examenul de bacalaureat – 2010 probă scrisă la...

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică Varianta 9 Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Probă scrisă la MATEMATICĂ – Proba E c)

Varianta 9 Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte) –

5p 1. CalculaŃi 2 2log 6 log 3− .

5p 2. Fie funcŃia :f →ℝ ℝ , ( ) 5f x x= − . CalculaŃi (1) (2) (3) ... (10)f f f f⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

5p 3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 2 1 12 2 24x x+ +− = . 5p 4. CalculaŃi numărul submulŃimilor cu două elemente ale mulŃimii { }8A x x= ∈ ≤ℕ .

5p 5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele (3,4)A şi (2, )B m . Ştiind că B aparŃine dreptei de

ecuaŃie 3 20y x= + determinaŃi coordonatele mijlocului segmentului [ ]AB .

5p 6. CalculaŃi valoarea expresiei ( ) cos sin 2E x x x= + pentru 30x = � .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulŃimea { }2 ,M a b a b= + ∈ ⊂ℤ ℝ se defineşte legea de compoziŃie 2x y x y= + +� .

5p a) ArătaŃi că x y M+ ∈ , oricare ar fi ,x y M∈ .

5p b) ArătaŃi că x y M⋅ ∈ , oricare ar fi ,x y M∈ .

5p c) DeterminaŃi x M∈ cu proprietatea că 2(1 2) 1x ⋅ + = .

5p d) VerificaŃi dacă 1 1

1 2 3 2 2M∈

+ +� .

5p e) ArătaŃi că legea „ � ” este asociativă pe mulŃimea M . 5p f) ArătaŃi că legea „ � ” determină pe mulŃimea M o structură de grup. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Fie matricele

2 2

1 1M

= − −

, 21 0

0 1I

=

şi 2( )A a M aI= + , a∈ℝ .

5p a) ArătaŃi că 2M M= . 5p b) DeterminaŃi matricea (2010)A .

5p c) DeterminaŃi a∈ℝ , pentru care det( ( )) 2A a = .

5p d) ArătaŃi că 1 0 21(1)

1 32A−

− =

.

5p e) ArătaŃi că pentru oricare a∈ℤ matricea ( )( ) ( )t

A a A a+ este inversabilă, unde ( )( )t

A a este transpusa

matricei ( )A a .

5p f) RezolvaŃi în mulŃimea 2 ( )ℝM ecuaŃia matricială 1 2

(1)2 6

X A

⋅ =

.