electricitate i magnetism - vignette.wikia.nocookie.net
Post on 16-Oct-2021
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Electricitate şi magnetism
Prof.dr. Alexandru STANCU
alstancu@uaic.ro
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 2
Argumente pentru studiul electromagnetismului
• Aplicaţii tehnologice• Element esenţial/central al ştiinţei fizicii şi
al ştiinţei• Important pentru înţelegerea unor
fenomenelor naturale• Important pentru înţelegerea chimiei şi
biologiei
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 3
Tradiţie (de ce la IAŞI ?)
• Dragomir HURMUZESCU• Ştefan PROCOPIU
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 4
Dragomir HURMUZESCU
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 5
Stefan PROCOPIU
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 6
Magnetonul Bohr
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 7
Pierre WEISS
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 11
Activităţi didactice
• Curs 3 ore pe săptămână• Laborator 2 ore pe săptămână• Seminar 2 ore pe săptămână
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 12
Tematica abordată
• Electrostatică; sarcini şi câmpuri• Potenţial electric• Câmpul electric în jurul conductorilor• Curenţi electrici• Câmpul purtătorilor de sarcină în mişcare
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 13
Tematica abordată
• Câmpul magnetic• Inducţia electromagnetică şi ecuaţiile lui
Maxwell• Circuite de curent alternativ• Câmpuri electrice în substanţă• Câmpuri magnetice în substanţă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 14
Bibliografie recomandată1. Electricitate şi magnetism, Edward M. Purcell, Cursul
de fizică BERKELEY, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.
2. Orice alt curs de electricitate şi magnetism3. Orice culegere de probleme4. Pagina web a Departamentului de Fizica
http://stoner.phys.uaic.ro cursuriEnrollment key: EM
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 15
eLearning
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 16
Materiale de studiu
Simulări … MAPLE
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 17
Bibliografie (electromagnetism)
• Cursul de la Berkeley (vol. II)– Electricitate şi magnetism– E.M.Purcell
• Lectures on Physics (vol. II)– R.P. Feynman
• Electrodinamica mediilor continue– L.D. Landau şi E.M. Lifşiţ
• Bazele teoriei electricităţii– I.E. Tamm
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 18
Nota
50% … activitatea la seminar şi laborator (mid-term)50% … examen final
teza … 20 probleme/intrebărioral … teorie/aplicaţii
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 19
Electrostatică: sarcini şi câmpuri
– Sarcina electrică– Conservarea sarcinii– Legea lui Coulomb– Energia unui sistem de purtători de sarcini– Câmpul electric– Distribuţii de sarcină– Flux– Legea lui Gauss– Aplicaţii
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 20
Sarcina electrică
• Observaţii empirice (forţa electrică/forţa magnetică)
• Thales din Milet în urmă cu 2500 de ani (electrizarea corpurilor prin frecare)
• China antică în urmă cu 5000 de ani (magneţii naturali)
Platon (în urmă cu 2400 de ani)“Piatra pe care Euripide a numit-o magnetică şi care este numită în mod obişnuit
a lui Hercule (...) nu atrage numai inelele de fier; ea comunică inelelor o forţă care le dă puterea ce-i aparţine însăşi pietrei, aceea de a atrage alte inele, astfel că se vede uneori un foarte lung lanţ de inele de fier care atârnă unul de altul. Şi forţa lor a tuturor depinde de această piatră.”
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 21
Din observaţii empirice ...
• Există două tipuri de sarcină electrică (pozitivă şi negativă)
• Sarcina se conservă• Sarcina se cuantifică
Într-un sistem izolat, sarcina electrică totală, adică suma algebrică a sarcinilor pozitive şi negative, se conservă.
Exemplu: foton electron + pozitron
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 22
Cuantificarea sarcinii electrice
Experienţa lui Millikan
Robert A. Millikan (Nobel Prize for Physics 1923 )
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 23
Experimentul lui Millikan
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 24
Legea lui Coulomb
• Charles Auguste de Coulomb – Născut la 14 iulie 1736, Franţa– 1785, interacţiunea dintre mici sfere încărcate electric (balanţa de torsiune)– Prima lege cantitativă în domeniul electricităţii
Istoric• Utilizând o balanţă de
torsiune, Coulomb a demonstrat în mod direct că două sarcini interacţionează cu o forţă ce variază invers proporţional cu pătratul distanţei dintre ele.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 26
Forţa Coulomb
q Q
F21 F12 R12
= 1212 3
12
RF kqQR 12
00
1 , 8.8544187818 10 /4
k F mεπε
−= = ⋅
Film Legea lui Coulomb
În Sistemul Internaţional
În starea de echilibru mecanic a sistemului din figură se poate determina forţa care acţionează asupra sarcinii q.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 27
Principiul superpoziţiei
(1)
(2)
(3)
F1
F2
F3
q
F=F1+ F2 +F3 =qE
Sarcinile “1”, “2” şi “3”acţionează asupra sarcinii de probă q prin rezultanta forţelor cu care ar acţiona fiecare din ele separat asupra acesteia.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 28
Potenţialul electric
B
A
Q
q0 F0 R
Ra
Rb
dR
B B
ab 0 0 30A A
1 R dRL F dR Qq4 R
⋅= ⋅ =
πε∫ ∫
2 2 2 2
R xi yj zk,
dR dxi dyj dzk,
R dR xdx ydy zdz,R x y z ,2RdR 2xdx 2ydy 2zdz, deci
R dR RdR
= + +
= + +
⋅ = + +
= + += + +
⋅ = B
0ab 0 2
0 0 a bA
1 dR Qq 1 1L Qq4 R 4 R R
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
πε πε ⎝ ⎠∫
Film Lucrul mecanic şi energia
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 29
Diferenţa de potenţial
( )ab 0 0 b aL q U q V V= = − −
a bU V V= −
0
1 QV4 R
=πε
Potenţialul electric se determină în mod relativ nu în mod absolut
Potenţialul electric al sarcinii punctiforme într-un punct la distanţa R se defineşte ca fiind o mărime scalară, numeric egală cu lucrul efectuat de forţele electrostatice pentru a deplasa sarcina unitară de la distanţa R până la infinit, sau altfel, ca o mărime numeric egală cu lucrul efectuat de forţele exterioare pentru a aduce sarcina unitară de la infinit la distanţa R. Potenţialul definit în acest fel este numit potenţial coulombian. La infinit potenţialul coulombian este nul.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 30
Energia unui sistem de sarcini electrice punctiforme
q1,V12 q2,V21
( ) ( )2 21 1 12 1 12 2 21 1 1 2 21 12 2
W q V q V q V q V q V q V= = = + = +
( )1 1 2 2
1
1 1...2 2
n
n n i i
i
W q V q V q V qV=
= + + + = ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 31
Energia unei reţele cristaline
Cristalul de clorură de sodiu ( ),Na Cl+ −
2 2 2
0
1 6 12 8 ...2 4 2 3
N e e eWa a aπε
⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 32
Intensitatea câmpului electric
Q q0
F0 R
0
0
FEq
=
30
Q RE4 R
=πε
Film Intensitatea câmpului electric
Definiţia generală
Câmpul creat de o sarcină electrică punctiformă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 33
Linii de câmp electric
E
dR
x y z
i j kE dR E E E 0
dx dy dz× = =
x y z
dx dy dzE E E
= =
Film Suprafeţe echipotenţiale şi linii de câmp
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 34
Distribuţii de sarcină electrică
P
Q
dvq
Rqp
Rq
Ω
x
z
yO
ρq
v 0
q dqlimv dvΔ →
Δρ = =
Δ
( )
p q q0 qp
1 1V dv4 R
Ω
= ρπε ∫
( )
qpp q q3
0 qp
R1E dv4 R
Ω
= ρπε ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 35
Relaţia dintre câmp şi potenţial
0 0dL q E dR q dV= ⋅ = −
= + +x y zE E i E j E k
dR dxi dyj dzk= + +
V V VdV dx dy dzx y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
x y zE dR E dx E dy E dz⋅ = + +
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 36
Relaţia dintre câmp şi potenţial
0 0dL q E dR q dV= ⋅ = −
x y zE dR E dx E dy E dz⋅ = + +
V V VdV dx dy dzx y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
x y zV V VE , E , Ex y z
∂ ∂ ∂= − = − = −
∂ ∂ ∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 37
Relaţia dintre câmp şi potenţial
∂ ∂ ∂= + + = − − − =
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + + = −∇ = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
x y zV V VE E i E j E k i j kx y z
i j k V V gradVx y z
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 38
Gradientul unei funcţii scalare
dR dxi dyj dzk= + +
f f fdf dx dy dzx y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
grad i j kx y z∂ ∂ ∂
≡ ∇ = + +∂ ∂ ∂
( )df grad f dR= ⋅
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 39
Suprafeţe echipotenţiale
0V V const.= =
dV = 0
dV gradV dR= ⋅
E dR 0⋅ =
E gradV= −
E dR⊥
∂ ∂ ∂= + + = ⋅ =
∂ ∂ ∂V V VdV dx dy dz gradV dR 0x y z
gradV dR⊥
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 40
Suprafeţe echipotenţiale - linii de câmp
E
dR
grad V V2=const. < V1
V1=const.'
∂ ∂ ∂= + + = − − − = −∇ = −
∂ ∂ ∂x y zV V VE E i E j E k i j k V gradVx y z
= =0V V const.
× =E dR 0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 41
Câmpul sarcinii punctuale
Q Simetria problemei
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 42
Câmpul sarcinii punctiforme
O
x
y
z
ij
k
uR
θ
ϕ
uθ
uϕ
r
R
x y z
dx dy dzE E E
= =
x 30
y 30
z 30
1 xE Q ,4 R
1 yE Q ,4 R
1 zE Q4 R
=πε
=πε
=πε
dx dy dzx y z
= =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 43
Coordonate sferice
p p p p
p p p p
p p p
x R sin cosy R sin sinz R cos
⎧ = θ ϕ⎪ = θ ϕ⎨⎪ = θ⎩
O
x
y
z
ij
k
uR
θ
ϕ
uθ
uϕ
r
R
00
1 1V Q V4 R
= =πε
00 0
1 1R R Q4 V
= =πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 44
Câmpul sarcinii punctiforme
1 1
2 2
ln x ln y C x K yln x lnz C x K z
⎧ = + =⎧⎪ ⇒⎨ ⎨= + =⎪ ⎩⎩dx dy dzx y z
= =
Q
x
y
z
x=K2z
x=K1y
linia de câmp
( )0 0 0x , y ,z0
10
xKy
=
02
0
xKz
=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 45
Fluxul câmpului electric
( )
3 3
R Rd dS dSR R
Σ
Ω = ⋅ ⇒ Ω = ⋅∫3
0 0
Q R QE dS dS4 R 4
ΩΦ = ⋅ = ⋅ =
πε ε π∫ ∫
R
dS
dΩ
(Σ)
Q
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 46
Relaţia flux-linii de câmp
0
Q4Ω
Φ =ε π
R
dS
dΩ
(Σ)
Q
Fluxurile sunt egale prin cele două suprafeţe
Numărul de linii de câmp care străbat cele două suprafeţe sunt egale
liniidecâmpNΦ ≈
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 47
Fluxul
4Ω = π
0
QΦ =
ε
30 0
Q R QE dS dS4 R 4
ΩΦ = ⋅ = ⋅ =
πε ε π∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 48
Fluxul
2Ω = π
0
Q2
Φ =ε
30 0
Q R QE dS dS4 R 4
ΩΦ = ⋅ = ⋅ =
πε ε π∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 49
Fluxul
0Ω = 0Φ =
interior suprafata0
1 1Q Q2
⎛ ⎞Φ = +⎜ ⎟ε ⎝ ⎠∑ ∑
30 0
Q R QE dS dS4 R 4
ΩΦ = ⋅ = ⋅ =
πε ε π∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 50
Teorema lui Gauss
Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este egal cu suma sarcinilor interioare suprafeţei plus semisumasarcinilor de pe suprafaţă raportate la .ε0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 51
Concluzii
Observăm că fluxul nu depinde de forma suprafeţei. Faptul că el este însă proporţional cu sarcina electrică interioară ne conduce spre interpretarea fluxului printr-o suprafaţă ca număr de linii de câmp ce trec prin aceasta.
Să presupunem că dintr-o sarcină punctuală pozitivă pornesc linii de câmp într-un număr proporţional cu mărimea sa. Numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă, dacă aceasta este închisă şi include sarcina este acelaşi indiferent de forma suprafeţei.Pentru a obţine în această interpretare fluxul nul în cazul sarcinilor exterioare suprafeţei închise trebuie să adoptăm următoarea convenţie. Se alege un sens pozitiv de străbatere al suprafeţei - în sensul normalei la suprafaţă în punctul respectiv - adică, la numărul de linii de câmp ce străbat o suprafaţă se adună numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mici decât 90° şi se scade numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mari decât 90°.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 52
Concluzii
Dacă fluxul este proporţional cu numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă (respectând convenţia de mai sus), intensitatea câmpului electric poate fi interpretată ca densitate de linii ce trec prin suprafaţă.
Teorema lui Gauss este o consecinţă directă a dependenţei de inversul pătratului distanţei a forţei electrice (legea lui Coulomb). Utilizând teorema lui Gauss putem demonstra că în interiorul unei distribuţii superficiale sferice intensitatea câmpului electric este nulă. Dacă se verifică experimental acest fapt validăm nu numai teorema lui Gauss ci şi legea lui Coulomb. De fapt, asemenea verificări au fost făcute cu precizie foarte mare.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 53
Două sarcini punctuale
qa
z
qb
Simetria problemei
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 54
Două sarcini punctuale
O
x
y
z
ij
k
k
θ
ϕ
ur
uϕr
R
x rcosy rsinz z
= ϕ⎧⎪ = ϕ⎨⎪ =⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 55
2 sarcini
Simetriecilindrică
(axială)
z
x
yO
qa
qb
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 56
2 sarcini
= + + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
πε ⎝ ⎠⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
p p p
a p p p p r p a a
b p p p p r p b b
a ba b
0 a b
a ba b a b3 3
0 a b
R x i y j z k,R R
d dR x i y j z k r u z k,R R2 2d dR x i y j z k r u z k,R R2 2
1 q qV V V4 R R
1 R RE E E q q4 R R
z
x
yO
qa
qb
P Ra
Rb
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 57
2 sarcini
a b1 1
2 20 2 22 2p p p p
a p r p b p r p
3 32 20 2 2
2 2p p p p
1 q qV4
d dr z r z2 2
d dq r u z k q r u z k2 21E
4d dr z r z2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬
πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +⎨
πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎫⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪
⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
qb qaO
θb0 θa0
θb
θa
z
r
(Σ)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 59
Unghiul solid
Ω
θ R
R sin(θ)
R cos(θ)
h=R [1-cos(θ)]
( )2calota sfericaS 2 Rh 2 R 1 cos= π = π ⎡ − θ ⎤⎣ ⎦
( )calota sferica2
S2 1 cos
RΩ = = π ⎡ − θ ⎤⎣ ⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 60
2 sarcini
a aa
0
q4Ω
Φ = −ε π
qb qaO
θb0θa0
θb
θa
z
r
(Σ)
b bb
0
q4Ω
Φ =ε π
a bΦ = Φ + Φ
( )( )
a a
b b
2 1 cos
2 1 cos
Ω = π ⎡ − π − θ ⎤⎣ ⎦Ω = π − θ
a a b bq cos q cos Cθ + θ =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 61
Problemă
Fie q1 şi q2 două sarcini electrice punctiforme de semne contrare. Din A porneşte o linie de câmp ce formează cu dreapta ce uneşte sarcinile unghiul θ1.Să se calculeze unghiul θ2 pe care îl va face această linie de câmp cu dreapta AB în punctul B. Sub ce unghi minim θ0 pleacă din A o linie de câmp care nu ajunge în B? Ce unghi va face această linie de câmp cu axa Oz la infinit?
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 62
Problemă
Două sarcini punctiforme identice de mărime q se află la distanţa 2d.Cât de mult se va apropia linia de câmp ce formează la plecarea din sarcina q unghiul a cu dreapta ce uneşte sarcinile pe planul de simetrie (dmin).Calculaţi unghiul dintre linia de câmp şi planul de simetrie al sistemului departe de sarcini, în funcţie de d.Pentru puncte situate departe de sistem calculaţi intensitatea câmpului electric şi potenţialul.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 63
Suprafeţe echipotenţialea b
o o1 12 22 2
2 2p p p p
q q 4 Vd dr z r z2 2
+ = πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a
b
qn=q
o o1 1
2 2 b2 22 2p p p p
1 1 4 Vnq
d dr z r z2 2
πε+ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
n = n−
0V = 0
1 12 22 2
2 2p p p p
1 1nd dr z r z2 2
=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 64
Suprafeţe echipotenţiale
2 22 2p p p 2
d n 1r z z d 0 pentru n 14 n 1
++ + + = ≠
−
( )22 2p p c or z z r+ − =
( )2
c 2
n 1z d2 n 1
+= −
−o 2
nr dn 1
=−
Se observă că suprafaţa echipotenţială sferică V0=0 înconjoară sarcina în modul mai mică.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 65
Suprafeţe echipotenţiale
x
yO
qb
qa
z
C(0,0,zc)
0 2
nr dn 1
=−
a
b
qn = 1q
<
( )2
c 2
n 1z d 0 dacă n 12 n 1
+= − > <
−
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 66
Distribuţii continue
•Distribuţii liniare
•Segment liniar, inel circular
•Distribuţii superficiale
•Disc, plan, sferă,
•Distribuţii volumice
•Sferă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 67
Distribuţii liniare
Simetrie axială!
z
A B
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 68
Segment
Q(z,0)
P(zp,rp)
A(-d/2,0) B(d/2,0) O
dz
z
r
Rqp
d/2
qpp 3
0 qpd/2
R1E dz4 R
−
= λπε ∫( )qp p p rR z z k r u= − +
dq
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 69
Segment
d/2
qpp 3
0 qpd/2
R1E dz4 R
−
= λπε ∫
( )qp p p rR z z k r u= − +
dq
( )( )
d/2
p p p r 3/22 20p pd/2
1 dzE z z k r u4 z z r
−
λ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( )
d/2
ppr 3/22 20
p pd/2
r dz1E4 z z r
−
λ=
πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( )( )
d/2
ppz 3/22 20
p pd/2
z z dz1E4 z z r
−
− λ=
πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( )3/2 2 2 22 2
d Ca aa
ξ ξ= +
ξ +ξ +∫( )3/2 2 22 2
d 1 Caa
ξ ξ= − +
ξ +ξ +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 70
Segment
( )( )
( )
( )( )
d/2 d/2
pp ppr 3/2 3/22 22 20 0
p p p pd/2 d/2
d/2
p ppp
2 2 22 20 0 p 2 2p p pp p p pd/2
d z zr dz r1E4 4z z r z z r
d dz zz zr 2 24 4 r d dr z z r z r z r
2 2
− −
−
−λ λ= = =
πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−λ λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = −⎨πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥ − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
p p
2 20 p 2 2
p p p p
d dz z2 2
4 r d dz r z r2 2
⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪λ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎨ ⎬
πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
( )3/2 2 2 22 2
d Ca aa
ξ ξ= +
ξ +ξ +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 71
Segment
( )( )
( ) ( )( )
( )
d/2 d/2
p p ppz 3/2 3/22 22 20 0
p p p pd/2 d/2
d/2
p p
2 2 220 0 p 2 2p pp p p pd/2
z z dz z z d z z1E4 4z z r z z r
r r14 4 r d dz z r z r z r
2 2
4
− −
−
− λ − −λ= = − =
πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪λ λ ⎪ ⎪= = − =⎨ ⎬
πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥ − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
λ=
πε
∫ ∫
p p
2 20 p 2 2
p p p p
r rr d dz r z r
2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
( )3/2 2 22 2
d 1 Caa
ξ ξ= − +
ξ +ξ +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 72
Câmpul total
P(zp,rp)
A(-d/2,0) B(d/2,0) O
Epz
z
r Epr
p p
pr 2 20 p 2 2
p p p p
d dz z2 2E
4 r d dz r z r2 2
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪λ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎨ ⎬
πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
p ppz 2 2
0 p 2 2p p p p
r rE
4 r d dz r z r2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬
πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 73
Formulă simplificată P(d/2,rp)
A(-d/2,0) B(d/2,0)
O z
r
Epz
Epr
α
rp
d
2 2pd r+
pr 2 20 p p
dE4 r d r
λ=
πε +
ppz 2 2
0 p p
rE 1
4 r d r
⎧ ⎫λ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬πε +⎪ ⎪⎩ ⎭
( )2 2
p
dsind r
α =+
( ) p
2 2p
rcos
d rα =
+
pdz2
=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 74
Formulă simplificată
O
z
r
Epz
Epr
α+
α
( ) ( )pr0 p
E sin sin4 r + −
λ= ⎡ α + α ⎤⎣ ⎦πε
( ) ( ){ }
( ) ( )
pz0 p
0 p
E 1 cos 1 cos4 r
cos cos4 r
− +
+ −
λ= ⎡ − α ⎤ − ⎡ − α ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦πε
λ= ⎡ α − α ⎤⎣ ⎦πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 75
Cazul simetric
O
z
r
Epr
α α
( )pr0 p
E 2sin4 r
λ= α
πε
pzE 0=
Fir infinit 2π
α →
pr0 p
E2 r
λ=
πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 76
Cazul simetric(distribuţie liniară infinită)
z
n E
r
L
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 77
Cazul simetric(distribuţie liniară infinită)
z
n E
r
L
r0
L2 rLE λΦ = π =
ε
r0 p
E2 r
λ=
πε
r r0
dVE dV E dr drdr 2 r
λ= − ⇒ = − = −
πε
0
V lnr C2
λ= − +
πε
0 00
r r ,V 0 C lnr2
λ= = ⇒ =
πε
0
0
rV ln2 r
λ=
πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 78
Inel
Q
P(0,0,zp)
Rqp
θ
ϕ
dϕ
x
y
z
r0
2
0
0 qp0
r dV4 R
π
λ ϕ=
πε ∫2 2
qp 0 pR r z= +
2
0 0 02 2
0 qp 0 qp 0 0 p0
r r rV d 24 R 4 R 2 r z
π
λ λ λ= ϕ = π =
πε πε ε +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 79
Calculul câmpului electric pe axa inelului
02 2
0 0 p
rV2 r zλ
=ε +
Q
P(0,0,zp)
Rqp
θ
ϕ
dϕ
x
y
z
r0
( )
( )
3/22 2z 0 0 p p
p 0
20 p 2
3/22 20 0 0 00 p
V 1E r r z 2zz 2 2
r zsin cos
2 r 2 rr z
−∂ λ ⎛ ⎞= − = − − + =⎜ ⎟∂ ε ⎝ ⎠
λ λ= = θ θ
ε ε+
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 80
Calcul prin integrare
02
0 qp
r ddE4 R
λ ϕ=
πε
Q
P(0,0,zp)
Rqp
θ
ϕ
dϕ
x
y
z
r0
dEx
dEz
dEy
dE
θ ϕ
xdE dEsin cos= − θ ϕ
ydE dEsin sin= − θ ϕ
zdE dEcos= θ
0
qp
rsinR
θ =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 81
Rezultate din integrare
π
λ θ= − ϕ ϕ =
πε ∫2
0x 2
0 qp0
r sinE cos d 04 R
π
λ θ= − ϕ ϕ =
πε ∫2
0y 2
0 qp0
r sinE sin d 04 R
2
20z 2
0 qp 0 00
r cosE d sin cos4 R 2 r
π
λ θ λ= ϕ = θ θ
πε ε∫
xdE dEsin cos= − θ ϕ
ydE dEsin sin= − θ ϕ
zdE dEcos= θ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 82
Disc încărcat uniform (potenţialul)
P(0,0,zp)
θ
x
y
z
r0
r
dr
2 20 p
2 rdrdV4 r z
σ π=
πε +
( )0 0r r
2 2 2 2p 0 p p2 2
0 0 0p0 0
22 2 2 200 p p 0 p p2 2
0 0 0 0
rdrV d r z r z z2 2 2r z
r Qr z z r z z2 r 2 r
σ σ σ ⎡ ⎤= = + = + − =⎣ ⎦ε ε ε+
σπ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦πε πε
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 83
Disc (câmpul electric pe axă)
p p2 2z 0 p p2 2 2 2
p p 0 0 0 0 p 0 p
z zV Q QE r z zz z 2 r 2 r z r z
⎡ ⎤⎧ ⎫∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − = − + − = −⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂ πε πε +⎩ ⎭ ⎣ ⎦
p pp pz 2 2 2 2 2
0 0 p 0 p0 p 0 p
p pp
2 20 p 0 p0 p
0
z zz zQE2 r z 2 zr z r z
z zz2 2 cos
4 z 4 zr z
4
⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥πε ε+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= π − = π − θ =⎢ ⎥πε πε ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎣ ⎦
σ Ω=
ε π
P(0,0,zp) θ
x
y
z
Ω
-k
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 84
Cazuri particulare
P(0,0,zp) θ
x
y
z
Ω
-k
z0
E4
σ Ω=
ε π
Când raza tinde la infinit sau când distanţa faţă de disc tinde la zero
2Ω → π z0
E2σ
=ε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 85
x
y
z
σ
n S
Planul infinit (suprafaţă Gauss)
Simetrie !Datorită simetriei rezultă că avem doar câmp normal la plan, având aceiaşi valoare la o distanţă dată de acesta
dd
Φ = Φ + Φ =
Φ =Φ =
total baza supr.laterala z
baza z
supr.laterala
2 2E S
E S0
total0 0
Q SσΦ = =
ε εz
0
E2σ
=ε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 86
Distribuţie sferică superficială
P
z
Simetrie
Film Câmpul sarcinilor distribuite sferic
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 87
Calcul prin integrare (exemplu)
P(0,0,zp)
z
dθ
θ
R0 sinθ
R0 cosθ R0
zp- R0 cosθ
Q
O
( )0 0
2 20 0 0
2 sin14 2 cosp p
R R ddV
z R z R
σ π θ θ=
πε + − θ
2 2 20 02 cosp pt z R z R= + − θ
02 2 sinptdt z R d= θ θ
( )max
min
20 0
max min0 0 02 2
t
p pt
R RV dt t tR z z
σ σ= = −
ε ε∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 88
Calcul (continuare)
P(0,0,zp)
z
dθ
θ
R0 sinθ
R0 cosθ R0
zp- R0 cosθ
Q
O
A) Punct în exterior
0pz R>min 0pt z R= −
max 0pt z R= +
( )
( )
0 0max min 0
0 0
20
0 0
22 2
44 4
p p
p p
R RV t t Rz z
R Qz z
σ σ= − = =
ε ε
σ π= =
πε πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 89
Calcul (continuare)
P(0,0,zp)
z
dθ
θ
R0 sinθ
R0 cosθ R0
zp- R0 cosθ
Q
O
B) Punct în interior
0pz R< min 0 pt R z= −
max 0 pt R z= +
( )
( )
0 0max min
0 0
20
0 0 0 0
22 2
44 4
pp p
R RV t t zz z
R QR R
σ σ= − = =
ε ε
σ π= =
πε πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 90
Rezultat
00 0
00
.4
( ).
4
Q ptr R RR
V RQ ptr R R
R
⎧ ≤⎪ πε⎪= ⎨⎪ >⎪ πε⎩
P(0,0,zp)
z
dθ
θ
R0 sinθ
R0 cosθ R0
zp- R0 cosθ
Q
O
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 91
Câmpul sferei încărcate uniform
0
020
0 .( )
.4
R
ptr R RE R Q ptr R R
R
≤⎧⎪= ⎨ >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 92
Calcul cu teorema lui Gauss
E
n
R0
Ri
Re 20
0
20 0
02
0
4 .
4 .2
4 0 .
R e
R
R i
QE R ptr R R R
QE R ptr R R
E R ptr R R R
⎧ π = = >⎪ ε⎪⎪
Φ = π = =⎨ ε⎪⎪ π = = <⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 93
Sferă (distribuţie volumică)
E
n
R0
Ri
Re
32 0
00
32 00 0
03
20
0
414 .3
414 .3
1 44 .3
R e
R
R i
RE R ptr R R R
RE R ptr R R
RE R ptr R R R
⎧ ππ = ρ = >⎪ ε⎪
⎪ π⎪Φ = π = ρ =⎨ ε⎪⎪ π⎪ π = ρ = <
ε⎪⎩
020 0 0
020
.4
.4
R
Q R ptr R RR R
EQ ptr R R
R
⎧ ≤⎪ πε⎪= ⎨⎪ >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 94
Potenţialul
020 0 0
020
.4
.4
R
Q R ptr R RR RdVE
QdR ptr R RR
⎧ ≤⎪ πε⎪= − = ⎨⎪ >⎪ πε⎩
020 0 0
020
.4
.4
dV Q R ptr R RdR R RdV Q ptr R RdR R
⎧ = − ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = − >⎪ πε⎩
2
1 020 0 0
2 00
.4 2
.4
Q RV C ptr R RR R
QV C ptr R RR
⎧= − + ≤⎪ πε⎪
⎨⎪ = + >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 95
Calcul
Condiţii la limită !!!
0 00 0
R R R RR R R R
V V= =< >
=
0R
V→∞
=
2
20
120 0 0 0 0
10 0
0
4 2 432 4
CRQ QC
R R RQC
R
=
− + =πε πε
=πε
2
1 020 0 0
2 00
.4 2
.4
Q RV C ptr R RR R
QV C ptr R RR
⎧= − + ≤⎪ πε⎪
⎨⎪ = + >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 96
Rezultate
2
020 0 0
00
3 .4 2 2
.4
Q RV ptr R RR R
QV ptr R RR
⎧ ⎛ ⎞= − ≤⎪ ⎜ ⎟πε⎪ ⎝ ⎠⎨
⎪ = >⎪ πε⎩
020 0 0
020
.4
.4
R
R
Q RE ptr R RR R
QE ptr R RR
⎧ = ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 97
Potenţialul electric
• Electrostatică– Teorema lui Gauss în forma locală– Ecuaţiile lui Laplace şi Poisson– Energia câmpului electrostatic
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 98
Teorema lui Gauss în forma locală
( )0
qE dSΣ
ΔΔΦ = ⋅ =
ε∫
0 00 0
1lim limv v
qdiv Ev vΔ → Δ →
ΔΦ Δ ρ= = =
Δ ε Δ ε
( ) ( )
div E dv E dSΩ Σ
= ⋅∫ ∫ (Ω)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 99
Divergenţa în coordonate carteziene
B(x0+Δx/2, y0+Δy, z0+Δz/2)
A(x0+Δx/2, y0, z0+Δz/2)
x
y
z
R0
Δz
Δx
Δy
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 100
div (calcul)
B(x0+Δx/2, y0+Δy, z0+Δz/2)
A(x0+Δx/2, y0, z0+Δz/2)
x
y
z
R0
Δz
Δx
Δy
( )y A B yA yB
yB yA
E x z E x z
E E x z
Φ = Φ + Φ = − Δ Δ + Δ Δ =
= − Δ Δ
( )0 0 0 0 0 0
0 0 0, , , ,
, ,2 2
y yyA y
x y z x y z
E Ex zE E x y zx z
∂ ∂Δ Δ= + +
∂ ∂
( )0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0, , , , , ,
, ,2 2
y y yyB y
x y z x y z x y z
E E Ex zE E x y z yx y z
∂ ∂ ∂Δ Δ= + + Δ +
∂ ∂ ∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 101
div (calcul)
B(x0+Δx/2, y0+Δy, z0+Δz/2)
A(x0+Δx/2, y0, z0+Δz/2)
x
y
z
R0
Δz
Δx
Δy
( )y A B yA yB
yB yA
E x z E x z
E E x z
Φ = Φ + Φ = − Δ Δ + Δ Δ =
= − Δ Δ
( )0 0 0
0 0 0
, ,
, ,
yy yB yA
x y z
y
x y z
EE E x z y x z
y
Ev
y
⎡ ⎤∂Φ = − Δ Δ = Δ Δ Δ =⎢ ⎥
∂⎢ ⎥⎣ ⎦∂
= Δ∂
0 0 0, ,
xx
x y z
Evx
∂Φ = Δ
∂0 0 0, ,
zz
x y z
Evz
∂Φ = Δ
∂
0 0 0, ,
yx ztotal
x y z
EE Evx y z
∂⎛ ⎞∂ ∂Φ = Δ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
yx zEE Ediv Ex y z
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 102
Rotorul
( )
0C E dlΓ
Δ = ⋅ =∫
( )0
lim 0Sn
Crot ESΔ →
Δ= =
Δ
( ) ( )
rot E dS E dlΣ Γ
⋅ = ⋅∫ ∫ (Γ)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 103
rot (calcul)
x
y
z
R0
Δz
Δx
Δy A B
CD
M NPQ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 104
rot (calcul)
x
y
z
R0
Δz
Δx
ΔyA B
CD
M NPQ
ABCDA AB BC CD DA
yM xN yP xQ
C C C C C CE y E x E y E x
Δ = = + + + == Δ − Δ − Δ + Δ
( )0 0 0 0 0 0
0 0 0, , , ,
, ,2
y yyM y
x y z x y z
E EyE E x y z xx y
∂ ∂Δ= + Δ +
∂ ∂
( )0 0 0
0 0 0, ,
, ,2
yyP y
x y z
EyE E x y zy
∂Δ= +
∂
( )0 0 0 0 0 0
0 0 0, , , ,
, ,2
x xxN x
x y z x y z
E ExE E x y z yx y
∂ ∂Δ= + + Δ
∂ ∂
( )0 0 0
0 0 0, ,
, ,2
xxQ x
x y z
ExE E x y zx
∂Δ= +
∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 105
rot (calcul)
x
y
z
R0
Δz
Δx
ΔyA B
CD
M NPQ
( ) ( )yM yP xN xQ
y x
y x
C y E E x E E
E Ey x x yx yE Ex yx y
Δ = Δ − − Δ − =
∂ ∂= Δ Δ − Δ Δ =
∂ ∂
∂⎛ ⎞∂= Δ Δ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( ) y x
z
E Erot Ex y
∂⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
x y z
i j k
rot E Ex y z
E E E
∂ ∂ ∂= = ∇ ×
∂ ∂ ∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 106
EcuaţiaPoisson. Ecuaţia Laplace
0
div E ρ=
ε
0rot E = E gradV= −
( )0
div gradV ρ− =
ε
0
V ρ∇ ⋅ ∇ = −
ε0
V ρΔ = −
ε
0VΔ =
2 2 2
2 2 2 0V V Vx y z
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 107
Condiţii la limită. Soluţia ecuaţiei Laplace.
0VΔ =Condiţii la limită
•Dirichlet
•Neumann
•mixte
( )0frontiera domeniuluiV V R=
( )'0
frontiera domeniului
V V Rn
∂=
∂
Într-un anumit domeniu din spaţiu
Soluţie unică în domeniul respectiv!!! ( )V R
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 108
Exemplu
(Ω) R0
Re 00 .V pt R RΔ = ≥
00
0R R
R
V V
V=
→∞
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 109
Coordonate sferice
p p p p
p p p p
p p p
x R sin cosy R sin sinz R cos
⎧ = θ ϕ⎪ = θ ϕ⎨⎪ = θ⎩
x
y
z
Oi
j
k
uR
θ
ϕ
uϕ
uθ
r
R
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 110
Coordonate curbilinii ortogonale
x
y
z
O i
j
k
uR
θ
ϕ
uϕ
uθ
r
RdR
uR
uϕ
uθ
r
RdR
sinRdR dR u Rd u R d uθ ϕ= + θ + θ ϕ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 111
Exemplu ... revenire
00 .V pt R RΔ = ≥
00
0R R
R
V V
V=
→∞
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
(Ω)R0
Re
22
2 2 2 2 2
22
1 1 1sinsin sin
1
f f ff RR R R R R
d dfRR dR dR
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = + θ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Simetrie sferica!
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 112
Soluţie
( )
22
0 0
1 0
0R
d dVRR dR dRV R V
V→∞
⎧ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩
21
dVR CdR
=
12
dV CdR R
=
12
CV CR
= − +C2=0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 113
Soluţie (continuare)
( )
22
0 0
1 0
0R
d dVRR dR dRV R V
V→∞
⎧ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩
10
0
CVR
= −
00
RV VR
=
12
CV CR
= − +
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 114
Câmpul departe de un sistem de sarcini
= + + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
πε ⎝ ⎠
p p p
a p p p p r p a a
b p p p p r p b b
a ba b
0 a b
a ba b a b3 3
0 a b
R x i y j z k,R R
d dR x i y j z k r u z k,R R2 2d dR x i y j z k r u z k,R R2 2
1 q qV V V4 R R
1 R RE E E q q4 R R
z
x
yO
qa
qb
P Ra
Rb
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 115
2 sarcini
a b1 1
2 20 2 22 2p p p p
a p r p b p r p
3 32 20 2 2
2 2p p p p
1 q qV4
d dr z r z2 2
d dq r u z k q r u z k2 21E
4d dr z r z2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬
πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +⎨
πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎫⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪
⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 116
Ce se întâmplă la distanţe mari?
p p
p p
p p p
1 1r ,z d 2 20 2 22 2p p p p
1 1r ,z d 2 20 2 22 2 2 2p p p p p p
R ,r ,z d0 p
q 1 1V lim4
d dr z r z2 2
q 1 1lim4 d dr z z d r z z d
4 4
q 1lim4 R
1
>>
>>
>>
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= − =⎨ ⎬
πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬
πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
=πε 1 1
2 22 2p p2 2 2 2p p p p
1
z d z dd d1R 4R R 4R
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 117
Continuare
p p p1 1R ,r ,z d
0 p 2 22 2p p2 2 2 2p p p p
p p p2 2 3
0 p p p 0 p
q 1 1V lim4 R z d z dd d1 1
R 4R R 4R
z d z d qz dq 1 14 R 2R 2R 4 R
>>
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= − =⎨ ⎬
πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪≈ + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε πε⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
pe 3
0 p
R1V p4 R
= ⋅πε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 118
Formule generale
pe 3
0 p
R1V p4 R
= ⋅πε
( )e p p e5 3
0 p p
3 p R R1 pE grad V4 R R
⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥πε⎣ ⎦
Temă... Calculaţi E
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 119
În plan
p ee 3 2
0 p 0 p
R1 p cosV p4 R 4 R
θ= ⋅ =
πε πε
eR 3
p 0 p
e3
p 0 p
V 2p cosER 4 R
V p sinER 4 Rθ
∂ θ⎧ = − =⎪ ∂ πε⎪⎨ ∂ θ⎪ = − =⎪ ∂θ πε⎩
θ z
r
R
E
ER Eθ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 120
Ecuaţia liniei de câmp
( ) ( )( )
00
0
R R
R
R R R
R
R
E E u E u
dl dR u Rd u
E dlE u E u dR u Rd u
E Rd u E dR u
Rd dRE E
θ θ
θ
θ θ θ
ϕ θ ϕ
θ
= +
= + θ
× =
+ × + θ =
θ + − =
θ=θ z
r
R
E
ER Eθ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 121
Ecuaţia liniei de câmp
eR 3
p 0 p
e3
p 0 p
V 2p cosER 4 R
V p sinER 4 Rθ
∂ θ⎧ = − =⎪ ∂ πε⎪⎨ ∂ θ⎪ = − =⎪ ∂θ πε⎩
R
Rd dRE Eθ
θ=
( )
( ) ( )2
sin 2cos2cos
sin2 sin
sinln sin ln
Rd dR
d dRR
d dRR
d d R
θ=
θ θθ θ
=θ
θ=
θ⎡ ⎤θ =⎣ ⎦
2sinR k= θ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 122
Linii de câmp
2sinR k= θ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 123
Energia câmpului electric
q,V
W qV=
În câmp electric EXTERIOR
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 124
Energia unui sistem de n sarcini
q1,V12 q2,V21
( ) ( )2 21 1 12 1 12 2 21 1 1 2 21 12 2
W q V q V q V q V q V q V= = = + = +
( )1 1 2 2
1
1 1...2 2
n
n n i i
i
W q V q V q V q V=
= + + + = ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 125
Energia unui sistem de sarcini distribuite
( )012 2
W Vdv div E Vdvε= ρ =∫ ∫
0
div E ρ=
ε( ) ( )div VE V div E E gradV= + ⋅
( )div VE dv VE dS= ⋅∫ ∫
( ) ( )0
2W div VE dv E gradV dv⎡ ⎤ε
= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 126
Continuare
( )div VE dv VE dS= ⋅∫ ∫Dacă se integrează pe întreg spaţiul ...
1VR
≈ 2
1ER
≈ 2S R≈
Integrala tinde la zero !
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 127
Continuare
( ) ( )0
2W div VE dv E gradV dv⎡ ⎤ε
= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
20
2W E dvε
= ∫20
2w Eε
=Densitatea de energie
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 128
Exemple
12
W Vdv= ρ∫ 20
2W E dvε
= ∫
1. Sferă încărcată superficial 2
0 0 0 0
1 1 1 1 12 2 4 2 4s
Q QW V dS dSR R
= σ = σ =πε πε∫ ∫
Metoda 1
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 129
Exemple
≤⎧⎪= ⎨ >⎪ πε⎩
0
020
0 .1 .
4
pt R RE Q pt R R
R
0
2 2 20 0
0
2 220
20 0 0
42 2
142 4 2 4
R
W E dv E R dR
Q QR dRR R
∞
∞
ε ε= = π =
⎛ ⎞ε= π =⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠
∫ ∫
∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 130
Exemple
2. Sferă încărcată în volum2
020 0 0
00
3 .4 2 2
.4
Q RV ptr R RR R
QV ptr R RR
⎧ ⎛ ⎞= − ≤⎪ ⎜ ⎟πε⎪ ⎝ ⎠⎨
⎪ = >⎪ πε⎩
020 0 0
020
.4
.4
R
R
Q RE ptr R RR R
QE ptr R RR
⎧ = ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 131
Exemple
0
22
20 0 0
22
20 0 0
0
3 50 0
20 0 0
230
0 0 0 0
1 1 3 42 2 4 2 2
1 342 4 2 2
1 3 142 4 2 3 2 5
1 1 1 34 1332 4 2 5 5 4
R
Q RW Vdv R dRR R
Q R R dRR R
R RQR R
Q QRR R
⎛ ⎞= ρ = ρ − π =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
⎛ ⎞= ρ π − =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
⎛ ⎞= ρ π − =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
⎛ ⎞= ρ π − =⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠
∫ ∫∫
20
2W E dvε
= ∫
2
020 0 0
00
3 .4 2 2
.4
Q RV ptr R RR R
QV ptr R RR
⎧ ⎛ ⎞= − ≤⎪ ⎜ ⎟πε⎪ ⎝ ⎠⎨
⎪ = >⎪ πε⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 132
Exemple
020 0 0
020
.4
.4
R
R
Q RE ptr R RR R
QE ptr R RR
⎧ = ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = >⎪ πε⎩
0
0
0
0
2 22 2 20 0
2 20 0 0 0
0
24
6 20 0
0
52 20
60 0 0 0 0
4 42 2 4 4
1 1 12 4
1 1 1 32 4 5 5 4
R
R
R
R
Q R QW E dv R dR R dRR R R
Q R dR dRR R
RQ QR R R
∞
∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε ⎢ ⎥= = π + π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥πε πε⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= + =⎢ ⎥πε⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
= + =⎢ ⎥πε πε⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 133
Câmpul electric în jurul conductorilor
• Conductori în electrostatică
• Teorema lui Coulomb
• Presiunea electrostatică
• Capacitatea electrică
• Condensatorul
• Influenţa electrostatică
• Metoda imaginilor
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 134
Linii de câmp
Experiment
Liniile de câmp sunt normale la suprafaţa conductorului
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 135
Conductori în electrostatică
•Sarcinile electrice se distribuie pe suprafaţa exterioară a conductorului
•Câmpul în interiorul conductorului este nul
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 136
Proprietăţi
•Câmp zero în interiorul conductorului
•Potenţialul constant
•Sarcina se distribuie la suprafaţă
•Liniile de câmp sunt normale la suprafaţă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 137
Teorema lui Coulomb
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 138
Câmpul în apropierea conductorului
0n
S E SσΔΦ = = Δ
ε
0nE σ
=ε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 139
Câmpul pe suprafaţa conductorului
02 nS E SσΔ
Φ = = Δε
02nE σ=
ε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 140
Câmpul
⎧⎪⎪⎪ σ
= ⎨ ε⎪⎪ σ⎪
ε⎩
0
0
0 în interior
pesuprafaţă2
înapropierea suprafeţei
nE
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 141
Presiunea electrostatică
( ) 2
02nSS E
pS
σΔ σ= =
Δ ε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 142
Densitatea de sarcină
Q1, R1 Q2, R2 211 2
0 1 0 2
21 1 1
22 2 2
222 21 1
0 1 0 2
1 1 2 2
4 4
4
4
444 4
constant
QQV VR R
Q RQ R
RRR R
R R
= = =πε πε
= σ π
= σ π
σ πσ π=
πε πεσ = σ =
Regulă: rază mică, densitate de sarcină mare
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 143
Capacitatea conductorului izolat
Q, V ,,
Q VnQ nV
QCV
=
Principiul superpoziţiei
11 ( )1SI
CC F faradV
= =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 144
Influenţa electrostatică
-Q
Q
Elemente corespondente
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 145
Influenţa totală
Q
-Q
Ecranul electric
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 146
Metoda imaginilor
q0
V=0
O
z
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 147
Cazul planului infinit
q0
V=0
O
z
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 148
Problema echivalentă
q0
V=0
O
z
-q0
R0
d
d
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 149
Soluţia celor două probleme ...
q0
V=0
O
z
q0
V=0
O
z
-q0
R0
d
d
Când R0 tinde la infinit ...
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 150
Câmpul şi potenţialul
R+
R-
P(zp,rp)
q0-q0
r
O
03 3
04q R RE
R R+ −
+ −
⎛ ⎞= −⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
0
0
1 14qV
R R+ −
⎛ ⎞= −⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
( )( )
±
±
= +
= +
∓
∓22
p r p
p p
R r u z d k
R r z d
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 151
Densitatea de sarcină de influenţă
R+
R-
P(zp,rp)
q0-q0
r
O
( )( )
( )
00 0 3/20 2 2
0
0 0 03/2 2 22 2
0 0 0
24
12
i z izp
p pi i p p
pp
q dE rr d
r drQ r dr q d q d q
r dr d
=
∞∞ ∞
σ = ε = σ = − επε +
⎛ ⎞⎜ ⎟= σ π = − = − − = −⎜ ⎟++ ⎝ ⎠
∫ ∫
( )3/2 2 22 2
d 1 Caa
ξ ξ= − +
ξ +ξ +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 152
Densitatea de sarcină
rp
zp
q0
z
Sarcina de influenţă totală este -q0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 153
Sfera conductoare. Cazul I
x
y
zq0
z0
R0
(Σ)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 154
Problema
V=0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 155
Problema echivalentă
x
y
zq0
z0
R0
q’0z’0
q0
z0 V=0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 156
Problemele echivalente
V=0
V=0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 157
Calcul
q’0z’0
q0
z0 V=0P
θp
R0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 158
Continuare
( ) ( )
( ) ( )
'0 0
2 2 2 '2 '0 00 0 0 0 0 0 0 0
2 2 '2 ' '2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 ' '20 0 0 0
2 2 '2 '2 2 20 0 0 0 0 0
' 00 0
0
2' 00
0
1 1 0,4 42 cos 2 cos
2 cos 2 cos
p p
p
p
p
q qVR z R z R z R z
q R z R z q R z R z
q z q z
q R z q R z
Rq qz
Rzz
= + =πε πε+ − θ + − θ
⇒ + − θ = + − θ
⎧ =⎪⇒ ⎨+ = +⎪⎩
⎧ = −⎪⎪⇒ ⎨
θ
=
∀
⎪⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 159
Probleme
( )
( )
0
2 '0 0
0
2 sin
i R
i i p p
E
Q R d q
Σ
π
σ = ε
= σ θ π θ θ =∫Demonstraţi !!!
Puteţi demonstra SIMPLU utilizând teorema lui Gauss sau prin integrare directă.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 160
Sfera izolată
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 161
Cazul sferei izolate
V
q0
q’0
q’’0
'' ' 00 0 0
0
Rq q qz
= − =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 162
Problemă
Să se calculeze câmpul într-o cavitate sferică de rază R2 inclusă într-o sferă de rază R1 dacă distanţa dintre centre este a. Sfera de rază R1 din care se decupează sfera de rază R2 este încărcată uniform cu sarcini electrice uniform distribuite în volum cu densitatea ρ.
a
R2 R1
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 163
Sisteme de conductori
Q1, V1 Q2, V2
Q3, V3
Q4, V4 Qn, Vn
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 164
2 conductori
Q2, V2 Q1, V1
Principiul superpoziţiei Q2=C21, V2=0Q1=C11, V1=1 Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1
x V1=
Q2=C22, V2=1Q1=C12, V1=0 Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0
x V2=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 165
2 conductori
Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1 Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0
Q2=C21 V1 +C22 V2, V2 Q1= C11 V1 + C12 V2, V1
+
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Q C V C VQ C V C V
= +⎧⎨ = +⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 166
Condensatorul
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V p Q p QV p Q p Q
= +⎧⎨ = +⎩
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Q C V C VQ C V C V
= +⎧⎨ = +⎩
Condensator = sistem format din două conductoare izolate între ele şi încărcate cu sarcini egale şi de semne contrare.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 167
Condensatorul
= +⎧= = −⎨ = +⎩
= −⎧⎨ = −⎩
1 11 1 12 21 2
2 21 1 22 2
1 11 12
2 21 22
, ;V p Q p Q
Q Q Q QV p Q p Q
V p Q p QV p Q p Q
( )1 11 22 12 212
1QCV V p p p p
= =− + − −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 168
Condensatorul plan
0 0
0
Q UES dSQC
U d
σ= = =
ε εε
= =
+Q
-Q
E
d U
S
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 169
Condensatorul sferic
R1
R2
U
2 2
1 1
20
20 0 1 2
0 1 2
2 1
4
1 14 4
4
R
R R
R
R R
QER
Q dR QU E dRR R R
R RQCU R R
=πε
⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟πε πε ⎝ ⎠
πε= =
−
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 170
Condensatorul cilindric
λ= =
πε πε
= = =πε πε
πε= =
∫ ∫2 2
1 1
0 0
2
0 0 1
0
2
1
2 2
ln2 4
2
ln
r
r r
r
r r
QEr rL
rQ dr QU E drr L r
LQC rUr
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 171
Sistem de două conductoare sferice
Q1
Q2
R1
R2
d
11
0 1
22
0 2
110 1
220 2
12 21
4
41
41
40
QVR
QVR
pR
pR
p p
=πε
=πε
=πε
=πε
= =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 172
Continuare
211
0 1 0
212
0 0 2
110 1
220 2
12 210
4 4
4 41
41
41
4
QQVR d
QQVd R
pR
pR
p pd
⎧ = +⎪ πε πε⎪⎨⎪ = +⎪ πε πε⎩
=πε
=πε
= =πε
21 21
1 0 1 0 22 21 2 1 2
21 2 2
2 0 1 0 22 21 2 1 2
21
11 0 21 2
22
22 0 21 2
1 212 21 0 2
1 2
4 4
4 4
4
4
4
dR Rd RQ V Vd R R d R R
dR R d RQ V Vd R R d R R
d RCd R R
d RCd R R
dR RC Cd R R
⎧= πε − πε⎪ − −⎪
⎨⎪ = − πε + πε⎪ − −⎩
= πε−
= πε−
= = − πε−
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 173
Energia
( )
( )
1
1 2
2 2
1 2
0
2 220 0 0
12
2
2 2 2 2
2 2 2
n
i i
i
W QV
nQ Q Q
Q QU CU QW V VC
SCd
U EdS E EW Ed Sd vd
=
=
== − =
= − = = =
ε=
=
ε ε ε= = =
∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 174
Lucrul mecanic (Q=const.)
dx
F
Q
2
0
2
0
2
0
2
0 02
0
.
2
2
2
2 2
2
s
Q const
QFdx dW dC
SCx
QdW d xS
QFdx dxS
QF Q QES
F pS S
=
⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ε
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠
= −ε
σ= − = − = −
ε ε
σ= − = −
ε
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 175
U=const.
dx
F
U
x ( )2
2
0
220 0
2
20
2
.
2
2
2 2
2
U constU dCU UdC Fdx
U dCFdx
SCx
S SUUFdx d dxx x
SUFx
=
= +
=
ε=
ε ε⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
ε= −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 176
Gruparea condensatoarelor (in serie)
U
U1 U2 U3
−Q +Q −Q −Q+Q +Q
1 2 31 2 3
1 2 3
1 1 1 1echivalent
echivalent
Q Q Q QU U U UC C C C
C C C C
= + + = = + + ⇒
⇒ = + +
1
1 1n
s iiC C
=
= ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 177
Gruparea condensatoarelor (in paralel)
U
−Q1 +Q1
−Q2 +Q2
−Q3 +Q3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
echivalent
echivalent
Q Q Q Q C U C U C U C UC C C C= + + = = + + ⇒
⇒ = + +
1
n
p i
i
C C=
= ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 178
Problema 9.1
B
1 2 3
4
56
A
Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.
Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 179
Problema 9.2
B 1
2 3
4 5 6
A
Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.
Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 180
Transformarea triunghi-stea
C1
C2 C3
C12C31
C23
1 1
22 33
12 311 12 31
23
23 122 23 12
31
31 233 31 23
12
C CC C CC
C CC C CC
C CC C CC
⎧= + +⎪
⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪
= + +⎪⎪⎩
1 212
1 2 3
2 323
1 2 3
3 131
1 2 3
C CCC C C
C CCC C C
C CCC C C
⎧=⎪ + +⎪
⎪⎪ =⎨ + +⎪⎪
=⎪+ +⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 181
Alte reguli ...
1. Se aplică legea conservării sarcinii în nodurile reţelei
2. Pentru ochiuri de reţea se poate scrie că suma căderilor de tensiune este zero
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 182
Problema 9.3
E
1
2
3
E
C
3C
K
Să se calculeze sarcinile electrice care traversează punctele 1, 2 şi 3 la închiderea întrerupătorului K. Se cunosc E şi C.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 183
Medii conductoare
Conductorii sunt corpuri în care mişcarea sarcinilor (curentul electric) apare sub acţiunea câmpului electric.
1827 Ohm I=U/R
R – rezistenţa electricăUΔL
r
ΔS1L LR
S Sρ
γΔ Δ
= =Δ Δ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 184
Forma diferenţială a legii lui Ohm
1
1
LU RI j SS
UL
j EjE
γ
γγ
ργ
=
Δ= = Δ
Δ
= = ⇒Δ
=
1. Dielectrici γ<10-5(Ωm)-1
2. Semiconductori 10-5<γ<103(Ωm)-1
3. Conductori 103<γ (Ωm)-1
I j dSΣ
= ⋅∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 185
Rezistivitatea metalelor
5.0 107 (Ωm)-1
1.5 107 (Ωm)-1
6.2 107 (Ωm)-1
1.0 107 (Ωm)-1
5.8 107 (Ωm)-1
3.6 107 (Ωm)-1
2.0 10-8 (Ωm)Aur
6.8 10-8 (Ωm)Nichel
1.6 10-8 (Ωm)Argint
1.0 10-7 (Ωm)Fier
1.7 10-8 (Ωm)Cupru
2.8 10-8 (Ωm)Aluminiu
rezistivitatea conductivitatea
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 186
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 187
Ecuaţia de continuitate
ΩQ ΔS
n j
0
0
V V V
V
div j
di
Q d
v jt
v dv j dS dt
dit
vt t
dvv j
ρ
ρ
ρ ρ
Σ
∂∂
∂⎛ ⎞+⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∂ ∂= = = − ⋅ = −
∂ ∂
+∂
=
∂=
∫ ∫ ∫ ∫∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 188
Timp de relaxare
( )
( ) ( )
0
0 0
0 0
0
0 0 exp
div j div Et t
divEt
divE
t tt
ρ ρ γ
ρ γ
ρε
ρ ρ γγ ρ ρε ε
∂ ∂+ = ⇒ + =
∂ ∂∂⎧ + =⎪ ∂⎪
⎨⎪ =⎪⎩
⎛ ⎞∂+ = ⇒ = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
Exemplu: Cu γ=6,0 107 (Ωm)-1
ε0=8,8 10-12 F/m
ε0/γ=10-19 s (aprox.)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 189
Câmpul în interiorul unui conductor
În electrostatică E=0 în interiorul conductorilor.
Când există curenţi electrici în conductori, câmpul electric este diferit de zero.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 190
Câmpul electric în cazul c.c.
j Eγ= 0 0j E≠ ⇒ ≠
Simplificare: Conductori liniari filiformi
Câmpul electric are componentă tangenţială dar şi normală la suprafaţa conductorului parcurs de curent
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 191
Sarcini de suprafaţă şi de volum
Sarcinile de suprafaţă sunt sursele câmpului care există în conductor şi care asigură curentul în acesta.
Sarcinile de volum ... conductori neomogeni!
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 192
Mecanismul de generare a curenţilor
Sursa de tensiune electromotoare
• separă sarcinile pozitive de cele negative
• sarcinile de la bornele sursei nu creează direct câmpul electric în conductori dar asigură formarea unei distribuţii a sarcinilor pe conductori care să realizeze câmpul electric în interiorul acestora.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 193
Modificarea potenţialului în lungul conductorului
0 0j E≠ ⇒ ≠Potenţialul nu mai este constant într-un conductor!
TOTUŞI, câmpul în interiorul conductorului este creat de sarcini de suprafaţă care nu îşi schimbă densitatea în timp. Consecinţa este că acest câmp este câmp potenţial.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 194
Legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit
( ) ( ) 12
12 12
1 2V V El Uj jS Ij E E
S SIU l IRS
γγ γ γ
γ
− = =
= ⇒ = = =
= =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 195
Originea câmpului electromotor
Câmpul electric electromotor nu poate fi tot de origine electrostatică.
Dacă ar fi aşa, lucrul mecanic al forţei electrice de-a lungul unui contur închis ar fi nul.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 196
Legea lui Ohm pentru un circuit simplu
E,r
R
EE RI rI IR r
= + ⇒ =+
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 197
Efectul termic al curentului electric
22
dL UdQdQ IdtdL UIdt
dL UP UI RIdt R
===
= = = =
( )2
2 21V
l P jP j S P E j ES S l
γγ γ
Δ ΔΔ = Δ ⇒ = = = = ⋅
Δ Δ Δ
Forma locală
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 198
Circuite electrice. Legile lui Kirchhoff.
Circuite electrice...
Noduri ale reţelei (n)
Laturi ale reţelei (l)
K1...pentru noduri (n-1 ecuaţii)
K2...pentru ochiuri de reţea (l-n+1 ecuaţii)
0k
k k k
I
R I e
⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
∑∑ ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 199
Exemplu
E2,r2
R1 R2
E1,r1
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 200
Exemplu
E2,r2
R1 R2
E1,r1
I2
I1
I
1 2
1 1 2 1 1 1
1 2 2 2
I I IIR I R I r EIR I r E
+ =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 201
Metoda curenţilor pe ochiuri
E,r
R1 R2
R3 R4
Rd J1
J0
J2
A B C
D
0
0 1
0 2
1
2
1 2
r
AB
BC
DA
CD
BD
I JI J JI J JI JI JI J J
== += +=== −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 202
Metoda curenţilor pe ochiuri
E,r
R1 R2
R3 R4
Rd J1
J0
J2
A B C
D
( )( )
( )
0 1 2 1 1 2 2
0 1 1 1 3 2
0 2 1 2 2 4
0
0d d
d d
J r R R J R J R E
J R J R R R J R
J R J R J R R R
+ + + + =⎧⎪
+ + + − =⎨⎪ − + + + =⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 203
Continuare
( )( )
( )
0 1 2 1 1 2 2
0 1 1 1 3 2
0 2 1 2 2 4
0
0d d
d d
J r R R J R J R E
J R J R R R J R
J R J R J R R R
+ + + + =⎧⎪
+ + + − =⎨⎪ − + + + =⎩
( )( )
( )
1 2 1 2
1 1 3
2 2 4
0
1
2
00
d d
d d
r R R R RR R R R RR R R R
JJ
R
E
J
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣
+ ++ + −
⎦− + +
Este adaptabilă pentru punerea automată în ecuaţie.
Principiul superpoziţiei stărilor de echilibru.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 204
Sursa de tensiune, sursa de curent
e
v
iv
i e
i=j
v
iv
i j
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 205
Teorema lui Thévenin
O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este echivalentă cu un generator de tensiune cu tensiune electromotoare egală cu tensiunea în gol între A şi B şi de rezistenţă internă egală cu rezistenţa reţelei între A şi B.
B
A
B
e0
R0
A
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 206
Exemplu de calcul
E
R1 R2
R3 R4
Rd
A B C
D
Să se calculeze curentul prin Rd folosind teorema lui Thévenin.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 207
Calcul
3 41 20
1 2 3 4
R RR RRR R R R
= ++ +
R1 R2
R3 R4
A
B C
D
I
J
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 208
Calcul
E
R1 R2
R3 R4
A
B C
D
I
J
( ) ( )0 1 3B De V V IR JR= − = − − −
( )( )
1 2
3 4
1 4 2 30
1 2 3 4
eIR R
eJR R
R R R Re eR R R R
=+
=+
− +=
+ +
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 209
Rezultat
0
0 d
eiR R
=+
E
R1 R2
R3 R4
Rd
A B C
D
( )( )1 4 2 3
01 2 3 4
R R R Re eR R R R
− +=
+ +3 41 2
01 2 3 4
R RR RRR R R R
= ++ +
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 210
Teorema lui Norton
O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este echivalentă cu un generator de curent de intensitate egală cu cea în scurtcircuit între A şi B legat în paralel cu o rezistenţă internă egală cu rezistenţa reţelei între A şi B.
B
A
B
i0 R0
A
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 211
Probleme
r R R
C C
E,r
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 212
Transformarea triunghi-stea
⎧= + +⎪
⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪
= + +⎪⎪⎩
1 212 1 2
3
2 323 2 3
1
3 131 3 1
2
R RR R RR
R RR R RR
R RR R RR
⎧=⎪ + +⎪
⎪⎪ =⎨ + +⎪⎪
=⎪+ +⎪⎩
12 311
12 23 31
23 122
12 23 31
31 233
12 23 31
R RRR R R
R RRR R R
R RRR R R
R1
R2 R3
R12R31
R23
1 1
22 3 3
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 213
Problema 1
R R
R
R R
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 214
Electricitatea în atmosferă
E = 100 V/m
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 215
Electricitatea în atmosferă
• Diferenţa de potenţial totală între suprafaţa pământului şi limita superioară a atmosferei este de 400 kV
• Densitatea de curent 10-12 A/m2
• Curentul total 1800 A (spre suprafaţa pământului)• Ionosfera se află la aprox. 50 km• Furtunile (trăsnetele) aduc sarcinile negative pe pământ• La baza norilor sarcinile sunt în general negative. Se creează
diferenţe de potenţial de până la 100 MV în raport cu suprafaţa pământului (>>0.4MV)
• Un trăsnet transportă circa 25 C.• Curentul într-un fulger este de aprox. 10 kA
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 216
Câmpul sarcinilor electrice în mişcare
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 217
00
02F q
dλ
πε⊥′ =
02021 v
c
λλ =
−
00 0 2
0 00 2
22 1
F q qd vd
c
λλπε
πε⊥ = =
−
Este corect ?
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 218
Transformările Lorentz
( )0 0
00 2 '
x xy yz z v t
vt t zc
γ
γ
′=⎧⎪ ′=⎪⎪ ′ ′= +⎨⎪
⎛ ⎞⎪ ′= +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
( )0 0
00 2
x xy yz z v t
vt t zc
γ
γ
′ =′ =′ = −
⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
0 202
1
1 vc
γ =
−
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 219
( )
0 00 02 2
00 2
0 0 0
0020 2
1
1
1
xx
z
yy
z
zz
z
udx dxuv vdt dt dz uc c
uu
v uc
dz v dt u vdzu vvdt udt dzcc
γ γ
γ
γ
γ
⎧⎪ ′⎪ ′ = = =
′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ ′ =⎨
⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
−′ −⎪ ′ = = =⎪ ′ ⎛ ⎞ −−⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
00 2
00 2
0
02
1
1
1
xx
z
yy
z
zz
z
uuv uc
uu
v uc
u vu v uc
γ
γ
⎧′⎪
=⎪ ⎛ ⎞′⎪ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎪
⎪ ′⎪ =⎨⎛ ⎞⎪ ′+⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠
⎪ ′ +⎪ =⎪ ′+⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 220
00 21 z
v uc
γ γ γ ⎛ ⎞′ ′= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2
2
2
2
1
1 si 1
1
cu
cu ′
−
=γ′
−
=γ
( )
12 2 2 2
2
12
2220
2 2 22 2 2 2 20 0 00 02 2 2
12 2 22 2 2
0 0 02 2 2 2
02
1
11 1 1
1 1 1
1
x y z
y zx
z z z
x y zz
z
u u uc
u u vuv v vc u c u c uc c c
u u uv v vuc c c c
v uc
γ
γ γ
−
−
−
⎡ ⎤+ += − =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ +′⎢ ⎥− − − =⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
′ ′ ′⎡ ⎤+ +⎛ ⎞⎛ ⎞′= + − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ′= +
112 2 22 22
0 002 2 21 1 1x y z
z
u u uv v uc c c
γ γ−− ′ ′ ′⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞′ ′− − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 221
( ) ( )
( )
( ) ( ) 0
0
00
0
2
2
0 01
1
x x
z x x
xz xx
xx
dpFdt
v u F
d mu d m udt dt
vd dm u u m udt c dt
d m udc
dtm udt dt dt
γ
γ γ γ
γ
= = =
⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′ ′ ′= + = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦′ ′ ′
′ ′= = =
=
⎛ ⎞ ′−⎜ ⎟⎝ ⎠′
xzx uucvu ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+γ=′
20
0 1 00 21 z
vdt udt c
γ′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 222
( )
( ) ( )
( )
( )
00 0 0 2
0 0 0 0 0 0
0 002
0
2
002
0
0 1
1
1
1
1
1
1
1
zz z z z
z z
z
z
z
z
z
z
vd dm u m u udt dt c
d dm u v m u vdtdt dtdt
d m u vv dtucd m u dm v
v dt d
dpFdt
Fv uc
tuc
γ γ γ
γ γ γ γ
γ
γ γ
⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
′ ′ ′ ′= + = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ ⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠
′ ′= + =⎡ ⎤⎣ ⎦′⎛ ⎞′+⎜ ⎟⎝ ⎠
′ ′⎡ ⎤′= + =⎢ ⎥′ ′⎛ ⎞ ⎣ ⎦′+ ⎟
⎠′+⎜
′
⎝
=
0 0dm vdtγ ′⎛ ⎞+⎜ ⎟′⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 223
Pentru simplificarea relaţiei utilizăm teorema energiei:
'uFtdEd
⋅′=′′ 2
02 cmcmE γ′=′=′
uFtd
dcm ′⋅′=′
γ′20
0 02
0 02
0 02 2
0 02 2
0 00 02 2
1
1
1 1
z z
z
yxx y z
z z
x x y y z
m vF F F uv m cuc
uv u vF F Fv vc cu uc c
v vF u F u Fc c
γ γ
⎛ ⎞′ ′ ′= + ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠′+
′′′ ′ ′= + + =
′ ′+ +
′ ′ ′= + +
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 224
00 2
00 2
0 00 02 2
1
1
x z x
y z y
z x x y y z
vF u FcvF u Fc
v vF F u F u Fc c
γ
γ
γ γ
⎧ ⎛ ⎞ ′= −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ ⎛ ⎞ ′= −⎨ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪⎪
′ ′ ′= + +⎪⎪⎩ d
qFy0
00 2πε
λ=′
dqu
cvFu
cvF zyzy
0
002
002
00 2
11πελ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −γ=′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −γ=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 225
dq
cvFy
0
002
20
21
πελ
−=
2021y
vF Fc ⊥
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
20
0
00
00
122
cv
d
qd
qF
−πε
λ=
πελ
=⊥
202m e
vF Fc
= −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 226
00 2
00 2
0 00 02 2
1
1
x z x
y z y
z x x y y z
vF u FcvF u Fc
v vF F u F u Fc c
γ
γ
γ γ
⎧ ⎛ ⎞ ′= −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ ⎛ ⎞ ′= −⎨ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪⎪
′ ′ ′= + +⎪⎪⎩
21 Φ×+Φ= uFkFjFiF zyx ′+′γ+′γ=Φ 001
jFcviF
cv
xy ′γ+′γ−=Φ 20
020
02
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 227
Eq01 =Φ 2 0q BΦ =
BuqEqF ×+= 00
Forţa Lorentz
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 228
00 qndlSdqtotal =
BudlSFd m ×ρ= 0
udlld
SIj ρ==0
BldIFd m ×=
Forţa Laplace
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 229
Legea de transformare a câmpurilor
BuqEqFBuqEqF ′×′+′=′×+= 0000 ;
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′×+′γ=′=
′×−′γ=′=
⊥⊥
⊥⊥
20
0
00
;
;
cEvBBBB
BvEEEE
IIII
IIII
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 230
xzx FucvF ′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −γ= 2
00 1
( )( )[ ]yzzyxz
yzzyx
BuBuqEqucv
BuBuqqE
′′−′′+′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −γ=
=−+
0020
0
0
1
( )00 0 0 02
x y z z y
x z x y z z y
E u B u B
vE u E u B u v Bc
γ γ γ
+ − =
′ ′ ′ ′= − + − −
yzy uucvu ′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −γ= 2
00 1 zzz uu
cvvu ′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=− 2
00 1
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 231
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+′γ=
′+′γ=
zz
xyy
yxx
BB
EcvBB
BvEE
20
0
00
( )00 0 0 02
x y z z y
x z x y z z y
E u B u B
vE u E u B u v Bc
γ γ γ
+ − =
′ ′ ′ ′= − + − −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 232
Câmpul electric al sarcinilor în mişcare
304 R
RQE′′
πε=′
kzjyixR ′+′+′=′
jyixur r ′+′=′
P
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 233
( ) 232204 zr
zQEE z′+′
′πε
=′≡′II
( ) 232204 zr
rQEE r′+′
′πε
=′≡′⊥
( ) 232204 zr
zQEE′+′
′πε
=′= IIII
( ) 23220
00 4 zrrQEE
′+′
′πε
γ=′γ= ⊥⊥
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 234
( )⎩⎨⎧
−γ=′=′
tvzzrr
00
( )20
20
2222 tvzrzrR −γ+=′+′=′
( )ktvzurR r 00 −+=
( ) 00000 cos si sin θ=−θ= RtvzRr
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 235
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ−γ=θγ+θ=′ 0
22
202
0200
220
200
220
2 sin1cossincvRRRR
30
023
02
2
20
2
20
0
03
00
0 sin1
1
44 RR
cv
cv
QRRQuEkEE r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ−
−
πε=
′γ
πε=+= ⊥II
( ) 232204 zr
zQEE′+′
′πε
=′= IIII ( ) 23220
00 4 zrrQEE
′+′
′πε
γ=′γ= ⊥⊥
( )⎩⎨⎧
−γ=′=′
tvzzrr
00
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 236
Problemă
• Comparaţi câmpul electric creat de sarcinile în repaus cu cel al sarcinilor aflate în mişcare rectilinie şi uniformă.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 237
00 0 0 02 2 2
202
00 032 2 3
20 0220
02
0
1 1
114
1 sin
B B
v EB B v E v Ec c c
vRQ cv E v B
c c Rvc
γ γ
πεθ
⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥
′= =
⎛ ⎞′×′ ′= + = × = × =⎜ ⎟⎝ ⎠
−= × = × =
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
II II
30
002
041
RRvQ
cB ×
πε=
00
2 1με
=c
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 238
30
00
0
4 RRvQB ×
πμ
= 30
00
4 RRlIdBd ×
πμ
=
Legea Biot-Savart
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 239
Circulaţia vectorului inducţie magnetică
PP ldBdC ⋅=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 240
( )
( )[ ]( )∫∫ΓΓ
−×⋅π
μ=⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛×
πμ
PQQP
QPp
QP
QPQ ldld
RR
IldRR
lId 30
30
44
( )dl dl d SQ P× − = 2
( ) ( )( )∫ ∫∫Γ ΓΓ
ωπ
μ−=⋅
πμ
−=⋅π
μ= 202
30
320
444dISd
RR
IRR
SdIdCPQ
PQ
QP
QP
( )∫Γ
ω=ω 2dd
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 241
( ) ω+Ω+Ω+Ω−==Ω ddtotal 0
d dΩ = − ω
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 242
dC I d=μ
π0
4Ω
0 0
4 4P P P P P P PI IB dl d grad dl grad V dlμ μ
π π⋅ = Ω = Ω⋅ = − ⋅
V Ip = −
μπ0
4Ω P P PB grad V= −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 243
4πΔΩ = ±
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 244
Teorema Ampère
0 0B dl I j dS rotB dSμ μ= = =∫ ∫ ∫i i i
0rotB jμ=
0B dl Iμ=∫ i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 245
Potenţialul vector magnetic
( )∫ ×
πμ
=V
QQP
QPQP dv
RR
jB 30
4
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 246
( )∫ ×
πμ
=V
QQP
QPQP dv
RR
jB 30
4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
QPQ
QPP
QP
QP
Rgrad
Rgrad
RR 11
3
( )
( )P Q
1
1 ( rot j 0)
P QQP Q P
QP QP QP
Q PQP
rot jjrot j grad
R R R
j grad am folositR
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞
= − × =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 247
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
πμ
= ∫V
QQP
Qpp dv
Rj
rotB4
0
( )Q
V QP
QP dv
Rj
A ∫πμ
=4
0
P P PB rot A=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 248
Metode de calcul pentru inducţia magnetică
1. Aplicând direct legea Biot-Savart pentru elementul de curent şi integrând de-a lungul curentului care generează câmpul magnetic
2. Calculând potenţialul scalar şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul scalar
3. Calculând potenţialul vector şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul vector
4. Aplicând teorema lui Ampère (pentru sistemele cu simetrie ridicată)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 249
30
00
0
4 RRvQB ×
πμ
= 30
00
4 RRlIdBd ×
πμ
=
Legea Biot-Savart
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 250
V Ip = −
μπ0
4Ω
P P PB grad V= −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 251
Teorema Ampère
0 0B dl I j dS rotB dSμ μ= = =∫ ∫ ∫i i i
0rotB jμ=
0B dl Iμ=∫ i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 252
( )
0
4Q
p p QQPV
jB rot dv
Rμπ
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
( )Q
V QP
QP dv
Rj
A ∫πμ
=4
0
P P PB rot A=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 253
0
00 0
0
22
B dl I
IB r I Brϕ ϕ
μ
μπ μπ
Γ
=
= → =
∫ i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 254
dz
Q
P(zP,rP) ( )( )
( )
( )( )
/ 20
3/ 2
/ 20
3/ 22 2/ 2
/ 20
3/ 22 2/ 2
/ 2
03/ 22 2 2
/ 2
4
4
4
14
L
L
LP P r
L P P
LP
L P P
L
PP
PP P
L
RB I dLR
z z k r uI dzk
z z r
r dzuI
z z r
z zIr
r z z r
ϕ
μπ
μπ
μπ
μπ
−
−
−
−
= × =
− += × =
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= =⎡ ⎤− +⎣ ⎦
−=
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
∫
∫
∫
( )3/2 2 2 22 2
d Ca aa
ξ ξ= +
ξ +ξ +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 255
Interacţiunea dintre curenţi liniari paraleli
Definiţia Amperului
012 1 2 1 2
71 2 0
20
7
2
, 4 10
, 1 , 1 , 122 10
F B I L I I Ld
HI I Im
F I L I A L m d md
F N
μπ
μ π
μπ
−
−
= =
⎛ ⎞= = = × ⎜ ⎟⎝ ⎠
= = = =
= ×
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 256
P(0,0,zp)
( )2 2
0
2 1 cos 2 1 p
p
z
r zπ θ π
⎛ ⎞⎜ ⎟Ω = − − = − −⎜ ⎟+⎝ ⎠
0 02 2
0
14 2
p
p
zI IVr z
μ μπ
⎛ ⎞⎜ ⎟= − Ω = −⎜ ⎟+⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 257
( )
( ) ( )
( ) ( )
02 2
0
1/ 22 200
1/ 2 3/ 22 2 2 200 0
3
3/ 22 2 2 2 30 0 00 0 02 2
0 0
12
2
1 22 2
sin2 2
pz
p p p
p pp
p p p p
p p p p
p
zIdV dBdz dz r z
I d z r zdz
I r z z r z z
I I rr z r z z z Br r z
μ
μ
μ
μ μ θ
−
− −
−
⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − − =⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎡ ⎤= − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤= − + − + + = =⎣ ⎦ ⎜ ⎟+⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 258
P(0,0,zp)
( )0 0 03 34 4 4 m
m
I I R RV S pR R
p IS
μ μ μπ π π
= − Ω ≅ − − =
=
i i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 259
L1
L2
L3
L4
R2
R
0 31 2 4
1 2 3 44pI LL L LA
R R R Rμ
π⎛ ⎞
≅ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 260
0 1 2 1 2
1 2 3 4
01 2
1 3 2 4
4
1 1 1 14
pI L L L LA
R R R R
I L LR R R R
μπ
μπ
⎛ ⎞≅ + − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
( )
( )
2 21 3 2 4
1 3 2 2 2
2 4 3 3 3
cos ,
cos ,
R R R R R R
RR R L L R LRRR R L L R LR
≅ ≅
− = =
− = =
i
i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 261
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 1 2 1 2
1 2 3 4
1 2 2 1 2 10 03 3 3
0 0 03 3 3
2 1 2 1 1 2
4
4 4
4 4 4
p
m
I L L L LAR R R R
L L R L L R R L LI IR R R
R SI I R RS pR R R
a b c b a c c a b
R L L L R L L R L
μπ
μ μπ π
μ μ μπ π π
⎛ ⎞≅ + − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ × ×⎜ ⎟= − + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
× −= = × = ×
× × = −
× × = −
i i
i i
i i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 262
( )05 3
3
4m m
p R R pB gradV rotAR R
μπ
⎡ ⎤⎢ ⎥= − = = −⎢ ⎥⎣ ⎦
i
Demonstraţi !!!
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 263
( )
03
0 03 3
0
3 3
,4
0 04 4
4
0
m m m
mm
m
RA p p p kR
i j kpA p yi xj
R Rx y z
i j kpB rotA
x y zy x
R R
μπ
μ μπ π
μπ
= × =
= = − +
∂ ∂ ∂= =
∂ ∂ ∂
−
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 264
( ) ( )
( )
3/ 22 2 20 03
5/ 22 2 20 05
05
03 3
03 5 3
4 433 2
4 2 43
4
4
1 3 2 1 34 2 2
m mx x
m m
my
z m
m
p p xxB rotA x y zz R z
p x p xzx y z zR
p yzBR
x yB px R y R
xp x yR R R
μ μπ π
μ μπ π
μπ
μπ
μπ
−
−
∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = − = − + + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞= − − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
( )
5
2 20
3 5
05 3
2 2
2
324
3
4
m
m m
yR
x yp
R R
p R R pB
z z
R R
μπ
μπ
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤+⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣
+ −
⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 265
Formule generale
pe 3
0 p
R1V p4 R
= ⋅πε
( )e p p e5 3
0 p p
3 p R R1 pE grad V4 R R
⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥πε⎣ ⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 266
Câmpul magnetic al unui curent circular
PmP ArotVgradB =−=
Ωπ
μ−=
40IVmP
( ) ( )PmPPIV α−
μ=⇒α−π−=Ω cos1
2cos12 0
PPP
mPzP B
rz
rrI
zVB α=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
μ=
∂∂
−= 30
3
20
20
0
0 sin2
0
00 2r
IB μ=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 267
Calcul prin integrare directă
R
dL
dB z
y
x
α
α
00 3
0 02
0 02
0 02
0 02
4
4
cos4
sin cos4
sin sin4
z
x
y
I RdB r d uR
I r ddBR
I r ddBR
I r ddBR
I r ddBR
ϕμ ϕ
πμ ϕ
πμ ϕ α
πμ ϕ α ϕ
πμ ϕ α ϕ
π
= ×
=
=
=
=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 268
( ) ( ) ( )2 22 2 3
30 0 0 0 0 003/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2
00 00 0 0
20 0
20
20 0
20
sin4 4 2
sin cos 04
sin sin 04
z
x
y
I r d I r I rB d Brr z r z r z
I r dBR
I r dBR
π π
π
π
μ ϕ μ μϕ θπ π
μ ϕ α ϕπ
μ ϕ α ϕπ
= = = =+ + +
= =
= =
∫ ∫
∫
∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 269
Sistemul de bobine Helmholtz
[ ]
( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
=α+α=+= −+
2/3
220
20
2/3
220
20
0
33021
2/2/
sinsin
dzrr
dzrr
B
BBBB PPzzz
00
==z
zdz
dB
00
2
2=
=z
z
dzBd
( ) ( ) ...!3!2
03
03
32
02
2
0++++=
===
zdz
Bdzdz
Bdzdz
dBBzBz
z
z
z
z
zzz
d=r0
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 270
Câmpul uniform
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 271
Câmpul solenoidului
B este uniform în interiorul solenoidului şi este zero în exteriorul acestuia.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 272
( )
3
30 0 0z 220 0
0 p
dI nIdz rdB sin2r 2r r z z
⎡ ⎤μ μ ⎢ ⎥= θ = ⎢ ⎥
+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
θ
P(zp)
Q(z) dz O(0)
B(d/2)A(-d/2)
( )( )
( )
d/2d/22
p0 0 0z 3/2 22 22
p 0p 0d/2 d/2
p p0
2 22 2
p 0 p 0
z znIr dz nIB2 2 z z rz z r
d dz znI 2 22 d dz r z r
2 2
− −
−μ μ= = =
⎡ ⎤ − +− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +⎢ ⎥
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
( )3/2 2 2 22 2
d Ca aa
ξ ξ= +
ξ +ξ +∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 273
Cazul Ar= Az=0
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
ϕ ϕ
ϕϕ
ϕ ϕ
⎧ ⎡ ⎤∂ ∂∂⎪ = − = = −⎢ ⎥∂ϕ ∂ ∂⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎪∂∂⎪ ⎡ ⎤= − = =⎨ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎪
⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂⎪ = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ∂ ∂ϕ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
1
0
1 1
zrr
zr
rzz
rA AArot A Br z z
AArot A Bz r
rA rAArot A Br r r r
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 274
Solenoidul infinit
d → ∞ z 0 0 sB nI i= μ = μ
Pe axa bobinei !
Ci
Datorită simetriei
•Inducţia nu are componentă după ϕ
0 s 0z
0
i pentrur rB
0 pentrur rμ ≤⎧
= ⎨ >⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 275
B dS rotA dS A dL⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 276
Curent superficial plan
δ
L
sIiL
=
Simetrie !
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 277
dB
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 278
( )
02 2
0 02 22 2 2 2
2 22 20 0 0
2 2 2 2
0 022 2 2 2
cossin
2
2 2
ln 02 4 4
sin2 2
z
y
s
P
s sz
PP P
L L LPs s sz P L
P PL L
s s PPy
P P
dB dBdB dB
i dydBy z
i dy i ydyydBy zy z y z
d y zi i iydyB y zy z y z
i dy i z dyzdB dByy z y z
αα
μπ
μ μπ π
μ μ μπ π π
μ μαπ π
−− −
= −= −
=+
= − = −++ +
+= − = − = − + =
+ +
= − = − = −+ +
∫ ∫
2
0 0 02 2
0
0
1 22 2 2
,2
P
LLs P s P s P
yP P P P PL L
sy
P
sy
z
i z i z i zdy y LB arctg arctgy z z z z z
i LB arctgz
icand L B
μ μ μπ π π
μπ
μ
− −
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ ∞ → −
∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 279
Discontinuitatea componentei tangenţiale
z
O
( )( )
0 sparalel
0 s
i 2 pentruz 0B
i 2 pentruz 0⎧+ μ ≤⎪= ⎨− μ >⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 280
Probleme
Comparaţi relaţiile de discontinuitate care apar la trecerea prin distribuţii superficiale (de sarcina, pentru intensitatea câmpului electric şi de curent, pentru inducţia magnetică)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 281
Interacţiunea dintre curenţi şi câmpul magnetic
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 282
Sarcini magnetice fictive
L
-qm
+qm
I
S
B -qm
+qm
L
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 283
( ) ( )( )
m m
m m m
R q B R q B
q R R B q L B p B
+ −
+ −
Γ = × + × − =
= − × = × = ×
B -qm
+qm
L
Fenomene electrice şi magnetice variabile în timp
Fenomenul de inducţieelectromagnetică
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 285
Fenomenul de inducţie electromagnetică
• Curenţii produc câmp magnetic. Acesta acţionează asupra momentelor magnetice (magneţi permanenţi, alţi curenţi)
• Motoare electrice pe această idee ?• Faraday observă că un câmp magnetic,
oricât de intens nu produce curenţi electrici. Efectele apar numai când apar modificări.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 286
Fenomenul de inducţie electromagnetică
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 287
Experienţele lui Faraday (1839)
De ce un curent electric nu creează un un alt curent electric în conductorii din preajmă?
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 288
DefiniţieFenomenul de apariţie a unei t.e.m. Într-un circuit străbătut de un flux magnetic variabil
cosB S SH φμΦ = ⋅ =t.e.m. de inducţie se poate obţine prin modificarea oricăruia dintre cei patru termeni.
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 289
Cazuri particulare
• Circuit mobil – inducţie magnetică statică• Circuit fix – inducţie magnetică variabilă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 290
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 291
Motor - generator
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 292
Aplicaţii practice
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 293
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 294
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 295
Microfon - difuzor
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 296
Inducţie - autoinducţie
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 297
Forţe care acţionează asupra curenţilor induşi
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 298
Curenţi turbionari (induşi) în conductori masivi
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 299
Curenţi turbionari (Foucault)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 300
Aspecte cantitative – legea inducţiei electromagnetice
B
v ⊕
F
0
L
e vBdx BLv= =∫
L
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 301
Legea inducţiei electromagnetice
0
L
dedtd Be B dS dS E
dy de vBdx BLv
dl rotE dSdt t
BrotEt
BLdt dt
Φ= −
∂= − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅
∂
Φ=
∂= −
=
∂
= =
∫ ∫
∫
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 302
Câmpul electric
0
0
BrotEt
divB B rotA
Arot Et
A AE gradV E gradVt t
∂= −
∂= ⇒ =
⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∂ ∂+ = − ⇒ = − −
∂ ∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 303
Regula fluxului se aplică şi când variază câmpul şi când se mişcă circuitul.
F E v Bq
= + ×
Ce câmp se aplică asupra sarcinilor pentru a le pune în mişcare ca urmare a fenomenului de inducţie electromagnetică?
Legea lui Lenz (film)
Câmpul electric indus (film)
Circuit care se mişcă
Când circuitul este fixExistă şi în vid!
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 304
Inducţia mutuală
1 10
1 2 12 2 0
1 22 21 1 12;
N IBL
dB N N S dIN Sdt L dt
dI dIdt dt
μ
ε μ
ε ε
=
= − = −
= Μ = Μ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 305
1 1{1} {1}
d dB n da A dsdt dt
ε = − = −∫ ∫i i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 306
1 1{1}
0 2 2{2}
12
0 2 2 21 1 12{1} {2}
12
0 2 112 {1} {2}
12
4
4
4
d A dsdt
I dsAr
d I ds dIds Mdt r dt
ds dsMr
ε
μπμεπμπ
= −
=
= − =
= −
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
i
i
i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 307
0 2 112 {1} {2}
12
12 21
4ds dsM
rM M M
μπ
= −
= =
∫ ∫i
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 308
Autoinducţia
1 21 11 12
1 22 21 22
11 1 22 2; ;
dI dIM Mdt dtdI dIM Mdt dt
M L M L
ε
ε
= +
= +
= − = −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 309
Energia câmpului magnetic
Bt
∂∂
indusB
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 310
( )( )
2
2 2
12 2
12
indusddL e Idt Idt Iddt
LILI IdW Id dW LIdI W
B dS rotA dS A dL
IW A dL A jdv
rotH j
W A rotHdv
div a b b rota a rotb
div A H H rotA ArotH
Φ= − = = Φ
Φ =
Φ= Φ ⇒ = ⇒ = =
Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
=
= ⋅
× = −
× = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 311
( )( )
12
1212
12
W A rotHdv
div A H H rotA ArotH
W div AH rotAdv
W H
v
Bdv
H d
= ⋅
×
×
= −
=
−= ∫
∫
∫
∫12
w H B= ⋅ Densitatea de energie a câmpuluimagnetic
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 312
Relaţia forţe, cupluri, energie
• Lucrul mecanic efectuat de surse:
( )
1
1 1
1 12 2
N
i ii
N N
ik i k i ii i
I d dW Fdx
W x L I I I
=
= =
Φ = +
= = Φ
∑
∑ ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 313
Cazuri particulare
( )
( )
.
.1
1
1 1 1
0
12
1 12 2
1. .
2. .
const
N
i i I consti
N
i ii
N N N
i i i i i ii i i I
dW Fdx
I d dW Fd
c
x
W I
I d
dWFdx
onst
I cons
dWI d Fdx I d Fdx
t
Fdx
Φ=
==
=
= = =
Φ
= + ⇒
Φ = +
= Φ
Φ = Φ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞=
Φ =
=
+ ⇒ Φ = ⎜ ⎟− ⇒⎝ ⎠
∑
∑
∑ ∑ ∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 314
Cuplul forţelor
1. .
2. .
I
const
I cons
dWd
dW
pen r x
d
t
t
u
θ
θ
θ
Φ
⎛ ⎞Γ = −⎜
Φ
⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞Γ = ⎜⎝
=
=
⎟⎠
∼
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 315
Aparate electrodinamice
I1 I2
θ
( ) ( )2
2 211 1 22 2 12 1 2
1
2 1 2
12
2
1 1 22 2ik i k
iW L I I L I L I L I I
dLI Cd
CI dLd
θ θ
θθ
θ
θ
=
=
⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦
Γ = = ⇒
∑
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 316
Wattmetrul
A B
I i
Z R
12
12
121
dLIid
UiR
d C RP dLLP C
R dd
θ
θθ
θ
θ
Γ =
=
⇒ = ⇒ =Γ =
Circuite electrice în regim tranzitoriu şi alternativ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 318
Generatorul de curent alternativ
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 319
T.e.m. alternativă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 320
Variaţia fluxului
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 321
T.e.m. indusă
( ) ( )0 0cos sind de NBS t NBS tdt dt
ω ϕ ω ω ϕΦ⎡ ⎤= − = − + = +⎣ ⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 322
Circuit RLC in curent alternativ
u(t)
R L C
A B D E
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 323
Ecuaţia pentru circuitul RLC serie
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 324
Forma finală a ecuaţiei
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 325
Soluţia
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 326
Problema cu condiţii iniţiale
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 327
Soluţia ecuaţiei omogene
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 328
Soluţia ecuaţiei neomogene (1)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 329
Soluţia ecuaţiei neomogene (2)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 330
Soluţia ecuaţiei neomogene (3)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 331
Soluţia ecuaţiei neomogene (4)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 332
Soluţia ecuaţiei neomogene (5)
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 333
Soluţia generală
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 334
Soluţia staţionară
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 335
Regimul permanent
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 336
Impedanţa
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 337
Impedanţa, rezonanţa
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 338
Factor de calitate
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 339
Metoda numerelor complexe
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 340
Importanţa soluţiei armonice
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 341
Metoda numerelor complexe
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 342
Impedanţa complexă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 343
Reactanţele complexe
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 344
Probleme
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 345
Puterea în circuite AC
RI
LωI I/Cω
ZI=U ϕ I
( )( )
( )( ) ( )
( )( )( )
( )
0
0
0
0
0 0
22
0
sin
sin
sin / 2
/ sin / 2/
1/
sin
1/tan
R
L
C
i I t
u I R t
u I L t
u I C tI U Z
Z R L C
u I Z t
L CR
ω
ω
ω ω π
ω ω π
ω ω
ω ϕ
ω ωϕ
=
=
= +
= −
=
= + −
= +
−=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 346
Puterea instantanee
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
0
0
0
0
0 0
0
2 20
sin
sin
sin / 2
/ sin / 2/sin
sin
R
L
C
R R
i I t
u I R t
u I L t
u I C tI U Zu I Z t
p u i RI tp ui
ω
ω
ω ω π
ω ω π
ω ϕ
ω
=
=
= +
= −
=
= +
= =
=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 347
Regim lent variabil
• Circuite în curent alternativ
– Metoda analitică– Metoda fazorială– Metoda numerelor complexe
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 348
Metoda analiticău(t)
R L C
A B D E
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∫ idtC1=
Cq=u=u
dtdiL-e=u=u
Ri=u=u
DEC
BD L
ABR
tU=Cq+
dtdiL+Ri m ωsin
tL
U=q+q2+q m2oo ωωδ sin ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
ω
δ
LC1=
LR=2
2o
o
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 349
Metoda analitică
( )
( )
( )
( )
( )
m
m
mR
m mL L
m mC C
Uq(t)= cos tZ
Ui(t)=q(t)= sin tZ
RUu (t)=Ri(t)= sin tZ
L U Uu (t)=Lq(t)= cos t =X sin t +Z Z 2
q(t) U Uu (t)= = cos t =X sin tC C Z Z 2
ω ϕω
ω ϕ
ω ϕ
ω πω ϕ ω ϕ
πω ϕ ω ϕω
− −
−
−
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
1LCtg =
R
ωωϕ
−
22
m
m
C1-L+R=
IU
=Z ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ωω
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 350
Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale
R=10 Ω R=40 Ω
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 351
Metoda fazorială
RI
LωI I/Cω
ZI=U ϕ I
( )( )
( )( ) ( )
( )( )( )
( )
0
0
0
0
0 0
22
0
sin
sin
sin / 2
/ sin / 2/
1/
sin
1/tan
R
L
C
i I t
u I R t
u I L t
u I C tI U Z
Z R L C
u I Z t
L CR
ω
ω
ω ω π
ω ω π
ω ω
ω ϕ
ω ωϕ
=
=
= +
= −
=
= + −
= +
−=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 352
Metoda numerelor complexe
( ) ( )( )exp
exp
1
m
m
u t u U j t
i i I j t
di j idt
q idt ij
ω
ω
ω
ω
= =
= =
=
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
mm UCj
LjRI =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+ω+1
IU
IU
Zm
m ==
22 1* ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+==
CLRZZZ c
1 1
R
L L
C C
Z R
Z X j L
Z X jj C C
ω
ω ω
=
≡ =
≡ = = −
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 353
Aplicaţii
• Circuitul RLC paralel• Puterea în circuite de curent alternativ• Rezonanţa RLC serie• Transmisia energiei electrice
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 354
Regimul tranzitoriu
• RL • RC• RLC ...
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 355
RL
u(t)
R L
A B 0
0
0
0
( 0) 0
( ) exp
0, 0
( ) 1 exp
diRi L Udt
i tU Rti t kR L
Ut i kR
U Rti tR L
+ =
= =
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= = ⇒ = −
⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 356
RL
0
( 0)
( ) exp
0,
( ) exp
diRi Ldt
i t IRti t kL
t i I k IRti t IL
+ =
= =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
= = ⇒ =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
u(t)
R L
A B
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 357
RC
u(t)
R C
A B D E
0
0
0
0
0
;
( 0) 0
( ) exp
0, 0
( ) 1 exp
( ) exp
q dqRi U iC dt
q ttq t CU k
RCt q k CU
tq t CURC
U ti tR RC
+ = =
= =
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= = ⇒ = −
⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 358
RLC regim tranzitoriu
• Soluţie analitică• Soluţie numerică
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 359
Curentul de deplasare (1)
Curentul de deplasare
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 360
Curentul de deplasare
d d
D
Q D DI S S jt t t t
σ
σ
=
∂ ∂ ∂ ∂= = = ⇒ =
∂ ∂ ∂ ∂
+σ
−σ
00
n n nE D Eσ ε σε
= ⇒ = =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 361
Curentul de deplasare (2)
( )( )
( )
( )
( . ) 0
( . )
0
th Ampere rot H j div rot H div j
dQ dec continuitate dv j dS ddv div iv jdt dt t
div rot H div j
divDdivD div rot
j dvt
tD
t t
Dt
H div j div j
rot H j
ρ
ρ
ρρ
ρ
ΩΣΩ
= ⇒ = =
∂= = = − ⋅ = ⇒ = −
∂
= + =
⎛ ⎞= ⇒ = + = +
∂−
∂
∂∂
∂ ∂⇒⎜ ⎟
⎝ ∂
= +∂
⎠∂
∂
∫ ∫∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 362
Ecuaţiile lui Maxwell
0
DrotH jt
BrotEt
divB
divD ρ
⎧ ∂= +⎪ ∂⎪
⎪ ∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ =⎪
=⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 363
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 364
Soluţia sistemului ec. Maxwell
( )... , , , , , 16necunoscute E D H B j necunoscute
D E
B H
j E
ρ
ε
μ
γ
=
=
=
0
DrotH jt
BrotEt
divB
divD ρ
⎧ ∂= +⎪ ∂⎪
⎪ ∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ =⎪
=⎪⎩
Relaţii constitutive(de material)
Nu sunt independente
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 365
Alte ecuaţii ...
( ) ( )
( ) ( )
0
0
1
0
12
0
2
Ddiv rotH div j divj divD divDt t t
Bdiv rotE div
w
divBt t
divB
div
B
D
E D H
ρ
ρ
⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + = = + = − =⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪
⎪⎪ ∂ ∂= − = − =⎨
∂ ∂⎪⎪ =
= ⋅ + ⋅
⎪=⎪⎩
Densitatea de energie a câmpuluielectromagnetic
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 366
Energia câmpului electromagnetic
( )
( ) ( )12
P j Edv
D DrotH j P rotH Edvt t
Bdiv E H H rotE E rotH H E rotHt
P D E H B dv E H dtW WP S d P S dt t
σ
σ σ
= ⋅
⎛ ⎞∂ ∂= + ⇒ = − ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂× = ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅
∂∂
= − ⋅ + ⋅ − × ⋅ =∂∂ ∂
= − − ⋅ ⇒ = − − ⋅∂ ∂
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 367
Vectorul Poynting S
( ) ( )
( )
12
P D E H B dv E H dtW WP S d P S dt t
S E H
σ
σ σ
∂= − ⋅ + ⋅ − × ⋅ =
∂∂ ∂
= − − ⋅ ⇒ = − − ⋅∂ ∂
= ×
∫ ∫
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 368
Ec. Maxwell
( )( )( )( )
... , , , , , 16
3 .
3 .
3 .
necunoscute E D H B j necunoscute
D E ec
B H ec
j E ec
ρ
ε
μ
γ
=
=
=
( )
( )
3 .
3 .
0
DrotH jt
BrotEt
ec
ec
divB
divD ρ
∂⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪
=⎪⎩
= +∂
∂= −
∂
W P S dt
σ∂= − − ⋅
∂ ∫div j
tρ∂
= −∂
1 12 2
w E D B H= ⋅ + ⋅
Ecuaţiile lui Maxwell
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 369
Ecuaţiile Maxwell –condiţiile de trecere (la limită)
2 1
2 1
2 1
2 1
0
0
t t
n n
t t s
n n
E ED DH H iB B
σ− =− =− =− =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 370
Transmisia energiei
2
2 2 22
2
2 22
r z
z
r
S E HjE
j rHr
j j r j jP S rL rL r L Vr
ϕ
ϕ
γππ
ππ π πγ π γ γ
=
=
=
= = = =
Ez
Hϕ
Sr
jz
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 371
Ecuaţia undelor
0
DrotH jt
BrotEt
divB
divD ρ
⎧ ∂= +⎪ ∂⎪
⎪ ∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ =⎪
=⎪⎩
0 0 0
0 0 0
0
ErotB jt
Erot rotA jt
B rotA ArotE rotE rot Et t t
AE gradV AE gradVtt
μ ε μ
μ ε μ
∂= +
∂∂
= +∂
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − ⇒ = − ⇒ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝
∂= −
⎠∂
= − ⇒∂∂
−+
D E
B H
j E
ε
μ
γ
=
=
=
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 372
Condiţia de etalonare
( )
0 0 0
0 0 0
2
0 2
0 0
0 0 0 0
0
Erot rotA jt
Agrad div A A j gradVt t
V
A VA j grad div At
A
div A Lorentz
E gr V
t
at
t
d
μ ε μ
μ ε
ε
μ
ε μ ε
μ
μ μ
∂= +
∂
⎛ ⎞∂ ∂− Δ = + − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞Δ − = − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝
∂= − −
∂
⎠
+ =
⇒
∂∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 373
Ecuaţia undelor pentru V şi A2
0 0 02
AA jt
ε μ μ∂Δ − = −
∂
0
0
0 00
2
0 0 20
0
divE
Adiv gradVt
divA VV divAt
AE gradVt
t
VVt
ρε
ρε
ρ ε με
ρε με
=
⎛ ⎞∂− − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∂ ∂−Δ
∂= − −
∂
− = + =∂ ∂
∂⇒ Δ − = −
∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 374
Ec. Undelor pentru E,H
0 0
0 0
0
00
D ErotH j rotBt t
B BrotE rotEt t
divB divB
divD divE
j
ε μ
ρ
ρ
⎧ ⎧∂ ∂= + =⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪
⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪= − = −⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪
= =⎪ ⎪⎩ ⎩==
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 375
Calcul (1)
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0
0
ErotBt rotE rotErot rotB grad divB BB t trotE
t rotB rotBrot rotE grad divE EdivB t tdivE
BBt t
EEt t
ε μ
ε μ ε μ
ε μ
ε μ
⎧ ∂=⎪ ∂ ⎧ ⎧∂ ∂⎪ = − Δ =⎪ ⎪⎪ ∂⎪ ⎪ ⎪∂ ∂= − ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪= − − Δ = −⎪ ⎪ ⎪= ∂ ∂⎩ ⎩
⎪=⎪⎩
⎛ ⎞∂ ∂−Δ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎛∂ ∂−Δ = −
∂ ∂⎝
2
0 0 2
2
0 0 2
0
0
BBtEE
t
ε μ
ε μ
⎧ ⎧ ∂⎪ Δ − =⎪⎪ ⎪ ∂⇒⎨ ⎨⎞ ∂⎪ ⎪Δ − =⎜ ⎟⎪ ⎪ ∂⎩⎠⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 376
Soluţia ecuaţiei undelor (2D)
2
2 2
2
2
2
2 2
1 0
' ''
1 1' ''
ffv t
xf tv
x xf t f f t ft v t v
x xf t f f t fx v v x v v
∂Δ − =
∂⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ± ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 377
Soluţia armonică (3D)
( ) ( )( ) ( )
2
0 0 2
2
0 0 2
0
0
0
0
, exp
, exp
...xx x x x
EEtBB
t
E E R t E j t k R
B B R t E j t k R
E j EtE jk E E jkEx
ε μ
ε μ
ω
ω
ω
⎧ ∂Δ − =⎪⎪ ∂
⎨∂⎪Δ − =⎪ ∂⎩
⎡ ⎤= = − ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= = − ⋅⎣ ⎦
∂=
∂∂
= − ⇒ ∇ = −∂
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 378
Soluţia armonică 3D
2
0 0 0 00 0
00 0 00 0
jt
jk k
E ErotB B jk B j Et tB B jk E j BrotE Et t jk B
divB B jk EdivE E
ω
ε μ ε μ ε μ ω
ω
∂=
∂∇ = − ⇒ Δ = ∇⋅∇ = −
⎧ ⎧∂ ∂= ∇× =⎪ ⎪ ⎧− × =∂ ∂⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪∂ ∂ − × = −⎪⎪ ⎪= − ∇× = −⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨∂ ∂ − ⋅ =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ∇⋅ = − ⋅ =⎩⎪ ⎪
= ∇⋅ =⎪ ⎪⎩ ⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 379
Continuare ...
0 0 0
0
0
jk B j E B E B
jk E j B
jk B
jk E
ε μ ω
ω
⎧− × = ⋅ ⇒ ⋅ =⎪⎪− × = −⎪⎨⎪− ⋅ =⎪
− ⋅ =⎪⎩
E
B
k
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 380
Oscilatorul lui Hertz
p(t) ( ) 0 0sin sinp t p t p t kω ω= =
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 381
2
03 2
0
0
03 2
sin coscos 2 2
4
si sin cos nsin
4
P P
P P
P P
P P
R
P
P
R Rt tv vp
R v R
R Rt tv v
R v R
E
RtvpE
v R
E
θ
ω ωθ ω
πε
ω ωω
ωθ ω
πε
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝
=
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎦ ⎣ − ⎜ ⎟⎢⎦+ ⎜ ⎥⎝ ⎠
⎢⎦
⎠
⎣
⎝⎥
⎟
0ϕ
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 382
020
0
0
sin -cossi
4
-n
P
P
R
P
P
B
B
Rtv
B pv R
Rtv
R
θ
ϕ
ωμ ωω θπ
ω
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪
⎡ ⎤⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎢
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥⎪⎪ ⎣ ⎦⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 383
03
0
03
0
sincos
24
sinsin
4
0
P
RP
P
P
Rtvp
ER
Rtvp
ER
E
θ
ϕ
ωθ
πε
ωθ
πε
⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥
⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦
⎪⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥=⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪
⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩
Câmpul aproape de sursă
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 384
Zona undelor
20
0
00
0 0
sinsin
04
sin -0 sin
4
R R
P
P
P
P
E B
Rtvp
E Bv R
Rtv
E B pv R
θ θ
ϕ ϕ
ωθ ω
πε
ωμ ωω θπ
⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪−⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎢ ⎥= − =⎨ ⎨⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = −⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎩
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 385
Puterea emisă
O
x
y
z
i j
k
uR
θ
ϕ
uθ
uϕ
r
R
Eθ
Bϕ
SR
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 386
0
20
0
00
2
30
00
sinsin
4
sin -sin
4
sinsin 1 sin
4 4
2
R
P
P
P
P
P
RP
R
E BS
RtvpE
v R
Rtv
B pv R
RtvpS p
v R
P S
θ ϕ
θ
ϕ
μ
ωθ ω
πε
ωμ ωω θπ
ωθ ωω θ
πε π
=
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
=2 4
2 2 303
00 0
2 2 442 20 0
3 30 0
2 40
30
1sin sin sin4 2
1 4sin sin4 2 3 6
12
PP
P P
p RR d t dv v
p pR Rt tv v v v
pPv
π πωπ θ θ ω θ θπε
ωω ω ωπε πε
ωπε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
=
∫ ∫
prof.dr. Alexandru STANCU 2009 387
Puterea medie radiată• Radiaţia curenţilor alternativi de joasă frecvenţă este mică.
• Lumina solară care străbate atmosfera este difuzată de moleculele de aer care pot fi asimilate cu nişte oscilatori elementari. Sub acţiunea undelor, oscilatorii efectuează oscilaţii forţate (departe de rezonanţă, deci cu amplitudinea independentă de frecvenţa undei incidente). Intensitatea radiaţiei luminii difuzate este proporţională cu frecvenţa (la puterea a patra). Deci, puterea radiată prin unda cu frecvenţa mai mare (culoarea albastră) este mult mai mare decât cea corespunzătoare luminii roşii. Cerul are culoarea albastră din acest motiv.
• Domeniul de frecvenţă a undelor electromagnetice.
2 40
3012
pPv
ωπε
=
top related