1

GENERALITĂŢI

Proprietăţile mecanice ale materiei au constituit obiect de studiu

încă din timpurile de început ale civilizaţiei umane. În particular,

materialele, cele din care omul îşi confecţiona diferite bunuri, au

început să fie dezvoltate din vremuri imemoriale, prin olărit, ţesături

şi mai apoi, prin prelucrarea metalelor neferoase, în epoca bronzului.

Se poate spune că istoria descoperirilor prin care diferitele “materii

prime” au fost transformate în “materiale” utile omului, este însăşi

istoria civilizaţiei.

Prin acest efort s-a căutat izolarea acelor proprietăţi ale

diferitelor materiale, care se dovedeau cele mai utile. Mai târziu,

obiectivul a fost optimizarea materialelor, adică modificarea

structurii lor cu scopul de a le îmbunătăţi una sau alta dintre

proprietăţi. De exemplu, vânătoarea a devenit mai eficace atunci

când vârfurile de săgeţi au fost făcute din silex, o piatră care putea fi

spartă în aşa fel încât să formeze muchii şi vârfuri ascuţite. Nu orice

piatră însă putea fi prelucrată astfel (prin mijloacele din acea vreme).

Neîndoielnic, întrebarea “de ce numai anumite pietre au această

proprietate” a apărut în mintea omului primitiv, dar răspunsul avea să

se lase aşteptat câteva milenii.

Un alt exemplu interesant din perspectivă istorică este inventarea

şi perfecţionarea oţelurilor. Aceasta s-a desfăşurat pe parcursul a

câtorva milenii, cea mai rapidă evoluţie înregistrându-se, desigur, în

ultimii aproximativ 150 de ani. De-a lungul acestei istorii, efortul

principal a fost îndreptat spre îmbunătăţirea rezistenţei materialului la

diverse solicitări; oţelurile trebuiau să susţină sarcini din ce în ce mai

mari înainte de rupere. Cu timpul, din întâmplare sau prin diverse

încercări empirice, s-au obţinut oţeluri pentru care, pe măsură ce

rezistenţa se îmbunătăţea, deformaţiile erau mai mici. În limbajul de

astăzi am spune că, între ductilitate şi rezistenţa la rupere există o

relaţie inversă. Mai târziu s-a observat că această situaţie nu este

specifică oţelurilor, ci este o caracteristică a majorităţii materialelor

inginereşti.

În prezent, structuri foarte complicate sunt construite din

materialele cele mai diverse. Multe dintre acestea sunt supuse la

2

încărcări mecanice semnificative şi deci proprietăţile mecanice ale

ansamblului sunt de maximă importanţă pentru buna lui funcţionare.

În acest sens se pot da multe exemple clasice, unele evidente: poduri,

supuse la propria greutate, la greutatea vehiculelor care le traversează

dar şi la solicitări produse de vânt şi de cutremure; structurile de

rezistenţă ale construcţiilor, care sunt supuse, în linii mari, la aceleaşi

tipuri de solicitări statice şi dinamice (variabile în timp), structuri

industriale de mari dimensiuni, cum ar fi cuptoarele de topire a

metalelor, care sunt supuse atât la solicitări mecanice prin greutatea

proprie, cât şi la solicitări termice, prin cicluri de încălzire – răcire.

Alte exemple, mai puţin discutate, de structuri intens solicitate

mecanic, sunt sistemele micro – electro – mecanice (micro –

electromechanical systems, MEMS) şi sistemul osos al omului şi

animalelor. MEMS – urile sunt sisteme mecanice formate din bare şi

membrane care sunt construite (“gravate”) pe un cip de siliciu, în

timp ce partea electronică de comandă şi control este integrată pe

acelaşi cip. Ele sunt folosite în special ca senzori de presiune şi

acceleraţie, dar pot fi folosite şi în alte scopuri, de exemplu, ca

actuatori microscopici. Aceste structuri sunt intens solicitate

mecanic, adeseori până aproape de rupere, în condiţii dinamice

dificile (la rezonanţă). Ele sunt însă deosebit de rezistente deoarece

materialul din care sunt realizate este un mono – cristal. O situaţie

similară există la sistemul osos. Acesta este structurat la multiple

scări şi s-a dezvoltat astfel încât să preia sarcinile cu maximă

eficienţă şi consum minim de material.

Practica inginerească impune, în general, două tipuri de restricţii

asupra comportării mecanice a structurilor. Pe de o parte, ele nu

trebuie să cedeze sub sarcinile normale de lucru (sau chiar sub sarcini

mai mari, aplicate accidental), iar pe de altă parte nu trebuie să se

deformeze excesiv. Prima condiţie este evidentă şi se aplică în

majoritatea cazurilor. A doua este necesară numai în unele cazuri. Un

astfel de exemplu îl constituie paletele rotoarelor turbinelor de abur

sau ale motoarelor de avion (turbine cu gaz). Acestea sunt supuse la

încovoiere de fluidul în mişcare, dar şi la întindere, de o importantă

forţă centrifugă datorată vitezelor unghiulare foarte mari cu care se

învârt rotoarele. În plus, ansamblul lucrează la temperaturi ridicate.

Condiţia de rezistenţă la rupere pentru aceste structuri este evident

3

necesară. În plus, este necesar ca paletele să nu se deformeze (să-şi

mărească lungimea) în timpul funcţionării mai mult decât distanţa

dintre vârful lor şi carcasă, pentru a evita ruperea paletelor şi / sau a

carcasei. Această toleranţă este însă mică, deoarece un spaţiu mare

între palete şi carcasă duce la pierderi inadmisibile ale fluidului de

lucru.

Aceste două condiţii, cea de rezistenţă şi cea de deformaţie, fac

obiectul studiilor mecanicii materialelor şi structurilor, cunoscută şi

ca rezistenţa materialelor sau ca mecanica solidului deformabil.

Este necesar să se sublinieze distincţia făcută mai sus între

comportarea materialelor şi cea a structurilor. Desigur, a doua o

include pe prima. În plus, răspunsul structurilor, compuse din multe

elemente (componente, piese, organe) încărcate complex, depinde de

modul în care sarcinile sunt transmise şi distribuite pe fiecare

element, de geometria structurii, a încărcării şi a modului în care

structura este susţinută (rezemată). Ruperea este, în esenţă, un proces

microscopic, local, adică ea este produsă de sarcini şi solicitări

locale, care depind de întreaga structură şi de încărcarea ei globală.

Există astfel o ierarhie de scări spaţiale la care studiul unei structuri

trebuie să se efectueze: de la scara globală, de exemplu, a unui întreg

pod, până la scara fiecărui element, de exemplu, cea a fiecărui nit al

podului respectiv. Această ierarhie poate fi extinsă spre scările mai

mici, spre microstructură, mergând în intimitatea materialului din

care sunt construite elementele cele mai solicitate. Sarcina

inginerului este aceea de a identifica această ierarhie şi de a elabora

modelul de calcul corespunzător. Obiectivul principal al disciplinei

rezistenţa materialelor este de a prezenta conceptele şi metodologiile

de bază în acest proces.

Tipuri de comportări mecanice ale materialelor

În acest paragraf se va defini răspunsul generic al unui material la

solicitări externe. Aceasta este o restrângere a discuţiei de la

răspunsul unei întregi structuri, la cel al materialului din care ea este

realizată. Este ca şi cum s-ar porni de la scara unei structuri încărcată

cu sarcini complexe (fig. 1.a),

4

s-ar face un “zoom-

in” la scara uneia

dintre componentele

sale (fig. 1.b) şi apoi

un alt “zoom-in” prin

care se izolează un

mic volum de

material din acea

componentă (fig.

1.c). Se presupune că

acest volum de

material, de exemplu

un cub, este încărcat cu tensiuni constante pe toate feţele sale, adică

este suficient de mic încât gradienţii (variaţiile tensiunii de la un

punct la altul) sunt neglijabili. Acest volum de material reprezintă un

“punct material” la scara elementului de structură din figura 1.b.

Răspunsul materialului la solicitarea din figura 1.c se poate

determina experimental. Pentru aceasta se folosesc epruvete cu

secţiuni circulare sau dreptunghiulare, care sunt solicitate la întindere

sau la compresiune. Una dintre condiţiile de bază ale unui astfel de

test este ca tensiunile să fie constante în întregul volum de material

testat. O epruvetă cilindrică tipică este reprezentată schematic în

figura 2. Ea are trei zone: două capete de prindere şi o zonă

centrală. Cele două capete au secţiune mai mare decât zona centrală,

astfel încât

Figura 2

tensiunile aici să aibă valori mai reduse. La capete se prinde epruveta

în maşina de încercat. Zona centrală a epruvetei este cea în care se

face măsurarea. Ea este de obicei prelucrată foarte fin (la rugozităţi

mici) şi are diametrul constant d0 (dacă secţiunea este circulară), pe o

Figura 1

5

lungime Lc, ceea ce asigură uniformitatea tensiunilor în întregul

volum de material.

Formele şi dimensiunile epruvetelor pe care se fac încercări în

vederea determinării caracteristicilor materialelor, sunt precizate în

standarde specifice. Pentru încercarea la întindere a materialelor

metalice, la temperatura ambiantă, trebuie avute în vedere

prevederile standardului SR EN 10002 – 1 (anul 1995). Pentru

exemplificare, în tabelul 1 se dau dimensiunile epruvetelor cu

secţiune circulară, proporţionale, adică pentru care L0 = 5 d0.

Încercarea constă în aplicarea unei forţe F de întindere sau de

compresiune la capetele epruvetei şi în măsurarea lungirilor ΔL (sau

scurtărilor) epruvetei între două repere aflate la distanţa L0, din zona

centrală, calibrată. Pentru fiecare “treaptă de încărcare a epruvetei”

se determină perechile de valori F, ΔL. Tensiunea σ se determină cu

formula σ = F / S0, în care S0 = π d02

/ 4, este aria iniţială a secţiunii

epruvetei. Deformaţia specifică ε se calculează cu relaţia ε = ΔL / L0.

Perechile de valori σ, ε, determină experimental, pentru materialul

respectiv, relaţia dintre tensiuni şi deformaţiile specifice, prin puncte

care pot fi reprezentate grafic într-un plan σ, ε.

Tabelul 1

Diametrul

d0

mm

Aria

secţiunii

iniţiale,

S0

mm2

Lungimea

iniţială

între repere,

L0

mm

Lungimea

calibrată

minimă, Lc

mm

Lungimea

totală,

Lt

mm

20±0,150 314,2 100±1,0 110 Depinde de modul de fixare

a epruvetei în

fălcile maşinii; în principiu: Lt

> Lc + 2d0

10±0,075 78,5 50±0,5 55

5±0,040 19,6 25±0,25 28

Testul poate fi efectuat şi invers, controlând deplasarea (viteza)

relativă a celor două capete ale epruvetei şi măsurând forţa /

tensiunea necesară. A doua modalitate de testare are un avantaj net

prin aceea că în cazul producerii unei instabilităţi a procesului de

deformare (rupere sau localizare a deformaţiei), maşina de testare

caută să reducă forţa aplicată, făcând astfel posibilă continuarea

6

testului şi în regimul post-critic. În cazul celuilalt tip de test, maşina

caută să menţină forţa constantă, epruveta fiind distrusă catastrofic

(ruptă) în momentul atingerii punctului critic.

Răspunsul unui material generic la o astfel de încărcare, adică cu

o tensiune axială este reprezentat în figura 3 şi se numeşte curbă

caracteristică a materialului. Sunt reproduse două curbe tensiune -

deformaţie specifică: cea cu linie continuă corespunde mărimilor

inginereşti, iar cea cu linie întreruptă, mărimilor reale.

Curbele au trei

regiuni bine definite.

Pentru tensiuni şi

deformaţii mici, ambele

sunt lineare şi coincid

(regiunea OA). Aceasta

este regiunea linear

elastică. Dacă sarcinile

aplicate sunt eliminate,

epruveta revine la forma

şi dimensiunile iniţiale,

punctul reprezentativ

revenind de la A la O pe

acelaşi drum parcurs în

timpul încărcării. Panta

acestei linii se numeşte modul de elasticitate lineară, modulul lui

Young sau modulul de elasticitate longitudinal şi se notează cu E.

Între punctele A şi B comportarea materialului continuă să fie

elastică, dar curba caracteristică este nelineară. Dincolo de punctul B

epruveta intră în zona de deformare plastică. B se numeşte punct de

curgere, iar tensiunea corespunzătoare, c, este tensiunea de curgere

sau limita de curgere. Tensiunea corespunzătoare punctului A, p, se

numeşte limita de proporţionalitate.

Începutul deformării plastice este dificil de definit fără

ambiguitate, în practică. De aceea, poziţia punctului B se stabileşte

convenţional pentru o deformaţie specifică remanentă (plastică, εp)

de 0.2% (sau 0.002).

Dacă faza de încărcare este oprită dincolo de punctual B, de

exemplu în C, şi epruveta este descărcată, curba caracteristică de

Figura 3

7

descărcare parcurge linia CD. Aceasta este paralelă cu OA şi deci are

panta E. Descărcarea este elastică. Deformaţia specifică totală în C,

, este compusă dintr-o componentă elastică, e, şi una plastică, p.

După descărcare, deformaţia remanentă a epruvetei are valoarea p.

Această comportare a materialului subliniază cele prezentate

anterior, referitor la faptul că deformaţia elastică şi cea plastică se

produc în paralel. Materialul continuă să se deformeze elastic chiar şi

atunci când punctul caracteristic este dincolo de B. Tensiunea în

punctul curent este σ = Ee. Această observaţie este însă de puţin

ajutor în practică pentru că ceea ce se măsoară este deformaţia

specifică totală, , şi nu componentele ei.

Dacă epruveta este reîncărcată din punctul D, curba urmează

linia DC, iar punctul de curgere se mută în C. Tensiunea de curgere,

c a crescut după deformarea plastică. Se spune că materialul s-a

ecruisat. Acest efect poate fi folosit pentru creşterea durităţii

(hardness) şi a rezistenţei (strength) materialelor inginereşti metalice.

În continuare, punctul caracteristic urmează curba CE, ca şi cum

deformarea epruvetei nu ar fi fost întreruptă.

Deformaţia plastică este uniformă în întregul volum al zonei

centrale a epruvetei, iar aria secţiunii transversale scade continuu, pe

măsură ce lungimea epruvetei creşte. Se constată că variaţia de

volum corespunzătoare deformaţiei plastice este nulă. Acest mod de

deformaţie este reprezentat schematic în figura 3. La un moment dat

însă, deformaţia se localizează într-o gâtuire a epruvetei. În această

zonă aria secţiunii transversale scade dramatic, în timp ce forţa care

se aplică epruvetei este aproximativ constantă. În consecinţă,

tensiunile reale în zona respectivă cresc rapid, iar în afara zonei de

localizare rămân aproximativ constante. Aceasta corespunde

“ridicării” rapide a curbei trasată cu linie întreruptă, între punctele E

şi F, ajungând respectiv în E' şi F'. Valorile mari ale tensiunilor din

zona de localizare (gâtuire) duc, în final, la ruperea epruvetei. Pentru

un material ductil, procesul are loc prin “cavitaţie,” adică prin

nucleerea unui gol pe axa epruvetei, gol care creşte pe măsură ce

deformaţia continuă de la E la F. În punctul F, “ligamentele” de

material delimitate de acest gol axial şi suprafaţa externă a epruvetei

cedează prin forfecare.

8

Curba notată σing

, care reprezintă mărimile inginereşti, coboară

dincolo de punctul E. Această comportare este posibilă numai în

cazul în care viteza de deplasare relativă a celor două capete ale

epruvetei este controlată în timpul testului (nu forţa aplicată). Când

deformaţia se localizează, deplasarea creşte brusc, iar maşina reduce

forţa aplicată.

O altă observaţie importantă cu privire la curbele din figura 3

este legată de energia de deformaţie. Energia de deformaţie este

echivalentă cu aria de sub curba caracteristică. În cazul de faţă se

reduce la un singur termen pentru că sunt aplicate numai tensiuni

normale, pe o singură direcţie şi xxdW . Energia totală stocată

şi disipată în timpul încărcării (în punctul C), este aria de sub curba

OABC (haşurată în fig. 3). Această energie este generată de maşina

de încercare, sub formă de lucru mecanic. După descărcare (linia

CD), aria triunghiului CDD' reprezintă energia elastică care este

“recuperată.” Aceasta este energia de deformaţie care a fost stocată

în interiorul materialului în timpul încărcării. Aria OABCD

reprezintă energia disipată în procesul de deformare plastică. Cea mai

mare parte (~ 98 %) din această energie este transferată mediului sub

formă de căldură. Este important de notat că pe măsură ce punctul C

se apropie de E, cea mai mare parte din lucrul mecanic efectuat de

sistemul de încărcare este disipată în procesul de deformare plastică.

Figura 4

Nu toate materialele răspund identic la solicitările mecanice. De

fapt, există o foarte mare variabilitate în acest sens. Un exemplu este

reprezentat în figura 4, care conţine două curbe caracteristice: pentru

9

un oţel carbon şi pentru aluminiu pur (policristalin). Curba

corespunzătoare oţelului carbon prezintă câteva particularităţi în

vecinătatea punctului de curgere. Imediat după începutul curgerii

(deformării plastice) tensiunea scade brusc, astfel încât se pot defini

două puncte (limite) de curgere: unul superior şi unul inferior.

Urmează un scurt platou şi o zonă de ecruisare. Curba

corespunzătoare aluminiului nu are particularităţi deosebite, fiind

similară cu cea generică, prezentată în figura 3.

Încercările de laborator prin care au fost obţinute curbele din

figura 4, au fost făcute în mediul ambiant şi la temperatura camerei.

Este important de observat că, dat fiind că temperatura de topire

a diferitelor materiale este diferită, nu ne putem aştepta ca răspunsul

măsurat la o temperatura dată să fie similar. Pentru a aduce discuţia

la un numitor comun, adică pentru a putea compara diferite

materiale, se foloseşte aşa numita “homologous temperature” Th

definită ca raportul dintre temperatura curentă T şi temperatura de

topire a materialului respectiv Tt (pentru polimeri se foloseşte

temperatura de tranziţie “glass transition temperature” – de

vitrificare) Th = T/Tt. Pentru cele două materiale în discuţie,

temperaturile Tt sunt: 1538o

C pentru oţelul carbon şi 660o

C pentru

Al. Deci la temperatura camerei (200 C), temperaturile “omoloage”

Th sunt 0.013 şi respectiv 0.03. Trebuie menţionat că totuşi, chiar

dacă încercările ar fi fost făcute la aceeaşi valoare a homologous

temperature Th , curbele caracteristice ar fi fost diferite. Aceasta se

datorează faptului că microstructurile şi mecanismele de deformare

sunt diferite de la material la material.

Efectul temperaturii asupra comportării mecanice a unui material

dat este reprezentat calitativ în figura 5. Creşterea temperaturii are

următoarele consecinţe: modulul de elasticitate scade uşor (panta

curbei caracteristice în zona elastică este mai redusă), punctul de

curgere se mută la tensiuni mai mici şi deformaţia la rupere creşte

simţitor. Pe acest efect se bazează prelucrarea la cald a materialelor.

Prin încălzire la o temperatură apropiată de temperatura de topire,

materialul devine mult mai ductil şi curge la tensiuni mult mai mici

decât la temperaturi coborâte.

10

Figura 5

Problema poate fi pusă şi invers: o structură construită dintr-un

material care este ductil la temperaturi de lucru normale poate deveni

fragilă dacă temperatura coboară accidental sub ceea ce este

considerat normal la proiectare. Un exemplu proeminent în acest sens

este cel al unei serii de accidente petrecute în timpul celui de-al

doilea război mondial, în care nave de război s-au rupt pur şi simplu

în două, aparent fără o cauză bine determinată, atunci când intrau în

zona arctică a oceanului Atlantic. Cauza a fost elucidată mai târziu,

când s-a descoperit că oţelul din care erau construite navele trecea

printr-o tranziţie de fragilizare la temperaturi în jurul celei de –10 oC.

Acest şir de evenimente tragice a constituit în mare măsură factorul

declanşator pentru iniţierea studiilor care au dus la naşterea

disciplinei Mecanica Ruperii.

Alte utilizări practice ale efectului de fragilizare a materialelor,

asociat cu scăderea temperaturii, sunt în biologie şi în producţia de

micro şi nano-pulberi. În biologie, ţesuturile care trebuie studiate la

microscop se îngheaţă pentru a putea fi tăiate (microtome) în felii

subţiri şi pregătite pentru observaţie. La fel, una dintre metodele de

producţie a pulberilor este cea criogenică: materialul respectiv se

răceşte la temperaturi sub –100 oC după care este supus unei

operaţiuni de aglomerare (ball milling). Aceste pulberi (ceramice sau

metalice) pot fi apoi folosite pentru a produce aliaje (prin sinterizare)

sau materiale compozite (prin compactare).

Modalitatea standard de reprezentare grafică a efectului

temperaturii asupra curgerii materialelor este curba, σ –T, tensiune –

temperatură (sau temperatura Th), pentru o deformaţie specifică ε

dată. Un exemplu generic este prezentat în figura 6.

11

Pe măsură ce temperatura

creşte, tensiunea necesară pentru a

produce deformaţia specifică

respectivă, scade continuu. La

temperaturi înalte se ajunge la un

platou, tensiunea încetând să scadă

în continuare. Acest platou se

numeşte “a-termal”.

Trebuie considerat şi efectul

vitezei (ratei) de deformare asupra

curbei caracteristice a materialului. Acest efect este intuitiv şi a fost

experimentat de nenumărate ori de către fiecare dintre noi. Un

exemplu este modul în care resimţim interacţiunea cu apa dintr-un

bazin (apa fiind aici materialul “testat”): intrând încet în apă, ea pare

că nu opune nici o rezistenţă; sărind însă de la trambulină, rezistenţa

opusă este evidentă. Aceasta sugerează că pe măsură ce deformăm un

material mai repede, tensiunea necesară producerii unei anumite

deformaţii specifice trebuie să fie din ce în ce mai mare.

Acest efect este de obicei reprezentat grafic sub forma unei curbe

tensiune, σ, – viteza (rata) de deformare, , în coordonate semi-

logaritmice (fig. 7). O astfel de curbă se trasează pe baza mai multor

teste, fiecare fiind făcut pentru altă valoare a vitezei de deformare .

Se reprezintă tensiunea corespunzătoare pentru o deformaţie

specifică dată (aleasă). Rata de deformare se măsoară în s-1

, iar

domeniul de rate de deformare importante în practică, este

aproximativ 10-4

… 1 s-1

. Testele curente de laborator (pentru

încercarea materialelor) se fac, de obicei, în domeniul 10-4

… 10-2

s-1

.

Operaţiunile de deformare curente (la rece şi la cald) se fac în

domeniul 10-3

… 1 s-1

, iar în procesele de deformare foarte rapidă,

cum ar fi penetrarea proiectilelor prin ţinte, ratele de deformare sunt

de ordinul 103 … 10

5 s

-1. Există teste de laborator pentru încercarea

materialelor la rate de deformare mari, însă acestea necesită aparatură

specială, de tipul barei Hopkinson.

Se pot distinge trei domenii ale curbei σ - . Pentru valori mici

(I), practic valoarea tensiunii σ nu depinde de viteza de deformare ,

iar curbele caracteristice determinate pentru rate diferite se suprapun.

Unele materiale, cum ar fi aluminiul, sunt foarte puţin sensibile

Figura 6

12

la rata de deformare şi pentru

întregul domeniu de rate

importante în practică, curg la

aceeaşi tensiune. Majoritatea

calculelor inginereşti se fac în

acest domeniu, deci se

presupune că răspunsul

materialelor este puţin

dependent de rata de deformare.

Aceasta este în mod clar o

aproximaţie, bună pentru unele, dar mai puţin bună pentru multe

dintre materialele folosite în inginerie. Motivul principal pentru

adoptarea pe scară largă a acestei aproximaţii este faptul că

simplifică semnificativ calculul structurilor.

Pentru al doilea domeniu al curbei (II), tensiunea σ variază liniar

cu log . Acest domeniu se extinde până la rate foarte mari, care sunt

întâlnite în procesele de rupere dinamică, penetraţie şi fragmentare

( > 102 s

-1). Unele materiale inginereşti, cum ar fi aliajul Ti-6%Al-

4%V, folosit intens pentru componente care lucrează în medii

corozive (de exemplu, în corpul uman!) sau la temperaturi înalte,

prezintă numai acest domeniu al curbei, pentru toate ratele de

deformare de interes practic. Dincolo de acest regim (III), tensiunea

σ creşte rapid cu .

O altă serie de încercări folosite pentru caracterizarea

comportării materialelor este formată de testele de fluaj şi relaxare.

Testul de fluaj constă în încărcarea materialului la o tensiune (uneori

cu o forţă) constantă şi în măsurarea deformaţiei specifice în timp.

Ceea ce deosebeşte un astfel de test de cele descrise mai sus, este

faptul că valoarea tensiunii aplicate este sub limita de curgere, astfel

încât, într-un test cvasi-static (de durată obişnuită), singura

deformaţie care este de aşteptat să se producă este cea elastică.

Totuşi, dacă trece un timp suficient de lung, chiar o tensiune mică

poate duce la deformaţii plastice (permanente) importante. Acest

efect este cu atât mai pronunţat cu cât temperatura este mai ridicată.

Un exemplu clasic de astfel de comportament este cel al ţevilor de

plumb (din instalaţiile electrice) fixate orizontal la exteriorul

clădirilor vechi. În câţiva zeci de ani aceste ţevi se curbează sub

Figura 7

13

propria greutate: materialul curge. Un fenomen similar este observat

şi la alte materiale, “mai dure”, cum ar fi oţelurile, dar devine

măsurabil numai la temperaturi relativ ridicate (Th ~ 0.8).

Testul de relaxare a tensiunilor este oarecum opus celui de fluaj.

La acest test materialul este încărcat la o tensiune, după care

deformaţia specifică este menţinută constantă. Cel mai simplu

exemplu este cel al strângerii cu şuruburi a două flanşe ale unei

conducte. În condiţii normale (discutate mai sus), forţa (tensiunea)

din şuruburi nu variază. Pentru multe materiale, însă, se constată că

tensiunea scade în timp, iar îmbinarea luată ca exemplu se slăbeşte.

Ca şi în cazul fluajului, relaxarea este mai pronunţată pe măsură ce

temperatura creşte.

Originile fizice ale comportării mecanice a materialelor

Aşa cum s-a menţionat mai sus, comportarea mecanică a

materialelor este extrem de variată. În aceleaşi condiţii de mediu şi

încărcare, materiale diferite se comportă diferit. Este important a se

înţelege ce anume determină acest fapt. Unul dintre factori a fost deja

discutat: raportul dintre temperatura la care se face testul şi cea de

topire, deci cât de aproape este materialul respectiv de punctul la care

încetează să mai fie un corp solid. Cei mai importanţi factori, însă,

sunt legaţi de structura internă a materialului.

Această legătură între microstructura şi comportarea mecanică a

materialelor a fost un obiectiv pentru câteva generaţii de cercetători

în domeniu. Ea formează obiectul de studiu al metalurgiei fizice. Mai

recent, s-a demonstrat faptul că fenomenologia observată la scară

macroscopică este determinată nu numai de ce se întâmplă la scară

microscopică (de ordinul a 1-10 m, de exemplu), ci de întreaga

ierarhie de scări spaţiale, de la cea atomică până la cea macroscopică.

A devenit evident că o înţelegere reală şi un control efectiv asupra

comportării materialelor (din punct de vedere mecanic, termic,

electronic, magnetic etc) este posibil numai înţelegându-l în

integralitatea lui. Astfel, ştiinţa materialelor a trecut din sfera

metalurgiei fizice în cea a fizicii corpului solid şi chiar a fizicii

cuantice şi a mecanicii statistice. În ziua de astăzi, bazele teoretice

ale dezvoltării materialelor noi fac parte mai mult din fizică decât din

inginerie.

14

În cele ce urmează se vor prezenta numai câteva aspecte,

esenţiale, pe baza cărora să se poată înţelege de ce materialele se

comportă elastic şi plastic şi ce fenomene fizice controlează această

comportare. Pentru aceasta este necesar să coborâm până la scara

atomică sau moleculară şi să renunţăm la descrierea de mediu

continuu a corpului solid, cu care suntem obişnuiţi. La acest nivel,

corpurile trebuie privite ca fiind medii discrete, compuse din atomi

şi/sau molecule, care interacţionează unele cu altele, prin câmpuri.

Pentru simplitatea discuţiei, se va considera un material mono-

atomic, aşa cum sunt toate metalele.

La scara atomică astfel de materiale (metale, ceramici) au

aspectul unei reţele cristaline. Atomii sunt aşezaţi în poziţii specifice

în reţea, de exemplu, în nodurile acesteia. Reţelele cristaline sunt

clasificate în 6 tipuri sau singonii (cubic, hexagonal, tetragonal,

ortorombic, monoclinic şi romboedric). Cele mai multe materiale

inginereşti au reţele fie cubice, fie hexagonale. Singonia cubică are

patru clase: cubic simplu, care nu se întâlneşte în natură în condiţii

normale, cubic cu feţe centrate (de exemplu Al, Ni), cubic cu volum

centrat (de exemplu Fe, V) şi cubic de tip diamant (de exemplu Si,

Ge). Dintre materialele cu reţele hexagonale se pot menţiona Zn şi

Mg. Detalii cu privire la aceste aspecte se pot găsi în tratatele de

cristalografie.

Pentru discuţia de faţă este suficient să se considere cea mai

simplă reţea cristalină, cea cubic simplă (fig. 8). În această reţea,

atomii sunt aşezaţi în colţurile fiecărui cub elementar (sau celulă

unitară), iar latura cubului, a0, este

parametrul reţelei. În materialele

metalice a0 este de ordinul a 1 Å,

sau 10-10

m. În cele ceramice sau

semiconductoare, această distanţă

este ceva mai mare (de circa 2 Å).

Atomii interacţionează prin

intermediul unor forţe care pot fi

de natură ionică, covalentă sau

van der Waals. Legătura ionică

este de tip electrostatic şi este dominantă în solidele în care atomii

aşezaţi în nodurile reţelei cristaline sunt ionizaţi (ioni) ca, de

Figura 8

15

exemplu, la sarea de bucătărie (NaCl). Aceasta este o legătură

puternică, care se exercită la distanţă mare. Legătura covalentă se

datorează faptului că electroni ai unui atom sunt în comun cu unul

sau mai mulţi vecini ai lui, atunci când aceştia sunt suficient de

aproape pentru ca orbitele lor să se suprapună. Legătura covalentă

este tot o legătură puternică, dar care are o rază de acţiune mai

redusă. În metale, o parte dintre electronii de valenţă sunt puşi în

comun şi, efectiv, atomii devin ioni pozitivi. Fiind însă “cufundaţi”

în această “mare electronică” de sarcină negativă, ei sunt ecranaţi şi

deci nu interacţionează electrostatic (adică între ei nu apar forţe de

respingere). Electronii liberi formează o bandă de conducţie la scara

întregii reţele cristaline şi asigură o bună conductivitate electrică şi

termică a majorităţii metalelor. Trebuie menţionat că unele metale de

tranziţie au o componentă covalentă semnificativă în legăturile lor

atomice. În sfârşit, interacţiunea de tip van der Waals se datorează

dipolilor induşi şi este tipul dominant de interacţiuni interatomice în

solidele formate de gazele nobile (He, Ar, Xe, Ne) la temperaturi

scăzute şi în polimeri. Gazele nobile au nivelele electronice complete

şi deci nu pun electroni în comun cu atomii vecini. Totuşi, sarcina

electrică a unui atom dat fluctuează spaţial, deşi rămâne constantă ca

medie pe întregul atom. Aceste fluctuaţii (pentru un atom dat) duc la

formarea unui dipol de sarcină a cărui mărime şi orientare în spaţiu

fluctuează. Atunci când doi astfel de atomi sunt suficient de apropiaţi

unul de celălalt, fluctuaţiile unuia induc dipoli în cel vecin. Aceşti

dipoli induşi au viaţa extrem de scurtă, însă suficientă pentru a

genera forţe de natură electrostatică între atomii vecini aflaţi în

interacţiune.

Forţele interatomice sunt definite de o mărime numită potenţial

interatomic. Aceasta este, în esenţă, o lege constitutivă la scară

atomică, care poate fi stabilită prin calcule de fizică cuantică. O

formă funcţională generică, pentru astfel de interacţiuni (una dintre

cele mai simple), este potenţialul Lennard-Jones:

612

r

a

r

ae4)r(u , (1)

16

care este expresia energiei de interacţiune a doi atomi aflaţi la

distanta r. În relaţia (1), e este unitatea de energie, iar a este cea de

distanţă. Forţa de interacţiune dintre cei doi atomi este:

f(r) = - du / dr. (2)

Potenţialul Lennard-Jones este un excelent model pentru

interacţiunile de tip van der Waals. Funcţiile (1) şi (2) sunt

reprezentate grafic în figura 9, prin expresiile adimensionale u/e

Figura 9

şi -fa/e (notate în fig. 9). Forţa interatomică f(r) este de atracţie

(negativă), când distanţa dintre atomi este mare (r >> a), trece prin

zero la aproximativ r = 1.12246a şi devine de respingere când cei doi

atomi sunt apropiaţi (r < a). Repulsia puternică la distanţe r mici se

explică, în principal, ca o consecinţă a principiului de excluziune al

lui Pauli.

Acest fapt sugerează că atomii au tendinţa să se aglomereze

datorită forţei de atracţie, însă nu se pot suprapune, rămânând entităţi

distincte. Poziţia relativă de minim energetic corespunde celei în care

forţa de interacţiune este zero. Această condiţie determină valoarea

parametrului a0, al reţelei (fig. 8).

17

Originea elasticităţii materialelor

Pentru a descrie originea fizică a elasticităţii materialelor

cristaline, de tip metalic şi ceramic (comportarea elastică a

materialelor polimerice şi a cauciucurilor este de natură diferită şi nu

se discută aici), se vor face referiri la reţeaua cristalină din figura 8 şi

anume la răspunsul ei la deformarea după una din direcţiile aliniate

cu axele principale (muchiile cubului reprezentativ). Pentru

simplitate, se va considera că un atom interacţionează, prin

potenţialul Lennard-Jones, numai cu vecinii lui cei mai apropiaţi. De

exemplu, atomul A interacţionează numai cu cei 6 vecini ai săi aflaţi

la distanţa a0: atomii B, C, D, E, F şi G (fig. 8). În acest caz,

parametrul reţelei, a0, este determinat de valoarea minimă a

potenţialului: a0 = 1.12246a.

În configuraţia nedeformată, valoarea forţei care acţionează

asupra fiecărui atom este nulă, atât pentru că forţa f = 0 în punctul M

(fig. 9), cât şi datorită simetriei reţelei. Se presupune, apoi, că reţeaua

este deformată, prin întindere uniaxială, în direcţia orizontală din

figura 8. Distanţa dintre atomii A, B şi C creşte, în timp ce cea dintre

A şi D, E, F şi G rămâne aproximativ constantă (creşte mult mai

puţin decât cea în direcţia deformării; această variaţie se neglijează).

Având în vedere curbele din figura 9, distanţa între A, B şi C creşte

corespunzător creşterii distanţei OM la OM’, iar energia unui atom

creşte de la cea corespunzătoare punctului P la cea corespunzătoare

lui P’. Această creştere de energie este energia de deformare stocată

în material în timpul deformării. Aşa cum s-a discutat în paragrafele

precedente, energia de deformare este asociată cu deformaţia elastică.

În elasticitate se presupune, de cele mai multe ori, că ecuaţia

constitutivă este lineară, deci tensiunile sunt proporţionale cu

deformaţiile specifice. În limbajul curent, aceasta însemnă că forţa

dintre doi atomi este proporţională cu deplasarea în raport de poziţia

de echilibru. Aceasta este tot o consecinţă a formei funcţionale a

potenţialului interatomic. Dacă punctul de echilibru este în M

(energie minimă şi forţă rezultantă zero), deformaţia duce la mutarea

punctului curent pe curba -fa/e din figura 9 în M” (nivel de energie

mai ridicat şi forţă nenulă între doi atomi. Trebuie notat că deşi forţa

dintre doi atomi nu este zero, datorită simetriei reţelei forţa rezultantă

18

(totală) rămâne nulă, deci atomul este în echilibru). Aceasta poate fi

aproximată cu o mutare a punctului curent, nu pe curba reală (curba -

fa/e) din M în M”, ci pe tangenta la curba reală, dusă în punctul M,

adică din M în N. În aceste condiţii, forţa este proporţională cu

deplasarea dintre doi atomi şi materialul este linear elastic.

Este necesar să fie re-subliniat că aceasta este numai o

aproximaţie, care este cu atât mai bună cu cât deplasările

(deformaţiile specifice) sunt mai mici. De fapt, reţeaua cristalină se

comportă elastic nelinear.

Aproximarea curbei reale -fa/e cu tangenta în punctul M, este

echivalentă cu aproximarea curbei energiei (u/e) cu o parabolă având

vârful în punctul P. Curbura parabolei, ca şi panta tangentei,

corespund modulului de elasticitate, E.

Efectul temperaturii asupra modului de elasticitate este bine

cunoscut: când temperatura creşte, E scade uşor. Acest efect poate fi

explicat tot cu ajutorul curbelor din figura 9. În fizica corpului solid,

temperatura este asociată cu mişcarea de vibraţie a atomilor în jurul

poziţiilor lor de echilibru. Cu cât temperatura creşte, cu atât

amplitudinea vibraţiilor (energia cinetică) creşte. Temperatura zero

absolut corespunde cu încetarea totală a mişcării atomice şi de aceea

nu poate fi atinsă. Dacă potenţialul interatomic ar avea variaţia într-

adevăr parabolică (şi legea constitutivă ar fi linear elastică), atomii ar

vibra, la orice temperatură, în jurul aceleiaşi poziţii de echilibru,

căreia îi corespunde punctul P, pe curba u/e din figura 9. Cum nu

aceasta este realitatea, potenţialul fiind “mai abrupt” spre r mic şi

“mai puţin abrupt” spre r mare, mărirea temperaturii are ca efect

mutarea punctului în jurul căruia vibrează atomii spre dreapta, adică

spre P’. Aparent, parametrul reţelei, a0, creşte cu temperatura, ceea ce

este cunoscut la scară macroscopică ca dilatare termică. În acelaşi

timp, pe măsură ce reţeaua se dilată, curbura potenţialului scade, ceea

ce este echivalent cu reducerea valorii modulului de elasticitate, E.

Desigur, această prezentare este simplificată. Reţelele cristaline

reale sunt mai complexe, iar interacţiunile interatomice sunt şi ele

mai complexe şi cu raza de acţiune mai mare decât s-a considerat

aici. Toate acestea aduc în discuţie particularităţile materialului.

Totuşi, comportamentul general este acelaşi, iar acest exemplu

simplu este suficient pentru a oferi o imagine completă asupra

19

fenomenelor fizice relevante din mecanica solidului deformabil şi

rezistenţa materialelor.

Originea plasticităţii materialelor

În prezentarea precedentă s-au considerat numai deformaţii

elastice; atunci când încărcarea este eliminată, interacţiunile

interatomice aduc reţeaua la configuraţia de echilibru. În acest

proces, forţele interatomice execută lucru mecanic împotriva

mecanismului de încărcare, eliberând energia elastică stocată. Acum

trebuie înţeles cum o astfel de reţea se deformează plastic

(permanent).

Pentru aceasta se consideră tot reţeaua din figura 8, a cărei

proiecţie în plan este reprezentată în figura 10 (cercuri goale). Se

presupune că această reţea este supusă la o solicitare de forfecare.

Dacă deformaţia este

omogenă, ea capătă

configuraţia din figura

10.a (cercuri pline).

Deformaţia specifică de

forfecare este 0xy a .

Cum atomii

interacţionează prin

potenţialul din figura 9, se

poate calcula variaţia energiei şi forţei unui atom, în timpul acestei

perturbări. Pentru deplasări mici , forţa care acţionează în plan

orizontal şi caută să restaureze configuraţia iniţială, nedeformată, a

reţelei este sin)cosa(f 0 , unde 0a/tg . Când deformaţiile

sunt mari, forţa are abateri de la această predicţie, pentru că alte

perechi de atomi încep să interacţioneze. În orice caz, când = a0,

configuraţia nedeformată a reţelei este regăsită şi forţa este din nou

nulă (energia este minimă). Astfel, variaţia forţei orizontale (şi deci a

tensiunii de forfecare) este o funcţie periodică cu perioada a0. Ea este

reprezentată calitativ în figura 10.b. Panta acestei curbe în origine

este echivalentă cu modulul de elasticitate la forfecare (transversal),

G.

a b

Figura 10

20

Analiza arată că reţeaua cristalină poate fi deformată plastic prin

forfecare, prin alunecarea unui întreg plan atomic în raport cu cel

vecin. Acest mod de deformare este neomogen şi este reprezentat în

figura 11. Configuraţia din figura 11.c corespunde unei deformaţii

permanente şi este în echilibru. Diferenţa dintre geometria reţelei

nedeformate din figura 11.a şi cea din figura 11.c constă în prezenţa

celor două “trepte” pe suprafeţele laterale ale cristalului. Aceste

defecte nu pot fi anihilate de către procesele termodinamice

(fluctuaţii) la temperaturi normale.

Totuşi, un calcul sumar al energiilor şi forţelor necesare pentru a

produce perturbarea din figura 11.c arată că acest mod de

deformare este imposibil. Tensiunile de forfecare necesare ar fi

a b c

Figura 11

de aproximativ 4 ordine de mărime mai mari decât cele efectiv

măsurate în laborator (de exemplu, comparând cu tensiunea de

curgere, care marchează începutul deformării plastice).

Situaţia a fost clarificată de Taylor, Orowan şi Polyani, care au

introdus noţiunea de dislocaţie în anul 1934, idee rămasă relativ

nedezvoltată până la sfârşitul celui de al doilea război mondial. O

dislocaţie este un defect al reţelei cristaline, care face posibilă

tranziţia dintre configuraţiile 11.a şi 11.c, cu un consum relativ mic

de energie. Conceptul este simplu: dacă forfecarea cristalului

(deplasarea relativă a două plane atomice ca în fig. 11.b) este dificil

să se producă în mod omogen (întregul plan atomic alunecă

simultan) ca în figura 11.b, ea ar trebui să se producă în mod

neomogen. În loc ca fiecare legătură interatomică dintre cele două

plane care se mişcă relativ să fie deformată, se vor deforma un număr

relativ mic de legături interatomice, la un moment dat. Modul acesta

21

de deformare este exemplificat, schematic, în figura 12. Se

observă că figura 12.b este echivalentă cu figura 11.b şi

demonstrează că

a b c

Figura 12

deformaţia se produce progresiv, defectul părând că se “deplasează”

de la stânga la dreapta, sub acţiunea forţelor externe aplicate

cristalului. Desigur, această “deplasare” este aparentă; ea nu implică

nici un fel de transport de masă. De asemenea, dislocaţia nu este un

obiect în sine, ci mai degrabă un câmp de deplasări.

În virtutea celor de mai sus se poate spune că o dislocaţie este un

“element de deformare plastică.” Deformarea la scară mai mare se

produce prin intermediul unui număr foarte mare de dislocaţii, care

se “mişcă” (se propagă) prin material. Un singur astfel de defect

produce o “treaptă” pe suprafaţa cristalului, cu înălţimea a0, sau

aproximativ 1 Å. Pentru a se produce o deformaţie macroscopică,

trebuie ca un număr mare de dislocaţii să parcurgă şi să iasă din

cristal, pe acelaşi plan cristalografic sau pe plane paralele învecinate.

Deşi macroscopic suprafaţa laterală a unui astfel de cristal pare

netedă şi deformaţia pare omogenă, la scară microscopică,

deformaţia plastică nu este omogenă, iar suprafaţa este formată dintr-

o succesiune de “trepte” de dimensiuni variabile, dar nu mai mari de

câteva zeci de Å.

Într-un material nedeformat în prealabil, se află aproximativ 109

dislocaţii pe cm2 de secţiune. În timpul deformaţiei plastice

macroscopice, noi dislocaţii sunt produse, în timp ce foarte multe

“ies” din material. Dislocaţiile produc deformaţia plastică numai

când ies din material (sau ajung la limitele dintre grăunţii cristalini,

în cazul materialelor policristaline). Cele stocate nu fac decât să

crească energia internă a reţelei cristaline. De asemenea, o parte

dintre dislocaţii sunt “imobile” şi se constituie în obstacole foarte

22

puternice pentru cele mobile. Acesta este mecanismul ecruisării

materialelor, prin care tensiunea necesară continuării curgerii plastice

creşte, pe măsură ce materialul se deformează (şi densitatea

dislocaţiilor imobile creşte).

Energia consumată în timpul deformaţiei plastice şi care nu este

stocată în deformaţia legăturilor interatomice (energie de

deformaţie), este, de fapt, lucrul mecanic necesar mişcării

dislocaţiilor prin material, care se transformă în căldură. Mecanismul

de conversie al lucrului mecanic în căldură este, de asemenea, asociat

cu mişcarea dislocaţiilor; mişcarea acestor defecte produce vibraţii

ale reţelei cristaline sau fononi. Fononul este o construcţie

conceptuală (particulă fictivă), analoagă celei de foton al energiei

electromagnetice şi reprezintă o cuantă de energie sonoră sau de

vibraţii elastice, care se propagă prin corpuri cristaline, cu frecvenţe

comparabile cu cele ale sunetelor.

Mecanica dislocaţiilor, interacţiunile lor şi implicaţiile acestora

în deformaţia macroscopică a corpurilor solide cristaline, a fost

intens studiată în ultimii 50 de ani şi este un domeniu relativ bine

înţeles. Numeroase tratate au fost scrise pe această temă. Sinteza şi analiza structurilor mecanice. Locul calculului de

rezistenţă în inginerie

Proiectarea este o activitate de creaţie, cu implicaţii

multidisciplinare. Pentru rezolvarea unei probleme, proiectantul

trebuie să primească informaţii care să-i permită să formuleze

problema dată în termeni numerici. Dacă tema pe care a primit-o

conţine condiţii calitative, la care nu s-au asociat şi termeni

cantitativi, este de aşteptat ca soluţia să fie nesatisfăcătoare, cel puţin

din unele puncte de vedere.

Scopul primordial al proiectării este de a obţine cel mai bun

sistem posibil pentru un ansamblu de cerinţe impuse. Pentru aceasta

se concepe un sistem candidat şi se studiază cum se comportă acesta.

În inginerie în general, precum şi în construcţia unei maşini, a unui

utilaj sau a unei instalaţii, o componentă de bază este structura de

rezistenţă, care reprezintă un ansamblu mecanic cu o funcţionalitate

riguros definită, ca de exemplu: preluarea diverselor sarcini,

23

asigurarea unei anumite poziţii relative între subansamble,

posibilitatea efectuării unor mişcări relative între unele componente,

asigurarea unei stabilităţi statice şi dinamice, garantarea unei

rigidităţi impuse etc. În limbajul ingineresc obişnuit structura de

rezistenţă se numeşte mai simplu structură.

Calculele de rezistenţă, de stabilitate, de durabilitate, dinamice

etc au în vedere structura de rezistenţă în ansamblu, componentele

acesteia, precum şi alte elemente, componente sau subansamble ale

maşinii, utilajului sau instalaţiei care se proiectează. Aceste calcule

constituie o componentă importantă a proiectării dar ele pot fi duse

la bun sfârşit numai după ce alte aspecte, de principiu sau de detaliu,

au fost clarificate. Este cazul cerinţelor beneficiarului, a costurilor

impuse, a termenelor acordate, a materialelor disponibile, a

tehnologiilor accesibile, a volumului producţiei, a durabilităţii cerute

produsului, a exigenţelor ecologice etc.

Figura 13

Totdeauna calculele inginereşti trebuie să aibă în vedere

satisfacerea optimă a funcţiilor şi cerinţelor fundamentale ale

proiectării, ceea ce conduce la concluzia că disocierea procesului de

calcul de cel de proiectare implică riscul unor consecinţe

nefavorabile, care pot fi grave, greu de anticipat. O prezentare

concisă şi sugestivă a acestor corelaţii multiple se face în schema din

figura 13.

Sinteza şi proiectarea structurii de rezistenţă trebuie realizate în

aşa fel încât aceasta (adică structura) să fie sigură pentru valori clare

ale parametrilor funcţionali riguros definiţi, în condiţiile îndeplinirii

24

unor cerinţe severe şi adesea contradictorii privind costurile,

termenele de execuţie, dimensiunile de gabarit, greutatea, fiabilitatea,

aspectul estetic etc. Îndeplinirea acestor cerinţe duce la considerarea

unor restricţii pe care trebuie să le satisfacă calculele, cele mai des

întâlnite fiind: valorile maxime ale tensiunilor, deplasărilor şi/sau

deformaţiilor, coeficientul de siguranţă la flambaj, la rupere sau la

oboseală, minimum de sensibilitate la imperfecţiuni de execuţie, de

montaj sau de exploatare, frecvenţele modurilor fundamentale de

vibraţii, viteza de deformare în curgerea plastică staţionară, durata de

viaţă, greutatea, volumul, rigiditatea la diverse solicitări, momentele

de inerţie ale secţiunilor barelor, stabilitatea statică şi dinamică,

comportarea la solicitări dinamice etc. Mai pot fi avute în vedere

diferitele moduri de rupere, suprasarcinile la transport, la montaj sau

în exploatare, precum şi prevederile diverselor legi, standarde, norme

etc

Figura 14

În prezent, marea majoritate a calculelor inginereşti cerute pentru

sinteza, proiectarea şi analiza unui produs se fac cu metoda

elementelor finite (MEF). În condiţiile proiectării asistate de

calculator (CAD) şi a fabricaţiei asistate de calculator (CAM),

analiza prin calcul devine o componentă a unui proces unitar –

integrat, aşa cum se poate vedea în figura 14.

Trebuie remarcat faptul că în succesiunea CAD – CALCUL –

CAM există un proces iterativ de proiectare – calcul – execuţie. În

25

acest proces se realizează succesiv operaţii de sinteză şi de analiză

ale prototipului şi ale modelului pentru calcul (fig. 14). La fiecare

iteraţie a procesului se aduc îmbunătăţiri ale prototipului şi/sau ale

modelului de calcul, până când se ating performanţele dorite ale

întregului proces. Analiza modelului unei structuri de rezistenţă este

un calcul numeric de verificare, adică se realizează pentru o anumită

geometrie definită dimensional, pentru o încărcare dată şi condiţii de

rezemare bine precizate şi se obţin valorile deplasărilor, tensiunilor,

reacţiunilor în reazeme, frecvenţelor vibraţiilor proprii etc. Nu este

însă evident (în cazul general) cum trebuie modificată structura

pentru ca aceasta să răspundă cât mai bine ansamblului cerinţelor

impuse. Deci nu se poate concepe o tehnică generală de optimizare

automată, care să rezolve orice problemă, de orice natură. Ce se

poate face, este elaborarea unei metodologii de proiectare optimă.

Programele de calcul actuale au implementate proceduri speciale

de optimizare care permit determinarea prin calcul automat a

valorilor optime ale unor parametri de proiectare astfel încât să fie

satisfăcute un set de condiţii impuse unei funcţii obiectiv, definită de

utilizator.

Modelul de calcul

Noţiuni de teoria modelării

Elaborarea unui model este primul demers în încercarea de

abstractizare legată de un fenomen real observabil, de elaborare a

unei teorii care să-l explice şi să-i anticipeze evoluţia.

Modelele utilizate în ştiinţă şi în tehnică sunt sisteme teoretice

(logic – matematice) sau materiale cu ajutorul cărora pot fi studiate

indirect proprietăţile, comportarea în anumite condiţii date şi

transformările unor alte sisteme mai complexe, denumite sisteme

originale, cu care modelele au anumite asemănări, analogii sau

similitudini. Modelul reprezintă o simplificare, o reflectare numai

parţială a fenomenului sau obiectului original, neglijându-se anumite

laturi neesenţiale pentru studiul căruia îi este destinat, cu scopul de a

oferi un instrument mai accesibil investigaţiei teoretice şi / sau

experimentale.

26

Modelele pot fi teoretice (ideale) când sunt construcţii sau

reprezentări logic – matematice, ca de exemplu modelele atomului,

modelele cosmologice, modele de calcul etc, sau materiale, ca de

exemplu, macheta unei nave, un calculator analogic sau numeric etc.

Modelele teoretice sunt o verigă intermediară între experienţă şi

teoria propriu-zisă, cuprinzătoare şi exactă a sistemului studiat,

reprezentând un mijloc de verificare a ipotezelor enunţate la

elaborarea teoriei. Modelele teoretice sunt adesea ansambluri de

ipoteze formulate pe baza analogiei, presupuse, cu un sistem a cărui

teorie este, în esenţă, cunoscută; din aceste ipoteze pot fi deduse

consecinţe verificabile experimental. Adesea sunt utilizate modele

intuitive, care facilitează interpretarea teoriei şi raportarea ei la

obiectul real.

Modelele materiale permit abordarea pe cale experimentală a

unor probleme care nu pot fi rezolvate pe cale analitică, fie pentru că

nu există metode de calcul adecvate, fie că metodele existente sunt

prea laborioase şi costisitoare. Ele pot fi de aceeaşi natură fizică cu

sistemele originale – modele prin similitudine – fiind diferite de

acestea prin ordinul de mărime al dimensiunilor şi al valorilor

caracteristice (de exemplu, constantele fizice ale materialelor

folosite). Modelele pot fi şi de altă natură fizică decât sistemele

originale – modele prin analogie - caracterizate prin ecuaţii

matematice de aceeaşi formă cu cele ale sistemelor pe care le

modelează.

Utilizarea modelării în cele mai variate domenii ale ştiinţei şi

tehnicii s-a dovedit deosebit de fructuoasă şi eficientă, căpătând o

extindere spectaculoasă în ultimele decenii, ca urmare a aportului

adus de electronică în toate tipurile de procese de modelare. Mai mult

decât atât, apariţia şi dezvoltarea ciberneticii, informaticii şi

calculatoarelor electronice au dus la un proces de unificare a

modelării, analogiei, similitudinii şi simulării într-un sistem integrat,

cu performanţe remarcabile şi eficienţă ridicată.

Calculatoarele sunt de fapt modele: cele analogice sunt modele

ale unor relaţii matematice, iar cele numerice ale unor algoritmi. În

urmă cu câteva decenii, calculatoarele analogice şi cele numerice se

dezvoltau în paralel, oarecum independent. Modelarea pe

calculatoare analogice avea însă un neajuns: pentru fiecare tip de

27

problemă era necesară realizarea unui alt model. În prezent acest

neajuns s-a înlăturat ca urmare a utilizării unor algoritmi adecvaţi,

care permit simularea pe calculatorul numeric a modelelor

analogice, în acest fel calculatorul numeric devenind universal.

În numeroase domenii ale ştiinţei şi ingineriei se utilizează tot

mai mult sisteme complexe, interactive de modelare experimentală şi

prin calcul. De exemplu, un model (sau un ansamblu de mai multe

modele) al unei structuri este investigat prin una din metodele

cunoscute: tensometrie electrică rezistivă, fotoelasticitate,

interferometrie holografică. Informaţiile furnizate de determinările

experimentale sunt convertite – de către un convertor analog numeric

– în informaţii numerice, care se introduc într-un calculator, pe care,

simultan cu investigaţia experimentală, se execută calculele

corespunzătore unui model de calcul al aceleaşi structuri. Din

confruntarea informaţiilor obţinute prin cele două căi de investigare

se formulează decizii, care duc la perfecţionarea modelului

experimental, al celui de calcul şi al structurii care se studiază.

Procesul continuă până când se elaborează configuraţia optimă a

structurii respective.

Elaborarea unui model corect şi eficient al unui sistem original

reprezintă o sinteză a tot ceea ce se ştie despre acel sistem. Paradoxal

este faptul că, pentru a modela corect un fenomen, este necesară

cunoaşterea cât mai cuprinzătoare a sa, ceea ce este în opoziţie cu

nevoia de a-l cerceta. De asemenea modelul trebuie să fie adecvat

scopului urmărit. Un model excesiv de complicat – care îşi propune

să aibă în vedere toate aspectele şi detaliile posibile ale fenomenului

original – poate deveni costisitor, greoi sau chiar inoperant. Un

model simplist, prea sumar, poate fi incorect, ca urmare a neglijării

unor aspecte importante ale sistemului investigat.

În concluzie, un model M al unui sistem original S este un alt

sistem S’, care este echivalent cu S din anumite puncte de vedere şi

care poate fi studiat mai uşor ca S. Din determinarea pe S’ (adică pe

M) a unor informaţii se deduc informaţii corespunzătoare pentru S.

Echivalarea sau înlocuirea lui S’ cu S poate fi exactă sau

aproximativă. În domeniul teoriilor formale se pot construi sisteme

S’ care sunt riguros echivalente cu S, din anumite puncte de vedere,

ca, de exemplu, modelele din geometrie. În alte cazuri, modelul este

28

o construcţie teoretică care aproximează realitatea. Dacă această

construcţie teoretică este redată prin relaţii matematice, aceste relaţii

împreună cu interpretarea lor constituie modelul matematic al

sistemului care se studiază.

Modelele pentru calculele inginereşti, în general, sunt modele

matematice aproximative ale structurilor care se studiază.

Pentru trecerea de la structura reală la modelul ei de calcul nu

există algoritmi şi metode generale care să asigure elaborarea unui

model unic, care să aproximeze, cu o eroare prestabilită, cunoscută,

piesa sau structura care urmează să se calculeze. În general este

posibil ca pentru o structură să se elaboreze mai multe modele, toate

corecte dar cu performanţe diferite. Modelul pentru analiza unei

structuri se elaborează pe baza intuiţiei, imaginaţiei şi experienţei

anterioare a celui care face modelarea şi modelul trebuie să

sintetizeze eficient toate informaţiile disponibile referitoare la

structura respectivă.

Figura 15

Trebuie remarcat faptul că utilizarea calculatoarelor în analiza

structurilor a devenit indispensabilă, dar aceasta prezintă pericolul că,

“seduşi” de facilităţile şi automatismul sistemului de calcul, adesea

pierdem din vedere că rezultatele obţinute nu sunt altceva decât

29

consecinţele ipotezelor care au stat la baza modelului de calcul, a

configuraţiei modelului şi a algoritmilor utilizaţi pentru analiza

respectivă. Din acest impas nu se poate ieşi decât pe seama intuiţiei,

imaginaţiei şi experienţei.

Având în vedere că toate calculele “le face calculatorul”, sarcina

care rămâne proiectantului este de elabora modele adecvate şi

performante, ceea ce dovedeşte importanţa acestora.

Elaborarea modelului de calcul şi analiza efectuată cu acesta sunt

etape componente ale unui proces relativ complex, de concepţie şi

fabricaţie şi trebuie să servească la realizarea, în condiţii riguros

definite, a unui anumit produs. În acest context, modelul de calcul nu

poate fi conceput decât după ce a fost proiectată într-o primă formă –

eventual, în cadrul unui proces preliminar CAD – piesa sau structura

care trebuie să fie calculată. Urmează ca în etape succesive, având în

vedere rezultatele obţinute, să se modifice – în vederea ameliorării

performanţelor realizate – atât proiectul produsului cât şi modelul de

calcul. În acest scop se efectuează numeroase testări, adaptări,

optimizări şi validări, aşa cum rezultă din schema din figura 15.

Modelul conceptual

Prima şi cea mai importantă etapă a elaborării unui model

performant este cea de realizare a modelului conceptual, primar sau

fundamental. Pornind de la desenul piesei sau structurii care

urmează să fie analizată şi având în vedere cerinţele impuse de

procesul de calcul, se fac următoarele “operaţii”:

- se decide care sunt elementele constructive ale structurii, care

vor deveni componente ale modelului de calcul;

- se stabilesc elementele structurii care nu vor fi avute în vedere

la elaborarea modelului, fiind apreciate ca accesorii sau detalii lipsite

de importanţă, din punctul de vedere al scopului calculului;

- se aleg formele geometrice pe care se vor defini componentele

modelului, adică: linii, suprafeţe sau volume, avându-se în vedere şi

tipurile de componente care se vor defini pe aceste elemente

geometrice: bare, plăci, corpuri masive;

- se hotărăsc modalităţile de aplicare a sarcinilor (forţe şi

momente concentrate şi/sau distribuite, acceleraţii, presiuni,

temperaturi etc) şi care sunt componentele modelului care le vor

30

prelua. Această operaţie implică şi determinarea riguroasă a valorilor,

direcţiilor şi coordonatelor punctelor de aplicaţie ale sarcinilor. Se

vor stabili cazurile de încărcare ale modelului;

- se identifică condiţiile de rezemare ale structurii şi se decide

modul în care aceste condiţii vor fi “modelate” şi anume: blocarea

deplasărilor, introducerea unor forţe de frecare etc. Dacă este cazul,

se vor stabili mai multe variante ale condiţiilor de rezemare;

- se decid condiţiile generale de elaborare şi utilizare ale

modelului: metodele şi algoritmii de calcul care se vor utiliza,

tipurile de materiale şi proprietăţile lor, zonele de interes deosebit (de

exemplu, unde se presupune că tensiunile au valori mari) şi

modalităţi de verificare ale modelului şi ale rezultatelor obţinute cu

el.

Modelul conceptual trebuie să aibă în vedere valorificarea tuturor

informaţiilor disponibile privind structura (condiţii şi regimuri de

funcţionare, de montaj, de avarie etc) şi modalităţile de utilizare ale

rezultatelor obţinute prin calcul. Modelul trebuie să asigure, de fapt,

o simulare satisfăcătoare – din anumite puncte de vedere, bine

precizate – a comportării structurii în exploatare.

Factori care determină elaborarea modelului de calcul

La elaborarea modelelor de calcul trebuie să se aibă în vedere o

multitudine de aspecte şi factori, dintre care cei mai importanţi se

prezintă în cele ce urmează.

Nivelul la care se face modelarea. Pentru o anumită fază a

procesului de proiectare şi în funcţie de scopul calculului, modelarea

se poate face la nivelul întregii structuri (maşina sau utilajul în

ansamblu), la nivelul substructurilor (subansamble ale maşinii) sau al

componentelor acestora (elemente sau organe ale maşinii). Utilizarea

calculatoarelor face posibilă modelarea şi analiza prin calcul a unui

utilaj, a unei instalaţii sau a unei maşini ca un tot unitar, aşa cum sunt

acestea în realitate, ca, de exemplu un autobuz, un pod rulant, un

recipient, o combină pentru recoltarea cerealelor, un avion, o

locomotivă, o maşină de frezat, o pompă etc. Pentru etape ulterioare,

se pot “extrage” din structura dată componente, al căror studiu să fie

detaliat.

31

Metoda de calcul. În general, mai întâi se alege metoda de

calcul, din diverse considerente obiective sau subiective, ca, de

exemplu: cunoaşterea metodei, existenţa programelor, cerinţele unor

norme, scopul calculului etc. Elaborarea modelului se face în

conformitate cu cerinţele metodei, care include ipoteze, simplificări,

aproximări, delimitări ale aplicabilităţii etc. De exemplu, pentru o

metodă analitică se vor face simplificările specifice, pentru metoda

elementelor finite se va face “discretizarea” modelului şi se vor

defini elementele finite adecvate, pentru metoda diferenţelor finite se

va face discretizarea şi definirea diferenţelor având în vedere

ecuaţiile diferenţiale ataşate problemei etc.

Elaborarea modelului de calcul trebuie corelată strict cu metoda

de calcul, deoarece un calcul foarte exact nu poate suplini sau

compensa o modelare deficitară, nerealistă, ineficientă. De asemenea,

un calcul efectuat cu o metodă foarte precisă, laborioasă şi

costisitoare, pe un model aproximativ, simplist, este o risipă,

deoarece rezultatele nu vor avea performanţe mai bune, fiind

determinate de calităţile modelului.

Trebuie menţionat faptul că în ingineria actuală se folosesc

numeroase şi variate metode de calcul, ceea ce arată că fiecare

metodă are avantajele, dezavantajele şi limitele sale. Se pare că în

viitor se vor promova proceduri, algoritmi şi programe mixte sau

hibride, care să reunească mai multe metode de calcul, în vederea

valorificării avantajelor fiecăreia.

Scopul calculului. Beneficiarii calculelor inginereşti pot solicita

informaţii diverse în legătură cu modul cum se va comporta structura

în anumite situaţii, adică rezultatele calculului trebuie să dea – pe cât

posibil – răspunsuri neechivoce la întrebări precis formulate (adesea

beneficiarii trebuie informaţi ce poate oferi calculul). Consecinţa

acestei situaţii este că trebuie efectuate, de regulă, mai multe tipuri de

analize, care să ofere informaţiile dorite. În principiu, este posibil ca

pe acelaşi model, să se efectueze mai multe tipuri de analize, ca, de

exemplu, analiză statică, de stabilitate, de vibraţii etc. Dar într-o

astfel de situaţie este foarte posibil ca performanţele modelului şi

calitatea informaţiilor obţinute să nu fie satisfăcătore pentru toate

variantele de analiză. Se ajunge astfel la cerinţa ca modelul să fie

elaborat având în vedere scopul calculului. În general, foarte rar este

32

necesar să se creeze un model complet nou pentru fiecare tip de

analiză. Adesea se foloseşte un model de bază, destinat uneia din

variantele de calcul şi acestuia i se aduc modificările cerute de

celelalte tipuri de analize.

Pentru clarificarea şi fixarea ideilor se dau, pe scurt, câteva

exemple:

- pentru determinarea valorilor maxime ale tensiunilor, trebuie

efectuate “analize locale”, specifice, în zonele cu concentratori;

- pentru analize dinamice, trebuie acordată cea mai mare atenţie

aspectelor modelării maselor şi amortizărilor;

- pentru calculele de oboseală sau durabilitate este importantă

cunoaşterea precisă a caracteristicilor mecanice ale materialelor la

solicitări variabile;

- pentru analizele termice trebuie definite foarte precis sursele de

căldură, inclusiv parametrii lor, şi valorile constantelor fizice ale

transmiterii căldurii prin conducţie, convecţie şi radiaţie;

- pentru structurile cu deplasări mari trebuie precizate variaţiile

mărimilor şi direcţiilor sarcinilor în timpul procesului de deformaţie.

Simplitatea modelului. Marea majoritate a structurilor

inginereşti sunt de o mare complexitate în ceea ce priveşte formele

geometrice, sarcinile, reazemele şi caracteristicile mecanice ale

materialelor din care sunt realizate. Este cazul carcaselor, batiurilor,

instalaţiilor, utilajelor de proces, maşinilor de toate tipurile etc.

Elaborarea unui model care să aibă în vedere cele mai mici detalii ale

structurii reale ar deveni foarte costisitor sau chiar imposibil de

realizat, în condiţii rezonabile, în ceea ce priveşte costul şi durata de

timp necesară. Se impune astfel considerarea unei structuri

“ipotetice” simplificate, adică a unui model de calcul raţional.

Trebuie analizat cu discernământ dacă, într-un anumit context,

elaborarea unui model mai complicat, care are costuri mai mari (în

timp şi bani), se justifică prin câştigul de informaţii suplimentare,

comparativ cu o variantă mai simplă.

Concepţia de calcul. Structura care se calculează trebuie să

corespundă unor cerinţe de funcţionalitate, siguranţă şi eficienţă

economică. Siguranţa exprimă proprietatea structurii ca într-un

interval de timp dat să satisfacă, la nivelul performanţelor sale,

condiţiile de exploatare, ţinând seama de destinaţia şi importanţa

33

ansamblului în care trebuie să se integreze (fiabilitatea). Concepţia

clasică de calcul este cea deterministă, care consideră o siguranţă

absolută, care acoperă toate incertitudinile printr-un coeficient de

siguranţă. Concepţia actuală este probabilistă, care ţine seama de

caracterul aleatoriu al parametrilor structurii şi al sarcinilor, siguranţa

structurii fiind evaluată prin probabilităţile diferitelor comportări

posibile pe durata exploatării structurii. Având în vedere că cerinţele

de economicitate şi siguranţă sunt contradictorii, o proiectare a unei

structuri optime se obţine numai printr-o evaluare corectă şi realistă a

siguranţei acesteia.

Rezultatele să fie acoperitoare. Modelul trebuie elaborat astfel

încât rezultatele calculului trebuie să fie într-o măsură raţională şi

rezonabilă acoperitoare, adică să ofere o marjă suplimentară de

siguranţă care să compenseze faptul că analiza este aproximativă. În

ceea ce priveşte procesele de calcul, utilizarea calculatoarelor oferă

garanţia unei fiabilităţi foarte mari a acestora şi a unui nivel de

încredere ridicat al rezultatelor.

Corelarea modelului cu condiţiile existente. Modelul este o

componentă a unui ansamblu complex, care include un mare număr

de condiţii şi restricţii, adesea contradictorii. Deci elaborarea

modelului se face totdeauna într-un anumit context, pentru un set de

condiţii impuse, riguros definite. Structura reală, realizată fizic, are

abateri efective în ceea ce priveşte dimensiunile, formele geometrice,

sarcinile efective (nominale, de calcul, maxime, accidentale, de

avarie, de montaj, de transport, de exploatare etc), condiţiile de

rezemare, caracteristicile fizice şi mecanice ale materialelor, faţă de

cele considerate în proiect şi deci şi la elaborarea modelului. Prin

urmare este neraţional să se elaboreze un model foarte performant,

costisitor şi laborios, dacă valorile numerice ale datelor “de intrare” –

pentru care se face calculul – sunt afectate de incertitudini sau de

erori relativ mari. Prin urmare, modelarea şi analiza trebuie făcute cu

o precizie limitată, raţională, bine definită, în cadrul acesteia

structura reală putând fi simplificată şi “idealizată” printr-un model

corespunzător.

De asemenea, pe parcursul diverselor faze ale elaborării unui

proiect, sau ale realizării unui produs, sunt necesare modele diferite,

determinate de informaţiile disponibile în etapa respectivă. Frecvent,

34

pentru calcule preliminare, se utilizează modele mult simplificate,

comparativ cu modelele destinate unor calcule de verificare, în faze

finale ale proiectării. De exemplu, pe modele simple se fac

dimensionări şi analize la solicitări statice, în fazele de proiect

preliminar şi apoi se au în vedere analize de stabilitate, dinamice, de

oboseală, de durabilitate etc, pe modele mai sofisticate, elaborate pe

baza formei finale a proiectului.

Pentru numeroase domenii inginereşti – ca, de exemplu, utilajele

energetice, vehiculele de toate categoriile, construcţiile civile şi

industriale etc – s-au elaborat diverse prescripţii, norme şi standarde

privind modelele de calcul, evaluarea sarcinilor, variantele analizelor

obligatorii etc. Aceste normative pot avea caracterul unor

recomandări sau pot fi obligatorii, ele putând fi aplicate unor ramuri

industriale, la nivel naţional sau pot fi internaţionale. În aceste

condiţii trebuie ca elaborarea modelului să fie astfel făcută încât el

să realizeze încadrarea corectă a situaţiei reale în ipotezele şi

prevederile de detaliu ale normelor respective. Unele programe de

calcul au implementate proceduri care conţin astfel de condiţii

speciale. În ultimii ani au apărut şi norme cu recomandări privind

modul cum să se elaboreze unele modele de calcul. De exemplu,

pentru industria de automobile se recomandă care să fie

caracteristicile de bază ale modelelor pentru diversele componente,

cum ar fi blocul motor, caroseria, cutia de viteze etc.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,

Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,

Editura BREN, Bucureşti, 1999.

3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,

Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura

Printech, Bucureşti, 2007.

35

1.

TEORII ASUPRA STĂRILOR LIMITĂ.

ELEMENTE DE MECANICA RUPERILOR

Proiectarea structurilor mecanice se face pe baza unor modele de

calcul care, în general, reprezintă relaţia dintre încărcare şi

deformaţie. În plus, este necesar să se stabilească dacă structura

respectivă nu cedează sub încărcarea dată, sau invers: care este

încărcarea maximă dincolo de care structura cedează.

Relaţia dintre încărcare şi deformaţie se numeşte lege

constitutivă şi poate fi definită atât la nivelul întregii structuri, cât şi

la nivelul materialului. Criteriul suplimentar menţionat aici este o

condiţie de stare limită. Pentru a înţelege de ce aceste criterii sunt

importante, se prezintă un exemplu.

Dacă încărcările sunt mici, materialul şi deci şi structura, de

regulă, se comportă linear elastic. (Sunt şi situaţii speciale, în care, deşi

materialul se comportă linear elastic, structura are o comportare nelineară, de un

anumit tip: poate fi cazul structurilor complexe, de mari dimensiuni). În acest

regim, între forţe şi deplasări (la nivelul structurii) sau între tensiuni

şi deformaţii specifice (la nivelul materialului) este o relaţie lineară.

În elasticitate, se pot obţine (teoretic) tensiuni corespunzând unei

deformaţii specifice oricât de mari. Legea constitutivă nu conţine o

limită de tensiune până la care ea însăşi este valabilă. Realitatea însă

este alta: atunci când tensiunea ajunge la punctul de curgere,

materialul intră în faza de deformaţie plastică şi legea constitutivă a

elasticităţii nu mai este valabilă.

La fel se întâmplă şi cu legile constitutive care descriu

deformaţia plastică. Ele nu conţin un criteriu pe baza căruia să se

poată prezice ruperea, în acest caz ruperea fiind limita superioară a

deformării plastice.

Această limitare a legilor constitutive este importantă şi trebuie

avută în vedere la construirea oricărui model de calcul pentru o

36

structură mecanică. Modelul trebuie să conţină pe lângă legea

constitutivă adecvată modului respectiv de deformaţie (elastică sau

plastică) şi o condiţie de stare limită. Aceste condiţii sunt cunoscute

sub numele de “teorii de rezistenţă” sau “teorii de stări limită.”

Natura condiţiilor de limită folosite pentru un model dat depinde

de cerinţele de proiectare. De exemplu, dacă se doreşte ca structura

să rămână în domeniul deformaţiilor elastice, starea limită de

încărcare este cea care produce curgerea materialului. Dacă în

aplicaţia respectivă deformaţia plastică este tolerabilă, starea limită

este ruperea materialului sau pierderea stabilităţii structurii. Desigur,

atât ruperea cât şi pierderea stabilităţii sunt limitele superioare

dincolo de care structura nu mai poate fi folosită. În consecinţă, un

număr mare de teorii asupra stărilor limită au fost dezvoltate,

corespunzând diferitelor tipuri de astfel de criterii.

În cele ce urmează, teoriile de rezistenţă sunt împărţite în trei

categorii: cele care prezic atingerea limitei de curgere, cele care

prezic ruperea materialului şi cele care prezic pierderea stabilităţii

deformaţiei.

Trebuie menţionat că pierderea stabilităţii la nivelul structurii

poate avea loc şi în domeniul elastic, acesta fiind un subiect tratat în

capitolul 12. În discuţia de faţă, se fac referiri la un caz particular de

pierdere a stabilităţii la nivelul materialului şi anume, pierderea

stabilităţii deformaţiei plastice care se mai numeşte şi localizarea

deformaţiei plastice. Prin localizare, materialul îşi pierde capacitatea

de a susţine cea mai mare parte din sarcinile aplicate, situaţie

întrucâtva similară ruperii. De altfel, localizarea poate fi urmată de

rupere, însă fenomenul critic este cel al pierderii stabilităţii

deformaţiei, care este de natură diferită faţă de rupere.

1.1. Iniţierea deformaţiei plastice ca stare limită de rezistenţă

De cele mai multe ori, în practica inginerească se urmăreşte ca

structurile să rămână în domeniul de deformaţie elastică. Pentru

aceasta, tensiunile în fiecare punct al structurii trebuie să fie mai mici

decât o anumită valoare critică. Care este acea valoare critică? (Este

posibil ca în cazul în care curgerea plastică are loc localizat, în zone restrânse ale

componentelor structurii respective, structura să rămână totuşi, global, în domeniul

elastic. Pentru simplitatea discuţiei însă, se consideră, aici, condiţia globală ca fiind

37

strict impusă punctual: curgerea trebuie evitată în orice punct al structurii

respective.) Dacă structura în cauză este o bară dreaptă supusă la întindere,

tensiunile sunt aceleaşi în fiecare punct al barei şi sunt egale cu

tensiunea aplicată din exterior, . Curgerea are loc atunci când

= c, unde c (notaţia engleză este y) este tensiunea de curgere

măsurată într-un test obişnuit de întindere.

Într-o structură cu o geometrie mai complicată, însă, starea de

tensiuni este complexă şi variază de la un punct la altul. Se pune deci

problema: ştiind că materialul “curge”, când este solicitat la întindere

uniaxială, la valoarea c a tensiunii, la ce valoare a tensiunii va curge

când este solicitat cu o stare complexă de tensiune? Prin stare

complexă de tensiune se înţelege o încărcare în care toţi termenii

tensorului sunt nenuli (cele trei tensiuni principale 1, 2,3 sunt

nenule). Ceea ce se caută poate fi exprimat matematic sub forma unei

funcţii de tensiunile principale:

f(1, 2,3) = fc . (1.1.a)

Deci, curgerea are loc atunci când această funcţie atinge o

valoare critica, fc. Se postulează că o astfel de funcţie există, adică,

indiferent de modul de încărcare (de valorile tensiunilor principale),

curgerea are loc totdeauna la aceeaşi valoare fc. Ecuaţia (1.1) poate fi

scrisa şi ca

c , (1.1.b)

unde ),,(f 321 se numeşte tensiune echivalentă (pentru se

mai foloseşte şi notaţia ech).

Există numeroase teorii care duc la o formă funcţională pentru f.

Toate aceste teorii sunt fenomenologice şi au fost dezvoltate, în cea

mai mare parte, acum mai bine de un secol, pe baza unui număr mare

de teste. Dintre acestea, două dintre cele mai folosite se prezintă în

cele ce urmează.

Criteriul tensiunii tangenţiale maxime (criteriul Tresca)

Conform acestui criteriu, curgerea are loc atunci când tensiunea

tangenţială maximă, indiferent de planul în care acţionează, atinge o

valoare limită:

cmax . (1.2)

38

Pentru o stare dată de tensiune ( 321 ,, ), tensiunea max este

(v. cap. 5):

2,

2,

2max

323121

max . (1.3)

Tensiunea critică c poate fi dedusă cu ajutorul ecuaţiei (1.3) şi

pentru solicitarea de întindere uniaxială. În acest caz, curgerea începe

când tensiunea normală = c sau când max = c/2. Deci, c = c/2 şi

criteriul poate fi scris sub forma:

323121c ,,max . (1.4)

Comparând cu ecuaţia (1.1.a),

323121321 ,,max),,(f şi fc = c.

Trebuie observat că ecuaţia (1.4) implică independenţa curgerii

de componenta hidrostatică (presiune p uniformă, pe toate direcţiile)

a câmpului de tensiune. Presiunea se calculează ca

3)(p 321 . Dacă corpul este supus la o stare de presiune,

atunci p321 , iar tensiunile de forfecare sunt nule în

toate planele. Deci curgerea plastică nu poate fi provocată, indiferent

cât de mare este p. Aceasta este în concordanţă cu observaţiile

experimentale pe materiale metalice: presiunea nu afectează curgerea

plastică. În realitate, tensiunea de curgere este totuşi influenţată de

presiune, însă efectul este slab şi în cele mai multe cazuri este

neglijat.

Criteriul energiei maxime de schimbare a formei (criteriul von

Mises)

Atunci când se aplică o tensiune asupra unui material şi acesta se

deformează, maşina de încercare efectuează lucru mecanic, care este

asociat cu deformaţia elastică şi este stocat în corp sub formă de

energie potenţială de deformaţie. Această energie poate fi împărţită

în două componente: o componentă asociată cu schimbarea

volumului şi una asociată cu schimbarea formei corpului deformabil.

Presiunea produce o schimbare numai de volum şi aşa cum s-a văzut,

nu produce deformaţie plastică (în metale). De aceea, un criteriu de

39

curgere (o teorie de stare limită), enunţat energetic, trebuie să fie

asociat numai cu energia de schimbare a formei.

Conform criteriului von Mises, deformaţia intră în regim plastic

atunci când energia potenţială de deformaţie pentru schimbare a

formei atinge o valoare critică.

Energia totală de deformare pe unitatea de volum se calculează

ca produsul tensiunii şi deformaţiei specifice corespunzătoare:

)(21U 332211 . Energia asociată deformaţiei

hidrostatice (produsă de presiunea uniformă), care provoacă numai

variaţie a volumului, este

))((61p21UU 321321vp ,

unde este deformaţia specifică (liniară) definită ca 321 .

Energia de deformaţie asociată schimbării formei este

diferenţa celor două energii menţionate mai sus, adică Uf = U – Uv şi

are expresia:

231

2

32

2

21fG12

1U , (1.5)

în care G este modulul de elasticitate la forfecare.

Conform criteriului von Mises, curgerea începe datorită unei

solicitări complexe atunci când această energie atinge o valoare

critică:

Uf = Uc. (1.6)

Energia critică Uc poate fi evaluată particularizând încărcarea la

cea de tensiune uniaxială. În acest caz, singura tensiune aplicată

corpului este 1 = , iar în momentul în care materialul începe să

curgă, 1 = c. Deci G6

UU2

ccf

.

În consecinţă, criteriul von Mises se scrie:

c

2/12

32

2

31

2

212

1 . (1.7)

Comparând cu ecuaţia (1.1.a),

2/12

32

2

31

2

213212

1),,(f şi fc = c.

40

Ca şi în cazul criteriului Tresca, criteriul von Mises nu include

efectul presiunii în producerea deformaţiei plastice, adică o stare de

presiune pură (uniformă) nu duce la deformaţie plastică.

În cazul în care corpul curge diferit pe direcţii diferite, adică

materialul este anizotrop, criteriul von Mises are nevoie de câteva

schimbări pentru a putea fi folosit corect. Aceste modificări au fost

făcute de Hill, care au dus la criteriul care-i poarta numele, dar care

fundamental nu este diferit de criteriul von Mises. Pentru materiale

cu simetrie ortotropică, criteriul Hill se scrie:

1)(H)(G)(F 2

21

2

31

2

32 , (1.8)

unde F, G şi H sunt constante care trebuie determinate prin teste

speciale, făcute de-a lungul direcţiilor principale (de ortotropie). În

aceste condiţii, se obţine o altă expresie pentru Uc. Stări de

anizotropie în deformaţia plastică se întâlnesc frecvent în practică, de

exemplu, ca urmare a operaţiilor de laminare a tablelor.

Suprafeţe de curgere

Criteriile Tresca şi von Mises (ecuaţiile (1.4) şi (1.7)) pot fi

reprezentate grafic în spaţiul tensiunilor principale. Acesta este un

spaţiu tridimensional cu axele rectangulare 321 ,, . În acest spaţiu

ecuaţia (1.7) reprezintă un cilindru drept, a cărui axă este bisectoarea

unghiului diedru format de cele trei axe, adică linia corespunzând

încărcărilor prin presiune: 1 = 2 = 3 (fig. 1.1). Raza cilindrului

depinde de tensiunea de curgere, c.

Un punct în acest spaţiu reprezintă o stare de solicitare a

materialului. Semnificaţia construcţiei geometrice din figura 1.1 este

aceea că cilindrul împarte spaţiul în stări care produc şi stări care nu

produc curgerea. Stările corespunzătoare punctelor din interiorul

cilindrului nu produc curgerea materialului. De aceea, suprafaţa

respectivă se numeşte suprafaţă de curgere. Orice încărcare elastică

este o traiectorie care începe în origine şi se termină undeva pe

suprafaţa de curgere.

Faptul că cilindrul are ca axă linia presiunilor, derivă din aceea

că o stare pură de presiune nu produce niciodată curgerea (axa nu

intersectează suprafaţa de curgere).

41

Criteriul Tesca (ecuaţia (1.4)) se poate reprezenta într-un mod

asemănător. El corespunde unei prisme hexagonale, care are aceeaşi

axă ca şi cilindrul von Mises şi se înscrie perfect în interiorul lui.

Această suprafaţă de curgere este şi ea reprezentată schematic în

figura 1.1.

Figura 1.1 Figura 1.2

Dacă starea de tensiuni este plană (când una dintre tensiunile

principale este nulă), suprafeţele de curgere pot fi trasate în plan (fig.

1.2), devenind curbe de curgere. Această reprezentare rezultă, pur şi

simplu, prin secţionarea cilindrului şi prismei din figura 1.1 cu planul

3 = 0. Semnificaţia lor fizică este aceeaşi: punctele din interiorul

curbelor corespund stărilor plane de tensiune care nu produc

curgerea, în timp ce cele din exterior corespund condiţiilor de

curgere.

Comparaţie între criteriile de curgere Tresca şi von Mises

Aceste două criterii sunt larg folosite pentru a “prezice”

începutul curgerii plastice în metale. Ele sunt oarecum asemănătoare,

diferenţele dintre ele fiind mai mici de 15%. Această diferenţă poate

fi uşor acoperită prin folosirea unui coeficient de siguranţă cu o

valoare mai mare de 15%, în inginerie.

Ambele criterii concordă bine cu datele experimentale. În

general, acestea se situează între cele două curbe din figura 1.2, fiind

relativ mai aproape de elipsa von Mises.

Folosirea criteriilor de curgere

În practica inginerească, un calcul de verificare presupune

determinarea câmpului de tensiuni corespunzător încărcării şi

geometriei date ale structurii (valorile tensiunilor în fiecare punct).

42

Apoi, unul dintre cele două criterii prezentate (sau altul, dacă este

cazul), este folosit pentru a determina dacă încărcarea produce

curgerea în vreun punct al structurii. În cazul în care se foloseşte un

coeficient de siguranţă (supra-unitar), valorile tensiunilor obţinute se

împart la acest coeficient şi rezultatul este folosit pentru verificarea la

criteriile de curgere.

1.2. Ruperea ca stare limită de rezistenţă

În situaţiile în care curgerea plastică este acceptabilă, starea

limită poate deveni ruperea materialului. Acceptarea în inginerie a

stării limită de rupere poate fi legată de structură sau de material.

În ceea ce priveşte structura, sunt situaţii, de exemplu, pentru

construcţii din beton armat, pentru care se admite că armătura din

oţel (care, de regulă, este un oţel ductil) poate căpăta, în anumite

circumstanţe, ca, de exemplu, la cutremure puternice, deformaţii

limitate de curgere plastică. Starea limită este definită de condiţia ca

structura “să rămână în picioare”. Această formulare include

posibilitatea ca betonul să se rupă, dar armătura de oţel nu.

Ruperea poate deveni condiţie de stare limită şi pentru o clasă

largă de materiale şi anume pentru cele care nu se deformează plastic

înainte de a se rupe. Este cazul materialelor fragile, cum ar fi

ceramicele, sticla, betonul etc. Aşa cum s-a menţionat în capitolul 1,

toate materialele care se comportă ductil (prezintă deformare

plastică) la temperatura ambiantă, devin fragile la temperaturi

coborâte. În consecinţă, trebuie avut în vedere că definirea unei stări

limită depinde şi de temperatura (şi viteza de deformare) la care se

face testul, sau la care structura funcţionează. În discuţia de faţă se va

considera că ruperea este o stare limită numai pentru materiale care

au un domeniu de temperaturi de ductilitate numai foarte aproape de

temperatura de topire (de exemplu, ceramicele). Acestea vor fi

numite generic materiale fragile.

În majoritatea cazurilor, materialele fragile conţin fisuri care

provin, fie din procesul de fabricaţie, fie din încărcări preliminare

folosirii efective a materialului. De exemplu, multe dintre

componentele ceramice folosite industrial sunt făcute din pulberi,

prin sinterizare. În acest proces, compactarea materialului este

parţială, rămânând un număr mare de goluri (sau fisuri)

43

microscopice. În alte materiale fragile, cum ar fi gheaţa (care este tot

o ceramică!), care sunt compacte iniţial, fisuri microscopice apar din

cauza tensiunilor termice în zonele concentratorilor de tensiuni

interni (de exemplu, în vecinătatea unor incluziuni cu modul de

elasticitate şi coeficient de dilatare diferiţi de cele ale materialului de

bază).

În astfel de cazuri, problema ruperii este, de fapt, cea a

propagării uneia sau mai multor fisuri microscopice. Acesta este

domeniul de studiu al unei discipline de sine stătătoare, numită

mecanica ruperilor. În cele ce urmează se vor prezenta succint

conceptele de bază ale acestei discipline, atât cât este necesar pentru

a da substanţă discuţiei de faţă.

1.3. Elemente de mecanica ruperilor

Fisurile - concentratori de tensiuni

Să considerăm o placă, de grosime t, dintr-un material cu

comportare elastică, supusă la o tensiune pe una din direcţii.

Câmpul de tensiuni în oricare punct este uniform şi are o valoare

egală cu . În cazul în care placa conţine “neomogenităţi”, câmpul

nu mai este uniform.

a b c

Figura 1.3

Un exemplu clasic este cel din figura 1.3.a. În acest caz, efectul

găurii circulare este concentrarea tensiunilor. După cum se ştie,

tensiunea yy în punctele A şi A’ este de întindere şi are valoarea 3,

44

unde este tensiunea aplicată pe direcţia y, la infinit (pe frontiera

plăcii). Tensiunea xx în punctele B şi B’ este de compresiune şi în

valoare absolută, este egală cu yy în A şi A’. Tensiunea yy în B şi

B’ este nulă, deoarece aceste puncte se află pe suprafaţa liberă

(nesolicitată la tracţiune) a găurii.

Se consideră cazul din figura 1.3.b, în care gaura este eliptică, cu

axa mare a elipsei orientată pe direcţia x, perpendiculară pe cea a

tensiunii . Se presupune că elipsa devine tot mai alungită (sau mai

turtită), adică raza de curbură în punctele A şi A’ scade, iar cea din

punctele B şi B’ creşte. Efectul este că tensiunile în punctele

respective urmează o tendinţă contrară: tensiunea yy în A şi A’

creşte invers proporţional cu , unde este raza de curbură a

elipsei în punctul A, iar tensiunea xx în B şi B’ scade în acelaşi mod.

Extrapolând această observaţie, se presupune că la limită, când

raza de curbură în A şi A’ devine nulă şi elipsa devine “o fisură”,

tensiunea yy în aceste puncte tinde la infinit. De asemenea, tensiunea

xx în punctele B şi B’ din figura 1.3.c ar trebui să devină zero.

Această observaţie este foarte importantă. Rezultă că indiferent

cât de mică este tensiunea normală aplicată pe frontiera plăcii,

tensiunea yy la vârful fisurii din figura 1.1.c este foarte mare.

Aceasta conduce la propagarea fisurii în direcţia x.

Mai exact, starea de tensiuni în fiecare dintre cele două vârfuri A

şi A’ este descrisă de ecuaţiile

,2

3cos2

cos2

sinr2

K

;2

3sin2

sin12

cosr2

K

;2

3sin2

sin12

cosr2

K

xy

yy

xx

(1.9)

care sunt scrise în coordonate polare (r,q), cu originea în punctul A’,

aşa cum se vede în figura 1.3.c. Distanţa r este măsurată de la vârful

fisurii. Ecuaţiile (1.9) arată că tensiunile sunt singulare, cu o

singularitate cu puterea de –0.5 la vârful fisurii ( 50.r ). De

asemenea, se observă că tensiunea normală yy este maximă în faţa

45

fisurii şi zero pe cele două feţe ale ei ( = 180o). Tensiunea normală

xx trece prin zero în faţa fisurii, iar tensiunea tangenţială xy este

nulă atât la = 0, cât şi la = 180o, însă este nenulă pentru alte valori

ale unghiului . Ea este maximă pentru = 70.2o, direcţie în care,

conform criteriului tensiunii tangenţiale maxime Tresca, ar trebui să

se observe prima dată curgerea plastică. Aceasta este în concordanţă

cu observaţiile experimentale.

Coeficientul K din relaţiile (1.9) se numeşte factor de intensitate

a tensiunii (stress intensity factor, SIF) şi depinde de încărcarea

exterioară şi de forma geometrică a corpului în care se află fisura.

Este important să se observe că legea de distribuţie a tensiunilor în

jurul vârfului fisurii este independentă de geometria corpului care o

conţine. Efectul geometriei corpului este “captat” în exclusivitate de

către K. Aceasta permite tratarea tuturor fisurilor în mod similar,

indiferent în ce corp se află plasate şi care este configuraţia încărcării

pe frontiera corpului.

De asemenea, trebuie precizat că ecuaţiile (1.9) reprezintă numai

componenta asimptotică a câmpului de tensiuni, pentru r 0. În

realitate, câmpul conţine termeni suplimentari în (1.9). Termenii de

ordin superior însă sunt proporţionali cu r la puteri pozitive şi deci

tind la zero când r 0. În consecinţă, ei joacă un rol minor în

propagarea fisurilor.

În figura 1.4 se vede variaţia tensiunilor pe direcţia = 0o, în faţa

fisurii. La vârful fisurii, curbele urmează forma asimptotică (1.9). La

distanţă mai mare, se regăseşte câmpul aplicat pe frontieră. La vârful

fisurii ambele tensiuni, xx şi yy tind la infinit. De asemenea,

presiunea, calculată ca medie a tensiunilor principale, tinde la infinit.

Aceste două observaţii au o însemnată importanţă fizică.

Un corp real nu poate avea tensiuni infinite. De asemenea,

corpurile reale nu sunt medii continue, ci sunt formate din atomi sau

molecule. În consecinţă, noţiunea că r 0, care este validă în corpul

continuu (teoretic, infinit “divizabil”), nu se aplică în cazul corpurilor

reale, care sunt discontinue.

În realitate, tensiunile cresc foarte mult în vecinătatea vârfului

fisurilor, însă nu tind la infinit. Această concentrare duce la formarea

unei zone de plasticitate, reprezentată schematic în figura 1.5.a. Dacă

46

materialul nu curge plastic (este fragil), în zona de la vârful unei

fisuri macroscopice vor apare

Figura 1.4 Figura 1.5

un număr mare de micro-fisuri (“un nor de fisuri”), care formează o

zonă cu modul de elasticitate mai scăzut decât cel al materialului

nedeformat. Atât zona plastică cât şi “norul” de micro-fisuri duc la

limitarea tensiunilor de la vârful fisurii de referinţă. Luarea în

considerare a acestor efecte este, însă, dificilă şi depăşeşte cadrul

acestei lucrări. În continuare, prezentarea se va limita la analiza

fisurilor în medii linear elastice, care nu conţin şi alte defecte.

Evaluarea factorului K

Aşa cum s-a menţionat mai sus, factorul K de intensitate a

tensiunii, conţine întreaga informaţie cu privire la încărcarea

exterioară şi la geometria corpului în care este fisura (ca şi la

existenţa altor fisuri sau defecte, în vecinătatea fisurii reprezentative).

Deci factorul K trebuie determinat prin rezolvarea problemei

elasticităţii întregului corp.

Astfel de soluţii există pentru, practic, toate configuraţiile

frecvent întâlnite. De exemplu, pentru cazul fisurii într-o placă plană

infinită ( b în fig. 1.3.c) încărcată cu o tensiune normală pe

frontieră, ,

aK , (1.10)

unde a este jumătate din lungimea fisurii. Dacă placa este finită, K

este mai mare decât această valoare. Atâta timp cât a/b < 0.4, formula

(1.10) pentru placa infinită, este direct utilizabilă. Pentru alte valori

ale raportului a/b, ecuaţia (1.10) se modifică cu un factor S care are

forma:

47

b/a1

)b/a(36.0b/a5.01S;aSK

2

. (1.11)

Alte câteva configuraţii sunt reprezentate în figura 1.6. O fisură

pornind de la o suprafaţă liberă şi încărcată cu o tensiune normală σ

la infinit, orientată perpendicular pe planul ei, se prezintă în

figura1.6.a. Pentru această configuraţie,

2/3

4

)b/a1(

b/a265.0857.0)b/a1(265.0S;aSK

. (1.12)

Când fisura este scurtă, faţă de lăţimea epruvetei (b), ecuaţia

(1.12) duce la a12.1K . Acest exemplu este important din

punct de vedere tehnologic: el reprezintă cazul fisurii introduse prin

contactul unui corp rigid cu o suprafaţă (uzura), sau fisuri care

pornesc din găuri de nit.

Un alt exemplu important este cel din figura 1.6.b, care

reprezintă epruveta standard ASTM (American Standard for Testing

of Materials). Acesta este unul dintre testele pentru măsurarea valorii

critice a lui K, la care începe propagarea fisurii (v. ce urmează).

Pentru această configuraţie, valoarea lui K se poate aproxima prin

relaţiile:

43

2

2/3 )b/a(6.5)b/a(72.14

)b/a(32.13b/a64.4886.0

)b/a1(

b/a2S

;bt

PSK

, (1.13)

care sunt valabile pentru a/b > 0.2.

a b c

Figura 1.6

48

Cazul din figura 1.6.c este cel al unei fisuri circulare, aflată în

mijlocul unui corp infinit (a « b). Fisura este încărcată cu o tensiune

acţionând perpendicular pe planul său. K este constant de-a lungul

întregului front al fisurii şi are valoarea

a2

K

, (1.14)

K fiind ceva mai mic decât în cazul similar bi-dimensional (ecuaţia

1.10).

Un număr mare de astfel de soluţii au fost strânse de către Tada

într-o foarte utilă culegere [7].

Folosirea principiului superpoziţiei

De multe ori evaluarea lui K se poate face pe baza unor soluţii de

referinţă, folosind principiul superpoziţiei. Acest lucru este posibil

deoarece analiza se efectuează în domeniul linear elastic, domeniu în

care prin superpoziţia unor soluţii simple se pot determina soluţii la

probleme complicate. Un astfel de exemplu se prezintă în cele ce

urmează.

Se consideră o fisură de lungime 2a într-o placă plană (fig.

1.7.a). Fisura este încărcată cu două forţe de mărime P (pe unitatea

de grosime a plăcii), care acţionează pe cele două feţe, la distanţa x =

b de centrul fisurii (care este şi originea sistemului de coordonate). În

acest caz, datorită lipsei de simetrie a încărcării, K este diferit la cele

doua vârfuri ale fisurii. Se notează cu “+” vârful situat la x = +a

şi cu “-“ vârful situat la x = -a. Soluţia este

ba

ba

a

PK

. (1.15)

Cu ajutorul acestei soluţii se poate determina soluţia pentru orice

distribuţie de tracţiuni pe cele două suprafeţe ale fisurii (fig. 1.7.b),

prin superpoziţie:

da

a)(p

a

1K

a

a

. (1.16)

În particular, pentru o distribuţie uniformă de tracţiuni

normale pe feţele fisurii, p(x) = , se regăseşte soluţia (1.10), aşa

cum era de aşteptat. Pentru a vedea echivalenţa între cazul din figura

49

1.3.c şi cel din figura 1.7.b, cu p(x) = , se face referire la figura 1.8.

În această figură se demonstrează descompunerea problemei din

figura 1.3.c în aceea a unei plăci plane încărcate cu şi fără nici

o fisură, pe de o parte şi cea din figura 1.7.b, pe de alta. Evident că

placa fără fisură are K = 0, dat fiind că în acest caz nu există

concentrator de tensiune. Aceasta stabileşte echivalenţa între cele

două probleme.

a b

Figura 1.7

Figura 1.8

Condiţia de propagare a fisurilor

Propagarea fisurilor are loc prin ruperea legăturilor atomice în

zona din faţa vârfului fisurii. După cum s-a văzut, această zonă este

supusă la tensiuni foarte mari, datorită efectului de concentrare a

tensiunilor în această regiune. În mod natural, condiţia de stare critică

trebuie să fie legată de mărimea efectului de concentrare, deci de K.

50

Se postulează că fisurile încep să se propage în momentul în care

parametrul K devine mai mare sau egal cu o valoare critică notată cu

Kc. Această valoare critică este considerată o constantă de material şi

este determinată prin experimente standardizate (de exemplu,

folosind epruveta standard din fig. 1.6.b). Condiţia se scrie:

)material(K)geometrie,(K c . (1.17)

Valorile constantei Kc sunt tabelate pentru toate materialele

inginereşti.

Încărcări complexe

În prezentarea de mai sus s-a considerat un singur tip de

încărcare: cu o tensiune normală, orientată perpendicular pe planul

fisurii. Desigur, în realitate sunt posibile multe alte tipuri de

încărcare. Acestea au fost împărţite în trei categorii, denumite modul

I, II şi III de încărcare.

Tipurile de încărcare în cele 3 moduri sunt reprezentate în figura

1.9. Primul este încărcarea, considerată în prealabil, cu o tensiune

normală perpendiculară pe planul fisurii, iar al doilea şi al treilea

mod sunt forfecări cu tensiune tangenţială, acţionând în planul fisurii,

în cele doua direcţii – în lungul şi perpendicular pe direcţia ei.

Figura 1.9

În fiecare dintre aceste cazuri, câmpul de tensiuni este concentrat

la vârful fisurii şi se poate defini un factor K pentru fiecare mod,

respectiv KI, KII şi KIII. Soluţiile pentru câmpul de tensiuni (de tipul

ecuaţiei (1.9)) pentru aceste încărcări, sunt date în literatura de

specialitate [6].

Condiţiile de propagare a fisurii pentru modurile II şi III sunt

similare cu cele din ecuaţia (1.17):

.KK;KK;KK IIIcIIIIIcIIIcI (1.18)

51

Aceasta presupune însă să se poată determina constantele de

material KIIc şi KIIIc. De asemenea, trebuie să se determine care dintre

cele 3 condiţii (1.18) este îndeplinită mai întâi şi deci care mod

determină iniţierea propagării fisurii.

În practică, în cazul solicitărilor compuse, se foloseşte un alt

concept, care unifică cele trei moduri de încărcare. Acesta este

conceptul de rată de eliberare a energiei (energy release rate), G

(atenţie! a nu se confunda cu modulul de elasticitate transversal). Pentru a

înţelege sensul fizic al acestei mărimi, se consideră următorul

experiment: se încarcă placa din figura 1.3.c cu o maşină care

controlează deplasările, mai degrabă decât forţa. Pentru aceasta, se

poate fixa partea de jos a plăcii şi se aplică o deplasare cunoscută

parţii de sus (uniformă pe lăţimea plăcii). Va rezulta o tensiune . În

continuare, maşina va păstra aceeaşi poziţie relativă a celor două

capete ale plăcii, deci nu mai efectuează lucru mecanic. Se presupune

că fisura este staţionară în timpul încărcării. Lucrul mecanic făcut de

maşină în această perioadă este stocat sub formă de energie de

deformare în material. Se presupune, mai departe, că în momentul în

care încărcarea s-a terminat şi începe faza staţionară, fisura începe să

se propage. Ea consumă energie, din cea stocată în material. Rata de

propagare a fisurii este controlată de rata cu care îi poate fi dată

energie. Practic, energia stocată în câmpul de tensiuni şi deformaţii,

“curge” spre vârful fisurii. În acest experiment, nu există flux de

energie din exterior. Propagarea fisurii se va opri în momentul în care

fluxul de energie de deformaţie către vârful ei, devine insuficient.

Acest exemplu ilustrează ce se înţelege prin rata de eliberare a

energiei. Aceasta este rata la care corpul “oferă” energie vârfului

fisurii, punându-l, pe acesta, în mişcare. Condiţia de propagare a

fisurii este, deci, ca această rată să fie mai mare decât o constantă de

material: fluxul critic de care are nevoie fisura pentru a se propaga.

Condiţia se scrie similar cu (1.17):

)material(G)geometrie,(G cσ . (1.19)

În mecanica ruperilor s-a stabilit o relaţie între K şi G, relaţie

care oferă o analogie între cele două mărimi fundamentale (una

mecanică, iar cealaltă energetică). Această relaţie este

52

2

III

2

II

2

I

2

KE

1KK

E

1G

, (1.20)

unde E şi sunt modulul de elasticitate al lui Young, respectiv

coeficientul lui Poisson.

Astfel, în cazul unei solicitări compuse, se calculează cei trei

factori de intensitate pentru modurile de încărcare I, II şi III, după

care se determină valoarea lui G, cu relaţia (1.20). În continuare,

această valoare se compară cu valoarea critică Gc, stabilită pentru

materialul respectiv (ecuaţia (1.19)). Ca şi KIc, valorile critice Gc sunt

tabelate, pentru toate materialele inginereşti.

Abordarea deterministă a problemei stării limită

Cele mai multe materiale conţin un număr mare de fisuri

microscopice, chiar în starea iniţială, înainte de a fi solicitate

mecanic. Dimensiunile acestora variază de la valori foarte mici (zeci

de nanometri), până la dimensiunile grăunţilor cristalini.

Cele mai periculoase dintre acestea sunt, desigur, fisurile cele

mai mari. Conform ecuaţiilor de tip (1.10), ele au cel mai mare factor

de concentrare a tensiunii K, pentru o solicitare dată, deci şi

probabilitatea cea mai mare să se propage “catastrofal”.

Cum starea limită, aici, este considerată a fi ruperea materialului

şi deci, cedarea structurii (în cazul cel mai general, cele două noţiuni sunt

diferite, deoarece ruperea unui element al unei structuri nu înseamnă întotdeauna şi

cedarea întregii structuri), ea trebuie legată de propagarea instabilă a

celei mai lungi fisuri, care poate exista în materialul respectiv.

Pentru a exemplifica acest mod de abordare a problemei, se

consideră o placă plană de tipul celei din figura 1.3.c, care este

încărcată cu o stare plană de tensiune, definită de tensiunile normale

xx, yy şi de tensiunea tangenţială xy. Placa poate conţine fisuri

microscopice, a căror dimensiune maximă se notează 2amax

(considerată cunoscută) şi care se consideră că sunt orientate aleator.

De asemenea, se cunoaşte şi valoarea critică a ratei de eliberare a

energiei, Gc, la care o fisură se poate propaga în materialul dat. Cu

aceste date, se poate uşor stabili la ce solicitare se va rupe corpul

fragil considerat.

53

Ca exemplu, se consideră configuraţia din figura 1.10, în care o

fisură de dimensiuni 2amax se află la un unghi faţă de axa x.

Se poate determina modul de

încărcare al acestei fisuri generice

rotind tensorul tensiunilor, iar apoi

calculând, cu ajutorul relaţiilor (1.10)

şi (1.20) rata de eliberare a energiei.

Aceasta va fi funcţie de unghiul şi

de tensiunile aplicate. Cum se caută

geometria cea mai nefavorabilă, va

trebui să se modifice unghiul până

se obţine maximul lui G, ceea ce se

rezultă pentru orientarea în care fisura

este perpendiculară pe direcţia tensiunii principale maxime şi

pozitive. Deci

yyxx

xy

c

2arctg2

1. Pentru această orientare, G

= max

2

1

2

aE

1

, unde 1 este tensiunea principală maximă,

corespunzătoare stării de tensiune aplicată.

Starea critică există când G = Gc şi deci, când

max

2

c1

a)1(

EG

. (1.21)

Aceasta este tensiunea maximă care poate fi aplicată corpului

conţinând fisuri de dimensiune maximă amax înainte de rupere. 1

este tensiunea principală maximă pozitivă. Dacă toate tensiunile

principale sunt negative, conform acestui model, nici o fisură nu se

va propaga. În realitate, fisurile se pot propaga şi când sunt solicitate

la compresiune, dar această discuţie depăşeşte cadrul acestei lucrări.

Mai trebuie menţionat, în încheiere, că în această prezentare s-a

neglijat efectul perturbator al interacţiunii fisurilor vecine. S-a

considerat că fiecare fisură este încărcată cu tensiunile de pe frontiera

plăcii, ceea ce este adevărat numai în cazul în care distanţa între

fisuri este suficient de mare, adică peste 4 - 6 amax.

Figura 1.10

54

Abordarea probabilistă a problemei stării limită

Problema stării limită, asociată cu ruperea materialelor, poate fi

tratată şi probabilistic. Prin aceasta se acceptă că, de fapt, starea

internă de tensiune nu este exact aceeaşi cu cea extern aplicată,

fluctuaţiile fiind induse de interacţiunea dintre defecte. În plus, în

realitate, există o întreagă distribuţie de dimensiuni de fisuri,

distribuţie care nu se cunoaşte. Toate aceste variabile duc la o

distribuţie a valorilor rezistenţelor la rupere, pentru materialul dat.

Aplicarea noţiunilor de statistică matematică rezistenţei la rupere

a cablurilor l-a preocupat chiar şi pe Leonardo da Vinci, care a

conceput o serie de experimente sistematice, pentru studiul acestui

efect, precum şi pentru analiza dependenţei acestei statistici de

volumul de material testat (de lungimea cablului). El a concluzionat,

în mod corect, că rezistenţa scade pe măsură ce lungimea cablului

creşte, dar nu a putut stabili o formă funcţională pentru această

dependenţă.

Mai târziu, s-a stabilit că statistica rezistenţei la rupere este

diferită pentru materialele ductile şi pentru cele fragile. Aceasta nu

este surprinzător, deoarece mecanismele care domină ruperea în cele

două tipuri de materiale sunt diferite. Materialele ductile au

distribuţii normale (Gaussiene) ale proprietăţilor lor de rupere (de

exemplu, tensiunea de rupere). Materialele fragile urmează o altă

distribuţie, numită distribuţia Weibull. Cum accentul acestei expuneri

este pus pe comportarea materialelor fragile, se va prezenta, în

continuare, numai distribuţia Weibull.

Se consideră că o bară de lungime L, supusă la o tensiune are

o probabilitate de supravieţuire P(L). Se acceptă că o schimbare a

lungimii barei în L1, în condiţiile în care tensiunea rămâne

neschimbată, duce la o altă probabilitate, P(L1). Se consideră că

lungimea L este de x ori mai mare decât L1. Atunci,

.)L(P)L(P x

1 (1.22)

Rearanjând această formulă şi generalizând la trei dimensiuni

(înlocuind L cu un volum V) rezultă

.e)V(P)V(Plnx 1 (1.23)

Contribuţia lui Weibull a fost aceea că a definit exponentul din

ecuaţia (1.23) ca fiind riscul de rupere

55

,)V(PlnxR 1 (1.24)

şi apoi a propus, pe baze experimentale, că acest risc de rupere

depinde de tensiune, astfel:

.R

m

0

1

(1.25)

Aceasta duce la probabilitatea de rupere, funcţie de mărimea

tensiunii aplicate, sub forma

m

0

1exp)V(P . (1.26)

În această expresie, 1 este o tensiune minimă, sub care

probabilitatea de rupere este zero, iar 0 are semnificaţia unei

tensiuni medii la rupere. Atât 0 cât şi m sunt parametri care se

determină experimental, pe baza unui număr mare de teste, pe

materiale similare, încărcate identic. Exponentul m controlează

variabilitatea rezistenţei materialului, rolul lui fiind identic cu cel al

varianţei în distribuţia normală. Când m 0, distribuţia este “largă”

şi ruperea poate apare cu aceeaşi probabilitate la orice nivel de

tensiune. La cealaltă extremă, când m , ruperea este imposibilă

pentru tensiuni sub 0.

Revenind la problema stării limită, dacă problema este abordată

probabilistic, pe baza distribuţiei (1.26), trebuie să se stabilească

iniţial ce probabilitate de rupere este tolerabilă în situaţia dată de

condiţiile de proiectare sau analiză. Odată aceasta cunoscută şi pe

baza testelor de material, care conduc la parametrii 0, 1 şi m, se

poate uşor stabili nivelul tolerabil de tensiune.

Efecte de scară

Aşa cum s-a menţionat deja, epruvete din acelaşi material,

supuse la aceeaşi stare de tensiune, au rezistenţe la rupere care

depind de dimensiunile lor. Acesta se numeşte efect de scară. Pentru

o înţelegere cuprinzătoare a acestui subiect se recomandă lucrarea

[3], scopul expunerii care urmează fiind limitat la a aduce la

cunoştinţă cititorului această problemă, fără a se intra în detalii.

56

Se confecţionează o serie de epruvete de dimensiuni diferite, D0,

D1 şi D, care se rup la sarcinile critice F0, F1 şi F. Apoi se consideră

că există o funcţie de scalare, care stabileşte o legătură între

comportare şi dimensiunea epruvetei, de tipul F = f(D). Este

preferabil să se lucreze cu mărimi adimensionale, adică F/F0 =

f(D/D0). Atunci, raportul între sarcinile la rupere, pentru epruvetele

de dimensiuni D şi D1 se poate scrie

)D/D(f

)D/D(f

F

F

01

0

1

. (1.27)

Dacă materialul nu are nici o scară internă (cum este cazul în

mecanica solidelor, teoria clasică), atunci nu este neapărat necesar ca

referinţa să fie D0, ci aceasta poate fi aleasă şi D1. De aceea, raportul

F/F1 devine f(D/D1). Ecuaţia (1.27) se poate rescrie [2]

,)D/D(f

)D/D(f)D/D(f

01

01 (1.28)

ceea ce devine o ecuaţie pentru legea de scalare necunoscută f.

Aşa cum a arătat Bazant, această ecuaţie se poate rezolva luând

derivata funcţie de D şi apoi reducând D1 la D. Rezultatul se poate

pune sub forma

)(fm

d

)(df, (1.29)

unde 1ddfm este o constantă necunoscută. Ecuaţia (1.29) se

poate integra, iar prin aceasta se obţine funcţia de scalare f, care

rezultă a fi o funcţie putere, adică

m)(f . (1.30)

Aceasta demonstrează rolul central pe care îl are funcţia putere în

stabilirea scalării parametrilor de material, cu dimensiunea structurii.

Se demonstrează că în elasticitatea şi plasticitatea clasică (fără o

scară internă) exponentul m este nul. În aceste teorii, care stau la

baza mecanicii corpului solid, nu există nici o dependenţă a

tensiunilor critice (curgere, rupere) de dimensiunea epruvetei.

În mecanica ruperilor se demonstrează că exponentul m este –

1/2. Această reducere a rezistenţei structurilor de dimensiuni mari,

faţă de cele mici, poate fi înţeleasă calitativ având în vedere că pe

măsură ce dimensiunea epruvetei (piesei) creşte, probabilitatea ca ea

57

să conţină o fisură mare, este şi ea mai ridicată. Cu alte cuvinte, este

uşor de imaginat că atunci când, stabilind dimensiunile externe ale

unui corp se estimează şi dimensiunile fisurilor pe care el le conţine,

prin aceasta se reduce tensiunea critică, la care cea mai lungă fisură

va începe să se propage instabil.

Teoria stărilor limită de tip Weibull, descrisă mai sus, conduce şi

ea la o scalare cu dimensiunea epruvetei, care urmează o lege putere.

Exponentul m este însă diferit de cel prezis de mecanica ruperilor.

Figura 1.11

O curbă de scalare de acest tip este reprezentată calitativ în

figura 1.11. Epruvetele cu dimensiuni mici au o rezistenţă care este

controlată de teoriile de corp continuu (de criteriile bazate pe limita

de curgere), care nu duc la efecte de scară. Rezistenţa lor este

independentă de dimensiunea caracteristică D, a epruvetei. Cele cu

dimensiuni mari, au o probabilitate mai mare să conţină fisuri mari şi

de aceea comportarea lor este dată de scalarea din mecanica

ruperilor, în care exponentul m din ecuaţia (1.30) este –1/2.

Tranziţia între cele două tipuri de scalare nu este abruptă, ci

relativ gradată şi deci greu de definit ca atare. Ea are loc la

dimensiuni care depind de natura materialului.

58

1.4. Localizarea sau bifurcaţia deformaţiei plastice, ca stare

limită de rezistenţă

În cazurile în care structura considerată este formată numai din

materiale ductile şi deformaţia plastică este permisă, starea critică

este asociată fie cu ruperea ductilă, fie cu pierderea stabilităţii

deformaţiei. Criteriul de apariţie a stării critice, bazat pe ruperea

ductilă, este similar celui discutat mai sus, pentru materiale fragile. În

continuare, se prezentă câteva noţiuni legate de starea critică,

asociată cu pierderea stabilităţii deformaţiei.

Prin pierderea stabilităţii deformaţiei se înţelege situaţia în care

deformaţia îşi pierde caracterul continuu şi omogen. În mod normal,

în timpul unei deformaţii stabile, incremente mici de deplasări /

deformaţii specifice corespund la incremente mici de forţe / tensiuni.

Există însă posibilitatea, ca în condiţii speciale, deformaţia să treacă

printr-o discontinuitate.

Fenomenologic vorbind, există mai multe tipuri de pierdere a

stabilităţii deformaţiei. Dacă materialul structurii se comportă linear

elastic, poate apărea o instabilitate la nivelul întregii structuri prin

care un mod de deformaţie continuu şi stabil, este înlocuit de un alt

mod de deformaţie stabil. În limbaj matematic, aceasta se numeşte o

bifurcaţie, în timp ce în mecanica solidelor şi a structurilor, se

numeşte flambaj. Fenomenul asociat şi metodele de calcul ale

încărcărilor critice, care produc flambajul diferitelor structuri, vor fi

discutate în capitolul dedicat acestui subiect. Aceste încărcări critice

definesc condiţiile de stare limită.

Dacă materialul intră în zona plastică este posibil un alt tip de

bifurcaţie şi anume “gâtuirea.” Pentru exemplificare, se face referire

la un test de întindere a unei bare drepte cilindrice. La începutul

deformaţiei plastice, bara se întinde uniform, deformaţiile specifice

fiind identice în fiecare punct al ei. Aceasta se datorează faptului că,

în acest tip de test, tensiunile sunt uniforme, în tot volumul epruvetei.

Când curba tensiune - deformaţie specifică (mărimile inginereşti)

ajunge la maxim, deformaţia se localizează într-o gâtuire, care devine

din ce în ce mai pronunţată, pe măsură ce testul continuă (figura

1.12.a). În momentul în care are loc gâtuirea, materialul din afara

zonei respective încetează să se mai deformeze plastic. De aici,

59

denumirea de “localizare” a deformaţiei. Prin aceasta, un mod de

deformaţie continuu, este înlocuit de un alt mod de deformaţie

continuu, dar de altă natură.

Tipul de localizare descris

mai sus, gâtuirea, este o

localizare difuză, în sensul că

volumul în care apare, este

destul de mare şi în zona

localizării nu există gradienţi

de deformaţie pronunţaţi. Un

alt tip de localizare este cel

care are loc în benzi. Aceasta

apare, mai ales, în plăci supuse

la întindere sau compresiune.

Deformaţia se localizează în

regiuni înguste, adică benzi, cu

lăţimea aproximativ egală cu grosimea plăcii, care traversează placa

la un unghi de aproximativ 40o faţă de direcţia tensiunii principale

maxime. În interiorul unei astfel de benzi de localizare, gradienţii de

deformaţie sunt foarte mari. Cum în regimul de postlocalizare,

practic toată deformaţia este determinată de deformaţiile specifice

din această zonă îngustă, temperatura locală creşte, ceea ce duce fie

la topire, fie la propagarea instabilă a unei fisuri, de-a lungul benzii

de localizare.

Începutul localizării poate fi considerat o stare critică, pentru că

în toate cazurile (exceptând operaţiile de deformare la cald) este

nedorită. Apariţia sa face structura sau piesa inutilizabile. De aceea,

este esenţial să se cunoască condiţiile în care localizarea este iniţiată.

Din punct de vedere matematic, atât localizarea deformaţiei cât şi

bifurcaţia sunt asociate cu pierderea caracterului eliptic al ecuaţiilor

care descriu deformaţia. Acestea sunt ecuaţiile de echilibru, de

compatibilitate şi ecuaţiile constitutive. Atâta timp cât ecuaţiile

rămân eliptice, deformaţia nu-şi poate pierde caracterul stabil. În

consecinţă, determinarea încărcării critice se face prin căutarea

condiţiilor în care ecuaţiile fundamentale, împreună cu condiţiile pe

frontieră (care aduc în discuţie geometria piesei) devin hiperbolice.

Această analiză a fost făcută pentru o gamă largă de tipuri de

Figura 1.12

60

materiale (elastice, elasto-plastice, cu sau fără dependenţă de viteza

de deformare, materiale cu frecare internă de tip Mohr-Coulomb etc.)

şi pentru câteva geometrii de bază, cum ar fi epruvetele cilindrice şi

plăcile plane. Cititorul este trimis la literatura de specialitate, pentru

detalii [1, 4, 5, 6, 7, 10].

Se poate da o interpretare inginerească a problemei. Această

soluţie este un caz particular al celei mai generale, menţionate mai

sus. Ea constă în a defini starea critică asociată cu localizarea prin

condiţiile în care matricea de rigiditate instantanee a structurii sau

materialului, capătă o valoare proprie nulă. Pentru a face lucrurile

mai concrete, se face o referire, din nou, la testul de întindere

uniaxială. În aceste condiţii, matricea de rigiditate se reduce la un

singur termen: rigiditatea instantanee. Această mărime are o

interpretare grafică simplă: este panta curbei tensiune - deformaţie

specifică. Reformulând în aceşti termeni, deformaţia îşi pierde

stabilitatea (începutul gâtuirii difuze) în momentul în care creşterea

tensiunii, datorată reducerii ariei secţiunii transversale, depăşeşte

creşterea capacităţii portante a epruvetei.

Formal, acesta se scrie dP = 0, sau, dP = dA + A d = 0.

Considerând că în timpul deformaţiei plastice volumul rămâne

constant, deci dL/L = - dA/A = d, condiţia de instabilitate se scrie

.dd (1.31)

Este interesant de observat că dacă aproximăm curba tensiune -

deformaţie specifică reală printr-o funcţie putere, de forma = k n,

unde k este o constantă şi n este exponentul de ecruisare, ecuaţia

(1.31) duce la concluzia că deformaţia se localizează, în momentul în

care deformaţia specifică reală devine egală numeric cu exponentul

n: c = n. Aceasta defineşte condiţiile limită asociate cu localizarea

deformaţiei, pentru testul de întindere uniaxială.

Bibliografie

1. Bardet, J.P., Analytical solutions for the plane-strain

bifurcation of compressible solids, J. Appl. Mech. 58, 651-657, 1991.

2. Bazant, Z.P., Scaling laws in mechanics of failure, J. Eng.

Mech. ASCE, 119, 1828-1844.

61

3. Bazant, Z.P., Scaling of structural strength, Taylor and

Francis, New York, 2002.

4. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

5. Hadăr, A., Structuri din compozite stratificate, Editura

Academiei şi Editura AGIR, Bucureşti, 2002.

6. Hill, R., Hutchinson, J.W., Bifurcation phenomena in the

plane tension test, J. Mech. Phys. Sol. 23, 239-264, 1975.

7. Hutchinson, J.W., Miles, J.P., Bifurcation analysis of the onset

of necking in an elastic-plastic cylinder under uniaxial tension, J.

Mech. Phys. Sol., 22, 61-71, 1974.

8. Kanninen, M.F., Popelar, C.H., Advanced fracture mechanics,

Oxford Univ. Press, Oxford, 1985.

9. Tada, H., Paris, P.C., Irwin, G.R., The stress analysis of cracks

handbook, Paris Productions Inc., 226 Woodbourne Dr., St. Louis,

MO 63105, 1985.

10. Vardoulakis, I., Bifurcation analysis of the plane rectilinear

deformation on dry sand samples, Int. J. Sol. Struct. 17, 1085-1101,

1981.

62

2 .

METODA DEPLASĂRILOR

PENTRU STRUCTURI DIN BARE DREPTE

În construcţiile civile, ca şi în cele de maşini, se întâlnesc

numeroase poduri, acoperişuri, dispozitive, instalaţii, “schelete” ale

unor maşini etc care sunt realizate din bare drepte sau curbe.

Materialele folosite sunt, mai ales, ţevi sau profile laminate,

asamblate, de regulă, prin sudură. Configuraţiile acestor structuri pot

fi plane sau spaţiale, mai simple sau mai complexe, formate din

câteva bare sau având mii de componente. Calculul lor se poate face

foarte eficient cu metoda deplasărilor, formulată pentru structuri din

bare drepte. Această metodă prezintă interes metodologic şi didactic

deoarece, pentru prima dată, la formularea ei s-a introdus conceptul

de matrice de rigiditate, care s-a dovedit deosebit de rodnic. De

asemenea, această metodă este “precursoarea” metodei elementelor

finite, cea mai utilizată metodă de calcul ingineresc, în prezent, care,

este şi ea considerată frecvent, ca o metodă a deplasărilor.

2.1. Formularea metodei

În metoda deplasărilor, necunoscute se consideră deplasările

nodurilor structurii. Formularea matriceală a metodei duce la

utilizarea unor notaţii simple şi unitare, la o mai clară sistematizare şi

etapizare a calculelor şi – mai ales – la simplitatea elaborării unui

program şi a implementării lui pe calculator. Metoda se utilizează,

exclusiv, pe calculator, cu programe corespunzătoare, datorită

volumului imens al calculelor.

Structura se consideră schematizată ca o reţea spaţială (în cazuri

particulare, reţeaua poate fi plană) de bare drepte legate între ele în

noduri. Configuraţia geometrică a structurii se defineşte prin valorile

coordonatelor nodurilor în raport cu un sistem de referinţă global,

cartezian, drept - reper global - ataşat structurii. Barele structurii se

definesc prin nodurile de la capete. Fiecare nod poate avea maximum

63

şase componente ale deplasării: trei componente ale deplasării

lineare şi trei rotiri, definite în raport cu reperul global, al structurii.

Direcţiile după care se pot produce deplasări se numesc grade de

libertate geometrică (degrees of freedom – DOF). Pentru unele

noduri, una sau mai multe componente ale deplasării pot fi

împiedicate, sau blocate (adică au valori nule), dacă nodul respectiv

este reazem. În unele noduri se pot introduce deplasări cu valori

impuse, cunoscute. Observaţie: În teoria elasticităţii se definesc doar componentele, u, v, w, ale

deplasării liniare. Introducerea şi a rotirilor drept componente ale deplasării, este o “generalizare inginerească”, a conceptelor, riguroase, ale teoriei elasticităţii, din

considerente privind unele facilităţi de calcul. Ansamblul deplasărilor liniare şi

rotirilor poartă denumirea de “deplasări generalizate”. De asemenea, eforturile

(forţe şi momente) din secţiunile barelor se numesc “forţe generalizate”.

Sarcinile concentrate, forţe şi momente, se consideră aplicate

numai în noduri. Această restricţie este doar metodologică, pentru o

formulare mai simplă şi mai accesibilă a metodei. Programele de

calcul au implementate proceduri care permit definirea a două

categorii de sarcini:

- sarcini aplicate structurii, în noduri, care pot fi forţe şi

momente concentrate, definite în raport cu reperul global OXYZ;

- sarcini aplicate fiecărei bare, între nodurile de la capete, care

pot fi de orice tip, concentrate sau distribuite, definite în raport cu un

reper local oxoyozo, ataşat fiecărei bare, ca în figura 2.1.

Figura 2.1

64

Pentru un nod oarecare, i, se definesc vectorul deplasărilor

nodale, {ui} şi vectorul sarcinilor nodale, {Ri}, sub forma (2.1), care,

în cazul cel mai general, au câte 6 componente.

Numărul total

al deplasărilor

necunoscute pentru

întreaga structură,

reprezintă numărul

total al gradelor de

libertate geometrică

ale structurii.

O bară oarecare, definită de nodurile n1 şi n2, având lungimea ℓ,

se consideră raportată la un sistem de coordonate local, x0y0z0, care

conţine direcţiile principale de inerţie ale secţiunii barei, ca în figura

2.2, în care s-au figurat sensurile pozitive ale deplasărilor şi

eforturilor la cele două capete ale barei. În figura 2.2 s-au scris şi

notaţiile obişnuite din rezistenţa materialelor pentru componentele

vectorilor {u} şi {R}. De obicei, pentru fiecare bară se utilizează şi

un nod n3, pentru a defini direcţia planului x0y0 în spaţiu (care este

plan de inerţie principal al secţiunii barei respective).

a b

Figura 2.2

Cele 12 componente ale deplasărilor capetelor barei sunt

independente, dar din cele 12 eforturi care acţionează asupra barei,

numai şase sunt independente, deoarece trebuie satisfăcute ecuaţiile

de echilibru, în număr de şase:

N1 + N2 = 0 ; 0TT21 yy ; 0TT

21 zz ; 0MM21 xx ;

(2.2)

0TMM121 ziyiy ; 0TMM

121 yiziz .

6

5

4

3

2

1

i

u

u

u

u

u

u

u ,

6

5

4

3

2

1

i

R

R

R

R

R

R

R . (2.1)

65

2.2. Matricea de rigiditate a barei drepte

Între deplasări şi eforturi există relaţiile de dependenţă,

cunoscute din rezistenţa materialelor. Pentru bara considerată, aceste

relaţii pot fi scrise condensat sub forma

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

z

y

r

2

y

3

y

2

z

3

z

z

2

zz

y

2

yy

rr

2

y

3

y

2

y

3

y

2

z

3

z

2

z

3

z

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

EI4

0EI4

C

00GI

I

0EI6

0EI12

R

EI6000

EI12T

00000EA

E

EI2000

EI60

EI4M

0EI2

0EI6

000EI4

I

00GI

00000GI

S

0EI6

0EI12

000EI6

0EI12

EI6000

EI120

EI6000

EI12

00000EA

00000EA

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

(2.3)

sau şi mai simplu

{R} = [k]{u}, (2.4)

în care [k] este matricea de rigiditate a barei.

Proprietăţile matricei de rigiditate a barei drepte.

- Rigiditatea unei bare drepte este definită de o matrice pătrată,

[k], care leagă cele 12 eforturi, {R}, de cele 12 deplasări, {u},

corespunzătoare celor 12 grade de libertate geometrică ale celor două

noduri de la capetele barei.

Observaţie: Aceasta este situaţia cea mai generală. În practică se

întâlnesc numeroase cazuri particulare, ca, de exemplu, cele în care

barele sunt articulate şi deci nu pot prelua decât eforturi axiale şi /

sau structura este plană. În aceste cazuri numărul componentelor

vectorilor {R} şi {u} precum şi dimensiunile matricei [k] vor fi mai

mici decât 12. Numărul minim al componentelor vectorilor {R} şi

{u} este 1, iar dimensiunea minimă a matricei [k] este 2x2.

66

Tabelul 2.1

i Gradul de libertate pentru care

ui = 1

la capătul barei, pentru

X0 = 0

i

Gradul de libertate pentru care

ui = 1 la capătul barei, pentru

X0 = ℓ

i =1

i = 7

i =2

i = 8

i =3

i = 9

i =4

i =10

i =5

i =11

i =6

i =12

- Un element oarecare, kij , al matricei de rigiditate, [k], de pe

linia i şi coloana j, are următoarea semnificaţie: este efortul Ri,

produs de o deplasare ui = 1, celelalte deplasări fiind nule. Expresiile

analitice de calcul ale elementelor matricei [k] se stabilesc cu

67

metodele clasice pentru calculul deplasărilor barelor din rezistenţa

materialelor, ca, de exemplu, metoda „parametrilor iniţiali”, sau o

metodă energetică.

- Pentru a defini mai clar semnificaţiile elementelor kij ale

matricei de rigiditate a barei, în tabelul 2.1 se prezintă schemele de

solicitare ale barei, pentru cele 12 componente, ui = 1, ale deplasării

şi cele 12 componente, Ri , ale eforturilor produse în aceste condiţii.

- Matricea [k] este simetrică, adică kij = kji, ca urmare a teoremei

reciprocităţii forţelor.

- De asemenea, matricea [k] este singulară, rangul ei fiind - în

cazul cel mai general - 6, deoarece bara poate avea şase deplasări de

corp rigid, acestea fiind fără efect asupra valorilor eforturilor. Deci

matricea nu poate fi inversată, aceasta şi datorită faptului că ea

„leagă” 12 deplasări independente de 12 eforturi, între care există

cele şase relaţii (2.2), adică numai şase eforturi sunt independente.

Un alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii

(2.4), care nu poate fi rezolvat, fiind nedeterminat, ceea ce presupune

că o singură bară nu poate fi rezolvată (cel puţin în contextul

prezent).

- Matricea [k] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, kii

, de pe diagonala principală sunt „strict pozitive”, adică ele nu pot fi

niciodată negative sau nule. Această proprietate este o consecinţă a

faptului că deplasarea ui = 1 produce totdeauna un efort Ri , cu

acelaşi sens şi pe aceeaşi direcţie cu ui.

Transformarea matricei de rigiditate.

Relaţia (2.4) a fost scrisă pentru o bară oarecare a structurii,

raportată la reperul local oxoyozo. Dacă structura este raportată la

reperul global OXYZ, atunci între cele două sisteme de coordonate

există relaţiile

Z

Y

X

lll

lll

lll

z

y

x

333231

232221

131211

0

0

0

, sau {x0} = [L1] {X}, (2.5)

în care [L1], este matricea cosinusurilor directoare ale direcţiilor oxo,

oyo, ozo, în raport cu direcţiile OX, OY, OZ (fig. 2.3), adică l11= cos

α1, l12= cos β1, l13= cos γ1, ş.a.m.d.

68

Dacă se are în vedere că ambele sisteme de

coordonate sunt ortogonale, rezultă că există

relaţia [L1]T [L1] = [I], în care, [I], este

matricea unitate de ordinul trei.

Pentru întreaga bară, vectorii {R} şi {u} şi

matricea [k] au câte 12 componente, deci

trebuie definită o „matricea de transformare”,

[L], de 12x12

în care [0] este matricea zero de ordinul trei.

Calculul deplasărilor şi eforturilor în sistemul local de

coordonate (mărimile definite în sistemul local vor avea indicele 0)

în funcţie de valorile lor din sistemul global, se face cu relaţiile

{u0} = [L]{u}, {R0} = [L]{R}. (2.7)

Ca urmare a notaţiei adoptate, relaţia (2.4) trebuie scrisă sub

forma {R0} = [k0]{u0}, care devine, înlocuind relaţiile de

transformare (2.7),

[L]{R} = [k0] [L] {u}. (2.8)

Deoarece [L]-1

= [L]T, însemnă că relaţia (2.8) devine

{R} = [L]T [k0] [L] {u}, (2.9)

în care se notează

[k] = [L]T [k0] [L], (2.10)

relaţie ce permite calculul matricei [k] în sistemul de coordonate

global, funcţie de matricea [k0], din sistemul local, operaţie ce se

numeşte uzual “rotirea matricei de rigiditate” sau “transformarea

matricei de rigiditate”. Acesta este efectul rotirii sistemului de

coordonate asupra matricei de rigiditate a barei. Translaţiile nu au

nici un efect asupra matricei [k]. În acest mod, se obţine o relaţie

similară cu (2.4), pentru bara raportată la reperul global, al structurii.

Observaţie: Nu este necesar să se introducă notaţii speciale

pentru mărimile din cele două sisteme de coordonate, deoarece

rezultă din context la care sistem se face referire la un moment dat.

Figura 2.3

1

1

1

1

L000

0L00

00L0

000L

L , (2.6)

69

2.3. Asamblarea. Matricea de rigiditate a structurii

Pentru calculul întregii structurii, care se consideră că are nn

noduri şi nb bare, metoda deplasărilor presupune că se poate scrie o

relaţie similară cu (2.4), pentru întreaga structură, raportată la un

reper global OXYZ şi anume

{R} = [K]{u}, (2.11)

în care: [K] este matricea de rigiditate a structurii, {R} – vectorul

sarcinilor din noduri (nodale), {u} – vectorul deplasărilor nodurilor

(nodale), ale structurii.

Matricea de rigiditate, [K], se obţine prin „expandarea” şi

însumarea algebrică a matricelor de rigiditate ale barelor (calculate în

raport cu reperul global), pe nodurile şi gradele de libertate ale

acestora, definite pentru întreaga structură. Această operaţie poartă

denumirea de asamblare.

În figura 2.4 se prezintă modul în care matricea de rigiditate,

[k], a unei bare, definită între nodurile i şi j, poate fi descompusă în

patru submatrice [kii], [kij], [kji], [kjj], corespunzătore gradelor de

libertate geometrică (DOF) ale nodurilor de la capetele barei. Aceste

matrice sunt pătrate ( [kii], [kjj] ) sau dreptunghiulare ( [kij] = [kji]T –

când numerele DOF-urilor nodurilor de la capetele barei nu sunt

egale) şi au dimensiunile egale cu numerele DOF ale nodurilor la

care se referă, adică între 1 şi 6.

Pentru obţinerea matricei de rigiditate [K] a structurii se

procedează astfel:

- se numerotează, succesiv, toate cele nn noduri ale structurii;

Figura 2.4

70

- se determină numărul N, al DOF-urilor pentru întreaga

structură, care este suma DOF ale tuturor nodurilor (de regulă, toate

nodurile structurii au aceleaşi DOF, dar este posibil ca acestea să fie

diferite, pentru diverse noduri);

- se defineşte matricea [K], pătrată, cu dimensiunile NxN,

considerându-se că succesiunea coloanelor şi a liniilor este cea a

nodurilor, iar pentru fiecare nod este cea a DOF, ca în vectorii (2.1),

deoarece matricea este simetrică;

- matricea [K] se iniţializează

(se “umple”) cu valoarea 0;

- se “expandează” matricea de

rigiditate a fiecărei bare (care a fost

calculată în raport cu reperul

global), ca în schema din figura 2.4,

însumându-se algebric valorile

elementelor submatricelor cu

valorile aflate deja în matricea

[K],

în locaţiile corespunzătore fiecărui DOF;

- procedura se continuă până când se procesează matricele de

rigiditate ale tuturor celor nb bare ale structurii.

În figura 2.5 se prezintă, ca exemplu, o structură relativ simplă,

cu 5 noduri (nn = 5) şi 7 bare (nb = 7), a cărei matrice de rigiditate are

configuraţia din figura 2.6. În această figură trebuie remarcat modul

Figura 2.5

71

Figura 2.6

în care s-au “expandat” submatricele barelor în matricea [K] a

structurii. Notaţia folosită pentru o submatrice [kbij] are următoarea

semnificaţie: b este numărul barei, iar i şi j sunt numerele nodurilor

de la capetele barei respective. Dacă într-o locaţie se află mai multe

submatrice, aceasta înseamnă că elementele lor se însumează

algebric, după aceleaşi DOF-uri, corespunzătore nodurilor la care se

referă.

Proprietăţile matricei de rigiditate, [K], a structurii sunt aceleaşi

ca ale matricei de rigiditate a unei bare, la care se mai adaugă şi

altele câteva.

- Matricea este pătrată, cu dimensiunile NxN, în care N este

numărul total al DOF-urilor nodurilor întregii structuri.

- Un element oarecare, kij , al matricei de rigiditate, [K], de pe

linia i şi coloana j, are următoarea semnificaţie: este efortul Ri,

produs de o deplasare ui = 1, celelalte deplasări ale structurii fiind

nule.

- Matricea [K] este simetrică, adică kij = kji .

- Matricea este singulară, gradul de nedeterminare fiind egal cu

numărul deplasărilor de corp rigid pe care le poate avea structura în

ansamblu (în cazul cel mai general 6, deoarece structura poate avea

şase deplasări de corp rigid). Deci matricea nu poate fi inversată. Un

alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii

(2.11), care, în aceste condiţii, nu poate fi rezolvat, fiind

nedeterminat.

- Matricea [K] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, kii,

de pe diagonala principală sunt „strict pozitive”, adică ele nu pot fi

niciodată negative sau nule.

- Matricea este rară, adică un număr relativ mare de elemente

„rămân” nule (în mod obişnuit între 60 şi 85 % din totalul

elementelor matricei).

- Matricea este „bandă”, adică elementele nenule sunt grupate în

jurul diagonalei principale. Observaţie: Ultimele două proprietăţi ale matricei [K] nu sunt evidente în

figura 2.6 deoarece structura căreia în corespunde (fig. 2.5) are un număr prea mic

de noduri.

Componentele vectorului sarcinilor nodale, {R} au aceeaşi

succesiune ca şi elementele unei coloane a matricei de rigiditate a

72

structurii, [K]. Pentru structura din figura 2.5, componenta R3

2 = -P,

este plasată în locaţia corespunzătore DOF=2, a nodului 3 (relaţia

(2.1)), aşa cum rezultă din figura 2.5. Celelalte componente ale

vectorului {R} sunt nule.

2.4. Introducerea condiţiilor de rezemare

Pentru ca sistemul de ecuaţii (2.11) să poată fi rezolvat, trebuie

ca structura să nu aibă deplasări de corp rigid (translaţii sau rotiri) în

spaţiu. În acest scop trebuie introduse condiţiile în “legături” (de

rezemare) ale structurii, care înseamnă, de fapt, deplasări cunoscute

(nule sau de valoare dată), într-un număr oarecare de noduri. Aceste

legături pot fi oricâte, structura putând fi static determinată sau static

nedeterminată, adică metoda nu face o astfel de distincţie. Prin

urmare, în sistemul de ecuaţii (2.11) se elimină liniile şi coloanele

corespunzătoare deplasărilor cunoscute (se are în vedere că fiecare

linie corespunde unui anumit DOF, al unui anumit nod), obţinându-

se un sistem de ecuaţii algebrice compatibil şi determinat, care se

poate rezolva prin diverse metode numerice.

2.5. Rezolvarea sistemului de ecuaţii

Alegerea metodei de rezolvare a sistemului (2.11) trebuie să aibă

în vedere cel puţin următoarele aspecte:

- Într-un program de calcul destinat analizei unei structuri din

bare drepte folosind metoda deplasărilor, rezolvarea sistemului (2.11)

este etapa cea mai importantă sub aspectul volumului de calcul, al

preciziei rezultatelor obţinute şi al performanţelor programului, în

ansamblu.

- Numărul de ecuaţii al sistemului poate fi foarte mare, adică de

ordinul miilor sau sutelor de mii, ceea ce înseamnă că, în general,

sistemul nu poate fi rezolvat în memoria de lucru a calculatorului ci

trebuie “partiţionat” adică descompus în blocuri sau subsisteme.

- Sistemul este simetric, bandă (cu lăţimea variabilă a benzii) şi

rar.

Programele care se utilizează în inginerie au implementate

module pentru rezolvarea sistemului (2.11) bazate pe următoarele

metode şi algoritmi (detalii în manualele algebră şi metode numerice de

73

calcul): metoda orizontului (sky – line), metoda matricelor rare

(sparse), metode iterative.

Metodele enumerate conţin tehnici de rearanjare a ecuaţiilor, de

eliminare, triunghiularizare Gauss sau descompunere. În algoritmii

implementaţi în programe, foarte importante sunt procedurile care

asigură neefectuarea operaţiilor aritmetice cu zero, deoarece acestea

sunt „majoritare” şi pot irosi efortul de calcul. Metodele iterative sunt

destinate rezolvării sistemelor cu peste 200000 de ecuaţii şi au scopul

asigurării, în aceste condiţii, a unei precizii bune a soluţiei.

2.6. Rezultatele calculului

- Prin rezolvarea sistemului (2.11) se obţin valorile deplasărilor

nodale, {u}, în raport cu reperul global (al structurii).

- În ecuaţiile din sistemul {R} = [K]{u}, corespunzătoare

gradelor de libertate blocate ({u}=0) sau cu deplasări cunoscute

(date), se înlocuiesc valorile deplasărilor, {u} şi se obţin valorile,

{R}, ale reacţiunilor respective, în raport cu reperul global. Observaţie. O linie din sistemul {R} = [K]{u} este ecuaţia de echilibru a

forţelor generalizate din nodul şi pe direcţia DOF-ului respectiv.

- Cu relaţiile (2.7) se pot determina deplasările nodale, {u0} şi

eforturile nodale {R0}, în raport cu reperul local (al barei).

- Cu relaţia {R0} = [k0]{u0} se pot calcula eforturile care

acţionează la capetele fiecărei bare (fig. 2.2.b) cu care se pot calcula

(folosind formulele şi metodologiile pentru solicitări simple şi

compuse), tensiunile produse de solicitările simple din bare,

tensiunile echivalente maxime şi deplasările din fiecare secţiune a

fiecărei bare.

- De asemenea, se oferă informaţii privind greutatea totală a

structurii, poziţia centrului de greutate, condiţiile în care s-a rezolvat

sistemul de ecuaţii etc.

2.7. Etapele principale ale calculului unei structuri din bare

drepte cu metoda deplasărilor

Preprocesarea.

- Se elaborează modelul „conceptual” de calcul, adică se

stabilesc care sunt barele care se iau în considerare (şi care nu),

condiţiile de încărcare (eventuale variante) şi condiţiile de rezemare.

74

- Se numerotează nodurile şi se determină coordonatele lor în

raport cu un reper global al structurii, convenabil ales.

- Se numerotează barele şi se defineşte axa fiecărei bare, prin

numerele nodurilor de la capete. Folosind un alt nod (care să nu fie

pe direcţia axei barei) se defineşte direcţia principală de inerţie oyo a

secţiunii.

- Se definesc formele geometrice şi dimensiunile secţiunilor

barelor şi se calculează ariile şi momentele de inerţie principale,

direcţiile principale de inerţie şi momentul de inerţie polar (sau cel

convenţional la răsucire).

- Se definesc sarcinile aplicate în nodurile structurii şi sarcinile

aplicate barelor.

- Se definesc constantele materialului: greutatea volumică γ,

modulele de elasticitate E şi G, coeficientul de contracţie transversală

υ, coeficientul de dilatare termică lineară α etc.

- Se definesc condiţiile de rezemare (legături) ale structurii.

Aceste operaţii se execută de utilizator, cu sau fără ajutorul

calculatorului şi au ca rezultat obţinerea unui fişier „de intrare” care

conţine toate informaţiile care definesc modelul de calcul al

structurii, în forma cerută de programul care se utilizează.

Calculatorul citeşte fişierul de intrare şi face o serie de verificări

ale acestuia (dacă se găsesc greşeli, se scriu mesaje de atenţionare).

De asemenea, se realizează un desen în spaţiu al modelului, cu

reprezentarea încărcărilor şi condiţiilor de rezemare, care permite alte

verificări ale modelului.

Procesarea.

Prin comenzi specifice se activează procesul propriu-zis de

calcul, în varianta aleasă de utilizator (programul are opţiuni

corespunzătoare) parcurgându-se, de obicei, următoarele etape:

- Se calculează matricele de rigiditate, [k0], ale barelor în raport

cu reperul local (vezi relaţia (2.3)).

- Se calculează matricele de rigiditate ale barelor, [k], în raport

cu reperul global, cu relaţia (2.10).

- Se determină matricea de rigiditate, [K], a structurii, prin

asamblarea matricelor de rigiditate ale barelor.

- Se formează vectorul, {R}, al sarcinilor nodale ale structurii.

75

- Se formează sistemul de ecuaţii (2.11) al structurii.

- În sistemul (2.11) se introduc condiţiile de rezemare, prin

eliminarea liniilor şi coloanelor corespunzătoare gradelor de libertate

geometrică blocate (u = 0) sau cu deplasări impuse (cunoscute).

- Se rezolvă sistemul de ecuaţii al structurii, obţinându-se

valorile deplasărilor nodale, {u}.

- Se scriu, într-o formă accesibilă toate informaţiile privind

modelul de calcul şi rezultatele obţinute.

Postprocesarea.

Volumul informaţiilor disponibile în urma calculului este foarte

mare, motiv pentru care programul oferă utilizatorului posibilitatea

de a alege ce informaţii doreşte să i se „livreze” şi sub ce formă. În

programe sunt disponibile „meniuri” cu care se pot alege variantele

postprocesării. Se au în vedere două categorii de aspecte:

- Care sunt informaţiile dorite: deplasări, eforturi, tensiuni,

reacţiuni, deformaţii specifice, tensiuni echivalente etc. Aceste

mărimi pot fi definite în raport cu reperul global (al structurii), în

raport cu reperul local (al barei), sau, pentru unele dintre ele,

utilizatorul poate alege, varianta dorită.

- Sub ce formă să fie „editate” rezultatele solicitate: tabele,

figuri, reprezentări grafice, animaţii, valori maxime etc, fiecare din

opţiuni având diverse variante disponibile.

2.8. Concluzii

- Metoda deplasărilor pentru calculul structurilor din bare drepte

este foarte eficientă în inginerie, motiv pentru care este folosită pe

scară foarte largă, mai ales datorită simplităţii sale şi a utilizării

calculatoarelor, fiind implementată în sisteme de „proiectare

asistată”.

- Din considerente didactice metoda a fost prezentată în varianta

sa de bază. Ea poate fi, relativ simplu, extinsă atât pentru structuri

care conţin şi bare curbe, cât şi pentru calcule de stabilitate, dinamice

(în diverse variante) sau pentru probleme nelineare.

- Metoda este „mai exactă” ca altele, ca, de exemplu, metoda

elementelor finite. Greşit se consideră, de către unii utilizatori, ca

fiind exactă. Metoda, în formularea sa de bază, conţine ipoteza de

76

bară, care este o simplificare a realităţii. În consecinţă soluţiile au un

anumit grad de aproximare, de care trebuie să se ţină seama în

practică. Ipoteza de bară (şi ipoteza secţiunii plane a lui Bernoulli),

presupune că lungimea fiecărei bare este mult mai mare decât

dimensiunile secţiunii şi ca urmare, structura se consideră definită

prin axele barelor, iar joncţiunile barelor (nodurile structurii) ca

puncte geometrice (fără dimensiuni). Prin urmare, metoda nu poate

oferi informaţii satisfăcătoare privind valorile tensiunilor în zonele

joncţiunilor structurii, ci numai la distanţe suficient de mari de

acestea. Valorile mărimilor care definesc comportarea „globală” a

structurii se obţin cu o precizie „inginerească” bună. Aspectele

„locale” trebuie analizate ulterior, cu modele şi metode de calcul

adecvate, ca, de exemplu, metoda elementelor finite.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Hadăr, A., Stoicescu, C.,

Méthode des éléments finis- Cours et applications, Lytographie de

l'Université "Politehnica" de Bucarest, 1993.

2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

3. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,

Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,

Editura BREN, Bucureşti, 1999.

4. Hadăr, A., Marin, C., Petre, C., Voicu, A., Metode numerice

în inginerie, Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2005.

5. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,

Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura

Printech, Bucureşti, 2007.

6. Marin, C., Hadăr, A., Fl. Popa, L. Albu, Modelarea cu

elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei şi Editura

AGIR, Bucureşti, 2002.

7. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

77

3.

METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI

APROXIMATIVE

ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR

3.1. Generalităţi

Scopul primordial al activităţilor inginereşti este realizarea de

maşini, aparate, instalaţii etc. În istoria ingineriei sunt consemnate

numeroase situaţii în care s-au creat maşini noi fără să existe o bază

teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este

motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt

elucidate toate aspectele teoretice şi de calcul (fenomenele implicate

sunt foarte diferite şi complexe: procese chimice de ardere,

transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea,

zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar

perfecţionări care duc la reducerea consumului de combustibil sau la

creşterea performanţelor motoarelor.

Pe măsură ce s-au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia,

mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii şi relaţii de calcul

pentru unele probleme inginereşti, din ce în ce mai complexe. Dar

inginerii au înţeles că unele fenomene şi procese sunt atât de

complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar

elaborarea unor metode şi relaţii de calcul exacte, uneori, este

imposibilă. Pentru a ieşi din impas s-au impus în practică teorii,

metode şi relaţii de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau

mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul

aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu

discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfăşoară în

condiţiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de 5...30 %

fiind acceptabile pentru activităţile curente.

Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus,

în ultimele decenii, la elaborarea şi perfecţionarea unor metode

78

numerice energetice şi aproximative de calcul, care s-au impus în

toate domeniile inginereşti prin realizări spectaculoase ca, de

exemplu, cucerirea spaţiului cosmic. Acest proces de ansamblu se

regăseşte şi în rezistenţa materialelor. De fapt, calculele de rezistenţă

sunt în esenţă aproximative, dintr-o multitudine de considerente,

metoda de calcul fiind doar o verigă a unui proces complex creativ.

În rezistenţa materialelor se folosesc, chiar de la naşterea ei ca ştiinţă,

metode energetice şi aproximative de calcul, dintre care, cele mai

importante, se prezintă în acest capitol. Trebuie făcută precizarea că,

pe de o parte, unele metodele energetice pot fi aproximative, iar pe

de altă parte, că unele metode aproximative nu sunt energetice (sau

nu sunt formulate în termeni energetici). Aceste metode au

numeroase variante, ele constituind o „familie consistentă” şi un

domeniu distinct al ingineriei. Metodele numerice – aproximative –

de calcul au avantajul că sunt mult mai generale decât cele analitice

şi se pretează foarte bine pentru a fi implementate pe calculatoare. Observaţie: Este relativ dificil să se facă o distincţie categorică între metode

analitice şi numerice de calcul. Frecvent, cu relaţii analitice se elaborează programe

de calcul numeric, sau un algoritm numeric, când se foloseşte pentru un program

de calculator, trebuie să aibă o formă „analitică”, necesară procesului de

programare, ca programul să fie cât mai general şi cât mai uşor de elaborat.

Metodă energetică de calcul se numeşte, generic, cea care

presupune utilizarea, sub o formă oarecare, concepte, legi sau

formule de calcul privind diversele forme ale energiei mecanice:

cinetică, potenţială, de deformaţie, totală, complementară etc.

Practica inginerească a dovedit că aceste metode sunt simple,

generale şi eficiente pentru numeroase clase de probleme de calcul.

Explicaţia constă în faptul că energia este, ca şi materia, o „entitate”

fundamentală a universului, omniprezentă, în toate procesele din

natură fiind implicate aspecte energetice, guvernate de legi generale

şi relativ simple. Cele mai importante teoreme generale privind

procesele energetice în sistemele deformabile sunt: a reciprocităţii

lucrului mecanic, a reciprocităţii deplasărilor şi a reciprocităţii

forţelor.

Principiul metodelor variaţionale de calcul constă în faptul că

soluţia problemei se caută sub forma analitică (de regulă), a unei

funcţii oarecare

79

v = f (a1, a2, a3, ..., x, y, z), (3.1)

în care: v este funcţia căutată (de exemplu, relaţia dintre deplasări sau

tensiuni şi variabilele independente x, y, z);

- a1, a2, a3, ... parametri arbitrari, care se aleg - se variază - astfel

încât funcţia v să se apropie (adică să aproximeze) cât mai “exact”

soluţia exactă (necunoscută) a problemei.

Se va prezenta numai problema variaţională unidimensională,

aplicată la calculul barelor, adică se consideră că v depinde numai de

x (variabila definită în lungul axei barei). Acest fapt simplifică

explicaţiile, dar nu diminuează generalitatea metodelor prezentate.

Probleme în două dimensiuni (adică v = v (x,y)) sunt cele plane şi ale

plăcilor subţiri.

Există o multitudine de metode variaţionale, diferenţiate de

modul în care se aleg parametrii a1, a2, a3, …, în funcţie de specificul

problemei care se rezolvă.

Cea mai importantă, cea mai veche şi cea mai utilizată metodă

variaţională este cea energetică (a lui Ritz) în care parametrii a1, a2,

a3, ..., se determină din condiţia ca “energia potenţială totală” a

sistemului să fie minimă. Ea este relativ sigură (este o metodă

aproximativă) în ceea ce priveşte precizia rezultatului obţinut.

Metoda implică stabilirea expresiei energiei potenţiale totale a

sistemului, ceea ce nu este totdeauna uşor. Celelalte metode

aproximative (metoda Galerkin, metoda reziduului ponderat, metoda

abaterii pătratice minime, metoda elementelor finite, metoda

diferenţelor finite etc) sunt, de fapt, metode de integrare (variaţionale

sau de analiză infinitezimală) aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale.

3.2. Teorema energiei potenţiale totale minime

Pentru un sistem (corp, structură) elastic în echilibru principiul

deplasărilor virtuale se formulează astfel: condiţia necesară şi

suficientă pentru ca un sistem elastic să fie în echilibru este ca lucrul

mecanic al forţelor exterioare, Pi, (sarcinilor) pe deplasările virtuale

(mici), δsi, compatibile cu legăturile, să fie egal cu variaţia energiei

interne, δW, (de deformaţie), pentru aceleaşi deplasări.

Se presupune că pentru sistemul elastic considerat există o

funcţie, U, a cărei variaţie, δU, pentru deplasările virtuale, δsi, este

egală şi opusă ca semn cu lucrul mecanic, pe aceleaşi deplasări, al

80

forţelor exterioare, Pi , care îşi păstrează valoarea constantă. Funcţia

U se numeşte potenţialul forţelor exterioare. Se poate scrie

.sPU i

n

1i

i

(3.2)

Se presupune că variaţia lucrului mecanic al forţelor exterioare

se transformă complet în energie de deformaţie a sistemului, adică

cele două valori sunt egale. Aceeaşi valoare o are şi lucrul mecanic

efectuat de sistemul elastic după încetarea acţiunii sarcinilor. Un

astfel de proces de deformare se numeşte reversibil şi pentru el

δW + δU = 0 sau δ (W + U) = 0. (3.3)

În concluzie, pentru un proces de deformare reversibil, variaţia

energiei de deformaţie în urma încărcării şi descărcării complete a

sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru procesele

reversibile, valoarea energiei de deformaţie nu depinde de modul în

care sunt aplicate sarcinile asupra sistemului, ci numai de valoarea

lor finală.

În relaţia (3.3) suma energiei de deformaţie W şi a lucrului

mecanic al sarcinilor U se numeşte energia potenţială totală a

sistemului şi se notează Π = W + U, iar condiţia (3.3) devine

δ Π = 0. (3.4)

Consecinţa relaţiei (3.4) este că dacă, pentru un sistem elastic

reversibil aflat în echilibru, variaţia funcţiei Π în cazul unei

modificări foarte mici a poziţiei şi / sau formei acestuia este egală cu

zero, înseamnă că funcţia Π are una din valorile extreme. Dacă Π are

valoare maximă, poziţia de echilibru este instabilă. Dacă Π are

valoare minimă, poziţia de echilibru este stabilă, aceasta fiind

teorema energiei potenţiale totale minime.

Criteriul echilibrului stabil al sistemelor elastice reversibile al

valorii minime a energiei potenţiale totale, este foarte general şi

permite rezolvarea unor vaste categorii de probleme ale rezistenţei

materialelor. Aceasta nu însemnă că soluţiile obţinute cu metode

energetice sunt totdeauna mai simple decât cele obişnuite. În

numeroase cazuri, metodele curente de rezolvare, bazate pe condiţiile

de echilibru static, duc mai repede la rezultat decât o metodă

variaţională energetică. Totuşi, pentru probleme mai complicate ale

mecanicii solidului deformabil (şi ale rezistenţei materialelor),

81

metodele energetice nu numai că sunt mai avantajoase, dar pot fi

chiar de neînlocuit.

Metodele energetice au avantaje notabile prin aceea că permit

elaborarea unor algoritmi şi metodologii aproximative, relativ simple

şi generale, pentru numeroase categorii de probleme inginereşti.

3.3. Metoda Ritz

În esenţă, metoda Ritz constă în determinarea valorii extreme a

unei funcţionale. Fie integrala definită

b

a.dx ) v",v',v,x( (3.5)

Se cere să se găsească o funcţie v = v(x) care să satisfacă

condiţiile la limită, iar funcţionala Φ să aibă o valoare extremă. În

acest scop se alege funcţia necunoscută v(x) de forma (relaţia (3.1))

v = v (a1, a2, a3, ..., an, x). (3.6)

Această funcţie trebuie să satisfacă condiţiile la limită date,

pentru orice valori ale parametrilor arbitrari a1, a2, a3, ..., an şi să fie

cât mai apropiată de funcţia reală v(x), deocamdată necunoscută, însă

anticipată, într-o oarecare măsură, pe baza informaţiilor privind

esenţa fizică a problemei.

Înlocuind valoarea funcţiei v(x) alese sub forma (3.6) şi a

derivatelor sale în (3.5), se obţine

b

an321 ,dx ) x,a ..., ,a ,a ,a( (3.7)

care, după integrarea în raport cu x, devine

Φ = Φ (a1, a2, a3, ..., an). (3.8)

Valorile constantelor a1, a2, a3, ..., an se aleg astfel ca funcţia Φ să

aibă o valoare extremă. În acest scop trebuie ca

.0a

.....;0a

;0a

;0a n321

(3.10)

Se obţin astfel n ecuaţii, din care necunoscutele a1, a2, a3, ..., an,

pot fi determinate. Funcţia aleasă, v, (3.6), va da funcţionalei Φ, cu o

oarecare aproximaţie, o valoare extremă. Gradul de aproximare este

determinat, în acest caz, de numărul de parametri an aleşi şi de forma

aleasă pentru funcţia v(x).

82

Exemplu.

Să se determine săgeata şi tensiunea maximă pentru bara din

figura 3.1, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată cu o

sarcină uniform distribuită. Observaţie: Bara este raportată la

sistemul uzual de coordonate oxyz, cu

axa ox în lungul barei şi cu axa oz în

jos. Ar trebui, conform uzanţei, ca

deplasarea după direcţia oz să fie notată

cu w. Dar pentru a nu se face confuzii

cu energia de deformaţie, notată cu W, se va utiliza notaţia v pentru deplasarea

după oz.

Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q,

energia potenţială totală are expresia

.dxqv"vEI2

1 U W 2

y (3.11)

Funcţia v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o

valoare extremă. Se ştie din capitolele anterioare că funcţia v este, de

fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Aşa cum s-a precizat, aici se va

utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o

primă aproximaţie, funcţia

v = a (1 – cos πx / 2ℓ). (3.12)

Pentru orice valoare a parametrului a, această funcţie satisface

condiţiile geometrice la limită şi anume:pentru x = 0→v =0 şi v’ = 0.

Înlocuind în (3.11) funcţia (3.12) se obţine

00

22

4

y dx2

xcos1qadx

2

xcosa

2EI

2

1,

în care cele două integrale au valorile

0 0

2 2dx

2

xcos;

2dx

2

xcos .

Prin urmare, expresia energiei potenţiale totale este

21qa

22aEI

2

14

2

y

.

Funcţia Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci

Figura 3.1

83

,02

1q22

aEIa

4

y

din care rezultă

.2

132

.EI

qa

4

y

4

Ecuaţia axei barei deformate este

.2

xcos1

EI

q21

32v

y

4

4

Valoarea săgeţii maxime este:

- calculată prin integrarea ecuaţiei obişnuite a axei barei

vmax = 0.125 qℓ4 /EIy;

- calculată prin metoda Ritz vmax = 0.11937 qℓ4 /EIy.

Comparând cele două valori se constată o eroare de 4.5 % a

metodei Ritz faţă de soluţia „exactă”. Observaţie: De fapt şi soluţia exactă are un anumit grad de aproximare,

deoarece ecuaţia diferenţială v” = - Miy/EIy s-a obţinut în ipoteza că v’2 este

neglijabil comparativ cu 1 (v. cap. 4).

Este util să se compare şi valorile tensiunilor maxime:

- pentru soluţia obişnuită ζmax = 0.5 qℓ2/Wy;

- pentru soluţia Ritz

.W/q29454.0,0xpentru

,2

xcos

2a

W

EI

W

"vEI

W

M

y

2

max

2

y

y

y

y

y

iy

Comparând cele două valori eroarea este de 41%.

Generalizând rezultatele obţinute, se constată că metoda Ritz dă,

în general, o aproximare bună pentru funcţie şi una mai puţin bună

pentru derivatele ei (ζ este proporţional cu v”), deoarece, de regulă,

se caută ca funcţia aleasă să reprezinte cât mai bine curba reală nu şi

derivatele ei. Dacă se fac noi aproximaţii, se pot obţine soluţii mai

precise, atât pentru funcţie cât şi pentru derivatele ei. De exemplu,

pentru exemplul considerat, se poate alege funcţia v sub forma unei

serii, în care expresia (3.12) să fie primul termen.

84

3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor

diferenţiale. Metoda Galerkin

În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia

energiei potenţiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se

rezolve aproximativ ecuaţia diferenţială obţinută prin metodele

obişnuite (frecvent, este vorba de ecuaţii de echilibru).

Se presupune că soluţia problemei inginereşti care trebuie

rezolvată este cea a ecuaţiei diferenţiale

L(x, v, v’, v”, . . . ) = 0, (3.13)

care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să satisfacă toate

condiţiile la limită ale problemei (sau, cel puţin, cele mai importante

dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a1, a2, a3, ..., an .

De regulă, pentru sistemele elastice, condiţiile la limită sunt de

două tipuri:

- geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri şi deplasări

liniare);

- de solicitare, care privesc forţele şi momentele de la capetele

barelor sau de pe conturul plăcilor. Observaţie: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea

tuturor condiţiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condiţiilor

geometrice. De exemplu, funcţia (3.12) de la exemplul anterior, satisface toate

condiţiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare şi anume, pentru x = ℓ,

Miy = 0, adică v” = 0. Cea de a doua condiţie - pentru x = ℓ, TZ = 0, adică v”’ = 0,

nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare

pentru exemplul considerat.

Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune,

însă, îndeplinirea tuturor condiţiilor la limită, atât geometrice cât şi

de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic

posibil.

Alegerea formei soluţiei (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul

soluţiei probabile, pe baza informaţiilor privind problema care se

rezolvă. Funcţia v trebuie să fie cât mai apropiată de soluţia reală, sau

să permită o apropiere cât mai mare de soluţia reală, adică să ducă la

o cât mai bună aproximare a soluţiei reale, necunoscute, pentru

variaţia corespunzătoare a parametrilor a1, a2, a3, ... „Arta” alegerii

unor asemenea funcţii depinde de fantezia şi experienţa celui care

face calculele.

85

Forma cea mai simplă şi cea mai utilizată pentru funcţia v este

cea a unei serii

v = a1 . θ1(x) + a2 . θ2(x) + a3 . θ3(x) + ... (3.14)

în care θ1(x), θ2(x), θ3(x) ..... sunt funcţii oarecare de x, denumite

funcţii de pondere.

După ce a fost aleasă funcţia v se determină valorile parametrilor

a1, a2, a3, ... astfel încât v, (3.14) să aproximeze cât mai bine soluţia

ecuaţiei (3.13).

Dacă se înlocuieşte funcţia (3.14) în ecuaţia (3.13), acesta nu va

fi egală cu zero, deoarece funcţia v nu este soluţia exactă a ecuaţiei,

adică

L(x, a1, a2, a3, ...) = f(x) ≠ 0,

în care f(x) este funcţia eroare, sau funcţia reziduu, care va fi mai

mult sau mai puţin diferită de zero, în măsura în care expresia v a

fost bine (sau mai puţin bine) aleasă. Dacă soluţia v este exactă,

atunci f(x) va fi zero, pentru orice valoare a variabilei x. Deci funcţia

f(x) este, într-o anumită măsură, un indice al abaterii soluţiei

aproximative faţă de cea reală. Problema constă în aceea că trebuie

variaţi parametrii a1, a2, a3, ... astfel ca funcţia eroare să fie cât mai

apropiată de zero. Acest demers poate fi realizat prin mai multe

metode, denumite, în general, metode ale reziduului ponderat, cea

mai utilizată fiind metoda Galerkin. Dintre numeroasele ei variante,

se prezintă doar forma „de bază”.

Metoda Galerkin.

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.13) se alege de forma seriei

(3.14), care trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită ale

problemei.

Etapele rezolvării problemei sunt:

- se înlocuieşte soluţia (3.14) în ecuaţia (3.13), care devine

L(x, a1, a2, a3, ...) = f(x); (3.15)

- se înmulţeşte funcţia eroare (reziduul), f(x), succesiv cu fiecare

din funcţiile de pondere θ1(x), θ2(x), θ3(x)... şi se integrează

produsele respective pe întreg domeniul de variaţie al variabilei x;

- se egalează cu zero integralele obţinute şi rezultă, astfel, un

sistem de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor a1, a2, a3, ...

86

b

a

1 ;0)x(.)x(f

b

a

2 ;0)x(.)x(f

b

a

3 ;0)x(.)x(f ...... (3.16)

- se rezolvă sistemul de ecuaţii (3.16) şi se obţin valorile

constantelor a1, a2, a3, ...;

- se înlocuiesc a1, a2, a3, ... în (3.14), obţinându-se astfel soluţia

aproximativă a ecuaţiei (3.13).

Concluzii şi observaţii.

1. Condiţiile (3.16) reprezintă, din punct de vedere matematic,

cerinţa ca funcţia eroare, f(x), să fie ortogonală în raport cu funcţiile

θ1(x), θ2(x), θ3(x).... Rezolvând problema abordată aproximativ, nu

este posibil ca funcţia eroare să fie ortogonală în raport cu toate

funcţiile θi(x), ci numai cu unele dintre ele. În acest mod se apropie

de zero funcţia eroare nu numai pentru funcţii ortogonale, ci şi pentru

orice funcţii θi(x).

2. Se demonstrează că metoda Galerkin este legată de metodele

energetice, fiind o variantă a acestora.

3. Spre deosebire de metoda Ritz, la metoda Galerkin nu este

necesar să se scrie expresia energiei potenţiale totale, dar funcţia de

aproximare trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită, adică nu

numai cele geometrice (ca la Ritz) ci şi cele de solicitare. În acest

sens se spune că metoda Galerkin este mai sensibilă la gradul de

aproximare al derivatelor funcţiei.

4. Ca şi metoda Ritz, metoda Galerkin dă rezultate mai puţin

precise pentru tensiuni decât pentru deplasări, aceasta fiind

consecinţa faptului că funcţia se alege astfel încât ea să aproximeze

bine problema dată, dar derivatele ei (de care depind tensiunile), de

regulă, nu.

5. În general, metodele aproximative de rezolvare a problemelor

structurilor deformabile duc la soluţii care determină mai precis

deplasările decât tensiunile. Această situaţie se datorează faptului că

deplasările unei structuri sunt, în principiu, rezultatul comportării

globale a structurii, pe când tensiunile sunt determinate de

configuraţiile locale, geometrice şi de solicitare. Deci, în principiu,

pentru determinarea exactă a tensiunilor trebuie elaborate modele şi

metode de calcul locale.

87

Exemplu.

Este profitabil, pentru a compara metodele Ritz şi Galerkin şi a

evidenţia asemănările, deosebirile, avantajele şi dezavantajele lor, să

se abordeze acelaşi exemplu, adică bara din figura 3.1 şi prin metoda

Galerkin.

Pentru început se va considera aceeaşi funcţie v ca şi la metoda

Ritz, adică (3.12). Pentru scrierea condiţiilor (3.16) trebuie avută în

vedere ecuaţia diferenţială a axei deformate a barei, care este

EIy v” – q (ℓ -x)2 / 2 = 0. (3.17)

Condiţiile (3.16) devin

,0dx2

xcos1)x(q

2

1

2

xcos

2aEI

0

2

2

y

din care rezultă vmax = 0.05752 qℓ4 /EIy , adică mai puţin de jumătate

din valoarea exactă, care este vmax = 0.125 qℓ4 /EIy.

Explicaţia pentru abaterea foarte mare a soluţiei obţinute, faţă de

soluţia exactă, este că funcţia (3.12), aleasă pentru v, reprezintă bine

ecuaţia axei deformate a barei dar mai puţin bine derivatele sale

(prima şi mai ales a doua, care reprezintă momentul încovoietor). La

rezolvarea problemei prin metoda Ritz acest fapt duce la abateri

numai ale tensiunilor (care depind de derivatele funcţiei), pe când

metoda Galerkin duce la abateri atât ale deplasărilor (funcţia) cât şi

ale tensiunilor (derivatele). De asemenea funcţia v aleasă nu satisface

condiţia de solicitare la limită v”’(x=ℓ)= 0, deci condiţia ca forţa

tăietoare Tz să fie nulă în capătul liber al barei.

În concluzie, funcţia v trebuie aleasă altfel. Este mai avantajos,

pentru metoda Galerkin, să se aleagă expresia derivatei de ordinul cel

mai mare care intră în ecuaţia diferenţială şi apoi să se determine

funcţia. De exemplu, dacă se alege

v” = a (1 – sin πx / 2ℓ), (3.18)

prin integrare se obţine funcţia

.BAx2

xsin

2

2

xav

22

Din condiţiile la limită: pentru x = 0 → v’ = 0 şi v =0,

rezultă B = 0 şi A = -2ℓ/π şi

88

.x2

2

xsin

2

2

xav

22

(3.19)

Se înlocuieşte expresia (3.19) în ecuaţia (3.17) şi se scriu

condiţiile (3.16). După efectuarea calculelor se obţine:

1624

6

1/

6

1648

60

1.

EI2

qa

2353

y

2;

vmax = 0.11598 qℓ4 /EIy ; ζmax = 0.4317 qℓ

2/Wy.

Rezultatele obţinute sunt de precizie satisfăcătoare. Precizii şi

mai mari se pot obţine dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de

exemplu, ..,5,3,1

n ,nx /sin - (1 a"v pentru care volumul

calculelor creşte foarte mult.

3.5. Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme

dinamice. Metoda Rayleigh

Se consideră bara dreaptă din figura 3.2, de rigiditate la

încovoiere EIy, constantă şi masa m pe unitatea de lungime.

În ecuaţia diferenţială a axei

barei deformate, EIy∂4v/∂x

4 = p(x), se

consideră că p(x) este chiar forţa de

inerţie a barei, conform principiului

lui d’Alambert şi astfel se obţine

ecuaţia diferenţială a vibraţiilor libere

ale barei sub forma

EIy∂4v/∂x

4 + m ∂

2v/∂t

2 = 0, (3.20)

căreia i se pot asocia, de exemplu, condiţiile la limită:

pentru x = 0 şi x = ℓ → v = 0; pentru x = ℓ/2 → ∂v/∂x = 0. (3.21)

Metoda Rayleigh şi Rayleigh-Ritz.

Pentru a obţine pulsaţia corespunzătoare modului fundamental de

vibraţie al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu

cea a energiei potenţiale de deformaţie maximă. Pentru bara

considerată, energia de deformaţie, W, este

Figura 3.2

89

,dxx/vEI2

1W

2

0

22

y

iar energia cinetică

.dxt/v)x(m2

1E

2

0

C

Presupunând că vibraţia este armonică, adică v(x, t) = V(x) cos

ωt, din condiţia (Rayleigh) (W)max = (EC)max, rezultă expresia

pulsaţiei sub forma

0

2

2

0

22

y

2 .dxV)x(m/dxx/VEI (3.22)

Pentru a afla din (3.22) valoarea ω2 a pulsaţiei trebuie să se

considere o anumită formă pentru funcţia V(x), care să satisfacă

condiţiile la limită (3.21) şi nu obligatoriu şi ecuaţia de mişcare

(3.20). O astfel de formă este V(x) = 1 – cos (2πx/ℓ), care, înlocuită

în (3.22), permite obţinerea valorii aproximative a pulsaţiei

fundamentale şi anume ω1 = 22.792 k , ( 2

y /mEIk ), care

diferă cu 1.87% de valoarea exactă (22.3729 k).

O variantă a acestei metode este ce cunoscută sub numele

Rayleigh-Ritz, care permite determinarea, aproximativă, a mai multor

pulsaţii proprii ale vibraţiilor unui sistem elastic (bară). În acest scop

se consideră o formă mai generală pentru funcţia V(x), ca, de

exemplu

V(x) = C1 f1(x) + C2 f2(x) + .... + Cn fn(x), (3.23)

în care C1, C2,...., Cn sunt constante şi f1, f2,...., fn funcţii care satisfac

condiţiile la limită ale problemei date. Dacă se înlocuieşte funcţia

(3.23) în ecuaţia pulsaţiei (3.22), se obţine ω2 ca funcţie de

constantele C1, C2,...., Cn. Condiţia ca valorile aproximative ale

pulsaţiilor să aibă abateri cât mai mici faţă de cele exacte duce la

sistemul de ecuaţii

,0C.....CC n

2

2

2

1

2 (3.24)

a cărui rezolvare permite determinarea primelor n pulsaţii ale

vibraţiilor libere.

Pentru bara considerată ca exemplu (fig. 3.2) se poate scrie

relaţia (3.23) sub forma

90

V(x) = C1[1 – cos (2πx/ℓ)] + C2[1 – cos (4πx/ℓ)], (3.25)

care se înlocuieşte în (3.22). Scriind condiţiile (3.24) se obţine

următoarea problemă de valori proprii:

,C

C

32

23m

C

C

160

01EI16

2

12

2

1

3

y

4

ale cărei soluţii sunt

,k35.221 cu

575.0

1

C

C

2

1 şi ,k1241 cu .

4488.1

1

C

C

2

1

3.6. Metode energetice pentru calculul deplasărilor barelor şi

structurilor din bare. Metoda Mohr-Maxwell

Energia potenţială de deformaţie a unui sistem de bare poate fi

calculată fie ca lucru mecanic al sarcinilor, fie ca lucru mecanic al

eforturilor. Această constatare a permis elaborarea unor metode

energetice foarte eficiente pentru calculul deplasărilor barelor şi

structurilor din bare.

Se consideră că este respectată ipoteza linearităţii fizice, cea a

linearităţii geometrice, că principiul suprapunerii efectelor este

aplicabil – atât pentru eforturi cât şi pentru deplasări – şi că procesul

de deformare al sistemului este reversibil, sau – altfel spus – starea

finală a sistemului nu depinde de succesiunea aplicării sarcinilor. De

asemenea, se presupune că solicitarea este statică (nu există procese

dinamice, vibraţii, fenomene de propagare etc).

Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti).

Se consideră un sistem elastic încărcat cu o forţă P1 în punctul A

şi cu o forţă P2 în punctul B, ca în figura 3.3.a.

91

Când se aplică forţa P1 în punctul A, acesta produce deformarea

sistemului şi deplasarea punctului A într-o poziţie oarecare, în

cazul general. Ceea ce interesează este componenta, δA1, a

acestei deplasări pe direcţia forţei (fig. 3.3.b), deoarece lucru l

mecanic produs de aceasta este U1=P1 δA1 /2 (factorul ½ se datorează

faptului că solicitarea este statică, adică forţa P1 se aplică lent,

crescător de la zero la P1). În continuare, în prezenţa forţei P1, se

aplică forţa P2 în punctul B, care produce deplasarea δB2 (fig. 3.3.c) şi

lucrul mecanic U2=P2 δB2 /2, precum şi deplasarea punctului de

aplicaţie al forţei P1 cu δA2, efectuând lucrul mecanic U12=P1 δA2, la

calculul căruia nu se introduce factorul ½ deoarece forţa P1 parcurge

cu întreaga sa valoare deplasarea δA2.

Lucrul mecanic total al sarcinilor este

U’tot = U1 + U2 + U12=P1 δA1 /2 + P2 δB2 /2 + P1 δA2. (3.26)

Reluând procesul, cu aplicarea mai întâi a forţei P2 şi apoi a lui

P1, se obţine (fig. 3.3.d şi e)

U”tot = U2 + U1 + U21=P2 δB2 /2 + P1 δA1 /2 + P2 δB1. (3.27)

Ca urmare a ipotezelor considerate, trebuie ca

U’tot=U”tot → din care rezultă→U12=U21→ sau →P1δA2=P2δB1. (3.28)

Uzual, formularea acestei teoreme se face într-o formă generală,

considerând că:

- forţele P1 şi sunt P2 sunt două sisteme de sarcini, denumite,

sistem primar, respectiv secundar;

- forţele pot fi forţe generalizate (forţe şi momente);

- deplasările pot fi deplasări generalizate (deplasări lineare şi

rotiri).

Teorema reciprocităţii lucrului mecanic se formulează astfel:

dacă asupra unui sistem elastic se aplică succesiv două sisteme de

sarcini, lucrul mecanic efectuat de sarcinile primului sistem pe

deplasările produse de cel de al doilea sistem, este egal cu lucrul

mecanic efectuat de sarcinile celui de al doilea sistem pe deplasările

produse de primul sistem.

Observaţie: Teorema reciprocităţii lucrului mecanic poate fi

formulată considerând, nu lucrul mecanic al sarcinilor ci energia de

deformaţie, cele două entităţi fiind egale.

92

Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell).

Dacă în ultima din relaţiile (3.28) se consideră P1 = P2 = P,

rezultă

δA2 = δB1, (3.29)

care este expresia algebrică a teoremei

reciprocităţii deplasărilor, a cărei

formulare este (fig. 3.4): deplasarea

punctului A produsă de o forţă

aplicată în punctul B este egală cu

deplasarea punctului B produsă de

aceeaşi forţă aplicată în punctul A.

Se pot inversa rolurile deplasărilor şi forţelor în teorema

reciprocităţii deplasărilor şi se obţine teorema reciprocităţii forţelor.

Teorema reciprocităţii forţelor.

Se reia procedura anterioară: dacă în ultima din relaţiile (3.28) se

consideră δA2=δB1= δ = 1, rezultă

P1 = P2, (3.30)

care este expresia algebrică a teoremei

reciprocităţii forţelor, a cărei formulare

este (fig. 3.5): forţa aplicată în punctul

A, care produce o deplasare δ = 1 în

punctul B este egală cu forţa aplicată

în punctul B pentru a produce aceeaşi

deplasare δ = 1 în punctul A.

Observaţie: Valoarea deplasării δ poate fi oarecare, dar, pentru

simplificarea calculelor, se consideră, de obicei, egală cu unitatea.

Teoremele reciprocităţii lucrului mecanic, deplasărilor şi forţelor,

ca urmare a generalităţii lor, sunt foarte utile în rezistenţa

materialelor, deoarece duc la simplificări considerabile pentru

numeroase categorii de probleme.

Metoda Mohr-Maxwell.

Această metodă de calcul a fost concepută de Mohr şi ea poate fi

înţeleasă ca un caz particular al teoremei reciprocităţii lucrului

mecanic. Se consideră primul sistem de sarcini cel al încărcării

care acţionează asupra corpului, de exemplu, forţele F1, F2, ... Fn din

Figura 3.4

Figura 3.5

93

figura 3.6.a. Al doilea sistem

de sarcini se consideră

numai o forţă egală cu

unitatea, aplicată în punctul

şi pe direcţia deplasării care

trebuie calculată (punctul A

şi deplasarea δ, din fig. 3.6.b) sub acţiunea sistemului de sarcini dat.

Din relaţiile (3.28) rezultă

1. δ = U21 → δ = U21 (3.31)

în care U21 este lucrul mecanic (sau energia de deformaţie) al

sistemului de sarcini al corpului pe deplasările produse de sarcina

unitate.

Se consideră o bară dreaptă, de

secţiune constantă, cu rigiditatea axială EA

şi lungimea ℓ, solicitată cu forţele axiale F1,

F2, F3, ca în figura 3.7. Să se afle

deplasarea, δ, a capătului liber al barei (se

neglijează efectul greutăţii barei).

Se calculează energia de deformaţie,

produsă de eforturile axiale. Pentru un

element de lungime dx al barei, în cazul

general, efortul este N, pentru prima stare

de încărcare şi n, pentru cea de a doua stare

(în acest caz particular n = 1).

Lungirea elementului dx pentru a doua stare de încărcare este

EA

dxn)dx( , iar lucrul mecanic dx

EA

Nn)dx(.NdU21 .

Pentru întreaga bară dxEA

NndUU 1212 , sau având în vedere

(3.31),

dxEA

Nn. (3.32)

În cazul general, pe lungimea ℓ a barei eforturile N şi n pot avea

valori sau expresii diferite, ceea ce înseamnă că forma generală a

relaţiei (3.32) este

Figura 3.6

Figura 3.7

94

dxEA

Nn. (3.33)

Pentru celelalte solicitări, se pot stabili relaţii similare cu (3.33),

forma completă a formulei lui Mohr-Maxwell, pentru calculul

deplasărilor barelor (drepte şi curbe) şi structurilor din bare, fiind

dsEI

mMds

GI

mMds

GA

tTkds

EA

Nn

z,y

z,yiz,yi

t

ttz,yz,y

z,y . (3.34)

Pentru utilizarea corectă a relaţiei (3.34) sunt necesare

următoarele precizări:

- δ este deplasarea generalizată (deplasare liniară sau rotire);

- sarcina unitate se aplică în punctul şi pe direcţia deplasării care

se calculează şi este o sarcină generalizată: forţă sau moment egal cu

1;

- N, Ty,z, Mt, Miy,z sunt eforturile, într-o secţiune curentă, produse

de sarcinile care încarcă structura;

- n, ty,z, mt, miy,z sunt eforturile, în aceeaşi secţiune curentă,

produse de sarcina unitate;

- ky,z este un factor care ţine seama că tensiunile tangenţiale

datorate forfecării nu se distribuie uniform pe secţiunile barelor

(pentru dreptunghi k = 6/5; pentru cerc k = 10/9);

- sumele se efectuează pentru diverse intervale în lungul unei

bare (dacă este cazul) şi pentru toate barele structurii;

-termenii corespunzători solicitărilor de forfecare şi încovoiere se

scriu separat pentru direcţiile y şi z din planul secţiunii curente a

fiecărei bare (y şi z trebuie să fie direcţiile principale de inerţie a

secţiunii);

-în cazul cel mai general, variabila în raport cu care se calculează

integralele din relaţia (3.34) este s, definită pe o curbă; pentru o

dreaptă s → x.

Calculele cu ajutorul relaţiei (3.34) se pot efectua manual pentru

cazuri simple şi cu un program adecvat pe calculator pentru structuri

complexe. În această situaţie, deşi metoda este analitică, rezolvarea

problemei este numerică. Această „simbioză” între esenţa analitică a

unei metode şi utilizarea ei pentru rezolvări numerice pe calculator

este frecvent întâlnită pentru calculele inginereşti, fiind deosebit de

eficientă.

95

În practica inginerească forma generală a relaţiei (3.34) are

numeroase forme, mai simple, pentru cazuri particulare, ca de

exemplu:

- efectele solicitărilor de forfecare şi/sau axiale pot fi neglijabile

comparativ cu cele de încovoiere, când încovoierea este solicitarea

principală (sau alte variante similare);

- pentru structuri din bare drepte articulate, încărcate numai în

noduri, solicitarea este numai axială în toate barele şi relaţia (3.34)

devine

EA

Nn. (3.35)

3.7. Structuri continue şi structuri discrete. Conceptul de

discretizare

Unele tipuri de structuri sunt alcătuite dintr-un element

constituent (modul) care se repetă de un număr mare de ori, ca, de

exemplu, structurile din bare. Astfel de structuri se numesc discrete.

Dar marea majoritate a structurilor mecanice sunt continue, ca, de

exemplu, recipientele, batiurile, carcasele, rotoarele, barajele,

fundaţiile etc. Structurile continue sunt compuse din plăci plane şi

curbe, subţiri sau groase, blocuri masive (blocurile fundaţiilor) etc,

combinate în diverse moduri spaţiale şi complexe.

Inginerii au constatat că pentru structurile discrete se pot elabora

metode şi modele de calcul relativ simple (inclusiv metode grafice) şi

eficiente. Pentru structurile continue situaţia era total diferită,

deoarece nu se puteau calcula decât structuri continue relativ simple,

pentru unele cazuri particulare, cu un volum de muncă considerabil.

Aşa a apărut ideea ca o structură continuă să se „înlocuiască”, în

vederea calculului, cu o structură discretă, un model idealizat, care să

aproximeze cât mai bine structura „originară”. Esenţa ideii este că,

din punct de vedere ingineresc, nu este necesară cunoaşterea, de

exemplu, a deplasărilor şi tensiunilor, în infinitatea de puncte a

structurii ci sunt suficiente informaţiile dintr-un număr „finit” de

puncte, acest număr putând fi mai mic sau mai mare (la nevoie, chiar

foarte mare), funcţie de scopul calculului, tipul structurii,

configuraţia ei geometrică, tipul solicitării etc.

96

Procesul prin care se obţine structura discretă, pornind de la

structura continuă, care să o aproximeze pe aceasta, se numeşte

discretizare.

Discretizarea.

Discretizarea unei structuri este un proces complex, de elaborare

a unui model discret de calcul, care trebuie să aproximeze cât mai

bine structura continuă reală, din diverse puncte de vedere, ca, de

exemplu, al geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al

maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi

mecanice ale materialelor etc.

În esenţă,

discretizarea

structurii date se

realizează cu o

reţea de linii

drepte sau curbe

sau (dacă este

cazul) cu o reţea

spaţială de suprafeţe plane şi / sau curbe. Un exemplu se prezintă în

figura 3.8. Punctele de intersecţie ale liniilor sau suprafeţelor reţelei

de discretizare se numesc nodurile reţelei şi în acestea se definesc

mărimile necunoscute, deplasări sau eforturi, care urmează să se

determine prin metoda numerică de calcul respectivă. Prin această

procedură studiul mulţimii infinite de puncte a structurii continue

date se aproximează prin studiul mulţimii finite de puncte (noduri)

ale reţelei de discretizare a modelului de calcul.

În principiu, cu cât reţeaua de discretizare are un număr mai

mare de noduri, adică este mai „fină”, cu atât este mai bună

aproximarea structurii date şi rezultatele obţinute prin calcul vor fi

mai precise.

Metodele de calcul care folosesc discretizarea şi anume metoda

diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi metoda elementelor

de frontieră, nu conţin în ele însele principii, restricţii sau „indicaţii”

cum să se facă discretizarea. Alegerea reţelei de noduri a modelului

de calcul discretizat (sau discret) trebuie să sintetizeze, într-o formă

convenabilă, toate informaţiile disponibile despre structura ce se

Figura 3.8

97

calculează, să aibă în vedere funcţiile pe care trebuie să le

îndeplinească aceasta, particularităţile ei şi să corespundă cât mai

bine scopului calculului.

Rezultă că discretizarea are un anumit grad de arbitrar, care

implică riscul comiterii unor erori, acesta fiind „tributul” plătit

acestor metode pentru avantajele lor. Astfel apare ca evidentă

importanţa elaborării judicioase a unui model de calcul corect, precis,

sigur şi eficient.

Nodul.

Punctele definite prin reţeaua de discretizare se numesc noduri. În

noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori

sunt rezultatele calculelor. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi

deplasările, caz în care metoda de calcul se numeşte model

deplasare, sau eforturile, când se numeşte model echilibru. Relativ

rar se foloseşte şi modelul mixt. Pentru modelul deplasare se admite

că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare,

este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu reţeaua

nodurilor înainte de deformare, fiecare nod putând avea maximum

şase componente ale deplasării, denumite deplasări nodale, în raport

cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu): trei

componente u, v, w ale deplasării liniare şi trei rotiri x, y, z.

Componentelor nenule ale deplasărilor pe care le poate avea un nod

al modelului structurii în procesul de deformaţie li se asociază un

versor denumit grad de libertate geometrică – DOF (Degrees Of

Freedom) al nodului, care are valoarea DOF=0, dacă pe direcţia

respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută şi valoarea

DOF=1, dacă deplasarea este necunoscută. Se pot defini gradele de

libertate geometrică ale structurii în totalitate. Rezultă că numărul

total al necunoscutelor care trebuie determinate prin calcul este egal

cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt ataşate

necunoscute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului

structurii.

Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie “eliminate”

deoarece unele noduri sunt “legate”, reprezentând reazeme şi deci

deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impuse şi nu mai

trebuie calculate.

98

3.8. Metoda diferenţelor finite

Metoda diferenţelor finite este o metodă generală de integrare a

ecuaţiilor diferenţiale şi constă, în esenţă, în înlocuirea diferenţialelor

(care sunt infinit mici) cu diferenţe mici (sau foarte mici), finite.

Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască

ecuaţia diferenţială corespunzătoare problemei care se rezolvă.

Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale

calculului propriu-zis:

- aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea)

ecuaţiei (sau ecuaţiilor) diferenţiale respective într-un sistem de

ecuaţii cu diferenţe finite;

- aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un

model discret, aproximativ, convenabil pentru calcul. De exemplu,

suprafaţa mediană a unei plăci curbe subţiri se aproximează cu o

reţea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de

discretizare.

Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare, în care

necunoscutele sunt, de exemplu, deplasările în nodurile reţelei cu

diferenţe finite.

Avantajele metodei diferenţelor finite sunt:

- suportul matematic este bine definit şi anume ecuaţia

diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale;

- metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluţiei

numerice obţinute.

Dezavantajele metodei diferenţelor finite sunt:

- generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută

ecuaţia diferenţială a problemei. Ori pentru numeroase probleme

inginereşti nu a fost posibilă determinarea ecuaţiilor care guvernează,

de exemplu, comportarea structurilor spaţiale complexe la diferite

solicitări;

- supleţea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit

diferenţe finite de valori diferite;

- elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această

metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în

vedere tipul ecuaţiei diferenţiale. S-au elaborat programe care

99

folosesc module specializate de uz general, ca, de exemplu, pentru

rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare;

- în practica inginerească nu se află în uz programe performante

care să se fi impus, bazate pe metoda diferenţelor finite. 3.9. Metoda elementelor de frontieră

Spre deosebire de majoritatea metodelor numerice de calcul al

structurilor, care se bazează pe teoreme de staţionaritate a energiei

potenţiale totale, metoda elementelor de frontieră este fundamentată

pe teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti). Această teoremă

este valabilă numai pentru structuri linear elastice (aşa cum s-a

menţionat la § 3.6) şi constă în egalitatea lucrului mecanic produs de

un sistem de sarcini pe deplasările altui sistem, cu lucrul mecanic

produs de cel de al doilea sistem de sarcini pe deplasările produse de

primul sistem. Se presupune că în cele două stări de încărcare

legăturile structurii au fost eliminate (s-au înlocuit cu sarcini sau

deplasări cunoscute), că deplasările sunt mici şi că cele două sisteme

de încărcare au fiecare torsor nul (condiţia de echilibru a structurii).

Deoarece legăturile structurii au fost eliminate, rezultă că pentru cele

două stări de încărcare structura poate avea legături diferite.

Ideea fundamentală a metodei elementelor de frontieră este că se

cunoaşte soluţia fundamentală a problemei care se rezolvă, adică

sunt cunoscute deplasările produse de o forţă concentrată unitate

aplicată în origine, pentru un spaţiu elastic de acelaşi tip cu

problema, care poate fi bară, placă plană sau curbă, volum etc (se

poate vorbi - prin extensie - şi de problema fundamentală,

„asociată” problemei date). Cu relaţiile dintre deformaţii şi deplasări

şi apoi cu cele ale lui Hooke, dintre deformaţii şi tensiuni, se

determină tensiunile corespunzătoare deplasărilor respective.

Elaborarea modelului de calcul pentru rezolvarea unei probleme

cu metoda elementelor de frontieră cere ca din spaţiul elastic al

problemei fundamentale (solicitat cu o forţă concentrată unitate în

origine) să se „decupeze” domeniul D, al corpului care se studiază.

Pe frontiera domeniului D acţionează tensiuni, care pot fi privite ca

încărcare exterioară a corpului.

Se presupune că domeniul D este închis, frontiera sa fiind Γ,

pentru care se cunosc:

100

- pe o porţiune Γ1 a frontierei se cunosc deplasările ui;

- pe o porţiune Γ2 a frontierei se cunoaşte încărcarea exterioară ti.

Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel:

- prima încărcare este încărcarea reală ti (necunoscută pe Γ1),

care produce deplasările ui (necunoscute pe Γ2);

- a doua încărcare este o forţă concentrată unitate aplicată într-un

punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluţia fundamentală,

în toate punctele, deplasările şi tensiunile.

Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se

discretizează, adică se împarte în porţiuni, definite prin noduri. Între

două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră, în

lungul cărora se consideră că deplasările şi încărcarea exterioară au

variaţii cunoscute. În acest scop se folosesc funcţii de interpolare.

Astfel se obţin elemente de frontieră de diverse tipuri, pentru

aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în

spaţiu (elemente de suprafaţă sau de volum).

Frecvent se folosesc aceleaşi funcţii de interpolare [Ni(k)

] atât

pentru deplasările ui cât şi pentru încărcarea ti, astfel încât, pentru

elementul de frontieră k, se scriu

ui = [Ni(k)

]{u(k)

}, ti = [Ni(k)

]{t(k)

},

în care {u(k)

} şi {t(k)

} sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale

deplasărilor, respectiv ale încărcărilor.

Metoda elementelor de frontieră duce la obţinerea unui sistem de

ecuaţii algebrice lineare de forma

[A] {u}=[B] {t}, (3.36)

în care: {u} şi {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor

nodale (de pe frontieră); [A] – matricea de influenţă a deplasărilor;

[B] – matricea de influenţă a încărcărilor.

Sistemul de ecuaţii (3.36) are o configuraţie oarecare, adică este

nesimetric şi „plin”, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile

reţelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri

deplasările ui, iar în altele încărcarea ti.

Dacă ecuaţiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate

scrie sub forma

n

c

nc

c

n

cn

t

tBB

u

uAA ,

101

în care indicele n înseamnă necunoscut, iar c – cunoscut. Rezultă

sistemul

c

c

cc

n

n

nn

u

tAB

t

uBA ,

prin rezolvarea căruia se determină deplasările şi tensiunile în toate

nodurile frontierei.

Pentru calculul deplasărilor în puncte din interiorul domeniului D

al corpului, se aplică teorema reciprocităţii lucrului mecanic între

perechi de puncte, unul de pe frontieră şi unul din interiorul corpului.

Determinarea tensiunilor în anumite puncte din interiorul domeniului

D se face cu relaţiile cunoscute ale teoriei elasticităţii.

Avantajele metodei elementelor de frontieră sunt:

- comparativ cu alte metode numerice aproximative de calcul, are

o precizie mai bună, consecinţă a faptului că metoda foloseşte soluţia

fundamentală a problemei date, care este, în principiu exactă;

- relativa simplitate a modelului de calcul şi volumul redus de

informaţii necesare pentru elaborarea acestuia, deoarece trebuie

discretizată doar frontiera structurii (pentru structuri spaţiale, cu o

geometrie complexă, acest avantaj se diminuează considerabil);

- comparativ cu alte metode numerice aproximative, volumul

calculelor este mai mic, deoarece numărul necunoscutelor (de pe

frontieră) este, de regulă, mic;

- principiul metodei este raţional, deoarece după determinarea

necunoscutelor de pe frontieră, se calculează deplasările şi / sau

tensiunile din interiorul domeniului numai în punctele dorite, adică

se oferă numai informaţiile strict necesare.

Dezavantajele metodei elementelor de frontieră sunt:

- generalitatea este limitată de faptul că trebuie cunoscută soluţia

fundamentală a problemei. Pentru structuri spaţiale complexe (de

exemplu, structuri din plăci) problema fundamentală nu este

rezolvată, sau este foarte dificil de rezolvat. De asemenea, sunt

restricţii privind aplicabilitatea teoremei reciprocităţii lucrului

mecanic: structura trebuie să aibă o comportare linear elastică;

- în practica inginerească nu se află în uz curent programe

performante care să se fi impus, bazate pe metoda elementelor de

frontieră.

102

3.10. Metoda elementelor finite - MEF

În prezent, MEF este metoda numerică aproximativă de succes,

cea mai utilizată pentru calculul structurilor oricât de complexe,

solicitate static, dinamic, termic, la stabilitate, la durabilitate, în

regim linear elastic, sau în diverse condiţii nelineare. Generalitatea şi

supleţea metodei, simplitatea conceptelor de bază, stabilitatea în timp

a algoritmilor de calcul, utilizarea calculatoarelor şi existenţa a

numeroase programe performante explică extinderea şi interesul

generalizat pentru MEF.

Formularea MEF se poate face în numeroase modalităţi, mai

abstracte sau mai concrete, preponderent matematice sau

preponderent practic - inginereşti. Inginerii sunt utilizatori ai MEF (şi

ai programelor elaborate pe baza ei), aspectele teoretice şi

matematice fiind necesare pentru ei doar pentru înţelegerea

principiilor şi subtilităţilor metodei în vederea unei folosiri corecte şi

eficiente a procedurilor şi programelor respective. În programele

MEF actuale este implementat mai ales modelul deplasare, pentru

care necunoscutele sunt deplasările nodale.

O cale simplă şi intuitivă pentru a-i defini conceptele şi a

formula MEF este aceea de o privi ca o generalizare a metodei

deplasărilor pentru structuri din bare drepte, expusă în cap. 8.

Generalizarea constă în aceea că elementul de bară dreaptă din

metoda deplasărilor devine elementul finit din MEF, acest fapt

implicând şi procesul de discretizare.

Elementul finit.

Ca o structură să fie calculată cu MEF trebuie să fie discretizată

(§ 3.7). Pe reţeaua de discretizare se definesc elementele finite ale

modelului MEF. Un element finit este o componentă de mici

dimensiuni a structurii care se calculează, obţinut printr-un proces de

„decupare” realizat prin discretizare aşa cum, de exemplu, zidul

unei clădiri poate fi privit ca fiind format din cărămizile utilizate

la construcţia sa. De exemplu, un recipient executat din table

asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un

număr de elemente de placă patrulatere şi triunghiulare - denumite

elemente finite, ca în figura 3.9. Elementele finite se leagă între ele

prin nodurile reţelei de discretizare.

103

Procesul de elaborare a unui

model MEF are două etape distincte:

- prin discretizare structura se

„descompune” într-un număr

oarecare de elemente finite;

- elementele finite se

„asamblează”, fiind „legate” în

nodurile reţelei de discretizare, pentru

a recompune structura dată, acesta

fiind modelul ei de calcul cu elemente finite.

Elementele finite trebuie concepute astfel încât modelul (sau

structura idealizată, discretă) să aproximeze cât mai exact structura

reală (continuă), cel puţin, din următoarele puncte de vedere: al

geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al maselor, al

constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi mecanice ale

materialelor şi al tuturor funcţiilor şi cerinţelor pe care structura

trebuie să le îndeplinească.

Este evidentă legătura dintre procesul de discretizare şi definirea

elementelor finite, în general, cele două procese fiind intim asociate.

Deci nu se poate preciza ce se face mai întâi: stabilirea parametrilor

procesului de discretizare sau definirea tipurilor de elemente finite.

Adesea este necesar ca procesul să se realizeze prin încercări

succesive, pentru a găsi varianta cea mai bună a modelului MEF.

Pentru a putea modela cât mai bine funcţiile pe care structura

dată trebuie să le realizeze, utilizatorul dispune de mai multe tipuri

fundamentale de elemente finite şi anume: definite într-un punct, pe

o linie, pe o suprafaţă sau pe un volum, fiecare dintre acestea având

numeroase variante.

Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare,

interacţionând cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul

structurii reale se înlocuieşte cu studiul ansamblului de elemente

finite obţinut prin discretizare, care devine astfel o idealizare a

structurii originare şi este un model de calcul al structurii date.

Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise trebuie ca

procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai “performant”,

ceea ce implică respectarea unor reguli şi exigenţe privind

discretizarea, elaborarea modelului de calcul şi - printre altele -

Figura 3.9

104

utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile

elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie

finite, adică nu poate fi făcută o trecere la limită prin care

dimensiunile acestora să tindă spre zero.

Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care

să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într-un

program MEF şi utilizat pentru un model de calcul, elementul finit

trebuie în prealabil “proiectat” în toate detaliile, adică trebuie definit

din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc şi stabilite, pentru

aceste condiţii, relaţiile “proprii” de calcul.

Privit din punct de vedere informaţional, un element finit este un

“dispozitiv” - sau un model - care trebuie să poată prelucra cât mai

precis un volum cât mai mare de informaţii, pentru un set de condiţii

impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă

geometrică, de exemplu triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare

de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de

libertate geometrică, iar funcţiile de interpolare să fie cât mai

complexe, adică să aibă un număr cât mai mare de parametri.

Desigur că menţiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu cât

creşte “complexitatea” elementului finit cresc şi dificultăţile de

calcul, astfel încât pentru fiecare situaţie concretă în parte, când se

“concepe” un element finit de un anumit tip se caută o soluţie de

compromis. O consecinţă nefastă a acestei situaţii este că programele

MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemente

finite, pentru a satisface un număr cât mai mare de cerinţe, cât mai

diverse, ceea ce produce dificultăţi utilizatorului.

Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip

oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul

elementului variază după o lege “cunoscută”, aleasă apriori,

determinată de o funcţie de interpolare. Consecinţa acestui demers

este că, local, acolo unde se va afla plasat elementul finit, în urma

procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de deplasări a

structurii prin legea de interpolare implementată în elementul

respectiv. În concluzie, comparativ cu alte metode aproximative de

calcul (ca, de exemplu, Ritz sau Galerkin), care utilizau ipoteze

globale privind comportarea structurii în ansamblu (se alegea un

105

anumit tip de funcţie), MEF face ipoteze locale, ceea ce îi asigură o

generalitate şi supleţe remarcabile.

Figura 3.10

Funcţiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame,

deoarece sunt continue şi mai simple, comparativ cu alte funcţii.

Alegerea gradului polinomului şi determinarea valorilor

coeficienţilor acestora trebuie să asigure o cât mai bună aproximare a

soluţiei exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3.10 se

prezintă schematic modul în care polinoamele de gradul zero, unu şi

doi – respectiv cu unu, doi şi trei termeni - pot aproxima o stare de

deplasări oarecare.

Elementele care au aceleaşi tipuri de funcţii (de obicei

polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de

exemplu, pentru laturile sale), cât şi pentru definirea deplasărilor în

interiorul său (funcţia de interpolare), se numesc elemente

izoparametrice şi sunt cele mai eficiente şi folosite elemente finite în

practica MEF.

Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care

cele mai importante sunt:

Tipul de analiză. Pe o reţea de discretizare se pot defini

elemente finite care au “incluse” diverse proceduri matematice

destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică,

neliniară, transfer de căldură, mecanica fluidelor, electromagnetism,

electromagnetism de înaltă frecvenţă etc.

Rolul funcţional. Elementele finite utilizate pentru modelarea

unei structuri trebuie să poată asigura cât mai bine “rolul funcţional”

al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu zăbrele trebuie

modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subţire trebuie

modelat prin elemente de tip placă, o fundaţie prin elemente de tip

cărămidă etc. Din aceste considerente elementele sunt de tip punct

106

(element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte

sau curbe, în plan sau în spaţiu) de tip suprafaţă (elemente de plăci

plane sau curbe, groase sau subţiri, în plan sau în spaţiu, elemente

axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum (elemente

spaţiale, - 3D - pentru structuri “solide”, compozite, cu număr

variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice, magnetice etc).

Fiecare din categoriile de elemente enumerate au mai multe variante,

numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea,

categoriile prezentate includ şi elemente cu rol funcţional special, ca

de exemplu: rigid, de contact, de frecare, de legătură, definit prin

matricea de rigiditate etc.

Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme

simple ca, de exemplu, linie dreaptă sau arc de cerc, triunghi,

patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele

caracteristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secţiunile

barelor sau grosimile plăcilor.

Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă

geometrică dată, de exemplu un triunghi, poate avea mai multe

variante în ceea ce priveşte numărul de noduri, deoarece în afara

nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri şi pe laturi şi (sau) în

interior. De asemenea se pot utiliza noduri şi în interiorul

elementului, pentru rezultate. Se utilizează şi elemente cu număr

variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul

poate avea între 8 şi 48 de noduri.

Numărul gradelor de libertate ale fiecărui nod. Nodurile

elementelor au ataşate, implicit, unele DOF din cele şase posibile,

deci se poate opera şi cu numărul total de DOF pentru un element,

care este numărul nodurilor înmulţit cu numărul DOF pe nod.

Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are

“implementate” polinoame de interpolare de un anumit grad,

începând cu gradul întâi. Cu cât gradul polinoamelor este mai ridicat

cu atât creşte cantitatea de informaţii cu care elementul operează şi

deci el este, în general, mai performant.

Caracteristicile materialului. În practica analizei cu elemente

finite, materialul elementului finit poate fi omogen şi izotrop sau cu o

anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele elastice şi

107

fizice ale materialului pot fi dependente de temperatură sau

solicitare.

Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor

finite nu este exhaustivă, ci că ea doar semnalează unele aspecte

importante din practica MEF. În concluzie, se menţionează că fiecare

tip de element finit este un ansamblu de condiţii şi ipoteze şi el

trebuie privit ca un întreg şi folosit ca atare, numai după ce s-a

studiat temeinic documentaţia care îl însoţeşte. De exemplu, din

parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la

solicitare, tipul stării de tensiuni, interacţiunea sa cu celelalte

elemente etc.

Programele MEF care se folosesc în analiza structurilor au

biblioteci cu un număr impresionant de tipuri de elemente finite, la

care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica

dezvoltării MEF, se menţionează că în anul 1984 se identificaseră 88

de variante ale elementelor finite de placă.

Determinarea matricei de rigiditate a unui element finit.

Etapele determinării matricei de rigiditate a unui element finit

sunt, în general, următoarele:

1. Elementul finit trebuie să fie conceput sau “proiectat”, adică

să se stabilească, a priori, toţi parametrii săi şi anume: forma

geometrică, numărul de noduri, numărul de DOF/nod, tipul stării de

tensiuni, gradul polinoamelor de interpolare, caracteristicile

materialului. Pentru exemplificare se consideră un element finit

triunghiular, cu trei noduri, cu 2DOF/nod, plan, de grosime constantă

t (placă subţire), polinoame de interpolare de gradul întâi, supus unei

stări de tensiune constantă, materialul fiind izotrop.

Figura 3.11

108

Elementul este raportat la un reper local oxy şi este definit de

nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acţionează forţele X şi

Y, ca în figura 3.11. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de

elemente finite.

2. Relaţia care defineşte comportarea elastică a unui element

finit este de forma (similară cu (8.4), pentru o bară dreaptă)

{R} = [k] {u}, (3.37)

în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} – vectorul

eforturilor nodale (sau al forţelor nodale generalizate) şi [k]–matricea

de rigiditate elementului finit.

3. Se defineşte vectorul

deplasărilor nodale:

k

k

j

j

i

i

v

u

v

u

v

u

u

knodul

jnodul

inodul

.

4. Se defineşte vectorul

eforturilor nodale:

k

k

j

j

i

i

Y

X

Y

X

Y

X

R

knodul

jnodul

inodul

.

Observaţie: Vectorii {R} şi {u} pentru un element finit sunt similari cu cei

corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. 2), cu menţiunea că pentru

elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificaţie specială, ca pentru bare (la bare {R} era vectorul eforturilor de la capete).

Relaţia (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod

unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite

valori ale eforturilor {R} se pot obţine o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor

nodale, diferiţi prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de

deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuaţiile

de echilibru ale elementului finit.

5. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale elementului finit:

- ecuaţia forţelor pe direcţia ox: Xi + Xj + Xk = 0;

- ecuaţia forţelor pe direcţia oy: Yi + Yj + Yk = 0;

- ecuaţia momentelor în raport cu originea:

-Xi * yi + -Xj * yj + -Xk * yk + Yi * xi + Yj * xj + Yk * xk =0. Observaţie: Rezultă că trei forţe nodale independente nu pot determina univoc

şase deplasări nodale. În consecinţă, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit

considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.

109

6. Expresiile deplasărilor, u şi v, într-un punct oarecare din

interiorul elementului finit sunt:

u (x, y) = α1 + α2 x + α3 y ; v (x, y) = α4 + α5 x + α6 y , (3.38)

în care αi sunt parametri independenţi, ceea ce este în acord cu

considerentele de la etapa 1şi anume:

- polinoamele sunt de gradul întâi;

- deformaţiile şi tensiunile sunt constante în interiorul

elementului:

7. Se calculează, în interiorul elementului finit, deformaţiile:

εx= ∂u/∂x= α2; εy=∂v/∂y= α6; γxy=∂u/∂y+∂v/∂x= α3 + α5. (3.39)

8. Se calculează, în interiorul elementului finit, tensiunile:

ζx = E (α2 + υ α6) / (1 – υ2) ; ζy = E (α6 + υ α2) / (1 – υ

2) ;

ηxy = E (α3 + α5) / [2*(1 + υ)]. (3.40)

9. Deplasările în noduri trebuie să fie componentele vectorului

{u}, adică

ui=α1+α2xi+α3 yi; uj=α1+α2xj+α3yj; uk=α1+α2xk+α3 yk ; (3.41’)

vi=α4+α5xi+α6 yi ; vj=α4+α5xj+α6yj; vk=α4+α5xk+α6 yk . (3.41’’)

10. Relaţiile (3.41) pot fi privite ca un sistem de ecuaţii în care

necunoscutele sunt parametrii αi. În urma rezolvării sistemului

rezultă:

α1 = (ai ui + aj uj + ak uk) / Δ ; α2 = (bi ui + bj uj + bk uk) / Δ ;

α3 = (ci ui + cj uj + ck uk) / Δ ; (3.42’)

α4 = (ai vi + aj vj + ak vk) / Δ ; α5 = (bi vi + bj vj + bk vk) / Δ ;

α6 = (ci vi + cj vj + ck vk) / Δ, (3.42’’)

în care s-au notat:

ai = xj yk – xk yj; aj = xk yi – xi yk; ak = xi yj – xj yi;

bi = yj - yk; bj = yk – yi; bk = yi – yj; (3.42’’’)

ci = xk - xj; cj = xi – xk; ck = xj – xi,

şi Δ este determinantul

kk

jj

ii

yx1

yx1

yx1

, a cărui valoare absolută este

dublul ariei triunghiului ijk.

Volumul elementului finit este V = |Δ| t /2, în care t este grosimea.

11. Funcţiile de interpolare se obţin prin înlocuirea valorilor

(3.42) în expresiile (3.38):

u (x, y) = Ni(x, y) ui + Nj(x, y) uj + Nk(x, y) uk ; (3.43’)

v (x, y) = Ni(x, y) vi + Nj(x, y) vj + Nk(x, y) vk , (3.43’’)

110

în care N(x, y) sunt funcţiile de interpolare:

Ni=(ai+bix+ciy)/Δ ; Nj=(aj+bjx+cjy)/Δ; Nk=(ak+bkx+cky)/Δ. (3.44)

Cu relaţiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui

punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcţie de

deplasările nodale.

Este remarcabil faptul că în nodurile elementului funcţiile de

interpolare au valorile:

Ni (xi, yi) = 1; Ni (xj, yj) = 0; Ni (xk, yk) = 0;

Nj (xi, yi) = 0; Nj (xj, yj) = 1; Nj (xk, yk) = 0;

Nk (xi, yi) = 0; Nk(xj, yj) = 0; Nk (xk, yk) = 1.

12. Energia de deformaţie a elementului finit este

V

2

xyyx

2

y

2

x dV])1(22[E2

1W ,

sau W = |Δ| t ])1(22[ 2

xyyx

2

y

2

x /E,

în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.40).

13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este:

U = - Xi ui – Xj uj – Xk uk – Yi vi – Yj vj – Yk vk = - {u}T{R}.

14. Minimul energiei potenţiale totale Π = W + U se realizează

când sunt îndeplinite condiţiile:

∂Π/∂ui=0;∂Π/∂uj=0;∂Π/∂uk=0;∂Π/∂vi=0;∂Π/∂vj=0;∂Π/∂vk=0. (3.45)

În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că:

.......;)1(

Ec

vv1

E

v;

)1(

Eb

uu1

E

u 2

i

i

6

i

2

2

i

x

2

i

i

6

i

2

2

i

x

După efectuarea calculelor, condiţiile (3.45) pot fi scrise explicit

sub forma sistemului de ecuaţii

k11ui + k12vi + k13uj + k14vj + k15uk + k16vk = Xi

k21ui + k22vi + k23uj + k24vj + k25uk + k26vk = Yi

k31ui + k32vi + k33uj + k34vj + k35uk + k36vk = Xj

k41ui + k42vi + k43uj + k44vj + k45uk + k46vk = Yj

k51ui + k52vi + k53uj + k54vj + k55uk + k56vk = Xk

k61ui + k62vi + k63uj + k64vj + k65uk + k66vk = Yk

ai cărui coeficienţi kij (pentru i = 1, 2, ...6 şi j = 1, 2, ...6) sunt chiar

elementele matricei de rigiditate, [k], din relaţia (3.37), a

elementului.

111

15. Matricea de rigiditate a elementului finit de tipul

considerat este:

Nodul→ i j k

Direcţia x← ↓ →y x← ↓ →y x← ↓ →y ↓ ↓

X

↨ ↔ i

y

x ↨ ↔ j

y

x ↨ ↔ k

y

în care s-au folosit notaţiile: 2112

EtK

; β =(1- υ)/2 şi γ=(1+ υ) / 2.

Formularea matriceală a MEF.

Relaţiile de bază ale MEF pot fi scrise în formă matriceală, ceea

ce oferă metodei mai multă claritate, concizie şi generalitate.

Astfel relaţiile (3.40) se scriu

.Bsau,*

010100

100000

000010

1

6

5

4

3

2

1

xy

y

x

De asemenea relaţiile (3.42) devin

{α} = [B1] {u}, de unde {ε} = [B1] [C]{u}, sau

{ε} = [B] {u}, (3.47)

în care s-a notat {ε} = [B1] [C] şi

.

bcbcbc

c0c0c0

0b0b0b

B

kkjjii

kji

kji

Legea lui Hooke (3.40) capătă forma

(3.46)

112

xy

y

x

2

xy

y

x

2)1(00

01

01

1

E, sau {ζ} = [D] {ε},

în care se poate înlocui relaţia (3.47) şi rezultă

{ζ} = [D] [B] {u}. (3.48)

Expresia energiei de deformaţie a elementului finit considerat

capătă forma

,dV2

1W

V

T

în care se înlocuiesc expresiile (3.47) şi (3.48) şi rezultă

u*dVBDBu2

1W

V

TT , (3.49)

deoarece TTT Bu)uB( .

Cu notaţia

dVBDBkV

T , (3.50)

expresia energiei potenţiale totale este

Ruuku2

1 U W

TT , (3.51)

pentru care se pune condiţia de minim ∂π/∂u = [k]{u} - {R} = 0,

din care rezultă că (3.50) este chiar expresia matricei de rigiditate a

elementului finit.

Scrise în forma matriceală, expresiile (3.49), (3.50) şi (3.51) sunt

generale, valabile pentru orice tip de element finit.

În relaţiile de mai sus trebuie remarcat că:

- matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece

defineşte legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice {ε} şi

vectorul deplasărilor nodale, {u};

- matricea [D] este matricea de elasticitate, a materialului, care

intervine în expresia legii lui Hooke.

În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din

expresia matricei de rigiditate (3.50), situaţii în care valorile

respective se determină prin integrare numerică.

113

Pentru tipul de element finit considerat, expresia de sub

operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la

[k] = |Δ| t [B]T

[D] [B] /2, (3.46’)

care este forma matriceală a expresiei, (3.46), a matricei de rigiditate

a elementului finit.

Celelalte aspecte ale MEF.

Următoarele concepte, definiţii şi semnificaţii ale mărimilor,

proceselor şi noţiunilor din metoda deplasărilor pentru bare drepte

rămân valabile şi în MEF, motiv pentru care nu vor mai fi reluate în

acest capitol:

- nodul şi gradele de libertate geometrică, DOF, asociate;

- matricea de rigiditate a elementului (se schimbă doar

metodologia de calcul şi ceea ce rezultă din ea, adică relaţiile de

calcul);

- transformarea matricei de rigiditate a elementului la trecerea de

la reperul local la cel global;

- procesul de asamblare a matricelor de rigiditate ale elementelor

în matricea de rigiditate a structurii;

- formarea sistemului de ecuaţii al structurii;

- scrierea condiţiilor în legături;

- etapele de rezolvare a unei probleme.

Verificarea modelelor de calcul cu elemente finite.

Modelul de calcul şi rezultatele obţinute cu ajutorul său trebuie

supuse unor teste şi verificări. Scopul acestora este de a “valida”

modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigenţele

impuse şi dacă rezultatele obţinute cu ajutorul lui permit formularea

unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul

analizei cu elemente finite. Unele teste şi verificări sunt calitative şi

globale, altele cantitative şi de detaliu.

Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul

trebuie îmbunătăţit şi procesul de verificare-îmbunătăţire-verificare

se continuă până când se obţine un model satisfăcător, adică valid.

În figura 3.12 este prezentată schema generală a procesului de

verificare-îmbunătăţire a modelului de calcul cu elemente finite.

114

Figura 3.12

O enumerare a celor mai importante şi utilizate metode şi

procedee de verificare a modelelor pentru calculul cu elemente finite

este următoarea:

- verificările experimentale pe structura reală. De obicei acestea

sunt ulterioare calculului (după ce structura s-a executat. Se pot face

şi verificări experimentale pe modele fizice reduse la scară;

- efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi

compararea rezultatelor obţinute. Modelele pot fi de acelaşi tip,

adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu,

MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de

calcul diferite;

- preprocesarea geometriei modelului este cea mai utilizată şi cea

mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a

corectitudinii definirii condiţiilor de rezemare şi a aplicării sarcinilor.

Se poate spune că este totdeauna obligatorie.

Figura 3.13

115

Verificarea constă în citirea fişierului cu datele de intrare pentru

programul MEF, preprocesarea informaţiilor conţinute în acest fişier

şi trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se

prezintă în figura 3.13, pentru modelul unei structuri industriale;

- verificări ale condiţiilor de simetrie sau antisimetrie geometrică

şi mecanică;

- verificări printr-un calcul simplu, aproximativ;

- verificarea greutăţii;

- verificări globale şi calitative ale modelului care să aibă în

vedere configuraţiile stărilor de tensiuni şi deplasări, semnele lor,

ordinul de mărime şi chiar valorile rezultatelor obţinute. Din practica

inginerească şi din experienţa altor analize se ştie unde sunt zonele

cu tensiuni şi deplasări mari, care este configuraţia structurii

deformate şi între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor

obţinute.

De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este

aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se poate cere modelului mai

mult decât poate oferi metoda, rezultatele obţinute fiind determinate

atât de performanţele modelului cât şi de principiile, ipotezele şi

procedurile matematice de calcul incluse în metoda şi în programul

cu elemente finite.

Surse de erori în metoda elementelor finite.

Metoda elementelor finite este o metodă aproximativă de calcul.

La modelarea şi rezolvarea unei probleme date se fac o serie de

aproximări, care au drept consecinţă faptul că soluţia obţinută cu

MEF are unele abateri faţă de soluţia exactă, necunoscută. Aceste

abateri de aproximare se numesc în mod obişnuit erori ale MEF,

ceea ce nu este corect. În principiu, conceptul de eroare are sensul de

greşeală – intenţionată sau involuntară – şi ea poate fi, de obicei,

corectată sau evaluată cantitativ, ceea ce nu este valabil şi pentru

MEF. Pentru problemele care sunt abordate cu MEF nu sunt, de

obicei, cunoscute soluţii alternative, obţinute pe alte căi, cu care

acestea să se compare pentru a se determina abaterile relative.

Existenţa acestor abateri sau erori de aproximare ale MEF este

principalul său dezavantaj şi este tributul plătit pentru calităţile,

116

avantajele şi performanţele sale. În continuare se va folosi pentru

aceste abateri termenul, obişnuit, de eroare a MEF.

Sursele de erori de aproximare se află la diverse nivele şi intervin

în diverse etape ale procesului de analiză cu elemente finite (FEA).

Identificarea şi înţelegerea mecanismelor care guvernează aceste

erori face posibilă - uneori şi într-o oarecare măsură – reducerea şi

evaluarea acestora. Cele mai importante dintre sursele de erori ale

MEF sunt următoarele (nu se menţionează greşelile posibile ale

utilizatorului, provenite din neştiinţă, neatenţie sau incompetenţă):

1. Erorile conceptuale sau de principiu provin din neglijarea

satisfacerii ipotezelor şi conceptelor care definesc diversele categorii

de probleme ale structurilor mecanice, ceea ce poate duce la erori

mari ale soluţiei obţinute. De exemplu, nu sunt îndeplinite una sau

mai multe dintre ipotezele care delimitează modelul de structură

liniar elastică, definită ca mediu continuu, omogen şi izotrop, cu

liniaritate geometrică, elasticitate perfectă, liniaritate fizică şi fără

tensiuni iniţiale. De asemenea, se presupune că structura este în

echilibru (static sau dinamic) şi că este valabil principiul lui Saint

Venant, ipoteza secţiunii plane (pentru bare) şi ipoteza normalei

rectilinii (pentru plăci şi învelişuri). În aceste condiţii, ecuaţiile de

echilibru scrise pentru structura nedeformată rămân valabile şi pentru

structura deformată, funcţiile eforturilor nu depind de deplasări,

dependenţa dintre sarcini şi deplasări este liniară, ecuaţiile

diferenţiale sunt cu coeficienţi constanţi, este aplicabil principiul

suprapunerii efectelor etc.

2. Aproximarea geometriei structurii reale are loc în procesul

de elaborare a modelului de calcul. Diversele forme geometrice ale

structurii date se aproximează pentru ca modelul de calcul să fie cât

mai simplu şi pentru a se putea realiza pe el reţeaua de discretizare.

3. Aproximarea sarcinilor care se aplică modelului se referă la:

valorile acestora, modul de variaţie (pe suprafaţă, pe volum, în

funcţie de timp etc), direcţia, poziţia pe model a punctului de

aplicaţie etc. Se vor avea în vedere variantele de încărcare cerute de

beneficiar şi modalităţile de evaluare ale regimurilor de încărcare şi

anume, sarcini nominale, de avarie, de probă, maxime, accidentale

etc. De asemenea, sarcinile se pot aplica static, dinamic cu o viteză

cunoscută, (prin şoc) etc. Încărcarea poate fi staţionară sau

117

nestaţionară, variabilă după legi cunoscute sau variabilă aleator. În

procesul de deformare al structurii sarcinile îşi pot modifica direcţiile

sau punctele de aplicaţie.

4. Aproximarea condiţiilor de rezemare se referă la faptul că

acestea se definesc, de regulă, în nodurile modelului şi constau în

introducerea restricţiei ca deplasarea (componenta liniară sau cea de

rotire) să aibă valoarea zero, sau o valoare cunoscută, pe direcţia

dorită. Deplasările nodale sunt definite pe direcţiile reperului global

al modelului, şi - de obicei - şi condiţiile de rezemare. Dacă este

necesar, se poate defini un nou sistem de referinţă, pentru unele

reazeme (sau pentru toate), rotit faţă de sistemul global. În cazuri

deosebite, pentru modelarea condiţiilor de rezemare se folosesc

elemente finite speciale, de tip bound şi (sau) gap, care permit

definirea reazemelor pe orice direcţie. Se pot defini reazeme

deformabile (cu o anumită valoare a constantei elastice sau a

rigidităţii) şi se pot introduce forţe de frecare.

5. Aproximarea introdusă de elementul finit utilizat este, cea

mai importantă sursă de erori în MEF, acesta fiind inclusă în

principiile fundamentale ale metodei. În esenţă aproximarea aceasta

constă în faptul că pentru un subspaţiu al structurii reale, pentru care

deplasările (şi tensiunile) au o lege de variaţie oarecare,

necunoscută, se utilizează un element finit care are implementată o

funcţie de aproximare prestabilită, specifică tipului de element finit

utilizat. Tipurile de elemente disponibile în “bibliotecile”

programelor au fost concepute astfel încât să fie cât mai performante

şi să ofere utilizatorului posibilitatea satisfacerii unor cerinţe cât mai

diverse, acestuia revenindu-i sarcina de a le utiliza corect şi eficient,

incluzând şi cerinţa ca erorile de aproximare să fie cât mai mici. În

acest sens utilizatorul trebuie să ştie care sunt principalele cerinţe şi

proprietăţi ale funcţiilor de aproximare (denumite şi funcţii de

interpolare) ale elementelor.

Pentru MEF - modelul deplasare, funcţiile se referă la câmpul

deplasărilor. Aceste funcţii trebuie să asigure energiei potenţiale

totale a structurii deformate o valoare minimă, corespunzătoare stării

de echilibru stabil a acesteia, compatibilitatea internă şi satisfacerea

condiţiilor la limită. În acest caz, rezultatele obţinute prin FEA,

pentru modele cu discretizări tot mai fine, adică având un număr tot

118

mai mare de noduri şi de elemente, conduce la obţinerea unor

rezultate tot mai precise, adică procesul este convergent.

Pentru asigurarea convergenţei FEA, funcţiile de aproximare

trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:

a – Continuitatea. Dacă funcţiile sunt polinoame, se asigură

cerinţa ca în interiorul elementului şi pe conturul său câmpul

deplasărilor să nu aibă discontinuităţi, salturi, goluri sau variaţii

bruşte;

b – Compatibilitatea sau conformitatea. Trebuie ca în procesul

de deformaţie elementele să rămână solidare în toate punctele

frontierei comune, adică să nu se separe, să nu ducă la goluri sau

discontinuităţi şi să nu pătrundă în domeniul elementelor vecine.

Pentru a fi compatibile, elementele adiacente trebuie ca pe linia sau

suprafaţa comună să aibă aceleaşi: coordonate pentru noduri, grade

de libertate în noduri, tip de funcţii de aproximare pentru deplasări şi

(uneori) să fie raportate la sisteme de coordonate locale. În practica

FEA, apar frecvent situaţii în care trebuie “conectate” elemente care

nu sunt compatibile. Cel puţin în zonele din imediata apropiere a

acestor linii sau suprafeţe este de aşteptat ca rezultatele obţinute să

fie afectate de erori mai mari decât cele obişnuite.

c – Complinirea. Funcţiile de aproximare trebuie să conţină

termeni care să descrie deplasările de corp rigid (adică translaţii

uniforme pe toate direcţiile şi rotaţii fără distorsiuni unghiulare) şi

stările de deformaţii constante ale elementului, adică să conţină

termeni constanţi şi termeni de gradul întâi.

Cele mai utilizate şi eficiente tipuri de elemente finite sunt cele

izoparametrice, care au polinoame (sau, mai rar, alte tipuri de

funcţii) de acelaşi tip atât pentru definirea geometriei elementului (de

exemplu laturile unui patrulater) cât şi pentru aproximarea câmpului

deplasărilor;

d – Invarianţa geometrică. Elementul finit trebuie să aibă aceeaşi

stare de deformaţie (sau de tensiune, relaţia dintre ele fiind lineară,

prin legea lui Hooke) oricare ar fi orientarea sistemului local de

coordonate (reperul local) în raport cu care aceasta este formulată.

Această cerinţă are în vedere faptul că în timp ce sistemul global de

coordonate (reperul global), al întregii structuri, are o orientare

spaţială fixă, la care sunt raportate toate mărimile nodale (deplasări,

119

sarcini, grade de libertate geometrică, condiţii de rezemare), fiecare

element are propria sa poziţie şi orientare spaţială. Cerinţa este

satisfăcută dacă expresia funcţiei de aproximare, prin termenii pe

care îi conţine, nu “favorizează” nici una dintre coordonatele locale.

La elaborarea modelului trebuie luat în considerare faptul că

procesul de convergenţă poate fi atins pe două căi şi anume:

α - utilizarea elementelor de “ordin superior”, care au polinoame

de aproximare cu grad cât mai mare. Aceasta presupune ca elementul

să aibă un număr mai mare de noduri, cu mai multe grade de libertate

geometrică şi o formă geometrică mai complicată. Privit din punct de

vedere informatic acest tip de element este mai eficient deoarece

prelucrează o cantitate mai mare de informaţii. Din păcate,

bibliotecile cu elemente finite ale programelor oferă un număr mic de

elemente de acest tip;

β - realizarea unei discretizări cât mai fine, adică modelul să aibă

un număr cât mai mare de noduri şi de elemente finite.

Practica FEA nu a confirmat superioritatea uneia sau alteia din

cele două căi, fiecare cale dovedind faţă de cealaltă o mai bună

aproximare a soluţiei pentru unele tipuri de probleme, dar inferioară

pentru altele.

Pentru ca soluţia obţinută prin “rafinarea” discretizării să fie o

mai bună aproximare a problemei date, trebuie satisfăcute

următoarele cerinţe:

- fiecare discretizare anterioară trebuie să se “regăsească” în cea

nouă;

- fiecare punct al modelului trebuie să aparţină unui element

finit;

- funcţiile de aproximare ale elementelor utilizate trebuie să

rămână aceleaşi când se trece de la o

reţea de discretizare la alta.

6. Forma distorsionată a elementelor finite obţinute prin

discretizare duce la creşterea erorilor de aproximare. Aceasta

înseamnă că, de exemplu, un element triunghiular trebuie să fie cât

mai apropiat de un triunghi echilateral, un element patrulater cât mai

aproape de un pătrat, un element hexaedric de volum de un cub etc.

Programele MEF conţin proceduri de verificare a formei elementelor

şi transmit mesaje de atenţionare pentru cele distorsionate, astfel

120

încât utilizatorul să poată interveni, prin modificarea reţelei de

discretizare, pentru a reduce cât mai mult această eroare de modelare.

7. Sensibilitatea tipurilor de elemente la sarcini concentrate,

aplicate în nodurile reţelei de discretizare, poate duce la interpretări

greşite ale rezultatelor FEA, deoarece fiecare tip de element

“răspunde” diferit sub acest aspect al modelării şi se pot considera ca

valori maxime ale tensiunilor valori “locale irelevante”. În teoria

elasticităţii, o forţă concentrată aplicată într-un punct al semispaţiului

elastic duce la o singularitate, adică în acel punct, tensiunea normală

pe direcţia forţei are valoarea infinit, adică nu poate fi determinată

(problema Boussinesq). În MEF forţa concentrată aplicată într-un

nod al reţelei de discretizare nu constituie o singularitate, dar valorile

tensiunilor şi deplasărilor din nodul respectiv şi din elementele

vecine au valori care depind de tipul elementului finit.

8. Aproximarea valorilor constantelor elastice şi fizice ale

materialului se face adesea cu erori relativ mari pentru că nu există

informaţii suficient de precise şi sigure despre structura pentru care

se face modelarea. De exemplu, nu se cunoaşte curba caracteristică

reală a materialului, sau variaţiile constantelor elastice ale unui

laminat în raport cu direcţia de laminare (mai ales pentru table),

valorile coeficienţilor de frecare în reazeme (pentru calculul forţelor

de frecare), valorile factorilor de amortizare şi dependenţa acestora

funcţie de frecvenţă, constantele de transmisie a căldurii prin

conductivitate, radiaţie sau convecţie, variaţia constantelor funcţie de

temperatura de lucru etc. În aceste condiţii trebuie remarcat faptul că

adesea este absurd să se depună eforturi pentru elaborarea unui

model sofisticat, cu un mare număr de noduri şi elemente, în speranţa

obţinerii unor rezultate precise, dacă valorile constantelor introduse

în calcul sunt incerte, deoarece acestea pot altera semnificativ

rezultatele şi deci nivelul lor de încredere să fie iluzoriu. Sunt cazuri

în care variaţii relativ mici (de câteva procente) ale valorilor

constantelor duc la variaţii relativ mari ale rezultatelor ( de zeci de

procente).

9. Aproximarea maselor şi a distribuţiei acestora apare pentru

problemele dinamice – vibraţii libere şi forţate, răspuns dinamic,

răspuns seismic etc. – şi poate duce la erori imprevizibile, greu de

evaluat. Pentru structuri complexe, volumul calculelor pentru

121

probleme de valori proprii poate deveni foarte mare şi o cale pentru

reducerea acestuia este ca modelul să aibă un număr limitat de grade

de libertate, ceea ce implică “reducerea”, sau condensarea matricei

de masă şi a celei de rigiditate.

10. Erorile de trunchiere apar în procesul de calcul ca urmare a

faptului că în calculator toate variabilele (altele decât cele întregi)

sunt reprezentate cu un număr finit de cifre. Prin aceasta apar erori

care se “cumulează” şi se “propagă” şi pot deveni importante când

volumul operaţiilor de calcul este foarte mare. Erorile de trunchiere

pot afecta în special precizia soluţiei sistemului de ecuaţii al MEF

precum şi celelalte etape de calcul ale unei FEA. În consecinţă, sunt

programe care au implementate module de calcul pentru rezolvarea

iterativă a sistemului de ecuaţii, prin aceasta putându-se “corecta”

soluţia iniţială până când corecţia devine mai mică decât un prag

prestabilit.

11. Calculul tensiunilor şi ale altor mărimi “derivate” introduce

erori suplimentare de aproximare. Trebuie avut în vedere faptul că,

pentru modelul deplasare, deplasările nodale sunt necunoscutele

“primare”, deci primele valori care se obţin în urma FEA, celelalte

fiind mărimi “derivate” din valorile acestora, ceea ce implică operaţii

de calcul suplimentare şi deci şi erori suplimentare de aproximare.

Pentru fiecare tip de element tensiunile se determină altfel, în

anumite puncte şi pe anumite direcţii, acestea fiind opţiuni ale post-

procesării, sau ale “retro-calculului”. Tensiunile în noduri, se

calculează ca medii aritmetice ale tensiunilor nodale pentru

elementele care se conectează în fiecare nod. Acest fapt trebuie avut

în vedere când se fac interpretări ale rezultatelor obţinute prin FEA:

care sunt tensiunile care trebuie luate în considerare, cele din noduri

sau cele din elemente.

Concluzii. Din cele prezentate se poate constata că problema

erorilor de aproximare ale modelării şi analizei cu elemente finite

este foarte complexă, ceea ce face aproape imposibil controlul şi

evaluarea acestora. O modalitate de evalua erorile de aproximare

constă în calculul factorului de estimare a erorii, procedură pe care

o au implementată programele actuale pentru analiza cu elemente

finite.

122

Pentru reducerea efectelor erorilor de aproximare nu se pot emite

recomandări cu aplicabilitate generală ci fiecare utilizator, de la caz

la caz, trebuie să se orienteze singur, pentru a obţine o soluţie

acceptabilă a modelării şi analizei cu elemente finite. Cunoaşterea

surselor de erori şi înţelegerea mecanismelor lor de “acţiune” pot fi

ajutoare preţioase în demersurile pentru o modelare şi analiză de

succes.

Avantajele, dezavantajele şi limitele metodei elementelor

finite.

În prezent metoda elementelor finite este aproape generalizată în

proiectarea inginerească asistată şi are aplicabilitate masivă în

cercetarea mecanică, transmisia căldurii, electricitate, hidraulică,

biomecanică etc.

Avantajele MEF. Propagarea “masivă”, într-un interval de timp

relativ scurt, a MEF se explică în primul rând prin avantajele sale,

dintre care cele mai importante sunt:

1. Generalitatea. MEF este o metodă numerică aproximativă de

calcul care se poate utiliza pentru rezolvarea problemelor de

mecanica structurilor deformabile, mecanica fluidelor, transmisia

căldurii, electromagnetism, electrostatică, biomecanică etc.

Solicitările pot fi statice, dinamice, periodice, staţionare,

nestaţionare, tranzitorii etc. Problemele pot fi liniare, neliniare (cu

diverse tipuri de nelinearităţi), dependente de timp, probleme de

stabilitate, de vibraţii, de interacţiune etc. În prezent utilizarea MEF

este limitată doar de lipsa de imaginaţie şi de ingeniozitate a

potenţialilor beneficiari.

2. Supleţea. Pentru abordarea unei anumite probleme concrete cu

MEF, nu există nici un fel de restricţii care să decurgă din metodă,

adică elaborarea modelului de calcul al problemei date se poate face

cu o libertate deplină, în care esenţiale sunt fantezia, ingeniozitatea şi

experienţa utilizatorului. Supleţea MEF asigură elaborarea cu foarte

mare uşurinţă a modelului de calcul şi permite automatizarea acestui

proces într-o foarte mare măsură.

După ce s-a realizat modelul şi s-au făcut diverse calcule cu el,

într-un număr de variante privind solicitările, condiţiile de rezemare,

opţiunile de analiză etc, se pot obţine variante noi, îmbunătăţite, ale

123

modelului iniţial, astfel încât să fie satisfăcute cât mai deplin

diversele exigenţe ale utilizatorului.

3. Simplitatea conceptelor de bază. Pentru utilizarea MEF nu

este necesar ca utilizatorul să aibă cunoştinţe speciale de

matematică sau informatică, ci este suficient ca el să aibă cunoştinţe

inginereşti de bază. Se pot înţelege şi asimila, cu un efort minim,

conceptele de bază ale MEF şi anume: nod, element finit, reţea de

discretizare, structură, model de calcul. 4. Utilizarea calculatoarelor. Din chiar principiile de bază ale

MEF, rezultă necesitatea efectuării unui volum foarte mare (uneori

chiar uriaş) de calcule numerice, ceea ce impune implementarea

metodei pe calculator. Dezvoltarea MEF şi a programelor care

folosesc metoda s-au realizat în strânsă concordanţă cu creşterea

performanţelor sistemelor de calcul.

5. Existenţa programelor de calcul cu MEF. În prezent se

comercializează şi sunt accesibile numeroase programe de calcul cu

MEF, deosebit de performante. Aceste programe permit analiza

oricărei structuri mecanice, cu o complexitate practic nelimitată în

ceea ce priveşte forma geometrică, dimensiunile, solicitările,

variantele de analiză etc. Se poate afirma că, în prezent, se poate

calcula orice structură mecanică cu MEF.

6. Facilităţi de pre şi postprocesare. MEF permite ca relativ

simplu să se realizeze o mare diversitate de proceduri eficiente de

preprocesare a modelului de calcul în vederea reducerii volumului de

muncă, în special a discretizării automate şi a verificării acestuia.

Rezultatele obţinute în urma procesării modelului - care au de obicei

un volum uriaş - pot fi prezentate sub formă de tabele, listinguri,

desene, diagrame, animaţii, alb-negru sau color etc, astfel încât

informaţiile oferite beneficiarului să fie cât mai accesibile, sugestive,

atractive, complete, precise etc.

7. Stabilitatea algoritmilor de calcul. Eforturile a numeroşi

cercetători (matematicieni şi ingineri) s-au concretizat prin

elaborarea unor algoritmi şi proceduri eficiente şi sigure, informatice

şi matematice de calcul, destinate MEF şi FEA, care s-au verificat, s-

au impus şi au fost unanim acceptate. În aceste condiţii, MEF şi

programele corespunzătoare elaborate oferă stabilitate şi siguranţă

utilizatorilor. Variante noi ale programelor includ fie extinderi ale

124

bibliotecilor de elemente finite sau ale opţiunilor de calcul

implementate, fie noi facilităţi de pre şi postprocesare.

Dezavantajele MEF. Prin extinderea până aproape de

generalizare a MEF şi FEA, precum şi prin numărul uriaş de

utilizatori entuziaşti ai acestora, nu înseamnă că MEF a ajuns

panaceu universal în calculele efectuate în inginerie şi în cercetare.

Metoda are dezavantaje şi limite. Cele mai importante dezavantaje

ale MEF sunt:

1. Metoda este aproximativă. Analiza cu MEF nu se face pentru

structura reală ci pentru un model (de calcul) al acesteia şi rezultatele

obţinute reprezintă o aproximare a stărilor de deplasări, tensiuni,

temperaturi etc din structura reală care se analizează. Dezavantajul

MEF constă în aceea că nu se poate estima - în marea majoritate a

situaţiilor reale - cu un nivel de încredere cuantificabil, cât de bine

aproximează FEA soluţia exactă (necunoscută) a problemei care se

analizează. Altfel spus, este foarte dificil - uneori chiar imposibil – să

se estimeze care sunt abaterile valorilor mărimilor (deplasări,

tensiuni, eforturi, frecvenţe etc.) calculate cu MEF faţă de cele reale,

necunoscute.

2. Modelul de calcul este, într-o mare măsură, subiectiv şi

arbitrar. Utilizatorul are libertate deplină în elaborarea modelului,

MEF neavând restricţii în acest sens. Supleţea metodei duce la

suspiciuni în legătură cu corectitudinea modelului şi a eficienţei

analizei realizate cu el. În aceste condiţii hotărâtoare sunt curajul,

ingeniozitatea şi experienţa utilizatorului în domeniul MEF şi FEA,

atribute subiective şi greu de evaluat cantitativ. Elaborarea unui

model de calcul performant devine astfel o artă. Din acest motiv,

diverse institute de proiectare sau firme, au emis norme şi reguli de

elaborare a modelelor pentru unele categorii de structuri, unele dintre

acestea fiind validate în practică.

3. Elaborarea modelului de calcul este laborioasă. Pentru

realizarea modelului cu elemente finite al unei structuri este necesar

din partea utilizatorului un efort considerabil şi o foarte bună

cunoaştere a modului de preprocesare al programului cu elemente

finite sau a interfeţei CAD – MEF.

4. Programele MEF sunt complexe şi scumpe. În dorinţa de a

satisface cât mai bine exigenţele utilizatorilor şi de a face faţă

125

concurenţei, firmele care elaborează programe performante pentru

analize cu elemente finite au realizat produse de o foarte mare

complexitate. Pentru utilizarea corectă şi eficientă a acestora li se cer

utilizatorilor eforturi deosebite, pentru lungi perioade de timp.

Preţurile programelor sunt relativ mari, uneori chiar prohibitive.

Limitele MEF şi FEA. Cele mai importante limite ale metodei

şi analizelor cu elemente finite sunt următoarele:

1. Precizia rezultatelor. În principiu MEF este convergentă şi

soluţia unei probleme se poate apropia oricât de mult de soluţia

exactă (necunoscută), dar nu o poate atinge (decât rareori şi numai

pentru structuri foarte simple) şi nici nu se pot preciza abaterile

dintre cele două soluţii. Altfel spus, precizia soluţiei FEA este

limitată.

2. Ineficienţa MEF pentru unele tipuri de analize. Pentru analiza

unor probleme locale, ca de exemplu, pentru unele tipuri de

concentratori, posibilităţile MEF sunt limitate în ceea ce priveşte

performanţele de eficienţă şi precizie ale rezultatelor obţinute prin

FEA.

3. Limitările programului MEF. Oricât de general şi de

performant ar fi un program, el are implementate doar anumite tipuri

de elemente finite şi de proceduri pentru analize, preprocesări şi

postprocesări, ceea ce limitează performanţele şi posibilităţile de

utilizare ale acestuia.

4. Resursele sistemului de calcul. În prezent performanţele

calculatoarelor au atins nivele extrem de ridicate şi practic nu se

ivesc, în general, dificultăţi în a realiza FEA pentru modele oricât de

complexe. Atingerea limitelor resurselor sistemului de calcul se

poate produce în cazuri particulare, pentru analize neliniare,

dinamice, procese iterative, etc pentru numere foarte mari ale

nodurilor şi elementelor modelului, dacă parametrii calculatorului au

valori relativ modeste.

3.11. Concluzii

Simplul fapt că se utilizează în paralel mai multe metode de

calcul demonstrează că nici una dintre acestea nu poate acoperi

marea diversitate a cerinţelor calculului ingineresc al structurilor. De

asemenea, nu există o metodă de calcul care să aibă avantaje majore,

126

pe multiple planuri, care să le pună într-o inferioritate categorică pe

celelalte; fiecare din metodele utilizate, are avantaje, delimitări şi

dezavantaje, care le asigură eficienţa pentru o anumită categorie,

limitată, de probleme.

Probabil că în viitor programele de calcul vor avea implementate

proceduri şi module elaborate pe baza unor metode diferite, astfel

încât să se valorifice la maximum avantajele fiecărei metode,

selectarea uneia sau a alteia dintre metode făcând-o programul.

În prezent metoda elementelor finite este cea mai utilizată şi

eficientă, în general.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

127

4.

CALCULUL STRUCTURILOR CU

COMPORTARE NELINEARĂ

4.1. Categorii de probleme nelineare

Toate fenomenele din domeniul mecanicii solidului deformabil

sunt nelineare. Din fericire, sunt numeroase situaţiile ivite în practica

inginerului mecanic sau constructor, în care, pentru obţinerea unor

soluţii aproximative satisfăcătoare, se acceptă ipoteze care duc la o

formulare lineară a problemei reale, sau, altfel spus, la un model

linear elastic. În astfel de cazuri erorile soluţiei problemei linear

elastice sunt relativ mici faţă de soluţia exactă a problemei nelineare.

Analiza unei structuri ca problemă nelineară, când este cazul, se

justifică prin obţinerea unor rezultate mai precise, conforme cu

realitatea, în acest caz fiind valorificate - de obicei - “rezervele” de

rezistenţă ale structurii.

Calculul în regim linear elastic trebuie să îndeplinească

următoarele condiţii:

- relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice să fie lineare;

- deformaţiile specifice să fie mici;

- deplasările să fie mici;

- să existe o dependenţă lineară între deplasări şi sarcini;

- eforturile să nu fie funcţii de deplasări;

- ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată să

rămână valabile şi pentru structura deformată;

- să fie valabil principiul suprapunerii efectelor.

Trebuie remarcat faptul că uneori unele din condiţiile enumerate

sunt consecinţe ale altora, ca, de exemplu, dacă primele trei condiţii

sunt îndeplinite, atunci, de regulă, există linearitate între deplasări şi

sarcini. Dar această situaţie nu este generală, fiind numeroase

excepţiile întâlnite, ca, de exemplu, cazul arcurilor elicoidale conice

sau al structurilor cu frecări puternice în reazeme. Existenţa frecărilor

128

în reazeme poate duce la încălcarea principiului suprapunerii

efectelor.

În sensul cel mai general, se consideră că o problemă de

mecanica solidului deformabil este nelineară, când cel puţin una din

condiţiile enumerate nu este îndeplinită.

Sunt cazuri în care abordarea unor probleme nelineare ale

analizei structurilor mecanice deformabile nu mai poate fi evitată, ca,

de exemplu:

- Structura este executată din materiale “care nu ascultă de legea

lui Hooke”, adică curba caracteristică a acestora nu are o porţiune

rectilinie; este cazul fontelor, al unor aliaje neferoase, mase plastice,

materiale compozite etc.

- În unele zone ale structurii, deformaţiile se produc în stadiul

plastic, deci structura este solicitată elasto-plastic, adică parţial

elastic, parţial plastic. Astfel de situaţii apar când sunt concentratori

de tensiuni, probleme de contact, în studiul unor procese tehnologice,

în analiza comportării unei structuri înaintea producerii ruperii etc.

- Probleme la care deplasările produse de sarcinile aplicate sunt

mari, acestea putând fi însoţite sau nu şi de deformaţii plastice. Este

cazul unor structuri flexibile, structuri cu pereţi subţiri, structuri

formate din bare sau plăci, elemente elastice compensatoare de

dilatare, studiul unor fenomene post-flambaj sau post-fluaj etc. În

practica analizei acestor probleme se face distincţie între structuri cu

deplasări mari şi cele cu deplasări foarte mari. În aceste cazuri

configuraţia geometrică a structurii se modifică mult, în cel de al

doilea caz, chiar fundamental.

- Probleme de contact, la care, pentru încărcare zero, contactul

este într-un punct sau pe o linie (arie zero) iar pe măsură ce sarcina

creşte, contactul are loc pe suprafaţă a cărei formă şi arie cresc.

Distribuţia presiunii de contact se modifică şi ea, dependenţa fiind

nelineară în raport cu sarcina. În zona contactului apar, de obicei,

tensiuni relativ mari şi este posibilă apariţia deformaţiilor plastice.

- Pentru structuri industriale complexe (de exemplu, reţelele de

conducte din combinatele chimice), este posibil ca dependenţa

deplasărilor de ansamblu ale structurii să fie nelineară funcţie de

sistemul de sarcini, datorită forţelor de frecare din reazeme, a

129

interacţiunilor cu alte structuri sau datorită existenţei unor asamblări

cu elemente (de exemplu, garnituri) care au comportare nelineară.

Desigur că se pot ivi situaţii în care se “combină” unele din

aspectele menţionate, care nu reprezintă nici pe departe o enumerare

exhaustivă.

Problemele enumerate pot fi formulate şi abordate ca procese

statice, staţionare sau ca procese dinamice, dependente de timp,

nestaţionare sau tranzitorii, materialele putând fi vâscoelastice sau

vâscoplastice, adică cu proprietăţi elastice sau plastice, variabile în

funcţie de timp. În concluzie, se poate afirma că există o foarte mare

diversitate de probleme nelineare, cărora le corespund numeroase

metode de rezolvare.

Metoda elementelor finite (MEF), prezentată în capitolul 9, se

pretează foarte bine pentru analiza structurilor cu comportare

nelineară, programele actuale permiţând abordarea problemelor cele

mai complicate.

În practica modelării şi analizei inginereşti a structurilor cu

comportare nelineară, în vederea simplificării şi sistematizării acestor

probleme se foloseşte, de obicei următoarea clasificare:

a. Probleme cu nelinearitate de material. În aceste cazuri

dependenţa dintre tensiuni şi deformaţii este nelineară. Aceasta poate

fi asociată cu solicitarea în domeniul plastic, dincolo de limita de

curgere (sau în domeniul elasto-plastic, adică situaţii în care pentru

unele zone deformaţiile sunt elastice, iar în altele, atât elastice cât şi

plastice), sau cu o comportare intrinsec nelineară a materialului, ca,

de exemplu, în cazul materialelor plastice termoplaste.

b. Probleme cu nelinearitate geometrică. În această categorie

intră problemele pentru care în procesul de deformaţie se produc

deplasări mari. Se admite că materialul are o comportare linear

elastică. Relaţiile dintre deformaţii şi deplasări precum şi relaţiile

dintre sarcini şi deplasări (pentru întreaga structură) devin nelineare.

De asemenea, valorile eforturilor devin funcţii de deplasări, iar

ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată nu mai

rămân valabile şi pentru structura deformată.

c. Probleme cu nelinearitate generală. În aceste cazuri se

suprapun, adică se “cumulează”, condiţiile de nelinearitate de

material şi geometrică, de la categoriile a şi b, aceasta fiind

130

problema generală cu comportare nelineară. În această categorie

intră şi problemele de contact.

În cadrul fiecăreia din cele trei categorii de probleme pot fi avute

în vedere aspecte dinamice, de stabilitate sau de vâscoelasticitate sau

vâscoplasticitate.

4.2. Diagnosticarea unei probleme nelineare

În practica modelării şi analizei structurilor deformabile se

întâlnesc situaţii în care nu există iniţial indicii sau informaţii

privind comportarea nelineară a structurii şi deci se realizează,

pentru început, o analiză lineară (L, în fig. 4.1).

Figura 4.1

În urma postprocesării şi evaluării rezultatelor obţinute se

poate ajunge la concluzia că de fapt structura poate avea o

comportare nelineară şi analiza se reia în

condiţii corespunzătoare.

Indicii simple şi sigure în acest sens sunt:

- apariţia unor tensiuni ale căror valori maxime depăşesc limita

de curgere a materialului, σc (fig. 4.1.a);

- producerea unor deplasări ale căror valori maxime reprezintă

peste 1 – 5 % din dimensiunile de gabarit ale structurii;

- există indicii că forţele de frecare din reazeme sau interacţiunile

structurii care se analizează cu alte structuri, au efecte importante

asupra comportării acesteia.

Din analiza diagramelor din figura 4.1, compararea dreptelor L,

corespunzătoare problemei lineare cu curbele N, corespunzătoare

problemei nelineare, se constată că sunt posibile diferenţe mari ale

rezultatelor (tensiuni – Δσ şi deplasări - Δu) în cele două variante.

131

4.3. Principalele metode de rezolvare

Metodele de calcul utilizate pentru rezolvarea problemelor

nelineare ale mecanicii structurilor se clasifică, frecvent, în metode

directe şi metode indirecte de calcul.

Metode directe de calcul.

Metodele directe de calcul sunt analitice sau numerice, exacte

sau aproximative, elaborate pentru subclase restrânse de probleme,

relativ simple, delimitate de ipoteze specifice, restrictive. De

exemplu, pentru calculul barelor drepte solicitate elasto-plastic la

încovoiere sau răsucire, se admite valabilitatea ipotezei secţiunii

plane (pentru răsucire, doar pentru secţiuni circulare şi inelare) şi se

consideră curba caracteristică a materialului determinată grafic, sub

forma reală, sau schematizată prin linii drepte. Pentru forme simple

de secţiuni se determină relaţii analitice sau grafo-analitice pentru

calculul tensiunilor remanente şi deplasărilor.

Metode indirecte de calcul.

Cele mai utilizate metode de rezolvare ale problemelor nelineare

sunt metodele numerice indirecte de calcul. În principiu ele se pot

„combina” cu oricare dintre metodele de calcul pentru probleme

lineare, utilizându-se mai ales asociate cu metode generale, ca, de

exemplu, metoda deplasărilor pentru structuri din bare, metoda

elementelor finite, metoda diferenţelor finite etc.

Metodele indirecte de calcul se bazează pe principiul că o

problemă nelineară poate fi aproximată printr-o succesiune de

probleme elementare lineare. Avantajele acestor metode sunt :

- generalitatea: metodele pot fi aplicate pentru clase de probleme

relativ vaste;

- simplitatea: metodele de calcul pentru problemele linear

elastice se pot adapta cu modificări minime pentru analiza

problemelor nelineare;

- posibilitatea implementării pe calculator: aceste metode duc la

algoritmi care se pot foarte uşor implementa în programe pentru

probleme linear elastice, ca module sau proceduri specifice;

- posibilitatea evaluării ordinului de mărime al erorii soluţiei

aproximative: calculul făcându-se iterativ, diferenţa între soluţiile

132

obţinute prin două iteraţii succesive este un indiciu al erorii soluţiei

aproximative faţă de soluţia “exactă”. Se precizează faptul că în acest

context soluţia exactă este şi ea, de cele mai multe ori, de fapt,

aproximativă.

Principalul dezavantaj al acestor metode este volumul mare de

calcul, care în prezent şi-a pierdut importanţa datorită performanţelor

remarcabile ale sistemelor de calcul.

Cele mai importante metode indirecte de calcul sunt cele

incrementale, iterative şi mixte, care sunt combinaţii ale primelor

două. Fiecare dintre aceste metode poate avea mai multe variante de

aplicabilitate.

În cele ce urmează se dau detalii privind metodele indirecte de

calcul, asociate cu metoda elementelor finite (MEF).

Se consideră că în relaţia de bază a MEF, pentru regim staţionar

(cap. 4)

[K] {u} = {F}, (4.1)

în care: [K] este matricea de rigiditate a modelului structurii, {u} –

vectorul deplasărilor nodale şi {F} – vectorul sarcinilor nodale,

nelinearitatea provine din matricea de rigiditate care este o funcţie

nelineară de proprietăţile materialului (nelinearitate fizică) sau de

modificarea geometriei structurii în procesul de deformaţie

(nelinearitate geometrică).

Nelinearitatea de material.

Matricea [K] depinde de matricea de elasticitate a materialului

[D] care este definită de caracteristicile elastice ale materialului, care

în această situaţie sunt variabile, fiind funcţii de vectorul tensiunilor

, adică se poate considera [K ( [D ( )] ) ].

Nelinearitatea geometrică.

În acest caz, în procesul de deformaţie se produc deplasări mari,

având ordinul de mărime comparabil cu cel al dimensiunilor

structurii iar configuraţia geometrică iniţială a structurii se modifică

apreciabil, adică matricea de rigiditate iniţială nu mai poate descrie

comportarea sub sarcină a structurii în ultima fază a procesului de

încărcare. Ca urmare, eforturile depind de deplasări, iar ecuaţiile de

echilibru pentru structura deformată trebuie scrise cu luarea în

133

considerare şi a deplasărilor, adică matricea de rigiditate a structurii

depinde de deplasările nodale, deci se poate considera [K ( u ) ].

Metoda incrementală.

Se mai numeşte şi „pas cu pas”. Ideea fundamentală a metodei

este subîmpărţirea sarcinii în mai multe sarcini mici, creşteri, paşi

sau incremente. Uzual aceste creşteri ale sarcinii sunt egale dar, în

general, pot fi diferite de la un pas la următorul. Sarcina se consideră

crescătoare (sau descrescătoare), dar în cursul aplicării fiecărui

increment se presupune că structura are o comportare lineară, adică

matricea [K] se consideră constantă, dar poate fi diferită de la un pas

la următorul. Soluţia pentru fiecare pas i de creştere a sarcinii, {Fi},

se obţine sub forma unui increment al deplasărilor, {ui}. Aceste

creşteri ale deplasărilor se “cumulează” pentru a obţine deplasarea

totală a structurii pentru fiecare “stadiu” al încărcării. Procesul se

continuă până se aplică toată sarcina.

Schema de calcul a

procesului se prezintă în figura

4.2. Se observă că procedeul este

analog metodelor numerice de

calcul utilizate pentru integrarea

sistemelor de ecuaţii diferenţiale,

lineare sau nelineare, cu metoda

lui Euler sau Runge-Kutta.

La scrierea relaţiilor de

calcul se are în vedere starea de

referinţă a structurii, care poate fi

definită de sarcinile iniţiale F0

şi deplasările iniţiale u0. De regulă, vectorii F0 şi u0 sunt nuli,

deoarece structura este nesolicitată şi nedeformată. Se poate defini o

stare iniţială de echilibru pentru sarcinile şi deplasările iniţiale.

Dacă sarcina totală se divide în m paşi, atunci sarcina efectivă

totală este

{F}={F0} + {Fj} , j = 1…m,

în care notaţia arată un increment finit. După aplicarea

incrementului i sarcina este

{Fi}={F0} + {Fj} , j = 1…i,

Figura 4.2

134

cu precizarea că {Fm}={F}. Se procedează analog pentru deplasări şi

deci

{ui}={u0} + {uj} , j = 1…i. (4.2)

Pentru calculul incrementului deplasărilor se utilizează valoarea

matricei de rigiditate [Ki-1], determinată pentru sfârşitul pasului

anterior, adică

[Ki-1] {ui} = {Fi}, i = 1, 2, 3,…m,

în care se are în vedere că

[Ki-1] =[Ki-1 ({ui-1} , {Fi-1})],

şi [K0] este matricea de rigiditate iniţială, care se calculează pentru

configuraţia geometrică iniţială a modelului structurii şi pentru

constantele materialului, determinate pe curba caracteristică, pentru

începutul încărcării.

Metoda iterativă.

În acest caz structura se consideră încărcată cu întreaga sarcină la

fiecare iteraţie. Deoarece se consideră o valoare aproximativă,

constantă, a rigidităţii structurii pentru fiecare iteraţie, nu sunt

satisfăcute ecuaţiile de echilibru. După fiecare iteraţie (sau pas) se

calculează cota parte din sarcina totală care nu satisface ecuaţiile de

echilibru, sau reziduul, (de fapt fiecare ecuaţie din sistemul (4.1) este

o ecuaţie de echilibru), aceasta fiind utilizată la iteraţia următoare

pentru a determina o creştere adiţională a deplasărilor. Procesul se

repetă până când ecuaţiile de echilibru sunt satisfăcute într-o măsură

acceptabilă. În esenţă, metoda iterativă constă în corecţii succesive

ale soluţiei, până când ecuaţiile de echilibru sub sarcina totală {F}

sunt satisfăcute şi reziduul devine nul sau suficient de mic.

Dacă, în cazul general, există sarcini şi deplasări iniţiale, F0 şi

u0, pentru ciclul i al procesului iterativ de calcul trebuie ca sarcina

să se determine cu relaţia

{Fi}={F} - {Fe, i-1} ,

în care {F} este sarcina totală şi {Fe, i-1} este sarcina aflată în

echilibru după iteraţia anterioară. Creşterea deplasărilor, calculată

pentru pasul i se determină cu relaţia

[K(i)] {ui} = {Fi} . (4.3)

135

Deplasarea totală după iteraţia i se calculează cu relaţia (4.2). În

final se calculează sarcina {Fe, i}, necesară să menţină deplasările

{ui}.

Procesul iterativ se continuă până creşterile deplasărilor sau

forţele neechilibrate devin zero, adică {ui} sau {Fi} devin nule sau

suficient de mici.

În ceea ce priveşte calculul matricei de rigiditate [K(i)] din relaţia

(4.3), de obicei aceasta se determină pentru pasul anterior, în punctul

{ui-1}, {Fi-1}, adică [K(i)] =[K(i-1)]. Trebuie avut în vedere că [K(0)]

este matricea de rigiditate pentru starea iniţială a structurii, adică,

pentru valorile F0 şi u0.

Metoda iterativă are diverse variante care diferă prin modul în

care se consideră valoarea matricei de rigiditate [K] a structurii. În

figura 4.3.a se prezintă schema metodei iterative de bază, iar în figura

4.3.b, o variantă modificată, care foloseşte pentru toate iteraţiile

valoarea iniţială [K(0)] a matricei de rigiditate. În acest caz este

necesar un număr mai mare de iteraţii, dar în ansamblu se poate o

a b

Figura 4.3 Figura 4.4

viteză mai mare a procesului de calcul deoarece nu mai este necesară

recalcularea matricei [K] la fiecare iteraţie. Metoda iterativă este

asemănătoare procedeelor numerice de calcul utilizate pentru

rezolvarea ecuaţiilor nelineare, de exemplu, metodele lui Newton sau

Newton – Raphson.

Metoda mixtă.

Se mai numeşte şi iterativă în paşi şi este o “combinaţie” între

metoda iterativă şi cea incrementală. În figura 4.4 se prezintă

schema metodei mixte care constă în faptul că sarcina se aplică

136

incremental, iar după fiecare increment se fac iteraţii succesive.

Această metodă este mai eficientă decât precedentele dar cere un

efort de programare mai mare.

Comparaţie între metodele prezentate.

Metodele prezentate sunt considerate drept “procedee de bază”,

ele având diverse variante în implementările din diverse programe.

Este utilă o comparare a lor pentru a pune în evidenţă avantajele şi

dezavantajele fiecăreia.

Avantaje:

metoda incrementală:

- generalitatea; metoda este aplicabilă pentru aproape toate

tipurile de nelinearităţi;

- posibilitatea de a descrie relativ complet dependenţa

sarcină-deformaţie, deoarece se obţin rezultate intermediare, pentru

fiecare treaptă a încărcării;

metoda iterativă:

- simplitatea; metoda este uşor de utilizat şi de implementat

într-un program;

- numărul de iteraţii este, de obicei, relativ mic.

Dezavantaje:

metoda incrementală:

- volumul de calcul este relativ mare, de obicei numărul

incrementelor fiind mare;

- nu se poate stabili a priori care este valoarea necesară a

incrementului sarcinii pentru a obţine o aproximaţie dorită a soluţiei

exacte;

- dificultatea de a aprecia “cât de bună” este soluţia găsită;

metoda iterativă:

- metoda nu asigură totdeauna convergenţa către soluţia

exactă;

- metoda nu este aplicabilă problemelor dinamice, sistemelor

histeretice şi celor neconservative;

- rezultatele, adică deplasările, tensiunile şi deformaţiile se

obţin numai pentru sarcina totală, adică nu se obţin informaţii pentru

valori intermediare ale încărcării.

137

Metoda mixtă “combină” avantajele celorlalte două metode şi

tinde să elimine dezavantajele fiecăreia, fiind foarte eficientă şi

utilizată.

4.4. Câteva aspecte importante ale modelării pentru analize

nelineare

Caracteristicile materialului.

Pentru probleme cu nelinearitate fizică este foarte importantă

cunoaşterea precisă şi detaliată a curbei caracteristice a materialului,

sau “legea constitutivă”. Curba caracteristică se dă sub formă

tabelară (prin puncte) sau sub forma unei funcţii. Simbolic se scrie

{} = f ({},{}) = [D({})]{}.

De asemenea, foarte important este calculul matricelor de

rigiditate ale elementelor şi cea a structurii care trebuie reluat pentru

fiecare pas sau increment al metodelor iterative, incrementale sau

mixte. Mai întâi trebuie să se determine valorile constantelor elastice

ale materialului (pentru un material izotrop sunt E, G şi ) şi

matricea elastică [D] = [D({})], care sunt funcţii de starea de

tensiune.

Curba caracteristică a materialului trebuie să fie determinată în

condiţii cât mai apropiate de cele în care funcţionează structura

pentru care se face modelarea şi analiza. Se va avea în vedere faptul

că, de obicei, curba caracteristică se determină pentru întindere

(compresiune) monoaxială pe când în structură este o stare de

tensiuni mai complexă, de obicei, spaţială. În consecinţă, pentru a

putea compara cele două stări de tensiuni sau de deformaţii trebuie

apelat la o teorie de rezistenţă.

Pentru o curbă caracteristică nelineară a

materialului, obţinută printr-o încercare

monoaxială, valoarea modulului de elasticitate

E, pentru un material izotrop, se poate de

determina astfel:

Modulul de elasticitate tangent, se

defineşte într-un punct oarecare P al curbei

caracteristice - , ca panta tangentei la

curbă, dusă în punctul respectiv (fig. 4.5), se

Figura 4.5

138

notează EtP şi este EtP = d / d | P.

Aproximativ, Et poate fi evaluat prin relaţia

Et / ,

în care are semnificaţia de creşteri finite; valoarea lui Et este panta

dreptei duse cu linie întreruptă în figura 4.5.

Modulul de elasticitate secant,se defineşte într-un punct oarecare

P al curbei caracteristice - , în funcţie de valorile totale şi în

punctul respectiv (fig. 4.5), adică

EsP = / | P.

Criteriul şi matricea de plasticitate.

Pentru structuri care au sub sarcină o comportare elastoplastică

trebuie pusă în evidenţă solicitarea în stadiul plastic. În acest scop,

deformaţia specifică totală {} se descompune în componentele

elastică, {e} şi plastică, {

p}, adică

{} = {e} + {

p}.

Pentru o metodă incrementală de aplicare a sarcinii, relaţia

anterioară devine

{d} = {de} + {d

p},

în care trebuie avut în vedere că incrementul deformaţiei plastice

{dp} este funcţie de starea curentă de tensiune, de incrementul

deformaţiei totale şi de incrementul tensiunii, adică

{dp} = {d

p ({},{d},{d})}

şi de asemenea

{de} = [D

e]

-1{d}.

Rezultă relaţia

{d} = [De]({d} - {d

p}),

care poate fi scrisă sub forma

{d} = [Dep

]{d},

în care [Dep

] se numeşte matricea elastoplastică, care se calculează

cu relaţia

[Dep

] = [De] - [D

p],

unde [Dp] este matricea de plasticitate.

Matricea elastoplastică [Dep

] se obţine cu relaţia anterioară, după

ce se determină matricea de plasticitate [Dp], care implică

cunoaşterea modului în care se calculează incrementele deformaţiilor

139

plastice {dp}. Pentru aceasta trebuie adoptat un criteriu de

plasticitate, care să determine condiţiile în care se produc deformaţii

plastice, pentru starea de tensiuni spaţială din fiecare element finit al

modelului. Cel mai utilizat este criteriul de plasticitate al lui Mises,

pentru care Prandtl-Reuss au scris ecuaţiile care au permis

determinarea expresiei matricei [Dp]. Pentru materiale izotrope

aceasta este

în care: G = E / 2(1 + ) este modulul de elasticitate transversal;

= { [( 1 - 2 )

2 + ( 2 - 3

)

2 + ( 3 - 1

)

2 ] / 2}

1/ 2 -

tensiunea echivalentă sau efectivă;

= { 2 [( 1 - 2 )

2 + ( 2 - 3

)

2 + ( 3 - 1

)2

] / 9}1/ 2

-

deformaţia echivalentă sau efectivă;

≡ Et - panta curbei - ;

1 , 2 , 3 - tensiunile normale principale ale solicitării;

I1 = x + y + z = 1 + 2 + 3 - invariantul linear al stării de

tensiune;

Dx = x - I1 / 3; Dy = y - I1 / 3; Dz = z - I1 / 3.

Modelarea sarcinilor şi a reazemelor pentru structuri cu

deplasări mari.

Pentru analize ale structurilor cu deplasări mari este foarte

important ca modelul să conţină precizări riguroase, fără echivoc, ale

legilor de variaţie ale intensităţilor, direcţiilor şi punctelor de

aplicaţie ale sarcinilor precum şi variaţiile condiţiilor de rezemare

care se pot produce în cursul procesului de deformare a structurii.

Ca exemplu, în figura 4.6 se prezintă trei variante de încărcare

ale unei bare încastrată la un capăt şi solicitată cu o forţă concentrată

140

în capătul liber. Pentru deplasări mici solicitarea este aceeaşi în toate

cazurile (reprezentate schematic cu linii întrerupte) dar problemele

sunt complet diferite pentru deplasări mari.

Figura 4.6

Figura 4.7

Analog, pentru bara din figura 4.7, cele trei moduri de rezemare

sunt echivalente pentru deplasări mici, dar complet diferite pentru

deplasări mari.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,

Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,

Editura BREN, Bucureşti, 1999.

3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,

Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura

Printech, Bucureşti, 2007.

4. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

141

5.

SOLICITĂRI DINAMICE ALE PIESELOR

ŞI STRUCTURILOR

Numeroase probleme inginereşti trebuie abordate având în

vedere mişcarea diverselor maşini şi componente ale acestora, de

exemplu, în diverse regimuri de funcţionare, la solicitările dinamice

produse de vânt, de cutremure, vibraţiile şi şocurile diverselor

instalaţii, mijloacelor de transport etc, apărute în timpul manevrelor

etc. În aceste situaţii apar mişcări ciclice, vibraţii, propagări ale

mişcărilor, disipare a energiei, oboseală, instabilitate, zgomote etc,

care induc în structurile de rezistenţă solicitări suplimentare.

Importanţa practică şi complexitatea abordării prin calcul şi/sau

experimental a problemelor dinamice ale sistemelor mecanice, au dus

la constituirea mai multor discipline inginereşti, de sine stătătoare,

destinate acestor probleme ca, de exemplu: dinamica maşinilor,

teoria vibraţiilor, teoria şocurilor, dinamica construcţiilor etc. În

rezistenţa materialelor nu sunt incluse, de regulă, decât unele

probleme dinamice elementare, foarte simple.

Considerând calculul la solicitări statice drept demersul de bază

pentru o analiză inginerească – care are în vedere modelarea

geometriei, rigidităţilor, sarcinilor şi reazemelor – un model pentru o

analiză a comportării dinamice a unei structuri sau a unei piese

trebuie să mai ia în considerare şi – cel puţin – modelarea maselor şi

a amortizărilor. De asemenea, se poate pune problema considerării

valorilor constantelor mecanice şi elastice dinamice ale materialelor,

a variaţiei sarcinilor în timp, a dependenţei amortizărilor de frecvenţă

etc.

5.1. Concepte şi noţiuni de bază

Calculul dinamic al unei structuri constă, în esenţă, în

determinarea răspunsului (sau a efectelor de natură mecanică asupra

structurii) acesteia la acţiunea unor sarcini sau deplasări impuse,

142

variabile în timp, denumite perturbaţii sau excitaţii. Răspunsul este

determinat de caracteristicile mecanice ale structurii şi de parametrii

excitaţiei, relaţia cauză – efect depinzând de structură. Orice

problemă de dinamica structurilor constă în stabilirea relaţiilor dintre

excitaţie, caracteristicile dinamice ale structurii şi răspunsul acesteia.

În acest scop, de regulă, se scrie ecuaţia de mişcare, care în condiţiile

în care mişcarea de rotaţie lipseşte, are forma

)t(FuKuCuM , (5.1)

în care: [M] este matricea de masă, simetrică şi pozitiv definită, de

obicei constantă; [C] este matricea de amortizare vâscoasă, (sau [Ci],

care este o matrice de amortizare generată de material, descriind

disiparea energiei în interiorul materialului), de obicei (semi)pozitiv

definită, constantă şi simetrică; [K] este matricea de rigiditate,

(semi)pozitiv definită şi simetrică (în general, matricea de rigiditate

[K] are şi o componentă generată de rigiditatea geometrică sau a

tensiunilor iniţiale [Kσ], denumită matricea de rigiditate geometrică),

{u} este vectorul deplasărilor nodale; { u } este vectorul vitezelor

nodale; { u } este vectorul acceleraţiilor nodale; {F}={F(t)} este

vectorul excitaţiilor sau forţelor (al încărcărilor) nodale; t este

variabila timp. Observaţii: O matrice pozitiv definită are toate elementele de pe diagonală

strict pozitive (nenule şi pozitive). O matrice semi-pozitiv definită este o matrice

pozitiv definită, care are câteva elemente de pe diagonală nule.

Problemele de dinamica structurilor pot fi împărţite în două mari

categorii: directe şi inverse.

Problema directă este cea în care se cunosc ecuaţiile care

descriu comportarea dinamică a structurii, se cunoaşte excitaţia şi se

cere răspunsul structurii.

Problema inversă poate avea, în principiu, două variante:

- se cunoaşte răspunsul structurii la o excitaţie dată, dar nu se

cunosc ecuaţiile de mişcare, configuraţia structurii sau unii parametri

ai acesteia;

- se cunosc structura şi răspunsul ei, dar nu se cunoaşte excitaţia.

Prin urmare, problema inversă poate avea următoarele variante

inginereşti, practice:

143

a. Sinteza sau proiectarea. Excitaţia şi răspunsul fiind cunoscute,

se concepe, adică se proiectează sau se face sinteza unei structuri

realizabile tehnic, economic şi tehnologic, care să aproximeze cât

mai bine relaţia excitaţie – răspuns. Soluţia nu este unică, gradul de

aproximare fiind diferit de la caz la caz. De asemenea, trebuie avute

în vedere şi multe alte aspecte, funcţionale şi de calcul, privind

condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească structura.

b. Măsurarea. Se cunoaşte structura şi răspunsul acesteia şi se

caută excitaţia care produce răspunsul respectiv. Este cazul

măsurărilor cu aparate a căror funcţie de transfer sau curbă de

etalonare se cunoaşte, cazul determinării forţelor excitatoare etc.

c. Identificarea structurii. Se cunosc o serie de parametri şi

funcţii ale excitaţiei şi răspunsului şi se caută o descriere matematică

sau un model al structurii. Frecvent, datele se obţin sub forma unui

răspuns în frecvenţă al modelului la excitaţia cu “semnale de probă”

armonice, neperiodice sau aleatoare, pe baza căruia se determină

frecvenţele, modurile proprii de vibraţie şi proprietăţile dinamice

specifice: amortizare, rigiditate dinamică etc.

Principalele categorii de fenomene care aparţin domeniului

dinamicii structurilor se definesc astfel:

a. Vibraţiile. Acestea sunt variaţii în timp ale unei mărimi de

stare a structurii, de obicei în vecinătatea valorii corespunzătoare

unei stări de echilibru, produse de forţe de “readucere” elastice.

b. Vibraţiile libere. Dacă un sistem elastic (piesă sau structură)

este scos din poziţia de echilibru stabil, prin aplicarea unei solicitări

statice, acesta înmagazinează o cantitate de energie potenţială. Dacă

apoi sistemul este lăsat liber, fără să se mai introducă energie în

sistem, acesta execută vibraţii libere, prin transformarea repetată a

energiei potenţiale de deformaţie a sistemului elastic în energie

cinetică a maselor acestuia şi invers. În prezenţa unor forţe de

frecare, energia sistemului este disipată, iar vibraţiile se amortizează

după un număr oarecare de cicluri.

c. Autovibraţiile. Acestea se pot produce când scoaterea din

poziţia de echilibru static a sistemului are loc în prezenţa unei surse

de energie. Amplitudinea mişcării creşte continuu, până când este

limitată de efecte nelineare sau de amortizare. Mişcarea este

144

întreţinută de o forţă periodică, creată sau determinată de mişcarea

însăşi, deşi energia este furnizată uniform de sursa exterioară.

d. Vibraţiile forţate sau întreţinute. Sunt produse de forţe

perturbatoare independente, care aplică structurii sarcini sau

deplasări dinamice, variabile în timp. Astfel de excitaţii duc la un

transfer de energie de la sursa perturbatoare la sistemul elastic. Dacă

transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibraţia forţată

este staţionară, de amplitudine constantă. Dacă transferul de energie

se face neuniform, vibraţia are un caracter tranzitoriu, amplitudinea

variind până la stabilirea unui regim staţionar sau până la amortizarea

completă.

e. Şocurile sau impacturile. Se produc la aplicarea bruscă a unei

perturbaţii, adică aceste probleme sunt cazuri particulare ale celor

definite la categoria d. Şocul este o perturbaţie prin care se transmite

structurii energie cinetică într-un interval de timp scurt, în comparaţie

cu perioada sa proprie de vibraţie. Din momentul încetării acţiunii

şocului, răspunsul structurii devine o vibraţie liberă.

f. Vibraţiile aleatoare. Acestea au caracter nedeterminist,

aleator, adică valorile instantanee ale mărimilor care definesc

mişcarea nu sunt predictibile. Acesta este cazul majorităţii situaţiilor

reale, practice, spre deosebire de vibraţiile periodice şi de cele

tranzitorii, care sunt fenomene deterministe.

g. Vibraţiile proprii. În general, când asupra unei structuri

linear elastice, cu parametri invariabili în timp, se aplică o

perturbaţie oarecare, mişcarea rezultantă este suma a două

componente distincte: vibraţia forţată, descrisă de o funcţie

asemănătoare funcţiei excitaţiei şi vibraţia proprie, dependentă doar

de caracteristicile dinamice ale structurii, a cărei funcţie de timp este,

de obicei, o combinaţie între o sinusoidă şi o exponenţială. În cazul

unei perturbaţii armonice sau aleatoare staţionare vibraţia proprie se

amortizează foarte repede, imediat după începutul mişcării,

rămânând doar vibraţia forţată, care, în anumite condiţii, poate

produce fenomenul de rezonanţă.

h. Rezonanţa. Acest fenomen dinamic ia naştere la frecvenţele

la care suma celor două energii “reactive” recuperabile – potenţială şi

cinetică – este nulă, iar energia transmisă structurii este egală cu cea

disipată prin frecări. Rezonanţa se produce când “spectrul de

145

frecvenţe” al perturbaţiei acoperă un domeniu ce cuprinde

frecvenţele proprii ale sistemului.

Rezonanţa se caracterizează prin amplitudini mari ale mişcării în

anumite puncte sau zone ale structurii, însoţite de tensiuni mari sau

deplasări relative considerabile, care pot duce la ruperi prin oboseală,

funcţionare necorespunzătoare, uzură sau zgomot accentuate.

5.2. Principiile şi etapele elaborării modelelor şi a analizei

problemelor dinamice

Elaborarea unui model şi abordarea prin calcul a analizei

comportării dinamice a unei piese sau structuri constă, în esenţă, în

definirea unui ansamblu de elemente elastice, inerţiale şi

disipative, capabil să descrie

satisfăcător fenomenul care

interesează şi constă în parcurgerea,

cel puţin, a următoarelor etape:

a. Adoptarea unei scheme

cinematice, prin care se aleg gradele

de libertate geometrică, care

definesc forma deformată a

structurii.

b. Definirea valorilor şi

poziţiilor maselor asociate schemei

cinematice. De exemplu, pentru

arborele din figura 5.1.a, având în

capătul liber un volant de masă M,

masa arborelui fiind m, se pot avea

în vedere numeroase modele de

calcul, dintre care se prezintă patru,

cu diverse variante de distribuire a

maselor şi a gradelor de libertate. Modelul din figura 5.1.e consideră

arborele cu masa distribuită şi deci cu o infinitate de grade de

libertate; pentru volant s-au considerat două grade de libertate:

deplasarea z1 şi rotirea φ1.

Piesele şi structurile reale au masele distribuite continuu. Dar

considerarea modelelor de calcul astfel – ceea ce înseamnă modelări

şi analize mai precise – duce la dificultăţi de calcul care nu sunt

Figura 5.1

146

totdeauna justificate, motiv pentru care frecvent se preferă modele de

calcul cu mase concentrate.

Operaţia de concentrare a maselor poate fi considerată din două

puncte de vedere şi anume:

- modelul cu mase concentrate aproximează structura reală, care

are masa distribuită, gradul de aproximare fiind cu atât mai bun, cu

cât se consideră mai multe mase concentrate. Suma maselor

concentrate trebuie să fie egală cu masa totală a structurii;

- modelul cu mase concentrate este echivalent, din punct de

vedere dinamic, cu structura reală, în sensul că, atât structura reală

cât şi modelul de calcul, au aceleaşi deplasări maxime sau aceeaşi

energie de deformaţie. În acest caz, din condiţia ca deplasările

maxime sau energiile de deformaţie să fie egale, rezultă masa

echivalentă a modelului, care, de obicei, nu este egală cu masa

structurii.

c. Definirea următoarelor caracteristici ale modelului de calcul:

- legăturile interioare deformabile ale structurii;

- relaţiile tensiune-deformaţie specifică (legea constitutivă);

- modelele corespunzătoare tipului de deformare considerat;

- proprietăţile materialelor din care este realizată structura;

- amortizările.

d. Definirea amortizărilor. Determinarea corectă a tipului de

amortizare precum şi estimarea valorilor constantelor de amortizare,

specifice problemei concrete care se studiază, constituie o dificultate

majoră a modelării şi analizei unei probleme dinamice. Variaţii

relativ neînsemnate ale tipului şi valorilor constantelor de amortizare

pot duce, în unele situaţii, la comportări dinamice complet diferite

ale structurii. Informaţii exacte privind caracteristicile de amortizare

ale structurii nu pot fi obţinute decât experimental, prin determinări

pe structura pentru care se face analiza. Dacă acest deziderat nu este

posibil (de exemplu, structura este în faza de proiectare), se folosesc

informaţiile disponibile de la structuri asemănătore, existente.

Principalele cauze ale amortizării vibraţiilor unei structuri

deformabile sunt:

- neelasticitatea materialelor, care produce “amortizarea internă”;

- frecările între elementele componente, care produc

“amortizarea de structură”;

147

- frecările cu mediul ambiant, care produc “amortizarea externă”.

Natura fizică a mecanismelor de amortizare este atât de

diferită, încât pentru descrierea lor este necesară utilizarea mai

multor modele, dintre care, cele mai cunoscute sunt următoarele:

- Amortizarea vâscoasă lineară. Cel mai simplu model mecanic

care descrie acumularea de energie potenţială de deformaţie şi

disiparea de energie constă dintr-un element elastic ideal (reprezentat

prin arcul de constantă elastică k în fig. 5.2.a) şi un amortizor ideal

(definit prin coeficientul de amortizare c) legate în paralel (model

denumit Kelvin - Voigt).

Forţa dezvoltată de arc

este proporţională cu

deplasarea relativă

|fe| = k(x-y) = kz, iar

forţa dezvoltată de

amortizor este

proporţională cu viteza

relativă

zc )y-xc( |f| d .

Deci relaţia “forţă – deplasare” pentru modelul din figura 5.2.a este

zckz f . (5.2)

- Amortizarea histeretică. Pentru multe materiale, energia disipată

într-un ciclu de vibraţie este proporţională cu pătratul amplitudinii

deplasării, fiind independentă de pulsaţie. Se ajunge la modelul din

figura 5.2.b, la care coeficientul de amortizare c variază invers

proporţional cu pulsaţia ω, adică c = h / ω, în care h este coeficientul

de amortizare histeretică.

Trebuie avut în vedere că modelul amortizării histeretice

(denumită şi amortizare “constructivă” sau “structurală”) este valabil

doar pentru vibraţii armonice, în cazul regimurilor tranzitorii ducând

la rezultate absurde.

- Amortizarea ereditară. Modelul cu trei parametri (fig. 5.2.c)

este format din amortizorul vâscos liniar c şi două elemente pur

elastice cu constantele k1 şi k2. Dacă pentru modelul cu amortizare

vâscoasă lineară (fig. 5.2.a) disiparea de energie era proporţională cu

viteza relativă instantanee, pentru modelul cu trei parametri (fig.

a b c

Figura 5.2

148

5.2.c) disiparea depinde de “istoria” acestei viteze, de aceea

amortizarea se numeşte “ereditară”. Modelul amortizării ereditare se

poate reduce la un model Kelvin -Voigt cu parametri dependenţi de

pulsaţie.

- Amortizarea coulombiană. Este un model de amortizare

nelineară, produsă de frecarea uscată. Forţa de amortizare

coulombiană are amplitudine constantă, este independentă de

deplasare şi de pulsaţie, având sens contrar vitezei.

- Amortizarea echivalentă. Pentru simplificarea modelului de

calcul, forţa de amortizare nelineară se înlocuieşte cu o forţă

vâscoasă sau histeretică lineară echivalentă, astfel încât energia

disipată pe ciclu de amortizorul nelinear să fie egală cu cea disipată

de amortizorul echivalent, deplasarea relativă fiind aceeaşi. Rezultă

că un coeficient de amortizare echivalent (vâscos sau histeretic)

depinde, în general, de pulsaţia şi amplitudinea vibraţiei; utilizarea

lui ca şi cum ar fi constant, presupune să se determine experimental

domeniul pentru care această ipoteză este valabilă. Observaţie. Cele 3 schematizări din figura 5.2 nu reprezintă structuri, ci

modele mecanice echivalente ale comportării materialului, deci sunt modele de

material.

La elaborarea modelului de calcul dinamic al unei structuri

trebuie să se aibă în vedere că elementele de amortizare cât şi cele

elastice se introduc atât între mase, cât şi între mase şi puncte fixe

(reazeme).

Ca urmare a frecărilor (amortizărilor) din structură, relaţiile de

dependenţă dintre sarcinile P şi deplasările u, precum şi cele dintre

tensiunile σ şi deformaţiile ε sunt nelineare.

a b c d e

Figura 5.3

Dacă se reprezintă grafic astfel de dependenţe, se obţin aşa-zisele

bucle de histerezis. În figura 5.3 se prezintă câteva modele de bucle

149

de histerezis, tipice, idealizate, obţinute pentru diverse clase de

structuri şi anume:

- structuri din oţel sudate: figura 5.3.a;

- structuri asamblate cu şuruburi, în care apar lunecări la un

anumit nivel al sarcinilor: figura 5.3. b şi c;

- structuri din beton armat precomprimat: figura 5.3.d;

- structuri din beton armat, ale căror rigidităţi scad la apariţia

fisurilor: figura 5.3.e.

e. Definirea legăturilor exterioare deformabile ale structurii,

luând în considerare şi proprietăţile mediilor adiacente (dacă este

cazul: de exemplu, fundaţiile).

f. Definirea acţiunilor mediului exterior considerate în calcul şi

stabilirea gradelor de libertate asupra cărora acţionează, adică

precizarea modului de aplicare şi definire a modului de variaţie în

timp a diferitelor componente ale unei acţiuni.

Aproximaţiile care se fac la elaborarea modelelor pentru studiul

dinamic al structurilor se referă la:

- înlocuirea caracteristicilor “distribuite” (continue) prin

parametri “concentraţi” (discreţi) similari;

- linearizarea relaţiilor cauză-efect dintre variabilele fizice;

- neglijarea variaţiei în timp a unor parametri;

- neglijarea caracterului aleator al unor fenomene.

5.3. Tipuri de analize dinamice

Pentru a acoperi diversele cerinţe ale practicii inginereşti, sunt

necesare mai multe tipuri de analize (şi modelări) ale dinamicii

pieselor şi structurilor. Cele mai importante şi mai utilizate se

prezintă în continuare.

Analiza modală. Se consideră un model care are în vedere doar

vibraţiile libere, fără amortizare (se neglijează amortizările, adică [C]

= 0 şi forţele aplicate structurii, adică {F(t)} = 0). Ecuaţia de mişcare

(5.1) în aceste condiţii, devine

0uKuM . (5.3)

Pentru ea se alege o soluţie de forma tieu , în care este o

funcţie de poziţie (forma modală) independentă de timp, este

pulsaţia proprie, iar t variabila timp. Înlocuind în (5.3) se obţine

150

0KM2 , (5.4)

care este o problemă generală de valori şi vectori proprii. Ea are ca

soluţie n perechi de valori proprii 2jj şi n vectori proprii

corespunzători j .

Vectorii proprii j sunt ortogonali în raport cu matricea de

masă [M] şi cu matricea de rigiditate [K] şi, de obicei, se ordonează

în ordinea crescătoare a valorilor proprii. Dacă vectorii proprii se

aranjează pe coloane, într-o matrice modală , relaţiile de

ortogonalitate se scriu în formă matriceală:

IMT

; KT

, (5.4.a)

în care: [I] este matricea unitate, iar 2jdiag , este matricea

spectrală, care conţine toate pulsaţiile (frecvenţele) vibraţiilor

proprii, libere, fără amortizare, ale structurii sau piesei.

Mărimea fizică uzual folosită de ingineri este frecvenţa proprie

fj = ωj / 2π .

Semnificaţia fizică a formei modale, este forma deformată a

structurii, care vibrează cu frecvenţa proprie respectivă.

Cea mai mică frecvenţă proprie este numită fundamentală. Dacă

structura are mişcări de corp rigid sau de mecanism, se obţin

frecvenţe proprii nule, corespunzătoare fiecărei mişcări de corp rigid

sau de mecanism. Dacă structura prezintă simetrii, este posibil să se

obţină frecvenţe proprii coincidente.

Analiza modală presupune, implicit, o comportare teoretică,

ideală, a structurii şi anume că aceasta “vibrează numai” cu frecvenţe

şi moduri de vibraţii proprii, pure, aceasta fiind consecinţa ipotezei

că sistemul nu are amortizări. În realitate, ca urmare a existenţei

amortizărilor, la o excitaţie dată, sunt “antrenate” mai multe

frecvenţe şi moduri proprii de vibraţii, fiecare mod, “participând” cu

o anumită pondere în fenomenul de ansamblu. Această observaţie a

dus la elaborarea unor metode de calcul dinamic, prin “suprapunerea

modurilor proprii” de vibraţii, care este o etapă ulterioară analizei

modale.

151

Observaţie. Se poate spune că atâta timp cât matricele [C] şi [K][M-1] nu au

aceeaşi vectori proprii, amortizările cuplează modurile proprii. Altfel, vibraţiile

structurii au loc ca şi când modurile proprii sunt independente. Un astfel de efect

de cuplare are loc şi atunci când există neliniarităţi în sistem, de exemplu când [K]

depinde de amplitudinea vibraţiilor.

Analiza spectrală. Analiza de răspuns linear al unei structuri, pe

baza unor înregistrări spectrale obţinute experimental (sau în urma

unei analize tranzitorii), este posibilă prin analiză spectrală.

Înregistrările spectrale (funcţii de frecvenţă) pot fi în viteză,

acceleraţie sau deplasare. Spectrul de încărcare al structurii, atât în

punctele fixate ale structurii, cât şi în cele libere, poate fi determinist

sau aleator.

Prin analiza spectrală (denumită şi analiză în frecvenţă), se

urmăreşte determinarea distribuţiei în frecvenţă (adică la frecvenţe

diferite, pentru un anumit interval de valori) a puterii (sau energiei)

mărimilor “dinamice” ale structurii: viteze, acceleraţii sau deplasări.

În acest scop se separă componentele de diferite frecvenţe (sau

pentru “benzi” de frecvenţe) ale unui semnal complex (de exemplu,

produs de funcţionarea unei maşini sau instalaţii) şi se determină

amplitudinea fiecăreia din ele, obţinându-se, astfel, spectrul de

frecvenţe al acelei mărimi: deplasare, viteză, acceleraţie. Aceste

informaţii sunt folosite pentru diferite “diagnostice” privind

comportarea structurii, ca, de exemplu, apariţia unui fenomen de

rezonanţă.

Metodele de calcul diferă, funcţie de caracterul excitaţiei: întru-

un singur punct, sau în mai multe puncte. Pentru vibraţii aleatoare se

foloseşte metoda densităţii spectrale de putere. În esenţă, metoda se

bazează pe o analiză modală, urmată de o combinaţie modală în

diverse ipoteze. Amortizarea se consideră în calcul, dar se presupune

că ea este proporţională sau modală.

Analiza armonică. Se determină răspunsul unei structuri care are

încărcarea (vectorul forţelor şi/sau al deplasărilor) variabilă după o

funcţie armonică (adică trigonometrică, de exemplu, sinusoidală), de

pulsaţie ω, constantă (sau frecvenţa f).

În ecuaţia de mişcare (5.1), tii

max eeF)t(F . Se presupune

că răspunsul (soluţia ecuaţiei) este de forma tiimax eeuu , în

care: maxF este amplitudinea forţelor; maxu este amplitudinea

152

răspunsului; este defazajul între forţe; este defazajul între

deplasări şi forţe.

Prin separarea părţii reale şi imaginare a vectorilor deplasare {u}

şi forţă {F} se obţine:

ti

ImRe euiuu ; ti

ImRe eFiFF ,

iar ecuaţia de mişcare (5.1) devine

ImReImRe2 FiFuiuKCiM , (5.5)

adică se obţine un sistem de ecuaţii liniare cu valori complexe

(echivalent problemei statice), în care necunoscutele sunt deplasările

şi/sau forţele. Este posibil ca pentru o parte a gradelor de liberate să

se cunoască forţele şi să nu se cunoască deplasările, sau invers.

Amplitudinea deplasării, maxu şi defazarea relativă a deplasării

faţă de faza forţei, , pentru fiecare grad de libertate, se calculează

cu relaţiile

2Im

2Remax uuu ; ReIm uuarctan .

Analiza armonică a răspunsului unei structuri este foarte

importantă pentru modelarea şi analiza problemelor dinamice ale

structurilor sau pieselor, deoarece orice mişcare periodică (oarecare),

poate fi descrisă ca suprapunerea unui număr, finit sau infinit, de

vibraţii armonice. În practică, se consideră totdeauna, un număr finit

de “armonice”, analizele inginereşti fiind aproximative. Acest

demers este justificat şi de faptul că unele moduri de vibraţie au o

contribuţie nesemnificativă la răspunsul structurii. Rezultă că vibraţia

armonică este mişcarea periodică elementară, sau fundamentală.

Analiza tranzitorie. Cea mai generală problemă dinamică este

cea pentru care {F} = {F(t)} (sau {u} = {u(t)}) este o funcţie

oarecare de timp. Soluţia unei astfel de probleme se obţine prin

integrarea directă, analitică sau numerică, a ecuaţiei de mişcare

(5.1). Această analiză permite introducerea tuturor tipurilor de

nelinearităţi. În cazul general încărcările pot proveni şi din deplasări

impuse, variabile în timp.

În cele ce urmează se consideră cazul încărcărilor cu forţe

variabile şi deplasări impuse nule. Analiza constă din rezolvarea pas

cu pas (incrementală), în timp, a ecuaţiilor de mişcare. Rezolvarea

este posibilă dacă se cunosc condiţiile iniţiale în deplasări şi viteze şi

153

dacă pasul de timp t , în algoritmul de integrare (numeric), este

suficient de mic pentru a descrie corect mişcarea şi a asigura

stabilitatea algoritmilor. Din punct de vedere matematic există două

tehnici distincte de integrare directă a ecuaţiei (5.1):

- metoda integrării implicite, în care

,u,u,ufu n1n1n1n , (5.6)

deci pentru calculul deplasării la pasul n + 1 ar trebui cunoscute

viteza şi acceleraţia la acelaşi pas, pe lângă deplasările, vitezele şi

acceleraţiile din paşii precedenţi;

- metoda integrării explicite, pentru care

,u,u,u,ufu 1nnnn1n , (5.7)

deci, pasul n+1 se calculează funcţie de mărimile precedente, până la

pasul n.)

Analizele tranzitorii, chiar pentru probleme dinamice relativ

simple, necesită un volum de calcul apreciabil. De aceea, aproape

toate problemele practice se rezolvă cu metode numerice de calcul,

implementate în programe, pe calculatoare.

5.4. Exemplu

Se consideră un exemplu de

analiză dinamică a unei structuri

cu patru grade de libertate.

Structura este reprezentată în

figura 5.4 şi este schema (modelul

de calcul) unei clădiri cu patru

nivele. Se face aproximarea că

fiecare nivel se poate mişca pe

orizontală independent de

celelalte, dar nu se poate roti sau

deplasa pe verticală. Legătura

dintre nivele este asigurată de

coloane cu rigiditatea la încovoiere

cunoscută (ki, i=1…4). În

exemplul numeric se consideră că

toate rigidităţile sunt egale între

ele şi au valoarea 68 MN/m.

Datorită frecărilor din elementele

Figura 5.4

f2(t)

f1(t)

f4(t)

f3(t) u3

u4

u1

u2

M1

M2

M3

M4

k1

k2

k3

k4

C

1

C

2

C

3

C

4

154

de fixare, mişcarea relativă a două nivele vecine este amortizată, cu

coeficienţii de amortizare (Ci, i=1…4). În exemplul numeric se

consideră că toate amortizările modale sunt egale între ele şi au

valoarea 0.01. Masele celor patru nivele sunt M1 = 3200 kg, M2 = M3

= 2600 kg şi M4 = 1800 kg. Forţe externe fi(t) acţionează asupra

fiecărui nivel.

Modelarea matematică. Se scrie ecuaţia de mişcare a fiecărui

nivel, luând în considerare forţele externe şi cele de legătură cu

nivelele vecine. De exemplu, pentru nivelul al doilea se poate scrie:

.)uu(C)uu(k

)uu(C)uu(k)t(fuM

233233

122122222

(5.8)

Ecuaţia întregului sistem este de forma (5.1), unde

.}u,u,u,u{}u{,

4C4C00

4C4C3C3C0

03C3C2C2C

002C2C1C

]C[

,

4K4K00

4K4K3K3K0

03K3K2K2K

002K2K1K

]K[,

4M000

03M00

002M0

0001M

]M[

4321

(5.9)

Analiza modală. Scopul analizei modale este dublu: pe de o

parte, se urmăreşte determinarea frecvenţelor naturale ale sistemului,

adică a acelor frecvenţe care, atunci când sunt regăsite la forţele de

excitaţie, duc la rezonanţa structurii, iar pe de altă parte, realizând

analiza modală se obţine matricea modală, cu ajutorul căreia sistemul

iniţial de ecuaţii (5.9) poate fi transformat într-un sistem de ecuaţii

decuplate. În analiza modală se neglijează efectul amortizărilor,

ecuaţia de mişcare a sistemului devenind de forma (5.3). Tabelul 5.1

Frecvenţa

proprie (Hz)

{}

Modul 1 9.51 {-0.0050, -0.0092, -0.0121, -.0134}

Modul 2 26.12 { 0.0123, 0.0090, -0.0036, -0.0124}

Modul 3 39.39 {0.0107, -0.0094, -0.0075, 0.0120}

Modul 4 48.56 { -0.0048, 0.0114, -0.0130, 0.0089}

Alegând o formă particulară a soluţiei, aceasta este pusă în forma

unei ecuaţii de valori proprii de forma (5.4), în care [M] şi [K] sunt

155

date în (5.9). Rezolvând această problemă de valori proprii se obţin

următoarele perechi de frecvenţe şi vector

Vectorii proprii arată cum se deformează structura, dacă ar vibra

liber cu frecvenţa proprie respectivă. Aceste moduri proprii de

vibraţie sunt reprezentate în figura 5.5.

Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4

Figura 5.5

Decuplarea ecuaţiei de mişcare. Aceasta se poate face folosind

matricea modală [. Decuplarea ecuaţiei (5.1) revine la

diagonalizarea matricelor din (5.9) şi este de dorit acest lucru,

deoarece, odată decuplate, ecuaţiile pot fi rezolvate independent,

pentru orice forţă de excitaţie. Pentru aceasta se procedează în felul

următor:

- Vectorul soluţie, {u}, este scris în mod formal ca o superpoziţie

de moduri proprii, }q{}u{ , unde {q} este un vector care poate fi

tratat pentru moment ca un vector de coeficienţi (se mai numeşte şi

vectorul coordonatelor modale). Introducând în ecuaţia de mişcare,

rezultă

)t(Fq][Kq][Cq][M ,

iar după înmulţirea la stânga cu inversa matricei modale, []-1

,

)t(F][q][K][q][C][q][M][ 1111 . (5.10)

În continuare se folosesc ecuaţiile care reprezintă normalitatea

modurilor proprii de vibraţie (5.4.a), astfel încât (5.10) se poate scrie

)t(F][qqCq]I[ 1

m

(5.11)

unde [I] este matricea unitate.

Vibraţiile libere. Vibraţiile libere sunt vibraţiile structurii, care

urmează unei solicitări de tip impuls. Pentru acest exemplu s-a

156

considerat un impuls (o “lovitură de ciocan”) aplicat masei M4.

Sistemul de ecuaţii a fost rezolvat impunând o viteză iniţială masei

M4. Răspunsul se obţine prin integrarea directă a ecuaţiei (5.11) sau

prin analiză modală şi este reprezentat în figura 5.6.

Figura 5.6 Figura 5.7

Din cauza amortizării, răspunsul sistemului descreşte spre zero,

imediat după solicitarea impuls. Se notează că în calculul de

rezistenţă, deplasarea dintr-un mod (al unui grad de libertate) este

oarecum irelevantă, mărimea importantă fiind deplasarea relativă a

două nivele vecine, ceea ce duce la tensiuni în elementele de

legătură.

Analiza spectrală. Spectrul de frecvenţe al sistemului considerat

se obţine efectuând transformata Fourier a răspunsului impuls. Pentru

exemplificare, s-a considerat răspunsul impuls la nivelul celui de al

patrulea grad de libertate, care s-a reprezentat în figura 5.6. Astfel, se

obţine spectrul răspunsului măsurat la nivelul acestei mase, ca în

figura 5.7.

Energia sistemului este concentrată în patru benzi de frecvenţă,

centrate la frecvenţele de rezonanţă. În sistemele cu amortizare,

aceste frecvenţe sunt diferite de frecvenţele proprii ale sistemului

(Tab. 5.1). În cazul în care amortizările sunt mici (care este şi cazul

curent), diferenţa dintre frecvenţele de rezonanţă şi cele proprii este

neglijabilă. În condiţiile în care structura este excitată cu o forţă

externă conţinând una dintre aceste frecvenţe, amplitudinea

răspunsului creşte foarte mult (dar nu la infinit, datorită prezenţei

amortizărilor) existând pericolul cedării. În general, se recomandă

157

proiectarea structurii astfel încât să nu aibă frecvenţe naturale în

regiuni apropiate frecvenţelor de excitaţie. Pentru o structură deja

executată, se recomandă modificarea ei prin adăugarea

amortizoarelor pasive sau active, care au şi scopul de a schimba

frecvenţa de rezonanţă a structurii.

5. Concluzii

Studiul unei probleme de dinamica unei piese sau structuri

implică un proces iterativ de îmbinare a analizei teoretice cu

determinările experimentale. În acest cadru, cunoaşterea

caracteristicilor dinamice ale materialelor şi ale structurii în

ansamblu (foarte importantă este cunoaşterea amortizărilor: tipul

procesului de amortizare şi valorile exacte ale constantelor),

constituie un factor esenţial pentru succesul modelării şi analizei

problemei dinamice. Forma cea mai evoluată de exprimare a acestor

exigenţe o constituie elaborarea modelului de calcul al sistemului

analizat, care permite efectuarea unor analize şi elaborarea unor

“predicţii” cantitative privind comportarea structurii în exploatare,

fiind deosebit de util în procesele de proiectare şi optimizare.

În acest context se ajunge la problema identificării sistemelor,

care este, în esenţă, procesul de determinare a ecuaţiilor diferenţiale

care descriu comportarea unui sistem, în concordanţă cu un criteriu

de performanţă prestabilit, pe baza unor relaţii între mărimile care

caracterizează excitaţia şi cele care caracterizează răspunsul.

Identificarea dinamică are ca obiectiv stabilirea ecuaţiilor de mişcare

şi implicit a coeficienţilor care intră în compunerea lor, deci

determinarea caracteristicilor dinamice ale structurii.

Bibliografie

1. Hangan, S.M., Crainic L.N., Concepte şi metode energetice în

dinamica construcţiilor, Bucureşti, Editura Academiei, 1980.

2. Radeş, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor

mecanice, Bucureşti, Editura Academiei, 1979.

3. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

158

6.

STABILITATEA PIESELOR ŞI

STRUCTURILOR

6.1. Generalităţi

Stabilitatea este proprietatea unei structuri de a-şi menţine, sub

un sistem de sarcini, poziţia, starea şi forma sau de a reveni la

poziţia, starea şi forma iniţiale după ce a fost scoasă din starea

respectivă. Pierderea stabilităţii se numeşte instabilitate sau flambaj

(voalare, pentru plăci) şi se poate produce când o perturbare oricât de

mică, suprapusă peste încărcarea considerată, schimbă configuraţia

geometrică a structurii.

În mecanica solidului rigid condiţiile de echilibru ale unui sistem

de corpuri (nedeformabile) nu depind, de regulă, de valorile

încărcărilor (forţe şi momente) sistemului. În mecanica corpurilor

deformabile condiţiile de echilibru al unui sistem depind

fundamental, în anumite situaţii, de valorile încărcărilor aplicate

sistemului.

Cerinţele de reducere a greutăţii structurilor şi a consumurilor de

materiale, au dus la realizarea unor structuri tot mai zvelte, pentru

care problemele calculului la stabilitate devin prioritare în analiza

acestora. Calculul static se dovedeşte insuficient pentru proiectarea

avantajoasă a structurilor în componenţa cărora intră elemente

elastice "subţiri", cum ar fi bare lungi, plăci şi învelişuri din tablă,

arcuri lamelare etc. Se menţionează că pierderea stabilităţii se

produce numai când încărcările structurii sunt de aşa natură încât

produc tensiuni de compresiune (cel puţin o componentă a

tensiunilor principale trebuie să fie de compresiune).

Pierderea stabilităţii (sau apariţia flambajului) barelor, cadrelor,

plăcilor şi învelişurilor este un răspuns al structurii datorat

eforturilor: forţe axiale pentru bare şi de "membrană" pentru plăci şi

învelişuri. Flambajul se produce atunci când energia de deformaţie

159

elastică, corespunzătoare tensiunilor axiale sau de membrană, se

converteşte în energie de deformaţie elastică de încovoiere, fără

modificarea încărcărilor exterioare. O parte din cantitatea mare de

energie de deformaţie elastică acumulată în deplasări axiale mici, se

regăseşte în energie de deformaţie elastică de încovoiere, pentru care

deplasările sunt mult mai mari. Explicaţia constă în faptul că pentru

structuri zvelte, rigiditatea axială (de exemplu, EA/ℓ pentru bare)

este mult mai mare decât rigiditatea de încovoiere (de exemplu, EI/ℓ3

pentru bare). Se poate spune că forţele axiale de compresiune reduc

rigiditatea la încovoiere a barelor, iar flambajul apare atunci când

rigiditatea totală se anulează (aceasta corespunde unei încărcări

critice). În mod similar, forţele de întindere măresc rigiditatea

structurii ("stress stiffening").

Calculele “clasice” la flambaj permit abordarea unor probleme

simple, particulare, bazându-se în general pe "izolarea" unei

componente a structurii (de exemplu, o bară) şi dezvoltarea

calculului pentru aceasta, în anumite ipoteze simplificatoare. În acest

fel se pot "prezice" încărcările critice care revin componentelor

separate. Adeseori acest calcul este necorespunzător, deoarece

pierderea stabilităţii se poate produce la nivelul întregii structuri, iar

aceasta poate avea loc la încărcări mult mai mici decât cele care

produc pierderea stabilităţii unei componente.

a b c d

Figura 6.1

Dacă se reprezintă grafic variaţia deformaţiilor specifice maxime

într-o structură, funcţie de efectul perturbator (generic, forţa P

din fig. 6.1), se pun în evidenţă mai multe tipuri de curbe

caracteristice de răspuns (fig. 6.1), funcţie de tipul structurii. Pentru

primele trei exemple se observă că până la apariţia flambajului (Pcr),

160

curbele teoretice (reprezentate cu linie continuă), prezintă o zonă

lineară, după care, funcţie de structură, deşi deformaţiile specifice

cresc, forţele care menţin echilibrul rămân constante (fig. 6.1.a,

pentru flambajul unei bare articulate), cresc (fig. 6.1.b, în cazul

voalării unei plăci), scad brusc, trecând printr-o stare de instabilitate

dinamică (fig. 6.1.c, pentru instabilitatea învelişurilor cilindrice), sau

chiar, uneori, pot duce la schimbarea semnului sarcinii P. Punctul

corespunzător "forţelor" la care apare flambajul (Pcr) este un aşa

numit punct de bifurcaţie. Pentru structuri cu deplasări elastice mari,

cum sunt membranele pocnitoare, elementele elastice, de tip arcuri

lamelare, discuri soare de ambreiaj etc, pierderea de stabilitate apare

lent şi corespunde unei sarcini limită (fig. 6.1.d).

În realitate, existenţa unor “imperfecţiuni” geometrice, de

încărcare şi de rezemare, "atenuează" curbele caracteristice teoretice

prezentate. Dacă imperfecţiunile sunt relativ mari, comportarea la

stabilitate a structurii se poate modifica considerabil. Curbele

reprezentate cu linie întreruptă în figura 6.1 corespund situaţiilor

reale, obţinute experimental.

Modelările şi analizele obişnuite, nu ţin seama de imperfecţiunile

geometrice, de încărcare şi de rezemare (esenţiale pentru încercările

de laborator şi pentru problemele reale), astfel că frecvent sarcinile

critice sau limită, obţinute prin calcul, depăşesc valorile reale, din

practică. Acest aspect trebuie avut în vedere pe tot parcursul

analizelor de stabilitate şi beneficiarul analizei trebuie informat în

mod corespunzător.

6.2. Noţiuni teoretice fundamentale

În inginerie şi în natură sunt sisteme şi structuri în care au loc

procese evolutive caracterizate prin aceea că schimbări mici şi

continue ale variabilelor, produc efecte mici, continue. Astfel de

sisteme, cu comportare continuă, se numesc hamiltoniene, la care

modificări mici ale cauzei produc modificări mici ale comportării

(fig. 6.2.a). Spre deosebire de acestea, sunt procesele evolutive la

care modificări mici ale variabilelor produc efecte discontinue, cu

schimbări bruşte de situaţie.

161

Astfel de sisteme se

numesc nehamiltoniene

şi comportarea lor se

prezintă schematic în

figura 6.2.b, prin două

curbe care se

intersectează într-un

punct singular, numit

punct de bifurcare. Dacă

comportarea sistemului are loc după prima curbă peste punctul

singular, cea mai mică perturbare duce sistemul pe cealaltă curbă,

printr-un salt care reprezintă o discontinuitate în comportarea

sistemului, denumită matematic catastrofă sau singularitate. În

această categorie intră şi problemele de stabilitate a pieselor şi

structurilor. Trebuie precizat că noţiunea de “catastrofă” este o abstracţie matematică, care

defineşte un anumit tip de discontinuitate şi nu are nici o legătură cu înţelesul uzual

al cuvântului. În fizică „catastrofa" există ca un anumit tip de situaţie limită,

teoretică, fictivă.

Pentru studiul proceselor cu discontinuităţi s-a elaborat o teorie

matematică denumită teoria catastrofelor. Discontinuităţi în

comportare se produc la sistemele evolutive cu comportare guvernată

de legi la care situaţia de stare rezultă dintr-un extrem al unei funcţii.

Aceste sisteme mai sunt denumite şi gradientale sau conservative.

Modelul general al catastrofelor este elaborat într-un limbaj şi

foloseşte o metodă pentru clasificarea şi sistematizarea unor date

empirice şi oferă fenomenelor din domeniile cele mai diverse (în

biologie, de exemplu, moartea unui organism viu poate fi studiată considerând că

este o singularitate, o bifurcare, o catastrofă sau o pierdere a stabilităţii vieţii) explicaţii care să le facă înţelese. Modelul catastrofelor elementare

are un caracter general, mai mult aplicativ şi defineşte un set de tipuri

de catastrofe în care se pot încadra toate fenomenele de

discontinuitate, indiferent de natura lor.

În vederea unei înţelegeri corecte şi mai profunde a fenomenelor

de stabilitate şi instabilitate a structurilor deformabile, se prezintă

esenţa modelului catastrofelor elementare.

Figura 6.2

162

Fie funcţia diferenţială

V : Ri X R

n → R, (6.1)

denumită şi potenţialul global, care depinde de Ri, parametrii

spaţiului de comportare (denumit şi spaţiul efectelor, spaţiul de stare

sau spaţiul variabilelor interne) şi Rn, parametrii spaţiului cauză

(denumit şi spaţiul de control sau spaţiul variabilelor externe).

Spaţiul de comportare are i dimensiuni iar cel de cauză, n

dimensiuni. Sistemul fiind gradiental, la care echilibrul se obţine prin

minimizarea potenţialului, se defineşte funcţia

MV = V,i = 0, (6.2)

denumită variaţia de catastrofă, care reprezintă suprafeţe de

echilibru în spaţiul Ri X R

n. Proiecţiile acestor suprafeţe în spaţiul R

n,

definite de parametrul λn este

χV : MV → Rn, (6.3)

denumită şi suprafaţa de catastrofă.

Ca exemplu, se consideră potenţialul V : R1 X R

2 → R, cunoscut

sub numele de catastrofă cusp, dat de relaţia

V(q, λ2, λ1) = q4 + λ2 q

2 + λ1 q , (6.4)

în care q este parametrul spaţiului de comportare, iar λ2 şi λ1 –

parametrii spaţiului cauză.

Figura 6.3

163

Minimul potenţialului V, pentru stabilirea poziţiilor de

echilibru, adică a punctelor staţionare, duce la suprafaţa

MV = V,q = ∂V / ∂q = 4q3 + 2λ2q + λ1 = 0, (6.5)

reprezentată în figura 6.3. Pentru λ2 > 0, suprafaţa MV nu are

decât zone cu potenţial minim. Dacă λ2 <0, există zone cu o singură

valoare extremă minimă şi zone cu trei valori extreme, doua minime

şi una maximă. Liniile care despart zonele cu potenţial minim de cele

cu potenţial maxim sunt date de singularităţile χ : M → R2, adică

V,qq = ∂2V / ∂q

2 = 12q

2 + 2λ2 = 0, (6.6)

care împreună cu ecuaţia (6.5) defineşte un set de singularităţi S pe

suprafaţa MV,

(q, λ2, λ1) = (α, -6α2, 8α

3), (6.7)

unde α este un parametru, sau

(λ2, λ1) = (-6α2, 8α

3), (6.8)

în spaţiul de control R2. Eliminând parametrul α din (6.8), rezultă

ecuaţia,

0278 2

1

3

2 , (6.9)

reprezentată în spaţiul de control R2 prin două curbe distincte, pentru

λ1 > 0, respectiv λ1 < 0.

Examinând pe suprafeţele MV diferite trasee, în funcţie de

parametrii spaţiului cauză, se disting mai multe comportări, care sunt

opuse conceptelor sistemelor hamiltoniene. Dacă λ2 este constant şi

pozitiv, traseul T1 este continuu (fig. 6.4.a); dacă λ2 este constant şi

negativ, pe traseul T2 există un punct singular, dat de relaţia (6.7), în

care are loc o modificare bruscă de traseu, o discontinuitate în

comportare (fig. 6.4.b).

Figura 6.4

La sistemele hamiltoniene, schimbări mici ale variabilelor

produc mici schimbări în comportare; din figurile 6.4.c şi d rezultă că

164

la valori λ1 >≈ 0; λ1 = 0; λ1 ≈< 0, care nu diferă decât foarte puţin

între ele, comportările sunt total diferite.

În modelarea conformă cu teoria catastrofelor parametrul cauză

λ1 este numit parametrul normal, iar λ2, care separă cele două

domenii cu comportări foarte diferite, parametrul de bifurcare sau de

separare, deoarece acesta defineşte în proces punctul de bifurcare.

Schimbarea majoră de comportare la modificări mici ale variabilelor

se numeşte divergenţă.

În funcţie de numărul de parametri ai spaţiului cauză există un

număr fix de modele ale catastrofelor elementare şi anume : Numărul parametrilor spaţiului cauză n 1 2 3 4 5 6

Numărul modelelor de catastrofe elementare 1 2 5 7 11 ∞

Limitarea numărului de modele de catastrofe are consecinţe

practice importante în studiul comportării sistemelor evolutive.

Deoarece numărul parametrilor spaţiului de comportare nu intervine

în stabilirea numărului de comportări posibile, teoria catastrofelor

permite identificarea acelor parametri care determină procesul de

discontinuitate (catastrofă). Aceşti parametri de comportare se

numesc parametri activi, iar ceilalţi, care nu influenţează decisiv

catastrofa sunt parametri pasivi şi se pot elimina din studiul

comportării sistemului. De exemplu, dacă numărul parametrilor

spaţiului cauză este Rn

= R4, sunt posibile şapte modele de

comportare şi anume: fold, cusp, coadă de rândunică, ombilicul

hiperbolic, ombilicul eliptic, fluture şi ombilicul parabolic 1.

Numărul parametrilor de comportare vor fi: unul pentru procesele

fold, cusp, coadă de rândunică şi fluture şi doi pentru procesele

ombilicale. Astfel, dintr-un număr mare de parametri de comportare,

pot fi identificaţi numai unul sau doi parametri, care intervin în

expresia potenţialului modelului de catastrofă respectiv şi care duc la

un fenomen de bifurcare. Ceilalţi parametri fiind pasivi, se elimină

din analiză.

Pentru modelele de stabilitate şi instabilitate a structurilor,

deformaţiile, deplasările şi rotirile care definesc comportarea

structurii sunt parametrii spaţiului de comportare şi acţiunile,

sarcinile, imperfecţiunile geometrice sau mecanice sunt parametrii

spaţiului cauzelor.

165

Expresiile proceselor de catastrofă sunt algebrice şi se exprimă

cu ajutorul polinoamelor simple.

Modelele şi analizele de stabilitate ale structurilor pot fi de tip

eulerian, care se limitează la determinarea sarcinii de bifurcare,

denumită sarcină critică, fără să se determine şi comportarea

structurii după pierderea stabilităţii. Astfel de modele se folosesc

pentru bare şi structuri din bare. Folosirea modelelor şi analizelor

euleriene pentru unele categorii de structuri formate din plăci plane

sau curbe este greşită. În astfel de cazuri trebuie să se utilizeze

modele ale comportării postcritice, care permit analiza structurii şi

după pierderea stabilităţii. Frecvent este necesar să se utilizeze

concomitent modele şi analize de ambele tipuri.

Fenomenele de instabilitate se manifestă ca modificări esenţiale,

care se produc brusc (în intervale foarte scurte de timp) ale

parametrilor ce defineau starea staţionară a sistemului sau structurii,

adică cea anterioară pierderii stabilităţii. Un sistem mecanic

deformabil poate avea două forme de staţionaritate:

- echilibru static (faţă de un sistem de referinţă inerţial);

- o mişcare definită prin coordonatele şi vitezele generalizate,

conformă cu “principiul minimei acţiuni” al lui Hamilton.

Instabilitatea se manifestă, în primul caz, prin pierderea

echilibrului static (creşterea bruscă a deformaţiilor sub acţiunea unor

încărcări statice critice), iar în cel de-al doilea caz, sistemul mecanic

suferă o perturbare a mişcării principale, prin creşterea nelimitată a

vitezelor şi acceleraţiilor. În ambele cazuri fenomenul de instabilitate

constă, în esenţă, în apariţia unor acceleraţii mari prin modificarea

accentuată a configuraţiei geometrice a sistemului mecanic şi prin

modificarea balanţei energetice a sistemului, cu eliberare de energie

cinetică. Concomitent, ca o consecinţă naturală, în structură se

modifică substanţial solicitările (tipurile şi intensităţile lor) şi

configuraţiile câmpurilor deplasărilor, deformaţiilor şi tensiunilor.

Prin urmare, termenul de instabilitate dinamică este un

pleonasm, iar cel de instabilitate statică, un nonsens.

Conceptul de stabilitate statică defineşte exclusiv stabilitatea

echilibrului unei structuri sub acţiunea încărcărilor statice sau

cvasistatice (cu variaţii relativ lente în timp).

Conceptul de stabilitate dinamică defineşte:

166

- stabilitatea echilibrului static al unei structuri, sub acţiunea

dinamică a sarcinilor sau a sarcinilor dinamice. În general, poate fi

necesară distincţia între sarcini care acţionează dinamic, adică

sarcini cu valori şi direcţii care se modifică, aperiodic, într-un

interval relativ scurt de timp şi sarcini dinamice care variază în timp,

după o anumită lege, de obicei periodică;

- stabilitatea mişcării principale a unui sistem mecanic.

Comportarea unei structuri este complet definită dacă sunt

cunoscute cele trei secvenţe principale ale procesului încărcare–

deformaţie şi anume comportările precritică, critică si postcritică

(fig. 6.5).

Teoria stabilităţii structurilor se ocupă cu domeniul comportării

precritice şi mai ales, cu determinarea încărcării de pierdere a

stabilităţii (sarcina critică). Teoria instabilităţii structurilor studiază

comportarea critică şi postcritică a structurilor, determinând modelul

(tipul) de instabilitate ce se produce la atingerea sarcinii critice şi ce

se întâmplă cu structura după ce şi-a pierdut stabilitatea.

Acţiunile (cauzele)

care trebuie avute în

vedere în studiul

stabilităţii sau

instabilităţii structurii

pot proveni dintr-un

potenţial (de exemplu,

câmpul gravitaţional) şi

îşi păstrează direcţia în

timpul procesului de

instabilitate, deoarece

potenţialul nu se schimbă; astfel de acţiuni se numesc conservative.

Acţiunile ale căror mărimi şi / sau direcţii sunt variabile în timpul

procesului de instabilitate, deoarece, de exemplu, depind de

deplasările şi / sau deformaţiile structurii, se numesc neconservative.

De exemplu, bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, solicitată

la compresiune cu o forţă P, este un sistem conservativ în figura 6.6.a

şi neconservativ în figura 6.6.b, deoarece forţa P îşi schimbă direcţia

în procesul de pierdere a stabilităţii.

Figura 6.5 Figura 6.6

167

Instabilitatea structurilor produsă de acţiuni conservative poate

fi studiată direct sau cu ajutorul unor modele de calcul cvasistatice

(inclusiv energetice), denumite convenţional metode statice. Pentru

problemele din această categorie nu trebuie stabilit modul în care

variază deplasările sistemului între forma iniţială şi cea flambată.

Acest fapt este posibil deoarece lucrul mecanic efectuat de sarcini, în

timpul procesului de pierdere a stabilităţii, depinde numai de poziţiile

iniţială şi finală ale sistemului de sarcini, adică este independent de

traiectoriile parcurse de punctele de aplicaţie ale sarcinilor.

Instabilitatea produsă de acţiuni neconservative, poate fi

studiată numai cu modele dinamice de calcul, cu ajutorul cărora se

caută un criteriu dinamic de stabilitate. Modelele statice (inclusiv

cele energetice) sunt inadecvate, adică acestea duc la obţinerea unor

rezultate greşite. Metodologia de rezolvare a problemelor

neconservative necesită stabilirea modului în care sistemul se

deformează (evoluţia deplasărilor sistemului) în procesul de pierdere

a stabilităţii şi care este configuraţia sistemului de sarcini în

desfăşurarea acestui proces (valorile, direcţiile şi punctele lor de

aplicaţie).

În cadrul metodologiei generale de rezolvare a problemelor

neconservative se presupune că bara încărcată este supusă unei

perturbări iniţiale, care dă naştere unor mici vibraţii. Dacă

amplitudinile acestor vibraţii scad în timp (dispar treptat), datorită

proceselor de amortizare şi sistemul revine la forma iniţială,

înseamnă că aceasta este forma sa stabilă de echilibru (sistemul nu îşi

pierde stabilitatea). Dacă, dimpotrivă, amplitudinile vibraţiilor cresc

fără limită, datorită lucrului mecanic produs de sistemul de sarcini,

forma iniţială a sistemului este nestabilă (sistemul îşi poate pierde

stabilitatea). Valoarea critică a sarcinilor se obţine din condiţia

impusă soluţiei ecuaţiei de mişcare a sistemului ca amplitudinea

vibraţiilor să crească indefinit (să tindă spre infinit).

Comportarea precritică a structurii poate fi lineară sau

nelineară, după cum dependenţa dintre sarcini şi deplasări poate fi

reprezentată printr-o dreaptă, respectiv printr-o curbă. Dacă se admite

un model linear al comportării precritice, se poate utiliza teoria

lineară sau teoria de ordinul întâi, în cadrul căreia ecuaţiile de

echilibru se scriu pentru starea nedeformată a structurii şi dependenţa

168

dintre eforturi şi deplasări este lineară. Dacă modelul precritic este

nelinear, de exemplu, este cu deplasări mari, se utilizează teoria

linearizată sau teoria de ordinul doi, ecuaţiile de echilibru fiind

scrise pentru starea deformată a structurii, dar cu neglijarea

deplasărilor mari în expresiile eforturilor. Dacă deplasările sunt

foarte mari, se utilizează teoria nelineară sau teoria de ordinul trei,

ecuaţiile de echilibru fiind scrise pentru starea deformată a structurii,

dependenţele dintre eforturi şi deplasări fiind nelineare.

Instabilitatea (sau pierderea stabilităţii) structurii se produce în

punctul critic şi poate avea loc după un model de bifurcare, ca în

figura 6.7.a, la intersecţia a două curbe de echilibru, curba

precritică putând fi lineară (fig. 6.7.a) sau nelineară (fig. 6.5).

Considerarea unei comportări precritice lineare duce la o simplificare

considerabilă a calculelor.

Instabilitatea structurii poate avea loc şi după un model de

limitare, ca în figura 6.7.b, când comportarea precritică este lineară

numai în prima porţiune, nelinearitatea accentuându-se cu cât

încărcarea se apropie

de cea critică, când

tangenta la curba de

comportare devine

orizontală şi defineşte

sarcina limită (fig.

6.7.b). Rezultă că

instabilitatea prin

limitare nu poate fi

studiată decât

considerând o

comportare precritică nelineară.

Pierderea stabilităţii prin bifurcare sau limitare se produce în

funcţie de tipul şi proprietăţile structurii şi anume:

a. Instabilitatea prin bifurcare se produce la structurile:

- la care deformaţia precritică nu conţine forma deformatei de

instabilitate;

- la structurile ideale, fără imperfecţiuni geometrice sau

mecanice;

Figura 6.7

169

- la structurile cu imperfecţiuni geometrice, dar la care forma

imperfecţiunii nu este geometric asemenea cu cea de instabilitate.

b. Instabilitatea prin limitare se produce la structurile:

- la care deformata precritică conţine forma deformată de

instabilitate;

- la structurile cu imperfecţiuni geometrice care sunt afine cu

deformatele de instabilitate;

- la structurile pleoştite (aproape plane), cu sarcini

transversale.

Comportarea postcritică a structurii poate fi stabilă sau instabilă

şi este caracterizată prin deformaţii şi deplasări mari, studiile în acest

domeniu fiind dificile deoarece trebuie avute în vedere modele

nelineare, adică se ajunge la calcule de ordinul trei.

Calculul stabilităţii şi instabilităţii structurilor se face având în

vedere unul dintre criteriile: static, dinamic, energetic sau al

imperfecţiunilor iniţiale.

6.3. Exemple

6.3.1. Flambajul barei drepte, solicitată la compresiune a fost

studiat de Euler. Se consideră o bară dreaptă, de lungime ℓ, cu

secţiune constantă, articulată la capete, solicitată la compresiune cu o

forţă P, aplicată în centrul de greutate al secţiunii superioare a barei

(fig. 6.8.a). Experienţa arată că echilibrul dintre forţa exterioară P şi

eforturile interioare ale barei depinde de valoarea forţei P.

Dacă valoarea forţei P este relativ

mică, în secţiunile barei va exista

numai forţa axială N = P (fig. 6.8.b) şi

echilibrul dintre forţele exterioare şi

cele interioare corespunzătoare formei

rectilinii a barei este stabil, solicitarea

în bară fiind numai de compresiune.

Dacă valoarea forţei P creşte, la un

moment dat, forma rectilinie de

echilibru dintre forţele exterioare şi

cele interioare devine instabilă şi bara

capătă o formă curbilinie de echilibru

(fig. 6.8.c). În această nouă situaţie

Figura 6.8

170

forţa exterioară P este echilibrată de forţa axială N = P şi de

momentul încovoietor Miy = Pw, solicitarea în bară fiind de

compresiune şi încovoiere, adică solicitarea simplă iniţială (de

compresiune) a devenit o solicitare compusă de compresiune şi

încovoiere. Această formă curbilinie de echilibru este, de obicei,

instabilă (numai în anumite situaţii poate fi şi stabilă). Deci, pentru o

anumită valoare a sarcinii P bara ia o nouă formă de echilibru,

curbilinie, adică forma iniţială, rectilinie, de echilibru, trece din

stabilă în instabilă.

Valoarea sarcinii corespunzătoare trecerii de starea iniţială,

stabilă, de echilibru la cea instabilă, se numeşte valoare critică de

flambaj a sarcinii şi se notează Pcr.

Dacă bara a flambat şi are o deplasare w relativ mică, momentul

încovoietor într-o secţiune oarecare are valoarea Miy = Pw iar ecuaţia

diferenţială a barei este (fig. 6.8.c şi d)

.0wEI

P

dx

wdsau,Pw

dx

wdEI

y

2

2

2

2

y (6.10)

Cu notaţia P/ yEI = α2, ecuaţia (6.10) devine

,0wdx

wd 2

2

2

(6.11)

a cărei soluţie este

w = A sin αx + B cos αx. (6.12)

Constantele de integrare A şi B se determină prin scrierea

condiţiilor la limită pentru bara considerată şi anume: la capătul de

jos al barei x = 0, w = 0, iar la capătul de sus al barei x =ℓ , w = 0.

Aceste relaţii duc la sistemul de ecuaţii: B = 0 şi A sin αl + B cos αl

= 0. Acest sistem, pentru cele două constante A şi B, are soluţii

nebanale numai dacă determinantul său este nul, ceea ce duce la

relaţia:

sin αl = 0 (6.13)

Această condiţie este îndeplinită numai dacă αℓ = π, 2π, 3π, …,

nπ, … , ceea ce determină valori ale parametrului α. Mai general, α

reprezintă setul de valori proprii al problemei pe frontieră (de

exemplu, condiţiile în reazeme). Funcţiile proprii asociate cu fiecare

dintre aceste valori proprii determină “modul de flambaj,” adică

forma structurii imediat după momentul pierderii stabilităţii.

171

Pentru prima dintre aceste soluţii (n = 1), adică pentru

,EIP y

222 rezultă cea mai mică dintre valorile forţei P, care

este expresia forţei critice de flambaj

2

y

2

cr

EIP

, (6.14)

cunoscută ca formula lui Euler, publicată în 1744.

Dacă secţiunea barei are momente de inerţie diferite în raport cu

diverse direcţii, flambajul se va produce în planul în care secţiunea

are moment de inerţie minim, adică relaţia (6.14) capătă forma

,EI

P2

min

2

cr

(6.15)

cu precizarea că trebuie avute în vedere condiţiile de rezemare ale

barei din planul respectiv. Deci se pot întâlni situaţii în care

flambajul barei trebuie studiat în diverse plane longitudinale

deoarece momentele de inerţie axiale ale secţiunii si condiţiile de

rezemare sunt diferite.

Observaţii şi concluzii. - Se constată că în relaţia (6.12),

w = A sin αx, valoarea constantei A, care este deplasarea maximă

wmax, a rămas nedeterminată. Pentru aflarea sa trebuie făcut studiul

postcritic, pentru deplasări mari, al barei.

- Este “ciudat” faptul că wmax nu depinde de valoarea sarcinii P,

adică după ce bara a flambat, valorile deplasărilor w devin arbitrare,

adică nu mai depind de valoarea sarcinii P. De asemenea, se constată

o contradicţie între rezultatele obţinute şi anume: dacă se presupune

că A=B=0 şi αℓ >≈ π, înseamnă că bara redevine rectilinie pentru o

valoare P > Pcr. Aceste anomalii provin din faptul că pentru bara

deformată s-a folosit ecuaţia (6.10), care este aproximativă,

acceptabilă doar pentru deplasări w mici ale barei, ecuaţia exactă

fiind (4.18).

- Expresia formei

deformate a barei este o

sinusoidă care poate

avea un număr oarecare

n de semiunde, ca în

figura 6.9. Acestea sunt diferitele moduri de flambaj menţionate mai

sus, fiecare corespunzând unei valori proprii, . Sarcina critică de

Figura 6.9

172

flambaj dată de relaţia (6.15), corespunde la n = 2, 3, 4 … şi de 4, 9,

16 …ori mai mari decât valoarea minimă Pcr, dată de relaţia (6.15).

Această observaţie se aplică în practică prin plasarea unor reazeme

intermediare care să “oblige” bara să flambeze cu un număr superior

de semiunde, astfel putând să suporte sarcini mai mari.

- Dacă bara are la capete alte condiţii de rezemare, decât

rezemarea simplă, procedura de calcul este aceeaşi schimbându-se

numai condiţiile la limită şi valorile constantelor A şi B. Rezultă o

formă mai generală a relaţiei (6.15) şi anume

,)(

EIP

2

min

2

cr

(6.16)

în care μ este coeficientul de reducere a lungimii barei, ale cărui

valori depind de condiţiile de rezemare de la capetele barei.

Se foloseşte şi

noţiunea de lungime de

flambaj a barei, care este

ℓf = μℓ. În figura 6.10 sunt

reprezentate schematic 6

cazuri de flambaj, având

diverse condiţii de

rezemare; pentru fiecare

caz se dă valoarea

coeficientului μ de

reducere a lungimii barei.

- Ecuaţia (6.10) s-a

obţinut în ipoteza unor solicitări linear elastice ale materialului, adică

s-a presupus că este valabilă legea lui Hooke σ = Eε. Dacă se are în

vedere că bara este solicitată la compresiune, înseamnă că σ = P / Aef,

în care Aef este aria efectivă a secţiunii barei. În momentul producerii

flambajului tensiunea σ devine σcr, care se mai notează şi σf

(denumită şi tensiunea de flambaj), pentru care se poate scrie

succesiv:

2

2

2

min

2

2

2

min

2

2

min

2

crfcr

E

i

E

A)(

iAE

A)(

EI

A

P

, (6.17)

Figura 6.10

173

în care AIi minmin este raza de inerţie minimă a secţiunii barei şi

mini este coeficientul de zvelteţe al barei. Din relaţia (6.17) se

vede că dependenţa dintre σcr şi λ este o hiperbolă, care este

reprezentată grafic în figura 6.11 (curba ABC). Având în vedere

condiţiile în care s-a determinat relaţia (6.17) însemnă că ea este

valabilă numai dacă σcr ≤ σp, (limita de proporţionalitate a materialului),

adică bara trebuie să fie solicitată elastic (flambajul să fie elastic;

curba AB din fig. 6.11).

Condiţiei σcr = σp îi

corespunde valoarea

p

2

0 E , care pentru

oţel (E = 2.1*105 N/mm

2 şi

σp = 210 N/mm2) este

λ0 =100. (Deoarece, pentru

oţeluri, σp are diferite valori, de

regulă se consideră λ0

=100…105).

În concluzie, (fapt

confirmat şi de cercetările experimentale), formula (6.16) a lui Euler,

trebuie folosită exclusiv pentru domeniul elastic de flambaj, adică

numai dacă λ ≥ λ0 şi / sau σcr ≤ σp. Aceste condiţii sunt satisfăcute de

barele zvelte, lungi şi cu secţiuni de dimensiuni relativ mici.

Pentru bare scurte, cu secţiuni relativ mari, solicitate la

compresiune, s-au făcut numeroase cercetări experimentale (primele

încercări au fost făcute de Musschenbroek în 1739) şi teoretice, care

au dus la concluzia că dacă σp < σcr < σc, (σc este limita de curgere a

materialului), adică λ1 < λ < λ0, flambajul este plastic şi dependenţa

dintre σcr şi λ este lineară (dreapta BD din fig. 6.11), denumită relaţia

lui Tetmajer – Jasinsky

σcr = a – b λ, (6.18)

în care coeficienţii a şi b au valori diferite pentru diverse materiale,

adică relaţia (6.18) este empirică. (Sunt materiale, de exemplu, fonta,

pentru care în locul dreptei BD este o parabolă σcr = a–b λ+c λ2). Pe

baza rezultatelor experimentale obţinute s-au elaborat diverse

prescripţii oficiale de calcul.

Figura 6.11

174

Dacă pentru bara solicitată la compresiune σ ≥ σc şi / sau (λ ≤

λ1), nu se va mai produce flambajul şi calculul se face la

compresiune simplă (dreapta DF din fig.6.11).

Calculul la flambaj se face având în vedere că este un fenomen

complex, greu de controlat, la fel de periculos ca şi ruperea. Piesele

trebuie proiectate astfel încât sarcina reală aplicată, P (din timpul

funcţionării), să aibă o valoare mai mică decât sarcina critică Pcr (de

flambaj), astfel încât să nu existe pericolul producerii flambajului.

Raportul c = Pcr / P se numeşte coeficient de siguranţă la flambaj, în

construcţia de maşini valorile uzuale ale acestuia fiind între 3 şi 30.

Calculul la flambaj are particularitatea că se face cu relaţii

diferite, în funcţie de domeniul de flambaj: elastic sau plastic (fig.

6.11), adică cu formula (6.17), a lui Euler, respectiv cu formula

(6.18), a lui Tetmajer – Jasinsky.

6.3.2. Relaţia cu teoria catastrofelor. Flambajul barelor drepte

comprimate, expus în exemplul de la paragraful 6.3.1, este numai un

caz particular de instabilitate, a cărui formulare matematică generală

este făcută în teoria catastrofelor. Astfel, condiţiile critice de flambaj

se pot determina atât ca la paragraful 6.3.1, cât şi pe baza teoriei din

paragraful 6.2.

În teoria catastrofelor, problema instabilităţii este formulată

energetic, pentru ca formularea să fie foarte generală. Energia

potenţială totală a sistemului (potenţialul global, V, în limbajul din

§6.2) este exprimată funcţie de încărcări (forţa P, în acest caz, sau

parametrii spaţiului de control) şi de parametrii modului de

deformare (parametrii spaţiului de comportare). Pentru acele valori

ale acestor parametri, pentru care energia potenţială totală are variaţii

care sunt reprezentate de o funcţie convexă, sistemul este stabil.

Instabilitatea apare când energia potenţială totală “îşi pierde”

caracterul convex. Se prezintă aceste noţiuni pentru cazul particular

al barei drepte comprimate, din figura 6.8.

Se consideră structura figura 6.12, în care bara este reprezentată

în starea post-critică. Lungimea barei înainte de deformare, cât şi

cea de după deformare, dar măsurată de-a lungul barei deformate,

este ℓ0. Proiecţia ei pe verticală este ℓ. Bara este încărcată cu forţa

axială P, cât şi cu o forţă transversală, q, care se presupune că

175

acţionează într-o secţiune oarecare a barei (poziţia punctului de

aplicare este irelevant).

Această forţă suplimentară nu afectează

condiţiile de pierdere a stabilităţii, ea putând

avea o valoare oricât de mică. Se calculează

energia potenţială totală, Π, a acestui sistem,

care este diferenţa dintre energia de

deformaţie, U (stocată în structura deformată

elastic) şi lucrul mecanic, L, al forţelor

externe (sarcinilor), adică Π = U - L.

Pentru aceasta, sunt necesare

următoarele relaţii, care leagă lungimea

elementului de arc, ds, al barei deformate şi

momentul de încovoiere, M, de săgeata w(x)

în secţiunea de abscisă x:

)x('w2

11)x('w1

)x(cos

dxds 22

,

)x("w1

EI

M

,

în care w’ şi w’’ reprezintă prima şi a două

derivată a lui w(x). Cea de-a doua formulă a fost discutată în

capitolul 4 şi este relaţia de calcul la încovoiere pură a barelor drepte.

Energia de deformaţie, U, este suma energiei datorate solicitării

de compresiune şi cea datorată încovoierii şi poate fi scrisă astfel:

0

0

220

20

0

0

2

covincomp dx))x('w2

11)(x("wEI

2

1

EA2

Pds

EI2

)s(M

EA2

PUUU

Lucrul mecanic, L, efectuat de forţele externe este:

0

0

22

0

0

0qwdx))x('w

2

11)(x('w

2

Pqwds))s(cos1(Pqw)(PL

.

Se presupune că bara se deformează după o sinusoidă, astfel

încât /xsinw)x(w (în care w = wmax). Înlocuind în expresiile

energiei de deformaţie şi lucrului mecanic, energia potenţială totală a

structurii devine

qwPEI

4wP3

EI

32w

EA2

PLU

2

2

2

22

2

2

3

44

2

,

Figura 6.12

176

unde ℓ0 a fost înlocuit cu ℓ, după calculul lui Π.

Neglijând o constantă în w (energia datorată compresiunii),

această ecuaţie este de forma ecuaţiei (6.4), în care 1 şi 2 sunt,

respectiv, coeficienţii lui w şi w2. Conform discuţiei din §6.2,

structura îşi pierde stabilitatea când coeficientul lui w2 devine

negativ. Aceasta duce la ecuaţia (6.15), pentru sarcina critică de

flambaj. Atâta timp cât 2 este pozitiv, V = Π are un singur minim, în

timp ce pentru 2 < 0, V (adică Π) are două minime distincte, deci

structura este instabilă.

6.3.3. Stabilitatea barei drepte solicitată la răsucire şi

compresiune. Această problemă se întâlneşte la arbori, prăjini de

foraj, procese tehnologice de găurire etc.

Se consideră o bară de

lungime ℓ, articulată la

capete, încărcată cu o forţă

P de compresiune şi un

moment de răsucire Mt.

Datorită răsucirii, forma

deformată a barei este o

curbă spaţială, ale cărei

deplasări (relativ mici) se

definesc prin componentele

din planele principale de

inerţie oxz şi oxy, ca în

figura 6.13. Dacă

deplasările sunt relativ mici

se poate face aproximaţia

că momentul de răsucire

este constant în toate

secţiunile barei, fiind

tangent la axa deformată a barei. Bara îşi poate pierde stabilitatea şi

în cazul când solicitarea este numai de răsucire.

Componentele momentelor încovoietoare sunt (fig. 6.13):

- în planul xoz: -Pw produs de forţa de compresiune P şi

Mtdv/dx, produs de momentul de răsucire;

- în planul xoy: -Pv produs de forţa de compresiune P şi -

Mtdw/dx, produs de momentul de răsucire Mt.

Figura 6.13

177

Ecuaţiile diferenţiale ale axei deformate a barei, în cele două

plane sunt

dx

dwMPv

dx

vdEI;

dx

dvMPw

dx

wdEI t2

2

zt2

2

y . (6.19)

Ecuaţiile (6.19) au soluţii de forma

w = C1 erx

; v = C2 erx

, (6.20)

care înlocuite în sistemul (6.19) duc la sistemul algebric linear şi

omogen

(EIyr2+P)C1–Mt r C2 =0; Mtr C1 +(EIz r

2 + P)C2 = 0. (6.21)

Pentru a simplifica expunerea se consideră cazul particular al

unei secţiuni care are Iz = Iy = I.

Condiţia ca sistemul (6.21) să aibă pentru C1 şi C2 soluţii

nebanale este ca determinantul sistemului să fie nul, ceea ce duce la

relaţia

(EI r2 + P)

2 + Mt

2 r

2 = 0, (6.22)

ale cărei rădăcini sunt ± α1i şi ± α2i, în care

22

22

22

2

t

22

2

t2,1

IE

P

IE2

M

EI

P

IE2

M

EI

P

. (6.23)

Soluţia generală a sistemului (6.19) este

w = α1 (A cos α1x – B sin α1x) + α2 (C cos α2x – D sin α2x),

v = (P – EI α12) (B cos α1x + A sin α1x) + (P – EI α2

2) (D cos α2x

+ C sin α2x).

Condiţiile la limită sunt: pentru x = 0 şi x = ℓ, w = 0 şi v = 0. Se

formează sistemul

α1A + α2C = 0 , (P – EI α12)B +(P – EI α2

2) D = 0,

α1(Acosα1ℓ–Bsinα1ℓ)+α2(Ccosα2ℓ–D sin α2ℓ) = 0, (6.24)

(P– I α12)(Bcosα1ℓ+Asinα1ℓ)+(P–EIα2

2)(Dcosα2ℓ+Csin α2ℓ).

Pentru ca sistemul de ecuaţii (6.24), al constantelor A, B, C, D,

linear şi omogen, să aibă soluţii nenule trebuie ca determinantul său

să fie nul, ceea ce duce la ecuaţia cos (α1ℓ - α2ℓ) = 1, a cărei soluţie

cu cea mai mică valoare este α1ℓ - α2ℓ = 2π, sau explicit

2

2

22

2

t

IE4

M

EI

P

. (6.25)

178

Dacă Mt = 0 relaţia (6.25) devine formula lui Euler, iar dacă P =

0, se obţine valoarea critică a momentului de răsucire pentru o bară

solicitată numai la răsucire: Mt cr = 2 π EI / ℓ.

6.4. Folosirea metodei elementelor finite la modelarea şi

analiza problemelor de stabilitate

Utilizarea metodei elementelor finite pentru studiul problemelor

de stabilitate a structurilor se bazează pe ideea că relaţia [k]{u] =

{R}, care exprimă dependenţa dintre sarcinile {R} şi deplasările {u}

este nelineară, nelinearitatea provenind din faptul că matricea de

rigiditate [k] a structurii este funcţie de deplasări, adică

[k({u})]{u} = {R}. (6.26)

Presupunând că sarcina creşte treptat, pentru incrementul i,

relaţia (6.26), devine

[ki-1]{ui} = {Ri} sau {ui} = [ki-1]-1

{Ri}.

Fenomenul de instabilitate a structurii se produce când, teoretic,

deplasările tind către infinit. Matematic, aceasta se exprimă prin

condiţia ca determinantul matricei [k] să fie nul, conform definiţiei

inversei unei matrice. Deci ecuaţia de stabilitate este

| [k({u})] | = 0. (6.27)

Pentru calculul numeric efectiv este mai eficient să se

descompună matricea [k({u})] într-o sumă de două matrice, sub

forma

[k] = [ke] + [kG], (6.28)

în care [ke] este matricea de rigiditate elastică, obţinută prin calculul

de ordinul întâi, iar [kG] este matricea de rigiditate geometrică, care

are în vedere influenţa modificării configuraţiei geometrice a

structurii asupra rigidităţii acesteia (nelinearităţi geometrice).

Dacă se introduce un factor λ al sarcinii, de exemplu sub forma

[kG] = λ [k*G] şi se are în vedere că pierderea stabilităţii poate fi

definită ca un increment al deplasării pentru un increment nul al

sarcinii, se obţine ecuaţia ([ke] + λ [k*G]){Δu} = 0, care are soluţii

nebanale numai dacă

|[ke] + λ [k*G]| = 0. (6.29)

Ecuaţia (6.29) reprezintă expresia matematică a problemei

generale a calculului valorilor proprii. Soluţia acestei ecuaţii este

179

valoarea multiplicatorului λ al sarcinii, corespunzătoare instabilităţii

structurii, această valoare a lui λ fiind valoarea critică. Valorii

proprii îi corespunde o formă proprie de pierdere a stabilităţii

structurii, definită de vectorul propriu corespunzător. Pentru calculul

practic interesează, de obicei, numai cea mai mică dintre valorile lui

λ. Trebuie remarcat faptul că procedura matematică prin care se

rezolvă problemele de stabilitate cu elemente finite nu este diferită de

cea folosită în cele două exemple simple expuse mai sus, ecuaţia

(6.28) fiind similară în formă şi identică “în spirit” cu ecuaţiile (6.13)

şi (6.22). Datorită importanţei practice şi a complexităţii abordării

prin calcul a problemelor de stabilitate a sistemelor mecanice, de-a

lungul timpului s-a constituit o disciplină inginerească, de sine

stătătoare, destinată acestor probleme, denumită teoria stabilităţii.

Numeroşi cercetători renumiţi şi-au adus contribuţia la dezvoltarea

acestei ramuri a ingineriei mecanice prin publicarea unor lucrări

valoroase, cea mai cunoscută fiind [7]. În rezistenţa materialelor nu

sunt incluse, de regulă, decât unele probleme elementare de

stabilitate, foarte simple, ca cele prezentate mai sus.

Bibliografie

1. Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la

stabilitate, Timişoara, Editura Facla, 1983.

2. Gioncu, V., Ivan, M., Teoria comportării critice şi postcritice

a structurilor elastice, Bucureşti, Editura Academiei, 1984.

3. Marinov, R., Probleme de stabilitate dinamică în construcţii,

Bucureşti, Editura Tehnică, 1985.

4. Pavel, A., Elastostabilitatea recipientelor cilindrice,

Bucureşti, Editura Academiei, 1983.

5. Poston, T., Stewart, I., Teoria catastrofelor şi aplicaţiile ei,

Bucureşti, Editura Tehnică, 1985.

6. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Editura Politehnica Press, Bucureşti,

2003.

7. Timoshenko, S.P., Gere, J.M., Teoria stabilităţii elastice,

Bucureşti, Editura Tehnică, 1967.

8. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în

mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Bucureşti, Editura

Academiei, 1989.

180

7 .

SOLICITĂRI TERMICE

Fenomenele din natură, în general şi procesele industriale, în

particular, sunt interdependente, adică au numeroase legături între

ele, influenţându-se reciproc. În consecinţă, dacă s-ar dori o

cunoaştere riguroasă şi exhaustivă a diferitelor categorii de

fenomene, ele ar trebui studiate ca un tot unitar. O astfel de abordare

este, în principiu, posibilă dacă se aplică principiile, conceptele,

metodele şi legile termodinamicii, care cercetează sistemele din

punct de vedere energetic şi stabileşte condiţiile în care energia se

transformă în diferite forme, se propagă şi se transmite între diversele

componente ale unui sistem material.

Studiul transmisiei şi propagării căldurii nu constituie

preocuparea rezistenţei materialelor, ci a altor ştiinţe ca: termo-

elasticitatea, termotehnica, termodinamica, transmisia căldurii etc. Pe

de altă parte, însă, calculele de rezistenţă nu pot ignora efectele

proceselor termice, câmpurile de temperaturi, producerea de

deformaţii şi tensiuni “termice”, care pot avea, în anumite condiţii,

efecte foarte importante. Deci, se poate afirma că rezistenţa

materialelor este “beneficiara” studiilor respective. În concluzie,

disciplina rezistenţa materialelor trebuie să “includă” un minimum de

informaţii, noţiuni, concepte, legi şi relaţii de calcul privind

transmisia şi propagarea căldurii, pentru a putea determina efectele

mecanice pe care acestea le produc în piesele şi structurile mecanice.

Pentru structurile mecanice deformabile se pot considera

corelaţiile şi condiţiile de transformare dintre energia cinetică,

potenţială, de deformaţie, termică, internă etc, asociate diverselor

condiţii de funcţionare şi solicitare ale maşinilor, utilajelor şi

instalaţiilor. O astfel de abordare este generală, elegantă şi riguroasă

dar este inoperantă pentru numeroase situaţii practice, deoarece ar

duce la probleme de foarte mare complexitate, imposibil de formulat,

modelat şi calculat.

181

Din fericire, în practica inginerească sunt foarte frecvente

situaţiile în care se pot “decupla” diferite categorii de fenomene, cu

scopul de a fi studiate separat, pe modele mai simple, accesibile, fără

ca prin aceasta să se introducă erori prea mari în studiul respectiv.

Ulterior, rezultatele “parţiale” obţinute se însumează, adică se

“suprapun”, de obicei, însumându-se algebric. În această situaţie se

află şi fenomenele de propagare şi transmisie a energiei termice, sau

a “căldurii”.

7.1. Noţiuni, principii, concepte, legi şi relaţii de calcul

fundamentale

Când structurile mecanice sunt supuse unor variaţii de energie

termică, ele se deformează, ceea ce, în anumite condiţii, poate duce

la producerea, în structurile respective, a unor stări de deformaţii,

tensiuni şi deplasări cu valori importante. De regulă, se urmăreşte

analiza tensiunilor. Din acest motiv, este necesar ca în analiza

structurilor să se aibă în vedere şi distribuţia temperaturilor. În

concluzie, în acest context, scopul analizei transmisiei şi propagării

căldurii este determinarea valorilor temperaturilor din punctele

structurii, valori care vor fi date de intrare pentru diversele analize

ulterioare: de tensiuni, de stabilitate, dinamice etc.

Căldura.

Căldura este una dintre numeroasele forme ale energiei (şi ale

materiei), motiv pentru care se mai numeşte şi energie termică sau

calorică şi reprezintă energia cinetică dintr-un corp, definită de

„agitaţia aleatoare” (vibraţiile haotice) a atomilor şi moleculelor. În

termodinamică, „agitaţia termică” defineşte temperatura corpului şi

deci şi cantitatea de căldură înmagazinată în acesta, proporţională cu

anumite constante fizice, specifice „materialului” corpului. La

temperatura zero absolut (-273.16 oC sau 0

oK), agitaţia atomică şi

moleculară, încetează, cantitatea de căldură din corpul respectiv fiind

zero. Cantitatea de căldură se măsoară în cal, kcal, J sau Nm (1 cal =

4.1868 J).

Principiul fundamental al fenomenelor de propagare şi transmisie

a căldurii este că aceasta se “transferă” de la o particulă de materie

mai caldă (cu temperatură mai mare) la o particulă mai rece, adică

182

există „tendinţa” naturală de egalizare a temperaturilor corpurilor.

Cele două particule pot aparţine aceluiaşi corp solid sau fluid, sau pot

aparţine unor corpuri diferite. Transmisia căldurii între cele două

particule este guvernată de un ansamblu complex de fenomene, de

obicei foarte dificil de studiat ca atare. Prin urmare, se studiază

separat trei moduri “ideale” de propagare a căldurii, care sunt

componentele fenomenului real şi anume:

a. Conducţia este fenomenul de propagare directă a căldurii într-

un mediu material solid, de la o particulă la alta a corpului. În acest

caz căldura este “transferată” la nivel molecular şi atomic, schimbul

de energie cinetică de agitaţie termică între particule fiind realizat

fără antrenarea în mişcare a masei solidului în care are loc conducţia.

b. Convecţia este fenomenul de transmitere a căldurii în fluide

(lichide sau gaze) şi prin intermediul lor, prin deplasarea particulelor

materiale ale acestora. Schimbul de căldură se face, de regulă, între

un fluid - denumit agent termic - şi un corp solid, prin suprafaţa

acestuia, cu care fluidul vine în contact. Procesul termic depinde de o

multitudine de parametri ai fluidului: natura şi starea de agregare a

acestuia, vâscozitatea, distribuţia vitezelor, acceleraţiilor, presiunilor,

temperaturilor, densităţilor, precum şi de căldura specifică, de starea

suprafeţelor limită (rugozitatea) etc. Din aceste motive, este foarte

importantă determinarea experimentală corectă a valorii

coeficientului de convecţie. Convecţia poate fi naturală, când

mişcarea fluidului, însoţită de transport de căldură, se face ca urmare

a variaţiei densităţii fluidului, produsă de variaţia temperaturii, sau

forţată, când mişcarea fluidului este provocată de mijloace

exterioare: ventilatoare, pompe etc. În vid nu poate exista convecţie.

c. Radiaţia termică este fenomenul de transmitere a energiei

calorice sub formă de radiaţii electromagnetice în spectrul vizibil sau

invizibil şi se propagă în linie dreaptă. Emisia de căldură (sau

absorbţia) se face la suprafaţa corpului, prin eliberarea de cantităţi

discrete de energie, numite fotoni. Propagarea fotonilor are loc în vid

şi în gaze. În corpul radiant energia internă se transformă în energie

radiantă, care se transmite spre corpul absorbant, în care o parte din

energia radiantă se transformă în energie internă, calorică, efectul

“vizibil” fiind creşterea temperaturii acestuia. Coeficientul de

absorbţie este raportul dintre energia absorbită de corp şi energia

183

totală primită. Corpul negru absoarbe toate radiaţiile primite şi are

puterea maximă de emisie. În corpuri solide sau lichide transmisia

căldurii prin radiaţie este, de obicei, neglijabilă. Excepţie fac

corpurile lichide şi solide transparente: apă curată, cuarţ, sticlă,

materiale compozite de tip sandviş care au spaţii pline cu aer etc.

Deoarece emisia de energie termică prin radiaţie este funcţie de

puterea a patra a temperaturii absolute a sursei, înseamnă că pentru

problemele inginereşti interesează cazurile când temperatura corpului

radiant este relativ mare, adică peste 400 - 500 oC.

Temperatura.

Temperatura este o mărime scalară, măsurată în grade Celsius

(oC) sau în grade Kelvin (

oK, pentru temperatura absolută), în fiecare

punct din spaţiu având o valoare bine determinată, care defineşte

câmpul de temperatură şi regimul termic al unui corp, sau al unei

structuri. Suprafeţele sau liniile pe care temperatura are aceeaşi

valoare se numesc izoterme. Câmpul de temperaturi care nu se

modifică în timp se numeşte staţionar sau permanent. Dacă are loc o

variaţie a regimului termic al structurii de la o stare iniţială la o stare

finală staţionară, regimul se numeşte tranzitoriu, sau nestaţionar şi

trebuie avută în vedere variabila timp. De obicei regimurile

tranzitorii au loc în intervale de timp relativ scurte: de cel mult câteva

sute de secunde. Este ceea ce se întâmplă, de exemplu, la pornirea

unei turbine: până ajunge la regimul nominal de funcţionare, turbina

se află în regim tranzitoriu din punct de vedere mecanic şi termic.

Problemele de transmisie a căldurii pot fi dependente de timp pe

toată desfăşurarea lor, în aceste cazuri fiind vorba de probleme

termice dinamice, pentru care variabila principală este timpul.

Gradientul de temperatură.

Gradientul de temperatură este variaţia temperaturii pe direcţia

normalei la izotermă. El este un vector, având direcţia normalei la

izotermă.

Fluxul de căldură total.

Fluxul de căldură total Q este cantitatea de căldură care trece în

unitatea de timp printr-o suprafaţă A; se mai numeşte şi debitul de

184

căldură şi este echivalent cu o putere, măsurându-se în cal / s ( 1 cal /

s = 4.1819 W ).

Fluxul de căldură unitar.

Fluxul de căldură q, denumit şi flux de căldură unitar, este

debitul de căldură pe unitatea de suprafaţă şi de timp. Se măsoară în

cal / m2 s sau în W / m

2, adică

Q = A

dAq . (7.1)

Dacă q este constant, adică are aceeaşi valoare în toate punctele

suprafeţei A, atunci Q = q A. Fluxul de căldură după o direcţie X este

proporţional cu componenta gradientului după direcţia respectivă,

fiind maxim pe direcţia normalei la izotermă.

Fluxul de căldură volumic.

Fluxul de căldură volumic qv, denumit şi flux de căldură pe

unitatea de volum, este debitul de căldură pe unitatea de volum şi de

timp. Se măsoară în cal / m3 s sau în W / m

3, adică

Q = V

VdVq . (7.2)

7.2. Ecuaţiile propagării şi transmisiei căldurii

Ecuaţia bilanţului energetic.

Legea conservării energiei (sau bilanţul energetic), pentru o

problemă generală, de propagare şi transmisie a căldurii pentru un

solid (o structură) de volum V, aflat în echilibru termic (denumit şi

regim termic staţionar) este:

ΣEi + Eg = ΣEe + ΔEint , (7.3)

în care: ΣEi este suma energiilor termice (de convecţie şi radiaţie)

care se transmit structurii, din exterior, printr-o suprafaţă ΣAi a

acesteia; Eg – energia generată în interiorul structurii de o sursă de

căldură (care ar putea fi o transformare a energiei electrice, chimice

sau nucleare în energie termică) ; ΣEe - suma energiilor termice (de

convecţie şi radiaţie) pe care structura le transferă mediului printr-o

suprafaţă ΣAe a acesteia; ΔEint – variaţia energiei interne a structurii.

Ecuaţia conducţiei.

Ecuaţia conducţiei termice după direcţia n este:

185

qn = - λn

n

T

, (7.4)

în care:

- qn este fluxul de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă,

în unitatea de timp, în direcţia n normală la acea suprafaţă, într-un

punct al ei;

- λn - coeficientul de conductivitate termică al materialului, în

direcţia n, care se determină experimental şi variază cu temperatura,

în limite mai mari sau mai mici, în funcţie de material; are ca unităţi

de măsură W/m oK sau cal / ms

oC;

- ∂T / ∂n – gradientul temperaturii după direcţia n.

Legea (7.4) fost stabilită de Fourier, experimental, dar poate fi

dedusă şi pe baza principiilor şi conceptelor termodinamicii. În cazul,

mai general, al materialelor ortotrope, se definesc cele trei valori ale

coeficienţilor de conductivitate termică, λx, λy, λz asociate fluxurilor

de căldură qx, qy, qz pe direcţiile x, y, z ale unui reper cartezian.

Ecuaţia convecţiei.

Ecuaţia convecţiei este:

qc = α ( T – TA ), (7.5)

în care:

- qc este fluxul de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă,

în unitatea de timp;

- α - coeficientul de convecţie, al schimbului de căldură între

solid (structură) şi fluid, care se determină experimental; are ca

unităţi de măsură W/m2 o

K sau cal / m2 s

oC;

- T - temperatura suprafeţei structurii, unde are loc schimbul

de căldură;

- TA - temperatura fluidului ambiant, cu care se produce

schimbul de căldură (considerată constantă, adică neinfluenţată de

schimbul de căldură cu structura).

Ecuaţia radiaţiei.

Ecuaţia radiaţiei este :

qr = ε C0 ( T4 – TA

4 ), (7.6)

în care:

- qr este fluxul de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă,

în unitatea de timp;

186

- ε - coeficientul de emisie al suprafeţei radiante, sau

emisivitatea suprafeţei corpului radiant;

- C0 - coeficientul de radiaţie al corpului negru, sau constanta

lui Stefan-Boltzmann (C0 = 5.66961*10-8

W / m2 0

K4

= 4.96*10-8

kcal

/ m2 h

oC

4);

- T - temperatura absolută a suprafeţei structurii, unde are loc

schimbul de căldură;

- TA - temperatura absolută a mediului ambiant.

Observaţie. Relaţia (7.6) poate fi scrisă sub forma

qr = ε C0 ( T4 – TA

4 ) = ε C0 ( T

2 + TA

2 ) ( T + TA ) ( T – TA ),

în care se poate nota αr = ε C0 ( T2 + TA

2 ) ( T + TA ).

În aceste condiţii relaţia (7.6) devine

qr = αr ( T - TA ), (7.6’)

în care αr poate fi numit, convenţional, coeficient de transmisie a

căldurii prin radiaţie şi se măsoară în W / m2 0

K. Dacă pe o suprafaţă

oarecare a structurii are loc transfer de căldură cu fluxul qc, prin

convecţie şi cu fluxul qr, prin radiaţie, atunci fluxul total qt poate fi

definit prin relaţia

qt = αt ( T - TA ), (7.6’’)

în care αt = (α + αr ) este un coeficient total de transmisie a

căldurii, prin convecţie şi radiaţie.

Energia generată în materialul structurii.

Energia generată în materialul structurii de o sursă de căldură

este:

Eg = qV V, (7.7)

în care:

- qV este fluxul de căldură volumic, generat de sursa de căldură

din interiorul structurii în unitatea de timp, pentru unitatea de volum;

- V- volumul materialului structurii în care se generează

căldură cu flux volumic constant.

Variaţia energiei interne a structurii.

Ca urmare a modificării temperaturii T a structurii, se produce

variaţia energiei termice „înmagazinată” în masa structurii

ΔEint = ρ c V ∂T / ∂t, (7.8)

în care:

- ρ este masa specifică (densitatea) materialului structurii (kg/ m3);

187

- c - căldura specifică a materialului (Ws / kg oK);

- V - volumul materialului structurii (m3

);

- T - temperatura structurii (în oC sau

oK);

- t - timpul.

7.3. Modelarea şi analiza problemelor termice

Pentru formularea problemelor de propagare şi transmisie a

căldurii în structuri mecanice, trebuie avut în vedere faptul că în

“corpul solid” structurii (altfel spus, în structura de rezistenţă) are loc

doar propagarea prin conducţie a energiei termice. Deci calculul

propriu-zis se face pentru conducţie.

Pentru considerarea convecţiei şi radiaţiei se introduc condiţii la

limită corespunzătoare, pe suprafeţele structurii.

Schema de principiu a unei probleme generale de analiză termică

este prezentată în figura 7.1.

Figura 7.1

Se remarcă suprafeţe sau subspaţii ale structurii pentru care:

- structura este izolată termic (adiabatic), adică nu are nici un

schimb de căldură cu exteriorul, analog cu suprafeţele libere, pentru

analiza de tensiuni;

- într-o zonă a structurii valorile temperaturii sunt prescrise sau

cunoscute, analog cu deplasările cunoscute;

188

- pe diverse suprafeţe ale structurii intră sau ies fluxuri de

căldură de conducţie (structura este în contact „mecanic” cu altă

structură), radiaţie sau convecţie, analog cu sarcinile mecanice

distribuite pe suprafaţă;

- în interiorul masei structurii (în corpul solid) este o sursă de

căldură, cunoscută (de exemplu, printr-un element al structurii

circulă un curent electric de mare intensitate), analog cu sarcinile

mecanice masice (greutate proprie, forţe de inerţie).

Pentru modelarea şi analiza problemelor termice, care îşi

propun să determine câmpurile de temperaturi, care urmează să fie

folosite ca date de intrare pentru analize ale structurilor mecanice

(deplasări, tensiuni, stabilitate, vibraţii, răspuns dinamic etc), se fac

câteva observaţii şi recomandări.

Metoda de calcul trebuie aleasă în funcţie de complexitatea şi

scopurile urmărite prin rezolvarea problemei. În general, pentru

probleme relativ simple sunt disponibile metode analitice iar pentru

probleme dificile, metode numerice. Cea mai generală şi eficientă

este metoda elementelor finite care are implementate elemente finite

speciale, termice, destinate modelărilor şi analizelor termice.

Temperatura fiind o mărime scalară, problemele termice sunt

relativ mai simple decât cele obişnuite, de analiza tensiunilor. De

regulă, câmpul de temperaturi al unei structuri are gradienţi relativ

mai mici decât câmpul de deplasări sau de tensiuni. Din acest motiv,

elaborarea modelului se face pentru a corespunde cât mai bine

analizei de tensiuni, implicit fiind foarte bun şi pentru analiza

termică.

Problemele termice sunt puternic nelineare, acest aspect fiind

determinant pentru analizele respective. Trebuie avute în vedere, cel

puţin, următoarele tipuri de nelinearităţi:

- valorile caracteristicilor fizice ale materialului structurii, care

sunt implicate în fenomenele de propagare şi transmisie a căldurii,

suferă variaţii importante în funcţie de temperatură. Este cazul

coeficientului de conductivitate λn (n = X,Y,Z); coeficientul de

convecţie α ; coeficientul de emisie al suprafeţei radiante (sau

emisivitatea suprafeţei corpului radiant) ε ; căldura specifică a

materialului c. Valorile acestor coeficienţi pot fi considerate

189

constante numai pentru intervale de temperatură relativ mici (câteva

zeci de grade, în funcţie de acurateţea soluţiei dorite);

- transmisia căldurii prin radiaţie este guvernată de relaţia (7.6),

în care temperatura este la puterea a patra, ceea ce impune

fenomenului un caracter nelinear foarte pronunţat.

Fenomenele tranzitorii de schimb de căldură sunt aproape

totdeauna nelineare, rezolvarea făcându-se cu proceduri speciale,

specifice problemelor nelineare: de exemplu, procedura pas cu pas.

Valorile coeficienţilor λn, α, ε, c, amintiţi mai sus, nu se pot

determina decât experimental. Aceste valori depind de material şi de

o mare diversitate de factori. Succesul modelării şi analizei poate fi

compromis de incertitudini şi inexactităţi privind valorile acestora.

Ele trebuie măsurate în condiţii cât mai apropiate de cele în care

funcţionează structura care se calculează. În caz contrar, efortul de

modelare şi analiză este inutil.

Valorile fluxurilor de căldură, care se introduc ca “încărcări

termice” în modelul de calcul, trebuie stabilite cu suficientă precizie,

pentru a se obţine, în urma analizei, rezultate cu un nivel de încredere

satisfăcător. În practica inginerească, sunt numeroase cazurile când

această cerinţă este foarte dificil de satisfăcut. Măsurarea directă a

valorilor diverselor tipuri de fluxuri este foarte laborioasă, de obicei

recurgându-se la măsurări “indirecte” şi la evaluări prin diverse

calcule.

Valorile temperaturii în diverse puncte ale structurii este necesar,

în unele cazuri, să fie cunoscute cu o precizie relativ ridicată (de

exemplu, cel puţin cu trei cifre semnificative), deoarece variaţii

relativ mici ale acestora pot avea influenţe importante pentru

analizele ulterioare de deplasări, tensiuni, reacţiuni în reazeme etc,

ale structurii respective. Concluzia este că modelarea şi analiza

problemelor termice trebuie făcută cu multă atenţie şi în corelaţie cu

scopurile urmărite.

Determinările experimentale privind estimarea valorilor

constantelor termice cât şi a fluxurilor de căldură sunt dominate de

impedimentul că acestea nu pot fi obţinute direct, ci prin măsurarea

altor mărimi şi efectuarea unor calcule.

Modelările şi analizele de deplasări şi tensiuni ale structurilor

mecanice, care folosesc ca date de intrare câmpuri de temperaturi,

190

pot fi compromise dacă determinarea temperaturilor nu s-a făcut

suficient de exact, rezultatele obţinute fiind afectate de erori

importante.

7.4. Originile proceselor termice în structurile mecanice

Câmpurile de temperaturi şi variaţiile acestora sunt produse în

structurile mecanice printr-o multitudine de mecanisme şi factori,

dintre care cei mai importanţi sunt:

a. Condiţiile de mediu duc la schimburi de căldură şi variaţii ale

temperaturii structurilor mecanice, mai ales ale celor care lucrează în

aer liber. Au loc variaţii de temperatură între zi şi noapte, între vară

şi iarnă, care trebuie avute în vedere pentru a se asigura buna

funcţionare şi siguranţa unei structuri.

b. Numeroase procese mecanice, energetice, siderurgice,

metalurgice, chimice, tehnologice etc, au loc la temperaturi ridicate,

ceea ce impune efectuarea calculului de rezistenţă în condiţiile

respective, adică cu luarea în considerare a solicitărilor termice şi a

celorlalte efecte. De exemplu: arderea în motoarele cu ardere internă,

cazanele şi turbinele cu abur, elaborarea oţelurilor, sinteza unor

substanţe chimice (amoniacul), distilarea şi cracarea în instalaţiile

petrochimice, forjarea, turnarea, aşchierea etc.

c. Majoritatea maşinilor au piese care execută mişcări relative –

de rotaţie sau translaţie – cu frecare, ceea ce produce căldură, care

trebuie eliminată în exterior, prin sisteme adecvate de ungere şi

răcire.

d. În instalaţii energetice, chimice, metalurgice, petrochimice etc

se transportă pe distanţe relativ mari fluide (aer fierbinte, abur,

compuşi chimici toxici, metale topite) la presiuni şi temperaturi

ridicate, pentru care trebuie asigurate măsuri stricte de protecţie a

oamenilor şi mediului.

e. Un aspect important, implicit, al proceselor termice prezentate,

este cel al factorului timp, deoarece relativ frecvent procesele termice

sunt variabile (în timp), nestaţionare sau tranzitorii. Toate maşinile şi

instalaţiile trebuie analizate şi în regimuri de funcţionare „atipice”:

pornire, oprire, avarie, seism, accident, suprasarcină, manevre greşite

etc.

191

7.4. Efectele proceselor termice în structurile mecanice

Câmpurile de temperaturi (valorile temperaturii în toate punctele

structurii) şi variaţiile lor în structurile mecanice produc o mulţime

de efecte, pe care rezistenţa materialelor trebuie să le aibă în vedere,

dintre care cele mai importante sunt:

a. Caracteristicile elastice şi mecanice ale materialelor depind de

temperatură, adică trebuie să se aibă în vedere curba caracteristică a

materialului (şi valorile constantelor mecanice) corespunzătoare

temperaturilor la care funcţionează structura. Fiecare material are un

„răspuns” propriu la variaţia temperaturii. O atenţie deosebită trebuie

acordată pericolului de producere a „fragilizării” materialului, adică a

trecerii de la ruperea tenace la cea fragilă, deoarece sunt oţeluri (şi

alte materiale) pentru care această temperatură este relativă ridicată,

de –20 .... – 40 0C, valoare care se poate uşor atinge într-o noapte de

iarnă.

b. Variaţiile temperaturii produc dilatări (sau contracţii), adică

variaţii ale dimensiunilor pieselor metalice (pentru dimensiuni mari,

pot atinge valori de zeci de milimetri), cu următoarele efecte:

- modificări ale formelor şi ale poziţiilor relative ale unor

subansamble sau componente ale structurii. De exemplu, maşinile

unelte pot suferi „alterări” ale parametrilor de precizie;

- modificări ale jocurilor în lagăre (de alunecare sau rulmenţi),

ale condiţiilor de etanşare, ale condiţiilor de rezemare etc. De

exemplu, încălzirea unei cutii de viteze duce la dilatări ale arborilor,

care au ca efect reducerea jocurilor în rulmenţi, la suprasarcini axiale

şi chiar la blocarea sau distrugerea rulmenţilor. Dilatări neuniforme

ale componentelor unei asamblări (de exemplu, cu flanşe) pot

compromite etanşeitatea sistemului la un fluid sub presiune.

Deplasări ale reazemelor unei structuri pot provoca suprasarcini

(când reazemele sunt blocate) sau forţe de frecare, care încarcă

structura cu sarcini suplimentare mari;

- încălziri neuniforme (de exemplu, datorate radiaţiei solare) ale

unor structuri static nedeterminate, pot provoca suprasolicitări

„termice” apreciabile;

- variaţii de temperatură pot avea efecte mecanice nedorite

asupra unor structuri realizate din materiale diferite, cu proprietăţi

192

termice diferite, care se vor dilata diferit şi vor provoca solicitări

„termice” cu valori importante.

c. Componentele mecanice ale maşinilor, instalaţiilor etc, care

lucrează la temperaturi relativ ridicate, trebuie calculate cu luarea în

considerare şi a fenomenelor de fluaj, relaxare, coroziune şi oboseală

termică.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press, 2003

193

8.

PLĂCI ŞI STRUCTURI DIN PLĂCI

8.1. Generalităţi

O placă este un corp solid care are una dintre dimensiuni

(grosimea) mai mică decât celelalte două şi poate fi privit ca

“materializarea” unei suprafeţe, aşa cum o bară este materializarea

unei linii. O placă se defineşte, în general, prin forma şi dimensiunile

“suprafeţei mediane”, iar în fiecare punct al acesteia, se consideră o

normală pe care se defineşte grosimea, h, de o parte şi de alta a

suprafeţei mediane, prin valorile h/2.

Plăcile au o importanţă deosebită în ingineria mecanică, deoarece

numeroase structuri au în componenţa lor plăci de o foarte mare

varietate de forme şi dimensiuni. Este cazul echipamentelor

energetice, chimice, siderurgice, al maşinilor unelte şi de lucru,

vehiculelor auto, navale şi feroviare, al unor cupole şi acoperişuri etc.

Structurile mecanice se realizează prin “asamblarea” diverselor plăci

componente prin sudură, turnare, nituire etc, sau prin combinaţii ale

acestor procedee.

Calculul plăcilor şi structurilor din plăci este dificil, deoarece se

ajunge la sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale, greu de integrat.

Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este foarte

mare. De asemenea, trebuie făcut calcul static, dinamic, de vibraţii,

de stabilitate etc.

Chiar la începuturile teoriei elasticităţii şi rezistenţei materialelor

s-a ajuns la concluzia că pentru plăci trebuie elaborată o “teorie”

proprie, deoarece nu este posibilă utilizarea ecuaţiilor generale (5.10)

ale teoriei elasticităţii (din nou se poate face o paralelă cu barele).

Teoria plăcilor face o serie de ipoteze simplificatoare, unele generale,

de principiu şi altele “de calcul”, prin care se neglijează unii termeni

din ecuaţiile sau soluţiile respective. Din aceste motive s-a ajuns în

situaţia „de fapt” că se utilizează mai multe variante ale teoriei

194

plăcilor, fiecare având delimitările, precizia, avantajele şi

dezavantajele sale.

Încercările de a elabora o “teorie generală a plăcilor” au fost

abandonate datorită dificultăţilor de calcul. Prin urmare, în prezent,

din considerente practice, se folosesc în inginerie teorii distincte

pentru, cel puţin, următoarele categorii de plăci:

- plăci subţiri (cu grosime mică), cu deformaţii şi deplasări mici;

- plăci subţiri, cu deplasări mari;

- plăci groase.

De asemenea, s-au elaborat teorii şi relaţii de calcul pentru

plăcile curbe şi pentru cele plane, care, la rândul lor, se împart în

plăci de rotaţie (în general), cilindrice, sferice, conice, toroidale etc,

respectiv plăci plane dreptunghiulare, circulare etc. O placă plană

poate fi privită ca un caz particular al unei plăci curbe şi anume o

placă curbă cu curbură nulă.

Conceptul de grosime mică sau mare a plăcii, determină

posibilităţile de neglijare a unor termeni din ecuaţiile sau relaţiile de

calcul pentru plăcile subţiri. Placă subţire se consideră cea pentru

care grosimea este relativ mică în comparaţie cu raza de curbură sau

cu dimensiunile plăcii şi anume:

- dacă placa este curbă, raportul dintre grosimea h şi raza de

curbură principală R trebuie să satisfacă condiţia h/R < 10…20;

- dacă placa este plană, raportul dintre grosimea h şi lungimea

(sau lăţimea plăcii) ℓ trebuie să satisfacă condiţia h/ℓ < 10…20.

Deplasarea w a plăcii pe direcţia normalei la suprafaţa mediană

se consideră mică, dacă w/h < 5…10, iar placa se consideră

cu deplasări mici.

În cadrul categoriilor menţionate, de obicei, se consideră că

plăcile sunt elastice, calculul în regim elasto-plastic de solicitare

fiind foarte dificil.

S-au impus, de asemenea, teorii şi relaţii de calcul distincte

pentru plăci plane şi pentru plăci curbe (învelişuri), deoarece există o

diferenţă esenţială în privinţa efectului sarcinilor exterioare asupra

plăcilor curbe, comparativ cu cele plane:

1. Echilibrul static al unui element de placă plană, încărcat cu o

sarcină transversală, este posibil numai datorită “apariţiei”

195

momentelor încovoietoare şi de răsucire, însoţite, de obicei şi de

forţe tăietoare.

2. O placă curbă, în general, transmite sarcinile exterioare către

reazeme prin solicitările “de membrană”, care acţionează paralel cu

planul tangent la suprafaţa mediană a plăci, din punctul considerat,

tensiunile (normale, σ, de întindere sau compresiune) fiind constante

pe grosime, studiul acestei probleme făcând obiectul teoriei de

membrană a plăcilor. Această proprietate a plăcilor curbe subţiri le

face, de regulă, să fie mult mai rigide şi mai eficiente decât plăcile

plane, în aceleaşi condiţii de solicitare, de rezemare şi de material

(aspectele tehnologice nu se comentează aici). În principiu,

solicitările de membrană sunt independente de deformaţiile produse

de solicitările de încovoiere, răsucire şi forfecare (când acestea sunt

mici).

Reacţiunile şi deplasările obţinute cu teoria de membrană în

zonele de margine sunt, de regulă, incompatibile cu condiţiile reale

de pe frontieră (contur, margine), motiv pentru care, trebuie avută în

vedere şi încovoierea în aceste zone, care, în general, are efecte

locale.

Pentru studiul tensiunilor în vecinătatea sarcinilor concentrate

aplicate plăcilor, trebuie folosite teorii „speciale”, specifice

problemelor spaţiale ale teoriei elasticităţii.

Calculul structurilor din plăci se poate face numai cu ajutorul

calculatoarelor, fie pentru cazuri particulare, ca cel al structurilor

axial simetrice (de rotaţie), pentru care s-au elaborat algoritmi şi

programe adecvate, fie, în cazul general, cu metode numerice, ca

metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite sau metoda

elementelor de frontieră.

Din considerente didactice, în continuare, se vor prezenta doar

câteva probleme (relativ simple) ale plăcilor subţiri, elastice, cu

deplasări mici.

Ipotezele care se au în vedere în teoria plăcilor subţiri, elastice,

cu deplasări mici sunt următoarele:

- suprafaţa mediană a plăcii este “inextensibilă”, adică în ea nu se

produc deformaţii de întindere sau compresiune: suprafaţa mediană

196

rămâne neutră la încovoierea plăci, ceea ce se realizează dacă

suprafaţa este desfăşurabilă;

- o normală rectilinie la suprafaţa mediană, nedeformată a plăcii,

rămâne rectilinie şi normală la suprafaţa mediană, deformată, a

plăcii;

- tensiunile normale σ, pe direcţia normalei la suprafaţa mediană

a plăcii sunt mici şi se neglijează.

De asemenea, se face precizarea că, pentru plăci, eforturile se

definesc pe unitatea de lungime în planul median, adică forţele axiale

şi cele tăietoare au unităţile de măsură N/mm, iar momentele

Nm/mm, sau variante ale acestora.

8.2. Plăci curbe subţiri elastice

O placă curbă subţire este definită de o suprafaţă mediană curbă.

După forma suprafeţei mediane, plăcile se clasifică în plăci cu

curbură simplă şi plăci cu dublă curbură. În geometria diferenţială a

suprafeţelor se demonstrează că există totdeauna două secţiuni

realizate cu plane care conţin normala, perpendiculare între ele, în

care razele de curbură au valori extreme, ρ1 şi ρ2. Curburile

corespunzătore, cea maximă, 1/ρ1, respectiv, 1/ρ2, minimă, se

numesc curburile principale ale plăcii.

Raza de curbură, ρ, într-un plan care face unghiul υ cu planul

principal I (relaţia lui Euler), este:

2

2

1

2 sincos1

. (8.1)

În geometria suprafeţelor (şi în teoria plăcilor curbe) se folosesc

şi mărimile:

-curbura totală sau curbura lui Gauss: K=1/ρ1ρ2; (8.2)

-curbura medie: H = 1/ρ1 + 1/ρ2 . (8.3)

a b c

Figura 8.1

197

Când curbura lui Gauss este pozitivă (K>0), curburile principale

au acelaşi semn, suprafaţa este convexă şi se numeşte sinclastică

(elipsoidul, sfera, paraboloidul de rotaţie), ca în figura 8.1.a, iar când

K<0, curburile principale au semne contrare, suprafaţa are forma de

şa şi se numeşte anticlastică (hiperboloidul de rotaţie, paraboloidul

hiperbolic, elicoizii, fig. 8.1.b). Dacă una dintre curburile principale

este nulă (K=0), suprafaţa este cu simplă curbură (cilindrul, conul,

fig. 8.1.c), iar când ambele curburi sunt nule, placa este plană.

Cele mai utilizate plăci curbe în inginerie au suprafeţe mediane

care sunt de următoarele tipuri:

- de rotaţie: generate de drepte sau curbe plane care se rotesc în

jurul unei axe conţinută în planul respectiv;

- cilindrice: generate de o dreaptă care se deplasează rămânând

paralelă cu ea însăşi şi se sprijină pe o curbă directoare;

- suprafeţe riglate: generate de o dreaptă care se deplasează după

o anumită lege;

- suprafeţe oarecare: generate în moduri diferite de cele de mai

sus, prin diverse combinaţii ale modalităţilor prezentate sau prin

îmbinarea unor „fragmente” de suprafeţe „clasice”.

Din cele de mai sus rezultă marea varietate a formelor

geometrice ale plăcilor curbe, la care trebuie adăugate şi gama

dimensiunilor, materialelor, tehnologiilor de fabricaţie etc.

Eforturi şi tensiuni.

Se consideră un element cu dimensiuni infinit mici, dx şi dy,

detaşat dintr-o placă curbă subţire, cu două perechi de plane

paralele, normale între ele, ca în figura 8.2.a, pe care s-a notat şi

grosimea h şi razele de curbură ρx şi ρy ale suprafeţei mediane în

planele secţiunilor.

Se presupune curbura totală K >0.

Într-un punct situat la distanţa z de suprafaţa mediană starea de

tensiuni este definită de componentele σx, σy, τxy = τyx şi τxz, τyz (v. fig.

8.2.a). Se observă că arcele situate la distanţa z de suprafaţa mediană

au lungimile dx+(z/ρx)dx, respectiv dy +(z/ρy)dy.

Efortul circumferenţial Nx este:

2h

2h y

xxdzdy

zdydyN ,

198

care se simplifică cu dy, deoarece nu variază cu z şi rezultă relaţia de

echivalenţă mecanică dintre tensiunea σx şi efortul Nx

2h

2h y

xxdz

z1N .

Analog, se obţine şi efortul axial

2h

2h x

yydz

z1N . (8.1.a)

Procedând asemănător rezultă şi expresiile pentru celelalte eforturi:

- eforturile tangenţiale

2h

2h y

xyxydz

z1T ;

2h

2h x

yxyxdz

z1T ; (8.1.b)

- eforturile de forfecare

2h

2h y

xzxdz

z1T ;

2h

2h x

yzydz

z1T ; (8.1.c)

- momentele încovoietoare

2h

2h y

xxdz

z1zM ;

2h

2h x

yydz

z1zM ; (8.1.d)

a b

Figura 8.2

199

- momentele de răsucire

2h

2h y

xyxydz

z1zM ;

2h

2h x

yxyxdz

z1zM . (8.1.e)

În figura 8.2.b s-au reprezentat eforturile definite prin relaţiile

(8.1), momentele fiind reprezentate prin săgeţi duble. Observaţii: 1. Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale τxy = τyx,

dar, având în vedere că, în general, ρx ≠ ρy, rezultă că (a se vedea relaţiile (8.1.b) şi

(8.1.e)) pentru eforturile tangenţiale şi pentru cele de răsucire principiul dualităţii

nu mai este valabil, adică

Txy ≠ Tyx şi Mxy ≠ Myx. (8.2)

2. Notaţiile şi sensurile (pozitive) ale tensiunilor şi eforturilor din figura 8.2

sunt cele mai des utilizate, dar se folosesc, de diverşi autori şi diverse variante ale

acestora.

3. Relaţiile (8.1) se mai numesc şi relaţiile de echivalenţă mecanică dintre

tensiuni şi eforturi.

Pentru determinarea tensiunilor într-un punct al plăcii trebuie

determinate cele zece eforturi din relaţiile (8.1), dar nu sunt

disponibile decât şase ecuaţii de echilibru, adică problema este de

patru ori static nedeterminată. Cele patru ecuaţii suplimentare

necesare se pot obţine prin studiul deformaţiilor elementului de placă

avut în vedere.

Dacă grosimea h a plăcii este relativ mică în raport cu razele de

curbură ρx şi ρy, se pot neglija rapoartele z/ρx şi z/ρy în relaţiile (8.1)

şi expresiile celor zece eforturi devin:

2h

2h

yy

2h

2h

xx ;dzN;dzN

2h

2h

yzy

2h

2h

xzx

2h

2h

xyyxxy ;dzT;dzT;dzTT (8.3)

2h

2h

xyyxxy

2h

2h

yy

2h

2h

xx dzzMM;dzzM;dzzM .

Numărul eforturilor necunoscute a scăzut la opt. Pentru sistemul

spaţial de forţe şi momente din figura 8.2.b se pot scrie şase ecuaţii

200

de echilibru mecanic. Trebuie, deci, să se scrie două ecuaţii de

deformaţii.

Rigiditatea la încovoiere a plăcii.

Ca urmare a ipotezelor enunţate, într-o placă subţire, solicitată

numai la încovoiere, starea de tensiuni este plană (s-a făcut ipoteza

că σz = 0), deci

- deformaţiile specifice sunt:

εx = (σx – υσy) / E şi εx = (σx – υσy) / E; (8.4.a)

- tensiunile normale sunt:

).(1

E),(

1

Exz2yyx2x

(8.4.b)

Se consideră o secţiune a

plăcii în planul Oxz, ca în figura

8.3 şi se au în vedere punctele

A şi P, înainte ca placa să se

deformeze (punctul P se află la

distanţa z faţă de suprafaţa

mediană a plăcii). După

deformarea plăcii punctele

ajung în A’, respectiv P’.

Deplasarea u a punctului P este

u ≈ -zθx, în care θx = dw/dx, este panta tangentei dusă în punctul A’

la suprafaţa deformată, adică

u ≈ -z dw/dx. (8.5.a)

Procedând asemănător şi în planul Oyz, se obţine

v ≈ -z dw/dy. (8.5.b)

Se scriu succesiv:

-deformaţiile specifice:

εx= du / dx = -z d2w/dx

2; εy= dv / dy = -z d

2w/dy

2;

-tensiunile:

2

2

2

2

2x2

2

2

2

2xdx

wd

dy

wd

1

Ez,

dy

wd

dx

wd

1

Ez. (8.6)

Momentele încovoietoare se calculează cu relaţiile (8.3)

corespunzătoare:

Figura 8.3

201

2

2

2

2

2

32h

2h

2h

2h

2

2

2

2

2

2

xx

dy

wd

dx

wd

)1(12

Ehdz

dy

wd

dx

wd

1

EzdzzM ,

în care se notează rigiditatea la încovoiere a plăcii:

D = Eh3 / [12(1-υ

2)], (8.7)

forma finală a expresiilor celor două momente încovoietoare, în

funcţie de deplasări fiind:

2

2

2

2

y2

2

2

2

xdx

wd

dy

wdDM,

dy

wd

dx

wdDM . (8.8)

Starea de echilibru de membrană.

Pentru numeroase probleme inginereşti se pot accepta

următoarele ipoteze simplificatoare:

- tensiunile σx, σy, τxy = τyx sunt constante pe grosimea plăcii;

- tensiunile τxz şi τyz sunt nule (sau neglijabile).

În acest caz particular sunt trei eforturi necunoscute: Nx, Ny şi

Nxy=Nyx, ca în figura 8.4, pentru care se pot scrie doar trei ecuaţii de

echilibru, pentru forţe (pe direcţia normalei la suprafaţa mediană şi

pe două direcţii din planul tangent), ecuaţiile

de momente fiind identic satisfăcute.

Starea de solicitare a unei plăci curbe,

caracterizată numai prin eforturile Nx, Ny şi

Nxy=Nyx, se numeşte stare de echilibru de

membrană. Plăcile curbe aflate într-o astfel

de stare de solicitare sunt, în general, static

determinate, deoarece numărul eforturilor

este egal cu cel al ecuaţiilor de echilibru care

se pot scrie, adică, eforturile pot fi determinate doar din ecuaţiile de

echilibru, condiţii de deformare a plăcii ne fiind necesare. Observaţii: 1. Starea de solicitare de membrană într-o placă curbă nu se

poate realiza pentru orice condiţii de încărcare şi rezemare. De exemplu,

pentru o sarcină concentrată, cel puţin în zona din vecinătatea punctului de

aplicaţie, trebuie să se ţină seama de efectele de încovoiere, deoarece ele nu pot fi neglijate.

2. Rezemarea plăcii trebuie să se facă astfel încât reacţiunile să

acţioneze în planul tangent la suprafaţa mediană. În general această condiţie este greu de îndeplinit din cauza deformaţiilor plăcii sau din cauza

Figura 8.4

202

deplasărilor reazemului. Prin urmare, foarte frecvent în zonele de rezemare

apar solicitări de încovoiere locale, valorile lor scăzând foarte repede la distanţe relativ mici de reazem.

8.3. Metodologia generală de analiză a plăcilor subţiri

elastice

Pentru a stabili ecuaţiile diferenţiale ale plăcilor (curbe sau

plane) de regulă, primele trei etape “metodologice” sunt aceleaşi cu

cele care s-au prezentat în § 5.1, intitulat “Sistemul de ecuaţii al

teoriei elasticităţii” şi anume:

1. Se scriu ecuaţiile de echilibru pentru elementul de placă

considerat, sub acţiunea eforturilor (v. fig. 8.2.b) şi a unei sarcini

aplicată în centrul elementului, acesta reprezentând aspectul mecanic

al problemei. Pentru aceasta trebuie să se facă ipoteze asupra

tensiunilor care se au în vedere şi a eforturilor corespunzătoare.

2. Se scriu relaţiile între deplasări şi deformaţii specifice,

denumite şi relaţii de compatibilitate geometrică, care reprezentă

aspectul geometric al problemei. Aceasta este, de regulă, etapa cea

mai dificilă a demersului. Pentru scrierea acestor relaţii se consideră

modul în care se deformează placa, se aleg componentele

deplasărilor care urmează să se considere în calcul şi care sunt

deformaţiile specifice pe care le produc.

3. Se scriu relaţiile dintre tensiuni şi deformaţiile specifice

(lege lui Hooke), ceea ce reprezintă aspectul fizic al problemei.

4. Se fac diverse operaţii de calcul asupra ecuaţiilor obţinute, cu

scopul de a le aduce la forme mai simple, de exemplu: se neglijează

unii termeni, se fac înlocuiri ale unor expresii în altele, cu scopul

eliminării unora dintre necunoscute etc. În final se ajunge la una sau

mai multe ecuaţii diferenţiale în care, cel mai frecvent, necunoscutele

sunt componente ale deplasărilor unui punct al suprafeţei mediane a

plăcii, adică ecuaţiile obţinute sunt scrise „în funcţie de deplasări” şi

pot fi omogene sau neomogene, lineare sau nelineare, cu sau fără

derivate parţiale.

5. Se integrează ecuaţia diferenţială (sau sistemul) şi se

determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (dacă este

cazul). Soluţiile pot fi “închise”, pentru probleme mai simple, sau pot

fi de forma unor dezvoltări în serie, cu un număr oarecare de

203

termeni, pentru probleme mai complicate, caz în care precizia

soluţiei depinde de numărul termenilor luaţi în calcul.

Metodele de calcul folosite pentru integrarea ecuaţiilor plăcilor

sunt de o mare diverse: analitice, cu funcţii de variabile complexe,

numerice etc. Soluţiile găsite conţin un număr de constante de

integrare, pentru aflarea cărora se pot utiliza alte metode de calcul: a

colocaţiei, a celor mai mici pătrate etc.

6. Pentru calculul unei plăci date trebuie scrise condiţiile la

limită şi de rezemare, pentru determinarea constantelor de integrare,

ale căror valori se înlocuiesc în soluţia ecuaţiei.

7. Relaţiile de calcul obţinute permit determinarea valorilor

deplasărilor şi tensiunilor în punctele de interes ale plăcii. În

numeroase situaţii starea de tensiuni din placă este spaţială, ceea ce

implică utilizarea unei teorii de stare limită, pentru a verifica dacă

placa rezistă în bune condiţii.

Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este

considerabil, motiv pentru care, în prezent, plăcile şi structurile din

plăci se calculează cu metode şi programe adecvate, pe calculator.

8.4. Plăci curbe subţiri de rotaţie, în stare de solicitare şi de

echilibru de membrană

Plăcile curbe de rotaţie se definesc prin suprafeţe mediane

generate prin rotirea unei curbe plane, C, denumită meridian, în jurul

unei drepte, Δ, din planul ei, care este axa plăcii, ca în figura 8.5.

Figura 8.5

Un punct A de pe curbă descrie un cerc de rază r, denumit cerc

paralel. Fie raza de curbură, ρ1= O1A, în punctul A. A doua secţiune

principală este perpendiculară pe prima şi conţine normala din

204

punctul A. Raza ei de curbură se obţine prin aplicarea teoremei lui

Meusnier şi are valoarea O2A = ρ2 = r sin υ.

Ca o consecinţă a simetriei, poziţia unui punct pe suprafaţa

mediană a plăcii este foarte simplu de definit prin două unghiuri (fig.

8.6.a):

- υ – unghiul dintre axa de rotaţie şi normala la suprafaţă;

- θ – unghiul dintre un plan meridian oarecare şi planul meridian

de referinţă, de exemplu, cel care trece prin punctul A.

Pentru a determina eforturile din placa curbă considerată, se

defineşte un patrulater curbiliniu, infinit mic ABCD, ca în figura

8.6.a, cu laturile:

AD = BC = ρ1dυ, AB = r dθ şi CD = [r + (dr/dυ) dυ].

Pe suprafeţele laterale ale elementului acţionează eforturile „de

membrană” reprezentate în figura 8.6.b. De asemenea, s-a considerat

şi o sarcină distribuită, p, cu componentele px , py şi pz. Eforturile se

consideră pozitive când:

a b

Figura 8.6

- Nθ şi Nυ - produc solicitări de întindere;

- Tθυ şi Tυθ - au sensurile inverse acelora de creştere a

unghiurilor θ şi υ.

Pentru forţele care acţionează asupra elementului de placă din

figura 8.6.b se scriu trei ecuaţii de echilibru.

1. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la cercul paralel, Ox, (fig.

8.6.b şi 8.7) duce la o relaţie “stufoasă”, care se simplifică foarte

mult după ce se fac următoarele operaţii:

- sin dε/2 ≈ dε/2 şi cos dε/2 ≈1;

- se neglijează infiniţii mici de ordin superior;

205

- se are în vedere că dε = cos υ

- ecuaţia se împarte cu dθ.dυ.

Figura 8.7

Forma finală a ecuaţiei este:

0prcosTT

rr

TN

x111

. (8.9)

2. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la meridian, Oy, (fig.

8.6.b şi 8.8) se obţine procedând asemănător ca pentru ecuaţia (8.9)

şi rezultă:

0prcosNTN

rr

N y111

. (8.10)

Figura 8.8 Figura 8.9

3. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia normalei la suprafaţa mediană,

Oz, (fig. 8.6.b şi 8.9) se obţine, procedând asemănător ca pentru

ecuaţiile (8.9) şi (8.10) şi rezultă:

z

21

pNN

, (8.11.a)

206

sau, prin împărţirea cu grosimea h (având în vedere că tensiunile sunt

constante pe grosime), se obţine ecuaţia lui Laplace

h

pz

21

. (8.11.b)

Observaţie: În figurile 8.7, 8.8 şi 8.9 s-au reprezentat numai eforturile care

intervin în ecuaţia la care se referă fiecare figură. Relaţiile (8.9), (8.10) şi (8.11) constituie un sistem de trei ecuaţii

având ca necunoscute funcţiile Nθ, Nυ şi Tθυ=Tυθ – eforturile “de

membrană” din placă. Se observă că relaţia (8.11) nu este

diferenţială, ceea ce permite eliminarea unuia dintre eforturile Nθ sau

Nυ şi astfel sistemul de ecuaţii rămas are două ecuaţii cu două

necunoscute. Integrarea acestui sistem de ecuaţii este, în general,

dificilă. În cazuri particulare, ca, de exemplu, pentru plăci cu

încărcare simetrică faţă de axa de rotaţie, ecuaţiile se simplifică şi

integrarea lor devine posibilă.

8.5. Plăci cilindrice subţiri

Se consideră o placă cilindrică (cu secţiune inelară), cu raza, r, a

suprafeţei mediane, grosimea, h, constantă, încărcată cu o sarcină, p,

simetric distribuită în raport cu axa cilindrului (o presiune).

În placă s-a definit un element infinit mic, ca în figura 8.10,

pentru care se vor scrie ecuaţiile de echilibru.

Figura 8.10

Datorită simetriei axiale, eforturile din placă sunt:

- forţele tăietore de membrană Txυ=Tυx şi momentele de răsucire

Mxυ=Mυx sunt nule;

207

- forţele normale Nυ şi momentele încovoietoare Mυ sunt

constante de-a lungul circumferinţei.

În aceste condiţii se pot scrie numai trei ecuaţii de echilibru

pentru eforturile care acţionează asupra plăcii:

- proiecţia forţelor după direcţia x

0ddxrdx

dNx ; (8.12)

- proiecţia forţelor după direcţia z

0ddxrpddxNddxrdx

dTx ; (8.13)

- suma momentelor după direcţia y

0ddxrTddxrdx

dMx

x . (8.14)

Din relaţia (8.12) rezultă că efortul axial Nx este constant. Se va

considera că Nx = 0. În cazul în care există efort axial, deformaţiile şi

tensiunile produse de acesta se pot calcula foarte simplu şi se

însumează cu celelalte.

Ecuaţiile (8.13) şi (8.14) se simplifică şi devin

pNr

1

dx

dTx şi 0Tdx

dMx

x , (8.15)

pentru integrarea cărora trebuie avut în vedere şi modul de deformare

al plăcii.

Deformaţiile specifice sunt (fig. 8.10):

dx

dux şi

r

w

dr

drd)wr(

. (8.16)

Ca urmare a simetriei axiale, deplasarea v în direcţie

circumferenţială este nulă.

Cu legea lui Hooke se determină tensiunile

,dx

du

r

w

)1(

E)(

)1(

E

;r

w

dx

du

)1(

E)(

)1(

E

2x2

2x2x

(8.17)

care permit calculul eforturilor, cu relaţiile (8.3), având în vedere că

tensiunile sunt constante pe grosimea, h, a plăcii:

208

dx

du

r

w

)1(

EhN;

r

w

dx

du

)1(

hEN

22x . (8.18)

Aplicând condiţia Nx = 0 primei relaţii (8.18), se obţine du/dx =

ν w/r, care, înlocuit în a doua dintre relaţiile (8.18) duce la rezultatul

Nυ = - Ehw / r. (8.19)

Din relaţiile (8.15) se elimină forţa tăietore Tx şi se obţine ecuaţia

pwr

hE

dx

Md22

x

2

. (8.20)

Datorită simetriei axiale, deplasarea w este constantă în direcţie

circumferenţială, adică dw/dυ=0 şi relaţiile (8.8) devin:

x2

2

2

2

x Mdx

wdDM,

dx

wdDM . (8.21)

În aceste condiţii ecuaţia (8.20) devine

pwr

hE

dx

MdD

24

x

4

, (8.22)

care capătă o formă mai simplă dacă se introduce notaţia

22

2

2

4

hr

)1(3

Dr4

hE (8.23)

şi anume

D

pw4

dx

wd 4

4

4

, (8.24)

în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii definită prin relaţia

(8.7).

Soluţia generală a ecuaţiei (8.24) este

w=eβx

(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx

(C3cosβx+C4sinβx)+f(x), (8.25)

în care f (x) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (8.25), iar

C1,…,C4 sunt constante de integrare, care se determină din condiţiile

de la cele două capete ale cilindrului (pentru x = 0 şi x = ℓ),

considerat de lungime ℓ. Aceste condiţii pot avea în vedere:

- deplasările: săgeata radială w şi rotirea normalei dw/dx;

- eforturile: momentele încovoietoare, Mυ şi Mυ, care se

calculează cu relaţiile (8.21); forţa tăietore, care se determină din cea

de a doua relaţie (8.15) şi anume Tx=dMx/dx şi forţa circumferenţială

Nυ= -Ehw/r din relaţia (8.19).

209

8.6. Plăci plane subţiri

Se consideră o placă plană, dreptunghiulară, de grosime

constantă, h, solicitată cu sarcini transversale şi orizontale, raportată

la sistemule de coordonate Oxyz, ca în figura 8.11.

Mare parte din procedurile şi

relaţiile de calcul prezentate

rămân valabile, având în vedere

că o placă plană este un caz

particular al unei plăci curbe: are

curburile zero (razele de curbură infinite).

Se reiau relaţiile (8.6) ale tensiunilor scrise în funcţie de

deplasări, care se completează cu tensiunile tangenţiale, având în

vedere (8.5) şi xyxy

2

xy)1(2

E;yx

wz2

y

u

x

v

.

Forma completă a relaţiilor (8.6) este:

Figura 8.12 .

yx

w

1

Ez

,x

w

y

w

1

Ez

,y

w

x

w

1

Ez

2

xy

2

2

2

2

2x

2

2

2

2

2x

(8.26)

Din observarea relaţiilor (8.26) se constată că tensiunile σx, σy şi

τxy variază linear pe grosimea plăcii, aşa cum se vede în figura 8.12.

În cazul general de solicitare a plăcii mai există şi tensiuni

tangenţiale τxz şi τyz, paralele cu direcţia Oz, normală la suprafaţa

mediană, ca în figura 8.2.a. Pentru determinarea acestor tensiuni se

folosesc relaţiile de echilibru Cauchy (5.1), fără sarcini masice, din

care se obţine:

yx

w

y

w

1

zE

xyz

,yx

w

x

w

1

zE

yxz

2

3

3

3

2

yxyyz

2

3

3

3

2

xyxxz

. (8.27)

Ecuaţiile (8.27) se integrează în raport cu z şi rezultă:

Figura 8.11

210

)y,x(2

z

yx

w

y

w

1

E

,)y,x(2

z

yx

w

x

w

1

E

2

2

2

3

3

3

2yz

1

2

2

3

3

3

2xz

, (8.28)

în care υ1(x,y) şi υ2(x,y) sunt funcţii arbitrare, care se determină din

condiţia ca tensiunile tangenţiale τxz şi τyz să aibă valori nule pe

suprafeţele plăcii, adică pentru z = ± h/2 şi se obţine:

.yx

w

y

w

)1(8

hE)y,x(

,yx

w

x

w

)1(8

hE)y,x(

2

3

3

3

2

2

2

2

3

3

3

2

2

1

(8.29)

Se înlocuiesc expresiile (8.29) în (8.28)

2

z

8

h

yx

w

y

w

1

E

,2

z

8

h

yx

w

x

w

1

E

22

2

3

3

3

2yz

22

2

3

3

3

2xz

(8.30)

şi rezultă că tensiunile τxz şi τyz

variază parabolic pe grosimea plăcii,

ca în figura 8.13 (la fel ca în cazul

barelor drepte).

Se detaşează din placă un

element paralelipipedic, cu laturile

dx, dy şi h, ca în figura 8.14, încărcat

cu o sarcină uniform distribuită p. Se are în vedere, pe feţele laterale,

o fâşie de înălţime dz, pe care acţionează tensiunile tangenţiale τxz şi

τyz, după direcţia Oz (fig. 8.14).

Celelalte tensiuni nu se

menţionează, nefiind implicate în

demersul care urmează.

Ecuaţia de echilibru a

forţelor, în direcţia Oz, care

acţionează asupra elementului

considerat (după efectuarea

reducerilor şi simplificărilor)

Figura 8.13

Figura 8.14

211

este:

pdzyx

2h

2h

yzxz

. (8.31)

Se introduc relaţiile (8.30) în ecuaţia (8.31) şi se are în vedere că

integrarea se face numai în raport cu z. După efectuarea calculelor

rezultă succesiv:

pdz2

z

8

h

y

w

yx

w2

x

w

1

E2h

2h

22

4

4

22

4

4

4

2

şi

(8.32.a)

D

p

y

w

yx

w2

x

w4

4

22

4

4

4

,

în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii (8.7).

Ecuaţia (8.32) este cunoscută cu numele ecuaţia Sophie Germain

a plăcilor plane. Ea are o formă mai simplă dacă se foloseşte

operatorul lui Laplace

2

2

2

2

yx

şi ecuaţia devine

D

pw . (8.32.b)

Expresiile eforturilor din placă, în funcţie de deplasarea w, se

obţin înlocuind valorile tensiunilor (8.26) şi (8.30) în relaţiile (8.3);

calculele sunt simple, deoarece integralele se calculează în raport cu

z şi deci:

În calculul plăcilor sunt adeseori utile relaţiile diferenţiale dintre

eforturi şi sarcini. Pentru a stabili astfel de relaţii, pentru plăcile

plane s-a considerat un element paralelipipedic, cu laturile dx, dy şi

h, ca în figura 8.15, încărcat cu o sarcină uniform distribuită p,

(8.33)

yx

w

y

wDT;

yx

w

x

wDT

2

3

3

3

y2

3

3

3

x .

;yx

wD)1(M

;x

w

y

wDM;

y

w

x

wDM

2

xy

2

2

2

2

y2

2

2

2

x

212

pentru care se scriu ecuaţiile de echilibru (momentele s-au figurat

cu săgeţi duble), care, după reduceri şi simplificări, duc la relaţiile:

Figura 8.15

- ecuaţia de proiecţie a forţelor pe direcţia Oz

py

T

x

T yx

; (8.34)

- ecuaţia de momente în raport cu Ox

y

xyyT

x

M

y

M

; (8.35)

- ecuaţia de momente în raport cu Oy

x

yxx Ty

M

x

M

. (8.36)

Dacă se elimină forţele tăietoare din relaţiile (8.34), (8.35) şi

(8.36) se obţine:

py

M

yx

M2

x

M2

y

2

xy

2

2

x

2

. (8.37)

Deoarece soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (8.32) este

foarte dificil de obţinut, s-au elaborat metode de integrare a ecuaţiei

pentru diverse cazuri particulare, care au importanţă inginerească, cel

mai important fiind cazul plăcilor dreptunghiulare.

8.7. Plăci plane subţiri dreptunghiulare

Soluţia ecuaţiei (8.32), este o funcţie w(x,y), care trebuie să

verifice ecuaţia ∆∆w =p/D şi condiţiile la limită. Pentru plăcile

dreptunghiulare, cea mai utilizată metodă de calcul este cea a seriilor

213

Fourier duble, când sarcina variază după ambele variabile x şi y şi a

seriilor Fourier simple, când sarcina este funcţie doar de o variabilă.

Se presupune că placa are dimensiunile a şi b. Sarcina p(x,y) se

dezvoltă în serie Fourier sub forma

m n

nmmn ysinxsina)y,x(p , (8.38)

în care s-au folosit notaţiile αm = mπ / a şi βn = nπ / b.

Se presupune că deplasarea w(x,y) poate fi scrisă sub forma:

m n

nmmn ysinxsinA)y,x(w , (8.39)

Amn fiind constante de integrare.

Dacă placa este simplu rezemată pe cele patru laturi ale sale, se

verifică faptul că soluţia (8.39) satisface condiţiile:

- pentru x = 0 şi x = a, w = 0 şi σx = Mx = ∂2w / dx

2 = 0,

- pentru y = 0 şi y = b, w = 0 şi σy = My = ∂2w / dy

2 = 0.

Soluţia căutată (8.39) trebuie să satisfacă ecuaţia ∆∆w = p/D a

plăcii, deci înlocuind funcţia w(x,y) se obţine:

m n

nmmnm n

nmmn

4

n

2

n

2

m

4

m ysinxsinaD

1ysinxsinA)2(

Din identificarea coeficienţilor termenilor sin αmx sin βny

rezultă:

22

n

2

m

mnmn

)(DA

, (8.40)

iar deplasarea w este:

m n

nm22

n

2

m

mn ysinxsin)(D

)y,x(w . (8.41)

Exemplu.

Pentru o placă dreptunghiulară, simplu rezemată pe toate laturile,

încărcată cu sarcina uniform distribuită p, se obţine amn=16p/π2mn şi

m ,..5,3,1n22

n

2

m

nm

2 )(mn

ysinxsin

D

p16)y,x(w . (8.42)

Săgeata maximă este la mijlocul plăcii (x = a/2, y = b/2) şi are

valoarea:

m ,..5,3,1n22

n

2

m

12/)nm(

2max)(mn

)1(

D

p16w . (8.43)

214

8.8. Plăci plane subţiri circulare

O altă categorie de plăci subţiri care prezintă interes practic este

cel al plăcilor circulare, studierea acestora fiind mai convenabilă în

coordonate polare, ceea ce implică următoarele transformări:

- operatorul lui Laplace devine

2

2

22

2

r

1

rr

1

r

; (8.44)

- ecuaţia (8.32) va avea forma:

D

pw

r

1

r

w

r

1

r

w

r

1

rr

1

r 2

2

22

2

2

2

22

2

. (8.45)

Pentru determinarea relaţiilor de legătură dintre eforturile Mx,

My, şi Mxy, definite în raport cu coordonatele carteziene Oxy şi Mr,

Mθ, Mrθ, definite în raport cu coordonatele polare Orθ, se scriu

Figura 8.16

ecuaţiile de echilibru pentru un element de placă cu forma unei

prisme triunghiulare, ca în figura 8.16 şi se obţin următoarele relaţii:

Mr = Mx cos2θ + My sin

2θ - 2Mxy sinθ cosθ;

Mθ = Mx sin2θ + My cos

2θ + 2Mxy sinθ cosθ; (8.46)

Mrθ = (Mx - My)sinθ cosθ + Mxy(cos2θ - sin

2θ).

Prin calcule simple, utilizând relaţiile obţinute anterior, se obţin

expresiile eforturilor în funcţie de deplasarea w:

;w

r

1

r

w

r

1

r

wDM

2

2

22

2

r

;

ww

r

1

r

w

r

1DM

2

2

2

2

2

.w

r

1

rD)1(M r

(8.47)

215

.w

r

1

r

w

r

1

r

w

r

1DT

;w

r

1

r

w

r

1

r

w

rDT

2

2

22

2

2

2

22

2

r

(8.48)

Dacă încărcarea plăcii este axial simetrică, toate derivatele

parţiale în raport cu variabila θ sunt nule şi relaţiile de mai sus se

simplifică iar ecuaţia cu derivate parţiale (8.45) devine ecuaţia

ordinară

D

p

dr

dw

r

1

dr

wd

r

1

dr

wd

r

2

dr

wdsau

,D

p

dr

dw

r

1

dr

wd

dr

d

r

1

dr

d

32

2

23

3

4

4

2

2

2

2

. (8.49)

Ecuaţia (8.49) este lineară, de tip Euler, neomogenă, a cărei

soluţie este

w = C1 + C2 r2 + C3 ln r + C4 r

2 ln r + w*, (8.50)

în care w* este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.

Pentru cazurile în care sarcina p este un polinom în r, de forma

n

0k

k

krAD

p, (8.51)

se încearcă soluţii particulare de tipul Σbiri şi se obţine soluţia

particulară

n

0k

4k

22

k* r)4k()2k(

Aw . (8.52)

De asemenea şi expresiile (8.47) şi (8.48) ale eforturilor se

simplifică şi devin

.0T;dr

dw

r

1

dr

wd

dr

dDT

;0M;dr

wd

dr

dw

r

1DM;

dr

dw

r

1

dr

wdDM

2

2

r

r2

2

2

2

r

(8.53)

Condiţiile la limită pentru plăcile circulare (inelare), încărcate

simetric, se scriu astfel pentru:

- margine încastrată: w = 0 şi dw/dr = 0;

- margine rezemată: w = 0 şi Mr = 0;

- margine liberă: Mr = 0 şi Tr = 0;

216

- pentru plăcile circulare pline (fără orificii centrale), pentru r = 0

(în centrul plăcii), deplasarea w şi momentul încovoietor Mr trebuie

să aibă valori finite, ceea ce implică absenţa din expresiile respective

a termenilor care conţin log r şi duce la C3 = 0 şi C4 = 0.

Exemplu.

Pentru o placă circulară, încastrată pe contur, încărcată cu sarcină

uniform distribuită p, se scriu succesiv relaţiile:

- deplasarea: w = C1 + C2 r2 + C3 ln r + C4 r

2 ln r + pr

4/64D;

- rotirea: dw/dr = 2C2 r + C3/r + C4(2r ln r +r) + pr3/16D.

Condiţia ca în centrul plăcii (pentru r =0) w şi Mr să aibă valori

finite duce la rezultatele C3= C4=0, iar relaţiile anterioare devin:

- deplasarea: w = C1 + C2 r2 + pr

4/64D;

- rotirea: dw/dr = 2C2 r + pr3/16D.

Condiţiile pe conturul exterior, încastrat, al plăcii sunt: w =

dw/dr = 0, pentru r = R şi se obţine:

C1 + C2 R2 + pR

4/64D = 0; 2C2 R + pR

3/16D = 0 din care rezultă:

C1 = pR4/64D ; C2 = - pR

2/32D.

Înlocuind aceste valori în expresiile anterioare, se obţin relaţiile

de calcul pentru placa considerată:

.2

prT;

R

r)31()1(

16

pRM;

R

r)3()1(

16

pRM

;D32

)rR(p

dr

dw;

D64

)rR(p

D64

pr

D32

pR

D64

pRw

r2

22

2

22

r

22222424

8.9. Structuri din plăci

Numeroase structuri mecanice sunt realizate din table care se

asamblează, de regulă, prin sudură. Avantajele practice ale acestor

tipuri de structuri decurg din faptul că pot avea forme oricât de

complicate, sunt relativ uşoare, iar tehnologiile de fabricaţie sunt

ieftine şi foarte bine puse la punct, cu un înalt grad de mecanizare şi

automatizare.

Calculul acestor echipamente, maşini, instalaţii, vehicule etc

trebuie făcut pe modele de structuri din plăci. Având în vedere

complexitatea formelor geometrice ale acestor structuri şi exigenţele

calculului – care poate fi de rezistenţă, rigiditate, stabilitate, dinamic

217

etc – se impune utilizarea unor algoritmi, metode şi programe de

calcul generale şi utilizarea calculatoarelor. Deci calculul se face fie,

în cazul general, cu metode

numerice generale, ca

metoda elementelor finite,

metoda diferenţelor finite sau

metoda elementelor de

frontieră (v. cap 9), fie,

pentru cazuri particulare, ca

cel al structurilor axial

simetrice (de rotaţie), cu

algoritmi şi programe

adecvate.

Un exemplu ilustrativ,

este prezentat în figura (8.17), pentru un utilaj siderurgic, care a fost

modelat şi calculat cu metoda elementelor finite.

Programele cu elemente finite oferă utilizatorilor zeci de tipuri

de elemente finite pentru plăci, pentru a se putea elabora, cu ele,

modele de calcul care să satisfacă cele mai diverse exigenţe

inginereşti.

Pentru o categorie mai

restrânsă de structuri din plăci şi

anume a celor de rotaţie (axial

simetrice), s-au elaborat

algoritmi care „descompun”

structura în componente simple,

pentru care se cunosc relaţiile de

calcul, ca, de exemplu, plăci

plane circulare, plăci cilindrice,

conice, sferice, toroidale etc.

Apoi, pe contururile de

„asamblare” ale componentelor,

care sunt nişte cercuri, se scriu

condiţiile de egalitate ale

deplasărilor şi de echilibru ale

eforturilor, care duc la obţinerea

unui sistem de ecuaţii din care se determină constantele de integrare

Figura 8.17

Figura 8.18

218

din soluţiile componentelor structurii. Odată cunoscute valorile

constantelor de integrare, în fiecare componentă a structurii se pot

calcula, în oricare punct al său, deplasările, tensiunile, eforturile etc.

În figura 8.18 se prezintă, ca exemplu, un buncăr care a fost

realizat din 9 componente şi anume:

- 4 plăci inelare (componentele 1, 5, 6, 9);

- 3 plăci cilindrice (componentele 2, 4, 8);

- 2 plăci conice (componentele 3, 7).

Numărul circumferinţelor de legătură (de asamblare) este 6.

Fiecare din cele 9 componente ale structurii are o soluţie care

conţine 4 constante de integrare, deci în total 4*9=36 necunoscute.

Pentru fiecare din cele 6 circumferinţe se scriu următoarele ecuaţii:

- condiţii de egalitate (continuitate) a deplasărilor radiale w, ale

componentelor „conectate” pe conturul respectiv;

- condiţii de egalitate a rotirilor normalelor la suprafeţele

mediane ale componentelor „conectate” pe conturul respectiv;

- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a momentelor axiale,

pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv;

- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a forţelor pe direcţie

radială, pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Tacu, T., Calcule de rezistenţă pentru

utilaje tehnologice, Structuri izotrope, axial simetrice, Editura

tehnică, Bucureşti, 1979.

2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

3. Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Teoria plăcilor

plane şi curbe, Editura tehnică, Bucureşti, 1968.

4. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în

mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei,

Bucureşti, 1989.

219

9 .

ELEMENTE DE MECANICA ŞI FIZICA

CONTACTULUI CORPURILOR SOLIDE

9.1. Noţiuni de bază, definiţii

Problema contactului mecanic constituie o preocupare

importantă în practica inginerească. Marea majoritate a maşinilor,

instalaţiilor, structurilor mecanice etc, sunt realizate din mai multe

componente care sunt “legate” între ele, adică sunt în contact.

Condiţiile în care se realizează contactul sunt foarte diferite, de la caz

la caz. De exemplu, pentru batiuri, fundaţii, stâlpi de susţinere etc,

contactul se face fără apariţia unor deplasări relative. În cazul

sistemelor în mişcare situaţia este cu totul alta, deoarece corpurile au

contact cu altele, care sunt fie fixe, fie se mişcă şi ele, după o altă

traiectorie. Acest tip de contact duce la uzura şi reducerea treptată a

performanţelor sistemului respectiv, sau chiar la scoaterea lui din

folosinţă. Uzura componentelor este motivul principal pentru care

sistemele mecanice se defectează şi trebuie înlocuite.

Două sau mai multe domenii distincte (corpuri solide) se spune

că sunt în contact dacă există o suprafaţă comună care le separă şi nu

există transfer material de la un corp la altul. Contactul între corpuri

presupune îndeplinirea unei condiţii cinematice, adică viteza relativă

pe direcţia normalei la suprafeţele de contact este nulă şi a unei

condiţii dinamice, de continuitate a tensiunilor la traversarea

suprafeţei de contact (principiul acţiunii şi reacţiunii).

Contactul este un fenomen complex, nelinear, deoarece depinde

atât de proprietăţile elastice ale corpurilor care vin în contact, de

geometria lor, de condiţiile de rezemare etc dar şi de evoluţia

încărcărilor, adică starea finală a unei suprafeţe de contact depinde de

felul în care sunt aplicate sarcinile. De asemenea în timpul aplicării

sarcinilor se modifică (uneori fundamental), formele şi dimensiunile

suprafeţelor de contact, precum şi distribuţiile tensiunilor pe aceste

suprafeţe.

220

Generic, contactul între două corpuri are loc într-un punct, de-a

lungul unei linii sau pe un plan. Această clasificare îşi are rădăcinile

în idealizările făcute la modelare. Dacă cele două corpuri sunt

sferice, de exemplu, se consideră contactul ca fiind punctiform.

Contactul a doi cilindri de-a lungul generatoarei comune, se spune că

este linear. La fel, contactul a doi dinţi aparţinând la două roţi dinţate

aflate în angrenare. În realitate, dat fiind că cele două corpuri se

deformează, contactul are loc întotdeauna pe o suprafaţă, fie ea şi

foarte mică.

Contactul este menţinut de forţele care se transmit între cele două

corpuri. Aceste forţe se pot descompune pe direcţie perpendiculară

pe suprafaţa de contact şi pe direcţii paralele cu această suprafaţă.

Forţele normale produc o presiune de contact, iar cele tangenţiale

tind să ducă la alunecarea relativă a corpurilor. La limită, când

alunecarea începe, între componenta normală a forţei, P, şi cea

tangenţială (pe direcţia de alunecare), F, există relaţia F = P, unde

este coeficientul de frecare. Această lege a fost propusă cu patru

secole în urmă de către Amontov, iar frecarea de acest tip se

numeşte, prin jocul istoriei, frecare coulombiană. În treacăt fie spus,

atât timp cât corpul nu se mişcă, forţa de frecare nu este dată de

relaţia de mai sus, ea fiind, de fapt, nedefinită.

Cum forţele transmise de la un corp la celălalt sunt, de obicei,

considerabile şi cum, tot generic, suprafeţele de contact sunt mici,

presiunile de contact sunt foarte mari. Aceasta duce la tensiuni mari

în cele două corpuri în zona apropiată de suprafaţa de contact,

tensiuni care pot duce la curgere sau / şi la cedarea materialului.

Aceste tensiuni duc la ruperea de mici “aşchii” din material, deci la

uzură. Procesul are loc prin mai multe mecanisme, care se prezintă

sumar aici. Trebuie însă menţionat că el este de natură stohastică,

ceea ce a făcut ca până în prezent să nu existe o corelaţie clară între

modelele care determină câmpul de tensiuni din apropierea

contactului şi rata de uzură. Relaţiile care estimează uzura

componentelor de maşini, în condiţii date de încărcare, sunt total

empirice.

Chiar şi atunci când contactul are loc pe suprafeţe relativ mari,

de exemplu, în cazul ambreiajelor şi frânelor, tensiunile locale care

apar sunt tot foarte mari. Aceasta se datorează în principal faptului că

221

suprafaţa de contact este mare numai în aparenţă. În realitate, cele

două suprafeţe fiind rugoase, ele intră în contact numai pe o zonă

mică, acolo unde asperităţile se ating (şi se deformează). Suprafaţa

nominală de contact este, de fapt, suma acestor suprafeţe

microscopice de contact (ale asperităţilor) şi este mult mai mică decât

suprafaţa aparentă. Este interesant de observat, în acest context, că

valoarea forţei de frecare nu depinde de aria suprafeţei de contact, ci

de mărimea forţei totale transmisă prin contact. Observaţia este

interesantă, deoarece sugerează implicaţii referitoare la mecanismele

contactului, alunecării şi uzurii.

Clasificarea uzuală a tipurilor de contact se face din mai multe

puncte de vedere şi anume:

A. Din punctul de vedere al frecării dintre corpuri, există contact

fără frecare şi contact cu frecare. Contactul fără frecare este o

idealizare, care simplifică foarte mult abordarea teoretică a

fenomenului şi este aplicabil suprafeţelor bine lubrificate. Acest tip

de contact introduce doar o presiune normală la suprafeţele în

contact. Contactul cu frecare, propriu fenomenelor reale, introduce

pe lângă presiunea normală la suprafeţele de contact şi tensiuni

tangenţiale (sau forţe de frecare). Tensiunile tangenţiale, în general,

sunt într-o anumită relaţie cu tensiunile normale (presiunea de

contact) şi pot conduce la apariţia fenomenelor de aderenţă ("stick")

sau alunecare ("slip"). Contactul cu frecare, în general, ia în

considerare frecarea coulombiană şi este de tip elastic sau rigid.

Frecarea coulombiană elastică poate reprezenta fenomene de

aderenţă şi de alunecare, în timp ce frecarea coulombiană rigidă

modelează doar alunecarea.

B. Din punctul de vedere al modificării suprafeţei de contact la

aplicarea sarcinilor, există contactul conform şi contactul neconform.

Contactul conform se caracterizează prin faptul că suprafaţa iniţială

de contact (când nu este aplicată încărcarea), coincide cu suprafaţa

finală de contact (când este aplicată toată sarcina). Contactul

neconform, cel mai des întâlnit în realitate, nu respectă condiţiile

contactului conform. Astfel, spre exemplu, contactul iniţial punctual

între o bilă şi un plan rigid, se transformă într-o suprafaţă circulară,

în prezenţa unei forţe de apăsare, sau contactul iniţial pe o suprafaţă

dreptunghiulară, între o grindă simplu rezemată şi un corp

222

paralelipipedic rigid, se transformă în două suprafeţe dreptunghiulare

de suprafaţă totală mult mai mică.

C. Din punctul de vedere al comportării materialului, contactul

este elastic, atunci când comportarea materialului este linear elastică,

adică nu se depăşeşte limita de elasticitate şi elasto-plastic,

atunci când solicitarea materialului depăşeşte limita de elasticitate.

D. Din punctul de vedere al deplasării elementelor în contact,

există contact în domeniul deplasărilor mici, sau în domeniul

deplasărilor mari.

E. Teoria clasică a contactului este teoria lui Hertz. Aceasta se

bazează pe următoarele ipoteze:

a- suprafeţele care intră în contact sunt continue, netede (fără

rugozitate) şi fără frecare;

b- corpurile care mărginesc aceste suprafeţe sunt omogene,

izotrope şi ascultă de legea lui Hooke;

c- dimensiunile zonelor de contact (iniţial contactul este

punctiform sau linear), în prezenţa încărcărilor sunt mici, în

comparaţie cu dimensiunile corpurilor;

d- distribuţia tensiunilor în zona contactului se obţine din teoria

semispaţiului elastic a lui Boussinesq şi rezultă că tensiunile

tangenţiale în pata de contact sunt nule.

Acceptarea sau nu a teoriei lui Hertz, conduce la clasificarea

contactului în hertzian şi non-hertzian.

F. Funcţie de rigidităţile suprafeţelor care intră în contact, se

face clasificarea contactului de tip rigid-flexibil şi flexibil-flexibil.

Contactul rigid-flexibil se caracterizează prin faptul că una dintre

suprafeţele care intră în contact este mult mai rigidă decât cealaltă,

cum ar fi cazul contactului între matriţă şi piesa care se forjează.

Contactul flexibil-flexibil este propriu corpurilor care prezintă

rigidităţi comparabile.

Principalele aplicaţii ale analizei contactului se referă la

transmiterea eforturilor de la un corp la altul, pentru studiul

problemelor de uzură, de oboseală superficială, de durabilitate,

studiul problemei calităţii suprafeţelor, pentru determinarea

eforturilor de strângere la asamblările nituite, cu şuruburi, presate,

fretate etc.

223

Prezenţa contactului între piese este (sau poate fi) însoţită, în

general, de apariţia unor fenomene de transfer termic sau electric,

situaţii în care fenomenele mecanice se cuplează cu cele termice sau

electrice.

Clasificarea de mai sus se poate completa şi cu cea de contact

static şi contact dinamic. Contactul static este cel în care corpurile nu

au mişcări relative. Există numeroase situaţii practice în care astfel

de contact există; de exemplu, stâlpii clădirilor, fundaţii în contact cu

solul, suporţi ai diferitelor componente de maşini şi instalaţii etc.

Aceasta se mai numeşte şi problema de penetrare (indentare), în care

un poanson (penetrator sau indentor) apasă pe un semi-spaţiu elastic.

Poansonul transmite o forţă P către suport şi are contact cu acesta pe

o suprafaţă de contact A. Problema de calcul care se pune în astfel de

situaţii este:

- determinarea tensiunilor maxime în zona contactului;

- determinarea deplasărilor celor două corpuri.

Problema are mai multe variante, cum ar fi situaţia în care

ambele sau numai un singur corp este deformabil, sau când frecarea

dintre cele două corpuri se ia sau nu în considerare. Cele mai simple

cazuri de astfel de contacte sunt discutate în secţiunea următoare.

Contactul dinamic apare în cazul în care cele două corpuri se

mişcă relativ şi poate fi împărţit în contact cu alunecare şi contact cu

rostogolire. Contactul cu alunecare apare, de exemplu, în frâne,

ambreiaje şi lagăre, sau în regimul de pornire-oprire al maşinilor

rotative cu suspensie hidro- sau aero-dinamică. Acest tip de contact

este cel mai dezavantajos din punctul de vedere al uzurii. Problema

de calcul care se pune în cazul contactului cu alunecare este similară

cu cea definită mai sus pentru contactul static. Diferenţa constă în

distribuţia tensiunilor care apar în vecinătatea zonei de contact. Acest

aspect este discutat în secţiunea 9.3.

Contactul cu rostogolire este şi el frecvent întâlnit în practică, de

exemplu, la rulmenţi, lagăre de tip cuţit etc. Este un tip de încărcare

care duce la uzură mai mică decât contactul cu alunecare şi de aceea

este folosit în cazurile în care forţele transmise sunt mari, dar vitezele

relative ale suprafeţelor în mişcare sunt moderate. În cazurile în care

vitezele relative sunt mari, se urmăreşte evitarea contactului prin

folosirea suspensiei hidro- sau aero-dinamice. Se menţionează că în

224

majoritatea cazurilor de contact cu alunecare se foloseşte lubrifierea,

ceea ce este, în parte, tot un tip de suspensie hidro-dinamică (agentul

lubrifiant formează o “pană” hidro-dinamică separând efectiv cele

două suprafeţe).

Din punctul de vedere al calculului de corp solid (calcul de

rezistenţă), nu există o deosebire esenţială între contactul static şi cel

dinamic. Desigur, condiţiile pe frontieră sunt diferite, dar formularea

şi, în linii mari, rezultatele sunt similare. Aşa cum s-a sugerat mai sus

însă, problema contactului este mult mai complexă decât problema

de mecanică. Cum obiectivul principal este acela de a prezice şi

controla frecarea şi mai ales uzura, alte aspecte ale problemei,

dincolo de distribuţia tensiunilor din cele două corpuri, trebuie luate

în considerare. Acestea sunt aspectul termic şi mai ales cel chimic. O

cantitate semnificativă de energie este disipată în timpul contactului

dinamic, energie egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare.

Această energie se transformă în căldură, care, dacă nu este disipată

eficient de cele două corpuri, duce la supraîncălzirea suprafeţei de

contact şi chiar la topirea ei (vezi supraîncălzirea frânelor la

automobile). Aspectul termic al problemei poate fi controlat la

proiectare prin diverse metode inginereşti. În multe cazuri, datorită

tensiunilor mari şi a temperaturii ridicate, suprafaţa de contact devine

un adevărat “reactor chimic.” Reacţia preponderentă este cea de

oxidare. Cum mulţi dintre oxizi sunt fie fragili, fie nu aderă bine la

materialul de bază, aceasta duce la formarea unui film care este uşor

de îndepărtat la următoarea trecere, sau care constituie un loc de

amorsare a fisurilor de suprafaţă, care se pot propaga apoi în substrat.

Multe alte reacţii chimice pot avea loc, în unele cazuri “produşii”

fiind cu totul neaşteptaţi. În tribologia modernă (ştiinţa care se ocupă

de studiul frecării şi uzurii), aceste reacţii chimice se folosesc în

avantajul proiectantului, adică, se caută ca produşii de reacţie să ducă

la reducerea coeficientului de frecare, cu toate implicaţiile aferente

asupra procesului termic şi mecanic.

Această sumară trecere în revistă a căutat să scoată în evidenţă

complexitatea ansamblului fenomenelor de contact, frecare şi uzură.

Scopul acestui capitol este limitat la prezentarea rezultatelor de bază

privind problema mecanică şi anume, tensiunile şi deplasările din

zona de contact şi tensiunile din interiorul corpurilor în contact. O

225

tratare mai avansată, dar în aceeaşi concepţie, se poate găsi în

tratatele de mecanică a contactului [1,2]. Cercetări privind legătura

dintre uzură şi studiul mecanicii contactului sunt prezentate în

tratatele de tribologie [3,4]. Această legătură este, însă, încă vagă.

Pentru elucidarea ei tribologia “tradiţională” va trebui să facă apel la

concepte de analiză statistică şi de fizica suprafeţelor. Primii paşi în

această direcţie au fost deja făcuţi [5,6].

9.2. Contactul mecanic fără frecare

În cele ce urmează se vor prezenta câteva dintre soluţiile de bază

ale problemei contactului corpurilor solide deformabile. Se va

considera, pentru început, cazul în care se presupune că nu există

frecare între cele două corpuri, cele două suprafeţe aflate în contact

putând aluneca liber în direcţie tangenţială. Aceasta este, desigur, o

aproximare destul de serioasă dacă modulul de elasticitate al

materialului celor două corpuri este diferit.

Formularea unei astfel de probleme se poate face precizând

presiunile pe suprafaţa de contact, deplasările în zona de contact, sau

forţa totală transmisă. Cazurile curent întâlnite în practică sunt cele în

care se precizează deplasările, cum ar fi în situaţia în care un poanson

rigid apasă pe un semi-spaţiu, şi cele în care tot ceea ce se cunoaşte

este forţa totală transmisă. Condiţiile pe frontieră, în afara zonei de

contact, sunt cele de suprafaţă liberă (tensiuni normale şi tangenţiale

zero), iar în cazul în care unul din corpuri este semi-infinit, se mai

impune şi condiţia ca tensiunile să scadă la zero la infinit.

9.2.1. Probleme în tensiuni pe frontieră

Problema în care se impun tensiuni pe zona de contact este

oarecum artificială, dar soluţia ei ajută la rezolvarea altor probleme,

mai apropiate de realitate.

Semi-spaţiu încărcat cu o forţă concentrată.

Această problemă a fost studiată de Boussinesq. Se consideră

varianta ei pentru stare plană de deformaţii, ca în figura 9.1. O forţă

uniform distribuită de-a lungul axei y, cu mărimea P/L pe unitatea de

lungime, acţionează asupra semi-spaţiului elastic z > 0. Deoarece

spaţiul se întinde la infinit în direcţia axei y, corpul este în stare

226

plană de deformaţie în această

direcţie. Condiţiile pe frontieră

sunt σzz = σxz = 0, pentru z = 0.

Pentru a defini forţa P, se

“taie” un cilindru cu raza r şi

centrul pe axa y şi se consideră

o sarcină uniform distribuită

normală pe suprafaţa nou

creată. Această sarcină uniform

distribuită trebuie să aibă

rezultanta egală cu P/L.

Soluţia acestei probleme [7] (starea de tensiuni în interiorul

corpului) este foarte simplă şi este schiţată în figura 9.1. Se consideră

un element de volum a cărui poziţie faţă de origine este dată, în

coordonate polare, de r şi . Tot în coordonate polare, singura

componentă nenulă a tensorului tensiune este componenta radială,

rr:

cosrL

P2rr , 0r . (9.1)

Tensiunea maximă se obţine de-a lungul axei z. Pe măsură ce

elementul de volum se apropie de origine, tensiunile cresc spre

infinit, proporţional cu 1/r. De fapt, acesta este motivul pentru care

forţa P/L a fost reprezentată prin “tăierea” cilindrului menţionat mai

sus: ca să nu se ajungă niciodată în origine şi deci pentru ca

tensiunile să rămână cu valori finite.

Semi-spaţiu încărcat cu forţe distribuite.

Se consideră configuraţia de forţe din figura 9.2.

Figura 9.2

Figura 9.1

227

Condiţiile pe frontieră sunt aceleaşi cu cele de la cazul

precedent, cu deosebirea că, dat fiind că se impun tensiuni de contact

şi nu forţe concentrate, nu mai este nevoie de a “decupa” zona din

jurul punctului în care acţionează forţele. Astfel, )x(pzz pentru

)a,a(x şi 0zz în afara acestui interval. Tensiunile tangenţiale

sunt zero pe întreaga suprafaţă. La fel ca mai sus, interesează valorile

tensiunilor din punctul M, de coordonate MM z,x .

Această problemă se poate rezolva prin “suprapunere de efecte”,

pe baza soluţiei obţinute pentru forţa concentrată. Este ca şi cum s-ar

împărţi intervalul (-a, a) în segmente mici dx şi pe fiecare dintre

aceste segmente acţionează o forţă concentrată echivalentă, cu

mărimea p(x) dx. Suma tensiunilor date în M de aceste forţe duce la

câmpul căutat. Soluţia se scrie:

dx)z)xx((

)xx)(x(pz2)z,x(

a

a

22

M

2

M

2

MMMMxx

;

dx)z)xx((

)x(pz2)z,x(

a

a

22

M

2

M

3

MMMzz

; (9.2)

dx)z)xx((

)xx)(x(pz2)z,x(

a

a

22

M

2

M

M

2

MMMxz

.

Se observă că acest câmp de tensiuni are valori finite în toate

punctele semi-spaţiului, chiar şi imediat sub zona de frontieră, pe

care se aplică forţele externe. De asemenea, tensiunile zz şi xx

calculate pentru )a,a(x si 0z sunt egale între ele şi egale cu

tensiunea de suprafaţă aplicată în acel punct, p(x). Această stare

triaxială de tensiuni “întârzie” curgerea plastică în zona imediat de

sub suprafaţa contact.

Un caz particular al acestui tip de încărcare este cel în care

sarcina este constantă, p)x(p , )a,a(x . Ca şi în cazul general,

tensiunile sunt finite în vecinătatea suprafeţei de contact şi scad spre

zero când x creşte. La o distanţă suficient de mare de origine (r > 3a),

soluţia converge spre cea pentru forţa concentrată, cu mărimea

a

a

dx)x(pL/P . Este interesant de observat că maximul tensiunii

228

principale este în punctul 2/az de pe axa de simetrie. Tot aici se

obţine şi maximul tensiunii de forfecare. Probabilitatea cea mai mare

de iniţiere a ruperii este deci undeva în interiorul materialului, la o

adâncime proporţională cu dimensiunea suprafeţei de contact, a.

Fisurile care se întâmplă să fie într-o astfel de poziţie faţă de

suprafaţă au şansele cele mai mari să crească şi apoi să ajungă la

suprafaţă, producând “separarea” unei aşchii de uzură.

9.2.2. Problema în deplasări pe frontieră

Problema formulată în deplasări este oarecum mai direct

relevantă pentru situaţii concrete. Ea constă în precizarea deplasării,

uz = care se impune în regiunea de contact, mai degrabă decât a

tensiunilor din acea regiune. Această situaţie corespunde “penetrării”

unui semi-spaţiu cu un poanson rigid.

Se consideră un poanson plan ca în figura 9.3. Distribuţia de

tensiuni din zona de contact a fost determinată de Nadai [8] şi este

dată de:

2

0

)a/x(1

p)x(p

, (9.3)

unde p0 se obţine din condiţia de normalizare

a

a

dx)x(pL/P ca

aL

Pp0

. Distribuţia deplasării δ şi a presiunii de contact p(x) sunt

reprezentate schematic în figura 9.3. Acestea sunt singulare la

colţurile poansonului

( ax ). Distribuţia

tensiunilor (şi a

deplasărilor) în interiorul

corpului se poate obţine

cu ecuaţia 9.2 şi cu

distribuţia 9.3.

Prezenţa singularităţilor

presiunii de contact este

un indiciu că cedarea

trebuie să înceapă la marginile poansonului. Aceasta se şi observă în

realitate la penetrările în materiale fragile. Distribuţia de tensiuni în

Figura 9.3

229

cazul penetrărilor în materiale ductile este, desigur, aceeaşi. Natura

materialului fiind însă diferită, curgerea plastică în zonele critice

previne ruperea fragilă.

Această soluţie rămâne neschimbată pentru poansoane cu

secţiune circulară. Singura diferenţă este că 20a2

Pp

, unde a este

acum raza poansonului.

9.2.3. Soluţia lui Hertz

Hertz a studiat problema contactului a doua corpuri de revoluţie

(sfere, elipsoizi sau cilindri), într-un context mai realist decât cele

discutate în § 9.2.1 [9]. Mai precis, condiţiile pe frontieră nu se referă

la deplasările sau tensiunile din zona de contact, ci la forţa totală

transmisă între cele două corpuri. Suprafeţele din afara contactului

rămân, ca mai sus, suprafeţe libere de tensiuni. Mai mult, ambele

corpuri sunt considerate deformabile şi pot fi din materiale diferite,

adică pot avea module de elasticitate diferite.

În aceste condiţii, soluţia trebuie să determine dimensiunile şi

forma suprafeţei de contact, distribuţia tensiunilor de contact,

distribuţia tensiunilor în interiorul corpurilor şi deplasarea totală a

punctului în care se aplică forţa exterioară. În cele ce urmează se

prezintă principalele rezultate corespunzând contactului a doua sfere

şi a doi cilindri, cu axele aliniate. În ambele cazuri, contactul este

considerat fără frecare. Soluţii pentru alte configuraţii geometrice se

pot găsi în [1, 2].

Contactul a două sfere.

Figura 9.4

230

Se consideră geometria din figura 9.4, în care două sfere cu raze

R1 şi R2 sunt în contact şi sunt încărcate (împinse unul spre altul) cu

forţa P. Corpurile sunt din materiale linear elastice, omogene şi

izotrope, cu constantele elastice E1, 1, respectiv E2, 2.

Soluţia acestei probleme se exprimă în funcţie de o rază

echivalentă, R şi un modul de elasticitate echivalent, E*, date de

formulele

21 R

1

R

1

R

1 ,

2

2

2

1

2

1

E

1

E

1

*E

1

. (9.4)

Faptul că în locul a patru constante elastice soluţia depinde

numai de două este un rezultat mai general din teoria elasticităţii,

stabilit de Dundurs [10]. Observaţia este valabilă pentru problemele

bi-dimensionale, în care apar două materiale izotrope diferite.

Se demonstrează că suprafaţa de contact, în acest caz, este

circulară (datorită simetriei axiale a problemei) cu raza 3/1

*E4

PR3a

. (9.5)

Distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact este parabolică, de

forma

2

0 )a/r(1p)r(p , ar . (9.6)

Cum contactul este fără frecare, numai tensiunile normale la

suprafaţă (presiunea de contact) sunt specificate. Constanta p0

depinde de forţa totală, P, aplicată celor două corpuri şi rezultă din

condiţia de normalizare a distribuţiei p(r) şi anume

a

0

20a

P

2

3prdr2)r(pP . (9.7)

Se observă că p0 este presiunea medie pe suprafaţa de contact

multiplicată cu factorul 3/2.

Deplasarea relativă (apropierea) a centrelor celor două sfere, ,

este

3/1

2

2

*RE16

P9

, (9.8)

231

care indică o relaţie nelineară între forţa aplicată şi deplasarea

relativă a punctelor în care se aplică forţele (acţiune - reacţiune).

Caracterul nelinear al dependenţei provine din geometria contactului,

în ciuda faptului că răspunsul ambelor materiale este linear.

Examinarea distribuţiei tensiunilor din interiorul unuia dintre

corpuri duce la concluzii privind posibilitatea iniţierii fisurilor sau a

curgerii plastice. Distribuţia este prezentată schematic în figura 9.5.

Imediat sub suprafaţa de contact, tensiunile normale zz au variaţie

parabolică, similar cu p(r), din ecuaţia 9.6. Tensiunea normală -

unde este coordonata unghiulară măsurată în jurul lui z - (fig. 9.1 şi

9.2) are o variaţie similară, este nenulă la marginea suprafeţei de

contact, dar scade spre zero foarte repede, imediat în afara

contactului. Tensiunea normală radială rr este negativă (de fapt de

întindere, această anomalie

fiind datorată

inconsecvenţei de semne

din această figură) în

vecinătatea marginii

suprafeţei de contact.

Aceasta poate duce la

amorsarea unor fisuri

circulare (care urmează

conturul zonei de contact)

care sunt şi observate în

practică, în multe cazuri.

Distribuţia de tensiuni

de-a lungul axei z, sub

suprafaţa de contact, este

reprezentată şi ea în figura

9.5. Deoarece axa z este axă de simetrie, tensiunile de forfecare sunt

nule, deci axele z şi r sunt şi direcţii principale ale stării de tensiuni.

Ambele tensiuni normale, zz şi rr scad continuu cu distanţa de la

zona de contact. Totuşi, tensiunea tangenţială maximă (care este

diferenţa tensiunilor principale), 2/rrzzmax , atinge un

maxim, cu valoarea 0.31p0, la adâncimea z = 0.48a (pentru = 0.3).

Această valoare a lui max este cea mai mare din întregul câmp de

Figura 9.5

232

tensiuni, mai mare chiar decât cea de la marginea suprafeţei de

contact (z = 0, r = a). Aceasta indică faptul că la o forţă P suficient

de mare, curgerea plastică este de aşteptat să înceapă în acest punct

de sub suprafaţă.

Discuţia este oarecum paralelă cu cea de la § 9.2.1, unde se

făceau referiri la starea de tensiuni de sub o distribuţie constantă a

presiunii de contact (faţă de distribuţia parabolică din soluţia Hertz,

ecuaţia 9.6). În fapt, tensiunile de sub suprafaţa de contact din figura

9.5 sunt aproape identice cu cele obţinute în cazul unei presiuni de

contact constante.

Contactul a doi cilindri.

Cum în paragrafele precedente s-au făcut referiri la contactul

cilindrilor este necesar, pentru completitudine, să se particularizeze

soluţia Hertz şi pentru acest caz. Se consideră doi cilindri cu raze

diferite, din materiale linear elastice diferite, care sunt în contact de-a

lungul unei generatoare. Geometria este similară cu cea din figura

9.4, cu excepţia faptului că acum forţa este distribuită de-a lungul

întregii lungimi a cilindrilor (şi deci forţa este definită pe unitatea de

lungime, P/L). În acest caz problema este de stare plană de

deformaţii, spre deosebire de cea din cazul contactului sferelor, care

este o stare axial-simetrică de tensiuni.

Pentru această situaţie se obţin următoarele rezultate:

- lăţimea suprafeţei de contact

2/1

*LE

PR4a

; (9.9)

- distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact (parabolică) 2

0 )a/x(1p)x(p , )a,a(x ; (9.10)

- constanta de normalizare

a

a

0aL

P2pdx)x(pL/P . (9.11)

Distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact - şi sub aceasta -

este aproape identică cu cea pentru contactul între doua sfere (figura

9.5). De asemenea şi concluziile care se pot formula.

233

9.3. Contactul cu frecare

Două corpuri oarecare în contact interacţionează cu frecare.

Totuşi, în unele cazuri frecarea poate fi neglijată, de exemplu, cele în

care deplasările relative ale suprafeţelor în contact sunt mici sau nule.

Un exemplu este cel a doi cilindri sau două sfere de raze egale şi care

sunt realizate din acelaşi material. Acestea se deformează identic,

neexistând nici o tendinţă de deplasare relativă a celor două corpuri

în zona suprafeţei de contact.

Pe de altă parte, frecarea este importantă atâta timp cât există

mişcare relativă. Altfel, există o continuitate a deplasărilor între cele

două corpuri în zona de contact. Soluţia lui Hertz, de exemplu, a fost

obţinută în condiţiile în care nu există frecare şi deci cele două

suprafeţe în contact se pot deplasa relativ în direcţie tangenţială în

mod liber.

Este interesant de văzut, cel puţin calitativ, ce se întâmplă în

cazul în care se are în vedere frecarea. Pentru aceasta se consideră,

din nou, exemplul a doi cilindri de raze diferite, din materiale

diferite, care sunt în contact de-a lungul generatoarei (cazul stării

plane de deformaţie). Se încarcă acest ansamblu cu o forţa normală,

cu valoarea pe unitatea de lungime, P/L, pentru a stabili contactul.

Această forţă duce la o distribuţie parabolică de tensiuni normale la

suprafaţa de contact, p(x), descrise de ecuaţia 9.10. Distribuţia este

reprezentată în figura 9.6.

Se aplică apoi o forţă

tangenţială, cu valoarea, pe

unitatea de lungime, F/L. Această

forţă tinde să mişte cele două

corpuri în direcţia axei x. Se

presupune, pentru moment, că ea

nu duce la rostogolire. Care este

distribuţia tensiunilor tangenţiale

în zona de contact, tensiuni

introduse de forţa F/L ?. Pentru a

da un răspuns simplu la această

întrebare, se presupune că nu există alunecare în zona de contact.

Atunci, deplasarea relativă a celor două corpuri este nulă şi se poate

Figura 9.6

234

construi soluţia căutată simplu, observând similitudinea cu cazul

discutat în § 9.2.2. Este vorba de tensiunile corespunzătoare unei

distribuţii uniforme de deplasări pe suprafaţa de contact, fie ele

normale (ca în cazul § 9.2.2), fie tangenţiale. Soluţia este dată de

ecuaţia 9.3:

2)a/x(1a

L/F)x(

. (9.12)

Tensiunile tangenţiale τ(x) sunt singulare în vecinătatea

marginilor contactului, la ax şi sunt reprezentate în figura 9.6.

O discrepanţă poate fi imediat observată la această soluţie. Spre

marginile zonei de contact, tensiunile tangenţiale devin mai mari

decât cele normale şi deci relaţia )x()x( este îndeplinită

numai într-o zonă

)b,b(x , unde b < a.

Deci, în afara acestei zone

are loc alunecare.

Mai precis, imediat

după ce se aplică forţa

laterală F/L, alunecarea

începe de la marginea

zonei de contact, dar cele

două corpuri nu alunecă

încă unul faţă de celalalt în

totalitate, pentru că

regiunea centrală a

contactului este încă “lipită.”

Distribuţia tensiunilor în zona de contact în această situaţie poate

fi construită pe baza soluţiilor pentru cazurile cu deplasare prescrisă

(ecuaţia 9.12) şi cel cu forţă totală prescrisă (ecuaţia 9.10). În cazul

în care forţa este prescrisă, iar corpurile sunt libere să se deplaseze

relativ, ca în cazul încărcării normale, pentru )a,a(x şi al

încărcării tangenţiale, pentru )b,a(x şi )a,b(x , distribuţia

este parabolică. În cazul în care deplasarea relativă este prescrisă, ca

în cazul )b,b(x , distribuţia tensiunilor tangenţiale este dată de

ecuaţia 9.12. Situaţia este reprezentată în figura 9.7.

Figura 9.7

235

Dimensiunea, b, a zonei de contact fără alunecare se poate

determina din condiţia de normalizare a tensiunilor tangenţiale (x).

Suma lor trebuie să fie egală cu F/L, condiţie din care rezultă

P

F1ab

. (9.13)

Când forţa F creşte suficient pentru a reduce b la zero (F = P),

cele două corpuri alunecă relativ. Pentru F oricât de mic sub această

valoare critică, b > 0.

9.4. Contactul mecanic cu adeziune

Contactul adeziv are loc atunci când suprafeţele în contact au

rugozitate mică şi sunt curate. El se formează local şi în cazul

suprafeţelor rugoase, la contactul dintre asperităţi, aşa cum s-a

menţionat la § 9.1. Acest tip de contact este important, mai ales,

pentru că este atât de puternic încât ruperea lui implică smulgerea de

material din suprafaţa unuia dintre corpuri. Pentru a facilita

înţelegerea naturii acestui tip de contact, câteva noţiuni de fizica

suprafeţelor sunt utile.

Elemente de fizica suprafeţelor.

Se consideră un cristal perfect, de tipul celui din figura 9.8.a.

Liniile care unesc atomii reţelei reprezintă schematic legăturile dintre

atomii vecini, stabilite de potenţialul interatomic. Pentru a introduce

o suprafaţă de-a lungul planului A-A va trebui să se rupă toate

legăturile inter-atomice care străbat acest plan, ajungând astfel la

configuraţia din figura 9.8.b.

Este evident că un atom aflat

în planul suprafeţei are un număr

mai mic de legături cu vecinii

decât un atom din planul următor

sau unul din interiorul cristalului

perfect. Astfel, energia lui (suma

energiei de interacţiune cu

vecinii) va fi diferită de cea a

atomilor din planul secundar. Această diferenţă de energie se

defineşte ca “energie de suprafaţă” pe unitatea de arie a suprafeţei şi

Figura 9.8

236

se notează, de obicei, cu . Această mărime se măsoară în J/m2 şi are

valori tipice în jurul a 1 J/m2. În solide, ea este de cele mai multe ori

neglijată, în timp ce în lichide ea joacă un rol important.

Pe baza acestei mărimi se poate defini “tensiunea superficială”

ca fiind variaţia energiei suprafeţei cu aria. Cum energia totală a unei

regiuni de suprafaţă A este E = A, tensiunea superficială se poate

defini ca

A

AA

E

. (9.14)

Primul termen arată variaţia energiei prin simplul fapt că se

“adaugă” suprafaţa, în timp ce al doilea reprezintă variaţia energiei

asociată cu “întinderea” suprafeţei existente. Pentru a înţelege

diferenţa dintre cei doi termeni, se notează, ca în cazul lichidelor,

. Aceasta pentru că mărirea suprafeţei unui lichid implică

aducerea de noi atomi la suprafaţă, în timp ce legăturile dintre ei nu

sunt deformate, atomii în starea lichidă având suficientă mobilitate

pentru a se acomoda deformaţiilor impuse, rearanjându-se. Într-un

solid, atunci când suprafaţa (împreună cu întregul corp) este întinsă,

nu se aduc noi atomi pentru a participa la mărirea ariei suprafeţei, ci

legăturile inter-atomice dintre atomii de la suprafaţă sunt

distorsionate.

Un efect secundar, care apare atunci când se creează o suprafaţă,

este “relaxarea” distanţei inter-atomice dintre primul şi al doilea strat

atomic. Dimensiunea a din figura 9.8.b este diferită de a0 din figura

9.8.a. În ceea ce priveşte discuţia de faţă, acest efect este însă

secundar.

Adeziunea se poate explica pe baza figurii 9.8.b. Atunci când

două suprafeţe de tipul celor din această figură sunt aduse în

apropiere ele vor căuta să re-formeze legăturile interatomice libere.

Va apare astfel o atracţie care este “resimţită” la distanţe mult mai

mari decât a0. Odată aduse în contact, este practic imposibil de a mai

separa cele două corpuri, exact de-a lungul aceluiaşi plan A-A.

Pentru ca adeziunea să se facă simţită, suprafeţele trebuie să fie

suficient de curate. Suprafeţele expuse la mediu, chiar şi cele puţin

rugoase, sunt acoperite cu oxizi şi / sau compuşi moleculari, în

principal hidrocarbonaţi, din mediu.

237

În tehnologia modernă, în MEMS (micro-electro-mechanical

systems) sau în NEMS (nano-electro-mechanical systems) şi structuri

la scara nano, adeziunea este o problemă serioasă. Un element mobil

al unui MEMS, cum ar fi o membrană sau o bară suspendată, având

rol de rezonator sau de senzor balistic, odată ce intră în contact cu

unul din pereţii structurii, este imposibil de dezlipit şi întreg sistemul

este compromis.

Microscopul cu forţă atomică (AFM – atomic force microscope)

funcţionează pe baza acestei forţe de interacţiune, care duce la

aderarea suprafeţelor. Acest aparat, care funcţionează, în principiu,

ca un profilometru, are un vârf foarte ascuţit care este ţinut la o

distanţă dată de suprafaţă, prin sesizarea proximităţii ei. Dacă vârful

este prea aproape de suprafaţă, forţele de adeziune îl trag spre

aceasta, iar dacă este prea departe, elementul elastic care îl susţine se

relaxează. Astfel, se poate folosi o buclă de control care ţine vârful la

o distanţă de câţiva nanometri de suprafaţă, în timp ce aceasta se

deplasează lateral. Rezultatul este o imagine a suprafeţei.

Soluţia JKR.

Contactul a două corpuri elastice ale căror suprafeţe

interacţionează şi prin forţe de adeziune a fost studiat de Johnson,

Kendall şi Roberts [11]. Soluţia lor (soluţia JKR) este o extensie a

soluţiei Hertz, în care zona de contact arată ca în figura 9.9. Aici

corpurile vin în contact pe zona )a,a(x , aşa cum este prescris

prin soluţia Hertz, dar şi într-un inel de lăţime aad imediat în afara

zonei de contact Hertz.

Figura 9.9 Figura 9.10

238

Această zonă suplimentară de contact apare datorită forţelor de

adeziune. Practic acestea duc la deformarea locală a celor două

corpuri, astfel încât suprafaţa de contact creşte.

Dimensiunea zonei de contact, a*, variază cu forţa aplicată, P, ca

în figura 9.10. Cu linie întreruptă s-a reprezentat relaţia a-P pentru

contactul de tip Hertz. În soluţia JKR, cele două corpuri

intră în contact chiar şi fără ca nici o forţă să fie aplicată (P = 0).

Aceasta se numeşte “salt în contact” şi se datorează forţelor de

adeziune. Când se încearcă “ruperea” unui contact existent, nu este

suficient să se elimine forţa externă P (de compresiune), ci trebuie să

se aplice o forţă de tracţiune cu valoarea Pad.

Cele două mărimi caracteristice, Pad şi aad, sunt calculate în teoria

JKR şi au expresiile

R3Pad , (9.15) 3/1

2

ad*E4

R9a

, (9.16)

unde este energia de suprafaţă. Pentru 0 , se regăseşte soluţia

lui Hertz. Se poate vedea de asemenea că 3/1

adad

P

P

a

a

. (9.17)

9.5. Uzura

Motivaţia principală pentru care se studiază contactul corpurilor

solide provine din încercarea de a înţelege uzura. Uzura nu este un

singur proces, ci mai multe procese care se desfăşoară independent

sau în diferite combinaţii. Acestea includ nu numai procesele de tip

mecanic, descrise mai sus, ci şi procese chimice şi termice. Deşi

elementul principal al acestora este totuşi cel mecanic, în sensul că

fără contact şi fără o forţă de frecare uzura nu poate avea loc,

celelalte procese implicate joacă un rol important.

La ora actuală nu există o teorie unitară a fenomenelor implicate

în uzură şi nici o modalitate de a prezice valoarea coeficientului de

frecare, sau rata de uzură, pornind numai de la geometria, încărcarea

şi chimia suprafeţelor. Cunoaşterea stării de tensiuni din zona de

contact este insuficientă pentru a evalua uzura. Aceasta se datorează

239

în principal faptului că teoria corpului solid nu include criterii de

cedare a materialului (rupere, localizare a deformaţiei plastice, etc).

Din acest motiv singurele relaţii folosite pentru a prezice rata de

uzură, w (volumul de material îndepărtat pe unitatea de distanţă de-a

lungul direcţiei de mişcare relativă a celor două corpuri), sunt pur

empirice. O relaţie frecvent folosită, în cazul în care vitezele relative

sunt mici, este ecuaţia Archard:

H

PKw , (9.18)

unde P este forţa transmisă prin zona de contact, iar H este duritatea

suprafeţei (hardness). Constanta K se numeşte coeficientul de uzură

adimensional. Se poate defini şi un coeficient de uzură dimensional,

k, astfel încât

w = kP, (9.19)

unde k = K/H şi se măsoară în mm3/Nm. Exemple de valori ale lui k

sunt: 7x10-3

pentru oţel carbon pe oţel carbon, 10-4

pentru oţel de

scule pe oţel de scule, 1.7x10-5

pentru oţel inoxidabil pe oţel

inoxidabil.

Există mai multe mecanisme de uzură care sunt discutate în

tratatele de specialitate [3]. Aici se va menţiona numai faptul că, în

funcţie de valoarea forţei P şi de viteza relativă a corpurilor în

contact, v, un mecanism sau altul este dominant. De exemplu, pentru

oţel pe oţel, la P şi v mici (v < 0.1 m/s), mecanismul dominant este

uzura adezivă. Acest tip de uzură a fost descris mai sus şi implică

formarea şi ruperea zonelor microscopice de adeziune formate între

vârfurile asperităţilor care vin în contact direct. La forţe mici şi viteze

mari (v > 1 m/s), suprafaţa se oxidează. Oxizii sunt în general fragili

şi se exfoliază uşor. La forţe şi viteze mari se degajează o cantitate

importantă de căldură, ceea ce poate duce la topirea locală a

materialului şi deci la uzură pronunţată. Atunci când forţa de contact

este suficient de mare încât materialul curge plastic în zona de sub

suprafaţa de contact, uzura este de asemenea foarte pronunţată.

Bibliografie

1. Johnson, K.L., Contact Mechanics, Cambridge Univ. Press,

1985.

240

2. Jaeger, J., New Solutions in Contact Mechanics, Southampton,

2005.

3. Williams, J.A., Engineering Tribolog, Oxford Univ. Press,

1994.

4. Ling, F.F., Fundamentals of Surface Mechanics with

Application, Springer, 2002.

5. Suh, N.P., Tribophysics, Prentice-Hall, 1986.

6. Bushan, B. (Ed.), Fundamentals of Tribology and Bridging the

Gap Between the Macro - and Micro - / Nanoscale, Kluwer, 2001.

7. Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., Theory of elasticity,

McGraw, 1970.

8. Nadai, A.I., Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 2, p.

221, McGraw Hill, 1963.

9. Hertz, H., Miscellaneous Papers by H. Hertz (English

translation). Ed. By Jones and Schott, London, McMillan, 1896.

10. Dundurs, J., Effect of elastic constants on stress in a

composite under plane deformation, J. Composite Matls., Vol. 1, p.

310, 1967.

11. Johnson, K.L., Kendall, K., Roberts A.D., Surface energy

and the contact of elastic solids, Proc. Royal Soc. London, Vol.

A324, p. 301, 1971.

12. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Politehnica Press, Bucureşti, 2003.

241

10 .

OPTIMIZAREA ÎN INGINERIA MECANICĂ

10.1. Generalităţi

Optimizarea este, în esenţă, o opţiune ştiinţifică, care constă în

elaborarea şi trierea sistematică a soluţiilor posibile ale unei

probleme inginereşti, având ca scop final selectarea acelei soluţii

care, în limitele unui cadru de referinţă definit prin condiţiile admise

sau impuse iniţial, conduce la folosirea cea mai avantajoasă a

resurselor de care se dispune pentru materializarea ei. Optimizarea

unei maşini, instalaţii sau construcţii de un anumit tip se poate face

prin optimizarea separată a componentelor sale, a subansamblurilor

sau a părţilor constructive distincte, structura de rezistenţă fiind

una dintre acestea. În special la aceasta se vor face referiri în cele ce

urmează.

Bazele matematice ale proceselor de optimizare le constituie

cercetarea operaţională, programarea lineară, programarea dinamică,

programarea geometrică, algoritmii genetici etc.

Scopul principal al optimizării unei structuri – sau, altfel spus, al

proiectării optimale a structurii – este determinarea formei acesteia.

Determinarea tensiunilor şi a deplasărilor constituie o etapă ulterioară

în procesul proiectării, în care se verifică dacă forma şi dimensiunile

structurii satisfac exigenţele scopului urmărit.

Cele mai utilizate criterii care stau la baza modelelor de calcul

pentru optimizarea structurilor sunt: greutate minimă, tensiuni

minime (rezistenţă maximă), energie potenţială de deformaţie

minimă, rigiditate maximă, deplasări minime, rigiditate maximă

pentru o greutate dată, formă de egală rezistenţă, cost minim etc.

Relaţia dintre tensiuni (uneori eforturi) şi forma structurii este

factorul fundamental atât în proiectarea curentă, cât şi în cea

optimală, această dependenţă folosindu-se fie pentru determinarea

tensiunilor când se cunoaşte configuraţia structurii, fie pentru

242

determinarea formei structurii când se cunosc (sau se impun) valorile

maxime ale tensiunilor.

Criteriul de alegere a formei structurii depinde de condiţiile care

trebuie satisfăcute de structură, fiecare criteriu având o importanţă

decisivă asupra rezultatului optimizării. Criterii “absolute” de

optimizare nu există şi nici nu par a fi de dorit.

Cea mai simplă procedură de „optimizare” este “optimizarea

intuitivă”, care constă în realizarea de modele ale unor soluţii

alternative ale structurii şi - prin încercări repetate – de a obţine o

variantă optimă a acesteia. Procesul este empiric şi nu duce cu

certitudine la cea mai bună soluţie posibilă.

10.2. Conceptele şi structura procesului de optimizare

Uzual este ca tehnicile şi procedurile pentru optimizare să fie

incluse în sisteme informatice complexe pentru proiectarea asistată

de calculator - CAD. Foarte frecvent, sistemul conţine un program

performant pentru analiza structurilor prin metoda elementelor finite,

MEF. S-a dovedit că implementarea unor module şi proceduri de

calcul pentru optimizare în programe cu elemente finite este foarte

eficientă.

Pentru a realiza optimizarea unei structuri se elaborează un

model de calcul pentru o variantă “iniţială” a structurii. Pentru acest

model se definesc unul sau mai mulţi parametri de proiectare –

denumiţi şi variabile de proiectare - şi valori şi (sau) intervale de

valori posibile ale acestora denumite restricţii, sub forma unor

egalităţi sau inegalităţi. Astfel de parametri de proiectare pot fi:

costul, masa, dimensiunile, materialele diverselor elemente

constructive, tipuri de asamblări etc.

Procesul de optimizare trebuie să determine valoarea minimă a

unei funcţii dependentă de variabilele de proiectare, numită funcţie

obiectiv. Această funcţie este construită astfel încât extremul ei (de

exemplu, minimul) să corespundă scopului urmărit. De exemplu,

poate fi proporţională cu pătratul costului, masei şi tensiunii normale

maxime. Minimizarea unei astfel de funcţii obiectiv duce la o

structură cu rezistenţă maximă şi masă şi cost minime. Odată ce

funcţia a fost definită, optimizarea se reduce la determinarea unui

extrem al ei. Aceasta se face prin una din procedurile matematice

243

menţionate mai sus. Este de notat că, în general, această funcţie este

neconvexă şi deci are multiple puncte de extrem. Găsirea extrem

extremorum-ului este o problemă dificilă, ale cărei baze teoretice

sunt încă neclare. De aceea, practica curentă se limitează la găsirea

unui minim local.

Deoarece funcţia obiectiv conţine componente referitoare la

comportarea structurii sub sistemul de sarcini definit de analist,

evaluarea ei pentru un anumit set de variabile de proiectare necesită

rezolvarea problemei pe frontieră. Găsirea extremului acestei funcţii,

prin oricare dintre metodele curente, cere multiple evaluări ale

funcţiei obiectiv, în puncte diferite ale spaţiului definit de variabilele

de proiectare. Aceasta presupune rezolvări repetate ale problemei pe

frontieră (răspunsul structurii la sistemul de încărcări dat). Uzual este

ca tehnicile şi procedurile pentru optimizare să fie incluse în sisteme

informatice complexe pentru proiectarea asistată de calculator -

CAD. Foarte frecvent, sistemul conţine un program performant

pentru analiza structurilor prin metoda elementelor finite, MEF. S-a

dovedit că implementarea unor module şi proceduri de calcul pentru

optimizare în programe cu elemente finite este foarte eficientă.

Figura 10.1

Schema generală – conceptuală - a procesului de optimizare se

prezintă în figura 10.1, în care se evidenţiază bucla iterativă a

acestuia. De fapt, din punct de vedere matematic, nu este vorba de

rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice, compatibile, care are o

soluţie unică. Algoritmul matematic al procesului de optimizare este,

244

de regulă, o “strategie euristică” de găsire a celei mai bune soluţii din

mulţimea celor posibile. Punerea în evidenţă a acestor aspecte şi a

altora s-a făcut în schema din figura 10.2, în care prezintă o detaliere

a procedurii de optimizare.

Figura 10.2

O componentă fundamentală a procesului de optimizare este

funcţia obiectiv, care poate fi definită ca lineară sau nelineară, în

raport cu variabilele de proiectare. Cele mai utilizate funcţii obiectiv

sunt: preţul de cost, greutatea, rigiditatea, volumul, energia potenţială

de deformaţie sub sistemul de sarcini etc. Nu există nici o restricţie

de principiu privind definirea funcţiei obiectiv. Diversele programe

cer doar respectare unor reguli de “sintaxă” în ceea ce priveşte

definirea algebrică a funcţiei.

10.3. Corelarea optimizării cu practica inginerească

Procesul de optimizare este o componentă a proiectării şi realizării

unui produs, dar în final structura optimizată trebuie să îndeplinească

şi alte condiţii sau restricţii, prezente totdeauna în ingineria

mecanică, adică rezultatul “teoretic” al procesului de optimizare

trebuie validat, în final, de considerente tehnologice, de montaj, de

transport, de exploatare, estetice, ergonomice, ecologice etc. Aceste

restricţii sunt formulate matematic sub forma unor relaţii între

variabilele de proiectare. Ele limitează domeniul de variaţie al

acestor variabile şi deci “spaţiul de proiectare” în care se caută

245

soluţia optimală. Câteva se prezintă în continuare (expunerea nu este

exhaustivă, ci doar ilustrativă).

Restricţii tehnologice. Orice structură se realizează într-un

ansamblu de condiţii tehnologice existente sau accesibile

executantului, care determină unele “adaptări” ale produsului,

deoarece fiecare tip de proces tehnologic are avantajele, limitele şi

dezavantajele sale.

Cele mai importante sunt:

- forma structurii, oricât de complicată ar fi, se execută relativ

simplu prin turnare. Pentru construcţii din table şi (sau) profile

laminate, asamblate prin sudură, unele forme spaţiale sunt imposibil

sau prea costisitor de realizat. Deci dacă prin procesul de optimizare

rezultă o anumită formă a structurii, uneori ea trebuie “sacrificată”,

adică modificată, din considerente tehnologice, economice,

respectarea unor termene, sau de altă natură;

- grosimile tablelor şi dimensiunile laminatelor – ţevi şi profile –

sunt standardizate şi au şiruri discrete de valori. Deci dacă, de

exemplu, grosimea peretelui unui batiu sau dimensiunile secţiunii

unei bare trebuie să fie variabile, atunci nu pot fi folosite

semifabricate laminate standard, deoarece este neraţional şi

neeconomic ca o astfel de componentă a structurii să se execute din

elemente de mici dimensiuni cu grosimi, sau alte caracteristici,

diferite;

- execuţia unei structuri mecanice presupune realizarea unor

dispozitive, amenajări tehnologice, “pregătiri ale fabricaţiei” etc,

costurile pe unitatea de produs fiind dependente de volumul

producţiei.

Condiţii de montaj. Structura nu va putea fi acceptată pentru

execuţie, dacă ea nu îndeplineşte condiţiile de montaj. Toate

componentele şi subansamblele structurii trebuie să poată fi

executate individual şi apoi asamblate în condiţiile de precizie,

etanşare etc prevăzute în proiect.

Condiţii de transport. Structura în ansamblu, sau componentele

sale – dacă structura este de mari dimensiuni – trebuie să fie

transportate la beneficiar în condiţii care să nu afecteze forma

246

geometrică, precizia dimensională sau parametrii funcţionali ai

produsului. În anumite situaţii aceste considerente pot influenţa

decisiv configuraţia structurii, soluţiile constructive sau tehnologice

la care va recurge proiectantul.

Condiţii de exploatare. Validarea finală a oricărei activităţi

inginereşti este comportarea în exploatare a produsului, maşinii,

dispozitivului sau instalaţiei care au constituit obiectivul

proiectanţilor, executanţilor, utilizatorilor, etc. Indiferent ce rezultate

oferă procedurile de calcul - inclusiv cele de optimizare – hotărâtoare

sunt, în luarea deciziilor de finalizare a unui produs, cele privind

comportarea în exploatare a acestuia şi anume: siguranţa tehnică şi

umană, valorile parametrilor funcţionali, fiabilitatea, economicitatea

exploatării şi întreţinerii, funcţionarea nepoluantă, durata de viaţă,

posibilităţi de reciclare, costurile dezafectării etc.

Concluzii

Tehnicile şi procedurile de optimizare s-au impus – mai ales în

ultimul deceniu – ca mijloace şi instrumente inginereşti foarte

valoroase şi puternice pentru a realiza structuri eficiente şi

competitive. În faza de elaborare a modelului de calcul destinat

optimizării trebuie avute în vedere şi aspectele practice, semnalate,

care de multe ori sunt dificil de formulat în termeni numerici,

cantitativi. Ieşirea din impas se face de către proiectant, tehnolog sau

executant pe baza intuiţiei, creativităţii sau experienţei inginereşti.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Eschenauer H., Koski J., Osyczka A., Multicriteria Design

Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

3. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

247

11.

CALCULUL PIESELOR ŞI STRUCTURILOR

DIN

MATERIALE COMPOZITE

11.1. Generalităţi

Materialele compozite sunt amestecuri de două sau mai multe

componente, în anumite proporţii şi condiţii, ale căror proprietăţi se

completează reciproc, rezultând un material cu proprietăţi superioare

celor proprii fiecărei componente considerată separat. Ele se folosesc

cu mult succes în industriile: aerospaţială, a vehiculelor de toate

categoriile, chimică, a bunurilor de consum etc. Într-un sens general

toate materialele sunt, mai mult sau mai puţin, compozite deoarece

toate au impurităţi, defecte, elemente de aliere etc.

Marea varietate de materiale compozite le face dificil de definit

şi clasificat, curent fiind acceptată delimitarea care are în vedere

următoarele caracteristici ale acestora:

- sunt create artificial, prin combinarea voită şi raţională a

diferitelor componente; în acest fel sunt excluse compozitele naturale

(lemnul) sau cele produse fără intenţia de a crea un material

compozit (fontele cenuşii, betonul). Având în vedere importanţa

practică deosebită a betonului, a betonului armat şi a celui

precomprimat, s-au elaborat metodologii, modele, metode de calcul

şi programe dedicate analizei structurilor construite din această

categorie de materiale;

- sunt amestecuri a cel puţin două materiale distincte din punct

de vedere chimic, între care există o suprafaţă de separaţie bine

definită;

- au proprietăţi pe care nici una dintre componente, luată separat,

nu le are.

Principalele avantaje ale materialelor compozite sunt:

248

- posibilitatea „modularizării” proprietăţilor şi obţinerea, astfel, a

unor materiale cu proprietăţi foarte diferite;

- au o valoare foarte bună, comparativ cu materialele „clasice”, a

raportului rezistenţă la rupere / greutate specifică;

- prezintă o bună rezistenţă la uzură (duritate superficială), la

oxidare şi la coroziune;

- au o bună stabilitate în timp a dimensiunilor şi a formei;

- au o bună capacitate de amortizare a şocurilor, vibraţiilor şi

zgomotelor;

- materialele compozite carbon - carbon sau cele ceramice pot fi

folosite la temperaturi mari, de până la 2200 0C.

Principalele dezavantaje ale materialelor compozite sunt:

- sensibilitatea la variaţiile parametrilor tehnologici de fabricaţie,

adică variaţii relativ mici ale condiţiilor de fabricaţie, ca, de exemplu,

temperatura şi presiunea în timpul procesării, proporţiile

componentelor etc, pot duce la variaţii importante ale caracteristicilor

produsului;

- unele compozite, de exemplu, cele stratificate, sunt

higroscopice şi / sau termo-higroscopice, absorbţia apei ducând la

modificarea dimensiunilor şi proprietăţilor;

- majoritatea compozitelor, dar mai ales cele cu fibre lungi, sunt

improprii pentru realizarea unor structuri cu forme spaţiale

complicate, deoarece în zonele de discontinuităţi geometrice se

pierde continuitatea fibrelor;

- compozitele ceramice, pot fi folosite numai pentru structuri de

dimensiuni relativ mici, având forme relativ simple, ca urmare a

limitărilor impuse de tehnologiile de fabricaţie.

Deosebita diversitate (din diferite puncte de vedere) a

componentelor care pot fi utilizate la fabricarea unui material

compozit, precum şi nenumăratele combinaţii posibile ale acestora în

condiţiile în care şi tehnologiile de fabricaţie sunt numeroase, explică

gama foarte largă a materialelor compozite utilizate în prezent, având

proprietăţi care variază între limite apreciabile în ceea ce priveşte

caracteristicile fizice, mecanice, termice precum şi costurile.

Materialul compozit este format, de regulă, dintr-o componentă

de bază – matricea – în care se „încorporează” materialul

complementar, sub formă de fibre sau particule.

249

Materialele matricelor sunt, de regulă:

a. Metalice:

- metale: aluminiu, cupru, niobiu, oţel inoxidabil;

- aliaje de: aluminiu, cupru, magneziu, titan etc.

b. Materiale organice:

- termoplastice: răşini poliesterice, polietilenă densă, polistiren,

polipropilenă, policlorură de vinil, poliamide, polisulfone etc;

- termorigide: poliimide şi răşini epoxidice, fenolice şi

poliesterice nesaturate.

c. Materiale ceramice, care pot include în compoziţia lor

alumină, oxid de zirconiu, carbură de siliciu şi alţi compuşi, precum

şi amestecuri ale acestora.

Materialele complementare pot fi de următoarele tipuri:

a. Fibre, care pot fi:

- după material: ceramice, din bor, carbon, sticlă, cuarţ, carbură

de siliciu, alumină, alumină-silice, aliaje metalice, oţel inoxidabil,

nylon;

- după structură: policristaline, monocristaline sau amorfe;

- după raportul dintre lungimea l şi diametrul d, fibrele pot fi

continue (l/d > 1000) sau discontinue (l/d < 1000), care la rândul lor

pot fi lungi (l/d = 300...1000), scurte (l/d ≈100) sau foarte scurte

(monocristale filiforme);

- fibre care se „generează” în interiorul matricei, prin unul din

următoarele procedee: solidificarea dirijată a eutecticelor, deformarea

plastică sau cristalizarea într-o matrice solidă.

Fibrele continue se încorporează în matrice ca fire simple sau

răsucite, care se pot aranja: unidirecţional, bidirecţional sau sub

formă de ţesătură plană sau spaţială.

b. Particule, care pot fi:

- după material: carbură de siliciu, grafit, alumină, mică,

zirconiu, nitrură de bor, sticlă, oţel, fontă, oxid de titan, etc;

- după dimensiuni: de la 10 nm (nanoparticule), la 1 μm (micro-

cristale) la 500 μm, sau mai mari;

- după formă: sferică, discoidală sau alte configuraţii.

250

Condiţii impuse materialelor compozite. În principiu, se pot

obţine diverse materiale compozite prin orice fel de combinaţii ale

componentelor enumerate mai sus. Practica însă a demonstrat că apar

unele restricţii, impuse de compatibilităţile care trebuie să existe între

matrice şi materialul complementar. Aceste compatibilităţi sunt de

natură fizică (valorile coeficienţilor de dilatare termică liniară şi

temperaturile de topire trebuie să fie apropiate) şi chimică

(inexistenţa reacţiilor chimice între componente, difuzia unui

component în celălalt să fie limitată).

De asemenea, caracteristicile materialelor compozite sunt

determinate într-o mare măsură de fenomenele fizice şi chimice

complexe care au loc între matrice şi materialul complementar, în

zonele de contact dintre acestea, adică la „interfaţa” matrice-material

complementar. Interfaţa poate „acţiona” atât în sens pozitiv cât şi

negativ asupra caracteristicilor compozitului, ceea ce necesită

cunoaşterea şi dirijarea fenomenelor care au loc în zonele de contact

dintre componentele materialului compozit.

Clasificări ale materialelor compozite. Se folosesc numeroase

clasificări, dintre care, pentru scopul urmărit în această lucrare, sunt

utile următoarele:

a. După modul de distribuţie al materialului complementar:

- izotrope, care conţin fibre scurte sau particule uniform

distribuite;

- anizotrope, care au fibre continue (inserţii sau împletituri) sau

fibre scurte, orientate unidirecţional, în plan sau în spaţiu;

- cu distribuţie dirijată a materialului complementar, obţinută

prin solidificare unidirecţională sau prin deformare plastică la rece;

- stratificate, formate din mai multe lamine sau straturi. Fiecare

lamină este relativ subţire, are fibrele situate într-un singur plan şi

sunt orientate după o singură direcţie sau bidirecţional, deci fiecare

lamină este anizotropă. Orientarea fibrelor din straturile succesive

este, de regulă, diferită. Materialul obţinut se numeşte compozit

laminat.

- sandwich, material compozit realizat din două straturi de

material laminat, între care se află un „miez” dintr-o răşină, o

251

ceramică, sau dintr-o folie de material metalic uşor, dispusă sub

formă de fagure.

b. După dimensiunile materialului complementar:

- nanocompozitele, în care materialul complementar este sub

formă de particule, lamele sau fibre (de exemplu, nanotuburi), având

cel puţin una dintre dimensiuni mai mică de 100 nm;

- microcompozite, la care materialul complementar este dispersat

în matrice la scară microscopică, sub formă de fibre, particule,

lamele etc;

- macrocompozite, la care materialul complementar se află la

scară macro în compozitul respectiv.

11.2. Modelarea şi analiza pieselor şi structurilor din

materiale compozite

Pentru modelarea şi analiza corectă şi eficientă a unei structuri

sau piese realizată din materiale compozite trebuie avute în vedere,

cel puţin, următoarele aspecte specifice:

- alegerea metodei de calcul corespunzătoare, în concordanţă cu

tipul materialului compozit, cu geometria structurii şi cu scopul avut

în vedere pentru analiza care se face. Metoda elementelor finite este

cea mai eficientă pentru astfel de analize, programele MEF având

implementate proceduri şi tipuri de elemente finite speciale pentru

materiale compozite;

- considerarea, pentru modelul elaborat, a valorilor constantelor

fizice şi elastice, corespunzătoare materialului compozit respectiv;

- trebuie acordată o atenţie deosebită „joncţiunilor” structurilor

realizate din materiale compozite, deoarece în zonele respective, de

regulă, nu se poate păstra continuitatea straturilor (de exemplu, a

fibrelor laminelor) şi apare un factor suplimentar care trebuie avut în

vedere şi anume adezivul.

În figura 11.1 sunt reprezentate schematic, ca exemplu, şase

variante constructive ale unei joncţiuni flanşă-tub din compozit

stratificat, din care se poate înţelege varietatea soluţiilor posibile. Se

constată că varianta a. este cea mai puţin aptă pentru preluarea

solicitărilor, deoarece este posibilă desprinderea laminei exterioare a

tubului. Dacă zona joncţiunii prezintă un interes deosebit, este

252

necesară modelarea şi analiza acesteia, printr-o procedură de

submodelare, de exemplu;

- modelarea şi analiza structurii în ansamblu, se face cu

procedurile „clasice”, ca pentru situaţiile obişnuite, pentru solicitări

liniar elastice sau neliniare, în regim static sau dinamic, la flambaj

etc.

În concluzie, specificul modelării şi analizei structurilor realizate

din materiale compozite, se reduce, de regulă, la alegerea unei

metode de calcul care poate fi aplicată acestor materiale şi la

definirea valorilor corespunzătoare ale constantelor fizice şi elastice,

celelalte aspecte ale modelării şi analizei rămânând neschimbate.

Modelele de calcul pentru materialele compozite sunt foarte

„elaborate” şi sofisticate şi au implementate toate posibilităţile oferite

de teoria elasticităţii, teoria plasticităţii, mecanica ruperilor,

rezistenţa materialelor etc, în formulările teoretice cele mai generale,

pentru materiale neomogene, cu anizotropie spaţială, cu neliniaritate

fizică etc. Relaţiile de calcul obţinute astfel, se folosesc pentru

determinarea energiei de deformaţie, a deplasărilor, deformaţiilor şi

tensiunilor. De asemenea, relaţiile analitice de calcul stabilite pentru

diverse tipuri de compozite stau la baza unor programe de calcul

specializate.

Criteriile de cedare sau rupere ale materialelor compozite

reprezintă condiţiile în care apar diferite fenomene care pun în

Figura 11.1

253

pericol integritatea structurii şi siguranţa ei în exploatare ca: ruperi

ale materialului complementar (de exemplu, ale fibrelor), fisurări şi /

sau ruperi ale matricei, desprinderi ale matricei de materialul

complementar etc. Pentru a ilustra complexitatea acestei probleme, se

menţionează faptul că în prezent nu este unanim acceptat un criteriu

de cedare, ci se folosesc numeroase formulări ale acestora, dintre

care cele mai cunoscute şi utilizate sunt:

- criterii limită, care consideră că cedarea (ruperea) se produce

când un parametru al stării de tensiuni sau deformaţii atinge valoarea

corespunzătoare stării limită şi anume criteriul: tensiunilor maxime,

deformaţiei specifice maxime, al lui Stowell-Liu, al lui Prager etc;

- criterii „interactive”, care sunt generalizări ale teoriei von

Mises pentru materiale izotrope şi care consideră că cedarea

(ruperea) se produce când valoarea unei expresii care conţine valorile

tensiunilor, atinge valoarea corespunzătoare stării limită şi anume,

criteriul lui: Tsai-Hill, Marin, Azzi-Tsai, Hoffman, Franklin, Tsai-

Wu, Goldenblat-Kopnov etc.

Unele dintre aceste criterii de cedare sunt incluse în programele

de calcul pentru materiale compozite, ele fiind „ataşate” diverselor

tipuri de compozite.

Valorile constantelor fizice şi elastice ale materialelor

compozite, precum şi ale altor caracteristici ale acestora (de exemplu,

caracteristici mecanice), pot avea variaţii între limite foarte largi,

ceea ce impune ca valorile respective să fie luate din documentaţia

elaborată de fabricantul materialului şi care însoţeşte livrarea:

certificate de calitate, rezultate ale încercărilor de laborator în diverse

condiţii (tip de solicitare, temperatură, umiditate etc).

Metodele de calcul de uz general pot fi folosite, în principiu,

pentru modelarea şi analiza unor structuri din materiale compozite,

dacă se definesc constantele fizice şi elastice corespunzătoare. Se vor

considera, de la caz la caz, materiale liniar - elastice sau neliniare,

izotrope, ortotrope sau anizotrope, conform tipului de model de

calcul „clasic” utilizat. În acest caz se pot avea în vedere trei

categorii de aspecte ale compozitului:

a. Comportarea „globală” a materialului compozit sub sarcină.

Prin aceasta se urmăreşte determinarea caracteristicilor globale

254

echivalente ale compozitului, în vederea înlocuirii acestuia cu un

„material echivalent”, a cărui comportare globală este aceeaşi.

Calculul se face pentru o „mostră” de compozit, adică pe o piesă cu o

formă relativ simplă, supusă unei stări de solicitare simple sau

similară celei din structură. Se pot face şi determinări experimentale

(prin încercări de laborator) rezultatele obţinute comparându-se cu

cele obţinute prin calcul. În acest mod problema modelării şi analizei

structurilor din materiale compozite se „reduce” la problema clasică,

adică a materialelor obişnuite.

Rezultatele obţinute astfel oferă informaţii globale satisfăcătoare

privind structura: deplasări, reacţiuni în rezeme, configuraţia stării de

tensiuni, coeficienţi de flambaj, frecvenţe şi moduri proprii de

vibraţii etc. Nu vor fi obţinute, eventual, suficiente informaţii pentru

unele solicitări locale. O altă deficienţă a folosirii acestei metode

constă în faptul că proprietăţile globale ale compozitului sunt relativ

dificil de determinat experimental, pentru a putea fi introduse în

modelul de calcul al structurii.

b. Dacă este necesar, se poate extinde modelarea şi analiza

structurii din compozite utilizând tehnici de modelare şi / sau

submodelare locală, de exemplu. În acest mod se pot obţine

informaţii privind configuraţiile stărilor de tensiuni şi deformaţii,

„vârfuri” ale acestora şi alte informaţii care pot fi utile pentru

determinarea apariţiei eventualelor cedări ale compozitului: fisuri,

desprinderi, ruperi.

c. Cu metode de calcul de uz general se pot face studii asupra

unor materiale compozite deosebite, ca, de exemplu, pentru materiale

sandwich, care, uneori, au un miez (core) cu o configuraţie

geometrică complexă. Se defineşte o substructură pentru o „celulă” a

compozitului, care se multiplică formând un grup multi - celular cu

care, folosind proceduri de substructurare, se poate modela şi analiza

un ansamblu oarecare. Pentru discretizări suficient de fine, se pot

obţine atât informaţii locale asupra stării de tensiuni la nivelul

microstructurii, cât şi globale, privind deformarea structurii în

ansamblu. O astfel de metodă de modelare este foarte laborioasă şi

costisitoare.

255

Metoda elementelor finite este foarte eficientă în modelarea şi

analiza structurilor din materiale compozite, în special pentru cele

stratificate (multi – layer) şi se utilizează aproape exclusiv în prezent.

Elementele finite de tip multi – strat sunt cele mai răspândite şi

utilizate, implementate în majoritatea programelor cu elemente finite.

Aceste elemente sunt, de regulă, de tip solid cu opt noduri (brick) şi

de placă (shell) cu 3, 4, 6, 8 sau 9 noduri şi au fost concepute astfel

încât să poată fi definite şi utilizate similar cu elementele

corespunzătore, obişnuite, pentru a facilita munca utilizatorului şi

pentru a putea fi cuplate, fără dificultăţi, cu celelalte tipuri de

elemente finite, adică cu cele de tip clasic.

Elementele finite de tip compozit au unele particularităţi pentru

fiecare program, dar unele aspecte generale, care facilitează munca

utilizatorului, se regăsesc în majoritatea acestora şi anume:

a. Se foloseşte o secvenţă cu informaţii generale, pentru fiecare

grup de elemente finite de tip compozit: numărul grupului, tipul

elementelor, numărul straturilor, alegerea criteriului de cedare, unele

constante de material (densitatea, coeficientul de dilatare termică

liniară, conductivitatea termică etc), opţiuni de scriere a rezultatelor

etc.

b. Proprietăţile materialului (modulele de elasticitate

longitudinale şi transversale, coeficientul contracţiei transversale,

limite de curgere la întindere, compresiune, forfecare etc) se definesc

în cadrul mai multor seturi, care se numerotează succesiv, pentru

fiecare precizându-se valorile, pentru materialul anizotrop, pe trei

direcţii perpendiculare.

c. Sistemul de

coordonate. Se

folosesc trei sisteme

diferite de

coordonate, ca în

figura 11.2: global -

al structurii (X, Y,

Z), local - al

elementului finit (x*,

y*, z*) şi local - al materialului (α, β, γ), pe care utilizatorul le poate

utiliza după dorinţă.

Figura 11.2

256

d. Definirea straturilor materialului. Se atribuie fiecărui strat un

indice, de regulă un număr, numerotarea făcându-se pentru toate

straturile, sau numai pentru jumătate dintre ele, cu opţiunea

„simetric” sau „antisimetric”, ca în figura 11.3.

e. Succesiv, pentru

fiecare strat, se definesc:

grosimea (care poate fi

variabilă), unghiul (ω) al

direcţiei de referinţă, în

raport cu care se definesc

caracteristicile (elastice şi

fizice) ale materialului,

numărul setului de

proprietăţi de material ataşat stratului.

f. Definirea topologiei elementelor şi generarea lor se face prin

procedurile obişnuite, implementate în programele cu elemente

finite.

11.3. Exemple

Bare executate din mai multe materiale. Cele mai utilizate bare

din materiale compozite sunt cele din beton armat. Pentru solicitarea

la încovoiere, calculul se face după cum urmează, pentru o secţiune

a barei formată din n arii ale

materialelor care compun bara.

Se presupune că secţiunea barei

este simetrică în raport cu axa z,

ca în figura 11.4.a. Sistemul de

coordonate xyzG are originea în

centrul de greutate, G, al întregii

secţiuni. Un moment încovoietor

My produce tensiunile normale

(x,y,z) = E(y,z)[z –z0(x)] / [(x)],

în care:

ii

siii

02

siiiiiyii

iiy

AE

zAE)x(z,

zAEAEIE

AE)x(M

)x(

1

Figura 11.3

a b

Figura 11.4

257

-E(y,z) este modulul de elasticitate al materialului cu aria Ai;

-Ei, Ai, Iyi, zsi sunt modulul de elasticitate, aria, momentul de

inerţie axial faţă de axa y şi ordonata z a centrului de greutate pentru

aria parţială Ai.

Toate sumele se calculează pentru ansamblul i = 1, 2, ... n.

Axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate, ca la barele

omogene, ci are o excentricitate z0 şi are curbura 1 / (x).

În figura 11.4.b s-au reprezentat variaţiile tensiunilor normale, ,

pe secţiune, cu salturi în dreptul graniţelor materialelor componente.

Ecuaţia diferenţială a axei barei drepte deformate, care are

secţiunea ca cea din figura 11.4, este

.

zAEAEIE

AE)x(M)x("w

2

siiiiiyii

iiy

Compozit stratificat, simetric faţă de planul median

Lamina ortotropă. Se consideră o lamină cu fibre

unidirecţionale, cu o solicitare de tip stare plană de tensiuni, raportată

la două sisteme de coordonate:

- un sistem local - ataşat laminei, cu axa Ox în lungul fibrelor şi

axa oy în planul laminei, perpendiculară pe direcţia fibrelor;

- un sistem global – ataşat compozitului, cu axele OX şi OY în

planul median al stratificatului, care este plan de simetrie.

Pentru un material cu anizotropie generală, cu o stare triaxială de

tensiuni, relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice conţin 21

de constante elastice independente, pentru un material ortotrop

solicitat triaxial sunt necesare 9

constante, iar pentru un

material ortotrop solicitat cu o

stare plană de tensiuni, numărul

constantelor este 4.

Pentru lamina cu fibrele în

direcţia globală OX, ca în

figura 11.5, relaţiile dintre

tensiuni şi deformaţii specifice

(legea lui Hooke) au forma

Figura 11.5

258

xy

XYXY

y

Xxy

y

YY

y

Yyx

x

XX

G;

EE;

EE

, (11.1)

unde Ex şi Ey sunt modulele de elasticitate longitudinale după

direcţiile x şi y; Gxy – modulul de elasticitate transversal în planul

xOy; xy şi yx - coeficienţii de contracţie transversală.

Relaţiile (11.1) au forma matriceală

XY

Y

X

xy

yxxy

yyxx

XY

Y

X

G100

0E1E

0EE1

, (11.2)

sau

{} = [S]{}, (11.3)

în care [S] se numeşte matrice de flexibilitate a laminei sau matricea

complianţelor, care poate fi scrisă şi sub forma

666261

262221

161211

SSS

SSS

SSS

S , (11.4)

ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din

ecuaţia (11.2). Observaţie. Elementele de pe ultima coloană şi de pe ultima linie ale matricei

[S] din relaţia (11.4), s-au notat cu indicele 6, pentru a pune în evidenţă faptul că

relaţiile utilizate sunt particularizări ale celor pentru starea spaţială de tensiuni, caz

în care matricea [S] are dimensiunile 6x6. Această convenţie se va păstra şi în cele

ce urmează.

Ecuaţiile (11.2) rescrise ca expresii ale tensiunilor în funcţie de

deformaţiile specifice sunt

XYxyXY

YyxX

yxxy

x

XYyxX

yxxy

x

X

G

;)(1

E;)(

1

E

, (11.5)

care pot scrise în forma matriceală

XY

Y

X

xy

yxxy

y

yxxy

yxy

yxxy

xyx

yxxy

x

XY

Y

X

G00

01

E

1

E

01

E

1

E

, (11.6)

259

sau

{} = [C]{}, (11.7)

unde [C] este matricea de rigiditate a laminei, care poate fi scrisă şi

sub forma

666261

262221

161211

CCC

CCC

CCC

C , (11.8)

ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din

ecuaţia (11.6).

Matricea de rigiditate este inversa matricei de flexibilitate

[C] = [S]-1

. (11.9)

Pentru o lamină cu fibrele orientate după o direcţie care face

unghiul cu direcţia globală OX, ca în figura 11.6, tensiunile şi

deformaţiile specifice definite în

sistemul de coordonate al

stratificatului, trebuie exprimate în

funcţie de tensiunile şi deformaţiile

specifice în sistemul de coordonate al

laminei, faţă de care se definesc

caracteristicile elastice. În acest scop se

utilizează relaţiile de transformare a

tensiunilor (5.37), scrise pentru planul xOy şi relaţiile de

transformare a deformaţiilor specifice, analoage acestora.

Pentru calculul matricei de rigiditate a laminei în raport cu

sistemul de coordonate global XOY se procedează astfel:

1. Se determină deformaţiile specifice după direcţiile locale, în

funcţie de deformaţiile specifice în direcţiile globale

XY

Y

X

22

22

22

xy

y

x

scsc2sc2

sccs

scsc

, (11.10)

în care s-au notat c = cos şi s = sin .

2. Se calculează tensiunile după direcţiile locale, în funcţie de

deformaţiile specifice în direcţiile locale, cu relaţiile (11.6) în care se

înlocuiesc indicii cu litere mari cu indici cu litere mici

Figura 11.6

260

XY

Y

X

66

2221

1211

xy

y

x

C00

0CC

0CC

. (11.11)

3. Se determină tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de

tensiunile în direcţiile locale, cu relaţiile cu relaţiile (5.37) scrise

pentru planul xOy în care se înlocuieşte = - (rotire în sens

negativ)

xy

y

x

22

22

22

XY

Y

X

scscsc

sc2cs

sc2sc

. (11.12)

4. Tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de deformaţiile

specifice globale se obţin înlocuind (11.10) în (11.11) şi (11.11) în

(11.12), prin care se obţine

XY

Y

X

666261

262221

161211

XY

Y

X

CCC

CCC

CCC

, (11.13)

în care apare matricea de rigiditate a laminei în raport cu sistemul

global de coordonate, ale cărei elemente au expresiile (v. şi relaţiile

(11.6), (11.7), (11.8))

;sinCcossin)C2C(2cosCC 4

22

22

6612

4

1111

;sinCcossin)C2C(2sinCC 4

22

22

6612

4

1122

;)cos(sinCcossin)C4CC(C 44

12

22

66221112

;)cos(sinCcossin)C2C2CC(C 44

66

22

6612221166

;)cossin)C2CC(cossin)C2CC(C 3

662212

3

66121116

.)cossin)C2CC(cossin)C2CC(C 3

662212

3

66121126

Stratificat simetric. Un stratificat simetric se comportă ca o placă

anizotropă omogenă. Pentru solicitări în planul stratificatului,

valorile modulelor de elasticitate efective sunt egale cu mediile

aritmetice ale valorilor modulelor de elasticitate ale laminelor

261

constituente. Eforturile de membrană sunt decuplate de cele de

încovoiere.

Laminele fiind lipite între

ele, când sunt solicitate au

aceleaşi deplasări şi

deformaţii specifice, dar

având rigidităţi diferite,

tensiunile sunt diferite, ca în

figura 11.7.

Pentru determinarea stării

de tensiuni într-un stratificat simetric, de grosime h, solicitat în

planul său, se definesc tensiuni medii, prin relaţii de tipul

2h

2h

XYXY

2h

2h

YY

2h

2h

XX .dZh

1;dZ

h

1;dZ

h

1 (11.14)

Tensiunile se pot determina şi prin relaţiile matriceale

XY

Y

X2h

2h

XY

Y

X

666261

262221

1612112h

2h

XY

Y

X

XY

Y

X

]A[dZ

CCC

CCC

CCC

h

1dZ

h

1 ,(11.15)

unde [A] este matricea de rigiditate a stratificatului.

Primul element al matricei de rigiditate are expresia

2h

0

11

2h

2h

1111 dZCh

2dZC

h

1A . (11.16.a)

Deoarece pentru o lamină coeficienţii ijC sunt constanţi, integrala

(11.16.a) poate fi calculată printr-o sumă

i

ii

11

ii

i

1111h

h2C

h

2hC

h

2A . (11.16.b)

Matricea de rigiditate a unui stratificat simetric se poate calcula

adunând termenii corespunzători ai matricei de rigiditate pentru

fiecare lamină, înmulţiţi cu procentul volumic vi = 2hi/h, adică

i

i

i ]C[v]A[ . (11.17)

După ce s-a determinat matricea [A], ea poate fi inversată,

obţinând astfel matricea de flexibilitate a stratificatului [S] = [A]-1

.

Figura 11.7

262

Valorile modulelor de elasticitate pentru stratificat se pot calcula

cu relaţiile

11

12

YX

22

21

XY66XY

11

2

122211

Y

22

2

122211

X

A

A;

A

A;AG

;A

AAAE;

A

AAAE

. (11.18)

Pentru un calcul aproximativ, elementul A11 al matricei de

rigiditate se poate scrie

i

i

4

ix11 cosvEA , (11.19)

unde vi este procentul volumic al laminei cu fibrele înclinate cu

unghiul θi în stratificat.

Modulul de elasticitate longitudinal al stratificatului poate fi

aproximat cu relaţia

i

i

4

xiiX cosEvE , (11.20)

în care Exi este modulul de elasticitate al vi al laminei cu fibrele

înclinate cu unghiul θi în stratificat şi vi este procentul volumic al

laminei respective.

Dacă un stratificat simetric este solicitat la încovoiere,

deformaţiile specifice au o distribuţie lineară, iar tensiunile au o

variaţie nelineară cu salturi, datorită rigidităţilor diferite ale laminelor

componente, ca în figura 11.8.

Procedând similar ca

pentru solicitarea axială, se

determină termenii matricei de

rigiditate a stratificatului

pentru solicitarea de

încovoiere, care au forma

tot

i

i

i

1111I

ICD , (11.21)

în care Ii şi Itot sunt momentele de inerţie axiale ale laminei i,

respectiv ale stratificatului. Prin inversarea matricei [D] se obţine

Figura 11.8

263

matricea de flexibilitate a stratificatului şi apoi constantele elastice

echivalente ale stratificatului.

Concluzii

În prezent materialele compozite au largi utilizări în inginerie şi

interesul pentru folosirea lor este în expansiune. Din succinta

prezentare a acestei categorii de materiale rezultă că şi pentru

probleme relativ simple dificultăţile de calcul sunt considerabile,

acestea depăşind cadrul unui curs de rezistenţa materialelor.

Cadrul general al problematicii a fost prezentat mai sus,

dezvoltări de nivel superior urmează să fie abordate la cursuri de

specialitate sau prin cercetări independente.

Bibliografie

1. Gibson, R.F., Principles of Composite Material Mechanics,

McGraw-Hill Inc., New York, 1994.

2. Hinton, E., Owen, D.R.J., Finite Element Software for Plates

and Shells, Pineridge Press, Swansea, 1984.

3. Radeş, M., Rezistenţa meterialelor, vol I, Editura Printech,

Bucureşti, 2004.

4. Ştefănescu, F., Neagu, G., Mihai, Al., Materialele viitorului se

fabrică azi. Materiale compozite, Editura Didactică şi Pedagogică

R.A., Bucureşti, 1996.

5. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

6. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

264

12.

DURABILITATEA, FIABILITATEA,

OBOSEALA,

INTEGRITATEA ŞI CEDAREA PIESELOR

ŞI STRUCTURILOR

Primii constructori şi utilizatori de maşini au observat - pe la

mijlocul secolului al 19-lea - că diverse dispozitive, instalaţii, maşini,

structuri mecanice sau componente ale acestora, care rezistau foarte

bine un interval de timp foarte lung (practic indefinit), la solicitări

statice (constante în timp), cedau, se deteriorau sau se rupeau după

un timp relativ scurt de funcţionare, dacă solicitările erau variabile

în timp şi dacă se îndeplineau anumite condiţii. Explicaţia dată atunci

acestei comportări a structurilor mecanice a fost că materialul

„oboseşte” şi în timp îşi schimbă caracteristicile mecanice de

rezistenţă.

În prezent se ştie că mecanismele de cedare şi rupere a diverselor

structuri, realizate din diferite materiale, sunt foarte complexe şi

diferă fundamental pentru cazul solicitărilor statice faţă de cele

variabile. Ca urmare a acestei situaţii, s-au elaborat concepte,

principii, metode de cercetare experimentală şi de calcul specifice

analizei la solicitări variabile sau la oboseală, care au în vedere

comportarea în timp a structurii.

Ruperea sau cedarea prin oboseală este un ansamblu de

fenomene complexe, cunoscute şi elucidate în mare măsură, dar care

mai prezintă unele aspecte neclare sau controversate. Oboseala este

puternic localizată, adică se produce în zonele cu tensiuni şi

deformaţii mari ale pieselor sau structurilor. O prezentare simplă, de

principiu, a ruperii prin oboseală se poate reduce la următoarele

(pentru detalii se vor consulta lucrări de specialitate ca, de exemplu,

[1,…, 5]:

265

- oboseala este o acumulare a deteriorărilor, sau o rupere

progresivă, adică structura respectivă se “rupe câte puţin” la fiecare

variaţie a solicitării;

- pentru ca ruperea să aibă loc prin oboseală, trebuie îndeplinite

simultan o serie de condiţii, dintre care esenţiale sunt: solicitarea să

fie variabilă, să se producă tensiuni de tracţiune (de întindere, cel

puţin într-o etapă a variaţiei solicitării) şi deformaţii plastice (cel

puţin la vârfurile fisurilor);

- amorsarea fenomenelor de oboseală se produce, de regulă, pe

suprafaţa structurii (sau piesei), care este zona „slabă” a acesteia;

- comportarea la oboseală a unei structuri este influenţată de o

multitudine de factori, dintre care cei mai importanţi sunt: materialul,

granulaţia, anizotropia şi neomogenitatea sa, solicitarea şi modul de

variaţie a ei în timp (inclusiv variaţii ale temperaturii), tehnologiile

de fabricaţie (sudare, aşchiere, forjare, tratamente termice şi

termochimice, deformări plastice la rece etc), dimensiunile,

concentratorii de tensiuni, starea suprafeţelor, condiţiile de

exploatare şi de mediu, temperatura, existenţa unor defecte ale

materialului (incluziuni, fisuri, goluri etc), producerea unor

suprasolicitări de scurtă durată, existenţa unor stări de tensiuni

remanente etc.

Dificultăţile analizelor la oboseală provin din următoarele surse:

- complexitatea fenomenelor fizice implicate şi corelaţiile

multiple dintre ele;

- multitudinea factorilor de influenţă şi posibilităţi limitate de

evaluare cantitativă, numerică a acestora;

- determinările experimentale necesare cunoaşterii comportării la

oboseală, în diverse condiţii, ale structurilor şi materialelor sunt

laborioase, dificile şi costisitoare;

- datele de intrare pentru analizele la oboseală fiind afectate de

incertitudini, uneori este necesar ca abordările să se facă folosind

conceptele şi mijloacele statisticii matematice şi ale calculului

probabilistic, ceea ce presupune eforturi suplimentare în elaborarea

modelelor de calcul şi a procedurilor de analiză. Acest aspect este

foarte clar evidenţiat de dispersia mare a rezultatelor încercărilor la

oboseală;

266

- incertitudinile privind oboseala structurilor sunt, în general:

fundamentale, care provin din complexitatea fenomenelor de

oboseală, de modelare, care îşi au sursa în simplificările aduse

realităţii şi în aproximaţiile privind valorile parametrilor care intervin

în calcul şi statistice, legate de dispersia rezultatelor. Principalele

surse de incertitudini sunt: încărcarea, caracteristicile materialului,

geometria structurii, metodele şi modelele de calcul (care includ

modelările şi analizele cu elemente finite);

- în practica inginerească fenomenele de oboseală apar ca efecte

ale unor solicitări dinamice complexe, ca: vibraţii, şocuri repetate,

variaţii ale temperaturii, sarcini care se aplică structurii cu o anumită

viteză de variaţie sau secvenţe repetitive având diverse componente

dinamice şi statice.

În concluzie, pentru a modela şi analiza corect o problemă de

oboseală, trebuie, în prealabil, determinate secvenţele solicitărilor

variabile care pot produce – sau nu – deteriorarea structurii prin

oboseală.

Pentru modelările şi analizele la oboseală, studierea condiţiilor

de apariţie a fisurilor şi a evoluţiei acestora, este mai clară şi mai

eficientă dacă se asociază cu conceptele şi mijloacele de investigaţie

ale mecanicii ruperilor. În acest fel se poate urmări evoluţia

fisurilor în timp şi se poate estima momentul când acestea pot pune

în pericol integritatea structurii. Acest demers se justifică prin

aceea că toate structurile reale au defecte, amorse de fisuri sau chiar

fisuri.

12.1. Definiţii, ipoteze, concepte, principii, legi

- Obiectivele calculului la oboseală. Pentru un ansamblu de

solicitări cunoscute, variabile în timp, aplicate unei structuri (sau

piese) definită complet (ca dimensiuni, formă, material, tehnologie,

condiţii de exploatare etc) analiza la oboseală poate aborda şi rezolva

următoarele probleme mai importante:

a. Determinarea valorii coeficientului de siguranţă la

durabilitate nelimitată, adică pentru funcţionare sigură un interval

de timp nedefinit.

b. Estimarea probabilităţii de cedare a structurii, adică a

funcţionării sigure a structurii un anumit interval de timp, cu o

267

probabilitate determinată, constituie o variantă a tipului precedent de

analiză.

c. Determinarea duratei de viaţă, a durabilităţii sau a

intervalului de timp în care structura va funcţiona sigur, adică pentru

care coeficientul de siguranţă are garantată valoarea prescrisă. Se

face distincţie între durabilităţi limitate „mari” şi „mici”.

d. Determinarea rezistenţei la deteriorare controlată (fail-

safe), constă în evaluarea prin calcul şi supraveghere directă a

siguranţei în funcţionare, la un moment dat, a unei structuri care are

un defect cunoscut, de exemplu, o fisură. Se monitorizează evoluţia

în timp a defectului (sau a defectelor) respectiv cu scopul de a şti, în

fiecare moment, dacă structura mai poate sau nu funcţiona în

siguranţă.

Această abordare a problemei siguranţei în exploatare a

structurilor a dus la introducerea conceptului de toleranţă la

deteriorare, care este proprietatea unei structuri cu fisuri sau alte

defecte, de a-şi păstra rolul funcţional, sigur, un interval de timp

prestabilit (de exemplu, până la eliminarea defectului).

În prezent, această metodă beneficiază de cele mai noi realizări

ale sistemelor electronice de măsurare şi telemăsurare, integrate în

sisteme de calcul şi este tot mai mult folosită pentru supravegherea

structurilor de importanţă deosebită ca: agregate energetice nucleare,

vehicule pentru zboruri spaţiale, rachete, submarine, echipamente de

proces pentru industria chimică, poduri etc.

- Tipuri de solicitări variabile. Solicitările variabile evoluează

într-o foarte mare varietate de tipuri, forme şi parametri, cu un

anumit specific pentru fiecare tip de maşină, instalaţie, dispozitiv sau

element component al acestora. Pentru a face posibilă studierea şi

elaborarea algoritmilor, relaţiilor de calcul, modelelor etc, pentru

efectuarea unor analize la oboseală, se consideră următoarele

categorii de solicitări variabile:

a. Solicitările variabile ciclice staţionare reprezintă variaţii

ale unui parametru al solicitării, de exemplu, tensiunea normală

ζ, între aceleaşi limite, ζmax şi ζmin, constante în timp, modul de

variaţie repetându-se, un interval de timp nedeterminat, ca în figura

12.1. Variaţia tensiunii de la o valoare oarecare până la aceeaşi

268

valoare şi cu acelaşi sens de variaţie, se numeşte ciclu de solicitare

variabilă.

Figura 12.1

Pentru o solicitare staţionară ciclurile se reproduc un interval de

tip nedefinit.

Solicitările ciclice staţionare sunt într-o mare măsură teoretice,

deoarece se întâlnesc în realitate relativ rar. Mai frecvent, se

aproximează prin astfel de cicluri unele solicitări variabile, care se

apropie de acestea.

Mărimile care se definesc pentru un ciclu de solicitări variabile

sunt: tensiunea maximă ζmax, tensiunea minimă ζmin, tensiunea medie

ζm = (ζmax + ζmin) / 2, variaţia tensiunii Δζ = ζmax - ζmin,

amplitudinea tensiunii ζa = Δζ / 2 = (ζmax - ζmin) / 2, coeficientul de

asimetrie R = ζmin / ζmax, caracteristica ciclului k = ζa / ζm = (1 – R)

/ (1 + R). Se observă că ζmax = ζm + ζa şi ζmin = ζm - ζa. Observaţie: Aceleaşi mărimi pot fi definite în funcţie de tensiunea , când este

cazul.

În funcţie de valorile pe care le pot avea mărimile definite mai

sus, ciclurile au următoarele denumiri:

- ciclu alternant – tensiunea îşi schimbă semnul, adică ζmax şi

ζmin au semne diferite (R<0) ;

- ciclu oscilant - tensiunea nu îşi schimbă semnul, adică ζmax şi

ζmin au acelaşi semn (R>0) ;

- ciclu alternant simetric – tensiunea ζm = 0, şi ζmax = - ζmin

(R = -1);

- ciclu pulsant sau pulsator – una dintre valorile extreme ale

tensiunii are valoarea zero, adică fie ζmax = 0, fie ζmin = 0. Dacă

ciclul este de întindere, R = 0, iar dacă este de compresiune R = - ∞.

Este benefic pentru înţelegerea unor aspecte practice şi teoretice

ale problemelor de oboseală să se interpreteze un ciclu oarecare ca o

suprapunere a două solicitări: una cu un ciclu alternant simetric, cu

269

amplitudinea ζa şi una statică, cu intensitatea ζm. Se spune că ciclul

alternant simetric reprezintă partea variabilă, iar solicitarea statică,

partea constantă a solicitării.

Practica modelării şi analizei la oboseală a demonstrat că

frecvenţa ciclurilor de solicitări variabile influenţează într-o foarte

mică măsură comportarea structurilor. Din acest motiv, toate

demersurile au în vedere numărul ciclurilor n şi nu frecvenţa sau

timpul. Se pot avea în vedere, dacă este cazul, următoarele aspecte,

privind frecvenţa ciclurilor:

- dacă frecvenţa este între 1 şi 100 Hz, influenţa este

neglijabilă, la temperatura „camerei”;

- dacă frecvenţa este sub 1 Hz, influenţa este nefavorabilă, dar

foarte mică;

- la frecvenţe peste 100 Hz, influenţa este uşor favorabilă.

Influenţa frecvenţei poate deveni semnificativă dacă solicitarea

se produce în condiţii de coroziune sau fluaj.

b. Grupuri de cicluri cu amplitudine constantă, care se repetă de

un anumit număr de ori, formând blocuri sau secvenţe de solicitări

variabile, ca în figura 12.2. Pentru blocul din figura 12.2, grupurile

au respectiv: n1 cicluri cu amplitudinea tensiunii ζa1, n2 cu ζa2 şi n3 cu

ζa3 .

Figura 12.2

Ciclurile din figura 12.2 sunt alternant simetrice. Uneori, diversele

grupuri de cicluri de solicitări variabile pot fie compuse din cicluri

nesimetrice, care au tensiunea medie nenulă şi cu valori ζm şi ζa

diferite pentru fiecare grup, ca în figura 12.3. În acest caz, se

determină, pentru fiecare grup i, amplitudinea ζasi a ciclurilor

alternant simetrice “echivalente” (care produc aceleaşi deteriorări în

structură), cu relaţia [3]:

270

,)/1/( rmiaiasi (12.1)

în care s-au notat: amplitudinea ζai şi tensiunea medie ζmi pentru

grupurile cu ni cicluri nesimetrice, iar cu ζr rezistenţa la rupere

(ultimate strength) a materialului la întindere statică.

Figura 12.3

Deoarece deteriorările produse de ciclurile nesimetrice sunt mici,

blocului de cicluri considerat trebuie să i se adauge un ciclu alternant

simetric care are amplitudinea egală cu valoarea cea mai mare a

tensiunii maxime ζmax a ciclurilor care compun blocul respectiv.

În lucrarea [1] se face precizarea că ciclurile care au tensiunea

medie nenulă, prezintă un interes practic deosebit. c. Solicitări întâmplătoare sau aleatoare nestaţionare, care se

produc între limite variabile şi după legi oarecare. Aceasta este

situaţia reală a solicitărilor în exploatare a majorităţii maşinilor şi

instalaţiilor. Pentru a se putea, în aceste condiţii, să se elaboreze

metode şi modele de calcul, se fac înregistrări, pentru diverse

categorii de maşini şi instalaţii, în condiţii reale de funcţionare, ale

unor mărimi care pot oferi informaţii pentru calcule: tensiuni,

deplasări, forţe, acceleraţii, viteze, deformaţii, temperaturi, frecvenţe

etc.

Prelucrarea înregistrărilor obţinute este laborioasă, are mai multe

etape şi urmăreşte, unul sau mai multe dintre următoarele obiective:

- identificarea şi separarea solicitării de bază (de exploatare),

de cea perturbatoare, care de obicei reprezintă vibraţii aleatoare, de

intensitate relativ mică, în comparaţie cu solicitarea de bază, ceea ce,

frecvent, justifică neglijarea efectului lor. Separarea se face prin

271

„filtrarea” vibraţiilor şi este relativ uşor de făcut dacă cele două

solicitări sunt independente statistic;

- determinarea şi „numărarea” unor secvenţe de solicitare sau

evenimente (event) ale solicitării, care se repetă, denumite şi

solicitări aleator ordonate.

Figura 12.4

Acestea se consideră cicluri neregulate şi pot avea orice formă,

ca în figura 12.4;

- elaborarea istoriei încărcării (loading history), care constă în

precizarea evenimentelor sau blocurilor de solicitare, succesiunea

şi numărul lor.

Figura 12.5

În figura 12.5 se prezintă un exemplu, în care s-au definit

evenimentele 1, 2, 3 şi frecvenţele (numărul) lor n1, n2, n3 ;

- numărarea ciclurilor, care constă în descompunerea şi

reasamblarea în cicluri a variaţiei solicitării şi definirea, cu acestea,

a unor grupuri şi blocuri de solicitări variabile şi stabilirea numărului

acestora.

- Curba de durabilitate la oboseală. Pentru a cunoaşte cum se

„comportă” la oboseală un material, se fac încercări pe maşini

speciale, cu cicluri de amplitudine ζa şi coeficient de asimetrie R

constant, pe epruvete netede (lustruite, fără concentrator). Cele mai

frecvente sunt încercările cu cicluri alternant simetrice, pentru care:

ζm = 0, R = -1 şi ζa = Δζ / 2 = ζmax . Încercările se fac pe loturi de

272

mai multe epruvete identice (minimum 10), cu amplitudine (ζa sau

ζmax), diferită pentru fiecare epruvetă şi se determină N - numărul de

cicluri la care epruveta a cedat (s-a rupt).

Perechile de valori ζa - N se reprezintă prin puncte într-un sistem

de coordonate. De obicei, tensiunea se reprezintă în ordonată, la

scară naturală şi durabilitatea sau numărul de cicluri, în abscisă, la

a b

Figura 12.6

scară logaritmică, ca în figura 12.6. Prin (sau printre) punctele

respective se defineşte o curbă, denumită curba de durabilitate,

curba S – N, σ - N sau curba lui Wöhler.

- Limita la oboseală. Curbele de durabilitate ale diferitelor

materiale au următoarele forme:

- curbe care au o limită inferioară (un palier orizontal) pentru

tensiuni, ca în figura 12.6.a, denumită limită de oboseală sau

rezistenţă la oboseală care se notează cu ζR. Această limită apare

pentru durabilităţi N* ≥ 2*106 cicluri, la oţeluri cu rezistenţă mică,

încercate în medii necorosive;

- curbe cu alura continuu descrescătoare, care nu au palier

pentru tensiuni, ca în figura 12.6.b. În acest caz se defineşte o limită

de oboseală convenţională, care este valoarea amplitudinii tensiunii

corespunzătoare unei anumite durabilităţi, de exemplu, N = 2*107 sau

108 cicluri. Acesta este cazul celor mai multe metale şi aliaje şi

pentru toate materialele, când solicitarea are loc în medii corosive.

- Rezistenţa la durabilitate limitată. Pe orice curbă de

durabilitate se poate determina ζN, rezistenţa la durabilitate

limitată, care este valoarea ζmax a tensiunii maxime a ciclurilor de

273

solicitări variabile, care poate fi suportată pentru o durabilitate de N

cicluri. Cu cât ζmax creşte, durabilitatea scade, dependenţa fiind

puternic nelineară. În prezent, din considerente economice,

proiectarea şi calculul structurilor la durabilităţi din ce în ce mai mici

prezintă un interes deosebit. Sunt situaţii când se au în vedere

durabilităţi doar de câteva cicluri, cum este cazul rachetelor balistice

sau al pneurilor trenurilor de aterizare ale avioanelor supersonice.

Deoarece s-a constatat că mecanismele de producere a ruperilor

prin oboseală sunt foarte diferite pentru durabilităţi limitate mari

comparativ cu cele mici, acestea se analizează distinct. Convenţional,

se consideră că durabilitatea sau „durata de viaţă” este: lungă - pentru

N cuprins între 106 şi 10

7 sau mai mult; medie – pentru N între 10

4 şi

105; scurtă – pentru N între 10

2 şi 10

3 sau mai puţin.

- Durabilitatea sau durata de viaţă de tranziţie. Pentru a

evidenţia unele aspecte ale fenomenelor de oboseală, importante din

punct de vedere practic, este utilă studierea dependenţei tensiune -

deformaţie, pentru un ciclu de solicitări variabile.

Figura 12.7 Figura 12.8

Un astfel de ciclu se prezintă în figura 12.7, în care se remarcă

fenomenul de histerezis, care permite separarea componentelor

deformaţiei totale Δε: elastică Δεe şi plastică Δεp (Δε = Δεe + Δεp). În

funcţie de amplitudinile acestor trei deformaţii, în figura 12.8 se dau

curbele de durabilitate ε – log(2Nf), în care 2Nf este numărul de

“inversiuni” până la rupere (inversiunea este modificarea sensului de

variaţie a tensiunii sau deformaţiei în timpul solicitării variabile).

Din analiza figurii 12.8 rezultă că cele două curbe de durabilitate

trasate pentru deformaţia elastică Δεe şi pentru cea plastică Δεp se

intersectează într-un punct (în care Δεe = Δεp) a cărui abscisă

274

corespunde unui număr de cicluri Nt, corespunzător durabilităţii sau

duratei de viaţă de tranziţie. Nt depinde de material şi are valori

cuprinse între 103 şi 10

5 cicluri, pentru materiale de înaltă rezistenţă

şi de 106 cicluri, pentru materialele cu rezistenţă redusă.

- Durabilitate mare şi mică. Durabilitatea de tranziţie Nt permite

definirea a două domenii de durabilitate:

- pentru N > Nt - domeniul durabilităţilor mari;

- pentru N < Nt - domeniul durabilităţilor mici.

Durabilităţile mari presupun că tensiunile au valori relativ mici,

astfel încât curgerile locale sunt neînsemnate sau lipsesc. În această

situaţie oboseala poate fi studiată numai pe baza tensiunilor. În

domeniul durabilităţilor mici, tensiunile au valori mari, astfel încât

efectele curgerilor sunt determinante. În acest caz modelarea şi

analiza fenomenelor de oboseală trebuie făcută în funcţie de

deformaţii. Pentru durabilităţi mici trebuie avut în vedere faptul că

dependenţa tensiune – număr de cicluri este puternic nelineară, deci

este posibil ca pentru variaţii relativ mici ale tensiunilor să aibă loc

variaţii apreciabile ale durabilităţii. De asemenea, în acest caz

efectele incertitudinilor pot fi mai mari.

- Diagrame de durabilitate sau ale ciclurilor limită. Pentru a

putea oferi proiectanţilor metodologii

şi relaţii de calcul la oboseală, se elaborează, pentru diverse

materiale şi condiţii de solicitare

(întindere, încovoiere, răsucire, solicitări compuse etc) „sinteze” ale

rezultatelor încercărilor la oboseală sub forma unor diagrame.

Diagramele de durabilitate se trasează folosind rezultatele oferite

de diagramele tensiune – durabilitate obţinute pentru un anumit

material, prin serii de încercări cu coeficienţi de asimetrie în

intervalul de valori –1 ≤ R < 1. Fiecare epruvetă este supusă unor

cicluri de solicitare cu aceeaşi amplitudine, până la realizarea unui

număr prestabilit de cicluri (de exemplu 106), sau până la fisurarea,

cedarea sau ruperea epruvetei. Mărimea de control este, de regulă,

tensiunea din zona calibrată, de secţiune minimă, a epruvetei.

Încercările se execută pe seturi de epruvete cu aceeaşi formă şi

dimensiuni, realizate în condiţii bine definite (cuantificate numeric),

pentru programul de încercare propus.

275

Cele mai utilizate

diagrame sunt: Smith - trasată

în coordonate ζm, ζmax , ζmin şi

Haigh – în coordonate ζm, ζa.

În figura 12.9 sunt

reprezentate aceste două

diagrame şi corespondenţele

dintre ele. Este sugestivă şi

diagrama spaţială din figura

12.10, care în plane paralele

cu planul ζm, ζa defineşte

diagrame de tip Haigh, iar

plane paralele cu planul N, ζa,

curbe de durabilitate.

De asemenea, se mai

folosesc diagrame de

durabilitate în coordonate ζmax

- R sau ζa – k.

Pentru a reduce numărul

de încercări, sau pentru că nu

există informaţii, frecvent se

folosesc diagrame

schematizate, care au

neajunsul că duc la rezultate

acoperitoare, adică se „pierde” o bună parte a capacităţii de rezistenţă

la oboseală a materialului.

Figura 12.10

Figura 12.9

276

Pentru fiecare tip de diagramă de durabilitate se folosesc mai

multe variante de schematizare (simplificare), în funcţie de diverse

condiţii: material, solicitare etc, pentru fiecare stabilindu-se relaţii de

calcul pentru coeficienţii de siguranţă sau durata de viaţă a piesei sau

structurii care se modelează şi se analizează la solicitări variabile.

12.2. Consideraţii fundamentale pentru proiectare

Pentru proiectarea sigură şi economică a structurilor supuse unor

solicitări variabile trebuie avute în vedere cel puţin următoarele

considerente:

a. Influenţa solicitărilor variabile în procesul de oboseală este

determinată de amplitudinea şi numărul variaţiilor solicitării pe

durata de viaţă a piesei sau structurii. Pentru solicitări date,

particularităţile constructive şi de execuţie ale structurii se manifestă

prin valorile locale ale amplitudinii tensiunii, determinate de

geometria acesteia, precum şi de calitatea suprafeţelor, defectelor etc.

b. Indicatorii care pot defini performanţele şi fiabilitatea

structurii sunt, de regulă: raportul dintre capacitatea de încărcare sub

solicitări variabile şi greutatea proprie, durata de funcţionare fără

reparaţii, adaptabilitatea la monitorizare activă, costul remedierilor

sau reparaţiilor etc.

c. Pentru domenii specifice (utilaje energetice, motoare cu ardere

internă, vehicule, avioane etc), trebuie avute în vedere condiţii

tehnice şi economice bine precizate, ca de exemplu:

- Proiectare pentru durată de viaţă nelimitată (peste 106 cicluri).

Se folosesc valori ale tensiunilor admisibile la oboseală, obţinute

prin împărţirea limitei la oboseală a materialului cu un coeficient de

siguranţă. La elaborarea proiectului trebuie găsite cele mai eficiente

soluţii pentru ca valoarea locală a tensiunilor să nu depăşească

rezistenţa admisibilă la oboseală. De regulă, se are în vedere

optimizarea formei, alegerea tehnologiilor, precizări şi restricţii ale

condiţiilor de exploatare etc. Este cazul, mai ales, al componentelor

(organelor de maşini) ale unor motoare, transmisii de forţă, sisteme

de rulare la vehicule de toate tipurile şi categoriile etc.

277

- Proiectare pentru durată de viaţă limitată (sub 106 cicluri),

când solicitările sunt intense (cu amplitudine mare). Se fac calcule de

verificare la oboseală pentru zonele cele mai solicitate ale structurii.

De regulă, se au în vedere amplitudinile maxime ale deformaţiilor

specifice şi / sau ale tensiunilor echivalente, care sunt comparate cu

valorile care se determină pe curba de durabilitate (de referinţă) a

materialului, corespunzătoare duratei de viaţă dorite. Pentru durate de

viaţă mai mici de 106 cicluri, pe curbele de durabilitate tensiunile au

variaţii mari în funcţie de numărul ciclurilor de solicitare, ceea ce

permite considerarea unor valori ale tensiunilor admisibile mai mari

decât în cazul durabilităţii nelimitate. Astfel de calcule se fac, de

exemplu, pentru cazane şi recipiente sub presiune, pentru poduri

rutiere şi de cale ferată, şasiuri de vehicule etc.

- Proiectare pentru deteriorare controlată. Se aplică pentru

structuri de mare complexitate cu fiabilitate determinată, pentru care

se admite că acestea au anumite defecte (fisuri) încă de la intrarea în

exploatare. Trebuie ca, pe perioada de viaţă normată, Nn, evoluţia

proceselor de fisurare să fie controlată, astfel încât nici o fisură să nu

atingă lungimea critică, care să pună în pericol siguranţa în

funcţionare şi / sau integritatea structurii. Modelul de calcul şi

analiza au în vedere valoarea iniţială a defectului şi corelarea lui cu

geometria structurii, tehnologia de execuţie, solicitările şi condiţiile

de exploatare. Se determină numărul, Nc, al ciclurilor de solicitare

pentru care defectul, avut în vedere, creşte până la dimensiunea

critică, pentru care se produce cedarea sau ruperea structurii.

Coeficientul de siguranţă va avea valoarea c = Nc / Nn. Această

procedură se aplică, de exemplu, pentru: structuri de aviaţie,

reactoare, cazane de abur, schimbătoare de căldură sau recipiente

puternic solicitate, rotoare de turbine, platforme de foraj etc.

12.3. Calculul obişnuit la solicitări variabile

Pentru componentele şi organele maşinilor şi instalaţiilor se face

un calcul de verificare la solicitări (simple sau compuse) variabile

staţionare, de regulă, pentru durabilitate nelimitată. Este cazul

arborilor drepţi şi cotiţi, roţilor dinţate, cuplajelor, arcurilor, tijelor,

bolţurilor etc. Aceste calcule se fac pornind de la diagrama de

278

durabilitate sau a ciclurilor limită a materialului, pentru care se

elaborează o diagramă schematizată, simplificată, pe baza căreia se

stabilesc relaţii de calcul pentru coeficientul de siguranţă, ca raportul

dintre rezistenţa la oboseală a materialului (tensiunea maximă a

ciclului limită) şi tensiunea maximă a ciclului de solicitări variabile

din piesă.

Dificultăţile majore care apar în aceste situaţii sunt legate de

evaluarea numerică a influenţelor numeroşilor factori care

determină comportarea piesei la oboseală. Diagramele ciclurilor

limită sunt „ale materialului” adică au fost obţinute prin încercări pe

epruvete netede (fără concentrator), cu suprafaţa lustruită şi pentru o

anumită dimensiune, standard, de regulă 10 mm.

Determinarea valorii coeficientului de siguranţă la solicitări

variabile, pentru piesa considerată, presupune ca piesa şi epruveta să

fie „comparabile”, în ceea ce priveşte comportarea la oboseală. În

acest scop rezistenţa la oboseală a materialului se „corectează” cu

diverşi factori, care ţin seama de particularităţile piesei: tipul

concentratorilor, dimensiunile, calitatea suprafeţelor etc. Relaţiile de

calcul sunt, în final, relativ simple, dificile fiind demersurile de

determinare ale valorilor factorilor de corecţie. Acestea se caută în

tabele, se determină grafic în diagrame sau nomograme, se

calculează cu formule empirice etc. Din aceste motive, în programe,

de regulă, nu sunt implementate proceduri pentru astfel de calcule, ci

altele, mai generale, aplicabile unor structuri complexe, modelate cu

elemente finite sau după alte proceduri.

12.4. Calculul la solicitări variabile reale

Structurile de rezistenţă ale dispozitivelor, maşinilor, instalaţiilor

etc sunt solicitate, de regulă, în exploatare, cu sarcini care au variaţii

întâmplătoare, aleatoare. Pentru determinarea duratei de viaţă în

aceste condiţii s-au elaborat două metode de calcul: a cumulării

deteriorărilor şi a rezistenţei în exploatare.

Majoritatea programelor de calcul, utilizate în construcţia de

maşini, conţin module de analiză la oboseală bazate pe metoda

cumulării deteriorărilor, care se va prezenta în cele ce urmează.

279

- Cumularea deteriorărilor. Deteriorarea unei structuri este o

modificare fizică a acesteia, detectabilă printr-un procedeu oarecare,

care îi „alterează” comportarea estimată. De exemplu, reducerea

secţiunii unei piese sau apariţia unor fisuri. Dacă o fisură se

consideră drept criteriu pentru definirea deteriorării, acesteia i se

poate asocia un parametru cantitativ, de exemplu, lungimea.

Lungimea fisurii corespunzătoare cedării, scoaterii din uz sau ruperii

structurii se numeşte lungimea critică a acesteia. Raportul dintre

lungimea fisurii la un moment dat şi lungimea sa critică, se

consideră, de obicei, o măsură a deteriorării structurii. În consecinţă,

o solicitare care nu produce propagarea (creşterea lungimii) fisurii nu

deteriorează structura. Acest criteriu poate fi acceptat pentru

durabilităţi mici, pentru care stadiul iniţierii fisurii este scurt,

comparativ cu cel al propagării.

Pentru durabilităţi mari (N > 105 cicluri) mai mult de 90 % din

durata de viaţă este „consumată” de iniţierea şi transformarea

microfisurilor într-o fisură detectabilă. În aceste condiţii, pentru

solicitări cu amplitudine constantă, se face ipoteza că fiecare ciclu

contribuie în mod egal la deteriorarea care „progresează” până la

rupere. Dacă durabilitatea unei structuri, pentru o solicitare dată, este

de N cicluri, aportul unui ciclu la deteriorarea care produce cedarea

este 1/N, iar un număr de n cicluri produce deteriorarea D = n / N,

ruperea prin oboseală producându-se când n = N, sau D = 1.

- Criteriul Palmgren – Miner. Calculul deteriorării pentru

solicitări variabile formate din cicluri cu amplitudini diferite se face

pe baza adoptării unor criterii, dintre care cel mai utilizat este

criteriul Palmgren – Miner, de cumulare lineară a deteriorărilor

(Miner’s rule). Criteriul face ipoteza că într-o solicitare cu

amplitudini variabile, ciclurile cu o anumită amplitudine, produc

aceleaşi deteriorări, indiferent de succesiunea acestora, adică nu

există influenţe între ciclurile cu parametri diferiţi.

De exemplu, pentru o structură solicitată de blocul de cicluri din

figura 12.2, format din trei grupuri (secvenţe) de cicluri cu

amplitudine constantă, deteriorarea produsă se calculează cu relaţia

D = n1 / N1 + n2 / N2 + n3 / N3 = Σ (ni / Ni), (12.2)

280

în care: Ni este numărul de cicluri la care structura cedează, dacă

este solicitată cu amplitudinea ζai şi ni este numărul de cicluri care

solicită efectiv structura cu amplitudinea ζai (figura 12.11).

Structura cedează când

D = Σ (ni / Ni) = 1. (12.3)

O secvenţă de

solicitare realizată din n1

cicluri de amplitudine ζa1,

n2 cicluri de amplitudine

ζa2, . . . , nk cicluri de

amplitudine ζak, produce

deteriorarea

k

1i

ii N/n*D . (12.4)

Numărul de secvenţe

N suportate de structură

până la rupere, se determină din condiţia N D* = 1, din care rezultă

N = 1 / D*. (12.5)

Rezultă că, pentru calculul duratei de viaţă a structurilor cu

relaţiile (12.4) şi (12.5) trebuie cunoscute:

- numărul de cicluri n1, n2,. . . , nk pentru fiecare amplitudine

ζa1, ζa2, . . . , ζak, care se determină pe baza „istoricului” secvenţei,

obţinut prin măsurări în condiţii de exploatare, pe structura analizată,

sau în alt mod;

- numărul de cicluri până la rupere N1, N2, ... , Nk, pentru

încercarea la oboseală cu amplitudine constantă, corespunzătoare

amplitudinilor ζa1, ζa2, . . . , ζak, deduse pe baza curbei S – N a

durabilităţii la oboseală.

Pentru oţelurile care au limită la oboseală, ca în figura 12.6.a,

ciclurile cu amplitudinea sub aceasta, adică cu ζa < ζR , nu se iau în

considerare.

Criteriul Palmgren – Miner are dezavantajul că linearizează un

fenomen nelinear, dar datorită simplităţii, este criteriul cel mai

utilizat. Determinările experimentale au evidenţiat neconcordanţe

între duratele de viaţă prezise pe baza acestui criteriu şi cele obţinute

prin încercări, dar ordinul de mărime al celor două valori este acelaşi.

Figura 12.11

281

- Numărarea ciclurilor. Pentru determinarea duratei de viaţă a

structurilor pe baza metodei cumulării deteriorărilor, este necesară

cunoaşterea ciclurilor componente ale solicitării, care, în cazul cel

mai general, are o variaţie oarecare. Pentru aceasta, s-au adaptat

metode specifice teoriei semnalelor, care, nu iau în considerare

variabila timp ci au în vedere numai amplitudinea şi configuraţia

secvenţei semnalului.

- Metoda picăturii. S-au elaborat mai multe metodologii de

numărare a ciclurilor, cea mai utilizată fiind metoda picăturii de

ploaie (rain - flow), propusă de Matsuishi şi Endo, deoarece conduce

la rezultate confirmate experimental.

Pentru determinarea ciclurilor de solicitare pentru o secvenţă

dată, se presupune că un ciclu este format din mulţimea valorilor prin

care trece tensiunea între două extreme, o dată în sens crescător şi o

dată în sens descrescător. Diferenţa valorilor extreme ζmax,i - ζmin,i =

ζri (ecartul de tensiune) defineşte treapta de solicitare care se repetă

de ni ori în cadrul secvenţei considerate. Treptele de solicitare se

împart în clase. Pentru două clase consecutive, diferenţa ζri – Δζri-1 =

δ este o constantă, stabilită iniţial. Treapta de solicitare s-a notat ζr.

Toate ciclurile care satisfac condiţia ζri-1 < ζr ≤ ζri aparţin clasei i.

Se prezintă metoda picăturii de numărare a ciclurilor, pentru

secvenţa de solicitare din figura 12.12.

Figura 12.12 Figura 12.13

Constituirea ciclurilor se obţine prin parcurgerea tuturor ramurilor

graficului de variaţie a tensiunii în timp – o singură dată.

Se fac următoarele operaţii:

a. Se numerotează vârfurile de tensiune, pe graficul secvenţei

considerate, în ordinea în care apar (fig. 12.12);

282

b. Se alege ca origine

a graficului, cel mai mare

extrem pozitiv; partea de

grafic cuprinsă între

momentul iniţial şi

extremul considerat se va

plasa în continuarea

ultimului punct marcat al

graficului, ca în figura

12.13;

c. Graficul se aşează

cu axa timpului verticală,

ca în figura 12.14 şi se

asimilează cu profilul

unui acoperiş în trepte. Un

semiciclu de solicitare este

compus din porţiunile

„udate” de o picătură de

ploaie care porneşte dintr-

un vârf al graficului şi

ajunge fie pe sol, fie într-

un punct în care întâlneşte

o ramură udată de o picătură anterioară. Se începe din punctul

corespunzător celui mai mare extrem pozitiv şi se parcurg toate

ramurile, o singură dată.

În figura 12.14 se prezintă secvenţa din figura 12.13, pe care s-

au trasat cu linie întreruptă traseele picăturilor de ploaie care

definesc semiciclurile. S-au notat cu aceeaşi cifră romană cele două

picături ataşate aceluiaşi ciclu, menţinându-se numerotarea din figura

12.13.

În tabelul 12.1 se dau treptele de solicitare ζri ale ciclurilor

identificate.

d. Se grupează ciclurile pe clase de solicitare, obţinându-se

frecvenţa ni de apariţie a treptei ζri; rezultatele se dau în tabelul 12.2.

Curba durabilităţilor la oboseală, obţinută pentru încercări cu

cicluri de amplitudine constantă, permite determinarea numărului

de cicluri Ni până la rupere, corespunzătoare ecartului de tensiune

Figura 12.14

283

ζri. Dacă se notează cu N* numărul de cicluri considerat ca bază a

încercării (v. fig. 12.6.a) şi cu ζ*, ecartul de tensiune corespunzător,

curba durabilităţilor la oboseală poate fi aproximată, pentru ζr ≥ ζ*,

de ecuaţia

.const*)(*NN mm

r , (12.5)

în care exponentul m şi ecartul ζ* se determină experimental.

Tabelul 12.1

Numărul traseului

din figura 12.14

Treapta de solicitare

ζri a ciclului [N/mm2]

I 80

II 10

III 80

IV 20

V 40

VI 20

Tabelul 12.2

Clasa

Treapta de

solicitare, ζri

[N/mm2]

Frecvenţa

ciclurilor

ni

1 10 1

2 20 2

4 40 1

8 80 2

Pentru solicitări cu amplitudine constantă, sub limita de

oboseală, pentru care ζr < ζ*, numărul de cicluri până la rupere este

infinit, adică ciclurile respective nu produc deteriorări în structură.

Ciclurile cu ecart ζr > ζ* produc amorsarea microfisurilor în

materialul structurii şi efectul lor nu poate fi neglijat. În acest caz,

pentru considerarea deteriorărilor produse de cicluri cu amplitudinea

sub rezistenţa la oboseală, curba durabilităţilor în zona ζr < ζ* se

aproximează prin ecuaţia

.const*)(*NN 2m2m

r (12.6)

284

În coordonate logaritmice, ecuaţiile (12.5) şi (12.6) reprezintă

drepte cu pantele –1/m, respectiv –1/(m + 2), ca în figura 12.15.

Figura 12.15

Pentru construcţii sudate, de exemplu, la care frecvent

comportarea la oboseală este determinată de suduri, pentru calculul

duratei de viaţă a podurilor, în standardul britanic [6], se recomandă

valorile m şi ζ* din tabelul 12.3, în funcţie de tipul îmbinării sudate

şi de o anumită probabilitate de rupere avută în vedere, pentru

N* = 107 cicluri.

Tabelul 12.3

Descrierea îmbinării

m

ζ*, [MPa]

Probabilitatea ruperii [%]

50 31 16 2.3 0.14

Suduri longitudinale cap

la cap sau de colţ,

continue

4

124

117

111

100

90

Suduri longitudinale,

discontinue

3.5 102 96 89 78 68

Suduri transversale cap

la cap

3 74 68 63 53 45

Suduri transversale cap

la cap sau în cruce

3 69 63 57 47 39

Suduri longitudinale sau

transversale în T sau de

colţ, intermitente

3

50

46

42

35

29

Suduri de colţ, în cruce

sau laterale

3 39 36 34 29 26

285

Din relaţiile (12.5) şi (12.6) rezultă:

- pentru ζri ≥ ζ*, Ni = N*( ζ* / ζri)m;

- pentru ζri ≤ ζ*, Ni = N*( ζ* / ζri)m+2

.

Valorile Ni astfel calculate permit determinarea deteriorării D*

produse de o secvenţă de solicitare dată (relaţia (12.3)) şi numărul N

de secvenţe, care pot duce la ruperea prin oboseală (relaţia (12.4)). Tabelul 12.3

Bibliografie

1. Dieter, E.G.Jr., Metalurgie mecanică, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1970.

2. Madayag, A.F., Metal Fatigue: Theory and Design, John

Wiley & Sons, New York, 1969.

3. Pană, T., Pastramă, Şt.D., Integritatea structurilor metalice,

Editura Fair Partners, Bucureşti, 2000.

4. Rusu, O., Teodorescu, M., Laşcu-Simion, N., Oboseala

metalelor - Baze de calcul, vol. 1, Editura Tehnică, Bucureşti, 1992.

5. Rusu, O., Teodorescu, M., Oboseala metalelor – Aplicaţii

inginereşti, vol. 2, Editura Tehnică, Bucureşti, 1992.

6.*** BS 5400, Part 10, 1980, Steel, Concrete and Composite

Bridges. Code of Practice for Fatigue, British Standard.

7.*** ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III,

Division 1, Subsection NB, Edition 1983.

8.*** ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III,

Division 1, Appendices, Edition 1989.