Determinat, i primitivele funct, iei f : (3, 3) R, f(x) = x9 x2.

Biletul nr. 51



2x y + z + 2t = 1x+ y + 2z + t = 2

3x 2y + z + 3t = 1.

2. Calculat,i

x3 + x2 + x+ 1

x3 x2 + x 1 dx pe intervalul I = (, 0).

Biletul nr. 52


1. Sa se determine a, b, c astfel ncat matricea sistemului sa fie de rang 2, iar sistemul sa fie compatibil. In acest

caz sa se rezolve sistemul

2x y + z t = 1x+ y + az + t = 1x y + z + bt = c

.

2. Determinat, i primitivele funct, iei f : (0,) R, f(x) = 1x(x2 + 1)

Biletul nr. 53



ax+ y + z = 1

x+ ay + z = 1

x+ y + az = 1

(discut, ie dupa parametrul a R).

2. Calculat,i:

10

e2x sin 3x dx.

26

Biletul nr. 54


1. Sa se determine a R astfel ncat sistemul sa aiba s, i solut, ii nenule, iar n acest caz sa se rezolve:x 2y + z t = 02x y + 3z 3t = 0x+ y + z + t = 0

2x+ (a 1)y + 2z + at = 0

.

2. Calculat,i primitivele funct, iei f : R R, f(x) = xx2 + 1.

Biletul nr. 55


1. Se defines,te legea de compozit, ie ? : R R R, (x, y) 7 x ? y = x + y + xy. Aratat,i ca aceasta lege esteasociativa, comutativa s, i cu element neutru. Demonstrat,i ca intervalul [1,) este parte stabila a lui R nraport cu legea ?.

2. Calculat,i: limx

(x x2 ln 1 + x

x

).

Biletul nr. 56


1. Se defines,te legea de compozit, ie ? : RR R, (x, y) 7 x? y = xy+2ax+ by. Determinat, i a, b R astfel ncatlegea ? sa fie comutativa s, i asociativa. Are legea astfel obt, inuta element neutru?

2. Sa se determine constantele a, b R astfel ncat funct, ia f : R R, f(x) ={x2 x+ 1, daca x 0a sinx+ b cosx, daca x > 0

sa

fie derivabila pe R.

Biletul nr. 57


1. Demonstrat,i ca (x, y) 7 x?y = x+ y1 + xy

este lege de compozit, ie interna pe G = (1, 1) s, i (G, ?) este grup abelian.

2. Sa se calculeze derivata de ordin n (n > 1) a funct, iei f : E R, f(x) = 1x+ a

, precizand mult, imea E a

punctelor unde f este de n ori derivabila.

Biletul nr. 58


1. NotamM = {a+bi | a, b Z}. Demonstrat, i caM este parte stabila a mult, imii C a numerelor complexe n raportcu nmult, irea numerelor complexe s, i ca formeaza monoid comutativ n raport cu operat, ia indusa. Determinat, ielementele simetrizabile ale monoidului M .

2. Sa se calculeze limx0x>0

xe1x

tan2 x

27

Biletul nr. 59


1. Fie G = (0,)\{1} s, i legea definita prin (x, y) 7 x ? y = xln y. Aratat,i ca ? este lege de compozit, ie pe G s, i(G, ?) este grup comutativ.

2. Se considera funct, ia f : R R, f(x) =|x2 1|. Sa se calculeze derivatele laterale n 0, 1 s, i 1.

Biletul nr. 60


1. Pe Z se defines,te legea de compozit,ie Z Z Z, (x, y) 7 x4y = x + y 1. Demonstrat,i ca (Z,4) este grupcomutativ.

2. Sa se determine punctele critice pentru f : D R, f(x) = arctan 3x+ 1x2 1 (se vor afla domeniul maxim de

definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate).

Biletul nr. 61


1. Fie = 12+ i

3

2s, i G = {1, , 2} C. Demonstrat,i ca G este parte stabila a lui C n raport cu nmult,irea

numerelor complexe s, i alcatuit,i tabla operat,iei induse. Deducet, i ca (G, ) este grup comutativ.

2. Sa se studieze continuitatea funct, iei f : R R, f(x) =

31 x 2x 1

x, daca x 6= 0

1, daca x = 0.

Biletul nr. 62


1. Pe mult, imea Z a numerelor ntregi definim legile de compozit,ie xy = x + y + 3 s, i x>y = xy + 3x+ 3y + 6, x, y Z. Demonstrat,i ca (Z,,>) este un inel comutativ.

2. Sa se calculeze derivata funct, iei f : D R, f(x) = arcsinx1 x2 n punctul x0 = 0 (se va preciza domeniul maxim

de definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate ale funct, iei f).

Biletul nr. 63


1. Fie A =

{(a b

5b a

) a, b Z}. Aratat,i ca A este parte stabila a lui M2(Z) n raport cu adunarea s, i nmult,ireamatricelor s, i ca formeaza un inel comutativ n raport cu operat, iile induse.

2. Fie f : R R, f(x) ={x2 3x+ 2, daca x > 00, daca x 0 . Sa se studieze derivabilitatea lui f s, i sa se determine

punctele unde tangenta la graficul funct, iei trece prin origine.

28

Biletul nr. 64


1. Rezolvat,i n Z12 sistemul:

{3x+ 2y = 4

2x+ 3y = 1.

2. Sa se determine a R astfel ncat funct, ia

f : R\{1} R, f(x) =

a ln(3 x), daca x < 1

2x 2x 1 , daca x > 1

sa aiba limita n punctul x0 = 1.

Biletul nr. 65


1. Fie f , g Z5[X ], f = 3X5 + 2X3 + 2X + 4, g = 2X3 + 3X2 + 1. Aflat, i catul s, i restul mpart,irii lui f la g.

2. Sa se studieze continuitatea s, i sa se traseze graficul funct, iei f : R R, f(x) = limn

enx

1 + enx

Biletul nr. 66


1. Fie K =

{(a 2bb a

) a, b Q}. Aratat, i ca K este parte stabila a lui M2(Q) n raport cu adunarea s, i nmult,ireamatricelor s, i ca formeaza un corp n raport cu operat,iile induse.

2. Calculat,i: limx1

x 1

3x 1

Biletul nr. 67


1. Definim pe R legea de compozit, ie (x, y) 7 x ? y = x+ y + xy s, i fie G = [1,) s, i H = (1,). Aratat,i ca Gs, i H sunt part, i stabile ale lui R n raport cu legea ? s, i ca formeaza monoizi comutativi n raport cu operat,iaindusa. Care din cei doi monoizi este grup?

2. Calculat,i: limx

(x x2 2x).

Biletul nr. 68


1. Rezolvat,i n Z12 sistemul:

{3x+ 4y = 11

4x+ 9y = 10.

2. Sa se arate ca s, irul an =2n

(n!)2, n N, este monoton, marginit s, i convergent. Aflat, i limita sa.

29

Biletul nr. 69


1. Definim pe R legea de compozit, ie (x, y) 7 x ? y = xy x y + 2. Studiat, i proprietat,ile acestei legi.2. Sa se determine constantele reale a s, i b astfel ncat funct, ia

f : R R, f(x) ={x2 + a, daca x 2ax+ b, daca x > 2

sa fie continua pe R s, i, n plus, sa existe limx2

f(x) f(2)x 2

30

BACALAUREAT 1998SESIUNEA AUGUST

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia2 x < x.


{4x 5 9y = 14x + 2x 3y = 6 .

3. Pentru x, y Q se defines,te legea de compozit, ie

x ? y = x+ y 5xy.

Sa se cerceteze daca exista a Q astfel ncat (Q\{a}, ?) sa fie grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Fie funct, ia f : R R, f(x) = (x2 + ax+ 1)ex, unde a R.a) Sa se determine parametrul a pentru care funct, ia este crescatoare pe R.

b) Pentru a = 0 determinat, i ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei n punctul de intersect,ie cu axa Oy.

c) Sa se demonstreze ca g : R (0,), g(x) = (x2 + 1)ex este bijectiva, cu inversa derivabila n punctulx0 = 1 s, i sa se calculeze derivata inversei n punctul x0 = 1.

2. Sa se calculeze integrala

10

x2 arctanx dx.

SUBIECTUL III

Se da hiperbola H de ecuat,iex2

4 y

2

9 1 = 0.

a) Sa se afle ecuat,ia tangentei la hiperbola n punctul T (22, 3).

b) Sa se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei H s, i dreapta de ecuat, ie 9x+ 2y 24 = 0.

31

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, iax+ 2

x 1 +

x 2x 1 = 2.

2. Sa se discute, n funct, ie de parametrul real a, s, i sa se rezolve, urmatorul sistem:x y + az = 12x ay + 2z = 1x+ ay + az = a 6

.

3. Sa se rezolve urmatorul sistem: {Ayx = 7A

y1x

6Cyx = 5Cy+1x

.

SUBIECTUL II

1. Sa se calculeze urmatoarea limita:

limn

n2(

n2 +n4 + 1 n

2

).

2. Se considera funct, ia f : R R, f(x) = ax+ bx2 + 1

, unde a, b R.

a) Sa se determine a, b, s,tiind ca funct, ia admite n x = 1 un extrem egal cu1

2

b) Pentru a = 1 s, i b = 0 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia, folosind s, i derivata a doua.

c) Pentru a = 1 s, i b = 0 se noteaza cu A(u) aria mult, imii cuprinse ntre axa Ox, axa Oy, graficul funct, iei s, i

dreapta x = u (u > 0). Sa se determine u >1

2pentru care A(u) < ln(2u 1).

SUBIECTUL III

Se da cercul de ecuat, ie x2 + y2 4x+2y = 0. Sa se scrie ecuat,ia dreptei care trece prin centrul cercului dat s, i esteperependiculara pe dreapta de ecuat, ie 2x+ 3y 4 = 0.

32

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Fie x1, x2, x3 radacinile polinomului f R[X ], f = X3+(m+1)X2+2X +m. Sa se calculeze n funct, ie de m:

x21 + x22 + x

23 s, i x

31 + x

32 + x

33,

apoi sa se rezolve inecuat, ia x31 + x32 + x

33 5 2x1x2x3.

2. Definim pe Z legile de compozit,ie xy = x+y+3 s, i xy = xy+3x+3y+6. Sa se demonstreze ca (Z,,) esteun inel comutativ. Verificat,i daca inelul are divizori ai lui zero. Determinat, i elementele inversabile ale acestuiinel.

3. Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice, daca

a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

SUBIECTUL II

1. Se da funct, ia f : R R, f(x) ={xex, daca x 1ax+ b, daca x > 1

.

a) Sa se determine constantele reale a s, i b astfel ncat funct, ia sa fie continua s, i derivabila pe R.

b) Pentru a = 2e s, i b = e sa se determine o primitiva a lui f pe R.2. Sa se demonstreze ca, pentru orice x 0, au loc inegalitat,ile:

x

x+ 1 ln(1 + x) x.

SUBIECTUL III

Sa se determine aria triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuat, ii:

AB : x 2y + 4 = 0,BC : 2x+ y + 1 = 0,AC : x+ y + 2 = 0.

33

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Sa se determine n astfel ncat n dezvoltarea(

2x +21x

)n(n N) suma coeficient, ilor binomiali ai ultimilor

trei termeni sa fie egala cu 22. Pentru n = 6 sa se determine x s,tiind ca suma termenilor T3 s, i T5 este egala cu135.

2. Se considera matricea X cu proprietatea

X 3 4 01 1 22 1 3

= ( 2 1 01 3 2).

Precizat,i tipul matricei X s, i apoi determinat, i aceasta matrice.

3. Rezolvat,i n Z8: {x+ 2y = 1

3x+ 4y = 1.

SUBIECTUL II

1. Sa se determine a, b R astfel ncat

limx

(2x2 + 4x+ 1 ax b

)= 2

2.

2. Pentru n N se considera integralele In = pi

4

0

xn cos 2x dx s, i Jn =

pi4

0

xn dx.

a) Sa se calculeze I0 s, i I1.

b) Fara a calcula integrala In, sa se precizeze monotonia s, irului (In)nN.

c) Comparat,i integrala In cu integrala Jn. Sa se precizeze daca s, irul (In)nN este convergent s, i, n cazafirmativ, sa se determine limita sa.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat, ia cercului circumscris triunghiului ABC, unde varfurile triunghiului au coordonatele A(2, 5),B(5, 1) s, i C(2, 2).

34

Varianta 5


SUBIECTUL I

1. Se da expresia E(x) =x2 + (m+ 1)x+m+ 2

x2 + x+m

Sa se determine parametrul real m astfel ncat E(x) sa aiba sens s, i sa fie strict pozitiva pentru orice x R.2. Sa se rezolve ecuat, ia 2 lg

2(x3) 3 lgx 1 = 0.3. Fie G = (3, 3). Pentru x, y G definim:

x ? y =9(x+ y)

9 + xy

Sa se demonstreze ca ? este lege de compozit, ie pe G s, i ca (G, ?) este grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : [2,) R, f(x) = |x 1|e|x+1|.a) Sa se expliciteze funct, ia f s, i sa se studieze derivabilitatea ei.

b) Sa se determine extremele locale ale funct, iei.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f :

[0,

1

2

] R, f(x) = arcsinx.

SUBIECTUL III

Paralelogramul ABCD are varfurile consecutive A s, i B de coordonate A(3,1) s, i B(2,

11

4

). Se s,tie ca punctul

Q

(3,

1

2

)este intersect,ia diagonalelor paralelogramului. Sa se afle coordonatele varfurilor C s, i D s, i ecuat,ia dreptei

BC.

35


Varianta 1

Profilul economic

SUBIECTUL I


{Ayx = 7A

y1x

6Cyx = 5Cy+1x

.

2. Se considera matricele A =

1 2 23 1 p3 1 1

s, i B =1 2 2 43 1 1 p3 1 1 q

. Sa se afle numerele reale p s, i q astfelncat cele doua matrice sa aiba acelas,i rang.

3. Pentru x, y R definim legea de compozit, ie x ? y = xy x y + 2. Demonstrat, i ca G = (1,) este partestabila a lui R n raport cu operat,ia ? s, i ca G mpreuna cu operat,ia indusa are o structura de grup comutativ.Demonstrat,i ca funct, ia f : R G, f(x) = 2x + 1 este un izomorfism ntre grupurile (R,+) s, i (G, ?).

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : R R, f(x) = (x 1)ex.a) Sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua.

b) Sa se calculeze limu

A(u), unde A(u) reprezinta aria mult, imii plane marginite de graficul funct, iei f , axa Ox s, i

dreptele de ecuat, ii x = 1 s, i x = u (u > 1).

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat, ia simetricei dreptei de ecuat, ie 3x+ y 1 = 0 fat, a de punctul A(4,2).

36

Varianta 2

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 16(0, 25)5

x

4 = 2x+1.

2. Descompunet, i n factori ireductibili peste Z5 polinomul f = X4 +X3 + 2X2 +X + 1.

3. Pentru fiecare x R, x 6= 0 se considera matricea A(x) =(

2 x 1 x2(x 1) 2x 1

)s, i mult, imea E = {A(x) | x R}.

a) Demonstrat,i ca pentru orice x, y R avem relat,ia A(x) A(y) = A(xy).b) Calculat,i (A(x))

n pentru A(x) E.c) Demonstrat,i ca nmult, irea matricelor este lege de compozit, ie pe E s, i ca E, mpreuna cu legea indusa, are

o structura de grup abelian.

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : R\{1} R, f(x) = x2 +mx+ n

x 1 , unde m, n R.

a) Sa se determine m s, i n astfel ncat funct, ia f sa admita un extrem egal cu 1 n punctul x = 0.

b) Pentru m = 1 s, i n = 1, sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua.c) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei de la punctul b) n punctul de abscisa 3.

d) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei de la punctul b), axa Ox s, i dreptele de ecuat, iix = 2, x = 5.

SUBIECTUL III

Sa se gaseasca ecuat, ia cercului de diametru [AB], s,tiind ca A(3, 2) s, i B(1, 6). Sa se scrie ecuat, ia tangentei la cercn punctul A.

37

Varianta 3

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice (an)n1 daca

a6 + a9 + a12 + a15 = 20.


4x+my = 0

y z = 02x+ y + z = 0

. Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul are s, i solut, ii

diferite de solut, ia nula? Sa se rezolve sistemul n acest caz.

3. Fie K un corp comutativ s, i polinomul f K[X ].

a) Daca a, b K s, i a 6= b, demonstrat,i ca restul mpart,irii polinomului f la (Xa)(Xb) este f(a) f(b)a b X+

af(b) bf(a)a b

b) Demonstrat,i ca daca a 6= b, X a | f s, i X b | f , atunci (X a)(X b) | f .

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{1; 3} R, f(x) = x2 + ax

(x+ 3)2

a) Sa se determine a R pentru care tangenta la graficul funct, iei n punctul de abscisa 1 este paralela cu axaOx.

b) Pentru a = 3 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia, folosind s, i derivata a doua.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie generat de funct, ia f : [1, e] R, f(x) = lnxx

SUBIECTUL III

Se da dreapta d de ecuat, ie 2x y + 4 = 0. Sa se cerceteze daca punctele A(5, 3) s, i B(11

5,3

5

)sunt simetrice

fat, a de dreapta d.

38

Varianta 4

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 4xx25 12 2x1

x25 + 8 = 0.

2. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat,ia

4mx2 + 4(1 2m)x+ 3(m 1) = 0

are radacini reale strict pozitive.

3. Fie matricea A =

2 1 11 2 11 1 2

.a) Sa se demonstreze ca exista x, y R astfel ncat A2 = xA+ yI3, unde I3 este matricea unitate.b) Este matricea A inversabila? In caz afirmativ, sa se calculeze A1.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R R, f(x) =

x 1ex

, x (, 1]

ln2 x

x, x (1,)

.

Sa se demonstreze ca funct, ia f are primitive pe R s, i sa se afle o primitiva a sa.

2. S, tiind ca a+ b+ 1 = 0, sa se calculeze limita

limn

(an+ 1 + b

n+ 2+

n+ 3).

SUBIECTUL III

S, tiind ca A(1, 2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d, sa se scrie ecuat, ia dreptei d.

39

Varianta 5

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia

x2 5x+ 4x2 4 1.

2. Sa se determine m R s, i sa se rezolve ecuat, ia

x3 +mx2 x 3 = 0,

s,tiind ca radacinile sale sunt n progresie aritmetica.

3. Sa se rezolve s, i sa se discute dupa parametrul real m urmatorul sistem de ecuat, ii:x my + z = 2mx 2y + z = 1

mx+m2y 2z = 2.

SUBIECTUL II

Fie funct, ia f : R\{c} R, f(x) = x2 + ax+ b

x+ c

a) Sa se determine a, b, c, astfel ncat graficul funct, iei sa aiba ca asimptote dreptele de ecuat, ii x = 1 s, i y = x+ 2,iar P (2, 6) sa fie un punct al graficului.

b) Pentru a = 1, b = 0 s, i c = 1 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind derivata a doua.c) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la graficul de la punctul b), n punctul de abscisa 1.d) Sa se calculeze aria mult, imii plane marginite de graficul funct, iei, axa Oy, asimptota oblica s, i dreapta de ecuat,ie

x = 1.

SUBIECTUL III

Sa se precizeze daca cercul de centru C(4, 0), tangent la dreapta de ecuat,ie d : 4x+3y 6 = 0, taie sau nu dreaptade ecuat, ie 4x 3y 6 = 0.

40


Varianta 1

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Sa se determine X M2(Z) care satisface relat,ia:(3 15 2

)X =

(1 00 1

).

2. Pe R definim legea de compozit, ie

x ? y =1

2(x+ y xy + 1).

Sa se cerceteze daca aceasta lege este asociativa, comutativa s, i are element neutru. Daca exista element neutru,determinat, i elementele simetrizabile fat, a de legea ?.

SUBIECTUL II

1. Determinat, i primitivele funct, iilor:

a) f : (0,) R, f(x) = 3x4 + 2xx+ 3 sinx+ 1

x2 + 1;

b) f : (0,) R, f(x) = x2 + lnx.2. Sa se calculeze urmatoarele integrale:

a)

10

xex dx;

b)

pi2

0

cos2 x dx.

3. Se considera funct, iile f , g : R R, f(x) = x2 + 4x s, i g(x) = x+ 4.a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) g(x).b) Sa se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ntre graficele funct, iilor f s, i g s, i dreptele de ecuat, ii x = 4,

x = 1.

41

Varianta 2

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Fie H =

{A M2(R)

A = (a b0 1), a, b R, a 6= 0

}. Demonstrat,i ca:

a) Daca A, B H , atunci A B H .

b) Oricare ar fi A H , exista X H astfel ncat A X = I2, unde I2 =(1 00 1

).

2. Pentru numerele reale x s, i y definim operat,ia x ? y = xy 5x 5y + 30.a) Demonstrat,i ca ? este lege de compozit, ie pe mult, imea G = (5,+).b) Verificat,i daca (G, ?) este grup abelian.

c) Rezolvat,i n G ecuat,ia x ? x = 9.

SUBIECTUL II


a) f : R R, f(x) = (x2 4)(x+ 1) + 1x 3x.

b) f : R R, f(x) = x2 cosx.

2. Fie f : [0,) R, f(x) = x3

x+ 1

a) Sa se arate ca exista a, b, c R astfel ncat f(x) = ax2 + bx+ c 1x+ 1

, pentru orice x [0,).

b) Sa se calculeze integrala

31

f(x) dx.

3. Fie funct, ia f : (0,) R, f(x) = lnxx2

. Sa se calculeze aria limitata de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele

de ecuat,ii x = 1 s, i x = e.

42

Varianta 3

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Se considera matricele A =

(1 10 2

)s, i B =

(2 11 0

). Sa se determine matricea X M2(R) care verifica

egalitatea A X = B.

2. Fie M mult, imea matricelor de forma A =

(a b

5b a

)cu a, b Z. Demonstrat, i ca adunarea s, i nmult,irea

matricelor sunt legi de compozit,ie pe M s, i verificat,i daca (M,+, ) este inel comutativ.

SUBIECTUL II


a) f : R R, f(x) = (2x+ 1)2(x 1) + 1x2 + 9

b) f : (0,) R, f(x) = x ln2 x.

2. a) Sa se calculeze integrala

pi2

0

ex sin 2x dx.

b) Sa se determine a > 0 astfel ncat

a0

(2 4x+ 3x2) dx = a.

3. Se considera funct, iile f , g : R R, f(x) = x3 2x 3 s, i g(x) = 2x2 x 3.a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) g(x).b) Calculat,i aria mult, imii plane cuprinse ntre graficele celor doua funct, ii s, i dreptele de ecuat,ii x = 0 s, i x = 1.

43

Varianta 4

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Pentru orice a R definim matricea Ua M2(R), Ua =(1 a0 1

)s, i notam cu G mult, imea tuturor acestor

matrice.

a) Aratat,i ca pentru orice a, b R sunt satisfacute relat, iile Ua Ub = Ua+b s, i Ua Ua = I2, unde I2 =(1 00 1

).

Deducet, i ca nmult, irea matricelor este lege de compozit,ie pe G.

b) Precizat,i daca matricea I2 face parte din G s, i verificat,i daca elementele din G sunt simetrizabile fat, a denmult, irea matricelor.

2. Pentru x, y R definim urmatoarea lege de compozit,ie:

x ? y = xy 3x 3y + 12.

a) Verificat,i daca legea ??? este asociativa s, i comutativa.

b) Fie G = (3,). Demonstrat, i ca, daca x G s, i y G, atunci x ? y G.c) Cercetat,i daca exista e G astfel ncat pentru orice x G sa avem x ? e = e ? x = x.d) Verificat,i daca (G, ?) este grup abelian.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine primitivele funct, iei f : (0,) R, f(x) = x2 x+ 14x

1x+ 1

+2

x2 + 1

b) Sa se determine o funct, ie a carei primitiva este F : R R, F (x) = x+ 1x2 + 1

2. Sa se calculeze integralele:

a)

pi2

0

ex cos 2x dx.

b)

e1

ln2 x dx.

3. Se considera funct, iile f , g : R, f(x) = x2 2x 2, g(x) = 2 4x x2.a) Sa se determine x R astfel ncat f(x) g(x).b) Sa se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ntre graficele funct, iilor f s, i g s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i

x = 3.

44

Varianta 5

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Se dau matricele A =

(1 12 1

)s, i B =

(2 10 3

). Sa se determine matricea X M2(R) care verifica egalitatea

A X = B.2. Pe mult, imea Q se definesc legile de compozit, ie

x y = x+ y + 2 s, i x y = 2xy + 4x+ 4y + 6.

a) Demonstrat,i ca (Q,) este grup abelian.b) Demonstrat,i ca (Q,) este monoid comutativ.c) Este legea de compozit, ie distributiva fat, a de legea ? Ce concluzie se poate trage?

SUBIECTUL II


a) f : (0, 1) R, f(x) = 2x2 5x+ 1x xx+ 1

1 x2

b) f : R R, f(x) = e2x sinx.

2. a) Fie f : R R, f(x) = x2 + 2x

(x2 + x+ 1)2. Demonstrat,i ca funct, ia f admite o primitiva F : R R de forma

F (x) =ax+ b

x2 + x+ 1. Constantele a s, i b se vor determina.

b) Sa se calculeze integrala

pi0

x2 cosx dx.

3. Determinat, i aria subgraficului funct, iei f : [1, 2] R, f(x) = (x2 x)ex.

45


Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine cifrele a s, i b astfel ncat numarul N = a23b sa fie divizibil cu 18.

2. La o serbare s,colara s-au vandut bilete a cate 4000 lei s, i a cate 5000 lei bucata. In total s-au vandut 700 debilete pe care s-au ncasat 3000000 lei. Cate bilete de fiecare fel s-au vandut?

3. Suma a trei numere este 60. Daca nmult,im al doilea numar cu5

4obt, inem acelas, i rezultat ca s, i atunci cand

adaugam 5. S, tiind ca al treilea numar este cu 6 mai mare decat primul, sa se afle numerele.

SUBIECTUL II

1. Se considera familia de funct, ii de gradul al doilea fm(x) = x2 2(m 1)x+m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine curba pe care o descriu varfurile parabolelor asociate funct, iilor din familie, cand m variaza.

b) Sa se arate ca toate parabolele familiei trec printr-un punct fix.

2. Sa se rezolve n mult, imea claselor de resturi modulo 12 urmatorul sistem de ecuat, ii:{5x+ 4y = 4

2x+ 3y = 11.

SUBIECTUL III

1. Intr-un paralelogram ABCD se dau: BC = 45 cm, AC = 17 cm s, i nalt,imea CE = 8 cm (E AD). Seprelunges,te CE pana intersecteaza prelungirea laturii AB n punctul N . Se cere sa se calculeze aria triunghiuluiAEN .

2. Laturile bazelor unui trunchi de piramida triunghiulara regulata sunt de 3 cm s, i respectiv 12 cm. Fet,ele lateraleformeaza cu planul bazei unghiuri de 60. Sa se calculeze volumul trunchiului de piramida s, i nalt,imea piramideidin care provine trunchiul.

46

Varianta 2

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se gaseasca toate perechile de numere naturale a caror suma este 87 s, i pentru care 87 este divizibil cu diferent,alor.

2. O ferma a vandut1

4din cantitatea de ros,ii recoltata cu pret,ul de 7000 lei/kg,

5

12din cantitate cu 6000 lei/kg

s, i1

8din cantitate cu pret,ul de 5000 lei/kg, iar restul de 7125 kg cu pret,ul de 50400 lei/chintal. 16% din banii

ncasat,i se folosesc pentru investit, ii. Ce suma s-a folosit pentru investit, ii?

3. La un concurs de matematica, Silviu a obt, inut 10 puncte. S, tiind ca avea de rezolvat 8 probleme, iar pentru oproblema rezolvata corect a primit 3 puncte s, i pentru o problema nerezolvata i s-au scazut 4 puncte, aflat,i cateprobleme a rezolvat Silviu.

SUBIECTUL II

1. Sa se arate ca numerele de forma 10n + 18n 28 (n N) sunt divizibile cu 27.2. Pentru x, y R definim legea de compozit, ie x ? y = ax+ by xy. Determinat, i numerele reale a s, i b astfel ncat

legea de compozit,ie sa fie comutativa s, i asociativa. Pentru valorile aflate, admite legea de compozit,ie elementneutru? Daca da, care sunt elementele simetrizabile?

SUBIECTUL III

1. Se da patratul ABCD de latura a. Se iau punctele E (BC) s, i H (CD) astfel ncat m(AEH) = 90 s, im(HAE) = 30. Sa se calculeze distant,a EC s, i m(ADE).

2. Se da prisma triunghiulara ABCABC, n care triunghiul ABC este echilateral de latura a, iar muchia AA

de lungime b, formeaza cu muchiile AB s, i AC unghiuri de masura 45. Notam cu D proiect, ia lui A pe planul(ABC). Demonstrat, i ca [AD este bisectoare a triunghiului ABC s, i aflat,i aria laterala a prismei.

47

Varianta 3

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Intr-o familie, tatal are 46 ani, iar fiul sau are 19 ani. Cu cat, i ani n urma tatal era de 4 ori mai n varsta decatfiul sau?

2. O echipa formata din 10 muncitori poate termina o lucrare n 20 de zile. Dupa ce echipa lucreaza 10 zile, 6muncitori sunt trimis, i sa lucreze n alta parte. In cat timp vor termina lucrarea muncitorii ramas, i?

3. Un elev are un numar de fotografii. Vrand sa le lipeasca pe filele unui album, constata ca, daca le lipes,te catedoua sau cate cinci sau cate s,apte, pe ultima fila a albumului raman doua fotografii. Sa se afle care este numarulacestor fotografii, s,tiind ca el este cel mai mic numar cu aceste proprietat,i.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X4 aX3 + bX2 + cX + d, f R[X ]. Sa se determine a, b, c, d astfel ncat fmpart,it la X2 3X 1 sa dea restul 2X + 1 s, i, mpart,it la X2 1, sa dea restul 2X + 2.

2. Sa se determine matricea X care satisface egalitatea:

X 1 2 30 1 21 2 1

=1 5 32 1 13 4 3

.SUBIECTUL III

1. Pe laturile triunghiului ABC se considera punctele M (BC) s, i P (AB), astfel ncat MB = 2MC s, iPA = PB. Daca O este intersect, ia dreptelor AM s, i CP , demonstrat,i ca OP = OC s, i OA = 3OM .

2. Sect, iunea axiala a unui trunchi de con este un trapez isoscel cu bazele de 20 cm s, i 12 cm, avand diagonalele per-pendiculare. Calculat,i aria laterala s, i volumul trunchiului de con, precum s, i volumul din care provine trunchiul.

48

Varianta 4

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Determinat, i bazele de numerat,ie x s, i y, s,tiind ca suma lor este 11 s, i ca 231x + 356y = 14135.

2. Impart,ind numerele 1774, 2780 s, i 4687 cu acelas, i numar natural n, obt, inem respectiv resturile 10, 8 s, i 7. Sa sedetermine numarul n.

3. Trei frat, i depun la o banca 40000000 lei. Jumatate din suma depusa de fratele cel mare este egala cu o treimedin suma depusa de fratele mijlociu s, i egala cu o cincime din suma depusa de fratele cel mic. Sa se afle sumadepusa de fiecare frate.

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia 2 lg2(x2) 3 lgx 11 = 0.

2. Sa se determine m R astfel ncat urmatorul sistem sa admita s, i solut, ii diferite de solut, ia nula s, i n acest cazsa se rezolve:

(m+ 1)x+ y + z = 0

x+ 2(m 1)y z = 0(m 1)x y + z = 0

.

SUBIECTUL III

1. Diagonalele trapezului ABCD (AB CD) se intersecteaza n O.a) Sa se arate ca triunghiurile AOD s, i BOC au aceeas,i arie.

b) Paralela prin O la latura AB intersecteaza laturile AD s, i BC n M s, i respectiv N . Demonstrat, i caMO = NO.

2. Sa se determine aria s, i volumul unui tetraedru regulat cu muchia de 10 cm.

49

Varianta 5

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se afle doua numere naturale a s, i b, s,tiind ca suma lor este 180 s, i ca cel mai mare divizor comun al lor este18.

2. Doua robinete curgand mpreuna, pot umple3

4dintr-un bazin n 5

1

4ore. Primul robinet, curgand singur, umple

2

5din bazin n 4 ore. In cat timp va umple bazinul robinetul al doilea curgand singur?

3. O sfoara cu lungimea de 221

2m trebuie sa fie taiata n trei bucat, i astfel ncat bucata a doua sa fie de 3

1

2ori

mai mare decat prima, iar cea de-a treia de 21

4ori mai mare decat prima. Sa se afle lungimea fiecarei bucat,i de

sfoara.

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia2x+ 1 = 2

xx 3.

2. Fie G mult, imea matricelor de forma A =

(x 3yy x

), unde x, y Q, x 6= 0 sau y 6= 0.

Aratat,i ca nmult, irea matricelor este lege de compozit,ie pe G s, i verificat,i daca, mpreuna cu operat,ia indusa, Geste grup abelian.

SUBIECTUL III

1. Se considera trapezul isoscel ABCD avand m(A) = 60, circumscris unui cerc de raza R. Sa se calculezeperimetrul s, i aria trapezului n funct, ie de R.

2. Aria totala a unui paralelipiped dreptunghic este de 142 cm2, iar diagonala paralelipipedului este de83 cm.

Sa se calculeze dimensiunile paralelipipedului, s,tiind ca ele sunt n progresie aritmetica.

50

bac 1998

Documents