notiuni teoretice x 2012
DESCRIPTION
Formule clasa a X a Matematica-InformaticaDrepturi de autor,Arhire FelixTRANSCRIPT
COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ
PROFESOR ARHIRE FELIX 6
70.. Proprietăţi ale radicalilor de ordin 2n :
n
pn p aa , nmn m aa , Rp 2,n 2,m ,Nqn,m, , ,
Raaanq pqn p
Logaritmi:
71. Condiţii de existenţă pentru ablog :
1 ,0
0
bb
a
72. logxaa b x b
73. log ba ba , 01log ,1log aa a lnln 1, lg10 1, ae e a
74. BABA aaa logloglog
75. BAB
Aaaa logloglog
76. AnA an
a loglog
77. An
A aan log1
log
78. a
Aa
AA
Aa
b
ba log
1log ,
log
loglog
79.
1,0
1,0sau
1
10log
A
a
A
aAa
80.
1
1,0sau
1,0
10log
A
a
A
aAa
81. Constante utile: 2 1, 41 3 1,73 5 2,23 2,71 3,14e
Numere complexe:
82. Dacă biaz , avem 22 baz şi biaz
83. 2
zzz
Rz dacă şi numai dacă zz 84. z z
nn zz
85. Forma trigonometrică a unui număr complex:
r
bsint
r
acost
, unde,sincos 22 bartitrz
86. Dacă ,sincos ,sincos 22221111 titrztitrz atunci:
21212121 sincos ttittrrzz
21212
1
2
1 sincos ttittr
r
z
z
87. Formula lui Moivre: ntintrz nn sincos , 2n
COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ
PROFESOR ARHIRE FELIX 7
88. Rădăcinile de ordin n ale unui număr complex z: dacă titrz sincos , ecuaţia zu n are
soluţiile 1,0 ,2
sin2
cos
nkn
kti
n
ktru n
k
89. Rădăcinile nereale de ordinul 3 ale unităţii sunt 2
3
2
1 ,
2
3
2
1ii . Notaţia cea mai utilizată
este şi au proprietăţile: 13 şi 012 .
Funcţii:90. Def. 1. BAf : se numeşte funcţie injectivă dacă 212121 ,, xfxfxxAxx .
91. Def. 2. BAf : se numeşte funcţie injectivă dacă Axx 21, cu proprietatea că
21 xfxf rezultă că 21 xx .92. Def. 3. BAf : este funcţie injectivă dacă orice dreaptă dusă prin punctele codomeniului, paralelă cu Ox, intersectează Gf în cel mult un punct.93. Propoziţie: Dacă o funcţie f este strict monotonă pe A, atunci f este injectivă pe A.94. Def. 1. BAf : se numeşte funcţie surjectivă dacă .încât astfel, yxfAxBy 95. Def. 2. BAf : se numeşte funcţie surjectivă dacă .Im fCodomf 96. Def. 3. BAf : este funcţie surjectivă dacă orice dreaptă dusă prin punctele codomeniului, paralelă cu Ox, intersectează Gf în cel puţin un punct.97. BAf : se numeşte funcţie bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.
98. Funcţia exponenţială: 1 , ,,0: aaxfRf x
99. Funcţia exponenţială: 1,0 , ,,0: aaxfRf x
100. Funcţia logaritmică: 1 ,log ,,: axxfRof a
10
1
0
1
0
COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ
PROFESOR ARHIRE FELIX 8
101. Funcţia logaritmică: 1,0 ,log ,,: axxfRof a
102. xxfRf sin ,1,1:
103. xxfRf cos ,1,1:
104. tgxxfRZkkRf
,,
2\:
105. ctgxxfRZkkRf ,,\:
2
0
2
3 22
2
0
2
3 22
2
0
2
3 22
1
-1
2
0
2
3 2
2
1
-1
10
COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ
PROFESOR ARHIRE FELIX 9
106. Funcţiile trigonometrice directe sunt inversabile dacă:
Rctg
Rtg
,0:
2,
2:
1,1,0:cos
1,12
,2
:sin
107.
2,
21,1:arcsin
108. ,01,1:arccos
109.
2,
2:
Rarctg
0
2
2
0
2
1-1
0
2
1-1
2
COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ
PROFESOR ARHIRE FELIX 10
110. ,0: Rarcctg
111. Funcţiile arcsin şi arctg sunt funcţii impare: Rxarctgxxarctg
xxx
,
1,1 ,arcsinarcsin
112. Punctul P
2,0
este centru de simetrie pentru graficele funcţiilor arccos şi arcctg:
Rxarcctgxxarcctg
xxx
,
1,1 ,arccosarccos
113. Ecuaţia ZkkaarSaax k ,sin1 are 1,1 ,sin .
114. Ecuaţia ZkkaSaax ,2arccos are 1,1 ,cos 115. Ecuaţia ZkkarctgaSRaatgx , are ,
ZkkarcctgaSRaactgx , are , Combinatorică (probleme de numărare):116. Dacă mn bbbBaaaA ,...,, ,,...,, 2121 , atunci de la A la B se pot defini nm funcţii.
117. !!
! ,
!
! ,!
knk
nC
kn
nAnP k
nknn
118. 11 k
nkn C
k
nC
119. 111 k
nkn
kn CCC
120. 1121 ... p
np
npp
pp
pp CCCCC
121. nnnnnn CCCC 2...210
122. Numărul de submulţimi ale unei mulţimi cu n elemente este n2 .123. 1531420 2...... n
nnnnnn CCCCCC
124. Binomul lui Newton: nnn
nnn
nn
nn
nn
n bCabCbaCbaCaCba 11222110 ...
125. Termenul general: kknknk baCT
1
126. ,1
,1
121
kkkk Tk
kn
a
bTT
k
kn
a
bT
Geometrie:
127. Ecuaţia dreaptei ce trece prin AA yxA , şi BB yxB , este: AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xxAB
:
128. Dreapta ce trece prin AA yxA , şi are panta m, are ecuaţia : AA xxmyy
0
2
COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”________________________________MATEMATICĂ - INFORMATICĂ
PROFESOR ARHIRE FELIX 11
129. . Dreapta ce trece prin AA yxA , şi are direcţia vectorului ,v are ecuaţia
AAA
vyyxx
d
:
130. Dacă 0: cbyaxd atunci – vectorul director este abv ,
- are aceeaşi direcţie cu dreapta
- vectorul normal este ban ,
. – este perpendicular pe dreaptă
131. Dacă 0: cbyaxd atunci panta este b
am .
132. Dacă AB
ABABBBAA xx
yymyxByxA
,,,
133. Dreptele 0: 1111 cybxad
0: 2222 cybxad sunt paralele dacă 2
1
2
121 sau
b
b
a
amm
134. 21 dd dacă 1sau 0 212121 mmbbaa
135. Dacă 0: ,, 0 cbyaxdyxA AA atunci 220,
ba
cbyaxdAd AA
.
136. Dacă BBAA yxByxA ,,, , iar M este mijlocul segmentului AB atunci
2,
2BA
MBA
M
yyy
xxx
137. Dacă CCBBAA yxCyxByxA ,,,,, , iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC atunci
3,
3CBA
GCBA
G
yyyy
xxxx