capitulo 13

Introducción

Algunas situaciones de probabilidad implican más deun evento. Cuando los eventos no se afectan entre sí, se lesconoce como eventos independientes. Los eventosindependientes pueden incluir la repetición de una accióncomo lanzar un dado más de una vez, o usar doselementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda ygirar una ruleta.

La principal característica deuna situación con eventosindependientes es que el estadooriginal de la situación nocambia cuando ocurre unevento.

Los eventos independientes ocurren ya seacuando:

1. El proceso que genera el elemento aleatoriono elimina ningún posible resultado.

2. El proceso que sí elimina un posibleresultado, pero el resultado es sustituidoantes de que suceda una segunda acción. (Aesto se le llama sacar un reemplazo.)

Situación Porque..Evento

Lanzas undado, y si nosale 6, lanzasde nuevo.¿Cuál es laprobabilidadde sacar un 6en el segundolanzamiento?

El hecho de que elprimerlanzamiento no esun 6 no cambia laprobabilidad deque el segundolanzamiento seaun 6.

El primerlanzamiento noes un 6.El primerlanzamiento esun 6.

Analicemos!En el ejemplo anterior,supongamos que hemostirado el dado 15 vecesel dado y no ha salido el6.

Es másprobablesacar un 6debido a queno ha salido?

NOOOO!

La posibilidad de sacar 6 es la misma en todos los

tiros.

Porque?Veamos el espacio muestral y el espaciode eventos de los ejemplos de la secciónanterior.

-Lanzas un dado dos veces. ¿Cuál es laprobabilidad de sacar un 6 en el segundotiro pero no en el primero?

Primer lanzamiento

1 2 3 4 5 6

Segundo lanzamiento

1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

2 1,2 2,2

3,2 4,2

5,2 6,2

3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

4 1,4 2,4

3,4 4,4

5,4 6,4

5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

Existen 6 resultados posiblespara el primer tiro, y paracada uno de ellos, hay 6resultados posibles para elsegundo tiro. Hay 6 • 6, o 36,resultados posibles:

Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),

(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4),

(6,5), (6,6)}

NOTA: El tamaño del espaciomuestral para las dossacadas es el producto deltamaño de los espaciosmuestrales de cada sacada.

Ahora, veamos lasprobabilidades para lasituación, usando la razón deltamaño del espacio de eventoscon el tamaño del espaciomuestral:

Situación

Probabilidad delprimer evento

Probabilidaddel segundoevento

Probabilidad deambos eventos

Lanzar dados

Formulas :O!!𝑃(𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛) =

(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜)(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜)

(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎)(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎)

1.-

𝑃(𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛) =

((𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜)

(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎))(

(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜)

(𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎))

2.-

P(situación)= P(Primer evento)*P(Segundo evento)

3.-

o

o

Nota: Esto es válido para todas las situaciones con eventosindependientes. También puede extenderse a más de doseventos.

Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el parblanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo queagarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá alcajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál esla probabilidad de sacar un par blando ensu tercer intento?

Hagamos un problema!!!

CONTINUA…

Paso 1

Evento A: un par decalcetines que no sonblancos.

Evento B: un par decalcetines que no sonblancos.

Evento C: un par decalcetines que sonblancos.

Primero, definimoslos eventos. Comoqueremos que ellasaque unos blancosen su tercer intento,es necesario que nosaque blancos en suprimer y segundointentos.

Paso 2

Los eventos sonindependientes,porque cadaresultado eliminadoes reemplazado. Loseventos anterioresno cambian lasprobabilidades deeventos posteriores

Ahora revisa si sonindependientes.Beth elimina unresultado cuandosaca un par decalcetines, peroluego lo regresa alcajón, entonces lasprobabilidades nocambiarán.

Paso 3El tamaño de espacio muestral para cada evento es 10 (Hay 10 pares de calcetines de donde escoger)

El tamaño del espacio de eventos para el Evento A y el Evento B es 7. (Hay 7 pares que no son blancos)

El tamaño del espacio de eventos del Evento C es 3.

Podríamos encontrar el espacio muestral y el espacio de eventos

para todo el experimento y calcular la razón. Sin embargo, como los eventos son

independientes, es más fácil encontrar los

espacios muestrales y los espacios de eventos

de los eventos individuales y multiplicarlos.

Solución!!

P(A y B y C)= P(A)*P(B)*P(C)P(A y B y C)= 7

10∗

7

10∗

3

10=

147

1000

Sumario :O!!Dos (o más) eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no cambia la probabilidad de que otro evento ocurra. Existen dos tipos de situaciones cuando esto sucede:1. Cuando la acción aleatoria no elimina un resultado

(como al lanzar un dado o una moneda varias veces, o realizar acciones aleatorias que no tienen conexión una con otra como sacar una carta y luego lanzar un dado);

2. Cuando la acción aleatoria sí elimina un resultado posible, pero el resultado es reemplazado antes de que la acción vuelva a suceder (como sacar una carta y devolverla al mazo).

Nota: Cuando los eventos son independientes, laprobabilidad de que todos ocurran es igual a lamultiplicación de las probabilidades de que ocurran loseventos individuales.

Refuerzos

Para obtener un poco de ayuda extra, hazclic en este link:https://www.youtube.com/watch?v=BHTxS4b2dsU