ecuaŢii.inecuatii.sisteme.teorie

ECUAŢII.INECUAŢII.SISTEME.

Ecuaţia de gradul întâi : ax + b = 0, a,b R.

1. dacă a ≠ 0, ecuaţia are soluţie unică x= .

2. dacă a = 0,b ≠ 0 ecuaţia nu are soluţii.3. dacă a = 0,b = 0 ecuaţia are o infinitate de soluţii x R.4.

Ecuaţia de gradul II: , a,b ,c R, a ≠ 0

Rezolvare: se calculează

Dacă (ecuaţia are două soluţii reale distincte)

Dacă (ecuaţia are două soluţii reale egale)

Dacă (ecuaţia nu are soluţii reale )

Relaţiile lui Viete: S = (suma soluţiilor)

P = (produsul soluţiilor)

(suma pătratelor soluţiilor)

(suma cuburilor soluţiilor)

Natura şi semnul rădăcinilor:

Δ P S discuţieΔ<0

- - Rădăcini complexe

Δ=0

- - Rădăcini reale şi egale

Δ>0

P>0

S>0

Rădăcini reale pozitive

P>0

S<0

Rădăcini reale negative

P<0

S>0

Rădăcini reale, de semne contrare, cea pozitivă mai mare în modul decât cea negativă

P<0

S<0

Rădăcini reale, de semne contrare, cea pozitivă mai mică în modul decât cea negativă

Descompunerea în factori: dacă Δ > 0 ,

dacă Δ = 0 , (este pătrat perfect) dacă Δ < 0 , nu se descompune

Ecuaţii cu o rădăcină comună: ecuaţiile şi au o rădăcină comună dacă .

Ecuaţii cu aceleaşi rădăcini: ecuaţiile şi au aceleaşi rădăcini dacă

Poziţia rădăcinilor faţă de 0: rădăcini reale negative: Δ≥0,P>0,S<0 rădăcini reale pozitive: Δ≥0,P>0,S>0 rădăcini reale, de semne contrare: Δ>0,P<0

Poziţia rădăcinilor faţă de un număr :se notează y = x - şi se ajunge la poziţia rădăcinilor faţă de 0.

Poziţia rădăcinilor faţă de două numere şi :se notează y = şi se ajunge la poziţia

rădăcinilor faţă de 0.

Ecuaţii cu radicali:pentru radicalii de ordin par se pun condiţii de existenţă ;se fac notaţii, se separă radicalul dacă e unul singur , se ridică la putere, se verifică soluţiile găsite.

Ecuaţii cu module: pentru un singur modul se face explicitarea acestuia, pentru mai multe module se foloseşte tabelul semnelor.

Ecuaţii cu parte întreagă : se foloseşte inegalitatea [x]≤x<[x]+1.

Inecuaţii :se foloseşte tabelul semnelor Atenţie numitorul dipare numai dacă e pozitiv!

Sisteme cu o ecuaţie de gradul I şi una de gradul II:se foloseşte metoda substituţiei

Sisteme simetrice(dacă se schimbă x cu y sistemul rămâne acelaşi) Se notează x+y=S xy=P x +y =S -2P x +y =S -3SP

Sisteme omogene: (toţi termenii au acelaşi grad)

Se elimină termenul liber, se împarte ecuaţia prin y , se notează cu şi se

rezolvă ecuaţia în necunoscuta t, apoi se revine le rezolvarea unui sistem format din una din ecuaţiile iniţiale şi t-ul găsit.

Sisteme iraţionale:se folosesc notaţii , ridicări la putere.