de evaluare la - math.uaic.rooanacon/depozit/ghid_evaluare_matematica.pdf · *klg gh hydoxduh od...

Post on 30-Aug-2019

2 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

������������� ����������������

�������� ���� ���� � ������ ��� ��

GHIDDE EVALUARE LA

����������

���������

2005

2 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Autori:

Prof. gr. I, Florica Banu

Prof. gr. I, ������ ��

Prof. gr. I, Ovidiu Cojocaru

Prof. gr. I, Mihai Contanu

Prof. gr. I, Sergiu Marinescu

Prof. gr. I, ��������

Prof. dr. ���������������Prof. gr. I, Marilena Stoica

Coordonator: Prof Univ. dr. �������������

����������������������� ���!�����"�#�$��%�&�'��

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 3

CUPRINS

Introducere.........................................................................................4

($�����&"��)�����%�&��%�&��������*��'�&��"��&��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$+

,$-������&�'����&�"�����������&��&��%�&�����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.

/$-����"����������%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$0

1$��&������&���'��������&�����%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$2

4.1. Validitatea..........................................................................9

4.2. Fidelitatea.........................................................................10

4.3. Obiectivitatea....................................................................10

4.4. Aplicabilitatea...................................................................11

+$������"������������'�����"��%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$((

5.1. Tehnici de testare – itemi obiectivi.....................................11

5.1.1. Tehnica alegerii duale...........................................12

5.1.2. Tehnica perechilor.................................................28

5.1.3. Tehnica alegerii multiple........................................39

5.2. Tehnici de testare – itemi semiobiectivi.............................57

+$,$($���������'���''����3 de completare...................57

+$,$,$4����)���'����������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.+

5.3. Tehnici de testare – itemi subiectivi...................................75

5.3.1. Rezolvare de probleme..........................................75

5.4. Metode alternative de evaluare..........................................95

Bibliografie......................................................................................104

4 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

INTRODUCERE

�� �����"�� �� �����'�& ����������& ��� ���� ����������! �������5

6�%�����5�%�&����# �����&� ���� ����� 7��# 6� ���� ��'���# �� ����& ���

�'�������������%�&�����$

�%�&����� 6� �����'�& �� 6�%����7�� �'�� � ����%����� �� ��&������#

��*��� ��� "� ������������ � ����&�� ���%��� �8����&� ������� �&� ��&�����

���8�'��5�&�% �� '����& �� � �8������� � 8����������� 6����*�&�� '�'���

����������&$ �%�&����� ��� 6� �����& �7�� �� ��& �� feedback pentru elevi,

���8�'���# ������� "� 8������ �� ���� ��$ �� �&����&� �%�&����� ���'������ "�

�&������ �� '���9�� 6� &����� �� ���� �� ���%��� ����8�����&� �������&���&��#

�8�������� �� ���*�� � "� ����������� ��'����&�� ��������� �&� ���������$ ����#

'����&��9���&�%�&������'��'��8�������&�����'�������'��������&�����

��&�����)������� ������������&�:�$����"�# $������#(22.#�$(;$

��"� �<�'�� � &��������� ����*�*��� )�*��� 6� �������& �%�&�����#

����'���'������������8�8�&�'����8������6��������'���$������������ �

�� ��� 6� �)'���� ���� �������&� "� ��'�������� �� �%�&���� ���� '� 8�� 6�

��'�'�� ������� ��&�� ���&����� 6� ���'� �������$ ��� ����'�� ���'�����%�

*����&"�5������''����&� � ��'���� ���'�����&�����������"����������&�

�%�&�����&�����������$

�������6"��������trei obiective [A. Stoica (coord.), 1996, p. 2-3]:

(=�&�)������ ����������&�*�� 5 "�# �� )� � ���'����# � ���� �<���&�

'����8�����%� 5 �� ���������� � �����&�� �� ���������� �� ��&����� �������

superioare.

,= �%���������� ���� �&������ �� ���������� � �����&�� 6� %������

������� )����&�� �� �����# �� '�)��'���&��� ����������$ ��'�� )���� ��� 8�

���&� �����7�6��%�&������������#�7�"�6�����<�����$

3) Realizarea unei �������� la nivelul grupurilor de lucru în ceea ce

���%�"������&����������&�)������������&�����'���������&�����������$

>����& ��'���� "� �<���&�8��� ��&� ���� ������ �� ����� ���&� ��� 6� ��'��&�

����������&�!�)�����%�#'����)�����%�"�����'���'�����'$

>����& '�����'�� �# 6������& �7��# ��&�������� ���&����� 6� ���&� ����

?�������&�� �� ��8���� � 4�%����7���&�� ������%��'���� ��� ���7���$ ��'��

poate fi 6�'����& ���������&������"�5�������������������)&���&�����������

"�6�%����7���&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 5

��������� �!���"�����#� ���#� ���������$���� ��!�� ��

�%�&����� �� �&����&�� "��&��� ������"�� '� ��������� ����& 6� ����

�)�����%�&�'��)�&���'����&� �� � 6� 6�%�����$�%�&���������� �����������'

�������� "� �� ������# ���7���5'� 8��� &� 6�������& ���*����&�� �� ��'������#

��������'�&���'����#'��&�8���&�&'��$

?�������������������&��'�����!

�=�%�&������'������������� ����'���'�)�&�������'�&�� ��'������%5

educativ;

)= ��������������� ��&�� ���� �&������ �&� �%�&�����! ��8�������#

���������# ���� ��$ ��8�������&� '��� )� � �� ���� ���� ���&������ ��� &�

8����&���� ���������&��@ ���������&� '��� �'������ �&� '�������� ��� ���� '��

���*�� � �&� �� �&����&�� %�������# ��� ���� ��&� '��� ������� ������ �������

����&����� �� �������$ 4� ���&�"� ���� ��8�������&� ��&�'� ���� �%�&���� '���

8������������ ��&�������� �'�8����������$

�= �%�&����� �� '� �� ��� &� � '��*��� ������� A��� �� 8� �������

�&�%�&��= �� �� �'�� ���'������� �����5� '����'���� �� ����%����� ����� ���#

având, deci caracterul unui proces.

���& �� �%�&���� ��� �%����9�& �� � 8���&� � ������� �'���� ���&��

�8����#��������"��"��������&������'�&������������&�8&���6�����5�&��$

�%�&�����6�6�%����7������� ������������������)&������"�6����&�"�

���� �� ������� �� �<����� � �� � �'������ ����&�<����� 6��7� �� �'��

'������ ��������� ��������&��*�%�������������������$

��& ��� 8���%���# ���� �� 8� '� �� ��8���� &� '������� �����&� ���

���7���#��������&�'�����&� ������8����� &�%���8�����&��������# &� ��'������

"��&���"� &��<�����#'�� &� B�%�&�������'�'���C%� ��������&��������

date statistice.

-����&���� �<�&����� � '����&�� �'�� ��&�%���� ������ �������&

�%�&����%#�'�*��7��#����������#��&�����������'����8������&����������

����%����� A�� �<���&�# ���������� "������8���=# "�# �� �� �&��# '����8��������

�����������'�&�$

�%�&�����'�������'�8�&�������&����'�������&��������������&�

scopuri:

6 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

a) Fundamentarea deciziilor ;

b) ?�� ������"������3���"������ �������)&���� ;

c) ��8&���������%�&�����'�'����&���%�&���$

?���������� �� � �'�*��� �����'�&�� �%�&����% ��&�����# ������!

%�&��������# 8���&������ '�� ��&�%����# ����� 8� �������� ��� 6� ���'�������

riguroase. Uneori, demersul evaluatorului va fi ghidat de criterii dificil de

8����&� ��#�&����������������"����&���)�&�$

������������������&��6������&�����'���&������&�����&�'�'���������'��

�%��������� 6��� �� ������ ������������ �� ���������%�'��&�� 6� �������� '�)

8���� ��&�� ��5�& B����&�� ������ �� ����������C$ �<�'����� ���� ���'�����%�

�������%� �������� ��� 6� �������� &� ���� '� �������� � ����&� �'��

���������'���� ������ �%�&����# �� ����� �<����� ��%��'����� � ��������&��

��������& ���&� �)�&� A'����&�# ��&����&�# ���������# �� ���8�������# ��

8� �)�&����� ���$= "� ����8����� �� 8����& �� ���'��� �� �&�� ��� ���&�������

'����'���� � ���� ���� %�&�� �� ���� �� �%�&����# '�� ��� B�����<��&C

demersului evaluativ.

%���&������ ������� ��!������������ ��� ��#� �����

?�������&�&�8�������&��%�&�����'���:�$����"�# $������#(22.#�$25(D;!

� &�������'��(��������� 6�%���������'����� &�����&��"�*��"�&�&���&�%�&�� "� 6�&�������� ���'����$ Feedback-ul primit de evaluator îi permite

���'����'�5"�����8�������&"��������&����������"�'�%���8��������&�%�&

� ���������������������"�����&� ����'��'�$-���������*��'���� '� ���&� �� �

������'��������"�������������*��'���$

� &������� )��(������ ���� 6� �%������ ���8�������&� %������� �&�

�&�%�&��$ ��'�&������� ������������������'�)�����������#'����<���&�#

'����&������������� �����%�������������"��&���"����8�'����&���&�%�&��$

-������ ���*��'���� '� ���&� �� � ���� ��'�� �� ����������# ��� "� ���� ��'��

����*�*��� ���� %���8������ �&�' ��&������ 6�%������ "� � ����������� '�&�������

��������%�����%�������$

� &������� '� ����� �����%��� ������ �7�� '� ����"�� �&�'�8������ "���������� ���������&�� &� �<�����&� "� ������'���&� "��&��� '�� �7�� '�

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 7

������"�� ������� �����&�%�&�������&�'�#"��&����$��'��&�'�������� �����

����������%�8�����'�)�&���������������������&� ��������'�&������)�����%�$

-������'����8���!

� &������� '� �������� �� ���������� '� *������� +,������������������-�

��&�������'����������������

.���&�����!�������������#� ����

?���� ��'���*� ���������&� 8���� �� �%�&���� :�$ ����"�# $ ������#

1996, p. 11-13]:

��������� �������� ���� '� ���&� �� � &� 6�������& ���� '��%����#

������&'�����&���6�%����7��$

��������� ������� ���� ��� &�� �� ��� ������'�& ��'8�"������

�����'�&�� �� 6�%����7��$ ���'�� %� �� � �� ��7� �������������&� 8���&�

�&��&�%�&��#�7�#����&�'# 8����������� 9��������'�����8���������� 6�%������$

��������8���������������������&� �����&�%'�8����'����6�����������

limite.

��������"���������6��%�&������������������ ��!

� �)'��%���� "� ���������� %��)�&� (de tipul: „bine”, „foarte bine”, „ai

progresat” etc.).

� ���'�����������&�.

�'�� ����'�� �� 6����)���&� '� ����"��'�� ������� '���&� ��

����������� � ����"�����&��# '�&����7�� ������������� "� ���&������� &��#

����������������������&�#���&���&���6���������$

���'�������� ���&� ����� 8� ������� '�� 8���&�$ ���'�� '� ���&� �� �

�����������6������&&�����&��"�'���'8�"����8�����&'������%����&$

���'��������8���&����&��6����'�����&��'������!&�'87�"����������&#

��'���'���#����"��&��'��&��<�����$

� ������&�'���'��������6���5������'����'�'�%���8�������"�����&�

����������������&�%�$

� Testele docimologice ������ '����� �� ����� �� �9�����& ������ '�

�%�&��� ���%�&�&�'���&��������"�����&��"��&����������&�������������&�$

�� ��� '�����& �� ��'�� ������&�*��� 6& ����� ���� testele standardizate, a

����� ��������&� ��&����� �'�� �� ��� 8� ������'�����# ������ "� ������������ 6�

8 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�������� �������� A'�������=$ ��'��&� '�������� ��� ������ �8�������� ��

����������6�����&�%�'��*���������&�%�$

� ����8����������&���������������8�����'�)�&�������%�&����������������

�&�%�&�� �� � ��&��� ����"�����&� 6� ��������# ������"� *����& �� '���7���� �

���������&��"�����������&��8������$

Aceste probe impun folosirea unor obiecte sau aparate, executarea

���� �<�������� '�� &������ �<���������&�# &������ 6� ���&���# �)'��%����

�����'������#��'�����#��'���#'�����#*��8���#���$

� Verificarea prin proiecte ����������������� ����&�<� "� �������� �

6�%������"�#����&�'#������8�����������&�����������8�����������%����&��

�&�%�&��# ���� 6"� �� ���*���� 6� ����%���� &�� ������'��� ������ ����%������

��'8�"�����$

��������� ���������/� �������� ���� (��0���# �'�� 6� �'����

�������%� "� '� 8��� &� �����%�&� ��� ���� �� ����# &� 8���&� ���� '��%����

�������&� '�� �������� A������&# ���'# '���'���# �� "��&�� '�� ���&� ��

6�%����7��=$ ���'�� �8��� ��'�)�&������ ���������� ����&�� 6� ���� �� 8�'�

����'� �)�����%�&� ���������� '�� '��%���� �&� &�� ��������� �� ��������

����*��&'�����������������&����'����$

4� �%�&����� '�����%�# ��'��������& ��& ��� ���������� �'�� ��'��&

standardizat.

Evaluarea de proces A� �� �&����&�� "��&���= ���'����� � �������

metodologie# 6� '��)�&���� ������ ���)��� ���� ��'���'��� &� ���������&�

6����)���:�$����"�# $������#(22.#�$(D5((;!

• Cui8�&�'�"���%�&�����E

– elevilor

– profesorilor

F�������&��

– factorilor de decizie

F��&����%����*�9�%��������)'�&%����

• Pe cine�%�&���E

F�����&�%��

F��������*�����%7�'��

F�&�%��&��������%����&

• Când�%�&���E

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 9

– de câteva ori pe an

– la date fixe

– continuu

• Cu ce��'���������%�&���E

– teste scrise / orale / practice

F�)'��%�����������6��&�'�

F�������������'�

– referate / proiecte

– portofolii

– tehnici autoevaluative.

1����� ������� ������������� �������#� ����

�%�&��������������������'�����A���������%�"���&�����%�="� 9�������

��%�&����$?�������8�������'�������&����)���'���'���������'��������

���%�&���� ���� �� ������� ��&�����# ������ �� �� �&���&� '� ��)� � �������

'����8������ ������ �%�&������# �%�&����# ��'������� "� '��������$ ?�������&�&�

��&����� �&� ���� ��'������� �� �%�&���� '���! validitatea, fidelitatea,

obiectivitatea"�aplicabilitatea:�$����"�# $������#(22.#�$/.5/2;.

4.1. Validitatea

��&�������� '� ��8��� &� B8����& ���� ��'��& ��'���� ���� �� �'��

��'����� '� ��'����C : �'�)�&# (2G(;$ ���� �<���&�# �� ��'� �� ��'����

�)�&����� ���������� �� ����� 8� '���' 6���5�� &��)�9 *��� ����'�)�& %7�'���

�&�%�&�� ������ '� ����'�� �# ��������# 6� ���'� 8�&# �� 8� ��'���� 6� �����&

�7�� �)�&�����&� �� ������ "� �)�� ���� ����� ��&� ����������$ 4� &���������

����*�*�����8�'��%����������7��%���������%�&�������!

� #���'����'���������������'��� 6����� ��'��&����������8���

�&������&�������������9���������&���'��� �$

� Validitatea de construct A����)���# (2GD= '� ��8��� &� ����������

�� ���� ��<��& ��'���� �� ������ ���'����� A�� �<���&� ����&�*����#

������%������# '����'�& "��&��=$ �� ��&��# %��� �� �� ��'� �� ����&�*���� '�

��'���� �<��� ����&�*���� "� ��# '��� �<���&� ������%������$ �� �'������

���%�"�� ����������� ������ ������ �����&�� "� �)�����%�&� ����'��� ������

�����������&��'���'��%�&�����#�����������&����5��%�&�&6�%������$

10 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

� #���'���� �������� '� ��8��� &� ����������� ������ �� �&����&�

�)�����������&�%&�����'�"����&�����������������������'���&���$����

���&�%��)������� �&����)���&�����'�����'���������������������&� �

��&� ����� �������� �� 8��� *��"�&� �� ��&��& &� �� ��'� 6� ���� '��� 8�&�'���

���'����������'������������&��'����%�&�����������������$

� #���'���� )�'����� '� ��8��� &� ��'��� 6� ���� ��'��& 8���

���*�� ����8�������&��%��������&��&�%�&��$?������'����������'��� �����

%�&������� '� ��&��&�� � ���8�������& �� ����&���� ������ ��������� A�<$!

�� �&����&� ��'��&�� �� �������� &� &����& ������������= "� �� �������� �����

A�<$!�� �&����&����&���"��&�%����������&����&����=$

4.2. Fidelitatea

Fidelitatea este calitatea unui test de a da rezultate constante în cursul

��&������&��'����'�%�$-���&�������'���������������'��������"�'�8�������

������ %�&�������$ �� ��'� ����� 8� 8���& 8��� � 8� %�&��# �������� ��'��& �����

��'����&���%����7��������8�'���'�����'���'����$

4.3. Obiectivitatea

�)�����%������ ����� ���� *����& �� ����������� 6���� ���������&� 8�����

���%�&������ ������������ 6����������%�"������'���')�������� 8������

din itemii unui test.

4.4. Aplicabilitatea (sau validitatea de aplicare)

�&���)�&�������'����&������������'����8�������'����"������������

���"������$

2����������!����3�����������������!���#� ����

��� ������& �� %����� �& �)�����%������ 6� ������ ������ '� �&�'�8��� 6�!

������)�����%�#�����'����)�����%�"������'�)�����%�A����'���'��'���'=$

Vom prezenta în continuare modul de proiectare al acestor tipuri de

����� A6�'���� �� �<���&�=# 6� ������� �������� ��� '�' ����� ���� ������

�)�����%������������ �� �'������&���������������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 11

5.1. Tehnici de testare – Itemi obiectivi

Descriere:�$����"�# $������#(22.#�$+"����������&�;

��'��&� �� ���*��' "��&�� F "� 6� '�����& ��&� '�������� ��� F �������

������)�����%�# ������������&� �� ��'�����������'������&�������'��&�%�&��

6���������������)�����%�&���������'��&�"�&��'���$4�����*���������&��

�)�����%� '��� ���&�"� ����� �� �&�*��� ���&� A���%����38�&'=# ����� �� ���

�������"���������&�*�����&���&�$

���'������� ���� ����� �� � ��&����� '���������# ������� ��� ����� ��

%����� ������ "� ����%��� �)�����%�&�� ������� ���# �'�� � ���%����� ����$

�&������&�'����8����&����'�����������8������������������'�)� �� �

6������&�7���������"��������������&��"� �������&������������������'���

�����# ������ "� �� %�&���8������ "� ���������� �%����9�&�� �� ���� &� �8���

evaluatorului.

���'�������������&�������&���)�����%�����'������#�"����'�*���� �

"� ��������� &��# obiectivitatea �������� 6� ��'������3�%�&����� �� �&����&��

6�%������# ����� ���� ���'��� '� '����� �# �� �)����# 6� ��� ��8������� �

�������&�� ��*����%$ ?����� ����'�� ����*���� �� ����� �� �'�� ����'��� �

'����� �� ������ ����&���� A%� � ����� �� ��� �'��=# ������9�& ����'��� ����

�����7���5'�# '�� ��# 6� 8������ �� �������� ��'���'�&�� ������ &� ����$

������ �)�����%� ��� 8� 8�&�'��� ������ ����� ��'���&��� – cu un grad de utilitate

��8����# 6� 8������ �� '����& ��'��&��# �)�����%�&� "� �����������&� ��'����� F

������&��8������%����9���'�)���'������&��&�&�������$

5.1.1. Tehnica alegerii duale

�������'���������� �� �����'�&���������&�%�&������'�������&'��

�����&����������������������������&��������&������&�������%����&�#

��� �� 8�! ���%����58�&'# ������5*��"��# ��5��# �����5�� �����# ����� 8�����&5

����������������$

���&� ����������������'��������'���'���&

�=�����"����������������A��*�&�����&��&=$

Exemplu (i) :

����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ���� ������� � ��

�8������� �'�� ���%�����# 6��������"�� &����� $ 4� �� ������� 6��������"��

12 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

&�����- "� 6�&�����"��# 6� '�����& &�)��# ��%����&� '�)&������ �� ���&�� ���� 8��

�8����������%�����$

A. F. ( = ($ -������&� �����&� ��������� ����� ���� ������

��������&�.

A. F. ( ) 2. Triunghiul isoscel are toate bisectoarele con-

gruente.

A. F. ( ) 3. Tetraedrul regulat este o �������� �����*���&���

��*�&���$

��'���'!($�������&�@,$����&�����&@/$ $

Exemplu (ii):

����"�� �� ������� �8�������&� ���������$ 4� �� �& 6� ���� ������� � ��

�8������� �'�� ���%�����# 6��������"�� &����� $ 4� �� ������� 6��������"��

litera F.

- ($ ��*�����& ���������� �� ������� ���� %7�8��� ���&������� �&�

������&�*�����%�<'�����"�����*���&�$

-,$��������'�������&��������)� �������$

A F 3. an–1=(a–1)(an–1+an–2+...+a+1), (∀ )n∈ N* "��∈ R.

��'���'!($ @,$-@/$ $

Exemplu (iii):

����"�� �� ������� 8������ ������ 6����)���&� �� ��� 9�'$ ���� ������� �

����'���'�&�������'��� #6��������"��&������$4��� �������6��������"��

litera N.

D N 1. Este 51% din 45 mai mare decât 20?

D N 2. Este 50% din 6/4 egal cu 3/2?

D �/$����.DH�����5��������'��(+#�'��������&���������7�(+E

��'���'!($�@,$�@/$�$

)=��������������������8�����&������������ �5�8���

Exemplu:

-������ ��� ��������&� �� ��� 9�' �'�� �����' ��� ���� ����� ����#

8���������%�����$����������'��'�������� ���������� ����������<�&���

�����'�����%����� �����$ 4� �� �& ���'�� 6��������"��� $ 4� �� �������#

6��������"����$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 13

� �� ($ ?������ �&� '��� 8����� ���������� ������ �� �<�������

��������'��)�&�'���������8����������������&��$

� �� ,$ ?������& �'�� ��&�*�� ��*�&�� ������ �� ��� &�����&� ���5

*������"���*�����&����*������$

� �� /$ ��������� �������� &�� ?���*��� �� ���)��� �����'�����

����������'���&���8��������$

DA NU 4. ƒ(x)=2x2–x+7>0, (∀ )x∈ R# ������ �� �������� %7�8�&�� ��5

��)�&���'���� ���%�$

��'���'!($��@,$��@/$�� ; 4. Nu.

%����9�"�&������&����&� �������������&�*�������&�

Principalul avantaj legat de utilizarea acestei tehnici este acela al

�)�������# 6���5�� �����%�& �� ���� ����'# � ���� %�&������ �� �� �&���� �&�

6�%������$���)��������&�<���������'���������'������'�'�������$

Una dintre cele mai întemeiate critici aduse acestei tehnici este aceea

��������8�����������������8������������#�����%������������&���6����

����'�������"������������'�)������&�������%�����%�����$

��������������������'������������&��#���&� 7����������&�*�������&�

a) ���� ��� ����� �������� �� ��� ������ ����� ����� �� ����� ����� ��

�� �������������� ������������������� ��.

Exemplu:

- ($ �� �&����& 6���&����� � �������� ���� ������ �'�� ��� ����

decât oricare dintre factori.

AGID#+J1"�0I,J(1=$

b) ������������������������� ������������������������������

Exemplu:

- ($ ?���� ����� ������������ � 8�'� �������� 6� &��)� ���7�� 6�

anul 1837.

c) ����������������������������������������������������������

������ ����������� �����.

14 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Exemple :

1.

- ($ �� ����� ������& ���� �� '� ����� '���� '�) 8���� ,K �'��

����������AK∈ N).

Reformulare:

-($�����������'�'����'�)8����,KL(�'������������AK∈ N).

2.

A F Cel mai m��������������&8���������������8����8������'��2G0.$

Reformulare:

- ��&������� ����� ������& 8����� ��� ����� ��8��# ������� ����

diferite este 9876.

d) �������������������� �� ���������� ������������������������ �.

e) ���������� �������������������������� ��� ����� ������������

(����������������� �������������������������������������� ����������

�� �������������).

Exemple de itemi

1.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 �������� ��

numere naturale

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ������� �8��������

��������&��$

�����! 4� �� �& 6� ���� ������� � �� �*�&������ �'�� ���%�����#

6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-"�'����6�'�����&&�)��

'�)&������� �&����&����8����8����������%�����$

A. F. ______ 1. (52–24)2=81.

A. F. ______ 2. 64:8:23=64.

��'���'!($ @,$-$�� �&����&�'��($

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ���� �� �&����� ���

��������'����������&����$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 15

�����! ?��%��� ���*����&� �� ��� 9�'$ ���� ��'���'�& 8����&�� �'��

������ 6��������"�� # ���� �'�� 8�&' 6��������"�� -$ ���� ��� 6�������� -

'������6�'�����&&�)��'�)&������� �&����&������$

A. F. ____________ 1. A={1;2;5;7;8}

A. F. ____________ 2. B={2;3;4;5}

A. F. ____________ 3. C={5;4;6;7}

A. F. ____________ 4. B∩C={2;3;4;5;6;7}

A. F. ____________ 5. A–C={1;7;8}

A. F. ____________ 6. (A∪ B)\C={6}

A. F. ____________ 7. A∩B∩C={5}

A. F. ____________ 8. (C–A)∩B={4}.

��'���'! ��%�����!(#,#/#0#G$

3.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��%� �)�&�����$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����&� � �������������8�������&

universal “oricare”.

�����!-��������&? = −3 1

2

4n

, n∈ N$����������� �������� �����'��

���%�����6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

A F 1. (∀ ) n∈ N, P∈ N

A F 2. (∀ ) n∈ N#��8���������&��&��?�'��+

A F 3. (∀ ) n∈ N#��8�� ���&��&��?�'������

A F 4. (∀ ) n∈ N#������&?�'����%� �)�&��(,$

��'���'! ��%�����("�/$

4.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��%� �)�&�����$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'�������������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"�� &����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

1) (�'����������� A F

2) ,�'����������� A F

3) /�'����������� A F

4) 1,2,3,5,7 sunt toate numere prime A F

5) 2,3,5,7,11 sunt toate numere prime A F

6) 3,5,7,9,11 sunt toate numere prime A F

��'���'! ��%����!,=#/=#+=$

16 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

5.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'����5�3?�������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �8&� �H �����5�� ����� �������&

pozitiv.

�����!����������� � �� �� �&����&�'�����%���� 6��������"�� &����� $

4� �� ������� 6��������"�� &����� -$ ���� �� 6�������� - '���� 6� '�����&

subliniat rezultatul corect.

A. F. ______ 1. 25% din 250=62,5.

$ -$ MMMMMM ,$ ���� � 8���&�� ������ &� )���� +DD ��� �� �

��)7��� 8�<� ����&� �� (DH# �����"�� ���� �� ��

suma de 10 miliane de lei.

��'���'!($ @,$-$��'���'������!++D���$

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3������'���&��

unghiurilor unui triunghi.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &� '���

��'���&����*�����&�����������*��$

�����!����������� � �� �� �&����&�'�����%���� 6��������"�� &����� $

4� �� ������� 6��������"�� &����� -$ ���� �� 6�������� - '���� 6� '�����&

subliniat rezultatul corect.

$-$MMMMMM($���������*���& ��#�������*���6� #�����*���&�

����'���+1o#��������*���&���'����/.o.

$ -$ MMMMMM ,$���� 6� �����*���& �� # [ � "� [BF sunt bisectoare

interioare, m(∠ BAE)=30o"��A∠ ABF)=20o, atunci m(∠ ACB)=90o.

��'���'!($ @,$-#��'���'������!�A∠ ACB)=80o

7.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��&����

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����&����6������&����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"�� &����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

(=������&���� "��'����*�&����������&�"�

��������&������$ A F

,=������&���� "��'����*�&����������&��"�

elemente. A F

3) {0}⊂ N A F

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 17

4) 0∈ N A F

5) {1,2,3}⊆ {1,2,3} A F

6) {0}=∅ A F

7) {1,2}⊂ {1,5,7} A F

8) {{1}}={1} A F

��'���'! ��%�����!,=#/=#1=#+=$

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�����������8��������&�����������

���������8���$

�����!���� ������� � �� ������& ��� �'�� ������ ���8���# 6��������"��

&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

A F 1. n= 81 8 1250⋅ ⋅A F 2. a= 5 2n + , n∈ N

A F 3. b=52n+1⋅10⋅24n+1, n∈ N

A F 4. m=21997.

��'���'! ��%�����!(#/$

9.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulatere

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �����������&� �����&�����&��

studiate.

�����! ����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����

������� � �� �8������� �'�� ���%����� 6��������"�� &����� @ 6� �� �������

6��������"��-$

1. Trapezul este un patrulater convex. A F

2. Rombul este un poligon regulat. A F

/$?������&�'�������)$ A F

1$?������&�'��������� $ A F

+$�������*���&�'����������$ A F

6. Dreptunghiul este un paralelogram. A F

��'���'! ��%�����!(#/#.$

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���������������������&�$

�����! ���� ������� � �� ����� ���� ��� ������� ������&�� �� ������

�'�����%�����6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

18 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

1. a=b unde a= 4 3− "�)= 9 2− A F

2. x<y unde x= 3 1− "�N= 4 2 3− A F

3. m<n unde m= 2 7− "��= 3 8− A F

��'���'! ��%�����("�/$

11.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Dreapta

����������&��������&��$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ �������

perpendiculare pe un plan.

��������&������9�''��������'������������� ����$����������'��

'� ������� � ���� ����� ���� � ���� 9�'��8��� de ce �'�� ���%����� �����

����� ����$ 4��� �& 6������'�����%����� 6��������"��� # ��� 6��� �������

6��������"����$

� $��$($�������*���& ���"� ����� �&���-'���'������6��&���

diferite, AD⊥ (CDE) �������� AD⊥ �-"� �⊥ CD.

DA. NU. 2. ABCD romb, AC∩BD={O}. Se îndoaie rombul în jurul

������� �� �7�� �7�� �&���&� A ��= "� A���= ��%��

diferite. CO⊥ AD ���� CO⊥ AO.

��'���'! ��%�����("�,$

12.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������&������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�%���8�������������&������������

'����*��8���&��8�����������$

�����!����������� ����8�������'�)&�������'�����%�����#6����5

����"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

A F 1. f:R→R ; f(x)=x, M(2,2)∈ Gf

A F 2. g:[0;2]→R; g(x)=5, N(3;5) ∈ Gg

A F 3. h:(-∞;1) →R; h(x)=2x+1, P(1;3) ∈ Gh

A F 4. i: [2,23;+ ∞)→R; i(x)= 5 x-1, T( 5 ;4)∈ Gi

��'���'! ��%�����("�1$

13.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�& ! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ �������� ��

8������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 19

�����! ����"�� �� ������� ����� ����&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����

������� ����8���������8���"���8������#6��������"��&����� $����������� �

���8��������'��8�&'�# 6��������"�� &�����-"�'����6�'�����& &�)��'�)&������

%����������������������&������8������$

A F_________(=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=�

��� −

.

A F_________,=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=2x–1.

A F_________/=-��8������ƒ:[0;5]→[0;2], ƒ(x)=x–1.

A F_________1=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=�

��� +

.

A F_________+=-��8������ƒ:[0,∞)→[3;4], ƒ(x)=x2.

��'���'!($�5{ -1,1} ;2.A; 3. [1,3] ; 4.A; 5. [ ]3 2,

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3 '�������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&������&��'$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

�����'����������*���& ��"�������&��∈ (AB), N∈ (AC). Atunci:

A F 1. MB

MA

NC

NA+ =1 ����"�����������∈ MN, unde I este centrul

cercului înscris.

A F 2. MB

MA

NC

NA+ =1 ����"����������>∈ MN, unde G este centrul

de greutate.

��'���'! ��%�����,$

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������"����*���������3�&�'����5�3

-���������*����������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �����������������&������

8���������*����������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($-������8!�→�#8A<=J'��+<�'�����������������������������&�

To=2

5

π

-,$-������8!�→R, f(x)=cos2<�'���������������������

��������&��o=π

20 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

-/$-������8!�5 ( )2 12

k k Z+ ∈

π/ →R, f(x)=tgx+sin2<�'�����������

������������������&��o=2π.

��'���'! ��%�����!("�,$

16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�"����������&���8������'�����

��������#8��������9����%�"����&������6�������'���$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($����8������8![0,1]→��'����9����%�������8�'��'�����

��������$

-,$����8������8![0,1]→��'��'�������������������8�'��

��9����%�$

��'���'! ��%�����,$

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������'��'�������������&�����&�

'�)8������������ �����&�$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($������&�JD#(,/$$$G2(D(((,(/$$$�'��������������&

-,$������&)JD#(D(DD(DDD(DDDD($$$$�'���������������&

-/$������������������&'���''�)8����������� �����&�����&

�����,��8������'������������8������������$

��'���'! ��%�����,"�/$

18.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3���)���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�'��)�&��'��������������&�

���8�������&�������� %�&����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� 6��������"��&�����-$

�����'������� %�&�����!A(L<L<2)13=a0+a1x+...+a26x26.

Atunci:

A F 1. a0+a1+a2+..+a26=213

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 21

A F 2. a0+a1+a2+..+a26=313

A F 3. a0+a2+a4+..+a26=3 1

2

13 +

A F 4. a3= C C C133

131

121+ ⋅ .

��'���'! ��%�����!,#/"�1$

19.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ���5� 3 ?�&������ ��

���8�����������&��"�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������'����������������&������

��&���������8�����������&��"�$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

�����'�������&�����&8J�3+(i+3)X2+(2+3i)X+6∈ C[X] $ �������������

ale polinomului f sunt:

A F 1. x=i

A F 2. x=-i

A F 3. x=3

A F 4. x=-3

��'���'! ��%�����!("�1$

20.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3

Numere reale.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&������*�&���������������

��8��������&�8���������*����������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($����<∈ (0,π2=��������&�����*�&�����&�!'��<<tgx<x.

-,$����<∈ (0,π2=��������&�����*�&�����&�!'��<<x<tgx.

��'���'! ��%�����,$

21.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3�������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������&����6�����������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

22 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Fie A, B, C, D, E∈ M2(C=����%���8����*�&�����&�!

A4=B⋅C⋅D⋅E, B4=C⋅D⋅E⋅A, C4=D⋅E⋅A⋅B, D4=E⋅A⋅B⋅C, E4=A⋅B⋅C⋅D.

A F 1. A5=B5=C5=D5=E5

-,$���<�'�������������� #�#�#�#���8���������%���8���

'���&�����������&��������� �$

Rezolvare: A5=ABCDE=BCDEA; B5=BCDEA=CDEAB;

C5=CDEAB=DEABC; D5=DEABC=EABCD; E5=EABCD=ABCDE. Deci

A5=B5=C5=D5=E5.

������� 5J(���'�&����&�����&�<�!ε0, ε1, ε2, ε3, ε4. Matricele A=ε0I2;

B=ε1I2; C=ε2I2; D=ε3I2; E=ε4I2%���8�����������&��������� �"�'�����8�����$

��'���'! ��%�����($

22.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������$

�)�����%!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������"�����&���8��������&�"�����&�

de numere reale.�����!-�� ( )a n n 1≥

��"�������������&�$

����"���8�������&������9�'"�6��������"��&����� �����8��������'��

���%����� "� &����� - ���� �8������� �'�� 8�&'�$ 4� �� �& 6���������� &������ -

*�'������������<���&�$A F (=���� ( ) ( )n1+2nn2n a ,a "� ( )n3na ��&����������� ( )a n n

���&�����$

A F ,=�����nQ → � ∈ R"�σ:N*→NO�'��)�9������������σ(n)

Q → �.

A F 3) anQ → 0 ⇔ |an|

Q → 0.

A F 1=�����nQ → a∈ R, atunci |an|

Q → |a|.

A F +=����P�n|Q → |a|, atunci an

Q → a.A F .=�����n

Q → +∞, atunci ( )a n n�'�������*����$

A F 0=���� ( )a n n�����*����#������|an | Q → +∞.

A F G= ���� �n>0, ∀ n≥( "� ���Q

anJD# ������ �<�'�� �0∈ N* astfel încât

∀ m>n≥n0 avem : am≤an.

A F 2=�����n>0, ∀ n≥("����Q

�Q��

Q

=�<1, atunci anQ → 0.

A F (D=�����n>0, ∀ n≥("����Q

�Q��

Q

=�>1, atunci anQ → +∞.

Rezolvare: 1) A; 2) A; 3) A; 4) A; 5) F, an=(–1)n; 6) A; 7) F;

an : 0,1,0,2,...,0,n,...; 8) F, an : 1,�

��

��

��

� � �� � ��

��Q.; 9) A; 10) A.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 23

23.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&��-�����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

Fie a, b, c, d>0 astfel încât ax+bx+cx+dx≥4 , ∀ x∈ R, atunci:

A F 1. a⋅b⋅c⋅d=1

A F 2. a⋅b⋅c⋅d=4

A F 3. a⋅b⋅c⋅d≠1

�� �&%���!���'������8������8!R→R, f(x)= ax+bx+cx+dx-4.

?�������� �8A<=≥0, ∀ x∈ �@8AD=JD�����8A<=≥f(0), ∀ x∈ R. Cum f este

����%�)�&�"�<oJD�'���������������� �&����8/(0)=0 conform teoremei lui

Fermat. Deci lnA�)��=JD�� �&���)��J($

��'���'! ��%�����($

24.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�������8�����������&�����������&�

�����������&���&��&�&����8�������&$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($-�������8! −

→π π

2 2, R , f(x)= sin3 x 6��'����&���)�&��������

lui Rolle.

-,$-�������8![ -1, 1]→R , f(x)= x 6��'����&���)�&��������&��

Lagrange.

A F 3. Fie 0<a<)"�8������8![a, b]→R����%�)�&�$-������&��

g,h: [a, b]→R definite prin g(x)=f x

x

( ) , h(x)=

x

�, ∀ x∈[ a, b] li se poate aplica

teorema lui Cauchy.

-1$����8#*![a, b]→R'�����������#����%�)�&���A�#)="�

g/(x)≠0, ∀ x∈ (a,b) atunci se poate deduce teorema lui Cauchy aplicând

8������&��8"�*�������&���*���*�$

��'���'! ��%�����!("�/$

24 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

25.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>�����������&�����3�&�'����5�3

Conice.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�'�������8���8������������������

�������*�����&����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

>��8���&8������� f x x x( ) = − −8 3 2 ����� ����!

-($���������)�&�

A F 2. arc de cerc

-/$������&��'�

��'���'! ��%����� : 2.

26.

�'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���������������&���������&����

"�����"�&�����&����'����$

�����! ����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����

������� � �� �8������� �'�� ���%����� 6��������"�� &����� $ 4� �� �������

6��������"��&�����-"������������<���&�$A F ($�����'����� "�����&� ( )xn n 1≥

"� ( )yn n 1≥ pentru care ∃ n0∈ N* astfel încât

xn≤yn, ∀ n≥n0"�ynQ → 0, atunci xn

Q → 0.A F ,$���� ������ "�����&� ( )xn n 1≥

"� ( )yn n 1≥ �<�'�� �0∈ N* astfel încât xn≤yn,

∀ n≥n0"� ���Q �→ ∞

xn=+∞, atunci ���Q �→ ∞

yn=+∞.

A F /$ ���� ������ ����� �∈ N*, xn≥0, yn≥D "� ���Q �→ ∞

(xn·yn)=+∞, atunci

���Q �→ ∞

(xn+yn)=+∞.

A F 1$ ���� ������ ����� �∈ N*, xn>0, ynQD "� ���Q �→ ∞

(xn+yn)=+∞, atunci

���Q �→ ∞

(xn·yn)=+∞.

A F +$ ���� "�����&� ���&� ( )xn n 1≥ , ( )yn n 1≥ , ( )zn n 1≥# %���8��� ��&����

���Q �→ ∞

(xn·yn·zn)=+∞, atunci ���Q �→ ∞

(xn+yn+zn)=+∞.

A F .$���� ���Q �→ ∞

an=+∞, atunci ∃ n0∈ N* astfel încât an≤an+1, ∀ n≥n0.

A F 0$���� ���Q �→ ∞

bn=–∞, atunci ∃ n1∈ N* astfel încât bn+1≤bn, ∀ n≥n1.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 25

A F 8. D��� ( )a n n 1≥, ( )b n n 1≥

'��� ���� "����� ���&�# ( )b n n 1≥ '����� ���'����� "�

�����*����"�∃ ���Q �→ ∞

�Q

Q

= ∈l �, atunci ���Q �→ ∞

� �

� �Q�� Q

Q�� Q

−−

= l.

A F 9. ��������������'�������������&����8���������������'����'�����$

A F (D$ -������ ƒ:R→R, f x xx

x( )

sin ,

,=

=

10

0 0

�� �'�� �������� �� ���� �

%�������������*����$

A F 11. ����������� �� �����%�& �⊂ R �� ���� 8������ ƒ de la punctul 10 este

��������$

��'���'!

($-�&'�$�������<���&�xn=–2, yn=1/n, ∀ n≥1.

,$ ��%�����$-���∈ U(+∞) ⇒ ∃ε >0, (ε,+∞)⊂ V, ∃ n1∈ N*, ∀ n≥n1, xn>ε. Fien2=max{n0,n1R"��≥n2 ⇒ yn≥xn>ε deci ���

Q �→ ∞yn=+∞.

/$ �&�������*�&�����������&��"��<�������&,$xn+yn≥2 � �Q Q� →+∞, deci

xn+yn→+∞$ 8��������'�����%�����$

1$-�&'�$�������<���&�xnJ�"�yn=1/n, ∀ n≥1.

+$ ��%�����$ �&�������*�&�����������&��! xn+yn+zn≥3 � � �Q Q Q� �� deci (xn+yn+zn)→+∞.

.$-�&'�$�������<���&�!(D#(DF(#(D2, 102–1, ..., 10n, 10n–1, ...

0$-�&'�$�������<���&�!F(D#FA(DF(=#F(D2, –(102–1), ..., –10n, –(10n–

1), ...

G$-�&'�$�������<���&�!�n=(–1)n"�)n=n, ∀ n≥1.

2$ ��%�����$

10. x0JD�'��������&����'��������������'����� ��5�#����ƒ nu este

���������������%�������������*����$

11. I=2

5

1

2π π,

27.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'�����5�3

Integrale definite.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �����*��&�8�&�'���'�)'�������

trigonometrice.

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

26 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Valoarea integralei ( )

( )

3

3

7

90

3 −+∫

x

xdx este:

A F 1. 1

16

A F 2. 1

48

�� �&%���!-����'�)'�������<J/��'�Jϕ(t), ϕ:[0, π/2]→[0,3] este

����%�)�&�������%�����������!

ϕ /(t)=-3sint, ϕ(0)=3, ϕ(π/2)=0 deci I=1

3 2 215

0

2

⋅ ∫ tgt

tgt

dt( ) //π

=1

48 2

1

4816

0

2⋅ =tg

��'���'! ��%�����,$

28.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'�����5�3

Integrale definite.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����%� ��8��������8�����������5�

����*��&�$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

�����'�����8������8! [ ]1, π →R, f(x)=sin t

tdt

x

1

2

∫ , atunci:

-($8�'��'�������������

-,$8�'������������$

�� �&%���!-������ g tt

t( )

sin= �'�����������������%�&�& [ ]1, π deci

�'������*��)�&�"��������������%���>$ �&��7���������&����)�� 5��S���

�)�����!

f(x)=G(x2=5>A(=�����'������%�)�&�$

f/(x)=2xG/(x2)=2xsin sinx

x

x

x

2

2

22= >0, ∀ x∈[ 1, π )

��'���'! ��%�����($

29.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����������%������*����&��

simetric.

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �� �������6��������"��&�����-$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 27

Fie (Sn,°=*����&��������%�&���������&����*����������!

A F 1. n≥3

A F 2. n≤2

��'���'! ��%�����,$

30.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������%� �����������������

��&������������8������������5������8����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$Polinomul [ ]XZXf �

� � ∈+=�

este.

A F 1. reductibil

A F 2. ireductibil.

��'���'! ��%�����($

5.1.2. Tehnica perechilor

��'������"����&� ��� [ �$����"�# $������#(22.]������� �������&�� '�&����� ��� ������ �&�%�&�� '��)�&���� ����

����'��������6������%����#����� ����#8�� �#������#&�����'���&������*����

��'��)�&���#��'���)������������&����$

�&������&� ��� ����� ��&����# �������� �����'�# ���'������ ������&

�����&��# ��� ��&� ��� ��&���� � ���� ����� ���� ��'���'���&�$ ��������& '��

��������&� �� )� � ������ '� '��)�&�"�� ��'���'�& ������ '��� �������� 3

�<�&�������6���'���������&�������������&����&��������'�"�����'���'���$

���&� ���� '� &������ � &� ��'������ �)�&������ �� � ������8��� ��&����

�<�'�����6������������*����!

�������F��8������

reguli – exemple

simboluri – concepte

������F�<���&�8�����$

�������������������

�='� ���&���������� ���*�&����'���'���"��������'�# ����&�%��'�

8�� ��'������ �� 8������ ��'���' ����� 8� 8�&�'�� � ����# �� ��� ��&�� ��� '��

���������@

28 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

)= &�'�� ��'���'���&�� '� 8�� ��*�9��� 6���5� ������ &�*��� A�� �<���&�!

��������&8�)�������������'���'����������'�����<��������6���%����'��

������� ���'������� 3 ��'���'������� ������ ��'���'��� ��������=$ ���'��

������� %� �� � �&�������� 8���� ���� �������� ������� ���� �� ����� �������

�&�%�&'���B*�������T��'���'�&��������@

�=����������'�&�"���'���'���&����� ���������&�"����'�8���&�'���

�������"���*���$

%����9�"�&�����

Tehnica permite abordarea unui foarte important volum de rezultate de

6�%����� 6���5�� �����%�& �� ���� ����'# �� ���&� ���� �8������� � '�����&�� ��

8��&� �� ��'�# �7� "� �� ���&� ���� �8������� � �����&�� ���8�'���&�� &� ������$

�"���������'�������������&���'�����'���������%����98���%������������

6� &�*����� �� ����'�� �������# �� ����� �� �'�� ���)�)�& ��� ������ '�

'��������'������"�������'���������������&�����'&�)����7����&��

)�����&�����$��������������8����&� ����������)������������� �&������

6�%����� ����&�<�# 8���� �� �'������ ��8���&# 6� ���&� �� ���# '� ���'�����

&�'���������'�'������'���'�������'�8�����*���$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��8������ ��������&�� ��

��&����$

�����! 4��������&���'�7�*� 8������� �7��'������ ��8������'��� ������

��&�������'�����%�$

A∪ B 1 {x x∈ "�x∈ B}

A∩B 2 {x x∉ A sau x∉ B}

A–B 3 {x x∈ A sau x∈ B}

4 {x x∉ "�x∈ B}

5 {x x∈ "�x∉ B}

��'���'! ∪ B→3; A∩B→1; A–B→5.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 29

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5���%� �)�&�����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��%� ���� ���� �����

natural.

�����!������� 6��������&� &�)������������� 8�������������� ������8��

divizorul admis din coloana din stânga. În cazul în care nici unul dintre

������&����'�7�*����'����%� ���������6���'���'����&U$

2 121

3 122

5 123

125

127

��'���'!(,(→x; 122→2; 123→3; 125→5; 127→x.

3.

��'���&��� 3 ������&�&3 �&�'�! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � � '���&�8������ '��

���&�8������8������&��$

�����! 4�'���� 6�'�����&��� 8���8�����������������&���� &��������

��&�����������������������*�&��������&�����&���� $

A B

______ 1. 720

480 M

1

3

______ 2. 462

1155 N

2

5

2

______ 3. 2541

7623 P

7

11

______ 4. 7 11

7 11

1

1

n n

n n

⋅⋅

− Q 21

14

______ 5. 2 3 5

2 3 5

1998 1997 1996

1996 1997 1998

⋅ ⋅⋅ ⋅

R 18

25

S 22

55

��'���'!(→Q; 2→S; 3→M; 4→P; 5→N.

30 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

4.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Triunghiul

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'� ������8��� �������� �����*����� 6�%�����

���7������"����&�'�8�����������*�����&������&��������"�������*�����$

�����! 4���&���� �%�����'������7��%��������������*�����$ 4�'������

6� '�����& ��� 8��� 8������� 8�*��� &����� '�� &�����&� ��� ��&���� � ����

corespund tipului de triunghi desenat.

A

B

�F�'�������*���

b – obtuzunghic

c – dreptunghic

d – isoscel

e – echilateral

f – scalen

��'���'!(→c,d; 2→b,d; 3→f; 4→c.

5.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Clasificarea

triunghiurilor.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��&�'�8��������*�����&�������8�������������$

�����! 4� ��&���� �%��� '����8����� ������ �� �����*�����$ 4�'������ 6�

'�����& ��� 8��� 8������� ��� ��� ��&���� # &����� ��� ��&���� � ����

����'���������&���������*�����������6���&���� $

A B

MMM($�����*���&������&��������*������ D .∆ dr. isoscel

___ 2. Triunghiul cu un unghi drept E. ∆ scalen

___ 3. Triunghiul cu toate laturile congruente F. ∆ obtuzunghic

MMM1$�����*���&������*�������"����� G. ∆ echilateral

laturi congruente H. ∆ isoscel

___ 5. Triunghiul cu un unghi obtuz I. ∆ dreptunghic

��'���'!(→H; 2→I; 3→G; 4→D; 5→F.

__

1

2

3

4

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 31

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3?��������$

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'����&� � ������������� 8���������&��

����������$

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� ������&�� �� ������ ��� �����

��&����#&���������������&������������'������� �&����&��������$

I II

_____ 1. x

2

3

5= A

15

13

_____ 2. 3 4

1x= B 5

_____ 3. 1

2 8= x

C 1

2

_____ 4. 2

1

215 2 3

2

36− ⋅= x

D 2

_____ 5. 2 2 7 2

1

32

3

15 7 7:( )⋅ ++

=x

E 4

F 6

5

G 3

4

��'���'!

1 2 3 4 5

F G E B D

7.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulatere

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �����������&� �����&�����&��

6�%�����$

�����!?������&�������)�&�&�������9�''�����'������7��%������&�����

������������&���� '���'���'������������ �&����'����$������� � �� < ��'���&�

����'��� �����������������&�����%�����������8�����������&����$

Figura

Proprietatea

Trapez Paralelogram Dreptunghi Romb ?�����

����&��������'�'�������&�&�

�����&����'�'��������7��

��������&�&�

32 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����&����'�'��������7��

�������*������

Toate laturile congruente

Unghiurile opuse sunt congruente

Unghiurile sunt drepte

Diagonalele sunt congruente

Diagonalele sunt perpendiculare

���*���&�&�'�6�9�������'�

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3��������&���8���&�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� 8����&� '�� ��&����

6�%�����$

�����! 4�'���� 6� '�����& &�)�� ��� '�7�*� ������&�� �� ������ �&�

��������&������'��� ��������&������#&����������&�������������'�����

formulei corecte.

M N

1. Aria triunghiului A. �%� E� K�

2. Perimetrul dreptunghiului B. 2ab/(a+b) 3. Aria trapezului C. 2(L+�)

1$�������������������������� D. ba ⋅

5. Media geometric������������ E. E K

×

��'���'! F. (a+b)/2

1 2 3 4 5

E C A F D

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%��<������������������&�$

�����! 4�'���� 6� '�����& &�)�� ��� '�7�*� ������&�� �� ������ �&�

��������&�� ����'��� ������ ��&����� �# &����� ��� ��&���� � ���� ��5

��'�����������&��������.

M N

____ 1. (-1

2):(-

2

3)-1 A -

5

2

____ 2. 75 48 2 27:( )− B 1

3

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 33

____ 3. ( )6

52 3 27

1

5: : − C 0

____ 4. 1

8

2

18

5

322+ −

⋅ D − 2

15

��'���'! E − 1

12

1 2 3 4

B A D E

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3���������&�

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� �&������&���&����&��N,

Z, Q, R, R–Q, R*.

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� 8��� 8������� ����� ��� ��&���� # &����� ���

��&���� � ���� ����'����� ��&����� ��� ���� 8��� ����� ������& ��������� 6�

coloana A: A B

___ 1. x=2,(3) D. x∈ N*

___ 2. x=–5 �

�E. x∈ R–Q

___ 3. x=0 F. x∈ Z–N___ 4. x= − G. x∉ R

___ 5. x=π H. x∈ Q–Z, x pozitiv

___ 6. x=–11 I. x nul

J. x∈ Q–Z, x negativ.

��'���'!

1 2 3 4 5 6

H J I G E F

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������&������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� ������ ���� �������

*��8���&������8����������$

�����! 4�'���� 6�'�����&��� 8��� 8�����������������&���� &��������

��&���������������������&����������*��8���&��8������������&���� $

A B

____ 1. f:R→R, f(x)=x+1 M(2;0)

____ 2. g:R→R, g(x)=2x-1 N(-1;3)

34 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

____ 3. h:R→R, h(x)=-1

2x+1 P(0; -1)

____ 4. i:R→R, i(x)=7 Q(2;3)

R(1;7)

��'���'!

1 2 3 4

Q P M R

12.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Corpuri rotunde.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� 8����&�&� ������ �8&����

ariei totale a unor corpuri geometrice.

�����!4�'����6�'�����&���8���8�����������������&���� #&��������

��&���������������8����&��������$

A B

____ 1. Cilindru circular drept M AWRWDO�=4πR2

____ 2. Con circular drept N AODWHUDO�=πG(R+r)

____ 3. Trunchi de con circular drept P A ODWHUDO�=2πRh

____ 4. Sfera Q AWRWDO�=πh(R+r)

R AODWHUDO�=πRG

��'���'$

1 2 3 4

P R N M

13.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�������8����������&��<������8������

�&����8����������$

�����!-��8������ƒ:I→R#��8���������ƒ(x)=� � �

�� �

− +−

, unde I⊂ R.

4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� ������&�� �� ������ ��� ����� ��&����#

&���������������&������������'�������&������������$

I II

MMM($�������&��<������8������ A. {-4,-1}

MMM,$��&�����������&��x∈ Z astfel încât B. {0,1,3,4,5,8}

ƒ(x)∈ Z C. R\{2}

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 35

MMM/$��&�����������&��x∈ N astfel încât D. {4,5,8}

ƒ(x)∈ N E. x∈ {–4,–1,0,1,3,4,5,8}

MMM1$��&�����������&��x∈ N astfel încât F. {2;3}

ƒ(x)∈ Z G. {3,4,5,8}

MMM+$��&�����������&��x∈ Z-N astfel încât

ƒ(x)∈ Z

��'���'!($� ; 2.E ; 3.G ; 4.B ; 5.A.

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��������������&�8������&��6�%�����$

�����!?������ &����� ��)�&�&�� ����� 9�' '��� ��������� 8������# ���

�� ����� ��&���� '��� '���'� ����������� �&� ���'����$ ������� � �� U

��'���&�����'��� �����������������&�����%�����������8������8������$

-������

Proprietatea

ƒ:R→R

ƒ(x)=5

ƒ:R→R

ƒ(x)=ax,

a>0

ƒ:(0,∞)→R

ƒ(x)=ax+b,

a<0, b≠0

ƒ:(–∞,0)→R

ƒ(x)=ax+b,

a>0, b≠0

ƒ:[–2,5]→R

ƒ(x)=|x|

-�������'�����'�������

-�������'��'��������'�������

-�������'����'���'�������

-�������'��'�������'���'5

�������

-�������'����������

-�������'����9����%�

-�������'��'��9����%�

-�������'��)�9����%�

-�������'������

-�������'��������

-���������'����������

����������

15.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ���5� 3 ?�&������ ��

���8�����������&��"�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ��&������&� ��������)�&�

�����5�&�'����������&������#���&� 7���������������'��������������)�&�����$

36 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� 8������� �����������# ��&�����& ��� �

������&����������'��������'����$

______ 1. polinomul este ireductibil în Z[X] f=X2-2

______ 2. polinomul este ireductibil în Q[X] g=X2+X+1

______ 3. polinomul este ireductibil în R[X] h=X3+X

______ 4. polinomul este ireductibil în C[X] p=X4+X3+X2+X+1

q=2X+3

��'���'$($8#*#�#V$

2. f, g, p, q.

3. g, q.

4. q.

Singurele polinoame ireductibile din C[X] sunt cele de gradul întâi.

Polinoamele ireductibile din R[X] sunt cele de forma mX+n, m∈ R∗ , n∈ R

"���2+bX+c, a∈ R∗ , b,c∈ �"�)2-4ac<0.

Polinoamele de grad 3 sunt ireductibile în Z[X] "� W[X] ���� "� �����

����������������6�W$

���&� 7�� ��������& �� ��������)�&����� �& &�� ��'��'���� '� ����� ��

polinomul p este ireductibil în Z[X] "�W[X] .16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ����������� �&���&����&��

de numere.

�����!4�'����6�'�����&&�)�����8���8���������&��������������&����#

&����������&�������������'��� ������������������������������&�����$

I II

____________($ JAD#(=��9�����

____________ 2. B=[0,1] ���������

____________ 3. C=N N admite maxim

____________ 4. E=(0, +∞) P admite minim

____________ 5. F=1

nn N/ ∈

∗ R admite supremum

����*�����$

��'���'! Q admite infimum

1. L, M, Q, R, T; 2. L, M, N, P, Q, R, T; 3. M, P, Q;

4. M, Q; 5. L, M, N, Q, R, T.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 37

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ����������� �&� ��������&��

�&*�)���������������� ���'���������&*�)�������8������'�����&����&������$

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� 8������� '��������# &����� ��� � ����

��&����������'��������'����$

I II

___________ 1. Monoid necomutativ A. (N,+)

___________ 2. Monoid comutativ B. (N ∗ , +)

___________ 3. Grup necomutativ C. (Z, +)

___________ 4. Grup comutativ D. (Z, -)

E. (Z, ⋅) F. (N, ⋅) G. ({ -1,1} , ⋅) H. (Q, +)

I. (Q, ⋅) J. (Q*, ⋅) K. (Zn,+)

L. (S3. ⋅) M. (R, +)

N. (R, ⋅) P. (R*, ⋅) Q. (M2(R), ⋅) R. (C,+)

S. (C*, ⋅).��'���'$ ($ #W@ ,$ #�#�#-#>#X# �# Y#Z#�#�#?#�#�@

3. L; 4. C, G, H, J, K, M, P, R, S.

18.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3

-����������*��)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������������&����������������&�

����8���������������������� ���������������������'��$

�����!4�'����6�'�����&���'�7�*�8����������������������8����������

������&�����������������������'�����%�$

I II

38 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

_____($8�������'����������f:[1, 3]→R, f xx

( ) = +

1

2

_____,$8�������������������%�g: [0, 4]→R

≤<≤≤−

=���

���

xx

xxxg

,

,)(

_____/$8�������'����������h: [ -5, 7]→R,

≤<−≤≤−−

= ��

����� xx

xxxh

,

,)(

_____1$8�������'������*��)�&�

_____+$8������������������������)��<#

��'���'$($�

2. h

3. f, g, h

4. f, g, h

5. h.

5.1.3. Tehnica alegerii multiple

��'������"����&� ��� [ �$����"�# $������#(22.]������ �� �&�*��� ��&���&� '�&����� �&�%�& '� �&��*� �� ��'���' �����5�

&�'�� �� %������� �8����� ������ � '��*��� �����'�$ �&�%�& ���� '�&����� � ��

��'���' ������ ��&� ���� � '� ������# �� ���� � �& ���&[ ��'� ��� �� �����

���'�����# ���� ������# �<�'����� ���� premise "� � ���� liste de

������������� A&�'�� �� %������� ����� ���� '�&����&� �����&�� ��'�����%# '�)

8���� ���� ��%����# ������# '��)�&��� '�� 8�� �=$ �&�%�& ���)��� '� �&��*�

'��*�� ��'���'�& ������ '�� ��� ��� )��� %�������$ ��&�&�&�� ��'���'���# 6�

afara celui corect, se numesc distractori A%������� ���������# ��� �&�� �)�&� "�

paralele).

���������&�*�����&���&����8����&� ���������!

F��'�������� �&����&��6�%������#�����"�����&���'���&������&�%�!

O�����"������erminologiei;

O�����"������&������&��!8����&�#�����������#��*�&�@

O�����"�����������&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 39

F��'�������� �&����&��6�%����������8&���������%�&�&�����������'�%

"���&�����%!

* abilitatea de a aplica teoria în rezolvarea problemelor;

* abilita������������������&������� �5�8���@

*�)�&���������9�'��8����&�*����������&��"���������&��8�&�'���$

�������������������

�=6����)����'�8���&��8����&���@

)= 6����)���� '� 8�� '���'� 6���5�� &��)�9 ����'��� ���� ��%�&�&��

�� %7�'�� � �&�%�&�� ������ ���� � 8�'� ���������� "� '� ��'���� �����

obiectivul propus;

�= 6����)���� '� 8�� 8����&��� 6� �"� 8�& 6��7� '� �� '�*��� �

alegerea uneia dintre variante;

�=��'���������'�8���&�� �)�&�"�����&�&�@

�= ��'���'���&� '� 8�� 8����&��� �orect din punct de vedere

gramatical;

8=��'���'���&�'���)�#���7���'�)�&#�����"�&��*���@

*=��'���'���&�'���8��'�������'�����'���6���&�'$

������ ���)��� ����� �� ����� 8����� ���� �� �����# ����&�&� ���� '�

��'���� ���&�"� �)�����%# &� �&�)������ &�� ��������7�� �� ����� ���� ��

'�����&�"��$��������'������'��� 8���� ��������'����8�������&����������

�'�*����������)�&�����������&�������&�"����$4��� �&�����&������'���'���

��&���&�'������������"����������'����&���'���'���&��*��"���A��'��������=$

?�� ����� 6� ���������� �� exemplu construit pe baza unui tabel de

'����8�����������&���*������������$

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 �������� ��

�������������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���6��� �&%�����<�������&����*�&�

��6���&�����������&�� �����&�$

�����!4���&����,(#1��0#D.$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&�� corect:

A. 16,264 B. 141,084 C. 151,084 D. 1510,84

40 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��'���'�& ������ �'�� �@ �������� ��� ���� � ������ �� �&������ 6�

�����& 6���&�����#���������������*������# ��������������� ���������

virgulei.

��)�&�&��'����8������![Stenmark, 1991]Caracteristicile itemului ���)��������������

($ �������&� ���)&���� '� '� ��8���

&� 6���&����� � ���� ������

�����&�# � ���� 8������ '�� � ����

����� �����&���8������@

,$ ?��)&��� ���)��� '���'� 8�� '�)

8���� ���� ����� ����# 8�� '�) 8����

��� ����&�$ ���� �'�� ���&� ��� '�)

8���� ��� ����&�# ���������&� ���)���

'�'����8���B>�'��������'�& $$$T'��

B4���&����$$$T@

����� ��'���'���&� �����&�� ���)���

�&������ 6� 8������ �� %��*�&�# 6�

������ ���'������� '��

��'���'�������$

,$?�����&�������%�����'���'!

�=��'���'������@

)= �� ��'������� A��'���'�& *��"��=

%� ��8&���� � ������ �����'� 6�

�����&��*�������@

3. Unul dintre factori va avea trei

��8�� ��8����� �� D@ ��&�&�&� 8����� %�

�%�� ���� ��8��# ���� ������ ���'���

8������8�������D"����������+@

4. Fiecare dintre cei doi factori va

�%����&��������8������%��*�&�@

c) un distractor va reflecta o eroare

în timpul alinierii rezultatelor în

�����&6���&�����@

�= �� ��'������� %� �%������� �

eroare în omiterea virgulei sau o

������6��� ���������%��*�&��$

5. În produs nu vor fi mai mult de

�������8������%��*�&�@

.$ ��& ����� ���� *������ %�� 8�

necesare;

0$ 4� �&�*���� 8������&��# � ��8�� ��

%�8����&� ��������&����������$

���&��%����9�&���'�����)�&��'����8�������'��"����&���#6�'�������

6�����6�������������#�&��'�����&�"��%��8�'�&�������'�'�������&��"���������

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 41

����� ������ ��'����� ���&���"� �)�����%�# ����%�&���� %������&�� ����� �� ���

��9��&�)�����%�8��'�8�&���&� ���$

%����9�"�&�����

Avantaje:

F�����'��� ������%�������� �� �&�����&� 6�%������#�� &�'���&�

����"����� �7�� &� �� �&��� ����&�<�# )���8������ �� � 8����� ����

flexibilitate# �&����7�� ��'�)�&� ��)�*������ ���� ��� '� ����� &� �&�� ������ ��

itemi;

F '� ��������� �� � ������5� ���� fidelitate$ ?����� �� ������&

%�������&�� � ���'��� �� &� ���� A���%��38�&'= &� ����� '�� ��� ��&��#

8�������&��B*������T���'���'�&���������'��6���'���"�������'�����)�&�#

������7��&����"�����8���&������$

F'�������8��������"����"������@

-&�<�)�&������ &�� ���'�)��� �������� ��� 6� ����������� �� �)������ �

����*���&��*����� �&�����&�6�%������ 8����� ���������&�*�����&���&�'�

8����'���&� ���#���&���'��'�������� ���8���������'�6�6����*�������'�8�&

de itemi.

Limite:

F�'��8������"�������'������������'&�)���&�����@

F����'�������������������&�)�����@

F��'��� �#�����������#��%�&�&���*����%���8�������@

F������#6����&�'�������#*���������'���'�&��@

F���&� �����)� �%�����'���������������&�8���&���� �����&�%�&����

����'�� ������� �� ��'����# �%7�� ��������'���� �'���� ����&�� &�� ��

6�%�����$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� �����'����� "� ��

��8�������������&����$

�����!�����'��������������&���&������������!

M={7,10,11,13,14,16,19};

N={4,7,9,10,11,12,14,16};

P={6,9,10,11,12,15,17}.

42 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

���� '��� ������&� ��������&����&�� � "� �# ��� ���� �� '� �8&� 6�

��&�����?E4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. 7, 10, 14, 16, 11

B. 6, 10, 15, 17

C. 7, 14, 16

D. 10, 11.

��'���'!�$

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ ��8������� �

������&����$

�����!4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

(=�����J\(#,#/#1#+R"��J\/#1#+#.#0R�������F�J

A {6,7} B {3,4,5} C {1,2} D {1,2, 6,7}

,=�����J\(#,#/#1#+R"��J\(#,#/#1#+#.#0R�������F�J

A {0} B ∅ C {6,7} D {1, 2, 3, 4, 5}

/=�����J\(#/#+R"��J\,#1#.R�������F�J

A {1,2,3,4,5,6}

B {2, 4, 6}

C ∅ D {1,3,5}

��'���'!(=�@,=�@/=�

3.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �������� �� �����'����� �

������&����$

�����!4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$

�����J\(#,#/#1#+R"��J\/#1#+#.#0R�������∩N=

A {1,2,6,7} ; B {6,7} ; C {3,5,4} ; D {1,2}

��'���'!�������$

4.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3������������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������6�������������'�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 43

�����! �� '� �8&� ������&� ������&� ������'� 6���� /DDD "� 0DDD ����

6��������#���7��&�((#(/"�,/�����'��&2$

4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. { 3298; 6596}B. { 3280; 6587}C. { 3280; 6569}D. { 3298; 6587}��'���'$�������$

5.

��'���&��� 3�&�'� 3������&�&! &*�)�� 3�&�'����5� 3������� �� 8����

ax+b=0, a,b∈ R, x∈ R.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%�����������8�����x+b=0.

�����!�� �&%��������6�R : ��

� =

−⋅⋅−⋅−⋅ x .

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. –9; B. 15; C. –15; D. imposibil.

��'���'$�������$

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'����5�3?��������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �8&� �� ������ ������'��� �����5�

���������$

�����!�����

� �

� �+=

+, atunci b este egal cu:

A. ��

��; B.

�; C.

11

2; D. 2; E. 6.

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�������$

7.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3������'���&��

unghiurilor unui triunghi

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &� '���

��'���&����*�����&�����������*��$

�����! ����6�8�*��������9�':��;≡[BD]≡:��;#"��A∠ EBD)=40o atunci

m( <) ���=�'���*�&���!

A. 95°; B. 75°; C. 105°; D. 115°; E. 120°.

44 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

� ��

���

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�������$

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3?�������$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � ��������� 6� �� �&%���� ����

probleme.

�����!��'����������������&�������"�) A�>)="�������&������&

�"��������H�����'���*�&��)$

A. a=5; b=2; p=40 sau a=5; b=3; p=60

B. a=5; b=2; p=40 sau a=7; b=5; p=71

C. a=5; b=3; p=60 sau a=3; b=2; p=66,(6)

D. a=11; b=5; p=45 sau a=7; b=3; p=43

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$������ $

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ ���������&�$

�����!��&��&���! ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 2 4 2 2 22 2 2

− + − + − + −

4��������"����'���'�&������$

A. 4 2 8− ; B. 2; C −4 2 ; D. 0.

��'���'�������$

10.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Cercul.

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��&� ���'�����*���&�� 6�'���' 6�

cerc.

�����! �����*���& �� �'�� 6�'���' 6���5�� ���� C de centru O.

Diametrul AA/ al cercului C �����'����� � )�'�������&� ���������� �&�

unghiurilor ∠ ��"� ∠ ��# ��'�����% 6� ������&�� "��$���� � �'�� ������&

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 45

�����&�� 6�'���' 6� �����*���& ��# '��)�&��� 6� ���� ������ �� ���&� ���������

triunghiul EDI este isoscel.

A. m(∠ B)=90o; B. m(∠ B)=30o; C. m(∠ C)=45o; D. m(∠ ABC)=

m(∠ ACB).

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������.

��'���'$�$

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3�������"�'�'����

���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ ����6��&��'�&����&������������

date.

�����!4��&���&<�N��&�����������&���&����������������

(x; y)∈ RxR%���8����*�&������! x + y-1 J(8����� �!

!���&����8�������������������

�$�&����8�7�����'���'�

�$��������

�$��������$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'�������$

12.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%���'�'��������������$

�����!�� �&%������������&�!

������������'�������������&����&�'�&����&���)������$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. [11;14] ; B. { 11; 12; 13; 14} ; C. R; D. [14,+∞).��'���'������ $

13.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Corpuri

rotunde.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �%�&���&�������$

( ) si��� +≥− xx

( )( ) ( ) ����� −+≥+− xxxx

46 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����! �� '� �8&� %�&���& ���� ��� �����&�� ����� ������ ����

��'8�"������'����8���� &�����&��'����'���������'�����*���&����'���

120o"����� ���&��*���/��$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. 18 2 cm3; B. 18 2π cm3 C. 79,6932 cm3 D. 54 2π cm3.

��'���'�������$

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��'��� ������

8�����������������������&6�'�����&8������&��$

�����! �� ���'����� 8������ ƒ:N→:D@(= ��8����� ���� ƒ(n)={a·n}, ∀ n∈ N

unde a∈ R "� \<R ����� ���� ������ 8���������� � ������&�� ���& <$ -������ ƒ�'����9����%�����"����������!

A: a∈ Q ; B: a∈ R–Q; C: a∈ R.

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

Rezolvare:

���� ƒ �'�� ��9����%� ���'������ �� �∈ Q, a=�

�, p∈ Z, q∈ N*, (p,q)=1,

ƒ(n)={ �

�⋅n} , ∀ n∈ N, avem ƒ(0)=ƒAV=������������$�����∈ R–Q.

���� �∈ R–Q ���'������ �� ƒ �� �'�� ��9����%� ���� ∃ m,n∈ N, m<n

astfel încât ƒ(m)=ƒ(n) ⇒ {a·m}={a·n} ⇒ am–[am]=an–[an] ⇒ a(m–n)=[am]–[an]

⇒ a=���� ���

−−

∈ Q#������������$����ƒ�'����9����%�$

��'���'�������$

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��&����"�8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��9����%������ "�

'��9����%����������8������$

�����!-��8!�→R, f(x)=x7+x+2, atunci:

($8�'����9����%�

,$8���'����9����%�

/$8�'��'��9����%�

1$8���'��'��9����%�

+$8�'��)�9����%�"�8-1(2)=0.

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����$

��'���'$�������%������8�������&�!(#/#+$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 47

�����*A<=J<7"��A<=J<L,$-������&�'���'��������'�������"�8J*L�⇒ f

'��������'�������⇒ 8��9����%�$

Fie y∈ R, f(x)=y ⇔ x7+x+2-y=0. Cum orice polinom de grad impar cu

���8������� ���&� ��� ��& ����� � �������� ���&� �� �&��# �� �<�'�� <0∈ R cu

f(x0=JN#����8'��9����%�@8AD=J,⇒ f-1(2)=0.

16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��9����%������#

'��9����%������ ���� 8������ "� '� ��������� ��������&� �� �<�'����� � ��%��'��

���������'��8������$

�����!�����'�����8������&�8#*!N→N definite prin

f(n)=n+1, g(n)=0 0

1 1

,

,

dacã n

n dacã n

=− ≥

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%����������9�'!

$8�'����9����%�"����'��'��9����%�

�$8�'��'��9����%�"����'����9����%�

�$*�'��'��9����%�"����'����9����%�

�$*�'����9����%�"����'��'��9����%�E. g f N� = 1

F. ( )g f f g� �− − −=1 1 1 .

��'���'$�������%������8�������&�! #�#�$

0∉ Imf; g(0)=g(1) f-1"�g-1 nu au sens deoarece f "�g nu sunt bijective.

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3?�����"�������&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ����������� ���� �����

���&����&������������$

�����!�����'�����������&���&<J 5 2 13 5 2 133 3+ + − , atunci:

A. x∈ N

B. x∈ Z-N

C. x∈ Q-Z

D. x∈ R-Q

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�'�����%������8������� $

�����7�� &� ��) '� �)���� ������� �� *����& ��� ! <3+9x-10=0, x1=1,

x2,3∈ C-R. Deci x=1.

48 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

18.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���*��������� 3 �&�'� � ��5� 3 -������

trigonometrice.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �<�����&� ���� 8������

trigonometrice.

�����! �� ���'����� 8������&� 8!�→R, f(x)=asinx+b��'< "� *!AD#π/2)→R,

g(x)= sin cosx x3 35⋅ , unde a, b∈ R.

$������&8�������8�'��5 a b2 2+�$��<���&8�������8�'��a+b

�$��<���&8�������8�'�� a b2 2+

�$��<���&8�������*'��)����6�<J���'��5

14

�$������&8�������*�'��D$

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!

��'���'$�������%�����! #�#�$

19.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3��&�����������$

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��� ��������������� 6�'��)�&����

unui loc geometric.

�����!

Fie ABCD un dreptunghi în planul α. Locul geometric al punctelor M∈α����%���8�����&����!� 2+MC2=MB2+MD2 este format din:

A. centrul dreptunghiului

B. planul α�$���������&'����8�����������*���&���$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$ 8����������%������'���$

���� � �'�� ������& �������*���&��# �� �'�� ������� 6� �����*�����&�

���"�� �$ �&��7������������������)�����!

4

)(2

4

)(2 2222222 ACMCMABDMDMB

MO−+=−+= .

��� �J���� �&����&��������$

20.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � �5� 3 -������

�<��������&�"�8������&�*��������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 49

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � �� � �����&� �<���� ��

��������&����6������������'����6���5�������%�&��&��*���(D-1.

�����!-�������&� � ��)&�&��� &�*��������&��&��� ��� �����&��<����

������&lg2.

4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. 0,1; B. 0,3; C. 0,5; D. 0,4.

�����'$ 8���������������'���$

�������∈{ 0, 1, 2, ..., 9} astfel încât p

10 <lg2 < p +1

10⇔

1010

p

<2<101

10

p+

⇔ 10p<210<10p+1 ⇔ 10p<1024<10p+1 ⇔ p=3. Deci

lg2=0,3... .

21.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3����������&�<�$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �� �&%� 6�C ��������� �� ������� &�

�������������)��&'�7�*�&��'�8����������&$

�����!4�C��&�����'�&����&������������ 2+z≤0 este :

A. [ -1,0] ; B. { -1,0} ; C. ∅ ; D. [ -1,0]∪{ − 1

2+bi / b∈ R} .

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�'�����%������8��������$

����C, ar fi corp ordonat, cum i≠0 ⇒ i>0 sau i<0.

Pentru i>0 ⇒ i2=-1>0 ! Pentru i<0 ⇒ -i>0 ⇒ (-i)2=-1>0!Fie z=a+bi ⇒ z2+z=(a2-b2+a)+bi(2a+1) ∈ R- ⇒ )A,�L(=JD "� �2-b2+a≤0.

���)����![ -1,0]∪{ − 1

2+bi / b∈ R} .

22.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /

?���������&�������6�'�����$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����&��*��������$

�����! ����������&�������&�&�α "�β '������ &���'�������( ��$

���&*���������&������&������'���������������'�����'�����&��&���&�

�����&����'����+���'��8��������!

A. do������������&�&�

B. un plan γ paralel cu α"�β�$�����&�������&�&���α"�β.

4��������"����'���'�&������$

50 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��'���'$�'�����%������8��������$

23.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3��&������������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ������ ���'�����%�

neprime.

�����!-���8�������&�!

A. ∀ m∈ N*, ∃ q∈ N*, q>� "� V ������ ���'�����%� ���� '���

compuse.

B. ∃ m∈ N*�'�8�&6��7����<�'�������&�������������'���5

tive care sunt numere compuse.

4��������"����'���'�&������$

��'���'$�'�����%������8������� $

��� ������� &�� ���&�� A "���& ������&�� ����� �'�� ��8����= �� �&�� ��

�<�'��������>�L,"����'�������J,⋅3⋅5...p .

������&� �L,# �L/# �L1# $$$# �L� '��� ���'�����%�# ������� "� '���

p-1>m+1>m.

24.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ��5� 3 ��������

����������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� �&�� %������� �&� ���������

matematice.�����!�����'�������&�����! J{ n∈ N/∃ p,q∈ N astfel încât n=3p+5q } .

Atunci:

M. A={n∈ N/n≥8}

N. A={n∈ N/n≥8}∪{ 0, 3, 5, 6}?$�&��'�������$

4��������"����'���'�&������$

��'���'$�'�����%������8��������$

0, 3, 5, 6∈ A. 8=3⋅1+5⋅1, 9=3⋅3+5⋅0, 10=3⋅0+5⋅,$ ?��'������ ��

�J/�L+V"����������L/��������"�8����$

n+3=3(p+1)+5q deci n+3∈ $ ���8��� ���� %������� � ���������

������������ �&����∀ n≥8, ∃ p,q∈ N astfel încât n=3p+5q.

�������$�������������&����&�!�J{ n∈ N/∃ p,q∈ N* astfel încât n=3p+5q}C={ n∈ Z/∃ p,q∈ Z astfel încât n=3p+5q} .

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 51

25.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)��3 �&�'� � ��5� 3��������

����������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� "� '� ������� ��8�����

medii numerice.

�����!-��<1, x2, ..., xn∈( 0, +∞)"�

Ma=x x x

nn1 2+ + +...A���������������=

Mg= x x xnn

1 2⋅ ⋅ ⋅... A�����*���������=

Mh=n

x x xn

1 1 1

1 2

+ + +...A�������������=

Mp=x x x

nn1

222 2+ + +...

A��������������=

Atunci:

A. Mg≤Ma

B. Ma<Mg

C. Mh≤Mg

D. Ma≤Mp

E. min{ x1,x2,..., xn}≤ Mh≤ Mg≤Ma≤Mp≤max{ x1,x2,..., xn}4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!

��'���'$�������%������8�������&�! #�#�#�$

26.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������%���&�6���&��&�&����&�����

��8������$

�����!-��L = − ⋅ ⋅→x

x x x x

x0

3

5

6 2 3lim

sin sin sin atunci:

A. L=14

B. L=12

4��������"��&�����&�����'��� �������8�����������%�����!

��'���'$�'�����%������8������� $

Mai general: ( )( )

x

n

n

n x x x nx

xn

n n n

→ +

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅+ +

02

2 1 2 1

36lim

! sin sin ... sin! .

52 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

27.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

Numere reale.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������������������������&� A6���

������'���<�'��=�������8���������������$

�����!-���8�������&�!

$�����8�������������������������������������&�$

�$�<�'��8������������������������������������������&�$

�$-������8!�→R, f(x)=sin2π<�������������������&��J($4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����$

��'���'$�������%������8�������&��"��$

-������ &�� ������&�� 8!�→R, f xx Q

x R Q( )

,

, /=

∈∈

1

0 �'�� ��������� ��� ��

�������������������&�$

28.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-��������������$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ���� � 8������ ���� �'��

��������$

�����!����������������&�8������'������8������������������%�&�&�

indicate :

a) ƒ(x)=x3 pe [0;1] b) ƒ(x)=x3 pe (0;1)

c) ƒ(x)=x3 pe R. d) ƒ(x)=���

pe (0;1)

e) ƒ(x)=sin���

pe (0;1) f) ƒ(x)=x2·sin�

� pe (0;1]

g) ƒ(x)=tg x pe [0;π/4] h) ƒ(x)=tg x pe [0;π/2)

i) ƒ(x)=���

� pe (0;π/2) j) ƒ(x)=

�� − pe (0;3)

k) ƒ(x)=�

�� − pe (4;+∞).

��'���':

�������8�����������8������&���8�����&�������&�!�=#)=#8=#*=#�=#K=$

29.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-��������������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 53

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����������� �&� 8������&��

continue.

�����!-���8������8!AD#(=→���������������!

$8�'�����*�����

�$8�'�����������

�$8�'����������

D. Imf = R

E. Imf = J interval inclus în R

4��������"��&���������'��� �������8�����������%�����!

��'���'$�'�����%������8��������$

30.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� �� ��������� ��� �

��������&����&���&��&�����8��������&������&�$

�����!�����'�������&�����&8J11 2

2

+ + + +x x x

n

n

! !...

! atunci:

$8����������������'���&�

�$8���������������������&���&�

�$8��������������'���&�"���&���&�$

4��������"��&���������'��� �������8�����������%�����!

��'���'$ ��%������'���8������� $

31.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������� �'��'���9��� ��'�������$

�����!�����'�����������&�J11

2

1

3

1

50!+ + + +

! !... .

�������������������&��8�������'������%�����E

A. a>1; B. a∈ (1,2); C. a>2.

��'���'$ ��%�����'����8�������&� "��$

Metoda I. 1<a<11

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11

2

2 3 49

50

+ + + + + =−

−... <2.

Metoda II. 1<a<11

2

1

3

1+ + + +! !

...!n <e-1<2, ∀ n≥51.

54 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

32.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3������������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ � ����������������'������

�'���������������&���������$

�����!�����'��������������J2 3 4

1 5 7

. Atunci:

A. MT=

2 1

3 5

4 7

; B. det(M⋅MT)=detM⋅detMT; C. det(M⋅MT)=150;

D. det(MT⋅M)=0.

4��������"��&�����&�����'��� ��������'���'���&���������$

��'���'$ ��%�����'����8�������&�! #�#�$

���� "� ����T �� �� '��' �������� ������������& '� �'���� � ����

����������������$

M⋅MT=29 45

45 75

; MT⋅M=

5 11 15

11 34 47

15 47 65

33.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����������&��������%��'�)�&�

într-un inel de clase de resturi.

�����!4��������&A]9, ⋅=�����U(Z9, ⋅)={ �� ZxZx ∈′∃∈ ˆ/ˆ astfel încât �ˆˆˆ =′⋅′=′⋅ xxxx } .

A. (U(Z9), ⋅=�'��������"����'��*���

B. (U(Z9), ⋅) este grup

C. U(Z9)={ �, � , � , � , , � }D. (U(Z9), ⋅) ≅ (S3, ⋅) E. (U(Z9), ⋅) ≅ (Z6, +).

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&���������!

��'���'$������������8�������&�!�#�#�$

a ∈ Z9 �'�� ��%��'�)�&�⇔ (a, 9)=1. Grupul (S3, ⋅) este necomutativ iar

grupul (U(Z9), ⋅) este comutativ.

34.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� ����������� �&�

������������&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 55

�����!�����'����������������&������������6����*�!

A=

124 111 97

286 321 454

998 532 196

.

$���A =�'����������

B. det(A) se divide cu 3

�$ �'����%��'�)�&�6�M3(Q)

�$ �'����%��'�)�&�6�M3(Z)

�$ �'����%��'�)�&�6�M3(R).

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&���������!

��'���'$������������8�������&�! #�#�$

detA=2⋅62 111 97

143 321 454

499 532 196

−=2k.

În (Z3, +, ⋅), det� � �A = ≠1 0 ���� / �� ��%��� ��� "� ��� ≠D ����� �'��

��%��'�)�&�6�M3AW="�M3(R).

U(Z)={ -1, 1} deci A∈ M3A]=�'����%��'�)�&�⇔ detA∈ U(Z). Cum 2 divide

��� �� �&����� ∉{ -1, 1} ����� ���'����%��'�)�&�6�M3(Z).

35.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3

Calcul de integrale.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�����&��&�&��������������*��&�$

�����!-������� ����&�!

A. ∀ x∈ (0,π/2), ∀ n∈ N*, xn �� +sin < sin2n x < sin2 1n x− .

B.

( )

( )∫∫

+=−

=⋅−

==�

� ���

��

��

m

m

kmm

m

km�

m

m

xdxxdx;

!!

!!

,!!

!!

cossin

C. ( )

( )2

2 1

n

n

!!

!!+<( )( )

2 1

2

n

n

− !!

!!⋅π2<( )( )2 2

2 1

n

n

−−

!!

!!, ∀ n≥2

D. αn=( )

( )2

2 1

1

2 1

2n

n n

!!

!!−

+< π

2<

( )( )

2

2 1

1

2

2n

n n

!!

!!−

⋅ =βn ,( αn)n'��������'�����

"���9����$

E. n

n n→+∞

− =lim ( )β α 0 "�n

nn

n→+∞ →+∞

= =lim limα β π2

.

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!

56 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��'���'$����������8�������&����%�����$

5.2. Tehnici de testare – Itemi semiobiectivi

Descriere [ �$����"�# $������#(22.]?��� ����� �� ��'���'�&�� �� ���� �� �&�% �'�� '�&������ '� ��'����� &�

������'����)�����%#'��� %�&��!

(=���8�� ����6���&�*�����������&��6�%�����@

,= �������� �� ������� ���������� 6���5�� ���� ��� �&��� ���7� � 8�'�

�)�"�����7������@

3) claritate în exprimare.

Timpul necesar de rezolvare în general a itemilor semiobiectivi fiind

����' 8��� �� ������ �� ��'���' ��'���'# '� ��� ��&��� 6� �����"� ������� ��

����A����'������&�%�&��=���������������� �������������%���8�����

����������������������"�����"������������������&�%��&���'���$>����&

����8���&����6������&8��������������)���'�8�����'���������������&��

��������������'����������������������&�%�$

Itemii semiobiectivi sunt de tipul:

F6����)�������'���''����3������&�����

F6����)���'����������$

���� ��!����������������������������� ���

Descriere

������ �� ��'���' '����3�� ����&����� '��� ��� ���� ���� �&�%�&�� � '�

���� '� �8��� �� ��'���' A'����= 6� ����&������ &�� '�� � ����� ���������� �

�����8�������#�'�8�&6��7�����'��'�������'��'"�%�&���������%��$

F ��'���'�& ����� �&�%�&�� �'�� &������# �� '�����# 8���� "� ��������# ��

'��������6����)����@

F'�������'����������'����������@

F &�)������� �&�%�&�� �� � ����*��� � ��8������� ������� "� �� � �8���

��'���'�&6�8�����������'������'�@

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 57

F ������ � �8��� ��'���'�& ������# �&�%�& ���)��� '� �����'��� � ��

����������"�����#���"��)�&���������'��������#�&�)�����&��������%��"�

'������'���'$

����������'���''����&�����&�%�&��'��8�����'���'�&'�)8��������

����� ����# 8�� �# � ���� ��%7��# �����# '��)�&$ ������ �� ����&����� '�&�����#

6�*�����&#�������'���'�������&'��������%����#����'�'�6������ �6�

contextul-suport oferit.

��8��������8��������������'���������6������&�� '�8�&�'�"���

6����)����������#���6��&���&����8�������������&���$

�������������������

F������&&�)��8���� ��'�'�*��� �������'���'�&%������������%7��

'�� ��� ��&�� A�� �<���&�# ����� ���� '�� 8�� �=$ ���� ��� ��&�� ��%����

���)��� '���'�# ������ '�����&� &�)��� %�� �%�� �����"� &��*��� ������ � ��

�8����&�%�&������������%�����'���'�&$

F�������&�����'���A����������#K�&�*�������$=%��8������ �����7�6�

6����)����7�"�����'�����& &�)��$ ���'����%�'�*���������'���'*��"��

��� ������ �&�%�&�� �� '� ������� � ���� ����� �� ������ '�� 6���&�*��� �

6����)����$

F �� ��<� �<�'���� 6������& �� �'�� ������� '� 8�� 8�&�'�� ������ � ��

6�����9������������������$

%����9�"�&�����

Avantaje:

F'������&� 6��%�&���������"�����&��"���'���������&����7�'���&�

�������"����"���������@

F'�&�������������*�������������6����&� ������'���'�&��@

F ������ �%�&����� ���� ����� ��� ���� �� ��������# ��������� "�

����������@

F '������ '���������� "� ��'���'�& '���� ����� �%��� ��8&������&��� ������

���)�&�����@

F���6�����9���'����������8���6����8����'����8���@

– nu cer foarte mult timp pentru construire;

58 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

5'�������� ���'��&���"��"���&���%�)�����%#����'��&�)���� ��

'�����������������%���$

Limite:

F �� '��� ����%��� ������ ��'������ ����������&�� ����&�����&�

superioare (rezolvarea de probleme, analiza, sinteza);

F ��'���'�& 8����� '���� ����� ����� ����)�# ������# �� %�&�����

�)�&�����&������&�<�@

F �'�� ����'�� �� ����� ��� ���� �� ����� ������ 8������ ��� ��

��������#���7�6��� �&�����&���)�����%�$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'���5�3��%� �)�&�����$

�)�����%�&!�&�%�&'������'����������&�����%� �)�&�����$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�=�������������&�'����%� �)�&��+����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

)=�������������&�'����%� �)�&��,����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� / ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��8��&��

sale......................... .

�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� (D ���� ������& 8�����

................................ .

�� �&%���!�=������� ������& �'����%� �)�& ��+���� �&������8�� �

������&���'��D'��+$

)= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� , ���� �&���� ��8�� � ������&��

�'����8������$

�=�������������&�'����%� �)�& ��/���� '�����8��&�� '�&��'����

�������%� �)�&��/$

�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� (D ���� �&���� ��8�� � ������&��

este zero.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 59

2.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a /Triunghiul.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �&�'�8��� �����*�����&� ���� ��'���&�

unghiurilor sale.

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�=�������*����������*��������*�������'��$$$$$$$$$$$$$$$

b) Un triunghi cu un unghi drept este.................... .

c) Un triunghi cu toate unghiurile congruente este....................... .

�� �&%���!�=�������*����������*��������*�������'���'�'��&$

b) Un triunghi cu un unghi drept este dreptunghic.

c) Un triunghi cu toate unghiurile congruente este echilateral.

3.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulaterul.

�)�����%�&!�&�%�&'�"��������������&������&�����&��$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�= ?����&�����& ���%�< �� &�����&� ���'� ����&�&� ���� �6�� ���� �'��

....................... .

b) Paralelogramul cu un unghi drept este ......................... .

c) Paralelogramul cu diagonalele ...................... este romb.

�=����� �&����*�����&����*������#�&�����������)� �#�'��$$$$$$$$$$$$

Rezolvare: a) paralelogram, b) dreptunghi, c) congruente, d) isoscel.

4.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /

Paralelipipedul.

�)�����%�&!�&�%�&'�"��������������&�����&�&�������&��$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�� �&���������&�&�������� 8������ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ "� 8���&� &�����&���

forma de .................... .

�� �&%���! �� �&� ���� ����&�&������ �� 8���� �� ����&�&�*���� "�

8���&�&�����&���8����������&�&�*����$

60 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

5.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ��5� 3 �������

trigonometrice

�)�����%�&! �&�%�& '� ��������� ���*���� ���� 8������ ���*����������

date.

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

-������ ƒ:R→R, ƒ(x)=sinx+cosx# ������ �� $$$$$$$$$$$ �� ����� "� ��

.......... ca maxim.

�=�������!'��x+cosx= �

� �����'�&������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

)=�������!'��x+cosx= � ���'�&������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

Rezolvare: ƒ2(x)=1+2sinx·cosx=1+sin2x≤2 deci m=– �≤ƒ(x)≤ �=M;

� = fπ4

"�- � = f5

4

π

.

a) Cum �

�> � ����������������'�&����$

b) �

��� �� � ���� �+ = ⇔ sinx·cos

π�

+sinπ�

·cosx=1 ⇔

⇔ sin x +

π4

=1 ⇔ x+π�∈ π π

22+ ∈

k k Z ⇔ x ∈ + ∈

π π4

2k k Z sau

� ∈ Im f.

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&'�"�����������&��� ��%��'�)�&���������� 8������ ���&�

��%����)�&����&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� � �8�������

���%�����!

�8������ƒ:R→R�'����%��'�)�&�����"�������������'��$$$$

Rezolvare: ƒ��%��'�)�&�⇔ ƒ)�9����%�$

7.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 -������

�<��������&�"�8������&�*��������

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'� ��8����'�� 8��������������"�'��

��&���6��� �&%����������������<��������&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 61

�8������ƒ:R→R�'��'��������'����������� ∀ x1,x2∈ R cu x1<x2 �� �&��

............

���� ƒ �'�� '����� ���'�������# ������� ƒ(x)=a, unde a∈ R are ........

'�&����$

f(x)=2x + log3x + 5x �'��'��������'���������������$$$$$$$$$$$$$$$$$

Rezolvare: x1<x2 ⇒ ƒ(x1)<ƒ(x2); ƒ(x=J������&��&��'�&����$

-������ ƒ(x) = 2x + log3x + 5x �'�� '����� ���'������� 8���� '��� � /

8������'��������'�������$

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3?��������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � ������& �� ��%��'���� "�

'����&��������������$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

Fie σ=1 2 3 4 5

2 3 1 5 4

∈ S5$ ��&��&��� �Aσ= "� ε(σ= ����� $$$$$$$$$$$$$ "�

.............

��'���'!�Aσ=J������&����%��'����@�Aσ)=3.

ε(σ=J'�*����������������σ ; ε(σ)=–1.

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������

�)�����%!�&�%�& %� 8� ����)�& '� 8����&� ������������ �&�����"����� ��

numere reale.

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

(=�����"�����%��*����'��$$$$$$$$$$$$$$$$$

,=�����"������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

/=�����"�������*�����'��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

1=�����'�)"���&����"�������&��������$$$$$$$$$$$$$

+=���� �� "�� ������� ���� '�)"����� ce au limite diferite atunci

………… .

.=�����"���������"����*�����'��$$$$$$$$$$$$$$

��'���'!(=���*����$,=&�����$/=��%��*���$1=�����"�&�����$+="���&

�����&�����$.=���%��*���$

62 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� 8����&� �����'�&�� � ,

��������������������&,���&���������&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

1. Fie A,B∈ M2(R=���������&����&����!���A I�=J$$$$$$$$$$$$$

,$���� I�JD2�������8�������! JD2 sau B=02 este ..........

��'���'! ($ ���A I�=J��� I����$ ,$ ��'���'�& �'�� 8�&'$ ��

contraexemplu este furnizat de : A=2 0

0 0

≠02"��J

0 0

0 1

≠02 dar A·B=02.

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����������� �&� ������&��

����&�<�"�������������&�������������&��$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

����z=a+bi∈ C, atunci z=� ����"����������$$$$$$$$$$Fie A= ( )a ij 1 i 3

1 j 3≤ ≤≤ ≤

∈ M3(C= �� ������������ �� � j i=�LM , ∀ 1≤i≤/$ 8�������!

det(A)∈ R este ............... .Rezolvare: z=� ⇔ z∈ R ; aii=�LL , 1≤i≤3 ⇒ aii∈ R.

Astfel : det A =

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

7

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

= =�� =�� � deci det A∈ R

�'����8����������%�����$

12.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ���5� 3 ��&� �

����������3����*��)�&�����

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&�������������������*����������

8������6�'��)�&����������*��)�&���������'����$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

-��8������ƒ:[0,1]→R, ƒ(x)=α ,

ln , ( , ]

x

x x

=∈

0

0 1 α∈ R.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 63

���[

[

→>

��

ƒ(x)=………... deci ƒ nu este ...............∀α∈ R# �� �&�� ƒ nu este

����*��)�&�$��'���'! ���

[

[

→>

��

ƒ(x)=–∞ deci ƒ���'�����*����� ∀α∈ R# �� �&��ƒ nu este

����*��)�&�$

13.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ���5� 3 ��&� �

����������3����*��)�&�����

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������������&�����'������������

��'���� ������ 8������ ����#�������������&���)�&������ 8����&�� &����)�� 5

��S������������8�������'������*��)�&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

-������ ƒ:[–1,1]→R, ƒ(x)=x x

x

,

,

≠=

0

1 0 �'�� ����*��)�&������ �'������

��&���8����&�&����)�� 5��S�����������$$$$$$$$$$$$$Rezolvare: �s(0)=�d(0)=0≠ƒ(0) deci x=0 este punct de discontinuitate

�� '���� � ⇒ ƒ nu are proprietatea lui Darboux ⇒ ƒ nu admite primitive ⇒��������&���&��������������&����)�� 5��S�����'���6����&�����$

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3���&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� ������� "�

6���&�������&�'�����'����6���5�'���������&*�)��������'����$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

����������&*�)��������� ������������&���&AZ8,+,·) este .........

Rezolvând în Z8�������! � � �3 1 42x + = �)�����'�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$

��'���'!���&��������%"�������$ { }� � �,�,�,�3 3 1 3 5 72x x= ⇒ ∈ .

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3���&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� 8������ ��&������&�

�'������ ���� ��&������� "� '� �)'��%� ���'�)���� ������ ��&����"� 8������

��&������&��'������$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

64 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

4� ���&�& ��������% "� ������ AZ2:�;#L#I= '� ���'����� ��&������&�ƒJ�"�g=X3$����������� 8������&���&������&�

~f "� g~ asociate polinoamelor ƒ

"�g$�����������ƒ"�g sunt .............. iar ~f "� g~ sunt ..............

Rezolvare:~f :Z2→Z2; ~g :Z2→Z2.

~f (

�0 )=

�0= ~g (

�0 );

~f (

�1 )=

�1= ~g (

�1 ), deci ƒ

"�g sunt distincte iar ~f "� g~ sunt egale.

5.2.2��4��0�����������Descriere [Stoica A. (coordonator), 1996] :�6����)���'�����������'��8��������������&��'�)6����)���F�� ���

�)�����% '�� '����)�����% F &�*��� 6���� �&� ������5�� �&����� �����$ �<�'��

�� '����� *�& 6���� �������&� �� �%�&���� �� ��'���' &�)�� "� ��&� �� ��'���'

limitat impuse de itemii obiectivi. Acest gol poate fi acoperit prin utilizarea

6����)���&�� '����������$ ���������# ����& �� ��� ������ � ���� 6����)���

'����������������'�8�&!

��)6����)���

Date suplimentare

��)6����)���

������������������� :

F6����)�������)���'��������'���'���'���&�&�6������"�'�����'��

��8���&����� ���'���� '��� '87�"��$ >����& �� ��8���&���� ����� 8�# 6� *�����&#

asociat cu lungimea itemului;

F 8������ '�)6����)��� �� %� ������� �� ��'���'�& ������ &�

'�)6����)��������������@

F'�)6����)���&����)���'�8��6���������������������&�&�3'����&��@

F8������'�)6����)�����'��� ����&'�������&���)�����%�@

Material / Stimul

(texte, date, diagrame, grafice etc.)

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 65

F �� '����� %� 8� &�'�� �� 8���� �� ���� �'�� '���'� 6����)����#

����'��� ����&��*����8���������'���'$

%����9�"�&�����

Avantaje:

4����)���&�'����������������!

F ����'8����������� ��������&�< 6���5� '���� �� ������)�����%�#

sau semiobiectivi;

F '����������� '�)6����)���&�� '� 8��� �'�8�& 6��7� '� ��'�� � �

%��������������"�����#���������"�����������@

– construirea pro*��'�%��������8���&����"����������&�<�����������@

F������������������'�)6����)���&�*���������5�����������@

– utilizarea unor materiale auxiliare (grafice, diagrame etc.).

Limite:

– materialele auxiliare sunt relativ dificil de proiectat;

F ��'���'�& &� � '�)6����)��� �������# ������# �� ��'���'�& &�

'�)6����)���&�����������@

F���������������6����)���'��������������'��������&�����$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&'� 8������)�&'�'����'�) 8���� ��������)�&�� 8������

����$

�����!�����'�����8������!111111111

135802469.

(= ������ �� ����������& 8������� '� ��%��� �� /0 "� �� 2# ���

��������&'���%�����/0"���(($

,=�������8������'�)8������������)�&�$

��'���'$ %��111111111

135802469= ⋅ ⋅

⋅ ⋅=37 9 333667

37 11 333667

9

11.

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����$

�)�����%�&!�&�%�&'�8������)�&'���������&������&�������&���������!�������&����&�! J { }x x N x/ ,∈ ≤ ≤3 8

66 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

B= { }3 4 5 6 7, , , ,

�=�����*�&���&����&�E

)=�7��'�)��&��������E

�=�����'���������&�&��&����� E��'���'!�=��#�������� J { }3 4 5 6 7 8, , , , , ≠ { }3 4 5 6 7, , , , =B.

b) 25=32. c) 6.

3.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Triunghiul.

�)�����%�&!�&�%�&'���&��&� ���'���&���*�����&�����������*��$

�����! -�� �� �����*�� �� ���� &����� ���*������ "� ��'��� ���� ��*��

de 70o.

a) Ce fel de triunghi este?

)=��&��&�����'���&���*�����&�������*���&��$

�= ���� ��� ��&�� %������� &� �� �&%���� ������&�� )=E ���� ��#

�� �&%���5&�$

��'���'!�=�����*���'�'��&@)=0Do, 40o, 70o; c) 55o, 70o, 55o.

4.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3������6����*�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � %�&����� �)'�&��� � ����

numere întregi.

�����!�����������&�! J ( )2 2 3123 123 82+ − : 381

B= ( )4 4 382 82 123+ − : 3122 .

�=������&� "��'����� ���%�E

)=��&��&��� $

�=��&��&����$

��'���'!�=��#)= J/#�=�J/#

5.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� �&������&���&����&�� ��

���������&�'�6���&�����������&�����&�$

�����!-�� J { }−2; 0; 3,(5); + 1; 5; 1,2; -4 4 3π ; ;

8&���!�= ∩N; b) A∩Z; c) A∩Q; d)A-R.

��'���' @ �= { 0, 2, 5} ; b) { -2, 0, 2, 5} ; c) { -2, 0, 1,2; 2, 3,(5); 5} ;

d) −4 .

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 67

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'�����5�3��&�����������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%��������������*���������*���$

�����! �� �� �� �����*�� �������*��� �� ������&�! )J.# �J<L, "�

ipotenuza a=x+4.

�=��&��&�� �&��*���&�&�����&�������*���&��@

)=����<J.#��&��&�� ����������&

�=��&��&�� ����������*���&��$

��'��'!�=�J(D#)J.#�JG@)=?J,1#�= J,1$

7.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3?�&������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� 6��������� �� ��'� &�

polinoame.

�����!�����'�������&�����&?A�=J1�4-4X3-3X2+2X+7.

�=�������������'��&6���������&��?A�=&��5(@

)= ��������?A�=>0, ∀ a∈ R;

�=��'���������6�8��������������)�&�?A�=5(D$

��'���'!�=?A(=J.@�A�=J.$

b) P(a)=(a-1)2(2a+1)2+6>0, ∀ a∈ R.

c) P(X)-10=(2X-3)(X+1)(2X2-X+1).

8.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Paralelism în

'�����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� 8�&�'��'�� ���� ���%������ ��&����� ��

paralelism între drepte.

�����!?���&�&�*����& ���"������ �& ��-A �|| EF) sunt situate în

�&�����8�����$ ������!

a) Punctele C, D, F, E sunt coplanare;

)=������&���"�-�'�������������$

Rezolvare: a) Din ABCD paralelogram ⇒ AB ||��"���� ��-����� ⇒AB||EF, deci CD||�-�� �&���#�#�#-���&�����@

b) Din CD||�-"���≠�-�� �&����-������ #������"��-'���������

concurente.

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���������������&�8������&��$

68 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����!-��8������ƒ:R→R cu proprietatea ƒ�ƒ�ƒ=ƒ"���&�����

M={x∈ R (ƒ�ƒ)(x)=x}.

�=��'���������≠∅ "�ƒ(R)=M.

)=����*!�→M, g(x)=ƒ(x), ∀ x∈ �������*�'��)�9�����$

�= �� �� �<���&� �� 8������ ƒ ���� %���8��� ����� � "� ���� ��

�'��)�9�����#�����������������&������"���'�������*�8�������ƒ la M.Rezolvare: a) Fie x∈ R, (ƒ�ƒ)(ƒ(x))=ƒ(x) ⇒ ƒ(x)∈ M ⇒ M≠∅ "� ƒ(R)⊂ M.

Fie x∈ M atunci ƒ(ƒ(x))=x=ƒ(y) deci x∈ƒ (R=������⊂ƒ (R); M=ƒ(R).

b) Fie g(x1)=g(x2) ⇒ ƒ(x1)=ƒ(x2) ⇒ ƒ(ƒ(x1))=ƒ(ƒ(x2)) ⇒ x1=x2, deci g este

��9����%�$-��x∈ M ⇒ x=ƒ(ƒ(x))=ƒ(y)=g(y), y∈ �����*�'��'��9����%�$c) ƒ:R→R, ƒ(x)=0, ∀ x∈ R, ƒ�ƒ�ƒ=ƒ, ƒ���'��)�9����%�$

�J\DR"�*!�→�#*AD=JD�'��)�9����%�$

10.

��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3-��������*����&�&���&��$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������&����6�������������$

�����!-������&���������������&��������������&�!

a) Z⊂ M;

b) x, y∈ M ⇒ x+y∈ �"�<5N∈ M,

c) a= 2 3+ ∈ M.

Se cer:

(=����������������������8�������6����*����������������a.

,=�����'���� ��� 3 2− ∈ M, 2 3 ∈ �"� 2 2 ∈ M.

Rezolvare.

(= �����7�� &� ������ �)�����! a2= 5 2 6+ ⇔ a2-5= 2 6 $ ������� &�

������"��)�����!a4-10a2+1=0.

2) a(a3-10a)=-1 ⇒ aa a

=−1

10 3 ⇒

110 3

aa a= − ; 3 2

110 3− = = −

aa a .

-�&�'��������������&��=#)=# �= "� �&���� ��&���� �)������� 3 2− ∈ M;

(-1)( 2 3+ )= − −2 3 ∈ M.

Deci ( 2 3+ )+( 3 2− )= 2 3 ∈ �$ "� A 3 2− )+( − −2 3 )=- 2 2 ∈ M ⇒(-1)(- 2 2 )= 2 2 ∈ M.

11.

��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������������8������&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 69

�����! �� ���'����� 8������ '����� ���'������� 8!�→� ���� %���8�����&����!A8�f�f)(x)=x3L/<5(,$��&��&�� �8A,=$

�� �&%���$����8A,=<2 ⇒ (f�f)(2)<f(2)<2 ⇒ 2=(f�f�f)(2) <f(2)<2 !

����8A,=>2 ⇒ (f�f)(2)>f(2)>2 ⇒ 2=(f�f�f)(2) >f(2)>2 !

����8A,=J,#�����<J,�'�������8�<�&��&�������8$

12.

��'���&���3�&�'�3>��������3�&�'����5�3��&����������#����������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&������&��'$

�����!�����'����������*���& ��"�������&�W∈ (AB), P∈ A �=$�����

��>������&��*��������&�����*���&�� ��$ ������!

(=����>∈ W?"�W?||BC atunci BQ

QA+ =CP

PA1 .

,=����>∈ W?"�W?���'������&�&����������BQ

QA+ =CP

PA1 .

/=����BQ

QA+ =CP

PA1 atunci G∈ QP.

1= ��������QB

QA

+

≥4 4

1

8

CP

PA.

Rezolvare. 1) Fie { D} =AG∩��$ ��� � ������� �� �&�� ��GD

GA= 1

2.

�&��7�� ������� &�� ���&�' �)�����!BQ

QA= = =PC

PA

GD

DA

1

2 �� ���� �� �&��

��&����$

2) Fie{ M} =QP∩��$ �&���� ������� &�� ����&��' 6� ∆ �� "� ∆ACD

���'����7�� W? �� ����'%��'�&�$ �)�����!QB

QA= MB

MD2 "�

PC

PA= MC

MD2 ⇒

QB

QA+ = + = − + + = =PC

PA

MB MC

MD

MD BD MD DC

MD

MD

MD2 2

2

21 .

/= ���� W?||�� "� �∩QP={ G/}⇒ BQ

QA= ′

′= =G D

G A

PC

PA

1

2⇒ ′ =G G deci

G∈ QP.

���� W? "� �� �� '��� ����&�&�# ���'������′′

=G D

G Aλ "� ��&��7��

�������&������&��'�)����� λ = ⇒ ′1

2 G = G .

1=�����BQ

QA= a "�

PC

PA= b ; a+b=1, a,b>0.

70 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Folosim inegalitatea: ( ) ( )2 2 2 2a b a b+ ≥ + ⇒ a b2 2 1

2+ ≥ ;

( ) ( )21

44 4 2 2 2

a b a b+ ≥ + ≥ ⇒ a b4 4 1

8+ ≥ .

13.

��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3������������������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� � %������� � ���������&��

�������������������$

�����!�=�����<���&����������������& z pentru care zz

+ 1 ∈ Q .

)=����z ∈ −R Q "� zz

+ 1 ∈ Q atunci zz

Qnn

+ ∈ ∀ ≥1, n 1 .

�=����z�'���������������&"��<�'�� n N∈ * astfel încât zz

nn

+ 1'�8��

��������&������ zz

+ 1�'����������&$

�� �&%���! �= �� �&%�� ������� zz

+ 1=3 ⇒ z z2 3 1 0− + = ⇒

z1 2

3 5

2, .= ±������& z R Q= + ∈ −3 5

2"� z

z+ 1 ∈ Q .

)=�������'���� ����9�����&%�����������5���������������������$

Pentru n=1 avem zz

+ 1 ∈ Q .

?��'�������� zz

Q m nmm

+ ∈ ≤ ≤1, 1 .

zz

zz

zz

zz

Qnn

nn

nn

++

−−+ = +

+

− +

∈1

11

1

1 1 1 1.

�= ���� zz

+ 1 ∈ Q ���8��� ������&�� )= �� �&�� zz

Qnn

+ ∈ ∀ ≥1, n 1 ,

������������$���� zz

+ 1 ∈ −R Q .

14.

Disciplina /�&�'�3 ��&� �����������3�&�'����5�3�������8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� ���� � 8������ ���� �'��

���*�����# '� ��&��&� � &����� &� '�7�*� "� &����� &� ������� 6���5�� �����

������8����������$

�����!-��ƒ:R→R�������������&�!

a) ƒ���*�������R.

b) ƒ���&�����&�'�7�*�6�x0JD8�����$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 71

c) ƒ�����&�����&��������6�x0=0.

���)�&�"�� ���� ������ ���������&� 8������ �� ����� �����������&�

��������$

10

10

21

0

1 0) ( )

,

cos ,) ( )

cos ,

,

f x

x x

xx

f x xx

x=

>

=

<

31 0

1 04

1 0

10

) ( ),

,) ( )

,

sin ,

f x

x

xf x

x

xx

=− ≤

>

=≤

>

��'���'!1$

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

�)�����%�&!�&�%�&'���&��&� �&�������8������6�D#L∞, –∞.

�����!��&��&�� �!

.lim d) lim c)

lim b) n

1nlim a)

+n

−∞→→

+∞→∞→

xx

xx

xx

xx

x

��

Rezolvare: a) ∀ n≥2; an=0 deci ���Q

an=0.

b) ���[→+∞

x1

x

=0.

c) �

�–1<

1

x

≤ �

�@����x>0 atunci 1–x<x·

1

x

≤1 ⇒ �d(0)=1.

����x<0 atunci 1–x>x·1

x

≥1 ⇒ �s(0)=1 deci ���

[→�x

1

x

=1.

d) Fie xn→–∞, ∃ n0∈ N*, ∀ n≥n0 avem �

�Q

∈ (–1,0)⇒1

xn

=–1

⇒ ���Q

xn·1

xn

=+∞

16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

72 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���������� &��8����������!��&�����

������&����������������#��&�����������&��������%�)�&�����#������&��������

"�������&����<����&���&$

�����!-��ƒ:R→R, ƒ(x)=

− <− =

>

x x

x

x x

,

,

,

0

1 0

0

.

�=�����������&�����������&�����������������&�&��ƒ.

b) �����������&�����������&��������%�)�&������&�&��ƒ"���&��&���

ƒ'(x).

c) ƒ are puncte critice ?

d) ƒ are puncte de extrem local ?

��'���'!�=R*. b) RO"�ƒ'(x)=− <

>

1 0

1 0

,

,

x

x

c) ƒ'(x)≠0, ∀ x∈ R* deci ƒ nu are puncte critice.

d) Da : x0JD�'��������������*&�)�&����"�&���&�&8�������ƒ.

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� ��&����� ������&�� ��

�������������&�����8����������$

�����!�����'�����8������ƒ:R*→R prin ƒ(x)=x x

x x

,

,

<>

0

2 0.

(=�����'����&�����������&�����������������&��ƒ?

2) ƒ(–1)·ƒ(1)=–2<0 dar ƒ �� '� ���&�� �$ �'�� ����'�� �8������� 6�

��������������8����&��ƒ�'������������6����*�������&����8������E

��'���'!(=R*. 2) ƒ�'������������R*, R* nu este interval deci nu

se pune problema pentru ƒ de a avea sau nu proprietatea lui Darboux

A�������������'�'����� ��������%�&�#���������&��������<�=$

18.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� ����%�)�&����� �&�

8������&��$

�����!-��ƒ:R→R, ƒ(x)=x

xx

x

α • sin ,

,

10

0 0

=

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 73

������������������&�����������'�*�������%�)�&������&��ƒ în x0=0 ?

a) α=0, b) α<0; c) α>1; d) α≥2.

��'���'!�=@�=$

19.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3

Calculul integralelor.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��8�������� &�

����%�)�&�����"�����*��)�&�����$

�����!���'������8������ƒ:R→R, ƒ(x)=x −

1

2.

�=���'�� �*��8���&&��ƒ.

)=�����������&�����������&�����������������&��ƒ.

c) Pe domeniul de derivabilitate al lui ƒ#��&��&�� �ƒ'.

d) ƒ nu admite primitive pe intervalul [0,2] dar ƒ ��� ����*��&�@

��&��&�� � f x dx( )0

2

∫ .

��'���'! )= �5{ 2k+1/ k∈ Z} ; c) f/(x)=0; d) f nu are proprietatea

Darboux; f x dx( )0

2

∫ =-1.

20.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'��� � � ����8�'��& � ����

inele.

�����!�=�����'�������&����� ��%��� 8�����$����*! →A, atunci g

�'����9����%�⇔*�'��'��9����%�$b) Fie m,n∈ N*#A�#�=J("�8!]mn→ZmxZn, prin ( ) ( )f x x x

� = �, $ ������8�'��

��������8�����$

�= ������8�'�����8�'������&�$

�= ������8�'��)�9����%�$

e) Zmn≅ ZmxZn.

�� �&%���!�=���� J{ a1, a2,...,an} "�*�'�� ��9����%������� ��g are n

elemente deci ImgJ #�����*�'��'��9����%�$

���� * � '��9����%�# '� ���'������ �� * �� � ��9����%� ⇒ ∃ i≠j astfel

încât g(ai)=g(aj) ⇒ Img are cel mult (n-1) elemente ⇒ Img≠A

����*�'����9����%�$

74 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

b) Avem ( ) ( ) ( )y-xn �� y-xm y-xnm ˆˆ ⇔⋅⇔= yx ⇔ � �x y= ( în Zm= "� x y=

(în Zn) deci ( ) ( )f x f y� �= .

c) ( ) ( ) ( )f x y f x f y� � � �+ = + "� ( ) ( ) ( )f x y f x f y� � � �⋅ = ⋅ '�%���8������"������$

�=8�'����9����%�#���8��������'���������&�������&)=$

Cum Zmn = ZmxZn J��"�8��9����%�⇒ 8'��9����%�$

�=����="��=�� �&��� ����8�'��&�����&�$

5.3. Tehnici de testare – Itemi subiectivi

Descriere [ �$����"�# $������#(22.]������ '�)�����%� '�� �� ��'���' ��'���' ����� ���� 8���� B����������&�T

�� �%�&���� 6� ���� ���'���$ �� '��� ��&���% �"�� �� ���'����� "� ��'��� �

�)�����%���'���6��%���������*���&������#������%������"����������&���'���&

�&��'���'�&��$

����������'���'��'���'���'����!

– rezolvarea de probleme;

F�'��'���������'��&�)��A��������&�����������=$

5.3.1. Rezolvarea de probleme

��'������"����������'����:

�� �&%���� �� ���)&��� �'�� � ����%����� ������� � �����'�&�� ��

��'���������������8�'���&��������&��&�'�F8��������&�%'������*���F

�� '����& �� %�&����� ������%������# *7������ ��%��*����# ���*�������# �����������

���*�����&� �#��8����&�����)&������$

���������������� �&%����)&������'����%�6���'���#������'��'�

�� %�&�� �����<������� ��5� &��*�& ���� ����������� &��*�$�������# ������

�7�� ���&� �� �� �&%���� �� ���)&��� �� ������ �� ��������� �

���8�������&���&�%�&��#���)���'�6������������%�����'���&�$

�)�����%�&����������������&� ������ �&%���������)&���'���!

F4���&�*�������)&����@

F�)���������8�������&������'����� �&%�������)&����@

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 75

F-����&����"���'���������� �&��@

– Descrierea metodelor de rezolvare a problemei;

F�&�)����������'������������'����� �&����&��)������@

F?�'�)�&��������*�����&� ���"�������'8����������&������ �&%���$

�������������������:

�������&�������������'�����&�'�8��� 6��������*�����&�"� 6��������

specifice.

�������������&�*�����&���������!

�='����������)&���'�8������%�����%�&�&����%7�'��"������*������

elevilor;

)= ����%������ '� ����� ��'8�"��� ����%����& '�� 6� *���# 6� 8������ ��

������"����������&���)&����@

�=����%������'�8��6���������������)�����%�&�"������������&�

disciplinei;

�=����&���%�&���������%������'�8����&�%���#�������������

��������&����)� �'��)�&�������'�����3)�����&��������@

�=���&� ����6������&����%�������������'��'��������&�'���&�"������

��'��'������#�"�����8�������)�&�$

�������&�'����8����� �&�����������'�����������)&���!

F�)��������� �&����&��������&���"�%���8���)�&�@

– utilizarea unor metode alternative de rezolvare;

F��� �������A6��������&8���&=�������������&��#���&��&�&��#

���*����&��#*��8���&�����$����'�������������"��9���&�6���&�*����

���&� ����'������&��$

%����9�"�&�����

Avantaje:

– permite formarea unei gândiri productive;

F�8�����'�)�&�������������������������@

F����'�)�&����������'������'������%��'�&��������"�'�&����@

F����%�� ������������������"�6�%������&�%�'�������� �

������������)�����&����@

F�8�����'�)�&���������&� �������&��$

76 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Dezavantaje:

– necesit�������&��*������������@

F���&�����'��'��������&���������'��'������@

F ����'��� �� ���� ���� �� ������'����� "� ����&�<����� �

sarcinii;

F�<�'����������'�)�����%�����6��%�&����@

F����'�����"���������8��������&�%����'�����)���8�����

�������6�8���������9�����&������������8�'��#������)����8��������&�%6�

cadrul grupului etc.

�)'��%���� :

4� �8��� �'�����&�� ���������� �7�� ����# 6� ���������� �� �&����&��

�&�%�&���������&� ������ �&%���������)&���'�%�����'������!

– abordarea problemei: strategia grupului pentru rezolvarea sarcinii;

F'�&�������)&����!��'���6��������)&����8�'��� �&%���������@

– lucru asupra sarcinii:

F'5�8�&�'�������������%���E

– s-au folosit mai multe metode?

– s-au verificat re �&����&��)������E

F*�����&� �������)&���� A��"� ����������# ����'�� �'�� � ������� ���

6��7&�����������8������������&�%���6�%��������'��'����=@

F ����������� �� ���8�'���&! ����& ���'������% �� ������������# ��

'�&������������������9�����&��@

F���*���&������"�������%������6��)��������� �&%����$

Exemple de itemi

1.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&��� ���%�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ������� �8��������

��������&�����������������&�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 77

�����!�8�������! 31

23

1

2

1

3

1

33

1

2

1

33

1

2

1

3

2 2 3 3

− ⋅ +

⋅ +

Schema de notare:

F?�������&��&�&�������&������&��'�������/������@

F?������8���������������� 6���&��������������� �������� '�

������(�����@

F?�������&��&��������������������&������������ ��������"�

������� ��������'�������/������@

F?������8�������� 6���&����� �� �&����&����������&����������5

�� �'�������(�����@

F?������8���������&����&��'������'�������,������$

2.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&��� ���%�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �&�'�8��� 8������&� �������� 6�!

�����������#'�)�������"�'�����������$

�����! �� '� ��������� n∈ �# �'�8�& 6��7� 8������

F(n)=3 3 3 3 3

131

2 1 0n n n+ +− − − − '� 8��! �= '�)�������@ )= �����������@ �=

'�����������$

Schema de notare:

– Pentru calculul F(n)=3 3 3 3 3

131

2 1 0n n n+ +− − − −=

( )3 9 3 1 3 1

131

n − − − −=

=5 3 4

131

⋅ −n

'�������/������@

– Pentru determinarea lui n�'�8�& 6��7� 8������'� 8�������������!5 3 4

131

⋅ −n

=1 ⇔ 5 3 4⋅ −n =131 ⇔ 3n =27 ⇔ nJ/'�������/������@

– Pentru determinarea lui n �'�8�& 6��7� 8������ '� 8�� '�)�������

n∈{ 0, 1, 2} ='�������,������@

– Pentru determinarea lui n�'�8�&6��7�8������'�8��'�����������

( n>3 , n∈ �='�������,������$

�)'��%����!�����������&�"������������������'����%�&���&��n

"�'���8����&�����'���'���&�������$

78 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

3.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � � '��� �� 8������ ����

��'����������8��������6���5���8������������8������$

�����!��&��&����!

S=1

1 2

1

1 2 3

1

1 2 3 1998++

+ ++ +

+ + + +.....

....

��������������!

S=1

2 3

2

13 4

2

11998 1999

2

....

⋅ + ⋅ + + ⋅ 4puncte

S=2

2 3

2

3 4

2

1998 1999⋅+

⋅+ +

⋅... 1punct

S=2

2

2

3

2

3

2

4

2

4

2

5

2

1998

2

1999− + − + − + + −... 3puncte

S=12

1999− 1punct

S=1997

1999 1punct.

4.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Paralelismul

dreptelor.

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �<�&��� "� '� 8�&�'��'�� ����&�&�'��&

�����������6��&��$

�����! -�� �����*���& �� "� )�'�������� �# �∈ BC. Prin D se duce

����&�&�&� ����������� �6��"������'���������&�&� &� ���������

����6�-$��'��������!

a) Triunghiul ADE este isoscel;

b) EF este bisectoarea unghiului DEC.

Schema de notare:

F?������<����������������8�*����'�������,������@

F?������� �&%������������������&���='�������1������!

DE||AB ⇒ ∠ ADE≡∠ BAD ( alterne interne), dar [AD este bisectoarea

∠ BAC, deci ∠ BAD≡∠ DAC ⇒ ∠ DAE≡∠ ADE ⇒ ∆ADE isoscel.

5?������� �&%�����������������&��)='�������1������!

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 79

EF||AD ⇒∠ ADE≡∠ ��-A�&������������="�∠ FEC≡∠ DAE

(corespondente) ⇒∠ DEF≡∠ FEC.

5.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&!���������� 3 �&�'� � ��5� 3 �������� "�

���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��������������&�"���&������������

egale.

�����! ������&� a, b, c '���'8�� ��&����&�!a b c

3 4 6= = "� 2 5 3 88a b c+ + = .

��'���&��&� �!

1) 4 3 4a b c+ − "�,=1 1 1

2 2 2a b c+ + .

Schema de notare:

– Pentru aflarea valorilor lui a=6, b=8, cJ(,#'�������+������$

– Pentru calculul expresiei 4 3 4a b c+ − JD#'�������,������$

– Pentru calculul expresiei 1 1 1

2 2 2a b c+ + =

29

576#'�������/������$

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ �����������������&�$

�����! -��! a = − + −3 5 9 4 5 "� b = − − −7 1 11 4 7 $ ��&��&���

E=2

2

b a

a b

+−

"������'��������∈ Z.

Schema de notare:

– Pentru calculul lui a=(#'�������/������@

– Pentru calculul lui b=(#'�������/������@

F?�������&��&�&&���J/#'�������/������@

– Pentru precizarea E∈ ]#'�������(�����$

7.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Triunghiul.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��'��� �����*���&

����&�����& 6���5� ���8�*������ ������&��� "� '� ����'8��� ����"�����&� "�

������������&�6��� �&�������&��$

-������������'�����������&��!����%����&�$

�����!

80 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

I) În figura de mai sus sunt construite triunghiuri echilaterale folosind

'�*��������������$

�=�7��'�*�����'�������'����������8�������������ghiuri?

ii) Câte triunghiuri pot fi formate cu 217 segmente congruente?

��= -����&��� � ���)&��� �'���������� 6� ����# 6� &�� �� �����*�����

����&�����&�#'�8�&�'����������E

Schema de notare:

F ?����� ��'������ ��&�� ���� �����*����� "� '������� ������lui

��&�����A(2='�������,�@

F ?����� ��������� 8����&�� �� ��&��& � ������&�� �� &�����!

�J/L,A�F(=#�8����������&�������*�����'�������,�@

F ?����� �� �&%���� �������� /L,A�F(=J,(0 "� '����8������

������&���������*������J(DG'�������/�@

– Pentru formularea problemei în care se face transferul de la

�����*��&�������'�������,�@

F?������� �&%�������)&������='�������(�$

8.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Poliedre.

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� �������� "� ������� �����������&�

paralelipipedului dreptunghic.

Forma de administrare: în grupe de câte trei elevi.

�����!

��'���&�����9�'����� ������'8�"������6��&�����������&�&������

dreptunghic.

�= 8&���%�&���&�&��!

i) x

ii) y

)=����8�*���'��&�� �8���7���5'�������'����!

i) care sunt punctele care coincid cu punctul P?

ii) care va fi volumul cutiei?

�=����������������6�������)�*����&��*���,D��A8�����'�)����=

�'�8�&6��7�������&'�8��6����'E

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 81

�= ����8����� �<���������& �� �&����&� �)������ &� ������&� �=# )= "� �=

�'�8�&!�������������5�8�������7����3������8�*��������'�'"������&����5�

������ � �)���� ����&�&�������&$ �� � ��*&� *��������'����� %�&���&� < "� N "�

%���8�����������&�=$!

"

#$ %

&

' ( � )

��

�*

��+��

��+��

,+��

-+��

.+��

!�� !

� !

Schema de notare:

F���������"�9�'��8������<J2��#(�@

F���������"�9�'��8������NJ(+��#(�@

F�����&����'����&� �� �?J�J�#,�@

– Calculul volumului V=1620 cm3, 2p;

– Calculul diagonalei paralelipipedului d≅ ,(#,Q,D "� 8����&����

����&� �����)�*����'���������������6�����&�&������,�@

F?��������'�������#��'�����"�%���8�����,�$

9.��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������8����&�����8������ &������

"�'������� ����*��8��$

�����!-��8������&������ f R R: → ����6����&���"����������!

( ) ( ) ( )2 1 2 3 2 14f x f x x x R− + = − + ∀ ∈ .

�=��'����������8������ ( )f x "�'�'������ ����*��8��$

)=��'����������������&�����*��8������������������&��*�&�$

Schema de notare:

F?�����������������8������� ( )f x x= +2 2 '�������1������@

F?���������� �������*��8���'�������/������@

82 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

F?����������������� A5,#5,='�������/������$

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����������������8�<�&����8������

����������5���&����8��������&�$

�����! -�� 8������ ƒ:R→R astfel încât (ƒ°ƒ)(x)=x2+1

4, ∀ x∈ R$ �� '�

��������<�'���∈ R����������������ƒ(c)=c.

�� �&%���"�)������������!

�&������ƒ��)�&�����)��"��)�����!Aƒ°ƒ°ƒ)(x)=ƒ(x2+1

4) ⇔

(ƒ°ƒ)(ƒ(x))=ƒ(x2+�

�) ⇔ƒ2(x)+

�=ƒ(x2+

�), ∀ x∈ R - '�������+������ .

În particular pentru x=�

��)�����ƒ2(

�)+

�=ƒ(

�) ⇔ (ƒ(

�)–

�)2=0 ⇔

ƒ(�

�)=

�. Deci x0=

� este punct fix al lui ƒF'�������+������$

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� "� '� ��&��� �����������&�

�����������#��9����%�����"�'��9����%������&�����8���������&�$

�����!-��8������ƒa,b:R→R��8���������! f x

x x

x x

x xa,b

a b,

( )

, ( , ]

( , )

, [ , )

=− ∈ −∞ −+ ∈ −+ ∈ +∞

2 1 1

11

5 1 1

������������#)∈ R�'�8�&6��7�8������ƒa,b'�8����'�����%A���7��=!(='�������������@

,=��9����%�@

/=��%��'�)�&�"�6����'��� �8&���8��������%��'�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 83

Rezolvare "� )������������! (=ƒ este

'����� ���'������� �� AF∞,-1]∪ [1,+∞). ƒ este

'��������'���������R�����QD"�

ƒ((–1;1))⊂ [–3;6] ⇔�QD"�F/≤b–a, a+b≤6.

4� �&�� ��&����� ������&�� A�#)= �'��

����� ������������������"�����$

��������/������$

Β(0,6)

�/��012

/���2 /1��2

),�

� ��

/ 23

�∧

Β(0,6)

�/��012

/���2 /1��2/01��2 /0���2

� ),�

� ��

,�

���

0/ 2 / 2

2) ƒ��9����%�⇔ a>0, –3≤b–a, a+b≤6 sau a<0, –a+b≤6, a+b≥–3.4� �&��# ��&����� ������&�� A�#)= �� %���8��� ��&���� ����� ����

'����8�����������������'���������*���&���$��������/������$

3) Pentru a>0, ƒ(x)=

2 1 1

9

2

3

211

5 1 1

x x

x x

x x

− ∈ −∞ −

+ ∈ −

+ ∈ +∞

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

�'��)�9����%�"�

ƒ–1(x)=

xx

xx

xx

+ ∈ −∞ −

− ∈ −

− ∈ +∞

1

23

2 3

93 6

1

56

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

��

�∧

0�0�

� �

1

��

0�

01

84 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Pentru a<0, ƒ(x)=

2 1 1

9

2

3

211

5 1 1

x x

x x

x x

− ∈ −∞

− + ∈ −

+ ∈ +∞

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

�'��)�9����%�"�

ƒ–1(x)=

xx

xx

xx

+ ∈ −∞ −

− + ∈ −

− ∈ +∞

1

23

2 3

93 6

1

56

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

��������1������$12.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���*��������� 3 �&�'� � ��5� 3 -������

trigonometrice.

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'��� � � ���*�&����� ���*����������

determinând un interval de lungime π316�����%���� ���*�����&�.

�����! ��������'��A�π 4 �4 �� )>�

�, ∀ n∈ N, n≥2.

Rezolvare : nπ(n+1)+π/4<nπ 4 �4 �� <nπ(n+1)+π/2, ∀ n∈ N, n≥2.

�<sin nπ 4 �4 �� .

��������(D������$

13.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a IX-a / Cercul

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �� � ���8�*������ ����

puncte fixe pentru aplicarea unui loc geometric din categoria locurilor

*�����������)� �$

�����!-�� ���������*����������$��'���������� &���&*��������

�&������&�������&���&�����*���&������������������!� 2+MB2=MC2.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 85

Rezolvare: Fie D mijlocul lui

:��; "� � �������7�� &���&�� *��5

metric.

���� �A �C )>90o atunci locul

*���������'����&�����%���$A(�$=

���� �A �C )=90o atunci locul

*�������� �'�� ��&����� 8������ ���

������&�����'��'��������&������&���8������$A,������=

În ∆� � '� ��&��� ������� ��������! 1��2=2(MA2+MB2)–BA2 ⇔

AB2+4MD2=2MC2. ( 3 puncte)

�&��7�����������������6������*���&���)�����!

4MD2=2(MC2+ML2)-CL2 deci ML2=CL2-AB2 �� �&�� � ��'���� �� ����

��������&6����� �! r CL AB= −2 2 . ( 4 puncte)

�)'��%����! ?��)&��� '� ����� �� �&%� "� �� ��&� ���&�����$ ��

���'����� '�'����&�� ���������� �� ������& 6�������&�$���)���� �� ����

�� ������& 6� �� �� � r a b c= + −2 2 2 , unde a, b, c sunt lungimile laturilor

triunghiului ABC.

14.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a IX-a / Arii.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &�

�����*�����&�����%�&�����)�������������'���������������$

�����! 4� �����*���& �� '� ���'����� ������� �$ �� '� ����� ��

���� �������&� 6�'���'� 6� �����*�����&� �� "� �� �� �����"� �� �# ������

AB=AC.

86 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Rezolvare: σ[ABD]=σ[ADC]=S/2. Fie

r1"��2 razele cercurilor înscrise în ∆ ��"�∆

ADC. r1·p1=S/2=r2·p2; r1=r2 ⇒ p1=p2 ⇒

2p1=2p2 ⇒ c+a/2+ma=b+a/2+ma ⇒ b=c.

��������(D������$

15.

��'���&��� 3�&�'� 3������&�&!���*��������� 3�&�'���5� 3 �&������&�

trigonometriei în geometrie.

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��� 8����&� �*A�L)= 6� �� �&%����

unor probleme.

�����! �����'����� �� �����*���& �� �'�� �������*��� 6� ���� "�

���������!�*�

�+tg

�·tg

�+tg

�=1.

�� �&%���!��&����'����'����!�*�

�+tg

�=1–tg

�·tg

�����*�

�·tg

�=1 atunci tg

�+tg

�JD������������#�����*

�·tg

�≠1.

��&�����'������%�&������!�*A�

�+

�=J("�

�+

�∈

02

,π ⇔

�+

�=π�

B+C=π�

⇔m(Â)=π�

.

��������(D������$

16.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

complexe.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%���������)���������$

�����! �������� ��9����%������ "� '��9����%������ 8������� ƒ:C→C ��8�����

prin ƒ(z)=z3, ∀ z∈ C$�� �&%����������ƒ(z)=1+i.

Rezolvare: z3J(���'�&����&�ε0=1, ε1=− +� �

�"�ε2=

− −1 3

2

i.(3 puncte)

ƒ(1)=ƒ(ε1)=1 deci ƒ���'����9����%�$A(�����=

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 87

Fie y∈ C# ������� 3FNJD ��� ��& ����� � '�&���� �������� ��������

fundamentale a algebrei. (1 punct)

�� �&��ƒ'��9�����$A(�����=

1 24 4

24 4

3+ = +

= +

i i z icos sin ; cos sinπ π π π

. (2 puncte)

��&����&�! z ik

k

3

k

3=

++

+

22 26 4 4cos sin

π ππ π, 0≤k≤2. (2 puncte)

17.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! >�������� 3 �&�'� � �5� 3 �&������ �&�

numerelor complexe în geometrie.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�8�&�'��'�����*�&�����������&�"�

������������&���������&���������%��&���������$

�����!

Fie ε����������������%���������&�≥,���������"� �������complex astfel încât z k− ≤ε 1, oricare ar fi k∈{ 0, 1, 2, 3, ......, n-1} . Atunci:

z≤ 1.

Rezolvare. Cum ε�'������������������%���������&�������������&��

��������&�����������'���n={ 1, ε, ε2, ... , εn-1} .

Din 1+ε+ε2+...+εn-1=1

1

−−εε

n

JD#�� �&��A 5(=LA 5ε)+(z-ε2)+...+(z-εn-1)=nz,

de unde nz≤ z-1+ z- ε+ ...+ z-εn-1≤ ������ z≤ 1.

��������(D������

18.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /

?���������&�������6�'�����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� ��*���& ������ � ����

plane.

�����!

-���������&�������&�� ���#��������������������&���6� ��

�&���&�������&��#�'�8�&6��7���J� #���9&���&&��[MB] "�-��9&���&&��

[MD] . ��������! a). (AEF)⊥ (CEF)

)=$��'�����*���&��8��������&���&�A ��="�A��-=�'��/Do.

��������(D������$

88 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

19.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3?�&������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���'�����'�� ������� �� *����& /

când se cunosc valorile polinoamelor simetrice fundamentale s1, s2"�'3 .

�����!-���#)#�∈ R astfel încât: a+b+c=a·b·c.

�=�����'������� ab+bc+ca≠1.

)=��&��&���!����*�L����*)L����*�$

�� �&%���!�=�����'1=a+b+c=a·b·c=k=s3"����'��������

s2J�)L)�L��J($���������*����&������%��%���������������#)#�%�8�

t3–s1t2+s2t–s3=0 ⇔ t3–kt2+t–k=0 ⇔ t(t2+1)–k(t2+1)=0 ⇔ (t2+1)(t–k)=0 ⇒ t1=k,

t2,3∉ R������������$�����)L)�L��≠1. ( 6 puncte )

)=�����α=arctg a; β=arctg b ; γ=arctg c.

tg(α+β+γ)= 5 4 5 4 5 5 � 5 � 5

� 5 � 5 5 � 5 5 � 5

�4�4 � ���

��4�� 4 ��2

α β γ α β γα β α γ β γ

−− − −

= −−

=� /

0 ⇒ α+β+γ=0.

(4 puncte)

20.��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � �5� 3 ��&���� ��

numere.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �������&�& ���� ��&����

date printr-o proprietate.

�����!�����'�������&�����!

A={n∈ N, 1≤n≤1000 ∃ x,y∈ N* astfel încât n=25x+26y}.

��'����������������&�&������&��&�� A���� =$

�� �&%���!������&� ����������&�����&���!

Lema 1$�����#)∈ NO"�A�#)=J(������∃ u,v∈ N* astfel încât au–bv=1.

Lema 2$ ���� �#)∈ NO "� A�#)=J(# �∈ N# �Q�) �<�'�� ∀ x,y∈ N* astfel

încât n=ax+by.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 89

"��������� ���� 1$����&*������& &�����&���� �&�����<�'��x0,y0∈

Z astfel încât ax0+by0J($ ���'������ �0∈ Z cu t0>–��

� "� �0>

��

� "� �����

u=x0+bt0∈ NO"�%JFAy0–at0)∈ N*; au–bv=ax0+by0=1.

"��������� ���� 2$ �&��7�� &���( �� �&�����<�'���#%∈ N* astfel

încât au–bv=1 ⇒ anu–bnv=n>a·b ⇒ 6

�–

7

�>1 ⇒ ∃ t∈ N* astfel încât

7

�<t<

6

"����'����7��x=nu–bt∈ N* avem ax+by=n, y=at–nv∈ N*.

#��������! �� ����� ���"��� �� � �������� �J�I) �� %���8���

��������$

?����� �J,+ "� )J,. ��&��7�� &��� , �� �&�� �� ∀ n∈ {651, 652, ...,

(DDDR�<�'��x,y∈ N* astfel încât n=25x+26y. ( 5 puncte )

Pentru valorile lui n∈ \(#,#$$$#.+DR'����������������&���&�&��Ax,y)

∈ N*×NO��%���8����*�&������$��%��)�������� J/+DL/DDJ.+D$A+������=

21.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3�������$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� ���������5�������������

���8����'�����&�$

�����!-�� J1 3

3 1−

∈ M2(R).

�����������λ ,α∈ R astfel ca A=λ ·cos sin

sin cos

α αα α−

"���&��&��� n, n∈ N*.

Rezolvare: A= 2

1

2

3

23

2

1

2

2 3 3

3 3−

=

cos sin

sin cos

π π

π π deci putem lua λJ,"�

α π α π π= ∈ + ∈

3 3 sau 2k k Z "� n= 2n cos sin

sin cos

n n

n n

α αα α−

= 2 3 3

3 3

ncos sin

sin cos

n n

n n

π π

π π−

�� �&��������'��������������������������$

��������(D������$

90 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

22.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��'����&������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%�'�'�������*�����������

la calcularea unui determinant simetric.

�����!��'��� �&%�'�'����&!

x y z x

x y z y

x y z z

2 3 5

5 2 3

3 5 2

+ + =

+ + =

+ + =

π

π

π

Rezolvare: Sistemul se scrie:

( )( )

( )

2 3 5 0

5 2 3 0

3 5 2 0

− + + =

+ − + =

+ + − =

π

π

π

x y z

x y z

x y z

(3 puncte)

Este un sistem omogen deci compatibil. (1 punct)

det A =

� � �

� � �

� � �

−−

−=

ππ

π

� � �

� � �

� � �

= (2 puncte)

=1/2(a+b+c)[(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2]≠o (2 puncte)

����'�'����&�'���������)�&����������#������������'�&����)���&�

x=y=z=0. (2 puncte)

23.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � � '������� � ���� ��&���� ��

�����������������&���$

�����!�����"�����&������������&�A�n)n∈ N*"�A%n)n∈ N* astfel încât

un+2 + un + � ·vn+1 =0

vn+2 + vn + � ·un+1=0, ∀ n≥1, u1,u2,v1,v2∈ R fixate.

��'����������&�����"�����'������*�����$

�� �&%���! �������&�������&����$�)�����!

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 91

(un+2 + vn+2) + � (un+1 + vn+1) + (un + vn) = 0 (1 punct)

�����αn = un + vn, ∀ n≥($��&������%���!

αn+2 + � ·αn+1 + αnJD#��&���������������&��������������&,@

αn = qn"�6�&������%���)����!Vn+2 + 2 ·qn+1 + qn = 0 |:qn;

q2 + � ·q + 1 = 0.

� �

��� �

= − ± ⇒ = − + = +

= − − = +

� �

�� �

� �

��� ��

��� ��

π π

π π

α Q � �

Q

� �

Q� � � 4 � � � + �= ∀ ≥� unde C1 "� �2 se deduc prin identificare

cunoscând α1"�α2. (4 puncte)

��

�++++�

��

Q

Q= + = +��� �� 8 ��� �� π π π π

� � (1 punct)

α Q � �

Q

� �

Q

� �� � � � � � ++ �≤ + = + ∀ ≥� � � deci (αn)n���*����$A(�����=

?���'���������&����&�������)�����!

(un+2–vn+2)– � (un+1–vn+1)+(un–vn)=0. (1 punct)

�����βn=un–vn, ∀ n≥1; βn+2– � ·βn+1+βn=0; βn=qn.

q2– �VL(JD %� 8� ������� ���������'���� � ���'��� "��$ ��&��&��

��������&�!

� ++�� �= + = + = − = +�

� � �

�� � � ���� �� 8 ��� ��

π π π π .

βn=C3·q3n+C4·q4

n unde C3"��4'����������6�8���������1, u2,

v1, v2. (1 punct)

|βn|≤|C3|·|q3|n+|C4|·|q4|n=|C3|+|C4|, ∀ n≥1 ⇒ (βn)n���*����$

un=�

�(αn+βn), ∀ n≥1; vn=

�(αn–βn), ∀ n≥1.

Deci (un)n"�A%n)n'������*�����$A(�����=

24.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3-����������%�)�&�

92 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������%�)�&������6���&��&�&����

&����� ����# "� '� ��������� 8������ ����%�)�&� �� %���8��� � ��&���� 8��������&�

����$

�����! (= ���� 8������ ƒ:R→R �'�� ����%�)�&� 6� x0 "� K∈ N* fixat,

��&������!

( )lim ...n +

nn n

k

nk

→ ∞+

+ +

+ + +

f x f x f x f x0 0 0 0

1 2

,=�����������8������&�ƒ:R→R, derivabile, pentru care

ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)–2xy,∀ x,y∈ R.

�� �&%���! (= ���� &��� �n Q → 0, hn≠0, ∀ n≥1, atunci

( ) ( )lim

n +

n

n

h

h→ ∞

+ −f x f x0 0 =ƒ'(x0). În particular, pentru hn=1/n avem

( )limn +

nn→ ∞

+

f x f x0 0

1=ƒ'(x0).

( ) ( ) ( )

⋅−

+

++⋅−

+

+−

+

∞→k

n

kn

k

...

n

2n

n

1n

lim+n

������

��xfxfxfxfxfxf

=

=ƒ'(x0)+2·ƒ'(x0)+...+k·ƒ'(x0)=9/9 4�2

�·ƒ'(x0). (5 puncte)

2) Pentru x=yJD�)�����ƒ(0)=2·ƒ(0), deci ƒ(0)=0, ƒ �'������%�)�&� 6�

x0=0 deci ���K �→

� /:2

:�<�'��#�'��8�����"��'���*�&���ƒ'(0)=k.

4���&�����������'������x=x08����"�y=h≠0, ƒ(x0+h)=ƒ(x0)+ƒ(h)–

2·x0·h ⇔ ⇔ ( ) ( )f x f x0 0+ −h

h=–2x0+

� /:2

: "� ����7�� &� &����� �)�����! ƒ'(x0)=–

2·x0+k.

Cum x0 � 8�'� �&�' ��)����� ������� �� ƒ'(x)=–2x+k, ∀ x∈ R ⇒

ƒ(x)=–x2+kx+c, c∈ R. Dar ƒ(0)=0 ⇒ c=0. Deci ƒ(x)=–x2–kx, ∀ x∈ R$ �� �����

�"����ƒ%���8�����&����8��������&�����$A+������=

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 93

25.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � 3 �&�'� � ��5� 3 �&������ �&�

����%���&��6�'�����&%��������8������&��

Obiectivul: Elevul va fi capabil '� ����&� � ����"�����&� �� *��������

'������������&������&� �����������$

�����!?��� ������& ��*��������& �����*���&�� ��'������ �������

���������� �����'����� � &�����&� �"� � 6�������&�W ��'�����%?$�� '�

�������∀ x1,x2∈ R avem : p1x1+p2x2≤ln ( )p p1 2e ex x1 2+ unde p1=�;

);"��2=

�#

)#.

Rezolvare: Prin aplicarea teoremei lui

����&��''������'���� ���!;�

;)

#�

#)+ =p1+p2=1.

(5 puncte)

-������ ƒ:R→R, ƒ(x)=ex �'�� ���%�<� "� ��&��7�� ���*�&������ &��

Jensen pentru x1,x2∈ R, p1,p2≥0 cu p1+p2J(�)�����!

� � �[ [ [ [S S

� �� � � �� � � �

+ ≤ + ⇔ p1x1+p2x2≤ln ( )p p1 2e ex x1 2+ . (5 puncte)

26.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'� '��)�&��'����������*����������

sunt sau nu izomorfe.

�����!��'��������*������&������%�Q"�Q×Q nu sunt izomorfe.

�� �&%���! ?��'������ �� Q≈Q×Q ���� �<�'�� ƒ:Q→Q×Q un

izomorfism de grup: ƒ(1)=(a,b)∈ Q×Q. (2 puncte)

ƒ(2)=ƒ(1+1)=ƒ(1)+ƒ(1)=(2a,2b). (1 punct)

?�����������'��������!ƒ(n)=(n·a,n·b); ƒ(–n)=(–na,–nb),

)

� ��

;

#

%

94 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

deci ƒ(k)=(k·a, k·b), ∀ k∈ Z. (2 puncte)

Fie n∈ N*; ƒ(1)=ƒ 1

n

1

n...

1

nn ori

+ + +

� ��� ��

=nƒ 1

n

=(a,b) ⇒ f1

n

a

n

b

n

=

, ;

fm

n

m

na,

m

nb

=

�����ƒ(x)=(x·a,x·b), ∀ x∈ Q. (2 puncte)

�����JD'��)JD�%�����ƒ���'��9����%�$A(�����=

�����≠�"�)≠0 fie (α,β)∈ Q×Q. Cum ƒ�'��'��9����%� �� �&�� ��

�<�'��<∈ Q astfel încât ƒ(x)=(α,β) ⇒ xa=α"�x·b=β ⇒ x=α β β α� �

�= ⇒ = �����

α"�β nu sunt independente. Deci ƒ���'��9����%�#������������$A,������=

5.4. Metode alternative de evaluare

���&� ���������� ����&�����&� �� ���� ����� '� &� �� %�&����&�%�&�� ��

��������������&�<"� �������'���&����$���<���&�#�������������� �� �&%�

���)&���AB���)&��'�&%��*T=�'�������������������#8� ����#)��&�*������$

����������� �� � ���� "� 6���&�*� �� ��<� �'�� ���&� �� ����� &� &��)�

���7��# &��)� '������# ��� "� &� �'�����# *��*��8��# �������� "� �<���&�&� ���

continua.

��"� ���������� ������ ��'����� ���� ����"����� "� ���������� �� )� �#

������&� ����������&� �� �%�&���� �� ��� '��� �8������� 6� '������� �� ��&�

��'���'� ��� '�'$ �� ������# ���)��� 8�&�'��� ������ �� �%�&���� ���� '�

8��� ���& &� ������%������ �&�%�&��# &� *7������ ��%��*����# *�����&� ���# '��

&����&6�������$

Printre cele mai cunoscute metode alternative din literatura de

'�����&�������������!��%�'��*����#��������&#�����8�&��&"������%�&�����$

��%�'��*���� �'�� � ������ �� �%�&���� 6� ���� �&�%�& �'�� ��' 6�

'����������������'�&�������'�)��� A8�����'�&����&��&*��������= &�'������

������&�<�������8�����$

����� ���� '������ �'�� '���&�# �&�%�&�� � '� %� ���� '� 8��� ��%���

6���&�*����'�������#�� �&%����#*�����&� ����'������'���������6��&������<�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 95

�����& �8����� ��%�'��*����� ���� ������� '������� ���)&��� �'�� &������

"�# 6� ���� �� �� # ����'�� �� ����� ����"� � ��� �� ���'$����& �� &���� 6�

�� �&��%�'��*����������8�����%����&'����*���$

Exemplul 1*$>����������������

�)�����%�&!�&�%��%�� 8� ����)�&� '���&��� 6��������� 8����&�&��������

��&��&� ���� '�� %�&���& ���� ������� *��������� A����&�&�������= "� '� ���*�

����&� �����%����� �&����&��)������$

�����!

�+� 3

∨fig. 1 fig.2

� 8�&�� ������� �� ��)&� A,U,�����= %� 8� ����'8������ 6���5�� �� ��%��

����������7���7�������������8��������&��&��)&��A8�*$(=$

��'��&'�6������"�'�8����� ����� ��%�������A8�*$,=$

��� %� ������� %�&���& �� ��%���&�� �� ������� �������&�� �� ��)&�

�����������&����E�������������'���'�&�'�8�&!

�= ��'����� �� *��8�� �������� ��� '� ����8��� %�&���& )� ���&�� 6�

8��������&������������&���������$

)=�<�&�����8����*��8���&��$

�=>�'��� � 8����&� �&*�)���� � %�&���&�� 6� 8������ �� &����� �������&��

decupat.

Rezolvare:

a) ?�����������������8����&��8�������������&��������!

-�&�'��� 8����&�����������&�&�������& �������*����J�U)U� "� ���7��

���� �� �������&� �������� A������ ������� %�� �� %�&��� ��! ( ��# ,

��# / �� ���$= "� ����'8���7�� ,� 6� ,DD �� �)����� ����������

8����&�!

* (QXQW GXS� *&6( &RXUVH :RUN� 0DWKHPDWLFV ���� DQG ����� +LGODQG ([DPLQLQJ *URXS� 8.� ����.

96 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

< > >> <<

-�0�--

-

�0�-

-

V=x(200–2x)2

>��8���& ����� ���� ����& 6� ���� %�&���& ���"�� �7�� &� � �������

%�&����6�8��������&������������&����������������'���"��$

��)�&�& ����� 9�' ����� ���� %������� %�&���&�� 6� ������ �� &��*����

&�������������&����������$

������������&�� Lungimea bazei 4��&����� Volumul1 198 1 39 204 cm3

2 196 2 76 832 cm3

3 194 3 112 908 cm3

4 192 4 147 456 cm3

5 190 5 180 500 cm3

10 180 10 324 000 cm3

15 170 15 433 500 cm3

20 160 20 512 000 cm3

25 150 25 562 500 cm3

30 140 30 588 000 cm3

35 130 35 591 500 cm3

40 120 40 576 000 cm3

45 110 45 545 500 cm3

50 100 50 500 000 cm3

55 90 55 445 500 cm3

60 80 60 384 000 cm3

65 70 65 318 500 cm3

70 60 70 252 000 cm3

75 50 75 187 500 cm3

80 40 80 128 000 cm3

85 30 85 76 500 cm3

90 20 90 36 000 cm3

95 10 95 9 500 cm3

99 2 99 396 cm3

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 97

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� ���

��� ���

�� ���

�� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ������ ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ������ ���

��� ���

2!

K

9 ∧

Proiectul ����� ���� � ������ �� �%�&���� ����&�<� ���� '�

��'8�"���� �� ������'�& � �7���%� �&�# �7���%� '�����7�� "� ������ ��

�������� ����� ��� &��*�$ ���&�& "� ���������& ��������&�� �� ��������� ���

�&�%�&��%��8��&�'���8���������*��9�$

?&���& �� &����# ���������&� "� �&���8�����&� %�� 8� 8����� 6� �&�'�# ���7��

���&�%�&'������������'�$

���&� �������������������������������������������!

– colectarea datelor;

F���&� �����8����%����������&��$

���� ���'�)��� �� ��%�'��*����# proiectul de cercetare are un caracter

������� ��&� ��� ���������$ ����& '�� �� ���&� ��� '� 8��� ���8��� ��"�&��

����'����6�������&�*������������!

F������8������"�6���&�*�������)&����@ – formularea ipotezelor;

F*�'����������&������ �&%���@ – efectuarea experimentelor;

F�)��������� �&����&��@ – interpretarea acestora.

Portofoliul este un instrument de evaluare complet prin care se

������"�����*��'�& &�����������'���&���#���"������������&�%�&�� 8�����

������'���&��������������&��*�������$

��'�� �������� ��7� �� �&����&� �)������ �� �&�% 6���5�� '���'��� '��

�� "��&�� &� ��'��# ���)� ��������# ���� ������ ���'�# ��� "� �� �&����&�

�&�%�&��&���'���������&�������%����%�&����A��%�'��*����#��������#��8�����#

98 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�'���� ���$=$ 4� �&�'# �����8�&��& �������� 8�"�&� ����%����&� �&� �&�%�&��#

���'����������%�������������'�8���������������'���&���"��&��&�$

4� 8������ �� ����&�<������ '�# �%�&����� ���� �����8�&��# ��%��� �

����%����� ��� �� 6� �� ��� ��8���&�$ �� ����� 8������ ��'������� ��� ��&�

��'���'��7���������)����%�&��������8�'��#����&%� ���)��'� 8���"��

�%�&���� *&�)�&� � 6����*�&�� �����8�&��# ���7�� ���� "� �� ���������� �� ����

8�������&������&�����8�&��&�����������6���'��)&�$

?�� ����� �� '���� �<���&� �� ��8���� ���� ����� 8� ���&�' 6���5��

porttofoliu.

?�����������&�������&�����&�

?���� �8���� �� 6���&�*���� �������� �� ����� �'�� 8����� ����������$

4� ���������� �&�'���� ���� �<������� ��%��'� ���&� ����������� �&� ������&��

reale.

�5��������������a,b∈ W"� a b+ =2 0 atunci a=b=0.

�5��������%�� �������� 2 3+ ∉ Q.

�5��������.�� �������� 2 3 5+ + ∉ Q.

�5��������1� �������"�6���&�����'������������&*�)�������5WE

�5�������� 2�� 6( 2 )= { }a b a b Q+ ∈2 / , 6� �'���� �� ��������&� �� ���5

����"�6���&�����'��������������%!Q⊂ Q( 2 )⊂ R.

�5��������7���=���� �∈ Z-{ 1} �'�� &�)�����������# AWA d ),+, .) este

��������������%�����������������$

b) Q( d = �'�� �� '����� %�������& �� �����'���� , ��'�� W# 6� ����

��&������J{ 1, d } �'���)� �$

�5��������8�����a, b, c∈ W"� a b c+ +2 43 3 =0 atunci a=b=c.

������� ( Q, +, .= �'�� ���� ������� ��� �& �� ������� ��&����

���*�����'������������������*���'���������$

�����'������!

��&����� J{ x∈ Q*+/x2<2} �'�� ��%��� A (∈ = "� �'�� ��9����� '���

exemplu de 2∈ Q*+$ ��� ����� �� �� ��� ���*��� '��������� 6� W$

?��'������# ���� �)'���# �� �<�'�� �J'�� ∈ Q*+, a≥($ ��� ������� �2=2 nu

���'�&����6�W�� �&���2<2 sau a2>2.

�����'���������2<2.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 99

���'������ ������&( )

ba

a= −

+2

2 1

2

2 ∈ Q*+$ ����� �� a+b∈ A, deci a nu

�'�����*���'���������$

( )b aa+ = −

12

22

2

<1 ⇒ 0<b<( )

1

12

a +<1 ⇒ b2<b.

( )a b a ab b+ = + +2 2 22 <a ab b2 2+ + <a ab b a b2 22+ + + = ( )a b a2 21+ + =

aa2

22

2+ −

=a 2 2

2+ <2 ⇒ a+b∈ A .

��&�*'��9��*�&������������������2>2.�5�������� 9�� Fie a1, a2,..., an∈ R+

* astfel încât a a an1 2 1⋅ ⋅ ⋅ =... atunci

a a a nn1 2+ + + ≥... .

�5������� 9. a) Fie a, b ∈ R+* atunci:

21 1 2a b

aba b

+≤ ≤ +

.

b) Fie a, b ,c ∈ R+* atunci:

31 1 1 3

3

a b c

abca b c

+ +≤ ≤ + +

.

c) Fie x1, x2,..., xn ∈ R+* atunci:

n

x x x

x x xx x x

nnn n

1 1 1

1 2 3

1 21 2

+ + +≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤

+ + +

......

.... (Inegalitatea mediilor.

Cauchy, 1821).

�5������� 10. Fie x1, x2,..., xn ∈[ 0, +∞) astfel încât x1+ x2+...+ xnJ($��

'������'��� ���!x

x x x

x

x x x

x

x x x

n

nn n

n

n

1

2 3

2

1 3 1 2 11 1 1 2 1+ + + ++

+ + + ++ +

+ + + +≥

−−... ......

...

�5������� 11$��'��������6�����������*�� ����� &�� ���*�&������!A

p a

B

p b

C

p c p−+

−+

−≥ 3π

, unde A, B, C'�����'���&�6���������&���*�����&��

sale.

Se pot face incursiuni în teoria lui Cantor la diferite nivele. Pentru

atragerea elevului se poate începe cu “povestea hotelului infinit” iar apoi

�������'������� ���������&��� �&���� 6� ��������&����&��$ '�8�&'��9��*�

&� �����"����� �7���%� ��&���� ������)�&�! �# ]# W# W�W# AJ ��&�����

numerelor algebrice.

100 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��������� �� ������& ����&�< α �'�� ����� �&*�)��� ���� ∃ f∈ Q[X] ,f≠0 astfel încât f(α=JD ��� ��&�����& ������ �� *��� ����� �� ����'��

�����������'�����"����&�����&������&�&&��α.

�5������� 12$������'�����&�������������<�'���)�9����� 6�����

"�Ρ(X) (Cantor).

�5���������.. Fie ( xn)n≥1 �� "�� �� ������ ���&� ����&�# ������ �<�'��

α∈ R astfel încât xn+α∉ Q, ∀ n≥1.

4� 6�������� %�� ��� ���� �� ����& �� �<�������� '������������� %�

�%����8���&����������'������8����&����������&π�'����������&$

�� ���'����� a, b, n∈ N*, 8������&� :nf R→R, ( ) ( )nnn abxx

nxf −=

!

� "�

integralele ( )∫=�

nn xdxxfI�

sin , ∀ n∈ N*.

a) �� '� ����� �� ���� u, v:I→R '��� 8������ �� n ori derivabile pe I,

atunci ( )( ) ( ) ( )kknn

k

kn

n vuCuv −

=∑=

.

b) ��'�������� ( )( )�knf ∈ Z, ∀ k∈ N*, n∈ N*.

c) ��'�������� ( )

b

af k

n ∈ Z, ∀ k∈ N*, n∈ N*.

d) ��'�������� limn ∞→

�=nI .

e) În ipoteza b

a� = #'�'�������� nI ∈ Z*, ∀ n∈ N.

S�'������'��� ���������&π∈ R – Q.

Rezolvare.

a) Pentru nJ( �'�� �%�����$ �����'���� ���� ��# ���� �*�&������

�'�����%�����������n#�������'�����%����� "� ������n+1. Într-

���%��#

( )( ) ( )( )

( )( )nn

n vuvuuvuv ′+′=

′=+� = ( )( ) ( )( )nn vuvu ′+′ = ( ) ( )∑

=

−+n

k

kknkn vuC

� +

( ) ( )∑+=

+−n

k

kknkn vuC

� = ( ) ( ) ( ) ( )kknn

k

kn

kn

n vuCCvu −+

=

−+ ∑ ++ �

�� + ( )�+nuv = ( ) ( )∑+

=

−++

n

k

kknkn vuC .

b) Cum ( ) �� =nf "� �=x �'������������������&n pentru nf , care are

gradul 2n#�� �&���� ( )( ) ���� −=∀= nkf kn ,, "� �� +≥∀ nk . Pentru

{ } ,...,,, nnnk ��+∈ avem

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 101

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−⋅++

′−+−= − knnnkn

knknk

n abxxabxxCabxxn

xf ...!

���=

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]����� +++−++−⋅+++ −−− .........!

nnnknnk

nknnnnkk abxxCabxxC

n

�������� �&���� ( )( ) ( )( )( )( )��

�nknnk

kk

n abxnCn

f−− −⋅= !

!=

( ) ( )( ) knnknkk aknnnbC −−− −+−− �

��� ... ∈ Z.

c) ( )

b

af k

n ∈ Z, �� −=∀ nk . "� �� +≥∀ nk . Pentru { }nnnk �� ,...,, +∈ avem

( )

b

af k

n = ( )( )

a

bxbnC

n

nknnkn !

!

�= ( ) ( )

knnn

k b

aknnnbC

⋅+−−−

��� =

( ) ( ) knknnk baknnnC −−+−−= ���� ... ∈ Z.

d) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +≤−=≤≤

+� � �

nnnn

nnn n

M�

dxabxxn

dxxfdxxxfI� � �

!!sin , unde

[ ]abxM

�x

−=∈ ,sup

. Cum ( ) ��

=+

+

∞→ !lim

n

M�nn

n#�� �&���� �=

∞→ nn

Ilim .

e) Dac�b

a� = #����*�7�����������%���%�� ( )∫ ==

nn xdxxfI�

sin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =″−′++=′+−=� �

n

nnn

n xdxxfxxff�fxdxxfxxf� �

��� ...sinsincoscos

…= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ++++

″+″−+ ...��� nnnnnn f�ff�ff�f

( ) ( )( )∫⋅−++�

nn

n xdxxf�

�� .sin... Cum ( )( )�f kn ∈ Z "� ( )k

nf ∈ Z, iar

( )( ) ( ) nnn bn

nxf ⋅= !

!�

�� ∈ Z#�� �&���� nI ∈ Z.

f) ����π∈ Q, atunci b

a� = conduce la nI ∈ Z"���� �=

∞→ nn

Ilim #�� �&��

�� nnI n ≥∀= , . Dar �� ≠nI , ∈∀ n N, fals.

Autoevaluarea ������� ���������� �������&�� ���8������� 6� ������ ��

�)�����%�&�����������&�$ 4������'�&�����%�&������&�%�&%� 6���&�*����)���

�)�����%�&� "� ���������& '������� �� � ��� �� �� �&%��# ���&� ���� ���� *�'�"��

'�&���� ������� "� ����& 6� ���� �8����& '�� �� �� �&%��� � '������� �'��

%�&���8����$ ����%�&����� ���)��� 8����� '�) ������ 6�������� � ���8�'���&��

în special la clasele de liceu.

102 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

BIBLIOGRAFIE

1. ��������/���������/����:�(��/������������/���� �������/������ ���/����;�'���/�$��������<�=$ �'�(�����'�����������5������=

������"��#(22.#�������T ����'T

%�����������+����'�����-/���� �����/������ ���/�����;�'���/������������– “Ghid practic de elaborare a itemilor pentru examene“

���#������"��#(22.$

3. J. Stenmark (editor) – “Mathematics Assessment“

NCTM/ Virginia, 1991.

1����������=$�>���������=seria B, 1990-1997.

�������

2��$ ����'��/��������(�/�$ ��"��'��<��=��(0���)����5����'

�'�����������)��'�������=

���'�����#(22/$

7��$ ����'��/��������(�/�#����������<��=��(0���)����5����'

�'�����������)��'�������=

��$T��������0T#������"��#(22+$

8�����"� ���/�$ ��$��(��/���������/������ ���<��=���0���'���(0��/�����>�����(����=

��$T���������7���'��T#������"��#(22($

8. I.D.����/����$ ����/�������'���/������(�����<�=��(0���<��������?��-a“

��$T?���&�&�1+T#?���"��#(220$

9. Virgil Nicula – “Numere complexe“

��$T��������0T#������"��#(22/$

�@���������/�����)�����<�=���0���'�����������(0���=

��$�������#(201$

���������������/��������/����"���'�0���/����:�����<�=���(��')��0���'���(0���)��������=

Ed. “Roteh-Pro“, 1996.

�%�������������/���������<�=�����������������������������(0���=

��$�������#������"��#(202$

�.�� ��������)��/������������)��/���� �����<�=��'������������=��$T>�T#]�&��

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 103

�1���������<�=��(0������������,��'������)��������“

Ed. T������T#������"��#(22.$

�����

15. V. Arsinte – “Probleme elementare de calcul integral“

��$���%��'������������"��#(22+$

16. D.�"����(/ I.V. Maftei – =���)������������'�����������elevilor“

Ed. “Scrisul Românesc“, Craiova, 1983.

�8�������������<�=�����5�)��*�������>���������=������"��#(2G2$

�9�������������<�=�����>���������=������"��#(22,$

�A��������B���� �<�=$������)���*��*�������������>��������=

Ed. “Dacia“, Cluj-Napoca, 1982.

%@����� �)��<�=���0���'������>��������������������(���=��$T>�T#]�&��#(22.$

%��������������/����������/��������������<�=�����>���������=��&�#��$���������"�?���*�*���#������"��#(2GD$

%%��$ ������� ��<�=�������'�,������������(���=A,%�&$=��$�������8���"������&�������#������"��#(2G+$

Geometrie

%.�����"�;�>�/���������/����� ������<�=$����/����������?C�=

��$T?���&�&�1+T#?���"��#(22.$

%1�����"�;�>�/���������/���������<�=�����������)����������'���=��$ ��������#������"��#(2G.$

%2����������/����� ������<�=��������)�5�*����������'�����“

��$T T#������"��#(22+$

26. L. Nicolescu, V. Boskoff – “Probleme practice de geometrie“

��$�������#������"��#(22D$

%8��$ ���������<�=���(��'�)��0���'�(����=

Bucur�"��#(2.+$

top related