concursul interjudeŢean de matematicĂ „ traian lalescu ” edi ţia a xx-a
Post on 10-Jan-2016
97 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI TIMIŞCONSILIUL JUDEŢEAN TIMIŞ
CONSILIUL LOCAL AL MUNICIPIULUI LUGOJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ„TRAIAN LALESCU”
Ediţia a XX-a
DELEGAŢIIDELEGAŢIIREZULTATEREZULTATE
SPONSORISPONSORISUBIECTESUBIECTE
COLEGIUL NAŢIONAL „CORIOLAN BREDICEANU”
ORGANIZATORIORGANIZATORICOMISIE DE CONCURSCOMISIE DE CONCURS
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI TIMIŞCONSILIUL JUDEŢEAN TIMIŞ
CONSILIUL LOCAL AL MUNICIPIULUI LUGOJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ„TRAIAN LALESCU”
Ediţia a XX-a
DELEGAŢIIDELEGAŢIIREZULTATEREZULTATE
SPONSORISPONSORISUBIECTESUBIECTE
COLEGIUL NAŢIONAL „CORIOLAN BREDICEANU”
ORGANIZATORIORGANIZATORICOMISIE DE CONCURSCOMISIE DE CONCURS
TRAIAN LALESCUCine a fost Traian Lalescu?
Istoria ştiinţei româneşti înregistrează în strălucitele ei pagini numele unui mare matematician:Traian
Lalescu. Matematicianul Traian Lalescu este o figură remarcabilă în istoria matematicii din România. Dar cine a fost matematicianul Traian Lalescu? Istoria matematicii din ţara românească îl plasează pe
profesorul Traian Lalescu alături de Gheorghe Ţiţeica şi Dimitrie Pompei, în grupul întemeietorilor şcolii matematice române.
Desigur, matematica fusese cultivată atât în Muntenia, cât şi în Moldova şi Transilvania cu mult înainte si rezultate interesante fuseseră obţinute de matematicieni ca Spiru Haret, a cărui teză de doctorat, privind stabilirea miscării planetelor, mai este si astăzi citită. Dar înspre sfârşitul secolului XIX şi începutul secolului XX se operează o schimbare importantă, esenţiala:în Ţările Române, si mai apoi in România apar şcoli matematice originale. Pe aceasta linie se înscrie şi activitatea profesorului Traian Lalescu.
Familia Lalescu este originară din Banat, din comuna Cornea, judeţul Caraş-Severin. Tatăl profesorului se numea tot Traian, ca şi fiul său de altfel, după cum cerea tradiţia locului de origine al familiei. Fiu al unui funcţionar la Banca Naţionala a României ,matematicianul Lalescu s-a născut la Bucureşti în 24 iulie 1882.Nici tatăl său nu era însă un simplu funcţionar, de la el s-a păstrat o broşură tipărită la Bucureşti în anul 1876, lucrare în care analiza unele probleme economice ale agriculturii noastre; ca şi o altă lucrare, “Agenda băncilor populare si metodul de coeficient Lalescu”.Aceste titluri ne vădesc un om cu preocupări variate – trăsătură ce caracterizează şi pe matematician.
Tânărul Traian Lalescu şi-a făcut studiile primare la Bucureşti, după care a fost nevoit sa schimbe des oraşul şi şcoala, părinţii stabilindu-se în interes de serviciu, pe rând, la Craiova, Roman şi Iaşi, unde a urmat cursurile celebrului Liceu Internat. Cel care mai târziu a devenit vestitul matematician Lalescu a fost întotdeauna Premiantul I al clasei şi premiant de onoare al şcolii – ceea ce explică de ce este menţionat pe tabelul de onoare al Liceului cu atâta faimă de la Iaşi.
Încă din timpul şcolii, Traian Lalescu îşi descoperă adevărata vocaţie:matematica. El devine un asiduu colaborator la Gazeta Matematica. În 1900 se prezintă la concursul de admitere de Şcoala de poduri şi şosele din Bucureşti – actualul Institut Politehnic – reuşind primul. Dar la fel cum avea să facă ceva mai târziu cunoscutul matematician, Grigore C. Moisil, in 1903 se retrage definitive la Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti, secţia de matematici. În acelaşi timp, funcţionează ca profesor suplinitor de matematici la un liceu particular. În scurtă vreme îşi ia licenţa în matematici cu calificativul “foarte bine” şi obţine o bursă cu care pleacă la Paris, unde îşi ia din nou licenţa şi apoi doctoratul în matematici. Tot la Paris îşi ia diploma de inginer electrician.
TRAIAN LALESCUTeza de doctorat a lui Traian Lalescu trata un subiect foarte actual in acest moment, anume aşa-numitele ecuaţii integrale
de tip Volterra. Aşa după cum arată istoria matematicii, teza de doctorat a lui Lalescu constituie prima contribuţie românească importantă in domeniul ecuaţiilor integrale. Rezultatele lui Lalescu pot fi considerate clasice, fiind incluse în tratatele de renume mondial, dintre care unele se datorează chiar lui Volterra – creatorul teoriei tipului de ecuaţii care-i poarta numele. În ianuarie 1909, Traian Lalescu e numit profesor suplinitor la Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti,lucrând şi în
învăţământul liceal până în 1912.De asemenea, el lucrează la Şcoala de poduri şi şosele, ca succesor al lui Spiru Haret. În timpul primului război mondial, Lalescu are o contribuţie însemnată în ceea ce priveşte apariţia, în timpul refugiului, la Iaşi ,
a Gazetei Matematice. În 1918, Lalescu pleacă cu alţi profesori la Paris, spre a sprijini cauza unităţii României. Acolo publică o teorema importantă
privind funcţiile periodice polinomiale, teoremă ce a format punctul de plecare a numeroase cercetări. În 1920, are un rol important în crearea unei şcoli politehnice la Timişoara, Lalescu fiind primul director(rector) al acestei
şcoli. Moartea îl surprinde în plină putere de creaţie, la vârsta de 47 de ani(1929). Traian Lalescu a fost un matematician de o originalitate rar întâlnita şi cu o putere de muncă prodigioasă. De la el au rămas
numeroase cursuri care deschideau drumuri noi în literatura noastră de specialitate:ecuaţii integrale, teoria maxwelliană a electromagnetismului, calculul vectorial şi tensorial, teoria relativităţii. Iată numai câteva din domeniile abordate cu succes de marele savant. Desigur, denumirile mai sus citate sunt pentru voi, copiii, necunoscute, dar mai târziu le veţi întâlni adeseori.
Traian Lalescu era interesat de idee, de eleganţa demonstraţiei, de sensurile profunde ale teoremelor întâlnite. El abordează cu succes toate domeniile noi ale matematicii contemporane, printre altele aducând contribuţii importante la studiul seriilor trigonometrice şi al ecuaţiei integrale. În acelaşi timp, Lalescu a format, atât la Bucureşti cât şi la Timişoara, numeroşi matematicieni care s-au afirmat apoi la succes.
Ca omagiu aduc memoriei lui Traian Lalescu, începând cu anul 1985 a fost organizat anual (mai puţin în anii 1989 si 1990) Concursul Interjudeţean „Traian Lalescu”.
La acest concurs participă cei mai buni cinci elevi din clasele V-XII, din judeţele Arad, Caraş-Severin, Hunedoara, şi Timiş, selectaţi în urma desfăşurării olimpiadei de matematică – etapa judeţeană. Concursul se organizează prin rotaţie în unul din judeţele participante.
Ediţia a XX-a, din acest an, se organizează în judeţul Timiş la Colegiul Naţional „Coriolan Brediceanu” din Lugoj, în perioada 24-26 martie 2006.
Concursul are loc sub patronajul Facultăţii de Matematică din cadrul Universităţii de Vest – Timişoara, în organizarea Inspectoratului Şcolar Judeţean Timiş,al Consiliului Judeţean Timiş, al Consiliului Local al Municipului Lugoj şi al Colegiului Naţional „Coriolan Brediceanu”.
Participă la acest concurs cei mai buni 5 elevi de nivel de clasă din fiecare judeţ şi un număr de invitaţi (elevi, cadre didactice, personalităţi), numărul total de participanţi fiind de aproximativ 250. Organizatorii acestui deosebit concurs vă urează mult succes!
Director al Colegiului Naţional „Coriolan Brediceanu”, Prof. Ing. Boldea Francisc
COLEGIUL NAŢIONAL “CORIOLAN BREDICEANU”
CO
NC
UR
SU
L I
NTERJU
DEŢEAN
AN
LA
LE
SCU
”
„TRAI
Ediţia a XX-a
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ“TRAIAN LALESCU”
Ediţia a XX-a
Preşedinte: Fiz. Dr. Sandu Golcea, Inspector Şcolar General - I.S.J. Timiş
Vicepreşedinţi: Prof. Zeno Blajovan - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. Timiş Prof. Petria-Elena Boldea - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. Timiş Prof. Ing. Boldea Francisc - director Colegiul Naţional „C.Brediceanu”
Membri:Prof. Orbulescu Mateşescu Petru Prof. Marius Lobază Prof. Neamţu Mihai Prof. Ioan Miclea Prof. Noemi Neamţu Prof. Dinu IonProf. Trandafir Bot Prof. Maria Ana Dobîndă Prof. Nicolae Seimeanu Prof. Ion Jinaru Prof. Ban Cornelia Prof. Gheorghe Ban Prof. Dumitru Ramona Prof. Petruţescu Petru Prof. Sima Aurelian Prof. Păun Popovici Prof. Drinovan Gheorghe Prof. Gheorghe FranţescuProf. Gheorghiţă Sebastian Prof. Giuca Ecaterina Prof. Dobîndă MarinetaProf. Ianculescu Doru Prof. Dumitru Florin Nistor Prof. Stoian CătălinIng. Torok Ladislau Prof. Bombescu Florin Prof. Teodora Ştefan
Secretar şef Nicolea Liliana Secretar Găvruţia Mihaela Bibliotecar Doina Taloi Laborant Mariana Liuba
Comitetul de organizare:
CO
NC
UR
SU
L I
NTERJU
DEŢEAN
AN
LA
LE
SCU
”
„TRAI
Ediţia a XX-a
COMISIE DE CONCURSCOMISIE DE CONCURSPreşedinte: Prof. Univ. Dr. Mihail Megan, prorector al Universităţii de Vest TimişoaraVicepreşedinte: Prof. Univ. Dr. Nicolae Suciu,prodecan al Facultăţii de Matematică şi InformaticăInvitat de onoare: Prof. Univ. Dr. Gilles Cassier, Universitatea Lyon I, Franţa Membri:
Prof. Univ. Dr. Radu ViorelConf. Univ. Dr. Gheorghe Silberberg Universitatea de Vest TimişoaraConf. Univ. Dr. Silviu BirăuaşLector Univ. Dr. Dorel Miheţ
Lector Univ. Dr. Gheorghe Eckstein Facultatea de Matematică şi InformaticăLector Univ. Dr. Dan ComănescuLector Univ. Drd. Mihai ChişAsistent univ. Drd. Radu MoleriuStudent Stoianov GeorgeStudent Florin Bătăran
Prof. Zeno Blajovan - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. TimişProf. Petria-Elena Boldea - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. TimişProf. Viorel Tudoran - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. AradProf. Maranda Linţ - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. HunedoaraProf. Paul Mihai Şuşoi - Inspector şcolar de specialitate-ISJ Caraş SeverinProf. Mihai Neamţu – Colegiul Naţional “C. D. Loga” Timişoara
DELEGAŢIIDELEGAŢII
Lugoj
Inspectoratul Scolar al Judetului Arad
Nume si prenume elev Scoala de provenienta Clasa Profesor antrenor
Neamtu Adriana Col.Nat. „M.Nicoara” V Potocean Octavia
Dance Bogdan Col.Nat. „E.G.Birta” V Neagu Antonela
Munteanu Mihai Sc. Gen. „A.Vlaicu” V Vlaicu Hergane Aurica
Jivan Andra Sc. Gen. „I. Slavici” V Pellegrini Lilla
Danciu Bogdan Col.Nat. „M.Nicoara” V Moraru Augustini
Bran Diana Col.Nat. „M.Nicoara” VI Potocean Mircea
Frent Simon Col.Nat. „M.Nicoara” VI Toader Maria
Visoan Laura Col.Nat. „M.Nicoara” VI Potocean Mircea
Oancea Stefan Col.Nat. „M.Nicoara” VI Toader Maria
Savulov Tulia Col.Nat. „M.Nicoara” VI Toader Maria
Varsandan Laura Sc. Gen.”I.Slavici” VII Muresan Aniko
Costea Filip Col.Nat. „M.Nicoara” VII Negrila Liliana
Tociu Laura Sc. Gen. Nr. 5 VII Iov Gheorghe
Ghita Vlad Col.Nat. „M.Nicoara” VII Negrila Liliana
Cadar Sorin Sc. Gen.”I.Slavici” VII Pellegrini Lilla
Micula Adina Sc. Gen. Nr. 5 VIII Schnakovszki Catalina
Munteanu Ioana Col.Nat. „E.G.Birta” VIII Neagu Antonela
Filip Laurian Col.Nat. „M.Nicoara” VIII Potocean Mircea
Novanc Andreea Sc. Gen. „A. Vlaicu” VIII Vlaicu Hergane Aurica
Giurgiu Rares Col.Nat. „M.Nicoara” VIII Potocean Mircea
LICEU
PROFESORI
DELEGAŢIIDELEGAŢII
DELEGAŢIIDELEGAŢIIInspectoratul Scolar al Judetului Arad
Nume si prenume elev Scoala de provenienta Clasa Profesor antrenor
GIMNAZIU
Baltean Radu Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia
Gavra Ioana Col.Nat. „M.Nicoara IX Toader Maria
Frent Ligia Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia
Horin Alexandru Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia
Demean Sebastian Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia
Barsa Mariela Col.Nat. „E.G.Birta” X Camenita Marcel
Lasc Anca Col.Nat. „M.Nicoara X Portal Wilhelm
Panda Cristian Col.Nat. „M.Nicoara X Doba Francisc
Papiu Alexandru Col.Nat. „M.Nicoara X Toader Maria
Bora Adrian Col.Nat. „M.Nicoara X Portal Wilhelm
Bogosel Beniamin Col.Nat. „E.G.Birta” XI Dumitrica Sorin
Ambrus Adrian Col.Nat. „E.G.Birta” XI Dumitrica Sorin
Bucur Gabriel Col.Nat. „M.Nicoara XI Potocean Octavia
Panda Corina Col.Nat. „M.Nicoara XI Potocean Octavia
Radac Andrei Gr. Sc. Ind. „M.Viteazul ” Ineu XI Jurca Dorina
Margea Andrei Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Mircea
Szepesi Robert Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Mircea
Crasnic Loriana Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Octavia
Totorean Alin Lic. Teor. „V. Goldis” XII Bocaniciu Eugen
Iernila Simona Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Octavia
PROFESORI
Inspectoratul Scolar al Judetului Arad
GIMNAZIU
LICEU
Profesori corectori:Nr. crt Nume si prenume Scoala de provenienta
1. Cocos Adriana Sc. Gen. „A.Cotrus” 2. Potocean Octavia Col.Nat. „M.Nicoara” 3. Toader Maria Col.Nat. „M.Nicoara” 4. Doba Francisc Col.Nat. „M.Nicoara”
5. Dumitrica Sorin Col.Nat. „E.G.Birta”
6. Halmagean Eugen Lic. Arta „S.Dragoi” 7. Iov Gheorghe Sc. Gen. Nr. 5 8. Potocean Mircea Col.Nat. „M.Nicoara”
Profesori Invitati : Tudoran Viorel - Inspector Scolar de SpecialitatePortal Wilhelm - Director Colegiul National „Moise Nicoara”
Profesori insotitori :Tocoian Daniel - Director Adjunct Scoala Generala „Aron Cotrus”Moraru Augustini - Colegiul National „Moise Nicoara”
Inspector Scolar de SpecialitateProf. Viorel Tudoran
DELEGAŢIIDELEGAŢII
Nume ,Prenume Clasa Şcoala Profesor antreonr
Popa Andreea V Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş
Dragomir Adrian
Moţ Mihaela Ioana V Şc.cu cls.I-VIII Nr.6 Reşiţa Unţanu Georgela
Pascu Andra Diana V Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Reşiţa Drăghici Maria
Tabugan Cătălina V Lic.Teoretic Băile Herculane Golopenţa Marius
Florea Iuliana V Şc.cu cls.I-VIII Nr.8 Reşiţa Ţunea Ana
Semenescu Anca VI Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Humiţa Dorina
Petrea Alin VI Grp.Şc.Moldova Nouă Gâdea Vasilica
Uţă Robert VI Grp.Şc.Moldova Nouă Gâdea Vasilica
Enciu Sandra VI Lic.Teoretic „Diaconovici Tietz” Reşiţa
Vlăduceanu Cristina
Mânea Ela VI Lic.Teoretic Băile Herculane Haracicu Maria
Zanfir Cristian VII Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş
Dragomir Delia
Dincea Ion Cristian
VII Lic.Teoretic Băile Herculane Bolbotină Constantin
Simion Larisa VII Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Reşiţa Şandru Marius
Gaşpar Nicoleta VII Lic.Teoretic Băile Herculane Drăgan Vasile
Meşter Sergiu VII Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Reşiţa Şandru Marius
Milcu Roxana VIII Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Moatăr Lavinia
Vlad Adina VIII Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Moatăr Lavinia
Lupu Vlad VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.3 Oţelu Roşu Boldea Florică
Borlovan Călin VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.8 Caransebeş Ciocan Florin
Olariu Sebastian VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.8 Caransebeş Ciocan Florin
Stăniloiu Ovidiu VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Bocşa Todor V.
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin
LICEU
PROFESORI
DELEGAŢIIDELEGAŢII
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin
GIMNAZIU
PROFESORI
Nume ,Prenume Clasa Şcoala Profesor antrenor
Unguraş Dragoş IX Grp.Şc.Oţelu Roşu Dragomir Lucian
Gurgu Anton IX Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Moatăr Lavinia
Dragomir Lucia IX Grp.Şc.Oţelu Roşu Dragomir Lucian
Popa Andreea IX Grp.Şc.Anina Neagoe Petrişor
Caraiman Gabriela IX Lic.Teoretic Băile Herculane Golopenţa Marius
Istodor Cosmin X Grp.Şc.Oţelu Roşu Dragomir Lucian
Popovici Doru X Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” Reşiţa Bădescu Ovidiu
Dochin Luminiţa X Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş
Moatăr Lavinia
Luţă Răzvan X Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Buzilă Mircea
Sava Bogdan X Grp.Şc.Moldova Nouă Murg Stana
Cucu Silviu XI Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” Reşiţa Bădescu Ovidiu
Frâncu Andreea XI Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Mihailovici Dana
Paraschivu Andreea XI Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Buzilă Mircea
Secheşan Claudiu XI Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Mihailovici Dana
Hurduzeu Ovidiu XI Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş
Didraga Iacob
Chiş Andrei Vasile XII Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” Reşiţa Bădescu Ovidiu
Peia Oana XII Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş
Didraga Iacob
Andrei Corina XII Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş
Didraga Iacob
Bulacu Dan XII Lic.Teoretic „Eftimie Murgu” Bozovici
Găină Iosif
Pădureanu Claudia XII Grp.Şc.Moldova Nouă Scorţan Gheorghe
DELEGAŢIIDELEGAŢII
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin
GIMNAZIU
LICEU
Profesori corectori:Prof.Moatăr Lavinia – Lic.Teoretic „Traian Doda” CaransebeşProf.Gâdea Vasilica - Grp.Şc.Moldova NouăProf.Şandru Marius - Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 ReşiţaProf.Dragomir Delia - Lic.Teoretic „Traian Doda” CaransebeşProf.Bădescu Ovidiu - Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” ReşiţaProf.Didraga Iacob - Lic.Teoretic „Traian Doda” CaransebeşProf.Dragomir Lucian - Grp.Şc.Oţelu RoşuProf.Buzilă Mircea - Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa
Profesori însoţitori:Prof.Chiş Vasile - Şc.cu cls.I-VIII Nr.9 ReşiţaProf.Iatan Rodica - Lic.Teoretic „Tata Oancea” Bocşa
Insp.Şcolar de Specialitate Prof.Drd.Paul Mihai Şuşoi
DELEGAŢIIDELEGAŢII
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI HUNEDOARA DELEGAŢIIDELEGAŢIInumele şi prenumele unitatea şcolară clasa profesor
TATULEA MARIA C.N. I.C."BRĂTIANU" HAŢEG V STOICA ALINA
DINIŞ DIANA C.N. "DECEBAL" DEVA V LINŢ DORIN
ISAC ANDREI ŞC. GEN." I.G.DUCA" PETROŞANI V LĂUTARU ALEXANDRU
LĂZĂRESCU ALEXANDRA ŞC. GEN. "HOREA ,CLOŞCA ŞI CRIŞAN" BRAD V PAŞCU VOICHIŢA
NICULESCU VLAD ŞC. GEN. "I.G.DUCA" PETROŞANI V CHIFOR STELUŢA
IORDAN CRISTIAN C.N. "DECEBAL" DEVA V SZELL MARGARETA
GURALIUC ŞTEFAN C.N. "DECEBAL" DEVA VI PIŢU LUCIAN
HUSZAR OTILIA ŞC. GEN.NR.4 VULCAN VI OZUNU FELICIA
JUDUC ANDREI ŞC. GEN. CĂLAN VI DINIŞONI MANUELA
MONDA MARIUS ŞC. GEN. CĂLAN VI DINIŞONI MANUELA
MUSCALAGIU ANDREEA C.N. "EMANUIL GOJDU" HUNEDOARA VI GIURCA ILEANA
STERN VLAD EDUARD ŞC. GEN. NR 3 LUPENI VII TRUŢĂ GHEORGHE
IOVĂNESCU PETRU ŞC. GEN. "O. DENSUŞIANU" HAŢEG VII MICLOŞONI EUGENIA
OPREA MEDANA C.N. "DECEBAL" DEVA VII PIŢU LUCIAN
TĂNĂSESCU TIBERIU C.N. "DECEBAL" DEVA VII LINŢ DORIN
ENACHE MĂDĂLINA LIC.TEORETIC LUPENI VII STOI MARIA
MARIAN MIHAIL C.N. "DECEBAL" DEVA VII LINŢ DORIN
PLOSCAR LAVINIA C.N. "DECEBAL" DEVA VII LINŢ DORIN
TIMOFTE CHRISTIANA ŞC. GEN." I.G.DUCA" PETROŞANI VIII CHIFOR STELUŢA
GLINŢĂ ANDA ŞC. GEN. NR 2 LUPENI VIII VELCEA EMILIA
BENEA LICINIUS C.N. "DECEBAL" DEVA VIII GOLGOŢIU FLAVIA
ISZLAIY MARIA ŞC.GEN." A.STANCA" PETROŞANI VIII DEMETER MOHORA ŞTEFAN
LICEU
PROFESORI
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI HUNEDOARA DELEGAŢIIDELEGAŢII
PROFESORI
GIMNAZIU
numele şi prenumele unitatea şcolară clasa profesor
POPA ANDREEA C.N. "DECEBAL" DEVA IX TOMA GHEORGHE
BACI SONIA C.N. "A.IANCU" BRAD IX NOVĂCESCU IOAN
ZOTA PATRICIA C.N. "A VLAICU" ORĂŞTIE IX TODORAN DANIEL
BELEU LIA LIC.TEORETIC LUPENI IX IANOŞI DANIEL
KOVACI ERIK C.N. I.C.BRĂTIANU HAŢEG IX NICOARĂ DANIEL
PĂCURAR LIDIA C.N. DECEBAL DEVA IX TOMA GHEORGHE
PALIŢĂ FLORIAN LIC. DE INFO. PETROŞANI X TOROAPĂ CONSTANTIN
ŞTEFAN LAVINIA C.N. "A. IANCU" BRAD X CIRCO STELIAN
GHERGAN OANA C.N. "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG X NICOARĂ ADRIANA
POPU ALEXANDRA LIC. TEOR."M. EMINESCU" PETROŞANI X LEPĂDATU IOAN
ALDEA MIHAELA C.N. "A.VLAICU" ORĂŞTIE X ŞERDEAN IOAN
OPRIŞA CIPRIAN C.N. "A. IANCU" BRAD XI IGHELSKY EUGEN
BABA MIHAI SEBASTIAN C.N. "T.LALESCU" HUNEDOARA XI BADE SIMION
LAKATOS EMIL C.N. "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG XI NICOARĂ DANIEL
STOICUŢA FLAVIUS C.N." I.C.BRĂTIANU" HAŢEG XI NICOARĂ DANIEL
TEMNEANU AMALIA LIC TEOR. "M. EMINESCU" PETROŞANI XI TELECHE FLORICA
PASCU GABRIEL C.N. "I.DE HUNEDOARA" HUNEDOARA XII MARINESCU DAN ŞTEFAN
GROŞAN RALUCA LIC. TEOR".M. EMINESCU "PETROŞANI XII LEPĂDATU IOAN
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI HUNEDOARA DELEGAŢIIDELEGAŢII
PROFESORI
GIMNAZIU
Profesori corectori:nr.crt. numele şi prenumele unitatea şcolară
1 MARINESCU DAN ŞTEFAN C.N."I.DE HUNEDOARA" HD.
2 LINŢ DORIN C.N."DECEBAL" DEVA
3 MONEA MIHAI C.N."DECEBAL" DEVA
4 ŞERDEAN IOAN C.N."A.VLAICU" ORĂŞTIE
5 NICOARĂ DANIEL C.N."I.C.BRĂTIANU" HAŢEG
6 STROE MARIAN C.T."EMANUIL GOJDU" HD.
7 GIURCA ILEANA C.T."EMANUIL GOJDU" HD.
8 TOMA GHEORGHE C.N."DECEBAL" DEVA
nr.crt. numele şi prenumele unitatea şcolară1 CHIFOR STELUŢA ŞC.GEN. „I.G.DUCA" PETROŞANI2 FĂRCAŞ VIOLETA ŞC.GEN. BAIA DE CRIŞ
Profesori însoţitori:
INSPECTOR SCOLAR DE SPECIALITATE
PROF. MARANDA LINŢ
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş DELEGAŢIIDELEGAŢII
LICEU
PROFESORI
NUMELE ŞI PRENUMELE cls PROFESOR ŞCOALANEAGOE SORIN V Lolea Angela Scoala cu cls.I-VIII 16ILCA SERBAN V Popa Adriana Sc. cls. I-VIII nr. 7PANAINTE RUXANDRA V Tache Mihaela Scoala cu cls.I-VIII nr.24RIVIS MARIO V Popoviciu Diana Lic. Teoretic LenauSTOIAN DIANA V Tănasie Alexandru Colegiul Naţional BănăţeanHARITON LEONARD VI Lobaza Daniela Scoala cu cls.I-VIII nr.24MOISE MIHAI VI NICOLICIOIU MIRELA ŞCOALA CU CLS. I -VIII NR.22SILBERBERG ALFRED VI BUŞE GABRIELA ŞCOALA CU CLS. I -VIII NR.22ILCA TUDOR VI Roman Vasile Sc. cls. I-VIII nr. 7LUPULESCU PATRICIA VI Giuca Ecaterina Liceul Teoretic BuziasBALACI ANDREI VII Bot Trandafir Colegiul Naţional ,, Iulia Haşdeu ’’DRĂGĂNESCU ALINA VII BUŞE GABRIELA ŞC. CU CLS. I -VIII NR.22PAVAL ROXANA VII Barbu Emanuela Scoala cls.I-VIII SacalazIACOB DIANA VII Bistran Ioan Sc. Cls. I-VIII NR. 13 TimisoaraSUGARIU CLAUDIU VII Mocanu Livia Col.Tehnic "I. Mincu"LASCU DIANA VIII MARTA ADRIAN ŞCOALA CU CLS. I -VIII NR.22ZAHARIE DAN VIII Seran Nicolae Scoala cu cls.I-VIII nr.24BOCIU ALEXANDRU VIII Bociu Cerasela Sc. Cls. I-VIII NR. 13 TimisoaraAVRAMESCU ANDREI VIII Jiroveanu Cristina Liceul Pedagogic"C.Sylva"LUPU ALEXANDRU VIII Dinu Ion Colegiul Naţional ,, C. Brediceanu’’
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş DELEGAŢIIDELEGAŢII
PROFESORI
GIMNAZIU
NUMELE ŞI PRENUMELE cls PROFESOR ŞCOALACHIŞAVU LAZĂR IX Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”KOVACS LAVINIA IX Nemes Adrian Colegiul National C.D. LogaVID ALEXANDRU IX Oprea Gabriela Liceul ,,Grigore Moisil”GHIŢĂ OANA IX Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”GIURCHIŢA DIANA IX Oprea Gabriela Liceul ,,Grigore Moisil”POPEŢ BOGDAN IX Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”PASCA LUCIAN X Neamtu Mihai Colegiul National C.D. LogaMOLDOVEAN BOGDAN X Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”CRAINIC OANA X Barta Tiberiu Colegiul National BanateanCIOBANU MARIUS X Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”LUNGU OANA X Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”DURA ALEXANDRU XI Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”POROBIC ISMET XI Cristescu Violeta Colegiul National C.D. LogaMICLEA MARIUS XI DINU IOAN C.N. "CORIOLAN BREDICEANU"TOADER ROXANA XI Oprea Gabriela Liceul ,,Grigore Moisil”ZĂVADĂ BOGDAN XI Ianculescu Doru Liceul ,,Grigore Moisil”GĂLĂŢAN ALIN XII Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”HEIDELBACHER CRISTOPHER XII Neamtu Mihai Colegiul National C.D. LogaBERCEA IOANA XII Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”STĂNEI DANIEL XII Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”HRISTEA SERGIU XII Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş DELEGAŢIIDELEGAŢIIGIMNAZIU
LICEU
1 ROŞCA MONICA COLEGIUL TEHNIC "ION MINCU" TIMIŞOARA2 CHIŞAVU IONEL ŞCOALA CU CLS. I-VIII TORMAC
1 DOBÎNDĂ MARIA ANA LIC. TEORETIC „T.VUIA” FĂGET
2 SIMONESCU PETRU ŞC. CU CLS. I-VIII „S.TITEL” MARGINA
3 BOCIU CERASELA ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 13 TIMIŞOARA
4 SEIMEANU NICOLAE COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN TIMIŞOARA
5 GEORGESCU GEORGE LICEUL „GRIGORE MOISIL” TIMIŞOARA
6 IANCULESCU DORU LICEUL „GRIGORE MOISIL” TIMIŞOARA
7 TACHE MARIAN LIC. TEORETIC „W.SHAKESPEARE” TIMIŞOARA
8 POŞTARU CĂLIN COL. ECONOMIC „F.S.NITTI” TIMIŞOARA
1 LOBAZĂ MARIUS COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN TIMIŞOARA2 SEIMEANU NICOLAE COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN TIMIŞOARA
MEMBRI ÎN COMISIA DE ORGANIZARE
PROFESORI EVALUATORI
PROFESORI ÎNSOŢITORI:
INSPECTORI ŞCOLARI DE SPECIALITATE
PROF. ZENO BLAJOVAN PROF. PETRIA-ELENA BOLDEA
Au fost lângă noi şi le mulţumim:Consiliul Local al Municipiului LugojConsiliul Judeţean TimişInspectoratul Şcolar al Judeţului TimişCasa de Cultură a Municipiului Lugoj
S.C. Dacia Turism S. A.Clubul Rotary LugojPrimăria FăgetPower Distribution TimişoaraS.C. Rieker Romania S.R.LS.C. Lugomet S.A.S.C. Silcom S.A.S.C. A. Ardelean Company S.A.S.C. Eta2U S.A.
S.C. ANAXOR S.R.L.S.C. AEDLOB S.R.L.S.C. LECORON 2004 S.R.L.S.C. Titerlea Prod 99 S.R.L.S.C. SCHOLLER S.R.L.S.C. Agromec S.A. HonoriciS.C. Rolem S.R.L.S.C. Agache S.R.L.Caritas CiacovaS.C. MONDIAL S.A.
REZULTATEREZULTATE
VVI
VII
VIII
IX
X XIXII
Premii speciale
MENŢIUNI:
Clasa a V-aREZULTATEREZULTATE
Isac Andrei
HDNeagoe Sorin
TMIlca Serban
TM
Tatulea Maria HD
Neamtu Adriana AR
Rivis Mario TM
Danciu Bogdan AR
Lăzărescu Alexandra HD
Panainte Ruxandra TM
REZULTATEREZULTATE
MENŢIUNI:
Clasa a VI-a
Bran Diana
ARVisoan Laura
TMAR Ilca Tudor
Silberberg Alfred TM
Frent Simon AR
Guraliuc Ştefan HD
Hariton Leonard TM
Monda Marius HD
MENŢIUNI:
Clasa a VII-aREZULTATEREZULTATE
Balaci Andrei TM
Cadar Sorin AR
Sugariu Claudiu TM
Costea Filip AR
Drăgănescu Alina TM
Zanfir Cristian CS
Varsandan Laura
Iacob DianaTociu Laura
AR
TMAR
MENŢIUNI:
Clasa a VIII-aREZULTATEREZULTATE
Lascu Andrei AR
Vlad Adina CS
Zaharie Dan TM
Lupu Vlad CS
Avramescu Andrei TM
Munteanu Ioana AR
Milcu Roxana
CS
CS
Stăniloiu OvidiuLascu Diana
TM
MENŢIUNI:
Clasa a IX-aREZULTATEREZULTATE
Kovacs Lavinia TM
Frent Ligia AR
Ghiţă Oana TM
Păcurar Lidia HD
Zota Patricia HD
Giurchiţa DianaTMBăltean Radu
ARDemean Sebastian
AR
MENŢIUNI:
Clasa a X-aREZULTATEREZULTATE
Lasc Anca AR
Paliţă Florian HD
Popu Alexandra HD
Bora Adrian AR
Popovici Doru CS
Pasca Lucian
TM
TM
Aldea Mihaela
HDMoldovean Bogdan
MENŢIUNI:
Clasa a XI-aREZULTATEREZULTATE
Baba Mihai Sebastian HD
Miclea Marius TM
Ambrus Adrian AR
Bucur Gabriel AR
Radac Andrei AR
Bogosel Beniamin
AROprişa Ciprian
HDDura Alexandru
TM
MENŢIUNI:
Clasa a XII -aREZULTATEREZULTATE
Groşan Raluca HD
Chiş Andrei Vasile CS
Margea Andrei AR
Stănei Daniel TM
Szepesi Robert AR
Totorean Alin AR
Gălăţan Alin
Heidelbacher CristopherBercea Ioana
TM
TMTM
PREMII SPECIALEPREMII SPECIALE
BOGOŞEL BENIAMIN AR XI
TATULEA MARIA HD V
VID ALEXANDRU TM IX
OPRIŞA CIPRIAN HD XI
GĂLĂŢAN ALIN TM XII
BULACU DAN CS XII
Marele premiu
In memoriam prof.Andrei Dănilă
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢII
Clasa a V-a
Clasa a VI-a
Clasa a VII-a
Clasa a VIII-a
Clasa a IX-a
Clasa a X-a
Clasa a XI-a
Clasa a XII-a
1. Cate numere naturale verifica dubla inegalitate : 2006642n2005531 ?
Silviu Birăuaş 2. Se considera mulţimile
N n132A n4n si N n352B 2n1n .
Sa se arate ca : (a) 0BA ; (b) BA nu conţine nici un pătrat perfect.
Silviu Birăuaş
Clasa a V-a
3. Din localitatea A spre localitatea B pleacă o maşina cu o viteza de 60 km/h. In acelaşi timp, din localitatea C spre localitatea B pleacă o maşina cu o viteza de 52 km./h. Localitatea C se afla la o treime din a 5 - a parte din jumătatea drumului din A spre B. După 10 minute, din localitatea A spre localitatea B pleacă o a treia maşina cu o viteza egala cu
2
3 din viteza primei maşini.
Ştiind ca maşina care pleacă din C ajunge in 2 ore si 30 de minute in localitatea D, care se afla la 14 km după localitatea B, sa se arate ca masinile se intalnesc intr-un punct si sa se afle distanta acestui punct de localitatea A.
Radu Moleriu
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢII
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VI-a
1. a) Alegeţi convenabil semnele + sau – astfel ca rezultatul să fie 517: 109876543210 22222222222 b) Care este cel mai mic număr natural care poate fi obţinut în acest mod? (Justificaţi răspunsul)
*** 2. Doi călători au plecat în acelaşi moment din localităţile A şi B, fiecare deplasându-se spre localitatea celuilalt cu viteză constantă. Ei s-au întâlnit la ora 13 şi, continuându-şi drumul, primul a ajuns în B la ora 17, iar cel de-al doilea în A la ora 22. La ce oră au plecat cei doi în călătorie?
*** 3. În triunghiul ABC cu 90ˆ CABm , (AA’ şi (BB’ sunt bisectoarele unghiurilor CAB ˆ şi
CBA ˆ ACBBCA ',' . Ştiind că (A’B’ este bisectoarea unghiului CAA 'ˆ , se cere:
a) arătaţi că d(B’,AA’)=d(B’,AB)
b) aflaţi CABm ˆ (d(B’,AA’) înseamnă distanţa de la punctual B’ la dreapta AA’)
Dorel Miheţ 4. Se dă triunghiul ABC în care )ˆ()ˆ()ˆ( CmBmAm . Mediatoarea segmentului [AC]
intersectează [BC] în M. Fie A’ piciorul perpendicularei din A pe BC, )ˆ( CBAmu şi
)ˆ( BCAmv . Se ştie că vuMAAm )ˆ'( . a) arătaţi că triunghiul ABC este dreptunghic b) demonstraţi că M este mijlocul lui [BC]
c) dacă (AD este bisectoarea unghiului MAA ˆ' BCD , aflaţi )ˆ( DABm . Dorel Miheţ
soluţie
soluţie
soluţie
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VII-a
soluţie
enunţ3, 4
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VII-a
Subiecte selectate deGheorghe Silberberg
soluţie
enunţ1, 2
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VIII-a
1. Să se determine numerele reale x pentru care expresia: E= 20062005...9321 xxxxxx este număr raţional
2. Fie nN. Considerând ecuaţia: 1212 nxx
i) Să se arate că această ecuaţie are o singură soluţie ce este număr raţional pozitiv.
ii) Să se determine partea întreagă a soluţiei.
iii) Să se arate că soluţia nu este naturală şi să se precizeze prima zecimală după virgulă în scrierea zecimală a acesteia. 3. Fie tetraedrul PABC. Notăm cu x,y şi z lungimile laturilor PA, PB şi PC. Notăm cu S aria
triunghiului ABC şi cu h lungimea înălţimii din P.
Să se arate că dreptele PA, PB şi PC sunt două câte două perpendiculare dacă şi numai
dacă:
2
222222 zxzyyxS
şi h=
222222 zxzyyx
xyz
.
4. Un tetraedru are toate înălţimile egale şi una dintre feţe triunghi echilateral. Să se arate că tetraedrul este regulat.
Subiecte selectate de Dan Comănescu.
soluţie
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a IX-a
soluţie
Subiecte selectate deGheorghe Silberberg
soluţie
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a X-a
1. Să se rezolve în R sistemul
yxz
xzy
zyx
543
543
543
2. Să se demonstreze 4,48log7log6log5log 7654
3. Fie nzzz ,...,, 21 C cu .1,1 nkzk
Să se demonstreze că există o alegere a semnelor + sau – pentru care 2...321 nzzzz
4. Un cub cu latura 2006 este împărţit în cubuleţe de latură 1. Se aleg la
întâmplare 2
20063 2 dintre aceste cubuleţe. Să se demonstreze că există un
triunghi dreptunghic având vârfurile în centrele unor cubuleţe alese şi catetele paralele cu muchiile cubului.
Subiecte selectate de Gheorghe Eckstein
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XI-a
1. Punctele X(5,4,0), Y(3,0,2) şi Z(1,8,4) sunt vârfuri ale unui cub. Determinaţi coordonatele centrului cubului.
*** 2. Fie m N şi funcţia F: 2M (C) 2M (C), F(x)= mx . Arataţi că F este surjectivă dacă şi numai dacă m=1.
Dorel Miheţ 3. Fie f : R R o funcţie pentru care există L>0 astfel ca R y,x,yxL)y(f)x(f
Arătaţi că f este surjectivă dacă şi numai dacă este continuă. Dorel Miheţ
4. Determinaţi toate funcţiile continue g : R R , cu proprietatea că .)bx(gb)ax(ga)x(gcaastfel1ba,)1,0(b,ax R
Viorel Radu
soluţie
soluţie
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XII-a
1. Fie R1,0:f o functie integrabila Riemann.
Demonstrati ca sirul
2
11 22
1dx
xfa
k
n
kkn este convergent si calculati limita sa.
Silviu Birăuaş
2. Sa se studieze daca exista corpuri ,,K cu proprietatea ca grupurile ,K
si ,K* sunt izomorfe. ***
3. Fie ,G un grup finit care admite doar 2 subgrupuri proprii 21 H,H , unde
nHord,2Hord 21 , n – număr prim. Sa se determine Gord . Radu Moleriu
4. Fie n – numar natural impar si R1,0:f o funcţie continua cu proprietatea :
1
0
0dttf . Sa se arate ca 1,0x0 astfel ca 0x
0
n0xfdttf .
Radu Moleriu
soluţie
soluţie
soluţie
soluţie
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIProblema 1 (total 10p) 1p oficiu Stabilirea numărului de termeni ai sumei A = 1+3+5+…+2005 ca fiind de 1003 … 2p Stabilirea numărului de termeni ai sumei B = 2+4+6+…+2006 ca fiind de 1003 … 2p B=A+1003 ……. 3p A<n<A+1003 ……1p n=1002 …..1p
Clasa a V-a
Problema 2 (total 10p) 1p oficiu
a) Dacă 7)( xAx ……2p Dacă 3)( yBy ……2p Finalizare …….. 1p b) Dacă x este pătrat perfect 9;6;5;4;1;0)( x …… 2p
Dacă 3;7)( xBAx …….1p Finalizare …….. 1p Problema 3 (total 10p) 1p oficiu
ABAC30
1 …….1p
CD = 130 km ….1p AB = 120 km ….1p AC = 4 km …. 1p Determinarea locului de întâlnire a maşinilor care pleacă din A: la 30 km de A …..3p Verificarea că a treia maşină se întâlneşte cu primele două tot la 30 km de A …….2p
enunţ
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VI-a
enunţ
a) Observă ca 1+2 1+2 2 +……+2 9 =2 10 -1 Deduce ca 2 10 este precedat de semnul + Repetă raţionamentul pentru 2 9 Obţine 517=+2 10 -2 9 +2 8 -2 7 -2 6 -2 5 -2 4 -2 3 -2 2 +2-1
b) Observa ca la orice alegere a semnelor se obtin doar numere impare
Obţine 1=2 10 -(2 9 +2 8 +2 7 +2 6 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2+1) Finalizare: 1 este cel mai mic număr căutat
1.
soluţie4
soluţie2
soluţie3
2
Notăm x timpul până la intilnire,
v 1 viteza primului călător,
v 2 viteza celui de-al doilea călător.
Până la momentul întâlnirii primul a parcurs x v 1 , iar cel de-al doilea x v 2
După întâlnire ei au parcurs 4 v 1 , respectiv 9 v 2
Observă că : 4 v 1 = x v 2 şi x v 1 =9 v 2
Deduce că : x
9 =
4
x şi obţine x=6
Oră de plecare: 13-6=7
B
B 9 v 2
x v 1
x v 2
4 v 1
A
A
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VI-a
enunţ
soluţie4
soluţie1
soluţie3
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VI-a
enunţ
a) ( BB ' bisectoarea A B C d(B ' ,AB)= d(B ' ,BC)
(A ' B ' bisectoarea C'AA d(B ' , A A ' )= d(B ' , A ' C)
Deduce d(B’,A’A)= d(B ' ,AB)
b) Deduce că (A B ' este bisectoarea "BA'A ( vezi figura)
Observă că m( 'AAB )=m( CA'A )=m( "BAC )
Deduce că m( CAB )=120°
B
A B ''
B '
C A '
3.
soluţie4
soluţie1
soluţie2
a) Arată că m( CAM )=m( BCA )=v
Obţine m( CA'A )=u Din Δ A’AC : u+v=90°
Din Δ ABC deduce m( CAB )=90° b) MA=MC, deci e suficient să arătăm că MA=MB
Deduce că Δ MAB este isoscel
c) Observă că m( BA'A )=m( CAM )=v
Deduce că ( AD este bisectoarea CAB , deci m( DAB )=45°
B
A
N
C A ' M D
u
v
v
4.
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VI-a
enunţ
soluţie3
soluţie1
soluţie2
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VII-a
enunţ
soluţie3, 4
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VII-a
enunţ
soluţie1, 2
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VIII-a
enunţ
1. Start………….. 1 p Dacă S este mulţimea numerelor reale căutate, arată că: Q (-1;2)S……………….…….…..3p+2p=5 p Arată că SQ(-1; 2)………………………….………4 p
2. Start…………………………………………….……..1 p
i) Determină x =)12(2
1)12( 2
n
n…………………..1 p
Arată că este soluţie ……………………………………1 p Arată că este număr raţional pozitiv …………...……...1 p ii) Determină x = n……………………………...……3 p iii) Arată că soluţia nu este naturală ………….……..…1 p Dacă n este 1 atunci prima zecimală este 3 şi dacă n este mai mare decât 1 atunci, prima zecimală este 4 ……………………………..………2 p
soluţie3, 4
3. Start ………………………………….………….….…1 p
Dacă dreptele PA , PB şi PC sunt perpendiculare două câte două atunci 2
222222 xzzyyxS
h 222222 xzzyyx
xyz
…............…………5 p
Exprimă volumul 6
xyzV ……………….……… 0,5 p
Scrie volumul
3
, PABcdV PAB
……….……0,5 p
Arată că 2
xyPAB cu egalitate dacă PA PB.........1 p
Arată că d (c, (PAB) z cu egalitate dacă PC (PAB)…..1 p Deduce că PA , PB, PC sunt perpendiculare două câte două …. 1 p
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VIII-a
enunţ
4. Start………………………………………………1 p Arată că ariile feţelor sunt egale ……… …….1,5 p Proiectează vârful opus triunghiului echilateral pe planul acestuia …………………………………1,5 p
Arată că proiecţia dusă este egal depărtată de laturile triunghiului echilateral …………………………1,5 p Deduce că proiecţia poate fi centrul cercului înscris
sau unul dintre centrele cercurilor exînscrise triunghiului echilateral ……………………………………...1,5 p Arată că proiecţia nu coincide cu un centru al unuia dintre cercurile exînscrise …………………… 1,5 p Bazându – se pe proprietăţile triunghiului echilateral deduce că tetraedrul este regulat ………………1,5 p
soluţie1, 2
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a IX-a
enunţ
soluţie2
soluţie3, 4
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a IX-a
enunţ
soluţie3, 4
soluţie1
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a IX-a
enunţ
soluţie1
soluţie2
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a X-a
enunţ
Putem presupune că zyx sau zyx
În primul caz zxzyyxz 5543435 , de unde x=y=z ………3p În al doilea caz inegalităţile sunt pe dos şi rezultă x=y=z ………1p
Trebuie deci să avem 15
4
5
3543
xx
xxx , ecuaţie cu soluţia unică x=2(argumentare)
……….2p Deci unica soluţie este x=y=z=2
1,18log7log6log5log4
14,48log7log6log5log 76547654
1,12
3
4lg
8lg
7lg
8lg
6lg
7lg
5lg
6lg
4lg
5lg8log7log6log5log
4
1444
7654
Aplică inegalitatea mediilor ……4p Finalizare …… 3p Pentru n=1, inegalitatea este evidentă
Pentru n=2, vectorii 1OA şi 2OA sau 1OA şi 2OA (unde kA este imaginea lui kZ ) formează un
unghi obtuz sau drept deci 2cos2 21
2
2
2
1
2
21 OAOAOAOAOAOA ……….. 2p
Presupunem afirmaţia adevărată pentru 2n şi fie z1,z2,z3, ….,zn+1 numere complexe de modul1
Atunci doi dintre vectorii 332211 ,,,,, OAOAOAOAOAOA formează între ei un unghi de
măsură cel mult 60o …………….. 2p
Dacă oOAOAm 60, 21 atunci 121 zz şi aplicând ipoteza inducţiei matematice numerelor
z’1=z1-z2, z
’2=z3, …., z’
n=zn+1 putem allege semnele + sau – astfel ca:
2....... 1321''
2'1 nn zzzzzzz ………….3p
1.
3.
2.
soluţie4
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a X-a
Fie A1,A2,….,An
2
20063 2
n centrele celor n cubuleţe alese; pentru fiecare nk ,1 ,
Dk mulţimea dreptelor paralele cu muchiile cubului duse prin punctele Ai, pentru ki 1 . Dacă pentru un 1nk , Dk+1 conţine doar o dreaptă în plus faţă de Dk atunci două din cele trei drepte duse prin Ak+1 conţin punctele Ai, Aj cu ji ; kji , şi AiAjAk+1 e unul din triunghiurile căutate. În caz contrar |Dk+1|>=|Dk|+2 şi cum |D1|=3, Dn ar trebui s[ conţină cel puţin 3+2(n-1)=3*20062+1 drepte distincte, ceea ce este imposibil.
4.
enunţ
soluţie1, 2, 3
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XI-a
enunţ
Observăm că d(x,y) = 24 , d (y,z) = 72 , d(x,z) = 48 Notam cu l latura cubului.
Arartam ca l = 24
l > 24 nu se poate, deoarece x,y sunt varfuri .
Dacă , prin absurd , l < 24 , atunci diagonala cubului ar fi mai mica strict decat l
723 = d (y,z) , din nou imposibil ( y,z – varfuri).
Deci , l = 24
Rezulta ca diagonala cubului are lungimea l 3 = 72 = d(y,z) y,z determina o diagonala
centrul cubului are coordonatele 3,4,22
,2
,2
zyzyzy zzyyxx
Fie AM 2 (C). A²=O 2 , det A0
Ex. A=
1,1
1,1
Arătăm că dacă m 2 atunci X m A, X Fie m2 , X m=A X m2 - A²=O 2 X²=O 2 X m= O 2 A=O 2 ,contradicţie
1.
2.
soluţie3
soluţie4
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XI-a
enunţ
1) f surj f continuu Observăm că f este injectivă : f(x)=f(y) L L|x-y | 0 x=y, Deci f bijectivă.
Atunci relaţia |f(x)-f(y)| L|x-y | se retranscrie |f 1 (x)-f 1 (y) | L
1 |x-y |
De unde rezultă imediat că f 1 este continuă, deci şi f estecontinuă 2) f continuă f surjectivă.
f continuă şi injectivă f strict monotonă pp de exemplu că f crescătoare atunci x > y f(x)>f(y) f(x) L(x-y)+f(y), x,y, x>y
xlim f(x)=+
Din f(y) f(x)+L(y-x) y
lim f(y)=-
Deoarece f este continuă f are proprietatea lui Darboux f surjectiva
3.soluţie
1, 2
soluţie4
Aratam ca g e functie constanta ( evident, orice astfel de functie verifica). Fie x>0
Notăm )(sup],0[
ygMxy
, 0)(],,0[ MygxyA
0)(],,0[),(inf],0[
mygxyBygmxy
Arătăm că inf A=0. Notăm cu n=infA Mngnn nn )(,
g continuă g(n)=M (1) Deci, prin absurd, n>0, avem g(n)=ag(an)+bg(bn)<aM+bM=M Deci n=0, adică infA=0 g(0)=M (*) Arătăm că inf B=0. Notăm cu v=infB mvgvv nn )(,
g continuă g(v)=m (1) Deci, prin absurd, v>0, avem g(v)=ag(av)+bg(bv)>am+bm=m Deci v=0, adică infB=0 g(0)=m (**) (*),(**) m=M g constantă pe [0,x] g(x)=g(0) Pentru x<0, repetăm raţionamentul de mai sus pentru funcţia )( xgx
4.
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XI-a
enunţ
soluţie1, 2
soluţie3
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XII-a
enunţ
Oficiu………………………………………………………………………………1 p
Facem schimbarea de variabilă k
x
2 = u ………………………………………….. 2 p
pduufx
dx
fdxx
fk
k
kkkk2..............................................................)()
2()
2()
2(
2
112
1
2
1
2
1
2
1
a n =
n
k
k
k
n
n n
pduufduufduufduufduuf1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2.........)()(......)()()(
f integrabilă Riemann, atunci aplicaţia x 1
)(x
duuf este continuă ……………1 p
Deci
1
0
1
0
1
2
1
)()(lim)(lim duufduufduufx
xn
n
……………….…………………2 p
1.
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XII-a
enunţ
Oficiu……………………………………………………………………….1 p P.p f: (K,+) (K * ,1) izomorfism de grupuri f(0)=1………………...2 p Deoarece f este surjectivă, aK * a. î. f(a)=-1
11af1af0fa0faf 11 …………..…….2 p Din f(a)=-1 si f(-a)=-1 a=-a a(1+1)=0 1+1=0 1=-1 (*)…………………………………….. 2 p f(0)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1)) 2 [f(1)] 2 = 1 ………………………………1 p
011f011f11f 2
……………………………………1 p f(1)=1 1010f1f contradictie …………………………………….…1 p
2.
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XII-a
enunţ
Oficiu ………………………………………………………………1 p x,eH1
1n2 y,...,y,eH ………………………………………………… 2 p
DEMONSTREAZĂ CĂ 21 Hxy,Hxy
DEDUCE CĂ Gxy …………………………………….…….. 3 p
Cum orice grup ciclic este comutativ
eeeyxyxxy2nn2n2n2n2
Deduce că ORD n2/G …………………………………… …….2 p
Din ipoteză )G(ORD/n2
PRIM-n
n/ORD(G)
(G) ORD2/
……………………2 p
3.
SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XII-a
enunţ
Oficiu ………………………………………………………………1 p
Fie x
0
nxfdt)t(fxg continuă………………………………1 p
Presupunem 1,0pe0xg ……………………………………….1 p
g continuă xg > 0 sau g(x) < 0…………..…………………...1 p Caz I
g (x) > 0, x
0
dttf1,0x > nxf
Pt. x = 0 n0f < 0 f (0) < 0……………………………….1 p
f continuă >0 a.î ,0f < 0
Avem < 1 . In caz contrat 1,0f < 0
1
0
dt)t(f < 0…………….2 p
Deoarece 1
0
care.pt1,0x0dt)t(f f (x) >0………………1 p
Fie A = 0xf/1,0x şi s = inf A………………………… 1 p
f (s) 0 , s >0; Din g (s) > 0 s
0
dt)t(f > 0sf n
Dar f(t) < 0 t s,0 , deci s
0
dt)t(f <0 contradicţie ……………1 p
Caz II g (x) < 0 analog pt h (x) = - g(x) ………………………………….1 p
4.
Material conceput şi realizat de:
Marius Lobază
Florin Dumitru
Doru Ianculescu
Marineta Dobîndă
Ladislau Torok
Cătălin Stoian
Liliana Nicolea
top related