numere naturale

NUMERE NATURALELecţii pentru clasa a V-a

Prof. FLORESCU NICOLAE

LECŢIA nr. 4 (2 ore)

La sfârşitul lecţiei, elevul va fi capabil:

1.2 să efectueze adunări cu numere naturale, utilizând proprietăţile adunării

3.1 să identifice informaţiile esenţiale dintr-un enunţ matematic prezentat în diferite forme

4.1 să-şi formeze obişnuinţa de a exprima printr-un enunţ matematic anumite probleme practice

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE.

PROPRIETĂŢI.

Tipuri de exercitii: 1.2. - Exercitii de adunare a numerelor naturale

- Exercitii de evidentiere si de aplicare a

proprietatilor adunarii numerelor naturale 2.3. Estimarea rezultatului unui calcul prin

rotunjirea convenabila a termenilor 3.1. Analiza textului unei probleme in vederea

identificarii operatiilor aritmetice utilizate in rezolvare

4.1. Exercitii de recunoastere a unei reguli de formare a unor succesiuni de numere naturale si completarea acestora cu termeni potriviti

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE. PROPRIETĂŢI.

1. Calculaţi:

a) 72619 + 43578

b) 2217+67485+583679

c) 435+127+387+59

Rezolvare:

a)

b) c)

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE. PROPRIETĂŢI.

2. Efectuaţi folosind proprietăţile adunării:a) 599+145+55+1; b) 146+1001+44; c) 1260+1998+740+2;d) 6781+342+7+119+758. Rezolvare:a) 599+145+55+1 = (599+1) + (145+55) = 600+200 = 800;

b) 146+1001+44 = (146+44)+1001 = 190+1001 = 1191;

c) 1260+1998+740+2 = (1260+740) + (1998+2) = 20000+2000 = 22000.

d) 6781+342+7+119+758 = (6781+119) + (342+758) +7 = 6900+1100+7 = 8000+7 = 8007

3. Precizaţi proprietăţile care justifică egalităţile următoare:

a) 56+1003 = 1003+56 ; b) (3+29)+7 = 3+(29+7) ; c) 5+(12+13) = (5+13)+12.Rezolvare:a) Schimbarea ordinii termenilor este permisă de

proprietatea de comutativitate

b) Introducerea parantezelor în diferite poziţii pentru a grupa diferiţi termeni dintro sumă e permisă de proprietatea de asociativitate

c) Aici e o combinaţie de proprietăţi: comutativitate: 5+(12+13) = 5+(13+12) şi apoi

asociativitate: 5+(13+12) = (5+13)+12.

4. Aflaţi valorile lui x şi denumiţi proprietăţile utilizate:

a) 17 + x = 17; b) 29 + 57 = 57 + x;

c) (26+34)+45 = 26+(34+x);

d) (32+17)+25 = x+(25+32).

Rezolvare:

a) x = 0; 0 este element neutru la adunare

b) x = 29; comutativitatea

c) x = 45; asociativitatea

d) x = 17; comutativitatea şi asociativitatea

5. Descompuneţi numerele urmatoare în sume de numere formate respectiv numai din unităţi, zeci, sute, etc., după caz:

a) 78; b) 402; c) 516; d) 2799.

Rezolvare:

a) 78 = 70+8

b) 402 = 400+2

c) 516 = 500+10+6

d) 2799 = 2000+700+90+9

6. Amalia colecţionează pixuri. Fraţii ei mai mari îi oferă câteva astfel: Darian îi dă 5 , Claudiu cu 4 mai multe decât Darian, iar Mădălina îi dă cu 1 mai multe decât Claudiu. Aflaţi câte pixuri primeşte Amalia de la cei trei fraţi.

Rezolvare:

Darian: 5;

Claudiu: 5+4 = 9 ;

Mădălina: 9+1 = 10;

În total Amalia primeşte: 5+9+10 = 24 pixuri.

7. Un comerciant vinde întreaga cantitate de rosii, pe care o avea, în patru zile astfel: în prima zi vinde 15 kg , a doua zi cu 6 kg mai mult ca în prima, a treia zi vinde cât in primele două zile la un loc, iar în a patra vinde cu 19 kg mai mult ca în a doua zi. Aflaţi ce cantitate de rosii avea iniţial comerciantul.

Rezolvare:

Prima zi: 15 kg;

A doua zi: 15+6 = 21 kg;

A treia zi: 15+21 = 36 kg;

A patra zi: 21+19 = 40 kg;

În total, 15+21+36+40 = 36+76 = 112 kg.

8. Suma a 6 numere naturale pare distincte este 30. Aflaţi numerele.

Rezolvare: Folosim metoda incercărilor: Să încercăm cu primele 6 numere naturale pare şi distincte:

2+4+6+8+10+12 = (2+8)+(4+6)+10+12 = 30+12 = 42. Observăm că suma a ieşit mai mare decât trebuia, deci

încercarea a eşuat. Vom căuta atunci greşeala. Oare o fi greşit exerciţiul? Nicidecum. Atunci ar trebui să

mai existe un număr par, mai mic decât 12, diferit de cele folosite de noi! Da. Se pare că am uitat de existenţa primului număr natural par: numărul ZERO. Dacă vom înlocui pe 12 cu 0 vom avea exact 6 numere naturale pare a căror sumă este 30:

0+2+4+6+8+10 = (2+8)+(4+6)+10 = 30.

9. Un “pătrat magic” este un careu (tabel) ca cele de mai jos în care sumele termenilor aşezaţi pe fiecare linie, coloană, diagonală sunt respectiv egale. Verificaţi dacă pătratele de mai jos sunt magice şi în caz afirmativ scrieţi “suma magică” pentru fiecare:

a)

5 6 1

0 4 8

7 2 3

Rezolvare:

Linii:

5+6+1=12 ; 0+4+8=12 ;7+2+3=12.

Coloane:

5+0+7=12 ; 6+4+2=12 ; 1+8+3=12.

Diagonale:

5+4+3=12 ; 1+4+7=12.

SUMA MAGICA: 12

b)

7 3 6

7 4 5

2 9 5

Rezolvare:

Linii:

7+3+6=16; 7+4+5=16; 2+9+5=16.

Coloane:

7+7+2=16; 3+4+9=16; 6+5+5=16.

Diagonale:

7+4+5=16; 6+4+2=12

După cum obsevăm pe una din diagonale suma este diferită, deci acest careu NU ESTE UN

PĂTRAT MAGIC!

13 8 12 1

2 11 7 14

3 10 6 15

16 5 9 4

c) Rezolvare:

Linii:

13+8+12+1 = 34; 2+11+7+14 = 34;

3+10+6+15 = 34; 16+5+9+4 =34.

Coloane:

13+2+3+16 = 34; 8+11+10+5 = 34;

12+7+6+9 = 34; 1+14+15+4 = 34.

Diagonale:

13+11+6+4 = 34;

1+7+10+16 = 34.SUMA MAGICĂ: 34

10. Completaţi pătratul magic de mai jos astfel încât sa obţineţi suma magică egală cu 15.

2 7 6

9 5 1

4 3 8

6

5 1

Rezolvare:

Pe diagonala pe care avem aşezate nr. 6 şi 5: 6+5+a = 15 => a = 15–6–5 = 4

Pe linia a doua: 1+5+b = 15 =>

b = 15–1–5 => b = 9

Pe coloana a treia: 6+1+c = 15 =>

c = 15–6–1 => c = 8

Pe cealaltă diagonală: 8+5+d = 15 =>

d = 15–8–5 => d = 2

Pe prima linie: 2+e+6 = 15 => e = 7

Pe coloana a doua: 7+5+f = 15 => f = 3

11. Observaţi regula de formare şi continuaţi scrierea şirului de numere:

a) 23;25;27;……..;41. b) 3;5;8;10;13;15;18;…….;33.

Rezolvare:

a) Observăm că 23+2 = 25, 25+2 = 27, deci fiecare termen se obţine din cel precedent prin adunare cu 2. Completăm şirul astfel: 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39; 41.

b) Obsevăm că 3+2 = 5, 5+3 = 8, 8+2 = 10, 10+3 = 13, 13+2=15, 15+3 = 18, deci observăm că al doilea termen se obţine din primul prin adunare cu 2, al treilea din al doilea prin adunare cu 3, al patrulea din al treilea prin adunare cu 2 şi aşa mai departe. Completăm şirul astfel:

3; 5; 8; 10; 13; 15; 18; 20; 23; 25; 28; 30; 33.

12. Observaţi regula de formare şi completaţi scrierea şirului cu încă 5 termeni:

a) 5; 10; 15; …. ; b)53; 62; 71; ….

Rezolvare:

a) Obsevăm că 5+5 = 10, 10+5 = 15, deci fiecare termen se obţine din cel precedent prin adunare cu 5. Completăm cu încă 5 termeni: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40.

b) Observăm ca fiecare termen se obţine din cel precedent prin adunare cu 9. Completăm sirul cu încă 5 termeni:

53; 62; 71; 80; 89; 98; 107; 116.

13. a) Arătaţi că 1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n = n(n+1):2;

b) Calculaţi suma: 1+2+3+…+100;

c) Calculaţi suma: 11+12+13+…+75.

Rezolvare:

a) Fie s = 1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n. Mai putem scrie,

conform comutativităţii: s = n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1.

Aplicând suma a două egalităţi => s+s = (1+n)+[2+(n-1)]+ +[3+(n-2)]+…+[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1) =>

2s = (n+1)+(n+2-1)+(n+3-2)+…+(n+3-2)+(n+2-1)+(n-1) 2s = (n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)+(n+1), unde

paranteza (n+1) se repetă de n ori şi deci se poate scrie: 2s = (n+1)n şi de aici => s = (n+1)n:2 (c.c.t.d)

b) Comparăm suma cerută cu suma din exerciţiul precedent. => n = 100 şi aplicăm în formula dedusă anterior: s = n(n+1):2. Obţinem astfel:

s = 100(100+1):2 = 100101:2 = 5050.

c) Descompunem termenii sumei date în sume de doi termeni astfel:

11=1+10; 12=2+10; 13=3+10; …; 75=65+10.

Efectuăm: s = (1+2+3+…+65)+1065 =

= 65(65+1):2+650 = 6566:2+650 =

= 6533+650 = 2145+650 = 2795.

Obs.: - Pentru suma 1+2+3+…+65 am aplicat formula

s = n(n+1):2, în care am luat n = 65.

- Produsul 1065 a apărut din faptul că termenul 10 se repeta de 65 de ori în suma obţinută.

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE. PROPRIETĂŢI.

Acum vreau să vă văd şi pe voi rezolvând asemănător astfel de exerciţii.

Dacă nu aţi reţinut suficient de bine modul de lucru, puteţi reveni asupra acestei prezentări pentru a o studia mai cu atenţie.