ELEMENTE DE ANALIZĂ VECTORIALĂ

1. Mărimi fizice scalare şi vectoriale

O posibilă clasificare a mărimilor care intervin în descrierea fenomenelor fizice le împarte pe acestea în mărimi fizice scalare şi vectoriale.

Exemple de mărimi scalare sunt temperatura, lucrul mecanic, energia, cantitatea de căldură, masa, sarcina electrică, etc. Aşa cum se ştie, pentru caracterizarea acestora este necesară doar cunoaşterea valorii lor.

Există însă şi o altă categorie de mărimi fizice, ca de exemplu deplasarea, viteza, acceleraţia, forţa, intensitatea unui câmp de forţe, etc., pentru a căror descriere completă sunt necesare trei elemente: mărimea acestora, orientarea (direcţia) lor şi sensul după care acestea acţionează. Aceste mărimi au fost denumite mărimi vectoriale. Cuvântul vector vine din limba latină şi înseamnă purtător. A pătruns practic sub aceeaşi forma în majoritatea limbilor contemporane, primele lui utilizări fiind legate de astronomie unde reprezenta linia dreaptă imaginară care uneşte o planetă în mişcarea sa pe elipsă cu un focar al elipsei.

Având în vedere că mărimile vectoriale intervin în toate capitolele fizicii este necesar să se cunoască cum se lucrează cu acestea. Analiza vectorială, dezvoltată deopotrivă de matematicieni şi fizicieni, se referă tocmai la operaţiile care se fac cu vectorii. Înainte de prezentarea câtorva elemente strict necesare de analiză vectorială este util de menţionat că există şi un alt concept, care îl include ca un caz particular pe cel de vector şi anume acela de tensor.

2. Operaţii cu vectori.

Aşa cum s-a menţionat deja, un vector este caracterizat prin mărime, direcţie şi sens. Mărimilor vectoriale se vor nota astfel:

, (1)iar mărimea sau modulul acestora cu litera respectivă dar fără săgeată. Un vector se reprezintă grafic printr-un segment de dreaptă orientat, lungimea acestuia fiind proporţională cu modulul vectorului. Direcţia vectorului este dată de direcţia dreptei suport a segmentului. Cele două capete ale segmentului se numesc originea sau punctul de aplicaţie al vectorului, respectiv vârful vectorului. Sensul vectorului este astfel de la origine către vârf (Fig. 1,a).

Un vector de modul unu se numeşte vector unitate sau versor. Vectorul de modul zero este un vector cu direcţia şi sensul neprecizate. Nu se poate vorbi de sensul unui vector fără a-i preciza mai întâi direcţia. Pe o direcţie

se pot defini numai două sensuri, numite convenţional sensul pozitiv respectiv negativ. Doi vectori sunt egali atunci când au aceeaşi mărime, direcţie şi acelaşi sens. Se scrie

. Este suficient ca unul din cele trei elemente să fie diferit pentru ca cei doi vectori să fie diferiţi unul de altul.

Dacă doi vectori au aceeaşi mărime, aceeaşi direcţie şi sensuri opuse, atunci unul dintre vectori se numeşte opusul celuilalt vector. Opusul vectorului este vectorul notat cu

(Fig. 1,b).

Fig. 1.a Fig. 1.b

2.1. Adunarea (compunerea) vectorilor, metoda geometrică

Fie doi vectori şi şi fie suma lor. Aceasta se scrie în felul următor:. (2)

Pentru a aduna (compune) doi vectori se foloseşte regula paralelogramului. Aceasta presupune aducerea celor doi vectori cu originea în acelaşi punct, folosind numai mişcări de translaţie (pentru a nu schimba direcţia vectorilor). Se construieşte apoi paralelogramul care are cei doi vectori ca bază. Diagonala paralelogramului care porneşte din originea comună a celor doi vectori reprezintă vectorul sumă sau rezultanta compunerii celor doi vectori. Modulul vectorului sumă, R, se găseşte folosind teorema lui Pitagora generalizată:

, (3)unde reprezintă unghiul dintre cei doi vectori.

Regula paralelogramului este un caz particular al regulei poligonului. Aceasta este utilă atunci când trebuie adunaţi mai mulţi vectori. Regula poligonului presupune aşezarea fiecărui vector cu originea în vârful celui precedent, respectâd direcţia acestora. Vectorul sumă este vectorul a cărui origine se găseşte în originea primului vector şi al cărui vârf se găseşte în vârful ultimului vector din sumă (Fig. 2, a,b).

Adunarea sau compunerea vectorilor este o operaţie comutativă,,

şi asociativă,.

Existenţa noţiunii de vector opus altui vector permite tratarea operaţiei de scădere a doi vectori ca pe o adunare a unui vector cu opusul celuilalt vector:

2

Fig. 2, a Fig. 2, b

. (4) Să se arate că dacă , atunci vectorii sunt reciproc perpendiculari.

2.2. Produsul unui vector cu un scalar

Rezultatul produsului dintre un vector şi un scalar m este tot un vector. Modulul acestui vector este de m ori mai mare decât modulul vectorului , direcţia lui este aceeaşi cu direcţia vectorului iar sensul coincide cu sensul vectorului dacă scalarul m este pozitiv şi este opus sensului vectorului dacă scalarul m este negativ. Se scrie

. (5)

2.3. Produsul scalar a doi vectori

Rezultatul produsului scalar a doi vectori şi este un scalar definit astfel:, (6)

unde reprezintă unghiul dintre cei doi vectori. Operaţia este comutativă. Produsul scalar a doi vectori reciproc perpendiculari este egal cu zero. Din definiţie mai rezultă că produsul scalar al unui vector cu el însuşi este egal cu pătratul modulului acelui vector,

. (7)

2.4. Produsul vectorial a doi vectori

Rezultatul produsului vectorial a doi vectori şi este un vector şi fie acest vector. Se scrie:

. (8)Modulul vectorului este dat de relaţia:

, (9)unde reprezintă unghiul dintre cei doi vectori. Direcţia vectorului este perpendiculară pe planul determinat de vectorii şi . Sensul lui este dat de regula burghiului:

Sensul lui este sensul de înaintare al unui burghiu aşezat perpendicular pe planul vectorilor şi , atunci când acesta este rotit în sensul suprapunerii vectorului

peste vectorul sub unghiul cel mai mic (Fig. 3).

Operaţia nu este comutativă. Conform definiţiei, rezultatul produsului vectorial dintre vectorii şi va avea acelaşi modul, aceeaşi direcţie dar sens invers:

. (10)

3

Fig. 3

Se spune că produsul vectorial a doi vectori este anti-comutativ. Semnul “” folosit în notarea operaţiei este obligatoriu pentru a face diferenţa între produsul vectorial a doi vectori şi produsul lor scalar.

2.5. Descompunerea şi compunerea vectorilor, metoda analitică

Metoda geometrică de compunere a vectorilor este totuşi dificil de utilizat atât pentru vectorii coplanari cât mai ales în cazul unui sistem de vectori tridimensional. În aceste situaţii se utilizează metoda analitică de compunere a vectorilor. Aceasta presupune mai întâi descompunerea tuturor vectorilor într-un anumit sistem de coordonate, adunarea algebrică a componentelor pe fiecare axă a sistemului de coordonate şi apoi compunerea rezultantelor corespunzătoare fiecărei axe. Trebuie subliniat că operaţia inversă compunerii vectorilor este operaţia de descompunere a unui vector în componentele sale şi nicidecum operaţia de scădere.

În plan, un vector se poate descompune după oricare două direcţii concurente, dar cazul cel mai covenabil îl reprezintă descompunerea după două direcţii reciproc perpendiculare (Fig. 4). Se consideră un sistem de axe rectangulare, Ox şi Oy, şi fie şi versorii acestora. Fie doi vectori şi având originea în originea sistemului de coordonate şi fie şi respectiv unghiurile pe care aceştia le fac cu axa Ox, marcate pe figură dar nenotate. Se duc perpendiculare din vârful fiecărui vector pe cele două axe şi se obţin proiecţiile vectorului respectiv pe axele Ox şi Oy, notate cu , , şi . Cantităţile

, , şi reprezintă tocmai componentele vectoriale celor doi vectori şi pe axele Ox şi Oy. Se scrie:

, , (11)

, , (12)

, . (13)

Proiecţiile , , şi se scriu cu ajutorul funcţiilor sinus şi cosinus aplicate unghiurilor şi .

Produsul scalar a doi vectori se poate scrie cu ajutorul componentelor vectorilor într-un sistem de coordonate astfel:

. (14)

4

Ox

y

Fig. 4

unde am ţinut cont că produsul scalar a doi versori diferiţi este nul iar produsul scalar a unui versor cu el însuşi este egal cu unu.

{i produsul vectorial a doi vectori se poate scrie cu ajutorul componentelor celor doi vectori într-un sistem triortogonal astfel:

(15)

Această scriere este utilă deoarece dă componentele produsului vectorial pe cele trei axe de coordonate.

3. Gradientul unei funcţii scalare

Fie o funcţie scalară f(x,y,z) unde (x,y,z) reprezintă coordonatele unui punct din spaţiul tridimensional. Funcţia f se mai numeşte funcţie de punct. În principiu, unui punct din spaţiu îi corespunde o anumită valoare a funcţiei f. Se presupune de asemenea că funcţia f este continuă şi derivabilă. În acest caz există derivatele parţiale ale funcţiei f notate cu:

.

Diferenţiala funcţiei f se scrie astfel:

. (16)

Ea sugerează rezultatul unui produs scalar a doi vectori respectiv produsul dintre vectorul deplasare elementară:

,(17)

şi vectorul

. (18)

Se poate scrie deci că. (19)

Vectorul are drept componente derivatele parţiale ale funcţiei scalare f: .

Semnificaţia fizică a vectorului grad f este aceea a direcţiei şi sensului de deplasare în spaţiu, pornind din punctul de coordonate (x,y,z), după care se înregistrează creşterea cea mai rapidă a funcţiei f. Vectorul se numeşte gradientul funcţiei scalare f şi se notează prescurtat grad f. Relaţia (19) devine

(20)Funcţia scalară f cu proprietăţile de mai sus se mai numeşte şi funcţie (de) potenţial.

Din punct de vedere formal vectorul grad f, sau vectorul , s-a obţinut prin aplicarea unui operator vectorial, diferenţial de ordinul unu, asupra unui scalar. Scalarul este funcţia scalară f(x,y,z) iar operatorul este:

(21)

şi se numeşte operatorul nabla (după denumirea simbolului ) sau operatorul lui Hamilton. Forma găsită pentru operatorul nabla corespunde exprimării acestuia în coordonate carteziene. În alte sisteme de coordonate se schimbă şi forma operatorului. Cu ajutorul acestui operator, gradientul funcţiei scalare f se scrie astfel:

. (22)

5

Operatorul nabla se aplică întotdeauna la stânga funcţiei f. Rezultatul aplicării lui sugerează într-o oarecare măsură un fel de înmulţire, necomutativă, între operatorul vectorial nabla şi scalarul f, asemănătoare cu produsul dintre un vector, , şi un scalar, f.

Definiţie: Totalitatea punctelor din spaţiu pentru care este adevărată relaţia:, (23)

formează o suprafaţă echipotenţială. Ţinând cont de definiţia suprafeţei echipotenţiale, se poate arăta că vectorul grad f este

perpendicular pe suprafaţa echipotenţială, în orice punct al ei. Astfel, pe suprafaţa echipotenţială este adevărată relaţia:

(24)de unde rezultă perpendicularitatea celor doi vectori.

Să se dea câteva exemple de mărimi fizice scalare a căror valoare se modifică la trecerea dintr-un punct în altul.

Să se verifice afirmatiile referitoare la vectorul grad f pentru cazul în care funcţia scalară f este temperatura în spaţiul din jurul Soarelui.

4. Divergenţa unei funcţii vectoriale

Se consideră o funcţie vectorială de punct, , (25)

unde sunt fucţii scalare de punct, continue şi derivabile. Dacă se aplică operatorul nabla funcţiei vectoriale , la stânga, se obţine un scalar, numit divergenţa vectorului , şi care, în coordonate carteziene, are următoarea expresie:

. (26)

Expresia de mai sus sugerează rezultatul unui produs scalar între operatorul nabla şi vectorul , de alfel se mai scrie . Noţiunea de divergenţă este legată de cea de flux al

unui vector printr-o suprafaţă (S). Prin definiţie, fluxul unui vector printr-o suprafaţă (S) este egal cu:

, (27)

unde s-a notat cu elementul de suprafaţă vectorizat (Fig. 5). Suprafaţa (S) nu trebuie să fie în mod obligatoriu o suprafaţă închisă, dar dacă totuşi este, atunci funcţionează Teorema lui Green, Gauss şi Ostrogradschi:

Fluxul vectorului prin suprafaţa închisă (S) este egal cu integrală din divergenţa acestui vector extinsă la volumul V care este cuprins în interiorul suprafeţei închise (S).

Formularea ei matematică este:

. (28)

6

Fig. 5

Un vector pentru care este valabilă relaţia se numeşte vector solenoidal, iar câmpul vectorial definit de el câmp solenoidal sau câmp fără surse. Un astfel de câmp este câmpul magnetic.

5. Rotorul unei funcţii vectoriale

Se consideră din nou o funcţie vectorială de punct,

unde sunt fucţii scalare de punct, continue şi derivabile. Operatorul nabla se poate aplica acestui vector astfel încât în urma acestei operaţii să rezulte tot un vector, numit rotorul lui , şi scris . Acest vector este definit astfel:

(29)

şi sugerează rezultatul produsului vectorial dintre operatorul vectorial nabla şi vectorul , drept care se mai scrie simbolic . Câmpul vectorial pentru care este valabilă relaţia

se numeşte câmp irotaţional sau neturbionar. Un exemplu de astfel de câmp este câmpul electrostatic, câmpul gravitaţional, câmpul forţelor elastice sau câmpul vitezelor unui fluid care curge în regim laminar (neturbionar).

Mai general, orice câmp vectorial care provine dintr-un potenţial prin intermediul gradientului este un câmp irotaţional, sau fără vârtejuri. Într-adevăr, dacă , atunci

. Acest lucru devine evident dacă se consideră scrierea simbolică .

Aici s-a considerat că produsul din paranteză se comportă ca un vector cu direcţia şi sensul “vectorului” , şi în consecinţă produsul vectorial dintre doi vectori coliniari este egal cu zero.

Noţiunea de rotor este legată de cea de circulaţie a unui vector de-a lungul unui contur. Prin definiţie, circulaţia unui vector de-a lungul unui contur () este dată de integrala:

(30)

Conturul () nu trebuie să fie în mod obligatoriu un contur închis, dar dacă totuşi este atunci funcţionează Teoremei lui Stokes-Ampère, a cărei formulare matematică este:

. (31)

7

()

(S)

Integrala din membrul stâng reprezintă circulaţia vectorului de-a lungul conturului închis (), iar deplasarea elementară de-a lungul acestuia. În membrul din dreapta este fluxul vectorului prin suprafaţa (S) care se sprijină pe conturul închis ().

Circulaţia vectorului de-a lungul conturului închis () este egală cu fluxul vectorului prin suprafaţa (S) care se sprijină pe conturul închis ().

Dacă vectorul aparţine unui câmp conservativ, atunci, conform definiţiei, circulaţia lui pe un contur închis este egală cu zero şi deci rotorul unui câmp conservativ este egal cu zero.

Fie două câmpuri de forţe staţionare (independente de timp), descrise de următoarele relaţii:

şi .Să se găsească în ce condiţii aceste două câmpuri sunt conservative. Mărimile a şi b sunt constante, x şi y sunt variabile independente iar sunt versorii axelor de coordonate x şi y.

8