exemple de rezolvare a problemelor la rezistenta materialelor2
Post on 27-Nov-2015
112 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Exemple de rezolvare Problema 3 Pentru consola cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă admσ = 150 MPa având schema statică şiîncărcările din fig. 3.3.2, a se cere: a) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire θ ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor). Modulul de elasticitate al materialului MPa 101,2E 5⋅= .
Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul A ∑ =⇔=⋅−⋅−⋅+⇔= .Fa12M0a3F22a3F0RM;0M AAA)A(i .
Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul C a3/)Fa3Fa12(R0aF3a3RM0M AA)C(i +=⇔=⋅+⋅−⇔=∑ ,
Fa5R A = .Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe
verticala) 0F5F5F2F3R A =+−=++−b) Trasarea diagramelor eforturilor T şi M.
Împărţim grinda în sectoarele AB, BC, CD. Alegem originea
a) Fig.3.3.1 b) coordonatelor în punctul stâng extrem A al grinzii, orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta. Calculăm forţa transversală (tăietoare) T şi momentul încovoietor M într-o secţiune arbitrară cu abscisa X. Forţa tăietoare T într-o secţiune este suma proiecţiilor pe normala la axa barei a forţelor
1
Fig.3.3.2 din stânga secţiunii (sau celor din dreapta). Momentul încovoietor M, într-o secţiune transversală , este suma momentelor forţelor din stânga secţiunii (inclusiv cupluri) , luate faţa de secţiune (sau a celor din dreapta). Cele două eforturi sunt pozitive când au sensurile indicate pe fig. 3.3.1, a (1-1 este secţiune unde se calculează eforturile). Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor T, M în cele trei regiuni.
Sectorul AB, a2x0 ≤≤ (fig. 3.3.1,a) F5R)x(T A == .
2
Fx5Fa12xRM)x(M AA +=⋅+−= .
După cum se vede din aceste ecuaţii, forţa tăietoare este identicăîn toate secţiunile sectorului, de aceea diagrama T are forma unui dreptunghi; funcţia M(x) este funcţia liniară. Pentru a construi graficul ei e suficient să se obţinem două puncte - la începutul şi la finele sectorului: pentru x = 0 (secţiunea A) M(0) = 12Fa; pentru x = 2a (secţiunea B) M(2a) = Fa2 .
Conform acestor date construim diagrama M pe sectorul AB. Ordonatele pozitive ale diagramelor T şi M se pun de la axa în jos (diagrama M se construieşte pe fibrele întinse). Sectorul BC, a3xa2 ≤≤ (fig. 3.3.3)
Fig.3.3.3
F2FF5F3R)x(T A =−=−= .)a2x(F3Fx5Fa12)a2x(F3xRM)x(M AA −−+−=−−⋅+−= .
pentru Fa2)a2a2(F3a2F5Fa12M(2a) a2x −=−−⋅+−== ;pentru 0)a2a3(F3a3F5Fa12M(3a) a3x =−−⋅+−== .
Sectorul CD, a4xa3 ≤≤ (fig. 3.3.4)
Fig. 3.3.4 3
0F2F3F5F2F3R)x(T A =−−=−−= .
0Fx5Fa12Fx5Fa12)a3x(F2)a2x(F3Fx5Fa12)a3x(F2)a2x(F3xRM)x(M AA
=−++−=−−−−−+−=−−−−⋅+−=
.
Diagramele de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.3.2, b şi c. În secţiunea B se produce un salt egal cu forţa 3F, obţinând douăvalori ale forţei tăietoare, corespunzătoare secţiunii din stânga şi asecţiunii din dreapta punctului B, în care este aplicată forţa 3F. Bara este solicitată la încovoiere, secţiunea periculoasă fiind secţiunea (A), în care se dezvoltă moment maxim Fa12Mmax = .
c) Dimensionarea grinzii În fig. 3.2.2, b şi c sunt reprezentate diagramele de eforturi. Se observă că secţiunea periculoasă este secţiunea (A), în care se dezvoltă momentul încovoietor maxim, în valoare absolută, M =12Fa.
Condiţia de rezistenţă la încovoiere adm1
1WM
σ≤ ,
în care 1W reprezintă modulul de rezistenţă axial al suprafeţei secţiunii transversale.
Formula de dimensionare se scrie a
11
MW
σ=
3366
3
admadm
max1 cm 800m10800
10150101012Fa12M
W =⋅=⋅
⋅⋅=σ
=σ
= −
114
Pentru secţiunea pătrată 33
1 cm 8006
bW ==
cm 16,87 8006b 3 =⋅= .Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi
444
11 cm 5,67471287,16
12bI ===
4
d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Fie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în
lungul axei grinzii spre dreapta.
Fig. 3.3.5
Pentru calculul deplasărilor pe verticală notată u şi unghiurilor de rotire notată θ vom aplica relaţiile lui V. Marina:
EI
ABM
ABΩ
−θ=θ ,
EIS
)xx(uuBMAB
ABAAB −−⋅θ+= .
Din fig. 3.3.5 avem:
a32FaaFa2
21
aa221Fa4a2Fa2
a34a2
32Fa10a2Fa10
21
32
3
22
2
12
1
=ξ−=⋅⋅−=Ω
=⋅=ξ−=⋅−=Ω
=⋅=ξ−=⋅⋅−=Ω
unde iΩ sunt ariile diagramei momentelor încovoietoare pe intervale (din fig. 3.3.5), iξ sunt distanţele dintre centrele de greutate ale ariilor
iΩ şi axa verticală dusă prin secţiune unde se calculează deplasarea pe verticală.
Unghiul de rotire în secţiunea A este nulă deoarece ea aparţine şireazemului, 0A =θ .
Unghiul de rotire în secţiunea B: 5
( ) ==−−−=Ω+Ω
−=Ω
−θ=θEIFa14Fa4Fa10
EI1
EI0
EI
22221
ABM
AB
rad. 0,0099 )mm(105,6747)mm/N(101,2
)mm(10)N(10144425
264=
⋅⋅⋅
⋅⋅=
unde 21ABM Ω+Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare
pe intervalul AB (fig. 3.3.5). Unghiul de rotire în secţiunea C:
==−−=
Ω−=
Ω−θ=θ
EIFa15
EIFa
EIFa14
EIEIFa14
EI
2223
2BCM
BC
rad. 0106,0)mm(105,6747)mm/N(101,2
)mm(10)N(10154425
264=
⋅⋅⋅
⋅⋅=
unde 3BCM Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare pe
intervalul BC (fig. 3.3.5). Unghiul de rotire în secţiunea D
EIEIFa14
EI3
2BDM
BDΩ
−=Ω
−θ=θ .
Din comparaţia relaţiilor pentru unghiurile de rotire ale
secţiunilor C şi D rezultă rad0106,0EIFa15 2
CD ==θ=θ .
Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.3.2, d. f) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală
Deplasarea pe verticală în secţiunea A 0u A = (secţiunea este situată pe reazem). Deplasarea pe verticală în secţiunea B:
EIS
)xx(uuBMAB
ABAAB −−θ+= ,
6
unde diferenţa coordonatelor AB xx − prezintă distanţa dintre
punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei
diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig. 3.3.5).
=ξΩ+ξΩ
−=ξΩ
−⋅+=EIEI
a200u 2211ABM
B
==
⋅−⋅−
EI3Fa52aFa4a
34Fa10
EI1 3
22
mm. 23,12)mm(105,6747)mm/N(101,23
)mm(10)N(10524425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Deplasarea pe verticală în secţiunea C:
EIS
)xx(uuCMBC
BCBBC −−θ+= ,
unde diferenţa coordonatelor BC xx − prezintă distanţa dintre
punctele B şi A, egală cu a metri; CMBCS este momentul static al ariei
diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BC faţă de axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.3.5).
. =ξΩ−θ+=
EIauu
BCM
BBC =ξΩ
−θ+EI
au 33BB
==
⋅−−⋅+
EI3Fa96
3a2Fa
EI1a
EIFa14
EI3Fa52 3
223
mm. 58,22)mm(105,6747)mm/N(101,23
)mm(10)N(10964425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Deplasarea pe verticală în secţiunea D:
EIS
)xx(uuDMCD
CDCCD −−θ+= ,
unde diferenţa coordonatelor CD xx − prezintă distanţa dintre
punctele D şi C, egală cu a metri; DMCDS este momentul static al ariei
7
diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul CD faţă de axa verticală dusă prin secţiunea D (fig. 3.3.5). Deoarece pe intervalul CD M = 0 D
MCDS = 0. Deci.
=θ+= auu CCD ==⋅+EI3Fa141a
EIFa15
EI3Fa96 323
mm. 17,33)mm(105,6747)mm/N(101,23
)mm(10)N(101414425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.3.5, e. Observaţii utile în construcţia diagramelor deplasărilor. 1) În secţiunea unde se anulează momentul încovoietor unghiul de rotire θ este maxim sau minim, θ⇒= 0M este maxθ sau minθ .2) Efortul 0M < , unghiul de rotire θ este crescător. 3) Efortul 0M > , unghiul de rotire θ este descrescător. 4) Când momentul încovoietor este crescător convexitatea curbei unghiurilor este îndreptată spre valorile θ+ ale diagramei unghiurilor de rotire iar când momentul este descrescător – spre valorile θ− .5) În secţiunea unde se anulează unghiul de rotire θ deplasarea pe verticală (săgeata) este maximă sau minimă, u0 ⇒=θ este maxu sau
minu . 6) Unghiul de rotire 0<θ , deplasarea pe verticală este descrescătoare. 7) Unghiul de rotire 0>θ , deplasarea pe verticală este crescătoare. 8) Când unghiul de rotire este crescător convexitatea curbei deplasărilor pe verticală este îndreptată spre valorile u− ale diagramei deplasărilor pe verticală iar când unghiul de rotire este descrescător – spre valorile u+ .
Problema 4 Pentru o grindă simplu rezemată, din oţel cu tensiunea
admisibilă aσ = 150 MPa, cu secţiunea transversală pătrată, încărcatăca în fig. 3.4.1,a se cere: a) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama
8
unghiurilor de rotire θ ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); e) formulaţi concluziile care rezultădin compararea celor două scheme de rezemare din probleme 3 şi 4. Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5⋅= , tensiunea admisibilă
MPa 150a =σ . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul A
∑ =⇔=⋅+⋅−⋅−⇔= F3R0a4Ra3F22a3F;0M DD)A(i .Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul D ∑ =⇔=⋅−⋅+⋅⇔= F2R0a4RaF22a3F;0M AA)D(i .
Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe verticala trebuie să fie egală cu zero)
0F3F2F3F2RF2F3R DA =+−−=+−− .b) Trasarea diagramelor eforturilor T, M
Alcătuim funcţiile de variaţie ale momentului încovoietor şi ale forţei tăietoare în cele trei regiuni.
Sectorul AB, a2x0 ≤≤
Fa4M(2a) a,2x0M(0) 0,x
2Fx xR)x(M
;F2R)x(T
A
A
====
=⋅=
==
Sectorul BC, a3xa2 ≤≤FF3F2F3R)x(T A −=−=−=
Fa3M(3a) a,3xFa4M(2a) ,a2x
)a2x(F32Fx )a2x(F3xR)x(M A ====
−−=−−⋅=
Sectorul CD, a4xa3 ≤≤F3F2F3F2F2F3R)x(T A −=−−=−−=
0M(4a) a,4xFa3M(3a) ,a3x
)a3x(F2)a2x(F32Fx
)a3x(F2)a2x(F3xR)x(M A
====
−−−−=
=−−−−⋅=
9
Diagramele de eforturi T şi M sunt reprezentate în fig. 3.4.1, b şic Bara este solicitată la încovoiere, secţiunea periculoasă fiind secţiunea (B), în care se dezvoltă moment maxim Fa4Mmax = .
Fig.3.4.1 c) Dimensionarea grinzii
Pentru dimensionare se scrie: 336
6
3
admadm
max1 cm 267m10267
1015010104Fa4M
W =⋅=⋅
⋅⋅=σ
=σ
= −
unde 1W este modulul de rezistenţă axial ( caracteristica geometrică asecţiunii transversale)
10
Pentru secţiunea pătrată6
bW3
1 = , unde b este latura pătratului.
Rezultă mc7,112676W6b 331 =⋅=⋅=
Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4
44
11 cm 156012
7,1112bI ===
d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire θFie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în
lungul axei grinzii spre dreapta. Unghiul de rotire în secţiunea A vom calcula din condiţia cădeplasarea pe verticală în punctul D este nulă. Aplicăm relaţia lui Marina pentru calculul deplasărilor:
0EI
Sa4uu
DMAD
AAD =−⋅θ+=
Luând în consideraţie că 0usi0u DA == obţinem:
0)(EI1a4 44332211A =ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω−⋅θ
)(aEI41
44332211A ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω=θ ,
unde iΩ este aria diagramei momentelor încovoietoare pe un interval,
iξ este distanţa dintre centrul de greutate al ariei iΩ şi axa verticalădusă prin punctul D unde se calculează deplasare(fig. 3.4.2). Din fig. 3.4.2 avem:
a32a
32Fa
23aFa3
21
a35aa
32Fa
21aFa
21
a23aa
21Fa3aFa3
a38a2a2
31Fa4a2Fa4
21
42
4
32
3
22
2
12
1
=⋅=ξ=⋅⋅=Ω
=+⋅=ξ=⋅⋅=Ω
=+⋅=ξ=⋅=Ω
=+⋅=ξ=⋅⋅=Ω
11
Fig. 3.4.2
Unghiul de rotire în secţiunea A va fi:
=
⋅+⋅+⋅+⋅=θ a
32Fa
23a
35Fa
21a
23Fa3a
38Fa4
aEI41 2222
A
==EI4Fa17 2
rad, 013,0)mm(101560)mm/N(101,24
)mm(10)N(10174425
264=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
Unghiul de rotire în secţiunea B:
==−=Ω
−=Ω
−θ=θEI4
FaEIFa4
EI4Fa17
EIEI4Fa17
EI
2221
2ABM
AB
rad. 00076,0)mm(101560)mm/N(101,24
)mm(10)N(104425
264=
⋅⋅⋅⋅
⋅=
unde 1ABM Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare pe
intervalul AB (fig. 3.4.2). Unghiul de rotire în secţiunea C
=
+−=
Ω+Ω−=Ω
−θ=θ 222
322BC
MBC Fa
21Fa3
EI1
EI4Fa
EIEI4Fa
EI
12
rad. 0099,0)mm(101560)mm/N(101,24
)mm(10)N(1013EI4Fa13
4425
2642−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−=−=
unde 21BCM Ω+Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare
pe intervalul BC (fig. 3.4.2). Unghiul de rotire în secţiunea D
=−=−−=Ω
−−=Ω
−θ=θEI4Fa19
EI2Fa3
EI4Fa13
EIEI4Fa13
EI
2224
2CDM
CD
rad. 0145,0)mm(101560)mm/N(101,24
)mm(10)N(10194425
264−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−=
Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul BC. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.4.3):
Fig. 3.4.3
EIEI4Fa
EI32
2BxM
Bx
∗∗ Ω+Ω−=
Ω−θ=θ
∗
∗ . (3.4.1)
Egalăm expresia (3.4.1) cu zero
04
Fa0EIEI4
Fa32
232
2
x=Ω−Ω−⇒=
Ω+Ω−=θ ∗∗
∗∗
∗ (3.4.2)
Momentul în secţiunea cu coordonata x*:∗∗∗∗∗∗ −=+−=−−= FxFa6Fa6Fx3Fx2)a2x(F3xR)x(M A .
13
Înălţimea triunghiului cu aria ∗Ω3 :
Fa2Fx)FxFa6(Fa4)x(MFa4KLKNNL −=−−=−=−= ∗∗∗ .Calculăm ariile:
=−−=−=Ω ∗∗∗∗ )a2x)(FxFa6()a2x)(x(M *2
22 Fa12)x(FFax8 −−= ∗∗ .
=−−=−=Ω ∗∗∗∗ )a2x)(Fa2Fx(21)a2x(NL
21
3
)Fa4Fax4)x(F(21 22 +−= ∗∗
Substituim ∗∗ ΩΩ 32 si în expresia (3.4.2) pentru ∗θx
:
−−−−=Ω−Ω− ∗∗∗∗ )Fa12)x(FFax8(4
Fa4
Fa 222
32
2
0a41ax24)x(20)Fa4Fax4)x(F(21 2222 =+−⇔=+−− ∗∗∗∗
a063,2x =∗
Deci, în secţiunea cu coordonata x = 2,063a = 2,063 m. unghiul de rotire se anulează.
Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.4.1, d. e) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală
Pentru calcularea deplasărilor aplicăm relaţia lui Marina. Deplasarea pe verticală în secţiunea A = 0 (este situată pe reazem).
Fig. 3.4.4 14
Deplasarea pe verticală în secţiunea B:
EIS
)xx(uuBMAB
ABAAB −−θ+= ,
unde diferenţa coordonatelor AB xx − prezintă distanţa dintre
punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei
diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig. 3.4.4).
=ξ′Ω
−θ+=EI
a20u 1ABM
AB =ξ′Ω
−θ=EI
a2u 11AB
==⋅⋅−⋅EI6Fa35a
32Fa4
EI1a2
EI4Fa17 3
22
mm. 81,17)mm(101560)mm/N(101,26
)mm(10)N(10354425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Deplasarea pe verticală în secţiunea C:
EIS
)xx(uuCMBC
BCBBC −−θ+= ,
unde diferenţa coordonatelor BC xx − prezintă distanţa dintre
punctele B şi C, egală cu a metri; CMBCS este momentul static al
ariei diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BC faţă de axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.4.4).
=ξΩ
−θ+=EI
auuBCM
BBC ( ) =ξΩ′+ξ′Ω−θ+ 3322BB EI1au
==
⋅+⋅−⋅+
EI4Fa17a
32Fa
21
2aFa3
EI1a
EI4Fa
EI6Fa35 3
2223
mm. 97,12)mm(101560)mm/N(101,24
)mm(10)N(10174425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Calculăm valoarea extremă a deplasării pe verticală, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x = 2,063a) (fig. 3.4.3).
15
=−−⋅θ+=∗
∗∗
EIS
)a2x(uuxMBx
BBmax
=−−⋅θ+=∗
∗
EIS
)a2a063,2(uxMBx
BB
=ξΩ+ξΩ
−⋅θ+∗∗
EIa063,0u
*33
*22
BB
+−⋅−−−
⋅+=∗
∗∗
2a2x)Fa12)x(FFax8((
EI1
EI4063,0Fa
EI6Fa35 22
23
=−⋅+−+ ∗∗∗ )a2x(32)Fa4Fax4)x(F(
21 22
−⋅+=EI4
063,0FaEI6Fa35 23
+−⋅−⋅−⋅−
2a2a063,2)Fa12a063,2Fa063,2Fa8((
EI1 22
=−⋅+⋅−⋅+ )a2a063,2(32)Fa4063,2Fa4a063,2F(
21 222
==−⋅+−+ ∗∗∗
EIFa84,5)a2x(
32)Fa4Fax4)x(F(
21 3
22
mm. 83,17)mm(101560)mm/N(101,2
)mm(10)N(1084,54425
394=
⋅⋅⋅
⋅⋅=
Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.4.1, e. e) Concluziile. Tabelul 3.4.1
Problema 3 Problema 4 Mmax (kN) 120 40 umax (mm) 33,2 17,8 A (mm2) 285 137
Ai/A4 A3 /A4 =2,1 A4 /A4 =1
In tabelul 3.4.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite săjudecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă asecţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 4. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 4, care implica micşorarea de trei ori a momentului maxim, de două ori a deplasării maxime pe verticală şi dedouă ori a greutăţii grinzii (A3 /A4 =2,1) faţă de grinda rezemată ca în problema 3.
Problema 9 Pentru o grindă încărcată conform fig. 3.9.1, a cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă MPa150adm =σ , se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică; b) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M, dacă
FaM = ; c) să se dimensioneze bara, pentru F = 10 kN, a = 1 m; d) săse traseze diagrama unghiurilor de rotire θ ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţiconcluziile care rezultă din compararea celor trei scheme de rezemare din probleme 3, 4 şi 9. Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5⋅= .Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1.
Rezolvare În fig.3.9.1, b, c şi d s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul când asupra barei acţionează reacţiunea RD; diagrama )2(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa concentrată 2F; diagrama
)3(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa concentrată 3F; diagrama forţelor transversale T; diagrama momentelor încovoietoare M.
17
Fig. 3.9.1 18
a) Ridicarea nedeterminării statice Problema este o singură dată static nedeterminată. Alcătuim
ecuaţia de deplasare. Din condiţia că săgeata în reazemul D este nulăfolosind relaţia lui Marina obţinem ecuaţia:
EIS
a4uuDMAD
AAD −⋅θ+= .
Deoarece ⇔==θ= 0Savem 0usi0=,0u DMADDAA
0S 332211DMAD =ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω=
0a3
10Fa6a3Fa9a38aR8S 222
DDMAD =⋅−⋅−⋅= .
F64
141R D = .
b) Trasarea diagramelor forţelor tăietoare şi ale momentelor încovoietoare
Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor T, M în cele trei regiuni.
Sectorul CD: ax0 ≤≤ ;
F64
141RT D −=−= ;
xF64
141)x(M ⋅=Fa
64141=M(a) ;ax
0)0(M;0x
=
==
Sectorul BC: a2xa ≤≤ ;
F6413F2F
64141F2R)x(T D −=+−=+−= ;
)ax(F2xF64
141)ax(F2xR)x(M D −⋅−⋅=−⋅−⋅=
;Fa64
141=M(a) ;ax =
19
Fa3277 =M(2a) ;a2x =
Sectorul AB, a4xa2 ≤≤
F64
179F3F2F64
141F3F2R)x(T D =++−=++−= ;
).a2x(F3)ax(F2xF64
141
)a2x(F3)ax(F2xR)x(M D
−⋅−−⋅−⋅=
=−⋅−−⋅−⋅=
.Fa1651 =M(4a) ;a4x
;Fa3277=M(2a) ;a2x
−=
=
Luând în consideraţie că momentul încovoietor în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea A are semnul minus vom determina pe sectorul AB secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x′ ) unde momentul se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală amomentului pentru sectorul AB şi egalăm cu zero. Momentul în secţiunea cu coordonata x′ va vi:
=−′⋅−−′⋅−′⋅=′ )a2x(F3)ax(F2xR)x(M D
a179512x0)a2x(F3)ax(F2xF
64141 =′⇔=−′⋅−−′⋅−′⋅=
Distanţa dintre secţiune unde momentul se anulează şi capătul
grinzii din stânga este: a179204a
179512a4xa4 =−=′−
Diagrame de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.9.1, e şi f. c) Dimensionarea barei
Momentul încovoietor are cea mai mare valoare în secţiunea din
încastrare unde .Fa1651Mmax =
Modulul de rezistenţă necesar, din condiţia de rezistenţă la încovoiere, (ţinând seama de momentul maxim şi tensiunea admisibilă): este:
20
333
2
33
admadm
maxnec
cm 5,212mm105,212
)(N/mm 150)mmN(16/1010105116Fa51M
W
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅=σ
=σ
=
Latura b ce defineşte dimensiunile secţiunii transversale pătrate
va fi: 6
bW3
x = , mc84,105,2126W6b 33x =⋅=⋅=
Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4
44
11 cm 11521284,10
12bI ===
d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire θAplicăm relaţia lui Marina.
Unghiul de rotire în secţiunea D:
( ) =Ω+Ω+Ω+θ=θ⇔Ω
−θ=θ 321AD
ADM
DA EI1
EI
=
⋅−⋅⋅−⋅⋅+= a2Fa6
21a3Fa6
21a4aR4
21
EI10 D
==
−−⋅
EI8Fa2169
641418
EIFa 22
rad. 011,0)mm(101152)mm/N(101,28
)mm(10)N(10214425
264=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Unghiul de rotire în secţiunea C se exprimă prin unghiul de rotire în secţiunea D:
EI
CDM
DCΩ
−θ=θ
unde CDMΩ este aria diagramei momentelor încovoietoare pe inter-
valul CD (fig. 3.9.1, b). 21
=
⋅⋅−=θ aaR
21
EI1
EI8Fa21
D
2
C
==
⋅−
EI128Fa195
64141
21
821
EIFa 22
rad. 0063,0)mm(101152)mm/N(101,2128
)mm(10)N(101954425
264=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Analog vom determina unghiul de rotire în secţiunea B.
EI
BDM
DBΩ
−θ=θ ,
unde BDMΩ este aria diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul
BD (fig. 3.9.1)
=
⋅−⋅⋅−=θ aFa2
21a2aR2
21
EI1
EI8Fa21
D
2
B
=−=
−−
EI32Fa251
32141
821
EIFa 22
rad. 0032,0)mm(101152)mm/N(101,232
)mm(10)N(10254425
264−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−=
În secţiune cu coordonata a179512x =′ unde momentul de
încovoiere se anulează unghiul de rotire θ′ are valoare extremă (se calculează aria diagramei din stânga):
EIEI0
EIEI
xAM
xAM
xAM
A
xAM
A
′′′′ Ω=
Ω+=
Ω+θ=θ′⇔
Ω−θ′=θ
unde xAM
′Ω este aria diagramei momentelor pe intervalul xA ′ (se calculează aria diagramei din stânga, fig. 3.9.2)
22
Fig. 3.9.2
=−=
⋅⋅−=θ′
EI1432Fa2601a
179204Fa
1651
21
EI1 2
rad. 0075,0)mm(101152)mm/N(101,21432
)mm(10)N(1026014425
264−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−
Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul BC şi egalăm cu zero. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.9.3):
( )=Ω+Ω−θ=Ω
−θ=θ *Dx2
*Dx1D
*DxM
D*x EI1
EI
Fig. 3.9.3
23
0)a*x()a*x(F221*x*xR
21
EI1
EI8Fa21
D
2=
−⋅−−⋅−= .
0)a*x(F*)x(R21
8Fa21 22
D
2=−+−
0)a*x(F*)x(F128141Fa
821 222 =−+−
a67,1*x0a464*ax256)x(13 22 =⇒=−+ .
Deci, unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* = 1,67a este zero (fig. 3.9.1, g). Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.9.1, g.
f) Trasarea diagramei deplasărilor Fie originea coordonatelor în punctul D. Orientăm axa X în
lungul axei grinzii spre stânga. Aplicăm relaţia lui Marina. Deplasarea verticală a punctului D = 0 (este situat pe reazem). Deplasarea verticală a punctului C
EIS
)xx(uuCMCD
DCDDC −−θ+= ,
unde diferenţa coordonatelor DC xx − prezintă distanţa dintre
punctele D şi C, egală cu a metri; CMCDS este momentul static al ariei
diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul CD.
=ξΩ
−θ+=EI
a0uCDM
DC =⋅⋅−⋅ a31aR
21
EI1a
EI8Fa21 2
D
2
==⋅⋅⋅−=EI128
Fa289Fa64
14161
EI1
EI8Fa21 3
33
mm. 33,9)mm(101152)mm/N(101,2128
)mm(10)N(102894425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
24
Deplasarea verticală a punctului B
EIS
)xx(uuBMBD
DBDDB −−θ+= ,
unde diferenţa coordonatelor DB xx − prezintă distanţa dintre
punctele B şi D, egală cu 2a metri; BMBDS este momentul static al ariei
diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BD.
Fig. 3.9.4 145
=ξ′Ω+ξ′Ω
−θ+=EI
a20u 2BD21
BD1
DB =⋅⋅−⋅ a31aR
21
EI1a
EI8Fa21 2
D
2
==⋅⋅⋅−=EI128
Fa289Fa64
14161
EI1
EI8Fa21 3
33
mm. 33,9)mm(101152)mm/N(101,2128
)mm(10)N(102894425
394=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
Calculăm valoarea extremă a deplasării verticale, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x* = 1,67a).
( )=
−⋅−−⋅⋅⋅−
−⋅=ξΩ+ξΩ−
−⋅+=−⋅θ+=
)aa67,1(31)aa67,1(F2
21a67,1
31)a67,1(R
21
EI1
a67,1EI8Fa21
EI1
a67,1EI8Fa210
EIS
a67,1uu
22D
2*x
2*Dx
2*x
1*Dx
1
2*x*MDx
DD*x
25
==
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=
EIFa77,2
3167,067,1
3167,1
12814167,1
821
EIFa 3
323
mm. 45,11)mm(101152)mm/N(101,2
)mm(10)N(1077,24425
394=
⋅⋅⋅
⋅⋅=
Diagrama de variaţie în lungul axei barei a deplasării pe verticală a secţiunilor este reprezentată în fig. 3.9.1, h. f) Concluziile. Tabelul 3.9.1
Problema 3 Problema 4 Problema 9 Mmax (kN) 120 40 32 umax (mm) 33,2 17,8 11,4 Ai (mm2) A3=285 A4=137 A9=117
Ai /A9 A3 /A9=2,4 A4 /A9=1,2 A9 /A9 =1
In tabelul 3.9.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite săjudecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă asecţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 9. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 9, care implica micşorarea de patru ori a momentului maxim, de trei ori a deplasării maxime pe verticală şi de 2,4 ori a greutăţii grinzii (A3 /A9 =2,4) faţă de grinda rezemată ca în problema 3.
26
top related