APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Aria unei suprafete plane

Vom defini conceptul de arie pentru o suprafata plana in general,dupa care vom arata cum se calculeaza aria in anumite situatii, utilizand conceptul de integrala.

In geometria elementara am vazut cum se calculeaza aria pentru unele suprafete plane asociate unor poligoane convexe: triunghi,paralelogram, trapez.In general,putem calcula aria unei suprafete asociate unui poligon convex ca suma a ariilor unor triunghiuri in care se descompune acel poligon.

Aceasta idee se extinde imediat prin urmatoarea:

Definitie

1. Numim suprafata poligonala regiunea din plan cuprinsa intre laturile unui poligon oarecare (inclusiv linia poligonala) sau o reuniune finita de asemenea regiuni.

2. Daca P este o suprafata poligonala,aria sa A(P) este suma ariilor triunghiurilor in care se descompune suprafata poligonala P (care nu depinde de descompunerea aleasa).

Observatie

Daca P si Q sunt suprafete poligonale astfel incat P ⊆ Q ,atunci A(P)≤ A(Q).

Acest lucru rezulta din aceea ca exista o descompunere in triunghiuri a suprefetei Q care contine toate triunghiurile din descompunerea suprafetei P (si pe langa aceasta, mai poate contine eventual si altele).

Sa fixam acum o suprafata plana arbitrara S, care este marginita, adica poate fi inclusa

intr-un anumit patrat.

Consideram multimea tuturor suprafetelor poligonale incluse in S, adica:

P={P | P=suprafata poligonala, P⊆ S}precum si multimea tuturor suprafetelor poligonale incluse in S,adica:

Q={Q / Q=suprafata poligonala, Q⊆S}.

Evident pentru orice suprafata poligonala P∈ P si oricare suprafata poligonala Q∈Q avem P⊆ Q , deci A(P)≤ A(Q).

Rezulta ca multimea {A (P) / P∈P} este marginita superior,caci orice A(Q) cu Q∈ Q este un majorant pentru aceasta multime.

Analog, multimea {A(Q) / Q∈ Q} este marginita inferior,caci orice A(P) cu P∈P este un minorant pentru aceasta multime.

Putem atunci considera numerele reale:

A * (S)=sup{A(P)/ P∈P}; A*(S)=inf{A(Q)/ Q∈Q }

numite arie interioara,respectiv arie exterioara ale suprafetei S.

Propozitie

Cu notatiile anterioare ,avem: A*(S) ≤ A* (S).

Demonstratie. Fie PϵP.Deoarece A(P) ≤A(Q),QϵD,rezulta ca A(P) este un minorant pentru multimea { A(Q) | QϵD};insa A*(S) este cel mai mare minorant pentru aceasta multime,prin urmare A(P)≤A*(S).Cum PϵP a fost arbitrar,deducem ca A*(S) este un majorant pentru multimea {A(P)|PϵP}; insa A*(S) este cel mai mic majorant pentru aceasta multime prin urmare A*(S)≤A*(S).

Introducem acum conceptul general de arie prin urmatoarea:

Definitie

Spunem ca o suprafata plana marginita S are arie daca aria interioara si aria exterioara ale suprafetei S sunt egale,iar in acest caz aria lui S este prin definitie valoarea comuna a celor doua arii,adica:

A(S)=A*(S)=A*(S).

Urmatorul rezultat stabileste o caracterizare a multimilor care au arie si totodata un mod de ac calcula aria ca limita a unui sir de arii de suprafete poligonale.

Teorema

Fie S o suprafata plana marginita.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1°.Suprafata S are arie.

2°.Exista un sir (Pn )n≥1 de suprafete poligoanele incluse in S si un sir (Qn)n≥1 de suprafete poligonale care include pe S incat:

lim A(Pn)=lim A(Qn).

Valoarea comuna a acestor limite este tocmai aria suprafetei S.

Teorema

Fie f :[a,b]→R o functie continua si pozitiva.Trapezul curbiliniu S delimitat de graficul functiei f ,axa OX si dreptele de ecuatii x=a, x=b, are arie si aceasta este data de formula :

A(S)= .

Demonstratie. Pentru fiecare n є N* consideram diviziunea a intervalului [a,b] care

imparte acest interval in n interval de lungimi egale, prin punctele de diviziune.

=a+ , i= .

Notam cu , minimul ,respectiv maximul functiei f pe intervalul de diviziune

[ , ], i= .

Reuniunea dreptunghiurilor de baze segmantale [ , ] si inaltimi ;i= este o

suprafata poligonala inclusa in S,care are aria:

A( )= ( - )= s(f , ),

Adica suma Draboux inferioara corespunzatoare functiei f si diviziunii .

Reuniunea dreptunghiurilor de baze segmentele [ ] si inaltimi , i= este

o suprafata poligonala care include S si are aria:

A( )= ( )=S(f , ), adica suma Darboux superioara

corespunzatoare functiei f si diviziunii .

Dar ‖= →0 si cum sumele Darboux sunt niste sume Riemann (caci functia f

este continua) rezulta :

( )= f )= ;

= )=

Conform teoremei precedente,rezulta ca suprafata S are arie si acesta este :

A(S)= )= )=

Observatie (interpretarea geometrica a teoremei de medie)

Din teorema anterioara si teorema de medie, care afirma egalitatea

pentru un c [a,b], deducem ca aria trapezului curbiliniu

considerat este egala cu aria unui dreptunghi cu baza intervalul [a,b] si inaltime f(c).

Consecinta

Fie f,g:[a,b] ℝ doua functii continue cu proprietatea ca f(x)≥g(x) pentru orice

x [a,b].Suprafata plana S delimitata de graficele celor doua functii si dreptele de ecuatii

x=a, x=b , are arie si aceasta este data de formula:

A(S)=

Demonstrarie .Tratam doua cazuri,complementare logic.

I. g(x) ≥0,∀ x∊ [a,b].Atunci functiile f si g sunt pozitive,mai precis f(x) ≥

g(x) ≥ 0, ∀ x ∊ [a,b].Rezulta ca aria suprafetei S este diferenta dintre ariile a doua trapeze curbilinii: cel corespunzator graficului lui f si cel corespunzator graficului g (am folosit aditivitatea ariei).

Aplicand teorema, rezulta:

A(S)=

II. ∃ ∊ [a,b] cu g( ) <0.Functia g fiind continua pe intervalul compact

[a,b],este marginita.Deci exista ∊ ℝ astfel incat g(x) ≥ , ∀ x∊ [a,b].

Consideram atunci funciile f1,g1 :[a,b] ℝ, f1(x)= f(x)- ,g1(x)=g(x)- si

avem f1(x)≥ g1(x)≥0, ∀ x ∊ [a,b].Deoarece graficele f1 si g1 se obtin din cele ale lui f ,respectiv g printr-o translatie de directi OY,rezulta ca suprafata S1 delimitata de graficele lui f1,g1 si dreptele x=a, x=b este echivalenta (are aceeasi arie) cu suprafata S.

Dar aria lui S1 se calculeaza conform cazului I).Asadar:

A(S)= A(S1)=

V olumul unui corp de rotatie

Fundamentarea noţiunii de volum este aproape “paralelă” cu aceea a noţiuni de arie.

Din geometria elementară ştim să calculăm volumele unor poliedre: prisma, piramida, triunghiul de piramidă. În general, pentru a calcula volumul unui poliedru oarecare, îl descompunem în tetraedre (piramide triunghiulare) şi facem suma volumelor acestor tetraedre.

Extindem ideea prin următoarea:

Definiţie

1) Numim corp poliedral o reuniune finită de poliedre, care este acelaşi lucru cu o reuniune finită de tetraedre.

2) Daca P este un corp polidral, volumul său V(P) este suma volumelor tetraedrelor în care se descompune corpul P (care nu depinde de descompunerea aleasă).

Observaţie

Dacă P,Q sunt corpuri poliedrale şi P⊆Q, atunci V(P) ≤V(Q).

Să fixăm acum un corp geometric C, care este mărginit ,adică poate fi inclus într-un anumit cub.

Considerăm mulţimea tuturor corpurilor poliedrale incluse în C, adică:

P={P|=corp poliedral, P⊆C}şi mulţimea tuturor corpurilor poliedrale care includ pe C, adică

D={Q|Q=corp poliedral, Q⊇C}.

Ca şi în consideratiunile similare pe care le-am făcut când am vorbit despre arii, putem considera numerele reale:

V•(C)=sup{V(P)|P ∈P}

V*(C)=inf{V(P)|P ∈P}

numite volumul interior , respectiv, volumul exterior ale corpului C.

Rezultă uşor că V• (C) ≤ V*(C).

Conceptul general de volum se introduce prin următoare:

Definiţie

Spunem că un corp geometric mărginit C are volum dacă volumul său interior este egal cu volumul său exterior, iar în acest caz volumul lui C este definiţie valoarea comună a celor două volume, adică:

V(C) =V•(C) =V*(C).

Ca şi în geometria plană, putem demonstra următoarea teoremă de caracterizare a corpurilor care au volum:

Teorem ă

Fie C un corp geometric mărginit.Următoarele afirmaţii sunt echivalente :

1º.Corpul C are volum.

2º.Există un şir (Pn)n≥1 de corpuri poliedrale incluse în C şi un şir (Qn)n≥1 de corpuri poliedrale care includ pe C,astfel încât :

limV(Pn)=limV(Qn)

n→∞ n→∞

Valoarea comună a acestor limite este tocmai volumul corpului C.

Demonstraţia este aceeaşi cu a teoremei corespunzătoare de la arii,doar că în acel loc de aria A se consideră volumul V.

Cu axact aceeaşi tehnică de demonstraţie, utilizată în teorema precedentă pentru implicaţia 2º=>1º,putem stabili următorul rezultat mai general:

Teorema

Fie f : [a, b] —> R o funcție continuă și pozitivă. Rotim în jurul axei OX trapezul curbiliniu delimitat de grafic , axa OX și dreptele x = a, x = b. Corpul de rotație obținut C are volumul și acesta este dat de formula:

V(C)=