aritmetica-metode de rezolvare a problemelor-clasa iv

8/16/2019 Aritmetica-Metode de Rezolvare a Problemelor-clasa IV

1/56

ELENA ZAVATE

Metode de rezolvare a problemelor

Clasa a IV-a AŞcoala nr.8 „ Alexandra Nechita” VASLUI

CERCUL DE MATEMATICĂ „ AŞII”

-S!ort de crs-


2/56

"##8-"##$„Matematica este regina ştiinţelor iar aritmetica este

regina matematicii!" C.%. &AUSS

AR#UME$T

Este nani' recnosct (a!tl c) re*ol+area !ro,le'elor dearit'etic) este na din cele 'ai sire c)i ce condce lade*+oltarea ndirii/ i'aina0iei/ aten0iei 1i a s!iritli deo,ser+a0ie ale ele+ilor.

2ac) 3n ale,r) lcr)' c n'ere/ 3n arit'etic) ra0ion)'direct as!ra ')ri'ilor date 3n !ro,le'). 4n ra0iona'entlarit'etic r')ri' s) a+e' !re*ente condi0iile !ro,le'ei. 5entraceasta/ ne a6t)' de notarea 3n scris a !ro,le'ei.

Calea arit'etic)/ toc'ai datorit) s!eci(icli ei/ (a!tli c)se ,a*ea*) 'ai 'lt !e ini0iati+) 1i ndire !ersonal)/ se (olose1te3n 3n+)0)'nt c sco! edcati+7 !entr a de*+olta !terea de 6decat)/ !entr a 3n+)0a !e ele+i s) ndeasc) li,er as!rarealit)0ii.

Ea este totodat) o !re)tire !entr 'etoda ale,ric).A1adar/ 3n arit'etic) n exist) o 'etod) nic) eneral)/

care s) !oat) (i a!licat) c de!lin) siran0). Se da nele indiciide ordin eneral sa se cat) s) se r!e*e an'ite ti!ri de !ro,le'e ase')n)toare !rin strctra ra0iona'entli sa !rinnatra ')ri'ilor c care se lcrea*)9: aceste indica0ii enerale snt

den'ite 'etode de re*ol+are !ro,le'e ti!ice95rin !ro,le') ti!ic) 3n0elee' acea constrc0ie 'ate'atic)a c)rei re*ol+are se reali*ea*) !e ,a*a ni alorit' s!eci(ic(iec)ri ti!. 5ro,le'ele !ro!se ini0ial !entr (iecare ti! r')resc3n !ri'l rnd consolidarea 'etodei alorit'li9.

4ndr'area ele+li s!re 3ns1irea tehnicii re*ol+)rii !ro,le'elor de arit'etic)/ !res!ne din !artea3n+)0)torli;!ro(esorli 'lt) r),dare/ !rice!ere 1i 'ai ales o'nc) siste'atic) 1i ,ine orani*at).

"


3/56

Atoarea CU%RI$&

AI. 5


4/56

LUCRĂRI %U'LICATE DE AUT(ARE7

)!CARTE DE LECTURĂ/ clasa I/ "##>: coatori7 Stan&a,riela/ =a(tei L'ini0a:*!%R('LEME +I #E(METRICE DI&TRACTI,E/disci!lin) o!0ional) !entr clasele III-VI/ "##>: coator Stan &a,riela:-!E.ERCI/II +I %R('LEME DI$ #A0ETAMATEMATICĂ/ clasele I-IV/ "##":1!LA'IRI$TUL CU$(A+TERII- ele'ente de cltr)

eneral)/ clasele I-IV/ "##": coatori7Stan &a,riela/ =a(teiL'ini0a/


5/56

)1!=(LCL(R R(M4$E&C- disci!lin) o!0ional)/ clasa aIV-a/ "##:)2!%R('LEME DE #E(METRIE/ clasele I-V/ "##F:coatori7 =a(tei L'ini0a/ S',otin Elena:)3!%R('LEME DE L(#ICĂ +I %ER&%ICACITATEclasele I-IV/ "##G: coatori7 &*anStan9 &a,riela/ Şolc)Ilia:)5!ARITMETICA- =etode de re*ol+are a !ro,le'elor/clasele III-IV/ "##D: coatori7 ?,re6a Sil+ia/ Tri1c) Io*e(ia:)7!%(=TI/I LA &ER'ARE>


6/56

I! %R('LEME DE $UMERA/IE Pentru acest tip de probleme nu există o metodă standard

de rezolvare. Acestea se rezolvă în general ţinând cont de:- proprietăţile numerelor în sistemul zecimal de numeraţie;- proprietăţile operaţiilor cu numere;- observarea unor particularităţi ale datelor şi rezultatelor.

E$U$/URI

>. S) se deter'ine n')rl natral x/ cnoscnd c) n')rl x+4este sccesorl n')rli >.

". C ct este 'ai 'are s'a !ri'elor *ece n'ere c so0consecti+e din 1irl n'erelor natrale >-"# dect s'a !ri'elor *ece n'ere consecti+e ()r) so0H

B. =anall de 'ate'atic) de clasa a IV-a are "D" !aini. Cteci(re s-a (olosit !entr !ainarea liH

. 5entr !ainarea ni 'anal de clasa a V-a s-a (olosit >">"ci(re. Cte !aini are 'anallH

F. Cte ci(re se (olosesc !entr a scrie toate n'erele de la > la$$$H

G. Cte n'ere natrale 'ai 'ici dect >## !te' !ne 3n loclli x 3n (x+3):2/ ast(el 3nct (iecare n')r o,0int s) (ie n')r natral 6sti(icare9.

D. &)si0i n'erele de do) ci(re care snt eale c d,ll s'eici(relor.

G


7/56

8. Considera0i cinci n'ere natrale consecti+e. Ar)ta0i c) s'alor se 3'!arte exact la F. sti(ica0i r)s!nsl.

$. &)si0i toate n'erele natrale care !se 3n locl li x (acade+)rate ealitatea7 >"BD #. &)si0i toate n'erele de do) ci(re care se 3'!art la !rodslci(relor.

>>. 2eter'ina0i toate n'erele de trei ci(re consecti+e care se

3'!art exact la $.

>". A(la0i ci(rele a/ ,/ c din ealitatea7""acabcabc =+

>B. Scrie0i n')rl BB ca o s') de ter'eni al c)ror !rods s) (ietot BB.

>. 2eter'ina0i n')rl de (or'a abc / 1tiind c) 3'!)r0it lar)strnatl s) da ctl " 1i restl BG.

>F. %ie cinci n'ere natrale. 2ac) le ordon)' cresc)tor o,ser+)' c) (iecare este 'ai 'are dect !recedentl c acela1in')r/ iar al treilea este D.

a9 A(la0i s'a celor F n'ere.

,9 2eter'ina0i cele F n'ere. Cte sol0ii sntH>G. 2eter'ina0i n')rl natral aa / 1tiind c)7

a x a x a J a K a K a K a K a K a K a K a K a.

>D. A(la0i do) n'ere natrale eale 1tiind c) 3'!)r0ind !rodslla s'a lor/ o,0ine' ctl >.

D


8/56

>8. 2ac) dintr-n n')r natral sc)de' !e "#/ !e >$/ !e "> 1i !e"/ a!oi adn)' cele !atr restri/ o,0ine' o s') eal) cn')rl ini0ial. Care este acel n')rH

>$. Trei n'ere a/ do) cte do)/ 'edia arit'etic) res!ecti+eal) c ">/ ""/ "F. Care snt n'ereleH

"#. %lorin a+ea la li',a ro'n) trei note distincte !e ,a*a c)rora !tea s) o,0in) exact 'edia D. Ce note a+ea elH Cte sol0ii sntH

">. 2eter'ina0i n'erele natrale a/ ,/ c/ d 1i e/ care satis(ac

ealit)0ile7 >9 e K e K e K e J $# F8 e :"9 d J e K e :B9 d >" J c :9 , J c K 8 :F9 , K , J a .

"". 2ac)F

b

b

a= / atnci s) se arate c) ealitatea ba

ba

baa⋅=

+

⋅ este

ade+)rat).

"B. Care este +aloarea li a !entr ca (rac0iile r')toare s) (ieechinitareH

>98

BF ⋅− aa: "9

8

BF ⋅+ aa

". Care este +aloarea 'ini') a li a/ n')r natral/ di(erit de

*ero/ !entr ca (rac0iile s) (ie/ !e rnd/ s,nitare 1i s!ranitare7>9

D

B−a: "9

D

B+a: B9

D

>B+⋅a: 9

D

B7a/ nde a se

3'!arte exact la B/ iar a≥B.

"F. Se 1tie c)7 a,JB"/ acJD"/ MxJ> 1i xJ$$. Calcla0i7>9 a,Kc9: "9 xM-9.

8


9/56

"G. 2eter'ina0i s'a n'erelor de la > la $$ inclsi+/ calclnds'a dintre s'a n'erelor i'!are 1i s'a n'erelor !are dinacest 1ir.

"D. 2eter'ina0i s'a n'erelor natrale care 3'!)r0ite la "F dactl eal c restl.

"8. 2eter'ina0i n')rl de do) ci(re care este/ !e rnd eal c7>9 d,ll s'ei ci(relor sale:"9 tri!ll s'ei ci(relor sale:B9 3'!)tritl s'ei ci(relor sale.

"$. Cristi 1i =ihaela a+ea (iecare cte "G de alne. 2!) ce a'ncat o !arte din ele/ Cristi constat) c)/ dac) din alnele r)'asear (ace r)'e*i de cte alne/ sa de cte B alne/ ori de cte "alne/ 3ntr-o r)'ad) i-ar li!si o aln). =ihaela o,ser+) c)/ de1i a'ncat 'ai !0ine alne dect Cristi/ !oate 1i ea a!lica acela1i !rocede.

Cte alne 'ai are (iecare dintre cei doi co!iiH

B#. 2ac) B"G a J , K >B$ J ">8 / calcla0i7a K a ,9 J a a - ,9 Ja K ,9 - a - ,9J a K ,9 K a - ,9J

$


10/56

II! MET(DA =I#URATI,Ă ?#RA=ICĂ@

Această metodă constă în reprezentarea prin desen amărimilor necunoscute şi fixarea în desen a relaţiilor dintre ele şi

mărimilor date în problemă. a a!ută la formarea sc"emei problemei# la ţinerea înatenţie a tuturor condiţiilor problemei şi la concentrarea asupralor.

$n rezolvarea unei probleme care face apel la aceastămetodă ne spri!inim pe raţionament# folosind înţelesul concret al operaţiilor.

%igura sc"ematică a problemei trebuie să însemne osc"ematizare a enunţului pentru a păstra în atenţie relaţiilematematice şi nu toate aspectele concrete ca într&o fotografie. Pentru reprezentarea 'figurarea( mărimilor din probleme şi arelaţiilor dintre ele se pot folosi următoarele elemente grafice:desene# figuri geometrice plane# segmente de dreaptă# puncte#ovale# semiovale# litere sau combinaţii de litere# cifre romane# altesimboluri şi semne convenţionale.

a@ =igrarea prin desen5ro,le')7

2e *ia ei/ Nina a !ri'it de la (ratele s) F (lori/ iar de lasora sa B (lori. Cte (lori are Nina/ dac) a 'ai !ri'it D (lori de la !)rin0ii s)iH

>#


11/56

>9 Cte (lori a !ri'it de la (ra0ii s)iHB K F J 8

"9 Cte (lori a !ri'it Nina 3n totalH8 K D J >F

F (lori.

b@ Utilizarea Bigrilor geometrice plane5ro,le')7

2o) terenri a s!ra(a0a total) de >DF# '"

. Unl este c>F# '" 'ai 'are. Ce s!ra(a0) are (iecare terenH

Care ar (i s!ra(a0a total) a terenrilor dac) ar (i ealeH

IDF# >F# J >G##Care este s!ra(a0a terenli 'ai 'icH

>G## 7 " J 8##Care este s!ra(a0a terenli 'ai 'areH

8## K >F# J $F# 8## '"

>

>DF# '">F# '"

F ,o',oaneF


12/56

Cte ,o',oane snt 3n cele do) ctii/ dac) 3n a',ele ctiiar (i n n')r eal de ,o',oaneH

F K F J F#Cte ,o',oane snt in ctia 'ai 'areH

F# 7 " J "FCte ,o',oane snt in cealalt) ctieH

"F F J "# "F de ,o',oane B8 !icioare. Cte oi 1i cte ra0e are ,niclH

......

F" ca!ete%iecare +ietate are cel !0in do) !icioare: +o' (ira la(iecare o+al cte do) lini0e/ re!re*entnd cele do) !icioare.

........

F" ca!eteAtnci cele F" de +iet)0i +or a+ea7 F" x " J ># !icioare9S-a re!re*entat ast(el ># !icioare/ dar 3n total era >B8 de

!icioare. 2i(eren0a/ adic)7 >B8-># J B !icioare9 o re!arti*)' lan n')r de >D o+ale +iet)0i9/ cte do)/ deoarece " J " ccte !icioare are 'ai 'lt o oaie dect o ra0)9.

Cte oi eraH B 7 " J >DCte ra0e are ,niclH >D oi

>"


13/56

F" >DJ BF 9 Cte 'ere 1i cte !ere a lat cele G !ersoaneHG x > J G 'ere9:G x " J >" !ere9:"9 Cte !ere se +or redistri,iHG x B9 G x "9 J >8 >" J G7Cte se +or redistri,iHG B J B:

Cte 'ere a r)'asHG 7 B J "Cte 'ere a (ostH 8 'ere

>B

5

= 5 5

5

= 5 5

5

= 5 5

5

= 5 5

5

= 5 5

5 5

5

5

5

5

5= 5 5

5= 5 5

5= 5 5

5= 5 5

5 5 5 5 5 5


14/56

" K G J 8Cte !ere a (ostH $. 2ac) 3'!)r0i' s'a lor ladi(eren0)/ o,0ine' ctl >8 1i restl >D. A(la0i n'erele.

F. S'a a do) n'ere natrale este >. 2ac) 3'!)r0i' s'a lor la di(eren0)/ o,0ine' ctl B 1i restl ". A(la0i n'erele.

G. Cristian 1i %lorin a econo'isit 3'!ren) GGG lei. 2ac) %lorin

i-ar da li Cristian >B lei/ ei ar a+ea s'e eale. C0i lei are (iecareHD. 2oi co!ii a 3'!ren) >"## de lei. 2!) ce !ri'l 3i d) celide-al doilea B# de lei/ acesta din r') +a a+ea c >8 lei 'ai !0indect !ri'l. C0i lei a a+t ini0ial (iecare co!ilH

8. 5e !artea drea!t) a nei str)*i snt c !o'i 'ai 'l0i dect !e !artea stn). 5e alt) strad)/ !e (iecare !arte e n n')r d,l

de !o'i (a0) de n')rl total de !o'i de !e !ri'a strad). C0i

>


15/56

!o'i snt !e (iecare !arte a (iec)rei str)*i/ dac) 3n total !e celedo) str)*i snt ""# de !o'iH

$. S'a a trei n'ere natrale este "##F. 2ac) din (iecare n')r se scade acela1i n')r/ se o,0in n'erele >#$/ >#D/ >##$. Caresnt cele trei n'ereH>#. 5atr ,c)0i de !n*) a o lni'e total) de B"'. Ştiind c) !ri'a ,cat) este 'ai 'are c 8' dect celelalte trei la n loc/ iar lni'ea (iec)reia dintre lti'ele trei ,c)0i/ 3nce!nd c a doa 1iter'innd c a !atra/ este re!re*entat) de n'ere consecti+e !are.A(la0i ce lni'e are (iecare ,cat).

>>. A(la0i lni'ea ni dre!tnhi al c)ri !eri'etr este de"#BG'/ lni'ea (iind c "D8' 'ai 'are dect l)0i'ea.

>". 2ac) la s'a a do) n'ere adn)' di(eren0a lor/ o,0ine'"8/ iar dac) din s'a lor sc)de' di(eren0a/ o,0ine' >G. A(la0in'erele.

>B. 2i(eren0a a do) n'ere este F. 2ac) adn)' s'a n'erelor c di(eren0a lor/ o,0ine' B". Care snt cele do) n'ereH

>. S'a a do) n'ere este >$. 2ac) la s') adn)' di(eren0alor/ o,0ine' "G. A(la0i n'erele.

>F. S'a a cinci n'ere este G. 5ri'ele do) snt consecti+e

i'!are. Ur')toarele trei n'ere a s'a BG 1i snt consecti+e !are. A(la0i n'erele.

>G. S) se deter'ine cinci n'ere natrale a c)ror s') este $$G/dac) al doilea este c $ 'ai 'are dect !ri'l/ dar c B 'ai 'icdect al treilea/ iar al !atrlea este c 'ai 'are dect al treilea/dar c >8 'ai 'ic dect al cincilea.

>D. 4n cicll !ri'ar al nei 1coli 3n+a0) >#F# de ele+i. 4n clasele a !atra snt c F# de ele+i 'ai 'lt dect 3n clasele 3nti 1i c D# 'ai

>F


16/56

!0in dect 3n clasele a treia. 4n clasele a doa snt c B# de ele+i'ai 'lt dect 3n clasele a !atra. C0i ele+i snt 3n (iecare clas)H

>8. 4ntr-o (er') *ootehnic) se )sesc FB## de oi/ ca!re 1i ,o+ine. N')rl ,o+inelor este c ""$G 'ai 'are dect n')rl ca!relor 1i c D#" 'ai 'ic dect n')rl oilor. Cte ani'ale se )sesc de(iecare s!ecieH

>$. Adnnd D la di(eren0a a do) n'ere o,0ine' >$. S) sedeter'ine cele do) n'ere/ 1tiind c) 'ic1ornd de 8 ori s'a lor/o,0ine' F.

"#. 5rodsl dintre n')rl ele+ilor !artici!an0i la n concrs1colar 1i n')rl ce re!re*int) di(eren0a dintre n')rl (etelor 1in')rl ,)ie0ilor !re*en0i este F>. C0i ,)ie0i 1i cte (ete a !artici!at la acel concrsH

">.


17/56

'! %R('LEME DE &UMĂ +I RA%(RT

E$U$/URI

>. S'a a do) n'ere natrale este F>. 5ri'l n')r este dedo) ori 'ai 'are dect al doilea. 2eter'ina0i n'erele.

". Un n')r natral este de trei ori 'ai 'ic dect alt n')r natral. Ştiind c) s'a celor do) n'ere este >##/ s) se a(le celedo) n'ere.

B. 2oi co!ii a citit 3'!ren) 8 de !aini. Cte !aini a citit(iecare/ dac) nl a citit 'ai 'lt dect cel)lalt de B oriH

. %lorin/ &eore 1i Cristian a 3'!ren) >F de ti',re. Cteti',re are Cristian/ dac) acesta are ct 6')tate din n')rlti',relor li &eore/ iar el are ct 6')tate din n')rl ti',relor li %lorinH 2ar ceilal0i doiH

F. 4n do) ctii snt ,ile al,e 1i ro1ii/ 3n total "># ,ile. 2!) ces-a +ndt "G de ,ile al,e 1i > ,ile ro1ii/ n')rl ,ilelor al,e

r)'ase este de ori 'ai 'are dect n')rl ,ilelor ro1ii r)'ase.Cte ,ile a (ost de (iecare (elH

G. ? (a'ilie a recoltat 3n trei *ile "F># de strri. 4n a doa*i a recoltat de ori 'ai 'lt dect 3n !ri'a *i 1i 3nc) ># / a treia*i a recoltat c 8 'ai !0in dect 6')tate din cantitatea cleas)3n !ri'a *i. Cte de strri a recoltat (a'ilia 3n (iecare *iH

D. 5atr ele+i a 3'!ren) s'a de "88 de lei. Al doilea are dedo) ori 'ai 'lt dect !ri'l/ ace1tia 3'!ren) a de do) ori

>D


18/56


19/56

'ic dect cel)lalt de ori. Ulti'ele do) a di(eren0a >8/ iar nleste 'ai 'ic dect cel)lalt de ori. A(la0i n'erele.

>G. A(la0i B n'ere natrale/ 1tiind c) s'a lor este ">/ !ri'ln')r este 3ndoitl celi de-al doilea/ dar c G 'ai 'ic dect altreilea.

>D. S'a a trei n'ere natrale este >G. 5ri'l n')r este de Bori 'ai 'ic dect s'a celorlalte do)/ iar di(eren0a dintre al treilea1i al doilea este 6')tate din al doilea n')r !ls ". Care snt celetrei n'ereH

>8. Vrsta tat)li 3'!ren) c +rstele celor doi (ii ai s)i este deD# de ani. Care este +rsta (iec)ria/ 1tiind c) +rsta tat)li este de" ori 'ai 'are dect a (ili 'are/ iar +rsta (ili cel 'ic este 6')tate din +rsta (rateli s)H

>$. 4ntr-o ctie snt 3n total D# de ,ile ro1ii/ al,ene 1i al,astre.2!) ce a' scos D ,ile ro1ii/ G ,ile al,ene 1i 8 ,ile al,astre/ 3n

ctie a r)'as de " ori 'ai 'lte ,ile al,ene dect ro1ii 1i de " ori'ai 'lte ,ile al,astre dect al,ene. Cte ,ile de (iecare (el a(ost la 3nce!t 3n ctieH

"#. S'a a !atr n'ere este 8#. Ştiind c) al doilea este de B ori'ai 'ic dect !ri'l/ al treilea este ct 'edia arit'etic) a !ri'elor do)/ iar al !atrlea este ct 'edia arit'etic) a !ri'elor trei

n'ere/ s) se a(le n'erele.">. S) se a(le do) n'ere a c)ror s') este >D#/ iar nl este de" ori 'ai 'are dect d,ll celilalt.

"". &a,i/ %lorin 1i =ihaela a 3'!ren) n n')r de ti',re(ilatelice c!rins 3ntre $> 1i $F. Cte ti',re are (iecare/ 1tiind c)n')rl de ti',re !e care le are %lorin este ct ";F din n')rl de

ti',relor li &a,i 1i de B ori 'ai 'are dect n')rl de ti',re !ecare le are =ihaelaH

>$


20/56

"B. 2aniel a c'!)rat trei (elri de caiete. N')rl caietelor de'ate'atic) c'!)rate este de B ori 'ai 'are dect al celor dedictando 1i de ori 'ai 'are dect al celor de ,ioloie. Sta,ili0idac) n')rl total de caiete c'!)rate de 2aniel !tea (i strict 'ai'ic dect >$.

". ? sr') ln) de $F c' a (ost t)iat) 3n " ,c)0i 'ai 'ari 1i B ,c)0i 'ai 'ici/ r)'nnd F c'. %iecare dintre ,c)0ile 'ari era de" ori 'ai ln) dect ,c)0ile 'ici late la n loc. Ce lni'e are(iecare ,cat) de sr')H

"F. S'a a do) n'ere este 'ai 'are c 8 dect di(eren0a lor.A(la0i cele do) n'ere/ 1tiind c) !rodsl lor este "#.

"G. La adnarea tri!lli ni n')r natral a c d,lln')rli natral b/ o,0ine' >>>#. A(la0i n'erele/ 1tiind c) tri!lldi(eren0ei celor do) n'ere ini0iale este $#. Cte sol0ii are !ro,le'aH

"D. S'a a trei n'ere este >F##. Al doilea n')r este de B ori'ai 'are dect al treilea 1i c >## 'ai 'ic dect !ri'l.2eter'ina0i n'erele res!ecti+e.

"8. =a'a 1i tat)l ni co!il a 3'!ren) 8# de ani. Ştiind c)'a'a are de " ori +rsta co!illi 1i tat)l are de B ori/ s) se

deter'ine +rsta co!illi."$. Un co!il are 3'!ren) c 'a'a sa de ani. Ac' " ani'a'a a+ea +rsta de B ori 'ai 'are dect a (il. 2eter'ina0i +rstacelor doi.

B#. =a'a/ tata/ (il 1i (iica a 3'!ren) >8 de ani. A(la0i c0i aniare (iecare 1tiind c)7 tata are c F ani 'ai 'lt dect 'a'a/ 'a'a

are de do) ori !ls " ani +rsta (ili/ iar (iica are 6')tate din+rsta 'a'ei.

"#


21/56

B>. 4ntr-o rn) snt de F ori 'ai 'lte ,ile al,e dect nere.Extr)nd-se o ,il) din rn)/ +or r)'ne de ori 'ai 'lte ,ileal,e dect nere. Cte ,ile al,e 1i cte ,ile nere a (ost ini0ial 3nrn)H

B". 2i(eren0a a do) n'ere este c F# 'ai 'ic) dect d,lls'ei lor/ iar s'a lor este de B ori 'ai 'are dect di(eren0a lor. S)se deter'ine cele do) n'ere.

BB. 2ana 3'!ren) c tat)l ei 1i c ,nica a $# de ani. 5este " ani

tata +a a+ea de 8 ori +rsta (iicei/ iar ,nica de " ori +rsta actal) atat)li. S) se deter'ine +rsta (iec)ria.

B. Trei echi!e de hand,al a 'arcat 3'!ren) G# de olri.5ri'ele do) echi!e a 'arcat 3'!ren) c "" de olri 'ai 'ltedect a treia echi!)/ iar lti'ele do) echi!e a 'arcat 3'!ren)c G olri 'ai 'lt dect !ri'a echi!). S) se deter'ine cteolri a 'arcat (iecare echi!).

">


22/56

C! %R('LEME DE DI=ERE$/Ă RA%(RT +I RE&T

E$U$/URI

>. 2i(eren0a a do) n'ere natrale este >/ iar nl este 'ai'ic dect cel)lalt de ori. 2eter'ina0i n'erele.

". Tat)l li Vlad are FB de ani/ iar acesta >> ani. C c0i ani 3nr') tat)l a+ea de D ori +rsta ,)iatliH

B. 5ala are 3n !re*ent c "> de ani 'ai !0in dect 'a'a sa.5este $ ani +rsta 'a'ei sale +a (i de " ori 'ai 'are dect +rsta(iicei sale. Ce +rst) are (iecare 3n !re*entH

. 2i(eren0a a do) n'ere este D. 4'!)r0ind cele do) n'ere/se o,0ine ctl > 1i n rest. A(la0i restl.

F. %ratele are c >F lei 'ai 'lt dect sora/ adic) de ori 'ai'lt. C0i lei are (iecareH

G. S) se )seasc) do) n'ere/ 1tiind c) di(eren0a lor este BF/ iar nl dintre ele este de G ori 'ai 'are dect cel)lalt.

D. 4n clasa a III-a A snt de B ori 'ai 'lte (ete dect ,)ie0i. C0iele+i snt/ dac) (etele snt c >" 'ai 'lte dect ,)ie0iiH

""


23/56

8. 2i(eren0a dintre do) n'ere este "/ iar ra!ortl dintre eleeste 8. 2eter'ina0i n'erele.

$. Andrei cite1te 3ntr-o *i n n')r de !aini dintr-o carte/ a doa*i de F ori 'ai 'lt/ iar a treia *i de D ori 'ai 'lt dect 3n !ri'a*i. Ştiind c) 3n a doa *i a citit c B" de !aini 'ai !0ine dect 3n atreia *i/ a(la0i cte !aini are cartea.

>#. Un tat) de > de ani are !atr co!ii de 8 ani/ de G ani/ de ani1i de " ani. 2!) c0i ani tat)l +a a+ea +rsta eal) c s'a+rstelor co!iilorH

>>. 2i(eren0a a do) n'ere natrale este $##. Unl dintre ele seo,0ine din cel)lalt !rin ad)area la s(r1it a ni *ero. 2eter'ina0in'erele.

>". 2eter'ina0i cele do) n'ere care 3nde!linesc si'ltanrela0iile7

a9 !rodsl este de ori 'ai 'are dect ctl lor:

,9 di(eren0a dintre !rodsl 1i ctl lor este G.

>B. S) se a(le dac) do) n'ere/ 1tiind c) !ri'l n')r este de Fori 'ai 'are dect al doilea/ iar di(eren0a dintre d,ll !ri'lin')r 1i tri!ll celi de-al doilea n')r este "F.

>. 5entr a a+ea acela1i n')r de c)r0i !e cele do) cor!ri ale

,i,liotecii este s(icient s) trans(er)' >G c)r0i din al doilea 3n !ri'l cor!. 2ac) trans(erl ar a+ea loc 3n sens in+ers/ al doileacor! ar con0ine n n')r de c)r0i de " ori 'ai 'are dect n')rlde c)r0i r)'ase 3n !ri'l cor!. Cte c)r0i snt 3n (iecare cor! al ,i,lioteciiH

>F. Ana s!ne7 „2)-'i B 'ere ca s) !ot a+ea ct tine”. 5ala 3ir)s!nde7 „2ac) a1 !ri'i 3nc) B 'ere/ a1 a+ea de ori 'ai 'lt ca

tine”. Cte 'ere a+ea (iecareH

"B


24/56

>G. 4ntr-o 'aa*ie era de F ori 'ai 'lt) ()in) dect 3n alta. 2ac)din !ri'a 'aa*ie se scot >### / iar 3n cea de-a doa se 'aiadc 8# / atnci cantit)0ile de+in eale. Care era cantit)0ileini0ialeH

>D. 5e o alee n snt " de tranda(iri. 2ac) ar (i de F ori 'ai 'l0idect snt/ atnci ar de!)1i n')rl " c tot at0ia c0i li!sesc.C0i tranda(iri sntH

>8. 2ac) =ihaela ar a+ea c B lei 'ai 'lt dect are/ atnci s'aar (i de F ori 'ai 'are dect s'a li Alin/ iar dac) ea ar a+ea c

B8 lei 'ai !0in/ atnci s'a li Alin ar (i de " ori 'ai 'are dects'a !e care ar a+ea-o =ihaela. C0i lei are (iecare co!ilH

>$. 4ntr-o 'aa*ie snt $B# de !ere 1i >>D# de 'ere. 4n(iecare *i se scot cte B# de !ere 1i B# de 'ere. 2!) cte*ile cantitatea de !ere din 'aa*ie +a (i ct trei !)tri'i dincantitatea de 'ereH

"#. 2i(eren0a a do) n'ere natrale este >. 2ac) ')ri' !ri'ln')r c >/ o,0ine' de 8 ori al doilea n')r. Care sntn'ereleH

">. 2i(eren0a a do) n'ere natrale este de B ori 'ai 'ic) dects'a lor/ dar c F# 'ai 'ic) dect d,ll s'ei lor. A(la0in'erele.

"". S'a a do) n'ere este 'ai 'are dect di(eren0a lor c GF8.2ac) 3'!)r0i' s'a la di(eren0a lor/ o,0ine' ctl B 1i restl G#.A(la0i cele do) n'ere.

"B. 2i(eren0a a do) n'ere este >##. Ştiind c) n al treilea n')r este de " ori 1i res!ecti+ de B ori 'ai 'are dect cele do) n'ere/s) se deter'ine cele trei n'ere.

"


25/56

". 2i(eren0a a do) n'ere natrale este c F# 'ai 'ic) dectd,ll s'ei lor/ iar s'a lor este de B ori 'ai 'are dect di(eren0alor. 2eter'ina0i n'erele.

D! %R('LEME :$ CARE &U$T C(M'I$ATE RELA/IILE DE &UMĂ DI=ERE$/Ă RA%(RT

E$U$/URI

>. S'a a do) n'ere este >F##. Al doilea n')r este de B ori'ai 'are dect al treilea 1i c >## 'ai 'ic dect !ri'l n')r. S)

se deter'ine n'erele res!ecti+e.

". Vrsta tat)li este c >F ani 'ai 'are dect s'a +rstelor celor doi (ii ai s)i. 5este ># ani tat)l +a a+ea de " ori +rsta (ilicel 'are. S) se arate c) !este "# de ani +rsta tat)li +a (i de " 'ai'are dect +rsta (ili 'ic.

B. Un constrctor a reali*at 3n G ani B de cl)diri. 4n (iecare an areali*at c o cl)dire 'ai 'lt dect 3n anl !recedent/ iar 3n anl al1aselea a reali*at de B ori 'ai 'lte cl)diri dect 3n !ri'l an. Ctecl)diri a reali*at constrctorl 3n anl al cincileaH

. La o li,r)rie s-a ads de G ori 'ai 'lte caiete dect c)r0i 1ide 8 ori 'ai 'lte creioane dect c)r0i. Ştiind c) s-a +ndt o !)tri'e din caiete/ o !)tri'e din creioane 1i toate c)r0ile/ 3n total

"D# caiete/ c)r0i 1i creioane9/ s) se a(le cte s-a +ndt 1i cte a(ost din (iecare.

"F


26/56

F. 4n do) co1ri snt ti 3n cantit)0i di(erite. 2ac) se ia "ti din !ri'l co1/ atnci 3n !ri'l co1 r)'n de F ori 'ai !0ineti dect al doilea/ iar dac) se ia " ti din al doilea co1/ atnci3n al doilea co1 r)'n de " ori 'ai 'lte ti dect 3n !ri'l.Cte ti a (ost ini0ial 3n cele do) co1riH

G. S) se )seasc) trei n'ere natrale care 3nde!linescr')toarele condi0ii7

a9 'edia lor arit'etic) este n n')r !ar: ,9 !ri'l n')r este !ar/ 'ai 'are ca B# 1i 'ai 'ic ca

#:c9 al treilea n')r este c G 'ai 'ic dect al doilea.D. A1 dori s) a' 8## de lei. A' scos de la CEC o s')/ dar 'i-ar 'ai tre,i 3nc) o dat) aceast) s') !ls 8# de lei. 5entr a-'ico'!leta s'a care 3'i li!se1te/ tata 3'i d) c 8# lei 'ai 'ltdect o trei'e din s'a scoas) de la CEC/ iar 'a'a 3'i d) c #lei 'ai 'lt dect 'i-a dat tata.

S) se deter'ine7

a9 s'a !e care a' scos-o de la CEC: ,9 s'a !ri'it) de la 'a'a 1i de la tata:c9 s'a ce 3'i li!sea !entr a co'!leta 8## lei.

8. S'a a !atr n'ere natrale este >. Al doilea n')r estec ># 'ai 'are dect !ri'l n')r/ de " ori 'ai 'ic dect altreilea 1i de B ori 'ai 'ic dect al !atrlea n')r. 2eter'ina0i cele

!atr n'ere.$. S) se deter'ine trei n'ere natrale care 3nde!linesccondi0iile7

a9 s'a lor este #: ,9 adnnd la !ri'l n')r "/ sc)*nd din al doilea

n')r " 1i 3n'l0ind al treilea n')r c " o,0ine' re*ltateidentice.

"G


27/56

>#. =edia arit'etic) a !atr n'ere este FB. 4'!)r0ind !ri'ln')r la al doilea/ o,0ine' ctl F 1i restl ">/ al doilea n')r estede " ori 'ai 'are dect al treilea/ iar al !atrlea n')r este c F'ai 'ic dect al treilea n')r. S) se deter'ine cele !atr n'ere.

>>. S) se deter'ine !atr n'ere natrale 1tiind c)7a9 s'a !ri'elor do) n'ere este #: ,9 !ri'l n')r este c " 'ai 'ic dect d,ll celi

de-al treilea n')r/ iar al doilea n')r este c " 'ai 'aredect d,ll celi de-al treilea n')r.

c9 al !atrlea n')r este eal c s'a celorlalte trei.

>". S) se deter'ine !atr n'ere natrale/ 1tiind c)7a9 al doilea este c "F 'ai 'ic dect !ri'l: ,9 al treilea n')r este de " ori 'ai 'are dect !ri'l:c9 al !atrlea n')r este eal c !ri'l n')r 1i 'ai

'ic c F# dect al treilea.

>B. Se consider) cinci n'ere natrale c r')toarele !ro!riet)0i7

a9 s'a !ri'elor do) n'ere este eal) c s'alti'elor trei n'ere:

,9 lti'ele trei n'ere snt consecti+e 1i cresc)toare:c9 n')rl al doilea este d,ll !ri'li n')r:d9 s'a n'erelor al treilea 1i al !atrlea este c $ 'ai

'are dect n')rl al cincilea.S) se arate c) nl din !ri'ele do) n'ere este eal c

nl din r')toarele trei n'ere.>. S) se )seasc) trei n'ere/ 1tiind c) 6')tatea !ri'li n')r este eal) c o trei'e a celi de-al doilea sa c !)tri'ea celide-al treilea/ iar al treilea este 'ai 'are dect !ri'l c G.

>F. 4n crtea ,nicilor snt crci/ ra0e 1i )ini. "D din ele n snt)ini 1i B$ n snt crci. N')rl )inilor este de " ori 'ai 'are

dect al crcilor. Cte !)s)ri snt de (iecare (elH

"D


28/56

>G. Un !ix/ o carte 1i n 6oc cost) 3'!ren) GB lei. 5ixl cost) c Flei 'ai !0in dect cartea/ iar aceasta 3'!ren) c !ixl cost) c Dlei 'ai 'lt dect 6ocl. S) se a(le !re0l (iec)ri o,iect 3n !arte.

>D. Un 0)ran +inde 3n trei *ile >8#$ de carto(i. 4n !ri'a *i +indede B ori 'ai 'lt dect 3n a doa *i 1i 3nc) > / iar 3n a treia *i+inde c > 'ai !0in dect 6')tate din ct a +ndt 3n a doa*i. Cte a +ndt 3n (iecare *iH

>8. S'a a trei n'ere este DF. 5ri'l n')r este 6')tate din altreilea. 2ac) 3'!)r0i' !e al doilea la al treilea/ o,0ine' ctl " 1i

restl F. A(la0i n'erele.

>$. Trei co!ii doresc s) c'!ere o 'ine de F# lei. N')rnd-1i ,anii/ ei constat) c) le-ar 'ai tre,i B## lei 1i c) al doilea are deF ori 'ai !0in dect !ri'l 1i c >D lei 'ai !0in dect al treilea.C0i lei 'ai tre,ie s) adne (iecare !entr a contri,i lac'!)rarea 'inii c s'e ealeH

"#. Trei 0)rani a+ea (iecare cte o tr') de oi/ 3n total >DG oi.2!) ce !ri'l +inde n n')r de oi/ al doilea c " 'ai 'lt dectd,ll n')rli de oi +ndte de !ri'l/ iar al treilea c B 'ai'lt dect d,ll n')rli de oi +ndte de al doilea/ (iec)ria 3ir)'n tot attea oi cte a +ndt 3'!ren). Cte oi a a+t la3nce!t (iecare 0)ranH

">. S) se a(le cele trei n'ere care satis(ac condi0iile7a9 !ri'l 3'!)r0it la al doilea d) ctl > 1i restl : ,9 al treilea 3'!)r0it la s'a !ri'elor do) d) ctl "/

restl :c9 di(eren0a dintre s'a a do) dintre cele trei n'ere

1i n')rl 'ai 'ic este >##.

"". S'a a n'ere natrale este >D#. 2i(eren0a dintre !ri'ele

do) n'ere este / iar ctl dintre s'a acestor do) n'ere 1i altreilea n')r este / rest . Al !atrlea n')r este c 'ai 'are

"8


29/56

dect 3'!)tritl celi de-al treilea n')r. Care snt cele !atrn'ereH

"B. 4n do) co1ri snt $$ 'ere. 2ac) s-ar la >D 'ere din !ri'lco1 1i s-ar !ne 3n al doilea/ 3n !ri'l co1 ar r)'ne c "F 'ai 'ltca 3n al doilea. Cte 'ere snt 3n (iecare co1H

". 4ntr-n sac se a(l) ()in) c D 'ai 'lt dect tri!ll cantit)0iidin al doilea sac. 2ac) din !ri'l sac s-ar scoate # / iar din aldoilea/ F / 3n cei doi saci ar r)'ne cantit)0ii eale de ()in).

Cte de ()in) se a(l) 3n (iecare sacH

"F. La n 'aa*in/ 3n trei ,alotri a (ost >"F ' de !n*). 2!) F*ile de +n*are/ ,alotrile a+ea lni'i eale: 3n !ri'l ,alot ar)'as o 6')tate/ 3n al doilea 1i 3n al treilea a r)'as c n s(ert 1i/res!ecti+/ c 8 ' 'ai !0in dect a (ost la 3nce!t. C0i 'etri de !n*) a (ost la 3nce!t 3n (iecare ,alotH

"G. 2oi co!ii a+ea 3'!ren) 8F de lei. Cnd !ri'l a cheltit

"8# lei/ iar al doilea B# lei/ atnci al doilea a a+t de attea oricte F lei de cte ori !ri'l a a+t cte ># lei. Ce s') a a+tini0ial (iecare co!ilH

"D. Tat)l/ 'a'a 1i cei trei co!ii ai lor a 3'!ren) 8" de ani.Vrstele (iilor snt re!re*entate !rin n'ere natrale consecti+e !are. A(la0i +rsta (iec)ri 'e',r al (a'iliei/ 1tiind c) la na1terea

celi de-al doilea co!il/ (iecare dintre !)rin0i a+ea de >B ori +rsta !ri'li co!il.

"8. 5eri'etrl ni dre!tnhi este de >D" '. A(la0i di'ensinileli/ 1tiind c)/ dac) ')ri' c F ' 6')tate din l)0i'e/ o,0ine' c "' 'ai !0in dect 6')tate din lni'e.

"$. Trei n'ere snt ast(el 3nct dac) 3l 3'!)r0i' !e !ri'l la al

doilea sa !e al doilea la al treilea/ se o,0ine ctl " 1i restl >.

"$


30/56

A(la0i cele trei n'ere/ 1tiind c) di(eren0a dintre !ri'l 1i al treileaeste BB.

B#. %lorin/ =ihaela 1i &a,i a !lecat la c'!)r)tri/ a+nd cte>##F lei. C0i lei a cheltit (iecare/ dac) restrile snt res!ecti+n'ere consecti+e/ care +alorea*) 3'!ren) ct s'a cheltit) de&a,iH

B>. Andrei are s'a de >## de lei 3n 'onede de >/ B 1i F lei. Ştiindc) el are B" de 'onede/ n')rl 'onedelor de F lei este 'ai 'icc dect al celor de B/ iar n')rl 'onedelor de > le este 'ai

'are c > dect 6')tate din n')rl 'onedelor de B lei/ s) secalcle*e cte 'onede de (iecare (el are Andrei.

III! MET(DA I%(TE0EL(R?=AL&EI

%RE&U%U$ERI@

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor# a falsei ipoteze# se pot clasifica îndouă categorii# în funcţie de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raţionamentului şi determinarearezultatelor.

Astfel# avem:a( probleme din prima categorie# din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora este suficientă o singurăipoteză;

b( probleme din a două categorie# din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

)etoda se poate utiliza şi în soluţionarea problemelor care se

rezolvă în mod obişnuit# prin metoda comparaţiei# în probleme desumă şi raport etc.

B#


31/56


32/56

Ce cantitate de ()ina +o' a+ea ac'H "FF" K F# x 8 J "FF" K ## J "$F" 9:

Ac' la n sac de ()in) de F de cores!nd B saci de F#de :

5res!ne' c) to0i sacii snt de GB de .GB x FG J BF"8 de .C ct cantitatea n cores!nde realit)0iiHBF"8 "$F" J FDG 9.

...... ....

Aceste ilora'e 3n !ls a !ro+enit din r!ri de cte B x>B K $ J 8 .

FDG 7 8 J >"2eci +or (i >" r!e de cte B saci de F# de 1i n sac de

F de / adic) BG de saci de F# de 1i >" saci de cte F .

C0i saci de GB de sntHFG BG K >"9J FG 8 J 8saci9C0i saci de F# de a (ostHBG 8 J "8 saci9.

"8 saci de F# " saci de F

8 saci de GB

E$U$/URI

>. 4ntr-o crte c )ini 1i oi/ cine+a n')r) >## ca!ete 1i BB# !icioare. Cte )ini 1i cte oi eraH

B"

F#

F#

F#

F

F#

F#

F#

F

F#

F#

F#

F

GB GB GB


33/56

". %lorin 31i c'!)r) n cost' 1i !l)te1te $F# lei/ 3n ,ancnote de>## lei 1i "F lei/ 3n total > ,ancnote. Cte ,ancnote din (iecare (ela datH

B. Un ,iciclist !arcre $G ' 3n F ore/ 'ernd la deal c +ite*a'edie de >" !e or) 1i la +ale c +ite*a 'edie de B# ';or). Cteore a 'ers n'ai la deal 1i cte ore a 'ers n'ai la +aleH

. ?li+ia o a6t) !e ,nica la tre,rile os!od)re1ti. Ea d) de'ncare 3n (iecare *i ani'alelor din crte7 ra0e/ )ini/ !rcei 1i li&ri+ei. N')rnd/ o,ser+) c) snt B$ de ca!ete 1i 8G de !icioare.

Ştiind c) n')rl ra0elor re!re*int) n s(ert din n')rl )inilor/s) se a(le cte ani'ale snt de (iecare (el.

F. La n concrs de 'ate'atic) s-a dat "# de !ro,le'e. 5entro !ro,le') re*ol+at) corect s-a acordat ># !ncte/ iar !entr o !ro,le') nere*ol+at) sa re*ol+at) re1it se scad B !ncte. Cte !ro,le'e a re*ol+at corect &a,riel/ dac) a o,0int >8 !ncteH

G. Cei "D de ele+i din clasa a IV-a A tre,ie a1e*a0i 3n >" ,)nci/cte " 1i cte B ele+i 3n ,anc). 4n cte ,)nci snt cte " ele+i 1i 3ncte ,)nci snt cte B ele+iH

D. 4ntr-o crte snt ie!ri 1i )ini/ 3n total "" ca!ete 1i G8 !icioare. C0i ie!ri 1i cte )ini snt 3n crteH

8. 4n clasele a V-a 1i a VIII-a ale nei 1coli snt n'ai ele+i de># ani 1i res!ecti+ > ani. Ştiind c) 3n total snt "G8 ele+i/ iar s'a+rstelor lor este de B ### de ani/ c0i ele+i snt 3n (iecare clas)H

$. Valoarea ni (riider este de 8F# lei 1i s-a !l)tit 3n ,ancnotede >## lei 1i F# lei/ 3n total $ ,ancnote. Cte ,ancnote din (iecare(el a (ostH

BB


34/56

>#. 4ntr-n ,loc snt 3n total "# de a!arta'ente/ de cte " ca'ere1i de cte B ca'ere/ 3n total ca'ere. Cte a!arta'ente a do)ca'ere 1i cte a B ca'ereH

>>. 5entr a !l)ti c'!)r)trile ()cte/ 'a'a li Andrei a dat DFlei 3n ,ancnote de >##/ F# 1i "F lei/ 3n total 8 ,ancnote. Cte ,ancnote a dat din (iecareH

>". 2e *ia Larei/ 'a'a 3i c'!)r) ,o',oane !entr a o(ericoleilor de clas). N')rnd ,o',oanele ea constat)7 „2ac)3'!art co!iilor cte F/ " co!ii +or r)'ne ()r) ,o',oane: dac)

3'!art cte / atnci r)'n >D ,o',oane”. Cte ,o',oane 1i c0ico!ii sntH

>B. Un 0)ran are 3n total "## de ani'ale7 ie!ri 1i )ini/ care a3'!ren) F"# !icioare. C0i ie!ri 1i cte )ini areH

>. 4ntr-o rn) snt >B ,ile al,e 1i nere. 2ac) extrae' din rn)o ,il) al,) o,0ine' B !ncte/ iar dac) extrae' o ,il) near)

o,0ine' F !ncte. Cte ,ile al,e 1i cte ,ile nere a extras n co!ildin acea rn)/ dac) a totali*at $ !ncteH

>F. 2ac) 3n (iecare ,anc) dintr-o sal) a1e*)' cte F ele+i/ r)'ndo) ,)nci li,ere/ iar dac) a1e*)' cte ele+i/ r)'n ># ele+i 3n !icioare. C0i ele+i 1i cte ,)nci sntH

>G. 4ntr-o os!od)rie snt "## de !orci/ )ini 1i 1te ce a 3ntotal G## de !icioare. Ştiind c) n')rl )inilor este eal cn')rl 1telor/ s) se deter'ine n')rl )inilor/ 1telor 1i !orcilor existen0i 3n os!od)rie se!arat9.

>D. 4ntr-o sal) snt scane c !icioare/ scane c B !icioare 1i ,)nci c " !icioare/ 3n total $F ,c)0i 1i B# de !icioare. N')rl ,)ncilor este de G ori 'ai 'ic dect n')rl scanelor c B

!icioare. 2eter'ina0i cte o,iecte din (iecare (el snt.

B


35/56

>8. 5)rin0ii li Se,i a c'!)rat o 'o,il) 3n +aloare de >"## lei 1ia achitat s'a c D ,ancnote de >## lei/ "F lei 1i F lei. S) se a(lecte ,ancnote din (iecare (el a dat/ 1tiind c) n')rl ,ancnotelor deF lei este c G 'ai 'are dect n')rl celor de >## lei 1i "F leilate 3'!ren).

>$. @nicii li Vlad a 3n crte !)s)ri 1i oi. Ani'alele a la n locG de ca!ete 1i >> !icioare. Cte !)s)ri 1i cte oi areH

"#. ##ca!ete 1i "8# de !icioare/ iar n')rl ra0elor este ct o trei'e dinn')rl )inilor/ s) se a(le cte !)s)ri de (iecare (el snt 3n aceacrte.

"F. Vrnd s) !n (lorile !e care le a' 3n +a*e/ constat c) dac) !ncte " (lori 3n (iecare +a*)/ r)'ne o (loare ()r) loc/ iar dac) !ncte B (lori 3n (iecare +a*)/ r)'ne o +a*) ()r) (lori. Cte (lori 1i

cte +a*e sntH

BF


36/56

"G. 2ac) st) cte o +ra,ie !e n !ar/ o +ra,ie n are !e ce sta.2ac) sta cte do) +r),ii !e n !ar/ r)'ne n !ar li,er. Cte+r),ii 1i c0i !ari sntH

"D. 4n+)0)torl 3'!arte ele+ilor nei clase ,o',oane. 2ac) ar da(iec)ri ele+ cte " ,o',oane/ i-ar r)'ne B#/ iar dac) ar da cte /n i-ar a6ne # de ,o',oane. C0i ele+i 1i cte ,o',oane3'!arte 3n+)0)torlH

"8. ? cantitate de c)!1ne tre,ie !s) 3n l)*i. 2ac) 3n (iecarelad) se !n cte F / r)'n >8# . 2ac) se !n cte G 3n

(iecare lad)/ r)'n "# de l)*i oale 1i o lad) c n'ai " . Ctel)*i 1i cte de c)!1ne sntH

"$. 4n "# de *ile =)lina re*ol+) cte n n')r de !ro,le'e.Lcrnd acela1i n')r de !ro,le'e 1i 3nc) B !ro,le'e !e *i/ eater'in) !ro,le'ele 3n >F *ile. Cte !ro,le'e a a+t de re*ol+at=)linaH

B#. 2e *ia sa de na1tere/ Ana c'!)r) B ctii a cte >8 ,o',oane(iecare !entr a-i ser+i !e cei "" colei de clas). Ştiind c) Ana3'!arte toate ,o',oanele 1i c) nii a !ri'it cte "/ iar al0ii cte B ,o',oane/ s) se a(le c0i colei a !ri'it cte " ,o',oane 1i c0icte B ,o',oane.

B>. La o co(et)rie s-a ads n n')r necnosct de ,o',oane 1i

de !ni. 2ac) 3n (iecare *i !n) s-ar !ne cte 8 ,o',oane/ BFar r)'ne nea',alate/ iar dac) s-ar !ne cte ># 3n (iecare !n)/"$ de !ni ar r)'ne oale/ iar o !n) c n'ai o ,o',oan).Cte !ni 1i cte ,o',oane s-a ads la acea co(et)rieH

B". C' se 3'!art 3n 'od eal la trei !ersoane " de l)di0e/ dac) Fsnt !line c (rcte/ >> snt '!lte !e 6')tate 1i 8 snt oale/()r) a se r)strna din na 3n alta.

BG


37/56

I,! MET(DA C(M%ARA/IEI

*pecificul metodei comparaţiei constă în faptul că se foloseşte mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate prin două relaţii clar precizate#determinarea fiecăreia implicând eliminarea celeilalte mărimi prin înlocuire sau prin reducere 'scădere(.

Această metodă implică elemente din metoda reducerii launitate # care se poate sintetiza prin regula: pentru a şti valoarea

BD


38/56

mai multor unităţi# trebuie să determinăm valoarea unei singureunităţi şi invers. $n ambele situaţii# fie că sunt mărimi direct proporţionale# fie că sunt mărimi invers proporţionale# enunţul cuprinde trei elemente cunoscute şi unul necunoscut# două câtedouă de acelaşi fel. +u a!utorul celor trei elemente cunoscute seaflă cel de&al patrulea. ,e aceea metoda se mai numeşte regulade trei 'simplă sau compusă(.

Eliminarea nei necnoscte prin scdere Problemă:B ,)ie0i 1i F (ete cle 3ntr-o or) G# de de cire1e/ iar F ,)ie0i 1i F

(ete cle $# de . Cte ilora'e de cire1e clee/ 3n 'edie/ o(at) !e or) *iH 2ar n ,)iatH

Scrie' datele !ro,le'ei ast(el7B , ..................................................F ( .......................... G# F , ..................................................F ( .......................... $# " , ...................................................; ..............................B# > , .......................... B# 7 " J >F

B , ......................... ..B x >F J FF ( ......................... G# F J >F> ( .......................... >F 7 B J F F

F

E$U$/URI

>. S) se a(le ct cost) o ril) 1i o ')/ 1tiind c) F rile 1i >F'e cost) F lei/ iar D rile 1i >F 'e cost) F> lei.

". 5entr s)!nri 1i B !aste de din0i s-a !l)tit DB lei/ iar !entr B s)!nri 1i B !aste de din0i s-a !l)tit GB lei. Ct cost) ns)!n 1i ct cost) o !ast) de din0iH

B8


39/56

B. G c)r0i 1i D caiete cost) >#F lei/ iar 8 c)r0i 1i $ caiete cost) >B$lei. S) se deter'ine ct cost) 3'!ren) " c)r0i si " caieteH

. G !ni c ')lai 1i $ !ni c ()in) cnt)resc BG / iar $ !ni c ')lai 1i $ !ni c ()in) cnt)resc F . Cte cnt)re1te o !n) c ')lai 1i na c ()in) se!arat9H

F. "G saci c carto(i 1i >D saci c ()in) cnt)resc "DG / iar BFsaci c carto(i 1i >D saci c ()in) cnt)resc B"F# . Cte cnt)re1te n sac din (iecare (elH

G. Un trist a 'ers ore c trenl 1i 8 ore c +a!orl/ !arcrnd3n total "8# '. Alt trist a 'ers G ore c trenl 1i 8 ore c +a!orl/ !arcrnd BF" '/ 'ernd c aceea1i +ite*). A(la0i +ite*atrenli 1i a +a!orli.

D. =a'a li @odan 31i c'!)r) de la n 'aa*in B ' de ')tase1i ' de sto() !e care !l)te1te s'a de B#F lei. ? alt) (e'eiec'!)r) ' ')tase 1i B ' de sto()/ !l)tind "$# lei. Ct cost) > '

de ')tase 1i > ' de sto()H

8. ? os!odin) c'!)r) (rcte !entr co'!ot ast(el7 " de'ere 1i B de !ere/ !l)tind >B lei. ? alt) os!odin) !l)te1te >" lei !entr B de 'ere 1i " de !ere. Ct cost) > de 'ereH 2ar nl de !ereH

$. La o !esc)rie se +nd 'ai 'lte (elri de !e1te. Vn*)torl3ncasea*) !e " de cra! 1i B de 1tic) "8 lei. Ştiind c) > decra! cost) de " ori 'ai 'lt dect > de 1tic)/ s) se a(le ctcost) > din (iecare.

>#. 4ntr-o !ia0)/ o 0)ranc) +inde ardei/ 'orco+i 1i !)strnac. 4ntr-odisc0ie c n c'!)r)tor ea 3i s!ne7 „ Dacă veţi cumpăra 3morcovi, 6 ardei şi 2 păstârnaci, vă cer 24 ei, dacă veţi cumpăra !

morcovi, 2 ardei şi 4 păstârnaci, vă cer 2" ei”. Ştiind c) n

B$


40/56

!)strnac cost) d,l (a0) de n 'orco+/ s) se a(le ct cost) nardei/ n !)strnac 1i n 'orco+/ late se!arat.

>>. 2e ># ori !eri'etrl ni trinhi echilateral 1i de F ori !eri'etrl ni !)trat re!re*int) "8# '/ iar de F ori !eri'etrlacelia1i trinhi echilateral 1i de ># ori !eri'etrl acelia1i !)trat(ac "$# '. Care este !eri'etrl (iec)rei (iri eo'etriceH

>". Costel 1i 2a+id !)strea*) acela1i rit' de citire 3n (iecare or).2ac) Costel cite1te ore/ iar 2a+id cite1te B ore/ atnci cei doico!ii citesc 3'!ren) >$# !aini. 2ac) Costel cite1te " ore/ iar

2a+id ore/ atnci ei citesc 3'!ren) >G# !aini. Care co!il cite1te'ai 'lte !aini 3ntr-o or) 1i c ctH

>B. S'a dintre n n')r/ d,ll celi de-al doilea 1i tri!ll celide-al treilea n')r este "/ iar s'a dintre tri!ll !ri'li n')r/d,ll celi de-al doilea 1i al treilea n')r este BG. Care snt celetrei n'ere/ dac) al treilea n')r este de ori 'ai 'ic dect !ri'lH

>. F co!ii ')nnc) F ,o',oane 3n F 'inte. C0i co!ii ')nnc)B# de ,o',oane 3n >F 'inteH

>F. 4n ct ti'! +or ter'ina o lcrare >8# 'ncitori/ dac) B'ncitori ter'in) aceea1i lcrare 3ntr-o or)H

>G. ># 'ncitori ter'in) o lcrare 3n G *ile. 4n cte *ile +or ter'ina lcrarea >" 'ncitoriH

>D. F !ixri/ F stilori 1i G caiete cost) BG lei. " !ixri/ B stilori 1iD caiete cost) "B lei. B !ixri/ " stilori 1i $ caiete cost) "B lei. C0ilei cost) (iecare o,iect 3n !arteH

>8. S) se a(le trei n'ere/ 1tiind c) d,ll celi de-al doilea 1i c

tri!ll celi de-al treilea este G/ s'a dintre tri!ll !ri'li

#


41/56

n')r/ d,ll celi de-al doilea 1i al treilea n')r este B/ iar celde-al treilea n')r este de B ori 'ai 'are dect !ri'l.

>$. 4n B co1ri 1i l)di0e 3nca! >"# de !rne. Ştiind c) 3n co1ri 1i B l)di0e/ de acela1i (el/ 3nca! >G de !rne/ s) se a(le cecantitate de !rne se !oate !ne 3n (iecare co1 1i 3n (iecare l)di0).

"#. ? lcrare !oate (i exectat) 3n "# de *ile de c)tre >F 'ncitori.2eoarece/ d!) 8 *ile de lcr/ nii dintre ace1ti 'ncitori !leac) !e alt 1antier/ lcrarea se ter'in) d!) alte B# de *ile. C0i'ncitori a !lecat !e alt 1antierH

,! MET(DA RETR(#RADĂ

?MER&ULUI I$,ER&@

Prin această metodă se rezolvă unele probleme în caredatele depind unele de altele succesiv.

>


42/56

a constă în faptul că enunţul unei probleme trebuieurmărit de la sfârşit spre început. Analizând operaţiile făcute în problemă şi cele pe care le facem noi în rezolvarea problemei#constatăm că în fiecare etapă facem operaţia inversă celei făcuteîn problemă.

,eci# nu numai mersul invers# ci şi operaţiile pe care le facem pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă.

)etoda mersului invers se utilizează şi în rezolvarea unor exerciţii# în care apar o necunoscută 'a# b# etc.(

%roblem

Un ele+ cite1te o carte 3n *ile. 4n !ri'a *i cite1te B;># dinn')rl !ainilor/ a doa *i ";D din rest/ a treia *i B;F din nol rest1i a !atra *i lti'ele "# de !aini. Cte !aini are carteaH

>## !aini

D# !aini Zia I

Zia a II-a

Zia a III-a "#

Zia a IV-a

F;F B;F J ";FJ "# !aini: >;F J ># !aini: F;F J F# !aini

D;D ";D J F;D J F# !aini: >;D J ># !aini: D;D J D# !aini:

>#;>#B;>#JD;>#JD# !aini: >;># J ># !aini: >#;># J >## !aini.

## !aini.

E$U$/URI

"

F# !aini


43/56

>. La o li,r)rie se +nd caiete. 4n !ri'a *i se +inde >;$ dinn')rl total de caiete. A doa *i se +inde >;8 din n')rl decaiete r)'ase/ iar a treia *i >;D din nol rest de caiete/ r)'nnd 3n(inal F"" caiete. Cte caiete a (ost la 3nce!t 3n li,r)rieH

". Ce s') a a+t n co!il/ dac) 3n !ri'a *i a cheltit >;B dins')/ a doa *i >;F din rest/ a treia *i >;" din nol rest 1i 3nc) leiH

B. Un c)l)tor are de ()ct n dr'. 4n !ri'a *i !arcre >; dindr'/ a doa *i >;B din rest/ a treia *i >;" din nol rest/ iar a !atra *i

lti'ii F# '. C0i ' a+ea dr'lH

. Andrei cheltie s'a !e care o are ast(el7 la !ri'l 'aa*in>;F din s'a !e care o are/ la al doilea 'aa*in ";F din rest/ la altreilea 'aa*in B;F din nol rest/ iar la al !atrlea 'aa*in B;F dinr')torl rest. 4i r)'n >"# lei. Ce s') a a+t 1i ct a cheltit 3n(iecare *iH

F. Un trist !arcre o distan0) 3n *ile/ ast(el7 3n !ri'a *i 6')tate din distan0a total)/ a doa *i o trei'e din rest/ a treia *i 6')tate din nol rest/ iar a !atra *i lti'ii >" '. Ce distan0) a !arcrs 3n totalH

G. Un tractor ar) n teren 3n tri *ile. 4n !ri'a *i ar) B;8 dins!ra(a0a total)/ a doa *i >;" din rest/ ceea ce re!re*int) c > ha

'ai !0in dect s!ra(a0a arat) 3n !ri'a *i. Care a (ost s!ra(a0atotal)HD. Ana cheltie o s') de ,ani ast(el7 3n !ri'a *i 6')tate dins')/ a doa *i n s(ert din rest/ a treia *i o trei'e din nol rest/ iar a !atra *i 6')tate din lti'l rest. Ştiind c) i-a r)'as >"F lei/ s)se a(le ce s') a a+t ea 3n total.

8. 4ntr-n silo* se a(l) o an'it) cantitate de cereale7 >;G din

cantitatea total) este r/ >; din din rest este !or',/ B;F din nol

B


44/56

rest/ o+)*/ ";$ din r')torl rest/ secar)/ iar lti'l rest de BF## este or*. S) se a(le cantitatea total) de cereale/ ex!ri'at) 3n tone.

$. S) se deter'ine n n')r/ 1tiind c)/ sc)*nd o !)tri'e din el/a!oi o trei'e din rest 1i a!oi o 6')tate din nol rest/ o,0ine' "F#.

>#. Un ,iciclist !arcre n dr' 3n trei eta!e7 3n !ri'a eta!) !arcre >;G din dr' !ls F '/ 3n a doa eta!) !arcre >;F dinrestl dr'li/ iar 3n eta!a a treia !arcre B; din nol rest aldr'li !ls $ '. S) se deter'ine lni'ea dr'li 1i c0i 'a !arcrs ,iciclistl 3n (iecare eta!).

>>. Un ele+ are o s') de ,ani. La 3nce!t cheltie o cinci'e dins') 1i 3nc) F lei/ a!oi o cinci'e din rest 1i 3nc) B lei 1i lti'a dat)o cinci'e din nol rest 1i 3nc) " lei. Ce s') a a+t ele+l/ dac) i-a r)'as "># leiH

>". Un 'otociclist !arcre n dr' 3n trei eta!e7 3n !ri'a eta!)>;F din dr' 1i 3nc) F '/ 3n a doa eta!) >;F din rest !ls F '/

iar 3n a treia eta!) ;F din nol rest !ls >> '. S) se deter'inelni'ea dr'li 1i ct a !arcrs 3n (iecare *i.

>B. La n a!ro*ar se +inde toat) cantitatea total) de 'ere la c'!)r)tori. 5ri'l c'!)r) >;" din cantitate 1i 3nc) > / aldoilea/ >;B din rest 1i 3nc) " / al treilea/ >; din nol rest 1i 3nc) >/ iar al !atrlea >;" din lti'l rest 1i 3nc) > . 2eter'ina0i

cantitatea total) de 'ere.>. Un ele+ a re*ol+at toate !ro,le'ele dintr-o cleere 3n F *ile.4n !ri'a *i a re*ol+at >;F 1i 3nc) B !ro,le'e/ 3n a doa *i/ ";F dinrest 1i 3nc) B !ro,le'e/ 3n a treia *i/ B;F din nol rest !ls !ro,le'e/ 3n a !atra *i/ B;F din r')torl rest 1i 3nc) F !ro,le'e/iar 3n a cincea *i lti'ele B !ro,le'e. Cte !ro,le'e a a+t dere*ol+at 3n totalH


45/56

>F. Un 0)ran a +ndt 'ere la clien0i/ ast(el7 !ri'li/ >;B dincantitatea total) 1i 3nc) B" de 'ere/ celi de-al doilea >;B din rest 1i3nc) B" de 'ere/ celi de-al treilea >;B din nol rest 1i 3nc) B" de'ere/ iar celi de-al !atrlea >;B din lti'l rest 1i lti'ele B" de'ere. Cte 'ere a a+t 0)ranl 1i cte 'ere a c'!)rat (iecareH

>G. 2intr-n ,idon de ,en*in)/ tat)l li Ion0 a lat 3ntr-o *i >;din 3ntreaa cantitate 1i 3nc) B l/ a doa *i >;B din rest 1i 3nc) B l/ iar a treia *i >;" din nol rest 1i 3nc) > l 1i a constatat c) a 'ai r)'as>Bl. C0i litri a (ost la 3nce!tH

>D. ? (lor)reas) s-a 3ntors de la !ia0) c cte+a aroa(e. 4ntre,at)de o +ecin) cte (lori a +ndt la !ia0)/ ea a s!s7 „A' a+t treiclien0i. 5ri'l a lat 6')tate din n')rl total al (lorilor !ls 3nc)n n')r eal c 6')tate din cte (lori a lat al treilea. Al doilea alat 6')tate din (lorile r)'ase !ls 3nc) n n')r eal c 6')tate din n')rl (lorilor late de al treilea. Al treilea a lat/ larndl s)/ 6')tate din n')rl (lorilor r)'ase !ls 3nc) o (loare1i '-a' 3ntors acas)/ d!) c' +e*i/ c aroa(e.” Cte aroa(e a

a+t (lor)reasa la 3nce!tH Cte aroa(e a lat (iecare clientH

>8. 2intr-o !n) de ,o',oane =ihaela a 'ncat !n) a 'air)'as o trei'e. =a'a 'ai !ne 3n !n) F ,o',oane 1i 3i d) liC)t)lin 6')tate din ele. Ac' 3n !n) a 'ai r)'as $ ,o',oane.Cte ,o',oane a (ost la 3nce!t 3n !n)H

>$. 5entr a a6ne 3n sat la ,nici/ a' 'ers B ore c atotris'l.4n !ri'a or)/ dr'l (iind 'ai alo'erat a' !arcrs n s(ert dindr' 1i 3nc) '/ 3n a doa or) a' !arcrs o distan0) de " ori 'ai'are dect 3n !ri'a 3n !ri'a or)/ iar 3n a treia or) a' !arcrs 6')tate din ce a r)'as 1i 3nc) >F '. Ce lni'e are dr'lH

"#. ')tatea ni n')r ')rit) de D ori a (ost 3'!)r0it) la .Ctl o,0int se ')re1te c !rodsl n'erelor D 1i "8. 2!) ce

se d,lea*) n')rl o,0int 1i se 'ic1orea*) c G>"/ se constat) c)

F


46/56

re*ltatl o,0int este tri!ll n')rli >##. Care este n')rlini0ialH

">. 5atr !rieteni a cresct 3'!ren) !or',ei. 2!) n ti'! ahot)rt s)-1i 3'!art) 3ntre ei !or',eii. Ca s) n se s!ere ni'eni/a acce!tat r')toarea rel)7 !ri'l s) ia o cinci'e din n')rl !or',eilor 1i 3nc) n !or',el/ al doilea s) ia o cinci'e din rest1i 3nc) "/ al treilea s) ia o cinci'e din nol rest 1i 3nc) B !or',ei/iar al !atrlea/ calclnd o cinci'e din ce a r)'as 1i 3nc) !or',ei/ a constatat c) n 'ai r)'ne nici n !or',el 1i c) a(ost 3'!)r0i0i 3n 'od eal/ to0i !or',eii. C0i !or',ei a (ost 3n

total 1i c0i i-a re+enit (iec)riaH

"". 2eter'ina0i +alorile li a din7>9 Pa7DKG$97$KD>Q7"#K8J>""9 RPaK"#9->#8>7DQxB"K>$x"F-"F8JFG$B9 RPFG7aK"#9KDQxF-B#7BJF

G


47/56

,I! %R('LEME DE MI+CARE

Probleme de mişcare sunt acelea în care se cere aflareadistanţei 'drumului parcurs(# a timpului şi vitezei când se cunoscdouă dintre acestea sau datele problemei permit aflarea acestora#considerând diferitele relaţii dintre acestea.

$n general# în problemele de mişcare se va vorbi despremişcarea uniformă a unui mobil# adică în intervale de timp egalemobilul parcurge distanţe 'spaţii( legate de expresia t v s ⋅= # iar

din aceasta deducem un factor:t

sv = şiv

st = .

-a rezolvarea problemelor de mişcare se pot folosi atât metode aritmetice generale şi speciale# cât şi cele algebrice.

Putem clasifica problemele de mişcare în mai multe grupe:

a( probleme ce conduc direct la probleme simple de

aflare a spaţiului# a vitezei sau a timpului;b( probleme de întâlnire a mobilelor# când deplasarea se face în sensuri opuse;

c( probleme de întâlnire a mobilelor# când deplasarea se face în acelaşi sens.

%roblemUn trist are +ite*a de ';or). 4n ct ti'! !arcre cei 8

' !e care-i are !n) la destina0ieH

2J V x T: T J 27 VT J 8 7 J " ore9.


48/56

';h/ iar a celi de-al doilea este de G ';h. 2eter'ina0i distan0ade la A la @.

". Un !ieton care !arcre F ';h/ !leac) din ora1l A s!reora1l @. 4n acela1i ti'!/ n ,iciclist !leac) din @ s!re A/ c +ite*ade "" ';h. 4ntre cele do) ora1e este o distan0) de 8> '.

a9 2!) ct ti'! se 3ntlne1te !ietonl c ,iciclistlH ,9 La ce distan0) de ora1l @ se 3ntlnescH

B. 2istan0a dintre @cre1ti 1i Vasli este de a!roxi'ati+ BB# '.La ce distan0) de @cre1ti se +a a(la n 'otociclist d!) ore de

la !lecarea din Vasli/ dac) 'ere c +ite*a 'edie de GF ';h 1i aa+t " o!riri de cte B# 'inteH

. Un ,iciclist a+nd +ite*a de " ';h/ !leac) din ora1l A.2!) B ore !leac) tot din ora1l A/ 3n aceea1i direc0ie/ n'otociclist a+nd +ite*a de " ';h. 4n ct ti'! 3l +a a6ne'otociclistl !e ,iciclistH La ce distan0) de ora1H

F. Un !ieton a !arcrs distan0a/ ds 1i 3ntors/ 3ntre do) localit)0i/3n $ ore: la ds c +ite*a de ';h/ iar la 3ntors c +ite*a de F';h. S) se a(le distan0a dintre cele do) localit)0i.

G. 2o) +a!oare a !lecat 3n acela1i ti'! dintr-n !ort A/ 3n alt !ort @. Vite*a !ri'li +a!or este de "F ';h/ iar al celi de-aldoilea este de "# ';h. 5ri'l a a6ns la destina0ie c ore

3naintea celi de-al doilea. A(la0i distan0a dintre cele do) !ortri.D. Un tren trece !rin (a0a ni o' ti'! de 8 secnde/ iar !rin (a0anei !lat(or'e c o lni'e de ## ' 3n BB secnde. 2eter'ina0ilni'ea 1i +ite*a trenli.

8. Un cine (e d!) n ie!re/ care se a(l) la o distan0) de >#F'etri de el. 2!) ct ti'! 3l +a a6ne/ dac) ie!rele (e c B#

';'int/ iar cinele c BDF ';'intH

8


49/56

$. 2o) trenri de c)l)tori/ nl !ersonal 1i nl accelerat/ se)sesc la o distan0) de ># ' 1i 'er 3n aceea1i direc0ie. Trenl !ersonal 'ere c +ite*a de # ';h/ iar trenl accelerat !arcre3n ore ct cel !ersonal 3n G ore. 2!) ct ti'! acceleratl +aa6ne trenl !ersonalH

>#. Un tren !arcre 3n >;" or) "F '/ iar n +a!or 3n >; or) F'. 4n ct ti'! +a!orl +a !arcre distan0a !e care trenl o (ace 3nG oreH

>>. Un !od ln de "## ' este str),)tt de n tren ln de F## '

ti'! de B# secnde. Care este +ite*a trenliH

>". 2istan0a dintre do) ora1e este de >F# '. 2in (iecare ora1 !leac) s!re cel)lalt cte n ,iciclist. Unl dintre ei are +ite*a de B#';h. Ce +ite*) are cel)lalt/ dac) a6ne la destina0ie c " ore 'aire!edeH

>B. 2in do) ora1e !leac) nl s!re cel)lalt do) ato'o,ile.

2!) n ti'! se 3ntlnesc 1i-1i contin) dr'l ast(el 3nct la "#'in de la 3ntlnire/ 3ntre ele este distan0a de F# '. S) se a(ledistan0a dintre ora1e/ 1tiind c) na dintre +ite*e re!re*int) ";B dincealalt) 1i c) ato'o,ilele s-a 3ntlnit la B# 'inte de la 3nce!tl'i1c)rii.

>. Vasile 1i Ion 'er nl ln) altl. 4n ti'!l 3n care Vasile

(ace !a1i/ Ion (ace D !a1i/ a'ndoi !arcrnd 3n acest ti'!aceea1i distan0). 2ac) lni'ea !asli li Vasile este de D# c'/care este lni'ea !asli li IonH

>F. Un cine r')re1te o !isic) ce se a(l) la " de s)ritri 3n (a0ali. S) se a(le d!) cte s)ritri cinele a6ne !isica/ 1tiind c)/ 3nti'! ce cinele (ace F s)ritri/ !isica (ace G s)ritri/ iar F s)ritride-ale cineli (ac ct 8 s)ritri de-ale !isicii.

$


50/56

>G. Un oar r')re1te o +l!e care este distan0at) la G# s)ritri(a0) de acesta. Vl!ea (ace $ s)ritri 3n ti'! ce oarl (ace G/ iar Bs)ritri de-ale oarli (ac ct D de-ale +l!ii. 5este cte s)ritrioarl +a a6ne +l!eaH

>D. 2istan0a dintre do) localit)0i este de "F8 '. 2oiato'o,ili1ti !leac) 3n acela1i ti'! din aceste localit)0i 1i 'er/nl s!re cel)lalt. Vite*a nia este c >D ';h 'ai 'are dect acelilalt. Ei se 3ntlnesc d!) " ore de la !lecare. A(la0i +ite*a(iec)ria dintre cele do) atotris'e.

>8. 2in do) ora1e !leac) 3n acela1i ti'! do) 'a1ini/ na s!realta7 !ri'a c +ite*a de 8# ';h/ a doa c +ite*a de D# ';h.Cnd se 3ntlnesc/ o 'a1in) trece de 'i6locl distan0ei c ># '.Ce distan0) este 3ntre cele do) ora1eH

>$. Un 'otociclist !leac) la ora $ din @rlad 1i tre,ie s) !arcr)>8# ' ca s) a6n) la orele >8/ la Ia1i. 5e dr' (ace n !o!as de "ore 1i/ !entr a rec!era ti'!l !ierdt/ el 'ere a!oi c o +ite*)

'edie c ># ';h 'ai 'are dect cea !ro!s) ini0ial. La cedistan0) de Ia1i se o!re1te 'otociclistl !ri'a dat)H

"#. Sorin dore1te s) a6n)/ 3ntr-n an'it ti'!/ de la Si,i laCl6-Na!oca. 2ac) ar 'ere c o 'otociclet) c o +ite*) 'edie de"8 ';h/ ar 3ntr*ia c o or)/ iar dac) ar 'ere c n ato'o,il co +ite*) de " ';h/ ar sosi la Cl6-Na!oca c o or) 'ai de+re'e.

Ce distan0) este 3ntre Si,i 1i Cl6-Na!ocaH

F#


51/56

RĂ&%U$&URI

I! %robleme de nmeraţie

). >>: *. >#: -. D#8: 1. #: 2. "88$: 3. F#: 5. >8: 7. nKnK>9K

nK"9KnKB9KnK9JFnK>#JFnK"9 care se 3'!arte exact la F: 8.>#/ >>/ >"/ >B/ >: );. >"/>/ BG/>>/ >F: )). "B/ FGD: )*. GB>: )-.BK>>K>KK>J>$ ter'eni: )1. $8>: )2. s'aJBF/ F sol0ii: )3. BB:)5. axa7aKa9J>: axaJ>x"xa: aJ"8: )7. a-"#J,J"#K,/ a->$JcaJ>$Kc/ a-">Jd aJ">Kd/ a->$Jc aJ>$Kc/ aJ,KcKdKe/BaJ8 aJ"8: )8. >8/ "G/ "G: *;. aK,Kc97BJD/ D sol0ii: *). "#/>#/ / >G/ 8: **. aJG/ ,JF: *-. >9 "a;8J>aJ/ ,9 8a;8J>aJ>: *1.>9 aJB/ aJ>>/ "9 aJ>/ aJF/ B9 aJ>/ aJB/ 9 aJB/ aJ": *2. >9 a,Kc9Ja,K acJB"KD"JDFG/ "9 xM- -9JMx-xJ>-$$JB>F: *3>KBKFKDKK$$J"F## $$ n'ere9. %or'le7 a9 "K$89KK$G9KK8KF"9KF#J J"F#/ ,9 ">K"KBKK$9J"P>K$9x$7"QJ"F#/ "F#K"F##J$F#. *5. r"F/ c"F JdJ"FcKrJ dJ"FcKcJ$Gc. 2ac) c a!ar0ine 'l0i'ei R#/>/ "/ B/ /"B/ "J d a!ar0ine 'l0i'ei R"Gx#/ "Gx>/ / "Gx". AtnciSJ"Gx#K"Gx>KK"Gx"JSJ"Gx#K>K"KK K"9JD8##: *7. >9

a,J"aK,9J >#aK,J"aK",J a,J>8: "9 a,J J"D: B9 a,ca!ar0ine '0ti'ei R>"/ "/ BG/ 8. *8. >>: "B. -;. >BD: D$: >F8:">G.

II! Metoda graBica ?Bigrativa@A@ %robleme de sm şi diBerenţ

). D/ $: *. G: -. "/ 8: 1. >8$/ >D#: 2. $/ F: 2. $/ F: 3. B"#/ BG: 5. GB$/FG>: 7. a9 "#/ ". ,9 88/ 88: 8. BG$/ BGD/ >"G$: );. "#/ "/ / G: )).BD#/ G8: )*. >/ 8: )-. >G/ >>: )1. >B/ G: )2. >B/ >F/ >#/ >"/ >: )3.

F>


52/56

>8F/ >$D/ "#>: )5. "##/ "8#/ B"#/ "F#: )7. B###/ ""$8/ ": )8. "G/>: *;. "F ,)ie0i/ "G (ete: *). G8": **. "/ 8: *-. "#/ >F.

'@ %robleme de sm şi raport

). >D/ B: *. "F/ DF: -. ">/ GB: 1. 88/ / "": 2. >G"/ 8: 3. FG/>8B/ ""#: 5. D"/ 8/ $G/ D": 7. #/ 88: 8. D#/ F#: );. $/ BG: )). >/D"/ ": )*. "FG#/ "88#/ BF"#: )-. >D>: )1. >###/ >"#: )2. D/ $/ F/"#/ "/ G: )3. G/ B/ >": )5. >B/ >#/ D: )7. >#/ "#/ #: )8. >/ BG/ "#:*;. >8#/ G#/ >"#/ >"#: *). >BG/ BG: **. G#/ "/ 8: *-. >"/ / B/ N:*1. BG/ G: *2. F/ : *3. " sol0ii7 a9 "#/ "B. ,9 ">#/ "#: *5. D##/

G##/ "##: *7. >G/ B"/ 8: *8. >"/ B": -;. "$/ B#/ G#/ GF: -). F al,e/na near): -*. "#/ >#: --. "/ B#/ F8: -1. "D/ >/ >$.

C@ %robleme de diBerenţ raport şi rest

). >F"/ B8: *. : -. >"/ BB: 1. D: 2. "#/ F: 3. $/ D: 5. ": 7. 8/ G: 8."#8: );. D: )). >###/ >##: )*. / ": )-. >DF/ BF: )1. 8#/ >>": )2. F/": )3. >8F#/ BD#: )5. 8: )7. "D/ 8G: )8. D: *;. >8: *). "#/ >#: **.

G"8/ B"$: *-. "##/ B##/ G##: *1. "#/ >#.

D@ %robleme Fn care snt combinate relaţiile de sm diBerenţşi raport

). D##/ G##/ "##: -. PB->K"KBK9Q78JB: 1. G# c)r0i/ $# caiete/ >"#creioane: 2. / >#: 3. BG/ >#8/ >#": 5. a9 BG#. ,9 "##/ "#. c9 #: 7.

>"/ ""/ / GG: 8. >/ >8/ 8: );. >G>/ "8/ >/ $: )). >8/ ""/ F#/ >#:)*. F#/ "F/ >##/ F#: )-. >>/ ""/ >#/ >>/ >": )1. G/ $G/ >"8: )2. ")ini/ >" crci/ >F ra0e: )3. >F/ "#/ "8: )5. >"#D/ #"/ "##: )7. >#/F/ "#: )8. 88/ >B>/ >>: *;. $/ FG/ D>: *). "F/ ">/ $G: **. #/ BG/>8/ DG: *1. D$/ "#: *2. $/ >: *3. BF/ F/ BG: *5. F/ BG/ BF: *5.BD#/ DF: *7. / G/ 8/ B"/B": *8. BG/ F#. -;. B/ ">/ >#: -). DFF/ DF/DFF: -*. ># de F lei/ > de B lei/ 8 de > le

III! Metoda ipotezelor

F"


53/56

). GF oi/ BF )ini: *. 8/ G: -. B ore/ " ore: 1. D ra0e/ "8 )ini/ B !rcei/ > cine: 2. >G: 3. $ ,)nci cte " ele+i/ B ,)nci cte B ele+i: 5.>" ie!ri/ ># )ini: 7. 8#/ >88: 8. / $: );. c B/ >G c ": )). B de>## lei/ " de F# lei 1i B de "F lei: )*. >"F ,o',oane/ "D ele+i: )-.G# ie!ri/ ># )ini: )1. 8 al,e/ F nere: )2. $# ele+i/ "# ,)nci: )3.F# )ini/ F# 1te/ >## !orci: )5. G scane c !icioare/ B# scanec B !icioare/ F ,)nci c " !icioare: )7. " de >## lei/ B" de "F lei/B deF lei: )8. >> oi/ BF !)s)ri: *;. BD ,ancnote de ># lei/ >B ,ancnote de F lei: *). >8" ,rad9/ >>8 ste6ar9: **. ># ,ilete de lei/B# ,ilete de G lei: *-. >8 trse c creioane/ D trse c B creioane/

G trse c " creioane: *1. F )ini/ >F ra0e/ # oi: *2. $ (lori/ +a*e: *3. +r),ii/ B !ari: *5. BF ele+i/ >## ,o',oane: *7. B# l)*i/>D## : *8. >8#: -;. >" cte " ,o',oane/ ># cte B ,o',oane: -).>GD !ni/ >BD> ,o',oane:

I,! Metoda comparatiei

). B: *. >#/ >>: -. B: 1. "/ B: 2. F/ 8#: 3. BG/ >D: 5. BF/ F#: 7. "/ B:8. 8/ : );. >/ "/ B: )). >8/ "#: )*. "8/ "G/ ": )-. 8/ F: )1. >#: )2. >'int: )3. F: )5. " lei !ixl9/ lei stilol9/ > le caietl9: )7. B/ 8/$: )8. BG/ G: *;. $:

,! Metoda retrograd ?a mersli invers@

). D8B: *. >F: -. "##: 1. SJB>"FG"F/ >###/ $##/ BG#9: 2. D": 3."": 5. >###: 7. >8: 8. >###: );. G# ' >F/ $/ BG9: )). "F: )*. >##' "F/ "#/ "F9: )-. "#: )1. >BF: )2. B$# >G"/ >#8/ D"/ 89: )3.G: )5. F8 B"/ G9: )7. >B$: )8. >G8: *;. FG#: *). F/ "#: **. >9 8/ "9>/ B9 8.

,I! %robleme de mişcare

FB


54/56

). " ': *. a9 B ore: ,9 GG ' de la ora1l @: -. >BF ': 1. B ore/>G8 ': 2. "# ': 3. ## ': 5. >"8 '/ FD ' 1i G##';h: 7. B'inte: 8. D ore: );. xxxx: )). 8 ';h: )*. F# ';h: )-. DF ':)1. # c': )2. G# s)ritri: )3. D" s)ritri: )5. FG ';h/ DB ';h: )7.B## ': )8. >"# '. *;. >G8 '.

'I'LI(#RA=IE &ELECTI,Ă

>9 Cr6) &heorhe/ ?ni0) Viorel Cle gere de probleme/ claseleI-IV/ Vasli/ >$$#:

"9 Cherat) V./ Voicil) ./ =ndrlean L.- Cleere Metode derezolvare a problemelor de aritmetic/ clasele I-IV/ Ed. Si,ila/

>$$B:

B9 Cio,otar Vlad Clegere de eGerciţii şi probleme/ claseleI-IV/ Scea+a/ >$$#:

9 5rial) 2./ 5rial) V. Arit'etic) %robleme tipicerezolvate prin mai mlte metode şi procedee / clasele II-VI/ Ed.5oliro'/ Ia1i >$$F:

F9 5rial) 2./ 5rial) V. Teste de aritmetic pentradmiterea Fn clasa a ,$$G:

G9 5etric) Ion/ Şte()nesc Vasile %robleme de aritmetic !entrclasele I-IV/ Ed. 5etrion @cre1ti/ >$$":

D9


55/56

89


56/56

aritmetica-metode de rezolvare a problemelor-clasa iv

Documents