electrotehnicăusers.utcluj.ro/~adina/electrotehnica/curs/curs 3 et_isa.pdf · legea joule –lenz...

1 /32 Curs 3 Electrotehnică

Electrotehnică

Conf. dr. ing. ec. Adina GIURGIUMAN

Facultatea de Inginerie Electrică / Departamentul de Electrotehnică şi Măsurări

Tel.: 0264 401 468, Email : Adina.Giurgiuman@ethm.utcluj.ro

http://users.utcluj.ro/~adina/

2 /32 Curs 3 Electrotehnică

2. Legi specifice câmpului electrocinetic

1. Energii și forțe în câmp electrostatic

3 /32 Curs 3 Electrotehnică

1. Energii și forțe în

câmp electrostatic

4 /32 Curs 3 Electrotehnică

1.1. Energia electrostatică a unui

sistem de conductoare

5 /32 Curs 3 Electrotehnică

Pentru a stabili un câmp electric într-un domeniu al spațiului unde acesta

era inițial nul este necesar să transportăm sarcini electrice din exterior (de

la infinit) cu care se încarcă corpurile.

Energia câmpului electrostatic este egală cu lucrul mecanic total efectuat

pentru transportul acestor sarcini.

Pentru a putea defini energia în acest fel trebuie să se facă anumite ipoteze

și anume:

▪se consideră mediul izotrop, liniar și lipsit de polarizație

permanentă;

▪operația de înmagazinare a sarcinii pe conductoare se face foarte

lent, pentru a putea considera câmpul ca fiind electrostatic și

pentru a nu exista transformări ireversibile ale lucrului mecanic

efectuat în căldură;

▪se consideră că sistemul de conductoare este imobil pentru a nu

se pierde lucru mecanic pentru deformarea sau deplasarea

conductoarelor.

în aceste ipoteze se va stabili expresia energiei câmpului electrostatic

în funcție de sarcina și potențialul conductoarelor ce produc câmpul.

6 /32 Curs 3 Electrotehnică

Presupunem ca avem n conductoare sferice și facem următoarele

asumpții:

▪toate conductoarele sunt în starea inițială identic nulă:

0

0

i

i

q

V

=

=1 2i , , . . , n =

▪starea finală a conductoarelor va fi dată de:

• sarcinile:

1 2 i nV ,V ,........V ,....V1 2 i nq ,q ,........q ,....q

•potențialele:

▪o stare intermediară va fi stabilită proporțional, adică se admite

existența următoarelor relații:

•• '

i iV V= 1 2i , , . . , n =

'

i iq q=

energia câmpului electrostatic:

1

1

2

n

e i i

i

W V q

=

= Relația de mai sus ne dă expresia energiei înmagazinate în câmpul electric

al unor conductoare care au sarcinile qi și potențialele Vi.

7 /32 Curs 3 Electrotehnică

Aplicație:

Energia înmagazinată în câmpul electric al unui condensator:

+ -

+q -q

s qE

A

= =

d

A

U12

V1 V2

▪ se consideră un condensator având diferența de

potențial U12 și sarcinile +q și –q. Aria armăturilor este

A și distanța dintre acestea d.

❖ Energia înmagazinată în condensator:

1 122

1

11 1 1

2 2 2 2

n

i i

i

eW V q V q V q U q

=

= − = = ❖Dacă se introduce expresia capacității:

12

qC

U=

1

2

2

2

12

1 1

2

1

2 2e

U qq

W C UC

= = =

❖Dacă se introduce expresiile:

AC

d

=

12U E d=

( )2 2 211 1

2 2 2eW V E

AE d A d E

d

== =

!!! V este volumul dintre armături NU potențialul electric

8 /32 Curs 3 Electrotehnică

1.2. Localizarea energiei în câmpul

electric

9 /32 Curs 3 Electrotehnică

21 1 1

2 2 2

ee

Ww E E E D E

V = = = =

Această relație reprezintă o alternativă de calcul în raport cu prima relație de

definire a energiei câmpului electrostatic (care exprimă energia în funcție de

potențiale și de sarcini și nu specifică dacă ea este localizată pe

conductoare sau în dielectric). Se caută deci exprimarea energiei în funcție

de mărimile de stare ale câmpului ( și ).

we se numește densitate de volum a energiei electrostatice.

1

2ew D E= ❖ în general:

❖ Energia totală a câmpului electric este:1

2e

V

e

V

W D E dVw dV= = Concluzie: energia câmpului electric este localizată în dielectric (acolo

unde există câmp electric) și nu în corpuri conductoare (unde câmpul

electric este nul).

E D

10 /32 Curs 3 Electrotehnică

1.3. Forțe electrostatice

11 /32 Curs 3 Electrotehnică

Se consideră un sistem de n conductoare încărcate cu sarcini electrice.

Lucrul mecanic efectuat pentru variația cu dqk a sarcinilor

conductoarelor trebuie să acopere creșterea energiei câmpului electric

și lucrul mecanic efectuat de forța externă X , care modifică poziția

corpului:

XdxdWdqV ek

n

k

k +==1

12 /32 Curs 3 Electrotehnică

Se consideră două situații de calcul:

➢ Această condiţie este îndeplinită când conductoarele sunt

deconectate de la sursele exterioare !

0=kdq 01

==

n

k

kk dqV

( )=

= −k

e q ctdW X dx

( )k

k

e q c

t

t e

q c

dW

dx

WX

x=

= = −

= −

a) qk = const.

13 /32 Curs 3 Electrotehnică

➢ Această condiţie este îndeplinită dacă toate conductoarele

sunt conectate la bornele unor surse exterioare.

( ) 01

+==

XdxdWdqVkVe

n

k

kk

( ) =

==

n

k

kkctVe dqVdWk

12

1

( )=

=k

e V ctX dx dW

( )

k

ke V e

V ct

ct WX

x

dW

dx

=

=

=

=

b) Vk = const

14 /32 Curs 3 Electrotehnică

1.4. Aplicații

15 /32 Curs 3 Electrotehnică

Rezolvare:

Problema 1

Se consideră un condensator plan cu armăturile paralele, de arie A, umplut

cu două medii dielectrice de permitivităţi 𝜺1 ( bloc dielectric 1) şi respectiv 𝜺2

(bloc dielectric 2) separate de o foiță metalică plană, foarte subțire, aşa cum

se prezintă în figura de mai jos. Ştiind că, condesatorului i se aplică

tensiunea U, se cere să se determine:

➢ capacitatea echivalentă a sistemului;

➢ energia electrostatică;

➢ forța care acționează asupra blocului dielectric 1.

16 /32 Curs 3 Electrotehnică

Temă de casă:

Problema 2

➢ capacitatea echivalentă a sistemului;

➢ energia electrostatică;

➢ forța care acționează asupra blocului

dielectric 1.

Se consideră un condensator plan cu armăturile paralele, umplut cu două

medii dielectrice de permitivităţi 𝜺1 (bloc dielectric 1) şi respectiv 𝜺2 (bloc

dielectric 2) separate de o foiță metalică plană, foarte subțire, aşa cum se

prezintă în figura de mai jos. Ştiind că, condesatorului i se aplică tensiunea

U, se cere să se determine:

17 /32 Curs 3 Electrotehnică

2. Legi specifice câmpului

electrocinetic

18 /32 Curs 3 Electrotehnică

2.1. Legea conducţiei electrice (LCE)

19 /32 Curs 3 Electrotehnică

❑ Forma locală a legii:

( ) +J = iE E

sau:

+ρ J = iE E

Enunţ 2

densitatea locală şi instantanee a curentului care trece printr-un

corp, , este egală cu produsul dintre conductivitatea corpului şi

intensitatea locală şi instantanee a câmpului electric în sens larg,

care este egală cu suma dintre intensităţile locale şi instantanee ale

câmpurilor electric şi electric imprimat .

Enunţ 1

produsul dintre rezistivitatea locală ρ şi densitatea locală

instantanee a curentului electric de conducţie este egal cu

intensitatea locală instantanee a câmpului electric în sens larg.

J

E iE

20 /32 Curs 3 Electrotehnică

❑ Forma integrală a legii:

R i = u+esau:

( )i =G u+e

+ ρ J ds= ds dsi

C C C

E E

2

iJ = ,

A

A

m

+ ρ ds= ds dsi

C C C

iE E

Al

ρ i =A

u e+

= legea lui Ohm

21 /32 Curs 3 Electrotehnică

2.2. Legea Joule – Lenz

(legea transformării energiei în conductoare)

22 /32 Curs 3 Electrotehnică

❑ Forma locală a legii:

p=E J

densitatea de volum a puterii electromagnetice cedată

corpurilor în procesul de conducție este egală cu produsul

scalar dintre intensitatea câmpului electric și densitatea

curentului electric de conducție.

Enunţ

− = −2i R gp= pJ E pJ

unde:

o pR – densitatea de volum a puterii disipate prin efect Joule;

o pg – densitatea de volum a puterii generate sub influența câmpurilor imprimate.

LCE

ρ J= = ρ Ji iE E E E+ → −

23 /32 Curs 3 Electrotehnică

❑ Forma integrală (globală) a legii:

P=u i

− = −2i R gRP i i P = Pe

unde:o P – puterea primită de conductor în procesul de conducție;

o PR – puterea disipată prin efect Joule;

o Pg – puterea generată datorită tensiunii electromotoare imprimate.

p = E JV V

dV dV

C

p = E JV

dV ds dA

R i=u+e

u=R i e −

LCE

24 /32 Curs 3 Electrotehnică

2.3. Legea electrolizei

25 /32 Curs 3 Electrotehnică

m = k i t

exprimă legătura dintre masa, m, unui element sau radical

chimic ce se depune la unul din electrozii băii de electroliză

şi curentul ce parcurge baia.

Enunţ

unde:

0

1 Ak =

F

o – echivalent chimic;A

o A – masa atomică sau moleculară [g/mol];

o – valenţa substanţei depuse;

o F0 – constanta lui Faraday,

F0 = 96 490 C/echivgram.

26 /32 Curs 3 Electrotehnică

2.4. Legea conservării sarcinii electrice

27 /32 Curs 3 Electrotehnică

❑ Forma globală a legii:

++

+

+

+

+

+

+++

n̂dA

J J

J

J

A

inQ

−i =

t

dq

d

în fiecare moment, intensitatea curentului electric de

conducţie, iΣ, ce iese din suprafaţa închisă Σ, este egală

cu viteza de scădere în timp a sarcinii electrice, qΣ, ce

încarcă corpurile din interiorul suprafeței Σ, indiferent de

starea lor cinematică.

Enunţ

28 /32 Curs 3 Electrotehnică

❑ Forma locală a legii:

● se deduce din forma globală:

= i J dA= V

q ρV

dVunde:

o V – un volum care se sprijină pe suprafața Σ.

● se aplică transformata Gauss-Ostrogradski

şi rezultă:

= J JV

dA div dV

●

= =

V

V

q ρρ

t tV V

d ddV dV

dt d

−

VρJ=div

t

FL

● Cazul regimului electrocinetic staționar (ρV constant în raport cu timpul): ❖

❑ Forma locală a legii: J=0div

❑ Forma globală a legii:

= J 0dA

legea continuităţii

(surselor de câmp) =−

Vρ

tV Vdiv J dV dV

29 /32 Curs 3 Electrotehnică

ConsecințăConservarea componentei normale a densității

curentului electric la suprafaţe de discontinuitate:

Fie Sd o suprafaţă suficient de netedă de discontinuitate a densităţii

curentului electric de conducţie pe care e distribuită o sarcină electrică

cu densitatea ρS. Dacă şi sunt densităţile în imediata vecinătate a

lui Sd (imobilă) ecuaţia dată de FL a legii scrisă pe suprafaţa cilindrică

de înălţime şi ariile bazelor are forma:

1J 2J

0s → A

+

s1 1 2 2J n J n = -

tsau:

−

s2n 1nJ J = -

t

❖ dacă ρS= 01n 2nJ = J

❖ dacă Sd separă un conductor de un dielectric nJ =0

J tangenţială la suprafaţa conductoarelor

❖ pe suprafaţa de separaţie a 2 conductoare 1 1n 2 2nE = E

30 /32 Curs 3 Electrotehnică

fD dA Q

= J dA i

=vdivD =vdivJt

= −

D E= J E=

QC

U=

iG

u=

B

AB

A

U E ds= B

AB

A

u E ds=

S sdiv D = sSdiv J

t

= −

pD E P= + iJ E E = +

Analogia dintre regimul electrostatic şi regimul electrocinetic staţionar

31 /32 Curs 3 Electrotehnică

AB AB

p i

U u

E E

D J

Q i

P E

C G

32 /32 Curs 3 Electrotehnică

Sfârșit

(Încă un pas spre Final !!!)

☺ ☺ ☺