probleme demonstrate în - digitaliada geogebra... · 2020. 3. 4. · probleme demonstrate în...

Probleme demonstrate în

aplicația GeoGebra

Clasa a VI-a, Semestrul II

Textul și ilustrațiile din acest document sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor

licenței Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe

pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. Coperta , ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-

urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi

de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de

drepturi.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

1 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

Cuprins

PERIMETRUL TRIUNGHIULUI ................................................................................................................................... 2

PROPRIETĂȚILE UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI................................................................................................ 4

CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR .......................................................................................................................... 6

BISECTOAREA TRIUNGHIULUI ................................................................................................................................ 8

MEDIATOAREA TRIUNGHIULUI ..............................................................................................................................10

ÎNĂLȚIMEA TRIUNGHIULUI ......................................................................................................................................12

MEDIANELE TRIUNGHIULUI ....................................................................................................................................14

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR OARECARE ...................................................................................................17

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHIC ............................................................................................19

TRIUNGHIUL ISOSCEL ..............................................................................................................................................21

TRIUNGHIUL ECHILATERAL ...................................................................................................................................24

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC ..................................................................................................................................27

TEOREME LUI PITAGORA ........................................................................................................................................29

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

2 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

PERIMETRUL TRIUNGHIULUI

1. Fie și trei puncte necoliniare. Determinați perimetrul triunghiului .

2. Determinați perimetrul unui triunghi echilateral.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

3 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Dacă , și , stabiliți poziția punctelor și

4. Stabiliți dacă există un triunghi care să aibă lungimile laturilor , și .

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

4 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

PROPRIETĂȚILE UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI

1. În triunghiul avem ( ) și ( ) . Determinați măsura unghiului .

2. Demonstrați că măsura unghiului exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare

neadiacente cu el.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

5 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Două unghiuri exterioare ale unui trunghi au măsurile respectiv . Aflați măsurile unghiurilor interioare.

4. Fie și două puncte diametral opuse al cercului ( ), iar un punct pe cerc. Demonstrați că unghiurile

și sunt unghiuri complementare.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

6 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR

1. Construiți triunghiul pentru care , și .

2. Construiți triunghiul isoscel în care și .

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

7 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Construiți triunghiul în care , ( ) și ( ) .

4. Construiți triunghiul în care , și ( ) .

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

8 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

BISECTOAREA TRIUNGHIULUI

1. Construiți cercul înscris în triunghiul dacă , ( ) și ( ) .

2. Fie triunghiul în care ( ) . Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor

și .

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

9 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Dacă și sunt unghiuri exterioare triunghiului și este intersecția dintre bisectoarea unghiului

și bisectoarea unghiului , arătați că aparține bisectoarei unghiului

4. În triunghiul ( ) și ( ) , construim , -. Arătați că, bisectoarea

unghiului este paralelă cu

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

10 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

MEDIATOAREA TRIUNGHIULUI

1. Construiți cercul circumscris al triunghiului dacă , și ( ) .

2. Demonstrați că punctul de intersecție al mediatoarelor unui triunghi este egal depărtat de vârfurile acestuia.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

11 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. În triunghiul mediatoarea lui și mediatoarea lui se intersectează într-un punct . Dacă aparține

bisectoarei unghiului , arătați că , - , -.

3. Demonstrați că într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

12 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

ÎNĂLȚIMEA TRIUNGHIULUI

1. Se consideră triunghiul dreptunghi în Demonstrați că punctul este și ortocentrul triunghiului.

2. În triunghiul ( ) și ( ) . Calculați unghiul format de înălțimea ( și bisectoarea ( ,

unde ( ).

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

13 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Demonstrați că înălțimile triunghiului sunt bisectoare în triunghiul format din picioarele înălțimilor.

4. Demonstrați că punctele simetrice ortocentrului în raport cu laturile triunghiului se află pe cercul circumscris

triunghiului.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

14 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

MEDIANELE TRIUNGHIULUI

1. Construiți centrul de greutate al triunghiului cu laturile și

2. In triunghiul punctele sunt mijloacele laturilor . Dreptele se intersectează în punctul .

Demonstrați că este mediana triunghiului

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

15 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Demonstrați că ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris sunt coliniare.

4. Demonstrați că suma algebrică a distanțelor vârfurilor unui triunghi de la o dreaptă care trece prin centrul de greutate

al triunghiului este zero.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

16 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

5. În triunghiul , este un punct interior laturii astfel încât

. Dacă este mijlocul medianei , unde

este pe latura , arătați că punctele sunt coliniare.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

17 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR OARECARE

1. Fie AB o coardă a cercului ( ), iar punctul P mijlocul acesteia. Demonstrați că .

2. Fie și două tangente duse la cercul ( ) din punctul . Demonstrați că .

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

18 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Fie și două drepte paralele iar punctele și , astfel încât , - , -. Demonstrați că , unde * + , - , -.

4. Fie , bisectoarea unghiului . Se consideră , , , , , astfel încât , - , -. Arătați că

.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

19 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHIC

1. Fie mijlocul segmentului și . Dacă este simetricul punctului față de , arătați că ,

unde * + , - , -.

2. Fie o coardă a cercului ( ), iar punctul piciorul perpendicularei duse din pe coardă. Demonstrați că

.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

20 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Fie și două diagonale perpendiculare în cercul ( ). Demonstrați că .

4. În triunghiul avem , - , -. Notăm cu intersecția dintre perpendiculara pe în și perpendiculara pe

în . Arătați că .

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

21 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

TRIUNGHIUL ISOSCEL

1. În triunghiul isoscel cu , - , - și ( ) notăm cu mijlocul lui , -. Bisectoarea unghiului

intersectează , - în iar * +. Aflați măsurile unghiurilor și

2. În triunghiul și sunt mediatoarele laturilor , - respectiv , - unde , - și , -. Demonstrați

că triunghiul este isoscel.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

22 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. În triunghiul , ( este bisectoarea unghiului , ( ), iar , unde ( ). Demonstrați că

triunghiul este isoscel.

4. În triunghiul , este ortocentrul, iar bisectoarea unghiului intersectează înălțimile duse din și în punctele

și . Arătați că este isoscel.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

23 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

5. Se consideră triunghiul isoscel cu , în care se duc înălțimile , unde sunt puncte pe

segmentele , respectiv . Dacă este simetricul punctului față de , să se arate că dreptele sunt

perpendiculare.

6. Fie triunghiul ascuțitunghic, cu Pe laturile și se consideră punctele respectiv astfel

încât . Picioarele perpendicularelor din punctul pe dreptele se notează cu respective . Arătați că:

a) , unde * + b) Triunghiul este isoscel, unde * +

c) Punctele sunt coliniare.

d)

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

24 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

TRIUNGHIUL ECHILATERAL

1. Pe laturile triunghiului echilateral fixăm punctele și astfel încât , - , - , -. Demonstrați că

triunghiul este echilateral.

2. Fie , - raza cercului ( ), iar mediatoarea acestuia intersectează cercul în punctele și . Demonstrați că,

triunghiul este echilateral.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

25 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. În triunghiul , avem ( ) , ( ) , ( ) astfel încât , și . Arătați că

este echilateral.

4. În interiorul pătratului fie punctul astfel încât ( ) ( ) Demonstrați că triunghiul

este echilateral.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

26 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

5. Se consideră un punct în interiorul triunghiului echilateral și , , unde sunt puncte

pe segmentele , - , - , - respectiv , - Să se arate că suma este constantă.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

27 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

1. Demonstrați că centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic coincide cu mijlocul ipotenuzei acestuia.

2. În avem ( ) , ( ) , , ( ). Arătați că

.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

28 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. În avem ( ) , , ( ), punctele și sunt mijloacele laturilor , - respectiv , -.

Demonstrați că .

4. este un triunghi dreptunghic în , iar este mijlocul lui , -. Perpendiculara în pe dreapta intersectează

paralelele prin și la dreapta în și . Demonstrați că , este bisectoarea și , este bisectoarea

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

29 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

TEOREME LUI PITAGORA

1. Cateta și ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de respectiv . Calculați lungimea celeilalte catete.

2. Vârful unui stâlp, așezat perpendicular pe suprafața pământului, înalt de trebuie legat cu sârmă de un punct aflat

la de baza acestuia. Calculați lungimea sârmei!

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

30 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Fie un triunghi dreptunghic. Demonstrați că suma ariilor pătratelor construite pe catetele triunghiului este egală

cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

31 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

4. Fie un triunghi dreptunghic. Demonstrați că suma ariilor triunghiurilor echilaterale construite pe catetele

triunghiului este egală cu aria triunghiului echilateral construit pe ipotenuză.

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a

SEMESTRUL II

32 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

BIBLIOGRAFIE

1. Perianu, M., Stănică, C., Smărăndoiu, Ș. Matematică, clasa a V-a Editura ART Educațional, București, 2018.

2. Zaharia, D., Zaharia, M., Peligrad, P., Matematică, clasa a V-a, Editura Paralela 45, București, 2019.