dts model matematic
Post on 10-Jan-2016
214 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 1/11
Universitatea Politehnica BucureştiFacultatea de Automatică şi Calculatoare
Departamentul de Automatică şi Informatica Industriala
DTS200 - Sistem cu trei
rezervoare – Modelare
matematica
Alexandru COMSAVictor Alexandru LICAConstantin VOINEA
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 2/11
1.1 Model neliniar
Figura 1: Structura principala exemplifcand parametrii si aria!ilele
hi nielele de lic"id #m$Q1, Q2 de!itele de intrare #m%&sec$
A sectiunea cilindrului #m'$Sl sectiunea scurgerii #m'$Sn sectiunea conductei de conectare #m'$Qij de!itele pe conductele de conectare intre re(eroare #m%&sec$Qli de!itele pe conductele de simulare a spargerilor #m%&sec$azi coefcienti de!it pe conductele de conectare )simulare in*undari+azli coecienti de!it pe conductele de scurgere )simulare spargeri+unde i&1,',% si )i,-+&#)1,%+.)%,'+.)',/+$
0aca *olosim ecuatia:
Adh
dt =s )1+
unde s este suma tuturor de!itelor pentru toate cele trei re(eroare,o!tinem:
Adh1
dt =Q 1−Q 13−Q l1 )'+
Adh3
dt =Q13−Q32−Q l3 )%+
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 3/11
Adh1
dt =Q 2+Q 32−Q 20−Q l3 )+
2entru determinarea de!itelor Q13; Q32; Q20; Ql1; Ql2 si Ql3 se poate aplica
regula 3orricelli generali(ata:
4 ¿ azS n sgn (∆ h )√ 2g|∆ h| )5+
unde: g acceleratia graitationalasgn(z) semnul argumentu lui (
∆ h di*erenta de lic"id dintre doua re(eroare conectate
az coecient de!it de iesire )*actor de corectie, adimensional, alori reale de la /la 1+q de!itul re(ultat in conducta ce conectea(a re(eroarele
0upa aplicarea regulii 3oricelli de!itele pot f scrise ast*el:
Q13=¿ az1 Sn sgn (h1 -h3)√ 2 g|h1 -h3| )6+
Q32=¿ az 3Sn sgn (h3 - h2 ) √ 2g|h3 - h2| )7+
Q20=¿ az 2Sn √ 2 gh2 )8+
Q l1=¿ az l1 Sn √ 2gh1 )9+
Q l2=¿ az l2Sn √ 2gh2 )1/+
Q l3=¿ az l3 Sn √ 2 gh3 )11+
Cunoscand ectorii:
Vectorul nielelor de lic"id din cele % !a(ine:
"&) "1,"',"%+ 3 )1+
Vectoul de!itelor de intrare:
&) 1,'+ 3 )1%+
2entru ca(ul ideal cand nu exista aarii la nici un re(eror:
A)"+&) 1 −¿ 1%,%' −¿ '/, '
−¿ %' −¿ %'+
31
A )1+
;&) "1,"'+ 3 )15+
2entru a putea scrie sistemul de ecuatii de stare defnim matricea:
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 4/11
<&1
A (1 0
0 1
0 0) )16+
Sistemul de ecuatii pre(entat anterior poate f scris:
{dh
dt = A (h )+BQ
y=(h1, h2 )T )17+
=
1.2 Modelul liniarizat
Liniari(area sistemului neliniar a f reali(ata in -urul unui punct
static de *untionare determinat de :
ue=(Q1e ,Q2e )
T
La ec"ili!ru cele % niele or aea o aloare constanta= In consecinta
om aea urmatoarele relatii:
h1e=ct .⇔
d h1e
dt =0
h2e=ct .⇔
d h2e
dt =0
h3e=ct .⇔
d h3e
dt =0
In aceste conditii, aplicand sistemului comanda
Q
(¿¿1e ; Q2e)ue=¿
,
dupa un timp sufcient de lung acesta a a-unge la ec"ili!ru=
In ca(ul reginului stationar om considera de!itele de simulare a
spargerilor Qli ca find nule= Ast*el om o!tine ecuatiile in regim
stationar:
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 5/11
{
Ad h
1e
dt =Q
1e−Q13=0
Ad h
3e
dt =Q
13−Q
32=0
A d h2e
dt =Q2e−Q32−Q20=0
⟹
{ Q1e=a z1 Sn √ 2g (h1e−h3 e)
a z1
Sn √ 2 g(h1e−h
3e)=a z3
Sn√ 2g (h3e−h
2e )
a z2
Sn √ 2g h2e=Q
2e+az3
Sn √ 2g(h3 e−h
2e) ⟹
{h1e−h
3e=( Q
1e
a z1 Sn
)2
1
2g
h3e−h2e=( Q
1e
a z3 Sn
)2
1
2g
h2e=(
Q2e+Q1e
a z2
Sn
)2
1
2 g
Ast*el am o!tinut expresiile celor % niele in *unctie de de!itele de
ec"ili!ru si de constantele a z i = 2entru a o!tine alorile celor % niele
om considera a zi &1 si ue=(12∗10
−4
,0
) [m
3
s ] si om aea > alori
exprimate in metri:
{h1e=0.1602
h2e=0.0253
h3e=0.0912
In continuare om reali(a operatia de centrare in -urul punctului de
ec"ili!ru si om aea:
dh
dt =f ( h , u ) unde {h=h
0+ Δ h
u=u0+ Δ u si
dh
dt =
d Δ h
dt =
∂ f
∂ h Δ h+
∂ f
∂ u ∆ u
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 6/11
{d h
1
dt =
1
A (Q1e−az1Sn√ 2g (h1−h3))
df
dQ1
=1
A
df d Q
2
=0
df
dh1
=1
A (−a z1Sn
√ 2g
2√ h1e−h3e
)df
d h2
=0
df
d h3
=1
A a z
1Sn
√ 2g
2√ h1e−h3e
d ∆h1
dt =
1
A(∆Q
1e−az1Sn
√ 2g
2√ h1e−h3e
(∆h1−∆h
3 ))
{d h
3
dt =
1
A (a z1 Sn √ 2g (h1−h3 )−a z3 Sn √ 2 g (h3−h2 ))
df
d Q1=0
df
d Q2
=0
df
d h1
=1
A a z
1Sn
√ 2 g
2√ h1e−h3e
df
d h2
=1
A a z
3Sn
√ 2 g
2√ h3e−h2e
df
d h3
=1
A(−a z
1Sn
√ 2g
2√ h1e−h3e
−a z3
Sn
√ 2g
2√ h3 e−h2e
)
d ∆h3
dt =
1
A(az
1Sn
√ 2g
2√ h1e−h3e
(∆h1−∆h
3 )+az3Sn
√ 2g
2√ h3e−h2e
(∆h2−∆h
3 ))
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 7/11
d h2
dt =
1
A (Q
2−a z
3Sn√ 2g ( h
3−h
2)−a z2
Sn√ 2g h2)
df
d Q1
=0
df
d Q2=
1
A¿
a z1
Sn
√ 2g
2√ h1e−h3e
−a z2
Sn
√ 2g
2√ 2gh2e
¿df
d h2
= 1
A a z
3Sn
√ 2 g
2√ h3e−h2e
df
d h1
= 1
A ¿
¿
d ∆ h2
dt =
1
A(∆Q
2e−a z3
Sn
√ 2g
2√ h3e−h2e
(∆ h2−∆ h
3 )+a z2
Sn
√ 2g
2√ 2gh2e
∆ h2)
O!tinem ast*el ecuatiile di*erentiale care descriu sistemul liniar= Vom
alege:
x=(h1
h2
h3
) vectorul starilor
u=(Q1
Q2)vectorulintrarilor
y=(h1
h2)
vectoruliesirilor
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 8/11
Se a o!tine ast*el repre(entarea liniara a sistemului de *orma:
?epre(entarea in spatiu starilor este:
Numeric o!tinem:
1.3 Simulare
Q13=az
1S
1sgn (h1−h3 ) √ 2 g (h1−h3 ) ec= 1
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 9/11
Fig 1:Implementarea Simulink a ec. 1.
Ql1=azl1Sn√ 2gh3
ec= '
Fig. 2:Implementarea Simulink a ec. 2.
Conectam toate cele 6 su!sisteme ast*el incat sa o!tinem ecuatiile%,,5 =
Ad h
1
dt =Q
1−Q
13−Q l1 ec=
%
A d h3
dt =Q
13−Q32−Ql3 ec=
Ad h
2
dt =Q
2+Q
32−Q
20−Ql2 ec=
5
?e(ultatul conectarii su!sitemelor este pre(entat in fgura %=
7/18/2019 DTS Model Matematic
http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 10/11
Fig.
3:Conectarea subsitemelor.
Fig= pre(ita sistemul fnal cu intrari si iesirile acestuia=
top related