electrotehnicăusers.utcluj.ro/~adina/electrotehnica/curs/curs 3 et_isa.pdf · legea joule –lenz...
TRANSCRIPT
1 /32 Curs 3 Electrotehnică
Electrotehnică
Conf. dr. ing. ec. Adina GIURGIUMAN
Facultatea de Inginerie Electrică / Departamentul de Electrotehnică şi Măsurări
Tel.: 0264 401 468, Email : [email protected]
http://users.utcluj.ro/~adina/
2 /32 Curs 3 Electrotehnică
2. Legi specifice câmpului electrocinetic
1. Energii și forțe în câmp electrostatic
3 /32 Curs 3 Electrotehnică
1. Energii și forțe în
câmp electrostatic
4 /32 Curs 3 Electrotehnică
1.1. Energia electrostatică a unui
sistem de conductoare
5 /32 Curs 3 Electrotehnică
Pentru a stabili un câmp electric într-un domeniu al spațiului unde acesta
era inițial nul este necesar să transportăm sarcini electrice din exterior (de
la infinit) cu care se încarcă corpurile.
Energia câmpului electrostatic este egală cu lucrul mecanic total efectuat
pentru transportul acestor sarcini.
Pentru a putea defini energia în acest fel trebuie să se facă anumite ipoteze
și anume:
▪se consideră mediul izotrop, liniar și lipsit de polarizație
permanentă;
▪operația de înmagazinare a sarcinii pe conductoare se face foarte
lent, pentru a putea considera câmpul ca fiind electrostatic și
pentru a nu exista transformări ireversibile ale lucrului mecanic
efectuat în căldură;
▪se consideră că sistemul de conductoare este imobil pentru a nu
se pierde lucru mecanic pentru deformarea sau deplasarea
conductoarelor.
în aceste ipoteze se va stabili expresia energiei câmpului electrostatic
în funcție de sarcina și potențialul conductoarelor ce produc câmpul.
6 /32 Curs 3 Electrotehnică
Presupunem ca avem n conductoare sferice și facem următoarele
asumpții:
▪toate conductoarele sunt în starea inițială identic nulă:
0
0
i
i
q
V
=
=1 2i , , . . , n =
▪starea finală a conductoarelor va fi dată de:
• sarcinile:
1 2 i nV ,V ,........V ,....V1 2 i nq ,q ,........q ,....q
•potențialele:
▪o stare intermediară va fi stabilită proporțional, adică se admite
existența următoarelor relații:
•• '
i iV V= 1 2i , , . . , n =
'
i iq q=
energia câmpului electrostatic:
1
1
2
n
e i i
i
W V q
=
= Relația de mai sus ne dă expresia energiei înmagazinate în câmpul electric
al unor conductoare care au sarcinile qi și potențialele Vi.
7 /32 Curs 3 Electrotehnică
Aplicație:
Energia înmagazinată în câmpul electric al unui condensator:
+ -
+q -q
s qE
A
= =
d
A
U12
V1 V2
▪ se consideră un condensator având diferența de
potențial U12 și sarcinile +q și –q. Aria armăturilor este
A și distanța dintre acestea d.
❖ Energia înmagazinată în condensator:
1 122
1
11 1 1
2 2 2 2
n
i i
i
eW V q V q V q U q
=
= − = = ❖Dacă se introduce expresia capacității:
12
qC
U=
1
2
2
2
12
1 1
2
1
2 2e
U qq
W C UC
= = =
❖Dacă se introduce expresiile:
AC
d
=
12U E d=
( )2 2 211 1
2 2 2eW V E
AE d A d E
d
== =
!!! V este volumul dintre armături NU potențialul electric
8 /32 Curs 3 Electrotehnică
1.2. Localizarea energiei în câmpul
electric
9 /32 Curs 3 Electrotehnică
21 1 1
2 2 2
ee
Ww E E E D E
V = = = =
Această relație reprezintă o alternativă de calcul în raport cu prima relație de
definire a energiei câmpului electrostatic (care exprimă energia în funcție de
potențiale și de sarcini și nu specifică dacă ea este localizată pe
conductoare sau în dielectric). Se caută deci exprimarea energiei în funcție
de mărimile de stare ale câmpului ( și ).
we se numește densitate de volum a energiei electrostatice.
1
2ew D E= ❖ în general:
❖ Energia totală a câmpului electric este:1
2e
V
e
V
W D E dVw dV= = Concluzie: energia câmpului electric este localizată în dielectric (acolo
unde există câmp electric) și nu în corpuri conductoare (unde câmpul
electric este nul).
E D
10 /32 Curs 3 Electrotehnică
1.3. Forțe electrostatice
11 /32 Curs 3 Electrotehnică
Se consideră un sistem de n conductoare încărcate cu sarcini electrice.
Lucrul mecanic efectuat pentru variația cu dqk a sarcinilor
conductoarelor trebuie să acopere creșterea energiei câmpului electric
și lucrul mecanic efectuat de forța externă X , care modifică poziția
corpului:
XdxdWdqV ek
n
k
k +==1
12 /32 Curs 3 Electrotehnică
Se consideră două situații de calcul:
➢ Această condiţie este îndeplinită când conductoarele sunt
deconectate de la sursele exterioare !
0=kdq 01
==
n
k
kk dqV
( )=
= −k
e q ctdW X dx
( )k
k
e q c
t
t e
q c
dW
dx
WX
x=
= = −
= −
a) qk = const.
13 /32 Curs 3 Electrotehnică
➢ Această condiţie este îndeplinită dacă toate conductoarele
sunt conectate la bornele unor surse exterioare.
( ) 01
+==
XdxdWdqVkVe
n
k
kk
( ) =
==
n
k
kkctVe dqVdWk
12
1
( )=
=k
e V ctX dx dW
( )
k
ke V e
V ct
ct WX
x
dW
dx
=
=
=
=
b) Vk = const
14 /32 Curs 3 Electrotehnică
1.4. Aplicații
15 /32 Curs 3 Electrotehnică
Rezolvare:
Problema 1
Se consideră un condensator plan cu armăturile paralele, de arie A, umplut
cu două medii dielectrice de permitivităţi 𝜺1 ( bloc dielectric 1) şi respectiv 𝜺2
(bloc dielectric 2) separate de o foiță metalică plană, foarte subțire, aşa cum
se prezintă în figura de mai jos. Ştiind că, condesatorului i se aplică
tensiunea U, se cere să se determine:
➢ capacitatea echivalentă a sistemului;
➢ energia electrostatică;
➢ forța care acționează asupra blocului dielectric 1.
16 /32 Curs 3 Electrotehnică
Temă de casă:
Problema 2
➢ capacitatea echivalentă a sistemului;
➢ energia electrostatică;
➢ forța care acționează asupra blocului
dielectric 1.
Se consideră un condensator plan cu armăturile paralele, umplut cu două
medii dielectrice de permitivităţi 𝜺1 (bloc dielectric 1) şi respectiv 𝜺2 (bloc
dielectric 2) separate de o foiță metalică plană, foarte subțire, aşa cum se
prezintă în figura de mai jos. Ştiind că, condesatorului i se aplică tensiunea
U, se cere să se determine:
17 /32 Curs 3 Electrotehnică
2. Legi specifice câmpului
electrocinetic
18 /32 Curs 3 Electrotehnică
2.1. Legea conducţiei electrice (LCE)
19 /32 Curs 3 Electrotehnică
❑ Forma locală a legii:
( ) +J = iE E
sau:
+ρ J = iE E
Enunţ 2
densitatea locală şi instantanee a curentului care trece printr-un
corp, , este egală cu produsul dintre conductivitatea corpului şi
intensitatea locală şi instantanee a câmpului electric în sens larg,
care este egală cu suma dintre intensităţile locale şi instantanee ale
câmpurilor electric şi electric imprimat .
Enunţ 1
produsul dintre rezistivitatea locală ρ şi densitatea locală
instantanee a curentului electric de conducţie este egal cu
intensitatea locală instantanee a câmpului electric în sens larg.
J
E iE
20 /32 Curs 3 Electrotehnică
❑ Forma integrală a legii:
R i = u+esau:
( )i =G u+e
+ ρ J ds= ds dsi
C C C
E E
2
iJ = ,
A
A
m
+ ρ ds= ds dsi
C C C
iE E
Al
ρ i =A
u e+
= legea lui Ohm
21 /32 Curs 3 Electrotehnică
2.2. Legea Joule – Lenz
(legea transformării energiei în conductoare)
22 /32 Curs 3 Electrotehnică
❑ Forma locală a legii:
p=E J
densitatea de volum a puterii electromagnetice cedată
corpurilor în procesul de conducție este egală cu produsul
scalar dintre intensitatea câmpului electric și densitatea
curentului electric de conducție.
Enunţ
− = −2i R gp= pJ E pJ
unde:
o pR – densitatea de volum a puterii disipate prin efect Joule;
o pg – densitatea de volum a puterii generate sub influența câmpurilor imprimate.
LCE
ρ J= = ρ Ji iE E E E+ → −
23 /32 Curs 3 Electrotehnică
❑ Forma integrală (globală) a legii:
P=u i
− = −2i R gRP i i P = Pe
unde:o P – puterea primită de conductor în procesul de conducție;
o PR – puterea disipată prin efect Joule;
o Pg – puterea generată datorită tensiunii electromotoare imprimate.
p = E JV V
dV dV
C
p = E JV
dV ds dA
R i=u+e
u=R i e −
LCE
24 /32 Curs 3 Electrotehnică
2.3. Legea electrolizei
25 /32 Curs 3 Electrotehnică
m = k i t
exprimă legătura dintre masa, m, unui element sau radical
chimic ce se depune la unul din electrozii băii de electroliză
şi curentul ce parcurge baia.
Enunţ
unde:
0
1 Ak =
F
o – echivalent chimic;A
o A – masa atomică sau moleculară [g/mol];
o – valenţa substanţei depuse;
o F0 – constanta lui Faraday,
F0 = 96 490 C/echivgram.
26 /32 Curs 3 Electrotehnică
2.4. Legea conservării sarcinii electrice
27 /32 Curs 3 Electrotehnică
❑ Forma globală a legii:
++
+
+
+
+
+
+++
n̂dA
J J
J
J
A
inQ
−i =
t
dq
d
în fiecare moment, intensitatea curentului electric de
conducţie, iΣ, ce iese din suprafaţa închisă Σ, este egală
cu viteza de scădere în timp a sarcinii electrice, qΣ, ce
încarcă corpurile din interiorul suprafeței Σ, indiferent de
starea lor cinematică.
Enunţ
28 /32 Curs 3 Electrotehnică
❑ Forma locală a legii:
● se deduce din forma globală:
= i J dA= V
q ρV
dVunde:
o V – un volum care se sprijină pe suprafața Σ.
● se aplică transformata Gauss-Ostrogradski
şi rezultă:
= J JV
dA div dV
●
= =
V
V
q ρρ
t tV V
d ddV dV
dt d
−
VρJ=div
t
FL
● Cazul regimului electrocinetic staționar (ρV constant în raport cu timpul): ❖
❑ Forma locală a legii: J=0div
❑ Forma globală a legii:
= J 0dA
legea continuităţii
(surselor de câmp) =−
Vρ
tV Vdiv J dV dV
29 /32 Curs 3 Electrotehnică
ConsecințăConservarea componentei normale a densității
curentului electric la suprafaţe de discontinuitate:
Fie Sd o suprafaţă suficient de netedă de discontinuitate a densităţii
curentului electric de conducţie pe care e distribuită o sarcină electrică
cu densitatea ρS. Dacă şi sunt densităţile în imediata vecinătate a
lui Sd (imobilă) ecuaţia dată de FL a legii scrisă pe suprafaţa cilindrică
de înălţime şi ariile bazelor are forma:
1J 2J
0s → A
+
s1 1 2 2J n J n = -
tsau:
−
s2n 1nJ J = -
t
❖ dacă ρS= 01n 2nJ = J
❖ dacă Sd separă un conductor de un dielectric nJ =0
J tangenţială la suprafaţa conductoarelor
❖ pe suprafaţa de separaţie a 2 conductoare 1 1n 2 2nE = E
30 /32 Curs 3 Electrotehnică
fD dA Q
= J dA i
=vdivD =vdivJt
= −
D E= J E=
QC
U=
iG
u=
B
AB
A
U E ds= B
AB
A
u E ds=
S sdiv D = sSdiv J
t
= −
pD E P= + iJ E E = +
Analogia dintre regimul electrostatic şi regimul electrocinetic staţionar
31 /32 Curs 3 Electrotehnică
AB AB
p i
U u
E E
D J
Q i
P E
C G
32 /32 Curs 3 Electrotehnică
Sfârșit
(Încă un pas spre Final !!!)
☺ ☺ ☺