cinematica punctului material
Post on 26-Sep-2015
88 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1
Capitolul I
CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
1.1. Un punt material se mic dup legea:
t
A
t
A
x
w
w
sin
cos
2
1
+
=
t
B
t
B
y
w
w
sin
cos
2
1
+
=
Se cer traiectoria, viteza i acceleraia punctului material.
Rezolvare: Pentru a afla traiectoria va trebui s eliminm timpul din cele dou relaii. Sistemul linear n
t
w
cos
i
t
w
sin
:
=
y
x
t
t
B
B
A
A
w
w
sin
cos
2
1
2
1
ofer soluia:
-
-
D
=
y
x
A
B
A
B
t
t
1
1
2
2
1
sin
cos
w
w
unde
1
2
2
1
B
A
B
A
-
=
D
Avem deci:
(
)
y
A
x
B
t
2
2
1
cos
-
D
=
w
;
(
)
y
A
x
B
t
1
1
1
sin
+
-
D
=
w
ntruct:
1
sin
cos
2
2
=
+
t
t
w
w
rezult:
(
)
(
)
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
=
+
-
D
+
-
D
y
A
x
B
y
A
x
B
sau:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
D
=
+
+
+
-
+
A
A
y
B
A
B
A
xy
B
B
x
care reprezint ecuaia unei elipse.
Matricea acestei forme ptratice este:
(
)
(
)
+
+
-
+
-
+
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
.
Problema de valori proprii:
(
)
(
)
0
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
=
-
+
+
-
+
-
-
+
l
l
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
sau:
(
)
(
)
(
)
0
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
=
+
-
-
+
-
+
B
A
B
A
A
A
B
B
l
l
d semiaxele elipsei:
2
1
/
1
;
/
1
l
l
=
=
b
a
unde
1
l
i
2
l
sunt soluiile ecuaiei de gradul doi obinute. Sistemul linear omogen:
(
)
(
)
0
sin
cos
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
=
-
+
+
-
+
-
-
+
q
q
l
l
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
d nclinarea axelor elipsei fa de sistemul de coordonate Oxy:
(
)
(
)
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
;
B
A
B
A
B
B
tg
B
A
B
A
B
B
tg
+
-
+
=
+
-
+
=
l
q
l
q
Cele dou axe, determinate de unghiurile
1
q
i respective
2
q
, sunt perpendiculare ntre ele i formeaz un nou sistem de coordonate OXY fa de care elipsa traiectorie are forma:
1
2
2
2
1
=
+
Y
X
l
l
sau:
1
1
1
2
2
2
1
=
+
l
l
Y
X
Componenetele vitezei sunt:
(
)
t
A
t
A
v
x
w
w
w
cos
sin
2
1
+
-
=
(
)
t
B
t
B
v
y
w
w
w
cos
sin
2
1
+
-
=
de unde se poate obine valoarea vitezei:
2
2
y
x
v
v
v
+
=
.
Componentele acceleraiei sunt:
(
)
x
t
A
t
A
a
x
2
2
1
2
sin
cos
w
w
w
w
-
=
+
-
=
(
)
y
t
B
t
B
a
y
2
2
1
2
sin
cos
w
w
w
w
-
=
+
-
=
i dau valoarea acceleraiei:
(
)
2
2
4
2
y
x
a
+
=
w
.
Relaiile de definiie ale spaiului se mai pot scrie:
(
)
1
1
cos
j
w
+
=
t
a
x
(
)
2
2
cos
j
w
+
=
t
a
y
unde:
1
2
1
2
2
2
1
1
;
A
A
tg
A
A
a
-
=
+
=
j
;
1
2
2
2
2
2
1
2
;
B
B
tg
B
B
a
-
=
+
=
j
Viteza va fi dat atunci de relaiile:
(
)
(
)
2
2
1
1
sin
;
sin
j
w
w
j
w
w
+
-
=
+
-
=
t
a
v
t
a
v
y
x
iar acceleraia:
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
cos
;
cos
j
w
w
j
w
w
+
-
=
+
-
=
t
a
a
t
a
a
y
x
1.2. Ecuaiile parametrice ale unui punct material n micare sunt:
t
e
r
a
=
;
t
b
q
=
. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia utiliznd sistemul de coordonate polare.
Rezolvare: Eliminm timpul t ntre cele dou relaii:
b
q
=
t
de unde
q
b
a
=
e
r
. Traiectoria este deci o spiral logaritmic. Avem:
t
e
r
a
a
=
&
;
t
e
r
a
a
2
=
&
&
;
b
q
=
&
;
0
=
q
&
&
.
Rezult:
t
r
e
r
v
a
a
=
=
&
;
t
e
r
v
a
q
b
q
=
=
&
.
Vectorul vitez:
(
)
q
a
q
q
b
a
e
e
e
e
v
e
v
v
r
t
r
r
+
=
+
=
r
r
are valoarea:
2
2
b
a
a
+
=
t
e
v
.
Unghiul fcut de vitez cu raza vectoare este:
(
)
ct
v
v
r
v
tg
r
=
=
=
a
b
q
,
.
Acceleraia are componentele:
(
)
2
2
2
b
a
q
a
-
=
-
=
t
r
e
r
r
a
&
&
&
;
t
e
r
r
a
a
q
ab
q
q
2
2
=
+
=
&
&
&
&
(
)
[
]
q
a
ab
b
a
e
e
e
a
r
t
2
2
2
+
-
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
b
a
b
a
b
a
a
a
+
=
+
-
=
t
t
e
e
a
Unghiul fcut de acceleraie cu vectorul de poziie al punctului
(
)
ct
a
a
r
a
tg
=
-
=
=
2
2
2
,
b
a
ab
r
q
.
1.3. Un om se deplaseaz trgnd de extremitatea punctului C a unei funii, trecut dup un scripete mic B, cealalt extremitate a funiei fiind legata la un crucior care se deplaseaz pe o platform orizontal. tiind c viteza cu care alearg omul este constant i egal cu
u
r
i c diferena de nivel dintre platform i extremitatea C a funiei este
h
, se cere s se determine viteza
v
a cruciorului i acceleraia sa (fig. 1.3).
Rezolvare: Din figur rezult
ut
x
=
;
2
2
2
2
2
h
t
u
h
x
y
+
=
+
=
.
Viteza cruciorului este:
dt
dy
v
=
deci
2
2
2
2
h
t
u
t
u
v
+
=
sau
2
2
h
x
xu
v
+
=
.
Acceleraia cruciorului este:
dt
dv
a
=
deci
(
)
2
3
2
2
2
2
2
h
t
u
h
u
a
+
=
sau
(
)
2
3
2
2
2
2
h
x
h
u
a
+
=
.
1.4. O particul se deplaseaz n linie dreapt cu viteza
s
m
x
v
+
=
4
5
. S se determine poziia acesteia la
s
t
6
=
, dac la
0
,
0
=
=
x
t
. De asemenea, s se determine acceleraia cnd
m
x
2
=
.
Rezolvare: Din
dt
dx
v
=
, rezult
dt
v
dx
=
;
dt
x
dx
+
=
4
5
;
(
)
dt
dx
x
5
4
=
+
;
(
)
=
+
t
t
s
dt
dx
x
0
5
4
0
,
t
t
s
s
t
x
x
0
0
5
2
4
2
=
+
,
t
s
s
5
2
4
2
=
+
.
Dac t = 6s
.
72
,
4
m
s
=
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
a
=
=
=
.
Cum
(
)
2
4
5
x
dx
dv
+
-
=
rezult c:
(
)
(
)
3
2
4
25
4
5
4
5
x
x
x
a
+
-
=
+
+
-
=
.
Pentru
m
x
2
=
, rezult
2
116
s
m
a
-
=
.
1.5. Acceleraia unui punct material n micare rectilinie este dat prin relaia
(
)
2
1
2
s
m
t
a
-
=
. Dac
m
x
o
1
=
i
s
m
v
o
2
=
la
0
=
o
t
s se determine viteza punctului material i poziia acestuia la
s
t
6
=
. De asemenea s se determine spaiul total parcurs de punctul material n acest interval de timp.
Rezolvare: Din relaia
dt
a
dv
=
, prin integrare rezult:
(
)
2
;
;
1
2
2
2
2
+
-
=
+
-
-
=
-
-
=
t
t
v
t
t
t
t
v
v
dt
t
dv
o
o
o
t
to
v
v
o
La momentul t = 6 s rezult:
s
m
v
32
=
.
Putem scrie:
(
)
dt
t
t
dx
dt
v
dx
2
2
+
-
=
=
,
(
)
+
-
=
6
0
2
1
2
dt
t
t
dx
s
,
m
s
m
t
t
t
s
67
66
12
18
72
2
2
3
1
6
0
2
3
=
=
+
-
=
+
-
=
-
,
m
s
s
d
54
1
55
0
=
-
=
-
=
1.6. Micarea unui punct pe suprafaa unui con circular drept este definit n coordonate polare prin:
a
r
tg
t
h
=
,
t
=
p
q
2
, unde
a
este semiunghiul la vrf al conului i
h
este distana cu care punctul se ridic la o rotaie n jurul axei
Oz
a conului (fig. 1.6). S se determine modulul vitezei i acceleraiei punctului mobil, la orice moment
t
.
Rezolvare: Fiind vorba de un con circular drept, avem:
z
tga
r
=
rezultnd:
t
h
tga
z
=
=
r
Componentele vitezei sunt:
a
r
r
tg
h
v
=
=
&
;
(
)
p
a
q
r
q
2
tg
t
h
v
=
=
&
;
h
z
v
z
=
=
&
,
iar modulul vitezei va fi:
a
p
a
2
2
2
cos
4
ec
t
tg
h
v
+
=
.
Componentele acceleraiei sunt:
(
)
2
2
p
a
r
tg
t
h
a
-
=
;
(
)
p
a
q
2
2
tg
t
h
a
=
;
0
=
z
a
,
iar modulul acceleraiei va fi:
(
)
2
2
2
1
2
t
tg
h
a
p
p
a
+
=
.
Relaia dintre
q
i z este
h
z
p
q
2
=
.
1.7. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia pentru un punct ale crui ecuaii de micare n coordonate carteziene sunt:
q
lq
cos
0
-
+
=
e
x
x
;
q
lq
sin
0
-
+
=
e
y
y
;
lq
-
+
=
e
z
z
0
,
unde
0
x
,
0
y
0
z
i
l
sunt parametrii constani.
Rezolvare: Traiectoria este descris prin ecuaiile parametrice date. Pentru a obine informaii suplimentare despre curb vom elimina parametrul
q
din ecuaii
(
)
(
)
ct
t
=
=
=
w
q
q
q
&
;
. Scriem ecuaiile parametrice se scriu sub forma:
q
lq
cos
0
-
=
-
e
x
x
;
(
)
q
lq
2
2
2
0
cos
-
=
-
e
x
x
;
q
lq
sin
0
-
=
-
e
y
y
;
(
)
q
lq
2
2
2
0
sin
-
=
-
e
y
y
;
lq
-
=
-
e
z
z
0
;
(
)
lq
2
2
0
-
=
-
e
z
z
,
Apoi se ridic la ptrat toate cele trei ecuaii, primele dou se aduna i a treia se scade din acestea, rezultnd ecuaia:
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
0
2
0
=
-
-
-
+
-
z
z
y
y
x
x
.
Ecuaia obinut reprezint un con pe care se nfoar elicea conic cu relaiile date.
Componentele vectorului vitez sunt:
q
q
q
q
l
lq
lq
sin
cos
-
-
-
-
=
=
e
e
x
v
x
&
&
&
;
q
q
q
q
l
lq
lq
cos
sin
-
-
+
-
=
=
e
e
y
v
y
&
&
&
;
lq
q
l
-
-
=
=
e
z
v
z
&
&
,
deci:
(
)
(
)
[
]
k
j
i
e
v
l
q
q
l
q
q
l
q
lq
-
+
-
+
+
-
=
-
cos
sin
sin
cos
&
,
iar modulul acesteia este
2
2
2
2
2
1
l
q
lq
+
=
+
+
=
-
e
z
y
x
v
&
&
&
&
.
Componentele vectorului acceleraie, innd sema c
ct
=
=
w
q
&
, sunt:
(
)
[
]
q
l
q
l
q
lq
cos
1
sin
2
2
2
-
+
=
=
-
e
x
a
x
&
&
&
;
(
)
[
]
q
l
q
l
q
lq
sin
1
cos
2
2
2
-
+
-
=
=
-
e
y
a
y
&
&
&
;
lq
q
l
-
=
=
e
z
a
z
2
2
&
&
&
,
deci:
(
)
[
]
(
)
[
]
{
}
k
j
i
e
a
2
2
2
2
sin
1
cos
2
cos
1
sin
2
l
q
l
q
l
q
l
q
l
q
lq
+
-
+
-
+
+
-
-
=
-
&
iar modulul acesteia este
(
)
4
2
2
2
1
l
l
w
lq
+
+
=
-
e
a
.
1.8. Bara AC de lungime egal cu
l
(
)
R
l
2
>
este articulat n A de manivela OA i trece prin punctul fix B (fig. 1.8). tiind c manivela OA se rotete fa de O i are legea spaiului unghiular
t
k
=
j
, se cer s se determine: a) viteza punctului C; b) acceleraia punctului C; c) raza de curbur a traiectoriei punctului C. (fig. 1.8)
Rezolvare:
a) Coordonatele punctului C n raport cu sistemul de referin
xOy
sunt:
2
sin
cos
kt
l
kt
R
x
+
=
;
2
cos
sin
kt
l
kt
R
y
-
=
.
Componentele pe axele sistemului de referin pentru viteza punctului C sunt:
2
cos
2
sin
kt
k
l
kt
k
R
x
v
x
+
-
=
=
&
;
2
sin
2
cos
kt
k
l
kt
k
R
y
v
y
+
=
=
&
.
deci modulul vitezei este:
2
sin
4
2
2
2
2
kt
l
R
l
R
k
v
v
v
y
x
C
-
+
=
+
=
r
.
b) Componentele acceleraiei punctului n sistemul de referin
xOy
sunt:
2
sin
4
cos
2
2
kt
k
l
kt
k
R
x
a
x
-
-
=
=
&
&
;
2
cos
4
sin
2
2
kt
k
l
kt
k
R
y
a
y
+
-
=
=
&
&
.
Mrimea acceleraiei punctului C este:
2
sin
2
16
2
2
2
2
2
kt
l
R
l
R
k
a
a
a
y
x
C
-
+
=
+
=
r
.
c) Raza de curbur
C
r
se determin cu relaia:
n
r
C
C
C
a
v
2
=
.
Acceleraia
t
C
a
(acceleraia tangenial) este:
2
sin
4
4
2
cos
2
sin
4
2
2
2
2
2
kt
l
R
l
R
kt
l
R
k
kt
l
R
l
R
k
dt
d
dt
dv
a
C
-
+
-
=
-
+
=
=
t
.
Rezult c:
2
sin
4
16
2
cos
2
sin
2
16
2
2
2
2
2
2
2
2
kt
l
R
l
R
kt
l
R
kt
l
R
l
R
k
a
C
-
+
-
-
+
=
n
i n final
2
sin
36
2
sin
12
2
sin
96
16
64
2
sin
4
4
2
2
2
3
3
4
2
2
4
3
2
2
2
kt
l
R
kt
l
R
kt
l
R
l
l
R
R
kt
l
R
l
R
a
v
C
C
C
+
-
-
+
+
-
+
=
=
n
r
.
1.9. S se calculeze, n coordonate polare, n plan, expresia
a
v
r
r
i s se deduc, cu ajutorul acesteia raza de curbur a traiectoriei. n particular s se ia unghiul polar
q
ca msur a timpului.
Rspuns:
(
)
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
1
q
q
q
q
q
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
r
r
r
r
r
r
r
R
+
+
-
+
=
1.10. Ecuaiile micrii unui punct urmnd o elice nfurat pe un tor, sunt:
.
ct
R
r
=
=
,
t
w
y
=
;
t
k
=
j
. S se determine proiecia vitezei i acceleraiile punctului ntr-o poziie situat ntr-un sistem de coordonate toroidale
(
)
.
.,
ct
k
ct
=
=
w
.
Rspuns:
(
)
(
)
2
2
cos
cos
w
w
R
kt
kt
R
a
a
r
-
+
-
=
;
k
kt
R
R
kt
a
w
w
y
-
=
sin
2
cos
2
2
;
(
)
2
sin
cos
w
j
+
=
kt
kt
R
a
a
.
1.11. Un punct material M se deplaseaz pe bara OA n micare uniform pornind din O cu viteza
s
m
v
2
,
0
=
. Bara OA de lungime egal cu
m
1
se rotete fa de O dup legea spaiului unghiular
t
p
q
4
,
0
=
. Se cer s se determine componentele vitezei i acceleraiei punctului material ajuns n poziia A.
Rspuns:
v
v
=
r
;
vt
v
p
4
,
0
=
;
(
)
vt
a
2
4
,
0
p
r
-
=
;
v
a
p
q
8
,
0
=
;
s
m
v
A
272
,
1
=
;
2
657
,
1
s
m
a
A
=
.
1.12. Calculai traiectoria unui punct M al unui sistem biel-manivel, viteza i acceleraia. Se d:
ct
=
=
p
j
4
&
.
Aplicaie:
cm
l
r
60
1
=
=
,
l
MB
3
1
=
, (fig. 1.12).
Rezolvare:
AM
r
AM
OA
r
+
=
+
=
1
r
r
;
j
r
i
r
r
r
r
r
j
j
sin
cos
1
1
1
+
=
;
j
l
i
l
AM
r
r
j
j
sin
3
2
cos
3
2
-
=
;
j
l
r
i
l
r
r
r
r
r
j
j
sin
3
2
cos
3
2
1
1
-
+
+
=
.
Ecuaiile parametrice de micare ae punctului M vor fi:
:
sin
3
2
;
cos
3
2
1
1
j
j
-
=
+
=
l
r
y
l
r
x
de unde prin eliminarea parametrului variabil
j
rezult ecuaia traiectoriei:
1
3
2
3
2
2
1
2
2
1
2
=
-
+
+
l
r
y
l
r
x
.
nlocuind valorile rezult:
1
20
100
2
2
2
2
=
+
y
x
deci o elipsa raportat la sistemul de coordonate Oxy cu semiaxele 100 i 20 cm (fig.1.12.b).
Fig. 1.12.b
Viteza se determin prin derivarea vectorului de poziie n raport cu timpul:
:
cos
3
2
;
sin
3
2
1
1
j
j
j
j
&
&
&
&
-
=
=
+
-
=
=
l
r
y
v
l
r
x
v
y
x
tiind c
ct
t
d
d
=
=
=
p
j
j
4
&
,
0
=
j
&
&
viteza devine:
:
cos
3
2
4
;
sin
3
2
4
1
1
j
p
j
p
-
=
=
+
-
=
=
l
r
y
v
l
r
x
v
y
x
&
&
iar modulul vitezei este:
(
)
j
j
p
2
2
1
2
2
1
cos
sin
3
2
9
4
4
-
+
+
=
l
r
l
r
v
M
.
Acceleraia se determin derivnd vectorul vitez n raport cu timpul:
.
sin
3
2
cos
3
2
;
cos
3
2
sin
3
2
2
1
1
2
1
1
j
j
j
j
j
j
j
j
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
-
-
-
=
=
+
-
+
-
=
=
l
r
l
r
y
a
l
r
l
r
x
a
y
x
1.13. S se determine ecuaia analitic a traiectoriei, viteza i acceleraia unui punct al unei drepte care se rostogolete, fr alunecare, pe un cerc de raz R (fig. 1.13.a) (evolventa cercului).
Rezolvare: Se alege ca parametru cinematic unghiul
q
fcut de raza OT cu verticala. Avem:
q
R
arcAT
TM
=
=
.
=
+
-
+
+
=
+
=
)
sin
cos
(
)
cos
sin
(
j
R
i
R
j
R
i
R
TM
OT
r
r
r
r
r
r
q
q
q
q
q
q
EMBED Equation.3
j
R
i
R
r
r
)
sin
(cos
)
cos
(sin
q
q
q
q
q
q
+
+
-
=
.
Ecuaiile parametrice ale evolventei sunt deci:
)
sin
(cos
)
cos
(sin
q
q
q
q
q
q
+
=
-
=
R
y
R
x
Componentele vitezei vor fi:
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
cos
)
cos
sin
sin
(
sin
)
sin
cos
(cos
&
&
&
&
&
&
R
R
y
v
R
R
x
v
y
x
=
+
+
-
=
=
=
+
-
=
=
,
iar viteza se obine din relaia:
2
2
2
2
)
(
q
q
&
&
&
R
y
x
v
=
+
=
de unde:
q
q
&
R
v
=
.
Fig.1.13.a. Evolventa cercului
Acceleraia va fi dat de:
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
sin
cos
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
R
R
R
y
a
R
R
R
x
a
y
x
-
+
=
=
+
+
=
=
cu valoare dat de:
)
4
(
2
2
4
4
2
2
2
q
q
q
q
q
q
q
q
&
&
&
&
&
&
&
+
+
+
=
R
a
.
Lungimea arcului de evolvent este:
=
=
=
=
a
a
a
q
q
q
q
0
2
0
2
R
d
R
dt
R
vdt
s
&
Fig.1.13.b. Proprietile evolventei
(am presupus
0
q
&
). Unghiul fcut de vectorul vitez cu verticala este dat de:
q
b
tg
v
v
tg
y
x
=
=
,
de unde:
q
b
=
.
Rezult:
viteza este perpendicular pe TM (paralel cu OT) (avem
0
=
TM
v
r
);
are valoarea
TM
w
, unde am notat
w
q
=
&
:
TM
R
R
v
=
=
=
w
q
q
q
q
&
&
Punctul M de pe dreapt se comport dpdv al vitezei (instantaneu) ca i cum ar avea o micare circular pe un cerc de raza TM cu centrul n T, cu viteza unghiular
w
. Dac
ct
=
=
w
q
&
, atunci:
)
sin
(cos
)
cos
(sin
2
2
q
q
q
q
q
q
q
q
-
=
+
=
&
&
R
a
R
a
y
x
(
)
2
2
2
2
2
2
1
)
(
q
q
+
=
+
=
&
R
a
a
a
y
x
de unde:
OM
R
a
=
+
=
2
2
2
1
)
(
w
q
q
&
.
1.14. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct de pe periferia unei roi de raz R care se rostogolete fr alunecare pe planul orizontal (fig.1.14.a).
Rezolvare: Lum ca parametru variabil unghiul
q
. Vectorul de poziie al punctului M de pe periferia roii, dup ce aceasta s-a rostogolit cu unghiul
q
, este dat de relaia:
j
R
i
R
j
R
i
R
CM
AC
OA
OM
r
r
r
r
r
r
q
q
q
cos
sin
-
-
+
=
+
+
=
=
cu componentele:
)
cos
1
(
)
sin
(
q
q
q
-
=
-
=
R
y
R
x
care reprezint ecuaiile parametrice ale cicloidei (parametrul fiind unghiul
q
). Viteza va fi dat de relaiile:
q
q
q
q
sin
)
cos
1
(
&
&
&
&
R
y
v
R
x
v
y
x
=
=
-
=
=
Fig.1.14.a. Cicloida
cu valoarea:
=
+
+
-
=
+
=
)
sin
cos
cos
2
1
(
)
(
2
2
2
2
2
2
q
q
q
q
&
&
&
R
y
x
v
2
sin
)
(
4
)
cos
1
(
)
(
2
2
2
2
q
q
q
q
&
&
R
R
=
-
=
2
sin
2
q
q
&
R
v
=
Valoarea maxim a vitezei se obine pentru
2
/
2
/
p
q
=
deci
p
q
=
.
Fig.1.14.b. Graficul valorii vitezei
Componentele acceleraiei punctului sunt date de relaiile:
q
q
q
q
q
q
q
q
cos
sin
sin
)
cos
1
(
2
2
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
R
R
y
a
R
R
x
a
y
x
+
=
=
+
-
=
=
iar valoarea de:
+
+
+
-
=
)
sin
cos
cos
2
1
(
)
(
2
2
2
2
q
q
q
q
&
&
R
a
)
cos
cos
1
(
sin
2
)
cos
(sin
)
(
2
2
2
2
2
q
q
q
q
q
q
q
q
+
-
+
+
+
&
&
&
&
R
R
q
q
q
q
q
q
sin
2
)
(
)
cos
1
(
)
(
2
2
2
2
2
&
&
&
&
&
&
R
R
R
a
+
+
-
=
4
2
2
2
2
2
2
sin
2
2
sin
4
q
q
q
q
q
q
&
&
&
&
&
&
R
R
R
+
+
=
de unde:
4
2
2
sin
2
2
sin
4
q
q
q
q
q
q
&
&
&
&
&
&
+
+
=
R
a
Lungimea arcului de cicloid este:
=
=
+
=
=
vdt
dt
y
x
ds
s
2
2
&
&
EMBED Equation.3
-
=
=
a
a
a
q
q
q
q
0
0
)
2
cos
1
(
4
2
sin
2
2
sin
2
R
d
R
dt
R
&
2
sin
8
2
a
R
s
=
La o rostogolire complet a cercului spaiul parcurs de punctul material este:
R
R
L
8
2
2
sin
8
2
=
=
p
.
Unghiul fcut de vitez cu orizontala este:
)
2
2
(
2
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
cos
1
sin
2
q
p
q
q
q
q
q
q
b
-
=
=
=
-
=
=
=
tg
ctg
x
y
v
v
tg
x
y
&
&
deci:
2
2
q
p
b
-
=
.
(pentru
]
2
;
0
[
p
q
) cu excepia cazului cnd
,
0
2
/
sin
=
q
,
2
/
p
q
k
=
p
q
k
2
=
. n acest caz:
0
;
0
)
1
1
(
=
=
-
=
y
R
x
&
&
q
, deci v=0. n punctele
p
q
k
2
=
unghiul fcut de vitez cu orizontala prezint discontinuitate:
;
2
;
2
lim
1
2
2
1
p
b
q
b
p
q
p
q
-
=
-
=
=
ctg
tg
Fig.1.14.c
Graficul unghiului de nclinare a vitezei n funcie de unghiul de rostogolire
q
este dat n fig. 1.14.c. n cazul n care considerm c roata se rostogolete cu vitez constant
w
q
=
=
ct
&
atunci
v
r
i
a
r
au urmtoarele proprieti:
a) vectorul
v
r
este perpendicular pe AM i egal n modul cu
AM
w
. ntr-adevr
2
/
2
/
)
(
2
/
q
q
p
p
b
=
=
-
-
=
EMBED Equation.3
)
2
/
sin(
2
q
R
AM
=
i atunci (fig.1.14.d):
Fig.1.14.d. Interpretarea geometric a micrii pe o cicloid
=
+
-
+
-
=
]
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
][
sin
)
cos
1
(
[
2
j
R
i
R
j
R
i
R
AM
v
r
r
r
r
r
q
q
q
q
q
q
q
0
]
2
sin
sin
2
cos
2
sin
)
cos
1
(
[
2
2
=
+
-
-
=
q
q
q
q
q
q
&
R
w
q
w
=
=
AM
R
v
2
sin
2
Rezult c punctul M de pe periferia roii se comport d.p.d.v. al vitezei ca i cum discul s-ar roti cu viteza unghiular
w
n jurul punctului A (viteza unghiular
w
definete variaia n timp a unghiului
q
) (fig.1.14.d).
b) Vectorul
a
r
are direcia razei MC i este egal cu
MC
2
w
:
q
w
q
q
sin
sin
2
2
R
R
x
a
x
=
=
=
&
&
&
;
q
w
q
q
cos
cos
2
2
R
R
y
a
y
=
=
=
&
&
&
j
R
i
R
MC
r
r
q
q
cos
sin
+
=
deci:
MC
j
R
i
R
j
a
i
a
a
y
x
2
)
cos
sin
(
w
q
q
=
+
=
+
=
r
r
r
r
r
.
Punctul M de pe periferia roii se comport, d.p.d.v. al acceleraiei ca i cum s-ar mica pe periferia cercului de raz R, cu vitez constant (fig.1.14.d). Dac punctul material se gsete n interiorul unui cerc care se rostogoleste se obine cicloida scurtat (fig.1.14.e) i dac se gsete pe exteriorul lui, facnd corp comun cu cercul se obine cicloida alungit (fig.1.14.f).
Fig.1.14.e
Fig.1.14.f
1.15. a) S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct al unui cerc mobil ce se rostogolete pe exteriorul unui cerc fix (epicicloida).
b) S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct al unui cerc mobil ce se rostogolete pe interiorul unui cerc fix (hipocicloida) (fig.1.15.a).
Fig.1.15.a. Epicicloida i hipocicloida
Rezolvare: a) Dac un cerc mobil deraz r se rostogolete peste un cerc fix de raz R avem AT=TM, deci
a
q
r
R
=
. Ecuaiile parametrice ale traiectoriei sunt:
)
1
(
sin
sin
)
(
)
sin(
sin
)
(
r
R
r
r
R
r
r
R
x
+
-
+
=
+
-
+
=
q
q
a
q
q
)
1
(
cos
cos
)
(
)
cos(
cos
)
(
r
R
r
r
R
r
r
R
y
+
-
+
=
+
-
+
=
q
q
a
q
q
Prin derivri succesive se obin expresiile vitezei i acceleraiei. Pentru vitez avem relaiile:
]
)
1
cos(
[cos
)
1
(
q
q
q
r
R
r
R
r
x
v
x
+
-
+
=
=
&
&
]
)
1
sin(
sin
[
)
1
(
q
q
q
r
R
r
R
r
y
v
y
+
+
-
+
=
=
&
&
.
Lungimea arcului de epicicloid se obine, prin calcul,
)
(
8
r
R
l
+
=
.
b) Dac cercul mobil de raz r se rostogolete n interiorul cercului de raz R avem, din egalitatea AT=TM,
a
q
r
R
=
, iar ecuaiile parametrice ale traiectoriei sunt:
)
1
(
sin
sin
)
(
)
sin(
sin
)
(
r
R
r
r
R
r
r
R
x
+
-
-
-
=
+
-
-
-
=
q
q
a
q
q
)
1
(
cos
cos
)
(
)
cos(
cos
)
(
r
R
r
r
R
r
r
R
y
+
-
+
-
=
+
-
+
-
=
q
q
a
q
q
de unde, prin derivri, se obin viteza i acceleraia:
]
)
1
cos(
[cos
)
1
(
q
q
q
r
R
r
R
r
x
v
x
+
-
-
+
-
=
=
&
&
]
)
1
sin(
sin
[
)
1
(
q
q
q
r
R
r
R
r
y
v
y
+
-
-
-
+
-
=
=
&
&
Lungimea arcului de hipocicloid, la o rotaie complet, este:
)
(
8
r
R
l
-
=
.
Fig.1.15.b. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=2
Fig.1.15.c. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=3
Fig.1.15.d. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=4
Fig.1.15.e. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=5
n fig.1.15.b-e sunt reprezentate epicicloide i hipocicloide pentru diferite valori ale raportului R/r.
Fig.1.16. Micarea pe cardioid
1.16. S considerm un cerc mobil care se rostogolete pe un cerc fix de aceeai raz R (fig.1.16). S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct de pe cercul mobil.
Vom exprima vectorul de poziie al punctului M:
=
+
+
=
=
BM
AB
OA
OM
r
r
=
-
+
+
-
+
=
)
2
sin
2
cos
(
)
sin
cos
(
2
j
R
i
R
j
i
R
i
R
r
r
r
r
r
q
q
q
q
j
R
R
i
R
R
R
r
r
)
2
sin
sin
2
(
)
2
cos
cos
2
(
q
q
q
q
-
+
+
-
=
S-a folosit observaia c ABMO este trapez isocel. Rezult:
q
q
2
cos
cos
2
R
R
R
x
+
-
=
;
q
q
2
sin
sin
2
R
R
y
-
=
;
2
2
2
2
2
2
)
cos
1
(
4
)
2
cos
cos
4
3
(
2
q
q
q
-
=
+
-
-
=
+
=
R
R
y
x
r
;
2
cos
4
)
cos
1
(
2
)
cos
1
(
2
2
a
a
q
R
R
R
r
=
+
=
-
=
,
adic ecuaia cardioidei. Componentele vitezei vor fi:
)
2
sin
(sin
2
q
q
q
-
=
&
&
R
x
;
)
2
cos
(cos
2
q
q
q
-
=
&
&
R
y
iar valoarea:
2
sin
16
)
cos
1
(
4
2
2
2
2
2
2
q
q
q
q
&
&
R
R
v
=
-
=
2
sin
4
q
q
&
R
v
=
;
p
q
a
=
+
;
q
a
&
&
-
=
,
iar componentele acceleraiei:
)
2
cos
2
(cos
2
)
2
sin
(sin
2
2
q
q
q
q
q
q
-
+
-
=
&
&
&
&
&
R
R
x
,
)
2
sin
2
sin
(
2
)
2
cos
(cos
2
2
q
q
q
q
q
q
+
-
+
-
=
&
&
&
&
&
R
R
y
1.17. S se determine viteza i acceleraia unui punct care se mic pe o elice cilindric (fig.1.17.a).
Rezolvare: Ecuaiile parametrice ale elicei cilindrice cu pas constant sunt:
=
=
=
a
q
q
q
tg
R
z
R
y
R
x
;
sin
;
cos
Prin derivare se obin componentele vitezei i acceleraiei:
Fig.1.17.a. Micarea pe elicea cilindric
=
=
-
=
=
-
-
=
=
=
=
=
=
-
=
=
.
;
sin
cos
;
cos
sin
.
;
cos
;
sin
2
2
a
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
q
q
q
q
q
tg
R
z
a
R
R
y
a
R
R
x
a
tg
R
z
v
R
y
v
R
x
v
z
y
x
z
y
x
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
de unde:
Fig.1.17.b
(
)
(
)
.
cos
/
cos
/
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
q
a
q
a
q
&
&
&
&
&
&
R
v
R
tg
R
z
y
x
v
=
=
=
+
=
+
+
=
(
)
(
)
.
cos
/
cos
/
4
2
2
4
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
q
a
q
q
a
q
a
q
q
q
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
+
=
+
=
=
+
+
=
R
a
R
tg
R
R
R
a
Lungimea arcului de elice este dat de relaia:
=
=
=
=
b
a
q
a
b
cos
cos
0
R
dt
R
dt
v
ds
s
.
1.18. S se determine micarea unui punct material pe o elice cilindric utiliznd coordonatele polare.
Rezolvare: Vectorul de poziie se poate scrie (vezi fig.1.17.a):
k
tg
R
e
R
r
r
r
r
+
=
a
q
r
.
Aadar viteza i acceleraia rezult, prin derivri succesive:
(
)
.
2
k
tg
R
e
R
e
R
a
tg
k
e
R
k
z
e
R
v
r
&
&
r
&
&
r
&
r
r
r
&
r
&
r
&
r
a
q
q
q
a
q
q
q
r
q
q
+
+
-
=
+
=
+
=
1.19. S se determine raza de curbur a cicloidei, evolventei, elicei cilindrice i cardioidei.
Rezolvare: Se va folosi relaia
2
2
2
v
a
v
&
-
=
r
i se va considera
ct
=
q
&
(ntruct raza de curbur nu trebuie s depind de timp). Se obine:
i) pentru cicloid:
2
sin
2
q
q
&
R
v
=
;
2
cos
2
q
q
&
&
R
v
=
;
2
q
&
R
a
=
;
2
sin
16
2
cos
4
2
sin
16
2
2
2
4
2
4
2
4
4
4
2
q
q
q
q
q
q
r
R
R
R
R
=
-
=
&
&
&
.
ii) pentru evolvent
q
q
&
R
v
=
;
2
q
&
&
R
v
=
;
)
1
(
2
2
2
2
q
q
+
=
&
R
a
;
2
2
4
2
4
4
2
4
4
4
2
)
(
q
q
q
q
q
q
q
r
R
R
R
=
-
+
=
&
&
&
&
;
q
r
R
=
.
iii) pentru elicea cilindric:
a
q
cos
&
R
v
=
;
0
=
v
&
;
2
q
&
R
a
=
.
a
r
2
cos
R
=
.
iv) pentru cardioid:
)
2
cos
2
(cos
2
2
q
q
q
-
=
&
&
&
R
x
;
)
2
sin
2
sin
(
2
2
q
q
q
+
-
=
&
&
&
R
y
;
)
cos
4
5
(
4
)
cos
4
4
1
(
4
2
2
4
2
2
q
q
q
q
-
=
-
+
=
&
&
R
R
a
;
2
cos
2
2
q
q
&
&
R
v
=
;
=
-
-
=
2
cos
4
)
cos
4
5
(
4
2
sin
256
2
4
2
4
2
4
4
4
2
q
q
q
q
q
q
r
&
&
&
R
R
R
9
2
sin
64
2
sin
2
sin
8
2
sin
64
2
sin
)
cos
1
(
4
2
sin
64
2
2
2
2
4
2
2
4
2
q
q
q
q
q
q
q
R
R
R
=
+
=
+
-
=
2
sin
3
8
q
r
R
=
.
1.20. S de determine viteza i acceleraia unui punct aflat n micare circular utiliznd coordonatele carteziene (fig.1.20).
Rezolvare: Coordonatele carteziene ale punctului material aflat (n micare pe cerc sunt:
q
q
sin
;
cos
R
y
R
x
=
=
,
de unde, prin derivare, se obine succesiv:
q
q
q
q
cos
;
sin
&
&
&
&
R
y
R
x
=
-
=
;
q
q
q
q
q
q
q
q
sin
cos
;
cos
sin
2
2
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
R
R
y
R
R
x
-
=
-
-
=
,
Fig.1.20 Fig.1.21
cu
q
q
&
&
R
v
R
v
=
=
2
2
2
i
(
)
4
2
2
2
q
q
&
&
&
+
=
R
a
.
Dac
q
&
= ct, micarea se numete micare circular uniform. Not(nd
0
w
q
=
&
rezult
0
0
q
w
q
+
=
t
. Dac
q
&
&
> 0 micarea este uniform accelerat, iar dac
q
&
&
< 0 micarea este uniform (nt(rziat. Not(nd
0
w
q
=
&
i
e
q
=
&
&
se obine legea spaiului
0
0
2
2
q
w
q
e
+
+
=
t
t
.
1.21. S de determine viteza i acceleraia unui punct aflat n micare circular utiliznd coordonatele polare (fig.1.21).
Rezolvare: (n coordonate polare (fig.1.21) se scrie:
r
e
R
r
r
r
=
;
;
;
q
q
q
&
r
&
r
R
v
e
R
v
=
=
4
2
2
;
q
q
q
q
q
&
&
&
r
&
&
r
&
r
+
=
+
-
=
R
a
e
R
e
R
a
r
cu componentele:
q
q
q
&
&
&
R
a
R
a
r
=
=
;
2
.
Fig.1.22
1.22. S de determine viteza i acceleraia unui punct aflat n micare circular utiliznd coordonatele naturale (fig.1.22).
Rezolvare: (n coordonate naturale (fig.1.22) avem:
(
)
0
q
q
-
=
=
R
AM
s
t
q
t
q
r
&
r
&
r
&
&
R
s
v
R
s
v
=
=
=
=
;
n
q
t
q
q
r
q
n
t
r
&
r
&
&
r
&
&
&
&
&
&
2
2
2
;
;
R
R
a
R
s
a
R
s
a
+
=
=
=
=
=
2
2
q
q
q
q
a
n
t
&
&
&
&
&
&
=
=
=
R
R
a
a
tg
.
1.23. S se determine viteza cu care se mic corpul B dac corpul A se mic cu viteza constant u.
Fig.1.23
Fig.1.6
Fig.1.3
Fig.1.12.a
Fig.1.8
top related