aplicatii de hidrologie si gospodarirea apelor - r. drobot, p. serban - 1999

8/10/2019 Aplicatii de Hidrologie Si Gospodarirea Apelor - r. Drobot, p. Serban - 1999

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-de-hidrologie-si-gospodarirea-apelor-r-drobot-p-serban-1999 1/368

RADU DROBOT PETRU Ş ERBAN

PLIC ŢII

DE HIDROLOGIE

IGOSPOD RIRE

PELOR

Serie coordonat ă de :

Radu DROBOT

Jean Pierre CARBONNEL

S_JEP 09781/95

GESTION ET PROTECTIONDE LA RESSOURCE EN EAU

Editura *H*G*A*, Bucure ş ti



Prefa ţă

¥n ultimii ani au fost publicate în ¡ara noastrå cår¡i de referin¡å în domeniulingineriei resurselor de apå, respectiv al hidrologiei ¿i gospodåririi apelor.

Acest manual didactic î¿i propune så aplice metodele ¿i modelele prezentate în special în lucrårile:

∗ Hidrologie dinamicå , autori Petru ªerban, V.Al. Stånescu ¿i PetreRoman, Editura Tehnicå, 1989;

∗ Modele hidrologice deterministe , autor Petru ªerban, Editura Tehnicå,

1994 ;∗ Bazele statistice ale hidrologiei , autor Radu Drobot, Editura Didacticå

¿i Pedagogicå, 1997,

la rezolvarea unor probleme concrete de hidrologie ¿i gospodårire a apelor.

Lucrarea cuprinde 52 de aplica¡ii, structurate în 15 capitole, care urmårescprincipalele faze ale ciclului hidrologic, de la producerea precipita¡iilor ¿itransformarea acestora în debite ale re¡elei hidrografice, pânå la utilizarea apeila folosin¡e, ¿i consecin¡ele asupra calitåtii apei din râuri. Aceastå abordare estede altfel în deplinå concordan¡å cu defini¡ia Hidrologiei ca ¿tiin¡å a formårii,

circula¡iei ¿i distribu¡iei maselor de apå ¿i a interac¡iunii acestora cu mediul înconjuråtor ¿i diversele activitå¡i umane.În cadrul fiecårei aplica¡ii se prezintå fundamentarea teoreticå, precum ¿i

explica¡ii referitoare la modul de rezolvare, autorii insistând în mod deosebitasupra în¡elegerii fenomenelor fizice.

Lucrarea este utilå studen¡ilor ¿i cadrelor didactice din învå¡åmântul cu profilhidrotehnic, hidroenergetic, geografic ¿i de mediu, precum ¿i cercetåtorilor dindomeniul apelor ¿i personalului din activitå¡ile de hidrologie, de gospodårireaapelor ¿i de mediu.

*

* * Autorii exprim ă sincere mul ţ umiri conducerii Institutului de Proiect ă ri

AQUAPROIECT pentru sprijinul financiar acordat edit ă rii prezentului materialdidactic .

Autorii



C U P R I N S

1. Precipita¡ii ………………………………………………………………….. 71.1. Cedarea apei din stratul de zåpadå ……………………………………….. 71.2. Analiza pluviogramei …………………………………………………..… 111.3. Estimarea precipita¡iilor lipså ……………………………….…………… 131.4. Consisten¡a ¿irului de precipita¡ii ………………………………………… 14

1.5. Determinarea precipita¡iilor medii pe bazin …………….……………… 162. Evapora¡ia ¿i evapotranspira¡ia …………………………………………… 21

2.1. Analiza datelor lizimetrice ……………………………………………… 212.2. Evapora¡ia de la suprafa¡a apei unui lac ………………………………… 232.3. Evapora¡ia de la suprafa¡a apei utilizând formula Penman ………………. 282.4. Evapotranspira¡ia poten¡ialå utilizând formula Thornthwaite ……………. 342.5. Evapotranspira¡ia poten¡ialå utilizând formulele Blaney-Criddle ¿i Turc 362.6. Evapotranspira¡ia realå utilizând formula Turc ………………………… 40

3. Infiltra¡ia ……………………………………………………………………… 413.1. Curba de infiltra¡ie ……………………………………………………… 413.2. Viteza de infiltra¡ie ……………………………………………………… 423.3. Determinarea parametrilor curbei de infiltra¡ie Horton ………………… 433.4. Capacitatea de infiltra¡ie utilizând formula Horton ……………………… 463.5. Determinarea capacitå¡ii de infiltra¡ie utilizând parcele de scurgere …… 513.6. Calculul vitezei reale de infiltra¡ie utilizând formula Holtan …………… 543.7. Infiltra¡ia medie pe bazin ………………………………………………… 56

4.Hidrometrie ………………………………………………………………… 614.1. Caracteristicile bazinelor hidrografice …………………………………… 614.2. Determinarea debitelor ¿i trasarea cheilor limnimetrice ………………… 684.3. Trasarea cheii limnimetrice prin metoda celor mai mici påtrate …………. 824.4. Calculul debitelor solide ………………………………………………… 87

5. Ploaia netå …………………………………………………………………… 935.1. Analiza hidrografului scurgerii …………………………………………… 93

5.2. Calculul coeficientului de scurgere……………………………………….

976. Hidrograful unitar ………………………………………………………… 105

6.1. Determinarea HU prin metoda substitu¡iei, metoda Collins¿i metoda celor mai mici påtrate ………………………………………….. 105

6.2. Determinarea HUI aplicând transformata Laplace ……………………… 1146.3. Calculul hidrografului debitelor considerând HUI

dat de ecua¡ia unui rezervor ……………………………………………….

1166.4. Rela¡ia dintre HUD ¿i HS ……………………………………………… 1206.5. Determinarea HU utilizând modelele IMH ¿i Nash ……………………… 126

5



6.6. Determinarea hidrografului unitar utilizând modelul areagramå-rezervor 1376.7. Calculul hidrografului debitelor provenit dintr-un acvifer freatic ……… 142

7. Model conceptual pentru calculul debitelor ……………………………… 147Modelul VIDRA ……………………………………………………….. 147

8. Propagarea viiturilor prin albie …………………………………………… 1618.1. Determinarea parametrilor ecua¡iei Muskingum ……………………… 1618.2. Calculul propagårii viiturilor pe un sector de râu ……………………… 173

9. Atenuarea viiturilor prin lacuri de acumulare …………………………… 1899.1. Metoda Puls, utilizând graficul ………………………………… )( H E 1899.2. Metoda Puls, utilizând un procedeu iterativ de calc

…………………… 198

9.3. Calculul undei de inunda¡ie la formarea unei bre¿e în corpul barajului 20510. Calculul debitelor maxime ………………………………………………… 213

10.1. Calculul debitelor maxime utilizând formula ra¡ionalå ……………… 21310.2. Calculul debitelor maxime utilizând formula reduc¡ionalå …………… 22410.3. Realizarea formatelor de probabilitate uzuale ………………………… 22810.4. Determinarea debitelor maxime utilizând curbele de probabilitate

Kri¡ki-Menkel ¿i Pearson III ……………………………………………

233

11. Corela¡ii …………………………………………………………………… 24711.1. Corela¡ia linearå simplå ………………………………………………… 24711.2. Determinarea intervalelor de încredere pentru regresia linearå ……… 25311.3. Corela¡ia nelinearå simplå ……………………………………………… 262

12. Bilan¡ul debitelor ………………………………………………………… 26712.1. Metode de calcul al bilan¡ului debitelor ……………………………… 26712.2. Bilan¡ul debitelor în regim natural …………………………………… 273

13. Gospodårirea calitå¡ii apei ………………………………………………… 28913.1. Determinarea indicatorilor de calitate în cadrul procedurii de avizare … 28913.2. Determinarea debitului de dilu¡ie aval de un lac de acumulare ……… 302

14. Gospodårirea debitelor medii …………………………………………… 31114.1. Predimensionarea volumului unui lac de acumulare ………………… 31114.2. Calculul liniilor caracteristice ale graficului dispecer ………………… 32314.3. Simularea exploatårii lacului de acumulare

conform graficului dispecer …………………………………………….

344

15. Gospodårirea debitelor maxime ………………………………………… 359Stabilirea manevrelor de evacuare la descårcåtorii de ape mari ……… 359

Bibliografie ……………………………………………………………………… 375

6



1

PRECIPITA ŢII

Aplica ţia 1.1

CEDAREA APEI DIN STRATUL DE Z ĂPAD Ă

Un bazin hidrografic cu suprafa¡a F = 100 2km , având coeficientul de împådurire pα = 0,20 ( = 20 ) ¿i panta medie de 30F p km 2 o

, este acoperit ladata de 25.03 cu un strat de zåpadå ce måsoarå 60 cm în zona împåduritå,respectiv 40 cm în restul bazinului.

Prognoza meteorologicå indicå pentru temperatura media zilnicåT ,precipita¡ia ¿i viteza vântuluiw, valorile prezentate în coloanele 2, 3 ¿i 4 din

tabelul 1.1.1.

m

h p

Tabelul 1.1.1

Prognoza meteo pentru intervalul 25-27.03

T m h p w Ziua(0 oC) (mm) (m/s)

1 2 3 425.03 10 0 226.03 12 50 4

27.03 14 0 4Se cere: a) Echivalentul în apå al stratului de zåpadå având în vedere cå zåpada este

în curs de topire;b) Cedarea zilnicå a apei din stratul de zåpadå;c) Volumul total de apå cedat de stratul de zåpadå în perioada 25 - 27. 03.Rezolvare:

7



a) Echivalentul în apå al stratului de zåpadå se determinå pe bazaformulei:

ha

ha =ρ z h z⋅ , (1.1.1)

unde:este grosimea stratului de zåpadå în cm;h z

ρ - densitatea zåpezii, care în perioade de topire are valoarea z

aproximativå de 0,4 g/ cm .3

Conform rela¡iei anterioare, echivalentul în apå al zåpezii în zona împåduritå, respectiv în zona despåduritå a bazinului( aih ) ( )ad h are urmåtoarele valori:

hai = 0,4⋅ 60 = 24 cm = 240 mm;

had = 0,4⋅ 40 = 16 cm = 160 mm.

b) Cedarea zilnicå din stratul de zåpadå se determinå (ªerban ¿.a., 1989 :haz

− ¥n perioadele fårå ploaie pe baza ecua¡iei:

ha z = ( )em T T M − , (1.1.2)

unde:este temperatura de echilibru înT e

oC la care înceteazå schimbul decåldurå cu mediul înconjuråtor. De regulå,≅ 0T e

oC;- temperatura medie zilnicå a aerului înT m

oC peste ;eT

M - factorul de topire sau factorul grad-zi în mm/ oC zi ; se determinåfunc¡ie de perioada din timpul anului ¿i viteza vântului (fig. 1.1.1).

Rela¡ia (1.1.2) se aplicå diferen¡iind zona împåduritå de zona despåduritåprin intermediul unor factori de topire adecva¡i, nota¡i mai departe prin ,respectiv .

i M

d M Cedarea zilnicå din stratul de zåpadå pentru zona împåduritå, respectiv pentru zona despåduritåh

hazi

( m/s0=w ) azd ( )m/s2=w în ziua de 25. 03va fi:

8



Legenda :• teren descoperit ; x teren împådurit

Fig. 1.1.1. Varia ţia în timp a factorului de topire.

hazi = 1⋅10 = 10 mm;

hazd = 2,8⋅10 = 28 mm.

Echivalentul în apå al stratului de zåpadå din ziua de 26. 03 va fi:

hai = 240 - 10 = 230 mm;

had = 160 - 28 = 132 mm.

− ¥n perioadele cu ploaie, cedarea din stratul de zåpadå , se determinåpe baza urmåtoarei ecua¡ii(Şerban ş.a., 1989) :

haz

haz = ( ) 5,10125,03,0152,11,1 +−++⋅+α⋅ em pv pi T T hwk k , (1.1.3)

unde:este cantitatea de ploaie în mm/zi;h p

- viteza vântului în m/s;w - coeficientul de împådurire (α p α p =1 pentru suprafa¡a împåduritå,

respectiv = 0 pentru suprafa¡a despåduritå);α p

9



Aplica ţia 1.2

ANALIZA PLUVIOGRAMEI

¥n figura 1.2.1 este prezentatå diagrama (pluviograma) înregistratå de unpluviograf.

Se cere: b) Så se explice ce este gre¿it pe pluviogramå ¿i care sunt cauzele;c) Care este cantitatea totalå de precipita¡ii dupå diagramå cu ¿i fårå corec¡ii;d) Så se deseneze hietograma ploii considerând intervale de timp de o orå.

Rezolvare:

a) Pe pluviogramå apar trei perioade, în care curba trasatå de peni¡apluviografului descre¿te, datoritå pierderilor prin evaporarea apei:

0,5 + 1,0 + 1,5 = 3 mm de apå.

Fig. 1.2.1. Pluviograma.b) Cantitatea totalå de precipita¡ii dupå pluviogramå este:h p

h p = 7,5 + 10 + 7 = 24,5 mm.

Cantitatea totalå de precipita¡ii ¡inând seama de corec¡ii:

11



h p = 8 + 10 + 1 + 7 + 1,5 = 27,5 mm.

c) Cantitå¡ile de precipita¡iih cåzute în intervale de timp p ∆t de câte o oråse prezintå în tabelul 1.2.1.

Hietograma ploii (fig. 1.2.2) reprezintå varia¡ia în timp a cantitå¡ii deprecipita¡ii.

Fig. 1.2.2. Hietograma ploii.

Tabelul 1.2.1

Cantit ăţi orare de precipita ţii

Nr. crt. ∆t (ore) h p (mm) Nr. crt. ∆t (ore) h p (mm)

1 8 - 10 0 11 21 - 22 22 10 - 11 4 12 22 - 23 23 11 - 12 4 13 23 - 24 24 12 - 13 2 14 24 - 1 0,55 13 - 14 2 15 1 - 2 0,46 14 - 17 0 16 2 - 3 0,47 17 - 18 2 17 3 - 4 0,48 18 - 19 3 18 4 - 5 0,4

9 19 - 20 2 19 5 - 6 0,410 20 - 21 0 20 6 - 10 0Total 27,5 mm

12



Aplica ţia 1.3

ESTIMAREA PRECIPITA ŢIILOR LIPS Ă

¥ntr-un bazin hidrografic existå patru posturi pluviometrice A, B, C, Dsituate aproximativ la aceea¿i altitudine. Postul A este situat între posturile B, C¿i D, iar distan¡a dintre ele este (fig. 1.3.1):

Fig. 1.3.1. Amplasarea posturilor pluviometrice.

d AB =10 km; d AC = 5 km; d AD = 2 km.Cantitå¡ile de precipita¡ii înregistrate într-o anumitå zi de posturile B, C, D

sunt:

h B =50 mm; hC =25 mm; h D = 2mm.

Postul A a func¡ionat incorect.Se cereså se estimeze cantitatea de precipita¡ii din punctul A.

Rezolvare:

Cantitatea de precipita¡ii din punctul A se determinå ca o medie ponderatåfunc¡ie de inversul distan¡elor dintre sta¡ii la påtrat:

h

h

d

h

d

h

d

d d d

A

B

AB

C

AC

D

AD

AB AC AD

=+ +

+ +=

+ +

+ +=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 21 1 1

50

10

25

5

2

21

10

1

5

1

2

6 7 , mm.

13



Aplica ţia 1.4

CONSISTEN Ţ A ŞIRURILOR DE PRECIPITA ŢII

Precipita¡iile anuale la sta¡ia A ¿i media precipita¡iilor anuale ( ) la 10 sta¡iisituate în vecinåtatea sta¡iei A sunt prezentate în tabelul 1.4.1 (col. 2, respectiv 3).

10h

Se cere: a) Consisten¡a ¿irului de precipita¡ii înregistrat la sta¡ia A;b) Din ce an s-au produs erori la måsurarea cantitå¡ilor de precipita¡ii;c) Precipita¡iile anuale corectate la sta¡ia A;d) Media precipita¡iilor anuale la sta¡ia A înainte ¿i dupå efectuarea corec¡iilor.

Rezolvare:

a) Consisten¡a ¿irului de precipita¡ii la sta¡ia A poate fi puså în eviden¡å prinreprezentarea valorilor j j A H H 10; , unde ¿i reprezintåordonatele curbelor integrale între sta¡ia A ¿i media valorilor la cele 10 sta¡ii învecinate (fig. 1.4.1). Aceste ordonate se calculeazå cu o rela¡ie de tipul:

j A H j H 10

∑=

= N

i j j Ai h H ,

unde reprezintå valoarea precipita¡iei din anul j , iar este valoareacumulatå a precipita¡iilor, începând din anuli, pânå în anul N .

j Ah i H

Fig. 1.4.1. Curbele integrale.

14



Analizând figura 1.4.1 rezultå cå ¿irul de valori înregistrat la sta¡ia A esteinconsistent, deoarece existå abateri de la dreapta de regresie dintre sta¡ia A ¿ista¡iile învecinate.

b) Tot din analiza figurii 1.4.1 rezultå cå pânå în anul 1974 s-au produs erori în måsurarea precipita¡iilor la sta¡ia A. Anul 1974 coincide cu schimbarea panteicurbei integrale, valorile corecte fiind cele de dupå anul 1974, deoarecemåsuråtorile sunt realizate cu aparaturå mai performantå.

c) Pentru a determina precipita¡iile anuale corectateh la sta¡ia A, înperioada 1951-1973, se utilizeazå ecua¡ia:

AC

h

AC = tg h hα ⋅ = ⋅

10 10115 , . (1.4.1)

Precipita¡iile corectate sunt prezentate în coloana 6 din tabelul 1.4.1.

Tabelul 1.4.1

Precipita ţii anuale

Precipita¡ii anuale Curba integralåAnulh A

(mm)h10

(mm)h A∑

(mm)h10∑

(mm)

h AC (mm)

1 2 3 4 5 61951 740 1040 39530 40850 11901952 730 900 38790 39810 10301953 1220 1520 38060 38910 17801954 1160 1170 36840 37390 13401955 820 1120 35680 36220 12901956 1130 1380 34860 35100 15901957 720 930 33730 33720 10701958 1200 1460 33010 32790 16801959 900 920 31810 31330 10601960 850 1140 30910 30410 13101961 880 1110 30060 29270 12801962 800 970 29160 28160 11101963 1120 1040 28380 27190 11901964 1160 1310 27260 26150 15101965 810 910 26100 24840 10501966 1060 920 25290 23930 10601967 950 910 24230 23010 10501968 1120 1230 23280 22100 14101969 880 1420 22160 20870 16301970 680 920 21280 19450 1060

15



Tabelul 1.4.1 (continuare)

Precipita¡ii anuale Curba integralåAnulh A

(mm)h10

(mm)h A∑

(mm)h10∑

(mm)

h AC (mm)

1 2 3 4 5 61971 1110 1310 20600 18530 15101972 860 930 19490 17220 10701973 970 990 18630 16290 1130

1974 1120 1120 17660 15300 11201975 1900 1420 16540 14180 19001976 1260 1110 14640 12750 12601977 1080 1070 13300 11650 10801978 1270 1080 12300 10580 12701979 1720 1190 11030 9500 17201980 1530 1380 9310 8310 15301981 1200 900 7780 6930 13801982 1260 1230 6580 6030 12001983 1290 1110 5320 4800 12901984 1210 1240 4030 3690 12101985 1190 1100 2820 2450 1190

1986 1630 1350 1630 1350 1630

Total 39530 40850 - -

47060

d) Media precipita¡iilor anuale la sta¡ia A:

− înainte de efectuarea corec¡iilor:hn

h A A= = =∑1 3953036

1100 mm;

− dupå efectuarea corec¡iilor:hn

h AC AC= = =∑1 4706036

1300 mm

Aplica ţia 1.5

DETERMINAREA PRECIPITA ŢIILOR MEDII PE BAZIN

¥n bazinul hidrografic al râului R ¿i în bazinele limitrofe (fig. 1.5.1) se aflåinstalate ¿apte posturi pluviometrice A-G. Din måsuråtorile efectuate la cele¿apte sta¡ii în perioada 1960-1990 au fost extrase în tabelul 1.5.1 precipita¡iile

din anul 1985, precum ¿i media precipita¡iilor multianualeh85 h .

16



Fig. 1.5.1. Bazinul hidrografic al râului R.

Tabelul 1.5.1

Caracteristicile precipita ţiilor

Sta¡ii A B C D E F G

h85 (mm) 675 850 1050 700 250 875 1050

h (mm) 750 950 - 800 900 1000 1200

Sta¡ia C a fost instalatå în anul 1988. Cantitatea de precipita¡ii înregistratå lasta¡ia E în anul 1985 este eronatå datoritå îmbolnåvirii observatorului.

Se cere: a) Determinarea valorii corecte a precipita¡iilor înregistrate în anul 1985 la

sta¡ia E;b) Determinarea mediei precipita¡iilor multianuale la sta¡ia C;c) Trasarea izohietelor precipita¡iilor medii multianuale;

d) Trasarea poligoanelor Thiessen;e) Determinarea mediei pe bazin a precipita¡iilor multianuale prin metoda

izohietelor ¿i a poligoanelor Thiessen.Rezolvare:

a) Cantitatea de precipita¡ii înregistratå la sta¡ia E în anul 1985 sedeterminå prin douå metode:

h E 85

17



Fig. 1.5.2. Izohietele precipita ţiilor medii multianuale.

Fig. 1.5.3. Poligoanele Thiessen.

e) Pentru determinarea mediei pe bazin a precipita¡iilorhW prin metodaizohietelor se utilizeazå formula:

19



hW =

h h f

F

i ii

i

n + −=∑ 1

1 2, (1.5.1)

unde:este suprafa¡a bazinului cuprinså între izohietele ¿i ;i f ih hi +1

F - suprafa¡a bazinului hidrografic;- numårul de izohiete.n

Suprafe¡ele f i dintre izohiete sunt marcate pe figura 1.5.2.Precipita¡ia medie pe bazin este:

hW = +⋅++⎜

⎝ ⎛

⋅++⋅

++⋅+21

2950900

5252

900850519

2850800

52

800775148

1 ,,

+ 950 10002

215 1000 10502

16 5 1050 11002

15 1100 11502

11+⋅ + +

⋅ + +⋅ + +

⋅ +, ,

+1150 12002

8 5 1200 12502

4 5 970 5+⋅ + +

⋅ ⎞ ⎠⎟ =, , , mm.

Media precipita¡iilor pe bazinhW utilizând metoda poligoanelor Thiessen se

calculeazå astfel:hW =

11 F

h f i ii

m⋅

=∑ , (1.5.2)

unde:este suprafa¡a poligonuluii; f i

hi - cantitatea de precipita¡ii înregistratå la sta¡iai;- numårul de poligoane Thiessen.m

Pentru exemplul prezentat în figura 1.5.3, precipita¡ia medie pe bazin este:

hW = ( +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 5,612005,34900248008,2211901795057501481

+1000 ) 1,9682,38 =⋅ mm.

Precipita¡iile medii pe bazin ob¡inute prin utilizarea metodei izohietelor ¿i ametodei poligoanelor Thiessen sunt apropiate având în vedere cå posturilepluviometrice sunt relativ uniform repartizate pe bazin ¿i precipita¡iile nuvariazå foarte mult în spa¡iu.

20



2

EVAPORA ŢIA ŞI EVAPOTRANSPIRA ŢIA

Aplicaţia 2.1

ANALIZA DATELOR LIZIMETRICE

La un lizimetru cu adâncimea de 1 m ¿i suprafa¡a de 1 pe care cre¿te iarbås-au înregistrat datele prezentate în tabelul 2.1.1.

m 2

Tabelul 2.1.1

Date de baz ă

PerioadaDate Aprilie - Mai Iunie - Iulie

Precipita¡ii (mm) 100 200Drenajul (mm) 15 35Evapotranspira¡ia poten¡ialå(mm)

250 180

Greutatea totalå a lizimetrului(kg) 1800,5 1755,5 1790,5

la 1 aprilie la 1 iunie la 1 august

Datoritå instalårii defectuoase a lizimetrului are loc o alimentare cu apå aacestuia din zonele învecinate, evaluatå la 10 mm pentru perioada aprilie-mai,respectiv 20 mm pentru lunile iunie-iulie.

Se cere: a) Så se calculeze raportul R dintre evapotranspira¡ia realå ¿i evapotranspira¡ia

poten¡ialå pentru cele douå perioade;b) De ce aceste rapoarte nu sunt egale?c) Care este diferen¡a dintre evapora¡ia de la suprafa¡a apei ¿i

evapotranspira¡ia poten¡ialå ¿i de ce factori depinde diferen¡a?

21



Rezolvare:

a) Evapotranspira¡ia realå ETR din lizimetru se determinå utilizând ecua¡ia debilan¡:

u Dr ETR A P ∆++=+ , (2.1.1)

unde:este precipita¡ia în mm;P

- aportul din zonele învecinate lizimetrului în mm; A Dr - drenajul din lizimetru în mm;

- varia¡ia rezervei de apå din lizimetru în mm. Ea se determinåpe baza rela¡iei:

∆u

∆ ∆ ∆u

W S

GS

= =⋅ρ

, (2.1.2)

unde:∆W este varia¡ia volumului apei în lizimetru;S =1 - suprafa¡a lizimetrului;m 2

= 1000 kg/m - densitatea apei;ρ 3

∆G G G= −2 1 - varia¡ia greutå¡ii lizimetrului la douå cântåriri

succesive.Varia¡ia rezervei de apå din lizimetru în cele douå perioade este:

∆u117555 18005

1000 1

45

1000= −

⋅ = − , , m = - 45 mm;

∆u217905 17555

1000 1

35

1000= −

⋅ = , , m = 35 mm.

Evapotranspira¡ia realå din lizimetru utilizând ecua¡ia (2.1.1) este:

100 10 15 451+ = + − ETR ; ETR1 140= mm;

200 20 35 352+ = + + ETR ;

ETR2 150= mm.

22



Raportul R dintre evapotranspira¡ia realå ETR ¿i evapotranspira¡ia poten¡ialå ETP este:

R ETR

ETP1

1

1

140

2500 56= = = , ;

R ETR

ETP2

2

2

150

1800 83= = = , .

b) Rapoartele ¿i nu sunt egale deoarece apa disponibilå pentru

evapotranspira¡ie este diferitå în cele douå perioade.

R1 R2

c) Rela¡ia dintre evapotranspira¡ia poten¡ialå ETP ¿i evapora¡ia (poten¡ialå)de la suprafa¡a apei EP este:

ETP = α ⋅ EP . (2.1.3)

Valoarea coeficientuluiα variazå între 0,6 ¿i 0,8 în cazul în care o suprafa¡åmare este acoperitå cu un covor vegetal de micå înål¡ime ¿i care dispune de oalimentare cu apå adecvatå. Aceastå suprafa¡å poate fi consideratå ca un planverde umed de pe care are loc evapora¡ia. Rezisten¡a stomatelor plantelor ¿i faptulcå ele sunt închise noaptea conduc la coeficien¡iα mai mici ca unitatea.

Dacå plantele sunt înalte ¿i ocupå numai o micå suprafa¡å într-un mediu înconjuråtor uscat, coeficientulα poate varia între 1 ¿i 1,5 datoritå alimentårii cuenergie advectivå ¿i efectului de oazå (suprafa¡a evaporantå a frunzelor esteimportantå).

Aplica ţia 2.2

EVAPORAŢIA DE LA SUPRAFAŢ A APEI UNUI LAC

Pentru determinarea evapora¡iei zilnice în mm de la suprafa¡a unui lac seutilizeazå urmåtoarea formulå:

E a

E a = ( )( )0 36 1 0 25, e e us a− + ⋅, , (2.2.1)

23



24

es

ea

u

m 3

es

a

ea es

E a

l E

P E m 3

P E A E l ⋅⋅3

l E A

km 2

P E = ⋅91 10 6 , m 3

unde reprezintå evapora¡ia lunarå în mm, iar reprezintå suprafa¡a oglinziiapei în .

- presiunea absolutå (presiunea efectivå) a vaporilor în mm Hg;

Pierderile totale de apå pentru perioada analizatå sunt:

este presiunea de satura¡ie a vaporilor în mm Hg;unde:

a) Presiunea de satura¡ie a vaporilor se determinå în func¡ie detemperatura aerului din tabelul 2.2.2.

Presiunea efectivåe a vaporilor de apå se calculeazå utilizând rela¡ia:

Aplicând ecua¡ia (2.2.1) se calculeazå evapora¡ia zilnicå de la suprafa¡a lacului. Dacå se înmul¡e¿te aceastå evapora¡ie cu numårul zilelor dintr-o lunå rezultå

evapora¡ia lunarå în mm.

- viteza vântului la înål¡imea de 2 m în km/h.¥n tabelul 2.2.1 coloanele 1÷ 4 se dau urmåtoarele date:t - temperatura medie a aerului;h - umiditatea medie relativå (raportul dintre umiditatea absolutå ¿i

umiditatea de satura¡ie);U - viteza medie a vântului;

A - suprafa¡a oglinzii apei.Se cere: a) Determinarea evapora¡iei lunare în mm;b) Calculul pierderilor totale de apå, prin evaporare de la suprafa¡a lacului în

, în perioada analizatå.

Rezolvare:

b) Pierderile lunare de apå prin evaporare în se determinå cuformula:

Calculele se prezintå în tabelul 2.2.1.

=10 , (2.2.3)

= h ⋅ . (2.2.2.)

.



Evaporaţia lunar ă de la suprafa ţa apei

Luna t (oC)

h% (km/h)

A km 2

e s (mmHg)

ea (mmHg)

E a (mm/zi)

Nr.zile (

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Mai 12,2 74 10,8 16,1 10,66 7,89 3,69 31

Iunie 16,0 73 8,3 15,8 13,63 9,94 4,07 30

Iulie 17,1 77 8,2 15,1 14,62 11,26 3,69 3

August 16,7 78 9,1 14,2 14,26 11,12 3,69 3

Septembrie 13,4 79 9,9 13,5 11,53 9,10 3,03 3

Octombrie 9,3 85 11,3 12,9 8,78 7,46 1,81 3

Total:

25



Presiunea de satura ţie a vaporilor de apă în mmHg funcţie de temperatura aerului t în e s

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8- 10 2,15 - 9 2,32 2,30 2,29 2,27 2,26 2,24 2,22 2,21- 8 2,51 2,49 2,47 2,45 2,43 2,41 2,40 2,38- 7 2,71 2,69 2,67 2,65 2,63 2,61 2,59 2,57- 6 2,93 2,91 2,89 2,86 2,84 2,82 2,80 2,77- 5 3,16 3,14 3,11 3,09 3,06 3,04 3,01 2,99- 4 3,41 3,39 3,37 3,34 3,32 3,29 3,27 3,24- 3 3,67 3,64 3,62 3,59 3,57 3,54 3,52 3,49- 2 3,97 3,94 3,91 3,88 3,85 3,82 3,79 3,76- 1 4,26 4,23 4,20 4,17 4,14 4,11 4,08 4,05- 0 4,58 4,55 4,52 4,49 4,46 4,43 4,40 4,36

0 4,58 4,62 4,65 4,69 4,71 4,75 4,78 4,821 4,92 4,96 5,00 5,03 5,07 5,11 5,14 5,182 5,29 5,33 5,37 5,40 5,44 5,48 5,53 5,573 5,68 5,72 5,76 5,80 5,84 5,89 5,93 5,974 6,10 6,14 6,18 6,23 6,27 6,31 6,36 6,405 6,54 6,58 6,63 6,68 6,72 6,77 6,82 6,866 7,01 7,06 7,11 7,16 7,20 7,25 7,31 7,367 7,51 7,56 7,61 7,67 7,72 7,77 7,82 7,888 8,04 8,10 8,15 8,21 8,26 8,32 8,37 8,43

26



27

T

t 0 1 2 3 4 5 6 7 89 8,61 8,67 8,73 8,78 8,84 8,90 8,96 9,0210 9,20 9,26 9,33 9,39 9,46 9,52 9,58 9,6511 9,84 9,90 9,97 10,03 10,10 10,17 10,24 10,3112 10,52 10,58 10,66 10,72 10,79 10,86 10,93 11,0013 11,23 11,30 11,38 11,75 11,53 11,60 11,68 11,7614 11,98 12,06 12,14 12,22 12,96 12,38 12,46 12,5415 12,78 12,68 12,95 13,03 13,11 13,20 13,28 13,3716 13,63 13,71 13,80 13,90 13,99 14,08 14,17 14,2617 14,53 14,62 14,71 14,80 14,90 14,99 15,09 15,1718 15,46 15,56 15,66 15,76 15,86 15,96 16,06 16,1619 16,46 16,57 16,68 16,79 16,90 17,00 17,10 17,2120 17,53 17,64 17,75 17,86 17,97 18,08 18,20 18,3121 18,65 18,77 18,88 19,00 19,11 19,23 19,35 19,4622 19,82 19,94 20,06 20,19 20,31 20,43 20,58 20,6923 21,05 21,19 21,32 21,45 21,58 21,71 21,84 21,9724 22,37 22,50 22,63 22,76 22,91 23,05 23,19 23,3125 23,75 23,90 24,03 24,20 24,35 24,49 24,64 24,7926 25,31 25,45 25,60 25,74 25,89 26,03 26,18 26,3227 26,74 26,90 27,05 27,21 27,37 27,53 27,69 27,8528 28,32 28,49 28,66 28,83 29,00 29,17 29,34 29,5129 30,03 30,20 30,38 30,56 30,74 30,92 31,10 31,2830 31,82 32,00 32,19 32,38 32,57 32,76 32,95 33,14

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8



Aplica ţia 2.3

EVAPORAŢIA DE LA SUPRAFAŢ A APEIUTILIZÂND FORMULA PENMAN

Så se calculeze evapora¡ia zilnicå de la suprafa¡a apei utilizând formulaPenman; datele de bazå pentru cele 3 situa¡ii analizate sunt prezentate în tabelul2.3.1.

Tabelul 2.3.1

Date meteorologice

Nr. crt.u(m/s) h ( - ) t (oC) R A (cal cm zi / 2 )

n D

( - )

1 1,5 0,6 14 125 0,752 1,1 0,75 22 973 0,353 1,2 0,55 4 255 0,65

Rezolvare:

Penman a propus urmåtoarea formulå pentru calculul evapora¡iei de lasuprafa¡a apei:

E 0

γ+∆⋅γ+⋅∆= a E H

E0 , (2.3.1)

unde: H este radia¡ia netå (mm/zi);γ = 0,49 - constanta psihrometricå;

- panta curbei de saturare a vaporilor de apå;∆ - evapora¡ia de la suprafa¡a apei în cazul ipotetic cå tempe- E a ratura apei ¿i aerului sunt egale. Ea se determinå pe baza

ecua¡iei lui Dalton:( )( ) E e ea s a= − +0 35 0 5 0 54, , , u⋅ (mm/zi), (2.3.2)

unde:u este viteza vântului în m/s;

- presiunea de satura¡ie a vaporilor de apå care se determinå func¡iede temperaturat a aerului (v. tab. 2.2.2);

es

28



29

ea

ea es

es

ea

E a

H R R I B

atmosferei, func¡ie de latitudine ¿i de timp (tab. 2.3.2);

- presiunea absolutå (presiunea efectivå) a vaporilor de apå ce sedeterminå pe baza rela¡iei:

= h⋅ , (2.3.3)

unde h este umiditatea relativå.Utilizând datele din tabelele 2.2.2 ¿i 2.3.1, pentru primul caz rezultå:

= 11,98 mmHg pentrut = 14oC;

= 0,6⋅11,98 = 7,19 mmHg;

= 0,35 (11,98 - 7,19)(0,5 + 0,54⋅1,5) = 2,1 mm/zi.

Radia¡ia netå H se determinå pe baza urmåtoarei ecua¡ii:

= − , (2.3.4)

unde:este radia¡ia de lungime de undå scurtå; R I

R B

R I

( )

Radia¡ia de lungime de undå scurtå se determinå pe baza urmåtoarei

rela¡ii:

- radia¡ia de lungime de undå lungå:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−=

Dn

r R R A I 4802001 ,,

R A

, (2.3.5)

unde:este radia¡ia de lungime de undå scurtå la limita superioarå a

n D

de a

r = 0,06 - albedoul apei.

- durata relativå soarelui, unde

n reprezintå durata efectivå de strålucire a soarelui, iar

Pentru datele din tabelul 2.3.1 ( = 125 cal/

D reprezintå durata maximå posibilå;

R A

strålucire

7502 ,;zicm =⋅ Dn ) rezultå:



30

Radiaţia de lungime de undă scurtă la limita superioar ă a atmosferei funcţie de latitudineş R A

Latitudinea R A ( cal cm zi / 2⋅ )

Luna I II III IV V VI VII VIII IX90 0 0 40 475 900 1085 1010 670 17080 0 0 125 480 890 1075 995 660 25570 0 70 275 565 855 1025 945 685 38560 90 215 425 670 890 1000 945 770 51050 225 360 555 750 930 1010 970 830 64040 380 505 675 845 965 1020 985 895 74030 520 630 775 895 975 1000 990 925 820

NORD

20 660 750 850 920 960 965 960 935 875 10 780 840 900 925 915 900 905 915 905 0 885 915 925 900 850 820 830 870 905

10 965 960 915 840 755 710 730 795 87520 1020 975 885 765 650 590 615 705 82030 1050 965 830 665 525 460 480 595 75040 1055 925 740 545 390 315 345 465 65050 1035 865 640 415 250 180 205 325 52560 1000 785 510 280 110 55 75 190 39070 1000 695 375 130 10 0 0 55 25080 1035 645 225 15 0 0 0 0 100

SUD

90 1055 660 135 0 0 0 0 0 15



= 125 (1 - 0,06) (0,20 + 0,48⋅ 0,75) = 65,8 cal/ cm ⋅ zi. R I 2

Radia¡ia de lungime de undå lungå se calculeazå pe baza urmåtoarei

rela¡ii empirice: R B

R B = ( )σ ⋅ − ⋅ +⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟T e n

Da a4 0 47 0 077 0 20 0 80 , , , , , (2.3.6)

unde:

este temperatura absolutå a suprafe¡ei påmântului (înT aoK)

( = 273 +t );T a

= 117,4σ ⋅ −10 9 (cal/ ⋅ zi ⋅cm 2 oK) - constanta Stefan-Boltzman;

Pentru datele din tabelul 2.3.1 ( 75014 ,;Co == Dn

t ) se ob¡ine:

= 117,4 R B ( ) ( )( )⋅ + − ⋅ + ⋅−10 273 14 0 47 0 077 7 19 0 20 0 80 0 759 4 , , , , , , =

= 167,79 cal/ cm ⋅ zi.2

Radia¡ia netå H rezultå:

H = 65,8 - 167,79 = - 101,99 cal/ ⋅ zi.cm 2

Având în vedere cå pentru evaporarea a 1 mm de apå/zi este necesarå o

cantitate de cåldurå de 60 cal/ cm ⋅zi, rezultå radia¡ia netå în mm/zi:2

H = −+

= −1019960

169,, mm/zi.

Panta curbei de saturare a vaporilor de apå se determinå încadrândtemperatura între douå valori vecine: , respectiv ,

cårora le corespund presiunile de satura¡ie

Co14=t C,' o114=t C," o913=t

0612 ,' =e , respectiv Hgmm," 9111=e ;prin urmare:

""

t t ee

−′−′=∆ = .75,0

9,131,1491,1106,12 =

−−

Utilizând formula (2.3.1) se ob¡ine evapora¡ia de la suprafa¡a apei:

31



32

( ) E0

0 75 169 0 49 2 10 75 0 49

0198= − + ⋅

+ = −, , , ,

, ,,

0

E 0 E 1 E 2 E 3

E 1

Evapora¡ia E poate fi determinatå ¿i pe baza nomogramei din figura 2.3.1astfel:

mm/zi.

= + + , (2.3.7)

unde:

= γ+∆⋅∆ B R

E 2= - 1,72 mm/zi; = γ+∆⋅∆ I R

E 3

= 0,68 mm/zi;

=γ+∆

⋅∆ a E E 0

E 0

Pentru celelalte douå cazuri, calculele se efectueazå pe baza nomogramei dinfigura 2.3.1, iar rezultatele se prezintå în tabelul 2.3.3. ¥n aceste nomogrames-au marcat cu cercule¡e valorile datelor de intrare prin care se duc drepte careintersecteazå verticalele corespunzåtoare celor 3 valori ale evapora¡iei poten¡iale;aceste valori sunt marcate cu asterisc.

¥n acest caz existå transfer de vapori din aer spre suprafa¡a apei, ceea ce indicåcondensare.

= 0,85 mm/zi; = - 1,72 + 0,68 + 0,85 = - 0,19 mm/zi.

Tabelul 2.3.3

Evaporaţia de la suprafaţa apei

Nr.crt.

E 1 (mm/zi)

E 2 (mm/zi)

E 3 (mm/zi) (mm/zi)

1 - 1,72 0,68 0,85 - 0,19

2 - 0,9 4,0 0,6 3,73 - 0,97 0,97 0,61 0,3



Fig. 2.3.1. Nomogramă pentru determinarea evapora ţiei bazată pe formula Pennma

33



Aplica ţia 2.4

EVAPOTRANSPIRAŢIA POTENŢIAL Ă UTILIZÂND FORMULA THORNTHWAITE

Så se determine evapotranspira¡ia poten¡ialå utilizând formula luiThornthwaite pentru luna iulie 1989 (t = 28oC) ¿i pentru luna iulie 1990(t = 23oC) pentru o localitate al cårei climat este caracterizat de urmåtoarele date:

− temperatura medie lunarå multianualå înoC (tab. 2.4.1):

Tabelul 2.4.1

Date de baz ă

Luna Temperatura Luna Temperatura Luna Temperatura

Ianuarie - 3 Mai 14 Septembrie 14Februarie 1 Iunie 18 Octombrie 10Martie 6 Iulie 20 Noiembrie 6Aprilie 10 August 18 Decembrie 1

− durata medie de strålucire a soarelui pentru luna iulie este de 15 ore.Se face ipoteza cå indexul caloric al lunii cu temperaturå mai micå de 0oCeste zero.

Rezolvare:

Evapotranspira¡ia poten¡ialå lunarå ETP utilizând formula lui Thornthwaite,exprimatå în cm/lunå, este:

1230 ⋅

⋅⋅= zT S

ETP ETP * (cm), (2.4.1)

unde:a

J t

ETP ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅=

1061,* (cm); (2.4.2)

514112

1 5

,∑ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝ ⎛ = nt J ; (2.4.3)

34



4980101781077110675 42739

,+⋅+⋅−⋅= −−−

J J J a , (2.4.4)unde:

este temperatura medie lunarå;t - temperatura medie lunarå multianualå pentru lunan;t n J - indexul caloric anual;

S - numårul de zile din luna consideratå;- numårul mediu de ore între råsåritul ¿i apusul soarelui din luna

consideratå.T z

Utilizând datele prezentate anterior rezultå:

( J t n= ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ = + + + + +∑ 5

15

0 1 6 10 141

12 1514

15141 514 1 514 1 514 1 514 1 514

,

,, , , , ,

+ 51415141514151415141 1014182018 ,,,,, ++++ )51415141 16 ,, ++ = 40,1.

Se observå cå pentru luna ianuarie 0=nt , ceea ce revine la a consideraindexul caloric lunar nul.

;1314980140101781401077114010675 42739

,,,,, =+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅= −−−

a

4214140

281061

131

1989 ,,

,,

* =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅=iulie ETP cm;

5511140

231061

131

1990 ,,

,,

* =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅=iulie ETP cm;

ETPiulie 1989 14 4231 15

30 121863= ⋅

⋅

=, , cm;

ETPiulie 1990 115531 1530 12

1491= ⋅

⋅ =, , cm.

35



36

t di

- coeficient de corec¡ie func¡ie de norma de udare (tab. 2.5.3);

p - raportul dintre numårul de ore luminå al lunii de calcul ¿i numårulanual de ore luminå (tab. 2.5.2);

Aplica ţia 2.5

EVAPOTRANSPIRAŢIA POTENŢIAL Ă UTILIZÂND FORMULELE BLANEY-CRIDDLEŞI TURC

Så se calculeze evapotranspira¡ia poten¡ialå decadalå, utilizând formuleleBlaney-Criddle ¿i Turc la Sistemul de iriga¡ii Stoene¿ti, pentru luna iulie 1989,dispunând de urmåtoarele date sau informa¡ii despre sistem:

− - temperatura medie decadalå;

− h - umiditatea relativå;− n

D di

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

o,943

000.

- frac¡ie de insola¡ie decadalå ce se prezintå în tabelul 2.5.1;

− latitudinea medie a sistemului este N;− norma de udare este de1 mc/ha;− culturile irigate sunt cereale.

Tabelul 2.5.1

Date de baz ă utilizate

Decada I II III

dit (oC) 18,5 22,8 20,5h (%) 52 65 55

n D di

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ 0,7 0,85 0,75

Rezolvare:

a) Pentru determinarea evapotranspira¡iei poten¡iale lunare ETP în mm/lunåse poate utiliza formula Blaney-Criddle stabilitå experimental pentru vestul SUA:

( ) ETP t p f k = + ⋅ ⋅813 4 58, ,

t este temperatura medie lunarå înoC;unde:

f

⋅ , (2.5.1)



37

Numărul relativ de ore lumină

p%LunaLatitudinea I II III IV V VI VII VIII IX

42 6,62 6,65 8,31 9,00 10,14 10,21 10,35 9,62 8,40

44 6,69 6,58 8,30 9,05 10,26 10,38 10,49 9,70 8,41

46 6,33 6,50 8,29 9,12 10,39 10,54 10,64 9,79 8,42

48 6,17 6,42 8,28 9,18 10,53 10,71 10,80 9,89 8,44

Coeficient de corecţie a evapotranspiraţiei funcţie de norma de udare

Normade udare( m 3 /ha)

300 400 500 600 700 800 1000 1200 14

f 1,60 1,48 1,40 1,34 1,30 1,27 1,20 1,14 1,



k - factor care ¡ine seama de cultura agricolå ¿i de zona climaticå(tab. 2.5.4).

Pentru zona Stoene¿ti, considerând o normå de udare de 1000 ¿i culturi detip cereale, evapotranspira¡ia poten¡ialå pentru luna iulie 1989, caracterizatå detemperatura medie lunarå :

3m

C,,,, o6203

520822518≈++=t

are valoarea:

( ) ETP = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅813 4 58 20 6 10 35 12 0 75, , , , , , =

a

= 1636m h3 lunå = 163,6 mm/ lunå.m 2

Tabelul 2.5.4

Factor de corec ţie a evapotranspiraţiei

k Culturizonå umedå zonå aridå

Legume, cartofi, sfeclå de zahår 0,65 0,70Cereale 0,75 0,85På¿uni 0,75 -

Evapotranspira¡ia poten¡ialå decadalå se determinå cu rela¡ia: ETPdi

ETP t

t ETP

didi= ⋅

3, (2.5.2)

unde:este temperatura medie decadalå;t di

- temperatura medie lunarå.t Evapotranspira¡ia decadalå în zona Stoene¿ti este:

ETPd 118 520 6

16363

48 9= ⋅ =,,

,, mm;

38



ETPd 2 22 820 6 16363 60 4= ⋅ =,, , , mm;

ETPd 320 520 6

16363

54 3= ⋅ =,,

,, mm.

b) Pentru calculul evapotranspira¡iei decadale poten¡iale în mm, în¡ara noastrå a fost adoptatå formula Turc:

ETPdi

ETPdi = ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++ 70

50150620180

15

130 h

D

n R

t

t

di A

di

di ,,, , (2.5.3)

unde:este temperatura medie decadalå;dit

- umiditatea relativå exprimatå în procente. Dacåh > 50%,h termenul al doilea din ultima parantezå nu se

mai ia în considerare;n

D di

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ - durata relativå de strålucire a soarelui în decadadi;

- radia¡ia de lungime de undå scurtå la limita superioarå a

atmosferei, care pentru luna iulie ¿i latitudinea de

R A

943 , oNeste de 979 cal/ zi (tab. 2.3.2).cm 2

Utilizând datele din tabelul 2.5.1 ¿i formula (2.5.3) rezultå evapotranspira¡ia

decadalå:

( )[ ] 746507062018097915518

5181301 ,,,,

,,, =+⋅++

=d ETP mm;

( )[ ] 25850850620180979

15822

8221302 ,,,,

,

,, =+⋅++

=d ETP mm;

( )[ ] 16515075062018097915520

5201303 ,,,,

,,, =+⋅++

=d ETP mm.

Dupå cum se observå, deoarece umiditatea relativåh depå¿e¿te valoarea de50%, ultima parantezå a fost consideratå egalå cu unitatea.

39



Se men¡ioneazå cå formula Turc då rezultate ce sunt într-o bunå concordan¡åcu datele ob¡inute din måsuråtori.

Aplica ţia 2.6

EVAPOTRANSPIRAŢIA REAL Ă UTILIZÂND FORMULA TURC

Så se determine pentru un bazin hidrografic evapotranspira¡ia realå mediemultianualå considerând datele de la aplica¡ia 2.4 ¿i precipita¡ia medie multi-anualåP = 820 mm.

Rezolvare:

Evapotranspira¡ia realå medie multianualå ( ETR ) pentru un bazin hidrograficse poate determina utilizând formula Turc:

ETR =

( )22

90

t L

P

P

+,

, (2.6.1)

cu:= 300 + 25⋅ t + 0,05 , (2.6.2)( )t L

3t

unde:este temperatura medie multianualå înt

oC; P - precipita¡ia medie multianualå în mm;

Temperatura medie multianualå se calculeazå astfel:

t = − + + + + + + + + + +=3 1 6 10 14 18 20 18 14 6 112

9 58, oC;

.( ) 4658358905058925300 3 ,,,, =⋅+⋅+=t L

Utilizând formula (2.6.1) rezultå evapotranspira¡ia realå medie multianualå:

ETR = 820

0 9 82058346

4832

,,

+ ⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

= mm/an.

40



3

INFILTRA ŢIA

Aplicaţia 3.1

(dupå: Butler, Engineering Hydrology )

CURBA DE INFILTRAŢIE

Så se selecteze din curbele de infiltra¡ie prezentate în figura 3.1.1, cea maipotrivitå curbå pentru urmåtoarele situa¡ii:

a) curba standard - cea mai uzualå formå;b) teren acoperit cu asfalt;c) nisip pråfos fårå vegeta¡ie;

d) argilå uscatå cu cråpåturi;e) sol ce con¡ine pungi de aer greu de absorbit.

Fig. 3.1.1. Curbe de infiltraţie.

41



Rezolvare:

; b ; c ; d ;a − 3 −6 −2 −4 e −1 .

Aplica ţia 3.2

VITEZA DE INFILTRAŢIE

Viteza de infiltra¡ie este guvernatå de un mare numår de factori; opt dintreace¿tia sunt men¡iona¡i în prima coloanå a tabelului 3.2.1. Completa¡i cåsu¡eletabelului cu semnul + sau - dupå cum factorii men¡iona¡i în prima coloanå auefecte benefice (pozitive) sau pågubitoare (negative) asupra domeniilormen¡ionate.

Dacå efectul unui anumit factor este nesemnificativ sau existå îndoieliasupra importan¡ei lui, ca urmare a interac¡iunii cu al¡i factori, se va completacu simbolul“0” cåsu¡a corespunzåtoare din tabelul 3.2.1.

Tabelul 3.2.1

Matricea factorilor care influenţerază viteza de infiltraţie

Domenii de interes

FactoriConservarea

solului(prevenireaeroziunii)

Conservareaapei

subterane

Controlulviiturii

Conservareascurgerii desuprafa¡å

1. Teren accidentat(cu pante neregulate)

+ + +

2. Teren cu panteuniforme

+

3. Ploi în rafale custropi mari

0 +

4. Iriga¡ii în exces + +5. Existen¡a unui stratimpermeabil la micåadâncime

+

6. Nivelul de apesubteranela mare adâncime

0 sau + + sau

7. Sol fårå vegeta¡ie sau 0 0 sau +8. Sol cu iarbå deaså + + +

42



Aplica ţia 3.3

DETERMINAREA PARAMETRILOR CURBEI DE INFILTRAŢIE HORTON

Pentru determinarea parametruluik din formula Horton s-au efectuat o seriede måsuråtori ale intensitå¡ii a infiltra¡iei la diverse momente .i f t i Rezultatele måsuråtorilor sunt prezentate în tabelul 3.3.1.

Tabelul 3.3.1

Valorile măsurate ale intensităţii infiltraţiei

i it i f i it i f

1 1′ 13 8 4 h 4,52 40′ 10,5 9 4 h 40′ 43 60′ 8,5 10 5 h 30′ 44 1 h 45′ 8 11 6 h 4,55 2 h 30′ 7 12 6 h 20′ 3,56 2 h 45′ 5,5 13 7 h 20′ 3,57 3 h 30′ 6 14 8 h 3,5

Rezolvare:

Dupå cum se ¿tie, formula lui Horton are urmåtoarele expresii:

( ) ( ) t k c e f f f t f −⋅−+= 00 , (3.3.1)

respectiv:

( ) ( ) (kt c

t

ek

f f

t f dt t f t F −−

−+==

∫ 10

00 ), (3.3.2)unde:

este viteza de infiltra¡ie la timpult , în mm/min;( )t f - cantitatea totalå de apå infiltratå de la momentul ini¡ial pânå la

momentult (exprimatå în mm coloanå de apå);( )t F

- viteza de infiltra¡ie în primul minut, în mm/min;0 f

43



- viteza de infiltra¡ie dupå stabilizarea procesului (valoareconstantå, în mm/min);

c f

- factor invers de timp ( sauore ).k min 1− −1

Dupå cum se observå din tabelul 3.3.1, = 13 mm/min, iar = 3,5 mm/min.0 f c f

Mai råmâne de determinat parametrul .k ¥ntrucât formula lui Horton este neliniarå în raport cu parametrul (ceea cear crea dificultå¡i la aplicarea metodei celor mai mici påtrate formulei ini¡iale)se procedeazå la liniarizarea ecua¡iei infiltra¡iei.

k

Se poate scrie: ( ) t k

c

ce f f

f t f −=−

−

0 . (3.3.3)

Prin logaritmare se ob¡ine:

ln ( )t k

f f f t f

c

c −=−−

0. (3.3.4)

Calculele sunt efectuate în tabelul 3.3.2.

Tabelul 3.3.2

Calculul valorilor transformate ale ordonatelor în noul sistem de coordonate

i f (t )( )

c

c f f f t f

−−

0 ln ( )

c

c f f f t f

−−

0

1 13 1 02 10,5 0,736842 - 0,3053 8,5 0,5263157 - 0,6414 8 0,4736842 - 0,7465 7 0,368421 - 0,9976 5,5 0,2105263 - 1,5567 6 2,368421 - 1,4398 4,5 0,1052631 - 2,2499 4 0,0526315 - 2,941110 4 0,0526315 - 2,94111 4,5 0,1052631 - 2,24912 3,8 0,0315789 - 3,45113 3,6 0,105263 - 4,54914 3,5 0 ∞−

44



Reprezentarea graficå a punctelor ini¡iale ( , ), precum ¿i a punctelor din

noul sistem de coordonate:

it i f

( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−

c

cii f f

f t f t 0

, se poate urmåri pe figura 3.3.1

(I. Vladimirescu ¿.a., 1987).

Fig. 3.3.1. Evaluarea parametrului k şi trasarea curbei Horton teoretice.

Pe aceea¿i figurå s-a trasat ¿i dreapta:

ln t k f f f f

c

c −=−−

0,

care permite evaluarea imediatå a luik :

⋅−=t

k 1 ln

c

c f f f f

−−

0.

Pentrut = 7,75 ore,

45



lnc

c f f f f

−−

0 = 4− ,

deci: ( )=−−= 4757

1

,k 0,52 .ore −1

¥n continuare se calculeazå valorile teoretice (dupå Horton) ale intensitå¡ii

infiltra¡iei la diverse momentet (tab. 3.3.3).

Tabelul 3.3.3

Calculul valorilor teoretice ale intensităţii infiltraţieit

(ore)kt − ( )

c

ct k

f f f t f

e −−=−

0 ( )t f

(mm/min)1 - 0,52 0,5945 9,152 - 1,04 0,35345 6,863 - 1,56 0,2101 5,494 - 2,08 0,1249 4,685 - 2,60 0,07427 4,206 - 3,12 0,04415 3,927 - 3,64 0,02625 3,758 - 4,16 0,01561 3,65

Prin punctele astfel calculate se traseazå curba teoreticå (v. fig. 3.3.1).

Aplica ţia 3.4

CAPACITATEA DE INFILTRAŢIE UTILIZÂND FORMULA HORTON

Pentru un anumit tip de sol, infiltra¡ia este descriså de formula lui Horton aicårei parametri sunt urmåtorii:

− capacitatea maximå de infiltra¡ie = 50 mm/orå; f 0− capacitatea minimå de infiltra¡ie = 10 mm/orå;c f

− coeficientul exponen¡ialeik = 0,69 ore ( = 0,5).1− e k −

Se cere:

a) Determinarea infiltra¡iei poten¡iale , considerând o ploaie continuå cuintensitatea constantå de 50 mm/orå.

p f

46



b) Determinarea capacitå¡ii de infiltra¡ie pentru o ploaie având urmåtoarelevalori ale intensitå¡ii: 50 mm/orå, 10 mm/orå, respectiv 35 mm/orå;

c) Determinarea vitezei reale de infiltra¡ie pentru aceastå precipita¡ie.

Rezolvare:

a) Infiltra¡ia poten¡ialå corespunde cazului în care factorul limitativ îlconstituie natura solului, intensitatea precipita¡iilori depå¿ind viteza f de

infiltra¡ie în teren.

p f

¥n acest caz valoarea maximå posibilå a intensitå¡ii infiltra¡iei este datå deformula lui Horton:

( ) ct k

c p f e f f t f +−= −0)( ; (3.4.1)i f p≥

Pentru: t = 1 orå: ( ) 105,010501 +⋅−= p f = 30 mm/orå;

t = 2 ore: ( ) f p2250 10 05 10= − ⋅ + , = 20 mm/orå;

t = 3 ore: ( ) 105,01050 33 +⋅−= p f = 15 mm/orå;

t = 4 ore: ( ) f p4450 10 0 5 10= − ⋅ + , = 12,5 mm/orå.

Rezultatele sunt prezentate în figura 3.4.1.

Fig. 3.4.1. Alura infiltraţiei potenţiale: a – precipitaţia de intensitate I = 50 mm/or ă;

b – capacitatea de infiltraţie corespunzătoare ( ). p f i ≥

47



b) Capacitatea de infiltra¡ie în cazul în care intensitatea ploii în intervaluleste mai micå decât infiltra¡ia poten¡ialå dupå Horton ( ),

se ob¡ine cu urmåtoarea rela¡ie care rezultå de altfel din formula luiHorton :

( 21 t t , ) p f i <

−

1t cap f 2t cap f ( ) t f ik c ∆⋅−≅ , (3.4.2)

unde ¿i reprezintå capacitatea de infiltra¡ie la momentelesuccesive , respectiv .

1t cap f 2t cap f

1t 2t

Din rela¡ia (3.4.2) se ob¡ine imediat capacitatea de infiltra¡ie lasfâr¿itul pasului de calcul:

2t cap f

2t cap f ( ) t f ik f ct cap ∆⋅−−≅

1. (3.4.2)

1. Calculul lui (t = 1 orå):1cap f

Deoarece , se va utiliza rela¡ia (3.4.1):0010 f f i p =≥−

( ) ct k

c p f e f f t f +−= −0)( ;

1cap f = ( ) 10501050

1 +⋅−= ,

p f = 30 mm/orå.

2. Calculul lui (t = 2 ore):2cap f

Deoarece , se va utiliza rela¡ia (3.4.2):121 p f i <−

2t cap f ( ) t f ik f ct cap ∆⋅−−≅

1.

Ca urmare, se ob¡ine:

2t cap f ( ) 301101069030 =⋅−−≅ , ;

= 30 mm/orå.2t cap f

Se observå cå valoarea capacitå¡ii de infiltra¡ie de la începutul intervaluluieste egalå cu cea de la sfâr¿itul lui, ceea ce înseamnå cå o cantitate de apå egalåcu cea care se deplaseazå prin percolare spre profunzime este înlocuitå de apacare se infiltreazå pe durata pasului de timp.

Dacå intensitatea ploii ar fi fost mai micå de 10 mm/orå, termenul dinparantezå ar fi rezultat negativ, ceea ce înseamnå cå ar fi depå¿it2 p f

48



30 mm/orå ¿i deci ar fi fost mai mare decât valoarea de la începutul intervalului;cu alte cuvinte, dreapta reprezentând varia¡ia capacitå¡ii de infiltra¡ie ar fi avut opantå pozitivå. Rezultatul se explicå prin faptul cå pe måsurå ce frontul umed sedeplaseazå pe verticalå, în profunzime, se creazå o capacitate suplimentarå de înmagazinare, deoarece volumul intrat prin infiltra¡ie în stratul de sol este maimic decât cel percolat.

¥n condi¡iile în care intensitatea ploii ar fi fost cuprinså între 10 ¿i 20 mm/orå(care reprezintå valoarea lui ), se utilizeazå, de asemenea, rela¡ia (3.4.2), darpanta dreaptei care reprezintå varia¡ia capacitå¡ii de infiltra¡ie ar fi fostnegativå; aceasta înseamnå cå volumul de apå percolat este mai redus decâtvolumul infiltrat, ceea ce reprezintå de fapt o reducere în cadrul pasului acapacitå¡ii de infiltra¡ie.

2 p f


Deoarece sau înlocuind 35 mm/orå> 20 mm/orå, se va utilizarela¡ia (3.4.1):

232 p f i ≥−

( ) ct k

c p f e f f t f +−= −0)( .

¥n acest caz, originea timpului o reprezintå momentul2=t ¿i deci; totodatå, la momentul

20 t cap f f = 3=t , din acela¿i motiv în rela¡ia anterioarå

se va considera .1=t Se ob¡ine deci:

( ) ( ) ck

capcct k

ccap f e f f f e f f f +−=+−= −⋅−203

sau:( ) 105010303 +⋅−= ,cap f = 20 mm/orå.


Deoarece , sau înlocuind 0 mm/orå< 15 mm/orå , se va utilizarela¡ia (3.4.2):

343 p f i <−

( ) t f ik f f ct capt cap ∆⋅−−≅34

.


( ) 9261100690204

,, =⋅−−≅t cap f ;

49



Fig. 3.4.2. Alura infiltraţiei pentru o ploaie oarecare. a – precipitaţia;b – capacitatea de infiltraţie pentru o ploaie continuă de mm/orå50

c - capacitatea de infiltraţie pentru ploaia din figur ă; d - viteza reală de infiltraţie.

Valoarea capacitå¡ii de infiltra¡ie de la sfâr¿itul intervalului este mai maredecât valoarea de la începutul intervalului, deoarece prin deplasarea frontuluiumed în profunzime, se creeazå o capacitate suplimentarå de înmagazinare.

Valorile astfel ob¡inute sunt reprezentate în figura 3.4.2.

c) ¥n cazul în care, la momentult intensitatea precipita¡iei devine mai micådecât valoarea capacitå¡ii de infiltra¡ie, viteza realå (efectivå) de infiltra¡ieeste egalå cu intensitatea precipita¡iei:

r f

)()()( 00 +=+= t it f t f r r .

Cu alte cuvinte, viteza realå de infiltra¡ie este o func¡ie discontinuå lastânga momentuluit, prezentând un salt în punctult , ¿i este continuå la dreaptaacestuia:

r f

)()()( 00 +=≠− t f t f t f r r r .

Dacå dupå o astfel de situa¡ie, intensitatea precipita¡iei este din nou mai maredecât valoarea capacitå¡ii de infiltra¡ie, viteza realå de infiltra¡ie este egalå cucapacitatea de infiltra¡ie:

r f

)()()( t f t f t f capr r =+= 0 .

50




t = 1 orå: 0010 f f i cap ==− ⇒ 101 capr f f =− = 30 mm/orå;

⇒121 cap f i <− 2101 −+ = i f r = 10 mm/orå;

t = 2 ore: 2102 −− = i f r = 10 mm/orå;

⇒232 cap f i >− 202 capr f f =+ = 30 mm/orå;

t = 3 ore: 303 capr f f =− = 20 mm/orå;

⇒343 cap f i <− 4303 −+ = i f r = 0 mm/orå;t = 4 ore: =−04r f 0 mm/orå.

Curbele de infiltra¡ie sunt prezentate în figura 3.4.2.

Aplica ţia 3.5

DETERMINAREA CAPACIT ĂŢII DE INFILTRAŢIEUTILIZÂND PARCELELE DE SCURGERE

Pe o parcelå experimentalå de 2 x 10 , cu ajutorul unei instala¡ii de ploaieartificialå se produce o ploaie de intensitate constantå de 50 mm/orå. Dupå oanumitå perioadå de timp scurgerea atinge o valoare constantå 0,25 .Hidrograful scurgerii dupå oprirea ploii este prezentat în tabelul 3.5.1.

m2

=mq s / l

Tabelul 3.5.1

Hidrograful scurgerii ( )s / l

Nr.crt.

Timpul dupå încetarea ploii (min)

Scurgereaq ( )s / l

Scurgereaq (mm/orå)

1 0 0,25 45,02 5 0,13 23,4

3 10 0,07 12,64 15 0,03 5,45 20 0,00 0,00

Se cere så se determine: a) Care este scurgerea în mm/orå aferentå acestei parcele experimentale;b) Care este capacitatea minimå de infiltra¡ie;.c) Care este capacitateaS a depresiunilor de la suprafa¡a solului.

51



Rezolvare:

a) ConstantaCT pentru transformarea scurgerii aferentå unei suprafe¡edin în mm/orå se determinå astfel:2m20A= s / l

A /sdm1

A /s1 3

== lCT = 180=

⋅⋅⋅

⋅

26

36

mm10102ore3600

1mm101 mm/orå.

¥n continuare:

)s / ()mm/orå ( lqCT q ⋅= .Scurgereaq transformatå din în mm/orå se prezintå în coloana 3 a

tabelului 3.5.1. Se observå cå debitul maxim, înregistrat la încetarea ploii este.

s / l

orå / mm451 ==qqm

b) Capacitatea minimå de infiltra¡ie corespunde momentului de lasfâr¿itul ploii, când scurgerea, ca ¿i infiltra¡ia, a ajuns la o valoare stabilizatå.Prin urmare :

c f

c f = 54550 =−=− mqi mm/orå.

c) Pe graficul din fig. 3.5.1, pe durata ploii sunt reprezentate urmåtoarelecurbe:

Legendå: 1- varia¡ia capacitå¡ii de infiltra¡ie;2- stocaj la suprafa¡a terenului ¿i în depresiuni;3- scurgerea de suprafa¡å;4-infiltra¡ie dupå încetarea ploii;

5-scurgerea de suprafa¡å dupå încetarea ploii.

Fig. 3.5.1. Variaţia în timp a intensităţii ploii, capacităţii de infiltraţieşi a debitului obţinut pe o parcelă de scurgere.

52



− curba intensitå¡ii ploii (valoare constantå de 50 mm/orå);− curba de infiltra¡ie, dupå Horton;− scurgerea la suprafa¡a terenului.

Dupå terminarea ploii, hidrograful debitelor descre¿te de la valoarea CD lavaloarea zero în punctul B. Valorile discretizate ale acestor debite se noteazåprin .,.....,, 521 qqq

Se face ipoteza, cå infiltra¡ia, care avea la încetarea ploii valoarea AD,descre¿te similar cu hidrograful debitelor pânå în punctul B. Suprafa¡atriunghiului DCB reprezintå volumul scurs, în timp ce suprafa¡a triunghiuluiADB corespunde volumului infiltrat. Atât infiltra¡ia, cât ¿i scurgerea desuprafa¡å se realizeazå pe seama volumului acumulatS în depresiunile de lasuprafa¡a terenului; acest volum corespunde suprafe¡ei cuprinså între curba deinfiltra¡ie ¿i curba scurgerii de suprafa¡å.,

Dupå cum s-a aråtat, capacitateaS a depresiunilor de la suprafa¡a soluluieste egalå cu suprafa¡a ariei ABC.

ADBBCDABC Ω+Ω=Ω=S .

Se ¡ine cont de faptul cå infiltra¡ia descre¿te propor¡ional cu hidrografuldebitelor:

m

cq f =

ΩΩ

BCDADB .

Rezultå:

=Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=Ω+Ω=Ω+Ω= BCDBCDBCDADBBCD

m

c

m

cq f

q f S 1

= BCDBCD, Ω=Ω⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ + 11145

51

;.

=∆⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ++++=Ω t

qqqq

q225

4321

BCD

= 35605

20

456124232

45 ,,,, =⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ++++ mm.

53



Volumul acumulat în depresiunile de la suprafa¡a solului este deci:

9535111111 ,,,, BCD =⋅=Ω⋅=S mm.

Aplica ţia 3.6

CALCULUL VITEZEI REALE DE INFILTRAŢIE UTILIZÂND FORMULA HOLTAN

Pe o parcelå cu sol de grupaC ce a fost cultivatå cu grâu a cårui stare devegeta¡ie este foarte bunå, cade precipita¡ia I prezentatå în tabelul 3.6.1.

Tabelul 3.6.1

Caracteristicile ploii

t (ore) 1 2 3 4l (mm/orå) 35 50 25 10

Se cere: Så se determine, utilizând formula lui Holtan, viteza realå de infiltra¡ie

pentru fiecare interval de timp, cunoscând:

− deficitul ini¡ial de umiditate al solului D = 40 mm;− indicele stårii de vegeta¡ie esteGI = 1;− drenajul p este egal cu capacitatea de infiltra¡ie minimå;− pierderile prin evapotranspira¡ie ¿i intercep¡ie se neglijeazå.Rezolvare:

Având în vedere cå solul este de clasåC ¿i este cultivat cu grâu se adoptåurmåtoarele valori ale parametrilor:

− capacitatea de infiltra¡ie minimå = 3 mm/orå;c f − coeficientul tipului de culturåa = 0,4.Capacitatea de infiltra¡ie conform formulei lui Holtan este:

p f

f p c f DaGI +⋅⋅= 41, . (3.6.1)

La fiecare momenti, deficitul de umiditate a solului (volumul de apå carese mai poate acumula în primul strat de sol) se ob¡ine pe baza ecua¡iei de bilan¡:

i D

11 1 −− +−=− ir ii p f D D

i. (3.6.2)

54



Pentru: i = 1(t = 1 orå); =1 D 40 mm;

= 72,9 mm/orå,340401 411

+⋅⋅= ,, p f

deoarece11 p f I < ⇒ 11

I f r = = 35 mm/orå.

i = 2 (t = 2 ore); 8335402 =+−= D mm;

= 10,4 mm/orå,384,01 4,12

+⋅⋅= p f

deoarece22 p f I > ⇒

22 pr f f = = 10,4 mm.

i = 3 (t = 3 ore): 341083 ++= , D = 0,6 mm;

= 3,2 mm/orå,36,04,01 4,13

+⋅⋅= p f

deoarece33 p f I > ⇒

33 pr f f = = 3,2 mm/orå.

i = 4 (t = 4 ore): 323604 +−= ,, D = 0,4 mm;

= 3,1 mm/orå,

deoarece

34,04,01 4,14

+⋅⋅= p f

44 p f I > ⇒44 pr f f = = 3,1 mm/orå.

Infiltra¡ia cumulatå F este: = 51,7 mm.∑=

+++==4

11,32,34,1035

j r j

f F

Valorile calculate pentru capacitatea de infiltra¡ie , respectiv pentru vitezarealå de infiltra¡ie , la fiecare moment de timp sunt prezentate în coloanele 5,respectiv 6 ale tabelului 3.6.2.

p f

r f

Tabelul 3.6.2

Curbele de infiltraţie

Nr.crt.

t (ore)

I(mm/orå)

D (mm)

p f (mm/orå)

r f (mm/orå)

1 2 3 4 5 61 1 35 40 72,9 352 2 50 8 10,4 10,43 3 25 0,6 3,2 3,24 4 10 0,4 3,1 3,1

Total 120 - 89,6 51,7

55



Aplica ţia 3.7

INFILTRAŢIA MEDIE PE BAZIN

Pe un bazin hidrografic cu suprafa¡a de 10 cade timp de 4 ore o ploaiede intensitate I variabilå de timp (tab. 3.7.1).

km 2

Tabelul 3.7.1

Caracteristicile ploii

t (ore) 1 2 3 4 I (mm/orå) 10 30 20 25

Analizând caracteristicilor solului din bazin s-au determinat urmåtoarelevalori ale parametrilor modelului de infiltra¡ie:

− umiditatea in¡ialå:UI = 20 mm;− capacitatea maximå de infiltra¡ie corespunzåtoare gradului de saturare

ini¡ialå a solului: = 50 mm/orå;0 f − capacitatea minimå de infiltra¡ie: = 2 mm/orå;c f − percola¡ie: p = 2 mm/orå.

Se cere så se determine capacitatea de infiltra¡ie medie pe bazin ¿iinfiltra¡ia realå medie pe bazin în ipoteza cå intercep¡ia ¿i evapotranspira¡ia

sunt neglijabile.

p f

r f ER

Rezolvare:

Capacitatea de infiltra¡ie medie pe bazin se determinå utilizând formula(ªerban ¿.a, 1989):

p f

( ) cc

p f UI USZN

f f f ++−

−=21

0

1 / , (3.7.1)

unde USZN este umiditatea solului din zona nesaturatå, calculatå la fiecaremomenti dintr-o rela¡ie de bilan¡:

it ER p f USZN USZN ir ii −−+= −− − 11 1

. (3.7.2)

Dupå cum s-a aråtat, evapotranspira¡ia ER se considerå neglijabilå.

56



se ob¡ine: p f

I 2

=1

OB .

¥n aceste condi¡ii, infiltra¡ia realå medie pe bazin (aria OBDFC) este:r f

p p f I I I

f I I

422

11

2

1 2−=⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅=Ω−Ω=Ω OAOBOAODOACODFAOBDFC

Utilizând rela¡iile (3.7.1), (3.7.3) ¿i (3.7.4), în continuare se calculeazå

mårimea capacitå¡ii de infiltra¡ie pe bazin, respectiv infiltra¡ia realå.

Pentru: t = 1 orå USZN UI 1 = = 20 mm;

( )2

12020

250211

++−

−= / p f = 50 mm/orå;

504

1010

2

1 ⋅−=r f = 9,5 mm/orå;

t = 2 ore 259202 −+= ,USZN = 27,5 mm;

( )2

120527

250

212

++−

−= / ,

p f = 18,5 mm/orå;

5184

3030

2

2 ,⋅−=r f = 17,8 mm/orå;

t = 3 ore 28175273 −+= ,,USZN = 43,3 mm/orå;

( )2

120343

250213

++−

−= / , p f = 11,7 mm/orå;

7114

2020

2

3

,⋅

−=r f = 11,5 mm/orå;

t = 4 ore USZN 4 43 3 115 2= + − , , = 53,8 mm;

( )2

120852

250214

++−

−= / , p f = 10,2 mm/orå;

= 10,2 mm/orå.4r f

58



Capacitatea de infiltra¡ie ¿i infiltra¡ia realå medie pe bazin astfelob¡inute sunt prezentate în coloanele 5 ¿i 6 ale tabelului 3.7.2 ¿i în figura 3.7.2.

p f r f

Tabelul 3.7.2

Caracteristicile ploiişi ale curbelor de infiltraţie

Nr.crt.

t (ore)

I(mm/orå)

USZN(mm)

f p (mm/orå)

r f (mm/orå)

1 2 3 4 5 61 1 10 20 50 9,5

2 2 30 27,5 18,5 17,83 3 20 43,3 11,7 11,54 4 25 52,8 10,2 10,2

Fig. 3.7.2 Variaţia în timpşi pe bazin a intensităţii ploii ( I ),

capacitatea de infiltraţie ( ) şi infiltraţia reală medie pe bazin ( ). p f r f

59



= 5 ⋅ 5km = 25km (la 1cm de pe hartå corespund 25 înrealitate).

f S 2 2 2 km 2

Fig. 4.1.1. Bazin hidrografic (scara 1:500.000) .

A-1 . Ordinul RH exprimå modul de formare al acesteia. RH de ordinul 1define¿te cea mai micå ramifica¡ie a re¡elei hidrografice. Dupå confluen¡a a douåramifica¡ii având ordinuli, respectiv j, ordinul cursului de apå din aval se ob¡inedupå urmåtoarea regulå:

62



⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

=+=+

j i j i

j ii j i

dacå ),(max

dacå 1

Având în vedere aceste considerente, ordinul re¡elei RH din figura 4.1.1 este 2.A-2 . Lungimea RH (LRH) reprezintå suma tuturor ramifica¡iilor RH,

måsuratå în plan orizontal. Lungimea pe hartå se ob¡ine cu ajutorulcurbimetrului.

LRH = + + + + + + =11. L 21. L 31. L 41. L 51. L 61. L 2 L

= 3,7 + 2,8 + 3,2 + 3,8 + 5,1 + 2,7 + 10,2 = 31,5 cm.

Lungimea RH în km va fi:

LRH = 31,5⋅ = 31,5⋅ 5 = 157,5 km.l S

A-3 . Densitatea re¡elei hidrografice D se determinå cu rela¡ia:

D = LRH / F,

unde F este suprafa¡a BH. Suprafa¡a F se determinå în prin planimetrarea

ariei delimitatå de cumpåna apelor, dupå care prin înmul¡ire cu factorul de scaråse transformå în .

cm 2

f S km 2

Prin planimetrare rezultå: F = 61,4 .cm 2

Suprafa¡a BH în este deci:km 2

F = 61,4cm ⋅ = 61,4⋅ 25 = 1535 .2 f S km 2

¥n acest caz, densitatea D va fi:

D = 157,5/1535 = 0,102 km/ .km 2

B-1 . Suprafe¡ele subbazinelor ¿i ale resturilor de bazin se determinå, deasemenea, prin planimetrare, în , dupå care valorile astfel ob¡inute se înmul¡esc cu factorul de scarå.

cm 2

a F 11. = 1,9cm ⋅ = 47,5km ;2 f S 2

b F 11. = 3,4 ⋅ = 85 ;cm 2 S f km 2

63



11. F = + = 47,5 + 85 = 132,5 ;a F 11. b F 11. km 2

21. F = 4 ⋅ = 100 ;cm 2 S f km 2

31. F = 4,9 ⋅ = 122,5 ;cm 2 S f km 2

41. F = 4,8 ⋅ = 120 ;cm 2 S f km 2

51. F = 5,1 ⋅ = 127,5 ;cm 2 S f km 2

61. F = 2,8 ⋅ = 70 ;cm 2 S f km 2

a F 2 = 6,2 ⋅ = 155 ;cm 2 S f km 2

b F 2 = 7,7 ⋅ = 192,5 ;cm 2 S f km 2

c F 2 = 10,6cm ⋅ = 265 ;2 S f km 2

d F 2 = 3,4 ⋅ = 85km ;cm 2 S f 2

e F 2 = 5,6 ⋅ = 140 ;cm 2 S f km 2

f F 2 = 1,0 ⋅ = 25 .cm 2 S f km 2

B-2 . Coeficien¡ii de formå ai BH.a) Coeficientul de asimetrie se determinå cu rela¡ia:

F F F Faaa dr st dr st / / −=−= ,

unde:¿i sunt coeficien¡ii de asimetrie ai BH;st a dr a

¿i - suprafe¡ele BH corespunzåtoare malului stâng,st F dr F respectiv malului drept al cursului principal.

=++++++= f caadr F F F F F F F F 26123122111 ....

= 78525702655122155100547 =++++++ ,, km 2 ;

=+++++= ed bbst F F F F F F F 251241211 ...

= 7501405,127851205,19285 =+++++ km 2 ;

a = 750/1535 - 785/1535 = 0,489 - 0,511 = - 0,022.

64



b) Gradul de abatere de la forma circularåβ se determinå cu formula:

p L F / π⋅=β 2 ,unde:

Fπ⋅2 este lungimea cercului care are aria egalå cu suprafa¡a BH;- perimetrul BH. p L

Pentru BH din figura 4.1.2. se ob¡ine:

216915351432 , / , ⋅⋅=β = 0,82.c) Gradul de alungireα al BH se determinå cu rela¡ia:

) /( / L L F Lbmed ⋅==α ,

unde:este lå¡imea medie a BH;med b

- lungimea cursului de apå; L

α = 1535/(69,5⋅ 69,5) = 0,32.

B-3 . Epura de varia¡ie a suprafe¡ei BH reprezintå varia¡ia cumulativå asuprafe¡elor, consideratå de la izvor spre vårsare, în raport cu lungimea L acursului de apå.

Pentru trasarea epurei de varia¡ie a suprafe¡ei bazinului se considerå casec¡iuni de control, sec¡iunile corespunzåtoare punctelor de confluen¡å ale râuluicu afluen¡ii såi:C , , , ¿i ¿i sec¡iunea de închidere a BH. Lafiecare confluen¡å se ¡ine seama dacå afluentul este pe dreapta sau pe stânga,varia¡ia suprafe¡ei fiind figuratå în mod corespunzåtor. ¥ntre douå puncte de

confluen¡å de pe aceea¿i parte a râului se admite o varia¡ie liniarå a suprafe¡eiBH.

1 C 2 C 3 C 4 C 5

Epura de varia¡ie a suprafe¡ei BH astfel stabilitå este reprezentatå în figura4.1.2.

65



B-5 . Panta medie J a BH se determinå cu formula:

J = ∑⋅∆il F

H ,

unde: H ∆ reprezintå diferen¡a de altitudine dintre douå curbe de nivel succesive;

- lungimea totalå a curbelor de nivel din BH.∑ il

J = )( 654321 l l l l l l F

H +++++∆ =

= ‰ ,,),,,,( 8800880063914522812301535

10100 3==+++++⋅

−.

Aplica ţia 4.2

DETERMINAREA DEBITELOR ŞI TRASAREA CHEILOR LIMNIMETRICE

Pentru determinarea debitului într-o sec¡iune transversalå a albiei minore a

unui râu se måsoarå vitezele la diferite adâncimih, pe 6 verticale. Valorilevitezelor în m/s sunt date în tabelul 4.2.1.

Tabelul 4.2.1

Date de baz ă

Verticala 1 2 3 4 5 6h (cm) 65 90 116 93 72 38

Suprafa¡a - 0,421 0,65 0,5 - 0,3250,2⋅h 0,341 0,513 0,96 0,695 0,6 -0,6⋅h 0,425 0,608 1,22 0,811 0,725 -0,8⋅h 0,278 0,483 0,91 0,64 0,5 -

Fund - 0,39 0,55 0,45 - 0,25

Lå¡imea totalå a albiei minore în metri este B = 41 m.

Se cere:

1) Så se determine grafic sec¡iunea transversalå ¿i hodografele vitezelor.2) Så se calculeze debitul scurs prin albia minorå;

68



3) Så se calculeze debitul scurs în perioada de ape mari considerând cå de lanivelul apei = 116 cm corespunzåtor måsuråtorii de debit începe albiamajorå care se desfå¿oarå ca douå triunghiuri dreptunghice în dreapta ¿i înstânga albiei minore considerate.

H 0

¥n perioada de ape mari nivelul apei cre¿te fa¡å de cu cm.Lå¡imile celor douå por¡iuni de albie majorå pe malul drept ¿i stâng suntde 300 m, respectiv 250 m. Panta râului este de 0,6 ‰. Albia majorådreapta este acoperitå cu tufi¿uri dese ¿i pådure pentru care coeficientul derugozitate variazå între 0,090 - 0,120; pe partea stângå albia este acoperitåcu tufi¿uri, coeficientul de rugozitate variind între 0,080 - 0,090.

H 0 56=∆ H

4) Så se traseze grafic cheia limnimetricå considerând cå la nivelul zero alverticalei 3 debitulQ = 0 ¿i så se scrie ecua¡ia acesteia considerând cå estede forma unei parabole , undea ¿ib sunt ni¿te coeficien¡i.b H aQ ⋅=

5) Så se determine cheia limnimetricå în condi¡iile colmatårii albiei minore arâului cu 10 cm în dreptul fiecårei verticale de måsurå. Debitul se vacalcula prin metode hidraulice, considerând cå rugozitatea ¿i panta râuluinu se modificå.

Rezolvare:

1) Calculul vitezei medii corespunzåtoare fiecårei verticale. Determinareavitezei medii pe fiecare verticalå diferå func¡ie de adâncimea apei,

respectiv de numårul de puncte de måsurare a vitezelor. Rela¡iile de calcul avitezei medii sunt prezentate în tabelul 4.2.2.

iv i

Tabelul 4.2.2

Rela ţiile de calcul a vitezei medii func ţie de adâncimea apei

Adâncimeah (m)

S-au efectuat måsuråtori la: Rela¡ia de calcul pentru viteza mediepe verticalå

0,15 - 0,2 0,6⋅h v h0 6 , ⋅

0,2 - 0,4 suprafa¡å; fund v vs f +

2

0,4 - 0,8 0,2⋅h ; 0,6⋅h ; 0,8⋅h v v vh h0 2 0 6 0 82

4 , ,⋅ ⋅ h , ⋅+ ⋅ +

> 0,8 suprafa¡å ; 0,2⋅h ; 0,6⋅h ;0,8⋅h ; fund

v v v v vs h h h f + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅3 3 2

100 2 0 6 0 8 , , ,

69



Raza hidraulicå se calculeazå utilizând formula

unde:

3) Determinarea debitului în perioada de ape mari. Pentru determinareadebitului în perioada de ape mari se utilizeazå de regulå formula lui Chézy:

Viteza medie de curgere a apei prin sec¡iune este datå de urmåtoarea rela¡ie:

Calculul debitului scurs, determinat pe baza rela¡iilor prezentate anterior seprezintå în tabelul 4.2.3.

Aria sec¡iunii transversale determinatå de douå verticale consecutive secalculeazå utilizând rela¡ia:

72

Vitezele medii pentru ariile extreme (situate între verticalele 0 – 1, respectiv6 - 7) se calculeazå cu rela¡iile:

110 32

vv ⋅=, ; 676 32

vv ⋅=, .

11

1 2 ++

+ ∆⋅+= iiii

ii l hh A ,,

1+iih ,

1+∆ iil , 1

reprezintå adâncimea apei pe verticalai, respectivi + 1;unde:

Formula lui Chézy se aplicå separat pentru albia minorå ¿i albia majorådeterminate astfel încât caracteristicile morfologice ¿i hidraulice ale albiei så fieasemånåtoare.

,

- distan¡a între verticalelei ¿i +i .

===66276616,,

AQv 0,602 m/s.

21

32

21

21

61

1 I R A

n I R RI C ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= 1

Rn

A AQ ⋅= ,

n este rugozitatea albiei; A - aria sec¡iunii transversale; I - panta suprafe¡ei apei; R - raza hidraulicå.

P A R = , unde P este

perimetrul udat.



73

Calculul debitului scurs

i 0 1 2 3 4 5 6

∆li i , +1 (m) 5,9 5,9 5,8 5,8 5,8 5,9

h1 (m) 0 0,65 0,9 1,16 0,93 0,72 0,38

Ai i , +1 (m2 ) 1,92 4,57 5,97 6,05 4,78 3,24

iv (m/s) 0 0,376 0,514 0,956 0,675 0,637 0,288

vi i , +1 (m/s) 0,245 0,441 0,735 0,816 0,656 0,462 q i i , +1 (m3 /s) 0,47 2,015 4,388 4,945 3,136 1,497



− Rugozitatea albiei minore se calculeazå din formula lui Chézy:

=⋅⋅⋅=⋅⋅=−

7161066706627 43

21223

,,,

Q I R An 0,031.

− Aria albiei minore la ape mari:

= A +∆ H B = 27,66 + 0,56⋅ 41 = 50,62 .

− Raza hidraul

m A

⋅m A m 2

icå R a albiei minore pentru nivelul apeim M H :

m R ===08,41

62,50 A

Pm 1,23.

− Conform formulei lui Chézy, debitul scurs prin albia minorå, , este:mQ

Qm43

2

10623,162,50031,01 −

⋅⋅⋅⋅= = 45,5m s3 .

3.B. Calculul debitului scurs prin albia majorå stângå.

− aria sec¡iunii de scurgere:

=⋅=⋅∆ H =2

250562

st st

L A 70

− perimetrul udat:

,0m 2 ;

2222 25056,0 +=+∆= st st L H P = 250,2 m;

− raza hidraulicå:

===2,250

70

st

st st P

A R 0,27 m;

− rugozitatea se considerå 0,085.b g este:st QDe itul scurs prin albia majorå stân å

75



Qst =⋅⋅⋅=−

085,010627,070 43

2

8,5m s3 .

3.C. Calculul debitului scurs prin albia majorå dreaptå.

− aria sec¡iunii de scurgere:

=⋅=⋅∆=dr H

A2

30056,02

dr L 84 ;.

− perimetrul udat:

m 2

2222 30056,0 +=+∆=dr P dr L H = 300,2 m;.

− raza hidraulicå:

R A

Pdr dr

dr = = 84

300 2 ,= 0,27 m;

− rugozitatea se considerå egalå cu 0,110.

ste:Debitul scurs prin albia majorå dreptå dr Q e

dr Q =⋅⋅⋅=−

110,010627,084 43

2

m s3 / 7,9 .

Debitul scurs în perioada de ape mari este M Q :

9m s3 / . M Q = =++ mdr st QQQ 8,5 + 9 + 45,7, 5 = 61,

4) Determina cheii limnimet poate i descriså de

ecua¡ia unei parabole de forma:

undea ¿ib sunt coeficien¡i.De regulå, cheia limnimetricå este parabolå, unul

entru albia majorå.

rea rice. Cheia limnimetricå f

b H aQ ⋅= ,

de forma a douå arce depentru albia minorå ¿i altul p

76



4.A. Cheia limnimetricå pentru albia minorå. Pentru determinarea para-metrilor ma ¿i mb ai cheii limnimetrice se va considera un nivel suplimentar alpea i 1 H , nivel corespunzåtor punctului 0 al verticalei 1 (fig. 4.2.1).

Debitul corespunzåtor acestui nivel al apei se calculeazå tot cu formula luiChézy. Elementele necesare sunt:

− perimetrul udat - se determinå la fel ca la calculul debitului scurs prinalbia minorå:

P1 = 5,905 + 5,805 + 5,804+5,803 + 22 21,107,0 + = 24,32 m;

− sec¡iuneacorespunzå de curgere - se determinå prin însumarea sec¡iunilor geometricetoare:

( ) ( ) ( ) A1

0 9 0 65 5 9 116 0 65 0 9 0 65= − ⋅ − + − , , , , , , ,

2 25 8+ ⋅ , +

+ ( ) ( ) ( ) ( )116 0 65 0 93 0 65

25 8

0 93 0 65 0 72 0 6

25 9

, , , , ,

, , , , ,

− + −⋅ +

− + − 5

⋅ +

=⋅+2

21,107,0 0,737 + 2,204 + 2,291 + 1,032 + 0,042 = 6,30

− raza hidraulicå

m 2 ;

1 R :

1 R ===32,24

3, 06

1

1P

A 0,25 m.

− debitul scurs 1Q :

1Q 432

10625,030,6031,01= −

⋅⋅⋅⋅ = 1,99m s3 .

Pentru determinarea parametrilora ¿i b ai cheii limnimetrice pentru albiaminorå se utilizeazå punctele: ¿i

⋅+=

⋅+

0lnlnln

lnln

H baQ

H bQ

mmm

1 H , 1Q 0 H , mQ .Logaritmând ecua¡ia cheii limnimetrice ¿i scriind-o pentru cele douå puncte

se ob¡ine urmåtorul sistem de ecua¡ii:⎧ =ln a

⎪

⎪⎨

11 mm

⎩

77



Scåzând cele douå ecua¡ii rezultå:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+=

⋅+=

16,1lnln7,16ln

51,0lnln99,1ln

mm

mm

ba

ba

( )16,1ln51,0ln7,16ln99,1ln −⋅=− mb ;

=−−

== 841,0,0127,2

16,151,0ln

7,1699,1

ln

m 2,529;b

( )=−−=−= 753,1688,0 51,0ln99,1lnln mm ba 2,44;

11,484.

mm = .

e determinå similarcu cheia limnimetricå pentru albia minorå considerând punctele: ¿i

a m =

Ecua¡ia cheii limnimetrice pentru albia minorå este deci:

529,2 484,11 H Q ⋅

4.B. Cheia limnimetricå pentru albia majorå. Aceasta s

0 H , mQ

M H , Q . M

0lnlnln H baQ M M m ⋅+= ; M M M M H baQ lnlnln ⋅+= ;

,6 1ln ⋅+ 16,1lnln7 = M M ba ; 72,1lnln9,61ln ⋅+= M M ba ;

= 3,358; = 10,142.

a¡ia cheii limnimetrice pent majorå este deci:

area cheii limnimetrice în condi¡iile colmatårii albiei minore.albiei se procedeazå

astfel:− se determinå noile valori ale debitelor considerând albia

colmatatå cu 10 cm;

M b M a

Ecu ru albia

358,3142,10 H Q M ⋅= .5) Determin

Pentru determinarea cheii limnimetrice în cazul colmatårii

'1Q , '

mQ , ' M Q

78



− se determinå cheia limnimetricå similar ca la punctul 4.

5.A. Determinarea debitului scurs la nivelul

′Q1 1 H :

− perimetrul udat1P ′ :

′P1 = ( ) ( ) +−++−+ 2222 8,006,18,565,08,054,3

( ) ( )2222 83,006,18,5 −++ 65,083,017,4 −++ =

− aria

= 3,543 + 5,806 + 5,804 + 4,173 = 19,33 m.

′ A1 :

( ) ( ) ( ) 8,522

65,08,065,006,154,365,08,01 ⋅

−−+⋅−=′ A ++

+ ( ) ( ) ( ) 17,42

65,083,08,52

65,083,065,006,1⋅

−+⋅−+− =

= 0,26 + 1,62 + 1,71 + 0,37 = 3,96


m 2 .

′ R1 :

1 R ′ ==33,1996,3 0,20 m.

− debitul scurs ′Q1 :

′Q1

=⋅ −4

106⋅⋅⋅= 3

20,096,3031,01

1,06

2m s3 /

.

a bitului scurs prin albia minorå5.B. Determinare de mQ ′ :− perimetrul udatmP ′ :

mP ′ = ( ) ( ) +−++−+++ 222222 8,006,18,555,08,09,555,09,5

79



( ) ( ) +−++−++ 2222 62,083,08,583,006,18,5

( )+ + − + +5 9 0 62 0 28 5 9 0 282 2 2 2 , , , , , =

= 5,925 + 5,905 + 5,805 + 5,804 + 5,803 + 5,909 + 5,906 = 41,05 m ;

− aria albiei minore ′ Am :

′ Am( ) ( ) ( ) +⋅++⋅++⋅++⋅=

2222

8,583,006,18,580,09,580,055,055,09,5 06,1

+ ( ) ( ) =⋅+⋅++⋅+2

9,528,02

9,528,062,02

8,562,083,0 24,16


m 2 ;

′ Rm :

m R′ ==′′=

05,4116,24

m

mP

A 0,59 m ;

− debitul scurs ′Qm :

mQ ′ =10 13⋅⋅⋅⋅= −43 659,016,24031,01 ,

2

4m s3 / .

M Q ′ Determinarea debitului5.C. scurs prin albia majorå :

m A′ :− aria totalå a albiei minore

m 2 ; m A′ = 24,16 + 0,56⋅41 = 47,12

− raza hidraulicå ′ Rm :

m R′ ==′

′=05,411P

12,47 Am 1,15 m ;

n a ia minorå

− debitul scurs pri lb ′Qm :

mQ ′ ⋅⋅⋅⋅= 32

1615,112,47031,01 =−40 40,9m s3 ;

80



− debitul scurs prin albia majorå :′Q M

′Q M =Q Qdr st + + ′Qm = 7,9 + 8,5 + 40,9 = 57,3m s3 .

5.D. Ecua¡ia cheii limnimetrice.

mi rå: ¥n condi¡iile , ecua¡ia cheii

limnimetrice este:)( −⋅ .

• Cheia limnimetricå pentru albia no

C H colmatårii albiei minore pe înål¡imea

nC H H aQ =

Prin logaritmare se ob¡ine:

).(lnlnln C H H naQ −⋅+=

Scriind aceastå rela¡ie pentru nivelurile ¿i se ob¡ine:0 H H 1

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⋅′+′=′

−⋅′+′=′

.lnlnln

;lnlnln 0 C mmm

H H baQ

H H baQ

Dupå înlocuiri rezultå:

= 11,52;

= 2,678;

11 C mm

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅′+′=

⋅′+′=

.41,0lnln06,1ln

;06,1lnln4,13ln

mm

mm

ba

ba

ma ′

mb′

( ) 678,21,052,11 −⋅= H Q .

• Cheia limnimetricå pentru albia majorå:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⋅′+′=′

−⋅′+′=′

.lnln

;lnln 0

C M M M M

C M M m

H H baQ

H H baQ

ln

ln

81



= 10,97; = 3,426;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅′+′=

⋅′+′=

62,1lnln3,57ln

06,1lnln4,13ln

M M

M M

ba

ba

′a M ′b M

( ) 426,31,097,10 −⋅= H Q .

Cheile limnimetrice în situa¡ia normalå ¿i în situa¡ia colmatårii albiei suntprezentate în figura 4.2.2.

Aplica ţia 4.3

ODA CELOR MAI MICI P ĂTRATE

La o sta¡ie hidrometricå cu albie stabilå s-au evaluat debitele de apå prinmetoda sec¡iune-vitezå. Valorile sunt prezentate în tabelul 4.3.1.

Tabelul 4.3.1

TRASAREA CHEII LIMNIMETRICEPRIN MET

corespunzåtoare

Date de baz ă

i H (cm)

Q ( m s3 / )

i H (cm)

Q ( m s3 / )

i H (cm)

Q ( m s3 / )

1 93 32,8 7 166 100 13 243 2402 107 42,8 8 182 120 14 270 3003 114 54,3 9 15 294 350194 1364 125 75,7 10 207 164 16 304 3715 132 57,1 214 183 17 332 457116 150 81,4 12 200 18 536229 376

Se cer e tr cheia n icå pr toda or m ici på .zol :

caz nor iuni ge trie regulatå se propune pentru cheiadebitelor o rela¡ie de tipul:

e så s aseze lim imetr in me cel ai m trateRe vare

¥n ul u sec¡ cu ome

82



84

rilor tori pentru debit ¿i nivel foarte aproape de ore

per

Dificultatea constå în estimarea acelei valori a parametruluia care så conducåla reprezentarea valo din måsurå d aptå în noul sistem de coordonate:[ ])(lg,lg a HQ + ,

Pentru acesta se dau luia valori arbitrare ¿i se re¡ine acea valoare pentru careechile de valori[ ])(lg,lg a H Q ii + se distribuie aproximativ dupå o

dreaptå. Calculul se efectueazå tabelar (tab. 4.3.2).Reprezentårile grafice ale perechilor de puncte[ ])(lg,lg a H i + pentru

ar pot urmåri în figura 4.3.1.

r

p ametrula luând rând pe rând valorilea = 1; 0,2 ¿i - 0,5, precum ¿i alecurbelor corespunzåtoare, se

Se observå cå pentrua = 0,2 valorile måsurate ale debitului se distribuieap oximativ dupå o dreaptå. Dupå cum s-a aråtat, ecua¡ia acestei drepte este:

( )a H nQQ ++= lglglg 0 .

Fi Determinarea parametrilor a , 0Q şi n .g. 4.3.1.

Qi



Liniarizarea ecua iei cheii limnimetricea = 1 a = - 0,5i Qi lgQi H i (m)

H i + a lg ( +a) H i H i + a lg ( +a) H i H i + a

1 32,8 1,515 0,93 1,93 0,285 0,43 1 , 633 1,13 2 42,8 1,631 1,07 2,07 0,315 0,57 1 , 755 1,27 3 54,3 1,734 1,14 2,14 0,330 0,64 1 , 806 1,34 4 75,7 1,879 1,25 2,25 0,352 0,75 1 , 875 1,45 5 57,1 1,756 1,32 2,32 0,365 0,82 1 , 913 1,52 6 81,4 1,910 1,50 2,50 0,397 1,00 0,000 17 100 2,000 1,66 2,66 0,424 1,16 0,064 18 120 2,079 1,82 2,82 0,450 1,32 0,120 29 136 2,133 1,94 2,94 0,468 1,44 0,158 2

10 164 2,214 2,07 3,07 0,487 1,57 0,195 211 183 2,262 2,14 3,14 0,496 1,64 0,214 212 200 2,301 2,29 3,29 0,517 1,79 0,252 213 240 2,380 2,43 3,43 0,535 1,93 0,285 214 300 2,477 2,70 3,70 0,568 2,20 0,342 215 350 2,544 2,94 3,94 0,595 2,44 0,387 316 371 2,569 3,04 4,04 0,606 2,54 0,404 317 457 2,659 3,32 4,32 0,635 2,82 0,450 3

18 536 2,729 3,76 4,76 0,677 3,26 0,513 3

85



Admi¡ând cå ecua¡ia anterioarå este de tipul: x = a + by ¿i considerând douåpuncte oarecare pe aceastå dreaptå ( , ) ¿i ( , ), se poate scrie:1 x 1 y 2 x 2 y

x a by1 = + 1 ; x a by2 2= + .

De aici rezultå: 2211 by xby xa −=−= .

Mai departe, se poate scrie:( ) 1212 x x y yb −=− sau:b x x

y y= −

−2 1

2 1.

De asemenea:

12

12211

12

12111 y y

y x y x y y y

x x xby xa −

−=⋅−

−−=−= .

Deci dacå ( , ) ¿i ( , ) sunt douå puncte de pe dreapta X 1 Y 1 X 2 Y 2( )a H nQQ ++= lglglg 0 , atunci parametrii se determinå cu rela¡iile:

n X X

Y Y = −

−2 1

2 1, respectiv:

12

12210lg

Y Y Y X Y X

Q−−= .

Fie M ¿i N punctele de coordonate (1,75; 0,15), respectiv (2,8; 0,6)punctele astfel alese. Rezultå:

33,215,06,075,18,2 =

−−=n ;

40,115,06,0

15,08,26,075,1lg 0 =

−⋅−⋅=Q ; =13,8.Q0

Ecua¡ia cheii limnimetrice în vechiul sistem de coordonate este deci:

( ) 33,22,08,13 += H Q .

Rezultå urmåtoarele valori ale debitului în func¡ie de H :

H = 0,8 m; Q = 13,8m s3 / ;

H = 2,0 m; Q = 158m s3 ;

H = 3,0 m; Q = 379m s3 ;

H = 3,8 m; Q = 638m s3 .

86



87

La o sta¡ie hidrometricå (SH) de pe râul R se cunosc urmåtoarele elementecaracteristice ale unei måsuråtori complete de aluviuni (tab. 4.4.1);

Reprezentarea graficå a punctelor ( , ) ¿i a cheii limnimetrice rezultate sepoate urmåri în figura 4.3.2.

− masa P (g) a aluviunilor târâte, determinatå în verticalele de måsurare, lafundul râului, într-un interval de timp

− turbiditateac (g/m3), stabilitå pe baza probelor prelevate în punctele încare s-a måsurat viteza apei (tab. 4.4.1);

− diagramele vitezelorv (m/s) din profilul transversal al râului în dreptulsta¡iei (tab. 4.4.1); verticalele de måsurare sunt echidistante, fiind dispusela 50 m una de alta;

− profilul transversal al râului în sec¡iunea SH;

Fig. 4.3.2. Cheia debitelor.

iQ i H

Aplica ţia 4.4

CALCULUL DEBITELOR SOLIDE

∆t = 3min (tab. 4.4.1).



88

Date de baz ă

v (m/s) c (g/ m3 )Verti-cala

h(m) s 0,2 h 0,6 h 0,8 h f s 0,2 h 0,6 h 0,8 h

I 4 1,1 1,4 1,0 0,8 0,5 150 170 160 150II 4,15 1,4 1,7 1,2 0,9 0,5 170 170 210 230III 4,20 1,5 1,9 1,3 0,9 0,6 170 160 130 240IV 4 1,5 1,9 1,2 0,8 0,5 150 160 220 250V 3,7 1,3 1,6 1,1 0,7 0,4 130 90 160 190VI 4 1,4 1,7 1,0 0,9 0,5 140 120 200 220VII 4,15 1,0 1,2 0,7 0,4 0,2 100 80 120 140



Se cere så se determine:a) debitul solid în suspensie;b) debitul târât la sta¡ia hidrometricå de pe râul R.Rezolvare:

Debitul solid este constituit de particulele solide sub formå de granule caresunt desprinse din scoar¡a terestrå ¿i sunt antrenate de curen¡ii de apå desuprafa¡å.

¥n interac¡iunea dintre debitul solid ¿i debitul lichid se disting trei faze:− fenomenul de eroziune, constând în degradarea solului în particule

granulare foarte mici;− fenomenul de transport, constând în antrenarea aluviunilor (debitul solid)de cåtre curen¡ii de apå;

− fenomenul de depunere ¿i sedimentarea a aluviunilor transportate.Debitul solid cuprinde de fapt debitul aluviunilor târâte ¿i debitul aluviunilor

în suspensie. Acesta din urmå este de cel pu¡in 5 - 10 ori mai mare decât debitulaluviunilor târâte. Cunoa¿terea debitului solid este de mare importan¡å deoarecealuviunile pot conduce la colmatarea lacurilor de acumulare, înfundarea prizeloretc.

a) Calculul debitului solid în suspensie . Dispunând de måsuråtori simultane

ale vitezei apei ¿i ale turbiditå¡ii într-un numår de verticale ale sec¡iunii decurgere (tab. 4.4.1), debitul solid în suspensie, , se determinå cu rela¡ia: sG

∑=

⋅⋅⋅=n

iimed iis cV H bG

i1, (4.4.1)

unde:este adâncimea medie a suprafe¡ei par¡iale afectate verticaleii; H i

- lå¡imea din sec¡iune afectate verticaleii;bi

- viteza medie a apei în verticalai;imed V

- concentra¡ia medie a aluviunilor pe verticalai.i

c

Viteza medie pe verticalå se calculeazå cu rela¡iile prezentate înaplica¡ia 4.2. Concentra¡ia medie se determinå în mod similar, înlocuind însåvitezele punctuale prin concentra¡iile punctuale. O altå modalitatea de calcul ar fiprin planimetrarea diagramelor de concentra¡ie din fiecare verticalå ¿i împår¡ireala adâncimea corespunzåtoare.

Calculul debitului solid în suspensie este prezentat în tabelul 4.4.2.sG

89



Tabelul 4.4.2

Calculul debitului solid

Sec¡iunea I II III IV V VI VII

H i (m) 3,5 4,0 4,10 3,8 3,6 3,9 3,0

bi (m) 37,5 50,0 50,0 50,0 50,0 50,0 37,5

imed V (m/s) 1,04 1,24 1,34 1,29 1,12 1,18 0,77

ic (g/ m3 ) 165 201 210 200 160 190 93

isG (kg/s) 22,5 49,8 57,7 49,0 40,3 43,7 8,5

Debitul solid în suspensie al întregii sec¡iuni rezultå prin cumularea valoriloraferente celor 7 sec¡iuni de calcul ¿i are valoarea:

sG = 271,5 kg/s.

¥n practica curentå, din motive de economicitate (timp, cost, personal necesar)måsuråtorile complete de debit solid în suspensie se efectueazå cu o caden¡ådestul de rarå. De regulå, se realizeazå måsuråtori simple, care au ca obiect

determinarea turbiditå¡ii ¿i vitezei la suprafa¡a apei într-una din verticalelemåsuråtorilor complete; în continuare, pentru determinarea debitului solid total în suspensie din sec¡iune, se utilizeazå corela¡iile stabilite între måsuråtorilecomplete de turbiditate ¿i måsuråtorile simple.

Cu alte cuvinte, pornind de la måsuråtori de nivel, prin intermediul cheiilimnimetrice se evalueazå debitul; în acela¿i timp, prin corela¡ia anterioarå,måsuråtorile simple de turbiditate permit determinarea debitului solid total însuspensie din sec¡iune (fig. 4.4.1,a).

Spre exemplu, måsuråtoarea 7 indicå un debit , iar måsurå-

toarea simplå de turbiditate la data respectivå se coreleazå cu måsuråtoareacompletå de turbiditate. Din graficul 4.4.1,a la un debit de 250 rezultå undebit total de aluviuni în suspensie de 22 kg/s. ¥n figura 4.4.1,b este prezentathidrograful de debit lichid, respectiv hidrograful de debit solid în suspensie,ob¡inut conform procedeului anterior.

/sm250 3=Q

/sm3

90



Fig. 4.4.1. a - Corela ţie = f (Q);sG

b – Hidrograful de debit lichid şi hidrograful de debit solid corespunz ător.

b) Calculul debitului solid târât. Rezolvarea problemelor de aluviuni târâtese face obligatoriu odatå cu rezolvarea problemelor de aluviuni în suspensie.Probele se recolteazå din fiecare verticalå cu ajutorul batometrelor, luând treiprobe cu acela¿i timp de recoltare. Media probelor se considerå reprezentativåpentru verticala respectivå. ¥n practica curentå, timpul de recoltare se alege înfunc¡ie de granulometria aluviunilor târâte ¿i de viteza apei la fund (fig. 4.4.2).

Fig. 4.4.2. Timpul de recoltare func ţie de granulometrie şi viteza la fund.

Având masa medie din verticalele respective (tab. 4.4.1), debitul elementar dealuviuni târâte se calculeazå cu formula:

t b P

g ii

⋅

⋅=100 (g/m⋅s), (4.4.2)

unde:este masa medie rezultatå în urma måsuråtorilor în intervaluli P

de timp ales în verticalai, exprimatå în grame;

91



5

PLOAIA NET Ă

Aplicaţia 5.1

ANALIZA HIDROGRAFULUI SCURGERII

Ca urmare a unei precipita¡ii cu o duratå de 9 ore, repartizatå pe intervale de3 ore astfel: 30, 50 ¿i 20 mm, care s-a produs în ziua de 25.09.1975 pe un bazinhidrografic cu suprafa¡a 150= F km 2 se înregistreazå urmåtoarea undå deviiturå (tab. 5.1.1):

Tabelul 5.1.1

Unda de viitur ă ( ) /sm3

ZiuaOra

25. 05. 1975 26. 05. 1975 27. 05. 19753 10 80 86 34 60 69 68 49 4,512 89 35 315 100 25 2,518 107 17 2,121 103 13 1,924 93 10 1,8

Se cere:a) Så se separe hidrograful undei de viiturå în componentele sale de bazå;b) Så se calculeze volumul viiturii;c) Så se determine elementele caracteristice ale undei de viiturå.

93



Rezolvare:

a) Hidrograful undei de viiturå, precum ¿i separarea sa în componentele salede bazå (scurgerea rapidå, scurgerea hipodermicå ¿i scurgerea de bazå) suntreprezentate grafic în figura 5.1.1.

Se men¡ioneazå cå:− scurgerea rapidå (SR) reprezintå scurgerea ce ¿iroie¿te pe versan¡i;− scurgerea hipodermicå (SH ) reprezintå scurgerea ce se produce în primul

strat de sol;− scurgerea de bazå (SB) reprezintå alimentarea râului de cåtre acvifer, ¿i

are douå componente: care provine din precipita¡iile anterioare ¿icauzatå de precipita¡ia din 25.05.1975.

SB2

SB1

Fig. 5.1.1. a - Hietograma ploii; b - hidrograful viiturii.

94



Pentru determinarea punctelor D ¿i E de pe ramura de descre¿tere ahidrografului când înceteazå scurgerea rapidå, respectiv scurgerea hipodermicå,se deseneazå ramura de descre¿tere a hidrografului undei de viiturå având cascarå a debitelor logQ (fig. 5.1.2). Asimilând aceastå ramurå sub forma a3 segmente de dreaptå, la intersec¡ia lor se ob¡in punctele D ¿i E.

De regulå, având în vedere ponderea relativ reduså a scurgerii hipodermice(max. 5-10% din volumul scurs), ca ¿i faptul cå func¡ie de configura¡ia terenuluiea se poate transforma în ¿iroire la suprafa¡a solului, scurgerea rapidå ¿iscurgerea hipodermicå se grupeazå împreunå sub denumirea de scurgere desuprafa¡å (SS).

Fig. 5.1.2. Ramura de descre ş tere a undei de viitur ă .

b) Pentru determinarea volumului viiturii se planimetreazå suprafa¡aS ahidrografului ¿i suprafe¡ele componentelor sale de bazå, exprimate în .Volumul rezultå prin înmul¡irea acestor suprafe¡e cu scara volumelor , carereprezintå produsul dintre scara debitelor (1 cm = 15m /s pentru desenuldin fig. 5.1.1) ¿i scara timpului (1 cm = 15 ore).

2cmS

W

QS 3

T S

W S = ( )cm 2⋅S W ( m / cm ), (5.1.1)3 2

95



cu:

T QW SSS ⋅= = 2

33

cm1m810.000

1cms/orå 3.60015ore

1cm /sm15 =⋅⋅ .

Volumul hidrografului ¿i a componentelor sale de bazå rezultå utilizândrela¡ia (5.1.1):

− volumul scurgerii rapide (suprafa¡a BCDB):SRW

W SR = = 9,5 ⋅810.000 / = 7,7⋅10 ; (5.1.2)S S SR W ⋅ cm 2 m 3 cm 2 6 m 3

− volumul scurgerii hipodermiceW (suprafa¡a BDEMB):SH

W SH = = 1,36 ⋅810.000 / = 1,1⋅ ; (5.1.3)S S SH W ⋅ cm 2 m 3 cm 2 10 6 m 3

− volumul scurgerii de bazåW (suprafe¡ele BMEB ¿i ABEFNA):SB

SBW = 0,76cm ⋅810.000 / cm +=+ 21 SBSB W W 2 m 3 2

(5.1.4)1,6cm ⋅810.000 / cm = 1,2⋅10 ;2 m 3 2 6 m 3

− volumul scurgerii de suprafa¡åW :S

= + = 7,7⋅ + 1,1⋅10 = 8,8⋅10 ; (5.1.5)SW SRW SH W 10 6 6 m 3 6 m 3

− volumul scurgerii totale :T W

T W = + = 8,8⋅10 + 1,2⋅10 = 10⋅10 . (5.1.6)SW SBW 6 6 6 m 3

c) Elementele caracteristice ale undei de viiturå sunt:∗ debitul maxim al viiturii = 107 /s, reprezentat de segmentul de

dreaptåCN ; M Q m 3

∗ debitul maxim scurs = 102 /s, reprezentat de segmentul dedreaptåCM ;

SQ m 3

∗ durata de cre¿tere a viiturii :T CR

T CR = 18 ore; (5.1.7)

96



∗ durata totalå a viiturii :T T

T T = + = 18 + 40 = 58 ore; (5.1.8)T CR T D

∗ coeficientul de formå al viituriiγ , care reprezintå raportul dintre suprafa¡ahidrografului ¿i suprafa¡a dreptunghiului cu baza ¿i înål¡imea , care îl încadreazå. Ca urmare, rezultå urmåtoarea rela¡ie pentru calculul lui

T T M Qγ :

=⋅

=γT M

ST Q

W =⋅⋅

⋅

s/orå 3600ore58 /sm107m108,8

3

360,39. (5.1.9)

Aplica ţia 5.2

CALCULUL COEFICIENTULUI DE SCURGERE

Ca urmare a precipita¡iilor cåzute pe un bazin hidrografic cu suprafa¡a(tab. 5.2.1) s-a produs o undå de viiturå ce se prezintå în tabelul 5.2.2.2km450=S

Tabelul 5.2.1

Ploi orare medii pe bazin

Ora h P Ora h P Ora h P Ora h P 0 - 1 - 6 - 7 - 12 - 13 11 18 - 19 -1 - 2 - 7 - 8 1 13 - 14 11,5 19 - 20 -2 - 3 - 8 - 9 1 14 - 15 14,5 20 - 21 -3 - 4 - 9 - 10 1 15 - 16 12 21 - 22 -4 - 5 1 10 - 11 1 16 - 17 14 22 - 23 -5 - 6 - 11 - 12 6 17 - 18 16 23 - 24 -

Tabelul 5.2.2

Unda de viitur ă ( /s)3m

ZiuaOra 1 2 34 2,0 135,0 18,08 2,0 123,0 14,012 3,0 65,0 10,016 3,0 38,0 7,020 10,0 29,0 4,024 74,0 23,0 3,0

97



Se cere så se determine coeficientul de scurgere.Rezolvare:

a) Coeficientul de scurgere mediu al viiturii . Prin defini¡ie, coeficientulde scurgere reprezintå acea parte a precipita¡iilor cåzute pe un bazin hidrografic,care se transformå în scurgere de suprafa¡å.

Valoarea medie a precipita¡iilor cåzute pe bazinul hidrografic sedeterminå prin metoda izohietelor sau a poligoanelor Thiessen.

Ph

ªiroirea apei pe versant (scurgerea rapidå) ¿i scurgerea hipodermicåformeazå scurgerea de suprafa¡å, conducând la modificarea debitului râului dinsec¡iunea de închidere a bazinului hidrografic.

Fie debitul undei de viiturå din care s-a scåzut scurgerea de bazå arâului (fig. 5.2.1).

( )t Q

Mårimea:

( ) ≈= ∫ dt t QW T

s0

t QQt T

i

ii ∆+∑∆

=−

/

112

, (5.2.1)

constituie volumul scurs de pe suprafa¡a bazinului hidrografic.Raportul:

F

W h s

s = , (5.2.2)

unde F este suprafa¡a bazinului hidrografic, reprezintå valoarea medie astratului scurs.

sh

Fig. 5.2.1. Evaluarea volumului scurs.

98



Conform defini¡iei, coeficientul de scurgere are expresia:

1<=α P

shh , (5.2.3)

unde este stratul scurs, iar stratul precipitat.sh ph

¥n figura 5.2.2 sunt reprezentate pe baza datelor din tabelele 5.2.1 ¿i 5.2.2hietograma precipita¡iilor orare medii pe bazin, precum ¿i unda de viiturå dincare s-a separat scurgerea de bazå.

Calculul volumului scurs s-a efectuat tabelar (tab. 5.2.3), alegând ca originea timpului momentul în care debitul râului începe så fie diferit de scurgerea debazå.

Pasul de timp pentru discretizarea debitelor este de 4 ore.Volumul scurs (volumul undei de viiturå) este:

=∆⋅+= ∑=

− t QQ

W n

i

iis

112

450 4 ore⋅3600s/orå = 6,48⋅s / m3⋅10 6 m 3 .

Stratul scurs:

FW

h ss = =

⋅

⋅= 26

36

m10450

m106,48 14,4⋅ −10 3 m = 14,4 mm.

Fig. 5.2.2. Hietograma ploii orare medii pe bazin ş i hidrograful debitelor.

99



Curbele SSARR sunt caracteristice fiecårui bazin hidrografic. Pentru bazinulconsiderat, curbele SSARR sunt definite în tabelul 5.2.4, iar reprezentarea lorgraficå se poate urmåri în figura 5.2.3.

Tabelul 5.2.4

Curbe SSARR – valorile coeficientului de scurgere α

Intensitatea Umiditatea soluluiprecipita¡iei 0 20 40 60 80 100 120 140

2 0,02 0,03 0,075 0,19 0,33 0,49 0,58 0,64

5 0,03 0,05 0,12 0,23 0,40 0,56 0,67 0,7310 0,04 0,075 0,15 0,30 0,48 0,63 0,76 0,8220 0,06 0,10 0,18 0,35 0,53 0,72 0,84 0,9150 0,08 0,12 0,20 0,40 0,60 0,80 0,92 0,97

Indicele de umiditate a solului reprezintå o valoare medie pentru bazinulhidrografic ¿i este în strânså corela¡ie cu ploile cåzute în zilele anterioare:

∑=

=5

10 9,0

mm

mhw , (5.2.4)

undem reprezintå indicele zilei în care s-a produs precipita¡ia ;m cre¿te însens invers scurgerii timpului ¿i are originea în ziua în care s-a produsprecipita¡ia care a condus la formarea viiturii.

mh

Fig. 5.2.3. Curbele SSARR α = α (w, i).

101



Pentru bazinul examinat, ploile anterioare viiturii sunt prezentate în tabelul5.2.5.

Tabelul 5.2.5

Ploile anterioare viiturii

m 5 4 3 2 1hP (mm) 0 0 0 2,2 2

Precipita¡iile cåzute în cadrul unui pas de timp Ph t ∆ se repartizeazåastfel:

− o parte formeazå scurgerea de suprafa¡å;( ) ps hiwh

⋅α=,− restul ( )[ ] phiw ⋅α− ,1 se infiltreazå în sol, crescând valoarea umiditå¡iiw.

Se considerå cå indicele de umiditate la începutul primului pas este egalcu valoarea , calculatå conform rela¡iei (5.2.4).

1w

0w

Algoritmul de calcul este urmåtorul:

Pasul 1: ;01 ww = ( ) 11 111 , Ps hiwh ⋅α= ;

Pasul 2: ( )[ ] 111112 ,1 Phiwww ⋅α−+= ; ( )h w is P2 22 2 2= ⋅α , h ;................................................................................................

Pasul j: ( )[ ]w w w i h j j j j j P j= + − ⋅− − − − −1 1 1 11 1α , ; ( )h w is j j j j j= ⋅α , hP ;.................................................................................................................Pasul n: ( )[ ]w w w i hn n n n n Pn

= + − ⋅− − − − −1 1 1 111

α , ; ( )h w is n n nn n= ⋅α , hP .

Coeficien¡ii de scurgere momentani sunt deci:

( )111 ,iwα ; ; ... ;( 222 ,iwα ) j j j iw ,α ; ... ; ( )nnn iw ,α .

Deoarece curbele SSARR pentru bazin au fost definite pentru pa¿i de timpde 3 ore, în primul rând trebuie calculate precipita¡iile medii pe bazin pentruacela¿i pas de 3 ore.

Valorile respective sunt prezentate în tabelul 5.2.6, iar coeficien¡ii descurgere momentani sunt calcula¡i în tabelul 5.2.7.

Tabelul 5.2.6

Precipita ţiile pe 3 ore medii pe bazin

t 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24h P (mm/3 ore) 0 1 1 8 37 42 0 0

102



Tabelul 5.2.7

Calculul indicelui de umiditate a solului ş i al coeficientului de scurgere

t j ( )w w h j j j P j= + −− −1 1 −1 α hP j1 α j h hs j j P j= ⋅α

- 0 w020 9 2 0 9 2 2 358= ⋅ + ⋅ = , , , , - - -

0-3 1 w w1 0 358= = , 0 - -3-6 2 w2 = 3,58+(1 - 0)⋅0=3,58 1 - -6-9 3 w3 = 3,58+(1 - 0)⋅1 = 4,58 1 - -9-12 4 w4 = 4,58+(1 - 0)⋅1 = 5,58 8 0,04 0,04⋅ 8 = 0,32

12-15 5 w5 =5,58+(1 - 0,04)⋅8 = 13,26 37 0,09 0,09⋅37=3,3315-18 6 w6 =13,26+(1-0,26)⋅37=46,93 42 0,26 0,26⋅42=10,9218-21 7 w7 =46,93+(1-0,26)⋅42=78,01 0 - -21-24 8 w8 =78,01 0 - -

h hs s j

n

j =

=∑

1=14,57 mm

Coeficientul de scurgere mediu, ob¡inut cu acest model este:

%2,169057,14

===α P

shh

.

Aceastå valoare este practic identicå cu cea a coeficientului global descurgere.

103



6

HIDROGRAFUL UNITAR

Aplica ţia 6.1

DETERMINAREA H.U. PRIN METODA SUBSTITUŢIEI,METODA COLLINSŞI METODA CELOR MAI MICI P ĂTRATE

Pe un bazin hidrografic de suprafa¡å , considerat impermeabil,se înregistreazå o precipita¡ie care dupå discretizare pe intervale de timp

are urmåtoarele valori: 2 mm, 6 mm, 1 mm.

2km6,21= F

ore2=∆t Se presupune cå hidrograful debitelor a fost determinat în douå ipoteze:

A) Fårå erori: 0, 4, 14, 8, 1, 0 ; /sm3

B) Cu erori: 0, 4, 11, 8, 1, 0 . /sm3

Se cere:

1) Så se determine ordonatele hidrografelor unitare în cele douå ipoteze,utilizând:

a) metoda substitu¡iei înainte;b) metoda substitu¡iei înapoi;c) metoda Collins;d) metoda celor mai mici påtrate.

2) Så se compare ¿i så se comenteze rezultatele.

Rezolvare:

Ipoteza A: A.1. Deoarece bazinul hidrografic este impermeabil, precipita¡ia

înregistratå reprezintå chiar ploaia netå. Exceptând un factor de scarå,hidrograful produs de o precipita¡ie netå se determinå utilizând rela¡ia:

105



∑=

+−⋅=

j

k nk j k j

huQ1

1 , (6.1.1)

unde:este ordonata hidrografului scurgerii de suprafa¡å la momentul j ; j Q

- ordonata hidrografului unitar la momentulk ( ,k u _____

,1 unk =

reprezentând numårul de ordonate ale HU)un - ploaia netå la momentul1+−k j nh 1+−k j .

Ordonatele HU sunt exprimate în . ¥ntr-adevår, deoarece impulsul(intrarea) este de volum unitar, rezultå cå ¿i råspunsul trebuie så fie caracterizatde acela¿i volum. Ca atare, se poate scrie:

1ore−

∫∆⋅

≅

t nu

dt t u0

)( =∆⋅∑=

t uun

ii

01

0=⋅∑

=T u

un

ii

sau:

)ore(1 1

0

−

==∑

T u

un

ii .

¥n rela¡ia anterioarå,T reprezintå numårul de ore al pasului de calcul; cu altecuvinte, (ore).T t =∆

Factorul de scarå din rela¡ia (6.1.1) se ob¡ine transformând produsul ,exprimat în mm/orå, în echivalent de debit ( ). Pentru aceasta, se multiplicåprodusul respectiv cu suprafa¡a bazinului hidrografic , rezultând omårime cu dimensiuni de debit. ¥ntr-adevår:

nhu ⋅

/sm3

)km( 2 F

=⋅⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ )km()mm(

ore1 2 Fhu n

=⋅⋅⋅⋅⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ − 22623 /kmm10)km(m/mm10)mm(

s/orå 600.31

ore1

Fhu n

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= −

sm

6,3m10m10

s600.31 3

263 Fhu Fhu nn .

106



ºinând cont de acest rezultat, rela¡ia (6.1.1) devine:

6,31 1

FhuQ

j

k nk j k j

⋅⋅= ∑= +−

. (6.1.2)

¥n cazul examinat, factorul de scarå are valoarea:

.66,36,21

6,3 == F

Notând cu numårul de intervale ale ploii nete, cu numårul deordonate ale hidrografului unitar ¿i cu numårul de valori ale debitului, sepoate scrie rela¡ia:

pn unqn

1−+= u pq nnn .

Ca atare, numårul de ordonate ale hidrografului unitar va fi pentruexemplul studiat:

un

41361 =+−=+−= pqu nnn .

ºinând cont de considerentele anterioare ¿i scriind rela¡ia (6.1.2) pentrudiferite momente , rezultå urmåtorul sistem de ecua¡ii: j

(1) 0 = 2⋅ 6 ⋅ u1

(2) 4 = 6⋅ 6 ⋅ + 2⋅ 6 ⋅ u1 u2

(3) 14 = 1⋅ 6 ⋅ + 6⋅ 6 ⋅ + 2⋅ 6 ⋅ u1 u2 u3

(4) 8 = 1⋅ 6 ⋅ + 6⋅ 6 ⋅ + 2⋅ 6 ⋅ u2 u3 u4

(5) 1 = 1⋅ 6 ⋅ u + 6⋅ 6 ⋅ 3 u4

(6) 0 = 1⋅ 6 ⋅ u4

(6.1.3)

a) Metoda substitu¡iei înainte utilizeazå doar primele 4 ecua¡ii:(1) 0 = 12u1

(2) 4 = 36 + 12u1 u2

(3) 14 = 6 + 36 + 12u u1 u2 3

(4) 8 = 6u + 36 + 12u 2 u3 4

(6.1.4)

107



Din prima ecua¡ie rezultåu , care se substituie în a doua ecua¡ie, de unde seob¡ine , ¿i a¿a mai departe. ¥n acest mod rezultå ordonatele hidrografuluiunitar:

1

u2

u1 = 0= 2/6 (6.1.5)u2

u3 = 1 /6=0u4

Se reaminte¿te cå volumul unitar al impulsului (intrarea în sistem) se traduceprintr-un råspuns (hidrograful unitar) e¿alonat pe o duratå (fig. 6.1.1).un

Examinând ordonatele HU ob¡inute prin rela¡iile (6.1.5) se observå cå :

T u

un

ii

1210

61

310

1==+++=∑

=,

unde Ca atare, luând în considerare respectarea acestei condi¡ii, ca ¿ifaptul cå toate ordonatele , rezultå cå HU este corect ob¡inut.

.ore)(2=T 0≥iu

Fig. 6.1.1. Relaţia dintre impulsul unitarşi r ăspuns.

108



b) Metoda substitu¡iei înapoi utilizeazå ultimele 4 ecua¡ii ale sistemului (6.1.3):

(6) 0 = 1⋅ 6 ⋅ u4

(5) 1 = 1⋅ 6 ⋅ + 6⋅ 6 ⋅ u3 u4

(4) 8 = 1⋅ 6 ⋅ u + 6⋅ 6 ⋅ u + 2⋅ 6 ⋅ 2 3 u4

(3) 14 = 1⋅ 6 ⋅ + 6⋅ 6 ⋅ + 2⋅ 6 ⋅ u1 u2 u3

(6.1.6)

Rezolvând sistemul (6.1.6) rezultå:u4 = 0u3 = 1/6 (6.1.7)

u2 = 2/6u1 = 0

Se observå cå s-au ob¡inut acelea¿i rezultate ca ¿i în cazul anterior.

c) Metoda Collins utilizeazå ecua¡iile (2-5) ale sistemului (6.1.3):

(2) 4 = 6⋅ 6 ⋅ + 2⋅ 6 ⋅ u1 u2

(3) 14 = 1⋅ 6 ⋅ + 6⋅ 6 ⋅ + 2⋅ 6 ⋅ u1 u2 u3

(4) 8 = 1⋅ 6 ⋅ u + 6⋅ 6 ⋅ u + 2⋅ 6 ⋅ 2 3 u4

(5) 1 = 1⋅ 6 ⋅ + 6⋅ 6 ⋅ u3 u4

(6.1.8)

Prin rezolvarea sistemului (6.1.8) se ob¡in acelea¿i rezultate:u = 01

= 2/6 (6.1.9)u2

u3 = 1 /6u4 =0

d) Metoda celor mai mici påtrate (metoda matricialå ). Sistemul de ecua¡ii(6.1.3) poate fi pus sub formå matricialå astfel:

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

4

3

2

1

6000

36600

123660

012366

001236

00012

0

1

8

14

4

0

u

u

u

u

(6.1.10)

109



Din acest exemplu se observå cå prima coloanå a matricii precipita¡ieicon¡ine cele valori ale ploii nete, a doua coloanå con¡ine acelea¿i valori, dardecalate pe verticalå cu o pozi¡ie în raport cu prima coloanå, a treia coloanå estedecalatå cu douå pozi¡ii etc.; restul elementelor pe fiecare coloanå sunt nule.

pn

Prin generalizarea rela¡iei (6.1.10) se poate scrie:

1,,1, uuqq nnnnn uhQ = , (6.1.11)

unde:reprezintå vectorul celor ordonate ale HU; 1,unu un

- vectorul celor ordonate ale hidrografului scurgeriide suprafa¡å;

1,qnQ qn

uq nnnh , - matrice dreptunghiularå având dimensiunileuq nn ,

formatå din cele ordonate ale hietogramei ploii pn

nete.

Pentru determinarea ordonatelor optime ale HU se utilizeazå metodacelor mai mici påtrate, în formulare matricialå. Pentru simplitate, în vedereadeducerii rela¡iei de calcul a ordonatelor , rela¡ia (6.1.11) va fi rescriså sub

forma:

opt u

opt u

Quhn =⋅ , (6.1.12)

variabilele påstrându-¿i semnifica¡iile anterioare.¥nmul¡ind la stânga ambii membri ai egalitå¡ii (6.1.12) cu (transpusa

matricii ploii nete) se ob¡ine:

T nh

Qhuhh T

nnT n ⋅=⋅⋅ . (6.1.13)

De¿i matricea este de dimensiunenh mn× , prin opera¡ia de înmul¡ire

produsul reprezintå o matrice påtratå de dimensiunihhT n ⋅ nn × , care admiteinverså. ¥nmul¡ind, la stânga, ambii membri ai rela¡iei (6.1.13) cu produsulse ob¡ine:1)( −

⋅hhT n

⋅⋅

−1)( hhT n )( hhT

n ⋅ =⋅ u 1)( −⋅hhT

n QhT n ⋅⋅ .

110



¥n final, se ob¡ine:

uopt =( ) Qhhh T nn

T n ⋅⋅⋅

−1 . (6.1.14)

Notând cu A produsul matricial:

=A hhT n ⋅

se poate scrie:= , (6.1.15)opt u QhT

n ⋅⋅−1A

Analizând sistemele (6.1.3) ¿i (6.1.4), rezultå:

u1 = 0; = 0.u4

¥n acest caz, sistemul (6.1.4) se simplificå, devenind:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

3

2

60

366

1236

012

1

8

14

4

u

u;

1476648

6481476

60

366

2136

012

636120

066312A =⋅=⋅= n

T n hh .

Inversa matricei A se ob¡ine utilizând regula lui Cramer. Matriceacomplimen¡ilor algebrici este:

14766486481476A

~

−−

= .

Determinantul asociat matricii A este:

672.758.16481476A 22 =−= .

111



b) Metoda substitu¡iei înapoi utilizeazå ultimele 4 ecua¡ii ale sistemului(6.1.18), prin rezolvarea cårora rezultå:

u4 = 0; = 1/6; = 2/6; = - 3/6.u3 u2 u1

c) Metoda Collins. Analizând sistemul (6.1.18) rezultå: = 0 ¿i = 0.u1 u4

Utilizând ecua¡iile (3) ¿i (4) ale sistemului (6.1.18) se ob¡in ordonateleu ¿iale HU:

2

u3

11 = 36u + 12 ;2 u3

(6.1.18)8 = 6u + 36 .2 u3

Rezolvând acest sistem de ecua¡ii rezultå:

24,020450

2 ==u ; 18,020437

3 ==u .

d) Metoda celor mai mici påtrate, în formulare matricialå:

( ) Qhhhu T nn

T nopt ⋅=

−1 (6.1.19)

conduce la urmåtoarele rezultate:u1 = 0; = 0,256; = 0,176; = 0.u2 u3 u4

Rezumând, în cazul în care debitul se înregistreazå cu anumite erori, se ob¡in

urmåtoarele valori ale HU, comparativ cu valorile corecte:

Valori HU în cazul unor debite incorect înregistrateHU Valoricorecte

HU Substitu¡ie înainte

Substitu¡ie înapoi

Collins Cele maimici påtrate

1u 0 0 - 0,5 0 0

2u 0,33 0,33 0,33 0,24 0,256

3u 0,17 - 0,082 0,17 0,18 0,176

4u 0 0,75 0 0 0∑ iu 0,5 1,0 0 0,42 0,432

113



Se observå cå în cazul în care ploaia netå ¿i hidrograful debitelor sedeterminå cu anumite erori, atunci ordonatele hidrografului unitar sunt diferite,func¡ie de metoda utilizatå. Pentru cazul analizat, metodele substitu¡iei înainte ¿isubstitu¡iei înapoi dau hidrografe unitare instabile, datoritå propagårii erorilor.Metoda celor mai mici påtrate då rezultate mai bune decât celelalte metode,fiind de altfel larg utilizatå la calibrarea (calarea, tararea, identificarea)parametrilor.

Aplica ţia 6.2

DETERMINAREA H.U.I. APLICÂND TRANSFORMATA LAPLACEPresupunând cå intensitatea ploii nete( )t in ¿i hidrograful debitelorQ (t ) sunt

date de urmåtoarele ecua¡ii:

( )t in = 1/2 2 / 2 2 / t et t −⋅+ ; (6.2.1)

Q (t ) = 1/2 2 / 65 !6 / !5 / t et t −⋅+ , (6.2.2)

se cere så se determine cât mai exact posibil hidrograful unitar instantaneu(HUI).

Rezolvare:

Considerând cå bazinul hidrografic se comportå similar cu un sistem linearinvariant în timp, atunci ie¿irea din sistem este datå de integrala de convolu¡ie:

( ) ∫=t

nit Q0

( )τ−t ( ) ττ⋅ d u , (6.2.3)

unde reprezintå ordonatele( )u τ H idrografuluiUnitarInstantaneu (HUI).Aplicând transformata Laplace ecua¡iei (6.2.3), aceasta devine:

( ) ( ) ( )Q s I s U sn= ⋅ (6.2.4) sau:

( ) ( ) ( )s I sQsU n / = , (6.2.5)

unde ¿i sunt transformatele Laplace ale debitului, intensitå¡iiploii nete ¿i hidrografului unitar.

)(),( s I sQ n )(sU

114



Se ¿tie cå: L ( )[ ] ( ) 1 / 1! / +−= nat n asent . (6.2.6)

Deoarece constanta 1/2 apare atât la( )t in , cât ¿i laQ(t ), ea poate fi neglijatå în calculul luiu(t ).

ºinând seama de rela¡ia (6.2.6), ecua¡ia (6.2.5) devine:

U (s) =L

L ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

=++

−−

−−

2 / 22 / 12 / 62 / 5

!2 / !1 / !6 / !5 /

t t

t t

et et et et ( ) ( )

( ) ( )32

76

2 / 1 / 12 / 1 / 12 / 1 / 12 / 1 / 1

++++++

ss

ss =

= ( ) ( )( ) ( )3

72 / 1 / 2 / 32 / 1 / 2 / 3

++++

ssss ;

( ) ( )42 / 1 / 1 += ssU . (6.2.7)

Fåcând transformata Laplace inverså din domeniuls în domeniult , ecua¡ia(6.2.7) devine:

( ) ( ) 2 / 3 !3 / t et t u −⋅= . (6.2.8)

Pentru a verifica rezultatul se va utiliza ecua¡ia (6.2.3) ¿i rela¡ia (6.2.1) :

( ) ( )[ ] ( ) τ⋅τ⋅τ−+τ−= τ−τ−−∫ d eet t t Qt

2 / 32 /

0

2 !3 / !2 / 2 / 1 t =

= 1/2( ) ( )[ ] =τττ−+τ−∫− d t t et

t !3 / !2 / 3

0

22 /

=1/2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =ττ+τ−τ+τ−τ∫−d t t t e

t t

0

5432432 / !3!2 / !3!2 / 2!3!2 / !3 / !3 /

=1/2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=τ+τ−τ+τ−τ∫−t

t t t t e0

6542542 / 6!3!2 / 5!3!2 / 24!3!2 / 5!3 / 4!3 /

=1/2 ( ) ( )[ ] 2/65 !6/!5/ t et t

−⋅+ .

115



Aplica ţia 6.3

CALCULUL HIDROGRAFULUI DEBITELORCONSIDERÂND H.U.I. DAT DE ECUAŢIA UNUI REZERVOR

Pe un bazin hidrografic impermeabil cu suprafa¡a de 5 se înregistreazåo precipita¡ie de 20 mm în prima jumåtate de orå, respectiv de 10 mm înurmåtoarea jumåtate de orå. Se presupune cå transformarea ploii în scurgerepoate fi simulatå cu ajutorul unui rezervor liniar cu aceea¿i suprafa¡å ca abazinului ¿i cu coeficientulk = 1 orå.

km 2

Se cere så se calculeze hidrograful produs la ie¿irea din bazin.Rezolvare:Comportarea unui rezervor este descriså de ecua¡ia de continuitate ¿i

respectiv ecua¡ia de mi¿care:

dt dV

O I =− ; (6.3.1)

Ok V ⋅= , (6.3.2)unde:

I este intrarea în rezervor;- ie¿irea din rezervor;O

V - volumul acumulat în rezervor;k - coeficientul rezervorului;

- timpul.t

Combinând ecua¡iile (6.3.1) ¿i (6.3.2) rezultå:

I Odt dO

k =+⋅ . (6.3.3)

H idrografulUnitarInstantaneu (HUI) reprezintå conceptual råspunsul mediual unei suprafe¡e unitare a bazinului hidrografic analizat la un impuls unitar

, produs într-un interval de timp infinitezimal. Hidrograful unitarinstantaneu va fi notat în continuare prin , al doilea indice din parantezåreprezentând durata impulsului.

mm)1( = I )0,(t u

Admi¡ând cå bazinul hidrografic poate fi asimilat cu un rezervor, rezultå cåvolumul de apå din acest rezervor este egal cu unitatea, chiar la momentul zero.Se poate scrie deci:

== )0(t I 1 mm;

116



)0( =t V = 1 mm pentrut = 0⇒ O (0) = 1/ k ;

)()0,( t Ot u = .

¥nlocuind ie¿irea prin HUI, ecua¡ia (6.3.3) devine:)(t O

1=+udt du

k . (6.3.4)

Pentru a rezolva ecua¡ia (6.3.4) se considerå mai întâi membrul stâng al

ecua¡iei:0=+u

dt du

k . (6.3.5)

¥n continuare se separå variabilele ecua¡iei (6.3.5) ¿i se integreazå prin pår¡i:

k dt

dt du −= ;

∫ ∫−=u t

dt k u

du

0 0

1 ;

ln u + lna = -k t ; (6.3.6)

k t

au −=ln ;

k t k t e Aea

u / / 1 −− ==

unde A este o constantå de integrare ce se determinå ¡inând seama de condi¡iile

ini¡iale. Utilizând ecua¡ia (6.3.2) ¿i ¡inând cont de faptul cå la 0=

t , volumulV este egal cu 1 mm, rezultå:

)0,0()0(1 uk Ok ⋅=⋅= (6.3.7)

sau:k

u 1)0,0( = .

117



Din rela¡ia (6.3.7), particularizatå pentrut = 0 ¿i utilizând rezultatul anterior,se ob¡ine:

118

=

k

Au 1

)0,0( ==

( )

(6.3.8)

¥nlocuind constanta A în rela¡ia (6.3.7), rezultå ecua¡ia HUI pentru cazulunui rezervor liniar:

k t ek

t u / 10, −=

( ) ( )∫=t

dt t ut S0

0,

( )

. (6.3.9)

Pentru a deduce ecua¡ia hidrografului unitar produs de o ploaie cu durata D ore (HUD) se determinå mai întâi hidrograful înS utilizând rela¡ia:

, (6.3.10)

unde u (t , 0) este hidrograful unitar instantaneu dat de ecua¡ia (6.3.9). ¥ncontinuare, ecua¡ia (6.3.10) devine:

k t t k t t

k t eedt ek

t S / 0

/

0

/ 11 −−− −=−== ∫

( )

. (6.3.11)

Ecua¡ia HUD pentrut < D se ob¡ine astfel (ªerban ¿.a., 1989):

( )k t e D D

t S Dt u / 11)(, −−== . (6.3.12)

Pentru: ( )k De D

u / max 11 −−=⇒

( )

Dt = .

(6.3.13)

Ecua¡ia HUD, pentrut ≥ D, se determinå utilizând rela¡ia:

( ) ( )[ ] ( )[ ] =− k D / +−−=−−= −− t k t ee D

Dt St S D

Dt u / 1111,

( )[ ] ( ) ( )[ ]=+−=+− −−−−−−−−− k Dt k Dk Dt k Dt k Dk Dk t eee D

eeee D

/ / / / / / / 11

=

( ) ( ) ( ) k Dt k Dt k D euee D

/ max

/ / 11 −−−−− =− .

(6.3.14)



Pentru a ob¡ine hidrograful debitelor înm3 s / , hidrograful unitaru (t , D)produs de o precipita¡ie cu durata D se înmul¡e¿te cu ploaia netå, precum ¿i cuconstanta de transformareCT,

CT t h Dt ut Q n ⋅⋅= )(),()(6,3

)(),( Ft h Dt u n ⋅⋅= , (6.3.15)

unde:este ploaia netå în mm/orå;nh

F - suprafa¡a bazinului hidrografic în .km 2

Rezultatele sunt prezentate în tabelul 6.3.1 ¿i figura 6.3.1.

Fig. 6.3.1. Hidrograful debitelor.

Aplica ţia 6.4

RELAŢIA DINTRE H.U.D.ŞI H.S.

Pe un bazin hidrografic impermeabil cu suprafa¡a cade oploaie cu durata de 2 ore uniform distribuitå în timp ¿i spa¡iu, având intensitatea

= 10 mm/orå. Hidrograful rezultat, din orå în orå, în

2km43,2= F

ni m3 s / , este prezentat întabelul 6.4.1 linia 1. Acest hidrograf, notat cuu (t , 2h) reprezintå råspunsulbazinului hidrografic la o ploaie cu durata de 2 ore ¿i având stratul scurs:

ns it h ⋅∆= = 2 ore⋅10 mm/orå = 20 mm.

120



Se cere:

a) Så se determine hidrograful înS, corespunzåtor unei precipita¡ii de duratå;ore2=∆ t

b) Så se determine hidrografele unitare produse de o ploaie cu durata de 1, 3¿i respectiv 4 ore având acela¿i strat = 20 mm;sh

c) Så se calculeze hidrograful debitelor rezultate din ploaia = 10 mm înprima orå, i = 40 mm în urmåtoarele douå ore ¿i = 40 mm în

urmåtoarea orå; debitul de bazå are valoarea = 5m s

1ni

n2 3ni

BQ 3 .

Rezolvare:

a) Dupå cum s-a aråtat, precipita¡ia netå produså în cele douå ore este de20 mm. Echivalentul în al acestei precipita¡ii este: /sm3

/sm2406,32,4320

6,33=⋅=⋅=⋅

FhCT h nn .

Adunând debitele din prima linie a tabelului 6.4.1 se ob¡ine aceia¿i valoare:

. /sm240 3

1=∑

=

n

iiQ

¥n cazul de fa¡å, impulsul nu este unitar, ci are valoarea mm.20=nh Totu¿i,råspunsul sistemului la ie¿irea din bazin, exprimat în , poate fi consideratde tip “unitar” ; ca atare, pentru o altå valoare a precipita¡iei efective ,ordonatele hidrografului “ unitar” corespunzåtoare precipita¡iei de 20 mm vorfi multiplicate cu raportul

/sm3

'nh

.20 / 'nh

Pentru determinarea hidrografului înS, notat prin HS, se folose¿te principiulsuperpozi¡iei. ¥n acest scop hidrograful unitar ),( t t u ∆ produs de ploaia cudurata se decaleazå succesiv cu intervale de timpt ∆ t ∆ , pânå la capåtulhidrografului unitar, dupå care se efectueazå cumularea valorilor rezultate peverticalå. Acest hidrograf înS va fi notat prin ),( t t S ∆ , pentru a pune îneviden¡å faptul cå el corespunde unei ploi, respectiv unui hidrograf unitar deduratå .t ∆

Pentru o altå duratå a ploii nete, evident, atât hidrograful unitar, cât ¿ihidrograful înS corespunzåtor, vor fi diferite. Teoretic, existå deci o infinitate

121



122

t

Hidrografele unitare produse de ploi cu durata de 3 ¿i respectiv 4 ore sedeterminå similar cuu (t , 1h); rezultatele sunt prezentate în tabelul 6.4.1 liniile17 ¿i 19 ¿i figura 6.4.1.

¥n cazul examinat, pentru determinarea hidrografului unitar produs de oploaie cu durata D = 1 orå se decaleazå hidrograful înS o orå la dreapta (linia 10din tab. 6.4.1), dupå care se scade linia 10 din linia 9, iar rezultatul se trece pelinia 14; în sfâr¿it, multiplicând valorile ob¡inute cu raportul:

de hidrografe unitare, respectiv de hidrografe înS, func¡ie de mårimeaintervalului∆ . Un loc special îl ocupå hidrograful înS corespunzåtor HUI albazinului. Practic, deoarece intervalul de discretizare are anumite valoriprestabilite (de regulå, 1h, 2h, 3h), numårul hidrografelor efectiv utilizate înpracticå este redus.

¥n cazul examinat, pentru o duratå a ploii nete de douå ore, hidrograful unitaru (t , 2h) se decaleazå succesiv la dreapta câte 2 ore (liniile 2 - 8 din tab. 6.4.1),dupå care se face însumarea pe coloane, rezultând hidrografului înS ce seprezintå în linia 9. Acest hidrograf va fi notat mai departe prin( )h2,t S

( ) ( ) ( )[ ]

.

b) Hidrograful unitar produs de o ploaie cu durata D ore (HUD) se ob¡ineutilizând urmåtoarea ecua¡ie:

Dt

t Dt S t t S Dt u ∆

⋅∆−−∆= ,,,

( )t t S ∆,t

, (6.4.1)

unde:este hidrograful înS, corespunzåtor unei precipita¡ii

de duratå ∆ ;- acela¿i hidrograf ( )t Dt S ∆− , ( )t t S ∆,

),( Dt u

Dt /

Conform rela¡iei (6.4.1), pentru calculul hidrografului dupå decalareahidrografului înS cu un pas D ¿i scåderea ordonatelor corespunzåtoare, semultiplicå valorile ob¡inute cu raportul∆ .

rezultå hidrografulu – linia 15 din tabelul 6.4.1.( )h1,t

Dt /∆ = 2/1=2

, dar decalat la dreapta cu D ore.



Exemple de aplicare a hidrografului unitar

Nr. Mårimea Hidrograful debitelor din orå în orå (m3 / s)crt. rezultatå 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 u (t, 2h) 0 12 38 50 43 33 25 18 11 6 32 u (t-2, 2h) 0 12 38 50 43 33 25 18 113 u (t-4, 2h) 0 12 38 50 43 33 25 14 u (t -6, 2h) 0 12 38 50 43 35 u (t-8, 2h) 0 12 38 506 u (t-10, 2h) 0 127 u (t-12, 2h) 8 u (t-14, 2h) 9 S (t, 2h) 0 12 38 62 81 95 106 113 117 119 12010 S (t -1, 2h) 0 12 38 62 81 95 106 113 117 11911 S (t-2, 2h) 0 12 38 62 81 95 106 113 117 112 S (t-3, 2h) 0 12 38 62 81 95 106 113 113 S (t-4, 2h) 0 12 38 62 81 95 106 114 (9) - (10) 0 12 26 24 19 14 11 7 4 2 115 u (t, 1h) 0 24 52 48 38 28 22 14 8 4 216 (9) - (12) 0 12 38 62 69 57 44 32 22 13 7 17 u (t, 3h) 0 8 25,3 41,3 46 38 29,3 21,3 14,7 8,7 4.7

18 (9) - (13) 0 12 38 62 81 83 68 51 36 24 1419 u (t, 4h ) 0 6 19 31 40,5 41,5 34 25,5 18 12 7

123



Fig. 6.4.1. Hidrograful unitar.

c) Pentru determinarea hidrografului debitelor se folose¿te principiulsuperpozi¡iei, respectiv sumarea, cu decalarea corespunzåtoare în timp ahidrografelor produse de fiecare ploaie. Hietograma ploii nete se prezintå înfigura 6.4.2.

Fig. 6.4.2. Precipitaţia netă.

Nu trebuie uitat cå hidrograful“unitar” ob¡inut în coloana 15 atabelului 6.4.1 corespunde unei precipita¡ii nete de 20 mm; ca urmare,hidrograful produs de ploaia de 10 mm ce cade în decurs de o orå, rezultåprin înmul¡irea cu raportul 10 mm/20 mm.

)h1,(t u

Q1

)h1,(t u

125



Fig. 6.4.3. Hidrograful debitelor.

Hidrograful produs de ploaia de 40 mm în douå ore, rezultå dinhidrograful prin înmul¡irea cu raportul 40 mm/20 mm. Similar cuhidrograful rezultå ¿i hidrograful produs de ploaia de 40 mm care se înregistreazå într-o orå.

Q2

)h2,(t uQ1 Q3

Rezultatele sunt prezentate în tabelul 6.4.1, liniile 20 - 22. La hidrografele, ¿i se adunå debitul de bazå (linia 23), rezultând pe linia 24

hidrograful produs de întreaga averså (fig. 6.4.3).Q1 Q2 Q3 Q B

Aplica ţia 6.5

DETERMINAREA H.U. UTILIZÂND MODELELE I.M.H.ŞI NASH

Pe un bazin hidrografic impermeabil, cu suprafa¡a de 119,5 cade oploaie repartizatå uniform în spa¡iu, dar neuniform în timp (fig. 6.5.1,a).Hidrograful generat de aceastå ploaie este prezentat în figura 6.5.1,b.

km 2

Se cere: a) Så se determine hidrografele unitare utilizând modelul IMH, respectiv

Nash;b) Så se compare cele douå hidrografe.

Rezolvare:

Pentru determinarea datelor generale necesare aplicårii metodei momentelorse procedeazå astfel:

126



− se aleg undele de viiturå cu coeficient mare de scurgere (preferabil);α > 0 5 ,

− se calculeazå volumul scurs ¿i apoi stratul scurs :sV sh

( dt t Qt QV t T

bs )()(0∫ −= ) ; (6.5.1)

F V

h ss = ,

unde este debitul de bazå, iarbQ F reprezintå suprafa¡a bazinuluihidrografic;

− se determinå ploaia medie pe bazin pentru intervale de timp ; serecomandå ca så respecte inegalitatea:

∆ t ∆ t

53÷≤∆ ct t , (6.5.2)

unde este timpul de concentrare al bazinului hidrografic;ct − se determinå ploaia netå, prin separarea unei pår¡i din hietograma ploii

medii pe bazin, egale cu stratul scurs, dupå o curbå de infiltra¡ie de tip

Horton; ploaia netå pe durata evenimentului trebuie så fie egalå cu stratulscurs, în caz contrar modificându-se alura curbei de infiltra¡ie pânå laob¡inerea acestei egalitå¡i.

− dispunând de ploaia netå ¿i de hidrograful debitelor se pot calculamomentele HU care vor servi la calculul parametrilor ce intervin înmodelele utilizate (Nash, respectiv IMH).

a) Ecua¡iile hidrografelor unitare (HU) sunt urmåtoarele:

a1) Modelul IMH (ªerban ¿.a., 1989):

( ) ( ) ( )[ ]2 / 31 2 / 6 t K t Ke K T T t u K t −−+⋅+= − pentrut < T ;

(6.5.3)

( ) ( ) ( )[ ] K T e K T T Ket u K T K t 22 / 6 / 3 / 2 ++⋅−= − pentrut ≥ T ,

unde:reprezintå timpul;t

T ¿i K - parametrii modelului ;

127



a2) Modelul Nash:

( ) ( ) ( ) 1 / / 1 −−⋅Γ

= nk t k t enk

t u , (6.5.4)

unde:

reprezintå timpul;t n ¿i k - parametrii modelului ;

- func¡ia Gama.( )Γ n

Momentele HU se calculeazå utilizând rela¡iile:

hQu M M M 111 −= ;(6.5.5)

hQu mmm 222 −= ,cu:

;2122 QQQ M M m −=

(6.5.6).2

122 hhh M M m −=

Nota¡iile au urmåtoarea semnifica¡ie:

reprezintå momentul de ordinul 1 al HU fa¡å de origine;u M 1

- momentul centrat de ordinul doi al HU;um2

¿i - momentul de ordinul unu, respectiv de ordinul doial hidrografului debitelor fa¡å de origine;

Q M 1 Q M 2

¿i - momentul de ordinul unu, respectiv de ordinul doial hietogramei ploii nete fa¡å de origine;

h M 1 h M 2

¿i - momentele centrate de ordinul doi ale hietogrameihm2 Qm2 ploii, respectiv ale hidrografului debitelor.

Momentele fa¡å de origine ale hidrografului debitelor, respectiv ale ploii netese determinå utilizând rela¡iile:

128



( ) ( )

( )∑

∑

=

+

=

+

+

+−⋅

∆= NQ

i

ii

NQ

i

ii

QQQ

QQi

t M

11

11

1

2

212

2;

( )

∑

∑

=

=−

⋅∆=

NP

in

NP

in

h

i

i

h

hit

M

1

11

12

2 ; (6.5.7)

( ) ( )

( )∑

∑

=

+

=

+

+

+⋅−

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ∆=

NQ

i

ii

NQ

i

ii

QQQ

QQi

t M

11

112

22

2

212

2;

( )

∑

∑

=

=−

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ∆=

NP

i n

NP

in

h

i

i

h

hit

M

1

1

22

2

12

2,

în care:este ordonata hidrografului scurgerii superficiale la momentuli;iQ

- ploaia netå pe intervalul de timpinh ∆t cuprins între momentelei ¿i i + 1;

- numårul de ordonate pentru hietograma ploii nete; NP - numårul de ordonate pentru hidrograful scurgerii superficiale, NQ echidistante cu pasul de timp∆ t .

Pentru determinarea parametrilor se vor utiliza urmåtoarele ecua¡ii rezultateprin aplicarea metodei momentelor:

a1) Modelul IMH:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= 2121 2,02,1

35

uuu M m M T ;

(6.5.8)2 / 1 T M K u −= ;

129



130

uu M mk 12 /

Dupå simplificarea termenilor asemenea, inclusiv a unitå¡ilor de måsurå,rezultå rela¡ia:

unde, a¿a cum s-a mai aråtat, reprezintå momentul de ordinul 1 al HU fa¡åde origine, iar este momentul centrat de ordinul doi al HU.

a2) Modelul Nash:= ;

(6.5.9)k M n u / 1= ,

u M 1um2

CT

Calculul parametrilor hidrografului unitar pentru unda de viiturå analizatåeste prezentat în tabelul 6.5.1.

Pentru diferite momentei se completeazå coloanele 2 ¿i 3 cu datele

prezentate în figura 6.5.1. ¥n continuare (col. 4) urmeazå multiplicarea ploiinete cu constanta de transformare :

CT =6,3

F =6,3

6,119

Fht QV NP

in

NQ

iis

i

⋅=∆= ∑∑== 11

Pentru a vedea care este rela¡ia dintre debitele înregistrate ¿i ordonatelemodificate ale ploii nete prin multiplicare cu constantaCT se scrie rela¡ia deegalitate dintre volumul scurs ¿i volumul ploii nete de pe suprafa¡a bazinuluihidrografic.

sau:

ºinând cont ¿i de unitå¡ile de måsurå se ob¡ine:

= 33,18. (6.5.10)

. (6.5.11)

( ) 223

13

3

1 kmmkm

mmm10)mm()s(106,3

sm

⋅⋅=⋅⋅⋅⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

==∑∑ FhT Q

NP

ii

NQ

ii 62 10⋅ ,

undeT reprezintå numårul de ore al pasului de calcul.

6,311

FhQT

NP

ii

NQ

ii ⋅=⋅ ∑∑

==

FhT Q NP

ii

NQ

ii ⋅=⋅⋅ ∑∑

== 116,3

. (6.5.13)

(6.5.12)



i inh

(mm)iQ

( m s3 / )

CT inh

( m s3 / )2

1++ ii QQ

( m s3 / )2 i - 1 (2i - 1)2

(2 i - 1)⋅ ⋅ CT

inh(2 i - 1)2⋅ ⋅ CT

inh

1 1,77 0,10 56,41 0,05 1 1 56.41 56.412 2,4 3,00 79,63 1,55 3 9 238,89 716,673 5,7 11,00 189,13 7,00 5 25 945,65 4728,25

NP = 4 2,2 20,00 73,00 15,50 7 49 511,00 3577,005 0 50,00 0 35,00 9 81 0 06 0 56,00 0 53,00 11 121 0 07 0 55,00 0 55,50 13 169 0 08 0 46,00 0 50,50 15 225 0 09 0 34,00 0 40,20 17 289 0 010 0 26,00 0 30,20 19 361 0 011 0 24,00 0 25,10 21 441 0 012 0 18,00 0 21,00 23 529 0 013 0 15,00 0 16,50 25 625 0 014 0 11,00 0 13,00 27 729 0 015 0 8,00 0 9,50 29 841 0 016 0 6,00 0 7,00 31 961 0 017 0 5,00 0 5,50 33 1089 0 018 0 4,00 0 4,50 35 1225 0 019 0 3,00 0 3,50 37 1369 0 020 0 2,00 0 2,50 39 1521 0 0

NQ = 21 0 1,00 0 1,50 41 1681 0 0 Σ 398,1 398,1 398,1 1751,95 9078,33

Calculul parametrilor hidrografului unitar

131



Fig. 6.5.1. Date necesare în vederea determin ării hidrografului unitar.

¥n cazul exemplului considerat1=T ; ca atare, efectuând suma pe verticalå acoloanelor 3, respectiv 4, trebuie så se ob¡inå aceea¿i valoare. ¥ntr-adevår, sumaob¡inutå (398,1) este aceea¿i pentru ambele coloane.

¥n cazul în care egalitatea (6.5.13) nu este respectatå, se modificå prin încercåri succesive alura curbei de infiltra¡ie de tip Horton pânå la verificareaacestei condi¡ii.Utilizând rela¡iile (6.5.7), (6.5.6) ¿i (6.5.5) se determinå:

( ) ( )

( )75,16

2

212

2

11

11

1 =+

+−⋅

∆=

∑

∑

=

+

=

+

NQ

i

ii

NQ

i

ii

QQQ

QQi

t M

132



( ) ( )

( )0,333

2

212

2

11

112

22 =

+

+⋅−

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ∆=

∑

∑

=

+

=

+

NQ

i

ii

NQ

i

ii

QQQ

QQi

t M ;

( )4,4

12

21

11 =

−⋅

∆=∑

∑

=

= NP

in

NP

in

h

i

i

h

hit

M

( )8,22

12

21

1

22

2 =−

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ∆=

∑

∑

=

= NP

in

NP

in

h

i

i

h

hit

M

= 333 - 16,75 = 52,46;2122 QQQ M M m −=

= 22,8 - 4,4 = 3,44;2122 hhh M M m −=

hQu M M M 111 −= = 16,75 - 4,4 = 12,35;

hQu mmm 222 −= = 52,4 - 3,44 = 49,02.

Parametrii modelelor IMH ¿i Nash se ob¡in cu rela¡iile (6.5.8) ¿i (6.5.9):a1) Modelul IMH:

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⋅= 2121 2,02,1

35

uuu M m M T [ ]=⋅−⋅−⋅ 235,122,002,492,135,1235

= 11,7 ore;

2 / 1 T M K u −= = 12,35 - 11,7/2 = 6,5 ore;

a2) Modelul Nash:

= 49,02/12,35 = 3,97 ore;uu M mk 12 / =

== K M n u / 1 12,35/3,97 = 3,11.

133



¥nlocuind parametrii astfel ob¡inu¡i în ecua¡iile (6.5.3) ¿i (6.5.4) ale celordouå metode rezultå:

a1) Modelul IMH:

( ) ( ) ( ) 2 / 31 2 / 6 t K t Ke K T T t u K t −−+⋅+= −

=

= ) ( ) ) 25,6 / 3 5,65,65,627,117,11 / 6 t t e t −−+⋅+ − =

=1/266,9 ) 25,6 / 5,65,67,24 t t e t −−+− pentruT < 11,7 ore;

(6.5.14)( ) ( ) ( ) K T e K T T Ket u K T K t 22 / 6 / 3 /

2 ++⋅−= − =

= ) ( ) =⋅++⋅−⋅ − 5,627,115,627,117,11 / 5,66 5,6 / 7,1135,6 / ee t 5,6/41,0 t e−

pentruT ≥ 11,7 ore;

a2) Modelul Nash:

( )( )

( ) 1 / / 1 −−⋅

Γ= nk t k t e

nk t u

( ) ( ) .97,3 /

11,397,3

1 111,397,3 / −−⋅

Γ= t e t (6.5.15)

Func¡iaΓ se determinå pe baza urmåtoarei formule de recuren¡å:

( ) ( )Γ x x+ =1 Γ x .Prin urmare:

( ) ( ) ( )11,111,111,211,211,211,3 Γ⋅⋅=Γ⋅=Γ .

se calculeazå prin interpolare utilizând datele din tabelul 6.5.2.( )Γ 111 ,

Rezultå:( ) 9505,011,111,211,3 ⋅⋅=Γ = 2,226.

¥nlocuind valoarea ob¡inutå în ecua¡ia Nash, aceasta devine:

( ) ( )11,297,3 / 97,3 / 838,81

t et u t −⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = . (6.5.16)

134



b) ¥n vederea comparårii hidrografelor unitare ob¡inute cu modelele IMH ¿iNash, se prezintå grafic cele douå HU. Analizând aceste hidrografe (fig. 6.5.2),se observå cå hidrograful unitar ob¡inut prin aplicarea modelului IMH este maizvelt, având debitul maxim mai mare decât HU ob¡inut prin utilizarea modeluluiNash.

Se ¿tie cå volumul HU este 1, diferen¡ele ob¡inute fiind cauzate de neluarea în considerare a tuturor ordonatelor HU, de lat = 40 ore pânå la∞ .

Utilizând ecua¡iile (6.5.14) ¿i (6.5.15) ale modelelor IMH ¿i respectiv Nash¿i dând valori timpuluit din 2 în 2 ore, se ob¡in ordonatele HU ce suntprezentate în tabelul 6.5.3.

Volumul HU ob¡inut în cele douå cazuri are urmåtoarele valori:

• Modelul Nash:

• Modelul IMH:

135

Tabelul 6.5.2

Valorile funcţiei Gama pentru [ ]2,1∈ x

x Γ ( x ) x Γ ( x ) x Γ ( x )1,00 1,0000 1,34 0,8922 1,68 0,90501,02 0,9888 1,36 0,8902 1,70 0,90861,04 0,9784 1,38 0,8885 1,72 0,91261,06 0,9687 1,40 0,8873 1,74 0,91681,08 0,9597 1,42 0,8864 1,76 0,92141,10 0,9513 1,44 0,8858 1,78 0,9262

1,12 0,9436 1,46 0,8856 1,80 0,93141,14 0,9364 1,48 0,8857 1,82 0,93681,16 0,9298 1,50 0,8862 1,84 0,94261,18 0,9237 1,52 0,8870 1,86 0,94871,20 0,9182 1,54 0,8882 1,88 0,95511,22 0,9131 1,56 0,8896 1,90 0,96181,24 0,9085 1,58 0,8914 1,92 0,96881,26 0,9044 1,60 0,8935 1,94 0,97611,28 0,9007 1,62 0,8959 1,96 0,98371,30 0,8975 1,64 0,8986 1,98 0,99171,32 0,8946 1,66 0,9017 2,00 1,0000

( )∑ =⋅∆= t ut V

( )∑ =⋅∆= t ut V 2⋅0,4972 = 0,9944.

2⋅0,4974 = 0,9948;



136

t (ore)HUI

22 24 26 28 30 32 34 36

u (t )( )310 − 1ore −

13,89 10,21 7,50 5,52 4,05 3,0 2,2 1,6 IMH u (t ) CT ⋅

)s / m( 3 0,46 0,34 0,25 0,18 0,13 0,1 0,07 0,05

u (t )( )310 − 1ore −

16,4 11,9 8,5 6,0 4,2 2,9 2,0 1,3

Nash u (t ) CT ⋅

)s / m( 3 0,54 0,39 0,28 0,20 0,14 0,1 0,07 0,04

t (ore)HUI

0 2 4 6 8 10 12 14

u (t )( )310 − 1ore −

0 10,78 33,78 57,83 74,71 78,39 64,72 47,58 IMH u (t ) CT ⋅

)s / m( 3 0 0,36 1,12 1,92 2,48 2,60 2,15 1,59

u (t )( )310 − 1ore −

0 17,8 42 59,6 66,1 63,9 56,9 47,50

Nash u (t ) CT ⋅

)s / m( 3

0 0,59 1,39 1,97 2,19 2,13 1,89 1,58

Hidrograf unitar instantaneu



Fig. 6.5.2. Hidrografe unitare.

Modelul Nash se recomandå pentru determinarea hidrografului debitelor înbazine mari (500 < F < 1000 2km ), având în vedere faptul cå hidrografeleunitare sunt mai aplatizate ¿i pot reproduce mai bine hidrografele reale.

Modelul IMH då rezultate bune pentru simularea scurgerii în bazine mici(10 < F < 500 ) deoarece conduce la hidrografe unitare mai ascu¡ite decâtmodelul Nash pentru acelea¿i valori ale momentelor.

2km

Aplica ţia 6.6

DETERMINAREA HIDROGRAFULUI UNITARUTILIZÂND MODELUL AREAGRAM Ă-REZERVOR

Pentru simularea scurgerii într-un bazin hidrografic se poate utiliza ¿imodelulareagramå-rezervor , format dintr-un rezervor liniar cu parametrul K înserie cu un canal linear cu durata de propagareT .

Fie un bazin hidrografic cu suprafa¡a , a cårui areagramå rezultåprin discretizarea spa¡ialå a acestuia prin intermediul a 10 curbe izocrone(fig. 6.6.1 ¿i tab. 6.6.1); pasul de discretizare este

2km631= F

1=∆ t orå. Durata depropagare prin canal de la capåtul amonte la capåtul aval este de 10 ore, iarparametrul 8=K ore.

137



Fig. 6.6.1. Modelul areagramă - rezervor.

Se men¡ioneazå cå parametrii modelului rezultå în urma unui proces decalare (calibrare, tarare sau identificare) care constå în principiu din ajustareaacestora astfel încât så fie reproduse hidrografe înregistrate în trecut.

Tabelul 6.6.1

Areagrama bazinului hidrografic

Ora Suprafa¡a zoneikm 2

Ora Suprafa¡a zoneikm 2

1 14 6 952 30 7 703 84 8 554 107 9 355 121 10 20

Se cere så se calculeze ordonatele hidrografului unitar de duratå pentru oploaie de 1 cm . t ∆

Rezolvare:

Mårimea scurgerii la ie¿irea dintr-un rezervor linear se poate ob¡inerezolvând urmåtorul sistem de ecua¡ii:

138



⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

=−

V K

Q

dt dV

Q I

1 , (6.6.1)

unde I este intrarea în sistem,Q este debitul la ie¿ire, iarV reprezintå volumulstocat în rezervor. Se observå cå ie¿irea este o func¡ie liniarå deV, prinintermediul unui coeficient al rezervorului K, având dimensiune de timp (ore).Explicitând din a doua ecua¡ie peV ¿i înlocuindu-l în prima ecua¡ie se ob¡ine:

dt dQ K Q I ⋅=− . (6.6.2)

¥n continuare, pentru integrarea ecua¡iei (6.6.2) se utilizeazå metodadiferen¡elor finite bazatå pe urmåtoarele ecua¡ii:

21++

= ii QQQ ;

t QQ

dt dQ ii

∆−

= +1 ; (6.6.3)

I I = ,

unde I reprezintå afluxul mediu din intervalul de timp ( 1, +ii ), iar estepasul de timp, exprimat în ore.

t ∆

Fåcând înlocuirile respective ¿i grupând termenii asemenea se ob¡ine:

iiii QC I CQ 21,11 += ++ , (6.6.4)

unde1,

+ii

I reprezintå contribu¡ia suprafe¡ei cuprinse între izocronele ¿ila formarea debitului de la momentul

i 1+i

1+i .Coeficien¡ii ¿i au expresiile:1C 2C

C t K 1 05

=+ t

∆∆ ,

, (6.6.5)

139



C K t

K t 20 50 5

= −+

, ,

∆∆ .

Deoarece constantele ¿i sunt adimensionale, din motive deomogeneitate a rela¡iei (6.6.2) rezultå cå termenii , , respectiv

1C 2C

iQ 1+iQ 1, +ii I

au acelea¿i dimensiuni ( ). /sm3

¥n condi¡iile în care intrarea este unitarå, ecua¡ia (6.6.4) permite calculul unuihidrograf unitar de duratå corespunzåtoare intervalului de timpt ∆ . ¥n cazul defa¡å precipita¡ia unitarå este de 1 cm, pasult ∆ = 1h, iar hidrograful unitar

corespunzåtor va fi notat prin ).h1,(t u Pentru cazul analizat, ecua¡iile (6.6.4) ¿i (6.6.5) devin:

C 11

8 0 5=

+ ,= 0,1176;

(6.6.6)

C 28 0 58 0 5

= −+

= , ,

0,8824;

iiii Q I Q ⋅+⋅= ++ 8824,01176,0 1,1 . (6.6.7)

Se men¡ioneazå cå afluxul de apå 1, +ii I reprezentând contribu¡ia suprafe¡eicuprinse între izocronele vecinei ¿i1, +ii F 1+i se ob¡ine multiplicând

intensitatea ploii nete cu suprafa¡a aferentå.n I

1,1, ++ ⋅= iinii F I I .

Considerând o suprafa¡å unitarå ( ) se ob¡ine expresia constantei detransformareCT , care va multiplica fiecare suprafa¡å par¡ialå :

2km1= f

1, +ii F

( ) ( ) 2

262

33

2km

m10kms/orå 106,3

m/mm10)ore(

mmkmmm⋅⋅

⋅⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

=⋅⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

∆=

− f

T I f

t I CT nn =

(6.6.8)

( ) /sm6,36,3

3⋅

=⋅

⋅=

T I

T f I nn .

140



ºinând cont de aceste considerente, afluxul de apå1, +ii I are expresia:

1,1, ++ ⋅= iiii FCT I .

Ca urmare, expresia (6.6.4) devine:

iiii Q FCT Q ⋅+⋅⋅= ++ 8824,01176,0 1,1 . (6.6.9)

¥n cazul examinat = 1 cm/orå = 10 mm/orå, ceea ce înseamnå cåCT arevaloarea:

I n

778,26,31110

6,3 =⋅

⋅=⋅

⋅=

T f I

CT n , (6.6.10)

Calculul hidrografului utilizând ecua¡ia (6.6.9) ¿i valoarea datå derela¡ia (6.6.10) pentru constantaCT este prezentat în tabelul 6.6.2.

)h1,(t u

Tabelul 6.6.2

Calculul ordonatelor hidrografului unitar )h1,(t u

Areagramat

(ore)1, +ii F

( 2km )

0,1176⋅

1, +ii I == 1,1176,0 +⋅⋅ ii FCT

( ) /sm3

iQ⋅8824,0 =

= )5(8824,0 ⋅ ( ) /sm3

=)h1,(t u = (3) + (4)

( ) /sm3

1 2 3 4 50 0 0 0 01 14 4,57 0 4,572 30 9,80 4,03 13,833 84 27,44 12,21 39,654 107 34,96 34,98 69,945 121 39,53 61,72 101,256 95 31,04 89,34 120,387 70 22,87 106,22 129,098 55 17,97 113,91 131,889 35 11,43 116,37 127,8010 20 6,53 112,77 119,3011 0 0 105,27 105,2712 0 0 92,89 92,89

141



Tabelul 6.6 inuare)

Areagrama

.2 (cont

=)h1,(t ut , +ii F

(ore)1

( 2km )

0,1176⋅ 1, +ii I == 1,1176,0 +⋅⋅ iCT i F

( ) /sm3

iQ⋅8824,0 =5(8824,0= )⋅

( ) /sm3

= (3) + (4)( ) /sm3

1 2 3 4 513 0 0 81,97 81,9714 0 0 72,33 72,3315 0 0 63,82 63,82

16 0 0 56,32 56,3217 0 0 49,69 49,6918 0 0 43,85 43,8519 0 0 38,69 38,6920 0 0 34,14 34,1421 0 0 30,13 30,1322 0 0 26,58 26,1823 0 0 23,46 23,4624 0 0 20,69 20,6925 0 0 18,25 18,25

Hidrograful unitar ob¡inut ,( t t u ∆ ) reprezintå råspunsul întregului bazinhidrografic pentru o precipita¡ie ” de 10 mm. Pentru o altå precipita¡ienetå nh , aceste ordonate se vor multiplica cu raportul .10 / nh

“unitarå

Aplica

CALCULUL HIDROGRAFULUI DEBITELOR

Un acvifer freatic, având suprafa¡a de 0,864

ţia 6.7

PROVENIT DINTR-UN ACVIFER FREATIC

2km este realimentat în douå

grafului scurgerii de bazå în mm/zi,

erâ comportarea acviferului corespunzåtor unui rezervor linear,cu parametrul

b) utilizând solu¡ia ob¡inutå pentru ecua¡ia difuziei.

zile succesive de 5, respectiv 2 mm de apå.Se cere så se calculeze modificarea hidro

respectiv în /sl :

a) consid ndzile2=k ;

142



durata D, corespunzåtor

n 6.3):

Rezolvare:

a) Hidrograful unitaru (t , D) produs de o ploaie cuar, are urmåtoarele ecua¡ii (v. aplica¡ia u ui rezervor line

( ) ( )k t e D

Dt u / 11, −−= ; Dt <≤0 (6.7.1)

( ) ( ) ( ) k Dt k D eu / −−⋅ ,e D

Dt / 11, −−= ∞<≤ t D , (6.7.2)

unde k reprezintå parametrul rezervorului (2 zile), iar D durata reîncårcårii

Utilizând ecua¡iile (6.7.1) ¿i (6.7.2) se determinå ordonatele hidrografului

se multiplicå cu valoarea

acviferului (1 zi).

unitar ( )zi1,t u produs de o ploaie cu durata de 1 zi ce sunt prezentate în tabelul6.7.1. ¥n continuare, aceste ordonate exprimate în1zi−realimentårii zilnice (mm), rezultând råspunsul rezervorului (mm/zi) pentrufiecare Prin adunarea decalatå cu o zi a celor douå råspunsuri se ob¡ineråspunsul total, în mm/zi, respectiv în /sl . Factorul de transformare utilizat arevaloarea:

impuls.

( ) ( ) ⎟

⎠⎜

⎝ ⋅ ⎠ s4,86kms/zi86.4001zizi 2

Pentru cazul examinat ( F = 0,864

⎟ ⎞

⎜⎛

=⋅⋅⋅=⋅⎟

⎞⎜⎝ ⎛ =

− mm10kmm/mm10mm1kmmm1326

23

2 F F FCT .

2km ) se ob¡ine:

.s

10s4,86s4,86s4,86 ⎜

⎝ ⎟ ⎠⎜⎝

1000864,0m864,0m 33⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅=

⎟ ⎠⎜⎛

=⎟ ⎞

⎜⎛

= ll FCT

Ca atare, valorile debitului exprimat în mm/zi se vor multiplica cu factorulCT = 10, pentru a le transforma în (tab. 6.7.1).

ecua¡ia hidrografului unitar instantaneu

⎟ ⎞

/sl

b) Kraijenkoff (1958) a dedus( )u t ,0 pentru un acvifer prin integrarea ecua¡iei difuziei:

( ) ∑∞

(6.7.3)

unde n reprezintå numårul de rezervoare în pa

=

−⋅⋅

π=

...5,3,12

218,0

n

j t n

e j

t u ,

ralel; zile2==k j reprezintåparametrul unui rezervor, iart timpul.

143



Ecua¡ia (6.7.3) reprezintå func¡ia de transfer a unui sistem format dintr-oinfinitate de rezervoare lineare situate în paralel.

Ordonatele hidrografului unitar (func¡ia a sistemului) atunci cânddurata impulsului este D sunt date de urmåtoarele ecua¡ii:

de transfer

( )⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

π⋅=

−∞

=∑ j

t n

ne

n D Dt u

2

111,,..5,3,1 22 ;8

Dt <≤0 (6.7.4)

( ) j n2

− t j Dn

een D

t u

2

118122 ⋅

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ −⋅= ∑ ,

n ,...5,3,1=

∞

π D t ≤ < ∞ D, ; (6.7.5)

Hidrograful unitar produs 1= Dde un impuls cu durata zi, calculat pe bazaecua¡iilor (6.7.4) ¿i (6.7.5) este prezentat în tabelul 6.7.2. Tot în acest tabel seprezintå ¿ dific lui scurgerii de , atâ i înutilizând a¿i factor de transformare ca ¿i în cazul anterior. ¥n figura 6.7.1 seprezintå comparativ hidrograful scurgerii dinmetode.

i moacel

area hidrografu bazå

acvifer calculat prin cele douå

/sl ,t în mm/zi, cât ¿

Fig. 6.7.1. telor determinat pe baz

r linear; 2 - ecua ţiei dHid

1

rog- u

raf nui

ul drez

ebiervo

a HUe dif

couzie

res.

punzător:

145



7

MODEL CONCEPTUAL

PENTRU CALCULUL DEBITELOR

MODELUL VIDRA

Pe bazinul hidrografic A cu suprafa¡a F = 190 , cade în 3 ore o ploaie de93 mm uniform distribuitå în timp ¿i spa¡iu.

km 2

Se cere: a) Så se calculeze, utilizând modelul VIDRA, ploaia netå pentru fiecare

interval de o orå.b) Så se determine coeficien¡ii de scurgere pentru fiecare interval de o orå ¿i

coeficientul global de scurgere. Så se comenteze rezultatele.

c) Så se determine volumul ¿i debitul maxim al viiturii.d) Så se calculeze hidrograful debitelor prin aplicarea metodei hidrografului

unitar. Ordonatele hidrografului unitaru (t ) produs de o ploaie cu duratade o orå se prezintå în tabelul 7.1.

Parametrii modelului VIDRA pentru bazinul hidrografic A sunt: FOM = 40 mm/orå; PI = 6 mm; FC = 2 mm/orå; UDM = 8 mm;USZNN = 90 mm; CH = 0 001;

PSH = 30 mm; CB = 0,1.

Cantitå¡ile de apå con¡inute în rezervoarele modelului anterior produceriiviiturii sunt:

URI = 0; UD = 0;USZN = UI = 20 mm; USZS = 10 mm.

Elementele caracteristice ale undelor de viiturå pentru bazinul A sunt:

147



Calculul hidrografului debitelor

148

t (ore) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11)(t u ( /sm3 0 0,07 0,4 1,0 1,7 2,4 3,1 3,7 4,1 4,2 4,1 3,7

=1nh 1,6 0 0,1 0,6 1,6 2,7 3,8 5,0 6,0 6,6 6,7 6,6 6,0

=2nh 14,

6

0 1,0 5,8 14,6 24,8 35,0 45,3 54,0 60,0 61,3 60,0

=3nh 23,

5

0 1,6 9,4 23,5 39,9 56 72,8 86,9 96,3 98,7

∑ iQ 0 0,1 1,6 9,0 26,7 62,1 79,9 107 133 154 164 165

∑ + Bi QQ 2,2 2,3 3,8 11,2 28,9 64,3 82,1 109 136 156 166 167

t (ore) 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2

)(t u /sm3 1,8 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,7 0,6 0,55 0,48 0,44 0

=1nh 1,6 2,9 2,6 2,1 1,9 1,6 1,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7

=2nh 14,6 30,7 26,3 23,4 19,0 17,5 14,6 13,1 10,2 8,8 8,0 7,0

=3nh 23,5 56,4 49,3 42,3 37,6 30,5 28,2 23,5 21,1 16,4 14,1 13,0

∑ iQ 90,0 78,2 67,8 58,5 49,6 44,2 37,7 32,3 26,1 22,9 20,7

∑ + Bi QQ 92,2 80,4 70,0 60,7 51,8 46,4 39,9 34,5 28,3 25,1 22,9



− durata de cre¿tere cr T = 13 ore;− durata totalå = 60 ore;T T − coeficientul de formå γ = 0,20.

Rezolvare:

a) Pentru calculul ploii nete modelul VIDRA (ªerban ¿.a., 1989) are caipotezå de bazå faptul cå scurgerea într-un bazin hidrografic este asemånåtoarecu scurgerea printr-o suitå de patru rezervoare interconectate: rezervorul deintercep¡ie, rezervorul depresiunilor, rezervorul zonei nesaturate ¿i rezervorulzonei saturate (fig. 7.1).

Rezervorul de intercep¡ie de capacitate PI simuleazå procesul de intercep¡ieprin care precipita¡iile P sunt re¡inute pe coronamentul arborilor ca ¿i pevegeta¡ia care acoperå påmântul.

La fiecare pas de timp∆t cantitatea de apå acumulatå în rezervorul deintercep¡ie (URI ) se schimbå astfel:

E PURI URI −+= , (7.1)unde:

este precipita¡ia medie pe bazin;P E - evapotranspira¡ia realå.

Fig. 7.1. Modelul de calcul al ploii efective: a - schema fizic ă ;b – schema conceptual ă .

149



Dacå dupå efectuarea acestui calcul , rezervorul de intercep¡ie începe så deverseze. ¥n acest caz, precipita¡iile PLS care ajung la nivelul soluluisunt:

PI URI >

PLS P PI = − , (7.2)

iar:

.PI URI =

Rezervorul depresiunilor ¿i rezervorul zonei nesaturate simuleazå proceselemai importante care au loc la nivelul solului ¿i în zona aeratå ¿i anume: reten¡ie

în depresiuni, infiltra¡ie, percola¡ie, scurgere de suprafa¡å ¿i scurgerehipodermicå.Experimentele efectuate pe suprafe¡e mici asupra procesului de infiltra¡ie au

demonstrat variabilitatea curbei de infiltra¡ie pentru fiecare eveniment ploaie-scurgere, func¡ie de gradul de satura¡ie ini¡ialå a soluluiSI (fig. 7.2) ¿i de stareade vegeta¡ie din momentul producerii ploii. Matematic, rela¡ia dintre viteza deinfiltra¡ie ¿i cantitatea de apå infiltratå este de urmåtoarea formå:

( ) ( ) FCUI USZN FC FOS INFM ++−−= 2 / 11 / ; (7.3)

cu:( ) ( ) FCSI FC FOM FOS +−⋅−= 8,01 ; (7.4)

USZNN UI SI / = , (7.5)

Fig. 7.2. Rela ţia dintre infiltra ţie ş i con ţinutul de umiditate a solului.

150



DSS PLS INFB= − . (7.7)

La începutul ploii, aceastå cantitate se acumuleazå în depresiunile de diferitedimensiuni de la suprafa¡a solului ¿i scurgerea de suprafa¡å este practic nulå. Pemåsurå ce capacitatea depresiunilor mici este depå¿itå, scurgerea de suprafa¡å începe så creascå, atingând valoarea DSS (atunci când toate depresiunile suntpline de apå).

Fie UD valoarea umiditå¡ii din depresiuni la începutul pasului de calcul.Aceastå valoare, în condi¡iile în care existå o cantitate DSS disponibilå pentruscurgerea de suprafa¡å, devine:

UD = UD + DSS.

Cazul UDM UD ≤ Cazul UDM UD > Se calculeazå parametrul ALFAD al scurgeriide suprafa¡å:

2

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

UDM UD

ALFAD , (7.8)

unde UDM este a¿a cum s-a aråtat, capacitateamaximå a rezervorului depresiunilor.

Scurgerea rapidåSR se calculeazå în acest cazutilizând urmåtoarea rela¡ie:

DSS ALFADSR ⋅= ,(7.9)

iar: SRUDUD −= .

Surplusul în raportcu UDM se scurgeintegral, ceea ce înseamnå cå scurgerearapidåSR ¿i umiditateadin depresiuni UD devin:

UDM UDSR −= ,(7.9)

iar: UDM UD= .

Având în vedere cå procesele de acumulare a apei în depresiuni ¿i de ¿iroirepe versanti au o dinamicå foarte pronun¡atå în timp, se recomandå ca rela¡ia(7.8) så fie aplicatå pe subintervale de timp mai mici cat ∆ ; în exemplul

considerat , deci valoarea lui ALFAD ar trebui calculatå pentrusubintervale de ordinul minutelor. ¥n principiu, numårul acestor subintervale

trebuie så fie mai mare ca :

orå 1=∆t

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

12 / UDM

PLS , unde paranteza dreaptå

reprezintå partea întreagå a expresiei din interior.Scurgerea hipodermicåSH , percola¡ia PERC ¿i scurgerea de bazåSB se

calculeazå utilizând urmåtoarele ecua¡ii:

152



− ( )PSH USZN CH SH −⋅= . (7.10)Dacå 0=⇒< SH PSH USZN

− ( )3 / USZNN USZN FC PERC ⋅= ; (7.11)

− USZS CBSB ⋅= , (7.12)unde:

CH este parametrul scurgerii hipodermice;PSH - pragul scurgerii hipodermice;

USZNN - capacitatea nominalå a zonei nesaturate;USZN - cantitatea de apå din zona nesaturatå a solului;- cantitatea de apå din zona saturatå a solului;USZS

- parametrul scurgerii de bazå.CB

Cantitatea de apå existentå în depresiuni se va infiltra ¿i evapora. Infiltra¡iasuplimentarå din depresiuni se calculeazå astfel:

, dacå IN INFSD INFM INFB= − FSD UD≤ ;(7.13)

, dacå IN . INFSD UD= FSD UD>

¥n fiecare interval de timp∆t umiditå¡ile finale din rezervorul caremodeleazå depresiunile, precum ¿i din rezervoarele corespunzåtoare zoneinesaturate, respectiv zonei saturate, se determinå astfel:

E INFSDUDUD −−= ; (7.14)

USZN USZN INFB INFSD PERC SH E = + + − − − ; (7.15)

USZS USZS PERC SB= + − . (7.16)

Intensitatea ploii nete la fiecare interval de timp (de regulå o orå) secalculeazå astfel:

SH SR I n += ; (7.17)

fluxul total de apå în râu este:

SB I IT n += . (7.18)

153



Determinarea ploii nete se face orå de orå având în vedere dinamica foartepronun¡atå în timp a proceselor hidrologice ¿i în special a infiltra¡iei. Deasemenea, calculul se efectueazå în ipoteza cå evapora¡ia în timpul ploii E esteaproximativ egalå cu zero.

Intensitatea ploii orare . Pentru datele de bazå considerate, admi¡ând oprecipita¡ie uniform distribuitå în timp, intensitatea ploii orare are valoarea:

PO P= = / 3 93/3 = 31 mm/orå.

Calculul ploii nete în prima or ă . Rezervorul de intercep¡ie:

310310 =−+=−+= E PURI URI mm.• Ploaia la nivelul solului:

PLS = PO - PI = 31 - 6 = 25 mm/orå.

6==PI URI mm.

¥n continuare, la pa¿ii urmåtori, deoarece 0= E , rezervorul de intercep¡ieråmâne la capacitatea maximå (valoarea pragului de intercep¡ie), întreagaprecipita¡ie ajungând la nivelul solului ( )POPLS = .

• Infiltra¡ia punctualå:

FOS = ( FOM - FC ) (1 - 0,8SI ) + FC = (40 - 2)( ⎟ ⎠ ⎞−

90208,01 + 2 = 33,5 mm/orå.

INFM = ( FOS - FC )/ = ( )USZN UI FC − + +1 1 2 /

= (33,5 - 2)/ 1 + 2 = 33,5 mm/orå.1 2 /

• Infiltra¡ia medie pe bazin:

INFB PLS PLS INFM = − = −2

4 25 2 / 2

5 / 4⋅33,5 = 20,3 mm/orå.• Apa disponibilå pentru scurgere:

DSS = = 25 - 20,3 = 4,7 mm/orå; INFBPLS −

UD = UD + DSS = 0 + 4,7 = 4,7 mm/orå ;

154



DeoareceUD UDM, se calculeazå raportul ALFAD :≤

2

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

UDM UD

ALFAD =2

874⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ , = 0,35.

• Scurgerea rapidå:

SR = ALFAD ⋅ DSS = 0,35⋅4,7 = 1,6 mm/orå;

UD = UD - SR = 4,7 - 1,6 = 3,1 mm/orå.

• Scurgerea hipodermicå:

Deoarece 3020 =<= PSH USZN , scurgerea hipodermicå nu se produce.¥ntr-adevår:

SH = CH (USZN - PSH ) = 0,001 (20 - 30) < 0, deciSH = 0.

• Percola¡ia:

( ) ( ) === 33 90 / 202 / USZNN USZN FC PERC 0,02 mm/orå.

• Infiltra¡ia suplimentarå din depresiuni:

INFSD = INFM - INFB = 33,5 - 20,3 mm/orå == 13,2 mm/orå > =UD 3,1 mm/orå.

Rezultå INFSD = 3,1 mm/orå.

• Umiditatea din rezervorul depresiunilor:

UD = UD - INFSD - E = 3,1 - 3,1 - 0 = 0.

• Umiditatea din rezervorul zonei nesaturate:

USZN =

USZN +

INFB +

INFSD -

SH -

PERC -

E =

= 20 + 20,3 + 3,1 - 0 - 0,02 - 0 = 43,4 mm.

Calculul ploii nete în ora a doua :

INFM = ( FOS - FC )/ ( =)USZN UI FC − + +1 1 2 /

= (33,5 - 2)/ + 2 = 8,4 mm/orå;( 2 / 11204,43 +− )

155



PLS > 2 INFM , deci: INFB = INFM = 8,4 mm/orå;


UD = UD + DSS = 0 + 22,6 = 22,6 mm/orå;

Deoarece surplusul în raport cu UDM se scurge integral. mm8=>UDM UD

= 22,6 – 8 = 14,6 mm/orå,UDM UDSR −=

iar:= 8 mm/oråUDM UD =

SH = CH (USZN - PSH ) = 0,001 (43,4 - 30) = 0,013 mm/orå;

2( ) == 3 / USZNN USZN FC PERC ( ) 22,090 / 4,43 3 = mm/orå;

INFSD = INFM - INFB = 8,4 - 8,4 = 0;

UDM UD = = 8 mm/orå

USZN = USZN + INFB + INFSD - SH - PERC - E =

= 43,4 + 8,4 + 0 - 0,013 - 0,22 - 0 = 51,6 mm/orå.Calculul ploii nete în ora a treia :

INFM = ( FOS - FC )/ ( =)USZN UI FC − + +1 1 2 /

= (33,5 - 2)/ + 2 = 7,5 mm/orå;( 21120651 / , +− )

PLS > 2 INFM , deci: INFB = INFM = 7,5 mm/orå;


UD = UD + DSS = 8 + 23,5 mm/orå = 31,5 mm/orå;Deoarece surplusul în raport cuUDM se scurge integral.mm8=>UDM UD

= 31,5 – 8 = 23,5 mm/orå,UDM UDSR −=

iar: = 8 mm/oråUDM UD =

SH = CH (USZN - PSH ) = 0,001 (51,6 - 30) = 0,021 mm/orå;

156



2( ) == 3USZNN USZN FC PERC / ( ) 38090651 3 , / , = mm/orå;

INFSD = INFM - INFB = 7,5 - 7,5 = 0;

USZN = USZN + INFB + INFSD - SH - PERC - E =

= 51,6 + 7,5 + 0 - 0,38 - 0,021 - 0 = 58,7 mm.

• Scurgerea de bazå:

SB = CB⋅ USZS = 0,1⋅10 = 1 mm/zi.

• Debitul de bazå al viiturii este: BQ

= SB⋅ F /(24⋅3600) =Q B )63 10190101 ⋅⋅⋅ − /(24⋅ 3600) = 2,2 m3 /s.

• Intensitatea ploii nete pentru cele 3 intervale succesive de o orå arevalorile: 1,6 mm/orå, 14,6 mm/orå, respectiv 23,5 mm/orå.

• Ploaia netå totalå este:

= 1,6 + 14,6 + 23,5 = 39,7 mm.n P

b) Coeficien¡ii de scurgere pentru fiecare interval de o orå reprezintåraportul dintre ploaia netå ¿i ploaia cåzutå în intervalul respectiv:

= 1,6/31 = 0,05; POhn / 11 =α

= 14,6/31 = 0,47; POhn /

22 =α

= 23,5/31 = 0,76. POhn / 33 =α

Coeficientul global de scurgere este:

= 39,7/93 = 0,43. Phn / =α

Coeficientul de scurgere variazå în timp de la 0,05 la 0,76 datoritå varia¡iei în timp a umiditå¡ii solului. La începutul viiturii umiditatea în sol era de 20 mm,iar la sfâr¿it atingea valoarea de 58,7 mm.

c) Volumul viituriiW se determinå utilizând rela¡ia: F hW n ⋅= , unde:

157



Calculul propriu-zis al hidrografului scurgerii de suprafa¡å se prezintå întabelul 7.11. Adunând la acest hidrograf ¿i debitul de bazå BQ se ob¡inehidrograful scurgerii totale.

Debitele maxime ale viiturii ob¡inute prin aplicarea celor douå metode decalcul (metoda volumetricå ¿i metoda hidrografului unitar) diferå între ele cu12,7%.

1 v. pg. 148.

159



8

PROPAGAREA VIITURILOR PRIN ALBIE

Aplicaţia 8.1

DETERMINAREA PARAMETRILOR ECUAŢIEI MUSKINGUM

Datoritå înmagazinårii temporare a unui volum de apå în albia majorå, lapropagarea undelor de viiturå pe un sector de râu care nu are aport de debit seconstatå cå hidrograful din aval are debitul de vârf decalat fa¡å de debitul maximal hidrografului din amonte; de asemenea, maximul din aval este mai redusdecât cel din amonte (fig. 8.1.1).

Cea mai utilizatå rela¡ie pentru propagarea aproximativå a undelor de viituråprin albii naturale este cunoscutå sub denumirea de modelul Muskingum:

ciii

ci qcQbQaq 11 −− ⋅+⋅+⋅= , (8.1.1)

Fig. 8.1.1. Schema de principiu a propagării undelor de viitur ă.

161



unde:a, b ¿i c sunt trei parametri func¡ie de timpul de propagare K al centruluide greutate al undei de viiturå între capetele sectorului ¿i de coeficientul deatenuare X al viiturii pe sector; ¿i reprezintå valori de calcul aledebitului din aval la pasul anterior, respectiv pasul curent. Debitul måsurat înaval la momentuli se noteazå prin .

ciq 1− c

iq

miq

¥n tabelul 8.1.1 se prezintå hidrografele amonte ¿i aval pe un sector de râu înperioadå de viiturå.

Tabelul 8.1.1

Hidrografele de viitur ă la capetele de sector

i iQ m s3 /

miq

m s3 / i iQ

m s3 /

miq

m s3 /

i iQ m s3 /

miq

m s3 /

0 100 100 8 910 860 16 195 4311 100 100 9 825 870 17 165 3682 280 106 10 670 852 18 135 3133 520 160 11 550 800 19 120 2634 610 258 12 515 733 20 120 2255 1150 369 13 370 670 21 120 1976 1385 583 14 285 588 22 120 1757 1100 784 15 225 506

Se cere:

a) Så se determine parametrii ecua¡iei Muskingum prin metoda celor maimici påtrate;

b) Så se determine parametrii ecua¡iei Muskingum prin metoda graficå.

Rezolvare:

a) Calculul parametrilor prin metoda celor mai mici påtrate. Interpretând rela¡ia Muskingum ca o corela¡ie liniarå multiplå, trebuiedetermina¡i parametriia, b ¿ic, care minimizezå expresia (R. Drobot, 1984):

( ) ( )∑∑=

−−=

−⋅+⋅+⋅=−=n

i

mi

ciii

n

i

mi

ci qqcQbQaqq F

12

111

2 . (8.1.2)

162



163

ciq m

iqciq 1−

miq 1−

( )∑=

−− −⋅+⋅+⋅=n

i

mi

miii qqcQbQa F

1

211

( )

( )

( )⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⋅=+⋅+

⋅=⋅++⋅

⋅=⋅+⋅+

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

= = −−−−−

= = = = −−−−−

= = = =−−

n

i

n

i

n

i

nmi

mi

mii

mii

mi

n

i

n

i

n

i

n

i

miii

miiii

n

i

n

i

n

i

n

ii

mii

miiii

qqqcQqbQqa

qQQqcQbQQa

QqQqcQQbQa

1 11

21111

1 1 1 1111

211

1 1 1 111

2

a b c

Cu alte cuvinte, func¡ia obiectiv F devine:

Aceastå func¡ie este minimå, fiind foarte aproape de zero, atunci când pentruorice indicei, ≈ . Având în vedere aceastå rela¡ie ¿i înlocuind indicelei

prini-1, rezultå cå din expresia lui F poate fi aproximat prin .

Dupå rezolvarea sistemului, parametriia, b ¿ic sunt utiliza¡i pentru propaga-rea undelor de viiturå din albie. ¥ntre ace¿ti parametri existå rela¡ia:

Fie unda de viiturå (amonte ¿i aval) definitå în coloanele 1 ¿i 2 ale tabelului8.1.2; restul coloanelor sunt necesare pentru calculul coeficien¡ilornecunoscutelor din sistem. Pasul de timp∆ t = 6 ore.

Rela¡iile de definire ale luia, b ¿ic permit calculul parametrilor K ¿i X :

Prin derivarea func¡iei F în raport cu parametriia, b ¿i c ¿i anulareaderivatelor, rezultå urmåtorul sistem de ecua¡ii liniare:

¥mpår¡ind to¡i coeficien¡ii cu 1000, rezultå urmåtorul sistem:

⋅

K aa b

t = −+

1 ∆ ;

+ + = 1

= =i1 1

(8.1.4)

. (8.1.5)

X b a

a= ⋅ −

−12 1

. (8.1.3)

. (8.1.6)



164

Prelucrarea datelor pentru calculul coeficienţilor din metoda Muskingum

( ) I iQ

m s3 /

miq

m s3 /

1−iQ

m s3 /

miq 1−

m s3 /

( )2iQ

103 3m s/

21

miq −

103 3m s/

( )21−iQ

103 3m s/

ii QQ 1− 103 3m s/

mimi qq 1−

10 3 3m s/

mii qQ

103 3m s/

iQ −

103

0 100 100 - - - - - - - -1 100 100 100 100 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,02 280 106 100 100 78,4 10,0 10,0 28,0 10,6 29,73 520 160 280 106 270,4 11,3 78,4 145,6 16,9 83,24 610 258 520 160 372,1 25,6 270,4 317,2 41,3 157,45 1150 369 610 258 1322,5 66,6 372,1 701,5 995,2 424,36 1385 583 1150 369 1918,2 132,2 1322,5 1592,7 215,1 807,47 1100 784 1385 583 1210,0 339,9 1918,2 1523,5 457,1 862,4

8 910 860 1100 784 828,1 614,7 1210,0 1001,0 674,2 782,69 825 870 910 860 680,6 739,6 828,1 750,7 748,2 717,810 670 852 825 870 448,9 756,9 680,6 552,7 741,2 570,811 550 800 670 852 302,5 725,9 448,9 368,5 681,6 440,012 515 733 550 800 265,2 640,0 302,5 283,2 586,4 377,513 370 670 515 733 136,9 537,3 265,2 190,6 491,1 247,914 285 588 370 670 81,2 448,9 136,9 105,5 393,9 167,615 225 506 285 588 50,6 345,7 81,2 64,1 297,5 113,816 195 431 225 506 38,0 256,0 50,6 43,9 218,1 84,017 165 368 195 431 27,2 185,8 38,0 32,2 158,6 60,718 135 313 165 368 18,2 135,4 27,2 22,3 115,2 42,319 120 263 135 313 14,4 97,9 18,2 16,2 82,3 31,620 120 225 120 263 14,4 69,2 14,4 14,4 59,2 27,021 120 197 120 225 14,4 50,6 14,4 14,4 44,3 23,622 120 175 120 197 14,4 38,8 14,4 14,4 34,5 21,0

Σ 8116,8 6242,3 8112,4 7792,6 6172,7 6082,7 6



⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

1727,624223,60717,64599,5

5950,60717,61124,87926,7

0827,64599,57926,71168,8

cba

cba

cba

(8.1.7)

cu solu¡ia: sau:⎪⎩

⎪⎨

⎧ a

b

c

===

0 033

0 232

0 734

, ;

, ;

, ;⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

.103,0

65,3

=

=∆⋅=

X

t K 21 56 22h h′ ≈ ;

Se observå cå suma coeficien¡ilor este 000,1999,0 ≈=++ cba .¥n continuare, are loc validarea acestor coeficien¡i, verificând corectitudinea

propagårii undei de viiturå pe sector; calculele se efectueazå, de asemenea, curela¡ia Muskingum:

ciii

ci qcQbQaq 11 −− ⋅+⋅+⋅= (8.1.8)

¿i sunt prezentate în tabelul 8.1.3.Tabelul 8.1.3

Verificarea corectitudinii calării parametrilor

i iQ

m s3 /

1−iQ

m s3 /

a iQ

m s3 /

b 1−iQ

m s3 /

c ciq 1−

m s3 /

ciq

m s3 /

miq

m s3 /

( )2mi

ci qq −

m s3 /

0 100 - - - -Q Qc m

0 0= ==100 100 0,00

1 100 100 3,3 23,2 73,4 99,9 100 0,012 280 100 9,2 23,2 73,3 105,7 106 0,093 520 280 17,2 65,0 77,6 159,8 160 0,044 610 520 20,1 120,6 177,3 258,0 258 0,005 1150 610 38,0 141,5 189,4 368,9 369 0,016 1385 1150 45,7 266,8 270,7 583,2 583 0,047 1100 1385 36,3 321,3 428,1 785,7 784 2,898 910 1100 30,0 255,2 576,7 861,9 860 3,619 825 910 27,2 211,1 632,6 870,9 870 0,8110 670 825 22,1 191,4 639,3 852,8 852 0,64

165




i iQ

m s3 /

1−iQ

m s3 /

a iQ

m s3 /

b 1−iQ

m s3 /

c ciq 1−

m s3 /

ciq

m s3 /

miq

m s3 /

( )2mi

ci qq −

m s3 /

11 550 670 18,1 155,4 625,9 799,4 800 0,3612 515 550 17,0 127,6 586,8 731,4 733 2,5613 370 515 12,2 119,5 536,8 668,5 670 2,2514 285 370 9,4 85,8 490,7 585,9 588 0,8115 225 285 7,4 66,1 430,0 503,6 506 5,7616 195 225 6,4 52,2 369,6 428,2 431 7,8417 165 195 5,4 45,2 314,3 364,9 368 9,6118 135 165 4,5 38,3 267,8 310,6 313 5,7619 120 135 4,0 31,3 228,0 263,3 263 0,0920 120 120 4,0 27,8 193,3 225,0 225 0,0021 120 120 4,0 27,8 165,2 197,0 197 0,0022 120 120 4,0 27,8 144,6 176,4 175 1,96

∑=

−n

i

mi

ci qq

1

2)( = 45,14

Pe ultima coloana s-au calculat påtratele abaterilor dintre ¿i ; eroareade reconstituire a debitelor aval poate fi evaluatå cu rela¡ia:

ciq m

iq

( )43,1

2214,451

2

==−

=∑=

n

qqe

n

i

mi

ci

.

b) Calculul parametrilor prin metoda graficå. Volumul de apå existent în albie la momentuli poate fi ob¡inut ca produs al unui debit ponderat

(cuprins între ¿i ) cu timpul K de parcurgere a viiturii pe sectorulrespectiv:

iV

piQ iQ iq

K QV pii ⋅= ,

unde: (8.1.9)

( ) mii

pi q X Q X Q −+⋅= 1 .

166



Se observå cå rela¡ia dintre volum ¿i debit este o rela¡ie liniarå, fiindreprezentatå de o dreaptå de pantå K . Trebuie men¡ionat cå întrucât debitulanterior producerii viiturii nu este nul, aceastå dreaptå nu trece prin origine, ciprin punctul de coordonate ( .

0Q

)0,0Q

¥n continuare, se va proceda la reprezentarea punctelor de coordonate( , ) ¿i se va aproxima norul de puncte printr-o dreaptå, al cårui coeficientunghiular este chiar parametrul K .

piQ iV

Abscisele ale acestor puncte se calculeazå în func¡ie de debitele amonte

¿i aval ( ¿i ), care sunt cunoscute ¿i de parametrul X . Deoarece X estenecunoscut, i se vor atribui valori arbitrare în domeniul (0; 0,5) ¿i se va re¡ineacea valoare a lui X pentru care norul de puncte

piQ

iQ miq

),( i pi V Q se distribuie

aproximativ dupå o dreaptå.¥n ceea ce prive¿te valorile , acestea se calculeazå cu rela¡ia:iV

iV = iii V V ,11 −− ∆+ , (8.1.10)unde:

t qqQQ

V mi

miii

ii ∆⋅⎟

⎟

⎠

⎞⎜

⎜

⎝

⎛ +−

+=∆ −−

− 2211

,1 . (8.1.11)

¥n aceste rela¡ii, este volumul din albie la momentuli - 1, iareste varia¡ia volumului în intervalul

1−iV iiV ,1−∆

( )ii ,1− ; iiV ,1−∆ este evaluat ca produsdintre pasul de timp ¿i diferen¡a dintre debitul mediu intrat în sector ¿idebitul mediu care påråse¿te sectorul în cadrul pasului de timp.

∆ t

Mårimea iiV ,1−∆ se mai poate scrie sub forma:

iiV ,1−∆ = ( ) ( )[ ] t qQqQ mii

mii ∆⋅−+− −− 112

1 . (8.1.12)

Justificarea graficå a rela¡iilor care îl definesc pe rezultå din figura 8.1.2.iV ¥n prima parte a procesului de propagare, deoarece , are loc o

re¡inere temporarå a apei în albie ¿i deci volumul de apå înmagazinat cre¿te înmod continuu, atingându-¿i maximul pentru punctult în care

)()( t qt Q >

( )t Q = .( )t q Aceastå re¡inere temporarå înseamnå de fapt o atenuare a viiturii, în special în albia majorå.

167



¥n momentul în care <( )t Q ( )t q , diferen¡ele de debit devin negative, ceeace înseamnå cå din albie se elibereazå volumele înmagazinate în prima parte.

Fig. 8.1.2. Principiul de calcul al volumului .iV

Modul de calcul expus va fi exemplificat pentru aceea¿i undå de viiturå, aicårei parametri au fost evalua¡i prin metoda celor mai mici påtrate. Se vorevalua mai întâi parametrii K ¿i X , parametriia, b ¿i c ai rela¡iei de propagareMuskingum ob¡inându-se cu rela¡iile:

( ) t X K t KX

a ∆+−∆+−=5,01

5,0 ;( ) t X K

t KX b ∆+−

∆+=5,01

5,0 ; ( )( ) t X K

t X K c ∆+−

∆−−=5,015,01 . (8.1.13)

Se observå imediat cå:a b c+ + = 1 .Calculul volumului se efectueazå în tabelul 8.1.4, iar calculul debitului

ponderat (pentru X = 0,05; 0,10 ¿i 0,15 ) în tabelul 8.1.5.iV

168



iQ iq X = 0,10 X = 0,15i

m s3 / m s3 / 0,10 iQ 0,95 iq piQ 0,15 iQ 0,85 iq p

iQ

5 1150 369 115 332 447 172,5 313,6 4866 1385 583 138,5 524,7 663 207,8 495,5 7037 1100 784 110 705,6 816 165 666,4 8318 910 860 91 774 865 136,5 731 8679 825 870 82,5 783 865 123,8 739,5 86310 670 852 67 766,8 834 100,5 724,2 82511 550 800 55 720 775 82,5 680 762

12 515 733 51,5 659,7 711 77,2 623,0 70013 370 670 37 603 640 55,5 569,5 62514 285 588 28,5 529,2 558 42,8 499,8 54315 225 506 22,5 455,4 478 33,8 430,1 46416 195 431 19,5 387,9 407 29,2 366,3 39517 165 368 16,5 331,2 348 24,7 312,8 33818 135 313 13,5 281,7 295 20,2 266 28619 120 263 12 236,7 249 18 223,5 24120 120 225 12 202,5 215 18 191,2 20921 120 197 12 177,3 189 18 167,4 18522 120 175 12 157,5 169 18 148,8 167

Reprezentarea graficå a dependen¡elor pQV V = pentru cele trei valori alelui X se poate urmåri în figura 8.1.3. Se observå cå pentru X = 0,10 rezultå ocorela¡ie aproape biunivocå întreV ¿i . pQ

Fig. 8.1.3. Evaluarea parametrilor K şi X .

Panta dreptei de regresie are valoarea:

171



28074010151050 66

−⋅−⋅==

nm

K s / m

m3

3

4601035 6⋅= = 76087 s = 21 h 10′.

Parametriia, b ¿ic, calcula¡i cu K ¿i X astfel rezulta¡i, au urmåtoarele valori:

a = 0,040; b = 0,232; c = 0,728.

¥n tabelul 8.1.6 este prezentat calculul propagårii cu aceste valori aleparametrilor.

Tabelul 8.1.6

Calculul propagării undei de viitur ă

i iQ

m s3 /

1−iQ

m s3 /

a iQ

m s3 /

b 1−iQ

m s3 /

c ciq 1−

m s3 /

ciq

m s3 /

miq

m s3 /

( )2mi

ci qq −

m s3 /

0 100 - - - -mc qq 00 = =

=100100 0,00

1 100 100 4,0 23,2 72,8 100,0 100 0,002 280 100 11,2 23,2 72,8 107,2 106 1,44

3 520 280 20,8 65,0 78,0 163,8 160 14,444 610 520 24,4 120,6 119,3 264,3 258 39,695 1150 610 46,0 141,5 192,4 379,9 369 118,816 1385 1150 55,4 266,8 276,6 598,7 583 246,497 1100 1385 44,0 321,3 435,9 801,2 784 295,848 910 1100 36,4 255,2 583,3 874,9 860 222,019 825 910 33,0 211,1 636,9 881,0 870 121,0010 670 825 26,8 191,4 641,4 859,6 852 57,7611 550 670 22,0 155,4 625,8 803,2 800 10,2412 515 550 20,6 127,6 584,7 732,9 733 0,0113 370 515 14,8 119,5 533,6 667,8 670 4,8414 285 370 11,4 85,8 486,2 583,4 588 21,1615 225 285 9,0 66,1 424,7 499,8 506 38,4416 195 225 7,8 52,2 363,9 423,9 431 50,4117 165 195 6,6 45,2 308,6 360,4 368 57,76

172




i iQ

m s3 /

1−iQ

m s3 /

a iQ

m s3 /

b 1−iQ

m s3 /

c ciq 1−

m s3 /

ciq

m s3 /

miq

m s3 /

( )2mi

ci qq −

m s3 /

18 135 165 5,4 38,3 262,4 306,0 313 49,0019 120 135 4,8 31,3 222,8 258,9 263 16,8120 120 120 4,8 27,8 188,5 221,1 225 15,2121 120 120 4,8 27,8 160,9 193,5 197 12,2522 120 120 4,8 27,8 140,9 173,5 175 2,25

∑=

n

i 1( )2m

ici qq − = 1395,86

Eroarea la reproducerea viiturii inregistrate are valoarea:

( )69,4

22

86,13951

2

==−

=∑=

n

qqe

n

i

mi

ci

. (8.1.14)

Suma påtratelor abaterilor ca ¿i eroarea sunt în acest caz mult mai mari decâtcele rezultate în cazul utilizårii corela¡iilor liniare multiple, ceea ce pledeazå înfavoarea utilizårii primei metode pentru evaluarea parametrilor.

Aplica ţia 8.2

CALCULUL PROPAG ĂRII VIITURILOR PE UN SECTOR DE RÂU

Se considerå sectorul râului R (fig. 8.2.1), cu lungimea de 80 km, cuprins

între sta¡iile hidrometrice A (S.H.A.) ¿i B (S.H.B.). Pe acest sector, râulprime¿te afluentul P care dreneazå un bazin cu aria de 700 ¿i î¿i måre¿tesuprafa¡a de recep¡ie cu un rest de bazin având suprafa¡a de 394 .

km 2

km 2

Se dispune pentru aceea¿i viiturå de hidrografele de la sta¡iile hidrometrice A¿i B (fig. 8.2.2), precum ¿i de la sta¡ia C, respectiv de hidrograful restului debazin (fig. 8.2.3).

173



Fig. 8.2.1. Sectorul A - B de pe râul R. Fig. 8.2.2. Hidrograful afluentşi defluentde pe sectorul AB.

Parametrii K ¿i X ai ecua¡iei Muskingum au fost determina¡i prin utilizareaviiturilor produse pe sectorul de râu A - B. Parametrul K a rezultat variabilfunc¡ie de debitul afluent în sectorul de râu (fig. 8.2.4), iar parametrul X esteegal cu 0,1.

Legenda : ---- hidrograful afluentului P ___ hidrograful restului de bazin

Fig. 8.2.3. Hidrograful afluentului Pşi hidrograful restului de bazin A - B.

174



Fig. 8.2.4. Parametrii Muskingum pentru sectorul A - B.

Se cere:

Så se calculeze prin metoda Muskingum hidrograful undei de viiturå însec¡iunea sta¡iei hidrometrice B cunoscând hidrograful în sec¡iunea A(fig. 8.2.2), hidrografele afluentului P ¿i restului de bazin A - B (fig. 8.2.3),precum ¿i parametrii K ¿i X ai ecua¡iei Muskingum (fig. 8.2.4).

Rezolvare:

Metoda Muskingum are la bazå urmåtoarea ecua¡ie:

c

iii

c

i qcQbQaq ⋅+⋅+⋅=

++ 11, (8.2.1)

unde:

( ) t X K t KX

a ∆+−∆+−=5,01

5,0 ;

( ) t X K t KX

b ∆+−∆+=

5,015,0 ; (8.2.2)

( )( ) t X K

t X K c ∆+−

∆−−=5,015,01 ,

în care:

¿i sunt debite afluente în sectorul la momentuli, respectivi + 1;iQ 1+iQ

¿i - debite defluente din sector, calculate la momentuli, ciq c

iq 1+ respectivi + 1;

K este durata de propagare a undei de viiturå pe sectorul decalcul;

175



X - coeficientul de atenuare a undei de viiturå;- pasul de timp;t ∆

a , ¿i sunt coeficien¡i care satisfac rela¡ia:b c

a + +c = 1. (8.2.3)b

¥n vederea efectuårii calculului de propagare a unei unde de viiturå pe unsector de râu cu ajutorul ecua¡iei (8.2.1) sunt necesare urmåtoarele elemente:

− hidrograful debitelor afluente în sectorul de calcul ( )t f Q = , sub formaunui ¿ir de valori la intervale de timpt ∆ ;

− hidrograful sau hidrografele debitelor afluen¡ilor (aportul lateral) de pesectorul de calcul ( )t f Qa =1 , sub forma unui ¿ir de valori la intervale detimp ;t ∆

− parametrii K ¿i X ai ecua¡iei Muskingum.O problemå importantå a procedurii de calcul o constituie alegerea pasului

de timp ¿i de spa¡iu . Din necesitatea unei bune aproximåri a ramuriiascendente a hidrografului de viiturå, pasul de timp

t ∆ l∆t ∆ trebuie så îndeplineascå

condi¡ia:

5...3ct t ≤∆ , (8.2.4)

unde este timpul de cre¿tere a undei de viiturå afluente.ct Pentru viitura din fig. 8.2.2, pasul de timpt ∆ se alege de 6 ore.

Pe de altå parte, impunând condi¡ia ca coeficien¡ii rela¡iei (8.2.1) så fie strictpozitivi se ob¡ine inegalitatea:

( ) X K t KX −<∆< 122 . (8.2.5)

Dacå intervalul de timp rezultat din (8.2.4) nu verificå restric¡iile (8.2.5),se împarte sectorul de calcul într-un numår de N subsectoare, astfel încât så se îndeplineascå condi¡ia:

t ∆

( ) X K t N KX −<∆< 122 . (8.2.6)

De aici rezultå numårul N de subsectoare în care trebuie divizat sectorul decalcul:

( )t

X K N

t KX

∆−<<

∆122 . (8.2.7)

176



178

b c

.ore6=∆t

s K

ºinând seama de configura¡ia re¡elei hidrografice se plaseazå pe aceastå re¡eaafluentul P în nodul 2, care este cel mai apropiat de vårsarea sa în râu. ¥n nodul 4 sefigureazå aportul restului de bazin, deoarece acest nod este cel mai apropiat deproiec¡ia ortogonalå a centrului de greutate a suprafe¡ei restului de bazin pe râul R.

¥n principiu, calculul propagårii undei de viiturå pe sectorul de râu cuprins între sta¡iile hidrometrice A ¿i B se face astfel:

Calculul propagårii undei de viiturå pe sectorul analizat se prezintå în tabelul8.2.2 pentru subsectoarele 1 ¿i 2, respectiv în tabelul 8.2.3 pentru celelalte douåsubsectoare.

Din figura 8.2.2 (curba continuå), pentru fiecare pas de timpi , se ob¡indebitele afluente în sectorul de calcul (col. 1 din tab. 8.2.1). Se reaminte¿te cåpasul de timp Pentru aceste valori ale debitului afluent în sector, dinfigura 8.2.4 rezultå durata de deplasare K (coloana 2) a debitului între sec¡iunile

A ¿i B. ¥n coloana 3 sunt ob¡inu¡i timpii de parcurgere a fiecåruia dintrecele 4 subsectoare, ¡inând cont de rela¡ia (8.2.8). ¥n continuare are loc calcululcoeficien¡ilor Muskingum (col. 4 - 12) cu rela¡iile (8.2.2) ¿i (8.2.3).

Deoarece subsectoarele au aceea¿i lungime, coeficien¡iia , ¿i calcula¡ipentru subsectorul 1 (tab. 8.2.1) sunt valabili ¿i pentru celelalte subsectoare,neglijând influen¡a aporturilor de debit

Pe baza acestor valori ¿i utilizând ecua¡ia (8.2.1), unda de viiturå afluentå înnodul 1 (col. 1 din tab. 8.2.2) se propagå pe subsectorul 1 (col. 2-5 din acela¿itabel). Se face ipoteza cå la momentul ini¡iali = 0, debitul de ie¿ire dinsubsector este egal cu debitul de intrare din sec¡iunea A, ceea ce corespundeipotezei de mi¿care în regim permanent.

− unda defluentå din subsectorul 3 se adunå cu unda produså pe restul debazin, rezultând o undå afluentå pentru subsectorul 4 cuprins întrenodurile 4 ¿i 5; aceastå undå se propagå la fel ca pentru celelaltesubsectoare, rezultând unda defluentå din sectorul de calcul.

− unda defluentå din subsectorul 2 devine unda afluentå pentru subsectorul3 cuprins între nodurile 3 ¿i 4; calculul propagårii undei pe acestsubsector se efectueazå în mod similar ca ¿i pentru celelalte douåsubsectoare din amonte, rezultând o undå defluentå din subsectorul 3;

− acestå undå se adunå cu unda afluentului P, rezultând unda afluentå însubsectorul 2 cuprins între nodurile 2 ¿i 3; calculul propagårii undei peacest subsector se face utilizând ecua¡ia (8.2.1);

− hidrograful înregistrat la S.H.A. se propagå pe subsectorul 1, cuprins întrenodurile 1 ¿i 2 cu ajutorul ecua¡iei (8.2.1), în care coeficien¡ii suntcalcula¡i conform rela¡iilor (8.2.2), (8.2.3) ¿i (8.2.8), rezultând o undådefluentå din sectorul 1;



Calculul coeficien¡ilor Muskingum

i AQ /sm3

K (ore)

K s (ore)

s K X (ore)

s K (1- X )(ore)

s K X -- 0,5 ∆t

(ore)

s K X ++0,5 ∆t

(ore)

s K (1- X )-- 0,5 ∆t

(ore)

s K (1- X )++0,5 ∆t (ore)

a

0 3 50 12,50 1,25 11,25 -1,75 4,25 8,25 14,25 1 4 49 12,30 1,23 11,10 -1,77 4,23 8,10 14,10 2 15 47 11,80 1,18 10,62 -1,82 4,18 7,62 13,623 25 43 10,75 1,075 9,68 -1,93 4,07 6,68 12,68 4 32 42 10,50 1,05 9,45 -1,95 4,05 6,45 12,45 5 41 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,00 6 40 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,00 7 36 42 10,50 1,05 9,45 -1,95 4,05 6,45 12,45 8 31 42 10,50 1,05 9,45 -1,95 4,05 6,45 12,45 9 27 43 10,75 1,075 9,68 -1,93 4,07 6,68 12,68 10 24 44 11,00 1,10 9,90 -1,90 4,10 6,90 12,9 11 20 45 11,25 1,125 10,12 -1,875 4,125 7,125 13,125 12 40 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,00 13 310 66 16,50 1,65 14,85 -1,35 4,65 11,85 17,8514 356 80 20,00 2,00 18,00 -1,00 5,00 15,00 21,0015 380 83 22,00 2,20 19,80 -0,80 5,20 16,80 22,816 362 82 20,50 2,05 18,45 -0,95 5,05 15,45 21,4517 330 72 18,00 1,80 16,20 -1,2 4,80 13,2 19,2018 300 64 16,00 1,60 14,40 -1,4 4,60 11,4 17,419 262 54 13,50 1,35 12,15 -1,65 4,35 9,15 15,1520 212 44 11,00 1,10 9,90 -1,90 4,10 6,90 12,921 192 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,0

179



Tab

i AQ /sm3

K (ore)s K

(ore)s K X

(ore)s K (1- X )(ore)

s K X -- 0,5 ∆t

(ore)

s K X ++0,5 ∆t

(ore)

s K (1- X )-- 0,5 ∆t

(ore)

s K (1- X )++0,5 ∆t (ore)

a

22 173 37 9,25 0,925 8,325 -2,075 3,925 5,325 11,325 23 155 34 8,50 0,850 7,65 -2,15 3,85 4,65 10,65 24 133 31 7,75 0,775 6,975 -2,225 3,775 3,975 9,975 25 121 30 7,50 0,750 6,75 -2,25 3,75 3,75 9,75 26 109 31 7,75 0,775 6,975 -2,15 3,85 4,65 10,65 27 104 32 8,00 0,800 7,20 -2,20 3,80 4,20 10,20 28 94 32 8,00 0,800 7,20 -2,20 3,80 4,20 10,20 29 83 34 8,50 0,850 7,65 -2,15 3,85 4,65 10,65 30 75 35 8,75 0,875 7,875 -2,125 3,875 4,875 10,875 31 68 35 8,75 0,875 7,875 -2,125 3,875 4,875 10,875 32 64 36 9,00 0,900 8,10 -2,10 3,90 5,10 11,10 33 60 37 9,25 0,925 8,325 -2,075 3,925 5,325 11,325 34 56 38 9,50 0,950 8,55 -2,05 3,950 5,55 11,55 35 52 38 9,50 0,950 8,55 -2,05 3,96 5,55 11,55 36 49 38 9,50 0,950 8,55 -2,05 3,95 5,55 11,55 37 45 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,038 42 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,039 39 40 10,00 1,00 9,00 -2,00 4,00 6,00 12,040 36 42 10,50 1,05 9,45 -1,90 4,05 6,45 12,4541 33 42 10,50 1,05 9,45 -1,95 4,05 6,45 12,4542 30 43 10,75 1,075 9,68 -1,93 4,07 6,68 12,68

43 28 43 10,75 1,070 9,06 -1,93 4,07 6,68 12,6844 25 44 11,00 1,10 9,90 -1,90 4,10 6,90 12,90

180



Calculul propagårii viiturii pe subsectoarele 1 ¿i 2 Propagarea undei pe subsectorul 1 Propagarea undei pe subse

i AiQ

/sm3

AiQa 1+⋅

/sm3

AiQb ⋅

/sm3

2 N ciqc ⋅

/sm3

21

N ciq +

/sm3

PiQ

/sm3

av N iQ 2

/sm3

av N iQa 2

1+

/sm3

av N iQb 2

/sm3

ciqc ⋅

/m3

0 3 3 2 5 1 4 0,5 0,9 1,72 3,1 6 9,1 1,14 1,50 2 15 0,52 1,24 1,75 4,1 13 17,1 2,22 2,82 3 25 3,75 4,80 2,16 10,7 27 37,7 5,65 5,46 4 32 5,12 8,25 5,57 18,9 48 66,9 10,71 12,065 41 6,56 10,56 9,47 26,6 69 95,6 15,29 22,096 40 6,40 13,53 13,29 33,2 71 104,2 16,67 31,547 36 5,76 13,12 17,27 36,2 65 101,2 16,18 33,358 31 4,96 11,88 18,79 35,6 55 90,6 14,50 32,369 27 4,05 9,92 18,88 32,8 45 77,8 11,67 29,0010 24 3,36 8,37 17,08 28,8 37 65,8 9,21 24,13 11 20 2,80 7,44 15,55 25,8 32 57,8 8,09 20,48 12 40 6,40 6,60 12,89 25,9 28 53,9 8,62 19,07 13 310 23,25 10,4 17,08 50,7 24 74,7 5,60 14,0114 356 16,73 71,3 36,01 124,0 21 145,0 6,81 17,18 15 380 13,30 78,32 90,54 182,2 19 201,3 7,04 31,9016 362 15,92 87,4 131,15 234,5 17 251,5 11,06 46,2617 330 20,45 90,5 159,43 270,4 15 285,4 17,69 62,8618 300 24,0 85,8 175,76 285,5 14 299,5 23,96 74,2919 262 26,2 84,0 171,32 281,5 12 293,5 29,35 83,8620 212 29,68 81,22 149,20 260,1 10 270,1 37,81 90,9821 192 30,72 69,96 130,05 230,7 9 239,7 38,35 89,13

181



Tabelul 8.2

Propagarea undei pe subsectorul 1 Propagarea undei pe subs

i AiQ

/sm3

AiQa 1+⋅

/sm3

AiQb ⋅

/sm3

2 N ciqc ⋅

/sm3

21

N ciq +

/sm3

PiQ

/sm3

av N iQ 2

/sm3

av N iQa 2

1+

/sm3

av N iQb 2

/sm3

ciqc ⋅

/m3

22 173 31,14 65,28 108,44 204,9 8 212,9 38,31 81,5023 155 31,00 62,28 88,08 181,4 7 188,4 37,67 76,6724 133 29,26 57,35 70,73 157,3 7 164,3 36,15 69,6925 121 27,83 50,54 59,75 138,2 6,50 144,6 33,26 62,44 26 109 21,80 43,56 59,40 124,8 6,50 131,3 26,28 52,07 27 104 21,80 40,33 51,15 113,2 6 119,2 25,04 48,5628 94 19,74 38,48 46,43 104,6 5,50 110,1 23,13 44,12 29 83 16,6 33,84 44,99 65,4 5 70,4 14,08 39,65 30 75 14,25 29,05 28,78 72,1 4,50 76,6 14,55 24,65 31 68 12,92 26,25 31,71 70,9 4 74,9 14,22 26,8032 64 11,52 23,8 31,89 67,2 3,5 70,7 12,72 26,20 33 60 10,9 21,76 31,58 64,1 3 67,4 12,08 24,0434 56 9,52 20,40 30,78 60,7 2,5 63,2 10,74 22,82 35 52 8,84 19,04 29,14 57,0 2,2 59,2 10,06 21,50 36 49 8,33 17,7 27,40 59,4 2 61,4 10,43 20,1337 45 7,20 16,17 29,70 53,1 1,8 54,9 8,80 20,26 38 42 6,72 14,85 26,53 48,1 1,5 49,6 7,90 18,11 39 39 6,24 13,86 24,05 44,2 1,3 45,5 7,20 16,36 40 36 5,76 12,5 22,95 41,2 1,2 42,4 6,80 14,56 41 33 5,28 11,52 21,42 38,2 1,1 39,3 6,30 13,57 42 30 4,50 10,56 20,26 35,3 1 36,3 5,45 12,60

43 28 4,20 9,60 10,74 24,5 0,9 25,4 3,82 11,62 44 25 3,50 8,65 13,01 25,2 0,7 25,9 3,62 7,89

182



Calculul propagårii viiturii pe subsectoarele 3 ¿i 4Propagarea undei pe subsectorul 3 Propagarea undei pe

i3

1

3

N ci

av N i

q

Q

+=

=

/sm3

av N iQa 3

1+

/sm3

3niQb ⋅

/sm3

4 N ciqc ⋅

/sm3

41

N ciq +

/sm3

RBiQ

/sm3 4

1

4

N ci

av N i

q

Q

+=

=

/sm3

av N iQa 4

1+

/sm3

av N iQb 4

/sm3

c

0 5 5,0 1,0 6,0 1 5,5 0,68 1,50 2,87 5,0 1,0 6,0 0,75 1,82 8,1 1,05 1,70 2,82 5,6 8,5 14,1 1,82 1,873 15,4 2,31 2,59 2,95 7,8 47,0 54,8 8,2 4,504 30,8 4,92 4,93 4,08 13,9 55,4 69,3 11,09 17,555 52,8 8,44 10,15 6,96 25,6 43,0 68,6 10,96 22,876 74,6 11,93 17,41 12,77 42,1 28,6 70,7 11,31 22,627 88,3 14,12 23,86 21,89 45,8 18,7 64,5 10,31 22,628 92,8 14,84 28,25 23,79 66,9 10,6 77,5 12,39 20,639 89,8 13,47 29,68 35,44 78,6 6,4 85,0 12,74 24,7910 81,0 11,33 27,85 41,65 80,8 3,8 84,6 11,84 26,3411 73,3 10,11 25,09 43,64 78,8 2,3 81,1 11,35 26,1312 63,8 10,21 23,85 39,42 73,5 1,2 74,7 11,94 26,7713 61,7 4,62 16,59 48,49 69,7 1,0 70,7 5,30 19,4114 67,8 3,18 14,19 49,48 66,8 1,0 67,8 3,18 16,2615 88,4 3,09 14,91 48,80 66,8 1,0 67,8 2,37 14,9216 121,0 5,32 20,34 48,09 73,8 1,0 74,8 3,28 15,6017 162,8 10,09 30,24 50,15 90,5 1,0 91,5 5,67 18,7018 204,1 16,32 42,33 58,81 117,5 1,0 118,5 9,47 23,7619 235,6 23,56 57,14 70,47 151,2 1,0 152,2 15,21 33,16

183



Tabelu

Propagarea undei pe subsectorul 3 Propagarea undei pe

i3

1

3

N ci

av N i

q

Q

+=

=

/sm3

av N iQa 3

1+

/sm3

3niQb ⋅

/sm3

4 N ciqc ⋅

/sm3

41

N ciq +

/sm3

RBiQ

/sm3 4

1

4

N ci

av N i

q

Q

+=

=

/sm3

av N iQa 4

1+

/sm3

av N iQb 4

/sm3

c

20 253,7 35,51 73,05 80,12 188,7 1,0 189,7 26,55 47,1721 254,3 40,69 83,71 94,34 212,7 1,0 213,7 35,15 62,5922 239,3 43,00 86,46 102,8 232,3 1,0 233,3 42,00 74,7123 217,2 43,44 66,16 99,90 209,5 1,0 210,5 42,10 83,9924 190,6 41,92 80,37 81,70 204,0 1,0 205,0 45,00 77,8025 168,1 38,66 72,40 44,51 188,6 1,0 189,6 43,60 77,9026 150,6 30,12 60,51 81,08 171,7 1,0 172,7 34,54 68,2427 135,3 28,42 55,72 70,40 154,5 1,0 155,5 32,66 63,9028 132,7 25,77 50,07 63,36 139,2 1,0 140,2 29,40 57,5429 106,5 21,30 44,18 59,85 125,3 1,0 126,3 25,26 50,4730 86,1 16,35 37,27 55,13 92,4 1,0 93,4 17,74 44,2031 78,9 14,98 30,121 40,65 85,0 1,0 86,8 16,5 32,7032 74,4 13,39 27,60 38,58 79,6 1,0 80,6 14,5 30,3633 71,1 12,79 25,29 37,39 75,5 1,0 76,5 13,76 29,4034 67,7 11,50 24,17 36,22 71,9 1,0 72,9 12,39 26,0035 64,0 10,88 23,01 34,50 68,4 1,0 69,4 11,8 24,8036 61,3 10,43 21,77 32,80 65,0 1,0 66,0 11,22 23,6037 59,7 9,55 20,22 32,50 62,3 1,0 63,3 5,8 21,8038 55,9 8,93 19,70 31,15 59,8 1,0 60,8 9,73 20,80

39 51,5 8,24 18,43 29,90 56,6 1,0 57,6 9,20 20,05

184



Tabelu

Propagarea undei pe subsectorul 3 Propagarea undei pe

i3

1

3

N ci

av N i

q

Q

+=

=

/sm3

av N iQa 3

1+

/sm3

3niQb ⋅

/sm3

4 N ciqc ⋅

/sm3

41

N ciq +

/sm3

RBiQ

/sm3 4

1

4

N ci

av N i

q

Q

+=

=

/sm3

av N iQa 4

1+

/sm3

av N iQb 4

/sm3

c

40 48,1 7,69 16,50 29,41 53,6 1,0 54,6 8,79 18,4141 44,9 7,78 15,40 27,88 50,5 1,0 51,5 8,23 17,4842 41,8 6,28 14,37 26,24 46,9 1,0 47,9 7,19 16,4743 37,6 5,64 13,40 24,36 43,9 1,0 44,9 6,74 15,3344 31,4 4,72 11,66 23,27 39,6 1,0 40,6 5,69 13,91

185



¥n continuare, calculul propagårii undei de viiturå pe subsectoarele 2, 3 ¿i 4 seface similar ca pentru primul subsector, ¡inând înså seama de aportul lateral ¿iavând în vedere faptul cå unda defluentå din subsectorul j se considerå undaafluentå pentru subsectorul 1+ j .

¥n figura 8.2.6 se prezintå unda defluentå din sectorul A - B, calculatå pebaza tabelelor 8.2.1- 8.2.3. Comparând aceastå viiturå cu viitura înregistratå laS.H.B., rezultå o bunå concordan¡å, deoarece metoda utilizatå pentru calcululpropagårii ¿i compunerii undelor de viiturå respectå destul de fidel fenomenulfizic.

Fig. 8.2.6. Hidrograful undei afluente ( ___ ), hidrograful undei defluente ( )din sectorul A-B de pe râul Bşi unda înregistrată la S.H.B ( . . ).

Trebuie semnalat faptul cå în cazul propagårii prin albii a unor unde deviiturå compuse, prima undå de viiturå se atenueazå mai mult, comparativ cucelelalte, deoarece aceasta umple albia ¿i îmbunåtå¡e¿te condi¡iile de scurgerepentru restul viiturilor.

Ecua¡ia Muskingum constituie o bunå aproxima¡ie a ecua¡iilor Saint-Venant;erorile care apar în calculul propagårii viiturilor prin aceastå metodå nu sedatoresc atât ecua¡iei utilizate, cât mai ales faptului cå aportul lateral se

186



189

9

ATENUAREA VIITURILOR

PRIN LACURI DE ACUMULARE

Aplica ţia 9.1

METODA PULS, UTILIZÂND GRAFICUL( ) H E

Se considerå lacul de acumulare A echipat cu un deversor liber. Curbacapacitå¡ii lacului se prezintå în figura 9.1.1 ¿i tabelul 9.1.1, iar cheialimnimetricå a deversorului în figura 9.1.2.

Fig. 9.1.1. Curba capacităţ ii lacului A. Fig. 9.1.2. Cheia limnimetrică a deversorului lacului A.

Se cere:

a) Så se atenueze prin lacul de acumulare A unda de viiturå prezentatå în tabelul9.1.3, coloanele 1 ¿i 2, considerând nivelul ini¡ial H 0 = 355,50 mdM.

b) Så se calculeze unda de viiturå afluentå în lacul A, cunoscând undadefluentå (tab. 9.1.4 – col. 1 ¿i 3) ¿i varia¡ia nivelului în lacul deacumulare (col. 2 din acela¿i tabel).



1 9 0

T a

b e

l u l 9

. 1 . 1

C u r b a

( t a b e l a r ă

) a c a p a c

i t ă ţ i i l a c u

l u i A

H [ c m

]

H [ m d M ]

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

3 5 0

6 5 , 0 0

6 5 , 4 2

6 5 , 8 4

6 6 , 2 6

6 6 , 6 8

6 7 , 1 0

6 7 , 5 2

6 7 , 9 4

6 8 , 3 6

6 8 , 7 8

3 5 1

6 9 , 2 0

6 9 , 6 2

7 0 , 0 4

7 0 , 4 6

7 0 , 8 8

7 1 , 3 0

7 1 , 7 2

7 2 , 1 4

7 2 , 5 6

7 2 , 9 8

3 5 2

7 3 , 4 0

7 3 , 8 2

7 4 , 2 5

7 4 , 6 6

7 5 , 0 8

7 5 , 5 0

7 5 , 9 2

7 6 , 3 4

7 6 , 7 6

7 7 , 1 8

3 5 3

7 7 , 6 0

7 8 , 0 2

7 8 , 4 4

7 8 , 8 6

7 9 , 2 8

7 9 , 7 0

8 0 , 1 2

8 0 , 5 4

8 0 , 9 6

8 1 , 3 8

3 5 4

8 1 , 8 0

8 2 , 2 2

8 2 , 6 4

8 3 , 0 6

8 3 , 4 8

8 3 , 9 0

8 4 , 3 2

8 4 , 7 4

8 5 , 1 6

8 5 , 5 8

3 5 5

8 6 , 0 0

8 6 , 4 2

8 6 , 8 4

8 7 , 2 6

8 7 , 6 8

8 8 , 1 0

8 8 , 5 2

8 8 , 9 4

8 9 , 3 6

8 9 , 7 8

3 5 6

9 0 , 2 0

9 0 , 6 2

9 1 , 0 4

9 1 , 4 6

9 1 , 8 8

9 2 , 3 0

9 2 , 7 2

9 3 , 1 4

9 3 , 5 6

9 3 , 9 8

3 5 7

9 4 , 4 0

9 4 , 8 2

9 5 , 2 4

9 5 , 6 6

9 6 , 0 6

9 6 , 5 0

9 6 , 9 2

9 7 , 3 4

9 7 , 7 6

9 8 , 1 8

3 5 8

9 8 , 6 0

9 8 , 8 2

9 9 , 2 4

9 9 , 6 6

1 0 0 , 0 6

1 0 0 , 5 0

1 0 0 , 9 2

1 0 1 , 3 4

1 0 1 , 7 6

1 0 2 , 1 8

3 5 9

1 0 2 , 8 0

1 0 3 , 2 2

1 0 3 , 6 4

1 0 4 , 0 6

1 0 4 , 4 8

1 0 4 , 9 0

1 0 5 , 3 2

1 0 5 , 7 4

1 0 6 , 1 6

1 0 6 , 5 8

3 6 0

1 0 7 , 0 0

1 0 7 , 8 0

1 0 8 , 6 0

1 0 9 , 4 0

1 1 0 , 2 0

1 1 1 , 0 0

1 1 1 , 8 0

1 1 2 , 6 0

1 1 3 , 4 0

1 1 4 , 2 0

3 6 1

1 1 5 , 0 0

1 1 5 , 8 0

1 1 6 , 6 0

1 1 7 , 4 8

1 1 8 , 2 0

1 1 9 , 0 0

1 1 9 , 8 0

1 2 0 , 6 0

1 2 1 , 4 0

1 2 2 , 2 0

3 6 2

1 2 3 , 0 0

1 2 3 , 8 0

1 2 4 , 6 0

1 2 5 , 4 0

1 2 6 , 2 0

1 2 7 , 0 0

1 2 7 , 8 0

1 2 8 , 6 0

1 2 9 , 4 0

1 3 0 , 2 0

3 6 3

1 3 1 , 0 0

1 3 1 , 5 0

1 3 2 , 6 0

1 3 3 , 4 0

1 3 4 , 2 0

1 3 5 , 0 0

1 3 5 , 8 0

1 3 6 , 6 0

1 3 7 , 4 0

1 3 8 , 2 0

3 6 4

1 3 9 , 0 0

1 3 9 , 8 0

1 4 0 , 6 0

1 4 1 , 4 0

1 4 2 , 2 0

1 4 3 , 0 0

1 4 3 , 8 0

1 4 4 , 6 0

1 4 5 , 4 0

1 4 6 , 2 0

3 6 5

1 4 7 , 0 0

1 4 7 , 8 0

1 4 8 , 6 0

1 4 9 , 4 0

1 5 0 , 2 0

1 5 1 , 0 0

1 5 1 , 8 0

1 5 2 , 6 0

1 5 3 , 4 0

1 5 4 , 2 0

3 6 6

1 5 5 , 0 0

1 5 5 , 8 0

1 5 6 , 6 0

1 5 7 , 4 0

1 5 8 , 2 0

1 5 9 , 0 0

1 5 9 , 8 0

1 6 0 , 6 0

1 6 1 , 4 0

1 6 2 , 2 0

3 6 7

1 6 3 , 0 0

1 6 3 , 8 0

1 6 4 , 6 0

1 6 6 , 4 0

1 6 7 , 2 0

1 6 8 , 0 0

1 6 8 , 8 0

1 6 9 , 6 0

1 7 0 , 4 0

1 7 1 , 2 0

3 6 8

1 7 1 , 0 0

1 7 1 , 8 0

1 7 2 , 6 0

1 7 3 , 4 0

1 7 4 , 2 0

1 7 5 , 0 0

1 7 5 , 8 0

1 7 6 , 6 0

1 7 7 , 4 0

1 7 8 , 2 0

3 6 9

1 7 9 , 0 0

1 7 9 , 8 0

1 8 0 , 6 0

1 8 1 , 4 0

1 8 2 , 2 0

1 8 3 , 0 0

1 8 3 , 8 0

1 8 4 , 6 0

1 8 5 , 4 0

1 8 6 , 2 0

3 7 0

1 8 7 , 0 0

1 8 7 , 8 0

1 8 8 , 6 0

1 8 9 , 4 0

1 9 0 , 2 0

1 9 1 , 0 0

1 9 1 , 8 0

1 9 2 , 6 0

1 9 3 , 4 0

1 9 4 , 2 0



191

Rezolvare:

a) Se va utiliza procedeul Puls , care admite ca ipoteze simplificatoarepropagarea instantanee a hidrografului undei de viiturå pe toatå lungimea lacului ¿iorizontalitatea suprafe¡ei apei. Pentru calculul atenuårii într-un lac deacumulare sunt necesare urmåtoarele elemente:

− hidrograful undei afluente în lac, prezentat sub forma unui ¿ir de valoridiscretizate la intervale de timpT ∆ ;

− curba capacitå¡ii lacului de acumulare ( )W f H = ;− cheile limnimetrice ale evacuatorilor de ape mari ai acumulårii; ele depind

atât de nivelul apei în lac, cât ¿i de ipotezele de func¡ionare ale evacuatorilorde ape mari.

Metoda are la bazå ecua¡ia de continuitate scriså în diferen¡e finite:

2

1ai

ai QQ +−

2

1d i

d i QQ +

− −

T W W ii

∆

−= −1 , (9.1.1)

în care:aiQ 1− , a

iQ sunt debitele afluente în lac la începutul, respectiv sfâr¿itulintervalului∆ T ;

d iQ 1− , d

iQ - debitele defluente din lac la începutul, respectivsfâr¿itul intervalului∆ T ;

ii W W ,1− - volumul de apå acumulat în lac la începutul, respectivsfâr¿itul intervalului∆ T ;

¥n continuare, ecua¡ia (9.1.1) se scrie sub forma:

( ) 222 111T

QT

QQW T

QW d i

ai

aii

d ii

∆⋅−

∆⋅++=

∆⋅+ −−− . (9.1.2)

Valoarea membrului drept al rela¡iei (9.1.2) se noteazå cu :)( H E

( ) 22)( 111 T QT QQW H E d iaiaii∆⋅−

∆⋅++= −−− (9.1.3)

¿i se poate calcula pe baza elementelor cunoscute la începutul fiecårui interval; maitrebuie men¡ionat cå graficul lui )( H E depinde de ipoteza de func¡ionare adescårcåtorilor.



192

Ca atare, corespunzåtor unei anumite ipoteze de func¡ionare aevacuatorilor de ape mari, pentru diferite niveluri H ale apei în lac, cu rela¡ia(9.1.3) se calculeazå ¿i apoi se reprezintå grafic expresia )( H E .

Debitul defluent din lacul de acumulare se determinå succesiv, pe pa¿i decalcul, astfel:

− pe baza elementelor cunoscute pentru fiecare pas de timp se calculeazåmembrul drept al ecua¡iei (9.1.2), care reprezintå în fond valoarea lui );( H E

− pe baza graficului anterior construit al acestei func¡ii se ob¡ine valoareacorespunzåtoare a nivelului H ;

− pentru acest nivel, din cheile limnimetrice ale descårcåtorilor, respectiv din

curba capacitå¡ii lacului, se determinå valoriled iQ ¿i iW , care vor devenivalori ini¡iale pentru pasul urmåtor de calcul.

¥n loc de a utiliza reprezentårile grafice ale func¡iei ),( H E respectivgraficele curbei capacitåtii lacului sau ale descårcåtorilor, se poate folosi în acela¿iscop tabelul de calcul al lui )( H E .

Pentru exemplul considerat, calculul expresiei )( H E se poate urmåri întabelul 9.1.2; reprezentarea graficå a aceleia¿i func¡ii se prezintå în figura 9.1.3.

Tabelul 9.1.2

Calculul expresiei )( H E

H )( H W )( H Qd 2

)( T H Qd ∆

⋅ )( H E

355,5 88,10 0 0 88,10355,6 88,52 0 0 88,52355,7 88,94 0 0 88,94355,8 89,36 0 0 89,36355,9 89,78 0 0 89,78356,0 90,20 0 0 90,20356,2 91,04 6 0,0648 91,10356,5 92,30 17 0,1836 92,48

357,0 94,40 40 0,432 94,83357,5 96,50 80 0,864 97,36358,0 98,60 120 1,296 99,90358,5 100,50 172 1,8576 102,36359,0 102,80 227 2,4516 105,25359,5 104,90 285 3,078 107,98



193

Fig. 9.1.3. Curba )( H E .

¥n tabelul 9.1.3 se prezintå un exemplu de calcul al atenuårii unei viituriprin lacul de acumulare A, în ipoteza cå nu are loc o reglare a debitelor evacuate.Calculul se efectueazå pentru un interval de timp∆ T = 6ore, pe baza urmåtoarelorelemente: curba capacitå¡ii lacului (fig. 9.1.1 ¿i tab. 9.1.1), cheia limnimetricå adeversorului (fig. 9.1.2), unda de viiturå afluentå în lac (tab. 9.1.3 – col. 1¿i 2) ¿i expresia

( ) E E H = (tab. 9.1.2 ¿i fig. 9.1.3) .

Hidrograful undei defluente rezultat în coloana 6 a tabelului 9.1.3 estereprezentat în figura 9.1.4.

Fig. 9.1.4. Atenuarea undei de viitur ă în lac.

unda afluentă în lacul A- - - - - unda defluentă din lacul A.



1 9 4

T a

b e

l u l 9

. 1 . 3

C a

l c u l u l a t e n u ă

r i i u n e

i v i i t u r i î n

t r - u n

l a c

d e a c u m u

l a r e

i

i ∆ T

[ o r e

]

a i Q

[ m c / s

]

a i

Q

1 −

+

a i Q

[ m c / s ]

a i Q

1 −

+

a i Q

2 T ∆

[ 1 0 6

3

⋅ m

]

1 − i W

[ m 3

]

d i Q

1 −

[ m 3 ]

d i Q

1 −

2 T ∆

[ 1 0 6

3

⋅ m

]

=

) ( H E

( 5 ) + ( 4 ) –

( 7 )

i H

[ m ]

d i Q

[ m 3 ]

i W

[ m 3 ]

0

0

6

-

-

-

-

-

-

3 5 5

, 5 0

-

8 8

, 1 0

1

6

1 0

1 6

0 , 1

7

8 8 , 1 0

0

0

8 8

, 2 7

3 5 5

, 5 4

0

8 8

, 2 7

2

1 2

3 0

4 0

0 , 4

3

8 8 , 2 7

0

0

8 8

, 7 0

3 5 5

, 6 4

0

8 8

, 7 0

3

1 8

5 0

8 0

0 , 8

6

8 8 , 7 0

0

0

8 9

, 5 6

3 5 5

, 8 5

0

8 9

, 5 6

4

2 4

5 6

1 0 6

1 , 1

4

8 9 , 5 6

0

0

9 0

, 7 0

3 5 6

, 1 1

3 , 3

9 0

, 6 7

5

3 0

3 8

9 4

1 , 0

2

9 0 , 6 7

3 , 3

0 , 0

3

9 1

, 6 6

3 5 6

, 3 2

1 0

, 5

9 1

, 5 5

6

3 6

5 8

9 6

1 , 0

4

9 1 , 5 5

1 0

, 5

0 , 1

1

9 2

, 4 8

3 5 6

, 5 0

1 7

9 2

, 3 0

7

4 2

1 6 0

2 1 8

2 , 3

5

9 2 , 3 0

1 7

0 , 1

8

9 4

, 4 7

3 5 6

, 9 2

3 6

, 5

9 4

, 0 8

8

4 8

2 5 6

4 1 6

4 , 4

9

9 4 , 0 8

3 6

. 5

0 , 3

9

9 8

, 1 8

3 5 7

, 6 6

9 2

, 9

9 7

, 1 5

9

5 4

2 0 0

4 5 6

4 , 9

2

9 7 , 1 5

9 2

. 9

1 , 0

0

1 0 1 , 0 7

3 5 8

, 2 4

1 4 5

9 9

, 5 0

1 0

6 0

1 4 0

3 4 0

3 , 6

7

9 9 , 5 0

1 4 5

1 , 5

7

1 0 1 , 6 0

3 5 8

, 3 5

1 5 6

9 9

, 9 1

1 1

6 6

1 0 0

2 4 0

2 , 5

9

9 9 , 9 1

1 5 6

1 , 6

8

1 0 0 , 8 2

3 5 8

, 1 9

1 3 9

9 9

, 3 1

1 2

7 2

7 2

1 7 2

1 , 8

6

9 9 , 3 1

1 3 9

1 , 5

0

9 9

, 6 7

3 5 7

, 9 5

1 1 6

9 8

, 4 7

1 3

7 8

5 0

1 2 2

1 , 3

2

9 8 , 4 7

1 1 6

1 , 2

5

9 8

, 5 4

3 5 7

, 7 3

9 9

, 2

9 7

, 5 1

1 4

8 4

3 6

8 6

0 , 9

3

9 7 , 5 1

9 9

, 2

1 , 0

7

9 7

, 3 7

3 5 7

, 5 0

8 0

9 6

, 5 0

1 5

9 0

2 8

6 4

0 , 6

9

9 6 , 5 0

8 0

0 , 8

6

9 6

, 3 3

3 5 7

, 3 0

6 3

, 7

9 5

, 6 5

1 6

9 6

2 2

5 0

0 , 5

4

9 5 , 6 5

6 3

, 7

0 , 6

9

9 5

, 5 0

3 5 7

, 1 3

5 2

, 7

9 4

, 9 6

1 7

1 0 2

1 8

4 0

0 , 4

3

9 4 , 9 6

5 2

, 7

0 , 5

7

9 4

, 8 2

3 5 7

, 0 0

4 0

9 4

, 4 0

1 8

1 0 8

1 6

3 4

0 , 3

7

9 4 , 4 0

4 0

0 , 4

3

9 4

, 3 4

3 5 6

, 9 0

3 5

, 2

9 3

, 9 6

1 9

1 1 4

1 4

3 0

0 , 3

2

9 3 , 9 6

3 5

, 2

0 , 3

8

9 3

, 9 0

3 5 6

, 8 0

3 0

, 9

9 3

, 5 7

2 0

1 2 0

1 2

2 6

0 , 2

8

9 3 , 5 7

3 0

, 9

0 , 3

3

9 3

, 5 2

3 5 6

, 7 2

2 7

, 2

9 3

, 2 1



1 9 6

T a

b e

l u l 9

. 1 . 4

C a

l c u l u l v i i t u r i i a f l u

e n

t e î n t r - u n

l a c

d e a c u m u

l a r e

i

i ∆ T

[ o r e

]

H i

[ m ]

d i Q

[ m 3 ]

d i Q

1 −

+

d i Q

[ m c

/ s ]

i W

[ 1 0 6

3

⋅ m

]

i W -

1 − i

W

[ 1 0 6

3

⋅ m

]

[

]

1

2

−

−

∆

i

i W

W T

[ m c / s ]

a i Q

[ m c / s ]

0

0

3 5 0

, 0 0

0

-

6 5

, 0 0

-

-

0

1

6

3 5 0

, 0 0

3

3

6 5

, 0 0

0

0

3

2

1 2

3 5 0

, 0 0

4

7

6 5

, 0 0

0

0

4

3

1 8

3 5 0

, 0 2

7

1 1

6 5

, 0 8 4

0 , 0

8 4

7 , 8

1 4

, 8

4

2 4

3 5 0

, 0 8

9

1 6

6 5

, 3 4

0 , 2

6 4

2 4

, 4

2 5

, 6

5

3 0

3 5 0

, 1 8

1 0

1 9

6 5

, 7 6

0 , 4

2

3 8

, 9

3 2

, 3

6

3 6

3 5 0

, 3 2

1 0

2 0

6 6

, 3 2

0 , 5

6

5 1

, 8

3 9

, 5

7

4 2

3 5 0

, 4 7

1 0

2 0

6 6

, 9 7

0 , 6

5

6 0

, 2

4 0

, 7

8

4 8

3 5 0

, 6 1

1 1

2 1

6 7

, 5 6

0 , 5

9

5 4

, 6

3 4

, 9

9

5 4

3 5 0

, 7 3

1 2

2 3

6 8

, 0 7

0 , 5

1

4 7

, 2

3 5

, 3

1 0

6 0

3 5 0

, 8 2

1 3

2 5

6 8

, 4 4

0 , 3

7

3 4

, 3

2 4

1 1

6 6

3 5 0

, 8 7

1 4

2 7

6 8

, 6 6

0 , 2

2

2 0

, 4

2 3

, 4

1 2

7 2

3 5 0

, 9 2

1 6

3 0

6 8

, 8 6

0 , 2

0

1 8

, 5

2 5

, 1

1 3

7 8

3 5 0

, 9 4

2 0

3 6

6 8

, 9 5

0 , 0

9

8 , 3

2 8

, 8

1 4

8 4

3 5 0

, 9 9

2 4

4 4

6 9

, 1 6

0 , 2

1

1 9

, 4

3 4

, 6

1 5

9 0

3 5 1

, 7 3

3 0

5 4

7 2

, 2 7

3 , 1

1

2 8 7

, 9

3 0 7

1 6

9 6

3 5 3

, 2 7

3 8

6 8

7 8

, 7 3

6 , 4

6

5 9 8

, 1

3 6 1

1 7

1 0 2

3 5 4

, 9 5

5 0

8 8

8 5

, 7 9

7 , 0

6

6 5 3

, 7

3 8 1

1 8

1 0 8

3 5 6

, 5 6

6 2

1 1 2

9 2

, 5 5

6 , 7

6

6 2 5

, 9

3 5 7

1 9

1 1 4

3 5 7

, 9 9

7 6

1 3 8

9 8

, 5 6

6 , 0

1

5 5 6

, 5

3 3 7

2 0

1 2 0

3 5 9

, 1 7

9 3

1 6 9

1 0 3

, 5 1

4 , 9

5

4 5 8

, 3

2 9 0

2 1

1 2 6

3 6 0

, 0 5

1 1 3

2 0 6

1 0 7

, 4 0

3 , 8

9

3 6 0

, 2

2 7 6

2 2

1 3 2

3 6 0

, 3 6

1 3 2

2 4 5

1 0 9

, 8 8

2 , 4

8

2 2 9

, 6

1 9 9



198

Aplica ţia 9.2

METODA PULS, UTILIZÂND UN PROCEDEU ITERATIV DE CALCUL

Fie un lac de acumulare ale cårui curbe caracteristice ( ) H W W = ¿i( ) H f Qd

= se prezintå în tabelul 9.2.1.Tabelul 9.2.1

Curba desc ă rcă torilorş i curba capacităţ ii lacului

H

(m)

Q

( /sm3 )

W

)m10( 36 30 41,8 53,7535 46,0 78,1036 110 82,5037 228 86,2538 379 90,0039 559 95,00

Curbele ( ) H f Qd = ¿i )(W f Qd = se prezintå în figurile 9.2.1 ¿i 9.2.2.

Se cere så se atenueze unda de viiturå prezentatå în tabelul 9.2.2,coloanele 1 ¿i 2, considerând volumul ini¡ial în lacsW = 67,50 610⋅ 3m .

Fig. 9.2.1. Curba desc ă rcă torilor

)( H f Qd = .

Fig. 9.2.2. Curba desc ă rcă torilor

)(W f Qd = .



199

Tabelul 9.2.2

Unda de viitur ă afluentă în lac

i T (ore)

Q

( ) /sm3 i T

(ore)Q

( ) /sm3 i T

(ore)Q

( ) /sm3 1 0 50 9 40 360 17 80 652 5 75 10 45 290 18 85 553 10 180 11 50 250 19 90 504 15 350 12 55 210 20 95 455 20 450 13 60 175 21 100 406 25 520 14 65 140 22 105 387 30 505 15 70 110 23 110 368 35 445 16 75 85 24 115 35

Rezolvare:

Pentru atenuarea undei de viiturå se utilizeazå o altå variantå a metodeiPuls. Ecua¡ia metodei Puls scriså în diferen¡e finite este urmåtoarea:

2

1ai

ai QQ +−

2

1d i

d i QQ +

− −

T W W ii

∆

−= −1 , (9.2.1)

în care:aiQ 1− , aiQ sunt debitele afluente în lac la începutul, respectiv sfâr¿itul

intervalului∆ T ;d iQ 1− , d

iQ - debitele defluente din lac la începutul, respectivsfâr¿itul intervalului∆ T ;

ii W W ,1− - volumul de apå acumulat în lac la începutul, respectivsfâr¿itul intervalului∆ T .

Rela¡ia (9.2.1) se scrie sub forma:

−∆⋅+−

T QQ a

iai

21

T QQ d

id i ∆⋅

+−

21

iiii W W W ,11 −− ∆=−=

. (9.2.2)

¥n rela¡ia (9.2.2) se cunosc mårimileaiQ 1− , aiQ , d

iQ 1− ¿i 1−iW , în timp ce

iW ¿i d iQ sunt necunoscute ¿i vor fi ob¡inute, pentru fiecare pas de timp, printr-un

calcul iterativ.



200

Algoritmul de rezolvare este urmåtorul:Pasul 1: i = 1

1−iW = 0W = W ( 0 H ) - volumul ini¡ial în lac;d iQ 1− = d Q0 = d Q ( 0 H ) - debit defluent corespunzåtor nivelului ini¡ial;aiQ 1− = aQ0 - debitul undei de viiturå la 0=t .

Pasul 2: Se propune o cre¿tere de volum în cadrul pasului, notatå prin: propus

iiW ,1−∆ .

Pasul 3: Rezultå volumul la sfâr¿itul pasului:

iW = 1−iW + propusiiW ,1−

∆ .

Pasul 4: Pentru volumul iW , din curba )(W f Qd = rezultå debitul defluentestimat la sfâr¿itul pasuluii: d

iQ = d iQ ( iW ).

Pasul 5: Din ecua¡ia de continuitate se calculeazå schimbarea efectivå devolum:

calculat iiW ,1−∆ = T

QQ ai

ai ∆⋅

+−

21 - T

QQ d i

d i ∆⋅

+−

21 .

Pasul 6: Se verificå dacåcalculat

iiW ,1−∆ este aproximativ egal cu propus

iiW ,1−∆ .Dacå da, se trece la pasul 7.Dacå nu, valoarea calculat

iiW ,1−∆ devine valoarea propuså propusiiW ,1−

∆ pentru onouå itera¡ie ¿i se reia calculul de la pasul 3.Pasul 7: i : = i + 1.

Pasul 8: Dacåi ≤ N, se reia calculul de la pasul 2.¥n caz contrar, calculele s-au terminat.

Calculul atenuårii cu acest algoritm se poate urmåri în tabelul 9.2.3; unda

de viiturå afluentå ¿i unda defluentå din lac sunt prezentate în figura 9.2.3.¥ntr-o altå variantå a metodei Puls, ecua¡ia de continuitate se scrie subforma:

+= − 1ii W W −∆⋅

−+−−

T QQQ d

iai

ai

211

=∆⋅ T Q d

i

2 iW ~ - T

Q d i

∆⋅2

. (9.2.3)



2 0 1

T a

b e

l u l 9

. 2 . 3

C a

l c u l u l a t e n u

ă r i i u n

d e

i d e v i i t u r ă

i

a i Q

a i i

Q

, 1 −

1 − i

W

p r o p u s

W ∆

i W

i q

1 − i q

i i q

, 1 −

c a l c u l a t

i

i W

, 1 −

∆

0

5 0

-

-

-

6 7

, 5 0

4 4

, 2

-

-

-

1

5 0

5 0

6 7

, 5 0

0

6 7

, 5 0

4 4

, 2

4 4

, 2

4 4 , 2

( 5 0 -

4 4

, 2 ) . 0

, 0 1 8 =

0 , 1

0

0 , 1

0

6 7

, 6 0

4 4

, 2

4 4

, 2

4 4 , 2

( 5 0 -

4 4

, 2 ) . 0

, 0 1 8 =

0 , 1

0

2

7 5

6 2

, 5

6 7

, 6 0

0 , 1

0

6 7

, 7 0

4 4

, 2

4 4

, 2

4 4 , 2

( 6 2

, 5 -

4 4

, 2 ) . 0

, 0 1 8 =

0 , 3

3

0 , 3

3

6 9

, 9 3

4 4

, 2

4 4

, 2

4 4 , 2

( 6 2

, 5 -

4 4

, 2 ) . 0

, 0 1 8 =

0 , 3

3

3

1 8 0

1 2 7

, 5

6 7

, 9 3

0 , 3

3

6 8

, 2 6

4 4

, 3

4 4

, 2

4 4 , 2

5

( 1 2 7

, 5 -

4 4

, 2 5 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 5

0

1 , 5

0

6 9

, 9 3

4 4

, 5

4 4

, 2

4 4 , 3

5

( 1 2 7

, 5 -

4 4

, 3 5 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 5

0

4

3 5 0

2 6 5

6 9

, 4 3

1 , 5

0

7 0

, 4 3

4 4

, 7

4 4

, 5

4 4 , 6

( 2 6 5 -

4 4

, 6 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 9

6

3 , 9

6

7 3

, 3 9

4 5

, 2

4 4

, 5

4 5 , 8

5

( 2 6 5 -

4 4

, 8 5 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 9

6

5

4 5 0

4 0 0

7 3

, 3 9

3 , 9

6

7 7

, 3 5

4 5

, 8

4 5

, 2

4 5 , 5

( 4 0 0 -

4 5

, 5 ) . 0

, 0 1 8 =

6 , 3

8

6 , 3

8

7 9

, 7 7

7 0

, 3

4 5

, 2

5 7 , 7

5

( 4 0 0 -

5 7

, 7 5 ) . 0

, 0 1 8 =

6 , 1

6

6 , 1

6

7 9

, 5 5

6 7

, 0

4 5

, 2

5 6 , 1

( 4 0 0 -

5 6

, 1 ) . 0

, 0 1 8 =

6 , 1

9

6 , 1

9

7 9

, 5 8

6 7

, 5

4 5

, 2

5 6 , 3

( 4 0 0 -

5 6

, 3 ) . 0

, 0 1 8 =

6 , 1

9

6

5 2 0

4 8 5

7 9

, 5 8

6 , 1

9

8 5

, 7 7

2 1 2

, 9

6 7

, 5

1 4 0 , 2

( 4 8 5 -

1 4 0

, 2 ) . 0

, 0 1 8 =

6 , 2

0

6 , 2

0

8 5

, 7 8

2 1 2

, 9

6 7

, 5

1 4 0 , 2

( 4 8 5 -

1 4 0

, 2 ) . 0

, 0 1 8 =

6 , 2

0

7

5 0 5

5 1 2

, 5

8 5

, 7 8

6 , 2

0

9 1

, 9 8

4 5 0

, 3

2 1 2

, 9

3 3 1 , 6

( 5 1 2

, 5 -

3 3 1

, 6 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 2

6

4 , 7

3

9 0

, 5 1

3 9 7

, 4

2 1 2

, 9

3 0 5 , 1 5

( 5 1 2

, 5 -

3 0 5

, 1 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 7

3

4 , 2

3

9 0

, 0 1

3 7 9

, 0

2 1 2

, 9

2 9 6 , 0

( 5 1 2

, 5 -

2 9 6

, 5 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 8

9

4 , 0

6

8 9

, 8 4

3 7 2

, 6

2 1 2

, 9

2 9 2 , 7 5

( 5 1 2

, 5 -

2 9 2

, 7 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 9

6

4 , 0

1

8 9

, 7 9

3 7 0

, 5

2 1 2

, 9

2 9 1 , 7

( 5 1 2

, 5 -

2 9 1

, 7 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 9

7

3 , 9

9

8 9

, 7 7

3 6 9

, 7

2 1 2

, 9

2 9 1 , 3

( 5 1 2

, 5 -

2 9 1

, 3 ) . 0

, 0 1 8 =

3 , 9

8



2 0 2

T a

b e

l u l 9

. 2 . 3

( c o n

t i n u a r e

)

i

a i Q

a i i

Q

, 1 −

1 − i

W

p r o p u s

W ∆

i W

i q

1 − i q

i i q

, 1 −

c a l c u l a t

i

i W

, 1 −

∆

8

4 4 5

4 7 5

8 9

, 7 9

3 , 9

8

9 3

, 7 7

5 1 5

, 0

3 6 9

, 7

4 4 2 , 3 5

( 4 7 5 -

4 4 2

, 3 5 ) . 0

, 0 1 8 =

0 , 5

8

2 , 2

8

9 2

, 0 7

4 5 3

, 5

3 6 9

, 7

4 1 1 , 6

( 4 7 5 -

4 1 1

, 6 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 1

4

1 , 7

1

9 1

, 5 0

4 3 3

, 0

3 6 9

, 7

4 0 1 , 3

( 4 7 5 -

4 0 1

, 3 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 3

3

1 , 5

2

9 1

, 3 1

4 2 6

, 1

3 6 9

, 7

3 9 7 , 9

( 4 7 5 -

3 9 7

, 9 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 3

8

1 , 4

5

9 1

, 2 4

4 2 3

, 6

3 6 9

, 7

3 9 6 , 6

( 4 7 5 -

3 9 6

, 6 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 4

1

1 , 4

3

9 1

, 2 2

4 2 2

, 9

3 6 9

, 7

3 9 6 , 3

( 4 7 5 -

3 9 6

, 3 ) . 0

, 0 1 8 =

1 , 4

2

9

3 6 0

4 0 2

, 5

9 1

, 2 2

1 , 4

2

9 2

, 6 4

4 7 4

, 0

4 2 2

, 9

4 4 8 , 4 5

( 4 0 2

, 5 -

4 4 8

, 4 5 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 8

2

0 , 3

0

9 1

, 5 2

4 3 3

, 7

4 2 2

, 9

4 2 8 , 3

( 4 0 2

, 5 -

4 2 8

, 3 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 4

6

- 0

, 0 8

9 1

, 1 4

4 2 0

, 0

4 2 2

, 9

4 2 1 , 4 5

( 4 0 2

, 5 -

4 2 1

, 4 5 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 3

4

- 0

, 2 1

9 1

, 0 1

4 1 5

, 3

4 2 2

, 9

4 1 9 , 1

( 4 0 2

, 5 -

4 1 9

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 2

9

- 0

, 2 5

9 0

, 9 7

4 1 3

, 9

4 2 2

, 9

4 1 8 , 4

( 4 0 2

, 5 -

4 1 8

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 2

9

1 0

2 9 0

3 2 5

9 0

, 9 7

- 0

, 2 7

9 0

, 7 0

4 0 4

, 2

4 1 3

, 9

4 0 9

( 3 2 5 -

4 0 9 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 5

1

- 0

, 8 9

9 0

, 0 8

3 8 1

, 9

4 1 3

, 9

3 9 7 , 9

( 3 2 5 -

3 9 7

, 9 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 3

1

- 1

, 1 0

8 9

, 8 7

3 7 3

, 7

4 1 3

, 9

3 9 3 , 8

( 3 2 5 -

3 9 3

, 8 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 2

4

- 1

, 1 7

8 9

, 8 0

3 7 0

, 9

4 1 3

, 9

3 9 2 , 4

( 3 2 5 -

3 9 2

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 2

1

- 1

, 1 9

8 9

, 7 8

3 7 0

, 1

4 1 3

, 9

3 9 2

( 3 2 5 -

3 9 2 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 2

0

1 1

2 5 0

2 7 0

8 9

, 7 8

- 1

, 2 0

8 8

, 5 8

3 2 1

, 8

3 7 0

, 1

3 4 6

( 2 7 0 -

3 4 6 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 3

6

- 1

, 2 8

8 8

, 5 0

3 1 8

, 6

3 7 0

, 1

3 4 4 , 3

( 2 7 0 -

3 4 4

, 3 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 3

3

- 1

, 3 1

8 8

, 4 7

3 1 7

, 4

3 7 0

, 1

3 4 3 , 7

( 2 7 0 -

3 4 3

, 7 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 3

2

1 2

2 1 0

2 3 0

8 8

, 4 7

- 1

, 3 1

8 7

, 1 6

2 6 4

, 6

3 1 7

, 4

2 9 1

( 2 3 0 -

2 9 1 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 1

0

- 1

, 2 0

8 7

, 2 7

2 6 9

, 1

3 1 7

, 4

2 9 3 , 2

( 2 3 0 -

2 9 3

, 2 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 1

4

- 1

, 1 7

8 7

, 3 0

2 7 0

, 3

3 1 7

, 4

2 9 3 , 9

( 2 3 0 -

2 9 3

, 9 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 1

5

1 3

1 7 5

1 9 2

, 5

8 7

, 3 0

- 1

, 1 5

8 6

, 1 5

2 2 4

, 8

2 7 0

, 3

2 4 7 , 5

( 1 9 2

, 5 -

2 4 7

, 5 ) . 0

, 0 1 8 = - 0 , 9

9

- 1

, 0 7

8 6

, 2 3

2 2 7

, 4

2 7 0

, 3

2 4 8 , 8

( 1 9 2

, 5 -

2 4 8

, 8 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 0

1

- 1

, 0 4

8 6

, 2 6

2 2 8

2 7 0

, 3

2 4 9 , 1

( 1 9 2

, 5 -

2 4 9

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 0

2



2 0 3

T a

b e

l u l 9

. 2 . 3

( c o n

t i n u a r e

)

i

a i Q

a i i

Q

, 1 −

1 − i

W

p r o p u s

W ∆

i W

i q

1 − i q

i i q

, 1 −

c a l c u l a t

i

i W

, 1 −

∆

1 4

1 4 0

1 5 7

, 5

8 6

, 2 6

- 1

, 0 2

8 5

, 2 4

1 9 6

, 2

2 2 8

2 1 2 , 1

( 1 5 7

, 5 -

2 1 2

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 9

8

- 1

, 0 0

8 5

, 2 6

1 9 6

, 8

2 2 8

2 1 2 , 4

( 1 5 7

, 5 -

2 1 2

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 9

9

1 5

1 1 0

1 2 5

8 5

, 2 6

- 0

, 9 9

8 4

, 2 7

1 6 5

, 7

1 9 6

, 8

1 8 1 , 2

( 1 2 5 -

1 8 1

, 2 ) . 0

, 0 1 8 = -

1 , 0

1

- 1

, 0 0

8 4

, 2 6

1 6 5

, 4

1 9 6

, 8

1 8 1 , 1

( 1 2 5 -

1 8 1

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = - 1 , 0

0

1 6

8 5

9 7

, 5

8 4

, 2 6

- 1

, 0 0

8 3

, 2 6

1 3 3

, 9

1 6 5

, 4

1 4 9 , 6

( 9 7

, 5 -

1 4 9

, 6 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 9

4

- 0

, 9 7

8 3

, 2 9

1 3 4

, 8

1 6 5

, 4

1 5 0 , 1

( 9 7

, 5 -

1 5 0

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 9

5

- 0

, 9 5

8 3

, 3 1

1 3 5

, 5

1 6 5

, 4

1 5 0 , 4

( 9 7

, 5 -

1 5 0

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 9

5

1 7

6 5

7 5

8 3

, 3 1

- 0

, 9 5

8 2

, 3 6

1 0 8

1 3 5

, 5

1 2 1 , 7

( 7 5 -

1 2 1

, 7 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 8

4

- 0

, 8 4

8 2

, 4 7

1 0 9

, 6

1 3 5

, 5

1 2 2 , 5

( 7 5 -

1 2 2

, 5 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 8

5

1 8

5 5

6 0

8 2

, 4 7

- 0

, 8 5

8 1

, 6 2

9 7

, 2

1 0 9

, 6

1 0 3 , 4

( 6 0 -

1 0 3

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 7

8

- 0

, 7 8

8 1

, 6 9

9 8

, 2

1 0 9

, 6

1 0 3 , 9

( 6 0 -

1 0 3

, 9 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 7

9

1 9

5 0

5 2

, 5

8 1

, 6 9

- 0

, 7 9

8 0

, 9 0

8 6

, 7

9 8

, 2

9 2 , 4

( 5 2

, 5 -

9 2

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 7

2

- 0

, 7 2

8 0

, 9 7

8 7

, 7

9 8

, 2

9 2 , 9

( 5 2

, 5 -

9 2

, 9 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 7

3

2 0

4 5

4 7

, 5

8 0

, 9 7

- 0

, 7 3

8 0

, 2 4

7 7

, 1

8 7

, 7

8 2 , 4

( 4 7

, 5 -

8 2

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 6

3

- 0

, 6 3

8 0

, 3 4

7 8

, 6

8 7

, 7

8 3 , 1

( 4 7

, 5 -

8 3

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 6

4

2 1

4 0

4 2

, 5

8 0

, 3 4

- 0

, 6 4

7 9

, 7 0

6 9

, 3

7 8

, 6

7 4

( 4 2

, 5 -

7 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 5

7

- 0

, 5 7

7 9

, 7 7

7 0

, 3

7 8

, 6

7 4 , 4

( 4 2

, 5 -

7 4

, 4 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 5

7

2 2

3 8

3 9

7 9

, 7 7

- 0

, 5 7

7 9

, 2 0

6 2

, 0

7 0

, 3

6 6 , 1

( 3 9 -

6 6

, 1 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 4

9

- 0

, 4 9

7 9

, 2 8

6 3

, 2

7 0

, 3

6 6 , 7

( 3 9 -

6 6

, 7 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 5

0

2 3

3 6

3 7

7 9

, 2 8

- 0

, 5 0

7 8

, 7 8

5 5

, 9

6 3

, 2

5 9 , 6

( 3 7 -

5 9

, 6 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 4

1

- 0

, 4 1

7 8

, 8 7

5 7

, 2

6 3

, 2

6 0 , 2

( 3 7 -

6 0

, 2 ) . 0

, 0 1 8 = -

0 , 4

2



206



207



2 0 8

T a

b e

l u l 9

. 3 . 3

U n

d a

d e

i n u n

d a

ţ i e r e z u

l t a t ă

l a f o r m a r e a

b r e ş e

i î n 3 o r e

T ( o r e

)

i Q

1 − i

Q

1 − i q

[ ( 2 ) + ( 3 ) -

( 4 ) ]

1 − i

W

1 − i

W

+ ( 5 )

c o r

q

b r q

[ ( 8 ) + ( 9 )

]

i W

I H

b r

i

H

H −

i

t i ∆

⋅

2 / t

2 / t

0

0

8

-

-

-

-

-

-

-

-

8 , 3

0

1 6 9

, 8 0

-

1

3

3 1

8

-

0 , 2

1

8 , 3

8 , 5

1

-

-

-

8 , 5

1

1 6 9

, 9 5

-

2

6

8 2

3 1

-

0 , 6

1

8 , 5

1

9 , 1

2

-

-

-

9 , 1

2

1 7 0

, 2 3

-

3

9

1 5 0

8 2

-

1 , 2

5

9 , 1

2

1 0

, 3 7

-

-

-

1 0

, 3 7

1 7 0

, 7 9

-

4

1 2

2 2 4

1 5 0

-

2 , 0

2

1 0

, 3 7

1 2

, 3 9

-

-

-

1 2

, 3 9

1 7 1

, 6 9

-

5

1 5

3 1 2

2 2 4

-

2 , 8

9

1 2

, 3 9

1 5

, 2 8

-

-

-

1 5

, 2 8

1 7 2

, 9 5

-

6

1 6

3 3 2

3 1 2

-

1 , 1

6

1 5

, 2 8

1 6

, 4 4

-

-

-

1 6

, 4 4

1 7 3

, 4 3

-

7

1 7

3 4 6

3 3 2

-

1 , 2

2

1 6

, 4 4

1 7

, 6 6

-

-

-

1 7

, 6 6

1 7 3

, 9 4

-

8 5 0

-

1 , 5 3

1 6

, 1 3

1 7 3

, 3 0

-

5 0 0

-

0 , 9 0

1 6

, 7 6

1 7 3

, 5 7

-

2 8 5

-

0 , 5 1

1 7

, 1 5

1 7 3

, 7 3

-

3 0 5

-

0 , 5 5

1 7

, 1 1

1 7 3

, 7 2

-

8

1 8

3 5 2

3 4 6

3 0 0

0 , 7

2

1 7

, 1 2

1 7

, 8 4

3 0 0

-

0 , 5 4

1 7

, 3 0

1 7 3

, 7 9

-

3 9 0

-

0 , 7 0

1 7

, 1 4

1 7 3

, 7 3

-

3 5 7

-

0 , 6 4

1 7

, 2 0

1 7 3

, 7 5

-

3 6 6

-

0 , 6 6

1 7

, 1 8

1 7 3

, 7 4

-

3 5 8

-

0 , 6 5

1 7

, 1 9

1 7 3

, 7 4

-

9

1 9

3 5 4

3 5 2

3 5 8

0 , 6

3

1 7

, 1 9

1 7

, 8 2

3 5 0

1 0 0 0

2 , 4 3

1 5

, 3 9

1 7 3

, 0 0

2 , 8

0

-

9 0 0

1 , 6 2

1 6

, 2 0

1 7 3

, 3 3

3 , 1

3

1 0

2 0

3 5 2

3 5 4

9 0 0

- 0

, 3 5

1 6

, 3 8

1 6

, 0 3

-

9 0 0

1 , 6 2

1 4

, 4 1

1 7 2

, 5 1

5 , 7

1

1 5 0 0

2 , 7 0

1 3

, 3 3

1 7 2

, 1 1

5 , 3

1

1 7 5 0

3 , 1 5

1 2

, 8 8

1 7 1

, 9 1

5 , 1

1

1 8 2 5

3 , 2 8

1 2

, 7 5

1 7 1

, 8 5

5 , 0

5

1 8 3 5

3 , 3 0

1 2

, 7 3

1 7 1

, 8 4

5 , 0

4

1 1

2 1

3 4 6

3 5 2

1 8 4 0

- 1

, 1 4

1 2

, 7 3

1 1

, 5 9

-

1 8 4 0

3 , 3 1

8 , 2

8

1 6 9

, 8 3

6 , 3

3

2 3 0 0

4 , 1 4

7 , 4

5

1 6 9

, 4 0

5 , 9

0

2 2 7 0

4 , 0 8

7 , 5

1

1 6 9

, 4 2

5 , 9

2

1 2

2 2

3 3 4

3 4 6

2 2 7 0

- 1

, 5 9

7 , 5

1

5 , 9

2

-

2 2 7 0

4 , 0 9

1 , 8

3

1 6 6

, 7 3

3 , 2

3

1 6 1 0

2 , 9 0

3 , 0

2

1 6 6

, 6 8

3 , 1

8

1 2 6 0

2 , 2 7

3 , 6

5

1 6 7

, 2 0

3 , 7

0



2 0 9

T a

b e

l u l 9

. 3 . 3

( c o n

t i n u a r e )

i

T ( o r e

)

i Q

1 − i

Q

1 − i q

[ ( 2 ) + ( 3 ) -

( 4 ) ]

1 − i

W

1 − i

W

+ ( 5 )

c o r

q

b r q

[ ( 8 ) + ( 9 ) ]

i W

I H

b r

i

H

H −

t i ∆

⋅

2 / t

2 / t

1 1 8

0

2 , 1 2

3 , 8

0

1 6 7

, 3 3

3 , 8

3

1 1 6

0

2 , 1 0

3 , 8

2

1 6 7

, 3 5

3 , 8

5

1 3

2 3

3 2 2

3 3 4

1 1 6 0

- 0

, 9 1

3 , 8

2

2 , 9

1

-

1 1 6

0

2 , 1 0

0 , 8

1

1 6 5

, 0 0

1 , 5

0

7 3 0

1 , 3 1

1 , 6

0

1 6 5

, 5 7

2 , 0

7

5 9 0

1 , 0 6

1 , 8

5

1 6 5

, 7 5

2 , 2

5

5 4 0

0 , 9 7

1 , 9

4

1 6 5

, 8 1

2 , 3

1

5 2 0

0 , 9 4

1 , 9

7

1 6 5

, 8 3

2 , 3

3

1 4

2 4

3 1 0

3 2 2

5 1 0

0 , 2

2

1 , 9

7

2 , 1

9

-

5 1 0

0 , 9 2

1 , 2

7

1 6 5

, 3 3

1 , 8

3

4 6 0

0 , 8 3

1 , 3

6

1 6 5

, 4 0

1 , 9

0

4 4 5

0 , 8 1

1 , 3

8

1 6 5

, 4 2

1 , 9

2

1 5

2 5

2 9 0

3 1 0

4 4 0

0 , 2

9

1 , 3

8

1 , 6

7

-

4 4 0

0 , 7 9

0 , 8

8

1 6 5

, 0 5

1 , 5

5

3 8 0

0 , 6 8

0 , 9

9

1 6 5

, 1 3

1 , 6

3

3 5 5

0 , 6 4

1 , 0

3

1 6 5

, 1 7

1 , 6

7

3 4 5

0 , 6 2

1 , 0

5

1 6 5

, 1 8

1 , 6

8

1 6

2 6

2 7 4

2 9 0

3 4 0

0 , 4

0

1 , 0

5

1 , 4

5

-

3 4 0

0 , 6 1

0 , 8

4

1 6 5

, 0 2

1 , 5

2

3 2 5

0 , 5 8

0 , 8

7

1 6 5

, 0 5

1 , 5

5

1 7

2 7

2 6 0

2 7 4

3 2 0

0 , 3

8

0 , 8

7

1 , 2

5

-

3 2 0

0 , 5 8

0 , 6

7

1 6 4

, 6 8

1 , 1

8

2 6 5

0 , 4 7

0 , 7

8

1 6 4

, 9 5

1 , 4

5

1 8

3 0

2 1 6

2 6 0

2 6 0

1 , 1

7

0 , 7

8

1 , 9

9 5

-

2 6 0

1 , 4 0

0 , 5

5

1 6 4

, 5 0

1 , 0

0

2 3 0

1 , 2 4

0 , 7

1

1 6 4

, 8 0

1 , 3

0

1 9

3 3

1 8 2

2 1 6

2 3 0

0 , 9

1

0 , 7

1

1 , 6

2

-

2 3 0

1 , 2 4

0 , 3

8

1 6 4

, 1 3

0 , 6

3

1 8 0

0 , 9 7

0 , 6

5

1 6 4

, 6 2

1 , 1

2

1 9 5

1 , 0 5

0 , 5

7

1 6 4

, 4 5

0 , 9

5

2 0

3 6

1 4 4

1 8 2

2 0 0

0 , 6

8

0 , 5

7

1 , 2

5

-

2 0 0

1 , 0 8

0 , 1

7

1 6 3

, 7 8

0 , 2

8

1 3 0

0 , 7 0

0 , 5

5

1 6 4

, 4 1

0 , 9

1

1 5 0

0 , 8 1

0 , 4

4

1 6 4

, 2 4

0 , 7

4

2 1

3 9

1 1 6

1 4 4

1 5 0

0 , 5

9

0 , 4

4

1 , 0

3

-

1 5 0

0 , 8 1

0 , 2

2

1 6 3

, 8 3

0 , 3

3

1 1 0

0 , 5 9

0 , 4

4

1 6 4

, 2 4

0 , 7

4

1 3 0

0 , 7 0

0 , 3

3

1 6 4

, 0 5

0 , 5

5



210



2 1 1

T a

b e

l u l 9

. 3 . 4

U n

d a

d e

i n u n

d a

ţ i e r e z u

l t a t ă

l a f o r m a r e a

b r e ş e

i î n 2 o r e

i

T ( o r e

)

i Q

1 − i

Q

1 − i q

[ ( 2 ) + ( 3 ) -

( 4 ) ]

1 − i

W

1 − i

W

+ ( 5 )

c o r

q

b r q

[ ( 8 ) + ( 9 ) ]

i W

i H

b r

i

H

H −

t i ∆

⋅

2 / t

2 / t

( 0 )

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

( 1 0 )

( 1 1 )

( 1 2 )

( 1 3 )

9

1 9

3 5 4

3 5 2

3 5 8

0 , 6

3

1 7

, 1 9

1 7

, 8 2

3 5 0

1 0 0 0

2 , 4 3

1 5

, 3 9

1 7 3

, 0 0

4 , 5

0

1 2 5 0

2 , 2 5

1 5

, 5 7

1 7 3

, 0 7

4 , 5

7

1 4 0 0

2 , 5 2

1 5

, 3 0

1 7 2

, 9 6

4 , 4

6

1 4 4 0

2 , 5 9

1 5

, 2 3

1 7 2

, 9 3

4 , 4

3

1 4 5 0

2 , 6 1

1 5

, 2 1

1 7 2

, 9 2

4 , 4

2

1 0

2 0

3 5 2

3 5 4

1 4 5 0

- 1

, 3 4

1 5

, 2 1

1 3

, 8 7

-

1 4 5 0

2 , 6 1

1 1

, 2 1

1 7 1

, 1 9

7 , 6

9

2 4 0 0

4 , 3 2

9 , 5

5

1 7 0

, 4 2

6 , 9

2

2 6 0 0

4 , 6 8

9 , 1

9

1 7 0

, 2 6

6 , 7

6

2 6 5 0

4 , 7 7

9 , 1

0

1 7 0

, 2 2

6 , 7

2

1 1

2 1

3 4 6

3 5 2

2 6 5 0

- 3

, 5 1

9 , 1

0

5 , 5

9

2 6 5 0

4 , 7 7

0 , 8

2

0 1

1 , 5

1

1 4 7 5

2 , 6 5

2 , 9

4

1 6 5 6 2

,

2 , 1

2

9 7 0

1 , 7 5

3 , 8

4

1 6 7

, 3 7

3 , 8

7

1 0 7 5

1 , 9 3

3 , 6

6

1 6 7

, 2 1

3 , 7

1

1 0 9 5

1 , 9 7

3 , 6

2

1 6 7

, 1 9

3 , 6

9

1 2

2 2

3 3 4

3 4 6

1 0 9 5

- 0

, 7 5

3 , 6

2

2 , 8

7

-

1 0 9 5

1 , 9 7

0 , 9

0

1 6 5

, 0 1

1 , 5

1

7 0 0

1 , 2 6

1 , 6

1

1 6 5

, 5 8

2 , 0

8

5 8 0

1 , 0 4

1 , 8

3

1 6 5

, 7 3

2 , 2

3

5 3 0

0 , 9 5

1 , 9

2

1 6 5

, 8 0

2 , 3

0

5 1 2

0 , 9 2

1 , 9

5

1 6 5

, 8 2

2 , 3

2

1 3

2 5

2 9 0

3 3 4

5 0 5

0 , 6

4

1 , 9

5

2 , 5

9

-

5 0 5

2 , 7 3

i W < 0

i H <

r H

H ∆

< 0

2 5 2

1 , 3 6

1 , 2

3

1 6 5

, 3 0

1 , 8

0

3 2 5

1 , 7 5

0 , 8

4

1 6 5

, 0 3

1 , 5

3

3 1 7

1 , 7 1

0 , 8

8

1 6 5

, 0 6

1 , 5

6

1 4

2 8

2 4 6

2 9 0

3 2 2

1 , 1

6

0 , 8

8

2 , 0

4

-

3 2 2

1 , 7 4

0 , 3

0

1 6 4

, 0 0

0 , 5

0

2 1 7

1 , 1 7

0 , 8

7

1 6 5

, 0 5

1 , 5

5

2 6 8

1 , 4 5

0 , 5

9

1 6 4

, 5 0

1 , 0

0

2 3 4

1 , 2 6

0 , 7

8

1 6 4

, 9 5

1 , 4

5

2 4 7

1 , 3 3

0 , 7

1

1 6 4

, 8 0

1 , 3

0



212



10

CALCULUL DEBITELOR MAXIME

Aplicaţia 10.1

CALCULUL DEBITELOR MAXIME UTILIZÂND FORMULA RAŢIONAL Ă

Så se determine debitele maxime cu probabilitatea de depå¿ire 1%, 2% ¿i 5%pe pârâul Cânepa la intersec¡ia cu DC 39 Ghijasa de Jos (fig. 10.1.1).

Fig. 10.1.1. Bazinul hidrografic Cânepa.

213



Rezolvare:

Pârâul Cânepa este afluent al våii Hâr¡a ce se varså în Hârtibaciu.Utilizând harta din figura 10.1.1 se determinå urmåtoarele elemente:− suprafa¡a bazinului hidrografic F = 5,28 ;km 2

− lungimea versantului = 500 m, måsuratå între punctele C ¿i I;v L

− lungimea albiei = 3000 m, måsuratå între punctele I ¿i V;a L

− cota punctelor caracteristice:- 575,00 m, unde punctul C reprezintå cota maximå a versan-

tului;=C H

- = I H 500,00 m, unde punctul I este situat la baza versantulu;- 410,00 m, unde V este punctul de intersec¡ie al pârâuluiCânepa cu drumul comunal DC 39.

=V H

− panta versantului:

==−

=∆

=50075

500500575

v

vv L

h I 0,15 = 15%,

unde este diferen¡a de altitudine datå de curbele de nivel carevh∆ încadreazå versantul de lungime ;v L

− panta albiei:

==−=∆=3000120

3000410530

a

aa L

h I 0,04 = 4%,

unde ∆ha este diferen¡a de nivel dintre cotele talvegului albiei delungime L .a

¥n plus, se mai dispune de urmåtoarele informa¡ii despre bazin:− textura solului este medie;− modul de utilizare a terenului:

= 0,7 cu panta bazinului 12%, acoperi¡i cu påduri;F 1 km 2

= 3,28 cu panta bazinului 18%, ocupa¡i cu på¿une;2 F km 2

= 1,3k 3 F m 2 cu panta bazinului 6%, ocupa¡i cu culturi agricole.

Deoarece suprafa¡a bazinului Cânepa F = 5,28 , acesta va fi încadrat încategoria bazinelor mici.

km 2

214



Prin bazin hidrografic mic se în¡elege un bazin cu suprafa¡a, de regulå, maimicå decât 10km . Calculul debitelor maxime pentru acest caz se face îngeneral utilizând formula ra¡ionalå, care se bazeazå pe ipoteza cå durata ploiieste egalå sau mai mare decât timpul de concentrare al bazinului; cu altecuvinte, la formarea debitului maxim participå întreaga suprafa¡å a bazinuluihidrografic.

2

Pentru bazine cu suprafe¡e cuprinse între 10 ¿i 200 la formareadebitului maxim nu participå întreaga suprafa¡å a bazinului, deoarece de regulå,durata ploilor maxime este mai micå decât timpul de concentrare; ca atare, în

aceste cazuri se vor utiliza diverse formule de tip reduc¡ional.

km 2 km 2

¥n concluzie, având în vedere faptul cå suprafa¡a bazinului hidrograficCânepa este mai micå de 10 , pentru determinarea debitului maxim cuprobabilitatea de 1% se va utiliza formula ra¡ionalå:

km 2

Fi K Q ⋅⋅α⋅= %1%1 , (10.1.1)

unde:este coeficientul de transformare a intensitå¡ii ploii din mm/min

în m/s ¿i a suprafe¡ei dinkm în ;K =16 7 ,

2 m 2

- coeficientul de scurgere;α - intensitatea medie a ploii de calcul cu probabilitatea de

depå¿ire de 1%;i1 %

F - suprafa¡a bazinului în .km 2

Coeficientul global de scurgereα se determinå utilizând o rela¡ie de tip

medie ponderatå:

F

Fn

iii∑

=⋅α

=α 1 , (10.1.2)

undeα sunt coeficien¡ii par¡iali de scurgere caracterizând suprafa¡ele .i i F

Coeficientul par¡ial de scurgere pentru suprafa¡a de bazin = 0,7F 1 km 2 ,având panta = 12%, acoperitå integral cu pådure ¿i având un sol de texturåmedie se ob¡ine din anexa 10.1.1:

1b I

α1 = 0,49.

215



Ceilal¡i coeficien¡i par¡iali de scurgere pentru terenuri ocupate cu på¿uni ¿idiferite culturi agricole se determinå în mod similar, din anexa 10.1.2:

α 2 = 0,51; α 3 = 0,48.

Utilizând formula (10.1.2) rezultå coeficientul global de scurgere:

α = ⋅ + ⋅ + ⋅ =0 49 0 7 0 51 3 28 0 43 1 3

5 28

, , , , , , ,

0,5.

Timpul de concentrare se determinå utilizând rela¡ia:t c

ct = +vt at a

a

v

vv

L

v

L+= , (10.1.3)

unde:este timpul de concentrare pe versan¡i;vt

- timpul de concentrare prin albie;at - viteza apei pe versant;vv

- viteza apei în albie.av

Vitezele apei pe versant ¿i în albie rezultå din anexa 10.1.3, ¡inând seama defaptul cå bazinul este situat în zonå de deal. De asemenea, s-a utilizat analogiadintre caracteristicile våii ¿i ale versantului cu caracteristicile unui bazin pentrucare se dispune de måsuråtori hidrometrice.

vv = 0,25 m/s; = 1,4 m/s.av

Cu titlu informativ s-au furnizat ¿i valorile vitezei medii de scurgere peversant pentru diverse moduri de utilizare a terenului ¿i pante ale versantului(anexa 10.1.4). Utilizând formula (10.1.3) se ob¡ine

t c =+= 4,13000

25,0500

2000 + 2142 = 4142″ = 69′.

Pentru a verifica timpii de concentrare pe versant , respectiv prin albie, se vor utiliza ¿i urmåtoarele formule:

vt

at

216



vt '189,35501,015,0

500501,0501,0 =⋅===

v

v

I

L;

at 05150000033,004,0

30000033,00033,0 ′=⋅===

a

a

I

L;

= 18′ + 50′ = 68′.ct

Cele douå rezultate sunt aproximativ egale; în continuare, pentru timpul de

concentrare mediu s-a utilizat valoarea:

ct = 69′.

Intensitatea medie a ploii de calcul cu probabilitatea de 1% se calculeazå cuformula:

( )nct

Si

1%1

%1+

= , (10.1.4)

unde:este intensitatea instantanee a ploii pentru probabilitatea de 1%S 1 %

(anexa 10.1.5);- indicele de reducere a intensitå¡ii ploii (anexa 10.1.6).n

Din anexele respective, rezultå pentru bazinul studiat urmåtoarele valori:

= 13,5;%1S

n = 0,6.

¥nlocuind aceste valori în rela¡ia (10.1.4) rezultå:

( )==

+=

8,25,13

169

5,136,0%1i 1,05 mm/min.

Debitul maxim cu probabilitatea de depå¿ire de 1% se ob¡ine utilizândecua¡ia (10.1.1):

217



3,4628,505,15,07,16%1 =⋅⋅⋅=Q m s3 / .

Debitele maxime cu probabilitatea p% rezultå din rela¡ia:

%11% QQ p p ⋅λ= , (10.1.5)

unde este coeficientul de trecere de la probabilitatea de depå¿ire de 1% laprobabilitatea de depå¿ire p% (tab. 10.1.1). Valoarea lui

λ1 p

p1λ se ob¡ineconsiderând o curbå teoreticå de distribu¡ie Kri¡ki-Menkel, având coeficientul

de varia¡ie = 1 ¿i coeficientul de asimetrie = 4 .vC sC vC Tabelul 10.1.1

Valorile coeficientuluiλ1 p

p% 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,5

λ1 p 3,184 2,224 1,887 1,652 1,416 1,229

p% 1 2 3 5 10 20

λ1 p 1 0,796 0,638 0,565 0,418 0,289

Debitele maxime cu probabilitatea de depå¿ire 2%, respectiv 5% sunt:

Q2 % = 0,796⋅ 46,3 = 36,8m s3 / ;

Q5 % = 0,565 ⋅ 46,3 = 26,2m s3 .

Se men¡ioneazå cå anexele 10.1.1 – 10.1.6 au fost elaborate de INMH(C. Diaconu ¿.a., 1995).

218



Anexa 10.1.1

Tabel cu coeficien ţii de scurgere x) care pot fi folosi ţi la determinareadebitelor maxime în bazine mici

Textur ă uşoar ă

C p % I b % 0 - 20 20 - 40 40 - 60 60 - 80 80 - 100

5 - 10 0,44 0,42 0,40 0,38 0,3610 - 20 0,46 0,44 0,42 0,40 0,38

20 - 30 0,48 0,46 0,44 0,42 0,4030 - 40 0,50 0,48 0,46 0,44 0,4240 - 50 0,52 0,50 0,48 0,46 0,44

Textur ă medie

C p % I b % 0 - 20 20 - 40 40 - 60 60 - 80 80 - 100

5 - 10 0,55 0,53 0,51 0,49 0,4710 - 20 0,57 0,55 0,53 0,51 0,4920 - 30 0,59 0,57 0,55 0,53 0,51

30 - -40 0,62 0,60 0,58 0,55 0,5340 - 50 0,64 0,62 0,60 0,57 0,55

Textur ă grea

C p % I b % 0 - 20 20 - 40 40 - 60 60 - 80 80 - 100

5 - 10 0,66 0,63 0,61 0,58 0,5610 - 20 0,69 0,66 0,63 0,60 0,5720 - 30 0,73 0,69 0,66 0,63 0,6030 - 40 0,75 0,72 0,69 0,65 0,6340 - 50 0,78 0,75 0,72 0,68 0,65

Notå : x) Valorile coeficientului de scurgere din acest tabel au fost ob¡inutepe baza datelor de la bazinele reprezentative din Romania

- coeficientul de împådurire;C p - panta bazinalå. I b

219



221

vv va

Anexa 10.1.3

Valori aproximative ale vitezei apei pe versantşi în albie

Tipul våii sau al versantului Viteza apei pe versant(m/s)

Viteza apei pe albie(m/s)

Bazine (versan¡i) situate în zonade câmpie joaså

0,05 - 0,10 0,30 - 0,50

Bazine (versan¡i) situate în zonade câmpie

0,10 - 0,15 0,50 - 1,00

Bazine (versan¡i) situate în zonade deal

0,15 - 0,25 1,00 - 2,50

Bazine (versan¡i) situate în zonade dealuri înalte

0,25 - 0,45 2,50 - 3,50

Bazine (versan¡i) situate în zonade munte

0,45 - 0,65 3,50 - 5,50

Anexa 10.1.4

Vitezele medii de scurgere a apelor pe versan ţi

Viteza medie de scurgere pe versan¡i (m/s)pentru panta medie a versantului de:Folosin¡a terenului

0,05 0,10 0,15 0,20

Teren lucrat din deal în vale 0,16 0,24 0,29 0,34Teren cu pantå uniformå fåråvegeta¡ie

0,14 0,20 0,25 0,30

Teren arat ¿i gråpat 0,12 0,16 0,20 0,23Fânea¡å recent cositå 0,03 0,04 0,05 0,06Paji¿te naturalå 0,02 0,01 0,02 0,02



222



Anexa 10.1.6Zonarea coeficientului de reduc ie n din formula (10.1.4)

223



224

km 2

km 2

Aplica ţia 10.2

CALCULUL DEBITELOR MAXIMEUTILIZÂND METODA REDUCŢIONAL Ă

Så se determine debitul maxim cu probabilitatea de depå¿ire de 1% pe râulBughea ( F = 72,35 ) din bazinul hidrografic Arge¿.

Rezolvare:

Debitul maxim cu probabilitatea de depå¿ire de 1% pentru bazine hidro-grafice cu suprafa¡a mai mare de 10 se poate determina utilizând formulareduc¡ionalå :

( )

( ) m F

F I K Q

1%160

%1+

⋅⋅α⋅=

K = 0 28 ,2 2

α

, (10.2.1)

unde:este coeficient de transformare a intensitå¡ii ploii din mm/orå în

m/s ¿i a suprafe¡ei bazinului dinkm în m ;- coeficientul global de scurgere;

%160 I

m

- intensitatea maximå orarå cu probabilitatea de depå¿ire 1%; - exponentul de reducere a suprafe¡ei bazinului;

F - suprafa¡a bazinului hidrografic.

Pentru bazinul hidrografic Bughea cu F = 72,35km 2 , utilizând anexele10.2.1 – 10.2.3 se ob¡in urmåtorii parametri:

α = 0,55; ( )%160 I = 125 mm; m = 0,5.

( )

Utilizând formula (10.2.1) rezultå debitul maxim cu probabilitatea dedepå¿ire de 1%:

==+

⋅⋅⋅=565,8

73,1392135,72

35,7255,0125028,05,0%1Q m 3⋅55,

163 /s.



Anexa 10.2.1 Zonarea intensitatilor maxime orare cu probabilitatea de depasire 160 I

225



Anexa 10.2.2 Zonarea coeficientului global de scurgere α al viiturilor din ploi

226



227

Anexa 10.2.3 Zonarea coeficientului de reducţie din formula (10.2.1)m



Se men¡ioneazå cå anexele 10.2.1 – 10.2.3 au fost elaborate în cadrulI.N.M.H. (C. Diaconu ¿.a., 1995).

Aplica ţia 10.3

REALIZAREA FORMATELOR DE PROBABILITATE UZUALE

La prelucrarea statisticå a datelor ob¡inute din måsuråtori, din punct devedere practic intereseazå mårimea debitelor maxime corespunzåtoare unorprobabilitå¡i de depå¿ire mici: 2%, 1%, 0,5%, 0,1% etc.

¥n condi¡iile în care pentru prelucrarea graficå se utilizeazå un formatcartezian, ceea ce înseamnå cå la intervale∆ x egale corespund în reprezentareagraficå segmente egale indiferent de pozi¡ia intervalului pe axå, zonaprobabilitå¡ilor foarte mici este extrem de reduså; în acela¿i timp debitelecorespunzåtoare nu mai pot fi reprezentate cu o exactitate acceptabilå, elesituându-se practic pe verticalå, pe zona asimptoticå a curbei la axa oy(fig. 10.3.1).

Fig. 10.3.1. Alura curbei probabilităţilor de depăşirea debitelor maxime în reprezentare carteziană.

Se cere :Så se construiascå un format special de probabilitate care så dilate zona

probabilitå¡ilor foarte mici, respectiv foarte mari ¿i så înlåture neajunsurilesemnalate anterior.

228



Rezolvare:

Punctul de plecare în construirea formatului de probabilitate îl constituiefunc¡ia de reparti¡ie normalå normatå (func¡ia Laplace):

( ) dt e x F x

t ∫∞−

−π

= 2 / 2

21

. (10.3.1)

) reprezintå probabilitatea de nedepå¿ire a valorii particulare x avariabilei aleatoare X (tab. 10.3.1).

( x F

Alura func¡iei de reparti¡ie normalå normatå este prezentatå în figura 10.3.2.

Tabelul 10.3.1

Valorile funcţiei Laplace

x F ( x ) x F ( x ) x F ( x ) x F ( x )

- 3,30 0,05% - 1,28 10% 0,126 55% 1,645 95%- 3,09 0,1% - 1,04 15% 0,253 60% 1,75 96%- 2,575 0,5% - 0,84 20% 0,386 65% 1,88 97%- 2,33 1% - 0,675 25% 0,525 70% 2,054 98%

- 2,054 2% - 0,525 30% 0,675 75% 2,33 99%- 1,88 3% - 0,386 35% 0,84 80% 2,575 99,5%- 1,75 4% - 0,253 40% 1,04 85% 3,09 99,9%- 1,645 5% - 0,126 45% 1,28 90% 3,30 99,95%- 1,476 6% 0 50% 1,476 93% 3,49 99,98%

¥n continuare, se procedeazå la o nouå divizare a abscisei: deasupra axei setrec valorile lui x din tabelul 10.3.1 (adicå - 3,30; - 3,09; - 2,575; ... etc.).

Dedesubt, în dreptul lor se trec valorile corespunzåtoare ale lui ; deexemplu, în dreptul lui - 3,30 se va trece valoarea 0,05%; în dreptul lui - 3,09 seva trece valoarea 0,1% etc. (fig. 10.3.3).

)( x F

Diviziunile marcate pe absciså împreunå cu valorile corespunzåtoare aleprobabilitå¡ilor reprezintå un format de probabilitate care dilatå zonaprobabilitå¡ilor foarte mici ¿i foarte mari. Se observå cå acest format estesimetric în raport cu valoarea probabilitå¡ii de 50%, spre deosebire de un formatlogaritmic, care dilatå zona probabilitå¡ilor mici ¿i o comprimå pe cea avalorilor mari.

229



Fig. 10.3.2. Alura repartiţiei normale normată.

Fig. 10.3.3. Construirea formatului de probabilitate 0,1%.

Este evident cå, utilizând un format de probabilitate pe absciså ¿i un formatcartezian pe ordonatå, func¡ia de reparti¡ie normalå normatå se reprezintå subforma unei drepte care intersecteazå abscisa la probabilitatea de 50%(fig. 10.3.4). Pe aceea¿i figurå s-a reprezentat ¿i o reparti¡ie normalå oarecare de

medie ¿i abatere medie påtraticåm1 σ1 , precum ¿i func¡ia corespunzåtoare aprobabilitå¡ilor de depå¿ire ( )1 − F x .

Pe acest format (numit ¿i format Gauss-normal), o reparti¡ie asimetricå vaavea o u¿oarå curburå (fig. 10.3.5), care înså este departe de alura asimptoticådin figura 10.3.1.

230



Fig. 10.3.4. Reprezentarea func ţiilorF (x) şi 1 - F (x)

în formatul de probabilitate Gauss normal.

Fig. 10.3.5. Alura curbei probabilităţilor de depăşire a debitelor maxime în format de probabilitate Gauss normal.

Testarea graficå a ipotezelor statistice de reparti¡ie normalå ¿i lognormalå .S-a aråtat cå dacå se utilizeazå formatul Gauss-normal (format de

probabilitate pe absciså ¿i format cartezian pe ordonatå), o reparti¡ie normalå sereprezintå sub forma unei drepte. Reciproc, dacå datele din måsuråtori (dateleempirice) se situeazå aproximativ dupå o dreaptå pe un format Gauss-normal

231



poate fi luatå în considerare ipoteza reparti¡iei normale. Desigur, acceptarea uneidistribu¡ii de tip normal va avea loc doar dupå utilizarea unor teste statistice careså confirme aceastå ipotezå

¥n mod similar, dacå logaritmii variabilei se distribuie aproximativ dupå odreaptå pe un format Gauss-normal poate fi examinatå ipoteza reparti¡ieilognormale; aceea¿i reprezentare se ob¡ine ¿i în condi¡iile în care în loc delogaritmii variabilei se reprezintå valorile efective ale acesteia, dar pe un formatlogaritmic pe axa ordonatelor ¿i format de probabilitate pe absciså.

Dupå cum se ¿tie pentru construirea unei scåri logaritmice, se extrag dintabele logaritmii (de obicei zecimali) ai numerelor de la 1 la 10 (tab. 10.3.2).

Tabelul 10.3.2

Valori necesare pentru construirea sc ării logaritmice

N lg N N lg N N lg N N lg N

1 0,00000 4 0,60206 7 0,84510 10 1,00000

2 0,30103 5 0,69897 8 0,90309 11 1,04139

3 0,47712 6 0,77815 9 0,95424 12 1,07918

Valorile lg N se reprezintå la o scarå cartezianå, iar în dreptul lor se trec

numerele N . Lungimea segmentului de la N = 1 la N = 10 este de o unitate înreprezentarea cartezianå. Tot o unitate va avea ¿i segmentul de la 10 la 100,deoarece lg 10 = 1, iar lg 100 = 2.

Pozi¡ia numerelor 20; 30; 40;... de pe segmentul [10; 100) va fi aceea¿i ca anumerelor 2; 3; 4;... pe segmentul [1; 10) etc.

Un exemplu de scarå logaritmicå este prezentat în figura 10.3.6.

Fig. 10.3.6. Construirea scării logaritmice.

Formatul care utilizeazå scara probabilitå¡ilor pe absciså ¿i o scarålogaritmicå pe ordonatå, numit format Gauss-logaritmic, este utilizat pentrureprezentarea probabilitå¡ilor de depå¿ire a reparti¡iei log-normalå, respectivpentru testarea graficå a acestei reparti¡ii.

232



233

maxi

maxiQ

m s3

La o sta¡ie hidrometricå se considerå ¿irul debitelor maxime anualeQ deprovenien¡å pluvialå înregistrate pe o perioadå de 25 de ani (tab. 10.4.1).

a) Probabilitatea de depå¿ire empiricå se determinå cu formula lui Weibull(tab. 10.4.2 col. 7):

Aplica ţia 10.4

DETERMINAREA DEBITELOR MAXIME UTILIZÂND CURBELEDE PROBABILITATE KRIŢKI-MENKELŞI PEARSON III

Tabelul 10.4.1

Debite maxime anuale

Nr.crt.

Anul

( / )

Nr.crt.

Anul maxiQ

m s3

( / ) 1 1971 374 14 1984 11792 1972 1496 15 1985 7273 1973 919 16 1986 4994 1974 582 17 1987 7065 1975 2037 18 1988 4746 1976 481 19 1989 3167 1977 444 20 1990 3378 1978 1126 21 1991 291

9 1979 1308 22 1992 145410 1980 578 23 1993 166411 1981 1779 24 1994 101412 1982 1594 25 1995 41413 1983 672

Se cere: a) Så se determine probabilitå¡ile de depå¿ire empirice ale debitelor maxime

anuale;b) Så se determine curbele probabilitå¡ilor de depå¿ire teoretice Kri¡ki-

Menkel ¿i Pearson III ¿i så se compare rezultatele.

Rezolvare:

%1001 ⋅

+=

ni

P (10.4.1)



Calculul parametrilor statistici aişirului de valorişi probabilitatea de depăşire empirică

i iQ ( ) sm / 3

QQ K ii / = 1−i K ( )21−i K ( )31−i K

1 2 3 4 5 6 1 2037 2,267 1,267 1,605 2,033 2 1779 1,1980 0,980 0,960 0,940 3 1664 1,852 0,852 0,726 0,618 4 1594 1,774 0,774 0,599 0,463 5 1496 1,665 0,665 0,442 0,294 6 1454 1,618 0,618 0,382 0,236

7 1308 1,456 0,456 0,208 0,095 8 1179 1,312 0,312 0,097 0,030 9 1126 1,253 0,253 0,064 0,016

10 1014 1,128 0,128 0,016 0,002 11 919 1,023 0,023 0,001 0,000 12 727 0,809 - 0,191 0,036 - 0,007 13 706 0,786 - 0,214 0,046 - 0,010 14 672 0,748 - 0,252 0,064 - 0,016 15 582 0,648 - 0,352 0,124 - 0,044 16 578 0,643 - 0,357 0,127 - 0,045 17 499 0,555 - 0,445 0,198 - 0,088 18 481 0,535 - 0,465 0,216 - 0,100 19 474 0,527 - 0,473 0,223 - 0,105 20 444 0,494 - 0,506 0,256 - 0,129

234



235

Ta

i iQ ( ) sm / 3

QQ K ii / = 1−i K ( )21−i K ( )31−i K 1 2 3 4 5 621 414 0,461 - 0,539 0,291 - 0,157 22 374 0,416 - 0,584 0,341 - 0,199 23 337 0,375 - 0,625 0,391 - 0,244 24 316 0,352 - 0,648 0,420 - 0,273 25 291 0,324 - 0,676 0,457 - 0,309

Total 22465 8,289 3,001

= 4⋅ = 4⋅0,59 = 2,36 (adoptat)C s C v

Q = 22465/25 = 898,6m s3

= 530,2/898,6 = 0,59C v

= 0,59 (din calcul)C s

= 530,2σ m s3



undei este numårul de ordine al valorii din ¿irul debitelor maxime ordonatdescrescåtor, iarn reprezintå numårul de valori din ¿ir.

Pentru un ¿ir statistic se definesc urmåtorii parametri caracteristici:• media aritmeticå a ¿irului:

n

Q

Q

n

ii∑

== 1 ; (10.4.2)

• abaterea aritmeticå:

QQQ ii −=∆ ; (10.4.3)

• coeficientul :K i

Q

Q K i

i = ; (10.4.4)

• abaterea medie påtraticå:

( )

n

QQn

i

i∑=

−

=σ 1

2

; (10.4.5)

pentru cazul în care numårul de valori din ¿irn este mai mic de 30, seintroduce un factor de corec¡ie la numitor:

( )1

1

2

−

−=σ

∑=

n

QQn

ii

; (10.4.6)

• coeficientul de varia¡ie :vC

( )

( )

( )1

1

11

2

21

2

−

−=

−

∆=σ=

∑∑==

n

K

Qn

Q

QC

n

ii

n

ii

v ; (10.4.7)

236



237

C s• coeficientul de asimetrie :

( ) ( )

31

3

31

3

)1(

1

)1( v

n

ii

n

ii

sCn

K

n

QQ

C⋅−

−=

σ⋅−

−=

∑∑==

C s

C s C v

C s C v

C s C v

% pQ

% pQ _

% Q K p ⋅

C v C s C v

s C v C v

% p K

% pQ

. (10.4.8)

Coeficientul de asimetrie se recomandå så se calculeze cu formula(10.4.8) numai pentru ¿iruri statistice lungi (n > 100), având în vedere eroareamare de calcul a acesteia. Dacån < 100 se recomandå adoptarea unei valori

func¡ie de coeficientul de varia¡ie:= 2⋅ dacå debitele maxime provin din topiri de zåpadå;

= 4⋅ dacå debitele maxime provin din ploi;

= 3⋅ dacå debitele sunt de provenien¡å mixtå.

b) Determinarea curbelor teoretice ale probabilitå¡ilor de depå¿ire.

• Curba teoreticå de probabilitate Kri¡ki-Menkel. Debitele maxime cu

diferite probabilitå¡i de depå¿ire utilizând curba teoreticå Kri¡ki-Menkelse ob¡in cu formula:

unde coeficien¡ii rezultå din tabelul 10.4.3,a-e, func¡ie de valoarea lui

, de probabilitatea de depå¿ire p% ¿i de raportul / .Pentru C / = 4, = 0,59 ¿i probabilitå¡ile de depå¿ire p% se ob¡in

coeficien¡ii care sunt trecu¡i în tabelul 10.4.4 coloana 2. Utilizând rela¡ia

(10.4.9) rezultå debitele maxime corespunzåtoare din tabelul 10.4.4,

coloana 3.

% p K

= , (10.4.9)



Tabelul Kritki-Menkel. Valorile coeficientului p K vs CC 1=

p%vC

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,001 1,46 1,94 2,46 2,97 3,47 3,94 4,36 4,73 5,06 5,350,01 1,38 1,81 2,26 2,70 3,15 3,57 3,95 4,31 4,64 4,920,03 1,35 1,74 2,15 2,56 2,97 3,37 3,74 4,09 4,41 4,690,05 1,34 1,71 2,10 2,49 2,89 3,27 3,64 3,98 4,29 4,580,1 1,32 1,67 2,03 2,40 2,77 3,13 3,48 3,82 4,13 4,420,3 1,28 1,59 1,91 2,23 2,56 2,89 3,21 3,53 3,84 4,140,5 1,27 1,55 1,84 2,15 2,46 2,77 3,08 3,38 3,69 3,991,0 1,24 1,49 1,76 2,03 2,30 2,59 2,88 3,16 3,46 3,753 1,19 1,39 1,60 1,82 2,04 2,27 2,50 2,75 3,01 3,295 1,17 1,34 1,52 1,70 1,50 2,10 2,30 2,53 2,76 3,02

10 1,13 1,26 1,40 1,54 1,68 1,83 1,99 2,16 2,35 2,5520 1,08 1,17 1,25 1,34 1,42 1,51 1,60 1,70 1,80 1,9025 1,07 1,13 1,20 1,26 1,33 1,39 1,46 1,52 1,59 1,6430 1,05 1,10 1,15 1,20 1,24 1,29 1,33 1,37 1,39 1,4040 1,02 1,04 1,06 1,08 1,09 1,10 1,10 1,08 1,05 0,9950 0,998 0,993 0,985 0,972 0,954 0,928 0,891 0,836 0,760 0,66560 0,978 0,943 0,909 0,870 0,824 0,768 0,698 0,613 0,512 0,40670 0,946 0,890 0,830 0,764 0,692 0,609 0,515 0,413 0,309 0,21575 0,932 0,861 0,787 0,708 0,622 0,528 0,426 0,321 0,224 0,14480 0,915 0,829 0,740 0,648 0,549 0,445 0,338 0,237 0,151 0,08890 0,873 0,748 0,623 0,500 0,378 0,264 0,165 0,092 0,045 0,01995 0,838 0,683 0,533 0,392 0,263 0,157 0,081 0,036 0,013 0,004

97 0,816 0,642 0,478 0,329 0,202 0,107 0,048 0,018 0,005 0,001

99 0,775 0,568 0,383 0,229 0,115 0,047 0,015 0,004 0,001 1 410−⋅

99,5 30,752 0,528 0,335 0,182 0,081 0,028 0,008 0,002 2 410−⋅ 510−

⋅ 99,7 10,737 0,502 0,303 0,154 0,062 0,019 0,004 0,001 9 510−

⋅ 510−⋅

99,9 1 20,707 0,451 0,247 0,108 0,036 0,008 0,001 2 410−⋅ 510−

⋅ 610−⋅

238



Tabelul Kritki-Menkel. Valorile coeficientului p K vs CC 2=p%

vC 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,001 1,49 2,09 2,82 3,68 4,67 5,78 7,03 8,40 9,89 11,50,01 1,42 1,92 2,51 3,20 3,98 4,85 5,81 5,85 7,89 9,20,03 1,38 1,83 2,36 2,96 3,64 4,39 5,22 6,11 7,08 8,10,05 1,36 1,79 2,29 2,85 3,48 4,18 4,95 5,77 6,66 7,60,1 1,34 1,73 2,19 2,70 3,27 3,89 4,57 5,30 6,08 6,90,3 1,30 1,64 2,02 2,45 2,91 3,42 3,96 4,55 5,16 5,80,5 1,28 1,59 1,94 2,33 2,74 3,20 3,68 4,19 4,73 5,31,0 1,25 1,52 1,83 2,16 2,51 2,89 3,29 3,71 4,15 4,63 1,20 1,41 1,64 1,88 2,13 2,39 2,56 2,94 3,22 3,55 1,17 1,35 1,54 1,74 1,94 2,15 2,36 2,57 2,78 3,0

10 1,13 1,26 1,40 1,53 1,67 1,81 1,94 2,06 2,19 2,3

20 1,08 1,16 1,24 1,31 1,38 1,44 1,49 1,54 1,58 1,625 1,07 1,13 1,18 1,23 1,28 1,31 1,34 1,37 1,33 1,330 1,05 1,09 1,13 1,17 1,19 1,21 1,22 1,22 1,22 1,240 1,02 1,04 1,05 1,05 1,04 1,03 1,01 0,99 0,96 0,950 1,00 0,99 0,97 0,95 0,92 0,88 0,84 0,80 0,75 0,660 0,97 0,94 0,90 0,85 0,80 0,75 0,69 0,63 0,57 0,570 0,95 0,89 0,82 0,76 0,69 0,62 0,55 0,49 0,42 0,375 0,93 0,86 0,78 0,70 0,63 0,56 0,49 0,42 0,35 0,280 0,92 0,83 0,75 0,56 0,57 0,49 0,42 0,35 0,28 0,290 0,87 0,75 0,64 0,53 0,44 0,35 0,27 0,21 0,15 0,195 0,84 0,70 0,56 0,45 0,34 0,25 0,18 0,13 0,08 0,097 0,82 0,66 0,52 0,39 0,29 0,20 0,14 0,09 0,05 0,099 0,78 0,59 0,44 0,31 0,21 0,13 0,08 0,04 0,02 0,0

99,5 0,76 0,56 0,40 0,27 0,17 0,10 0,05 0,03 0,01 0,099,7 0,75 0,54 0,37 0,24 0,15 0,08 0,04 0,02 0,01 0,099,9 0,72 0,49 0,32 0,19 0,11 0,05 0,02 0,01 0,00 0,0

239




vC 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,001 1,50 2,28 3,35 4,69 8,30 8,21 10,42 12,86 15,52 18,20,01 1,42 2,05 2,86 3,78 5,00 6,28 7,70 9,21 11,00 12,80,03 1,39 1,99 2,62 3,41 4,34 5,48 6,59 7,74 9,14 10,60,05 1,36 1,88 2,50 3,23 4,10 5,05 6,07 7,11 8,32 9,60,1 1,35 1,80 2,36 3,00 3,75 4,58 5,43 6,31 7,33 8,40,3 1,31 1,69 2,12 2,64 3,22 3,82 4,44 5,11 5,84 6,60,5 1,29 1,63 2,02 2,48 3,00 3,50 4,00 4,58 5,21 5,81,0 1,25 1,55 1,88 2,25 2,65 3,07 3,49 3,92 4,40 4,83 1,21 1,42 1,57 1,91 2,17 2,42 2,70 2,94 3,22 3,45 1,17 1,36 1,54 1,75 1,94 2,14 2,35 2,51 2,70 2,8

10 1,14 1,26 1,39 1,52 1,63 1,76 1,87 1,97 2,09 2,1

20 1,09 1,15 1,23 1,29 1,33 1,38 1,42 1,45 1,47 1,425 1,07 1,12 1,17 1,21 1,23 1,26 1,27 1,29 1,28 1,230 1,05 1,09 1,12 1,14 1,15 1,15 1,16 1,15 1,14 1,140 1,02 1,03 1,03 1,03 1,01 1,00 0,97 0,95 0,91 0,850 0,99 0,93 0,96 0,93 0,90 0,85 0,82 0,73 0,74 0,760 0,97 0,93 0,89 0,84 0,79 0,74 0,59 0,65 0,60 0,570 0,94 0,88 0,82 0,76 0,70 0,64 0,58 0,53 0,47 0,475 0,93 0,86 0,79 0,72 0,65 0,58 0,52 0,47 0,41 0,380 0,91 0,83 0,75 0,67 0,60 0,53 0,47 0,41 0,36 0,390 0,87 0,76 0,66 0,57 0,48 0,41 0,34 0,29 0,24 0,195 0,84 0,71 0,59 0,49 0,41 0,33 0,26 0,21 0,17 0,197 0,83 0,63 0,55 0,45 0,35 0,28 0,22 0,17 0,13 0,199 0,79 0,62 0,48 0,37 0,29 0,21 0,16 0,12 0,08 0,0

99,5 0,77 0,59 0,45 0,34 0,25 0,18 0,12 0,09 0,05 0,099,7 0,76 0,57 0,43 0,31 0,23 0,16 0,12 0,08 0,05 0,099,9 0,73 0,53 0,38 0,27 0,19 0,13 0,09 0,06 0,03 0,0

240




vC 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,001 1,58 2,50 3,82 5,60 8,10 11,00 14,20 17,50 20,60 24,00,01 1,51 2,20 3,15 4,35 5,90 7,70 9,57 11,40 13,55 15,60,03 1,45 2,05 2,87 3,85 5,05 6,35 7,81 9,15 10,70 12,20,05 1,40 1,97 2,72 3,60 4,70 5,75 7,00 8,20 9,46 10,90,1 1,38 1,87 2,53 3,29 4,20 5,07 6,05 7,02 8,12 9,20,3 1,34 1,73 2,23 2,61 3,45 4,09 4,75 5,46 6,18 6,90,5 1,30 1,67 2,10 2,60 3,13 3,69 4,25 4,81 5,38 6,01,0 1,25 1,58 1,94 2,34 2,77 3,17 3,59 4,01 4,43 4,93 1,19 1,43 1,67 1,92 2,18 2,44 2,67 2,90 3,12 3,35 1,17 1,36 1,55 1,75 1,93 2,11 2,28 2,45 2,60 2,7

10 1,11 1,26 1,38 1,51 1,61 1,72 1,82 1,90 2,00 2,0

20 1,08 1,15 1,21 1,26 1,31 1,34 1,37 1,40 1,41 1.425 1,06 1,11 1,16 1,19 1,21 1,23 1,23 1,24 1,25 1.230 1,05 1,08 1,10 1,12 1,13 1,13 1,12 1,12 1,10 1,040 1,02 1,03 1,02 1,01 0,99 0,97 0,95 0,93 0,90 0,850 0,99 0,98 0,95 0,92 0,89 0,85 0,82 0,78 0,75 0,760 0,97 0,93 0,89 0,84 0,79 0,75 0,70 0,66 0,62 0,570 0,94 0,88 0,82 0,76 0,71 0,65 0,60 0,55 0,50 0,475 0,93 0,86 0,79 0,72 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,480 0,91 0,83 0,75 0,68 0,61 0,55 0,50 0,45 0,40 0,390 0,88 0,77 0,57 0,59 0,51 0,44 0,38 0,33 0,29 0,295 0,85 0,72 0,61 0,52 0,44 0,37 0,32 0,26 0,22 0,197 0,83 0,69 0,58 0,48 0,40 0,33 0,27 0,23 0,18 0,199 0,80 0,64 0,52 0,42 0,34 0,27 0,22 0,17 0,14 0,1

99,5 0,78 0,61 0,49 0,39 0,30 0,24 0,19 0,15 0,11 0,099,7 0,77 0,60 0,47 0,37 0,29 0,22 0,17 0,13 0,10 0,099,9 0,75 0,56 0,43 0,33 0,25 0,19 0,14 0,10 0,08 0,0

241



242


vC 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,001 1,67 2,75 4,36 6,87 9,90 13,35 17,05 21,15 25,30 28,50,01 1,54 2,34 3,43 4,91 6,65 8,70 10,70 12,71 15,05 17,40,03 1,47 2,15 3,07 4,23 5,50 6,95 8,43 9,96 11,60 13,30,05 1,43 2,06 2,37 3,90 5,05 6,24 7,51 8,82 10,25 11,70,1 1,40 1,95 2,86 3,51 4,44 5,40 6,43 7,54 8,64 9,80,3 1,34 1,78 2,31 2,92 3,52 4,22 4,91 5,69 6,41 7,10,5 1,31 1,70 2,16 2,69 3,21 3,77 4,34 4,93 5,52 6,11,0 1,27 1,61 1,98 2,37 2,79 3,21 3,65 4,06 4,50 4,93 1,20 1,44 1,67 1,93 2,17 2,42 2,62 2,88 3,10 3,35 1,17 1,36 1,55 1,74 1,90 2,08 2,22 2,41 2,54 2,7

10 1,13 1,26 1,37 1,49 1,60 1,70 1,79 1,86 1,94 2,0

20 1,08 1,15 1,21 1,25 1,30 1,32 1,34 1,36 1,36 1,325 1,06 1,11 1,15 1,17 1,20 1,20 1,20 1,22 1,22 1,230 1,05 1,08 1,09 1,10 1,10 1,11 1,10 1,10 1,09 1,040 1,02 1,02 1,01 1,00 0,98 0,97 0,94 0,92 0,90 0,850 0,99 0,97 0,94 0,92 0,88 0,85 0,82 0,78 0,75 0,760 0,97 0,93 0,88 0,84 0,79 0,75 0,71 0,67 0,63 0,570 0,94 0,88 0,82 0,77 0,71 0,66 0,61 0,56 0,52 0,475 0,93 0,86 0,79 0,73 0,57 0,62 0,56 0,51 0,47 0,480 0,91 0,83 0,75 0,69 0,63 0,57 0,52 0,47 0,42 0,390 0,88 0,77 0,68 0,61 0,53 0,47 0,41 0,36 0,32 0,295 0,84 0,73 0,63 0,55 0,47 0,40 0,34 0,29 0,25 0,297 0,82 0,70 0,60 0,51 0,43 0,36 0,31 0,28 0,22 0,199 0,78 0,66 0,55 0,45 0,37 0,31 0,25 0,20 0,15 0,1

99,5 0,76 0,63 0,52 0,42 0,34 0,28 0,23 0,18 0,14 0,199,7 0,75 0,52 0,51 0,41 0,32 0,26 0,21 0,16 0,12 0,199,9 0,73 0,59 0,47 0,37 0,29 0,23 0,18 0,14 0,10 0,0



243

p% K p%

Tabelul 10.4.4

Curbele de probabilitate teoretică Kriţki-Menkelşi Pearson III

( ) M K Q p −% Φ p% ( ) III PQ p%

1 2 3 4 50,1 4,980 4475,0 6,400 4291,71 3,130 2812,6 3,760 2892,13 2,410 2165,6 2,580 2266,45 2,090 1878,1 2,010 1964,2

10 1,710 1536,6 1,260 1566,620 1,330 1195,1 0,530 1179,630 1,130 1015,4 0,130 967,540 0,972 873,4 0,135 970,250 0,854 767,4 - 0,345 715,760 0,755 678,4 - 0,507 629,870 0,660 593,1 - 0,625 567,280 0,560 503,2 - 0,727 513,290 0,450 404,4 - 0,801 473,997 0,340 305,5 - 0,835 455,999 0,280 251,6 - 0,850 448,0

• Curba teoreticå de probabilitate Pearson III. Valorile debitelor maximecu diverse probabilitå¡i de depå¿ire se determinå utilizând rela¡ia:% p

%% 1 pv p CQQ Φ⋅+=

Φ p%

% p v

unde reprezintå abaterea ordonatei curbei de probabilitate, corespunzåtorunei probabilitå¡i de depå¿ire , considerândC = 1, fa¡å de valoarea medieunitarå (Q = 1

, (10.4.10)

m s3 ). Valorile lui % pΦ se determinå din tabelul 10.4.5

(Foster-Ribkin) func¡ie de ¿i p%. Se men¡ioneazå cå aceste valori suntvalabile pentru raportul / > 2.sC

C s C v

% pΦ ConsiderândC = 2,36, din tabelul 10.4.5 se ob¡in prin interpolare valorile

, prezentate în coloana 4 din tabelul 10.4.4. Debitele maxime cu diverseprobabilitå¡i de depå¿ire determinate pe baza formulei (10.4.11) sunt trecute întabelul 10.4.4, coloana 5.

s



Valorile abaterilor curbei de asigurare % pφ (dupa Foster - Rîbkin)

% pφ p%sc 0,01 0,1 1 3 5 10 20 25

0,0 3,72 3,09 2,33 1,88 1,64 1,28 0,84 0,670,2 4,16 3,38 2,48 1,96 1,69 1,30 0,83 0,650,4 4,61 3,67 2,62 2,04 1,74 1,32 0,82 0,630,6 5,05 3,96 2,77 2,12 1,79 1,33 0,80 0,610,8 5,50 4,25 2,90 2,18 1,83 1,34 0,78 0,581,0 5,96 4,54 3,03 2,25 1,87 1,34 0,76 0,551,2 6,41 4,82 3,15 2,31 1,90 1,34 0,73 0,521,4 6,87 5,11 3,28 2,37 1,93 1,34 0,71 0,491,6 7,31 5,39 3,40 2,42 1,96 1,33 0,68 0,461,8 7,76 5,66 3,50 2,46 1,98 1,32 0,64 0,422,0 8,21 5,91 3,60 2,51 2,00 1,30 0,61 0,392,2 - 6,20 3,70 2,54 2,01 1,28 0,57 0,352,4 - 6,47 3,78 2,60 2,01 1,25 0,52 0,292,6 - 6,73 3,87 2,63 2,01 1,21 0,48 0,252,8 - 6,99 3,95 2,65 2,02 1,18 0,44 0,223,0 - 7,25 4,02 2,66 2,02 1,13 0,39 0,193,2 - 7,35 4,11 2,66 1,96 1,09 0,35 0,153,4 - 7,54 4,18 2,66 1,94 1,06 0,31 0,113,6 - 7,72 4,24 2,66 1,93 1,03 0,28 0,0643,8 - 7,97 4,29 2,65 1,90 1,00 0,24 0,032

244



245

Ta

% pφ p%sc 50 60 70 75 80 90 95 97

0,0 0,00 -0,25 -0,52 -0,67 -0,84 -1,28 -1,64 -1,880,2 -0,03 -0,28 -0,55 -0,69 -0,85 -1,26 -1,58 -1,790,4 -0,07 -0,31 -0,57 -0,71 -0,85 -1,23 -1,52 -1,700,6 -0,10 -0,34 -0,59 -0,72 -0,85 -1,20 -1,45 -1,610,8 -0,13 -0,37 -0,60 -0,73 -0,85 -1,17 -1,38 -1,521,0 -0,16 -0,39 -0,62 -0,73 -0,85 -1,13 -1,32 -1,421,2 -0,19 -0,42 -0,63 -0,74 -0,84 -1,08 -1,24 -1,331,4 -0,22 -0,44 -0,64 -0,73 -0,83 -1,04 -1,17 -1,231,6 -0,25 -0,46 -0,64 -0,73 -0,81 -0,99 -1,10 -1,141,8 -0,28 -0,48 -0,64 -0,72 -0,80 -0,94 -1,02 -1,062,0 -0,31 -0,49 -0,64 -0,71 -0,78 -0,90 -0,95 -0,972,2 -0,33 -0,50 -0,64 -0,69 -0,75 -0,84 -0,88 -0,902,4 -0,35 -0,51 -0,62 -0,67 -0,72 -0,79 -0,82 -0,832,6 -0,37 -0,51 -0,61 -0,66 -0,70 -0,75 -0,76 -0,772,8 -0,39 -0,51 -0,60 -0,64 -0,67 -0,70 -0,71 -0,713,0 -0,40 -0,51 -0,59 -0,62 -0,64 -0,66 -0,67 -0,673,2 -0,41 -0,51 -0,57 -0,59 -0,61 -0,62 -0,63 -0,633,4 -0,41 -0,50 -0,55 -0,57 -0,58 -0,59 -0,59 -0,593,6 -0,42 -0,49 -0,54 -0,54 -0,55 -0,56 -0,56 -0,563,8 -0,42 -0,48 -0,51 -0,52 -0,52 -0,53 -0,53 -0,53



Curbele teoretice Kri¡ki-Menkel ¿i Pearson III, trasate pe baza valorilor astfelob¡inute (tab. 10.4.4 col. 3 ¿i 5) sunt reprezentate în figura 10.4.1. Analizândcurbele din aceastå figurå rezultå cå pentru probabilitå¡i mici, inferioare lui0,1%, debitele maxime ob¡inute utilizând curba Kri¡ki-Menkel sunt mai maridecât debitele rezultate din curba Pearson III.

Fig. 10.4.1. Curbe de probabilitate.

Curbele teoretice de probabilitate permit în general determinarea debitelormaxime în intervalul 0,01% - 5%, adicå în zona unde datoritå ¿irului scurt dedate din måsuråtori nu existå valori pe curba empiricå.

246



11

CORELA ŢII

Aplicaţia 11.1

CORELAŢIA LINEAR Ă SIMPL Ă

Pentru anii 1950-1980 s-au selec¡ionat debitele maxime anuale ¿i volumulundelor de viiturå corespunzåtoare (tab. 11.1.1) pentru un râu din ¡arå.

Se cere :a) Så se determine coeficientul de corela¡ie între volumul ¿i debitul maxim

al undelor de viiturå.b) Så se calculeze ecua¡iile dreptelor de regresie între volumele ¿i debitele

maxime, respectiv între debitele maxime ¿i volumele corespunzåtoare.

Rezolvare:Tabelul 11.1.1

Debitele maximeşi volumele corespunzătoare pentru perioada 1950-1980

Anul max Q W Anul max Q W Anul max Q W

s / m3 36m10 s / m3 36m10 s / m3 36m10 1950 835 107 1960 375 41,4 1970 1215 1101951 622 61,2 1961 1225 185 1971 385 40,21952 975 126 1962 410 31,1 1972 1475 185

1953 825 89,4 1963 617 79,3 1973 925 1261954 515 58,3 1964 373 35,6 1974 595 58,31955 1035 129 1965 1295 210 1975 1875 2351956 527 46,1 1966 935 111 1976 476 70,11957 875 111 1967 576 59,4 1977 450 59,01958 415 41,2 1968 1000 142 1978 1125 1381959 700 68,3 1969 570 64,2 1979 1295 152

1980 593 68,4

247



a) Intensitatea legåturii liniare dintre douå variabile aleatoare se apreciazåprin intermediul coeficientului de corela¡ie, care se calculeazå cu formula:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

⋅−=

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

= == =

= ==

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

y yn x x n

y x y x n

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1 11 . (11.1.1)

¥n cazul în care variabilele aleatoare sunt debitul, respectiv volumul,coeficientulr capåtå expresia:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

⋅−=

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

= == =

= ==

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

W W nQQn

W QW Qn

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1 11 . (11.1.2)

¥n hidrologie se acceptå cå existå o corela¡ie liniarå bunå între douå

variabile, dacå 0,7 ≤≤ r 1.Calculul coeficientului de corela¡ie se efectueazå tabelar (tab. 11.1.2).

Tabelul 11.1.2

Calcularea elementelor necesare pentru determinarea coeficientului de corela ţie

Anul iQ iW 2iQ 2

iW iQ iW

1950 835 107 697225 11449 893451951 622 61,2 386884 3745 380661952 975 126 950625 15876 1228501953 825 89,4 680625 7992 737551954 515 58,3 265225 3399 300241955 1035 129 1071225 16641 1335151956 527 46,1 277729 2125 242951957 875 111 765625 12321 971251958 415 41,2 172225 1697 170981959 700 68,3 490000 4665 478101960 375 41,4 140625 1714 155251961 1225 185 1500625 34225 226625

248




Anul iQ iW 2iQ 2

iW iQ iW

1962 410 31,1 168100 967 127511963 617 79,3 380689 6288 489281964 373 35,6 139129 1267 132791965 1295 210 1677025 44100 2719501966 935 111 874225 12321 1037851967 576 59,4 331776 3528 342141968 1000 142 1000000 20164 1420001969 570 64,2 324900 4121 36594

1970 1215 110 1476225 12100 1336501971 385 40,2 148225 1616 154771972 1475 185 2175625 34225 2728751973 925 126 855625 15876 1165501974 595 58,3 354025 3399 346881975 1875 235 3515625 55225 4406251976 476 70,1 226576 4914 333681977 450 59,0 202500 3481 265501978 1125 138 1265625 19044 1552501979 1295 152 1677025 23104 1968401980 593 68,4 351649 4679 40561∑ 25109 3038,5 24543207 386268 3045968

( ) ( )==

−⋅−⋅

⋅−⋅=1889641618118757

251092454320731303938626831

30392510930459683122

r 0,959.

Coeficientul de corela¡ie ob¡inut indicå o legåturå foarte bunå între volumeleundelor de viiturå ¿i debitele maxime corespunzåtoare.

b) Determinarea ecua¡iei dreptei de regresie. Dupå cum se ¿tie, ocorela¡ie reprezintå valorile medii condi¡ionate y ale variabilei explicate înraport cu valorile variabilei explicative x . ¥n cazul unei corela¡ii liniare, aceastålegåturå statisticå este de tipul:

bx a y += . (11.1.3)

Pentru o valoare particularå i x x = se va nota prin , valoarea måsuratå avariabilei explicate ¿i cu valoarea teoreticå a variabilei y, careevident, verificå ecua¡ia dreptei de regresie (fig. 11.1.1).

mi y

ici bx a y +=

249



Fig. 11.1.1. Principiul metodei celor mai mici pătrate.

Se dore¿te ca parametriia ¿i b så fie astfel determina¡i încât suma påtratelorabaterilor dintre valorile ¿i så fie minimå:c

i y mi y

( ) ( ) min1

2

1

2 →−+=−= ∑∑==

n

i

mii

n

i

mi

ci ybx a y y F . (11.1.4)

Dupå cum se ¿tie, punctele sta¡ionare ale unei func¡ii se ob¡in prin anulareaderivatelor par¡iale ale acesteia în raport cu necunoscutele; în cazul de fa¡å,dupå derivare în raport cua ¿i b, rezultå:

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−+=∂∂

=⋅−+=∂∂

∑

∑

=

=

n

ii

mii

n

i

mii

x ybx ab

F

ybx aa

F

1

1

02

012

(11.1.5)

Prin rearanjarea termenilor, se ob¡ine urmåtorul sistem de douå ecua¡ii cudouå necunoscute:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

∑ ∑ ∑

∑ ∑

= = =

= =

n

i

n

i

n

i

miiii

n

i

n

i

mii

y x x b x a

y x bna

1 1 1

2

1 1 (11.1.6)

250



de unde rezultå parametriia ¿ib ai dreptei de regresie.Pentru cazul examinat, considerând debitul ca variabila independentå, iar

volumul ca variabila dependentå, rezultå:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

30459682454320795102

30392510931

ba

ba (11.1.7)

=⋅−⋅

⋅−⋅==

∑∑

∑

∑∑

∑∑

==

=

==

==

25109251092454320731304596825109245432073039

2

11

1

2

11

11

i

n

ii

n

i

in

i

i

n

i

mii

n

i

in

i

mi

n

i

x x

x n

x y x

x y

a - 14,53

(11.1.8)

=⋅−⋅

⋅−⋅==

∑∑

∑

∑∑

∑

==

=

==

=

25109251092454320731251093039304596831

2

11

1

11

1

i

n

ii

n

i

in

i

mii

n

ii

n

i

min

i

x x

x n

y x x

yn

b 0,13897

Ecua¡ia dreptei de regresie este deci:

QW ⋅+−= 13897,053,14 . (11.1.9)

Pentru trasarea dreptei se calculeazå volumele ¿i care corespundunor valori particulare ¿i ale debitului; dreapta cåutatå va trece prinpunctele de coordonate ( , ) ¿i ( , ).

1W 2W

1Q 2Q

1Q 1W 2Q 2W

251



Aplica ţia 11.2

DETERMINAREA INTERVALELOR DE ÎNCREDEREPENTRU REGRESIA LINEARÅ

Pentru perioada 1958-1997 s-au înregistrat în lunile aprilie, la douå sta¡iimeteorologice X ¿iY , situate în aceea¿i zonå climaticå, precipita¡iile prezentate în tabelul 11.2.1.

Tabelul 11.2.1

Precipitaţii înregistrate în luna aprilie (cm)Anul X Y Anul X Y

1958 11,17 14,47 1978 10,03 15,601959 7,97 11,30 1979 11,31 17,871960 13,89 15,96 1980 5,10 10,071961 13,12 15,22 1981 10,04 12,511962 8,59 10,49 1982 12,32 15,191963 6,10 6,61 1983 9,56 13,201964 11,03 12,77 1984 9,41 12,971965 9,76 13,30 1985 4,66 4,661966 7,23 8,69 1986 9,01 8,281967 5,80 8,89 1987 11,06 12,921968 10,49 12,47 1988 10,33 11,651969 9,27 11,36 1989 8,74 10,621970 10,13 12,89 1990 12,21 15,891971 5,57 7,77 1991 7,36 10,041972 6,56 7,97 1992 9,47 11,931973 9,76 13,56 1993 10,15 13,261974 8,11 11,66 1994 6,41 7,321975 11,00 16,33 1995 8,84 11,051976 13,02 15,91 1996 9,52 11,761977 5,67 8,17 1997 12,67 16,08

Se cere: a) Så se calculeze coeficien¡iia ¿i b ai regresiei lineare ¿i

coeficientul de corela¡ie;)( X f Y =

b) Så se verifice dacå coeficientula diferå semnificativ de valoareapentru nivelul de încredere 95%. La ce nivel de încredere coeficientula diferå semnificativ de

0'=a

0'=a ?c) Så se verifice dacå coeficientulb diferå semnificativ de raportul

b ’ dintre media ¿irului de valoriY ¿i media ¿irului de valori X . La cenivel de încredere acestå diferen¡å devine semnificativå ?

253



d) Så se calculeze eroarea standard de determinare a luiY ¿i så se trasezeintervalele de încredere 95%, utilizând un procedeu aproximativ,respectiv formula exactå. ¥n cazul formulei exacte se vor folosi 5 punctesituate pe dreapta de regresie, corespunzåtoare urmåtoarelor valori ale

abscisei: min X ; ; ;00,71 = X _ X 6,112 = X ; .max X

Rezolvare:

¥n calculele urmåtoare intervin o serie de expresii, ale cåror valori au fostcalculate în mod similar ca la aplica¡ia 11.1, tabelul 11.1.2. Expresiile ¿ivalorile corespunzåtoare astfel determinate sunt urmåtoarele:

34,3731

=∑=

n

ii X ; ; ;97,3705

1

2 =∑=

n

ii X 86,478

1=∑

=

n

iiY

; .3,61011

2 =∑=

n

iiY 7,4723

1=∑

=

n

iii Y X

a) Ecua¡ia dreptei de regresieY = f ( X ) este:

Y = a + bX,

unde a ¿i b sunt parametri, care se determinå utilizând urmåtoarele ecua¡iiob¡inute prin aplicarea metodei celor mai mici påtrate:

( )2527,1

34,37397,370540

7,472334,37386,47897,370522

11

2

1 111

2

=−⋅

⋅−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

−=

∑∑

∑ ∑∑∑

==

= ===

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

X X n

Y X X Y X

a

(11.2.1)

( )b

n X Y X Y

n X X

ii

n

i ii

n

ii

n

ii

ni

i

n=

−

−⎛ ⎝ ⎜⎜

⎞ ⎠⎟⎟

= ⋅ − ⋅

⋅ −== = =

= =

∑ ∑ ∑∑ ∑

1 1 1

2

1 1

2 240 4723 7 373 34 478 86

40 3705 97 373 3411484, , ,

, ,, .

Ecua¡ia dreptei de regresie este:

Y = 1,2527 + 1,1484 X . (11.2.2)

254



Coeficientul de corela¡ie se determinå cu urmåtoarea formulå:

r n X Y X Y

n X X n Y Y

ii

n

i ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

=−

−⎛ ⎝ ⎜⎜

⎞ ⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

−⎛ ⎝ ⎜⎜

⎞ ⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= = =

= = = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1

2

1 1

22

1 1

21 2 / ; (11.2.3)

( )( )r = ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=40 4723 7 373 34 478 86

40 3705 97 373 34 40 61013 478 860 89

2 2 1 2

, , ,

, , , ,,

/ .

Valoarea ob¡inutå pentru coeficientul de corela¡ie indicå o legåturå statisticåfoarte bunå între valorile precipita¡iilor de la cele douå sta¡ii.

b) Eroarea standard de determinare a parametruluia se calculeazå curela¡ia (Shahin, 1979):

S a

( )

2 / 1

1

2

21

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−+=

∑=

∧

n

ii

Y a

X X

X n

SS , (11.2.4)

unde:

X este media precipita¡iilor de la sta¡ia X ; ∑=

=n

ii X

n X

1.

1

- numårul de valori din ¿ir;n

- devia¡ia standard a reziduurilor∧

Y S .iξ

Reziduurile iξ reprezintå diferen¡ele dintre valorile ale precipita¡iilorde la sta¡ia Y, calculate pe baza ecua¡iei de regresie (11.2.2) ¿i valorilemåsurate ale precipita¡iilor de la aceea¿i sta¡ie:

ciY

miY

.m

icii Y Y −=ξ

255



¥n aceste condi¡ii, devia¡ia standard a reziduurilor are expresia:

S Y ∧

( ) ( )∑∑== −

−=

−ξ

=n

i

mi

cin

i

i

n

Y Y

n 1

2

1

2

2

)(

2 . (11.2.5)

Valorile necesare pentru calculul erorii standard sunt urmåtoarele:S a

06,78)(1

2

1

2 =−=ξ ∑∑==

n

i

mi

ci

n

ii Y Y ;

S Y ∧

( ) =

−=

−

−= ∑

= 24006,78

2

)(

1

2n

i

mi

ci

n

Y Y 1,433 cm;

∑=

==n

ii X

n X

133,9

1;

( ) 4,2211

2 =−∑=

n

ii X X .

¥nlocuind aceste valori în ecua¡ia (11.2.4), rezultå:

( )cm9265,0

4,22133,9

401

433,11

2 / 12

2 / 1

1

2

2=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+=

∑=

∧

n

ii

Y a

X X

X

nSS

Valoareat corespunzåtoare testului Student se calculeazå cu rela¡ia:

aSaa

t '−= , (11.2.6)

undea este temenul liber al ecua¡iei dreptei de regresie, ob¡inut pe baza datelorde calcul (rela¡ia 11.2.2), iar este o valoare oarecare a luia.'a

256



Rezultå:

35,19265,02527,1'

==−

=aS

aat .

Numårul gradelor de libertate are valoarea:

v = n - 2 = 40 - 2 = 38.

Presupunând nivelul de semnifica¡ieα = 5%, pentru un numårv = 38 degrade de libertate, valoarea criticå pentrut (tab. 11.2.2) este:

t cr = 2,025.

Deoarece valoarea ob¡inutå pentrut este mai micå decât :cr t

,025,235,1 =<= cr t t

rezultå cå parametrula nu diferå semnificativ de valoarea 0' =a pentru nivelulde încredere 95%.

Calculul nivelului de încredere pentru care parametrul 0' =a diferå semni-

ficativ de valoarea calculatå, presupune o integrare a densitå¡ii de reparti¡ieStudent în intervalul (-1,35; 1,35); valoarea corespunzåtoare a ariei densitå¡ii dereparti¡ie este egalå cu 0,84, ceea ce reprezintå un nivel de încredere de 84%.Probabilitatea ca valoarea respectivå så se situeze în afara intervalului estedestul de ridicatå, respectiv de 16%.

Trebuie semnalat totu¿i cå realizarea unui astfel de program de calculpresupune un efort important de programare, respectiv un algoritm de integrarenumericå cu o precizie ridicatå.

c) Valorile medii ale precipita¡iilor înregistrate la cele douå sta¡ii sunt:

,97,11;33,9 _ _

== Y X

iar raportul dintre media precipita¡iilor la sta¡iaY ¿i media precipita¡iilor la sta¡ia X are valoarea:

283,133,997,11

===′ X

Y b . (11.2.7)

257



Eroarea standard cu care se determinå parametrulb are expresia:

( )2 / 1

1

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=

∑=

∧

n

ii

Y b

X X

SS . (11.2.8)

Valorile numåråtorului, respectiv numitorului, au fost calculate anterior:

S Y ∧

( ) =

−

−= ∑

=

n

i

mi

ci

n

Y Y

1

2

2

)( 1,433 cm;

( ) 4,2211

2 =−∑=

n

ii X X .

¥n aceste condi¡ii, eroarea standard de determinare a parametruluib arevaloarea:

( ) ( ) ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=∑=

∧

2 / 12 / 1

1

2 4,221

433,1n

ii

Y b

X X

SS 0,0963 cm. (11.2.8)

Valoarea calculatå a luit este:

4,10963,0

283,11484,1 =−=′−=bSbb

t

undeb reprezintå panta dreptei de regresie (rela¡ia 11.2.2).Pentru nivelul de semnifica¡ieα = 5% ¿i numårul gradelor de libertatev =

38, din tabelul 11.2.2 s-a ob¡inut=cr t 2,025.Având în vedere cåt = 1,4 < = 2,025, rezultå cå valoarea calculatå a

parametruluib nu diferå semnificativ det cr

′b pentru nivelul de încredere 95%.Calculând integrala densitå¡ii de reparti¡ie Student pentru intervalul (-1,4: 1,4)se ob¡ine valoarea 0,85, ceea ce corespunde unui nivel de încredere de 85%;Probabilitatea ca valoarea respectivå så se situeze în afara intervalului estedestul de ridicatå, respectiv de 15%.

259



d) Eroarea standard de determinare a luiY utilizând ecua¡ia de regresie(11.2.1) are conform rela¡iei (11.2.5) valoarea: = 1,433 cm.∧

Y S

Intervalul de încredere 95% pentru dreapta de regresie (valorilei X Y medii

ale variabilei explicateY condi¡ionate de valorile ale variabilei explicative)poate fi determinat aproximativ prin trasarea a douå linii paralele cu dreapta deregresie, situate la distan¡ad de aceasta (fig. 11.2.1):

i X

d = =433,1025,2 ⋅±=± ∧

Y St ±2,9 cm .

Intervalele de încredere pot fi determinate ¿i exact utilizând formula:

iY i St Y ± , (11.2.9)

unde:

( )

( )

2 / 1

2

211

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−++=

∑∧

X X

X X

nSS

i

iY Y i

. (11.2.10)

Totodatå, , adicå valorile , sunt ob¡inute prin înlocuirea

absciselor în ecua¡ia (11.2.2) a dreptei de regresie.i X i Y Y

_= iY

i X

Se reaminte¿te cå∧= 1,433 cm ¿it = 2,025. Calculul intervalelor de încredere pentru cele 5 puncte cerute se prezintå în tabelul 11.2.3.

Y S

Tabelul 11.2.3

Calculul intervalelor de încredere

X i [cm]

Y i [cm]

t S Y i [cm]

Y i - t S Y i

[cm]

Y i + t S Y i

[cm]4,66 6,6 3,074 3,526 9,6747,00 9,29 2,972 6,318 12,2629,33 11,97 2,9 9,07 14,8711,6 14,57 2,97 11,6 17,5413,89 17,2 3,067 11,133 20,267

260



Fig. 11.2.1. Linia de regresie şi intervalele de încrederepentru corelaţia dintre precipitaţiile din luna aprilie,

înregistrate la două staţii meteorologice.

Unind punctele de coordonate (, - ) se ob¡ine limita inferioarå aintervalelor de încredere; în mod similar, prin unirea punctelor (, + )

se ob¡ine limita superioarå (fig. 11.2.1).

i X iY iY St i X iY

iY St

261



Aplica ţia 11.3

CORELAŢIA NELINEAR Ă SIMPL Ă

¥n general, pozi¡ia sta¡iilor hidrometrice dintr-un bazin hidrografic nucorespunde cu amplasamentul viitoarelor lucrårilor hidrotehnice (prize, stavile,baraje etc.). Folosind debitele înregistrate la sta¡iile hidrometrice, se pot stabili înså valorile debitelor maxime în orice sec¡iune de pe cursul de apå principalsau afluen¡i. Una dintre modalitå¡i constå în a construi corela¡ii neliniare deforma:

a

p F

H k q ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛

=max

% , (11.3.1)unde:

este debitul maxim specific cu probabilitatea de depå¿ire p%; elreprezintå valoarea medie a contribu¡iei unei suprafe¡e

unitare ( sau ha) la formarea debitului maxim;

max% pq

2km F - suprafa¡a bazinului hidrografic corespunzåtor punctuluiinteresat;

H - altitudinea medie a bazinului hidrografic considerat;k ¿i sunt parametrii care trebuie determina¡i prin metoda celor mai

mici påtrate.

a

O corela¡ie utilizatå în mod uzual este cea dintre debitul specific ¿i

variabila independentå globalå H /

max%1q

F . Valorile necesare pentru un astfel decalcul sunt prezentate în tabelul 11.3.1.

Tabelul 11.3.1

Valorile şi H /max%1q F

i F

H max%1q i

F

H max%1q i

F

H max%1q

1 5,55 250 7 29,16 888 13 48,61 16382 6,94 388 8 27,77 944 14 43,05 17223 9,72 583 9 22,22 944 15 83,33 20554 13,88 694 10 22,22 1055 16 118,05 30555 18,05 750 11 47,22 1222 17 123,61 31116 22,22 861 12 51,38 1611 18 172,22 3888

262



Se cere så se determine parametriik ¿i ai corela¡iei din formula (11.3.1).a

Rezolvare:

Pentru determinarea parametrilor corela¡iei dintre ¿imax% pq

F H se va utiliza

metoda celor mai mici påtrate:

→⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ = ∑

=

n

ii p

a

i

i q F

H k F

1

2

max% min. (11.3.2)

Anularea derivatelor în raport cu cei doi parametri conduce la un sistem dedouå ecua¡ii neliniare, relativ dificil de rezolvat.

Ca atare, se procedeazå la liniarizarea rela¡iei (11.3.1) prin logaritmare:

lg = lgk + max% pq lg⋅a

F H . (11.3.3)

¥n sistemul de coordonate (lg F

H , lg ) ecua¡ia (11.3.3) reprezintå o

dreaptå. ¥n continuare, pentru evaluarea parametrilor acestei drepte de regresiese aplicå metoda celor mai mici påtrate :

max% pq

( ) →−= ∑=

n

i

mi p

t i p qq F

1

2max%

max% lglg min, (11.3.4)

unde reprezintå debitul specific måsurat corespunzåtor unei variabile

agregat

m pq max

%

F H , iar este valoarea aferentå aceleia¿i mårimi, dar situatå pe

curba teoreticå.

t pq max

%

Din combinarea rela¡iilor (11.3.4) ¿i (11.3.3) rezultå:

→⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⋅+= ∑=

n

i

mi p

iq

F H

ak F1

2max%lglglg min. (11.3.5)

¥n aceastå expresie se introduc urmåtoarele nota¡ii:

263



A = lgk ;a B = . (11.3.6)

ii

F

H X ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ =lg ;

;it i BX AY +=

m

i pmi qY max

%lg= . (11.3.7)

Cu aceste nota¡ii, se observå cå minimizarea func¡iei (11.3.5) revine de faptla determinarea parametrilor unei drepte de ecua¡ie:Y = A + B X :

. (11.3.9)(2

1∑=

−+=n

i

mii Y BX A F )

Se ajunge la urmåtorul sistem de ecua¡ii liniare:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

∑ ∑∑

∑∑

= ==

==

n

i

n

i

miii

n

ii

n

i

mi

n

ii

Y X X B X A

Y X BnA

1 1

2

1

11 (11.3.10)

Valorilei

i F

H X ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ =lg ¿i sunt calculate în tabelul 11.3.2.m

i pmi qY max

%lg=

¥n continuare, se rezolvå sistemul:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

49,8487,4294,26

24,5594,2618

B A

B A (11.3.11)

Rezultå: A = 2,012 B = 0,707.

264



Tabelul 11.3.2

Calculul elementelor necesare pentru determinarea parametrilor curbei de regresie

i i X miY i X m

iY 2i X

1 0,744 2,399 1,786 0,5532 0,841 2,589 2,178 0,7073 0,987 2,765 2,731 0,9754 1,142 2,841 3,246 1,3055 1,256 2,875 3,612 1,5786 1,346 2,935 3,952 1,813

7 1,464 2,948 4,319 2,1458 1,443 2,975 4,294 2,0839 1,346 2,975 4,006 1,81310 1,346 3,023 4,071 1,81311 1,674 3,087 5,168 2,25412 1,710 3,207 5,486 2,92613 1,686 3,214 5,422 2,84514 1,633 3,236 5,287 2,66915 1,920 3,312 6,387 3,68916 2,072 3,477 7,206 4,29617 2,092 3,492 7,307 4,37618 2,236 3,589 8,027 5,000

∑ 26,94 55,24 84,49 42,87

Dar:, decik A lg= 8,102=k

iar:, decia B = 707,0=a .

Cu aceste valori ale parametrilor, ecua¡ia curbei de regresie este:

707,0max%1 8,102 ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

F H q . (11.3.12)

¥n continuare se vor calcula câteva valori teoretice ale debituluispecific cu probabilitatea de depå¿ire de 1% (tab. 11.3.3):

t qmax%1

265



Tabelul 11.3.3

Calculul valorilor teoretice ale debitului specific t q max%1

F H / t q max%1

5 32610 52350 1632100 2664150 3548

200 4347¥n figura 11.3.1 sunt reprezentate atât punctele reale, cât ¿i curba teoreticå a

lui .max%1q

Fig. 11.3.1. Corelaţiaa

F H k q ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ =max%1 .

266



12

BILAN ŢUL DEBITELOR

Aplicaţia 12.1

METODE DE CALCUL AL BILANŢULUI DEBITELOR

¥ntr-un bazin hidrografic neamenajat existå trei folosin¡e de apå,caracterizate de un grad de asigurare de 97%. Configura¡ia re¡elei, debitelenaturale zilnice cu probabilitate de depå¿ire de 97%, precum ¿i caracteristicilefolosin¡elor (debite prelevate, debite consumate ¿i restituite) sunt prezentate înfigura 12.1.1. Pentru simplificarea calculului s-a considerat cå debitul salubrueste nul.

Se cere :1) Så se efectueze în aval de fiecaresec¡iune de prelevare un calcul debilan¡:

− prin modificarea succesivå a hidro-grafului debitelor;

− prin metoda bilan¡urilor cumulative.2) Så se compare rezultatele ob¡i-nute.3) Så se efectueze acela¿i calcul înipoteza în care debitul de la capåtulamonte este de 2 , considerândcoeficien¡ii de consum constan¡i.

/sm3

Fig. 12.1.1. Schema dispuneriifolosinţelor de apă .

267



Rezolvare:

1) Bilan¡ul în gospodårirea apelor constituie o aplicare a ecua¡iei decontinuitate a curgerii în lungul unui curs de apå. Existå douå modalitå¡i diferitede calcul al bilan¡ului, func¡ie de modul de considerare a datelor de bazå:

- metoda modificårii succesive a hidrografului debitelor;- metoda bilan¡urilor cumulative.Cele douå moduri de calcul conduc la acelea¿i rezultate ale bilan¡ului; acest

lucru este vizibil imediat în cazul unor situa¡ii excedentare de apå. ¥n situa¡ii delipså de apå, punerea în eviden¡å a deficitelor de debite este relativ simplå încazul metodei bilan¡ului cumulativ; din contrå, în cazul modificårii succesive ahidrografului debitelor, deoarece hidrograful nu poate avea valori negative,situa¡iile de deficit de apå trebuie contorizate separat, ceea ce creazå anumitecomplica¡ii de calcul. Din acest motiv, în practicå se utilizeazå de preferin¡åmetoda bilan¡urilor cumulative.

• Metoda modificårii succesive a hidrografului debitelor constå înexaminarea evolu¡iei regimului debitelor în lungul cursului de apå, func¡ie demårimea debitului natural la capåtul amonte, de aporturi, prelevåri ¿i restitu¡ii.Ecua¡ia de bilan¡ are expresia:

pi

mi

d i QQQ −= , (12.1.1)

unde nota¡iile au urmåtoarea semnifica¡ie:

reprezintå debitul defluent din sec¡iuneai;d iQ

- debitul pe râu în sec¡iuneai, modificat ca urmare aefectului folosin¡elor, respectiv al lucrårilor de

gospodårire a apelor;

miQ

- debitul proaspåt care trebuie prelevat din sec¡iuneai; piQ

se mai nume¿tecerin¡a de gospodårire a apelor.

Dacå: > , atunci > 0, valoarea ob¡inutå reprezentând rezultatulcalculului de bilan¡ din sec¡iune, respectiv al debitului defluent cåtre aval.

miQ p

iQ d iQ

Dacå: < , deoarece rezultå negativ, deficitul din sec¡iune arevaloarea:

miQ p

iQ d iQ i D

i D = = - < 0, (12.1.2)d iQ m

iQ piQ

iar debitul defluent aval de sec¡iune se corecteazå, devenind nul:

268



d iQ = 0. (12.1.3)

Debitul pe râu, modificat ca urmare a activitå¡ilor antropice, are urmåtoareaexpresie:

miQ = + , (12.1.4)a

iQ ∑ ∑=

−

=∆+∆

i

j

i

j

f j

ag j QQ

1

1

1

.

unde:este debitul natural afluent în sec¡iuneai;a

iQ

- modificåri de debite în sec¡iunileag j Q .∆ i j ,1= ca urmare

a lucrårilor de gospodårire a apelor din aceste sec¡iuni;se observå cå în aceastå categorie intrå ¿i lucrårile dinsec¡iunea curentåi; este pozitiv sau negativ dupåcum se elibereazå debite din lacurile de acumulare,respectiv se re¡in pentru utilizåri viitoare;

ag j Q .∆

- modificåri de debite ca urmare a efectului folosin¡elor din

sec¡iunile

f j Q∆

1,1 −= i j , situate amonte de sec¡iunea curentå;

de regulå < 0, ceea ce înseamnå un consum de debit. f j Q∆

Din combinarea expresiilor (12.1.1) ¿i (12.1.4) rezultå urmåtoarea rela¡iepentru ecua¡ia de bilan¡ în metoda modificårii succesive a hidrografuluidebitelor (C. Pârvulescu, 1978):

d iQ = + . (12.1.5)a

iQ pi

i

j

i

j

f j

ag j QQQ −∆+∆∑ ∑

=

−

=1

1

1

.

¥n aceastå metodå, bilan¡ul se calculeazå numai în aval de punctele de

prelevare; în toate celelalte sec¡iuni (aval de punctele de restitu¡ie, aval deconfluen¡e sau amonte de punctele de prelevare) bilan¡ul este mai favorabil.

• Metoda bilan¡urilor cumulative c onstå în compararea, pentru fiecaresec¡iune de calcul, a debitului natural, neinfluen¡at de activitå¡ile antropice, cudebitele necesare amsamblului folosin¡elor din întregul bazin amonte; caurmare, influen¡a folosin¡elor ¿i a lucrårilor de gospodårire a apelor seexamineazå implicit pentru ansamblul bazinului pânå în sec¡iunea consideratå.

Rela¡ia de calcul pentru bilan¡ul cumulativ este:

i B = - , (12.1.6)aiQ n

iQ

269



p I

a I I QQ B −= = 5 - 4 = 1 /s;3m

p II

f I

a II II QQQ B −∆+= = (5 + 0,5) +

+ (- 4 + 2) - 2 =5,5 - 2 - 2 = 1,5 /s;3m

p III

f II

f I

a III III QQQQ B −∆+∆+= == (5 + 0,5) + (- 4 + 2) + (- 2 + 1,5) - 2,8 =

= 5,5 - 2 - 0,5 - 2,8 = 0,2 /s.3m

Fig. 12.1.2. Metoda modificăriisuccesive a hidrografului debitelor.

unde:este rezultatul calculului de bilan¡, putând avea valori pozitivei B

(excedent de debit) sau negative (deficit);- debitul natural afluent în sec¡iuneai;aiQ

- necesarul de calcul din sec¡iuneai, având expresia:niQ

niQ = , (12.1.7)s

i pi

i

j

p j

i

j

c j QQQQ +++ ∑∑

−

=

−

=

1

1

1

1

- debit prelevat în sec¡iunea curentåi; piQ

- debit salubru în aval de sec¡iuneai, dupå prelevarea debitului ;siQ p

iQ

sunt debite consumate în amonte de sec¡iuneai; prin debit consumatc

j Q

se în¡elege diferen¡a dintre debitul prelevat ¿i debitul p j Q

restituit în amonte de sec¡iuneai;r j Q

- debite captate în amonte de sec¡iuneai, dar cu restitu¡ii în aval p j Q

de aceastå sec¡iune.

270



Din combinarea rela¡iilor (12.1.6) ¿i (12.1.7) rezultå ecua¡ia bilan¡uluicumulativ (C. Pârvulescu, 1978):

=i B si

pi

i

j

p j

i

j

c j

ai QQQQQ −−−− ∑∑

−

=

−

=

1

1

1

1. (12.1.8)

p I

a I I QQ B −= =

= 5 - 4 = 1 /s;3m

p II

c I

a II II QQQ B −−= =

= (5 + 0,5) - 2 - 2 = 1,5 /s;3m

p III

c II

c I

a III III QQQQ B −−−= =

= (5 + 0,5) - 2 - 0,5 - 2,8 = 0,2 /s.3m

Fig. 12.1.3. Metoda bilanţului cumulativ.

Calculele de bilan¡ permit identificarea zonelor excedentare, pentru care este încå posibilå extinderea folosin¡elor, respectiv a zonelor deficitare, pentru caresunt necesare lucråri de gospodårire a apelor pentru regularizarea debitelor.

Metoda bilan¡ului cumulativ se aplicå de asemenea doar pentru sec¡iunilesituate în aval de punctele de prelevare ale folosin¡elor.

2) Comparând valorile subliniate care intervin în calculele de bilan¡ în celedouå variante se constatå cå sunt acelea¿i, în ciuda faptului cå provin dinvariabile cu semnifica¡ie diferitå; acest lucru demonstreazå cå cele douåmodalitå¡i de calcul ca ¿i rezultatele ob¡inute sunt identice.

3) ¥n cazul unui bilan¡ deficitar, metoda modificårii succesive ahidrografului debitelor conduce la valorile reale ale debitelor disponibile înlungul râului; în sec¡iunile deficitare se considerå cå se va preleva integraldebitul afluent. Calculele sunt prezentate în figura 12.1.4.

Dupå cum s-a specificat în enun¡, coeficientul de consum al debitelor îndiversele sec¡iuni, definit ca raportul dintre debitul consumat ¿i debitul prelevat în sec¡iune, se considerå constant. Coeficien¡ii de consum au urmåtoarelevalori:

271



p I

a I I QQ B −= = 2 - 4 = -2 /s;3m

' p I Q = 2 /s; =1 /s;3m 'c

I Q 3m'' p

I a

I I QQ B −= = 0,00 /s;3m

p II

c I

a II II QQQ B −−= ' =

= (2 + 0,5) - 1 - 2 =- 0,5 /s;3m' p

II Q = 1,5 /s; =0,37 /s;3m 'c II Q 3m''' p

II c

I a

II II QQQ B −−= = 0,00 /s;3

m

p III

c II

c I

a III III QQQQ B −−−= '' =

= (2 + 0,5) - 1 - 0,37 - 2,8 =- 1,67 /s.3m' p

III Q = 1,13 /s; =0,40 /s;3m 'c III Q 3m

'''' p III

c II

c I

a III III QQQQ B −−−= = 0,00 /s.3m

Fig. 12.1.5. Metoda bilanţului cumulativ.

Aplica ţia 12.2

BILANŢUL DEBITELOR ÎN REGIM NATURAL

¥ntr-un bazin hidrografic existå nouå folosin¡e de apå: douå centre populate¿i ¿apte zone industriale. Caracteristicile folosin¡elor de apå se prezintå întabelul 12.2.1 ¿i fig. 12.2.1.

¥n figura 12.2.1 sunt men¡ionate pentru fiecare folosin¡å debitul prelevat,debitul consumat, precum ¿i debitul restituit; de asemenea este trecut gradul de

asigurare al folosin¡elor. Numårul sec¡iunii de prelevare coincide cu numårulfolosin¡ei deservite.¥n sec¡iunile de prelevare ale celor 9 folosin¡e se cunosc de asemenea

(tab. 12.2.2) debitele minime zilnice cu probabilitå¡ile de depå¿ire de 97% ¿i90%: , , precum ¿i debitul salubru necesar în albie . %97

iQ %90iQ s

iQ

273



Fig. 12.2.1. Schema dispunerii folosinţelor de apă .

Tabelul 12.2.1

Caracteristicile folosinţelor de apă

Nr.sec¡iunii deprelevare

Folosin¡atip

Grad deasigurare

%

Debitprelevatm s3 /

Debitrestituitm s3 /

1. F 1 alimentare cu apåindustrialå - interes local 90 0,30 0,10

2. F 2 alimentare cu apåindustrialå - interes jude¡ean 95 0,20 0,05

3. F 3 alimentare cu apå pentrupopula¡ie 97 0,55 0,25



6. F 6 alimentare cu apåindustrialå - interes local 90 0,40 0,20


8. F 8 alimentare cu apå pentrupopula¡ie 97 0,30 0,10


274



Tabelul 12.2.2

Debite caracteristice în diverse secţiuni ale reţelei hidrografice

Sec¡iunile deprelevare

siQ %97

iQ %90iQ

1 - 4 0,10 0,30 0,405 0,20 0,75 0,85

6 - 8 0,15 0,80 1,059 0,40 1,45 1,65

¥n aval de punctul de confluen¡å al celor douå râuri, în amonte de sec¡iunea

9, existå o zonå în care râul alimenteazå subteranul; din motive de comoditate,aceastå pierdere difuzå a fost reprezentatå sub forma unei ie¿iri concentrate.¥n figura 12.2.2, valorile din parantezå reprezintå debite corespunzând unei

probabilitå¡i de 90%, iar valorile de deasupra caracterizeazå debite cuprobabilitatea de depå¿ire de 97%.

Legenda:

0,80 - %97iQ

(1,05) - %90iQ

Fig. 12.2.2. Debite minime în lungul reţelei. Se cere så se determine:

a) sec¡iunile de efectuare a bilan¡ului;b) bilan¡ul pentru sec¡iunile de calcul, sco¡ându-se în eviden¡å zonele cu

deficit ¿i respectiv excedent de apå;c) corectarea rezultatelor bilan¡ului în cazul în care existå sec¡iuni cu

deficit de apå.

Rezolvare:

a) Pentru alegerea sec¡iunilor de efectuare a bilan¡ului se au în vedereurmåtoarele criterii:

1. La confluen¡a unui râu cu un afluent important, sec¡iunile de calcul pentruefectuarea bilan¡ului se aleg pe cursul principal, amonte ¿i aval de confluen¡å,respectiv pe afluent, amonte de confluen¡å.

275



constant , din rela¡ia (12.1.6) rezultå cå în sec¡iuneai se va ob¡inebilan¡ul cel mai defavorabil.

.ct =aiQ

Cu alte cuvinte, în loc de a efectua bilan¡ul debitelor pentru fiecare sec¡iunede prelevare din lungul re¡elei hidrografice, acest calcul se efectueazå doarpentru o singurå sec¡iune din cadrul unui sector de râu. Lungimea sectoruluipentru care se poate utiliza aceastå simplificare a calculelor este dictatå de îndeplinirea simultanå a celor douå condi¡ii, ca debitul natural ¿i debitul salubrupe sector så fie constante.

Din examinarea tabelului 12.2.2 rezultå urmåtoarele sectoare de calcul, pecare sunt îndeplinite aceste condi¡ii:

− sectorul I, cuprins între sec¡iunile 1-4;− sectorul II, situat între sec¡iunea 5 ¿i confluen¡å;

− sectorul III, cuprins între sec¡iunea 6 ¿i confluen¡å;− sectorul IV, aval de confluen¡a celor douå râuri.

Pentru fiecare sector de calcul se va determina câte o sec¡iune de calcul(fig. 12.2.3), dupå cum urmeazå :

Sectorul I

• dupå priza de apå a folosin¡ei :F 1

= 0,30 /s;30,0001 ++= pc

Q m 3

Fig. 12.2.3. Stabilirea secţiunilor de calcul ale bilanţului.

277




= 0,40 /s;20,0020,02 ++= pcQ m 3


= 0,90 /s;( ) 55,0015,020,03 +++= pcQ m 3


= 0,80 /s.( ) 15,0030,015,020,04 ++++= pcQ m 3

Rezultå cå sec¡iunea I de efectuare a bilan¡ului este situatå dupå priza de apåa folosin¡ei , cåreia îi corespunde un debit prelevat de calcul:F 3

/sm90,080,0;90,0;40,0;30,0max 3I == pcQ .

Sectorul II

¥n cadrul acesti sector se aflå o singurå folosin¡å ¿i anume . Rezultatulcalculului de bilan¡ este urmåtorul:

5 F

( ) /sm85,010,0010,030,015,020,03

5II =+++++== pc pc

QQ .Sectorul III

/sm40,040,000 36 =++= pcQ ;

/sm55,035,0020,0 37 =++= pcQ ;

/sm85,030,035,020,0 38 =++= pcQ .

Rezultå:

( ) /sm85,085,0;55,0;40,0max 38III === pc pc QQ .

Sectorul IV

( )

( ) . /sm45,115,0020,010,020,0

05,010,030,015,020,0

3

9IV

=+++++

+++++== pc pc QQ

278



Se observå cå aceste calcule s-au efectuat independent de mårimea graduluide asigurare a folosin¡elor.

b) Bilan¡ul debitelor zilnice. Debitul total necesar în fiecare sec¡iune decalcul se determinå cu rela¡ia:

niQ

si

pci

ni QQQ += , (12.2.2)

unde sunt debitele prelevate de calcul, iar este debitul minimnecesar pentru asigurarea scurgerii salubre în aval de sec¡iuneai.

pciQ s

iQ

Pentru bilan¡ul de debit din fiecare sec¡iune se utilizeazå formula:i B

ni

aii QQ B −= , (12.2.3)

unde este debitul natural minim zilnic cu asigurarea p %.aiQ

Dacå > 0 în sec¡iune existå excedent de debit ¿i invers, dacå < 0 însec¡iune se înregistreazå un deficit de debit .

i B i B

¥n cadrul aplica¡iei de fa¡å, la determinarea debitului necesar de calcul pentruasigurarea de 97% se considerå cå în rela¡ia (12.2.2) intervin numai folosin¡elecare necesitå apå cu aceastå asigurare, respectiv alimentårile cu apå pentrupopula¡ie; în schimb, pentru asigurarea de 90% în calculele de bilan¡ se vor

introduce toate folosin¡ele.¥n realitate, chiar ¿i pentru folosin¡ele cu un grad de asigurare mai redus, estenecesar så se asigure o tran¿å minimå de debit, caracterizatå de un grad deasigurare corespunzåtor folosin¡ei celei mai importante. Suprimarea completå adebitului conduce, în anumite sectoare, la pagube excesiv de mari.

¥n tabelele 12.2.3 ¿i 12.2.4 se prezintå calculul necesarului ¿i al bilan¡uluipentru fiecare sec¡iune de calcul, corespunzåtor unei asiguråri de 97%, respectiv90%.

Tabelul 12.2.3

Calculul bilanţului pentru asigurarea de 97%

Sec¡iunede

prelevare

Sec¡iunede calcul

aiQ pc

iQ siQ s

i pci

ni QQQ +=

ni

aii QQ B −=

3 I 0,30 0,55 0,10 0,65 - 0,355 II 0,75 0,30 0,20 0,50 0,258 III 0,80 0,30 0,15 0,45 0,359 IV 1,45 0,50 0,40 0,90 0,55

279



Tabelul 12.2.4Calculul bilanţului pentru asigurarea de 90%

Sec¡iunede

prelevar e

Sec¡iunede calcul

aiQ pc

iQ siQ s

i pci

ni QQQ += n

iaii QQ B −=

3 I 0,40 0,90 0,10 1,00 - 0,605 II 0,85 0,85 0,20 1,05 - 0,208 III 1,05 0,85 0,15 1,00 0,059 IV 1,65 1,45 0,40 1,85 - 0,20

Analizând rezultatele bilan¡ului se constatå urmåtoarele:− Pe afluent (sec¡iunea III), în ambele situa¡ii se înregistreazå excedente,ceea ce indicå posibilitatea satisfacerii folosin¡elor în regim natural.

− Pe cursul principal se înregistreazå deficite, mai pu¡in importante pentruasigurarea de 97% (când folosin¡ele de categorie inferioarå sunt completlipsite de apå) ¿i mai mari pentru asigurarea de 90%, când se iau înconsiderare toate folosin¡ele din bazin. Ca atare, pe cursul principal,amonte de sec¡iunea I trebuie realizat un lac de acumulare pentruregularizarea debitelor; aceasta revine la påstrarea apei în lac înperioadele excedentare, respectiv la suplimentarea debitelor naturale cuapå din lac în perioadele deficitare.

c) Corectarea rezultatelor bilan¡ului. Corectarea rezultatelor bilan¡uluicumulativ este necesarå în cazul bazinelor sau subbazinelor cu bilan¡ deficitar ¿ise aplicå sec¡iunilor situate în aval de sec¡iunile deficitare. ¥n acest fel, se ¡ineseama de faptul cå în sec¡iunea deficitarå din amonte, necesarul de apå alfolosin¡elor nu a putut fi satisfåcut integral de cåtre resursele de apå ¿i decinecesarul de apå cumulat pentru bilan¡ în sec¡iunile din aval trebuie diminuatcorespunzåtor. Aceastå corec¡ie de bilan¡ rezultå în mod natural în metodamodificårii succesive a hidrografului debitelor; în schimb, în cazul bilan¡uluicumulativ, corec¡ia trebuie calculatå efectiv sub forma unui coeficient decorec¡ie pentru a ob¡ine valorile reale ale bilan¡ului în sec¡iunile din aval.

c1) Din examinarea tabelului 12.1.3 se observå cå laasigurarea de 97% se înregistreazå deficite numai în sec¡iunea I, în aval existând doar excedente; caurmare, corectarea rezultatelor bilan¡ului, constând în diminuarea consumuluidin aceastå sec¡iune va avea ca efect majorarea excedentului din sec¡iunile II ¿iIV. Sec¡iunea III situatå pe afluent nu va fi în nici un fel influen¡atå decorectarea bilan¡ului.

Pentru asigurarea de 97% intervin în calcul folosin¡ele (pentru sec¡iuneaII), respectiv ¿i (pentru sec¡iunea IV). Debitele minime zilnice cu

3F3F 7F

280



asigurarea de 97% sunt: 0,30 la capåtul amonte al cursului principal,respectiv 0,80 la capåtul amonte pe afluent; la acestea se adaugå un debitde 0,45 în amonte de sec¡iunea 5.

s / m3

s / m3

s / m3

Elementele de calcul al bilan¡ului prin modificarea succesivå a hidrografuluidebitelor sunt prezentate în figura 12.2.4.

Fig. 12.2.4. Modificarea succesivă a hidrografului debitelor pentru asigurarea de 97%.

¥n sec¡iunea I debitul natural are valoarea 0,30 , fiind inferior atâtdebitului necesar, cât ¿i debitului prelevat de calcul:

s / m3

pc I Q = 0,55 ;s / m3

n I Q = + = 0,55 + 0,10 = 0,65 ; pc

I Q s I Q s / m3

a I Q = 0,30 < = 0,55 < = 0,65. pc

I Q n I Q

Având în vedere faptul cå folosin¡a este de tip popula¡ie, debitul afluent în sec¡iune se alocå integral acestei utilizåri, sacrificând folosin¡a mediuambiant; ca atare, debitul prelevat în sec¡iunea I în condi¡ii de deficit de apåare valoarea:

3F

' p I Q

' p I Q = 0,30 .s / m3

Bilan¡ul în sec¡iunea I, situatå aval de sec¡iunea de prelevare pentru folosin¡adevine în condi¡ii de deficit de apå:3F

281



Se observå cå bilan¡ul în sec¡iunea II este acela¿i cu cel ob¡inut anterior; deasemenea, în sec¡iunea IV, prin modificarea succesivå a hidrografului debitelor(fig. 12.2.2) se ob¡ine o valoare a bilan¡ului identicå cu cea anterioarå:

c IV B = - = 1,09 - 0,40 = 0,69 .d

IV Q s IV Q s / m3

Acelea¿i rezultate se pot ob¡ine ¿i prin metoda bilan¡ului cumulativ, dacå la

determinarea debitelor prelevate de calcul se introduce mårimea debitelorconsumate efectiv în condi¡ii de lipså de apå; a¿a cum s-a mai aråtat,coeficientul de consum se considerå invariant în raport cu mårimea debituluiprelevat.

Tabelul 12.2.5

Calculul bilanţului pentru asigurarea de 97% în condiţii de lipsă de apă

Sec¡iunede

prelevare

Sec¡iunede calcul

aiQ ' pc

iQ siQ 'n

iQ ci B i B Q∆

5 II 0,75 0,16 0,20 0,36 0,39 0,25 0,149 IV 1,45 0,36 0,40 0,76 0,69 0,55 0,14

¥n practicå înså, în metoda bilan¡ului cumulativ în condi¡ii de lipså de apå nu

se corecteazå debitul consumat, preferându-se så se aplice corec¡ia de debitla valoarea bilan¡ului ini¡ial: Q∆c j B = + j B iQ∆ ,

unde: j B este bilan¡ul ini¡ial, necorectat din sec¡iunea j ( j > i );

iQ∆ - corec¡ia de debit din sec¡iunea deficitaråi, situatå în amonte desec¡iunea j.

Corec¡ia de debit se calculeazå în func¡ie de factorul (gradul) denesatisfacere K al sec¡iunii din amonte; la calculul gradului de nesatisfacere nuse ¡ine seama de neasigurarea debitului salubru, considerând cå în condi¡ii delipså de apå, satisfacerea måcar par¡ialå a popula¡iei din sec¡iunea deficitarå areprioritate în raport cu cerin¡a de mediu.

iQ∆

45,055,025,0

55,055,030,0 ==

−=

−=

pc I

pc I

a I

Q

QQ K

undei este sec¡iunea deficitarå din amonte.

283



Corec¡ia iQ∆ , care se aplicå sec¡iunilor j din aval de sec¡iunea deficitaråi, are expresia:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=∆ ∑ ∑

−

=

−

=

1

1

1

1

j

k

i

k

pk

ck i QQ K Q , (12.2.4)

unde:

reprezintå debitele necesare a fi consumate de cåtre folosin¡ele cu cap- tåri ¿i restitu¡ii în amonte de sec¡iunea deficitarå, precum

¿i

ck Q

de folosin¡ele cu captåri în amonte de sec¡iunea deficitarå ¿irestitu¡ii în aval de aceasta, dar în amonte de sec¡iunea alcårei bilan¡ se corecteazå;debitele necesare a fi prelevate în amonte de sec¡iunea defi-

citarå, restitu¡ia având loc în aval de sec¡iunea al cåreibilan¡ se corecteazå.

p j Q

¥n cazul analizat se ob¡ine:

s / m14,030,045,0 3=⋅=∆ I Q Ca urmare:

s / m39,014,025,0 3=+=∆+= I II c

II Q B B

s / m69,014,055,0 3=+=∆+= I IV c

IV Q B B .

Se observå cå atât corec¡ia de debit, cât ¿i cele douå valori ale bilan¡uluicorectat sunt identice cu cele ob¡inute în cazul anterior.

c2) Pentru asigurarea de 90% intervin în calcul toate folosin¡ele. Calculul seva efectua prin ambele metode. Din tabelul 12.2.4. se observå cå, incluzând în

necesarul sec¡iunii I ¿i debitul salubru de 0,10 , deficitul din aceaståsec¡iune are valoarea egalå cu ; neasigurarea acestui debit are unefect favorabil asupra bilan¡ului sec¡iunilor din aval.

s / m3

s / m60,0 3−

Evolu¡ia debitelor în lungul râului prin metoda modificårii succesive ahidrografului se poate urmåri în figura 12.2.5.

284



Fig. 12.2.5. Modificarea succesivă a hidrografului debitelorpentru asigurarea de 90%.

Se admite cå coeficientul de consum al folosin¡elor råmâne acela¿i,indiferent de mårimea debitului alocat. Ca atare, debitele consumate însec¡iunile de prelevare 1- 4 vor fi egale cu produsul dintre coeficientul deconsum ¿i debitul efectiv prelevat din sec¡iune. Evolu¡ia debitelor în lungulrâului este urmåtoarea:

− Sec¡iunea 1: ; ; ;40,01 =aQ s / m3 30,01 = pQ s / m3 10,01 =d Q s / m3

=cQ1 20,030,030,020,0 =⋅ s / m3 .

− Sec¡iunea 2: ; ;20,02 =aQ s / m3 20,02 = pQ s / m3 00,02 =d Q s / m3

=cQ2 15,020,020,015,0 =⋅ s / m3


=cQ3 03,005,055,0

30,0 =⋅ s / m3 ; = I B 00,03 =d Q s / m3 .


=cQ4 01,002,015,010,0 =⋅ s / m3

− Sec¡iunea 5: ; ;46,045,001,05 =+=aQ s / m3 10,05 = pQ s / m3

;36,05 =d Q s / m3 =cQ5 10,010,010,005,0 =⋅ s / m3 ;

285



.= II B 16,020,036,05 =−=− s II

d QQ s / m3


=cQ6 20,040,040,020,0 =⋅ s / m3 .


=cQ7 10,035,035,010,0 =⋅ s / m3


=cQ8 20,030,030,020,0 =⋅ s / m3 ;

.= III B 05,015,020,08 =−=− s III

d QQ s / m3

− Amonte confluen¡å:− pe râul principal: ; 41,005,036,0.. =+=a

pr Q s / m3

− pe afluent: ; 55,010,025,020,0. =++=aafl Q s / m3

− Aval confluen¡å: . 96,05,041,0.. =+=acavQ s / m3

− Sec¡iunea 9: ; ;71,025,096,09 =−=aQ s / m3 15,09 = pQ s / m3

;56,09 =d Q s / m3 =cQ9 05,015,015,005,0 =⋅ s / m3 ;

.= IV B 16,040,056,09 =−=− s IV

d QQ s / m3

¥n concluzie, în cazul modificårii succesive a hidrografului debitelor, bilan¡ul

corectat din sec¡iunile II ¿i IV are valorile:

.=c II B 16,020,036,05 =−=− s

II d QQ s / m3

.=c

IV B 16,040,056,0

9 =−=− s

IV

d QQ s / m3

¥n schimb, bilan¡ul din sec¡iunea III råmâne nemodificat:

.= III B 05,015,020,08 =−=− s III

d QQ s / m3

Acelea¿i valori se ob¡in cu mult mai simplu în cazul metodei bilan¡ului

cumulativ, dupå cum se poate observa în continuare. Factorul de corec¡ie se

286



determinå ca ¿i în cazul anterior luând în considerare debitul prelevat de calculdin sec¡iunea deficitarå, ne¡inând seama de debitul salubru.

55,090,050,0

90,090,040,0 ==

−=

−=

pc I

pc I

a I

Q

QQ K .

Corec¡ia de debit rezultatå ca urmare a deficitului de apå din sec¡iunea I arevaloarea:

( ) s / m36,065,055,030,015,020,055,0 3=⋅=++=∆ I Q .

Ca urmare, bilan¡ul corectat devine:s / m16,036,020,0 3=+−=∆+= I II

c II Q B B ;

s / m16,036,020,0 3=+−=∆+= I IV c

IV Q B B ,

ob¡inându-se acelea¿i valori ca în cazul modificårii succesive a hidrografuluidebitelor.

287



13

GOSPOD ĂRIREA CALIT ĂŢII APEI

Aplica ţia 13.1

DETERMINAREA INDICATORILOR DE CALITATE ÎN CADRUL PROCEDURII DE AVIZARE

Principii de calcul:• Probabilitatea de satisfacere (gradul de asigurare) a cerin¡ei de protec¡ie a

calitå¡ii apei are o valoare unicå de 95% (C. Pârvulescu, 1978; STAS10859/1991), indiferent dacå este vorba de indicatori de calitate favorabili saude substan¡e poluante, dacå apele uzate sunt de provenien¡å industrialå saumenajerå. Din punct de vedere matematic, aceasta se exprimå sub una dinurmåtoarele douå forme (C. Pârvulescu, 1978):

Prob ( iC ≤ admiCmax ) ,≥ %95

respectiv:Prob ( )≥ ,iC ≥ nec

iCmin %95

unde:reprezintå concentra¡ia indicatorilor de calitate;iC

- concentra¡ia maximå admisibilå pentru substan¡epoluante (azota¡i, azoti¡i, metale grele, fenoli,

produse petroliere etc);

admiCmax

- concentra¡ia minimå necesarå pentru elemente utile în apå (de exemplu oxigen dizolvat).

neciCmin

• Pentru a verifica gradul de satisfacere a cerin¡elor de protec¡ia calitå¡iiapei, concentra¡ia indicatorilor de calitate dintr-o anumitå sec¡iune se determinåpentru debitul minim din aceea¿i sec¡iune cu probabilitatea de depå¿ire(asigurarea) de 95% (C. Pârvulescu, 1978). Din punct de vedere hidrologic,

289



debitele minime cu aceastå asigurare se gåsesc pe curba de recesie,corespunzând golirii acviferelor în condi¡ii de secetå; ca atare, diferen¡ele dintredebitele zilnice ¿i cele medii lunare sunt destul de reduse. ¥n aceste condi¡ii, prindebit minim cu asigurarea de 95% se în¡elege debitul mediu lunar minim anualcu aceastå probabilitate de depå¿ire.

Calculul debitului se efectueazå în modul urmåtor:%95Q− din tabelul debitelor medii lunare pentru o anumitå perioadå (de regulå,

cel pu¡in 25-30 de ani) se selecteazå în fiecare an valoarea minimå a celor12 debite medii lunare;

− prin prelucrarea statisticå a ¿irului de debite medii lunare minime anualeastfel ob¡inut rezultå valoarea cu probabilitatea de depå¿ire de 95%, carereprezintå mårimea cåutatå.

• ¥n cadrul activitå¡ii de monitorizare ¿i supraveghere a calitå¡ii apei, lunarse efectueazå prelevåri de probe din sec¡iunile caracteristice. Concentra¡iileinstantanee ale indicatorilor de calitate sunt apoi convertite în valoriechivalente, calculate pentru debitul minim . Pentru a ob¡ine aceste valorise procedeazå astfel:

%95Q

1. Pentru indicatorii generali -CB , CCOMn, reziduu fix, suspensii¿i :

O 5

4NHo Pe baza concentra¡iilor instantanee ob¡inute lunar, valoarea medie a

concentra¡iei fiecårui indicator pentru perioada de referin¡å (perioadapentru care se dispune de date) se calculeazå ca o medie ponderatå:

∑

∑

=

= ⋅

=i

i

j

k

j j

k

j Q j i

med i

Q

c

C

1

1 ,

unde j ic reprezintå concentra¡ia indicatoruluii la prelevarea j , iareste numårul de valori de concentra¡ie de care se dispune pentru

acela¿i indicator.

ik

o Debitul mediu pentru perioada de referin¡å se ob¡ine ca o mediearitmeticå a valorilor instantane ; admi¡ând cå toate valorile suntegale între ele ( ), se poate scrie:

med Q

j Q ik

k k i =

290



291

∑=

=k

j j med Q

k Q

1

1

%95i

.

Pentru fiecare indicator de calitate, se calculeazå în continuareconcentra¡ia echivalentåC cu rela¡ia:

%95%95

QQ

CC med med ii ⋅=

%95

.

2. Pentru indicatorii toxici se iau în considerare concentra¡iile maxime înregistrate în cadrul perioadei de referin¡å. ¥n continuare, aceste valorisunt convertite în valori echivalente pentruQ , conform rela¡iei:

%95max%95

Q

QCC j

j ii ⋅=

j max j i

•

1SS

2S

F 1 /sm3

/sm3

Fie un sector de râu (fig. 13.1.1) delimitat de sec¡iunile de supraveghere¿i ; pe acela¿i sector râul prime¿te un afluent, al cårui regim cantitativ ¿icalitativ este caracterizat de sec¡iunea . Pe sectorul considerat existå douåfolosin¡e de apå, ¿i , care prelevå din râu un debit de 1,5, respectiv

2,5 . Coeficientul de consum este nul pentru ambele folosin¡e, debitulprelevat fiind integral evacuat. Parametrii caracteristici ai folosin¡elor precum ¿iai sursei de apå în sec¡iunile reprezentative sunt prezenta¡i în tabelul 13.1.1.

Comparând valorile din måsuråtori, prelucrate conform metodologieiprezentate anterior, cu valorile admisibile ale indicatorilor de calitate definite înSTAS 4706-88, rezultå categoria de calitate a sec¡iunii investigate, respectiv asectorului de râu definit între sec¡iunea curentå ¿i sec¡iunea imediat urmåtoaredin aval (A. Varduca, 1999). Depå¿irea indicatorilor din categoria III determinå încadrarea în categoria D (degradat).

Pe liniile 1 ¿i 2 din acela¿i tabel sunt trecute concentra¡iile indicatorilor decalitate pentru ape de categoria I ¿i II conform STAS 4706-88.

unde Q reprezintå debitul corespunzåtor concentra¡iei maximeC .

3

F 2

* **

,



Stabilirea indicatorilor autorizaţiCaracteristici Debite ( ) /sm3 Indicatori de calitate generali

Nr Sec¡iunea saufolosin¡a

Qm Q95% iq CBO 5 CCOMn Reziduufix

Cl −

1 L I 5 10 750 2502 L II 7 15 1000 3003 1C 167 23,40 - 3,3 5,4 333,2 95,3

4 2C 10 1,7 - 3,0 5,0 280,0 60,0

5 3C 181 25,10 - 3,58 6,10 350,6 97,80

61c

- - 1,5 20 42 1100 260

7 2c - - 2,5 15 36 1350 320

8 ac - - 4,0 16,9 38,2 1256,2 297,5

9 cC 3 5,44* 10,60* 476,7 125,1

10 I CR (kg/s) 125,5 251 18825 6275

11 R (kg/s) 89,8 153,1 8800,0 2454,812 HGcat 20 40 2000 500

13 cat 1 21,4 55,1 5363,1 2974,514 cat 2,0 20 40 2000 500

292



Caracteristici Indicatori cu grad ridicat de toxicitatelNr Sec¡iunea sau folosin¡a NO2

− Fenoli CN − Cd 2+

1 L I 1 0,001 0,01 0,002 L II 3 0,02 0,01 0,003 1C 0,39 0,001 0,005 0,00

4 2C 0,15 0,0 0,0 0,0

5 3C 0,42 0,008 0,0057 0,00

6 1c 2,0 0,008 0,0040 0,00

7 2c 3,0 0,010 0,0060 0,00

8 ac 2,6 0,0097 0,0055 0,009 cC 3 0,73 0,0022* 0,0047 0,0

10 I CR (kg/s) 25,1 0,0025 0,025 0,00

11 R (kg/s) - - - -12 HGcat 1 0,05 0,05 0,1

13 cat 1 7,7 0,033 0,071 0,014 cat 1 0,033* 0,05 0,00

Tabe

* valorile indicatorilor ce depå¿esc limita categoriei I de calitate conform STAS 4706 - 88.

293



Fig. 13.1.1. Reprezentarea

schematică a sectorului de râustudiat.

Comparând aceste valori cu concen-tra¡iile måsurate din cele 3 sec¡iuni demonitorizare (liniile 3, 4 ¿i 5 din tabel),se constatå cå pe sectorul considerat apaeste de categoria I de calitate.

Concentra¡iile debitelor restituite înemisar de aceste folosin¡e sunt prezen-tate pe liniile 6, respectiv 7 din tabel.

¥n perspectivå, în aval de confluen¡å,pe acela¿i sector de râu, se pune înfunc¡iune o nouå folosin¡å de apå .F pSe cere så se stabileascå:1. indicatorii de calitate reprezentativi

pentru folosin¡ele de apå ¿i sectorulde râu amenajat;

2. concentra¡ia amestecului pentru sur-sa de poluare globalå corespunzândfolosin¡elor ¿i ;F 1 F 2

3. concentra¡iile de calcul în sec¡iunea de control ;3S

4. capacitå¡ile de recep¡ie ale râului;5. debitul masic în sec¡iunea ;3S

6. indicatorii de calitate care trebuie aviza¡i la evacuarea în receptor pentrufolosin¡a de apåF , care prelevå un debit = 2 ; coeficientul deconsum al acestei folosin¡e este de asemenea nul.

p q p /sm3

Rezolvare:

1. Indicatori generali, respectiv indicatorii cu grad ridicat de toxicitate ceimai reprezentativi pe sectorul de râu din figura 13.1.1, sunt urmåtorii:

− indicatori generali: substan¡a organicå exprimatå prin consumulbiochimic de oxigen la 5 zile (CB ), consumul chimic de oxigenstabilit prin metoda permanganat de potasiu (CCOMn), reziduu fix,cloruri ( ), azota¡i ( ) ¿i amoniu ( ).

O 5

Cl − NO 3− +

4NH− indicatori cu grad ridicat de toxicitate: azoti¡i ( ), fenoli, cianuri

( ), cadmiu (

−2NO

−CN Cd 2 + ) ¿i produse petroliere.

294



2. Concentra¡ia amestecului evacuat de folosin¡ele ¿i , considerate cao surså de poluare globalå se determinå cu formulele:

F 1 F 2

aa q

qcqcc 2211 += ; (13.1.1)

qa = + , (13.1.2)q1 q2

unde:

¿i c sunt concentra¡iile indicatorilor de calitate pentru folosin¡ele ,

respectivF ;

c1 2 F 1

2 ¿i q - debitele efluente ale celor douå folosin¡e.q1 2

Aplicând rela¡iile (13.1.1) ¿i (13.1.2) pentruCB rezultå:O5

5,25,15,2155,120

+⋅+⋅=ac = 16,9 mg/ l .

Procedând în acest mod ¿i pentru ceilal¡i indicatori de calitate, rezultåconcentra¡iile care sunt trecute pe linia 8 din tabelul 13.1.1.ac

3. Concentra¡iile de calcul în sec¡iunea 3 se ob¡in utilizând ecua¡ia de bilan¡masic pe sector ¿i au rolul de a valida datele de calitate pentru indicatoriiconservativi. ¥n principiu, concentra¡iile de calcul ¿i concentra¡iile måsurate

din sec¡iune nu sunt egale deoarece:

ciC

miC

− determinarea concentra¡iilor în sec¡iunile , ¿i nu se face pentruaceia¿i fazå a regimului hidrologic, respectiv nu se ¡ine seama foarteprecis de durata de propagare a debitelor pe sectorul de râu analizat;

1S 2S 3S

− determinarea debitelor ¿i a concentra¡iilor se efectueazå cu anumite erori;− nu se ¡ine seama de interac¡iunea elementelor chimice din apa poluatå cu

sedimentele ¿i patul albiei.

Calculele se vor efectua considerând concentra¡iile echivalente pentrudebitul minim , prezentate în tabelul 13.1.1.%95Q

Concentra¡iile de calcul în sec¡iunea 3, caracterizând din punct de vederecalitativ ansamblul bazinului hidrografic amonte, se determinå cu rela¡ia:

cC 3

295



=+++⎟ ⎠

⎞⎜⎝ ⎛ −−

+++⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

=%95

22121%95

1

%9522221121

%9511

3QqqqqQ

QCqcqcqqQCC

c

(13.1.3)

%952

%951

%9522221121

%9511

QQ

QCqcqcqqQC

+

+++⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

=

unde:%95

iQ reprezintå debitele medii lunare minime anuale cu asigurarea de 95% dinsec¡iuneai;

C 1 ¿i - concentra¡iile în sec¡iunile 1 ¿i 2, calculate pentru debitelelunare minime anuale cu asigurarea de 95%;

C 2

c1 ¿i c - concentra¡iile efluen¡ilor proveni¡i de la folosin¡ele ¿i ;2 F 1 F 2q1 ¿i - debitele efluen¡ilor de la folosin¡ele ¿i .q 2 F 1 F 2

Aplicând rela¡ia (13.1.3) pentru rezultå:5CBO

1,25

7,135,2155,120)5,25,14,23(3,33

⋅+⋅+⋅+−−=cC = 5,44.

Aplicând rela¡ia (13.1.3) ¿i pentru ceilal¡i indicatori, rezultå valorile trecute în tabel pe linia 9.

Analizând concentra¡iile calculate se constatå cå la debite minime alereceptorului se depå¿e¿te limita a categoriei I de calitate (STAS 4706-88;linia 1 din tab. 13.1.1), pentru urmåtorii indicatori: , CCOMn, ¿ifenoli.

L I

CBO 5 NH 4+

4. Capacitå¡ile de recep¡ie în sec¡iunea 3 de pe cursul de apå, secalculeazå cu formula:

I CR

I CR = ⋅Q , (13.1.4) L I 95%

unde reprezintå limita admiså pentru categoria I de calitate. L I

PentruCB rezultå:O 5

I CR = 5⋅25,10 = 125,5 kg/s.

296



Limite de încărcare cu poluanţi a apelor uzate evacuate în resursele de ap ă (HG 730/199Nr.crt.

Indicator de calitate U.M. Limmax

admis0 1 2 3

A. Indicatori fizici 1.*) Temperatura oC 30 o

B. Indicatori chimici 2. Concentra¡ia ionilor de hidrogen ( pH)

pentru Fluviul Dunårea unit. pH 6,5-6,5-

3. Materii totale în suspensie (MTS) mg dm / 3 60

4. Consum biochimic de oxigen la 5 zile ( )CBO 5 mg dm

/ 3

20

5. Consum chimic de oxigen - metoda cu permanganat de potasiu (CCO-Mn) mg dm / 3 40

6. Consum chimic de oxigen - metoda cu biocromat de potasiu (CCO-Cr) mg dm / 3 70

7. Azot amoniacal ( )+4NH mg dm / 3 2,

8. Azot total (N) mg dm / 3 10

9. Azota¡i ( ) NO 3− mg dm / 3 25

10. Azoti¡i ( ) NO 2− mg dm / 3 1,

11. Sulfuri ¿i hidrogen sulfurat ( )H S2 mg dm / 3 0,

12. Sulfi¡i ( )SO3

2− mg dm / 3 1,

13. Fenoli antrenabili cu vapori de apå ( )C H OH6 5 mg dm / 3 0,0

298



Ta

0 1 2 314. Substan¡e extractibile cu eter de petrol mg dm / 3 5,0

15.**) Produse petroliere mg dm / 3 1,0

16. Fosfa¡i ( )PO 43− mg dm / 3 4,0

17. Fosfor total (P) mg dm / 3 1,0

18. Detergen¡i sintetici anion activi, biodegradabili mg dm / 3 0,5

29.***) Arsen mg dm / 3 0,0

20. Aluminiu ( )Al 3+ mg dm / 3 8,0

21. Calciu ( )Ca 2+ mg dm / 3 30

22.***) Plumb ( )Pb 2+ mg dm / 3 0,2

23.***) Cadmiu ( )Cd 2+ mg dm / 3 0,1

24.***) Crom trivalent ( )Cr 3+ mg dm / 3 1,0

25.***) Crom hexavalent (Cr 6+ ) mg dm / 3 0,1

26. Fier total ionic (Fe Fe2 3+ ++ ) mg dm / 3 5,0

27.***) Cupru ( )Cu 2+ mg dm / 3 0,1

28.***) Nichel ( ) Ni2+ mg dm / 3 0,1

29.***) Zinc (Zn 2+ ) mg dm / 3 0,5

30.***) Mercur ( )Hg 2+ mg dm / 3 0,00

299



31. Argint ( )Ag + mg dm / 3 0,1

Ta0 1 2 3

32. Fluoruri ( )F − mg dm / 3 0,5

33. Molibden ( )Mo 2+ mg dm / 3 0,1

34. Seleniu ( )Se 2+ mg dm / 3 0,1

35. Mangan (Mn 2+ ) mg dm / 3 1,0

36. Magneziu ( )Mg 2+ mg dm / 3 100

37. Cobalt ( )Co 2+ mg dm / 3 1,0

38. Cianuri ( )CN − mg dm / 3 0,0

39. Clor liber ( )Cl 2 mg dm / 3 0,040. Cloruri ( )Cl − mg dm / 3 500

41. Reziduu filtrat la 105oC mg dm / 3 2000

C. Indicatori bacteriologici 42. Bacterii coliforme totale nr./100cm3 1 m43. Bacterii coliforme fecale nr./100cm3 10 044. Streptococi fecali nr./100cm3 5 0045. Salmonella nr./100cm3 abse

*) Prin primirea apelor uzate, temperatura resursei de apå nu va cre¿te cu mai mult de 2-5 oC sau nu va depå¿i 30oC.**) Suprafa¡a resursei de apå în care se evacueazå ape uzate så nu prezinte iriza¡ii.

300



***) Suma ionilor metalelor grele nu trebuie så depå¿eascå concentra¡ia de 1 , valorile individuale fiind clocalitå¡ile ce nu au sta¡ie de epurare, apa din re¡elele de distribu¡ie a apei potabile con¡ine zinc în concentra¡ie maccepta ¿i la evacuarea apelor uzate în cursurile de apå.

3mg/dm

301

****) Metoda de analizå va fi cea corespunzåtoare standardului în vigoare



Aplica ţia 13.2

DETERMINAREA DEBITULUI DE DILUŢIE AVAL DE UN LAC DE ACUMULARE

Ora¿ul I situat în bazinul hidrografic al râului P (fig. 13.2.1) capteazå pentrualimentarea cu apå potabilå ¿i industrialå un debit de 5,6m3 s / din lacul L.Sta¡ia de epurare, formatå din trei linii cu trepte mecanice ¿i biologice, epureazåun debit total de 4,2m3 s / , diferen¡a de 1,4m 3 s / reprezentând debiteconsumate la folosin¡e. Activitå¡ile agricole din bazin au o pondere foarte

reduså, iar poluarea difuzå este neglijabilå.Debitul mediu lunar minim anual cu asigurarea de 95% pe afluentul B însec¡iunea 1 în regim natural este de 0,03 ; aportul de debit în acelea¿icondi¡ii între sec¡iunile 1 ¿i 2 este de 0,47 , în sec¡iunea 2 debitul mediulunar minim anual cu asigurarea de 95% având valoarea de 0,50 . Pe râul Paportul de debit în regim natural la asigurarea de 95% între sec¡iunile 3 ¿i 4 estede 2,5 , din care 0,5 reprezintå aportul afluentului B (fig. 13.2.2); înfigura 13.2.2, pentru comoditate, aporturile de bazin au fost reprezentate caintråri concentrate.

/sm3

/sm3

/sm3

/sm3 /sm3

Fig. 13.2.1. Reprezentarea schematic ă a bazinului hidrografic al râului P.

302



0,03

Fig. 13.2.1. Regimul hidrologic pentru asigurarea de 95%.

Valorile admisibile L ale indicatorilor de calitate ai apelor de suprafa¡åpentru categoriile I, II respectiv III, conform STAS 4706-88 sunt prezentate peliniile 1, 2 ¿i 3 din tabelul 13.2.1. Pe liniile 4 ¿i 5 sunt trecute concentra¡iileechivalente la din sec¡iunile de supraveghere ¿i , iar pe liniile 6 ¿i7 concentra¡iile din sec¡iunile ¿iS , pentru aceia¿i indicatori de calitate.Comparând aceste valori cu limitele L din STAS rezultå categoria de calitate asectoarelor de râu, trecutå în coloana 11 din tabelul 13.2.1. Pe sectorul analizat,nu existå activitå¡i agricole semnificative, ceea ce face ca poluarea difuzå såpoatå fi neglijatå.

%95Q S 1 S 2S 3 4

¥n vederea modernizårii ¿i dezvoltårii sta¡iei de epurare, Regia de Apå Canala ora¿ului are în vedere oprirea liniei 1 de epurare ¿i trecerea întregului debit deapå uzatå prin liniile 2 ¿i 3. Linia 2 va epura un debit de 2,4m 3 s / , asigurândpe perioada modernizårii doar o epurare mecanicå, în timp ce linia 3 va epuraatât mecanic cât ¿i biologic diferen¡a de 1,8m s3 / .

Indicatorii de calitate ai apelor uzate, deversate în râul B dupå epurare înnoile condi¡ii, sunt prezenta¿i dupå cum urmeazå:− pe linia 8 din tabelul 13.2.1 pentru evacuarea aferentå liniei 2 la care se

practicå doar o epurare mecanicå;− pe linia 9 din acela¿i tabel pentru evacuarea corespunzåtoare liniei 3,

dupå epurarea mecanicå ¿i biologicå.

303



Se cere: Så se determine debitele defluente din lacul L, astfel încât pe râul P în aval

de confluen¡a cu afluentul B, så se påstreze categoria a II-a de calitate,anterioarå începerii retehnologizårii sta¡iei de epurare. Se va ¡ine cont de faptulcå în conformitate cu graficul dispecer, din acumulare nu se pot elibera maimult de 73m3 s / . Pentru simplitatea calcului se va considera cå fenomenul deautoepurare nu intervine nici pe râul principal ¿i nici pe afluent.

Rezolvare:

a) Concentra¡ia amestecului pentru cele douå evacuåri ale sta¡iei deepurare, considerate ca o surså de poluare globalå, se determinå cu formula:

c a

ca =32

3322qq

qcqc++

, (13.2.1)

unde:¿i sunt concentra¡iile indicatorilor de calitate pentru evacuarea 2,

respectiv evacuarea 3 a sta¡iei de epurare;2c 3c

¿i - debitele epurate pentru cele douå evacuåri ale sta¡iei.2q 3q

Aplicând rela¡ia (13.2.1) pentruCB rezultå:O 5

ca =8,14,2

8,1804,290+

⋅+⋅ = 85,7 .l / mg

Procedând analog ¿i pentru ceilal¡i indicatori de calitate, rezultå concen-

tra¡iile de amestec care sunt trecute pe linia 10 din tabelul 13.2.1.ca

b) Concentra¡iile ale indicatorilor de calitate pe râul B în sec¡iunea 2, în timpul lucrårilor de reabilitare a sta¡iei de epurare se determinå cu rela¡ia:

'2C

( )%952

32%95

11'2 Q

qqcQC

C a

++=

, (13.2.2)unde:

este concentra¡ia echivalentå în sec¡iunea I corespunzåtoare1C debitului mediu lunar minim anual cu asigurarea de 95%;

- concentra¡ia amestecului provenit de la sta¡ia de epurareac în condi¡iile lucrårilor de modernizare;

304



305

%951

%952Q

m s3 Necesarul de 5,6 pentru ora¿ se asigurå prin pompare din lacul L cu oasigurare de 95%; prin urmare, debitul epurat

Q ¿i sunt debitele medii lunare minime anuale cu asigurarea de95% în sec¡iunile 1 ¿i 2.

Totu¿i, aceastå situa¡ie poate fi acceptatå pe perioada lucrårilor (aproximativ1 an), având în vedere urmåtoarele considerente:

Procedând în mod analog ¿i pentru ceilal¡i indicatori rezultå concentra¡iiledin linia 11 a tabelului 13.2.1. Comparând concentra¡iile în sec¡iunea 2 în

cele douå situa¡ii: înainte de începerea lucrårilor de modernizare a sta¡iei (linia10), respectiv ulterior acestui moment (linia 11) se constatå cå situa¡ia calitå¡iiapei pe râul B aval de sec¡iunea 2 se înråutå¡e¿te.

Concentra¡iile indicatorilor de calitate pentru aportul subteran de 0,47

=+ 32 qq /sm3

%952

32%9521

%951

%952

qqQQQ ++∆+=−

%9521−∆Q

2q 3q

4,2 care serestituie în afluentul B al râului P are acela¿i grad de asigurare. ¥n acestecondi¡ii, debitul mediu lunar minim anualQ cu asigurarea de 95% areexpresia:

;

unde reprezintå aportul de debit cu probabilitatea de depå¿ire de 95% între sec¡iunile 1-2; ¿i - debitele de la sta¡ia de epurare.

Prin urmare, concentra¡iile în sec¡iunea 2 în condi¡iile reabilitårii sta¡iei sedeterminå cu rela¡ia:

( )32

%9521

%21

%9511

qqQ

qqcQC a++∆+

++

−

O 5

951

'2 Q

C =

Aplicând rela¡ia anterioarå pentruCB rezultå:

80,768,147,02,47,8503'

2 =++ 4,2003,

,02,34+

⋅+⋅=C mg/ l .

m s3 / dintre sec¡iunile 1 ¿i 2 au fost considerate aproximativ egale cu zero.

'2C



306

Determinarea debitelor defluente din acumularea L

Debite (m s3 / ) Indicatori de calitate (mg/l )Nr. Caracteris-

tica Q95% m s3 /

q e m s3 /

CBO 5 CCOMn Reziduufix

Suspensii

NH 4+ Fenol

1 I L 5 10 750 1 0,001

2 II L 7 15 1000 3 0,02

3 III L 12 25 1200 10 0,05

4 1C 0,03 - 34,2 50,9 773,6 63,9 4,72 0,01

5 2C 4,7 - 50,1 61,4 539,7 75,9 1,9 0,019

6 3C 25 - 2,3 5,7 314,8 34,3 0,32 0,01

7 4C 27 - 5,5 10,9 343,8 45,7 1,2 0,018

8 2c 2,4 90 80 1200 130 20 0,05

9 3c 1,8 80 70 1200 100 15 0,05

10 ac 4,2 85,7 75,7 1200 117,1 17,9 0,05

11 '2C 76,8 67,9 1077,2 107,2 16 0,045

12 LQ 101 47,3 95,1 17,3 76,3 11,3

13 '4C 6,63 9,22 288,33 37,74 1,23 0,012



− nu pot fi asigurate debite pentru o dilu¡ie corespunzåtoare pe râul B;− sectorul de râu aval de sec¡iunea 2 era degradat chiar ¿i înainte de

începerea lucrårilor de modernizare a sta¡iei de epurare.c) Calculul debitelor defluente din lacul L. Deoarece pe râul P, pe

sectorul cuprins între lacul L ¿i sec¡iunea 3 nu existå surse de poluare,concentra¡ia apei defluente din lac poate fi consideratå egalå cu cea måsuratå înaceastå sec¡iunea; de asemenea, în lipsa unui aport semnificativ de debit întresec¡iunea lacului ¿i sec¡iunea 3, debitul defluent din lac ¿i debitul din sec¡iunea3 sunt practic egale. În aceste condi¡ii, ecua¡ia debitului masic pe sectorulanalizat este:

4%9543

%952

'2

%9523 )( CQQQCQCQ L L

⋅∆++=⋅+⋅ − ,

unde:reprezintå debitul de dilu¡ie care trebuie livrat din lac; LQ

- debitul mediu lunar minim anual, cu probabilitatea dedepå¿ire de 95% din sec¡iunea 2;

%952Q

- aportul de debit cu probabilitatea de depå¿ire de 95% între sec¡iunile 3-4;

%9543−∆Q

- concentra¡ia apei defluente din lac;3C

- concentra¡ia în aval de sta¡ia de epurare dupå începerea'2C lucrårilor de reabilitare a liniei 1;

- concentra¡ia anterioarå începerii lucrårilor demodernizare, asigurate dupå acest moment prin

cre¿terea debitului de dilu¡ie din lac.

4C

ºinând cont de faptul cå:

/sm7,48,14,247,003,0 3%952 =+++=Q

ecua¡ia amestecului pentru sec¡iunea 4 devine:

4'23 )7,6(7,4 CQCCQ L L ⋅+=⋅+⋅

Din aceastå rela¡ie rezultå debitul care trebuie tranzitat spre aval din lacpentru a påstra în sec¡iunea 4 concentra¡iile anterioare începerii lucrårilor demodernizare a sta¡iei:

LQ

344

'2 7,67,4

CCCC

Q L −−= .

307



Evident, debitul rezultå diferit de la indicator la indicator, dupå cum seobservå ¿i din linia 12 a tabelului 13.2.1. Din tabel rezultå cå, pe perioadamodernizårii liniei 1 a sta¡iei de epurare, debitul necesar care trebuie eliberat dinacumulare corespunde valorii maxime a debitelor calculate, fiind de 101

LQ

m s3 / .Conform graficului dispecer inså, din acumulare nu se pot elibera mai mult de73 m 3 s / . Acest debit permite realizarea unui grad de dilu¡ie corespunzåtordoar pentru o parte dintre indicatorii de calitate.

Concentra¡iile efectiv rezultate în sec¡iunea 4 în noile condi¡ii, notate prin, devin:'

4C

7,79737,4

3

'

2'4

CCC

⋅+⋅

= . (13.2.6)

Din aceastå ecua¡ie, rezultå de exemplu pentru urmåtoarea valoare aconcentra¡iei:

CBO 5

7,42733,2738,767,4'

4 ++⋅+⋅=C = 6,63 mg/ l .

Valorile efectiv rezultate ale concentra¡iei pentru debitul defluent de 73m3 s / din acumulare sunt prezentate pe linia 13 a aceluia¿i tabel.

Rezultå cå evacuarea acestui debit din lacul L are urmåtoarele implica¡iiasupra calitå¡ii apei din aval:

− pentru , concentra¡ia ini¡ialå de 5,5 mg/ l este depå¿itå, dar sepåstreazå categoria a II-a de calitate a râului deoarece concentra¡iarezultatå în noile condi¡ii este inferioarå valorii limitåpentru aceastå categorie:

CBO 5

63,6'4 =C L II

63,6'

4 5 =CBOC mg/ l < 7= II L mg/ l .

− pentru (amoniu) rezultå o concentra¡ie practic egalå cu cea calculatå înainte de începerea lucrårilor de modernizare a sta¡iei; într-adevår:4NH

23,17,79

32,073167,4'NH4 4

=⋅+⋅=C mg/ l .

308



− pentru restul indicatorilor de calitate, ca urmare a debitelor importanteevacuate din lacul L, se ob¡ine un grad de dilu¡ie mai bun în raport cusitua¡ia anterioarå retehnologizårii sta¡iei; de exemplu, pentru CCOMnrezultå:

22,97,79

7,5739,677,4'CCOMn4 =⋅+⋅=C lmg/ ;

− ca urmare a celor aratate anterior, rezultå cå concentra¡iile de ,¿i fenoli determinå încadrarea râului P în aval de confluen¡a cu

afluentul B în categoria II de calitate, ceea ce înseamnå în fond påstrareacondi¡iilor de calitate anterioare modernizårii sta¡iei de epurare a ora¿ului.

CBO 5

4NH

309



14

GOSPOD ĂRIREA DEBITELOR MEDII

Aplica ţia 14.1

PREDIMENSIONAREA VOLUMULUI UNUI LAC DE ACUMULARE

Pe râul R, în sec¡iunea S, se dispune de ¿irul debitelor medii lunare pentruperioada 1945-1969 (tab. 14.1.1). Imediat în aval de sec¡iunea S se aflå priza deapå a unei folosin¡e de tip urban, cu debitul instalat de 1,53m s / .

B =

¿i

cest excedent poate fi re¡inut într-un lac de

te fi eventual compensat pe baza excedentelor re¡inute în

regåse¿te într-o formå sau alta în toatemetodele de calcul din acest domeniu.

Se cere så se stabileascå volumul minim necesar al unui lac de acumulare însec¡iunea S, astfel încât gradul de satisfacere al folosin¡ei så fie de 97%.

Rezolvare:

14.1.1. Cazul în care lacul deserve¿te o singurå folosin¡å. Admi¡ând cåfolosin¡a preia apa direct din lac, prima etapå a calculului o constituie efectuareabilan¡ului debitelor în sec¡iune:

afl Q , (14.1.1)-Q nec

unde reprezintå debitul afluent, iarQ nec debitul necesar în aceea Q afl

sec¡iune.Dacå Q afl >Q nec , bilan¡ul este pozitiv ¿i în sec¡iune existå unexcedent al

sursei în raport cu necesarul. Aacumulare, în vederea utilizårii lui viitoare.

Dacå Q afl <Q nec , bilan¡ul este negativ ¿i în sec¡iune se înregistreazå undeficit de apå, care poa perioadele anterioare.

Acumularea unor volume de apå în perioadele excedentare în vedereautilizårii lor în perioadele deficitare ulterioare constituie de fapt ideea de bazå agospodåririi cantitative a apelor ¿i se

311



Debite afluente lunare ( m s3 / )

LunaAnul

I II III IV V VI VII VIII IX

1945 1,54 1,39 4,93 4,31 4,89 2,93 2,62 4,31 1,621946 1,39 3,70 4,62 4,31 3,00 1,54 0,92 0,77 0,461947 0,31 4,16 5,70 2,23 0,77 0,46 1,31 1,08 2,001948 6,24 2,39 3,23 3,39 2,31 4,31 4,47 1,93 1,391949 2,18 1,54 5,24 3,77 2,00 4,47 5,62 0,93 1,461950 1,08 5,23 4,00 3,00 2,04 1,07 0,92 1,38 0,921951 2,31 3,08 5,39 4,15 2,61 2,46 1,77 1,31 0,771952 1,69 3,38 3,85 6,62 2,92 1,92 0,61 0,74 1,071953 3,04 2,07 2,59 3,89 2,49 0,06 1,21 1,13 0,851954 0,53 0,47 3,23 2,88 3,93 4,69 1,98 1,68 1,401955 3,85 3,85 5,35 5,25 7,16 4,15 4,24 3,36 1,081956 4,54 1,69 1,95 10,90 4,52 2,48 3,21 1,09 0,831957 0,77 5,15 7,53 6,76 4,66 4,65 2,67 1,75 1,981958 3,27 10,50 3,94 10,60 9,55 4,19 3,80 1,45 0,831959 3,44 2,74 3,82 4,31 1,47 2,25 1,34 2,31 0,781960 3,67 3,83 3,88 5,55 2,67 2,24 3,99 3,11 0,981961 1,80 0,46 2,17 3,69 1,79 1,47 0,83 0,62 0,381962 3,40 1,72 5,40 16,30 4,70 1,80 3,12 1,06 0,591963 1,69 1,37 2,47 7,16 2,69 1,98 0,98 0,81 0,611964 0,62 0,53 3,63 8,15 2,98 1,71 0,83 1,61 1,591965 1,78 3,58 4,15 5,64 4,55 6,67 1,60 1,01 1,021966 2,29 5,07 2,88 4,95 1,90 4,45 2,91 3,18 2,121967 2,30 1,10 6,11 10,60 4,45 1,76 0,77 0,58 0,391968 1,36 3,19 5,30 11,40 3,80 1,05 0,80 3,10 3,971969 1,67 1,27 2,32 4,53 2,40 4,26 2,26 1,63 0,62

312



Predimensionarea volumului lacului de acumulare se efectueazå utilizândconceptul de calcul delac semifinit . Modul de lucru constå în examinareavaria¡iei volumelor golite dintr-un lac limitat superior, care nu se poate umplepeste o anumitå limitå corespunzåtoare nivelului de lac plin, dar care se poategoli oricât de mult pentru a face fa¡å situa¡iilor deficitare în apå din exploatare.Cu alte cuvinte, orice deficit poate fi compensat pe seama volumelor din acestlac; în schimb, re¡inerea excedentelor este posibilå doar par¡ial ¿i anume pânå laumplerea lacului, dupå care urmeazå deversarea acestora (fig. 14.1.1). Dupåcum se observå din figura 14.1.1, axa absciselor corespunde unui volum golitnul, respectiv situa¡iei de lac plin.

Deoarece volumul lacului nu este cunoscut, el urmând a fi determinat, încalcul nu intervin volume de apå existente în lac, civolume golite în raport cusitua¡ia de lac plin.

Fig. 14.1.1. Varia ţia volumelor de ap ă din lac.

> ). Aceastå împår¡ire nu are uncar

excedente temporare de apå, cu mic¿ în urtå duratå dego

ciclu de golire-umplere

¥n principiu, în cadrul simulårii evolu¡iei volumelor golite din lac se distingeo ramurå de golire a lacului (W t 2 >W t pentru un timpt 2 > t 1 ) ¿i oramurå de

1

umplere (W t 4 <W t 3 pentru momentult 4 t 3

acter absolut, pe ramura de golire, de exemplu existând ¿i situa¡ii de

orarea corespunzåtoare a volumului golit;mod similar, pe ramura de umplere pot exista ¿i situa¡ii de sclire a lacului.Umplerea lacului continuå pânå când volumul golit devine nul. Orice

excedent de apå nu mai poate fi re¡inut în lac, fiind pierdut prin deversare;volumul golit din lac råmâne nul atâta timp cât dureazå perioada excedentarå.

Intervalul de timp dintre douå momente succesive de lac plin se nume¿te.

313



estimarea capacitå¡ii lacului, care permite satisfacerea cu diverse grade deasigur Se vo dee d

A. primul, bazat pe ¿irul valorilor clasabile ale volumelor golite maxime anuale;B.

A. La situa¡ii ( M eametodei pe ¿iruri cronologice - ICPGA, 1970):

Ciclul de golire-umplere se realizeazå în cadrul fiecårui an (regularizare

icon olu

- da < i volum constituie valoareacl lå ntru anu

Dupå construirea graficului de varia¡ie a volumelor golite se procedeazå la

are a folosin¡elor considerate.r descrie douå proce e calcul:

al doilea, plecând de la curba de duratå a volumelor golite.

determinarea ¿irului volumelor clasabile se pot întâlni urmåtoareleetode de calcul de gospodårire a apelor pentru folosin¡e; prezentar

sezonierå sau anualå). ¥n acest caz maximul anual constituie valoareclasabilå.

Ciclul de golire-umplere dureazå doi sau mai mul¡i ani (regularizaremultianualå).- dacå volumul golit maxim din al doilea an este mai mare decât cel din

valor anul precedent ( maxiW >W i −1

max ), atunci fiecare din cele douåstituie v

cå W ima

me clasabile; x , atunc x W i −1

ma W i −1maxul

1asabi pe l −i , în timp ce volumul clasabil pentru anuli se ob¡ine ca diferen¡å între valoarea maximå ¿i minimå din acel an(fig. 14.1.2):

i W W W −= . (14.1.2)

i de calcul sunttilizate apoi pentru construirea func¡iei empirice de reparti¡ie a volumelor

golite (tab. 14.1.2). Valoarea corespunzåtoare probabilitå¡ii de depå¿ire p% reprezintå volumul de lac necesar pentru satisfacerea cu asigurarea p% afolosin¡ei deservite.

Tabelul 14.1.Calculul curbei empirice a probabilit ăţilor de nedep ăş ire a volumelor golite

Anul Volumclasabil(mil.

minmaxi

cl i

Valorile clasabile ob¡inute pentru fiecare an al perioadeu

W g p%

m 3 )

Volume ordonatecrescåtor(mil.m 3 )

i p in

= −+

⋅0 30 4

100 , ,

(%)

12M n

Not ă : i reprezintå numårul de ordine al volumului din ¿irul ordonat crescåtor.

314



Fig. 14.1.2. Scheme tip pentru stabilirea volumelor clasabile.

respunzåtor

., 1984)se construie¿te în primul rând curba de duratå a volumelor (fig. 14.1.4).

Func¡ia empiricå de reparti¡ie a volumelor golite permite ob¡inerea cusuficientå precizie, fie direct, fie prin interpolare a volumului co

unei anumite probabilitå¡i de satisfacere a folosin¡elor (fig. 14.1.3).B) ¥n cealaltå variantå de estimare a capacitå¡ii lacului (R. Drobot ¿.a

Fig. 14.1.3. Func ţia de reparti ţie empiric ă a volumelor.

315



Fig. 14.1.4. Construirea curbei de durat ă a volumelor golite.

Pentru o valoare oarecare , se determinå grafic timpul t t pentru

på¿it. Probabilitatea de depå¿ire avolumului golit se determinå s

W i ij i1

care acest volum golit este egalat sau de

∑=

=in

j

pi

W i cu o rela¡ie imilarå ca la punctul A:

p T ii

= t −

+ ⋅0

0 4 1 ,

% , (14.1.3)3

00 ,unde:

ii t T max= . (14.1.4)

Volumul corespunzåtor reprezintå capacitatea lacului de acumulare caresatisface folosin¡ele cu probabilitatea

W i%.)1( i p−

Algoritm:

Pasul 1.

Pasul 2. în func¡ie

.5)

Pentru fiecare lunå j , se calculeazå bilan¡ul j B ( j = 1, 2, ..., 12 N ),unde N este numårul de ani ai perioadei de calcul.

Se determinå, la sfâr¿itul fiecårei luni j , volumul golit W j de volumul golit anteriorW ant :

j W =W ant - 2,63 j B . (14.1

Pentru 0,1 ==ant W j ; pentru ,1> j 1−=

j ant W W .

316



Bilan¡ul j B are dimensiuni de debit ¿i se exprimå înm s3 / ;factorul 2,63 reprezintå numårul de milioane de secunde din lunamedie, deci produsul 2,63 B va fi exprimat în milioanem 3 . j

Volumele golite rezultå de asemenea în milioane .Pasul 3. Dacå 0, se sare la pasul 5.

arvaloarea respectivå nu poate ps-a aråtat prin deversare; ca urmare, lacul este plin, iar volumul golit

a ob¡inutå se ajusteazå la = 0.Pasul 5. 2 N , se reia calculul de la pasul 2, pânå la epuizarea întregii

per dPasul 6. Se c sele o necesa importan¡å a folosin¡ei deservite,

Algor l ex s l în careil ¡u B r.

ul (i = 1,..., N ; j = 1,...12); primul

:

- 2,63 . (14.1.7)

⇒ (volumul ini¡ial la începutul lunii 1

Pasul 3. Dacå ≥ 0, se sare la pasul 5.

m 3

j W ≥

Pasul 4. Dacå j W < 0, volumul ob¡inut este situat peste nivelul de lac plin, dfi åstratå în lac ¿i se pierde dupå cum

este nul; deci dacå j W < 0, valoare j W Dacå j ≤ 1

ioa e de calcul.pro edeazå la c¡i narea volumului care permite satisfacerea

rului de apå cu o probabilitate prestabilitå, func¡ie de clasa de

itmul de calcu pu anterior va fi reformulat ¿i pentru cazub an l este exprimat sub formå de matrice ¿i nu de vector ca în cazul anterioPasul 1. Se calc eazå matricea bilan¡uluiij B

indice se referå la anul de calcul, iar al doilea la lunå:ij B = nec

ij afl ij QQ − . (14.1.6)

Pasul 2. Se calculeazå volumul golit la sfâr¿itul lunii j din anuli cu rela¡ia

ij W =W ant ij B

Se disting urmåtoarele cazuri: j = 1;

− i = 1; în acest cazW ant = 0 (lacul este ini¡ial plin);− i > 1 W ant = 12,1−iW

este egal cu volumul de apå din lac de la sfâr¿itul lunii 12 dinanul anterior);

j > 1 ⇒ W ant = 1, − j iW (volumul gol în lac la începutul lunii j este egal cu volumul golit la sfâr¿itul lunii j - 1 din acela¿i an).

ij W

317



PasulPasul 5. ≤ Pasul

14 sin¡e cu acela¿i gradde asi r la care sfolosin¡å

amplasat erare aurmåt o At

bil ulåri

å; dacå lacul va acoperi acest deficit,

Mai departe se lucreazå doar cu aceste valori, ca ¿i când în aval de lacul deacuefectucoord cumul cele mai defavorabile de pe râul sau

onsonul de râu examinat. Pozi¡ia sec¡iunii fictive cumulative se poate modificade la lunå la lunå în lungul râului, ce a ce explicåcoordonarea bilan¡ului calculele se simplificå mult. ¥n cazul unor folosin¡e

4. Dacå ij W < 0⇒ ij W = 0.≤Dacåi N ¿i j 12, se reia pasul 2 pânå la parcurgerea întregii peri-

oade de calcul.6. Urmeazå alegerea capacitå¡ii lacului corespunzåtor gradului de

asigurare p%.

.1.2. Cazul în care lacul deserve¿te mai multe folo gu are, dar situate în sec¡iuni diferite. Spre deosebire de cazul precedent

e pune problema dimensionårii unui lac care deserve¿te o singuråcu prelevare din sec¡iunea acumulårii, în acest caz folosin¡ele sunt

e în lungul râului; aceasta conduce la necesitatea luårii în considoarelor aspecte:unci când în amonte de acumulårile existente sau proiectate existå

sec¡iuni de calcul deficitare, se procedeazå lacorectarea rezultateloran¡ului . Se ¡ine astfel seama de faptul cå în amonte de acum

resursele de apå sunt insuficiente ¿i necesarul de apå din sec¡iunilerespective nu poate fi satisfåcut integral; ca urmare necesarul de apåcumulativ pentru sec¡iunile din aval trebuie mic¿orat în modcorespunzåtor.

o Debitul variazå în lungul râului ca urmare a aporturilor de debite difuzesau din afluen¡i. Pentru o lunå oarecare, func¡ie de debitul în regim

natural ¿i de necesarul de calcul din diversele sec¡iuni, se vor înregistraexcedente sau deficite. Pentru simplificarea calculelor, în fiecare lunå seva re¡ine doar situa¡ia cea mai defavorabilå, astfel:- dacå se înregistreazå doar deficite în sec¡iunile din aval de viitorul lac de

acumulare, se va re¡ine deficitul maxim în valoare absolutå, respectivdeficitul minim în valoare algebricdeficitele mai pu¡in severe vor fi ¿i ele rezolvate în mod implicit;

- dacå în aval sunt doar excedente, poate fi re¡inutå în lac valoareacorespunzåtoare excedentului minim;

- în sfâr¿it, dacå se înregistreazå ¿i excedente ¿i deficite, situa¡ia cea maidefavorabilå corespunde deficitului minim în valoare algebricå.

mulare, ar exista o singurå sec¡iune de calcul. Aceastå opera¡iune, care seeazå lunå de lunå, pe întregul ¿ir de ani de calcul, poartå denumirea deonarea rezultatelor bilan¡ului ¿i revine la definirea unei sec¡iuni fictiveative care så înglobeze situa¡iile

tr e denumirea utilizatå. Prin

318



s

319

ituate c¡iuacumulårii se face conform principiilor de la paragraful 14.1.1volumelor va calcula evident cu valorile bilan¡uluicoo

.asigurare diferite, amplas

fol

−

vor livra debiterestric¡ionate se ob¡ine cu rela¡ia:

în se ni diferite, dar având acela¿i grad de asigurare , dimensionarea; varia¡ia

de apå golite din lac serdonat din sec¡iunea fictivå cumulativå.

14 1.3. Cazul în care lacul deserve¿te mai multe folosin¡e cu grade deate în lungul râului. Dacågradul de asigurare al

osin¡elor este diferit , dimensionarea lacului se va face în mai multe etape:− ¥ntr-o primå etapå, se determinå bilan¡ul din sec¡iunea fictivå cumulativå,

respectiv varia¡ia volumelor golite din lac considerând necesarul integralal folosin¡elor.

Volumele clasabile pentru fiecare an al perioadei de calcul se utilizeazåpentru determinarea anilor în care trebuie introduse restric¡ii la folosin¡elede asigurare mai reduså; numårul anilor în care se

( ) 3,04,0% −+−=−=′ n pnmnm , (14.1.8)

unde ′m este numårul anilor neasigura¡i, celelalte nota¡ii påstrându-¿isemnifica¡iile obi¿nuite. Evident, restric¡iile se vor aplica în anii cuvolumele golite cele mai mari.

− Se refac calculele de bilan¡, livrând în anii neasigura¡i, debiterestric¡ionate folosin¡ei cu grad de asigurare mai redus.

− Se recalculeazå bilan¡ul coordonat între sec¡iuni în situa¡ia introduceriirestric¡iilor.− Se recalculeazå varia¡ia volumelor golite în cazul aplicårii restric¡iilor ¿i

se selec¡ioneazå volumul care corespunde gradului de asigurare alfolosin¡ei mai importante; dacå de exemplu folosin¡ele deservite sunt detip urban ¿i agricol, volumul golit maxim astfel selec¡ionat satisfacealimentårile cu apå cu o probabilitate de 97% (pentru un ¿ir de25 - 30 ani) ¿i iriga¡iile cu un grad de asigurare de 80%.

* * *

Pentru exemplul considerat, lacul deserve¿te singurå folosin¡å situatå în

sec¡iunea acumulårii. Calculele de bilan¡ efectuate în tabelul 14.1.3 aratå cå înregim natural doar într-un singur an se livreazå folosin¡ei debitul necesar, fåråapari¡ia unor deficite; rezultå deci o probabilitate de satisfacere sub 4%. Esteevident cå un grad de asigurare de 97% nu poate fi realizat decât prinregularizarea debitelor cu ajutorul unui lac de acumulare.

Varia¡ia volumelor golite din lac este calculatå în tabelul 14.1.4, iar graficulcorespunzåtor este prezentat în figura 14.1.5.

circa

o



Bilan ţul debitelor ( m s3 / ) Qn = 15 , m s3 /

LunaAnul


1945 0,04 - 0,11 3,43 2,81 3,39 1,43 1,12 2,81 0,121946 - 0,11 2,20 3,12 2,81 1,50 0,04 - 0,58 - 0,73 - 1,041947 - 1,19 2,66 4,20 0,73 - 0,73 - 1,04 - 0,19 - 0,42 0,501948 4,74 0,89 1,73 1,89 0,81 2,81 2,97 0,43 - 0,111949 0,68 0,04 3,74 2,27 0,50 2,97 4,12 - 0,57 - 0,041950 - 0,42 3,73 2,50 1,50 0,54 - 0,45 - 0,58 - 0,12 - 0,581951 0,81 1,58 3,89 2,65 1,11 0,96 0,27 - 0,19 - 0,731952 0,19 1,88 2,35 5,12 1,42 0,42 - 0,89 - 0,76 - 0,431953 1,54 0,57 1,09 2,39 0,99 - 1,44 - 0,29 - 0,37 - 0,65 1954 - 0,97 - 1,03 1,73 1,38 2,43 3,19 0,48 0,18 - 0,101955 2,35 2,35 3,85 3,75 5,66 2,65 2,74 1,86 - 0,421956 3,04 0,19 0,45 9,40 3,02 0,98 1,71 - 0,41 - 0,671957 - 0,73 3,65 6,03 5,26 3,16 3,15 1,17 0.25 0,481958 1,77 9,00 2,44 9,10 8,05 2,69 2,30 - 0,05 - 0,671959 1,94 1,24 2,32 2,81 - 0,03 0,75 - 0,16 0,81 - 0,721960 2,17 2,33 2,38 4,05 1,17 0,74 2,49 1,61 - 0,521961 0,30 - 1,04 0,67 2,19 0,29 - 0,03 - 0,67 - 0,88 - 1,121962 1,90 0,22 3,90 14,80 3,20 0,30 1,62 - 0,44 - 0,911963 0,19 - 0,13 0,97 5,66 1,19 0,48 - 0,52 - 0,69 - 0,89 1964 - 0,88 - 0,97 2,13 6,65 1,48 0,21 - 0,67 0,11 0,091965 0,28 2,08 2,65 4,14 3,05 5,17 0,10 - 0,49 - 0,481966 0,79 3,57 1,38 3,45 0,40 2,95 1,41 1,68 0,621967 0,80 - 0,40 4,61 9,10 2,95 0,26 - 0,73 - 0,92 - 1,11 1968 - 0,14 1,69 3,80 9,90 2,30 - 0,45 - 0,70 1,60 2,471969 0,17 - 0,23 0,82 3,03 0,90 2,76 0,76 0,13 - 0,88

320



321

Va = 15 ,ria ţia volumelor golite ( 10 n6 3m ) Q m s3 /

LunaAnul


1945 0 0,29 0 0 0 0 0 0 01946 0,29 0 0 0 0 0 1,53 3,44 6,181947 8,18 1,18 0 0 1,92 4,65 5,15 6,25 4,941948 0 0 0 0 0 0 0 0 0,291949 0,95 0,84 0 0 0 0 0 1,50 1,601950 1,10 0 0 0 0 1,13 2,65 2,97 4,491951 0 0 0 0 0 0 0 0,50 2,421952 7,50 2,55 0 0 0 0 2,34 4,34 5,461953 0 0 0 0 0 3,78 4,55 5,52 7,231954 12,55 15,25 10,70 7,06 0,68 0 0 0 0,261955 0 0 0 0 0 0 0 0 1,101956 0 0 0 0 0 0 0 1,08 2,841957 1,92 0 0 0 0 0 0 0 01958 0 0 0 0 0 0 0 0,13 1,891959 0 0 0 0 0,08 0 0,42 0 1,891960 0 0 0 0 0 0 0 0 1,371961 0 2,74 0,97 0 0 0,08 1,84 4,16 7,101962 6,00 5,41 0 0 0 0 0 1,15 3,551963 8,97 9,32 6,76 0 0 0 1,37 3,18 5,521964 9,05 11,60 6,00 0 0 0 1,76 1,47 1,241965 0 0 0 0 0 0 0 1,29 2,551966 0 0 0 0 0 0 0 0 01967 0 1,05 0 0 0 0 1,92 4,34 7,251968 10,94 6,50 0 0 0 1,19 3,03 0 01969 0 0,60 0 0 0 0 0 0 2,31



F . 14.1 ria ţia e olite

elu

Valorile volumelor golite maxime şi probabilit ăţil de nede ăşire aferente

A

ig .5. Va volum lor g .

Tab l 14.1.5

e p

nul Volumclasabil

(mil.

Volumeordonate

crescåtor

i

3m ) (mil. 3m)

1004,03,0⋅

+−=

ni

pAnul Volum

clasabilVolumeordonate

i

(%) 3m ) (mil. 3m )(mil. crescåtor

1004,03,0⋅

+−=

ni

p

(%)

1945 1,53 0 1 2,80 1958 1,89 5,02 14 54,001946 7,28 1,37 2 6,70 1959 4,28 5,46 15 57,001947 8,18 1,53 3 10,60 1960 1,37 7,28 16 62,001948 2,74 1,89 4 1,60 7,49 17 65,0014,50 1961 11949 3,31 1,92 5 18,50 1962 9,47 7,98 18 69,701950 4,49 19 73,602,74 6 22,40 1963 7,49 8,181951 7,98 20 77,503,03 7 26,40 1964 11,63 9,471952 5,46 3,21 0,00 21 81,508 30,30 1965 5,02 11953 10,00 3,31 9 34,30 1966 0 11,60 22 85,501 54 15,25 4,28 10 38,20 1967 12,50 11,63 23 89,5091955 3,21 4,49 11 42,10 1968 3,03 12,50 24 93,401956 4,50 4,50 12 46,00 1969 4,57 15,25 25 97,301957 1,92 4,57 13 50,00

¥n tabelul 14.1.5 este construitå func¡ia de reparti¡ie empiricå a volumelorclasabile maxime anuale.

Pentru un grad de asigurare de 97%, rezultå un volum necesar al lacului decu 25 milioane .m 3a mulare de 15,

322



Aplica ţia 14.2

aceia¿i sec¡iune este de 3 .Se cere så se stabileascå liniile caracteristice ale graficului dispecer (linia de

func¡ionare în regim asigurat ¿i linia de introducere a restric¡iilor) considerândgradul de asigurare al folosin¡ei de 97%; determinarea liniei de limitare adeversårilor se va efectua conform unei probabilitå¡i de nedeversare de 50%.

Rezolvare:

14.2.1. Cazul în care lacul deserve¿te o singurå folosin¡å .

Principii de calcul. Determinarea volumului acumulårii constituie doar oetapå a calculelor de gospodårire cantitativå a debitelor medii, în continuarefiind necesarå stabilirea modului de exploatare al lacului de acumulare. ¥n acestscop se elaboreazå grafice dispecer care furnizeazå organelor de gospodårire aapelor reguli privind operarea acumulårii.

Câmpul graficului dispecer este caracterizat de urmåtoarele liniicaracteristice (fig. 14.2.1):

CALCULUL LINIILOR CARACTERISTICE ALE GRAFICULUI DISPECER

Se considerå datele de bazå (debitele afluente ¿i debitul minim necesar însec¡iune) de la aplica¡ia 14.1. ¥n plus, se mai cunoa¿te cå debitul maxim necesar

/sm3 în

Fig. 14.2.1. Linii caracteristice ale graficului dispecer.

323



− Linia deFunc¡ionare înRegimAsigurat (LFRA);− Linia deIntroducere aRestric¡iilor (LIR);− Linia deLimitare aDeversårilor (LLD).

Aceste linii delimiteazå moduri diferite de exploatare a lacului de acumulare.14.2.1.1. Linia de F unc¡ionare în Regim Asigurat (LFRA) reprezintå

volumele de apå necesare în lacul de acumulare în anii asigura¡i pentru cavaloarea debitului minim necesar cu

gra

oducerea efectivå a restric¡iilor are loc la valori mult mai reduse ale

debitului minim de apå

necesare în lac la înc u

mite ca la sfâr¿itul perioadei de calcul volumul de apå din lac så fie nul.Se calculeazå apoi volumul necesar la î obligatoriu în lac la sfâr¿itul lunii ant ri

folosin¡ele deservite så fie satisfåcute la dul de asigurare dorit. Acelea¿i volume sunt înså insuficiente în anii

neasigura¡i ¿i teoretic imediat sub aceste valori ar trebui introduse restric¡iipentru folosin¡e; din punct de vedere practic inså, deoarece nu se cunoa¿teafluxul lunilor viitoare ¿i deci nu se ¿tie dacå anul examinat este excedentar saudeficitar, intr volumelor de apå din lac, corespunzând Liniei de Introducere a Restric¡iilor.

LFRA se construie¿te utilizând ca date de bazå ¿irul de excedente ¿i deficitecalculate pentru întreaga perioadå de calcul, considerând debitul minim necesar în sec¡iune (cerin¡a minimå) ; aceastå valoare corespundeproaspåtå care trebuie livrat folosin¡ei, diferen¡a pânå la debitul necesar fiindasiguratå prin recirculare.

¥n principiu, pentru un grad de asigurare dat, ordonata maximå a LFRA esteegalå cu valoarea ob¡inutå prin predimensionare ¿i reprezintå într-o primåaproxima¡ie volumul util al lacului de acumulare.

Calculul se desfå¿oarå în douå etape:• ¥ntr-o primå etapå se calculeazå volumele de apåep tul fiecårei luni, pentru ca în luna curentå ¿i lunile urmåtoare deficitele så

poatå fi acoperite pe baza volumului din lac;calculul se va desfå¿ura deci însens invers scurgerii timpului , de la ultima lunå a perioadei de calcul cåtreprima lunå.

Se adnceputul ultimei luni, care devine volume oare; pe baza acestuia se calculeazå

volumul necesar din lac la începutul penultimei luni etc.Valorile rezultate reprezintå volume care, dacå existå în lac, permit

satisfacerea integralå a folosin¡ei. ¥n cursul calculului, volumul de apå din lacpoate rezulta negativ; aceastå situa¡ie corespunde unor excedente deosebite saurepetate, folosin¡ele putând fi satisfåcute chiar dacå volumul de apå acumulat înlac la începutul lunii respective este nul. Acest fapt constituie ¿i justificareafizicå pentru înlocuirea imediatå a valorilor negative ale volumului prin zero,calculul continuând mai departe cu valoarea astfel corectatå.

324



• ¥n cea de-a doua etapå a calculului, se determinå pentru gradul den

lorilor dintr-o anumitå lunå în ordinerescåtoare, probabilitå¡ile de nedepå¿ire corespunzåtoare fiind calculate cu

rel

asigurare stabilit volumele de apå necesare î lac la începutul fiecårei luni.Pentru aceasta se procedeazå la clasarea va c

a¡ia:

4,0+3,0−= i

p , (14.2.1)ni

n i volumului din ¿irul ordonat crescåtor. Se ob¡ine

s ¡ii

de calcul este relativ redus, aceasta revine practic lagåsirea volumului maxim din fiecare lunå; de exemplu pentru o perioadå desimulare de 25 de ani, valoarea97%.

tul lunii.

(

♦ Ca

Pasul 1. k = 1, undek reprezintå o variabilå localå, pentru a permite calculul însens invers scurgerii timpuluul este permiså golirea

utul lu ii j :

2)

sare

as ⇒ cum s-a aråtatanterior, unei perioade excedentare.

: = .

u de este numårul de ordine alastfel linia de func¡ionare în regim a igurat, corespunzåtoare probabilitå

dorite. Dacå numårul de animaximå are probabilitatea de nedepå¿ire de circa

La reprezentarea grafic ă, se va ţine cont de faptul c ă ordonatele LFRAreprezint ă volume la începu

Algoritm. Bilan¡ul j B j = 1, ...,12 N ) sau B (i = 1, ..., N ; j = 1, ..., 12) sepresupune cunoscut de la aplica¡ia 14.1.1.

ij

zul în care bilan ţ ul este exprimat vectorial.

i;V fin = 0 , adicå la sfâr¿itul perioadei de calc

lacului de acumulare.Pasul 2. Se calculeazå volumele de apå j V necesare în lac la încep n ( j = 12 N - k + 1)

j V = V fin - 2,63 j B . (14.2.

Pasul 3. Dacå j V este nenegativ, având deci valoare zero sau pozitivå, se

la pasul 5.P ul 4. Dacå j V < 0 j V = 0; aceastå situa¡ie corespunde, a¿a

Pasul 5. Volumul necesar în lac la începutul lunii j devine volum final pentrucalculele de la urmåtorul pas:

V fin j V

325



Pasul 6. k : =k + 1; dacåk ≤ 12 N se sare la pasul 2.Pasul 7. Volumele necesare în la în 12 clase de echivalen¡å

i; se noteazå cuindicele clasei.

gradului de asigurare dorit. Fie (

ul este exprimat sub form ă matricial ă .

k = 1 k, cât ¿im, sunt variabile cu caracter local, pentru aului;

+ 1.

Pasul 3. ul:

leazå volumul necesar în lac la începutul lunii j din anuli:

c se grupeazå ____

12,1= J corespunzåtoare celor 12 luni ale anulu

Pasul 8. Pentru fiecare claså de echivalen¡å se stabile¿te valoarea volumuluinecesar în lac cu probabilitatea de nedepå¿ire corespunzåtoare

)12,1 ____

= J cele 12 ordonate LFRA J V

lunare ale LFRA astfel ob¡inute.

♦ Cazul în care bilan ţ

Pasul 1. ; m = 1; atâtpermite calculul în sens invers scurgerii timp

V fin = 0.

Pasul 2. Se calculeazå indicele anului de calcul:

i = N - k

Se calculeazå indicele lunii de calc

j = 12 -m + 1.Pasul 4. Se calcu

ij finij BV V 63,2−= . (14.2.3)

Pasul 5. DacåV ij este ne-negativ se sare la pasul 7.

Pasul 6. DacåV ij < 0⇒ V ij = 0.

Pasul 7. : =

Pasul 8. m : =m + 1; dacåm ≤ 12 se sare la pasul 3.Pasul 9. m = 1;k : =k + 1. Dacå N se sare la pasul 2.

lunare ale LFRA astfel ob¡inute.

V fin V ij .

k ≤ Pasul 10. Pentru fiecare lunå J se calculeazå volumul de apå necesar în lac pentru ca folosin¡a så fie satisfåcutå cu probabilitatea corespunzåtoare

gradului ei de importan¡å. Fie LFRA J V ( )12,1

____= J cele 12 ordonate

326



Indiferent de modul în care se calculeazå bilan¡ul, valorile LFRA J V sunt

evident acelea¿i.¥n principiu, graficul LFRA constå dintr-oramurå de umplere ¿i oramurå

de golire . Uneori este posibil ca din cauza ¿irului relativ scurt de date de bazå: de exemplu,

ecumpra 14.

(20-25 de ani) så aparå anumite anomalii în aceastå alurå standardp ramura de umplere se pot înregistra diminuåri locale ale ordonatelor, dupå

pe ramura de golire pot apare cre¿teri cu caracter local; în mod frecvent, încticå se recurge la ajustarea graficului, dupå cum se poate vedea din figura2.2.

Fig. 14.2.2. Corectarea LFRA.

.2.1.2. Linia de Introducere a Restric¡iilor (LIR). Pentru a preveni golireaetå a lacului ¿i func¡ionarea în regim natural în perioadele deficitare se

14complintroduc restric¡ii în ceea ce prive¿te mårimea debitelor livrate cu mult înainte îna mari,restric

inte de golirea completå a acumulårii. Cu alte cuvinte, în locul unor deficiteconcentrate pe perioade scurte se preferå o perioadå mai îndelungatå cu¡ii de debite, dar cu deficite mai reduse.

LIR reprezintå volumele sub care se introduc restric¡ii în anii neasigura¡i.Calculul se efectueazå însens cronologic , iar valorile rezultate reprezintå

volume existente în lac lasfâr¿itul lunii. ¥n legåturå cu modul de calcul, sunt de fåcut unele observa¡ii:−

Ca date de bazå se folose¿te ¿irul de excedente ¿i deficite utilizat pentruob¡inerea LFRA (corespunzåtor cerin¡ei minime a folosin¡ei).− Punctul de pornire al calculelor îl constituie începutul ramurii de umplere

a LFRA; pânå la acel moment volumele vor fi considerate egale cu celeprescrise de LFRA. O altå variantå o constituie considerarea la începutulprimei luni a perioadei de calcul a unui volum de apå în lac egal cu celprescris de LFRA. ¥n orice caz, nu se va considera lacul ini¡ial gol,deoarece pânå la inceperea perioadei de umplere ar rezulta volume de lac

327



nule, ceea ce ar conduce la coborârea artificialå a liniei de introducere arestric¡iilor.

− Dacå în cursul calculului rezultå o valoare negativå a volumului de apå în

zintå volume care trebuie så existe în

e faptul cå acestea reprezintåvolume lasfâr¿itul lunii , iar ordonatele LFRAvolume la începutul lunii .

ste ¿i corect, la acela¿i moment.

oment, se ajusteazå

entru calculul

calculul volumelor de apåinconstruie¿te curba de asigurare (curba

acå numårul de ani de calcul este relativredus, aceasta revine practic la gåsirea volumului minim din fiecare lunå; deexe å arepro

lac, aceasta va fi înlocuitå imediat cu zero, calculul continuând cuvaloarea astfel corectatå.

− Valorile rezultate din calcul reprelac la sfâr¿itul lunii, pentru ca folosin¡ele så fie asigurate cu apå; subaceste valori ale volumelor ar trebui introduse restric¡ii. Pe de altå parte,ordonatele LFRA reprezintå volume, care dacå existå în lac, folosin¡a vafi satisfåcutå cu probabilitatea doritå. Ca urmare, valorile calculate pentruob¡inerea LIR nu pot fi mai mari decât ordonatele LFRA, acesteaconstituind o barierå absorbantå.− O aten¡ie specialå trebuie acordatå modului în care se face ajustareavalorilor calculate, având în veder

Compararea se va face deci între valoarea calculatå la sfâr¿itul lunii curentecu valoarea LFRA la începutul lunii urmåtoare. Din punct de vedere formal (alindicilor ata¿a¡i valorilor respective ¿i al modului în care apar în tabel valorilerespective), aceasta revine la o comparare decalatå; din punct de vederetemporar este o compara¡ie fåcutå, dupå cum e Modul de lucru va fi deci urmåtorul: volumul calculat la sfâr¿itul luniiianuarie se comparå cu volumul LFRA (linia caracteristicå ¿i nu valorilecalculate în tabelul ajutåtor) de la începutul lunii februarie; dacå volumulcalculat este mai mare decât ordonata LFRA din acel mvaloarea respectivå la valoarea prescriså de LFRA. Volumul ajustat intervine încalculul volumului din lac de la sfâr¿itul lunii februarie, care se comparå cuvolumul prescris de LFRA la începutul lunii martie etc. Volumul de la sfâr¿itullui decembrie se comparå cu volumul LFRA de la începutul lunii ianuarie.Volumul rezultat (ajustat sau nu) este utilizat ca volum ini¡ial p

nuarie din anul urmåtor ¿.a.m.d.volumului de la sfâr¿itul lunii ia Dupå cum s-a aråtat anterior, valoarea zero (lac gol) constituie o altå barieråabsorbantå a ¿irului volumelor; volumele negative se corectezå pe loc, iarcalculul continuå cu valoarea corectatå.

Pentru ob¡inerea LIR se efectueazå în primul rândd lac de la sfâr¿itul fiecårei luni pentru to¡i anii din ¿ir; în continuare seprobabilitå¡ilor de depå¿ire) a volumelor

pentru fiecare lunå, alegând valoarea cu probabilitatea de depå¿ire cores-punzåtoare importan¡ei folosin¡ei. D

mplu pentru o perioadå de simulare de 25 de ani, valoarea minimbabilitatea de depå¿ire de circa 97%.

328



Modul de calcul al LIR prezintå o defi care vine în contradic¡ie cucien¡å

ani de calcul toatevalorile LIR ar putea rezulta nule; rezultå cå introducerea restric¡iilor nu estenecesarå chiar dacå lacul se gole¿te com Acesta este ¿i motivul pentru care, anumite cazuri se preferå construirea

n ionare în regim asigurat, de aceea¿i asigurare, darii

privind restric¡ionarea debitului care se va livra în sistem.¥n final, în legåturå cu semnifica¡ia LFRA

deservitee u e apå din lac la sfâr¿itul lunii nu va scådea

′

Algoritm. Calculul LIR se poate face în douå variante: cu excluderea anilorrioadå de calcul. ¥n

continuare, va fi expus doar cel de-al doilea algoritm, la care calculul se face pei årå excluder a lor neasigura¡i .

n ţ u

de ani) i ulo - 12 notatå J , unde J reprezintå mul¡imea lunilor anului.Datele de intrare utilizate sunt:

inimå a folosin¡ei;

ple

înså¿i semnifica¡ia graficului dispecer. Cu cât numårul de ani de calcul este maimare, cu atât se iau în considerare noi situa¡ii defavorabile ¿i ordonatele LIRsunt mai mici. La limitå, pentru un numår foarte mare de

plet. în

mai multor linii de fu c¡ pentru debite necesare la folosin¡e din ce în ce mai mici. Ele furnizeazå indica¡

ªI LIR se poate da urmåtoareainterpretare: cu o probabilitate p% în lac nu sunt necesare la începutul luniivolume mai mari decât ordonatele LFRA pentru satisfacerea folosin¡ei¿i cu o probabilitat p′% vol mul dsub ordonatele LIR. Probabilitå¡ile p% ¿i p % pot fi sau nu egale.

neasigura¡i, respectiv luând în considerare întrega pe

întreaga per oadå, f ea ni♦ Bila l sub form ă vectorial ă . Fiecårei luni j ( j = 1, ..., 12 N ; N - numårul

se asociazå o claså de echivalen¡å mod

− bilan¡ul B j ( j = 1, ..., 12 N ) calculat cu cerin¡a m− ordonatele liniei de func¡ionare în regim asiguratV J

LFRA ( J = I, II, ... XII).

Pasul 1. Se identificå luna corespunzåtoare începutului ramurii de um rea LFRA. Fie aceastå lunå+ K 1.

Pa

1 ( j = 1,..., K ).

K + 1;

zå volumul de apå din lac la sfâr¿itul lunii j cu rela¡ia:

sul 2. VolumeleV j ( j = 1, ..., K ) de la sfâr¿itul lunii j sunt egale cu volumul LFRA la începutul lunii urmåtoare:

V V LFRA= + j J

Pasul 3. j = K ant V V 1+= .

Pasul 4. Se calculea

LFRA

BV V 63,2 j ant j

+= . (14.2.4)

329



Pasul 5. DacåV j este nenegativ (≥ 0), se sare la pasul 7.

Pasul 7. Dacå j apar¡ine clasei de echivalen¡å XII, se sare la pasul 9.

Pasul 8. Dacå ⇒ ¿i se sare la pasul 10.

Pasul 10. l calculat devine volum anterior (la începutul lunii)pentru calculele de la urm

Pasul 11. j : = j + 1; dacå j ≤ 12 N se sare la pasul 4.are a volumelor pentru fiecare din

e douåsprez l te astfel .

e an ţ ul este ma = 1, ..., N ) ¿i jluna cur ); dupå cum se observå în formulare matricialå

o iCa date de bazå se folosesc bilan¡urile ¿i volumele ; în continuare

între lunile

Pasul 6. DacåV < 0⇒ V = 0. j j

V V j J LFRA> +1 V V j J

LFRA= +1

Pasul 9. DacåV V j I V V j I . LFRA> ⇒ LFRA=

Volumul astfeåtorul pas:

V : =V .ant j

Pasul 12. Se construiesc curbe de asigur LIR

J V ,cel ece uni ale anului, de rminându-secare reprezintå ordonatele LIR

♦ Cazul în car bil tricial . Fiei anul de calcul (i

entå ( 2,1= j 12...,,

indicele j j acå rolul lu J din formularea vectorialå.ij B V J

LFRA

se va folosi nota¡ia j V , stabilindu-se echivalen¡a LFRA

12...,,2,1= j , respectiv lunile J = I, II, ..., XII.

Pasul 1. i = 1. ¥n primul an se identificå luna corespunzåtoare începutuluiramurii de umplere a LFRA; fie acestå lunå 1+k .

P su 2 Primelek valori ale volumelora l . din primul an sunt egale cuV j1

volumele LFRA de la începutul lunii urmåtoare:

V j1 =V j LFRA+1 ( j = 1, 2,...,k ).

Pasul 3. j = k + 1;V ant =V k LFRA+1 .

Pasul 4. Se calculeazå volumul de apå în lac la sfâr¿itul lunii j din anuli cu rela¡ia:

V V Bij ant ij= +2 63 , . (14.2.5)

330



Pasul 5. DacåV ij este nenegativ (≥ 0), se sare la pasul 7.

Pasul 6. DacåV ij < 0⇒ V ij = 0.

Pasul 7. Dacå j = 12 se sare la pasul 9.

Pasul 8. DacåV V ij j LFRA> +1 ⇒V V ij j

LFRA= +1 . ¥n caz contrarV ij råmâne cuvaloarea sa. Se sare la pasul 10.

Pasul 9. DacåV V i LFRA

,12 1> ⇒V V i LFRA

,12 1= . ¥n caz contrarV råmânei ,12

nemodificat.

Pasul 10. VolumulV ij devine volum anterior pentru pasul urmåtor:

V ant : =V ij .

Pasul 11. j : = j + 1. Dacå j ≤ 12 se sare la pasul 4.Pasul 12. i : =i + 1. Dacåi ≤ N se sare la pasul 4.Pasul 13. Se construie¿te curba de asigurare a volumelor pentru fiecare lunå j = 1, ..., 12 ¿i se ob¡in volumele LIR corespunzåtor asigurårii

dorite; fie aceste valori . LIR j V

14.2.1.3. Linia de Limitare a Deversårilor (LLD). Linia de limitare a dever-sårilor are o semnifica¡ie similarå cu LFRA, cu diferen¡a cå se calculeazå cudebitele maxime necesare în sec¡iune; LLD se va construi deci numai în cazul

ai redus, cu atât cheltuielile legate de

mai

LLD reprezintå decivolume maxime admise în lacul de acumulare la între LLD ¿i capacitatea utilå a lacului permit re¡inerea

volumelor afluente în perioadele de ape mari; ele constituie deci o tran¿åntå, variabilå ca valoare de la o lunå la alta.

de apå din lac, maxim admise la încersårii sunt limitate pe de o parte de ca

RA de la începutul aceleia¿i luni.

în care printre folosin¡ele deservite existå cel pu¡in una care are instala¡ie derecirculare. LFRA corespunde situa¡iei cu recirculare maximå (cerin¡å minimådin surså), iar LLD func¡ionårii în circuit deschis (recirculare nulå).

Cu cât gradul de recirculare este mutilizarea apei sunt mai mici; o func¡ionare în circuit deschis este deciavantajoaså din acest punct de vedere. ¥n plus, prin utilizarea unor debitemari se previne într-o anumitå måsurå umplerea lacului ¿i deci înregistrareaunor pierderi de debite prin deversare.

începutul lunii, fårå a exista pericolul pierderilor prin deversare.Volumele cuprinse

nepermane Volumele eputul lunii j , fårå a exista

pacitatea utilå a lacului, iarpericolul devpe de altå parte de ordonatele LF

331



Calculul se desfå¿oarå ca ¿i la LFRAîn sens invers scurgerii timpului , începând de la luna la sfâr¿itul cåreia se impune condi¡ia ca lacul så fie plin

de func¡ionare în regim asigurat. ¥ntre momentul respectiv ¿i sfâr¿itulordonatele LFRA.

O altå variantå ar fi ca la sfâr¿itul perioadei de calcul så se impunå condi¡iad egal cu ordonata maximå a LFRA.

geriim u i.

maxim admisibile în lacul dea pentru uneiprobabilitå¡i de depå¿ire prestabilite. Cu cât aceastå probabilitate este mai mare,

ilåai importantå. Ca atare,rob li te de î a mai are,

¥n g

umulare; în anumite situa¡ii extreme, LLD se poate confunda fie cuFRA, fie cu orizontala volumului util.

lå a bilan¡ului) de la calculul LFRA. Volumul

LFRA J V V =max .

dupå liniaperioadei de calcul se pot admite

de lac plin, volumul de apå din lac fiinCalculul se desfå¿oarå apoi dupå acelea¿i reguli, în sens invers scur ti p lu

Dupå construirea tabelului cu volumelecumulare, fiecare lunå se determinå volumul corespunzåtor

cu atât volumul de apå necesar în lac este mai redus, iar tran¿a disponibpentru înmagazinarea debitelor de viiturå este mp abi ta a nmag zinare fårå deversare devine din ce în ce mrespectiv riscul de deversare este din ce în ce mai redus.

eneral, LLD se aflå deasupra LFRA (cu care poate avea înså ¿i punctecomune) ¿i dedesubtul liniei orizontale corespunzåtoare capacitå¡ii utile alacului de acL

Algoritm. Dupå cum s-a aråtat, algoritmul este asemånåtor cu cel de laLFRA, cu diferen¡a care s-a aråtat privind valoarea de pornire a calculului.

O altå diferen¡å se întâlne¿te la pasul 2 (bilan¡ul în formulare vectorialå),respectiv 4 (formulare matricia V j la începutul lunii j (respectivV ij ) pentru care nu apare pericolul deversårii secalculeazå cu rela¡ia:

.63,2 inst Q j fin j BV V −= ; (14.2.6)

respectiv:.63,2 inst Q

ij finij BV V −= ; (14.2.7)cu limitele:

util LFRA

j LFRA J V V V V =≤≤ max ;

respectiv:util

LFRAij V V ≤≤

Nota¡iile au urmåtoarea semnifica¡ie:V fin reprezintå volumul existent în lac la sfâr¿itul pasului anterior de

calcul, respectiv volumul care trebuie så existe în lac lasfâr¿itul lunii curente;

332



func¡ionårii folosin¡ei la valoarea debituluimaxim utilizabil;

V J LFRA - volumul necesar în lac la începutul lunii J ,

conform LFRA; J = I, II, ..., XII;V util - ordonata maximå a LFRA ¿i care reprezintå în

acela¿i timp volumul util al lacului deacumulare.

333

14.2.2. Cazul în care lacul deserve¿te mai multe folosin¡e cu acela¿i grad

de asigurare, dar situate în sec¡iuni diferite . ¥n acest caz, pentru calcule seutilizeazå valorile bilan¡ului coordonat; în rest, determinarea liniilorcaracteristice (LFRA, LIR ¿i LLD) se desfå¿oarå în conformitate cu algoritmiiprezenta¡i la punctul anterior.

14.2.3 Cazul în care lacul deserve¿te mai multe folosin¡e cu grade deasigurare diferite, amplasate în lungul râului . Ca date de bazå pentru calcululLFRA ¿i LIR se utilizeazå valorile bilan¡ului coordonat, ob¡inut dupåintroducerea de restric¡ii în anii neasigura¡i la folosin¡ele cu grad de asiguraremai redus.

LLD se calculeazå numai în situa¡ia în care un consumator poate prelevacantitå¡i de apå mai mari decât debitul minim necesar. Ca urmare, este necesarårefacerea calculelor de bilan¡, cât ¿i recalcularea bilan¡ului coordonat dinsec¡iunea fictivå cumulativå. ¥n continuare se utilizeazå algoritmul prezentat încazul unei singure folosin¡e.

* * * Calculele pentru determinarea graficului dispecer, utilizând datele de bazå de

la aplica¡ia precedentå se pot urmåri în tabelele 14.2.1...14.2.5.Bilan¡ul debitelor pentru debitul minim necesar de 1,5m s3

/ este reprodus în tabelul 14.2.1. Calculele pentru determinarea LFRA ¿i LIR se pot urmåri întabelul 14.2.2, respectiv în tabelul 14.2.3. Gradul de asigurare al folosin¡ei fiindde 97%, la stabilirea ordonatelor LFRA ¿i LIR s-au selec¡ionat valorile maxime,respectiv minime de pe coloanele respective.

¥n schimb, ordonatele LLD au fost determinate corespunzåtor uneide nedeversare de 50%; alegerea unei probabilitå¡i de nedepå¿ire

(respectiv de nedeversare la debite medii lunare) de 97%, în condi¡iile în carevolumul este limitat superior la ordonata maximå a LFRA, ar fi condus înfiecare lunå la aceastå valoare. Cu alte cuvinte, LLD ar fi fost în acest caz oorizontalå, corespunzând capacitå¡ii lacului de acumulare, iar tran¿a de atenuarea viiturilor ar fi fost nulå.

probabilitå¡i

B jQinst. (respectiv Bij

Qinst. ) - excedent sau deficit al lunii curente în ipoteza



Bilan ţul debitelor ( m s3 / ) Qn m s3 / = 15 ,

LunaAnul


1945 0,04 - 0,11 3,43 2,81 3,39 1,43 1,12 2,81 0,121946 - 0,11 2,20 3,12 2,81 1,50 0,04 - 0,58 - 0,73 - 1,041947 - 1,19 2,66 4,20 0,73 - 0,73 - 1,04 - 0,19 - 0,42 0,501948 4,74 0,89 1,73 1,89 0,81 2,81 2,97 0,43 - 0,111949 0,68 0,04 3,74 2,27 0,50 2,97 4,12 - 0,57 - 0,041950 - 0,42 3,73 2,50 1,50 0,54 - 0,43 - 0,58 - 0,12 - 0,581951 0,81 1,58 3,89 2,65 1,11 0,96 0,27 - 0,19 - 0,731952 0,19 1,88 2,35 5,12 1,42 0,42 - 0,89 - 0,76 - 0,431953 1,54 0,57 1,09 2,39 0,99 - 1,44 - 0,29 - 0,37 - 0,65 1954 - 0,97 - 1,03 1,73 1,38 2,43 3,19 0,48 0,18 - 0,101955 2,35 2,35 3,85 3,75 5,66 2,65 2,74 1,86 - 0,421956 3,04 0,19 0,45 9,40 3,02 0,98 1,71 - 0,41 - 0,671957 - 0,73 3,65 6,03 5,26 3,16 3,15 1,17 0,25 0,481958 1,77 9,00 2,44 9,10 8,05 2,69 2,30 - 0,05 - 0,671959 1,94 1,24 2,32 2,81 - 0,03 0,75 - 0,16 0,81 - 0,721960 2,17 2,33 2,38 4,05 1,17 0,74 2,49 1,61 - 0,521961 0,30 - 1,04 0,67 2,19 0,29 - 0,03 - 0,67 - 0,88 - 1,121962 1,90 0,22 3,90 14,80 3,20 0,30 1,62 - 0,44 - 0,91 1963 0,19 - 0,13 0,97 5,66 1,19 0,48 - 0,52 - 0,69 - 0,89 1964 - 0,88 - 0,97 2,13 6,65 1,48 0,21 - 0,67 0,11 0,091965 0,28 2,08 2,65 4,14 3,05 5,17 0,10 - 0,49 - 0,481966 0,79 3,57 1,38 3,45 0,40 2,95 1,41 1,68 0,621967 0,80 - 0,40 4,61 9,10 2,95 0,26 - 0,73 - 0,92 - 1,11 1968 - 0,14 1,69 3,80 9,90 2,30 - 0,45 - 0,70 1,60 2,471969 0,17 - 0,23 0,82 3,03 0,90 2,76 0,76 0,13 - 0,88

334



Calculul liniei de func ţionare în regim asigurat ( 10 6 3m ) Qn = 15 , m s3 /

LunaAnul


1945 0,18 0,29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,081946 0,29 0,00 0,00 0,00 4,13 8,07 8,18 6,65 4,731947 3,13 0,00 0,00 4,34 6,26 4,34 1,60 1,10 0,001948 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,87 2,001949 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,31 1,811950 1,10 0,00 0,00 0,00 3,08 4,50 3,37 1,84 1,531951 0,00 0,00 0,00 0,00 1,84 4,76 7,29 8,00 7,501952 0,00 0,00 0,00 0,00 0,63 4,37 5,47 3,13 1,131953 0,00 2,00 3,50 6,36 12,65 15,25 11,47 10,70 9,731954 5,26 2,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,371955 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,211956 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,50 3,421957 1,92 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001958 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,89 1,761959 0,00 0,00 0,00 0,00 0,68 0,60 2.58 2,16 4,291960 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,371961 5,29 6,08 3,34 5,10 10,86 11,62 11,55 9,78 7,471962 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,42 5,21 9,47 8,311963 0,00 0,34 0,00 0,00 7,21 10,34 11,60 10,23 8,421964 4,87 2,55 0,00 0,00 0,00 1,21 1,76 0,00 0,001965 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,76 5,02 3,731966 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001967 0,00 1,05 0,00 0,00 3,97 11,73 12,41 10,49 8,071968 0,37 0,00 0,00 0,00 0,00 3,02 1,84 0,00 0,00

1969 0,16 0,60 0,00 0,00 0,00 0,00 2,24 4,23 4,58LFRA 5,29 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,73

335



Calculul liniei de introducere a restric ţiilor ( 10 6 m s3 / 3m ) Qn 15 ,= Luna

AnulI II III IV V VI VII VIII IX

LFRA 5,29 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,731945 5,39 3,50 6,36 12,63 15,25 12,41 10,70 9,73 8,021946 5,00 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 8,78 6,051947 2,16 3,50 6,36 8,28 6,36 3,63 3,13 2,03 3,341948 6,08 3,50 6,36 11,34 13,47 18,41 10,70 9,73 8,021949 5,37 3,50 6,36 12,33 13,65 12,41 10,70 9,20 8,021950 4,18 3,50 6,36 10,31 11,73 10,60 9,07 8,76 7,231951 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,73 7,811952 2,74 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,07 8,07 6,941953 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 11,47 10,70 9,73 8,021954 2,71 0,00 4,55 8,18 14,57 12,41 10,70 9,73 8,021955 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,73 8,021956 6,08 3,50 4,68 12,65 15,25 12,41 10,70 9,63 7,861957 3,37 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,73 8,021958 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,73 7,971959 6,08 3,50 6,36 12,65 12,57 12,41 10,70 9,73 7,841960 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,73 8,021961 6,08 3,34 5,10 10,86 11,62 11,55 9,78 7,47 4,521962 5,63 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,55 7,151963 1,74 1,39 3,94 12,65 15,25 12,41 10,70 8,89 6,551964 2,97 0,42 6,02 12,65 15,25 12,41 10,65 9,73 8,021965 6,02 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,42 8,021966 6,08 3,50 6,36 12,65 13,70 12,41 10,70 9,73 8,021967 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,49 8,07 5,151968 1,47 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,57 9,73 8,021969 5,73 3,50 5,65 12,65 15,02 12,41 10,70 9,73 7,42

LIR 1,47 0,00 3,94 8,18 6,36 3,63 3,13 2,03 3,34

336



338

Calculul liniei de limitare a devers ărilor ( 10 6 3m ) Qn = 3 0 , m s3 / a I II III IV V VI VII VIII IX Lun

AnulLFRA 5,29 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 12,41 10,70 9,731945 12,20 8,36 4,12 9,20 12,65 15,25 12,80 11,80 15,251946 10,30 6,08 7,54 11,80 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251947 13,15 6,08 8,15 15,25 15,25 15,25 15,25 15,25 13,511948 6,70 15,22 13,62 14,22 15,25 15,25 12,41 15,25 15,251949 13,33 11,17 7,33 13,22 15,25 15,25 12,41 15,25 14,751950 11,80 6,75 12,62 15,25 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251951 7,89 6,08 5,94 12,22 15,25 15,25 15,25 15,25 13,091952 9,52 6,08 4,12 6,36 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251953 15,14 15,25 13,99 12,91 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251954 15,25 15,25 12,51 13,12 12,80 15,25 15,25 15,25 15,251955 5,29 6,08 3,50 6,73 12,65 15,25 12,41 14,30 15,251956 8,52 12,57 9,12 6,36 12,65 15,25 14,70 15,25 15,251957 11,94 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 15,25 15,25 15,251958 5,36 6,08 3,89 6,36 12,65 15,25 13,15 15,25 15,251959 9,17 10,33 9,65 11,80 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251960 5,29 6,08 4,05 6,36 15,25 15,25 12,41 14,96 15,251961 15,25 15,25 15,25 13,43 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251962 5,81 6,86 3,50 6,36 12,65 15,25 14,93 15,25 15,251963 15,25 12,04 7,75 6,36 15,25 15,25 15,25 15,25 15,251964 15,25 11,20 4,70 6,36 15,25 15,25 15,25 15,25 13,961965 9,28 6,08 3,50 6,36 12,65 15,25 15,25 15,25 15,251966 7,94 6,08 10,44 10,12 15,25 15,25 15,01 14,78 15,251967 10,33 8,49 3,50 6,36 12,65 15,25 15,25 15,25 15,251968 10,38 6,08 3,50 6,36 13,15 15,25 15,25 12,43 12,701969 15,25 15,25 13,01 11,23 15,25 15,25 15,25 15,25 15,25

%50 LLD

10,30 6,86 7,33 9,20 15,25 15,25 15,25 15,25 15,25



339

Fig. 14.2.3. Graficul dispecer ob ţinut.

Bilan¡ul pentru debitul maxim necesar în sec¡iune de 3,03m s / este prezen-tat în tabelul 14.2.4, LLD fiind calculatå pe baza acestor valori în tabelul 14.2.5.

Graficul dispecer ob¡inut este prezentat în figura 14.2.3. La raportareavalorilor trebuie avut în vedere faptul cå luna se figureazå ca un interval;ordonatele LFRA ¿i LLD se reprezintå la începutul lunii, iar ordonatele LIR lasfâr¿itul lunii. Mai trebuie precizat cå valorile LFRA ¿i LLD pentru sfâr¿itullunii XII sunt acelea¿i cu cele de la începutul lunii I; în acela¿i timp, valoareaLIR de la începutul lunii I este identicå cu cea de la sfâr¿itul lunii XII.

¥n tabelele 14.2.6...14.2.9 s-au efectuat calcule de bilan¡, respectiv pentrustabilirea LFRA în cazul unor cerin¡e de apå mai reduse (1,0m s3 ¿i0,5m s3

/ ). Graficul dispecer astfel ob¡inut este reprezentat în fig

ig. 14.2.4. Grafic dispecer cu mai multe linii de func ţionare în regim asigurat.F

ura 14.2.4.



Bilan ţul debitelor ( m s3 / ) Qn = 0 5 , m s3 /

LunaAnul


1945 1,04 0,89 4,43 3,81 4,39 2,43 2,12 3,81 1,121946 0,89 3,20 4,12 3,81 2,50 1,04 0,42 0,27 - 0,041947 - 0,19 3,66 5,20 1,73 0,27 - 0,04 0,81 0,58 1,501948 5,74 1,89 2,73 2,89 1,81 3,81 3,97 1,43 0,891949 1,68 1,04 4,74 3,27 1,50 3,97 5,12 0,43 0,961950 0,58 4,73 3,50 2,50 1,54 0,57 0,42 0,88 0,421951 1,81 2,58 4,89 3,65 2,11 1,96 1,27 0,81 0,271952 1,19 2,88 3,35 6,12 2,42 1,42 0,11 0,24 0,571953 2,54 1,57 2,09 3,39 1,99 - 0,44 0,71 0,63 0,351954 0,03 - 0,03 2,73 2,38 3,43 4,19 1,48 1,18 0,901955 3,35 3,38 4,85 4,75 6,66 3,65 3,74 2,86 0,581956 4,04 1,19 1,45 10,40 4,02 1,98 2,71 0,59 0,331957 0,27 4,65 7,03 6,26 4,16 4,15 2,17 1,25 1,481958 2,77 10,00 3,44 10,10 9,05 3,69 3,30 0,95 0,331959 2,94 2,24 3,32 3,81 0,97 1,75 0,84 1,81 0,281960 3,17 3,33 3,38 5,05 2,17 1,74 3,49 2,61 0,481961 1,30 - 0,04 1,67 3,19 1,29 0,97 0,33 0,12 - 0,121962 2,90 1,22 4,90 15,80 4,20 1,30 2,62 0,56 0,091963 1,19 0,87 1,97 6,66 2,19 1,48 0,48 0,31 0,111964 0,12 0,03 3,13 7,65 2,48 1,21 0,33 1,11 1,091965 1,28 3,08 3,65 5,14 4,05 6,17 1,10 0,51 0,521966 1,79 4,57 2,38 4,45 1,40 3,95 2,41 2,68 1,621967 1,80 0,60 5,61 10,10 3,95 1,26 0,27 0,08 - 0,111968 0,86 2,69 4,80 10,90 3,30 0,55 0,30 2,60 3,471969 1,17 0,77 1,82 4,03 1,90 3,76 1,76 1,13 0,12

340



m s3 / Calculul liniei de func ţionare în regim asigurat ( 10 n6 3m ) Q = 0 5 ,

LunaAnul


1945 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001946 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,111947 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,11 0,00 0,00 0,001948 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001949 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001950 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001951 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001952 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001953 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,16 0,00 0,00 0,001954 0,00 0,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001955 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001956 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001957 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001958 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001959 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001960 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001961 0,00 0,11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,18 0,501962 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001963 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001964 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001965 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001966 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001967 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,24 0,451968 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1969 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

LFRA 0,50 0,11 0,00 0,00 0,00 1,16 0,00 0,24 0,50

341



Bilan ţul debitelor ( m s3 / ) Qn = 1 0 , m s3 /

LunaAnul


1945 0,54 0,39 3,93 3,31 3,89 1,93 1,62 3,31 0,621946 0,39 2,70 3,62 3,31 2,00 0,54 - 0,08 - 0,23 - 0,541947 - 0,69 3,16 4,70 1,23 - 0,23 - 0,54 0,31 0,08 1,001948 5,24 1,39 2,23 2,39 1,31 3,31 3,47 0,93 0,391949 1,18 0,54 4,24 2,77 1,00 3,47 4,62 - 0,07 0,461950 0,08 4,23 3,00 2,00 1,04 0,07 - 0,08 0,38 - 0,081951 1,31 2,08 4,39 3,15 1,61 1,46 0,77 0,31 - 0,231952 0,69 2,38 2,85 5,62 1,92 0,92 - 0,39 - 0,26 0,071953 2,04 1,07 1,59 2,89 1,49 - 0,94 0,21 0,13 - 0,151954 - 0,47 - 0,53 2,23 1,88 2,93 3,69 0,98 0,68 0,401955 2,85 2,85 4,35 4,25 6,16 3,15 3,24 2,36 0,081956 3,54 0,69 0,95 9,90 3,52 1,48 2,21 0,09 - 0,171957 - 0,23 4,15 6,53 5,76 3,66 3,65 1,67 0,75 0,981958 2,27 9,50 2,94 9,60 8,55 3,19 2,80 0,45 - 0,171959 2,44 1,74 2,82 3,31 0,47 1,25 0,34 1,31 - 0,221960 2,67 2,83 2,88 4,55 1,67 1,24 2,99 2,11 - 0,021961 0,80 - 0,54 1,17 2,69 0,79 0,47 - 0,17 - 0,38 - 0,62 1962 2,40 0,72 4,40 15,30 3,70 0,80 2,12 0,06 - 0,411963 0,69 0,37 1,47 6,16 1,69 0,98 - 0,02 - 0,19 - 0,391964 - 0,38 - 0,47 2,63 7,15 1,98 0,71 - 0,17 0,61 0,591965 0,78 2,58 3,15 4,64 3,55 5,67 0,60 0,01 0,021966 1,29 4,07 1,88 3,95 0,90 3,45 1,91 2,18 1,121967 1,30 0,10 5,11 9,60 3,45 0,76 - 0,23 - 0,42 - 0,611968 0,36 2,19 4,30 10,40 2,80 0,05 - 0,20 2,10 2,971969 0,67 0,27 1,32 3,53 1,40 3,26 1,26 0,63 - 0,38

342



¥n practicå se mai utilizeazå ¿i grafice dispecer cu o singurå linie de

func¡ionare în regim asigurat ¿i mai multe linii de introducere a restric¡iilor,calculate pentru diverse trepte de debit.

Aplica ţia 14.3

SIMULAREA EXPLOAT ĂRII LACULUI DE ACUMULARECONFORM GRAFICULUI DISPECER

Se considerå datele de bazå de la aplica¡iile 14.1 ¿i 14.2: debite afluente,debite necesare, linii caracteristice ale graficului dispecer.

Se cere:a) så se simuleze func¡ionarea lacului de acumulare în concordan¡å cu

graficul dispecer determinat anterior;b) så se calculeze gradul de asigurare al folosin¡ei dupå frecven¡å, duratå ¿i

volum.Rezolvare:

a ) Simularea func ţion ă rii lacului de acumulare. Principii de calcul. Simularea exploatårii are ca scop testarea regulilor

ob¡inute în vederea determinårii gradului de asigurare al folosin¡ei.Rela¡ia matematicå de bazå utilizatå în simularea exploatårii este ecua¡ia decontinuitate:

dev j

livrat j

afl j j j QQQV V 63,263,263,21 −−+=+ ; (14.3.1)

Se r reprezintå volumul de apå existent în acumulare la începutul

lunii j

CV j ≤≤0 ;cu condi¡ile:CV j ≤≤ +10 .

mnifica¡ia nota¡iilo este urmåtoarea:V j

(exprimat în10 6 m 3 );Q j

afl - debit afluent în luna j ( m /s);3

- debit prelevat de folosin¡e (m 3 /s);Q jlivrat

344



Q jdev - debit deversat sau descårcat spre aval prin golirile de

3 fund sau intermediare (m /s).Debitul livrat din acumulare în cursul lunii j se stabile¿te la începutul luniic¡ie de volumul de apå din lac din acel moment (v. fig. 14.2.3).În zona A - zona de func¡ionare în regim liber - se pot goli din acum

fun− ulare

zultate din calculul cu acelea¿i cerin¡e de apå.

− în regim cu restric¡ii - cerin¡ele de apå nu mai pot fi

−

te pierderi sunt în

mele perioadeexc

exploatere a acumulårii;

u pari¡i în mod artificial a unor

debite mai mari decât cele necesare acoperirii deficitelor rezultate în urmaconsiderårii în calcul a cerin¡elor minime sau se pot re¡ine în lac debite maimici decât excedentele re

− În zona B - zona de func¡ionare în regim obligat - debitele livrate sau re¡inute în acumulare sunt cele rezultate din calculele de bilan¡, considerând cerin¡ele

minime ale folosin¡elor.În zona C - func¡ionareasigurate integral. Se vor re¡ine în acumulare excedente mai mari decât celedeterminate sau se vor livra debite mai mici decât cele necesare pentruacoperirea deficitelor.Dupå cum se ¿tie deja, linia de introducere a restric¡iilor conduce la odiminuare a deficitelor care se vor înregistra în lunile critice, dar måre¿teperioada pe care se extind aceste deficite.În zona D - zona de golire for¡atå a acumulårii - exploatarea acumulårii seface ¡inând cont de deficitele ¿i excedentele calculate cu debitul maxim alfolosin¡ei. Dupå umplerea lacului, debitele livrate mai mari decât debitul

maxim utilizabil, reprezintå pierderi prin deversare. Acesfond inevitabile, deoarece realizarea unor acumulåri care så re¡inå oriceexcedent, inclusiv cele corespunzåtoare viiturilor extraordinare, ar conducela volume deosebit de mari ¿i care ar fi ineficient folosite.Intervalul cuprins între LFRA ¿i LIR constituie o zonå preferen¡ialå de

exploatare a acumulårii. ¥ntr-adevår, dacå volumul lacului scade sub LIR, seintroduc restric¡ii în ceea ce prive¿te debitul livrat, împiedicând golireaaccentuatå a acumulårii; în acest fel volumul stocat este men¡inut cât maiaproape de LIR, fiind totodatå posibilå trecerea la prima sau pri

edentare în zona cuprinså între LIR ¿i LFRA. De asemenea, dacå sedepå¿e¿te LFRA, se vor livra debite superioare necesarului minim, aducând

volumul cât mai aproape de LFRA ¿i ulterior între LFRA ¿i LIR.Aceste principii sunt sintetizate în regulile de pentrufiecare lunå a anului va exista o altå regulå de exploatare, alura acestora fiind însåasemånåtoare (fig. 14.3.1). Modul de exploatare al acumulårii este urmåtorul:

o La începutul lunii j , sau ceea ce este acela¿i lucru la sfâr¿itul lunii j – 1,se examineazå volumul de apåV j existent în lac. Pentru prima lunå dinperioada de calcul, pentru a elimina risc l a ei

345



perioade deficitare, cu implica¡ii asupracå volumu exploatareperferen¡ialå a acumulårii, deci între între ¿i

gradului de asigurare, se poate admitel de apå din lac are o valoare arbitrarå din zona de

V I LFRA V XII

LIR .

Fig. 14.3.1. Regula de exploatare ob ţinută din graficul dispecer.

fa¡å s-a admis o varia¡ie liniarå a debitului cu volumul:

o Dacå volumulV j este cuprins întreV J LIR

−1 (volum la sfâr¿itul lunii J - 1)

¿i V J LFRA (volum la începutul lunii J ) debitul livrat este egal cu debitul minimnecesar la folosin¡å:Q j

livrat = ..minnec j Q .

o Dacå volumul este cuprins întreV J LFRA ¿i V J

LLD se livreazå un debitcuprins între debitul minim ¿i debitul maxim necesar în sec¡iune. ¥n cazul de

( )Q Q Q QV V

jlivrat

jnec

jnec

jnec

J LLD

J LRFA

= + −−

min. . max. . min. . . (14.3.2)

Se observå cå:V j =V J LFRA⇒ Q jlivrat =Q jmin

V V j J LFRA−

. .,

iar: ⇒

maxim necesar. Debitul descårcat efectiv în aval

nec

V j =V J LLD Q j

livrat =Q jnecmax. . .

o Dacå volumulV j la începutul lunii j depå¿e¿teV J , debitul livratfolosin¡ei este egal cu debitul

LLD

346



)Q j

livrat =( )

⎪⎩ 1

⎪ ⋅⋅α−+⋅α−

LIR J

j nec j

nec j

nec j

nec

V

V QQQ ..min..min..min

Dacå dupå scrierea ecua¡iei de continuitate, volumul la sfâr¿itul lunii rezultåegativ < 0), debitul livrat va fi recalculat din condi¡ia = 0.

Ca date de intrare se folosesc:uente lunare în regim natural;

− graficul dispecer (sau mai exact ordonatele liniilor caracteristice dincâmpul dispecerului: LFRA, LIR ¿i LLD);

♦ Cazul în care debitul natural este exprimat vectorial .

Fie ( j = 1, 2, ..., 12 N ) ¿irul debitelor naturale lunare.Pasul 1. Fie

⎪⎨

⎪⎧ ⋅α afl

j j QQ ..min ,min pentru

pentru

V

V V

j

j J LIR

=

< ≤ −

0

0 1

(V j+1 V j+1n

Algoritm

− debitele afl

− volumul de apå în lac la începutul perioadei de calcul.

Q j

începutul primei luni ( j = 1);init V - volumul de apå în lac la

init j V V = .

Pasul 2. Fiecårei luni j i se asociazå clasa de resturi J modulo-12 aferentå, unde J = I, II,...,XII.Dacå J = I, atunci J - 1 = XII.Dacå J = II, J - 1 = I etc.

Pasul 3. - Dacå ≤ ≤ ⇒ = .

- Dacå ≤ ≤ ⇒ +

+

V J LIR

−1 V j V J LFRA Q j

livrat Q jnecmin. ; Q j

dev = 0

V J LFRA V j V J

LLD Q jlivrat = Q j

necmin.

( Q jnecmax. . - Q j

necmin. )V V

V V

j J LFRA

J LLD

J LFRA

−

−;

- Dacå ≤ C ⇒ = ,

ia

Q jdev = 0 .

V J LLD V j ≤ Q j

livrat Q jnecmax. .

r ( )[ ] LLD J

nec j

afl j j

dev j V QQV Q 1

..max63,263,21

+−−+= ,

(dacå se urmåre¿te så nu se depå¿eascå ordonata LLD de la începutul lunii urmåtoare)

348



sau: ( ) [ ] LFRA J

nec j

afl j j

dev j V QQV Q max63,2

63,21 ..max −−+= ,

(dacå limita superioarå de umplere este capacitatea lacului).- Dacå 0≤ ≤ ⇒ V j V J

LIR−1 Q j

livrat =

(( )

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤⋅α−+⋅α

=α

−−

LIR J j LIR

J

j nec j

nec j

nec j

j afl j

nec j

V V V

V QQQ

V QQ

11

minminmin

min

pentru

0pentru,min

Pasul 4. Se scrie ecua¡ia de continuitate a volumelor:

dev j

livr j

afl j j j QQQV V −−+=+ 63,21 . (14.3.6)

Dacå < 0⇒ = 0, iar se recalculeazå.

Pasul 5. j : = j + 1.Pasul 6. Dacå j , se sare la pasul 3.

Pasul 7. Se calculeazå probabilitå¡ile de satisfacere a folosin¡elor (dupå frec-ven¡å, duratå ¿i volum).

♦ Cazul debitelor naturale reprezentate sub form ă matricial ă .

Fie

V j+1 V j+1 Q jlivrat

N 12≤

Qij ( N i ...,,2,1= ; 12...,,2,1= j ) debitele afluente lunare ¿ivolumul la începutul primei luni a perioadei de calcul.Pasul 1. i = 1.Pasul 2. j = 1; j - 1 = 12.

Pasul 3. ¥n func¡ie de volumul de apå din lac la începutul lunii se decide debitul care va fi livrat în cursul lunii curente; se calculeazå deasemenea debitul deversat. Rela¡iile de calcul sunt similare cu celede la cazul în care debitul natural este exprimat vectorial.Pasul 4. Pe baza ecua¡iei de continuitate, se calculeazå volumul din lac la

sfâr¿itul lunii, care reprezintå în acela¿i timp volumul de la începutul lunii urmåtoare:

init V

init V

349



( devij

livr ij

afl ij init ij QQQV V −−+= 63,2 , (14.3.7)

Pasul 5. j : = j + 1. Dacå j ≤ 12, se sare la pasul 3.Pasul 6. i : =i + 1. Dacåi ≤ N , se sare la pasul 2.Pasul 7. Se calculeazå probabilitå¡ile de satisfacere a folosin¡elor (dupå duratå,

frecven¡å ¿i volum).

* * *Algoritmi similari se pot formula ¿i pentru cazurile în care exploatarea se

desfå¿oarå conform graficului dispecer cu mai multe linii de func¡ionare sau adispecerului cu o singurå linie de func¡ionare ¿i mai multe linii de introducere arestric¡iilor, calculate pentru diverse debite necesare la folosin¡å.

De asemenea, se pot examina ¿i alte reguli pentru exploatarea acumulårii, înafara celor rezultate din graficul dispecer. De exemplu, plecând de la observa¡iacå în cazul exploatårii dupå dispecer se semnaleazå deficite din cauza re¡ineriiunor volume de apå în acumulare pentru satisfacerea necesarului de apå înintervalele urmåtoare, s-ar putea formula o regulå de exploatere în caredeficitele så fie cauzate numai de lipsa efectivå de apå, nu ¿i de måsurile deprevedere a unui stoc privind situa¡ii viitoare. Modul de exploatare esteurmåtorul:

− pentru fiecare lunå din an se livreazå din acumulare debitul necesar allunii respective;

− dacå acumularea nu poate asigura integral necesarul din luna curentå, selivreazå folosin¡elor debitul minim pânå la golirea completå a acumulårii, în continuare înregistrându-se deficite la folosin¡e;

− dacå acumularea se umple pânå la capacitateaC, se livreazå folosin¡elordebitul maxim, restul debitului constituind descårcåri (deci pierderi) dinacumulare.

b ) Calculul gradului de asigurare. Indiferent de modul în care se efectueazå simularea exploatårii lacului, în

final se ob¡in:− volumele de apå din lac la începutul lunii;− debitele livrate cåtre folosin¡e, exprimate ca valori medii lunare;− debitele medii lunare (sau volumele lunare) descårcate în aval fårå a fi

utilizate de folosin¡e.

init V =V ij .

350



Probabilitatea de satisfacere a folosin¡elor, care reprezintå în acela¿i timpgradul lor de asigurare cu apå sau måsura în care sistemul de gospodårire aapelor î¿i îndepline¿te obiectivele, se calculeazå pe baza tabelului con¡inânddebitele livrate.

Algoritmul de evaluare a gradului de asigurare va fi expus numai pentrucazul matricial; cazul vectorial poate fi adus u¿or la acesta prin formareaclaselor de echivalen¡å corespunzåtoare celor 12 luni.

Un an oarecarei este consideratasigurat dacå pentru toate cele 12 luni j ,debitul livrat este egal cu debitul minim necesar sau eventual mai mare decâtacesta. Dacå cel pu¡in într-o lunå a anului, debitul livrat este inferior necesaruluiminim, tot anul este consideratneasigurat .

Fie m - numårul anilor asigura¡i ¿in - numårul total de ani de calcul. Asigurarea dupå frecven¡å se calculeazå cu rela¡ia:

4,03,0

+−=

nm

p F . (14.3.8)

Dupå cum se observå, asigurarea dupå frecven¡å nu ia în considerare faptulcå în cadrul unui an neasigurat folosin¡ele pot så nu fie satisfåcute integral totanul, câteva luni, sau doar o singurå lunå.

Luând ca mårime a intervalului de discretizare luna,asigurarea dupå duratå se calculeazå cu rela¡ia:

4,03,0+−

= Dd p D

, (14.3.9)

unded este numårul de luni în care folosin¡a este satisfåcutå, iar D - numårultotal de luni a perioadei de calcul.

Mårimea intervalului de discretizare poate så fie chiar anul ¿i în acest cazasigurarea dupå duratå se confundå cu asigurarea dupå frecven¡å.

¥n sfâr¿it, nici unul din cele douå moduri de calcul a performan¡ei sistemului(sau a fiabilitå¡ii sale) nu ia în considerare mårimea deficitului la folosin¡å.Gradul efectiv de asigurare cu apå a folosin¡ei se ob¡ine calculândasigurareadupå volum :

V v

pV = , (14.3.10)

undeV este volumul de apå solicitat de folosin¡å, corespunzåtor debitului minimnecesar, iarv este volumul livrat efectiv.

Volumul solicitatV se determinå cu rela¡ia:

351



354

Fig. 14.3.3. Reguli de exploatare.



Debite afluente lunare ( m s3 / )

LunaAnul


1945 1,54 1,39 4,93 4,31 4,89 2,93 2,62 4,31 1,62 1946 1,39 3,70 4,62 4,31 3,00 1,54 0,92 0,77 0,46 1947 0,31 4,16 5,70 2,23 0,77 0,46 1,31 1,08 2,00 1948 6,24 2,39 3,23 3,39 2,31 4,31 4,47 1,93 1,39 1949 2,18 1,54 5,24 3,77 2,00 4,47 5,62 0,93 1,46 1950 1,08 5,23 4,00 3,00 2,04 1,07 0,92 1,38 0,92 1951 2,31 3,08 5,39 4,15 2,61 2,46 1,77 1,31 0,77 1952 1,69 3,38 3,85 6,62 2,92 1,92 0,61 0,74 1,07 1953 3,04 2,07 2,59 3,89 2,49 0,06 1,21 1,13 0,85 1954 0,53 0,47 3,23 2,88 3,93 4,69 1,98 1,68 1,40 1955 3,85 3,85 5,35 5,25 7,16 4,15 4,24 3,36 1,08 1956 4,54 1,69 1,95 10,90 4,52 2,48 3,21 1,09 0,83 1957 0,77 5,15 7,53 6,76 4,66 4,65 2,67 1,75 1,98 1958 3,27 10,50 3,94 10,60 9,55 4,19 3,80 1,45 0,83 1959 3,44 2,74 3,82 4,31 1,47 2,25 1,34 2,31 0,78 1960 3,67 3,83 3,88 5,55 2,67 2,24 3,99 3,11 0,98 1961 1,80 0,46 2,17 3,69 1,79 1,47 0,83 0,62 0,38 1962 3,40 1,72 5,40 16,30 4,70 1,80 3,12 1,06 0,59 1963 1,69 1,37 2,47 7,16 2,69 1,98 0,98 0,81 0,61 1964 0,62 0,53 3,63 8,15 2,98 1,71 0,83 1,61 1,59 1965 1,78 3,58 4,15 5,64 4,55 6,67 1,60 1,01 1,02 1966 2,29 5,07 2,88 4,95 1,90 4,45 2,91 3,18 2,12

1967 2,30 1,10 6,11 10,60 4,45 1,76 0,77 0,58 0,39 1968 1,36 3,19 5,30 11,40 3,80 1,05 0,80 3,10 3,97 1969 1,67 1,27 2,32 4,53 2,40 4,26 2,26 1,63 0,62

354



355

Volume în lac la începutul lunii (

LunaAnul

I II III IV V VI VII VIII IX 10 6 3m )

1945 5,29 5,39 2,91 9,20 12,64 15,25 15,07 14,35 15,25 1946 10,30 6,06 7,33 9,20 12,65 12,65 12,41 10,70 8,78 1947 5,29 2,16 7,33 9,20 8,18 6,26 3,55 3,23 2,46 1948 10,30 6,86 5,25 7,96 11,01 13,14 15,25 15,25 12,13 1949 4,71 6,49 3,17 9,20 11,22 12,53 15,25 15,25 9,81 1950 10,30 5,25 7,33 9,20 9,20 10,62 9,49 7,96 7,64 1951 10,30 6,86 7,07 9,20 12,22 15,13 15,25 12,01 10,56 1952 2,59 3,09 7,33 9,20 15,25 15,04 15,25 8,96 6,96 1953 10,30 6,86 4,41 6,40 12,66 15,24 11,45 10,68 9,71 1954 5,23 2,68 0,00 4,55 8,18 14,57 15,25 12,57 11,54

1955 7,52 6,86 7,33 9,20 15,11 15,25 15,25 15,25 15,25 1956 10,30 6,86 3,41 4,59 15,25 15,25 13,88 15,25 10,23 1957 10,30 4,43 7,33 9,20 15,25 15,25 15,25 14,38 11,99 1958 10,30 6,86 7,33 9,20 15,25 15,25 15,25 15,25 11,17 1959 10,30 6,86 6,18 9,20 12,64 12,56 14,53 11,66 13,08 1960 9,59 6,86 7,33 9,20 15,25 14,38 15,25 15,25 15,25 1961 10,30 6,86 0,18 1,94 8,85 9,61 9,53 7,77 5,46 1962 2,49 6,86 3,49 9,20 15,25 15,25 12,09 15,25 10,15 1963 1,57 2,07 1,72 4,27 15,25 14,43 15,25 9,94 8,12 1964 4,56 2,25 0,00 5,60 15,25 15,20 15,25 9,54 9,83 1965 10,30 6,86 7,33 9,20 15,25 15,25 15,25 11,57 8,94 1966 10,30 6,86 7,33 7,01 15,25 12,36 15,25 15,01 15,25 1967 10,18 6,86 1,86 9,20 15,25 15,25 11,99 10,07 7,65

1968 3,81 3,44 7,33 9,20 15,25 15,25 10,12 8,28 12,48 1969 10,30 6,80 2,38 4,53 12,49 14,86 15,25 13,30 11,46



356

Debit livrat ( m s3 / )

LunaAnul


1945 1,50 2,33 2,54 3,00 3,00 3,00 2,90 3,00 3,00 1946 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1,63 1,57 1,50 1,50 1947 1,50 2,19 3,00 2,61 1,50 1,49* 1,43* 1,37* 1,23* 1948 3,00 3,00 2,20 2,23 1,50 3,00 3,00 3,00 2,17 1949 1,50 2,80 2,94 3,00 1,50 3,00 3,00 3,00 1,52 1950 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1951 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 2,41 3,00 1,86 1,66 1952 1,50 1,77 3,00 3,00 3,00 1,84 3,00 1,50 1,50 1953 3,00 3,00 1,83 1,51 1,51 1,50 1,50 1,50 1,50 1954 1,50 1,49* 1,50 1,50 1,50 3,00 3,00 2,07 1,93 1955 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1956 3,00 3,00 1,50 3,00 3,00 3,00 2,69 3,00 1,56 1957 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 2,66 2,07 1958 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1,80 1959 3,00 3,00 2,67 3,00 1,50 1,50 2,43 1,77 2,30 1960 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1,91 3,00 3,00 3,00 1961 3,00 3,00 1,50 1,06* 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1962 1,74 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1,92 3,00 1,60 1963 1,50 1,50 1,50 2,99 3,00 1,67 3,00 1,50 1,50 1964 1,50 1,38* 1,50 3,00 3,00 1,69 3,00 1,50 1,52 1965 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 2,01 1,50 1966 3,00 3,00 3,00 1,82 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1967 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 1,50 1,50 1968 1,50 1,71 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 1,50 2,91

1969 3,00 2,95 1,50 1,50 1,50 3,00 3,00 2,33 1,80 * Debit restric¡ionat



357

Debit mediu lunar deversat ( m s3 / )Luna

AnulI II III IV V VI VII VIII IX

1945 0,00 0,00 0,00 0,00 0,90 0,00 0,00 0,97 0,00 1946 0,00 0,22 0,91 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1947 0,00 0,00 1,99 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1948 4,55 0,00 0,00 0,00 0,00 0,51 1,47 0,00 0,00 1949 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,43 2,62 0,00 0,00 1950 0,00 1,44 0,29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1951 0,62 0,00 1,58 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1952 0,00 0,00 0,14 1,32 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1953 1,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1954 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,43 0,00 0,00 0,00 1955 1,10 0,67 1,64 0,00 4,11 1,15 1,24 0,36 0,00 1956 2,85 0,00 0,00 3,85 1,52 0,00 0,00 0,00 0,00 1957 0,00 1,05 3,82 1,46 1,66 1,65 0,00 0,00 0,00 1958 1,58 7,32 0,23 5,30 6,55 1,19 0,80 0,00 0,00 1959 1,75 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1960 1,71 0,65 0,17 0,25 0,00 0,00 0,99 0,11 0,00 1961 0,11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1962 0,00 0,00 0,23 11,00 1,70 0,00 0,00 0,00 0,00 1963 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1964 0,00 0,00 0,00 1,48 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1965 0,08 0,40 0,44 0,34 1,55 3,67 0,00 0,00 0,00 1966 0,59 1,89 0,00 0,00 0,00 0,35 0,00 0,09 0,00 1967 0,56 0,00 0,32 5,30 1,45 0,00 0,00 0,00 0,00 1968 0,00 0,00 1,59 6,08 0,80 0,00 0,00 0,00 0,00 1969 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,11 0,00 0,00 0,00



15

GOSPOD ĂRIREA DEBITELOR MAXIME

Aplica ţia 15.1

STABILIREA MANEVRELOR DE EVACUARELA DESC ĂRC ĂTORII DE APE MARI

Sistemul de gospodårire a apelor dintr-un bazin hidrografic cuprinde oacumulare cu scopuri multiple. Barajul, realizat din beton, este prevåzut cuurmåtorii evacuatori de ape mari:

− trei descårcåtori de suprafa¡å echipa¡i cu stavile clapetå;− douå goliri de fund echipate cu vane fluture.Elementele hidraulice ¿i constructive ale descårcåtorilor sunt prezentate în

tabelul 15.1.1, iar cotele caracteristice ale evacuatorilor ¿i ale barajului în figura15.1.1.

Tabelul 15.1.1

Caracteristicile hidraulice ale desc ărcătorilor

Tipul de evacuaror Coeficient de debit

Lå¡imea deversoruluisau diametrul golirii

[m]

Cotecaracteristice

deversor -clapetå coborâtå 0,48 6,00 65,494=CC H deversor -clapetå ridicatå 0,31 6,00 75,497=CR H

coronament baraj 0,31 120,00 00,500=COR H golire de fund 0,73 2,70 15,461=GF H

Curba capacitå¡ii lacului se prezintå în tabelul 15.1.2 ¿i figura 15.1.2.

359



Fig. 15.1.1. Caracteristicile barajului şi ale evacuatorilor de ape mari.

360



Tabelul 15.1.2

Curba capacit ăţii lacului

H [mdM] 480 485 490 495 496 497 498

W [mil.m 3 ] 20 26,75 36,25 48,63 51,25 53,88 56,5


H [mdM] 499 500 500,5 501 501,5 502

W [mil.m 3 ] 59,13 63,15 65,5 68,13 70,75 73,38

Fig. 15.1.2. Curba capacit ăţiilacului ).( H W W =

Fig. 15.1.3. Unda de viitur ă afluent ă în lac.

Pe bazinul de recep¡ie al lacului de acumulare se formeazå o undå de viiturå(fig. 15.1.3), ale cårei debite se pot urmåri în tabelul 15.1.3.

Tabelul 15.1.3Unda de viitur ă afluent ă în lac

t [ore] 0 2 4 6 8 10 12Q

a

[ m 3 /s] 114 150 240 390 636 864 1000


t [ore] 14 16 18 20 22 24 26Qa

948 804 642 516 510 594 624

361



[ m 3 /s]Tabelul 15.1.3 (continuare)

t [ore] 28 30 32 34 36 38 40Qa

[ m 3 /s] 642 606 540 474 408 336 270

Se cere:

a) Så se atenueze prin lacul de acumulare unda de viiturå din tabelul 15.1.3, în urmåtoarele condi¡ii:− la sosirea viiturii, nivelul apei în lac se gåse¿te la cota 490,5 mdM,

corespunzåtor NNR ;− manevrele evacuatorilor de ape mari sunt cele prezintate în tabelul

15.1.4;

Tabelul 15.1.4

Manevrele evacuatorilor în timpul viiturii (varianta 1)

Nr.crt.

Clasaevacuatorilor

Evacuatorul j ' j H manevrå

[mdM]

'' j H manevrå

[mdM]1 tip I 1 golire de fund (nr. 1) 490 497,752 tip IIa 1 golire de fund (nr. 2) 490 4803 tip IIa 1 clapetå (nr. 1) 494,65 494,654 tip IIb 2 clapete (nr. 2 ¿i 3) 497,75 497,755 tip IIa deversare coronament 500 500

− nivelul maxim permis în exploatare NME = 499 mdM;− debitul maxim defluent este limitat la 500 /s .m 3

¥n cazul în care nu se respectå condi¡iile de nivel maxim, respectiv de debitmaxim defluent, se va propune o altå schemå de manevrå a evacuatorilor de apemari.

b) Så se reprezinte grafic:− cheile limnimetrice ale evacuatorilor de ape mari;− hidrograful defluent din lacul de acumulare;− varia¡ia nivelului în lacul de acumulare.

362



Rezolvare

Cota reprezintå nivelul de apå din lac la care un descårcåtor devine activ,

iar cota reprezintå nivelul la care acela¿i deversor î¿i înceteazå func¡ionarea(fig. 15.1.4).

' j H ''

j H

1) tip I 2) tip II

Fig. 15.1.4. Tipuri de desc ărcători.

Din acest punct de vedere, descårcåtorii sunt de douå tipuri (R. Drobot, 1998):1. descårcåtori de tip I, pentru care nivelul la care se închide evacuatorul se

gåse¿te pe ramura ascendentå a varia¡iei nivelului din lacul de acumulare;este cazul tipic al golirilor de fund;

'' j H

2. descårcåtori de tip II, la care nivelul se gåse¿te pe ramura

descendentå a curbei nivelurilor din lac; cu alte cuvinte, nivelul estedepå¿it în cursul func¡ionårii în timp de viiturå. ¥n cadrul acestei clase sedisting 2 subclase:

'' j H

'' j H

− II a, care presupune sarcina hidraulicå sub care are loc descårcareaegalå cu diferen¡a de cotå între nivelul apei din lac ¿i nivelul

(nivelul la care dispozitivul de descårcare devine activ); este cazul

golirilor de fund, dar ¿i al stavilelor de tip clapetå, a cåror pozi¡ie nu semodificå în momentul începerii deversårii;

' j H

− II b, reprezintå descårcåtori, care la atingerea cotei în lac secoboarå, deci lama deversantå este egalå cu diferen¡a dintre nivelulapei din lac ¿i noua cotå a stavilei (cota de deversare, inferioarå lui

); este cazul stavilelor de tip clapetå, care în faza ini¡ialå sunt

' j H

' j H

363



ridicate (în ideea påstrårii de apå în lac pentru folosin¡e peste NNR),coborârea fiind deciså la atingerea unor nivele periculoase.

De exemplu (v. tab. 15.1.4), golirea de fund nr. 1 se deschide la cota490,00 mdM ¿i se închide în momentul în care nivelul apei în lac atinge cota497,75 mdM; cu alte cuvinte golirea nr. 1 este un descårcåtor de tip I.

Golirea nr. 2 se men¡ine deschiså ¿i dupå depå¿irea acestei cote, evacuânddebite atât în perioada de cre¿tere a undei de viiturå, cât ¿i în cea de descre¿tere.¥nchiderea ei se produce în faza de coborâre a nivelurilor, la atingerea cotei480,00 mdM; acest deversor este de tip IIa.

Clapeta nr. 1 este men¡inutå coborâtå în faza de cre¿tere a nivelurilor,deversând din momentul în care nivelul apei în lac atinge cota cresteideversorului (494,65 mdM). Dupå atingerea cotei maxime a apei în lac,nivelurile încep så descreascå, iar ie¿irea din func¡iune a deversorului seproduce când nivelul scade sub cota 494,65 mdM; acest deversor, de asemeneade tip IIa, este men¡inut în permanen¡å coborât.

¥n sfâr¿it, clapetele nr. 2 ¿i 3 sunt men¡inute ridicate în prima parte a undei deviiturå, pânå la atingerea cotei 497,75 mdM. ¥n acest moment, cele 2 clapete secoboarå pânå la cota 494,65, deversarea producându-se prin toate cele 3câmpuri deversante. Clapetele nr. 2 ¿i 3 se ridicå din nou, dupå depå¿irea coteimaxime în lac, în faza de descre¿tere a nivelurilor, la cota 497,75 mdM.; ace¿tidescårcåtori sunt de tip IIb. Scopul manevrei descrise anterior îl constituiepåstrarea unei pår¡i din volumul undei de viiturå pentru utilizare ulterioarå decåtre folosin¡e.

Calculul atenuårii unei unde de viiturå într-un lac de acumulare are la bazåecua¡ia de continuitate scriså în diferen¡e finite:

t Q

t QQQ

W W d i

d i

ai

ai

ii ∆⋅−∆⋅−+

+= −−− 22

111 , (15.1.1)

unde:, reprezintå debitele afluente în lacul de acumulare laa

iQ 1−aiQ

momentelei – 1 ¿i i ;, - debitele defluente din lacul de acumulare lad

iQ 1−d iQ

momentelei – 1 ¿i i ;W ,W , - volumele acumulate în lac la momentele ¿i i ;i −1 i 1−i

- intervalul de timp.∆t

Debitul evacuat peste un deversor echipat cu o stavilå clapetå se determinåcu rela¡ia:

( )32 Cdev H H gmbq −= , (15.1.2)

364



unde:este coeficientul de debit;m

- lå¡imea câmpului deversant;b H - nivelul apei în lacul de acumulare;

- nivelul de la care începe deversarea peste clapetå:C H în cazul în care clapeta este coborâtå;CCC H H =

în cazul în care clapeta este ridicatå;CRC H H =

¥n cazul unei clapete ridicate, m75,497=CR H , iar ecua¡ia (15.1.2) devine:

( ) ( )33 75,49724,875,49781,92631,0 −=−⋅⋅= H H qdev . (15.1.3)

Dupå cum s-a aråtat, clape¡ii nr. 2 ¿i 3 sunt de tip IIb, ceea ce înseamnå cå laatingerea nivelului 497,75 mdM, la care ar trebui så înceapå deversarea,clapetele sunt coborâte; cu alte cuvinte, rela¡ia (15.1.3) nu va fi utilizatå încalculul atenuårii viiturii în lac.

¥n cazul unei clapete coborâte, 65,494=CC H m, iar ecua¡ia (15.1.2) devine:

( ) ( )33

65,49476,1265,49481,92648,0 −=−⋅⋅= H H qdev . (15.1.4)

Debitul evacuat printr-o golire de fund se calculeazå utilizând ecua¡ia:

)(24

2

GF j g H H g D

q −ϕπ

= , (15.1.5)

unde:este diametrul golirii de fund; D

- coeficientul de debit;ϕ

- cota axului golirii de fund.GF H

¥nlocuind caracteristicile golirii de fund în ecua¡ia (15.1.5) aceasta devine:

( ) ( )15,46152,1815,46181,9273,04

7,214,3 2−=−⋅⋅

⋅= H H q j g . (15.1.6)

¥n figura 15.1.5 se prezintå cheile limnimetrice ale evacuatorilor de apemari, calculate pe baza acestor rela¡ii.

365



Fig. 15.1.5. Cheile limnimetrice ale evacuatorilor de ape mari.

La un moment oarecaret debitul defluent din lacul de acumulare sedeterminå pe baza rela¡iei urmåtoare:

( )Q t d

( ) ( )Q t S H qd j j

n= ∑

=1 j⋅ , (15.1.7)

unde:este clasa (sau subclasa) evacuatorilor de ape mari; j

n - numårul de clase de echivalen¡å;- numårul evacuatorilor din clasa (sau subclasa) j , afla¡i în

stare de func¡ionare; j S

- debitul defluent printr-un singur evacuator din clasa (sausubclasa) j .

j q

Calculul atenuårii unei unde de viiturå utilizând ecua¡ia (15.1.1) are lociterativ, pentru fiecare pas de calcul, pânå la epuizarea întregii perioade. Astfel,

pentru pasuli se efectueazå urmåtoarele opera¡ii:1) Se cunosc: , , ¿iW ;aiQ 1−

aiQ d

iQ 1− i−1

2) Se considerå debitul descårcat prin evacuatorul j la momentuli, la

itera¡ia , respectiv egal cu valoarea stabilizatå de la sfâr¿itul

pasului precedent. Pentru

)0(i j q

)0( ∑=

=n

j i j

d i qQ

1

)0()0(

1=i se vor utiliza valorile debitelor defluente

366



367

)(k iW i )(k

)(k i H )(k

iW )k

)k 5) Se reia calculul de la pasul 3), pânå în momentul în care diferen¡ele

dintre valorile variabilelor de stare pentru douå itera¡ii succesive verificå uncriteriu de convergen¡å:

4) Pentru acest nivel se determinå debitele defluente din acumulare laitera¡ia ( utilizând rela¡iile (15.1.3), (15.1.4), (15.1.6), respectiv (15.1.7)

corespunzåtoare nivelului ini¡ial în lac. ¥n continuare, pe baza rela¡iei (15.1.1) seevalueazå volumul din lacul de acumulare la momentul în itera¡ia ;

3) Se determinå din curba capacitå¡ii lacului (fig. 15.1.2) nivelulcorespunzåtor volumului la itera¡ia ( ;

1)1(

)1()(

100 ε≤⋅−=ε

−

−

k i

k i

k i

W W W W ,

respectiv:

2)1( −k d i

Q Q

)1()(

100 ε≤⋅

−=ε

−k d i

k d i QQ

,

sau:

3)1(

)1()(−

−

−

k i

k k

H H H H

+

100 ε≤⋅=ε ii .

Dacå eroareaε este mai micå decât 0,1%, atunci itera¡iile în cadrul pasuluicurent de calcul s-au terminat ¿i se trece la pasul urmåtor ( )1:= i

i H ¥n continuare, se verificå respectarea condi¡iei < NME. Dacå condi¡ia nueste îndeplinitå se propune o altå schemå de manevrå a evacuatorilor de ape mari.

i ; în cazcontrar, a¿a cum s-a aråtat, se reiau calculele de la pasul 3).

− ¥n primele ore de la începerea viiturii, deoarece debitele evacuate prin celedouå goliri de fund sunt mai mari decât debitele afluente în lac, nivelulscade sub NNR, mårindu-se astfel volumul nepermanent de atenuare subcreasta deversorului.

Referitor la rezultatele ob¡inute se pot face urmåtoarele considera¡ii:

Calculul de atenuare a viiturii în lac, utilizând varianta 1 de manevrå aevacuatorilor (tab. 15.1.4), se prezintå în tabelul 15.1.5. Evolu¡ia stårilorsistemului (niveluri ¿i volume de apå în lac) se poate urmåri în figura 15.1.6.



Simularea atenu ării viiturii în varianta 1 de manevr ă a desc ărcătorilor

i aiQ a

iQ 1− d iQ 1− [(1)+(2)-(3)]

2 / t * ∆ 1−iW (5)+(4) gf q ccq d

iQ d iQ * 2 / t ∆

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (100 114 - - - - - 100 - 200 -1 150 114 200 0,23 37,50 37,73 100 - 200 0,7 100 - 200 0,722 240 150 200 0,68 37,01 37,69 100 - 200 0,7 100 - 200 0,723 390 240 200 1,55 36,97 38,52 100 - 200 0,7 100,5 - 201 0,724 636 390 201 2,97 37,80 40,77 100,5 - 201 0,7 102 - 204 0,735 864 636 204 4,66 40,04 44,70 102 - 204 0,7 104,6 - 209,2 0,756 1000 864 209,2 5,95 43,95 49,90 104,6 - 209,2 0,7 108 5,20 221,2 0,80 108 5,00 221 0,807 948 1000 221 6,22 49,10 55,32 108 5,00 221 0,8 111 53,2 275,2 0,99 111 51 273 0,988 804 948 273 5,32 54,34 59,66 111 51 273 0,9 113 109 440 1,58 113 100 413 1,49 113 101 416 1,509 642 804 416 3,71 58,16 61,87 113 101 416 1,5 114 128,3 499 1,80 114 125 489 1,76 114 126 492 1,77

368



369

Ta

i aiQ

aiQ 1−

d iQ 1−

[(1)+(2)-(3)]2 / t * ∆ 1−iW

(5)+(4)gf q ccq

d iQ

d iQ * 2 / t ∆

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)10 516 642 492 2,40 60,10 62,50 114 126 492 1,7 114 132 510 1,83 114 131 507 1,82

11 510 516 507 1,87 60,68 62,55 114 131 507 1,8 114 132 510 1,83

12 594 510 510 2,13 60,72 62,85 114 132 510 1,8 115 135 520 1,87

13 624 594 520 2,51 60,98 63,49 115 135 520 1,8 115 141 538 1,94 115 140 536 1,93

14 642 624 536 2,63 61,56 64,19 115 140 536 1,9 115 148 559 2,01

115 147 557 2,0015 606 642 557 2,49 62,19 64,68 115 147 557 2,0 115 153 572 2,06 115 152 571 2,06

16 540 606 571 2,07 62,62 64,69 115 152 571 2,017 474 540 571 1,59 62,63 64,22 115 152 571 2,0 115 147 557 2,00 115 148 559 2,01

18 408 474 559 1,16 62,21 63,37 115 148 559 2,0 115 138 530 1,91 115 140 535 1,93

19 336 408 535 0,75 61,44 62,19 115 140 535 1,9 114 127 495 1,78 114 129 501 1,80

20 270 336 501 0,38 60,39 60,77 114 129 501 1,8

114 113,3 454 1,63 114 115,7 461 1,66



− DupåT = 12h nivelul cre¿te peste cota 494,65 mdM ¿i începe deversareapeste clapeta coborâtå; celelalte 2 clapete sunt ridicate ¿i contribuie laacumularea de apå în lac.

− DupåT = 16h se depå¿e¿te cota 497,75 mdM; nivelurile devin periculos deridicate ¿i se coboarå cele 2 clapete, care erau ridicate la sosirea viiturii înlac. Totodatå, se închide una din golirile de fund pentru a evita evacuareaunor debite prea mari în aval. ¥n acest fel, sunt în func¡iune cele 3 stavileclapetå, care deverseazå din pozi¡ia coborât, precum ¿i una din cele douågoliri de fund.

− ¥ncepând cuT = 18h nivelul în lac este superior nivelului maxim permis înexploatare NME (cota 499,00 mdM); debitele sunt totu¿i sub 500 ,reprezentând limita de la care se produc inunda¡ii în aval.

/sm3

− DupåT = 20h pânå aproape de sfâr¿itul viiturii, debitele descårcate sunt maimari decât capacitatea de transport a albiei aval, iar nivelurile sunt extremde ridicate, depå¿ind NME ¿i apropiindu-se de nivelul coronamentului (cota500,00 mdM); nivelul maxim ob¡inut prin simulare este 499,87 mdM.

¥n aceste condi¡ii, având de ales între nedepå¿irea capacitå¡ii de transport aalbiei din aval de baraj (500 ) ¿i nedepå¿irea nivelului maxim admis înexploatare (cota 499,00 mdM), s-a optat pentru respectarea acestei din urmåcondi¡ii; s-a aråtat anterior cå deversarea unui baraj poate conduce la debite deinunda¡ie uneori de zeci de ori mai mari decât debitele de viiturå, corespunzåtoareunor probabilitå¡i reduse de depå¿ire. Noile reguli de exploatare ale evacuatorilorsunt prezentate în tabelul 15.1.6. Se observå cå golirea de fund nr. 1 vafunc¡iona acum pe toatå perioada de cre¿tere a nivelurilor în lac, devenind undescårcåtor de tip IIa; ca urmare, vor rezulta niveluri mai reduse în lac, iar pe dealtå parte debitele maxime defluente în aval vor fi mai mari decât în varianta 1de manevrå a evacuatorilor.

/sm3

Tabelul 15.1.6

Manevrele evacuatorilor în timpul viiturii (varianta 2)

Clasaevacuatorilor

Evacuatorul j ' j H manevrå[mdM]

'' j

H manevrå[mdM]

1 - tip IIa 1 golire de fund (nr. 1) 490 4802 – tip IIa 1 golire de fund (nr. 2) 490 4803 – tip IIa 1 clapet (nr. 1) 494,65 494,654 – tip IIb 2 clape¡i (nr. 2 ¿i 3) 497,75 497,755 – tip IIa deversare coronament 500 500

370



371

Legenda: - varianta 1 de manevr ă - varianta 2 de manevr ă

Calculele corespunzåtoare sunt prezentate în tabelul 15.1.7; deoarece pentruprimii 5 pa¿i de timp, calculele sunt identice, în tabel s-au efectuat opera¡iile începând din acest moment pânå la sfâr¿itul viiturii.

din lacul de acumulare ( b ) în cele dou ă variante de manevr ă a desc ărcătorilor.Fig. 15.1.6. Hidrograful afluent şi defluent ( a ), precum şi varia ţia nivelului apei



Simularea atenu ării viiturii în varianta 2 de manevr ă a desc ărcătorilor

i aiQ a

iQ 1− d iQ 1− [(1)+(2)-(3)]

2 / t * ∆ 1−iW (5)+(4) gf q ccq d

iQ d iQ * 2 / t ∆

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (106 1000 864 209,2 5,95 43,95 49,90 104,6 - 209,2 0 108 5,20 231,6 0,83 108 4,80 230,4 0,837 948 1000 230,4 6,18 49,07 55,25 108 4,80 230,4 0 111 52 378 1,36 111 46 360 1,308 804 948 360 5,01 53,95 58,96 111 46 360 1, 113 94 508 1,83

113 86,8 486,4 1,75 113 87,5 488,5 1,769 642 804 488,5 3,45 57,20 60,65 113 87,5 488,5 1 114 112 564 2,03 114 108 552 1,99

10 516 642 552 2,18 58,66 60,84 114 108 552 1, 114 112 564 2,03 114 111 561 2,02

11 510 516 561 1,67 58,82 60,49 114 111 561 2, 113 106 544 1,96

12 594 510 544 2,02 58,53 60,55 113 106 544 1, 114 108 552 1,99

13 624 594 552 2,40 58.56 60,96 114 108 552 1, 114 113 567 2,04 114 113 567 2,04

372



373

*

Ta

i aiQ aiQ 1− d iQ 1− [(1)+(2)-(3)]2 / t ∆ 1−iW (5)+(4) gf q ccq d iQ d iQ * 2 / t ∆

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (1014 642 624 567 2,52 58,92 61,44 114 113 567 2, 114 119 585 2,10 114 118 582 2,09

15 606 642 582 2,40 59,35 61,75 114 118 582 2, 114 121 591 2,13

16 540 606 591 2,00 59,62 61,62 114 121 591 2, 114 119,3 586 2,11

17 474 540 586 1,54 59,51 61,05 114 119,3 586 2, 114 113 567 2,04 114 114 570 2,05

18 408 474 570 1,12 59,00 60,12 114 114 570 2, 113 100 526 1,89 113 102 532 1,91

19 336 408 532 0,76 58,21 58,97 113 102 532 1, 113 86 484 1,74 113 88 490 1,76

20 270 336 490 0,42 57,21 57,63 113 88 490 1, 112 70 434 1,56 112 72,7 442 1,59



Se observå atât din calculul tabelar, cât ¿i din figura 15.1.5, cå depå¿ireanivelului maxim NME este de max 12 cm, pentru un interval de circa 3 ore;debitul maxim descårcat aval atinge aproape 600 /s.m3

Pentru a preveni depå¿irea NME solu¡ia constå în mic¿orarea cotei de dela care devin active clapetele nr. 2 ¿i 3. Aceasta måsurå ar conduce înså lacre¿tera ¿i mai pronun¡atå a debitelor maxime din aval. Pentru a ¡ine cont deambele restric¡ii (nedepå¿irea NME ¿i a capacitå¡ii de transport a albiei), singurasolu¡ie o constituie pregolirea lacului de acumulare, ceea ce are ca efect mårireatran¿ei nepermanente de atenuare a undelor de viiturå. Pentru aceasta, golirile defund vor intra în func¡iune la o cotå inferioarå nivelului de 490,00 mdM;pregolirea se poate face înså numai în condi¡iile unei bune prognoze hidrologice¿i a unui timp de anticipare corespunzåtor.

' j H

374

aplicatii de hidrologie si gospodarirea apelor - r. drobot, p. serban - 1999

Documents