notiuni teoretice x 2012

COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

PROFESOR ARHIRE FELIX 6

70.. Proprietăţi ale radicalilor de ordin 2n :

n

pn p aa , nmn m aa , Rp 2,n 2,m ,Nqn,m, , ,

Raaanq pqn p

Logaritmi:

71. Condiţii de existenţă pentru ablog :

1 ,0

0

bb

a

72. logxaa b x b

73. log ba ba , 01log ,1log aa a lnln 1, lg10 1, ae e a

74. BABA aaa logloglog

75. BAB

Aaaa logloglog

76. AnA an

a loglog

77. An

A aan log1

log

78. a

Aa

AA

Aa

b

ba log

1log ,

log

loglog

79.

1,0

1,0sau

1

10log

A

a

A

aAa

80.

1

1,0sau

1,0

10log

A

a

A

aAa

81. Constante utile: 2 1, 41 3 1,73 5 2,23 2,71 3,14e

Numere complexe:

82. Dacă biaz , avem 22 baz şi biaz

83. 2

zzz

Rz dacă şi numai dacă zz 84. z z

nn zz

85. Forma trigonometrică a unui număr complex:

r

bsint

r

acost

, unde,sincos 22 bartitrz

86. Dacă ,sincos ,sincos 22221111 titrztitrz atunci:

21212121 sincos ttittrrzz

21212

1

2

1 sincos ttittr

r

z

z

87. Formula lui Moivre: ntintrz nn sincos , 2n

COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

PROFESOR ARHIRE FELIX 7

88. Rădăcinile de ordin n ale unui număr complex z: dacă titrz sincos , ecuaţia zu n are

soluţiile 1,0 ,2

sin2

cos

nkn

kti

n

ktru n

k

89. Rădăcinile nereale de ordinul 3 ale unităţii sunt 2

3

2

1 ,

2

3

2

1ii . Notaţia cea mai utilizată

este şi au proprietăţile: 13 şi 012 .

Funcţii:90. Def. 1. BAf : se numeşte funcţie injectivă dacă 212121 ,, xfxfxxAxx .

91. Def. 2. BAf : se numeşte funcţie injectivă dacă Axx 21, cu proprietatea că

21 xfxf rezultă că 21 xx .92. Def. 3. BAf : este funcţie injectivă dacă orice dreaptă dusă prin punctele codomeniului, paralelă cu Ox, intersectează Gf în cel mult un punct.93. Propoziţie: Dacă o funcţie f este strict monotonă pe A, atunci f este injectivă pe A.94. Def. 1. BAf : se numeşte funcţie surjectivă dacă .încât astfel, yxfAxBy 95. Def. 2. BAf : se numeşte funcţie surjectivă dacă .Im fCodomf 96. Def. 3. BAf : este funcţie surjectivă dacă orice dreaptă dusă prin punctele codomeniului, paralelă cu Ox, intersectează Gf în cel puţin un punct.97. BAf : se numeşte funcţie bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.

98. Funcţia exponenţială: 1 , ,,0: aaxfRf x

99. Funcţia exponenţială: 1,0 , ,,0: aaxfRf x

100. Funcţia logaritmică: 1 ,log ,,: axxfRof a

10

1

0

1

0

COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

PROFESOR ARHIRE FELIX 8

101. Funcţia logaritmică: 1,0 ,log ,,: axxfRof a

102. xxfRf sin ,1,1:

103. xxfRf cos ,1,1:

104. tgxxfRZkkRf

,,

2\:

105. ctgxxfRZkkRf ,,\:

2

0

2

3 22

2

0

2

3 22

2

0

2

3 22

1

-1

2

0

2

3 2

2

1

-1

10

COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

PROFESOR ARHIRE FELIX 9

106. Funcţiile trigonometrice directe sunt inversabile dacă:

Rctg

Rtg

,0:

2,

2:

1,1,0:cos

1,12

,2

:sin

107.

2,

21,1:arcsin

108. ,01,1:arccos

109.

2,

2:

Rarctg

0

2

2

0

2

1-1

0

2

1-1

2

COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

PROFESOR ARHIRE FELIX 10

110. ,0: Rarcctg

111. Funcţiile arcsin şi arctg sunt funcţii impare: Rxarctgxxarctg

xxx

,

1,1 ,arcsinarcsin

112. Punctul P

2,0

este centru de simetrie pentru graficele funcţiilor arccos şi arcctg:

Rxarcctgxxarcctg

xxx

,

1,1 ,arccosarccos

113. Ecuaţia ZkkaarSaax k ,sin1 are 1,1 ,sin .

114. Ecuaţia ZkkaSaax ,2arccos are 1,1 ,cos 115. Ecuaţia ZkkarctgaSRaatgx , are ,

ZkkarcctgaSRaactgx , are , Combinatorică (probleme de numărare):116. Dacă mn bbbBaaaA ,...,, ,,...,, 2121 , atunci de la A la B se pot defini nm funcţii.

117. !!

! ,

!

! ,!

knk

nC

kn

nAnP k

nknn

118. 11 k

nkn C

k

nC

119. 111 k

nkn

kn CCC

120. 1121 ... p

np

npp

pp

pp CCCCC

121. nnnnnn CCCC 2...210

122. Numărul de submulţimi ale unei mulţimi cu n elemente este n2 .123. 1531420 2...... n

nnnnnn CCCCCC

124. Binomul lui Newton: nnn

nnn

nn

nn

nn

n bCabCbaCbaCaCba 11222110 ...

125. Termenul general: kknknk baCT

1

126. ,1

,1

121

kkkk Tk

kn

a

bTT

k

kn

a

bT

Geometrie:

127. Ecuaţia dreaptei ce trece prin AA yxA , şi BB yxB , este: AB

A

AB

A

yy

yy

xx

xxAB

:

128. Dreapta ce trece prin AA yxA , şi are panta m, are ecuaţia : AA xxmyy

0

2

COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

PROFESOR ARHIRE FELIX 11

129. . Dreapta ce trece prin AA yxA , şi are direcţia vectorului ,v are ecuaţia

AAA

vyyxx

d

:

130. Dacă 0: cbyaxd atunci – vectorul director este abv ,

- are aceeaşi direcţie cu dreapta

- vectorul normal este ban ,

. – este perpendicular pe dreaptă

131. Dacă 0: cbyaxd atunci panta este b

am .

132. Dacă AB

ABABBBAA xx

yymyxByxA

,,,

133. Dreptele 0: 1111 cybxad

0: 2222 cybxad sunt paralele dacă 2

1

2

121 sau

b

b

a

amm

134. 21 dd dacă 1sau 0 212121 mmbbaa

135. Dacă 0: ,, 0 cbyaxdyxA AA atunci 220,

ba

cbyaxdAd AA

.

136. Dacă BBAA yxByxA ,,, , iar M este mijlocul segmentului AB atunci

2,

2BA

MBA

M

yyy

xxx

137. Dacă CCBBAA yxCyxByxA ,,,,, , iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC atunci

3,

3CBA

GCBA

G

yyyy

xxxx