Analiza matematica derivabilitate_integrabilitateFuncţia elementara

Derivata Integrala Derivata funcţiilor compuse

Integrala funcţiilor compuse

c-constat 0 ∫ cdx=cx+C Obs. notatie u(x)=u în rândurile următoare

xn ,n∈N ¿ nxn−1

∫ xndx= xn+1

n+1+C (un) '=nun−1u’ ∫u ( x )nu' ( x )dx=u(x)

n+1

n+1+C

x∝ ,∝∈R ∝ x∝−1

∫ x∝dx= x∝+1

∝+1+C (u∝ )'=∝u∝−1u’ ∫u ( x )∝u' ( x )dx=u(x )

∝+1

∝+1+C

1x

−1

x2 ∫ 1xdx=ln|x|+C ( 1

u )'

=−u 'u2 ∫ u

' (x)u (x)

dx=lnu ( x )+C

√ x 1

2√x ∫√x dx=23x

32+C (√u )'= u '

2√u ∫√u ( x )u ' ( x )dx=23u ( x )

32 +C

3√ x 1

33√x2 ∫ 3√x dx=3

4x

43 +C ( 3√u )'= u '

33√u2 ∫ 3√u ( x )u ' ( x )dx=3

4u(x)

43 +C

n√ x 1

nn√xn−1 ∫ n√x dx= n

n+1xn+1n +C ( n√u )'= u '

nn√un−1 ∫ n√u ( x )u ' ( x )dx= n

n+1u(x )

n+1n +C

ex ex ∫ exdx=ex+C∫ e∝ x dx= 1

∝e∝ x+C

(eu )'=u ' eu ∫ eu ( x ) u' ( x )dx=eu( x)+C

ax ,0<a≠1 ax lna ∫ ax dx= ax

lna+C (au )'=u ' au lna ∫ au ( x )u ' ( x )dx= 1

lnaau(x )+C

lnx 1x

∫ lnxdx=xlnx−x+C (lnu )'¿ u'u

∫ lnu(x )∙ u' ( x )dx=u ( x ) lnu ( x )−u ( x )+C

log a x ,0<a≠1 1xlna ∫ loga xdx=

1lna

( xlnx−x )+C ( logau )'= u'ulna

,0<a≠1 ∫ logau (x) ∙u' ( x )dx=¿¿

1lna

(u ( x ) lnu ( x )−u ( x ))+C

sinx cosx ∫ sinxdx=−cosx+C (sinu )'=u’cosu ∫ sinu (x ) ∙u ' ( x )dx=−cosu ( x )+C

∫sin∝ xdx=−1∝

cos∝ x+C

cosx -sinx ∫ cosdx=sinx+C∫cos∝ xdx= 1

∝sin∝ x+C

(cosu )'=−u ' sinu ∫ cosu ( x ) ∙ u' ( x )dx=sinu ( x )+C

tgx 1

cos2 x∫ tgxdx=−ln|cosx|+C

∫ 1

cos2 xdx=tgx+C

(tgu )'= u '

cos2u∫ tgu ( x ) ∙ u' ( x )dx=− ln|cosu( x)|+C

∫ u ' ( x )dxcos2u(x )

=tgu ( x )+C

ctgx −1

sin2 x∫ ctgxdx=ln|sinx|+C

∫ 1

sin2 xdx=−ctgx+C

(ctgu )'= −u'sin2u

∫ ctgu ( x ) ∙ u' (x )dx= ln|sinu(x )|+C

∫ u ( x )dxsin2u(x )

=−ctgu ( x )+C

arcsinx 1

√1−x2 ∫ 1

√1−x2dx=arcsinx+C

∫ 1

√a2−x2dx=arcsin

xa+C

(arcsinu )'= u'

√1−u2 ∫ u' (x )dx

√1−u(x )2=arcsinu ( x )+C

∫ u' (x )dx

√a2−u (x)2=arcsin

u(x )a

+C

arccosx −1

√1−x2−∫ 1

√1−x2dx=arccosx+C

−∫ 1

√a2−x2dx=arccos

xa+C

(arccosu )'= −u '

√1−u2 −∫ u ' ( x )dx

√1−u(x )2=arccosu (x )+C

−∫ u' ( x )dx

√a2−u(x )2=arccos

u(x )a

+C

arctgx 1

1+ x2 ∫ 1

1+x2dx=arctgx+C

∫ 1

a2+x2dx=1

aarctg

xa+C

(arctgu )'= u '

1+u2 ∫ u' ( x )dx1+u(x )2=arctgu ( x )+C

∫ u '(x )dxa2+u (x)2 =

1aarctg

u( x)a

+C

arcctgx −1

1+ x2(arcctgu )'= −u '

1+u2

√ x2−a2 x

√x2−a2 ∫ 1

√ x2−a2dx=¿¿

ln|x+√ x2−a2|+C

(√u2−a2 )'= u '

√u2−a2 ∫ u' ( x )dx

√u(x)2+a2=¿¿

ln|u ( x )+√u(x )2+a2|+C√ x2+a2 x

√x2+a2 ∫ 1

√ x2+a2dx=¿¿

ln (x+√ x2+a2 )+C

(√u2+a2 )'= u '

√u2−a2 ∫ u' ( x )dx

√u(x)2+a2=¿¿

ln|u ( x )+√u(x )2+a2|+CShx=e

x−e− x

2(sinus hiperbolic)

chx ∫ shxdx=chx+C ( shu)'=u ' chu

Chx=ex+e−x

2(cosinus hiperbolic)

shx ∫ chxdx=shx+C (chu )'=u ' shu

1

x2−a2 ∫ 1

x2−a2dx= 1

2aln|x−ax+a |+C

∫ 1x∓ a

dx=ln|x∓ a|+C

F(x)+g(x)

∝ f ( x )+ βg(x)

F’(x)+g’(x)

∝ f ' (x )+β g '( x)

∫ ( f ( x )+g (x))dx=∫ f ( x )dx+∫ g ( x )dx+C

∫ (∝ f ( x )+βg ( x ) )dx=¿¿∝∫ f ( x )dx+β∫ g ( x )dx

Kf(x) Kf’(x) ∫ kf (x )dx=k∫ f ( x )dx+Ckf (x )

1f (x )

−k f ' (x )f (x )2

−f ' (x )f 2(x )

(f(x)g(x)) f’(x)g(x)+f(x)g’(x)f (x )g (x)

f ' ( x )g ( x )−f ( x )g '( x)g2(x )

Integrarea prin părţi se apică la integrarea produsului de funcţii.

∫ f ( x )g' (x )dx=f ( x )g ( x )−∫ f ' ( x )g ( x )dx

∫a

b

f ( x )g' (x )dx=f ( x )g ( x )¿ab−∫

a

b

f ' ( x )g ( x )dx

Dacă la integrarea prin părţi apare ex acesta se consider ăca fiind g '(x )Dacă la integrarea prin părţi apare lnx acesta se consideră f(x) căci prin derivarea dispareLa integrarea funcţiilor tigonometrice inverse sau în alte cazuri g’(x) se consideră 1, după necesităţi.La integraea funcţiilor raţionale cu gradul numitorului mai mic decât gradul numărătorului se face împărţirea şi apoi descompunerea în fracţii simple, după cum numitorul are rădăcini reale sau complexe, fiecare cu ordinul său de multiplicitate.

∫ P (x)Q(x )

dx= Ax∓a

+ Bx∓ a

+… Cx+Dx2+Mx+N

+ gradP(x)¿ gradQ (x) numitorii fracţiilor simple pot şi trebuie să aibă exponenţii în ordine

crescătoare până la cel mai mare ordin de multiplicitate a rădăcinilor.Formula lui Lebnitzi-Newton

∫a

b

f ( x )dx=F ( x )¿ab=F (b )−F (a) Unde F(x) este o primitivă a lui f(x)

La schimbarea variabilei se schimbă şi limitele de integrare, în notaţia făcută se înlocuieşte valoarea lui x şi se obţine valoarea lui „u”, se continuă rezolvarea.

∫a

b

f ( x )dx=∫u (a)

u (b)

f (u )du=F (u )¿u(a)u(b)=F (u (b ) )−F(u (a ))

Aria mărginită de graficul funcţiei axa Ox şi dreptele de ecuaţie x=a respectiv x=b este A=∫a

b

f ( x )dx

Volumul corpului de rotaţie mărginit de graficul funcţiei (rotit în jurul lui Ox) şi dreptele de ecuaţie x=a respectiv x=b este

V=π∫a

b

f 2 ( x )dx