aplicatii.pdf
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
1/151
Prefat, a
Lucrarea de fat, a s, i propune sa ofere student, ilor dinuniversitat, ile tehnice un ghid privind elementele de baza ale
aplicat, iilor cursului de Fiabilitate. Prin cont, inutul sau pronunt, ataplicativ, cursul permite prezentarea metodelor matematice fo-losite frecvent n domeniul analizelor probabilistice de risc s, iperformabilitate ale infrastructurilor de producere, transport s, idistribut, ie a energiei.
Fiecare capitol al lucrarii cont, ine att aplicat, ii rezolvatect s, iaplicat, ii propuse, care reiau principalele tipuri de probleme prac-tice ale temei abordate.
Referitor la bibliografie, aceasta cont, ine att surse istorice, lu-
crari utile pentru demonstrt, ii, ct s, i puncte de plecare spre noimetode.Autorul este recunoscator colegilor ingineri sau matemati-
cieni pentru orice sugestie de natura conferirii unui plus deadaptare la specificul pregatirii viitorilor ingineri din domeniulinfrastructurilor critice, cu precadere cel al energiei.
Bucures, ti, Iunie2010
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
2/151
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
3/151
Cuprins
Cuprins 7
Lista figurilor 11
Lista tabelelor 14
1 Evenimente,probabilitat, i s, i distribut, ii 15Aplicat, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1 Operat, ii cu evenimente aleatoare . . . . . . . . 151.2 Distribut, ii discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3 Distribut, ia exponent, iala . . . . . . . . . . . . . . 441.4 Distribut, ia uniforma. . . . . . . . . . . . . . . . . 451.5 Distribut, ia normala . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6 Distribut, ia lognormala . . . . . . . . . . . . . . . 53Aplicat, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 Estimari statistice 63Aplicat, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Aplicat, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Fiabilitate s, i mentenant, a 71Aplicat, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Aplicat, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Analiza sistemelor 81
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
4/151
8 CUPRINS
Aplicat, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1 Diagrame logice s, i de decizie binara . . . . . . . 81
4.2 Taieturi s, i trasee minimale . . . . . . . . . . . . . 1124.3 Arbori de evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Arbori de defect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5 Graful starilor,procese markoviene. . . . . . . 1274.6 Indicatori de performabilitate . . . . . . . . . . 130Aplicat, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Bibliografie 153
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
5/151
Principalele notat, ii
Abrevieri
AdD Arbore de defectAdE Arbore de evenimenteCkn Combinari den luate ctek
Ckn =n!/(k!(n k)!)MUT timpul mediu de buna funct, ionareMDT timpul mediu de reparareMTTF timpul mediu de funct, ionare pna la primul defect
MTTR timpul mediu de nlaturare al primului defectMTBF timpul mediu ntre doua defecte consecutiveSAIFI System Average Interruption Frequency Index -
frecvent, a as, teptata de ntrerupere la nivel sistem ;SAIDI System Average Interruption Duration Index -
durata as, teptata de ntrerupere la nivel sistem -CAIDI Customer Average Interruption Duration Index -
durata as, teptata de ntrerupere la nivel consumator
Notat, ii
F funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare (v.a.)f funct, ia densitate de probabilitate a unei v.a.R(t) funct, ia de fiabilitate la momentul de timptA(t) funct, ia de disponibilitate la momentul de timp tM(t) funct, ia de mentenabilitate la momentul de timptQ, PTOP probabilitatea evenimentuluiTOP(t) intensitatea de defectare la momentul de timpt(t) intensitatea de reparare la momentul de timptT durata de viat, a a unui sistem (componenta)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
6/151
10 CUPRINS
durata misiunii unui sistem (componente) funct, ia de structura a unui sistem
Ki ai-a taietura minimala a unui sistemTi ali-lea traseu minimal al unui sistemx vectorul de stare al componentelor unui sistem
cun componente,x= (x1, x2, . . . , xn)min(A) minimul valorilor din mult, imea Amax(A) maximul valorilor din mult, imea AE[X] valoarea medie (as, teptata) a v.a.X[X] abaterea standard a v.a.XEx p[] distribut, ia exponent, iala de parametru
N[, ] distribut, ia normala de parametriis, iLogLN[a, b] distribut, ia lognormala de parametriia s, ib reuniune de doua evenimente intersect, ie de doua evenimente operat, ia logica S,I operat, ia logicaS AU operat, ia logicaSAU EXCLUSIV
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
7/151
Lista figurilor
1.1 Reprezentarea operat, iilor cu evenimente (dia-
grama Venn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Ret,ea bayesiana pentru 3 evenimente . . . . . . . . 181.3 Reprezentare prin diagrama Venn . . . . . . . . . . 191.4 Ret,ea bayesiana pentru 3 evenimente . . . . . . . . 221.5 Reprezentare prin diagrama Venn . . . . . . . . . . 231.6 Definit, ia s, i densitat, ile de probabilitate ale v.a. X s, i Y 471.7 Probabilitatea de ntlnire ca funct, ie de momentult 491.8 Probabilitatea condit, ionata . . . . . . . . . . . . . . 501.9 Cele doua v.a.X,Ys, i trei cazuri analizate. . . . . . 52
1.10 Intensitatea de reparare . . . . . . . . . . . . . . . . 541.11 Intensitatea de reparare - reprezentare n coordo-
nate logaritmice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.12 Calculul grafic al probabilitat, ii . . . . . . . . . . . . 59
2.1 Densitateaaprioride probabilitate a v.a. p . . . . . . 642.2 Densitateaaposterioride probabilitate a v.a. p . . . . 652.3 Densitateaaprioride probabilitate a v.a. p . . . . . . 662.4 Densitateaaposterioride probabilitate a v.a. p . . . . 66
3.1 Diagrama Venn pentru forma normala disjuncta aevenimentului E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Diagrama Venn pentru forma normala disjuncta aevenimentului F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
8/151
12 LISTA FIGURILOR
3.3 Diagrama Venn pentru forma normala disjuncta aevenimentului G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Ret,ea electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Sistemul electric analizat . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 Schema de calcul (pasul2). Sursele de energie fic-
tive de la nivelul barelor B3, respectiv B4 au indi-catorii calculat, i la nivelul acestor bare . . . . . . . . 104
4.4 Schema de calcul - cazulx7 =0 . . . . . . . . . . . . 1054.5 Modelarea succesului (nod 1), respectiv insuccesu-
lui (nod 0) n punctul de racord R1 printr-o Dia-
grama de Decizie Binara - cazulx7 =0 . . . . . . . 1054.6 Schema de calcul - cazulx7 =1 . . . . . . . . . . . . 1064.7 Modelarea succesului (nod 1), respectiv insuccesu-
lui (nod 0) n punctul de racord R1 printr-o Dia-grama de Decizie Binara - cazulx7 =1 . . . . . . . 107
4.8 Modelarea succesului (nod 1), respectiv insuccesu-lui (nod 0) n punctul de racord R2 printr-o Dia-grama de Decizie Binara- cazulx4=1 . . . . . . . . 110
4.9 Modelarea succesului (nod 1), respectiv a insucce-
sului (nod 0) n punctul de racord R2 printr-o Dia-grama de Decizie Binara - cazulx4 =0 . . . . . . . 1104.10 Sistemul electric analizat . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.11 Arborele de evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.12 Determinarea disponibilitat, ii sistemului de securi-
tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.13 Probabilitatea de aparit, ie a evenimentului TOP. . . 1244.14 Sistemul de detectare a scaparilor de gaze. . . . . . 1254.15 Arbore de defect pentru sistemul de detectare a
scaparilor de gaze -1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.16 Arbore de defect pentru sistemul de detectare a
scaparilor de gaze -2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.17 Sistemul radial de distribut, ie a energiei electrice . . 1304.18 Diagrama de succes a sistemului . . . . . . . . . . . 138
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
9/151
LISTA FIGURILOR 13
4.19 Sistem echivalent pentru calculul aproximativ alprobabilitat, ii de succes . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.20 Diagrama de succes a sistemului . . . . . . . . . . . 1404.21 Diagrama de succes a sistemului . . . . . . . . . . . 1404.22 Ret,ea electrica (varianta 1) . . . . . . . . . . . . . . . 1444.23 Ret,ea electrica (varianta 2) . . . . . . . . . . . . . . . 1454.24 Sistemul electric analizat (varianta 1). . . . . . . . . 1454.25 Sistemul electric analizat (varianta 2). . . . . . . . . 1464.26 Graful starilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
10/151
Lista tabelelor
1.1 Valorile funct, iei de repartit, ie binomiale F(n, q)
pentruq =0, 001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Tabela de adevar pentru evenimentulE . . . . . . . 743.2 Tabela de adevar pentru evenimentul F . . . . . . . 753.3 Tabela de adevar pentru evenimentulG . . . . . . . 75
4.1 Tabela de adevar pentru evenimentulSUCCES. . . 834.2 Tabela de adevar pentru evenimentele S3, S4, res-
pectivSUCCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Datele de intrare pentru calculul indicatorilor la ni-
velul bareiB3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4 Calculul frecvent, ei as, teptate de ntrerupere punct
de racord R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5 Calculul frecvent, ei as, teptate de ntrerupere punct
de racord R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.6 Indicatorii de fiabilitate pentru componentele sis-
temului radial de distribut, ie din figura 4.17. . . . . 131
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
11/151
1Evenimente,probabilitat, is, i distribut, ii
Aplicat, ii rezolvate
1.1 Operat, ii cu evenimente aleatoare
1. FieA,Bs, iCtrei evenimente aleatoare. Propunet, i o forma sim-plificata pentru urmatoarele evenimente :
1)(A B) (A C);2)(A B) (A C);3)(A B) (A B);4)(A B) (A C).Solut, ie.1) Se noteaza cu NXnumarul de cazuri favorabile evenimen-tuluiX. Avem urmatoarele relat, ii :
NA
B = NA
B
C+NA
B
C (1.1)
NAC =NABC+NABC (1.2)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
12/151
16 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Fig. 1.1 Reprezentarea operat, iilor cu evenimente (diagramaVenn)
Rezulta :
N(AB)(AC) = NABC+NABC+NABC (1.3)
2) Similar,(A B) (A C) = A (B C) = A (A B C).3) Avem A B= A (A B), respectivA B= A (A B).Fie evenimentul imposibil, respectiv E evenimentul sigur
E= .Avem relat, iile : A A = , A = A, A E = ErespectivA = .Rezulta :(A (A B)) (A (A B)) = (A B) (A B)4) Avem(A B) (A C) = (A (A B)) (A C).Rezulta :(A (A B)) (A C) = (A C) (A B).
2. Exprimat, i evenimentele urmatoare cu ajutorul evenimentelorA, B, C s, i a operat, iilor de reuniune, intersect, ie, respectiv com-
plementaritate :1) Cele trei evenimente A, B s, i C sunt realizate ;2) A s, i B sunt realizate, dar nu s, i C ;3) A s, i C sunt realizate, dar nu s, i B ;4) B este realizat, dar nici unul din celelalte doua ;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
13/151
1.1. OPERAT,II CU EVENIMENTE ALEATOARE 17
5) A este realizat s, i cel put, in unul din celelalte doua eveni-mente;
6) Cel put, in unul din cele trei evenimente este realizat ;7) Exact unul dintre evenimente este realizat ;8) Cel mult unul dintre evenimente este realizat.Solut, ie.
A B C (1.4)
A B C (1.5)
A B C (1.6)
A B C (1.7)
A (B C) (1.8)
(A B C) (1.9)
(A B C) (B A C) (C A B) (1.10)
(A B) (B C) (A C) (1.11)3. Fie p probabilitatea de realizare a oricaruia din evenimen-
tele A, B sau C, considerate trei evenimente independente.Exprimat, i probabilitat, ile de mai sus.Raspuns.1)P(A B C) = p3 ;2)P(A B C) = p2(1 p) ;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
14/151
18 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
3)P(A B C) = p2(1 p) ;4)P(A B C) = p(1 p)2 ;5)P(A (B C)) = p(2p p2) ;6)P(A B C) =1 (1 p)3 = p3 3p2 +3p ;7) P((A B C) (B A C) (C A B)) =3p(1 p)2 ;8)P((A B) (B C) (A C)) =2p3 3p2 +1.
4. Fie 3 evenimente aleatoare A, B, C. A reprezinta "Diferent, adepas, ita de temperatura superioara / inferioara carcasa tur-bina ", B reprezinta "Temperatura neadecvata ulei ungerelagare turbina". EvenimenteleAs, iBsunt independente.C re-prezinta evenimentul "Vibrat, ii depas, ite turbina".Daca As, i Bsunt aparute, atunci probabilitatea aparit, iei luiCeste 0, 6 - respectivP(C|A B) =0, 6.DacaAeste aparut, darBnu este aparut, atunci probabilitateaaparit, iei luiCeste 0, 2 - respectivP(C|A B) =0,2, aceeas, i ncazulAnu este realizat,Beste realizat, respectivP(C| A B) =0,2.Daca att Act s, iBnu sunt realizate, atunci se considera caCnu poate apare, respectivP(C
|A
B) =0.
Dependent,a ntre Cs, i evenimentele As, i Beste prezentata nfigurile1.2s, i1.3.
Fig. 1.2 Ret, ea bayesiana pentru3evenimente
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
15/151
1.1. OPERAT,II CU EVENIMENTE ALEATOARE 19
Fig. 1.3 Reprezentare prin diagrama Venn
Sa se calculeze, n ipoteza probabilitat, ii aparit, iei evenimentu-lui Ade 0, 1 respectiv a probabilitat, ii aparit, iei evenimentul B
de 0,2 :a) probabilitatea aparit, iei evenimentuluiC ;b) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul Bsa fie aparut?c) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul Asa fie aparut?d) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caatt evenimentulAct s, iB sa fie aparute?
Solut, ie.
a) T,innd seama de relat, ia logica ntre evenimentele A, Bs, iCreprezentata n figura 1.3,rezulta
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
16/151
20 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
P(C) = P(A B) P(C|A B) +P(
A B) P(C|
A B) ++ P(A B) P(C|A B)
P(C) =0, 1 0, 2 0, 6+0, 9 0, 2 0, 2+0, 1 0, 8 0, 2=0, 064
b) Avem relat, ia
P(B
|C) =P(B
C)/P(C) =P(B)P(C
|B)/P(C)
n condit, iile n care B este realizat, atunci C se poate realizampreuna cu Asau fara a se fi realizat A:
P(C|B) =P(A) P(C|A B) +P( A) P(C| A B)
Numeric, se obt, ine :
P(C|B) =0, 1 0, 6+0, 9 0, 2=0, 24
RezultaP(B|C) =0, 2 0,24/0,064=0, 75
c) AvemP(A|C) =P(A C)/P(C) =P(A)P(C|A)/P(C)n condit, iile n care Aeste realizat, atunci C se poate realizampreuna cu Bsau fara a se fi realizat B:
P(C|A) =P(B) P(C|A B) +P(B) P(C|B A)
Numeric, se obt, ine :P(C|A) =0, 2 0, 6+0, 8 0, 2=0, 28
RezultaP(A|C) =0, 1 0,28/0,064=0,4375
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
17/151
1.1. OPERAT,II CU EVENIMENTE ALEATOARE 21
d) Avem relat, ia
P(A B|C) =P(A B C)/P(C) =P(A B)P(C|A B)/P(C)unde :
P(A B) =0, 1 0, 2=0, 02
P(C|A B) =0, 6
P(C) =0, 064
Rezulta
P(A B|C) =0, 02 0,6/0,064=0,1875
Remarca.
Prin enunt,avemP(C|A B) =0. ReciprocP(A B|C) =0.Cum A B= A B, rezulta n acest caz P(A B|C) =1.Se verifica as, adar pe baza rezultatelor obt, inute, relat, iaP(A|C) +P(B|C) P(A B|C) =1.
5. Fie 3 evenimente aleatoareA,B,C.Areprezinta "Presiune scazuta ulei ungere lagare turbina",Breprezinta "Temperatura neadecvata ulei ungere lagare tur-
bina". EvenimenteleAs, iB sunt dependente.
Daca evenimentul Beste aparut, atunci evenimentul Aaparecu o probabilitate egala cu 0, 15 iar daca evenimentulBnu esteaparut, atunci evenimentulAapare cu o probabilitate egala cu0,05.Creprezinta evenimentul "Vibrat, ii depas, ite turbina".
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
18/151
22 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Daca A s, i B sunt aparute, atunci probabilitatea aparit, iei lui Ceste 0, 5 respectivP(C|A B) =0, 5.Daca A este aparut, dar B nu este aparut, atunci probabilitateaaparit, iei lui C este 0, 2 - respectivP(C|A B) =0, 2 - aceeas, i ncazul A nu este realizat, B este realizat, respectiv P(C|A B) =0,2.Daca att A ct s, i B nu sunt realizate, atunciP(C|A B) =0, 1.Dependent,a ntre C s, i evenimentele As, i Beste prezentata nfigurile1.4s, i1.5.
Fig. 1.4 Ret, ea bayesiana pentru3evenimente
n ipoteza probabilitat, ii aparit, iei evenimentului A egala cu0, 1 sa se exprime :a) probabilitatea aparit, iei evenimentului C ;b) daca evenimentul A nu a aparut, care este probabilitatea caevenimentul B sa fie aparut?c) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul B sa fie aparut?d) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea ca
evenimentul A sa fie aparut?e) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea ca attevenimentul A, ct s, i B sa fie aparute?f) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul A sa fie aparut, dar B sa nu fie aparut?
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
19/151
1.1. OPERAT,II CU EVENIMENTE ALEATOARE 23
g) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul B sa nu fie aparut, dar A sa fie aparut?
h) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul B sa nu fie aparut, iar A sa nu fie aparut?
Solut, ie.
Fig. 1.5 Reprezentare prin diagrama Venn
a) T,innd seama de relat, ia logica ntre evenimentele A, B s, i Creprezentata n figura 1.5,rezulta
P(C) = P(A B) P(C|A B) +P( A B) P(C| A B) ++ P(A B) P(C|A B) +P( A B) P(C| A B)
Evenimentul Ase poate realiza fie mpreuna cu evenimentulB, fie mpreuna cu evenimentul B, rezulta :
P(A) =P(B)P(A|B) +P(B)P(A|B)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
20/151
24 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Pentru datele din enunt,avem :
P(B) = (P(A) P(A|B))/(P(A|B) P(A|
B)) =
= (0, 1 0,05)/(0,15 0,05) =0, 5
Avem relat, ia
P(B|A) =P(B)P(A|B)/P(A)
unde :P(A) =0, 1 ;P(A
|B) =0, 15 ;P(B) =0, 5.
Rezulta :
P(B|A) =0, 5 0,15/0,1=0, 75Similar, avem
P(B|A) =P(B)P(A|B)/P(A)
unde :
P(A) =0, 1 ;P(A|B) =0, 05 ;P(B) =0, 5.Rezulta :
P(B|A) =0, 5 0,05/0,1=0, 25Rezulta P(C) =0, 175b) Avem relat, ia
P(B| A) =P(B)P( A|B)/P(A)
unde :P(A) =0, 1 ;P(A|B) =0, 85 ;P(B) =0, 5.Rezulta :
P(B| A) =0, 5 0,85/0,9=0, 472222
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
21/151
1.1. OPERAT,II CU EVENIMENTE ALEATOARE 25
c) Avem relat, ia
P(B|C) =P(B C)/P(C) =P(B)P(C|B)/P(C)n condit, iile n care B este realizat, atunci C se poate realizampreuna cu A sau fara a se fi realizat A :
P(C|B) =P(A|B) P(C|A B) +P( A|B) P(C| A B)
Numeric, se obt, ine :
P(C|B) =0, 15 0, 5+0, 85 0, 2=0, 245
RezultaP(B|C) =0, 5 0,245/0,175=0, 7
d) Avem P(A|C) =P(A C)/P(C) =P(A)P(C|A)/P(C)n condit, iile n care A este realizat, atunci C se poate realizampreuna cu B sau fara a se fi realizat B :
P(C|A) =P(B|A) P(C|A B) +P(B|A) P(C|B A)
Numeric, se obt, ine :
P(C|A) =0, 75 0, 5+0, 25 0, 2=0, 425
Rezulta
P(A|C) =0, 1 0,425/0,175=0, 242857
e) Avem relat, ia
P(A B|C) = P(A B C)/P(C) == P(A B)P(C|A B)/P(C)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
22/151
26 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
unde :P(A B) =0, 1 0,75=0, 075 ;P(C|A B) =0, 5 ;P(C) =0,175.Rezulta
P(A B|C) =0, 075 0,5/0,175=0, 214286
f) Avem relat, ia
P(A B|C) = P(A B C)/P(C) == P(A B)P(C|A B)/P(C)
Numeric, se obt, ine :
P(A B) =P(B)P(A|B) =0, 5 0,05=0, 025
Rezulta
P(A B|C) =0, 025 0,2/0,175=0.028571g) Avem relat, ia
P( A B|C) = P( A B C)/P(C) == P( A B)P(C| A B)/P(C)
Numeric, se obt, ine :
P(A B) =P(A)P(B| A) =0, 9 0,472222=0,425
Rezulta
P(A B|C) =0, 425 0,2/0,175=0, 485714
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
23/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 27
h) Avem relat, ia
P( A B|C) = P( A B C)/P(C) == P( A B)P(C| A B)/P(C)
Numeric, se obt, ine :
P(A B) =P(B)P( A|B) =0, 5 0,95=0, 475
Rezulta
P(A B|C) =0, 475 0,1/0,175=0, 271429
Remarca. n relat, ie directa cu figura 1.5 s, i cu rezultateleobt, inute, se verifica relat, iile :
P(A B|C) +P(A B|C) =P(A|C)P(A B|C) +P(B A|C) =P(B|C)P(A
|C) +P(B
|C)
P(A
B
|C) +P( A
B
|C) =1
1.2 Distribut, ii discrete
6. O banca are L=1000 de client, i, fiecare cu un depozit de 1000de lei. Probabilitatea ca un client sa-s, i retraga cei1000lei ntr-ozi este deq=0, 001. Care este nivelul minim de lichiditate pecare banca trebuie sa-l aiba disponibil ntr-o zi oarecare pentru
a satisface cererile cotidiene de retragere ? Managementul ban-cii impune un nivel de 99, 9% de satisfact, ie a client, ilor. Altfelspus, 999 de client, i din 1000 sa aiba s, ansa de a avea un raspunspozitiv la cererea lor. Premiza : client, ii bancii au o viat, a linis, tita,nu se preocupa unul de celalalt s, i nu intra n panica.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
24/151
28 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Solut, ie.FieNnumarul de client, i care doresc sa-s, i retraga depozitul de
1000lei n aceeas, i zi. n premizele expuse n enunt, ,Nurmeazao distribut, ie binomiala Bin(L,p) de parametrii L = 1000 s, iq= 0, 001 :
P(N=0) = pL = (1 0,001)1000 =0, 367695
P(N=1) =C1Lq(1 q)L1 =0, 368063
.....
P(N=k) =CkLqk(1 q)Lk
.....
Fie Smin nivelul minim de lichiditate cerut n enunt, s, i fie S
suma dorita de catre client, i a fi retrasa ntr-o zi oarecare.Conform enunt,ului, dorim ca n 99,9% din cazuri sa avemacoperita suma dorita, respectivS < Smin :
P(S < Smin ) =0, 999
Pe de alta parte, fiecare client de acest tip ar dori sa retraga1000lei, deciS = N 1000.Avem :
P(N [Smin /1000]) =0, 001respectiv
P(N< [Smin /1000]) =0, 999
unde N Bin(L, q).
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
25/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 29
Tabel 1.1 Valorile funct, iei de repartit, ie binomiale F(n, q)pentru q=0, 001
n F(n, q) n F(n, q)0 0,367695 1 0,735758n F(n, q) n F(n, q)2 0,91979 3 0,981072n F(n, q) n F(n, q)4 0,9963619 5 0,9994107
Pentru un numar ntregn dat, fie :
F(n, q) =n1k=0
CkL(1 q)kqLk =Prob(N< n)
Se cauta valoarea lui n, astfel nct n este parte ntreaga dinF1(0,999, q =0, 001)plus 1. Dupa cum se observa n tabelul1.1, valoarea cautata a luin este 5.n concluzie, nivelul minim de lichiditate este Smin este 5000lei.
Observat, ie. n Mathematica urmatoarele linii calculeaza directvaloarea ceruta a cuantilei :
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
26/151
30 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
L =1000000 de client, i, iar nivelul de semnificat, ie ar scade la99%?
Solut, ie.BD3=BinomialDistribution[1000000,0.001] ;Nmin3=Quantile[BD3,0.99] ;Smin3=1074000lei.Remarca. Pentru valori mari ale lui Lse poate utiliza relat, ia :CkLp
k(1 p)Lk e k/k! pentru orice k 0, cu= L q.= L q=106 103 =103PD = PoissonDistribution[] ;Nmin4=Quantile[PD,0.99] ;
Smin4=1074000lei.
9. n fiecare an, independent de alt, i ani, un s, ofer are probabili-tatea pde a avea un accident (daca este un barbat), respectivqdaca este o femeie. O companie de asigurari are un numaregal de s, oferi asigurat, i barbat, i, respectiv femei. Un asigurateste ales aleator.
i) Care este probabilitatea ca acel asigurat sa fi avut un
accident ntr-un an ?ii) Aratat, i ca probabilitatea ca acest asigurat sa fi avut
doi ani consecutivi accident este(p2 +q2)/2 ;
iii) Din lista celor care au avut un accident n anul res-pectiv, se extrage aleator un nume. Care este proba-bilitatea ca acel asigurat sa fi avut un accident s, i ncel de-al doilea an?
iv) Care este probabilitatea ca un s, ofer care a avut n
accidente anuale consecutive sa fie barbat? Dar fe-meie?
Solut, ie.Compania de asigurari are un numar egal de asigurat, i femei/ barbat, i. n consecint, a, probabilitat, ile de a alege aleator un
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
27/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 31
barbat, respectiv o femeie din lista celor asigurat, i sunt egalentre ele s, i egale cu0,5adicaP(F) =P(B) =0, 5.
Din teorema probabilitat, ilor totale rezulta probabilitatea caasiguratul ales aleator sa fi avut un accident n anul respec-tiv :
P(A) =P(B) P(A|B) +P(F) P(A|F) =0, 5 (p+q) (1.12)
Fie A1evenimentul "asiguratul ales a avut un accident n pri-mul an", respectiv A2evenimentul "asiguratul respectiv a avut
un accident n al doilea an". Se dores, te evaluarea probabilitat, iiP(A1 A2).Conform teoremei probabilitat, ilor totale avem relat, ia :
P(A1 A2) =P(A1 A2|B) P(B) +P(A1 A2|F) P(F)(1.13)
undeP(A1 A2|B) =P(A1|B) P(A2|B) (1.14)
respectiv
P(A1 A2|F) =P(A1|F) P(A2|F) (1.15)
P(A1 A2) =0, 5 (p2 +q2) (1.16)n acest caz se dores, te evaluarea probabilitat, iiP(A2|A1).Avem :
P(A2|A1) =P(A1 A2)/P(A1) = (p2 +q2)/2 2/(p+q)(1.17)
Rezulta :P(A2|A1) = (p2 +q2)/(p+q) (1.18)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
28/151
32 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
10. ntr-o zi sunt planificate sa funct, ioneze n Sistemul EnergeticNat, ional un numar egal de hidrogeneratoare, respectiv turbo-
generatoare. n fiecare ora, independent de alte ore, probabili-tatea de a avea o avarie la un grup hidrogenerator este aceeas, iq1 =0,005 - respectiv aceleas, i premize pentru un grup turbo-generator, dar q2 = 0,01. La sfrs, itul unui zile, un grup esteales aleator din lista respectiva programata sa opereze n SEN.
i) Care este probabilitatea de a fi ales un grup care asuferit o avarie n respectiva zi ?
ii) Care este probabilitatea ca grupul ales sa aiba o ava-
rie n primele12 ore din ziua respectiva ?iii) Care este probabilitatea ca un grup care a avut o
avarie n ziua respectiva sa fie hidrogenerator ?
iv) Care este probabilitatea ca un grup care a avut oavarie n ziua respectiva sa fie turbogenerator ?
v) ntr-un minut oarecare, care este probabilitatea de aavea o avarie la un turbogenerator ?
vi) ntr-un minut oarecare, care este probabilitatea de aavea o avarie la un hidrogenerator ?
Solut, ie.
i) FieHevenimentul "grupul ales este hidrogenerator", respec-tiv Tevenimentul "grupul ales este turbogenerator". Evident,H s, i T sunt doua evenimente mutual exclusive (incompati-bile) : H T= .Fie Aevenimentul "grupul ales a suferit o avarie n respectivazi". Acest eveniment se poate realiza fie mpreuna cu H, fiempreuna cu T:
A= (A H) (A T)Evident, evenimenteleA Hs, i A Tsunt mutual exclusive.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
29/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 33
Aplicnd teorema probabilitat, ilor totale, rezulta :
P(A) =P(H) P(A|H) +P(T) P(A|T)Data fiind ipoteza unui numar egal de hidrogeneratoare / tur-bogeneratoare, avemP(H) =P(T) = p= 0, 5Pe de alta parte, probabilitatea ca ntr-o zi un hidrogeneratorsa funct, ioneze cu succes este data de relat, ia :
P(A|H) = (1 q1)24 =0, 886653
respectiv, disponibilitatea unei zile la nivelulul unui turboge-nerator este :
P(A|T) = (1 q2)24 =0, 785678
Rezulta :
P(A) = p ((1 P(A|H)) + (1 P(A|T)))
Numeric se obt, ine :
P(A) =0, 5 ((1 0,886653) + (1 0,785678)) =0,1638345ii) Probabilitatea ca n primele 12 ore un hidrogenerator safunct, ioneze cu succes este data de relat, ia :
P12(A|H) = (1 q1)12 =0, 941623
respectiv, disponibilitatea similara la nivelulul unui turboge-nerator este :
P12(A|T) = (1 q2)12 =0,886385
Rezulta :
P12(A) = p ((1 P12(A|H)) + (1 P12(A|T)))
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
30/151
34 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Numeric se obtine :
P12
(A) =0, 5
((1
0,941623) + (1
0,886385)) =0, 085996
iii) Probabilitatea ca un grup care a avut o avarie n ziua res-pectiva sa fie hidrogenerator este probabilitatea condit, ionataP(H|A).Aceasta se poate calcula cu relat, ia urmatoare ce deriva dinaplicarea teoremei intersect, iei s, i cea a probabilitat, ilor totale :
P(H|A) = P(A H)P(A)
=P(A|H) P(H)/P(A)
Numeric se obt, ine :
P(H|A) = (1 0,886653) 0,5/0,1638345=0,3459192iv) Probabilitatea ca un grup care a avut o avarie n ziua res-pectiva sa fie turbogenerator este probabilitatea condit, ionataP(T|A).Aceasta se poate calcula, de asemenea, cu relat, ia urmatoa-rea ce deriva din aplicarea teoremei intersect, iei s, i cea aprobabilitat, ilor totale :
P(T|A) = P(A T)P(A)
=P(A|T) P(T)/P(A)
respectiv :
P(T|A) = (1 0,785678) 0,5/0,1638345=0,6540808Se verifica relat, ia P(T
|A) + P(H
|A) = 1. Daca un grup este
avariat, atunci fie este turbogenerator, fie este hidrogenerator.v) La nivelul unui minut oarecare i =1, 2, . . . 60, fieBi eveni-mentul "funct, ionare cu succes a unui hidrogenerator", respec-tiv fie piprobabilitatea de funct, ionare cu succes a hidrogene-ratorului :
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
31/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 35
P(Bi) = pi
La nivelul unei ore, disponibilitatea unui astfel de hidrogene-rator se poate exprima sub forma unui S, I logic :
B=60
i=1
Bi
n premiza independent, ei evenimentelorBi, avem relat, ia :
1 q1 = p60iRezulta pi = (1 q1)1/60 =0,9951/60 =0, 999916Indisponibilitatea unui minut la nivelul unui hidrogeneratorrezulta
qHi =1 pi =8, 4 105
vi) La nivelul unui minut oarecare i =1, 2, . . . 60, fieCieveni-mentul "funct, ionare cu succes a unui turbogenerator", respec-
tiv fie ri probabilitatea de funct, ionare cu succes a turbogene-ratorului :
P(Ci) =ri
La nivelul unei ore, disponibilitatea unui astfel de turbogene-rator se poate exprima sub forma unui S, I logic :
C=60
i=1
Ci
n premiza independent, ei evenimentelorCi, avem relat, ia :
1 q2 =r60i
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
32/151
36 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Rezultari = (1 q2)1/60 =0, 991/60 =0, 999832Indisponibilitatea unui minut la nivelul unui turbogenerator
rezultaqTi=1 ri =1, 68 104
11. Fie doua grupuri Diesel de alimentare de securitate a servi-ciilor vitale clasa III dintr-o centrala nucleara. Fie1 probabi-litatea de succes la o solicitare de demarare a grupului Die-sel 1, respectiv 2 probabilitatea de succes la o solicitare dedemarare a grupului Diesel 2. Se considera valabila ipotezaindependent, ei : la orice solicitare de demarare, probabilitatea
de succes este aceeas, i, indiferent cte es, ecuri s-au nregistratapriori. FieXo variabila aleatoare discreta semnificnd numa-rul de solicitari ale grupului Diesel 1 pna la pornire (succes),respectivYo variabila aleatoare discreta semnificnd numarulde solicitari ale grupului Diesel 2 pna la pornire (succes) s, ifieZ=min{X, Y}.
i) Care este distribut, ia v.a.X?
ii) Care este distribut, ia v.a.Z ?
iii) Care este probabilitatea de a avea cel put, inun grupDiesel pornit cu succes de la prima solicitare?
iv) Care este probabilitatea a avea ambelegrupuri Dieselpornite cu succes de la prima solicitare ?
Raspuns.i) n premizele date, Xurmeaza o distribut, ie geometrica deparametru 1:
X= 1 2 . . . n . . .1 (1 1)1 ... (1 1)n11 . . .
Similar,Yurmeaza o distribut, ie geometrica de parametru2:
Y=
1 2 . . . n . . .2 (1 2)2 ... (1 2)n12 . . .
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
33/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 37
ii)Avem
P(Z=1) = P(X=1 Y=1) == P(X=1) +P(Y=1) P(X=1 Y=1) == 1+2 12
P(Z=2) = P((X=2 Y 2) (Y=2 X 2)) == P(X=2
Y
2) +P(Y=2
X
2)
P(X=2 Y=2) == (1 1)1(1 2) + (1 2)2(1 1) 12((1 1)(1 2) == (1 1)(1 2)(1+2 12)
Prin induct, ie matematica se obt, ine caZurmeaza o distribut, iegeometrica de parametru =1+2 12.
iii) Probabilitatea ceruta este P(Z = 1). Conform ii), avemP(Z= 1) =1+2 12.iv) Probabilitatea ceruta esteP(X=1 Y=1) =12.
12. Fie un supermarket care este vizitat ntr-o zi de n persoane.O persoana oarecare are probabilitatea p de a cumpara cevadin magazin, respectiv 1 p de a pleca fara a cumpara ni-mic. La sfrs, itul zilei, soft-ul este n imposibilitate de a furnizact, i client, i au trecut pe la casele de marcat. Fie Nnumarul declient, i care au cumparat cel put, in un produs din magazin s, i
deci au trecut pe la vreo casa de marcat.
a) Propunet, i o distribut, ie discreta pentru v.a.N;
b) Propunet, i o distribut, ie discreta aproximativa pentruv.a. N- n cazul unui numar mare de client, i ;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
34/151
38 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
c) Pentrup = 0, 9 s, in =70 calculat, i probabilitatea de aavea cel put, in 50 de client, i care sa s, i faca cumpara-
turi de la respectivul supermarket n ziua data.Solut, ie.a) Fiecare client are probabilitatea pde cumpara independentde decizia celorlalt, i client, i. Din acest motiv, N urmeaza odistribut, ie binomiala de parametriin s, i p: N Bin(n,p).b) n acest caz, distribut, ia binomiala poate fi aproximata prindistribut, ie Poisson de parametru = n p.c) Probabilitatea ceruta se poate exprima sub forma
P(N 50) =1 P(N 49) =1 49
i=0
i
i!e
Pentru =0, 9 70=63, se obt, ineP(N 50) =0,959584.13. Un punct material P se deplaseaza prin salturi succesive n
vrfurileA,B,Cs, i centrul de greutateGal unui triunghi echi-lateral. La momentul de timp t =0 el se gases, te n centrul degreutateG. Apoi sare - de o maniera echiprobabila - spre unuldintre vrfurile triunghiuluiA,B,C. n continuare sare echipro-babil la orice moment de timpt = n(n=1,2,...) spre oricare dincele trei puncte conexe n raport cu punctul unde se afla.
a) Calculat, i probabilitatea ca el sa revina pentru primadatala t = n n G ;
b) Calculat, i probabilitatea ca el sa revina nG.
Solut, ie.
a) Daca lat =0 punctul material se afla n centrul de greutateG, atunci la t = 1 poate fi - de o maniera echiprobabila ntr-unul din vrfurile triunghiului A, Bsau C (probabilitate 1/3).Deci, probabilitatea de revenire nG pentru prima dataare senspentrun 2.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
35/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 39
FieAkevenimentul "Previnepentru prima datanGla momen-tult = k".
Atunci, probabilitatea ceruta se poate exprima sub forma :
P(A1 A2 . . . An1 An) (1.19)
Pornind de la teorema intersect, iei, aceasta probabilitate sepoate scrie sub forma :
P(A1) P(A2|A1) P(An|A1 A2. . . An1) (1.20)
Lat =1, avemP(A1) =1 deoarecePse gases, te sigur ntr-unuldin vrfurile triunghiului, deci sigur nu n punctulG.Pe de alta parte, daca lat = k 1,Pse afla ntr-unul din vrfu-rile triunghiului, atunci sunt 2/3 s, anse sa eviteGla momentulurmator de timpt = k:
P(Ak|A1 A2. . . Ak1) =2/3
n consecint, a, avem :
P(Ak|A1 A2. . . Ak1) =1/3
Deci, probabilitatea ceruta este :
P(A1 A2 . . . An) =1 2/3 2/3 1/3 =1/3 (2/3)n2
b) Fie Bevenimentul "Punctul materialPrevine n G".
Evident, B se poate realiza daca A2 se realizeaza sau A3 serealizeaza sau ... Akse realizeaza ...
B=
k=2
Ak
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
36/151
40 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Evenimentele Aksunt doua cte doua incompatibile.
P(B) =
k=2
P(Ak) =1/3
k=2
(2/3)n2
Seria k=2(2/3)n2 se poate scrie sub forma 1/(1 2/3). Re-
zulta ca P(B) =1. Evenimentul Beste cert; punctul materialva reveni n G de o maniera sigura.
14. ntr-o centrala electrica, doua evenimente A s, i B pot aparealeator n aceeas, i zi dintr-o luna, independent unul de celalalt.Zilele n care pot apare evenimentele respective sunt nume-
rotate de la 1 la n 2. Oricare din cele doua evenimente demai sus ramne activ nca 2 zile de la ziua aparit, iei, dupa careeste resetat. Rezulta ca zilele n care putem avea ambele eveni-mente realizate (aparute sau active) sunt de la 1 la n.
a) Calculat, i probabilitatea de a avea cele doua eveni-mente aparute - n aceeas, i zi ;
b) Calculat, i probabilitatea de a avea cele doua eveni-mente aparute - cu o zi diferent, a ntre ele;
c) Calculat, i probabilitatea de a avea ambele eveni-mente aparute active - n cel put, in o zi.
Solut, ie.
a) Fie Akevenimentul "Aapare n ziua k", respectivBkeveni-mentul "Bapare n ziua k".FieEevenimentul "As, iBapar n aceeas, i zi" :
E=
n2k=1(A
k Bk)
Pentru orice k, (1 k n 2), evenimentele Ak Bk suntincompatibile doua cte doua, ntruct ele pot apare mpreunafie n prima ziua, fie n a doua zi, ..., fie n a (n 2)-a zi.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
37/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 41
Pe de alta parte, data fiind independent, a evenimentelor ndiscut, ie, avem :
P(Ak Bk) =P(Ak)P(Bk)Rezulta :
P(E) =n2k=1
P(Ak)P(Bk)
Daca se alege o distribut, ie echiprobabila (uniforma), avemP(Ak) = 1/(n 2), respectiv P(Bk) = 1/(n 2), cu k =1 , 2 , . . . n
2.
Rezulta :
P(E) =n2k=1
1/(n 2)2 = (n 2)/(n 2)2 =1/(n 2)
b) O zi diferent, a ntre aparit, ii implica faptul ca unul dintreurmatoarele evenimente realizate : Ak Bk+1, cu 1 k n 3,respectiv evenimentul A apare cu 1 zi naintea lui B sauBj Aj+1, cu 1 jn 3, respectiv evenimentul Bapare cu1 zi naintea lui A.
FieFevenimentul cautat :
F=
n3k=1
(Ak Bk+1)n3
j=1
(Bj Aj+1)
Evenimentele Ak Bk+1cu 1 k n 3 s, i Bj Aj+1 cu 1j
n
3 formeaza 2
(n
3)evenimentele incompatibile doua
cte doua, respectiv de la Aapare n prima zi s, i B apare n adoua zi, ..., pna la A apare n a (n 3)-a zi s, i Bapare n a(n 2)-a zi respectiv(n 3)situat, ii. Bapare n prima zi s, i Aapare n a doua zi, ..., pna la B apare n a (n 3)-a zi s, i Aapare n a(n 2)-a zi, respectiv(n 3)situat, ii.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
38/151
42 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
n total 2(n 3)cazuri.Rezulta :
P(F) =n3k=1
P(Ak Bk+1) +n3
j=1P(Bj Aj+1)
respectiv
P(F) = n 3(n 2)2 +
n 3(n 2)2 =
2(n 3)(n 2)2
c) FieG evenimentul "A s, i B apar la doua zile diferent, a" :
G=
n4k=1
(Ak Bk+2)n4
j=1
(Bj Aj+2)
Evenimentele Ak Bk+2cu 1 k n 4 s, i Bj Aj+2 cu 1j n 4 formeaza 2 (n 4)evenimentele incompatibile douacte doua, respectiv de la Aapare n prima zi s, i B apare n atreia zi, ..., pna la A apare n a (n
4)-a zi s, i B apare n a
(n 2)-a zi, respectiv (n 4) situat, ii. Bapare n prima zi s, iA apare n a treia zi, ..., pna la B apare n a (n 4)-a zi s, i Aapare n a(n 2)-a zi, respectiv(n 4)situat, ii.n total 2(n 4)cazuri.Rezulta :
P(G) =n4k=1
P(Ak Bk+2) +n4
j=1P(Bj Aj+2)
respectivP(G) =2(n 4)/(n 2)2
FieHevenimentul "A s, i B sunt active cel put, in o zi", respectivH=E F G.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
39/151
1.2. DISTRIBUT,II DISCRETE 43
n termen de probabilitat, i, avem :
P(H) =P(E) +P(F) +P(G)
Se obt, ine :
P(H) = (5n 16)/(n 2)2
15. O familie cu doi copii, avnd copilul cel mare baiat, este aleasaaleator. Care este probabilitatea de a fi o fata cel de-al doileacopil al acestei familii ?Solut, ie.
Fie pprobabilitatea ca un copil sa se nasca baiat, respectiv qprobabilitatea ca un copil sa se nasca fata. Se poate presupuneindependent, a acestor doua evenimente, respectiv indiferentct, i baiet, i sau cte fete sunt ntr-un es, antion dat, probabili-tatea ca urmatorul copil care se va nas, te sa fie baiat / fata esteaceeas, i / neschimbata, indiferent ct, i baiet, i / fete existau laacel moment n respectivul es, antion. De asemenea, se poatepresupune ca p=q = 0, 5.
Lista familiilor cu doi copii cuprinde combinat, iile : (B, B),(B,F), (F, B) s, i (F,F), unde prima litera se refera la primulcopil nascut n familie, respectiv a doua litera se refera la celde-al doilea copil nascut.Din aceasta lista au fost selectate ulterior n vederea extrageriialeatoare specificate n enunt, numai familiile cu(B, B),(B,F).Rezulta ca existauncaz favorabil dindoua, deci probabilitateaceruta este 1/2.
16. O familie cu doi copii, avnd cel put, in un baiat, este aleasa
aleator. Care este probabilitatea ca, n aceste condit, ii, aceastafamilie sa aiba o fata ?Solut, ie.
Ca s, i n enunt, ul de mai sus, lista familiilor cu doi copii cu-prinde combinat, iile :(B, B),(B,F),(F, B)s, i(F,F).
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
40/151
44 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Din aceasta lista au fost selectate ulterior n vedere extrageriialeatoare specificate n enunt, numai familiile avnd cel put, in
un baiat, respectiv(B, B),(B,F),(F, B).Rezulta ca exista douacazuri favorabile din trei, deci probabi-litatea ceruta este 2/3.
17. Probabilitatea de a avea un accident ntr-un minut oarecarentr-o sect, iune data a unei autostrazi este q =105. Care esteprobabilitatea P de a nu avea nici un accident ntr-un an nsect, iunea respectiva, n aceste condit, ii ?Solut, ie.
Probabilitatea de a nu avea nici un accident n sect, iunea data,ntr-un minut oarecare este p=1 q=0, 99999.ntr-un an sunt N=8760 60=525600 minute.Probabilitatea ceruta este
P= pN =0,99999525600 =5, 216 103
1.3 Distribut, ia exponent, iala
18. Pentru enunt, ul de mai sus, n ipoteza unei distribut, iiexponent, iale a v.a. T "durata ntre doua accidente conse-cutive n sect, iunea data a autostrazii" (variabila numita s, iinterval de recurent, a), sa se exprime :
a) Intensitateaa producerii unui accident ;
b) Calculat, i valoarea as, teptata a intervalului derecurent, a.
Solut, ie.a) n cazul distribut, iei exponent, iale T Ex p(), probabilita-tea de succes, respectiv t = 1 an fara nici un astfel de eve-niment rutier este :
R(t) =et
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
41/151
1.4. DISTRIBUT,IA UNIFORMA 45
ImpunndR(t) = pN
se obt, ine dupa logaritmare o intensitate exprimata nh1 :
= N/t ln(1/p) = 8760 608760
ln(1/0,99999) 6 104
b) Valoarea as, teptata a intervalului de recurent, a este mediavariabilei aleatoareT.
E[T] =
0 t f(t)dt =
0 t ()R(t)dtIntegrnd prin part, i, se obt, ine :
E[T] =
0R(t)dt =1/
Valoarea as, teptata este deciE[T] =1/=1666, 666 h, respec-tiv 69, 4 zile.
1.4 Distribut, ia uniforma
19. Problema ntlnirii. Domnul X are un rendez-vous cuDoamna Y azi ntre orele 17 s, i 18. Fiecare dintre ei se de-cide de a nu l as, tepta pe celalalt mai mult de t =10 minute,nici unul nu cunoas, te momentul de timp la care celalalt vaajunge. Se presupune ca fiecare dintre ei soses, te independentunul de celalalt s, i ca avem o distribut, ie uniforma a timpului
la care se ajunge la rendez-vous.a) Determinat, i probabilitatea unei ntlniri ;
b) DoamnaYajunge la momentul de timp t ntre orele17s, i 18. Care este probabilitatea ca sa l ntlneascape Domnul X?
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
42/151
46 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
c) Sosind la momentul de timpt, DoamnaYnu gases, tepe nimeni. Care este probabilitatea de a-l ntlni pe
DomnulXn aceste condit, ii ?Solut, ie.
a) Fie Xo v.a. continua reprezentnd timpul scurs de la ora17 : 00 pna la sosirea DomnuluiXla locul de rendez-vous. FieYo v.a. continua reprezentnd timpul scurs de la ora 17 : 00pna la sosirea Doamnei Yn acelas, i loc. Cele doua v.a. X s, iYsunt independente. Xpoate sa ia valori n intervalul [0, 1].Astfel, X = 0 daca soses, te la ora 17 : 00, respectiv X = 1
daca soses, te la ora 18 : 00. Mai mult, Xurmeaza o distribut, ieuniforma X Unif (0, 1). Cu alte cuvinte, apriori nu existanici o preferint, a n alegerea momentului de sosire a DomnuluiX, toate valorile fiind la fel de probabile. Similar, Y = 0 dacaDoamna Y soses, te la ora 17 : 00, respectivY=1 daca DoamnaY soses, te la ora 18 : 00.Yurmeaza , de asemenea, o distribut, ieuniformaYUni f(0, 1). Cum X, respectivYvin sigur la n-tlnire, integralele densitat, ilor de probabilitate sunt respectivegale cu1.
Din punct de vedere matematic, condit, ia de a avea loc ntlni-rea este exprimata sub forma inegalitat, ii|X Y| 1/6, res-pectiv 1/6 X Y 1/6.Probabilitatea unei ntlniri rezulta :
P{|X Y| 1/6} = 1
0g(y)
y+1/6y1/6
f(x)dx
Cum funct, ia densitate de probabilitate f(x) este egala cu1pen-tru oricex
[0, 1], respectiv 0 n rest, rezulta : y+1/6
y1/6f(x)dx = (y+1/6) (y 1/6) =1/3
Similar, funct, ia densitate de probabilitate g(y)este egala cu 1pentru oricey [0, 1], respectiv 0 n rest.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
43/151
1.4. DISTRIBUT,IA UNIFORMA 47
Fig. 1.6 Definit, ia s, i densitat, ile de probabilitate ale v.a. X s, i Y
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
44/151
48 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Rezulta :
P{|X Y| 1/6} =1/3b) Daca cunoas, tem momentult [0, 1], condit, ia de a avea locntlnirea este exprimata sub forma inegalitat, ii |X t| 1/6,respectiv 1/6 X t 1/6.Probabilitatea unei ntlniri rezulta :
I=P{|X t| 1/6} = t+1/6
t1/6f(x)dx
Aceasta se exprima astfel :- pentrut [0,1/6]: I= t+1/60 f(x)dx =1/6+t ;- pentrut [1/6,5/6]: I= t+1/6t1/6 f(x)dx = 2/6 =1/3 ;- pentrut [5/6,1]: I= 1t1/6 f(x)dx = 7/6 t.n figura 1.7 este exprimata probabilitatea de ntlnire cafunct, ie de momentul de timpt.Se remarca faptul ca este de dorit ca DoamnaYsa nu soseasca
mai devreme de ora 17 : 10 , respectiv mai trziu de ora 17:50.c) S, i n acest caz, condit, ia de a avea loc ntlnirea este expri-mata sub forma inegalitat, ii|X t| < 1/6. Aceasta condit, ietrebuie coroborata cu faptul ca la momentul t al sosirii sale,Doamna Y nu a gasit pe nimeni. Fie X soses, te mai trziu(X> t), fieXa sosit deja s, i a plecat (X< t 1/6).Rezulta ca se dores, te evaluarea unei probabilitat, icondit, ionate :
P{|X t| < 1/6|(X> t) (X< t 1/6)}Fie evenimentele :A= {X< t+1/6} ;B= {X> t 1/6} ;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
45/151
1.4. DISTRIBUT,IA UNIFORMA 49
Fig. 1.7 Probabilitatea de ntlnire ca funct, ie de momentul t
C= {X> t} ;D= {X< t 1/6}.
Probabilitatea condit, ionata de mai sus se exprima astfel :
P{A B|C D} =P{A B (C D)}/P{C D}Exprimnd logic, obt, inem :A B (C D) = (A B C) (A B D)Evenimentele Bs, iDsunt mutual exclusive (incompatibile). Deasemenea,B C=C. Rezulta ca A B (C D) = A C.Probabilitatea evenimentuluiA Ceste :
I1=
P{(
X>
t)
(X t) (X< t 1/6)} =
= 1 P{(X< t) (X> t 1/6)}
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
46/151
50 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
n figura 1.8este exprimata probabilitatea ceruta ca funct, ie demomentul de timpt.
Fig. 1.8 Probabilitatea condit, ionata
Prima integrala se exprima astfel :- pentrut [0,5/6]: I1= t+1/6t f(x)dx =1/6 ;- pentrut [5/6,1]: I1= 1t f(x)dx =1 t.Similar,P{(X< t) (X> t 1/6)} se poate exprima astfel :- pentrut [1/6,1]: tt1/6 f(x)dx =1/6 ;- pentrut [0,1/6]: tt1/6 f(x)dx =t.Rezulta cea de-a doua integrala :
- pentrut [1/6,1]: I2=1 tt1/6 f(x)dx = 5/6 ;- pentrut [0,1/6]: I2=1 tt1/6 f(x)dx = 1 t.Raportul ntre cele doua integrale este probabilitatea ceruta :
P{|X t| < 1/6|(X> t) (X< t 1/6)} = I1/I2
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
47/151
1.5. DISTRIBUT,IA NORMALA 51
exprimat astfel :- pentrut
[0,1/6]: I1/I2=1/6/(1
t) ;
- pentrut [1/6,5/6]: I1/I2=1/6/5/6=0, 2 ;- pentrut [5/6,1]: I1/I2= (1 t)/5/6;
1.5 Distribut, ia normala
20. ntr-o stat, ie de metrou, garniturile se succed din zece n zeceminute. O garnitura este programata sa soseasca la fiecare 10minute, ncepnd cu orele 5 : 00. Timpul de stat, ionare al uneigarnituri la peroanele stat, iei este de 1 minut.Perturbat, iile din trafic pot provoca o abatere stardard de 2 mi-nute, n raport cu ora programata de sosire n stat, ie, respectivo distribut, ie normala a timpului de intrare n stat, ie al garnitu-rii, cu o valoare as, teptata egala cu ora s, i minutul programat,respectiv=2 minute.Un calator poate sosi aleator n stat, ie ntre orele 7 : 54 s, i 8 : 06.Care este probabilitatea ca acest calator sa gaseasca deja un
tren n stat, ie ?Solut, ie.
Fie X o v.a. continua desemnnd momentul de timp lacare calatorul intra pe peronul stat, iei respective. Conformenunt,ului, distribut, ia lui X este uniforma X Unif (7H :54min, 8H: 06min).FieYo v.a. continua desemnnd timpul de intrare n stat, ie algarniturii de metrou programata sa soseasca la ora7H :50min.Distribut
,ia lui Yeste normala Y
N( = 7H : 50min, =
2min).Fie Z = X Y. X s, i Y sunt doua v.a. independente. Sosi-rea calatorului pe peron nu modifica (cres, te / scade) proba-bilitatea ca metroul sa soseasca la timp n stat, ie s, i reciproc.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
48/151
52 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Cerint, a din enunt, se exprima astfel : 0 < Z
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
49/151
1.6. DISTRIBUT,IA LOGNORMALA 53
Fie schimbarea de variabilau = x y ;v = y. Rezulta :
F(z) = z du
f1(u+v)f2(v)dv (1.24)
respectiv
F(z) = z
du
8,17,9
5/(0,033
2)e0,5((v7,92)/0,033)2dv (1.25)
Integrnd n Mathematica se obt, ine :
P= F(z= 0, 0167h) F(z=0) =0, 0500 (1.26)
1.6 Distribut, ia lognormala
21. Fie o componenta avnd o distribut, ie lognormala a timpuluisau de reparat, ii (indisponibilitate) LogLN(a=2; b= 1, 2).
a) Calculat, i durata as, teptata (medie) a timpului dereparat, ii ;
b) Calculat, i abaterea standard a timpului de reparat, ii ;c) Daca la momentul de timp egal cu 75% din du-
rata as, teptata de mai sus, componenta era nca nreparat, ii, care este probabilitatea ca reparat, ia sase ncheie n termenul as, teptat (100% din valoareaas, teptata) ?
d) Indicat, i abcisa pentru care densitatea de probabili-tate are un maxim ;
e) Indicat, i abcisa pentru care intensitatea de reparareare un maxim.
Raspuns.
a) Durata as, teptata (medie) a timpului de reparat, ii esteE[Tr] =0 t f(t)dt =ea+b
2/2 =15, 18h ;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
50/151
54 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
b) Abaterea standard a timpului de reparat, ii este [Tr] =
E[T2r] E2[Tr] =ea+b
2/2eb2 1=27, 24h ;
c)P{11,385 < Tr < 15,18|Tr > 11,385} =0,236715;d)Tr =1, 7 h ;e) Intensitatea de reparare este (t) = f(t)/(1 F(t)). Repre-zentarile grafice sunt prezentate n figurile 1.10,respectiv1.11(ultima n coordonate logaritmice).
Fig. 1.10 Intensitatea de reparare
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
51/151
1.6. DISTRIBUT,IA LOGNORMALA 55
Fig. 1.11 Intensitatea de reparare - reprezentare n coordonatelogaritmice
Aplicat, ii propuse
22. Fie 3 evenimente aleatoare A, B, C. Evenimentele As, i Bsuntindependente.Daca As, i Bsunt aparute, atunci probabilitatea aparit, iei luiC
este 0, 4 - respectivP(C|A B) =0, 4.DacaAeste aparut, darBnu este aparut, atunci probabilitateaaparit, iei luiC este 0, 2 - respectivP(C|A B) =0,2, aceeas, i s, in cazul Anu este realizat, Beste realizat, respectiv P(C|A B) =0, 3.Daca att Act s, iBnu sunt realizate, atunciP(C| A B) =0.1Dependent,a ntreCs, i evenimenteleAs, iBa fost prezentata nfigura1.2(Aplicat, ii rezolvate).
Sa se calculeze, n ipoteza probabilitat, ii aparit, iei evenimentu-lui Ade 0, 8 respectiv a probabilitat, ii aparit, iei evenimentul Bde 0,7 :a) probabilitatea aparit, iei evenimentuluiC ;b) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea ca
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
52/151
56 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
evenimentul Bsa fie aparut?c) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea ca
evenimentul Asa fie aparut?d) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caatt evenimentulAct s, iB sa fie aparute?e) daca evenimentulC nu a aparut, care este probabilitatea caevenimentul Bsa nu fie aparut?f) daca evenimentulCnu a aparut, care este probabilitatea caevenimentul Asa fie aparut?g) daca evenimentulC nu a aparut, care este probabilitatea caatt evenimentulAct s, iB sa fie aparute?
23. ntr-o centrala electrica, trei evenimente A, Bs, i C pot aparealeator n aceeas, i zi dintr-o luna, independent unul de celalalt.Zilele n care pot apare evenimentele respective sunt numero-tate de la 1 la n 3. Oricare din cele trei evenimente de maisus ramne activ nca 3 zile de la ziua aparit, iei, dupa care esteresetat. Rezulta ca zilele n care putem avea trei evenimenterealizate (aparute sau active) sunt de la 1 la n.
a) Calculat, i probabilitatea de a avea cele trei eveni-mente aparute - n aceeas, i zi ;
b) Calculat, i probabilitatea de a avea cele trei eveni-mente aparute - cu o zi diferent, a ntre ele;
c) Calculat, i probabilitatea de a avea trei evenimenteaparute active - n cel put, in o zi.
24. ntr-o zi sunt planificate sa funct, ioneze n Sistemul Energe-
tic Nat, ional un numar de 25 hidrogeneratoare, respectiv 15turbogeneratoare. n fiecare ora, independent de alte ore, pro-babilitatea de a avea o avarie la un grup hidrogenerator esteaceeas, iq1 =0, 005 - respectiv aceleas, i premize pentru un grupturbogenerator, dar q2 =0,01. La sfrs, itul unui zile, un grup
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
53/151
1.6. DISTRIBUT,IA LOGNORMALA 57
este ales aleator din lista respectiva programata sa opereze nSEN.
i) Care este probabilitatea de a fi ales un grup care asuferit o avarie n respectiva zi ?
ii) Care este probabilitatea ca grupul ales sa aiba o ava-rie n primele12 ore din ziua respectiva ?
iii) Care este probabilitatea ca un grup care a avut oavarie n ziua respectiva sa fie hidrogenerator ?
iv) Care este probabilitatea ca un grup care a avut o
avarie n ziua respectiva sa fie turbogenerator ?v) ntr-un minut oarecare, care este probabilitatea de aavea o avarie la un turbogenerator ?
vi) ntr-un minut oarecare, care este probabilitatea de aavea o avarie la un hidrogenerator ?
25. O sucursala de distribut, ie a energiei electrice are L=1000 declient, i, fiecare cu o putere instalata de 20kW. La orice momentde timp al unei zile, probabilitatea ca un client sa solicite pute-
rea instalata este p1=0, 3 pentru 50% din puterea sa instalataprobabilitatea este p2 = 0,5 respectiv probabilitatea de a nusolicita putere este p3 =0, 2. Care este nivelul minim de pu-tere pe care sucursala trebuie sa-l aiba disponibil ntr-o zi oa-recare pentru a satisface solicitarile cotidiene ? Managementulsucursalei impune un nivel de 99, 9% de satisfact, ie a client, ilor.Altfel spus, 999 de client, i din 1000 sa aiba nivelul de puteresolicitat. Premiza : client, ii sucursalei au o cerere independenta de
putere, unul fat, a de celalalt.
26. Fie o componenta avnd o distribut, ie lognormala a timpuluisau de funct, ionare (disponibilitate) LogLN(a=6; b= 1, 2).
a) Calculat, i durata as, teptata (medie) a timpului defunct, ionare;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
54/151
58 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
b) Calculat, i abaterea standard a timpului defunct, ionare;
c) Daca la momentul de timp egal cu 50% din durataas, teptata de mai sus, componenta era n funct, ionare,care este probabilitatea ca aceasta componenta sa fien aceasta stare s, i la momentult =100% din valoa-rea as, teptata ;
d) Indicat, i abcisa pentru care densitatea de probabili-tate are un maxim ;
e) Indicat, i abcisa pentru care intensitatea de defect are
un maxim.27. O familie cu trei copii, avnd copilul cel mare baiat, este aleasa
aleator. Care este probabilitatea de a fi o fata cel de-al doileacopil (mijlociu) al acestei familii ?
28. n fiecare an, independent de alt, i ani, un s, ofer are probabili-tatea pde a avea un accident (daca este un barbat), respectivqdaca este o femeie. O companie de asigurari are un numarN1 =1000 asigurat, i barbat, i, respectiv N2 =500 asigurat, i fe-
mei. Un asigurat este ales aleator.i) Care este probabilitatea ca acel asigurat sa fi avut un
accident ntr-un an ?
ii) Care este probabilitatea ca acest asigurat sa fi avutdoi ani consecutivi accident ?
iii) Din lista celor care au avut un accident n anul res-pectiv, se extrage aleator un nume. Care este proba-bilitatea ca acel asigurat sa fi avut un accident s, i n
cel de-al doilea an?iv) Care este probabilitatea ca un s, ofer care a avut n
accidente anuale consecutive sa fie barbat? Dar fe-meie?
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
55/151
1.6. DISTRIBUT,IA LOGNORMALA 59
29. Doua persoane pot sosi ntr-un anumit loc, cu aceeas, i proba-bilitate, n orice moment din intervalul[0, T]. Sa se determine
probabilitatea ca intervalul de timp dintre sosirile lor sa nu fiemai mare dectt (0 < t < T).Raspuns.Probabilitatea ceruta este 1 (1 t/T)2.
30. Doua garnituri A, Bncarcate cu pacura trebuie descarcate laaceeas, i rampa a unei centrale termoelectrice. Momentele sosi-rii celor doua garnituri sunt independente s, i uniform distri-buite, n decursul unei zile (24de ore). Timpul de descarcareal garniturii Aeste de 1 ora, respectiv pentru Beste de 2 ore.Care este probabilitatea ca a doua garnitura care soses, te sagaseasca rampa ocupata ?Raspuns.Fie xmomentul sosirii garniturii A, respectiv ymo-mentul sosirii garniturii B. Probabilitatea ceruta este data deintegrala f(x,y)pe domeniul , has, urat n figura1.12.Nume-ric, probabilitatea ceruta este 0,121.
Fig. 1.12 Calculul grafic al probabilitat, ii
31. Pentru enunt,ul problemei ntlnirii, se propune o altadistribut, ie, n sensul ca X urmeaza o distribut, ie normalaX N(1 = 1/2h, 1 = 1/6h), respectiv Y urmeaza o
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
56/151
60 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
distribut, ie normala Y N(2 = 1/3h, 2 = 1/5h). X s, iY sunt, de asemenea, independente. Celelalte date ramn
neschimbate.a) Determinat, i, n acest caz, probabilitatea unei intl-
niri;
b) DoamnaYajunge la momentul de timp t ntre orele17 s, i 17 :30. Care este probabilitatea ca sa l ntl-neasca pe Domnul X ?
c) Sosind la ora t, Domnul Xnu gases, te pe nimeni.Care este probabilitatea de a o ntlni pe Doamna Y
n aceste condit, ii ?
32. Cum se modifica valoarea probabilitat, ii cerute n problemametroului, daca calatorul sos, este aleator n stat, ie ntre orele7 : 56 s, i 8 : 04? Dar ntre orele 6 : 00 s, i 6 : 10?
33. Fienvariabile aleatoare independente distribuite exponent, ialX1 Ex p[],X2 Ex p[], . . .Xn Ex p[]. Atunci sa se arateca :
a) min(X1, X2, . . . , Xn) Ex p[] ;b) max(X1, X2, . . . , Xn) Ex p[/ni=1(1/i)] ;c) Demonstrat, i ca prima varianta este cazul distribut, iei
duratei de viat, a a unui sistem serie dencomponenteindependente, avnd respectiv intensitat, ile de defec-tare egale1 =2 =. . .=n = ;
d) Demonstrat, i ca a doua varianta este cazuldistribut, iei duratei de viat,a a unui sistem para-
lel de ncomponente independente, avnd respectivintensitat, ile de defectare egale 1 = 2 = . . . =n= ;
e) Sa se generalizeze pentru cazul1=2=. . . =n.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
57/151
1.6. DISTRIBUT,IA LOGNORMALA 61
34. FieX1s, iX2doua variabile aleatoare independente distribuiteexponent, ial X1 Ex p[1], X2 Ex p[2]. Se defines, te v.a.S = X1+ X2. Sa se determine densitatea de probabilitate adistribut, iei v.a. S. Indicat, ie. Se vor trata cazurile : 1 = 2,respectiv1=2.
35. Fie X o v.a. distribuita BernoulliX B(p).Parametrul distribut, iei Bernoulli este, la rndul lui, o v.a. dis-tribuita Beta : p Beta(,). Sa se exprime valoarea as, teptataa variabilei aleatoareX.Aplicat, ie numerica pentru evaluarea incertitudinii estimarii
indisponibilitat, ii la pornire a unui grup Diesel alimentare ser-vicii de securitate la o centrala nucleara. Se considera : =1, =10 ; X =1 daca grupul Diesel demareaza cu succes, res-pectiv X=0 n caz contrar.
36. Fie X s, i Ydoua variabile aleatoare independente distribuitebinomialX Bin(n =2,p =0, 9), Y Bin(n =3,p =0, 8).FieZ = X+Y. Sa se exprime s, i sa se calculeze probabilitateaca Z sa fie mai mica sau egala dect2.
37. FieXs, iYdoua variabile aleatoare independente distribuite bi-nomialXBin(n=2,p=0, 9),YBin(n= 3,p =0, 8). FieZ= (X+ Y)/2. Sa se exprime s, i sa se calculeze probabilitateaca Z sa fie mare strict dect 1.
38. Fie X s, i Ydoua variabile aleatoare independente distribuitebinomialX Bin(n =2,p =0, 9), Y Bin(n =3,p =0, 8).Fie Z = X Y. Sa se exprime s, i sa se calculeze probabilitateaca Z sa ia valori n mult, imea {1,2,3,4}.
39. Fie X s, i Ydoua variabile aleatoare independente distribuite
binomialX Bin(n =2,p =0, 9), Y Bin(n =3,p =0, 8).Fie Z = X/Y. Sa se exprime s, i sa se calculeze probabilitateaca Z sa ia valori n intervalul [0, 1].
40. FieXs, iYdoua variabile aleatoare independente distribuite bi-nomialXBin(n=2,p=0, 9),YBin(n= 3,p =0, 8). Fie
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
58/151
62 CAP.1. EVENIMENTE, PROBABILIT AT,I S,I DISTRIBUT,II
Z=max{X, Y}. Sa se exprime s, i sa se calculeze probabilitateaca Z sa ia valori n mult, imea {0,1,2,3,4}.
41. Fie X s, i Ydoua variabile aleatoare independente distribuitebinomialX Bin(n =2,p =0, 9), Y Bin(n =3,p =0, 8).Sa se exprime s, i sa se calculeze probabilitatea ca X sa ia valorimai mici sau egale dect Y.
42. O structura de rezistent,a dintr-o centrala electrica este supusala doua tipuri independente de solicitari :- statica (S) ;- dinamica (D).
Fie doua variabile aleatoare independente caracteriznd celedoua solicitari, respectiv doua cazuri de studiu propuse :i)S N(S, S), respectivD N(D, D) ;ii)S Ex p(S), respectivD Ex p(D).Sa se exprime n cele doua cazuri media s, i abaterea standard asolicitarii totale a structuriiT=S +D. n ipoteza ca rezistent, aRa structurii este o variabila aleatoare distribuita normalR N(R, R), sa se evalueze riscul ruperii structurii de rezistent, a.Aplicat, ie numerica : S = 6MPa, S = 1MPa, D = 8MPa,
D = 2MPa, R = 21MPa, R = 3MPa, D = 1/6MPa1
,S=1/8MPa1.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
59/151
2Estimari statistice
Aplicat, ii rezolvate43. O moneda este banuita ca nu e perfecta, n sensul ca proba-
bilitatea de aparit, ie pa fet,ei ca peste diferita de 0,5. Apriori,distribut, ia pentru p este din clasa distribut, iilor Beta, avnddensitatea de probabilitate proport, ionala cu p10 (1 p)14 peintervalul [0, 1]. Pentru a obt, ine o mai mare certitudine asu-pra lui p, moneda este aruncata de 5 ori : de 3 ori a aparutfat, a ca p, respectiv de 2 ori cealalta fat, a. Exprimat, i distribut, ia
aposteriori pentru p.Solut, ie.I. Apriori.
n cazul distribut, ieiBeta, densitatea de probabilitate este datade relat, ia :
f(p) =1/B(11,15) p10 (1 p)14 (2.1)unde B( = 11, = 15) este integrala Beta (Euler de primultip) :
B(,) =
1
0x1 (1 x)1dx
Funct, ia de repartit, ie este data de relat, ia :
F(p) = p
0f(x)dx (2.2)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
60/151
64 CAP.2. ESTIMARI STATISTICE
Fig. 2.1 Densitatea apriori de probabilitate a v.a. p
II. Aposteriori.
Fie Nv.a. discreta semnificnd numarul de aparit, ii ale fet,eica pdin n aruncari.Atunci, probabilitatea de a aveakaparit, ii ale fet, eicapla arun-carea unei astfel de monezi este :
P(N=k) = 1
0
n!k! (n k)!p
k (1 p)nkdp (2.3)
De asemenea, referitor la evenimentul de a avea "probabilita-tea p de aparit, ie a acestei fet, e n intervalul (a, b) s, i N = k"avem relat, ia :
P(a < p < b
N=k) = b
a
n!k! (n k)!p
k (1 p)nkdp(2.4)
Se noteaza funct, ia aposteriori de repartit, ie a lui pcu F(p).
T,innd seama de relat, iile de mai sus s, i de teoremaprobabilitat, ilor condit, ionate, avem :
F(p) =
p0
n!k!(nk)! xk (1 x)nkF(x)dx1
0n!
k!(nk)! xk (1 x)nkF(x)dx(2.5)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
61/151
65
Densitatea aposteriori ceruta este derivata acestei funct, ii F(p)s, i este reprezentata grafic n figura alaturata.
Fig. 2.2 Densitatea aposteriori de probabilitate a v.a. p
III. Remarca.
Daca apriori nu este disponibila nici o informat, ie tehnica,atunci distribut, ia pentru p este uniforma. Orice valoare a luip este posibila s, i echiprobabila. Entropia informat, ionala estemaxima n acest caz.Urmnd aceeas, i abordare ca mai sus, este suficient sa re-marcam ca n acest caz avem distribut, ia apriori Beta, dar cuparametrii = 1, respectiv=1.Densitatea apriori de probabilitate este reprezentata grafic nfigura2.3.Comparativ, densitatea aposteriori n acest caz este reprezen-tata grafic n figura 2.4.
44. O componenta n as, teptare refuza solicitarea de a demara dem = 2 ori n n = 10 teste independente. Indicat, i estimatorulde verosimilitate maxima pentru probabilitatea de refuz p.Solut, ie.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
62/151
66 CAP.2. ESTIMARI STATISTICE
Fig. 2.3 Densitatea apriori de probabilitate a v.a. p
Fig. 2.4 Densitatea aposteriori de probabilitate a v.a. p
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
63/151
67
Fie p probabilitatea de refuz la solicitare s, i No v.a. discretasemnificnd numarul de refuzuri nregistrate din n teste in-
dependente. n aceste condit, ii, N urmeaza o distribut, ie bino-miala, de parametriin = 10 s, i p.
N Bin(n,p) (2.6)Fiem = 2 numarul nregistrat de refuzuri.Funct, ia de verosimilitate este L(p|n, m) =Cmn pm(1 p)nm.Logaritmul acestei funct, ii de verosimilitate este :
ln(L(p|n, m)) =l n(Cmn) + m ln(p) + (n m) ln(1 p) (2.7)Din condit, ia de extrem n raport cu pse obt, ine anularea deri-vatei nti a logaritmului funct, iei de verosimilitate, respectiv
m/p (n m)/(1 p) =0Estimatorul de verosimilitate maxima al lui prezulta :
p= m/n (2.8)
45. Se arunca o moneda den =20 ori. Fat, acapa aparut de 14 ori.Se dores, te sa se testeze statistic - cu un prag de semnificat, iede 1% - daca moneda este perfecta.Solut, ie.
Fie ipoteza H0 : moneda este perfecta (probabilitatea deaparit, ie a fet, ei cap p= 0,5).Daca prelucram datele n aceasta ipoteza, cel mai probabil ar fisa observam 10 rezultate favorabile (aparit, ia fet, eica p, respec-tiv 10 rezultate nefavorabile). Faptul ca s-a observat 14 aparit, iise poate explica astfel : moneda este perfecta (H0este adevarata), rezultatul este pus
pe seama intmplarii;
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
64/151
68 CAP.2. ESTIMARI STATISTICE
moneda nu este perfecta. Putem respinge H0?Raspunsul la ntrebare este dat de pragul de semnificat, ie ales.
Practic, un prag de 1% este echivalent cu acceptarea ca ntr-un caz din 100 de repetari ale experimentului sa punem peseama ntmplarii / s, ansei faptul ca moneda este perfecta -dar observam N 14 sau N 6.Etapele necesare validarii / invalidarii ipotezei init, iale sunturmatoarele :
(a) n ipoteza ca H0este adevarata, se evalueaza probabilita-tea evenimentului( N 14) (N 6) ;
(b) daca probabilitatea obt, inuta este mai mica dect pragulde semnificat, ie, atunci ipoteza init, iala poate fi respinsa,un asemenea rezultat observat nu poate fi acceptat numaipe seama ntmplarii;
(c) daca probabilitatea obt, inuta este mai mare dect pragulde semnificat, ie, atunci ipoteza init, iala nu poate fi re-spinsa, un asemenea rezultat poate fi pus pe seama n-tmplarii, nu avem motive sa credem ca moneda nu estecorecta - numai pe seama observat, iilor prelucrate.
Probabilitatea ca N 6 este data de relat, ia :
P(N 6) =6
k=0
Ck20 0, 5k 0, 520k
Probabilitatea ca N 14 este data de relat, ia :
P(N
14) =20
k=14
Ck
20 0, 5k
0, 520k
Fie integrala Beta incompleta :
Ix(,) =1/B(,) x
0z1 (1 z)1dz (2.9)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
65/151
69
pentru oricex [0, 1], respectiv 0, 0.Avem urmatoarele relat, ii de calcul utilizate curent n practica
estimarilor de acest tip :
Ip(m, n m+1) =n
k=m
Ckn pk (1 p)nk (2.10)
m
k=0
Ckn pk (1 p)nk = 1 n
k=m+1
Ckn pk (1 p)nk
= 1 Ip(m+1, n m)
1 Ip(m+1, n m) I1p(n m, m+1) (2.11)n cazul nostru, avem urmatoarele relat, ii de calcul :
6
k=0
Ck20 0, 5k 0, 520k = I0,5(20 6, 6+1) =0, 0576591 (2.12)
20
k=14Ck20 0, 5k 0, 520k = I0,5(14,20 14+1) =0,0576591
(2.13)Rezulta probabilitatea ceruta 0,1153182. Cum aceasta depa-s, este pragul de semnificat, ie propus, rezulta ca ipoteza init, ialanu poate fi respinsa.
Aplicat, ii propuse
46. O componenta n as, teptare refuza solicitarea de a demara dem= 2 ori nn =10 teste independente. Indicat, i un interval de
ncredere pentru estimarea probabilitat, ii de refuz p. Pragul desemnificat, ie este de 5%.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
66/151
70 CAP.2. ESTIMARI STATISTICE
47. Dintr-un es, antion deN=100 componente identice, exploataten condit, ii similare, k = 5 componente s-au defectat. Indicat, i
un interval de ncredere pentru probabilitatea de defectare aunui componente. Pragul de semnificat, ie este de 1%.
48. n operatia de calibrare a unui traductor de nivel este nece-sara determinarea valorii nivelului cu o precizie de1cm, cuun nivel de ncredere de 99%. Dintr-un studiu preliminar arezultat ca abaterea standard a erorii de masura a niveluluieste=3, 5cm. Presupunnd ca toate observat, iile sunt inde-pendente :a) determinat, i numarul minim de observat, ii de operat, ii decalibrare;b) daca 150de operat, ii de calibrare au fost repetate, care estenivelul de ncredere asociat ?
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
67/151
3Fiabilitate s, i
mentenant, a
Aplicat, ii propuse
49. Timpul de operare al unei pompe de ret,ea termoficare este ov.a. continua distribuita exponent, ial de valoare medie 24 deluni. Programul de inspect, ie al unei astfel de pompe prevedeo intervent, ie de acest gen la fiecare 5 luni.a) Care este probabilitatea ca o pompa de termoficare sa aiba
nevoie de o reparat, ie nainte de prima inspect, ie programata ?b) Daca o astfel de pompa nu s-a defectat nainte de primainspect, ie programata, care este probabilitatea de a o gasioperat, ionala s, i la a doua inspect, ie programata ?c) Un punct termic are cinci astfel de pompe identice n ope-rare. Presupunnd ca timpii lor de operare sunt v.a. identices, i independent distribuite, sa se calculeze probabilitatea de aavea cel mult o pompa care sa aiba nevoie de reparare naintede data fixata pentru inspect, ie.
d) Care ar trebui sa fie periodicitatea inspect, iilor, daca se im-pune ca probabilitatea de sus sa nu depas, easca valoarea 0,1?
Solut, ie.a) Intensitatea de defectare a unei pompe este =1/24luni1
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
68/151
72 CAP.3. FIABILITATE S,I MENTENANT, A
Rezulta probabilitatea ceruta :q= Prob{Tf < 5luni} =1 e5 =1 e5/24 =0, 188.
b) Probabilitatea de a nu gasi pompa operat, ionala nainte decea de-a doua inspect, ie programata este :
P{5 < Tf 10|Tf > 5} = P{5 < Tf 10}
P{Tf > 5} =
= e5
e10
e5 =0,253
n consecint, a, probabilitatea ceruta este
P{Tf > 10|Tf > 5} =1 P{5 < Tf 10|Tf > 5} =0, 747
c) n condit, iile date, numarul de pompe Nn stare de succes
(operare) urmeaza o distribut, ie binomiala de parametriin=5,respectiv p=1 q= 0,812.Probabilitatea ceruta este
P{N 4} =5
k=4
Ck5pk(1 p)nk =5p4(1 p) +p5 =0,7616
50. Fie3 evenimente aleatoare independente A, B, C.Sa se gaseasca o forma normala disjuncta pentru :
- evenimentulE = (A C) (B C) ;- evenimentulF= (A B) C ;- evenimentul G = @(A, B, C, 2), respectiv cel put, in 2 eveni-mente realizate din mult, imea {A, B, C}.S-a notat cu - operat, ia SAU EXCLUSIV (XOR).
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
69/151
73
Solut, ie.
Din tabelul 3.1rezulta o forma normala disjuncta pentru eve-nimentulE :
E = (A B C) ( A B C) (A B C) (A B C) ( A B C)
Fig. 3.1 Diagrama Venn pentru forma normala disjuncta aevenimentului E
Din tabelul 3.2rezulta o forma normala disjuncta pentru eve-nimentulF:
F= (A B C) (A B C)Evenimentul G se realizeaza daca cel put, in2din cele 3eveni-mente propuse A, B, C sunt realizate. n consecint, a, tabela de
adevar asociata evenimentuluiGeste prezentata n tabelul3.3.Din tabelul 3.3rezulta o forma normala disjuncta pentru eve-nimentulG :
G= (A B C) (A B C) (A B C) (A B C)
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
70/151
74 CAP.3. FIABILITATE S,I MENTENANT, A
Fig. 3.2 Diagrama Venn pentru forma normala disjuncta aevenimentului F
Tabel 3.1 Tabela de adevar pentru evenimentul E
A B C A C B C E1 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 10 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
71/151
75
Tabel 3.2 Tabela de adevar pentru evenimentul F
A B C A B F1 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 0 0 1 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
Tabel 3.3 Tabela de adevar pentru evenimentul GA B C G1 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 00 0 0 0
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
72/151
76 CAP.3. FIABILITATE S,I MENTENANT, A
Fig. 3.3 Diagrama Venn pentru forma normala disjuncta aevenimentului G
51. Fie un sistem cu 2 componente binare s, i independente A, B,opernd n doua faze consecutive de durate1, respectiv2.Structura logica a sistemului n cele doua faze esteurmatoarea :- Faza 1 : A
B ;
- Faza 2 : A B.Sa se exprime probabilitatea insuccesului sistemului. Aplicat, ienumerica pentru 1 = 100 h, 2 = 100 h, A = 0,001 h1,B =0,002h1.
Solut, ie.Probabilitatea ca sistemul sa fie n stare de insucces la capatulprimei faze este :
Q1 =1 eA1 eB1Probabilitatea ca sistemul sa fie n stare de insucces la capatulcelei de-a doua faze este :
Q2 =1 (1 Q1) (eA2 +eB2 e(A+B)2 )
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
73/151
77
Pentru datele din enunt, avem : Q1 =0, 25918, respectivQ2 =0,27196.
52. Fie Xnumarul de grupuri energetice care sunt n funct, ionarentr-o zi data n cadrul SEN. Ne intereseza probabilitateaP(50 < X< 70)n urmatoarele cazuri :
a) Numarul mediu (as, teptat) de grupuri este
E[X] =60
dispersia acestui numar este
Var[X] =E[(X 60)2] =4b) Numarul mediu (as, teptat) de grupuri este
E[X] =60
momentul centrat de ordin 4 este
E[(X 60)4] =625
Solut, ie.Pentru orice distribut, ie a lui X, este adevarata inegalitateaMarkov :
P(|X| ) k E[|X|k]pentru orice > 0, cu condit, ia ca momentul de ordinul kalv.a.Xsa existe.Un caz particular se obt, ine pentru k=2, lund |X |n locde
|X
|, unde = E
|X
|:
P(|X | ) 2 E[(X )2] =2 Var(X).
Aceasta inegalitate este cunoscuta sub numele de inegalitatealui Cebs, ev.
-
7/25/2019 Aplicatii.pdf
74/151
78 CAP.3. FIABILITATE S,I MENTENANT, A
a) Avem =60 s, i Var(X) =4. Probabilitatea ceruta se poatescrie astfel :P(50 < X< 70) =P(|X 60| < 10) =1 P(|X60| 10).Aplicnd inegalitatea lui Cebs, ev pentru =10 s, iVar(X) =4,obt, inem :
P(|X 60| 10) 102 4=0, 04
n consecint, a, P(50 < X < 70) 0,96. Probabilitatea canumarul de grupuri sa fie ntre 50 s, i70este cel put, in egala cu96%.
b) n acest caz, se aplica inegalitatea lui Markov :P(|X 60| 10) 104 625=0,0625.n consecint, a, P(50 < X < 70) 0, 9375. Probabilitatea canumarul de grupuri sa fie ntre 50 s, i70este cel put, in egala cu93,75%.
53. Fie Xnumarul de grupuri energetice disponibile dintr-o cen-
trala electrica . Numarul mediu (as, teptat) este = E[X] =2,iar dispersia acestui numar este2 =Var[X] = E[(X 2)2] =1. Care este probabilitateaP(X< 3) ?Solut, ien acest caz, pentru > 0 inegalitatea lui Cebs, ev se scrie subforma :
P((X )/ ) 1/(1+2).respectiv
P((X )/